Solmate1 (30)

PROGRAMA FOCALIZADO

Solucionario Nº12

Ciencias Plan Común

Matemática • •

Porcentajes e Interés I Geometría de Proporción I. SLDCFOMTA04122V1

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

Porcentaje e Interés I 1.

Sea: x: edad del hijo (x + 36): edad del padre



Entonces: 60% de la edad del padre = edad hijo 60 • (x + 36) = x 100 3 • (x + 36) = x 5





(Reemplazando) (Simplificando) (Multiplicando la ecuación por 5)



3(x + 36) = 5x

(Desarrollando)



3x + 108 = 5x

(Reuniendo términos semejantes)



108 = 5x –3x

(Desarrollando)



108 = 2x 108 = x 2

(Despejando x)



2

La alternativa correcta es D.



x = 54



Luego, la edad del hijo es 54 años.

Cpech

Preuniversitarios

(Simplificando)

Matemática

La alternativa correcta es C.

PROGRAMA FOCALIZADO

2.

Entonces, si gasta el 70% del sueldo le sobra el 30% del sueldo. Si x es el sueldo, entonces:



30% de x = $ 195.000 30 x = 195.000 100 195.000 ∙ 100 x= 30 65.000 ∙ 10 x= 1

(Desarrollando) (Despejando x) (Simplificando) (Multiplicando)



x = 650.000



Por lo tanto, el sueldo que recibe la persona es de: $ 650.000.

3.

La alternativa correcta es A. Sea x la cantidad buscada, entonces, planteando la ecuación. 20 40 x + 30 = x 100 100 20 40 x + 100 ∙ 30 = 100 ∙ x 100 ∙ 100 100

(Multiplicando la ecuación por 100) (Multiplicando y simplificando)



20x + 3.000 = 40x

(Reuniendo términos semejantes)



3.000 = 40x – 20x

(Desarrollando)



3.000 = 20x

(Despejando x)



3.000 20



x = 150

= x

(Simplificando)

Cpech

Preuniversitarios

3

Matemática

PROGRAMA FOCALIZADO 4.

La alternativa correcta es C.



El descuento es de $ 100, entonces:



Cantidad 500 100





Porcentaje 100 x

500 100 = 100 x

(Desarrollando)

500x = 100 • 100



x=

(Despejando x)

100 ∙ 100 500



(Simplificando)

x = 20

Por lo tanto, el porcentaje de rebaja es 20%.

5.

La alternativa correcta es B. Cantidad 14.280 x



Porcentaje 119 100

14.280 119 = x 100



(Desarrollando)

119x = 14.280 • 100 14.280 ∙ 100 119 120 ∙ 100 x= 1 x=



(Despejando x) (Simplificando)



(Multiplicando)

x = 12.000

4

Cpech

Por lo tanto, el artículo sin IVA cuesta $ 12.000.

Preuniversitarios

Matemática La alternativa correcta es C. 75% del 20% del 60% de 100 escrito matemáticamente:

75 20 60 ∙ ∙ ∙ 100 = 100 100 100



9

7.

La alternativa correcta es D.

(Simplificando y multiplicando)

PROGRAMA FOCALIZADO

6.

Si en el bus viajan 80 personas, de las cuales 56 son mujeres, entonces:

I)

Verdadera, ya que viajan en el bus 24 hombres, entonces:



Cantidad 80 24





80 100 = 24 x

(Desarrollando)

80x = 24 • 100

(Despejando x)

x=



x = 30



(Simplificando)

Por lo tanto, el porcentaje de hombres es 30%.

II)

Falsa, ya que si se bajan 4 mujeres, quedan 52 y el total de personas del bus ahora es 76, entonces:



Cantidad 76 52





24 ∙ 100 80





Porcentaje 100 x

76 100 = 52 x

Porcentaje 100 x

(Desarrollando)

76x = 52 • 100

(Despejando x)

Cpech

Preuniversitarios

5

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática





III)





8.

52 ∙ 100 76 26 ∙ 50 x= 19

x=



Por lo tanto, el porcentaje de mujeres que queda en el bus es aproximadamente 68,4%. Verdadera, ya que si se suben 12 hombres, el total de éstos es 36 y el total de personas ahora es 92, entonces: Cantidad 92 36

Porcentaje 100 x

92 100 = 36 x



36 ∙ 100 92 9 ∙ 100 x= 23



(Despejando x) (Simplificando)

x=



(Multiplicando y dividiendo)

x � 39,1 Por lo tanto, el porcentaje de hombres aumenta en un 9,1% aproximadamente.

C: capital acumulado K: capital inicial i: tasa de interés simple n: período



Cpech

(Desarrollando)

92x = 36 • 100

La fórmula del interés simple es: C = K (1 + i • n), donde:

6

(Multiplicando y dividiendo)

x ≈ 68,4

La alternativa correcta es C.



(Simplificando)

Preuniversitarios

Matemática Reemplazando los valores en la fórmula:



1.700 = 1.000(1 + 4i) 1.700 = 1 + 4i 1.000

(Desarrollando)

1,7 = 1 + 4i

(Despejando 4i)

1,7 – 1 = 4i

(Desarrollando)

0,7 = 4i 0,7 = i 4

(Despejando i)

0,175 = i

PROGRAMA FOCALIZADO



(Dividiendo)

(Dividiendo) (Expresando como porcentaje)



i = 17,5%

9.

La alternativa correcta es D.



(1)

El 40% de los lápices NO son rojos. Con esta información y la del enunciado, es posible determinar la cantidad de lápices que tiene la caja.



(2)

La razón entre los lápices rojos y los que NO son rojos es 3 : 2. Con esta información y la del enunciado, es posible determinar la cantidad de lápices que tiene la caja.



Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

Cpech

Preuniversitarios

7

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

10. La alternativa correcta es E.

(1)

El 62% de los habitantes de la ciudad son hombres. Con esta información, no es posible determinar el porcentaje de hombres que son profesores en una ciudad.



(2)

El 0,8% de los habitantes de la ciudad son profesores o profesoras. Con esta información, no es posible determinar el porcentaje de hombres que son profesores en una ciudad.

Con ambas informaciones, no es posible determinar el porcentaje de hombres que son profesores en una ciudad.

8

Cpech

Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.

Preuniversitarios

Matemática PROGRAMA FOCALIZADO

Geometría de proporción I 11. La alternativa correcta es C.

∆ ABC ≅ ∆ EFG, entonces: AB = EF = 10 cm, AC = EG = 6 cm, ∠ ACB = ∠ FGE = 90º, BC = FG C

10

E

6

A



F

6 B

10

G

Entonces: Aplicando teorema de Pitágoras en el triángulo EFG: FG = 8 cm (Trío pitagórico)



12. La alternativa correcta es D. C 12

D 16

A



E

18 B

F

∆ ABC ~ ∆ DEF, entonces:



AB BC AC = = =k DE EF DF



Conocemos AC y DF , entonces, podemos determinar la constante:



AC = k DF 12 = k 18 2 =k 3

(Reemplazando) (Simplificando)

Cpech

Preuniversitarios

9

PROGRAMA FOCALIZADO

Entonces:

Matemática

BC =k EF 16 = 2 EF 3



(Reemplazando)



(Desarrollando)

EF = 16 ∙ 3 2 8 ∙ 3 EF = 1 EF = 24



(Simplificando)



(Multiplicando)

13. La alternativa correcta es A. C D

A

3

E

B

12

AB // DE, entonces, ∆ ABC ~ ∆ DEC, por lo tanto:



AB =k DE 12 = k 3



(Reemplazando)



(Simplificando)

4 =k 1

Perímetro Δ ABC = 4 1 Perímetro Δ DEC

(Reemplazando)



28 = 4 1 Perímetro Δ DEC Perímetro ∆ DEC = 28 4 Perímetro ∆ DEC = 7 cm

(Desarrollando)



10

Entonces:

Cpech

Preuniversitarios

(Dividiendo)

Matemática PROGRAMA FOCALIZADO

14. La alternativa correcta es B. x 3 9 15



Los triángulos son semejantes, entonces: 15 = x 9 3 x = 15 ∙ 3 9



(Desarrollando)



(Simplificando y multiplicando)



x=5



Por lo tanto: la altura del árbol es 5 metros.

15. La alternativa correcta es D. C

D

a

β A



a

β

B

En el rectángulo ABCD, AB = DC y AD = BC, entonces: En ∆ ABC, ∠ BAC = α , ∠ CBA = 90º, ∠ ACB = β En ∆ CDA, ∠ DCA = α , ∠ ADC = 90º, ∠ ADC = β Además, AB = DC, AD = BC y AC = AC, por lo tanto ∆ ABC ≅ ∆ CDA

Cpech

Preuniversitarios

11

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

16. La alternativa correcta es E.

Completando la figura: E 40º F

C



50º G

H

50º D

Entonces:

12

40º

50º

I)

Verdadera, ya que: En ∆ CDH, ∠ DCH = 40º, ∠ HDC = 50º, ∠ CHD = 90º En ∆ CFG, ∠ GCF = 40º, ∠ CFG = 50º, ∠ FGC = 90º Por lo tanto, ∆ CDH ~ ∆ CFG



II)

Verdadera, ya que: En ∆ FHE, ∠ HFE = 50º, ∠ EHF = 90º, ∠ FEH = 40º En ∆ DGE, ∠ EDG = 50º, ∠ DGE = 90º, ∠ GED = 40º Por lo tanto, ∆ FHE ~ ∆ DGE



III) Verdadera, ya que: En ∆ EFH, ∠ FEH = 40º, ∠ HFE = 50º, ∠ EHF = 90º En ∆ HDC, ∠ DCH = 40º, ∠ HDC = 50º, ∠ CHD = 90º Por lo tanto, ∆ EFH ~ ∆ CDH

Cpech

Preuniversitarios

Matemática

PROGRAMA FOCALIZADO

17. La alternativa correcta es E. PQ // RS , entonces: Q

b α

P

T

γ γ

α

S

b R





Entonces: I)

Verdadera, ya que: En ∆ RST, ∠ SRT = β, ∠ TSR = α , ∠ RTS = γ En ∆ QPT, ∠ PQT = β, ∠ TPQ = α , ∠ QTP = γ Por lo tanto, ∆ RST ~ ∆ QPT



II)

Verdadera, ya que: ∠ SPQ = α y ∠ PSR = α Por lo tanto, ∠ SPQ ≅ ∠ PSR

III)

Verdadera, ya que: ∠ PQR ≅ ∠ PSR, ∠ PQR = β y ∠ PSR = α, pero a y b son ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, por lo tanto a = b.

Cpech

Preuniversitarios

13

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

18. La alternativa correcta es B. F

C 5

A

h B

13

10

D

E



Para que los triángulos sean equivalentes, deben tener la misma área, es decir, Área ∆ ABC = Área ∆ DEF, entonces:



En ∆ ABC, AC = 12 (por tríos pitagóricos), entonces Área ∆ ABC = 5 ∙ 12 = 30, por 2 lo tanto, Área ∆ DEF = 30



Área ∆ DEF = 10 ∙ h 2 Área ∆ DEF = 5h



30 = 5h

30 5 6=h



(Simplificando)



(Reemplazando)



(Despejando h)

=h



(Dividiendo)

19. La alternativa correcta es D. C

D

E

A

(1)

14

AD = DC y BE = EC. Con esta información, es posible determinar si ∆ ABC ∼ ∆ DEC, ya que D y E son puntos medios, entonces DE es mediana y, por lo tanto, es paralela a AB. DE es mediana del triángulo ABC. Con esta información, es posible determinar si ∆ ABC ∼ ∆ DEC, ya que si DE es mediana, entonces es paralela a AB .



(2)



Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

Cpech

B

Preuniversitarios

Matemática

A





C

B

(1)

AC = 6 cm. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo AB, ya que no sabemos en qué razón C divide interiormente al trazo AB.

(2)

AC : CB = 2 : 3. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo AB, ya que no conocemos la medida de AC o CB.



Con ambas informaciones, es posible determinar la medida del trazo AB.



Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

Cpech

Preuniversitarios

PROGRAMA FOCALIZADO

20. La alternativa correcta es C.

15

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