Solmate1 (25)

PROGRAMA FOCALIZADO

Solucionario Nº7

Ciencias Plan Común

Matemática • •

Álgebra II Cuadriláteros II. SLDCFOMTA04072V1

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

Álgebra II 1.

(6x – 5) 2 – 2(3x – 2)(3x + 2) = 2 (6x) – 2 ∙ 6x ∙ 5 + 52 – 2((3x) 2 – 22) = 36x2 – 60x + 25 – 2(9x2 – 4) = 36x2 – 60x + 25 – 18x2 + 8 = 18x2 – 60x + 33

2.

La alternativa correcta es A.



m=

�4 + �6

–

m2 = (�4 + �6 –

)

�4 �4

– �6 – �6 )

2



(Desarrollando) (Resolviendo) (Multiplicando) (Reduciendo términos semejantes)

(Elevando al cuadrado) (Desarrollando el cuadrado de binomio)



m2 = (�4 + �6



m2 = 4 + �6 – 2 �(4 + �6 )(4 – �6 ) + 4 – �6

(Multiplicando)



m2 = 4 + �6 – 2 �42 – (�6 ) + 4 – �6

(Desarrollando la raíz)



m2 = 4 + �6 – 2�16 – 6 + 4 – �6



m2 = 8 – 2 �10



Entonces:



m2 – 8 = 8 – 2 �10 – 8 = – 2 �10

2

– 2 �4 + �6 ∙

�4 – �6

2



2

La alternativa correcta es D.

Cpech

Preuniversitarios

+ (�4 – �6

)

2





(Resolviendo)

(Desarrollando)

(Reemplazando m2) (Resolviendo)

Matemática La alternativa correcta es B. (x – 2)2 = 2–x (2 – x)2 = 2–x



4.

PROGRAMA FOCALIZADO

3.

((x – 2) 2 = (2 – x) 2) (Simplificando)

2–x

La alternativa correcta es D. x2 – 3x – 54 = x2 – 81





Numerador: x2 – 3x – 54 = (x



Denominador: x2 – 81 = (x + 9)(x – 9)



Entonces:





)(x

)

(x + 6) (x – 9) = (x + 9) (x – 9)

(Factorizando)

2 números que multiplicados dé – 54 y sumados dé – 3 : – 9 y 6

(Simplificando)

x+ 6 x+9

5.

La alternativa correcta es C.



(7p2 + 7pq – 2p – 2q) = (No hay factor común en todos los términos y no es un producto notable, entonces factorizando por partes) 7p( p + q) – 2( p + q) = (Factorizando)



( p + q)(7p – 2)

Cpech

Preuniversitarios

3

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

6.

La alternativa correcta es B.



1 –y x = 1 –x y



1 – xy x = 1 – xy y



7.

(Dividiendo fracciones)

(Simplificando)

La alternativa correcta es E.



(a – b)3 = a3 – b3



(a – b)3 = (a – b)(a2 + ab + b2)



(a – b)2 (a + ab + b2)

8.

4

(1 – xy) y ∙ = x (1 – xy) y x

(Desarrollando numerador y denominador)

(Factorizando el denominador) (Simplificando)

2

La alternativa correcta es D.



mn – m mn – n : = n–1 m–1

(Factorizando)



m(n – 1) n(m – 1) : = n–1 m–1

(Simplificando)



m:n=



m n

Cpech

Preuniversitarios

Matemática La alternativa correcta es B.

(

) a + b – (a – b) :( ) = a+b a+b–a+b :( ) = a+b 2b 2b :( ) = a –b a+b

2b a–b : 1– = a2 – b2 a+b



2b a2 – b2



2b a2 – b2



2

2

2b a+b ∙ = a2 – b2 2b



1 (a + b)(a – b)



∙

(a + b) = 1 1 a–b

(Desarrollando el paréntesis) (Eliminando el paréntesis) (Reduciendo términos semejantes) (Dividiendo fracciones)

PROGRAMA FOCALIZADO

9.

(Simplificando y factorizando) (Simplificando)

10. La alternativa correcta es D.

I)

Es equivalente a (x – 5), ya que:



x2 – 10x + 25 = x–5

(Factorizando)



(x – 5)2 = x–5

(Simplificando)



II)

x–5

Es equivalente a (x – 5), ya que:



x2 + 2x – 35 x+7

=

(Factorizando)



(x + 7) (x – 5) = (x + 7)

(Simplificando)



x–5

Cpech

Preuniversitarios

5

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática



III)

NO es equivalente a (x – 5) , ya que: x2 – 25 x–5



=

(Factorizando)



(x + 5) (x – 5) = x–5

(Simplificando)



x+5

Cuadriláteros II 11. La alternativa correcta es A. D

A

6

x

x

C

85º 55º

B



ABCD trapecio, entonces, AB // DC, por lo tanto ángulo BAC = x. 85º es ángulo exterior del triángulo ABC, entonces:



x + 55º = 85º (Despejando x) x = 85 – 55 (Restando) x = 30º

Cpech

Preuniversitarios

Matemática

C

D

1)

5

5 �5 B

A



Aplicando teorema de Pitágoras en triángulo ABD:



BD = AD + AB

(Reemplazando)

(5�5 )2= 52 + AB2

(Desarrollando) (Multiplicando) (Despejando AB2) (Restando) (Aplicando � 5 )

2



2

2



25 ∙ 5 = 25 + AB2 125 = 25 + AB2 125 – 25 = AB2 100 = AB2 10 = AB



2)



C

D 5

5 �2 B

A



Aplicando teorema de Pitágoras en triángulo ADC:



AC = AD + DC

(Reemplazando)

(5�2 )2= 52 + DC 2

(Desarrollando) (Multiplicando) (Despejando DC 2) (Restando) (Aplicando � 5 )

2



2

2

25 ∙ 2 = 25 + DC 50 = 25 + DC 2 50 – 25 = DC 2 25 = DC 2 5 = DC

2

PROGRAMA FOCALIZADO

12. La alternativa correcta es D.



Cpech

Preuniversitarios

7

Matemática

PROGRAMA FOCALIZADO

3)



Área trapecio =



Área trapecio =



Área trapecio =



Área trapecio =

( ) ( ) ( )

AB + DC ∙ AD (Reemplazando) 2 10 + 5 ∙ 5 2

(Sumando)

15 ∙ 5 2

(Multiplicando)

75 cm2 2

13. La alternativa correcta es A. a

S

T

3a

R

a�10 Q

P



Aplicando teorema de Pitágoras en triángulo STP:



PT = ST + PS

(Reemplazando)

(a�10 )2= a2 + PS 2

(Desarrollando) (Multiplicando) (Despejando PS 2 ) (Restando) (Aplicando �10 )

2





8

2

2

a2 ∙ 10 = a2 + PS 2 2 2 2 10a = a + PS 10a2 – a2 = PS 2 9a2 = PS 2 3a = PS, entonces QR = 3a



Por lo tanto:



Área trapecio =



Área trapecio =



Área trapecio =



Área trapecio =

Cpech

Preuniversitarios

( ) ( ) ( ) PQ + TR 2

∙ QR

4a + 3a ∙ 3a 2

7a ∙ 3a 2

21 2 a 2







(Reemplazando) (Sumando) (Multiplicando)

Matemática 3

D M

2

A

PROGRAMA FOCALIZADO

14. La alternativa correcta es D. C N

F

B

E 7



M, N puntos medios, entonces, MN es mediana.



MN =

AB + DC 2

(Reemplazando)



MN =

7+3 2

(Sumando)



MN =

10 2



(Dividiendo)

MN = 5

La mediana dimidia a la altura, entonces, DF = FE = 1 cm 3

D 1 F 1 E

M A

C

5

N B

7



Por lo tanto:

Área trapecio MNCD =

Área trapecio MNCD = Área trapecio MNCD =

( ) ( ) ( )

MN + DC ∙ DF 2

(Reemplazando)

5+3 2

(Sumando)

8 2

∙ 1



∙ 1

(Dividiendo)

Área trapecio MNCD = 4 cm2

Cpech

Preuniversitarios

9

PROGRAMA FOCALIZADO 15. La alternativa correcta es C.

Matemática

D 4

A

3

E

5

C

3

4

F 4 B

BD ⊥ AC : diagonales del deltoide.



Si BD = 12 cm y DE = EF = FB, entonces DE = 4 cm.

Aplicando teorema de Pitágoras en el triángulo DEC, EC = 3 cm. Como la base del deltoide es AC , entonces AE = EC, por lo tanto AE = 3 cm. Entonces: AC ∙ DB 2 6 ∙ 12 Área deltoide = 2



Área deltoide =

Área deltoide = 6 ∙ 6 Área deltoide = 36 cm2

10

Cpech

Preuniversitarios

(Reemplazando)



(Simplificando)



(Multiplicando)

Matemática D

2

C

6

4

4

A

PROGRAMA FOCALIZADO

16. La alternativa correcta es E.

2�3 E



ABCD trapecio isósceles, entonces: AD = BC = 4



Al bajar las 2 alturas, AE = FB

6

F

60º 2

B

Triángulo FBC, de ángulos 30º, 60º y 90º, entonces: FB = 2 y CF = 2�3 Por lo tanto:







I)

Verdadera, ya que: BC = 4

II)

Verdadera, ya que:



Área trapecio =



Área trapecio =



Área trapecio =



Área trapecio = 16�3

III)

Verdadera, ya que: AB = 10

( ) ( ) ( )

AB + DC ∙ CF 2

(Reemplazando)

10 + 6 ∙ 2�3 2

(Sumando)

16 ∙ 2�3 2

(Simplificando)

Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa.

Cpech

Preuniversitarios

11

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

17. La alternativa correcta es C.

A



45º

3�2

E

C

3�2

3�2 3�2

B



Como DC = BC = 3�2, entonces DE = 3�2 y EB = 3�2 Triángulo AED rectángulo isósceles, entonces AE = 3�2



Triángulo AED con ángulos 45º, 45º y 90º, entonces:



AD = 3�2 ∙ �2 AD = 3 ∙ 2 AD = 6



Entonces:



I)



II)

Área trapecio =



Cpech

III)

(Sumando)

Verdadera, ya que:





(Multiplicando) (Desarrollando)

Perímetro del trapecio = 3�2 + 3�2 + 3�2 + 3�2 + 6 Perímetro del trapecio = 12�2 + 6

Área trapecio =





Verdadera, ya que:





12

3�2

D

( ) ( ) ( )

AB + DC ∙ BC 2

(Reemplazando)

6�2 + 3�2 2

(Sumando)

∙ 3�2

9�2 ∙ 3�2 2 9∙ 2∙ 3 Área trapecio = 2 Área trapecio =

(Multiplicando) (Simplificando)

Área trapecio = 27 Falsa, ya que es un trapecio rectángulo, además el trapecio escaleno tiene todos sus ángulos interiores distintos.

Preuniversitarios

Matemática

A

α

D

C

E

F

α

PROGRAMA FOCALIZADO

18. La alternativa correcta es C.

B



I)

Verdadera, ya que: ABCD trapecio isósceles, entonces AD = BC



II)

Falsa, ya que: Ángulo BAD = Ángulo CBA



III)

Verdadera, ya que: ABCD trapecio isósceles, entonces al bajar las 2 alturas, AE = FB

19. La alternativa correcta es A. D

A

E

C

B



(1)





AC = 10 cm y BD = 14 cm. Con esta información es posible determinar el área del deltoide, ya que dan las medidas de las diagonales, cuya fórmula es: Área deltoide =

AC ∙ BD . 2

(2) BD es base del deltoide, BE = 7 cm y EC = 6 cm. Con esta información, no es posible determinar el área del deltoide, ya que no podemos determinar la medida de AE. Por o tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

Cpech

Preuniversitarios

13

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

20. La alternativa correcta es D. D

C E

A







B

(1)

BD = 6 cm y BC = 4 cm. Con esta información y la del enunciado, es posible determinar el perímetro del triángulo ADC, ya que el trapecio es isósceles, entonces las diagonales y los lados no paralelos son iguales, por lo tanto:



Perímetro del triángulo DBC = Perímetro del triángulo ADC

(2)

Perímetro ∆ BDC = 13 cm. Con esta información es posible determinar el perímetro del triángulo ADC, ya que el trapecio es isósceles, entonces las diagonales y los lados no paralelos son iguales, por lo tanto:



Perímetro del triángulo DBC = Perímetro del triángulo ADC.

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

Registro de propiedad intelectual Nº 186716 del 1 de diciembre de 2009. Prohibida su reproducción total o parcial.

14

Cpech

Preuniversitarios