Solmate1 (27)

PROGRAMA FOCALIZADO

Solucionario Nº9

Ciencias Plan Común

Matemática • •

Ecuaciones y Sistema de ecuaciones II Circunferencia y Círculo I SLDCFOMTA04092V1

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

Ecuaciones y Sistema de ecuaciones II 1.

La alternativa correcta es A.



Tenemos que:



=

p 2

El triple de q = 3q El triple de r

= 3r



Luego, al reemplazar en el enunciado:



“Si a la mitad de p le sumo el triple de q, resulta lo mismo que si al triple de r le resto s”, equivale a



2

La mitad de p

p + 3q = 3r – s 2

2.

La alternativa correcta es B.



5x + 2 = 6y + 7 5x = 6y + 7 – 2 5x = 6y + 5 – 5x = – 6y – 5



Luego:



(3 – 5x) = 3 – 6y – 5 = – 6y – 2

Cpech

Preuniversitarios

(Despejando 5x) (Resolviendo) (Multiplicando por – 1)

(Reemplazando – 5x) (Resolviendo)

Matemática La alternativa correcta es A.



a + b – 7 = 11 (Multiplicando por -1) – a – b + 7 = – 11



Luego: 7– a – b = – 11



4.

La alternativa correcta es C. 2 5 1 x+ x+ x = 4 3 6 2 6⋅



PROGRAMA FOCALIZADO

3.

2 5 1 x+6⋅ x+6⋅ x = 4 ⋅ 6 3 6 2

4x + 5x + 3x = 24 12x = 24 x=



24 12





(Multiplicando por el m.c.m. que es 6) (Simplificando y multiplicando) (Reduciendo términos semejantes) (Despejando x) (Simplificando)

x=2

5.

La alternativa correcta es B.



6(x + 1) – 4(x – 2) = 1 –



18(x + 1) – 12(x – 2) = 3 – (x – 2)

(Resolviendo)



18x + 18 – 12x + 24 = 3 – x + 2

(Reduciendo términos semejantes)

x–2 3







6x + 42 = 5 – x





6x + x = 5 – 42





7x = – 37

x=



(Multiplicando por 3)

(Desarrollando) (Resolviendo) (Despejando x)

–37 7

Cpech

Preuniversitarios

3

Matemática

PROGRAMA FOCALIZADO 6.

La alternativa correcta es D.



x + y = 9 (x + y) 2 = 92 x2 + 2xy + y2 = 81 x2 + y2 + 2xy = 81 41 + 2xy = 81 2xy = 40 xy = 20

7.

La alternativa correcta es C.



p 2 20 – = q 11 11

(Despejando



p 20 2 = + q 11 11

(Sumando las fracciones)



p 22 = q 11

(Simplificando)



p = 2 q





Luego:



I)

Verdadera, ya que p = 2q.



II)

Verdadera, ya que:



4

(Elevando al cuadrado) (Desarrollando) (Ordenando los términos) (Reemplazando x2 + y2 = 41) (Restando 41 a cada lado de la ecuación) (Dividiendo por 2 a cada lado de la ecuación)

Cpech

( )

p p = 2, entonces q q

( ) p q

–1

–1

p ) q

= 1 2

= 57 = 1 114 2

III) Falsa, ya que no es posible determinar el valor de p y q.

Preuniversitarios

Matemática La alternativa correcta es D.



Sean x e y los números buscados, entonces, 2 (x + y) = 24 (Dividiendo por 2 la ecuación) (x + y) = 12



Su diferencia es – 2 (x – y) = – 2



Con ambas ecuaciones se forma un sistema:



x + y = 12 x – y = – 2

(Sumando)



2x = 10

(Despejando x)

x = 10 2 x=5

(Simplificando)





Como x + y = 12 5 + y = 12 y = 12 – 5 y=7

(Reemplazando) (Despejando y) (Restando)



Por o tanto, el triple del número mayor es 21.

9.

La alternativa correcta es A.



PROGRAMA FOCALIZADO

8.



(1)

7x + 7y = 91. Con esta información, es posible determinar el valor numérico de (x + y), ya que la ecuación se puede dividir por 7 y se obtiene x + y = 13.



(2)

2x + y = 20. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de (x + y).

Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

Cpech

Preuniversitarios

5

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Matemática

10. La alternativa correcta es C.

6



(1)

Pablo es 22 años menor que su mamá. Con esta información, no es posible determinar la edad de Pablo.



(2)

En 4 años más, la mamá de Pablo tendrá 53 años. Con esta información, no es posible determinar la edad de Pablo.



Con ambas informaciones, es posible determinar la edad de Pablo, ya que se puede formar un sistema de ecuaciones.



Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

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Matemática

11. La alternativa correcta es A.

Si el diámetro de la circunferencia mide 6 cm, entonces el perímetro de la circunferencia mide 6π cm, por lo tanto el semiperímetro mide 3π cm.

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Circunferencia y Círculo I

12. La alternativa correcta es C.

Si el radio de la circunferencia mide 7 cm, entonces: Área círculo = π • r2 (Reemplazando r) = 72 π = 49 π cm2

13. La alternativa correcta es E.

El radio es (6x – 12y) r = 6(x – 2y)



Luego:



Área = π • r2 Área = 62 · (x – 2y) 2 π Área = 36(x – 2y) 2 π cm2

(Factorizando por 6)

(Reemplazando) (Desarrollando la potencia)

Cpech

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Matemática

14. La alternativa correcta es B. B (cm)

L

L’

O

2

8

A (cm)

Entonces: El diámetro de la circunferencia es paralela al eje OA, por lo que la medida del diámetro es la distancia entre 2 y 8, luego, diámetro = 6 cm. Como radio ( r ) = diámetro 2 6 r= 2

(Dividiendo)

r=3 Área = π r2 Área = π · 32 Área = 9 π cm2

8

Cpech

Preuniversitarios

(Reemplazando r) (Desarrollando la potencia)

Matemática

D

A

C

B

E



DO = OC = OE (radios de la circunferencia)



OE // DA // CB y AB // DC Entonces: DO = OC = OE = AE = EB = AD = BC



El área de la cuarta parte del círculo es 9 π cm2 Entonces:



1 1 · área círculo = · π r2 = 9π 4 4





4·

1 · π r2 = 9 · 4π 4



π r2 = 36π

r2 = 36



O



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15. La alternativa correcta es C.

(Multiplicando por 4 a ambos lados de la ecuación) (Multiplicando) (Dividiendo por π a ambos lados de la ecuación) (Aplicando �64 a ambos lados de la ecuación)

r = 6 cm

Luego: OC = DO = OE = AE = EB = AD = BC = 6 Entonces, AB = DC = 12 cm Por lo tanto, el área del rectángulo ABCD es: AB · BC = 12 · 6 = 72 cm2



Cpech

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Matemática

16. La alternativa correcta es B.

Sea x: perímetro circunferencia mayor = 2 π R



45% de x = 54 π



45 x = 54 π 100

45 x = 5.400 π x = 120 π 2 π R = 120 π





2R = 120



(Multiplicando por 100 a ambos lados de la ecuación) (Dividiendo por 45 a ambos lados de la ecuación) (Reemplazando) (Dividiendo por π a ambos lados de la ecuación) (Dividiendo por 2 a ambos lados de la ecuación)

R = 60 cm

17. La alternativa correcta es C.

El centro de la circunferencia (O) también es el centro del cuadrado ABCD, las diagonales de un cuadrado son iguales y se dimidian, entonces:



OA = OB = OC = OD = 3 cm



Entonces: Diagonal ( d ) = AC = DB = 6 cm



10

Cpech

d2 2 62 Área del cuadrado = 2 36 Área del cuadrado = 2 Área del cuadrado =

Área del cuadrado = 18 cm2

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C

B O

D

A

(Reemplazando) (Desarrollando la potencia) (Dividiendo)

Matemática

Área NO sombreada = Área círculo - Área del cuadrado Área NO sombreada = π r2 – 18 Área NO sombreada = π · 92 – 18 Área NO sombreada = (81 π – 18) cm2



Luego, el 50 % del área NO sombreada es:

PROGRAMA FOCALIZADO



1 · (81π – 18) = (40,5 π – 9) cm2 2



18. La alternativa correcta es A. D

A

C

E

B

AE = 24 cm, AD = EB = BC = 12 cm, DC = 36 cm



Además, AD y BE son diámetros de semicircunferencias que miden 12 cm



Como tenemos dos semicircunferencias de igual diámetro, su perímetro coincide con el perímetro de una circunferencia del mismo diámetro (en este caso diámetro = 12)



Luego, perímetro de la figura (P) es :

(Reemplazando) P = Perímetro circunferencia + AE + BC + DC P = 12 π + 24 + 12 + 36 (Sumando) P = (12 π + 72) cm

Cpech

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Matemática

19. La alternativa correcta es C. C

A

B



(1)

∆ ABC isósceles. Con esta información no es posible determinar el área de la figura, ya que con ella sólo podemos determinar que ∠ ABC = ∠ CAB = 45º.



(2)

AB = 14 cm. Con esta información no es posible determinar el área de la figura, ya que con ella sólo podemos determinar que el radio mide 7 cm.



Con ambas informaciones, es posible determinar el área de la figura, ya que podemos calcular el área del triángulo y el área del semicírculo.



Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

20. La alternativa correcta es C. C B A O



(1)

∠ BOC = 30º. Con esta información no es posible determinar el área sombreada.



(2)

OB = 12 cm. Con esta información no es posible determinar el área sombreada.



Con ambas informaciones, es posible determinar el área sombreada ,ya que podemos determinar OC y CB y con ello el área del triángulo OCB y el área del sector circular. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas. Registro de propiedad intelectual Nº 186716 del 1 de diciembre de 2009. Prohibida su reproducción total o parcial.

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