Solmate1 (24)

PROGRAMA FOCALIZADO

Solucionario Nº6

Ciencias Plan Común

Matemática • •

Álgebra I Cuadriláteros I SLDCFOMTA04062V1

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

Álgebra I 1.

La alternativa correcta es D



2.

x6 – y6 = (x + y )(x3 – y3) 3

La alternativa correcta es C.

(7 – �5 )2 =



72 – 2 ∙ 7�5 + (�5 )2 =



49 – 14�5 + 5 =



3.



(Aplicando cuadrado de binomio) (Desarrollando) (Sumando)

54 – 14�5

La alternativa correcta es B.

( �



2∙

( � ) 2∙

3 2

2

–2∙ 2∙

�

3 ∙ 3∙ 2

�

3 –3∙ 2

(

32 + 3∙ 3

� �

32 3

) )

2

= (Aplicando cuadrado de binomio)

2

32 = (Desarrollando) 3



3 4 ∙ 2 – 12

32 3 32 +9∙ = (Simplificando) 3 2 ∙ 3



2∙

3 – 12 1

32 1 16 +3∙ = (Multiplicando) 1 1 ∙ 1



102 – 12�16 = (Resolviendo la raíz)

102 – 12 ∙ 4 = (Multiplicando)



102 – 48 = (Restando)

Cpech

� �

6 – 12�16 + 96 = (Sumando)



2

(Factorizando)

3

Preuniversitarios

54

Matemática La alternativa correcta es A.



5.

2x2 – 242 = 2(x2 – 121) = 2(x + 11)(x – 11)

(Factorizando por 2) (Factorizando el paréntesis)

Por lo tanto, uno de los factores es (x + 11).

La alternativa correcta es D. Al observar la expresión, nos podemos dar cuenta que el numerador y el denominador tienen la misma expresión pero con signo contrario, entonces:



c–4 = 4–c



–4+c = 4–c – (4 – c) = 4–c

6.

PROGRAMA FOCALIZADO

4.

(Ordenando el numerador) (Expresando de otra forma el numerador) (Simplificando)

–1

La alternativa correcta es A.



x2 – x – 30 = x2 – 4x – 12 (x ) (x ) = (x ) (x )

(Factorizando)



En el numerador debemos encontrar 2 números que multiplicados dé – 30 y sumados –1, los números son: 5 y – 6.



En el denominador debemos encontrar 2 números que multiplicados dé – 12 y sumados – 4, los números son: – 6 y 2.

Entonces:

(x + 5) (x – 6) (x + 2) (x – 6)

=

(Simplificando)

x+5 x+ 2

Cpech

Preuniversitarios

3

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

7.

La alternativa correcta es C. xy2 – x : y + 1 = y y2



x(y2 – 1) : y

(y + 1) y2

=

(Dividiendo fracciones)

y2 (y + 1)

=

(Factorizando)

x(y + 1) (y – 1) ∙ y2 = y (y + 1)

(Simplificando)



x(y2 – 1) ∙ y



8.





4

Cpech

(Factorizando)

x(y – 1) ∙ 1

y = 1

(Multiplicando)

xy2 – xy

La alternativa correcta es D. I) Es divisible por a – 1, ya que: a3 – 1 = 2 (a – 1)(a + a + 1)

(Factorizando)

II) Es divisible por a – 1, ya que: ax – x + ay – y = x ( a – 1) + y(a – 1) (a – 1)(x + y)

(Factorizando por partes) (Factorizando)

III) Es divisible por a – 1, ya que: a2 – 2a + 1 = (a – 1)2

(Factorizando)

Preuniversitarios

Matemática La alternativa correcta es C.





x8 – y8 = x4 + y4 (x4 + y4) (x4 – y4) = (x4 + y4)



(x4 – y4) =



(x2 + y2)(x2 – y2)

PROGRAMA FOCALIZADO

9.

(Factorizando) (Simplificando) (Factorizando)

Entonces:

(1) x2 + y2 = 5. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de x8 – y8 . x4 + y4





(2) x2 – y2 = 3. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de



x8 – y8 . x4 + y4 Con ambas juntas, sí se puede determinar el valor numérico de cemos el valor numérico de (x2 + y2) y de (x2 – y2).



x8 – y8 , ya que conox4 + y4

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

10. La alternativa correcta es B. x5 + y5 = (x + y)5 (1) x = 1. Con esta información no podemos concluir que son iguales.

(2) y = 0. Con esta información podemos concluir que son iguales.





Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.

Cpech

Preuniversitarios

5

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

Cuadriláteros I 11. La alternativa correcta es C.

Llevando los datos al dibujo, se tiene: F 3

D

6

6

G

A



C

3 B

6

E

Aplicando teorema de Pitágoras en ∆ FEG: 2



2

2

EF = GE + FG

(Reemplazando)



EF2 = 92 + 62

(Desarrollando las potencias)



EF2 = 81 + 36



EF2 = 117



EF = �117 cm



(Sumando) (Aplicando �11)

12. La alternativa correcta es B. x 4





6

Cpech

3

Las diagonales del rombo se dimidian y son perpendiculares, entonces si miden 6 cm y 8 cm, las medidas de los lados de los triángulos rectángulos que se forman, miden 3 cm y 4 cm, por lo tanto el tercer lado mide 5 cm y corresponde al lado del rombo. Entonces: Perímetro de la figura = 5 ⋅ 6 = 30 cm

Preuniversitarios

Matemática H

D

C G

E A





F

B

Como E, F, G y H son puntos medios, se forman 8 triángulos congruentes, por lo tanto, el área achurada corresponde a un cuarto del área del rectángulo.

PROGRAMA FOCALIZADO

13. La alternativa correcta es C.

Entonces, la razón entre el área achurada y el área del rectángulo es 1 : 4

14. La alternativa correcta es D.

6

3

8

Área = 8 · 3 = 24 cm Cantidad 24 30

5 2

Porcentaje 100 x

Por proporción directa: 24x = 30 ∙ 100

x=

30 ⋅ 100 24

5 ⋅ 100 4 x = 5 ∙ 25 x = 125% x=

Área = 5 · 6 = 30 cm2

(Despejando x) (Simplificando por 6) (Simplificando por 4) (Multiplicando)

Por lo tanto, el área aumentó en un 25% (125% – 100%)

Cpech

Preuniversitarios

7

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

15. La alternativa correcta es B.

Perímetro ∆ PSR = 36 cm 3x = 36 36 3

(Despejando x)



x=



x = 12



Por lo tanto, el lado del triángulo equilátero mide 12 cm, entonces:



SQ = 6 cm y TP = 6 cm

PQ altura del triángulo equilátero de lado 12 cm, entonces,



PQ = 6�3 cm, entonces TS = 6�3 cm

(Dividiendo)

T

6�3

S

6

12

6 Q

P

12

6 R

=

6 ∙ 6�3 2



=

3 ∙ 6�3 (Multiplicando) 1



= 18�3 cm2



8

Cpech

Área achurada

Preuniversitarios

(Simplificando)

Matemática

PROGRAMA FOCALIZADO

16. La alternativa correcta es E. Llevando los datos al dibujo: S

3 W

3

3

R

3

3 V

3

3

T 3

3

P

3 Q

3

3

U

9

9

Aplicando teorema de Pitágoras en el triángulo WRV, WV = 3�5 cm. Por lo tanto, el lado del cuadrado TUVW mide 3�5 cm, entonces:



Área cuadrado TUVW = (3�5 )2 (Desarrollando) Área cuadrado TUVW = 9 ∙ 5 (Multiplicando) Área cuadrado TUVW = 45 cm2

17. La alternativa correcta es C.

I) II) III)

Falsa, ya que las diagonales de un rombo son distintas. Falsa, ya que las diagonales de un rectángulo NO son perpendiculares. Verdadera.

Cpech

Preuniversitarios

9

PROGRAMA FOCALIZADO

Matemática

18. La alternativa correcta es B.



Perímetro del rectángulo = 30 cm 2x + 2y = 30 x + y = 15 Los lados están en la razón 2 : 1, entonces: x = 2k, y = k

2k + k = 15 3k = 15 k= 5

(Dividiendo por 2)

x + y = 15 (Sumando) (Despejando k)

(Reemplazando)

Por lo tanto, los lados miden 10 cm y 5 cm.



I) II)

Falsa, ya que la diagonal del rectángulo mide 5�5 cm. Verdadera, ya que los lados miden 10 cm y 5 cm, entonces el área del rectángulo mide 50 cm2.

III)

Falsa, ya que las diagonales del rectángulo NO son perpendiculares.

19. La alternativa correcta es A.

(1)

Las diagonales del rombo miden 14 cm y 28 cm. Con esta información es posible determinar el perímetro del rombo, ya que las diagonales son perpendiculares y se dimidian, entonces aplicando teorema de Pitágoras podemos determinar el lado del rombo y con él su perímetro.



(2)

El área del rombo mide 196 cm2. Con esta información, no es posible determinar el perímetro del rombo.

Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

10

Cpech

Preuniversitarios

Matemática

(1)



(2)



El área del cuadrado mide 128 cm2. Con esta información es posible determinar la medida del lado del cuadrado, ya que el área de éste es igual al lado al cuadrado. La diagonal del cuadrado mide 16 cm. Con esta información es posible determinar la medida del lado del cuadrado, ya que la diagonal de éste es igual al lado por �5 .

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

PROGRAMA FOCALIZADO

20. La alternativa correcta es D.

Registro de propiedad intelectual Nº 186716 del 1 de diciembre de 2009. Prohibida su reproducción total o parcial.

Cpech

Preuniversitarios

11