Economia Eco nomia da da Enge Engenhar nhar ia I I
ECONOMIA DA ENGENHARIA II SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS SÉRIE 1 Prof.: Tarcísio Faustini
[email protected] Centro Tecnológico Departamento de Engenharia de Produção
2014 – p r im eir o p er í o d o
Economia Eco nomia da da Enge Engenhar nhar ia I I
RESUMO DAS FÓRMULAS Pagamento Simples
VF VP(1 i)n
VP VF(1 i)
n
Série Uniforme
i (1 i)n 1
(1 i)n 1 VF PGTO i
PGTO
(1 i)n 1 VP PGTO i(1 i)n
i(1 i)n PGTO VP (1 i)n 1
0
1
n-2
1
2
PGTO PGTO
VF
n-1
n
VALOR FUTURO
VALOR PRESENTE
VP 0
2
VF
3
4
5
6
7
n
PGTO
PGTO
PGTO
PGTO
PGTO
PGTO
SÉRIE UNIFORME
2
Economia Eco nomia da da Enge Engenhar nhar ia I I
1. Calcule: (a) a taxa trimestral equivalente à taxa anual de 20%; (b) a taxa anual equivalente à taxa mensal de 1,5%; (c) A taxa mensal equivalente à taxa semestral de 9%.
(a) taxa anual taxa trimestral (b) taxa mensal taxa anual (c) taxa semestral taxa mensal
20,0% 1 4,7% 1 20%4 1 1,5% 12 1 1 , 5 % 1 19,6% 9,0% 1 1,4% 1 9%6 1
3
Economia Eco nomia da da Enge Engenhar nhar ia I I
2. Calcular o montante de uma aplicação de R$ 50.000,00 à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, durante um ano. ano.
VP i n VF
50.000,00 2,5% 12 67.244,44
12
50.000 1 2,5%
4
Economia Eco nomia da da Enge Engenhar nhar ia I I
3. O capital inicial de R$ 10.000,00 atingiu o montante de R$ 18.061,11, à taxa de juros compostos de 3% ao mês. Qual foi o prazo de aplicação?
VP VF i n
10.000,00 18.061,11 3,0% 19,9999956
n
18.061,11 10.000 1 3,0%
18.061,11 log 10.000,00 n log1 3,0%
5
Economia da Engenhar ia I I
4. No dia 01/01/2000, foi feito um depósito bancário de R$ 20.000,00 a juros compostos, taxa anual de 20%, capitalização ao final de cada ano. Qual era o montante em 30/04/2005?
VP i n VF
20.000,00 20,0% 5 49.766,40
20.000 1 20%
5
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Economia da Engenhar ia I I
5. Uma dívida será paga em parcelas de R$ 10.000,00 ao final de cada ano nos próximos três anos. Qual é o valor presente destes pagamentos? (a) Assumir taxas de juros de 4% no primeiro ano, 10% no segundo e 25% no terceiro. (b) Assumir taxas de juros de 25% no primeiro ano, 10% no segundo e 4% no terceiro. (a)
ano 1 2 3 TOTAL (b) ano 1 2 3 TOTAL
PGTO 10.000,00 10.000,00 10.000,00 PGTO 10.000,00 10.000,00 10.000,00
taxa 4,0% 10,0% 25,0%
VP 9.615,38 8.741,26 6.993,01 10.000 10.000 10.000 25.349,65 1,04 1,04 1,1 1,04 1,1 1,25 taxa VP 25,0% 8.000,00 10,0% 7.272,73 4,0% 6.993,01 10.000 10.000 10.000 22.265,73 1,25 1,25 1,1 1,25 1,1 1,04
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Economia da Engenhar ia I I
6. Um cidadão depositou R$ 5.000,00 na caderneta de poupança em 01/12/2005. A correção monetária, medida pela taxa referencial, foi: Jan/2006 = 0,2326%, Fev/2006 = 0,0725% e Mar/2006 = 0,2073%. A taxa de juros real é de 0,5% a.m. Calcular: (a) O montante do capital em 01/03/2006. (b) Qual seria o valor do depósito necessário para se conseguir um patrimônio de R$ 10.000,00 em 01/03/2006.
(a)
data 1/12/2005 1/1/2006 1/2/2006 1/3/2006
saldo 5.000,00 5.036,69 5.065,54 5.101,42
c.monet. 0,2326% 0,0725% 0,2073%
juros 0,5% 0,5% 0,5%
5.000 (1 0,2326 %) (1 0,0725%) (1 0,2073 %) (1 0,5%)3
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Economia da Engenhar ia I I
6. Um cidadão depositou R$ 5.000,00 na caderneta de poupança em 01/12/2005. A correção monetária, medida pela taxa referencial, foi: Jan/2006 = 0,2326%, Fev/2006 = 0,0725% e Mar/2006 = 0,2073%. A taxa de juros real é de 0,5% a.m. Calcular: (a) O montante do capital em 01/03/2006. (b) Qual seria o valor do depósito necessário para se conseguir um patrimônio de R$ 10.000,00 em 01/03/2006.
(b)
data 1/12/2005 1/1/2006 1/2/2006 1/3/2006
saldo 9.801,19 9.873,11 9.929,66 10.000,00
c.monet. 0,2326% 0,0725% 0,2073%
juros 0,5% 0,5% 0,5%
10.000 (1 0,2326 %) (1 0,0725 %) (1 0,2073%) (1 0,5%)3
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Economia da Engenhar ia I I
7. Um RDB proporciona um rendimento final de 96% a.a., para uma aplicação de R$ 30.000,00, durante 2 (dois) anos. (a) Calcular o valor dos juros. (b) Calcular o valor do Imposto de Renda, supondo a alíquota de 10% sobre os juros. (c) Calcular a taxa de juros anual líquida (após o I.R.).
(a) i VP n juros (b) imp. de renda (c) i líquida
96,0% 30.000,00 2 2 85.248,00 30.000 (1 96%) 30.000 8.524,80 10% 85.248,00 88,6% 1 2
30.000 (1 96%)2 8.524,80 1 30.000 10
Economia da Engenhar ia I I
8. O proprietário de uma jazida de minério de ferro espera obter lucro líquido anual de US$ 150.000,00 nos próximos 8 anos, quando a jazida será exaurida. Se fosse vender essa mina agora, qual seria o valor mínimo que ele poderia aceitar, se existe uma alternativa de aplicação à taxa de juros de 8% ao ano? PGTO 150.000,00 (1 i)n 1 n 8 VP PGTO i(1 i)n i 8,0% 8 (1 8 % ) 1 VP 861.995,84 VP 150.000 8% (1 8%)8 150.000,00 0 1
2
3
4
5
6
7
8
861.995,84
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Economia da Engenhar ia I I
9. Um empresário investiu US$ 500.000,00 na substituição de óleo combustível por carvão e pretende recuperar o capital em 10 anos. Qual seria a redução anual de custos necessária para conseguir o objetivo, considerando a taxa real de juros de 8% ao ano?
500.000,00 PGTO VP i(1 i)n (1 i)n 1 10 8,0% 8%(1 8%)10 74.514,74 PGTO 500.000 10
VP n i PGTO
(1 8%) 1
74.514,74 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
500.000,00
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10. Uma dívida vai ser liquidada através de 6 pagamentos mensais de R$ 625,33. Caso o devedor desejasse liquidá-la em 2 pagamentos iguais, um ao final do 3º e outro ao final do 6º mês, qual deveria ser o valor dos pagamentos, se a taxa do empréstimo é 120% a.a.? n PGTO i anual i mensal VP PGTO 3 PGTO 6 VP
6 625,33 120,0% 6,8% 2.999,98 2.006,28 2.006,28 2.999,98
1 12
i 1 120%
1 6,8%a.m.
(1 i)n 1 VP PGTO i(1 i)n
(1 6,8%)6 1 VP 625,33 6,8% (1 6,8%)6
2.999,98
1 4
i 1 120% 1 21,8%a.t.
i(1 i)n PGTO VP (1 i)n 1
PGTO 2.999,98
21,8%(1 21,8%) 2 (1 21,8%) 1 2
2.006,28
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10. Uma dívida vai ser liquidada através de 6 pagamentos mensais de R$ 625,33. Caso o devedor desejasse liquidá-la em 2 pagamentos iguais, um ao final do 3º e outro ao final do 6º mês, qual deveria ser o valor dos pagamentos, se a taxa do empréstimo é 120% a.a.? n PGTO i anual i mensal VP PGTO 3 PGTO 6 VP
6 625,33 120,0% 6,8% 2.999,98 2.006,28 2.006,28 2.999,98
i 6,8%a.m.
625,33
0 1
2
2.999,98
3
4
5
2.006,28
6
2.006,28
i 21,8%a.t. 0 1
2.999,98
2
3
4
5
6
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Economia da Engenhar ia I I
11. É concedido um financiamento de R$ 50.000,00 a ser pago em 10 prestações mensais, pelo Sistema “ Price”, a uma taxa de juros de 5% a.m.. Calcular: (a) O valor de cada prestação. (b) A quota de amortização referente à 7ª prestação. (c) O total amortizado com o pagamento da 5ª prestação. (d) O total de juros pagos. (e) O saldo devedor após o pagamento da 4ª prestação. FIM DÉBITO PAGTO. DÉBITO TOTAL JUROS NO AMORTIDO ANTES DO NO FINAL APÓS O AMORTIMÊS ZAÇÃO MÊS PAGTO. DO MÊS PAGTO. ZADO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.500,00 2.301,24 2.092,54 1.873,40 1.643,31 1.401,72 1.148,04 881,68 602,01 308,34
52.500,00 48.326,01 43.943,32 39.341,50 34.509,58 29.436,07 24.108,88 18.515,34 12.642,11 6.475,23
6.475,23 6.475,23 6.475,23 6.475,23 6.475,23 6.475,23 6.475,23 6.475,23 6.475,23 6.475,23
50.000,00 46.024,77 41.850,78 37.468,09 32.866,27 28.034,35 22.960,84 17.633,65 12.040,11 6.166,88 0,00
3.975,23 4.173,99 4.382,69 4.601,82 4.831,92 5.073,51 5.327,19 5.593,55 5.873,22 6.166,88
3.975,23 8.149,22 12.531,91 17.133,73 21.965,65 27.039,16 32.366,35 37.959,89 43.833,12 50.000,00
15
Economia da Engenhar ia I I
12. É concedido um financiamento de R$ 40.000,00 a ser pago em 8 prestações mensais, pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC), a uma taxa de 5% a.m. Calcular: (a) O valor das amortizações. (b) O total amortizado com o pagamento da 4ª prestação. (c) Os juros pagos na 6ª prestação. (d) O saldo devedor após o pagamento da 5ª prestação. (e) O valor da 4ª prestação. FIM DÉBITO PAGTO. DÉBITO TOTAL JUROS NO AMORTIDO ANTES DO NO FINAL APÓS O AMORTIMÊS ZAÇÃO MÊS PAGTO. DO MÊS PAGTO. ZADO 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2.000,00 1.750,00 1.500,00 1.250,00 1.000,00 750,00 500,00 250,00
TOTAL
9.000,00
42.000,00 36.750,00 31.500,00 26.250,00 21.000,00 15.750,00 10.500,00 5.250,00
7.000,00 6.750,00 6.500,00 6.250,00 6.000,00 5.750,00 5.500,00 5.250,00
40.000,00 35.000,00 30.000,00 25.000,00 20.000,00 15.000,00 10.000,00 5.000,00 0,00
5.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00
5.000,00 10.000,00 15.000,00 20.000,00 25.000,00 30.000,00 35.000,00 40.000,00 16
Economia da Engenhar ia I I
13. Um automóvel foi comprado com R$ 5.000,00 de entrada e 24 prestações mensais imediatas de R$ 1.000,00 cada. Calcular o preço à vista do automóvel, sabendo-se que o custo do dinheiro é de 3% ao mês. entrada 5.000,00 (1 i)n 1 VP PGTO n 24 i(1 i)n PGTO 1.000,00 i 3,0% 24 1 (1 3%) VP 21.935,54 VP0 1.000 16.935,54 24 3% (1 3%)
VP = 10.000.000,00
0
1
2
3
VP 16.935,54 5.000,00 21.935,54 4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1.000
5.000
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Economia da Engenhar ia I I
14. Determine o valor atual do fluxo de caixa que se segue, a juros de 4% por período. R 2 = 2.000,00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14
15
16
17
R 1 = 1.000,00
i VP
4,0% -4.823,88
(1 i)n 1 VP PGTO i(1 i)n
(1 4%)12 1 (1 4%)5 1 12 VP 1.000 1.000 2.000 (1 4%) 4% (1 4%)12 4% (1 4%)5
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Economia da Engenhar ia I I
15. Um eletrodoméstico custa R$ 2.200,00 à vista. O plano de pagamento a prazo tem uma entrada de R$ 500,00 e 4 prestações mensais de R$ 500,00. Qual a taxa mensal de juros cobrada? VP entrada n PGTO valor financiado taxa mensal
2.200,00 500,00 4 500,00 1.700,00 6,8%
(1 i)n 1 VP PGTO i(1 i)n (1 i)4 1 i 6,8%a.m. 1.700 500 4 i(1 i)
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Economia da Engenhar ia I I
16. Um banco financia empreendimentos a 24% ao ano, conforme o plano que se segue: adiciona 24% à quantia emprestada e divide o total por 12 para obter o valor da prestação mensal. Nessas condições, um empréstimo de R$ 1.000,00 é pago em 12 mensalidades de R$ (1.000,00 + 240,00)/12 = R$ 103,33. Qual a taxa anual de juros efetivamente cobrada? VP n PGTO taxa mensal taxa anual
1.000,00 (1 i)n 1 12 VP PGTO i(1 i)n 103,33 3,5% (1 i)12 1 50,7% 1.000 103,33 i(1 i)12 i 3,5%a.m.
i 1 3,5% 12 1 i 50,7%a.a.
20
Economia da Engenhar ia I I
17. Um fogão de 6 bocas está sendo vendido a R$ 629,00 à vista ou em 12 prestações mensais de R$ 89,77, sem entrada. Obtenha a taxa de juros anual considerada. VP n (meses) PGTO i (% a.m.) i (% a.a.)
629,00 (1 i)n 1 12 VP PGTO i(1 i)n 89,77 9,43% (1 i)12 1 i 9,43%a.m. 195,00% 629 89,77 12 i(1 i)
i 1 9,43%12 1 i 195,0%a.a.
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Economia da Engenhar ia I I
18. No exercício anterior, supondo que a sua alternativa de negócio seja aplicar dinheiro à taxa de 1% a.m. (rendimento médio mensal estimado da caderneta de poupança nos próximos 12 meses) e adquira o fogão a prazo, em vez de pagar à vista, por quanto você estará comprando o fogão (valor presente)?
n PGTO i (a.m.) VP
12 (1 i)n 1 89,77 VP PGTO i(1 i)n 1,00% 1.010,37 (1 1%)12 1 VP 89,77
1% (1 1%)
12
1.010,37
89,77 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1.010,37
22
Economia da Engenhar ia I I
19. Um empréstimo de R$ 100.000,00 deverá ser pago em 10 anos, à taxa de 14% a.a., no regime de juros compostos. Os pagamentos anuais nos quatro primeiros anos (prazo de carência) corresponderão apenas aos juros devidos em cada ano. Determine o valor das seis prestações anuais, iguais e sucessivas, que deverão ser pagas do quinto ao décimo ano.
100.000,00 PGTO VP i(1 i)n 6 (1 i)n 1 14% 6 14%(1 14%) 25.715,75 PGTO 100.000 25.715,75 6
VP n (anos) i (a.a.) PGTO
(1 14%) 1
100.000,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 14.000,00 25.715,75 23
Economia da Engenhar ia I I
20. Determine o valor das seis prestações anuais da questão anterior, se nos quatro primeiros anos (prazo de carência) os juros não forem pagos e sim capitalizados, ou seja, acrescentados ao saldo devedor. VP n (anos) i (a.a.) PGTO
168.896,02 VP 100.000 1 14%4 168.896,02 6 14% i(1 i)n 43.432,88 PGTO VP (1 i)n 1 PGTO 168.896,02
14%(1 14%)6 (1 14%) 1 6
43.432,88
100.000,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
43.432,88
24
Economia da Engenhar ia I I
21. Se você ganhar R$ 30 milhões na Mega Sena e aplicar todo o prêmio na caderneta de poupança (ganho mensal de 0,5%), de quanto poderá ser sua retirada mensal máxima ao longo de 50 anos, supondo retiradas iguais? VP juros (a.m.) n (anos) PGTO
30.000.000,00 0,5% 50 157.921
i(1 i)n PGTO VP (1 i)n 1
PGTO 30.000.000
0,5% (1 0,5%)600 (1 0,5%)
600
1
157.921
157.921 0 1
2
3
4
5
6
7
8
......
598
599
600
30.000.000 25
Economia da Engenhar ia I I
22. O preço à vista de um carro é R$ 76.000,00. Há um plano de venda a prazo que consiste em 30% de entrada e o financiamento do saldo em 24 prestações mensais iguais (antes da correção monetária) e com 3 meses de carência, ou seja, a primeira prestação vence daqui a 4 meses. Sabendo que a taxa de juros do financiamento é de 1,8% a.m. e estimando uma correção monetária de 1,0% a.m., a ser incluída em cada prestação, calcule o valor da última prestação. Preço à vista valor financiado Carência (meses) Prazo financiam. juros mensais correção monetária valor financiado prestações última prestação
76.000 53.200 3 24 1,8% 1,0% 56.125 2.901 3.795
antes da carência
VPO (1 30%) 76.000 53.200
meses mensal após carência s/ corr. monetária c/ corr. monetária
VP 53.200 (1 1,8%)3 56.125
i(1 i)n 1,8% (1 1,8%)24 PGTO VP PGTO 0 56.125 2.901 n 24 (1 i) 1 (1 1,8%) 1
PGTO 2.901 1 1,0% 27 3.795 26
Economia da Engenhar ia I I
23. A fabricação de uma nova máquina necessita do desembolso de R$ 1 milhão mais uma certa quantia a ser paga pela patente. A máquina, após o seu início de operação, produzirá reembolso líquido de caixa, após o imposto de renda, de R$ 500 mil por ano durante cinco anos. Admita que o custo do dinheiro seja de 10% a.a. Pede-se: a- Qual o valor máximo que se poderia pagar pela patente da máquina? b- Se a patente da máquina pudesse ser comprada por R$ 500 mil, qual o valor máximo que a empresa poderia distribuir a seus sócios imediatamente como participação nos benefícios futuros a serem gerados pela máquina? ANO INVESTIMENTO RECEITA VPL PATENTE
0 (1,0)
1
2
3
4
5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,90 (a) 0,40 (b)
(1 i)n 1 VP PGTO (a ) n i(1 i)
(1 10%)5 1 VP 1,0 0,5 0,9 5 10%(1 10 )
(b) 0,9 0,5 0,4 27
Economia da Engenhar ia I I
24. Uma pessoa fez um empréstimo a juros de 4% ao mês e saldou a dívida pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC) em dez prestações. A soma dos valores nominais das prestações foi de R$ 50 mil. Se a dívida tivesse sido paga pelo Sistema “ Price”, qual seria a soma dos valores nominais das prestações? taxa mensal
4%
progressão aritmética :
soma SAC valor financiado
50.000 40.984 Sn a1 an n
soma "Price"
50.529
2
SAC : PGTO1 PGTO10 SPGTO
VP
0,04 VP
10 VP VP 0,04 10 10
VP 10 VP 0,04 VP 0,04 50.000 10 2
VP 40.984
28
Economia da Engenhar ia I I
24. Uma pessoa fez um empréstimo a juros de 4% ao mês e saldou a dívida pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC) em dez prestações. A soma dos valores nominais das prestações foi de R$ 50 mil. Se a dívida tivesse sido paga pelo Sistema “ Price”, qual seria a soma dos valores nominais das prestações? SAC : taxa mensal
4%
VP 0,04 VP 10 VP VP 0,04 10 10
PGTO1
soma SAC valor financiado
50.000 40.984
PGTO10
soma "Price"
50.529
SPGTO VP 0,04 VP 0,04
VP 10
10
2
50.000
VP 40.984
PRICE :
i(1 i)n PGTO VP (1 i)n 1
VP 40.984 0,04 1,0410 5.053 PGTO 40.984 10 1,04 1 SPGTO 10 5.053 50.529 29
Economia da Engenhar ia I I
25. Uma loja do “Shopping” vende em três vezes sem entrada (três prestações mensais). O valor da prestação é calculado multiplicando-se o preço à vista por 0,4. Considera-se que o custo do dinheiro para a loja seja de 1% de correção monetária mais 5% de juros (ambas as taxas são mensais). Calcule, em percentual, o ganho ou perda financeira que a loja tem nas operações de crédito, sem levar em conta o risco de inadimplência.
prestações correção monetária
0,4 PGTO 1%
juros
5%
taxa global prestações
2
ganho
0,3745 3
1,061 1
6,8%
0,4 1
i 1,01 1,05 1 6,1%
6,1% 3 0,061 1,061 0,3745 PGTO 1 0,3745 3
ganho financeiro
0
i(1 i)n VP (1 i)n 1
0
1
2
3
0,4 0,3745
1 6,8%
Economia da Engenhar ia I I
26. Uma empresa efetivou quatro depósitos mensais, iguais e sucessivos, numa instituição financeira que remunera seus depósitos à taxa de 3,2% ao mês, no regime de juros compostos. Em 30/12/2009, o total acumulado por essa empresa, através desses depósitos, era de R$ 1.000.000,00. Admitindo-se que todos os meses têm 30 dias, determine o valor de cada um dos depósitos mensais, nas seguintes hipóteses: (a) o primeiro depósito ocorreu em 30/01/2009; (b) o primeiro depósito ocorreu em 30/04/2009.
31
Economia da Engenhar ia I I
26. Uma empresa efetivou quatro depósitos mensais, iguais e sucessivos, numa instituição financeira que remunera seus depósitos à taxa de 3,2% ao mês, no regime de juros compostos. Em 30/12/2009, o total acumulado por essa empresa, através desses depósitos, era de R$ 1.000.000,00. Admitindo-se que todos os meses têm 30 dias, determine o valor de cada um dos depósitos mensais, nas seguintes hipóteses: (a) o primeiro depósito ocorreu em 30/01/2009; 1.000.000,00
a) 30/1
30/2
30/3
30/4
30/12
PGTO 1
VP VF1 i
(1 i)n 1 VF PGTO i
1.000.000, 00 1,032 8 PGTO.
1,032 4 1 0,032
PGTO 185.230,98 32
Economia da Engenhar ia I I
26. Uma empresa efetivou quatro depósitos mensais, iguais e sucessivos, numa instituição financeira que remunera seus depósitos à taxa de 3,2% ao mês, no regime de juros compostos. Em 30/12/2009, o total acumulado por essa empresa, através desses depósitos, era de R$ 1.000.000,00. Admitindo-se que todos os meses têm 30 dias, determine o valor de cada um dos depósitos mensais, nas seguintes hipóteses: (b) o primeiro depósito ocorreu em 30/04/2009. b)
1.000.000,00
30/4
30/5
30/6
30/7
1
VP VF1 i
30/12
(1 i)n 1 VF PGTO i
1.000.000, 00 1,032 5 PGTO.
1,032 4 1 0,032
PGTO 203.588,25 33
Economia da Engenhar ia I I
2. Uma instituição financeira está elaborando suas tabelas de multiplicadores 27. para que nos seus financiamentos seja sempre mantida uma taxa efetiva de 2% a.m., no regime de juros compostos. Considerando um valor de principal igual a R$ 1.000,00 e um prazo de quatro meses, determine o valor das prestações mensais: (a) no Sistema Price; (b) no Sistema de Amortizações Constantes (SAC). a)
i(1 i)n PGTO VP (1 i)n 1
0,02(1 0,02)4 PGTO 1.000 (1 0,02)4 1
1.000 270 b) PGTO1 1.000 2% 4 3 1.000 PGTO 2 1.000 2% 265 4 4 2 1.000 PGTO 3 1.000 2% 260 4 4 1 1.000 PGTO 2 1.000 2% 255 4 4
262,62
34
Economia da Engenhar ia I I
28. Um financiamento, cujo valor do principal é de R$ 100.000,00, deve ser liquidado através do pagamento de duas parcelas, uma no final do segundo mês e outra no final do quinto mês. Determinar o valor da última parcela, sabendo que ela é três vezes maior que a primeira e que a taxa de juros desse financiamento é de 2% ao mês. 100.000,00
2
5
0 x 3x
x.1,022 3x.1,025 100.000,00 x 27.186,02 3x 81.558,06
35
Economia da Engenhar ia I I
29. Um determinado banco deseja obter uma taxa de 2,5% ao mês nas suas operações de financiamentos. Entretanto, costuma cobrar postecipadamente apenas uma taxa de 1,5% ao mês sobre o principal, devendo a taxa de 2,5% ao mês se alcançada através de uma cobrança antecipada (percentual do valor do principal) por ocasião da liberação dos recursos do financiamento. Determinar o valor do percentual que deve ser cobrado antecipadamente nas seguintes hipóteses: (a) financiamento será liquidado com um único pagamento, no final de 6 meses; (b) financiamento será liquidado com 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, a partir do final do 1º. mês. x.(1,015)6
a)
VP 1 p x VF 1,015 x 6
0 6
VF VP1,025
6
6
(1-p)x
6
1,015 x 1 p x 1,025 p 5,71% 36
Economia da Engenhar ia I I
29. Um determinado banco deseja obter uma taxa de 2,5% ao mês nas suas operações de financiamentos. Entretanto, costuma cobrar postecipadamente apenas uma taxa de 1,5% ao mês sobre o principal, devendo a taxa de 2,5% ao mês se alcançada através de uma cobrança antecipada (percentual do valor do principal) por ocasião da liberação dos recursos do financiamento. Determinar o valor do percentual que deve ser cobrado antecipadamente nas seguintes hipóteses: (a) financiamento será liquidado com um único pagamento, no final de 6 meses; (b) financiamento será liquidado com 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, a partir do final do 1º. mês. PGTO x
PGTO
b)
1,015 6 1
VP 1 p x
0 1
(1-p)x
0,015 1,015 6
2
3
4
5
6
1 in 1 VP PGTO. n i1 i 1 px x
0,015 1,015 6 1,015 1 6
1,025 6 1 0,025 1,025 6
p 3,32% 37
Economia da Engenhar ia I I
30. Uma empresa procurou um banco de investimentos para negociar um financiamento que permite a aquisição de um equipamento cujo valor, à vista, é de R$ 10.000.000,00. Sabendo que o banco realiza esse tipo de financiamento num prazo de 24 meses, cobrando uma taxa de juros de 3,2% ao mês, determine (a) o valor de cada uma das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas; (b) o valor de cada uma de duas prestações intermediárias iguais que deverão ser pagas no final do 12º. e do 24º. meses, para que as 24 prestações mensais possam ser fixadas em R$ 500.000,00; (c) o valor de cada uma das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, caso a empresa se disponha a pagar duas parcelas intermediárias de R$ 4.000.000,00, no final do 12º. e do 24º. meses. Observação: em relação aos itens (b) e (c), observe que no final dos meses 12º e 24º serão efetuados os pagamentos da parcela intermediária e também da prestação mensal.
38
Economia da Engenhar ia I I
30. Uma empresa procurou um banco de investimentos para negociar um financiamento que permite a aquisição de um equipamento cujo valor, à vista, é de R$ 10.000.000,00. Sabendo que o banco realiza esse tipo de financiamento num prazo de 24 meses, cobrando uma taxa de juros de 3,2% ao mês, determine (a) o valor de cada uma das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas; a) VP = 10.000.000,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0
PGTO
i(1 i)n PGTO VP (1 i)n 1
principal VP) prazo (meses) taxa (a.m.) prestação (PGTO)
10.000.000,00 24 3,2% 603.268,05
39
Economia da Engenhar ia I I
30. Uma empresa procurou um banco de investimentos para negociar um financiamento que permite a aquisição de um equipamento cujo valor, à vista, é de R$ 10.000.000,00. Sabendo que o banco realiza esse tipo de financiamento num prazo de 24 meses, cobrando uma taxa de juros de 3,2% ao mês, determine (b) o valor de cada uma de duas prestações intermediárias iguais que deverão ser pagas no final do 12º. e do 24º. meses, para que as 24 prestações mensais possam ser fixadas em R$ 500.000,00. b) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0
500.000,00 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
(1 i)n 1 VP PGTO i(1 i)n valor presente das prestações mensais valor presente das intermediárias intermediárias
X
8.288.189,68 x.1,03212 1.711.810,32 1.482.346,97
X
x.1,03224 1.711.810,32
x 1.482.346,97 40
Economia da Engenhar ia I I
30. Uma empresa procurou um banco de investimentos para negociar um financiamento que permite a aquisição de um equipamento cujo valor, à vista, é de R$ 10.000.000,00. Sabendo que o banco realiza esse tipo de financiamento num prazo de 24 meses, cobrando uma taxa de juros de 3,2% ao mês, determine (c) o valor de cada uma das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, caso a empresa se disponha a pagar duas parcelas intermediárias de R$ 4.000.000,00, no final do 12º. e do 24º. meses. c) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0
PGTO 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
4.000.000,00
VPint
4.000.000, 00 1,032
12
4.000.000, 00 1,032
valor presente das intermediárias valor presente das prestações mensais prestações mensais
24
4.619.189,29 5.380.810,71 324.607,12
4.000.000,00
i(1 i)n PGTO VP (1 i)n 1 41
Economia da Engenhar ia I I
31. Um empréstimo foi fechado com prazo de 32 dias e à taxa efetiva de 4,40% ao mês, ou seja, referente a 30 dias. Calcule (a) a taxa dessa operação para o período de 32 dias e (b) considerando que o dinheiro tenha sido liberado somente três dias depois da assinatura do contrato, calcule a taxa mensal efetiva dessa operação, ou seja, referente a 30 dias.
a)
i1 1 4,40%
32 30
1 4,70%
32 b) i2 1 4,40%30
30 29
32 29
1 1 4,40% 4,87%
42
Economia da Engenhar ia I I
32. Uma dívida de R$ 30.000,00 vencerá daqui a dois meses e está sendo renegociada em dois pagamentos iguais, de modo que o primeiro pagamento vence hoje e o segundo, daqui a três meses. Considerando a taxa de juros de 3,20% ao mês, calcule: (a) o valor de cada um desses pagamentos e (b) quanto deveria ser pago hoje se fosse renegociado que o segundo pagamento deveria ser igual ao dobro do primeiro.
a)
0
1
2
3
0
1
PGTO
2
3
PGTO
30.000,00 3
PGTO PGTO 1 3,2%
2
30.000 1 3,2%
2
PGTO
30.000 1 3,2% 3
1 1 3,2%
14.749,14
43
Economia da Engenhar ia I I
32. Uma dívida de R$ 30.000,00 vencerá daqui a dois meses e está sendo renegociada em dois pagamentos iguais, de modo que o primeiro pagamento vence hoje e o segundo, daqui a três meses. Considerando a taxa de juros de 3,20% ao mês, calcule: (a) o valor de cada um desses pagamentos e (b) quanto deveria ser pago hoje se fosse renegociado que o segundo pagamento deveria ser igual ao dobro do primeiro.
b)
0
1
2
3
0
1
2
3
PGTO 2.PGTO
30.000,00 3
PGTO 2 PGTO 1 3,2%
2
30.000 1 3,2%
2 30.000 1 3,2% PGTO 9.989,98 3 1 2 1 3,2%
44
Economia da Engenhar ia I I
33. Uma empresa tem em carteira seis duplicatas de um mesmo cliente, todas com o mesmo valor de R$ 1.420,00, sendo que a primeira delas vence daqui a três meses e as restantes duplicatas nos meses seguintes. Já que tem disponibilidade de caixa, o cliente gostaria de pagar essa dívida em três parcelas iguais mensais e seguidas, sendo que a primeira seria paga na data de hoje. Considerando a taxa de juros de 5,20% ao mês, calcule (a) o valor de cada parcela e (b) qual seria o valor de cada parcela se o cliente quisesse pagar essa divida em duas parcelas iguais trimestrais, sendo que a primeira seria paga daqui a três meses.
45
Economia da Engenhar ia I I
33. Uma empresa tem em carteira seis duplicatas de um mesmo cliente, todas com o mesmo valor de R$ 1.420,00, sendo que a primeira delas vence daqui a três meses e as restantes duplicatas nos meses seguintes. Já que tem disponibilidade de caixa, o cliente gostaria de pagar essa dívida em três parcelas iguais mensais e seguidas, sendo que a primeira seria paga na data de hoje. Considerando a taxa de juros de 5,20% ao mês, calcule (a) o valor de cada parcela e (b) qual seria o valor de cada parcela se o cliente quisesse pagar essa divida em duas parcelas iguais trimestrais, sendo que a primeira seria paga daqui a três meses.
46
Economia da Engenhar ia I I
34. Uma empresa toma um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser pago em 24 prestações mensais, à taxa efetiva anual de 8,20%, e aplica esse capital em um empreendimento imobiliário que irá lhe proporcionar um rendimento líquido de 18% ao ano nos próximos 24 meses. Calcule quanto essa empresa terá em caixa, referente a esse empreendimento, no fim desses 24 meses, em cada uma das hipóteses seguintes de sistema para o pagamento do financiamento: (a) Price; (b) pagamento periódico de juros, com amortização somente no final.
47
Economia da Engenhar ia I I
34. Uma empresa toma um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser pago em 24 prestações mensais, à taxa efetiva anual de 8,20%, e aplica esse capital em um empreendimento imobiliário que irá lhe proporcionar um rendimento líquido de 18% ao ano nos próximos 24 meses. Calcule quanto essa empresa terá em caixa, referente a esse empreendimento, no fim desses 24 meses, em cada uma das hipóteses seguintes de sistema para o pagamento do financiamento: (a) Price; (b) pagamento periódico de juros, com amortização somente no final.
b)
100.000
i1 (1 8,2%)1/12 1 0,66%a.m.
(1 i)n 1 VF PGTO i
i2 (1 18%)1/12 1 1,39%a.m. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
PGTO
PGTO 100.000 0,66% 658,92
(1 1,39%) 24 1 VF 100.000 (1 1,39%) 658,92 100.000 1,39% VF 20.623,02 24
100.000
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Economia da Engenhar ia I I
35. Um financiamento de R$ 100.000,00 deverá ser pago em 180 prestações mensais, sem entrada, com juros efetivos de 0,80% ao mês e carência de três meses, durante a qual não haverá pagamento de qualquer espécie. Portanto, a primeira prestação será somente no quarto mês. Obtenha o saldo devedor após o pagamento de 10 prestações, em cada uma das hipóteses seguintes de sistema de financiamento: (a) Price; (b) SAC. n a) PGTO VP i(1 i) n
(1 i)
1
(1 i)n 1 VP PGTO i(1 i)n
VP3 100.000 (1 0,8%)3 102.419,25 PGTO 100.000 0,8%
0,8% (1 0,8%)180 (1 0,8%)
(1 0,8%)170 1 VP10 1.075,68 0,8% (1 0,8%)170
180
1
1.075,68
99.761,76
49
