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Solución a los ejercicios propuestos en el módulo C - 2

1.-Dos autos A y B van por una misma carretera. En la figura de este problema se indica en función del tiempo la posición de cada uno en relación con el comienzo de la carretera. Analice las afirmaciones siguientes, relacionadas relacionadas con el movimiento de estos autos y señale las que son correctas. a)En el instante t = 0 , A se halla en el kilómetro cero y B en el kilómetro 60. b)Ambos autos se desplazan con movimiento uniforme, es decir rapidez constante. c)De t = 0 a t = 2,0 h , A recorrió recorrió 120 km y B 60 km. d)La rapidez de A es 60 km/h y la de B es 30 km/h e)A alcanza a B en el instante t = 2,0 h al pasar por la señal del kilómetro 120.

SOLUCION: a) Es verdadero, basta sólo observar el gráfico b)Es verdadero, porque la línea del gráfico posición – tiempo es recta. c)Es verdadero, basta mirar el gráfico d)Es verdadero, la pendiente de la recta corresponde a la rapidez: En A, la pendiente es: v A = (120 - 0 ) km / (2,0 – 0 ) h = 60 km/h En B, la pendiente es : v B = ((120 – 60 ) km / ( 2,0 – 0 ) h = 30 km/h e)Es verdadero, porque el punto donde lo alcanza A a B es donde se cortan las dos rectas y esto ocurre en la posición 120 km al tiempo de 2,0 horas.

2.-La tabla proporciona en varios instantes, la posición x de una bicicleta respecto al kilómetro cero de la carretera por donde va. X (m ) t (seg)

200 0

180 2,0

160 4,0

140 6,0

120 8,0

100 10,0

a)Construya el gráfico x v/s t y escriba la ecuación que proporciona la posición x de la bicicleta en función del tiempo t b)Determine la rapidez de la bicicleta c)Suponga que el origen del conteo de la posición se cambiara para la posición inicial de la bicicleta y que el sentido en que avanza se considere positivo. Escriba para ese caso, la ecuación que indica la posición x en función de t SOLUCION: La rapidez de la bicicleta es la pendiente de la recta: v = (180 - 140 ) / ( 2 - 6 ) v = - 10 m / s La ecuación de la posición para la bicicleta es: x = xo + v • t , donde xo es la posición en t = 0 x = 200 - 10

t

Si el origen del conteo se ubica en la posición inicial ( 200 m ), y el sentido en que avanza se considera positivo, ahora la posición inicial es cero y la rapidez resulta positiva, porque el objeto se mueve en la dirección considerada como positiva, luego resulta: x = 10

t

3.-Dos ciclistas A y B se encuentran en un mismo punto de una carretera carretera horizontal. El ciclista  A inicia su movimiento movimiento con rapidez rapidez constante de 36 km/h y el ciclista B con una rapidez rapidez constante de 40 km/h. ¿A que distancia se encuentra A con con respecto a B luego de 30 30 min si : a)Parten en el mismo sentido b)Parten en sentido contrario SOLUCION: a)Si parten en el mismo sentido: 30 min = 0,5 h  A recorre d A  = 36 km/h • 0,5 h = 18 km

;

B recorre dB  = 40 km/h •  0,5 h = 20 km

B se encuentra 2 km más alejado de A

b)Si parten en distinto sentido  A recorre d A  = 36 km/h • 0,5 h = 18 km

;

B recorre dB  = 40 km/h •  0,5 h = 20 km

B se encuentra a 38 km de A

4.-Dos ciudades A y B se encuentran en una carretera recta separadas 90 km. Desde A hacia B parte un camión con rapidez rapidez constante de 50 50 km/h y desde B hacia A parte otro camión camión con rapidez constante de de 40 km/h. Considere en la figura, figura, sentido positivo a la derecha: derecha:

a)Escriba la ecuación de la posición del camión que sale de A y del camión que sale de B b)Luego de cuánto tiempo se cruzan. c)¿Qué distancia logró recorrer cada uno? SOLUCION:

 Al considerar como como sentido positivo positivo a la derecha, derecha, entonces el que que sale de A tiene rapidez rapidez positiva, en cambio el que que sale de B tiene rapidez negativa negativa (se mueve a la izquierda) izquierda)

Ecuación de posición para el que sale de A : x A  = 0 + 50 • t

→

x A = 50 • t

Ecuación de posición para el que sale de B : xB  = 90 - 40 • t Se cruzan cuando tienen la misma posición, es decir cuando : x A 50 • t

=

xB 90 - 40 • t

=

90 • t = 90

→

t = 1 hora

Entonces se cruzan luego de 1 hora. Determine la posición donde se cruzan, para ello basta reemplazar t = 1 h , en cualquiera de las ecuaciones de posición : x A = 50 • t

→

x A = 50 • 1 = 50 km

Se cruzan en la posición 50 km, entonces A recorrió 50 km, en cambio B recorrió 40 km.

5.-Dos partículas A y B se desplazan a lo largo de una misma trayectoria. Las ecuaciones de la posición con respecto al mismo origen son : x A = 4t2 - 3 ; xB = 5t2 - 4t , con x medido medido en metros y t en segundos. Determine : a)¿En que instante(s) se cruzan (es decir ti enen la misma posición) y cuál es esta? b)¿Qué velocidad lleva cada uno en el momento en que se cruzan? SOLUCION: a) Recuerde que cuando se cruzan tienen igual posición, entonces al igualar x A = xB se tiene: x A = 4t2 - 3 ; xB = 5t2 - 4t → 4t2 - 3 = 5t2 - 4t → t2 - 4t + 3 = 0 Resolviendo la ecuación ecuación de grado 2, 2, se tienen tienen como soluciones: t1 = 3 seg seg , t2 = 1 seg, al ser las dos soluciones positivas son correctas. La posición en que se cruzan se obtiene reemplazando estos valores en cualquiera de ellas (por ejemplo x A ): t1 = 3 seg → x A = 4 ( 3 )2  - 3 = 33 m ; t2 t 2 = 1 seg → x A = 4 ( 1 )2  - 3 = 1 m Se cruzan cruzan en las las posiciones: posiciones: x1 = 1 m y en x2 = 33 m b)La velocidad que lleva cada uno en esos instantes está dada por la derivada de la posición respecto al tiempo: x A = 4t2 - 3 → v A = 8t Para t1 = 1 seg

→ v A  = 8 m/s

,

t = 3 seg → v A  = 24 m/s

6.-a) El tiempo de reacción de un motorista es aproximadamente 0,7 s (intervalo de tiempo entre la percepción de la señal para detenerse y la aplicación de los frenos. Si los frenos de un auto pueden garantizar un retardamiento de 5 m/s 2 , calcule la distancia recorrida por él suponiendo que su velocidad es de 72 km/h. b)Haga el gráfico de la rapidez en función del tiempo desde el instante en que el motorista percibe la señal para detenerse y el instante en que se detiene. c)Calcule la distancia recorrida en ese intervalo de tiempo a través del gráfico v v/s t SOLUCION: Empezaremos Empezaremos haciendo el gráfico velocidad – tiempo. Durante el tiempo de reacción el movimiento es uniforme ( rapidez constante) y luego empieza propiamente tal el frenado (movimiento uniformemente retardado) Conocida la aceleración ( - 5 m/s 2 ) , la velocidad inicial ( 20 m/s ) , y la velocidad final ( 0 m/s), se determina el tiempo en detenerse: t = ( vf  - vi  ) / a t = ( 0 - 20 ) / - 5 = 4 seg La distancia recorrida es entonces: D1 = 20 •  0,7 = 14 m D2 = 20 •  4 / 2 = 40 m La distancia total recorrida es 14 m + 40 m = 54 m

7-El diagrama muestra la rapidez de una partícula en función del del tiempo. Calcule: a)La aceleración a los los 8 s y a los 16 s b)El máximo desplazamiento con relación a la posición inicial inicial en el intervalo de 0 a 20 s. c)La distancia recorrida recorrida de t = 0 hasta t = 20 s

SOLUCION: a)La aceleración a los 8 seg , es calcular la pendiente de la recta entre 6 seg y 14 seg. Para ello considero los puntos extremos de la recta : a = ( vf  - vi ) / ( tf  - ti ) = ( - 10 - 10 ) / ( 14 - 6 ) = - 2,5 m/s2 La aceleración a los 16 seg, es calcular la pendiente de la recta entre 14 seg y 20 seg. Para ello considera los puntos extremos: a = ( 0 - - 10 ) / ( 20 - 14 ) = 1,7 m/s2 b)El desplazamiento está determinado determinado por el “área” bajo la curva en el gráfico rapidez tiempo: Entre 0 y 10 seg, el desplazamiento es positivo (por ejemplo la partícula se mueve a la derecha). Entre 0 seg y 6 seg, el desplazamiento desplazamiento es: D1 = 10 •  6 = 60 m Entre 6 seg y 10 seg, el desplazamiento desplazamiento es: es: D2 = 10 •  4 / 2 = 20 m El desplazamiento desde el origen hacia la derecha es : 60 m + 20 m = 80 m Entre 10 seg y 20 seg el desplazamiento es negativo (la partícula se mueve a la izquierda). El desplazamiento está dado por el “área” del triángulo de base base 10 seg y altura – 10 m/s: D3 = - 10 •  10 / 2 D3 = - 50 m

Luego, la partícula se desplazó desde la posición inicial 80 m hacia la derecha (máximo desplazamiento desplazamiento en relación a la posición inicial), en seguida se movió hacia la izquierda y se desplazó 50 m. El desplazamiento desplazamiento resultante es 30 m hacia la derecha. c) La distancia total recorrida recorrida por la partícula es 80 m + 50 m = 130 m

8.- Un auto al frenar , adquiere un movimiento uniformemente retardado cuya aceleración tiene magnitud igual a 4,0 m/s 2 . El conductor que iba a 72 km/h , se da cuenta de un obstáculo obstáculo frente a él. Aplica el freno y logra detenerse detenerse en un tramo de de 60 m contados a partir del del momento en que vio el obstáculo. obstáculo. ¿Cuál fué el tiempo de reacción reacción del conductor? SOLUCION: Similar al anterior. Al hacer el gráfico velocidad – tiempo se puede calcular el tiempo durante la frenada: La aceleración aceleración es - 4 m/s2 , la velocidad inicial es 20 m/s y la velocidad final final es 0 m/s: t = ( 0 - 20 ) / - 4 = 5 seg Durante la frenada recorre una distancia: D2 = 20 •  5 / 2 = 50 m Significa que durante el tiempo de reacción logra recorrer 10 m (recuerde que en total recorre 60 m): Entonces : D1 = 20 • t

→

10 = 20 • t

→

t = 0,5 seg (tiempo de reacción)

9.-Un conductor pasa frente a un motociclista de tránsito quien decide decide seguirlo porque el límite de velocidad es 60 km/h y el auto iba a 72 km/h. El inspector partiendo del reposo, reposo, inicia la persecución 10 s después de que pasó el auto , a una aceleración constante. Se sabe que el motociclista alcanza al conductor a 3,0 km de donde partió. Determine la velocidad del motociclista en ese momento. SOLUCION. Cuando inicia la persecución persecución el inspector, el conductor se encuentra encuentra en la posición 200 m (el (el conductor lleva 10 seg de adelanto, aquí el tiempo cuenta igual para los dos). La ecuación de de la posición para para el conductor conductor es: x C  = 200 + 20 • t Es alcanzado en la posición 3,0 km = 3000 m, reemplazando este valor en x C determinamos el tiempo en que fue alcanzado: 3000 = 200 + 20 • t t = 140 seg la ecuación del inspector, considerando como posición inicial donde empieza la persecución ( x o = 0 m ) , la velocidad velocidad inicial ( vo = 0 m/s, parte del reposo) resulta: xI = a • t2 / 2 , conocemos conocemos el el tiempo en que que alcanza al conductor conductor ( 140 seg) y la posición posición en que lo alcanza ( 3000 m) 3000 = a • ( 140 )2 / 2 → a = 0,3 m/s2 La velocidad del inspector cuando lo alcanza es: vI = vo + a • t → vI = 0,3 •  140 = 42 m/s

10.- Un peatón está corriendo a 6,0 m/s, que es la máxima rapidez que logra desarrollar, a fin de alcanzar un autobús que está detenido. Cuando se encuentra una distancia “d” del autobús, éste inicia la marcha con una aceleración constante de 1,0 m/s 2 . a)Escriba la ecuación de la posición del peatón y del autobús. b)Si d = 25 m logrará alcanzarlo c)Calcule la menor distancia distancia al autobús que el logra logra alcanzar. SOLUCION: La ecuación de la posición para el peatón es: xP = 6 • t Para el autobús es: x A  = d + 0 • t + 1 • t2 / 2 x A  = d + 0,5 • t2 Para ver si lo alcanza igualamos las posiciones: 6 • t = d + 0,5 • t2 Ordenando la igualdad resulta: 0,5 • t2 - 6 • t + d = 0 t = 6 +

√ 36 - 2 d

2 Si d = 25 m , no existe solución real (el término dentro de la raíz es imaginario) Luego no lo alcanza. La menor distancia a la cuál c uál puede acercarse, es cuando el discriminante de la raíz es positivo (cero) : 36 - 2 d = 0 →

d = 18m , luego se acerca a 7 m del autobús.

11.-En A se suelta desde el reposo un pequeño paquete que se desplaza a lo largo del transportador transportador de roldanas roldanas ABCD. Al descender descender por por los tramos AB y CD el paquete paquete lleva una una 2 aceleración uniforme de 4,8 m/s  y su velocidad es constante entre entre B y C. Si en D su velocidad es 7,2 m/s, determine: a)La distancia entre C y D b)El tiempo que tarda en llegar a D SOLUCION En el tramo AB se conoce la velocidad inicial ( 0 ), el desplazamiento 3m , calculemos la velocidad final al llegar a B: ( vf  )2 = ( vo )2 + 2 a d ( vf  )2 = 0 + 2 • 4,8 • 3 v = 5,36 m/s Esta velocidad, que es la final al llegar a B, es la inicial para el tramo BC (aquí se mueve con velocidad constante) La velocidad en C ( 5,36 m/s ) es la velocidad velocidad inicial para el tramo CD, aquí podemos podemos calcular 2 el desplazamiento d, porque conocemos la aceleración (4,8 m/s  ), la velocidad final en D ( 7,2 m/s ) ( vf  )2 = ( vo )2 + 2 a d ( 7,2 )2 = ( 5,36 )2 + 2 • 4,8 • d d = 2,4 m Con la expresión vf  = vo + a t , calculamos calculamos el tiempo empleado en cada tramo:  AB: vf  = vo + a t → 5,36 = 0 + 4,8 • t t AB  AB  = 1,11 s BC: v = d / t →

5,36 = 3 / t tBC  = 0,55 s

CD: vf  = vo + a t → 7,2 = 5,36 + 4,8 • t tCD  = 0,38 s El tiempo total empleado desde A hasta D es: 1,11 + 0,55 + 0,38 = 2,04 s

12.-La altura de un globo sobre el suelo está dado por h = 3,0 t 3 con h en metros y t en segundos. Después de 2,0 s el globo deja caer una pequeña valija con la correspondencia. ¿Cuánto tarda la valija en llegar al suelo? SOLUCIÓN La altura respecto al suelo es función del tiempo, al derivar esta expresión obtenemos la velocidad del globo como función del tiempo: h = 3,0 t3 ⇒ v = 9,0 t2  A los 2 seg, el globo globo se encuentra encuentra a una altura altura de: h = 3,0 t3 con t = 2,0 s → h = 3,0 • ( 2 )3 = 24 m Su velocidad es: v = 9,0 t2 →  v = 9,0 • (2 )2 = 36 m/s Como el globo esta subiendo, al soltar la valija, esta no cae inmediatamente inmediatamente al suelo, sino que se mueve inicialmente con la misma velocidad del globo, es decir 36 m/s: Nivel de referencia en el suelo: y = yo + voy •  t + ½ • g • t2 La velocidad inicial con que cae la valija es 36 m/s yo = 24 m (altura desde donde donde inicial el movimiento): movimiento): y = 24 + 36 •  t - ½ • 10 • t2 →  Al llegar al suelo, suelo, y = 0:

y = 24 + 36 t - 5 • t2

0 = 24 + 36 t - 5 • t2

Tiempo en llegar al suelo 7,8 s.

→ t = 7,8 s

13.-Para saber la profundidad de un pozo , una persona deja caer una piedra y 3,0 seg después oyó el ruido del choque contra el fondo del pozo. Se sabe que la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s : a)Calcule el tiempo que la piedra necesitó para llegar al fondo del pozo. b)Determine la profundidad del pozo c)¿Cuál sería el error cometido en el cálculo de la profundidad si se despreciara el tiempo que el sonido necesita para llegar al oído de la persona? SOLUCION: Considere como nivel de referencia el suelo. Usamos las ecuaciones para la caída libre y para el movimiento del sonido con rapidez constante. Ecuación para el sonido: (1)

h = v • t2 , con v = 340 m/s ,

h la distancia recorrida por el sonido desde el fondo del pozo al oído, t2 el tiempo empleado por el sonido en llegar al oído de la persona. Ecuación para la caída de la piedra: (2)

h = ho + voy • t1 - g • (t1)2 / 2

Cuando la piedra llega al suelo h = 0 ho es la posición inicial (la profundidad del pozo h ) g , es la aceleración de gravedad 10 m/s 2 De la ecuación ( 1 ) se tiene : t2 = h / 340 340 De la ecuación ( 2 ) se tiene : ( 3 ) t1 = √ h / 5 Los 3 seg corresponden a la suma de t1 y t2 :

t1 + t2 = 3 → √  h / 5 + h / 340 = 3

Resolviendo esta ecuación, se obtiene para h = 42 m Luego reemplazando este valor en ( 3 ) se tiene t1 = √ 42 / 5 = 2,89 seg, que es el tiempo empleado por la piedra en llegar al fondo del pozo. Si no se considera considera el movimiento movimiento del sonido de la piedra, la profundidad profundidad es: (ahora considero considero nivel de referencia donde se suelta la piedra y hacia abajo dirección positiva, luego el movimiento de caída se considera positivo: h = ho + voy •  t + g • t2 / 2 h = 10 • ( 3 )2 / 2 = 45 m Error cometido : Si se considera el sonido, la profundidad del puente es el 93 % de la profundidad sin considerar el sonido. Luego el error que se comete es de un 7 %.

Solución a los ejercicios propuestos en el módulo C - 3

4.-la posición de una partícula que se mueve en el plano está dado por: →

r = ( 2 + 3t - 5t 2 ) i + ( - 4t + 4t 2 ) j a)¿Cuál es la posición cuando t = 1 s ? b)¿Cuál es la velocidad total cuando t = 1 s ? c)¿Cuál es la aceleración total en t = 1s? SOLUCION Para calcular la posición en t = 1 s, se reemplaza este valor: →

r = ( 2 + 3t - 5t 2 ) i + ( - 4t + 4t 2 ) j →

r = ( 2 + 3 • ( 1 ) - 5 • ( 2 )2 ) i + ( - 4 • ( 2 ) + 4 • ( 2 )2 ) j →

r = ( -15 i + 8 j ) Para obtener la velocidad, derivamos la posición: →

r = ( 2 + 3t - 5t 2 ) i + ( - 4t + 4t 2 ) j →

→

v = d(r) dt

= ( 3 - 10 t ) i

+ ( -4 +8t)j

Luego, se evalúa en t = 1 s: →

v = -7i

+ 4 j

Para obtener la aceleración, derivamos la velocidad: →

v = ( 3 - 10 t ) i →

+ ( -4 +8t)j

→

a = d(v ) dt

= - 10 i + 8 j

5.-Una cucaracha sobre la mesa de un departamento se arrastra con una aceleración 2 constante dada por a = ( 0,3 i - 0,2 j ) cm/s  . Esta sale desde un un punto de coordenada coordenadass ( - 4 , 2 ) cm en el instante t = 0 y con velocidad inicial inicial vo = 1,0 j cm/s. a)¿Cuál es la posición de de la partícula en función del tiempo? b)¿Cuál es la posición en t = 2 s? c)¿Cuál es la velocidad total en función del tiempo? d)¿Cuál es la velocidad en t = 2 s? e)¿Cuál es la rapidez en t = 2 s? SOLUCION: La figura muestra la cubierta de una mesa y en ella las direcciones x e y. Los datos indican que se trata t rata de un movimiento con aceleración constante. Obtenemos las componentes de la aceleración en x, y en y: ax  = 0,3 cm/s2 ,

ay = - 0,2 cm/s cm/s2

De igual forma la posición inicial ( en t = 0 ) en x e y son: La velocidad inicial en x e y es : La posición en x está dada por :

vox = 0 cm/s

xo  = - 4 cm , yo  = 2 cm

, voy  = 1,0 cm/s

x = xo + vox • t + ax • t2 / 2 x = - 4 + 0 • t + 0,3 • t2 / 2 x = - 4 + 0,15 t 2

La posición en y está dada por :

y = yo + voy • t + ay • t2 / 2 y = 2 + 1, 0 • t - 0,2 • t2 / 2 y = 2 +

t - 0,1 t2

→

La posición total es:

r = xi

+ yj

→

r = ( - 4 + 0,15 t2  ) i + ( 2 + t - 0,1 t2 ) j La posición en t = 2 s es: →

r = ( - 4 + 0,15 t2  ) i + ( 2 + t - 0,1 t2 ) j →

r = ( - 4 + 0,15 • ( 2 )2  ) i + ( 2 + ( 2 ) - 0,1 • ( 2 )2 ) j →

r = ( - 3,4 i + 3,6 j ) cm

→

La velocidad en x está dada por : vx = vox + ax • t

→

vx = ( 0 + 0,3 • t ) i →

La velocidad en y está dada por : vy = voy + ay • t →

La velocidad total está dada por: v = vx i + vy j

→ →

→  v = 0,3 • t i + ( 1,0 - 0,2 t ) j

En t = 2 s : →

v = 0,3 • ( 2 ) i + ( 1,0 - 0,2 • ( 2 ) ) j →

v = ( 0,6 i + 0,6 j ) cm/s

La rapidez en t = 2 s es la magnitud de la velocidad, velocidad, es decir: v = √ ( 0,6 )2 + ( 0,6 )2 = 0,6 cm/s

vy = ( 1,0 - 0,2 t ) j

Solución a los ejercicios propuestos en el módulo C - 4

1.-Una esfera pequeña se encuentra apoyada en un resorte comprimido que está sujeto a un carrito. Se sabe que el resorte al estirarse transmite a la esfera una velocidad inicial vertical para arriba , v B = 4,0 m/s. Suponga que el resorte se halla estirado mientras el carrito avanzaba en línea recta sobre una superficie horizontal con una velocidad constante de v C = 3,0 m/s. a)¿Qué tipo de movimiento tendrá la esfera? b)¿Cuál es la forma de su trayectoria? c)¿Cuál es la magnitud de la velocidad inicial v o con que la esfera fué lanzada? d)¿Cuál es el ángulo de lanzamiento de la esfera? e)¿Después de cuánto tiempo la esfera regresará al carrito? o sea ¿llegará al extremo del resorte?

SOLUCION: La esfera tiene movimiento parabólico porque tiene una velocidad inicial horizontal horizontal , la del carro ( 3 m/s ) y la velocidad inicial vertical que le proporciona proporciona el resorte ( 4 m/s ). La forma de su trayectoria es una parábola. La velocidad inicial de la esfera está dada por : →

v = 3 m/s i + 4 m/s j Magnitud: v = √ (3)2  + (4)2 = 5,0 m/s El ángulo de lanzamiento de la esfera está dado por: tg α = 4 / 3

→

α  = 53

o

Ecuación de posición para el movimiento de la esfera: Horizontal: x = xo + vox • t

→

x = 3t

Vertical: y = yo + voy • t - ay • t2 / 2 → y = 4 t - 5 t2 En este caso solo basta ocupar la segunda ecuación para calcular el tiempo en retornar al resorte, esto significa hacer y = 0 : y = 4 t - 5 t2

→

0 = 4 t - 5 t2

→

t1 = 0 y t2 = 0,8 seg

2.-Una pelota es lanzada horizontalmente horizontalmente con una velocidad v o desde un punto situado a una altura R arriba del suelo. suelo. Observe que el alcance alcance de la pelota, al llegar al al suelo, es también R. a)La trayectoria que describe la pelota en este caso, ¿es una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola? b)Determine el valor de v o en términos de R y de g .

SOLUCION: a) La trayectoria es una parábola. Fijando el nivel de referencia en el suelo, se tiene: Mov. Horizontal: x = xo + vox •  t , con xo = 0 , vox = vo x = vo • t Mov. Vertical: y = yo + voy • t - g • t2 / 2 , con yo  = R , voy = 0 y = R + o • t - g t2 / 2 → y = R - g t2 / 2 Calcule el tiempo en llegar al suelo ( se hace y = 0 ) 0 = R - g t2 / 2

→ t = √ 2R / g

Este tiempo es el mismo usado en recorrer la distancia horizontal x = R, reemplazando en x = vo • t , se tiene . R = vo • √ 2 R / g

→ vo = √ g R / 2

3.- Una persona lanza oblicuamente una pelota con una velocidad inicial v o = 10 m/s y un ángulo de lanzamiento de 60 o . Suponga que g = 10 m/s 2 , desprecie la resistencia del aire y considere el momento de lanzamiento como el origen del conteo del tiempo ( t = 0 ). a)En el instante t =0,5 seg , ¿cuál es el valor de la velocidad de la pelota? b)¿Cuál es la posición de la pelota en t = 0,5 seg? c)Determine las componentes v x y vy de la velocidad de la pelota en t = 1,22 seg? d)Determine la posición de la pelota en t = 1,22 seg? e)Calcule el instante en que la pelota llega al punto más alto de su trayectoria. f)¿Cuál es el valor de la altura máxima de la pelota?

SOLUCION: Se escriben las ecuaciones de posición y velocidad tanto para el movimiento horizontal como vertical (fijando nivel de referencia en el lugar donde se suelta la pelota) Posición inicial : xo = 0 , yo = 0 (la pelota sale desde donde se ubica el origen) Velocidad inicial : vox  = 10 • cos 30o = 8 m/s  Aceleración : ax = 0 m/s2

→

ay = - 10 m/s2

,

Movimiento horizontal :

Posición : x = xo + vox • t Velocidad :

→

x = 8 t

vx = 8 m/s

Movimiento vertical:

Posición : y = yo + voy • t - 10 • t2 / 2 y = Velocidad :

5 t - 5 t2

vy = voy + ay • t vy = 5 - 10 t

voy  = 10 • sen 30o = 5 m/s

En t = 0,5 seg la velocidad velocidad de la pelota pelota es: Horizontal:

vx = 8 m/s ,

Vertical: vy  = 5 - 10 • 0,5 → vy = 0 m/s (la pelota llega al punto más alto) La velocidad total a los 0,5 seg es : v = 8 m/s i + 0 m/s j → v = 8m/s i

En t = 0,5 seg, la posición de la pelota es: →

Horizontal :

x = 8 t

x = 4m

Vertical : y =

5 t - 5 t2 → y = 1,25 m

En t = 1,22 seg, la velocidad velocidad de la pelota es: Horizontal:

vx = 8 m/s ,

Vertical: vy  = 5 - 10 • 1,22 → vy = - 7,2 m/s La velocidad total a los 1,22 seg es : v = 8 m/s i - 7,2 m/s j

En t = 1,22 seg, la posición de la pelota es: →

Horizontal :

x = 8 t

x = 9,76 m

Vertical : y =

5 t - 5 t2 → y = - 1,342 m

Para calcular el tiempo en llegar al punto más alto se hace ( v y = 0 ): vy = 5 - 10 t →

0 = 5 - 10 t → t = 0,5 seg

La altura máxima, es la posición en y, cuando t = 0,5 seg: y =

5 t - 5 t2 → y = 1,25 m

4.-Un jugador de básquetbol, lanza una pelota desde una altura de 1,5 m (respecto al suelo). En su trayectoria intercepta un aro situado a 2,0 m de altura. Finalmente toca el suelo en un punto que dista 10 m (distancia horizontal), horizontal), del punto donde fue lanzada. Si el tiempo en el aire es de 1,0 seg, determine: a)¿Con que velocidad velocidad inicial fue lanzada la pelota? pelota? b)¿Qué altura máxima alcanzó? ¿Después de cuanto tiempo? c)¿Cuánto tiempo luego de ser lanzada atraviesa el aro? d)¿A que distancia se encuentra el aro del punto de lanzamiento? e)¿Cuál es la velocidad velocidad al tocar tocar el suelo?

SOLUCION: a) La velocidad inicial de la pelota ( v o ) , se descompone en vox  y en voy , con lo cuál cuál las ecuaciones para el movimiento horizontal y vertical se expresan por (siempre considerando nivel de referencia en el suelo) Horizontal: x = xo + vox • t → ( 1 ) x = vox • t Vertical: y = yo + voy • t - g t2 / 2 ( 2 ) y = 1,5 + voy • t - 5 t2

En 1 seg recorre horizontalmente horizontalmente x = 10 m, reemplazando en la ecuación ( 1 ), se tiene: 10 = vox • 1

→ vox  = 10 m/s

En 1 seg en el movimiento vertical se encuentra en la posición y = 0 , reemplazando reemplazando en ( 2 ) se tiene: y = 1,5 + v oy • t - 5 t2 → 0 = 1,5 + voy • 1 - 5 ( 1 )2 → voy  = 3,5 m/s

Las ecuaciones son ahora: Horizontal: ( 1 ) x = 10 • t Vertical: ( 2 )

y = 1,5 + 3,5 3,5 • t - 5 t2

Velocidad vertical: vy = voy - g t →  ( 3 ) vy = 3,5 - 10 • t Tiempo en llegar al punto más alto, se hace ( v y = 0 ) vy = 3,5 - 10 • t

→  0 = 3,5 - 10 • t → t = 0,35 seg

La altura máxima, resulta : y = 1,5 + 3,5 • t - 5 t2 → y = 1,5 + 3,5 • 0,35 - 5 • (0,35)2 y = 2,11 m c) Para calcular el tiempo ocupado en llegar al aro, se calcula el tiempo en alcanzar la posición y = 2,0 m , para ello se reemplaza en ( 2 ) : y = 1,5 + 3,5 • t - 5 t2 →  2,0 = 1,5 + 3,5 • t - 5 t2 → 5t2  - 3,5 t + 0,5 = 0 Resolviendo esta ecuación se obtienen obtienen los valores: valores: t1 = 0,2 seg , t2 = 0,5 seg Las dos soluciones son correctas, pues el balón se encuentra en dos instante en la posición 2m, cuando va subiendo ( t1 ) y cuando va bajando ( t2 ), siendo este último el que se pide. Para calcular , la distancia a que se encuentra el aro, se reemplaza t2 = 0,5 seg en la ecuación horizontal, ( 1 ) : x = 10 • t → x = 10 • 0,5 →  x = 5,0 m Cuando llega al suelo, tiene una velocidad horizontal que es constante durante todo el movimiento vox = 10 m/s. En cambio la velocidad velocidad vertical se reemplaza reemplaza en ( 3 ) para t = 1 seg: vy = 3,5 - 10 • t → vy = 3,5 - 10 • 1 → vy = - 6,5 m / s La velocidad total con que llega al suelo es: →

→

→

→

v = vox + voy → v = 10 m/s i - 6,5 m/s j Magnitud: v = √ ( 10 )2 + (6,5 )2 → v = 11,92 m/s Dirección: tg α = 6,5 / 10 = 0,65 → α  = 33,0 o La velocidad con que llega al suelo tiene magnitud 11,92 m/s y en una dirección de 33,0 o bajo la horizontal.

5.-Una pelota resbala a lo largo de un tejado inclinado en un ángulo de 40 o respecto a la horizontal y situado a una altura h = 65 m sobre el suelo. La pelota llega al borde del tejado con una rapidez de 10 m/s y luego cae libremente. La pared opuesta más próxima al tejado está a una distancia horizontal D = 20 m. Considere el nivel de referencia en el suelo. a)Exprese la velocidad velocidad inicial de la pelota en forma forma vectorial b)¿La pelota llega llega directamente al piso o choca choca con la pared opuesta? opuesta? c)Determine las coordenadas donde choca la pelota d)Determine la velocidad velocidad de la pelota en el el punto de impacto.

SOLUCION: Se descompone la velocidad en una componente horizontal ( v ox ) y en otra vertical ( voy ). vox  = 10 m/s • cos 40 o  = 7,6 m/s voy = 10 m/s • sen 40 o  = 6,4 m/s →

La velocidad inicial es: v = 7,6 m/s i - 6,4 m/s j Las ecuaciones para el movimiento vertical y horizontal, considerando el nivel de referencia en el suelo son: Horizontal: x = xo + vox • t → ( 1 ) x = 7,6 • t Vertical: y = yo + voy • t - g t2 / 2 ( 2 ) y = 65 - 6,4 •  t - 5 t2 Para saber si la pelota llega directamente directamente al piso o choca con la pared opuesta hay varias formas de hacerlo: (∗) Calcule el tiempo en recorrer los 20 m horizontal, se reemplaza en ( 1 ): x = 7,6 • t →  20 = 7,6 • t → t = 2,63 seg Luego calculamos la coordenada y correspondiente correspondiente a este tiempo t iempo reemplazando reemplazando en ( 2 ): y = 65 - 6,4 • t - 5 t2 →  y = 65 - 6,4 • 2,63 - 5 (2,63 )t2

→ y = 47,51 m

Luego choca en la pared opuesta antes de llegar al suelo y lo hace en el punto de coordenadas x = 20m , y = 47,51 m

La velocidad en el punto de impacto, significa calcular su velocidad horizontal y vertical en ese instante: →

La velocidad velocidad vertical vertical es : vox  = 7,6 m/s →

La velocidad vertical es: voy = - 6,4 – 10 t , con t = 2,63 seg (tiempo en llegar al punto de Impacto) →

→

voy = - 6,4 – 10 • 2,63 → voy = - 32,7 m/s →

→

→

La velocidad total es: v = vox + voy →

v = 7,6 m/s i - 32,7 m/s j Magnitud: v = √  (7,6)2 + (32,7 )2 → v = 33,57 m/s Dirección: tg α = 32,7 / 7,6 = 4,3 → α  = 77 o La pelota llega al punto de impacto con una velocidad de magnitud 33,57 m/s , en una dirección 77 o bajo la hotrizontal.

6.-El motociclista desea saltar por sobre 8 autos de altura h = 1 m , y largo d = 2 m. Para ello usará una rampa inclinada que no tiene roce en un ángulo de 45 o y de altura H = 12 m. El motociclista ingresa a la rampa con una velocidad vo y sube por ella sin acelerar (ya que no puede debido a que no hay roce). Calcular el valor de v o para que pueda realizar el salto.

SOLUCION: La velocidad inicial del motociclista ( v o ) se descompone en v ox y en voy :

vox = cos 45 • vo → vox  = 0,7 • vo voy = sen 45 • vo →

voy = 0,7 • vo

Se escriben las ecuaciones horizontal y vertical del motociclista, considerando considerando nivel de referencia el suelo: Horizontal : x = xo + vox • t →  ( 1 ) x = 0,7 vo • t Vertical : y = yo + voy • t - g t2 / 2 → ( 2 )

y = 12 + 0,7vo • t - 5 t2

 Al saltar los 8 autos, autos, la longitud horizontal horizontal que recorre es : x = 16 m (cada auto mide mide 2 m de largo), reemplazando en ( 1 ) queda la expresión en función del tiempo empleado para ello: x = 0,7 vo • t →  16 = 0,7 vo • t

→  t =

16 0,7 vo

Este valor es el mismo tiempo empleado en encontrarse en la posición vertical 1 m ( altura del auto), luego lo reemplazamos en ( 2 ): y = 12 + 0,7v o • t - 5 t2 → 1 = 12 + 16 -

5 •  256 0,49 • (vo )2

vo = 9,83 m/s = 35,4 km/h

1 = 12 + 0,7vo • 16 0,7 vo

-

→ 1 = 28 - 2612,2

(vo )

2

5 • (16 / 0,7 vo )2 , al resolver para vo, se tiene:

7.-Erica en su auto A acelera a razón de ( 3,0 i – 2j ) m/s2 , en tanto que Julia en su auto B acelera a ( 1i 1i + 3j ) m/s2 . Ambas parten del reposo en el origen de un sistema de coordenadas coordenadas xy. Después de 5,0 s: a)¿Cuál es la rapidez de Erica respecto de Julia? b)¿Cuál es la distancia que las separa? c) ¿Cuál es la aceleración de Erica respecto a la de Julia? SOLUCION Erica y Julia e mueven con aceleración constante, luego son válidas las ecuaciones: x = xo + vox •  t + ½ • ax • t2 ,

y = yo + voy •  t + ½ • ay • t2

vx = d ( x ) / dt

vy = d ( y ) / dt dt

,

Erica:

Julia:

ax = 3,0 m/s2 vox = 0 m/s xo = 0 m

ay = - 2,0 m/s2 voy = 0 m/s yo = 0 m

, , ,

ax = 1,0 m/s2 vox = 0 m/s xo = 0 m

, , ,

ay  = 3,0 m/s2 voy  = 0 m/s yo = 0 m

Posición para Erica: →

→

r E = x i + y j = 1,5 t2 i - 1,0 t2 j , en t = 5 s

r E  = 37,5 i - 25,0 j

Velocidad para Erica →

→

vE = vx i + vy j = 3,0 t i - 2,0 t j , en t = 5 s

vE  = 15,0 i - 10,0 j

Posición para Julia: →

→

r J = x i + y j = 0,5 t2 i + 1,5 t2 j

, en t = 5 s

r J  = 12,5 i + 37,5 j

Velocidad para Julia →

→

vE = vx i + vy j = 1,0 t i + 3,0 t j , en t = 5 s

vE  = 5,0 i + 15,0 j

→

→

→

Velocidad de de Erica respecto respecto a Julia ( vE/J ) = Velocidad de Erica ( vE ) – velocidad de Julia ( v J ) →

→

→

( vE/J ) = ( vE ) – ( vJ ) = 15,0 i - 10,0 j - ( 5,0 i + 15,0 j ) = 10 i - 25 j Rapidez de Erica respecto a Julia:

vE/J = √ ( 10 )2 + ( 25 )2

= 26,9 m/s

Para calcular la distancia que las separa, primero calculemos la posición de Erica respecto a Julia y luego obtenemos la magnitud de ese valor: →

→

→

r E/J r E - r J = 37,5 37, 5 i - 25,0 j - (12,5 (1 2,5 i + 37,5 37 ,5 j ) = 25 i - 62,5 62 ,5 j E/J = 2 2 r E/J √ ( 25 ) + ( 62,5 ) E/J =

= 67,3 m →

→

→

 Aceleración de Erica respecto a Julia ( aE/J ) = aceleración aceleración Erica ( aE ) – aceleración Julia ( a J ) →

→

→

( aE/J ) = ( aE ) – ( aJ ) = 3,0 i - 2,0 j - ( 1,0 i + 3,0 j ) = 2,0 i - 5,0 j

Solución a los ejercicios propuestos en el módulo C - 5

1.-Dos poleas de Radios R1 = 10 cm y R2 = 30 cm están acopladas por una banda de transmisión no extensible como muestra la figura. a)Suponiendo a)Suponiendo que la banda no se deslice sobre las poleas , ¿cree Ud. que la velocidad lineal v1 de un punto en la periferia de la polea R1 es mayor , menor o igual a la velocidad v2 de un punto de la periferia de la polea R2? b)Si se sabe que la polea R1 gira con un frecuencia f1 = 60 rpm (rotaciones por minuto) , determine la frecuencia f2 de la polea R2.

SOLUCION: En la ecuación de transmisión de dos poleas bajo las condiciones que la banda no deslice, la velocidad lineal es la misma ( tiene la misma magnitud) en todos los puntos de la correa. Considerando que v = w • R y que w = 2 π / T = 2 π • f , se tiene: Para la polea 1 : v1 = 2 π • f1 • R1 , para la polea 2 : v2 = 2 π • f2 • R2 Como v1 = v2 →

2 π • f1 • R1 = 2 π • f2 • R2 reemplazando, reemplazando, se tiene: 60 (rpm) • 10 cm = f2 • 30 cm

→ f2 = 20 rpm

2.-Dos discos colocados en un mismo eje común giran con frecuencia f constante. Siendo R A = 2 R B , determine la relación : a) w A / wB entre las velocidades angulares b) v A / vB entre las velocidades lineales c) a A / aB entre las aceleraciones de los dos puntos mencionados en (b).

SOLUCION: Los dos discos tienen la misma frecuencia, que es la frecuencia del eje: Se tiene w A = 2 π • f  A w A = wB

2π•f = 1 2π•f

y wB = 2 π • f B , como f  A = f B = f

, se tiene:

(las velocidades angulares están en la razón 1 : 1 , es decir son iguales: w A = wB )

La velocidad lineal ( v ) depende de la distancia al centro: v A = wa • R A y v A = vB

w • R A w • RB

vB = wB • RB = w • 2RB = w • RB

, w A = wB  = w ; R A = 2RB 2 1

(es decir la velocidad lineal de A es dos veces la de B, v A = 2 vB)

La aceleración centrípeta de un punto que describe una circunferencia es: a = v2 / R → para el punto A : a A = ( v A )2 / R A , para el punto B : aB = ( vB )2 / RB Recordando que v A = 2 vB  y que R A = 2 RB , se tiene: a A = ( v A )2 / R A = aB ( vB )2 / RB

4 ( vB )2 / 2RB = ( vB )2 / RB

2 1

(la aceleración centrípeta de A es dos veces la de B)

3.-El radio del cilindro cilindro de un carrete mide 2,0 cm. Una persona , en 10 seg desenrolla desenrolla uniformemente uniformemente 50 cm del hilo que está en contacto con el cilindro. a)¿Cuál es la velocidad lineal de un punto de la superficie del cilindro? b)¿Cuál es la velocidad angular del punto P , situado a 4,0 cm del eje de rotación?

SOLUCION: La persona desenrolla uniformemente una longitud de 50 cm = 0,5 m de hilo, en un tiempo de 10 seg, la rapidez lineal de cualquier punto del hilo es: v = d / t = 0,5 m / 10 seg = 0,05 m/s

Con este valor calculemos la velocidad angular del cilindro: v = w • R → w = v / R → w = 0,05 m/ s / 0,02 m = 2,5 rad / s La velocidad angular para todos los puntos del cilindro es la misma, luego, la velocidad lineal del punto P situado a 4 cm del eje de rotación es: v = w • R → v = 2.5 • 0,04 = 0,1 m/s

4.- Un punto punto se mueve sobre un círculo círculo de de acuerdo acuerdo a la ley s = t + 2t donde s se mide en pies a lo largo del del círculo y t en segundos. segundos. Si la aceleración total del punto es 16 √ 2 pies / s2 cuando t = 2 s, determine el radio del círculo.

SOLUCION Como el objeto se mueve en un círculo, tiene dos aceleraciones, una tangencial ( a T ) y la otra normal ( a N ). La aceleración tangencial es la derivada de la velocidad tangencial respecto al tiempo ( a T = d(v) / dt ) La velocidad tangencial es la derivada de la posición (longitud a lo largo del trayecto) respecto del tiempo ( v T = d(s) / dt ) s = t3 + 2t2 → vT = 3t2  + 4t →

→

→ aT = 6t + 4 , para t = 2 s , aT  = 16 m/s

→

aTOTAL = aT + aN

→

( aTOTAL )2 = ( aT )2 + ( aN )2

( 16 √ 2 )2 = ( 16)2 + ( aN )2

→

aN = 16 m/s2

La aceleración aceleración normal normal es: a N = ( vT )2 / R →  16 = ( 20 ) 2 / R → R = 25 m El 20 m/s, se obtiene obtiene de evaluar evaluar la velocidad velocidad vT = 3t2 + 4t en t = 2 s

2

5.- Un auto pasa por un tramo curvo de una carretera de 750 m de radio a la velocidad de 100 km/h. Súbitamente aplica los frenos, haciendo que el vehículo disminuya de velocidad a ritmo constante. Sabiendo que al cabo de 8 s, la velocidad se ha reducido a 75 km/h , determine la aceleración del auto inmediatamente después de la aplicación de los frenos.

SOLUCION Expresemos las velocidades en m/s: 100 km/h = 100 : 3,6 = 27,7 m/s ,

75 km/h = 75 : 3,6 = 20,8 m/s

Como el auto disminuye a ritmo constante la velocidad tangencial, se tiene que la aceleración tangencial ( a T ) es: aT = ( vF - vI ) / t = ( 20,8 – 27,7 ) / 8 = - 0,87 m/s2 Inmediatamente Inmediatamente tras la aplicación de los frenos, la velocidad sigue siendo 27,7 m/s, y se tiene: aN = ( vT )2 / R = ( 27,7 )2 / 750 = 1,03 m/s2 ( aTOTAL )2  = (- 0,87 )2  + (1,03 )2 aTOTAL  = 1,35 m/s2 Dirección: tg α  = 1,03 / 0,87 = 1,18 o α  = 49,8

6.-La figura representa representa en un instante dado la aceleración y velocidad total de una partícula que se mueve en el sentido horario en una circunferencia circunferencia de 2,5 m de radio. Si la aceleración a = 15 m/s2 , en ese instante determine: a) la aceleración normal b)la rapidez de la partícula c)la aceleración tangencial

SOLUCION La aceleración total ( a = 15 m/s 2 ), se descompone en su componente normal ( a N ) y tangencial ( a T ): aN = cos 30 • 15 m/s2 = 12,9 m/s2 aN = ( vT )2 / R → 12,9 = ( vT )2 / 2,5 vT = 5,67 m/s aT = sen 30 • 15 m/s2 = 7,5 m/s2

7.-Dos autos A y B van por una misma curva circular de una carretera desarrollando ambos 40 km/h. a)El conductor del auto A aumenta la velocidad a 80 km/h , ¿la aceleración centrípeta del auto se volverá mayor o menor? ¿Cuántas veces? b)El auto B , manteniendo su velocidad , entra en una curva “más cerrada” y de radio dos veces menor. ¿Su aceleración centrípeta se vuelve mayor o menor ? ¿Cuántas veces? SOLUCION: La rapidez lineal lineal de cada auto es: v A = 40 km/h , vB = 40 km/h Si el conductor A aumenta aumenta la rapidez a 80 km/h (es decir el doble) , la aceleración aceleración centrípeta centrípeta aumenta 4 veces, recuerde que la aceleración centrípeta es proporcional al cuadrado de la rapidez: ac = ( v )2 / R Si el auto B entra con la misma rapidez, pero en una pista de radio dos veces menor, la aceleración centrípeta se vuelve dos veces mayor. La aceleración centrípeta es inversamente proporcional al radio de la trayectoria: trayectori a: a c = ( v )2 / R

8.-Un disco de 1,0 m de radio situado sobre una plataforma se pone en rotación contraria a las manecillas del reloj con una velocidad angular de 3,0 rad/seg en torno de un eje que pasa por su centro. La plataforma plataforma avanza por las vías con una velocidad de de 4,0 m/s. Si consideramos un punto de la periferia de un disco , podemos afirmar que los módulos de las velocidades de este punto , en relación con la Tierra Tierra , cuando pasa en las posiciones posiciones (1) , (2) , (3) , (4) es en m/s : a) v1 = 4 ; v2 = 3 ; v3 = cero ; v4 = 3 b) v1 = 4 ; v2 = 5 ; v3 = cero ; v4 = 5,0 c) v1 = 7 ; v2 = 5 ; v3 = 1 ; v4 = 5 d) v1 = 1 ; v2 = cero ; v3 = 1 ; v4 = cero e) v1 = 7 ; v2 = 3 ; v3 = 7 ; v4 = 3

SOLUCION: La rotación del disco es antihorario, antihorario, conocido el radio 1,0 m y la velocidad angular 3,0 rad/seg, determinemos la magnitud de la velocidad lineal (tangencial): (tangencial) : v = w • R → v = 3,0 •  1,0 = 3,0 m/s Esta velocidad es tangencial a cada punto en el sentido de la rotación: Se determina la magnitud de la velocidad resultante en cada uno de los puntos mencionados, mencionados, para ello ello se debe considerar la velocidad lineal ( tangencial ) en cada punto y la velocidad del carro:

Punto ( 1 ) v carro = 4,0 m/s

; v tang. = 3,0 m/s

vresult. = v carro + v tang. vresult. = 4,0 m/s + 3,0 m/s = 7,0 m/s

Punto ( 2 ) v carro = 4,0 m/s

; v tang. = 3,0 m/s

vresult. = v carro + v tang. vresult. =√ ( 4,0)2 + ( 3,0)2

= 5,0 m/s

Punto ( 3 ) v carro = 4,0 m/s

; v tang. = 3,0 m/s

vresult. = v carro - v tang. vresult. = 4,0 - 3,0

= 1,0 m/s

Punto ( 4 ) v carro = 4,0 m/s

; v tang. = 3,0 m/s

vresult. = v carro + v tang. vresult. =√ ( 4,0)2 + ( 3,0)2

= 5,0 m/s