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Filière Génie Civil GC2

Mécanique des sols

Chapitre 7 Pression latérale des terres

Khamlichi Abdellatif 1

Plan • •

Introduction Pression des terres au repos

• • •

Pression la latérale ale de des terres Essais sais sur la po pou ussée sée de des s ter terres res Etat d’équilibre limite

• • • • • • •

Equilibre de de Ra Rankine Equi Eq uilib libre re de Rank Rankine ine,, dis distr trib ibut utio ion n de des s con contr train ainte tes s Calc Calcul ul prat pratiq ique ue de la po pous ussé sée e et et de de la la but butée ée Equilibre de Boussinesq Géné Généra ralilisa sati tion on de l’éq l’équi uililibr bre e de de Ran Ranki kine ne Théo Théorè rème me des éta états corre orres spo pond ndan ants ts Théorie de Coulomb

•

Construction de Culmann

2

1 Introduction

L’analyse de la pression latérale des terres revêt un aspect très important en géotechnique. 

Les applications sont très diverses et s’étendent du dimensionnement des ouvrages ouvrages de soutènemen soutènementt jusqu’à jusqu’à l’étude l’étude de la stabilité stabilité des pentes pentes et et talus. 

Les hypothèses généralement admises sont un état de déformation plane et un comportement rigide-parfaitement plastique, car l’écoulement par cisaillement se produit produit à contrainte contrainte constante. constante. 

Plusieurs approches ont ont été envisagées pour calculer la pression latérale des terres. Un certain nombre d’entre elles seront présentées. 

Il faut prendre garde au fait que le calcul est parfois ardu, mais le résultat final est d’une simplicité simplicité étonnante. étonnante. 

3

2 Pression des terres au repos L’état des contraintes dans le sol n’est pas hydrostatique: la contrainte latérale n’est pas égale à la contrainte verticale. 

En mécanique des sols, la contrainte latérale totale est définie en fonction de la contrainte verticale totale par la relation: 

σ h = Kσ v où K est dit coefficient de la pression des terres.

σv

σh

σh σv

4

2 Pression des terres au repos Puisque les contraintes totales peuvent changer selon le degré de saturation du sol, le coefficient K n’est pas constant pour un sol donné. On introduit pour cela la relation en terme de contraintes effectives: 

σ′h = K 0 σ′v K0 est le coefficient des terres au repos. Il est indépendant de l’état de saturation du massif. Il est constant pour une même couche de sol et une même masse volumique. De ce fait il est très important pour l’analyse de stabilité des ouvrages.

σ′v

σ′h

σ′h σ′v

5

2 Pression des terres au repos Cas d’un matériau élastique sous l’eau

σ v = σ zz = γz  p = γ w z

σ′v = σ v − p = (γ − γ w  )z

z Si le comportement du squelette du sol est élastique, alors l’absence de déformations latérales entraîne:

σ′h =

 ν ν (γ − γ w )z σ′v = 1− ν 1− ν

D’où K0 =

 ν 1− ν 6

2 Pression des terres au repos Cas d’un matériau élastique sous l’eau La contrainte totale horizontale est:

σh = σ′h + p = K 0 (γ − γ w )z + γ w  z D’où

γ w   σh =  K 0 − (1 − K 0 )  σ v = Kσ v γ    avec

 γ w γ 

K = K 0 − (1 − K 0 )

Il faut insister sur le fait que la relation précédente entre K et K0 ne s’applique que dans des conditions spéciales: sol saturé et squelette élastique avec zéro déformation horizontale. 7

2 Pression des terres au repos Cam CamK0 - meter eter Un instr instrume ument nt a été dévelo développé ppé à Cambr Cambridg idge e (GB) (GB) pour pour mesure mesurerr la valeu valeurr de K0, en place. Un instrument similaire est le dilatomètre de Marchetti.

Instrument CamK0-meter 8

3 Pression latérale des terres Lorsque le sol subit des déformations, on parle de coefficient de pression latéral tout court. 

Mouvement du mur

Zone de pression active Expansion

Mur rigide

Zone de pression passive Compression

9

3 Pression latérale des terres La variation du coefficient de pression latérale en fonction des déformations latérales est montrée sur la figure suivante: 

Sol passif

σ′h = Kσ′v Ka ≤ K ≤ Kp

Sol actif Mouvement du mur 10

3 Pression latérale des terres On peut remarquer que la déformation latérale nécessaire à la mobilisation de la poussée passive est beaucoup plus grande (2 à 4% pour les sables denses et de 10 à 15% pour les sables lâches) que la déformation nécessaire à la mobilisation de la pression active (de l’ordre de 0.25 à 1% respectivement). 

Le coefficient K0 peut être déterminé expérimentalement par un essai triaxial pendant lequel on empêche toute déformation latérale. 

Sol Sable dense Sable lâche Argile NC Argile SC

K0 0.4 – 0.45 – 0.5 – 1 –

0.6 0.5 0.75 4

11

3 Pression latérale des terres Dans la littérature, il existe des formules analytiques qui permettent d’estimer K0 en fonction des propriétés du sol, telles que: 

- Jaky (1944): sable et argile NC K 0 = 1 − sin ϕ′

- Alpan (1967): argile NC

Indice de plasticité

K 0 = 0.19 + 0.233log10 (IP)

- Mayne et Kulhawy (1982): sol SC sin ϕ′

K 0 = (1 − sin ϕ′ )( OCR )

Il existe aussi plusieurs études qui proposent de corréler le coefficient des terres au repos avec l’indice de plasticité, l’OCR, … 

12

4 Essais sur la poussée des terres Etat actif Soit un massif de sol semi infini avec une surface horizontale et un écran vertical lisse. Le sol est supposé homogène et isotrope. Dans ces conditions, les contraintes σ1 et σ3 sont des contraintes principales. 

Etat actif

Supposons qu’un déplacement de l’écran se produise de sorte qu’il s’éloigne du du massif. Ce déplacement est équivalent à une expansion du sol, ce qui induit une diminution de σ3 (fonction de la déformation latérale due au déplacement). 

Si le déplacement du massif est assez grand, σ3 atteint une valeur minimale correspondant à un état d’équilibre plastique dans lequel le cercle de Mohr touche l’enveloppe de rupture. 

 σ3 qui diminue est la contrainte principale mineure, alors que σ1 est la contrainte principale majeure. La contrainte σ3 est dite pression active. 

13

4 Essais sur la poussée des terres Etat actif

σ1 σ3 :mineure σ3

σ1 :majeure

Etat actif

14

4 Essais sur la poussée des terres Etat passif Supposons que l’on déplace l’écran vers le massif de sol. La contrainte σ1 croit jusqu’à ce qu’un état d’équilibre plastique soit atteint. Dans ces conditions, σ3 devient la contrainte principale mineure et σ1 sera la contrainte principale majeure. 

Etat passif

Si le déplacement du massif est assez grand, σ1 atteint une valeur maximale correspondant à un état d’équilibre plastique dans lequel le cercle de Mohr touche l’enveloppe de rupture. La contrainte σ1 est dite pression passive. 

15

4 Essais sur la poussée des terres Etat passif

σ3 σ1

σ1 :majeure σ3 :mineure

Etat passif

16

4 Essais sur la poussée des terres Cercle de Mohr limites Courbe intrinsèque de rupture Equilibre limite supérieur

Equilibre limite inférieur 17

5 Etat d’équilibre limite Par définition l’état d’équilibre limite est l’état qui précède immédiatement la rupture, il s’agit donc d’un équilibre plastique. Plusieurs modèles sont disponibles pour l’étude de cet état d’équilibre: 

- Equilibre de Rankine (1857); - Equilibre de Boussinesq (1882); - Equilibre de Prandtl (1920); - Equilibre de Coulomb (1776); - Théorie de Mononobe – Okabe (1926-1929); - Théorie de Müller-Breslau; - Théorie de Sokolovski; - Théorie de Caquot - Théorie d’Absi -…

18

6 Equilibre de Rankine Hypothèses

La théorie de Rankine traite le cas d’un massif semi-infini de sol pulvérulent, non chargé. 

Le massif est incliné d’un angle β par rapport à l’horizontale. Le massif est entièrement en équilibre plastique. 

On suppose que l’état d’équilibre limite est le même pour tous les point situés à la même profondeur. 

19

6 Equilibre de Rankine Contrainte sur une facette parallèle à la surface libre Considérons une facette d’aire élémentaire, parallèle à la surface libre et située à la profondeur z. La contrainte sur la facette équilibre le poids du parallélépipède ABCD. Les forces agissant sur les faces latérales sont égales et opposées. 

Massif à surface libre inclinée 20

6 Equilibre de Rankine Contrainte sur une facette parallèle à la surface libre 

Ainsi le vecteur contrainte est vertical et a pour intensité: 



T = T = γz cos β

σn =  Tcos β τ = Tsin β

x



β T

n

M

z

β

On conclut que la contrainte sur un plan parallèle à la surface libre est verticale. L’inclinaison de la surface libre ne peut donc dépasser l’angle ϕ (Cercle de Mohr). 

21

6 Equilibre de Rankine Contrainte sur une facette parallèle à la surface libre A partir de l’état de contrainte au point M sur la facette parallèle à la surface libre, le cercle de Mohr permet de déterminer l’état de contrainte au même point pour une facette d’orientation quelconque. 



Le vecteur contrainte T agissant au point M sur la facette est représenté par la droite OE d’obliquité β. Par le point E, il ne peut passer que deux cercle limites tangents à la droite de Coulomb. Chaque cercle représente un équilibre limite possible au point M. 

ϕ 

T

22

6 Equilibre de Rankine Contrainte sur une facette parallèle à la surface libre Le cercle C1 représente un état d’équilibre dit inférieur. Le cercle C2 est associé à un état d’équilibre dit supérieur. 

Sur le plan de Mohr, la contrainte sur une facette verticale se déduit de l’état de contrainte sur la facette parallèle au plan incliné par une rotation égale à π-2β dans le sens des aiguilles d’une montre: c’est-à-dire le point E’1 pour l’équilibre inférieur ou E’2 pour l’équilibre supérieur (diapositive 22). 

+

x

π z

2

−β β

M

23

6 Equilibre de Rankine Contrainte sur une facette parallèle à la surface libre L’obliquité de la contrainte sur la facette verticale est égale à β, c’est-à-dire que la contrainte sur la facette verticale est parallèle à la surface libre. Son intensité peut varier entre deux limites qui sont associées aux états d’équilibre limite. 



σ xx Tv  = σ  [ n ] =   σ xy 



Tv

σ xy   −1  −σ xx    =  σzz   0   −σ xy 

x z

βv M



n

On avait pour la facette parallèle au plan incliné:

σ xx T  = σ  [ n ] =   σ xy 



σ xy   sin β  σ xx sin β + σ xy cos β  0  =  = σzz  cos β  σ xy sin β + σzz cos β   γz cos β

24

6 Equilibre de Rankine Contrainte sur une facette parallèle à la surface libre

D’où:

σ xx sin β + σ xy cos β = 0  σ xy sin β + σzz cos β = γz cos β

soit

cos β  σ = −σ xy  xx sin β  σ = ( γz − σ ) cos β zz  xy sin β

Ce qui donne:   −σ  cos β  cos β  Tv  =  xx  = ( γz − σ zz ) 2   −σ sin − β β sin xy    

D’où:

βv = β

25

6 Equilibre de Rankine Lignes de glissement; équilibre supérieur Pour préciser la direction de la facette sur laquelle agit la contrainte principale mineure σ1, considérons tout d’abord l’angle entre la facette sur laquelle agit σ1 et la facette verticale Ev . Cet angle est noté δ. On a: 

sin ξ = sin ϕ = sin β =

CE 0 R CE g1 OC CE 0

τ =

OC

D’où:

sin ξ =

Plan de glissement 1

E g1

Plan incliné

R

E0

Eβ

OC

ϕ

ξ

β

σ1

σ3 C

O

δ E g2

sin β sin ϕ

E p Pôle

σ E v Plan vertical

ϕ Plan de glissement 2 Equilibre supérieur

26

6 Equilibre de Rankine Lignes de glissement; équilibre supérieur

λ=

π 2

Plan de glissement 1

τ −β Eβ

E1E p = R cos(λ − ξ) CE1 = R sin(λ − ξ)

tan δ =

1 + cos(β + ξ)

ϕ

O

sin(β + ξ)

π β+ξ − 2

2

β

E pPôle

λ

σ1

E1 C

δ E g2

ou

σ3

σ

E v Plan vertical

ϕ Plan de glissement 2

D’où la direction sur laquelle agit σ1:

δ=

E g1

Plan incliné

δ=

π β+ξ + 2

Equilibre supérieur

2

27

6 Equilibre de Rankine Lignes de glissement; équilibre supérieur

E 2 E g1 = R cos ϕ

Plan de glissement 1

τ

E1E p = R cos(λ − ξ )

E g1

Plan incliné

E 2 E3 = E 2 Eg1 tan ψ 1

E p Pôle

Eβ

E 3E1 = E1Ep tan ψ 1 E 2 E1 = R [ sin ϕ + sin(λ − ξ ) ]

ϕ

O

E 2 E1 = E 2 E3 + E3 E1

β

σ1

E2 C

E g2 D’où la direction de la ligne de glissement 1:

2

2

4

ψ 1

σ3

σ E v Plan vertical

Plan de glissement 2

3π ϕ β + ξ π ϕ β+ξ ψ = − + ou ψ1 = + − 1 4

E3 E1

2

2

Equilibre supérieur 28

6 Equilibre de Rankine Lignes de glissement; équilibre supérieur

α = ψ2 −

π

Plan de glissement 1

τ

2 CE 2 = R sin ϕ

Eβ

E1E 2 = R [ sin ϕ + sin(λ − ξ ) ] E 2 E g2 = R cos ϕ E1E p = R cos(λ − ξ )

ϕ

O

4

2

2

ou

σ1

E2

E1

ψ2 =

σ3

σ

C

E g2

α

E v Plan vertical

Plan de glissement 2

D’où la direction de la ligne de glissement 2:

π ϕ β+ξ + +

β

E p Pôle

ψ 2

E1E 2 tan α + E1E p = E 2E g2

ψ2 =

E g1

Plan incliné

CE1 = R sin(λ − ξ)

3π 4

−

ϕ β+ξ − 2

Equilibre supérieur

2

29

6 Equilibre de Rankine Lignes de glissement; équilibre supérieur On récapitule sur la figure les différentes directions des facettes considérées: - plan incliné, plan vertical, contraintes principales et lignes de glissement

ΠE π 4

−

ϕ

ψ 1

2

v

β+ξ 2

δ

ψ 2 Π Eβ = Π σ

Πσ π 4

+

sin ξ =

3

sin β sin ϕ

ϕ 2

δ=

β ΠE

π β+ξ − 2

2

h

v

Π Eg2

Π Eg1

Πσ

1

Lignes de glissement 30

6 Equilibre de Rankine Lignes de glissement; équilibre inférieur On trouve des résultats analogues. σ3 et σ1 (qui est à présent la contrainte principale majeure) changent leurs emplacements. sin β sin ξ = sin ϕ 

τ

δ= Ep

E g1

O

ϕ

σ3

Eβ

Ev

λ

C

E 2 E3 δ

2

2

π λ = +β 2

ξ

β

π β−ξ +

CE 2 = R sin(λ − ξ)

σ1

σ

CE3 = R sin ϕ E 2 E p = R cos(λ − ξ)

E g2

ϕ

E3E g1 = R cos ϕ

Equilibre inférieur 31

6 Equilibre de Rankine Lignes de glissement; équilibre inférieur On trouve des résultats analogues. σ3 et σ1 (qui est à présent la contrainte principale majeure) changent leurs emplacements. 

α = ψ2 −

π

τ

2

Ep

π ϕ β−ξ ψ1 = − + 4

2

2

O ψ2 =

3π 4

+

ϕ β−ξ + 2

2

E g1

ϕ

β

σ3

Eβ

ψ 1

E3 C

σ1

E2

σ

ψ 2 Ev α E g2 ϕ Equilibre inférieur 32

6 Equilibre de Rankine Lignes de glissement; équilibre inférieur On récapitule sur la figure les différentes directions des facettes considérées: - plan incliné, plan vertical, contraintes principales et lignes de glissement

ΠE π 4

+

ϕ 2

Πσ −β + ξ

ψ 1 δ

2 v

sin ξ =

3

β−ξ

Π Eβ = Π σ

v

δ=

β

π

ψ 2

4

+

ϕ

ΠE

sin β sin ϕ

π β−ξ + 2

2

h

2

Π Eg1 Πσ

1

Lignes de glissement

Π Eg2 33

7 Equilibre de Rankine, distribution des contraintes On examine le cas de l’équilibre inférieur pour lequel nous voulons calculer la contrainte au point M(r,θ) sur la facette dont le plan est porté par OM. Nous avons: 

σθθ (r, θ), σrθ (r, θ) et α(r, θ) La facette considérée fait avec la verticale l’angle θ.

O

β

θ

r τrθ



α

n

σθθ

M

z 34

7 Equilibre de Rankine, distribution des contraintes équilibre inférieur On dresse le cercle de Mohr correspondant à l’état de contrainte en M. Pour la facette orientée par l’angle θ avec la verticale, l’obliquité α du vecteur contrainte ne dépend que de θ. En effet: 

τ

R = τm tan α =

=

P′P OP′

=

R sin µ

OP′ τm sin µ

σm + τm cos µ

P Ep

ϕ O

α −β

µ = 2θ − β − ξ β

où Mais

sin ϕ =

D’où

E g1

τm

R

σm

tan α =

=

τm σm

sin ϕ sin µ 1 + sin ϕ cos µ

θ σ3 ξβ

C

µ P′ P′′ σ1 σ Ev

σm Cercle de Mohr en équilibre inférieur 35

7 Equilibre de Rankine, distribution des contraintes équilibre inférieur Ainsi dans le cadre de la théorie de Rankine, l’obliquité des contraintes sur un écran d’inclinaison quelconque ne dépend que de ϕ et β . 

L’angle α est alors indépendant de r: les facettes portées par une ligne droite dans le massif subissent des contraintes de même obliquité. 

σθθ = OP′ = OC + CP′ = σm + R cos µ sin ϕ =

R

σm

⇒ R = σm sin ϕ

D’où

σθθ = σm (1 + sin ϕ cos µ )

(1)

36

7 Equilibre de Rankine, distribution des contraintes équilibre inférieur 

Dans le trinagle CP’’Ev, on a:

W sin β = τm sin(2θ − µ)

β≠0

Mais τm = σ m sin ϕ 2θ − µ = β + ξβ

sin ξβ =

sin β sin ϕ

Ce qui donne:

σm =

Wsin ξβ sin ( β + ξβ )

W = γz cos β Contraintes le long d’un rayon polaire

En remplaçant W par sa valeur, il vient:

σm =

γz cos β sin ξβ sin ( β + ξβ )

=

γr cos θ cos β sin ξβ sin ( β + ξβ )

(2) 37

7 Equilibre de Rankine, distribution des contraintes équilibre inférieur 

En utilisant (1) et (2), on obtient finalement:

σθθ = K 'aγ (θ)γr   Avec pour β ≠ 0

K 'aγ (θ) =

cos θ cos β sin ξβ 1 + sin ϕ cos ( 2θ − β − ξβ ) 



sin ( β + ξβ )



(3)

On conclut que la distribution des contraintes dépend de r et est triangulaire le long d’une droite tracée dans le massif; le coefficient K’aγ  (θ) est un coefficient de poussée actif associé à la direction θ. 38

7 Equilibre de Rankine, distribution des contraintes équilibre supérieur 

On peut refaire exactement la même étude dans le cas de l’équilibre supérieur.

On trouvera que la distribution des contraintes dépend de r et est triangulaire le long d’une droite tracée dans le massif; 

σθθ = K 'pγ  γ r

le coefficient K’pγ  est ici un coefficient de poussée passif.

39

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Etat actif On considère ici le cas où β=0: surface du sol horizontal. Le sol est cohérent. Selon Rankine, l’équilibre plastique limite (tout juste avant la rupture) est tel que les plans de rupture sont inclinés de:

ψ1 =

π ϕ − 4

2

ψ2 =

3π 4

+

ϕ 2

par rapport au plan principal mineur (la cohésion du sol n’affecte pas les angles). Lorsque les contraintes principales agissent selon la même direction en tout point, il se forme un réseau de plans d’écoulement dit lignes de glissements, inclinées du même angle par rapport aux plans principaux.

 π ϕ θ= ± +  4 2 Plan principal mineur Lignes de glissement; état actif

40

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Etat actif

R= R

σ1 − σ3 2

σ3 σ1 D’après le cercle de Mohr, on a: σ1 − σ3 sin ϕ =

2 c cotanϕ +

σ1 + σ3

σ3 = σ1

1 − sin ϕ 1 + sin ϕ

− 2c

1 − sin ϕ 1 + sin ϕ

2

41

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Etat actif Posons: K aγ  =

 π ϕ = tan 2  −  1 + sin ϕ 4 2 1 − sin ϕ

(4)

Comme σ1 = σv est due due au poids des terres terres à la profonde profondeur ur z: σ v = γ z Il vient alors: σ3 = pa = K aγ γz − 2c K aγ 

(5)

Pour un sol submergé, on aura Ka(ϕ’) et la cohés cohésion ion c’ au lieu de la cohésion cohésion totale c. 42

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Etat actif 

Les lignes de glissement font un angle: θ =

π ϕ avec l’horizontale. La distribution + 4

2

de la pression active le long de la profondeur est montrée sur la figure.

Le diagramme de la zone [0, z0] est souvent négligé négligé dans les calculs. calculs. - La résultan résultante te de la pressi pression on active active par mètre linéaire de largeur est: 

Fa =

H

∫z

0

p a ( z ) dz =

1 2

K aγ γ (H − z 0 ) 2

- Elle agit au deux deux tiers tiers de de H-z0 au dessous de la profondeur z0. Diagramme de la pression active 43

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Etat actif

 π ϕ −  4 2 

La = H tan 

Rotation d’un mur de soutènement lisse autour de son pied; état actif 44

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Etat passif Selon Rankine, l’équilibre plastique limite (tout juste avant la rupture) est tel que les plans de rupture sont inclinés par rapport au plan principal majeur qui est ici vertical de: π ϕ θ= ± +  4 2 Lorsque les contraintes principales agissent selon la même direction en tout point, il se forme un réseau de plans d’écoulement dit lignes de glissements, inclinées du même angle par rapport aux plans principaux.

Plan principal mineur Lignes de glissement; état passif

45

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Etat passif

R= R

σ3 − σ1 2

σ1 σ3 La contrainte horizontale dite pression passive est:

σ3 = σ1

1 + sin ϕ 1 − sin ϕ

+ 2c

1 + sin ϕ 1 − sin ϕ

46

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Etat passif

Posons: K pγ  =

 π ϕ = tan 2  +  1 − sin ϕ 4 2

1 + sin ϕ

(6)

Il vient alors: σ3 = pp = K pγ γz + 2c K pγ 

K pγ  =

(7)

1 K aγ  47

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Etat passif Pour un sol submergé, on Kp(ϕ’) et la cohésion c’ au lieu de la cohésion c. Les lignes de glissement font un angle: θ=

π ϕ′ + 4

2

avec la verticale. La distribution de la pression passive le long de la profondeur est montrée sur la figure. 2c K pγ  Par mètre linéaire du massif, elle est donnée par:

Fp =

H

∫0

p p (z)dz =

1 2

K pγ γH 2 + 2c K pγ H (8)

agit à la profondeur 2H/3. agit à la profondeur H/2.

K pγ γ H

Diagramme de la pression passive 48

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Etat passif

π ϕ +  4 2 

Lp = H tan 

Rotation d’un mur de soutènement lisse autour de son pied; état passif 49

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Poussée due à une surcharge uniforme répartie sur tout le sol On suppose que le massif est non pesant. La contrainte σz augmente de q quelque soit la profondeur z. La pression latérale augmente alors de: Ka q dans le cas actif Kp q dans le cas passif quelque soit la profondeur. En présence d’eau, il faut tenir compte de la poussée de la pression hydrostatique.

Etat actif

Etat passif 50

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Cas d’un massif à surface libre inclinée d’un angle On admet que les poussées active et passive agissent parallèlement à la surface libre. La contrainte normale à la facette du plan inclinée est:

σz = σ v cos β = γz cos β

Etat actif

Etat passif 51

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Cas d’un massif à surface libre inclinée d’un angle

τ A

Etat actif

D

Ep O

C

On a:

σ

B OD = OC cos β AD = OC sin 2 ϕ − sin 2 β K aγ  =

pa

σz

=

OB OA

=

OE p OA

=

OD − AD OD + AD

Etat passif: on permute A et B

K pγ  =

pp

σz

=

OD + AD OD − AD

52

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Cas d’un massif à surface libre inclinée d’un angle

Le coefficient de poussée active est donné par:

K aγ  =

2 2 cos β − cos β − cos ϕ

cos β + cos2 β − cos2 ϕ

Pour un sol purement cohérent (c=0), la pression active sera:

pa = K aγ σ z = K aγ λz cos β et agit parallèlement à la surface libre inclinée. Pour un sol cohérent, on utilisera l’équation(5) 53

8 Calcul pratique de la poussée et de la butée Cas d’un massif à surface libre inclinée d’un angle Le coefficient de poussée passive est:

K pγ  =

2 2 cos β + cos β − cos ϕ

cos β − cos2 β − cos2 ϕ

et lorsque c=0, la pression passive est:

p p = K pγ σ z = K pγ λz cos β Cette pression agit parallèlement à la surface libre inclinée. Pour un sol cohérent, on utilisera l’équation (7).

Remarque: Lorsque β=ϕ, le procédé précédent conduit à des résultats incompatibles avec la réalité. 54

9 Equilibre de Boussinesq Remarques



La théorie de Rankine est relativement simple, mais ses applications sont limitées.



Les lignes de glissement observées sur site ne sont pas droites.

Dans le cas de massifs limités par des parois, on constate que la rugosité de l’écran joue un rôle important. 

L’obliquité des contraintes sur l’écran est une caractéristique du frottement du massif et de l’écran, alors que dans la théorie de Rankine, elle ne dépend que de l’obliquité de la surface libre et de l’angle de frottement interne. 

55

9 Equilibre de Boussinesq Hypothèses

La théorie de Boussinesq est une schématisation générale permettant de prendre en compte le frottement sol-écran. 

Initialement, on suppose que le sol est un matériau pulvérulent en équilibre limite sous son propre poids (la prise en compte de la cohésion et des forces extérieures viendra par la suite). Le massif est limité par deux plans: la surface libre et un écran latéral. 



Sur l’écran, l’obliquité δ des contraintes est imposée.

On admet une distribution triangulaire des contrainte sur chaque rayon polaire, c’est-à-dire que l’obliquité est constante et que l’intensité de la contrainte est proportionnelle à la position radiale (résultat de la théorie de Rankine). 

56

9 Equilibre de Boussinesq Poussée sur un écran Sur la facette portée par le rayon polaire, la contrainte normale σθθ est de la forme: 

β

σθθ = r f (θ)

λ

Cependant, f peut dépendre des autres paramètres β, λ, δ, ϕ et γ   



Par convention on posera:

σθθ = K γ γ r où Kγ  est appelé coefficient de poussée des terres.

θ

r M

δ

P

σθθ

z

Définition des angles

57

9 Equilibre de Boussinesq Poussée sur un écran Il existe deux états d’équilibre: un équilibre de poussée (état actif) et un équilibre de butée (état passif). Sur l’écran, le vecteur contrainte a une intensité donnée par: 

σ T = θθ cos δ La poussée totale sur le mur a pour intensité:

P=

K γ 

λ h



h

β

h2



n



θ r

T

σθθ

M

δ z

Poussée sur un écran

∫0 Tdr = cos δ γ  2

et a pour obliquité δ. Le point d’application de P se situe au tiers inférieur de h. 58

9 Equilibre de Boussinesq Calcul du coefficient K aγ , équilibre inférieur Puisque l’équilibre est limite, d’après (1) il vient:

β

σθθ = σm (1 + sin ϕ cos µ ) On a aussi:

λ

σrr = σ m (1 − sin ϕ cos µ )

θ

σrr σθθ r

(10)

σrθ = σm sin ϕ sin µ

δ

avec µ = µ(θ) Pour Rankine, on avait: µ = 2θ +

x

(9)

ϕ β−ξ π + − 2

2

4

P

σrθ

M z

Représentation des contraintes

σm est aussi de la forme:

σm = rg(θ)

(11) 59

9 Equilibre de Boussinesq Calcul du coefficient K aγ , équilibre inférieur D’après (9), (10) et (11), on a:

σrr,r = σrr  / r et σrθ,r = σrθ / r Les équations d’équilibre s’écrivent alors:

σrr,r + σrθ,θ  / r + (σrr − σθθ ) / r = γ cos θ σrθ,r + σθθ,θ  / r + 2σrθ / r = γ sin θ D’où

σrθ,θ + (2σrr − σθθ ) = γr cos θ σθθ,θ + 3σrθ = γr sin θ

(12) 60

9 Equilibre de Boussinesq Calcul du coefficient K aγ  , équilibre inférieur La forme des équations (12) montrent que les contraintes sont proportionnelles à γ , donc σm est de la forme:

σm = γrS(θ)

(13)

Le problème consiste donc à rechercher les fonctions S(θ) et µ(θ) qui définissent complètement le tenseur de contrainte. Tenant compte des équations (9) à (13), on obtient:

S,θ =

sin θ − 3S sin ϕ sin µ 1 + sin ϕ cos µ

µ ,θ = 3 +

(

cos θ − sin ϕ cos(θ + µ) + S 3sin 2 ϕ sin 2 µ − 1 − sin ϕ cos µ

)

(14)

S sin ϕ cos µ (1 + sin ϕ cos µ )

61

9 Equilibre de Boussinesq Calcul du coefficient K aγ , équilibre inférieur Pour pouvoir intégrer le système différentielle (14), il faut éliminer les constantes d’intégration grâce aux conditions aux limites. Sur la surface libre (segment AB), on a:

(AB)

β

σrr = σrθ = 0 ⇒ σm = 0 ⇒ S(θ = π / 2 + β) = 0 σ sin ϕ sin µ et tan β = rθ = σθθ 1 + sin ϕ cos µ ce qui donne sin(µβ + β) =

soit

λ δ

sin β sin ϕ

P

θ

x

σrr σθθ r

σrθ

M z

= sin ξβ Conditions aux limites

µβ = ξβ − β ou µβ = π − ξβ − β 62

9 Equilibre de Boussinesq Calcul du coefficient K aγ  , équilibre inférieur Sur l’écran AC, l’obliquité des contraintes est imposée. D’où tan δ =

σ rθ sin ϕ sin µ = σθθ 1 + sin ϕ cos µ

β

ce qui donne:

λ δ

sin ξδ =

sin δ sin ϕ

,

θ

σrr σθθ r

(AB)

sin(µ − δ) = sin ωδ

avec

x

P

σrθ

M z

−ϕ ≤ δ ≤ ϕ Conditions aux limites

On a alors les deux valeurs possibles de µ:

µδ = ξδ + δ ou µδ = π + δ − ξδ

63

9 Equilibre de Boussinesq Calcul du coefficient K aγ , équilibre inférieur S est inconnue sur l’écran AC. On a donc 4 couples de valeurs de µ sur la surface libre et sur l’écran, mais elles ne sont pas tous mécaniquement possibles. En définitive, on ne peut poser que deux problèmes distincts: Problème de poussée: -sur la surface libre θ=

π 2

+ β S = 0 µβ = π − ξβ − β

- sur l’écran θ = λ µ δ = δ + ξδ

Problème de butée: - sur la surface libre θ=

π 2

+ β S = 0 µβ = ξβ − β

- sur l’écran θ = λ µδ  = π + δ − ξδ

Le système différentiel (14) est soumis à une condition aux limites initiale portant sur S sur (AB) et à une condition aux limites finale portant sur µ sur (AC). 64

9 Equilibre de Boussinesq Calcul du coefficient K aγ , équilibre inférieur Le problème est bien posé. Il reste à calculer S sur l’écran, µ et S sur les différents rayons polaires. Ceci relève du calcul numérique dont les résultats sont présentés sous forme de tables telles que celles de Caquot et Kérisel. Seul un équilibre de Rankine peut régner entre la surface libre et la première ligne de glissement de cet équilibre. On peut donc distinguer deux zones dans le massif: - une zone en équilibre de Rankine δ=0 commandée par la surface libre; - et une zone en équilibre de Boussinesq commandée par l’écran. Ces deux zones se raccordent le long de la première ligne de glissement de l’équilibre de Rankine.

65

9 Equilibre de Boussinesq Variation de K γ  - Kaγ  décroit lorsque δ augmente. - La poussée minimale (équilibre le plus défavorable) correspond à δ= ϕ. - Dans le cas de l’équilibre le défavorable de Boussinesq, l’obliquité δ est toujours. voisine de ϕ. Dans l’équilibre de Rankine,δ décroît rapidement et s’annule sur l’écran. - Pour la butée, l’équilibre le plus défavorable (butée maximale) correspond à δ=-ϕ. - Kpγ  décroit quand d diminue en valeur absolue. - Dans le cas de l’écran verticale, β influe fortement la poussée et notamment la butée. - La poussée diminue lorsque ϕ augmente. - La butée varie proportionnellement à ϕ.

66

10 Généralisation de l’équilibre de Rankine Cas d’un milieu pulvérulent non pesant chargé L’hypothèse d’un milieu non pesant est admise lorsque l’effet de la surcharge est prépondérant par rapport au poids propre. Aussi, nous allons voir que pour les milieux cohérents, cette hypothèse est nécessaire pour pouvoir appliquer le théorème de superposition des états d’équilibre. 

On considère un massif pulvérulent non pesant, limité par une surface rectiligne Inclinée de β par rapport à l’horizontale et par un écran faisant un angle λ avec La verticale. La surface libre supporte une surcharge d’intensité q et d’obliquité α0. 

On admettra que le long d’un rayon polaire, les contraintes agissant sur ce rayon polaire ont une obliquité et une intensité constante, d’autre part, le vecteur contrainte sur l’écran doit avoir une obliquité δ. On montre que σm et µ ne dépendent que de θ, et que les équations d’équilibre donnent: 

σrθ,θ + σrr − σθθ = 0 σθθ,θ + 2σrθ = 0

(15)

67

10 Généralisation de l’équilibre de Rankine Cas d’un milieu pulvérulent non pesant chargé Vu les équations (15) ainsi que les conditions aux limites sur l’écran, on a:

σθθ = K q q Kq est un coefficient de pression latérale (poussée ou butée) qui dépend de β, λ , δ, ϕ et α 0 . On posera: σ m = qS(θ) D’autre part, en substituant les équations (9) et (10) dans les équations d’équilibre (15), il vient:

sin ϕ sin µS,θ + S(µ,θ − 2) sin ϕ cos µ = 0

(1 + sin ϕ cos µ ) S,θ − S(µ,θ − 2) sin ϕ sin µ = 0

(16)

68

10 Généralisation de l’équilibre de Rankine Cas d’un milieu pulvérulent non pesant chargé Le système (16) est linéaire et homogène en: S,θ

et S(µ,θ − 2)

Deux cas se présentent: * Le déterminant est non nul et on obtient le cas trivial:

S,θ = 2 − µ,θ = 0 ce qui implique: S=cste et µ=2θ+cste. Cette solution correspond à la solution de Rankine. *Le déterminant est nul et le système se réduit à une seule équation: cos µ = − sin ϕ La première équation du système s’écrit alors sous la forme:

sin µS,θ − 2Scos µ = 0

(17)

π  µ = ∓  − ϕ 2 

Puisque µ,θ = 0 69

10 Généralisation de l’équilibre de Rankine Cas d’un milieu pulvérulent non pesant chargé L’équation (17) se réécrit:

S,θ ± 2S tan ϕ = 0

dont l’intégration donne:

S = S0 exp  ±2 tan ϕ ( θ − θ0 ) 

(18)

et

σ m = qS0 exp  ±2 tan ϕ ( θ − θ0 ) 70

10 Généralisation de l’équilibre de Rankine Cas d’un milieu pulvérulent non pesant chargé Les lignes de glissement se classent en deux familles. La première famille est formée des faisceaux de rayons polaires. La deuxième est formée de spirales logarithmiques homothétiques qui coupent les différents rayons polaires sous l’angle π /2-ϕ: on donne le nom de l’équilibre de Prandtl à cette cinématique. 

La solution générale s’obtient par la  juxtaposition de zones en équilibre de Rankine avec des zones en équilibre de Prandtl. 

Zone 1 en équilibre de Rankine Zone 2 en équilibre de Prandtl

71

10 Généralisation de l’équilibre de Rankine Cas d’un milieu pulvérulent non pesant chargé, poussée active

q

τ

τ

ϕ

α0

ϕ

ξα 0

µ C

qS1

Zone voisine de la surface libre

K aq q

ξδ

µ

σ

δ

C

σ

qS2 Zone voisine de l’écran

Le calcul du coefficient de poussée active des terres due à la charge q: Kaq s’opère en exprimant la condition de raccordement de l’état de contrainte entre les zones (1) et (2), montrées sur les figures.

72

10 Généralisation de l’équilibre de Rankine Cas d’un milieu pulvérulent non pesant chargé, poussée active Il est facile de montrer que: σ m1 = qS1 = q

sin ξα 0 sin(α 0 + ξα 0 )

σ m2 = qS2 = K aq q

D’où: S1 =

sin ξδ sin(ξδ − δ)

sin ξα 0 sin(α 0 + ξα 0 )

S2 = K aq

(19)

sin ξδ sin(ξδ − δ)

On vérifiera aussi que:

θ=

µ 2

µ=∓

ϕ β−ξ π − − + 4

π 2

±ϕ

4

8

θ1 = θ2 =

3π 8 3π 8

− −

3ϕ 4 3ϕ 4

β − ξθ1 ou θ = − π + ϕ − β − ξθ1 − 1 4

−

β − ξθ 2 4

8

4

4

π ϕ β − ξθ 2 ou θ2 = − + − 8

4

4

73

10 Généralisation de l’équilibre de Rankine Cas d’un milieu pulvérulent non pesant chargé, poussée active D’autre part:

µ=∓

π 2

±ϕ

dans la zone de Prandtl donne:

dS Sdθ

= ∓2tan ϕ

soit S2 = S1 exp  ∓2 tan ϕ ( θ2 − θ1 ) 

θ2 − θ1 =

ξθ2 − ξθ1 4

=ε

(20)

avec:

sin ξθ1 =

sin θ1 sin ϕ

et

sin ξθ2 =

sin θ2 sin ϕ 74

10 Généralisation de l’équilibre de Rankine Cas d’un milieu pulvérulent non pesant chargé, poussée active Les équations (19) et (20) permettent d’obtenir:

K aq =

cos δ − sin ϕ cos ξδ cos α 0 + sin ϕ cos ξα0

sin ξδ =

sin δ sin ϕ

et

exp(∓2ε tan ϕ)

sin ξα 0 =

(21)

sin α 0 sin ϕ

ε = θ2 − θ1 75

10 Généralisation de l’équilibre de Rankine Cas d’un milieu pulvérulent non pesant chargé, poussée passive On montre dans ce cas que le coefficient de poussée est donné par:

K pq =

cos α 0 + sin ϕ cos ξα0 cos δ − sin ϕ cos ξδ

exp(±2ε tan ϕ)

(22)

On vérifie que:

K aq K pq = 1

76

10 Généralisation de l’équilibre de Rankine Cas d’un milieu pulvérulent non pesant chargé, poussée passive

Kaq et Kpq les coefficients de pression latérale (poussée ou butée) dépendent de .

β, λ , δ, ϕ et α 0

L’intensité T de la contrainte sur l’écran est: T =

Kq cos δ

q

Les tables de l’Herminier et Absi permettent d’éviter les calculs lourds et fournissent les coefficients Kq.

77

11 Théorème des états correspondants Les sols cohérents ne relèvent ni du schéma de Rankine ou de Boussinesq ni du schéma de Prandtl. 

On peut montrer que l’étude d’un milieu cohérent peut se ramener à l’étude d’un milieu pulvérulent correspondant. Ceci apporte une grande simplification lors de l’étude des milieux complexes. Alors, l’étude de ce milieu peut se faire par l’étude d’un milieu équivalent pulvérulent de même angle de frottement interne obtenu par une translation égale à H=c cotanϕ le long de l’axe des σ. 

78

11 Théorème des états correspondants Théorème:

1. Pour calculer le tenseur des contraintes au sein d’un milieu cohérent homogène en équilibre plastique, on calcule d’abord le tenseur des contraintes au sein d’un milieu fictif de même forme géométrique, pulvérulent, homogène, en équilibre plastique et de même angle de frottement interne. Sur la frontière régneront des conditions déduites des conditions réelles par une translation égale à H=c cotanϕ. 2. Pour calculer les contraintes normales agissant en un point donné et sur une facette donnée du milieu cohérent, on retranche de la contrainte fictive calculée en 1 agissant au même point sur la même facette une contrainte normale constante d’intensité H=c cotanϕ.

79

11 Théorème des états correspondants Exemples:

Exemples d’application du théorème des états correspondants

80

12 Théorie de Coulomb

La théorie de Coulomb est basée sur l’équilibre d’un coin de sol situé entre l’écran et une surface quelconque de glissement. Les forces agissant sur le sol sont évaluées à l’état de l’équilibre limite. 

Dans cette théorie, le frottement entre l’écran et le sol est pris en compte. L’angle de frottement écran-sol est noté δ. 

Dans le cas d’un sol cohérent, une caractéristique d’adhésion écran-sol cw peut être aussi prise en compte. 

81

12 Théorie de Coulomb Vu le phénomène de frottement, la ligne de glissement est courbe au voisinage de la base du mur, mais la théorie de Coulomb suppose des droites de glissement. 

Dans le cas de la poussée active, la courbure est faible ce qui fait que l’erreur d’approximation est minime. 

Ceci est aussi vrai dans le cas de la poussée passive lorsque δϕ /3, l’erreur devient plus grande. Lorsque δ=0, le sol est horizontale et l’écran est vertical les théories de Rankine et de Coulomb coïncident. 

Coin de Coulomb

82

12 Théorie de Coulomb Etat actif sol pulvérulent Soit le coin de sol caractérisé par: - une surface extérieure inclinée de β par rapport à l’horizontale; - l’écran fait l’angle α avec l’horizontale; - le plan de glissement BC fait l’angle θ avec l’horizontale; - la rugosité du mur est l’angle de frottement mur-sol notée δ; (au dessous de la normale à AB) 

Tout au début du glissement, le coin du sol est en équilibre sous les forces suivantes: W: poids propre du massif de sol; P: résultante de la réaction de la poussée sur le mur; R: résultante de la réaction sur le plan de glissement. 

Théorie de Coulomb état actif

83

12 Théorie de Coulomb Etat actif sol pulvérulent L’équilibre du coin impose que le triangle des forces extérieures qui agissent sur lui est fermé.

γ1 = θ − ϕ α1 = α − π / 2 γ=π−α−δ

Diagramme de l’équilibre On a:

P(θ) = W

sin γ 1 sin ( π − γ1 − γ )

1

sin(α −β) sin(α − θ)

sin(θ − ϕ)

2

sin 2 α sin(θ −β)

sin ( α + δ + ϕ − θ )

= γH 2  

 W

84

12 Théorie de Coulomb Etat actif sol pulvérulent L’équilibre limite en fonction de θ montre que:

∂P 1 = 0 ⇒ pa = K aγ γ H 2 ∂θ 2 avec

    α − ϕ sin( )   K aγ  =    sin(ϕ + δ) sin( ϕ −β   sin α  sin(α + δ) +  sin(α −β)    

2

(23)

Dans le cadre de la théorie de Coulomb, on suppose que pa agit à deux tiers de la profondeur de l’écran. 85

12 Théorie de Coulomb Etat actif sol cohérent Dans ce cas, on doit tenir compte de la cohésion c et de l’adhérence sol-mur cw. 

On admet l’existence d’une zone fissurée de profondeur z0. Le long de cette zone, on néglige l’effet des cohésions c et cw. 

Les forces agissantes sont: W: le poids propre du coin de sol; P: la résultante de la réaction du mur sur le sol; Cw: résultante due à l’adhérence mur-sol; R: la réaction sur le plan de glissement; C: la résultante d’adhésion sur le plan de glissement. 

On a:

Théorie de Coulomb état actif, sol cohérent

C w = c w EB C = cBC

86

12 Théorie de Coulomb Etat actif sol cohérent Cas d’un mur vertical et un sol horizontal: Dans le cas général d’un sol (c,ϕ), la pression à la profondeur z est donnée par:

pa = K aγ γz − K aγ c avec

 

K aγc = 2 K aγ   1 +

cw   c 

La cohésion c est remplacée par c’ pour un drainage complet et cu dans le cas non drainé. La profondeur z0 correspond à pa=0:

z0 =

2 2 c + cc w

γ  K aγ 

≤

Théorie de Coulomb état actif, sol cohérent

H 2 87

12 Théorie de Coulomb Etat passif, sol pulvérulent On suivra le même raisonnement précédent tout en tenant compte des remarques suivantes: - P fait un angle δ au-dessus de la normale à l’écran; - R fait un angle ϕ au-dessus de la normale au plan de glissement. On montre que:

pp = avec

1 2

K pγ γ H 2

    sin(α + ϕ)   K pγ  =   sin(ϕ + δ) sin( ϕ + β)    sin α  sin(α − δ) −  α −β sin( )    

Théorie de Coulomb état passif

2

(24)

88

12 Théorie de Coulomb Etat passif, sol cohérent Dans le cas général d’un sol (c,ϕ), la pression latérale passive à la profondeur z est donnée par:

p p = K pγ γz + K pγ cc où

 

K pγc = 2 K pγ  1 +

cw   c 

89

13 Construction de Culmann

Elle a été développée par Culmann (1875). Son but est la détermination du plan de glissement ainsi que l’intensité de la poussée active ou passive. 

Le massif peut être stratifié ou homogène mais l’angle de frottement interne doit être le même pour tout le massif. 

On présentera ici la méthode dans le cas d’un sol pulvérulent, la méthode peut être étendue au cas général d’un sol cohérent chargé. 

90

13 Construction de Culmann Poussée active R

Sol actif

(1) On choisira une échelle appropriée pour schématiser le massif de sol et l’écran AB. (2) A partir du point A, tracer la droite AC faisant l’angle ϕ au dessus de l’horizontale (3) Tracer la droite de référence AD faisant ψ avec la droite AC. ψ est l’angle que fait la poussée active pa avec la verticale. 91

13 Construction de Culmann Poussée active (4) Tracer plusieurs plans hypothétiques de glissement: AB1, AB2,… (5) Déterminer le poids Wi de chaque tranche tenant compte des différents sols si le massif n’est pas homogène. (6) Choisir une échelle de forces, et reporter les poids sur la droite AC: W1 correspond à AW1, W2 correspond à W1W2 et ainsi de suite. (7) A partir des points Wi sur AC, tracer les droites WiEi parallèles à la droite de référence AD. La droite WiEi coupe la ligne de glissement ABi au point Ei (8) Joindre les points Ei par une courbe lisse dite courbe de Culmann. (9) Tracer la droite parallèle à la ligne AC et tangente à la courbe de Culmann. Le point de tangence sera noté E. (10) Tracer la droite EF parallèle à AD. Le plan de rupture sera AE, et coupe la surface libre en R. La longueur de EF donne l’intensité de la poussée active pa selon l’échelle des forces choisie (Si plusieurs points E existent, celui qui sera retenu correspond au maximum de EF).

92