Solucion de ecuaciones diferenciales por diferencias finitas: Simulacion de Yacimientos

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Simulación de Yacimientos. Diseño del Modelo Modelo del Reservorio: Solución de ecuaciones lineales en base de diferencias finitas y programación. Escuela Politécnica Nacional. Ing. Petróleos. Sexto Semestre. María Alfonsina Trujillo. 13 noviembre de 2015

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RESUMEN

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RECURSOS La simulación de yacimientos El objetivo de la simulación de  yacimientos es estimar el comportamiento de un yacimiento bajo diferentes escenarios de producción, a fin de obtener la máxima recuperación, económicamente posible, de un  yacimiento de hidrocarburos. Para ello, se involucra el uso de modelos matemáticos basados en , que han sido creados con el apoyo de sistemas computacionales, cuya resolución nos ayudará a seleccionar un conjunto óptimo de condiciones de operación para el reservorio. Los resultados de la resolución de las ecuaciones diferenciales, pueden ser obtenidos a partir de diferentes métodos, como lo es el método de diferencias finitas.

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El valor de los puntos seleccionados se convierten en las incógnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede llevar un número largo de operaciones aritméticas.

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El cálculo diferencial por diferencias finitas es apropiado para funciones continuas solamente; sin embargo, en aplicaciones de ingeniería de yacimientos, situaciones donde los valores funcionales son conocidos solo en puntos discretos son frecuentes de encontrar.

Método de diferencias finitas para la resolución de ecuaciones diferenciales La aproximación por medio de diferencias finitas es el método más antiguo aplicado para obtener la solución numérica de ecuaciones diferenciales.

Características 

El Método consiste en una aproximación de las derivadas parciales por expresiones algebraicas con los valores de la variable dependiente en un limitado número de puntos seleccionados.

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Como resultado de la aproximación, la ecuación diferencial parcial que describe el problema es reemplazada por un número finito de ecuaciones algebraicas, en términos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados.

Figura.- Puntos discretos usados en aproximaciones de diferencias finitas

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Integración de Ecuaciones para la modelación numérica Modelar el flujo de fluidos en un medio poroso permeable requerirá entonces de ecuaciones de conservación de masa, ecuaciones constitutivas, y relaciones roca fluidos. La simulación como una representación de los procesos de transferencia de masa, y en algunas instancias de energía, a través del medio poroso de las estructuras geológicas, integra a las ecuaciones y leyes que describen dicho movimiento para la formulación de las ecuaciones diferenciales. Estas son las siguientes: 

Ley de la conservación de masa y energía; Balance de materiales

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Ecuación de estado: Describe el comportamiento volumétrico de los fluidos.

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Ecuación de Darcy: Describe el movimiento de los fluidos en el medio poroso.

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Ecuación de Focheimmer: Describe el movimiento de fluidos que no se comportan bajo la ley de Darcy.

Programación: Algoritmos en programas computacionales de Simulación de Yacimientos Los algoritmos en simulación se basan en la solución de ecuaciones diferenciales. Entre mayor sea este, la capacidad de los sistemas computacionales deben ser mejores en cuanto a memoria (que refiere al manejo de la data), como a tiempo de procesamiento de los datos. Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones en la que interviene la derivación de funciones respecto a una o más variables, sean estas dependientes o independientes. El número de ecuaciones e incógnitas, para un problema establecido, dependerá del total de bloques o celdas, en la que se discretiza el dominio de interés.

Técnica de las diferencias finitas Fig.- Dibujo Esquemático computacional de la ubicación Relativa de los Pozos en un Anticlinal. 

El método de diferencias finitas es un clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo.

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Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a).

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Básicamente, en una solución por diferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes (especialmente matriciales).

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RESOLUCIÓN Ejemplo de Resolución: Aproximaciones en diferencias finitas El próximo paso para la resolución numérica de una ecuación diferencial parcial utilizando el MDF es el reemplazo de las derivadas continuas de la ecuación diferencial por las expresiones equivalentes en diferencias finitas. Esto se logra utilizando el desarrollo en serie de Taylor de la variable dependiente alrededor de un punto particular de la malla. Para ello, la variable dependiente en un nodo de la malla es indicada utilizando como subíndice y superíndice los índices que se utilizan para denotar dicho nodo. Así, por ejemplo, la función T(x, t) en el nodo (i;j) es expresada de la siguiente manera:

Para ejemplificar el procedimiento de aproximación, se considerará la derivada parcial de primer orden de la función T con respecto al tiempo. Para ello, se utilizará el desarrollo en serie de Taylor de T en (xi; tj) y se lo evaluará en (xi; tj+1). De esta manera se obtiene:

Donde Rm+1 es el término residual que está dado por:

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El término residual R m+1 es el error asociado con el truncamiento de la serie de Taylor. Es importante conocer el orden de dicho error, es decir, conocer la forma en que el error tiende a cero cuando ht   0. Como se puede observar, el término residual Rm+1 depende de ht m+1, por lo tanto, cuando ht  0, el error tenderá a cero como ht m+1.  En consecuencia, el orden de truncamiento de la serie de Taylor para aproximar Ti j+1 es m+1. Esto es indicado con el símbolo O (htm+1). Si se despeja la derivada parcial de primer orden de la función T con respecto al tiempo resulta: →

→

Donde

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En particular, si se escribe el desarrollo en serie de Taylor de primer orden, entonces, la expresión anterior está dada por:

Donde el término de error es:

Una aproximación en diferencias finitas para la derivada temporal de primer orden se obtiene despreciando el término de error:

El término de error, que fue despreciado, se denomina error de truncamiento de la aproximación en diferencias finitas para la derivada temporal de primer orden de la función T. La aproximación recién obtenida es de primer orden y es llamada aproximación de diferencias progresivas. Del mismo modo, puede conseguirse una aproximación de diferencias regresivas de primer orden. Para ello, se escribe el desarrollo en serie de Taylor de T en (xi; tj) y se lo evalúa en (xi; tj-1).

Para poder obtener una aproximación en diferencias finitas para la derivada parcial de segundo orden de la función T con respecto al espacio, es necesario escribir el desarrollo en serie de Taylor de T de orden tres en (xi; tj). Evaluando dicho desarrollo en (xi-1; tj) y en (xi+1; tj) se obtiene:

Despreciando el término de error, se obtiene una aproximación de diferencias finitas de segundo orden:

Esta aproximación es denominada de diferencias centradas. Trabajando de manera similar, es posible obtener las siguientes aproximaciones en diferencias finitas:

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Resolución por programación Producto matriz-vector: Esta operación tiene dos operandos: una matriz  y un vector. El resultado es un vector. A los operandos los denominaremos respectivamente  A y x, y al resultado, b. Un problema recurrente en Ingeniería consiste en obtener cuál es el vector x cuando  A y b  son dados:

La ecuación matricial  Ax =b  es una manera abreviada de expresar un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, la ecuación del diagrama es equivalente al siguiente sistema de tres ecuaciones que tiene las tres incógnitas w , y  y z :

Podemos ver que el vector x en efecto satisface la ecuación Ax = b:

Sin embargo, es importante tener en cuenta que los valores de tipo real casi nunca están representados de manera exacta en el computador, y que el resultado de un algoritmo que involucra muchas operaciones puede sufrir de algunos errores de redondeo. Por esto mismo, puede ocurrir que aunque los resultados se vean iguales en la consola, los datos obtenidos son sólo aproximaciones y no exactamente los mismos valores:

En matemáticas, este sistema se representa matricialmente así:

Dado que este tipo de problemas aparece a menudo en la práctica, se aprenderá cómo obtener rápidamente la solución usando Python. Dentro de los varios módulos incluidos en NumPy (por ejemplo, ya vimos numpy.random), está el módulo numpy.linalg, que provee algunas funciones que implementan algoritmos de álgebra lineal, que es la rama de las matemáticas que estudia los problemas de este tipo. En este módulo está la función solve, que entrega la solución x de un sistema a partir de la matriz A y el vector b:

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5 png: (Siglas en inglés de Gráficos de Red Portátiles, pronunciadas "ping") es un formato gráfico basado en un algoritmo de compresión sin pérdida para bitmaps no sujeto a patentes.

A

T

U

R

A

(i;j): Nodo en la ecuación de Taylor

N

C

L E

MDF: Método de diferencias finitas  Algoritmo: es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad, siendo dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final  y se obtiene una solución. Simulación de Yacimientos. Diseño del Modelo del Reservorio: Solución de ecuaciones lineales en base de diferencias finitas y programación. Escuela Politécnica Nacional. Ing. Petróleos. Sexto Semestre. María Alfonsina Trujillo. 13 noviembre de 2015

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O

M

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El objetivo de la simulación de  yacimientos es estimar el comportamiento de un  yacimiento bajo diferentes escenarios de producción, a fin de obtener la máxima recuperación, económicamente posible, de un yacimiento de hidrocarburos. Para ello, se involucra el uso de modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales, que han sido creados con el apoyo de sistemas computacionales, cuya resolución nos ayudará a seleccionar un conjunto óptimo de condiciones de operación para el reservorio.

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

Los avances de las técnicas numéricas, para resolver ecuaciones diferenciales parciales; la generación de los datos de entrada en los simuladores; los avances en las técnicas de caracterización de  yacimientos y el desarrollo de técnicas complejas para recobro de hidrocarburos, que de otra manera serían imposibles de analizar.

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El método de diferencias finitas es una clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo.



Básicamente, en una solución por diferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes.

E N OI



S

Modelar el flujo de fluidos en un medio poroso permeable requerirá entonces de ecuaciones de conservación de masa, ecuaciones constitutivas, y relaciones roca fluidos.

U



L

El proceso de simulación mediante el uso de técnicas analíticas o matemáticas puede ser difícil o hasta imposible; y es allí donde nace la simulación por computador que surge como una herramienta poderosa, para ayudar a estos procesos.

C



N

La amplia aceptación de la simulación de yacimientos en la industria petrolera puede ser atribuida a los avances de las facilidades computacionales (particularmente, la velocidad de computación y el aumento de la memoria y almacenaje).

O C

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