Solución de Ecuaciones Diferenciales Por Medio de Amplificadores Operacionales

INTRODUCCIÓN: Un ampl amplifc ifcad ador or oper operac acio iona nall es un ampli amplifc fcad ador or die diere renc ncia iall de muy muy alta alta ganancia ganancia con alta impedancia impedancia de entrada entrada y baja impedancia impedancia de salida. salida. Los primeros primeros amplifcador amplifcadores es operacional operacionales es ueron ueron utilizados utilizados principalmente principalmente para realizar operaciones matemáticas tales como adición, sustracción, integración y dierenciación, de ahí el término operacional. stos primeros dispositi!os se cons constru truye yero ron n con con tubos tubos de !ací !acío o y unc uncio iona naban ban con con alto altos s !olta !oltajes jes.. Los Los amplifcador amplifcadores es operacionale operacionales s actuales actuales son circuitos circuitos integrados lineales "ue utilizan !oltajes de #$ relati!amente bajos y son confables y baratos.

 Figura 1: Amplifcador operacional básico

n este trabajo se solucionará una ecuación dierencial de segundo orden la cual describe el comportamiento de un circuito %L#, para ello se contará con amplifcadores operacionales sumadores e integradores. Los circuitos sumadores pueden usarse para resol!er ecuaciones algebraicas, y el integrador es un circuito analógico de suma importancia &til en redes de control siempre "ue se deba resol!er una ecuación dierencial o se re"uiera la integral de un !oltaje.

 Figura : Amplifcador sumador !Derec"a#$ Amplifcador In%egrador !I&'uierda#(

l !oltaje de salida de un 'mplifcador integrador se e(presa de la siguiente orma)

−1 Vsal =  RC 

∫ V  dt (1) 1

D)*ARRO++O: ' continuación se hallará el circuito con amplifcadores operacionales el cual solucionará la ecuación dierencial de un circuito %L# en serie, el circuito se muestra en la siguiente fgura)

Figura ,: Circui%o R+C para el desarrollo

*or medio de la ley de tensiones de +irchho se e(presan las caídas de tensión en el circuito) V ent =V  L + V C + V  R

V ent =− L

 di dt 

+

1

C 

∫ i dt + Ri

-ntegrando con respecto al tiempo ambos lados de la ecuación) V ent  dt =¿  R

∫ i dt − Li + C 1 ∬ i dt  ∫¿

%esol!iendo para i se obtiene)  R i=  L

1

1

∫ i dt +  LC ∬ i dt −  L ∫ V 

ent 

dt 

#ada uno de los términos de la ecuación se está sumando, por lo "ue se dispondrá de un sumador a la hora de elaborar el circuito. 'hora se reemplazará los !alores de %, L y # correspondientes en la ecuación)

∫ idt +4∗10 ∬ idt −2∫ V 

i =20

6

ent 

dt ( 2 )

'hora se elaborará el circuito, los amplifcadores operacionales a utilizar son los sumadores e integradores los cuales se ilustran en la fgura , las resistencias tienen un !alor ele!ado ya "ue hay un actor de /0 1 y éste debe conser!arse, por medio de la ecuación 2/3, se hallan los !alores específcos de % y # en los integradores.

Figura -: Circui%o para la soluci.n

Los !alores correspondientes de las resistencias y capacitores son los siguientes) %/4%4 50067 %84%94%14%:4%;4%? #840./>? 'l circuito se le aplica un !oltaje de entrada, el amplifcador '/ es un integrador, el cual !a a integrar ese !oltaje de entrada, utilizando la ecuación 2/3, hallamos la salida la cual es

−2 ∫ V ent dt 

'l ingresar a ', el cual es un sumador, hace "ue la se@al de entrada cambie de signo por lo "ue su salida es igual a

∫ V 

2

ent 

dt 

.

Ae obser!a "ue el amplifcador '8 es un sumador, allí !an a conectarse todas las salidas de los otros amplifcadores, y seg&n la ecuación 23, su salida debe ser igual a i4B salida. 'hora, el amplifcador '9, es un integradorC se obser!a "ue la entrada es precisamente i, por lo "ue su salida y aplicando la ecuación 2/3 es

−20 ∫ i dt  ,

esta se@al !a al sumador principal 2'83 y también a un nue!o sumador 2'53, el cual le hace cambiar su signo en su se@al de salida con una ganancia de 00. sta se@al de salida !a a un nue!o integrador 2'13, por lo "ue su se@al de salida es una doble integral y por medio de la ecuación 2/3 se e(presa así)

−4∗10 ∬ i dt  , y luego !a al sumador principal. 6

−4∗10 ∬ i d t ,− 20∫ i dt y 2∫ V ent dt  6

n el sumador principal 2'83, se suman

todas esas se@ales de entrada cambian de signo al salir lo cual es e(actamente la ecuación , y esa se@al de salida es la solución de la ecuación dierencial.

*I/U+ACION)*: *ara este desarrollo, en primer lugar, se halló la unción de transerencia con la ecuación 23, de orma manual del circuito %L#, dando como resultado) CS 2

−CL S + RCS + 1 'l sustituir los !alores de %, L y #, da una unción de transerencia igual a) −6 0.5 10 S −7 2 −6 2.5 10 S 5 10 S

¿

−

∗

+ ∗

+1

n ='DL'E se encontró su respuesta al impulso)

2 2

I mp u l s eRe s p o n se

x10 0

1

2

3     e      d     u      t      i      l    p 4     m      A

5

6

7

8 0

0 . 00 5

0 . 0 1

0 . 0 15

0 . 0 2

0 . 0 2 5

0. 0 3

T i me( s e c o n d s )

Figura 0: Respues%a al impulso

'hora se simula el circuito mostrado en la fgura 9 en el sotFare #ircuit =a6er, se asumen 'mplifcadores ideales, por lo "ue no se toman en cuenta las resistencias de las entradas no in!ersoras, ya "ue estas se incluyen allí cuando se generan corrientes de polarización.

La entrada es un generador de se@ales, confgurado en *ULA. 'l simular el circuito se obtiene la respuesta en la salida

 Danto en ='DL'E, como en el simulador de circuitos se obtienen respuestas muy similares, por lo "ue se concluye "ue el circuito mostrado en la ?igura 9, da una solución a la ecuación dierencial de un circuito %L# en serie.

I+IO2RAF3A: G G -

Matthew N. O. Sadiku , ?undamentos de los circuitos eléctricos Dercera

edición, =c HraF Iill, 001 http)JJes.Fi6ipedia.orgJFi6iJ'mplifcadorKoperacional Robert L. Boylestad, Louis Nashelsky,  lectrónica Deoría del circuito, $écima edición, *earson, 00< L.M Faulkenberry. -ntroducción a los amplifcadores operacionales con aplicaciones a #- lineales, Limusa, 005.