SOLIDOS 3
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UNIDAD 3 CAPITULO 2: CORTE SIMPLE 2.1 Concepto de esfuero de corte s!"p#e.
El esfuerzo de corte o de cizalle simple es el que se produce por una fuerza p$r$#e#$ al área sobre la que actúa, dividida por dicha área, como se muestra en la figura 2.1. Es decir: τ
=
P
(2.1
A
)
) !igura 2.1. Esfuerzos de corte "as aplicaciones más importantes son en uniones apernadas, remachadas o con pasadores, chavetas usadas para bloquear engrana#es $ poleas a los e#es, uniones pegadas en madera, etc. "a resistencia al corte de los materiales, en general, es s%lo una fracci%n de la resistencia en tracci%n. &s', para los metales, puede considerarse, según la eor'a de resca, que se verá más adelante, que la resistencia a la fluencia en corte es la mitad de la resistencia a la fluencia en tracci%n. Es decir: τ 0
= σ 0
(2.2
2
)or consiguiente, el esfuerzo admisible en corte es: τ adm
≤
τ 0
FS
=
σ 0
2 FS
(*.*
+i el !actor de +eguridad es 2,, entonces: τ adm
≤
τ 0
FS
=
σ 0
5
(2.-
e acuerdo con la eor'a de /on 0ises, la relaci%n entre el esfuerzo de corte $ el esfuerzo de tracci%n es: τ 0
=
σ 0
3
= 0,577σ 0
(2.
2.2 E#e"entos de un!%n so"et!dos $ corte: pernos& re"$c'es& p$s$dores
E(EMPLO 2.1
& la uni%n remachada de la figura se aplica una fuerza ) *. 3gf, $ el diámetro del remache es de 1,2 cm. eterminar: $) el esfuerzo de corte medio en la secci%n transversal del remache4 *) "a tensi%n de fluencia necesaria, con un !actor de +eguridad de 2, para resistir adecuadamente la carga. -. 3gf. El área que resiste esta fuerza es & -d cm2. )or lo tanto: τ
=
P A
=
4.000 40 d
≤ τ adm = 4 ⇒
d ≥
4.000 160
= 25 cm
*) "a fuerza que comprime el bloque & es la componente vertical de la fuerza de
. 3g, es decir, . ; sen θ . ; ,? *. 3gf. El área sobre la que actúa esta fuerza de compresi%n, normal a la fuerza vertical es & 2 ; - 1 cm 2. )or lo tanto: σ c
= P = 3.000 = 30 kg / cm 2 A
100
E(EMPLO 2.+
El pasador de la figura tiene 12 mm de diámetro $ está construido de acero & *@ A 2-. "a cabeza del pasador tiene un diámetro de 2 mm $ una altura!de mm. $) eterminar la má;ima fuerza ! 2 que puede aplicarse, con un factor de seguridad de 2, para que el pasador resista a la tracci%n $ al corte4 *) +i el material de la placa de apo$o es el mismo del remache, determinar el espesor m'nimo de ella, e, para la fuerza calculada en la parte a.
!
e
+5"67859: $) !
!
& la tracci%n:
σ
=
F A
=
F D
π
2
F
= π
(1,2)
4
2
=
F 1,131
≤ σ adm =
σ 0
2
= 1.200 kg / cm 2 ⇒ F ≤ 1.357,2 kgf
4
&l corte: El área sometida a corte está en la cabeza del pasador, $ es el área perimetral del pequeBo cilindro del diámetro del pasador $ del espesor de la cabeza, es decir: & 2π ; ,? ; , 1,>> cm 2. )or consiguiente: &rea de corte
τ
= F = A
F 1,885
≤ τ adm =
σ 0
4
=
2.400 4
= 600 kg / cm 2 ⇒
F ≤ 1.131 kgf
)or lo tanto, esta última fuerza de 1.1*1 3gf, es la má;ima que puede aplicarse para cumplir con las dos e;igencias. *) &hora el área que resiste el corte de la cabeza del pasador es el área que genera
la cabeza al penetrar en la placa de apo$o. Es decir: & 2π ; 1,2 ; e C el esfuerzo de corte es: τ
=
F A
=
1.131 2π × 1,25 × e
≤ τ adm =
σ 0
4
E(EMPLO 2.,
6na plancha como la que se muestra, de 1 ; * cm $ mm de espesor, debe perforarse con un punz%n de > mm de diámetro. eterminar la fuerza necesaria para romper la chapa, si Dsta es de acero & *@ 2-.
= 600 kg / cm 2 ⇒
e ≥ 0,24 cm
F
+5"67859: &hora la fuerza de corte debe vencer la resistencia má;ima al corte, la cual podemos estimar a partir de la resistencia a la tracci%n del acero. Es decir:
$,
τ
=
σ u
=
τ max
=
2
F
F
=
A
3.700
De
2
F
=
π
= 1.850 kg / cm 2
π
× 0,8 × 0,5
≥ τ max = 1.850 ⇒ F ≥ 2.324,8 kgf
E(EMPLO 2.-
)ara la transmisi%n de un e#e a otro, se usa un dispositivo de machones, los cuales van unidos con cuatro pernos en las posiciones indicadas. El mach%n transmite una potencia de 1 F) girando a 1 rpm. "os pernos van en una circunferencia de radio G 2 cm $ se constru$en de acero estructural & *@ 2-. 7on un factor de seguridad 2,, determinar el diámetro de cada perno, redondeado en mm.
R
+5"67859: El orque es: 71.620 Pot
T =
∑0
4 τ 0
71.620 × 100 100
!7 ; 2 @1.?2 σ 0
=
=
24
2
=
τ adm
τ
rpm
=
=
2
τ 0
FS
F C A
=
=
= 4,8
2,5
3.581 4 π
⇒
kgf * cm
!7 *.>1 3gf
kg / mm 2
= 12
12
= 71.620
D
2
kg / mm 2
≤ τ adm = 4,8
G
!c
4
El área resistente se ha multiplicado por - para considerar los cuatro pernos. )or lo tanto: D ≥
3.581 4π
= 15,41 mm
)ara redondear en mm, se adopta 1? mm 2.3 r!d$s / c'$0et$s
"as chavetas son componentes de máquina que se utilizan para impedir el movimiento relativo entre e#es $ poleas o engrana#es. En las aplicaciones siguientes se estudia su comportamiento. E(EMPLO 2.
)ara transmitir el movimiento desde la polea al e#e se usa una chaveta de 1 ; 1, ; @, cm, como se muestra en la figura. "as fuerzas !1 $ !2 producen un torque de 1.> 3gAcm, en sentido horario. eterminar el esfuerzo de corte medio en la chaveta.
@,
!7
1, 1
? cm !2
!1
+5"67859: "a fuerza de corte sobre la chaveta debe equilibrar el torque, de modo que: !c ; G 1.> ! c ; * ⇒
!c ? 3gf
)or tanto el esfuerzo de corte es: τ
=
F c A
=
600 1 × 7,5
= 80 kg / cm 2
E(EMPLO 2. 1. 3gf
El balc%n horizontal de la figura está cargado con una carga total de 1. 3gf, distribuida de un modo simDtrico radialmente. El apo$o central es una columna de cm de diámetro $ el balc%n está soldado a las superficies superior e inferior de la columna con cordones de soldadura de espesor e mm de lado. eterminar el esfuerzo de corte medio en la soldadura.
e
cm
+5"67859: El área que resiste el corte es & 2e ; π 1 ; π ; 1@,> cm 2 El esfuerzo de corte es: τ
E(EMPLO 2.
=
F A
=
10.000 157,08
= 63,66 kg / cm 2
El sistema de la figura está constituido por un poste &, de fundici%n, (E 1, ; 1 ? 3gcm24 H 12 ; 1A? 1I7, de 12 cm2 de secci%n transversal, $ una barra de acero =, (E 2,1 ; 1 ? 3gcm24 H 12 ; 1 A? 1I7, de ? cm 2 de secci%n transversal. "a escuadra 7E es r'gida. El sistema completo se somete a una disminuci%n de temperatura de *I7 $ a una fuerza ! aplicada en 7. eterminar: a el valor admisible para ! si los esfuerzos admisibles son de - 3gcm 2 en la fundici%n $ de 1.2 3gcm 2 en el acero4 b "a dimensi%n del pasador en E, si Dste se constru$e de acero +&E 1-, templado $ revenido a - I7, con las siguientes propiedades mecánicas: J ?> 3gmm24 Ju >K 3gmm24 F= 2?>, L 2*M, con !+ 2,. 0edidas en m.
etalle en E =
4
2
=
E 1
1
7 1
1
1
)asador
+5"678N9: a =
)+t ?J+t P+t
Q
4 O )! 12J! &
Equilibrio:
C
P!
Q
∑ M
= 3 F − 2 × 12σ F − 6σ St = 0
D
eformaciones: +e supone que el poste de !undici%n se acorta por la compresi%n que e#erce la fuerza )! $ por la disminuci%n de temperatura, mientras que la barra de acero se alarga por la fuerza ) +t $ se contrae por la temperatura. )or lo tanto, despreciando los desplazamientos horizontales: ∆ St
∆ F
=
1
⇒
∆ F = 2∆ St
2
⇒
( ∆ P + ∆T ) F = 2( ∆ P − ∆ T ) St
× 100 σ St × 200 −6 −6 + × × × = − × × × 12 10 100 30 2 12 10 200 30 ; 2,1 ; 1? 6 6 1,05 × 10 2,1 × 10 σ F
− 75.600 = 400σ St + 302 .400 ⇒
200σ F
σ F
= 2σ St − 1.890
+i J+t (J+t &dm 1.2, se tiene que J ! 1 3gcm 2 R (J! &dm )or lo tanto: σ St
( σ F ) Adm + 1.890
=
2
= 1.145 kg / cm
2
Geemplazando en la ecuaci%n de 0omento: F =
24 × 400 + 6 × 1.145 3
= 5.490 kgf
b el e#ercicio anterior, la fuerza sobre la barra de acero es: )+t ?J+t ? ; 1.1- ?.>@ 3gf "a fuerza sobre el pasador es la mitad de Dsta. Es decir: / *.-* 3gf τ 0
τ
=
σ 0
2
=
V A
=
68 2
=
34 kg / mm
= 3.435 = 2 D
π
4.373,6 D 2
2
τ Adm
=
≤ τ Adm = 13,6 ⇒
τ 0
FS
D
=
34 2, 5
=
= 13,6 kg / mm 2
336,43
= 18,34 mm
4
)uede adoptarse un pasador de 2 mm de diámetro.
2.15) os tablas de madera de ,S de espesor $ KS de ancho son unidas por la
#unta de muesca pegada que se muestra. +i se sabe que la madera utilizada falla
por corte a lo largo de su fibra con un esfuerzo cortante medio de 1,2 3psi, determinar: a "a magnitud de la fuerza a;ial ) que hará fallar la #unta4 b "a magnitud de la fuerza admisible con un !actor de seguridad de *. (>S 1S
)
) 1S
2S (>S
+5"67859: a
7orte originado sobre la tabla izquierda
7orte originado sobre la tabla derecha
En la figura de arriba se muestran las dos zonas susceptibles a fallar por corte, tanto en la tabla del lado izquierdo como en el derecho. abla izquierda: 1 5 30 ( Area ) Izq = × × 6 = = 1,875 pu lg 2
2
8
16
El área se ha multiplicado por seis debido a que ha$ seis secciones en las que se origina el corte. ambiDn se obtiene el mismo resultado si suponemos que la carga ) se divide en las seis superficies de corte. Gesistencia de !alla 1,2 3psi 1.2 psi τ
=
( P ) Falla A
=
( P ) Falla 1,875
()!alla 2.2 lb abla derecha:
= 1.200
El área de corte para la tabla derecha es la misma que la de la izquierda, por lo que la carga de falla es la misma. b )ara que la uni%n resista, con !actor de +eguridad de *. P ADM =
P Falla FS
=
2.250 3
= 750 lb
2.11) os tablas de madera de 1 ; 2 mm secci%n son unidas por la #unta de
muesca pegada que se muestra (ha$ pegamento en todas las superficies en contacto. +i se sabe que la #unta fallará cuando el esfuerzo cortante medio en el pegamento alcance K 3)a, determinar la longitud d requerida para soportar una fuerza a;ial ) - 39. 0edidas en mm. d )egamento 2
) 2
)
+5"67859: &rea (1d ; @ 1d mm2 1 ; 1A? m2 τ
=
P A
=
4.000 105d × 10 −3
≤ 900 × 1000
d -2,** ; 1 A* m -2,** mm 7on esta distancia d la #unta fallará, por lo que para traba#ar en condiciones seguras, con un factor de seguridad de 2, se adopta d > mm.
2.12) 6na carga ) se aplica a una barra de acero de apo$ada como se muestra por
una platina de aluminio en la cual se ha perforado un agu#ero de 12 mm de diámetro. +i los esfuerzos de corte admisibles son de 1> 0)a en el acero $ @ 0)a en el aluminio, determinar la má;ima carga que puede aplicarse a la barra. 0edidas en mm.
T - 1
12
) +5"67859: "as zonas de posible cortadura se muestran el figura siguiente.
7orte en el acero
7orte en el aluminio
) )ara el acero: τ
= P = A
P π
−3
× 12 × 10 × 10 × 10
−3
≤ 180 × 10 6
) &0 ?@.>>,- 9 )ara el aluminio: τ
=
P A
=
P π
−3
× 40 × 10 × 8 × 10
−3
≤ 70 × 10 6
) @.*@1,@ 9 )or lo tanto la má;ima carga es de ?@.>>,- 9
eterminar el ma$or diámetro de un agu#ero redondo que puede perforarse en seis ho#as de polietileno de 1 mm de espesor cada una, si se hace una fuerza de -. 3gf $ se requiere de un esfuerzo de corte de ? 3gcm 2 para cortar el material. 2.13)
+5"67859: τ
= P = A
4.000 6 × ( π × D × 0,1)
= 560
*,@K cm
2.1+) "a lámpara de la figura pesa 1 3gf $ está soportada por un brazo que pesa -
3gm. El pasador en & está construido de acero & *@ 2-. 6sando un !actor de +eguridad de -, determinar el diámetro del pasador.
&
* cm 1m
+5"67859:
&
* cm
0 & G &
1 3gf
- 3gf
/ G &
/
0 &
∑ F Y
= R A − 4 − 10 = 0
∑ M A
= M A − 4 × 0,5 − 10 × 1 = 0
&nálisis del pasador:
∑ M O
= M A − V × 15 × 2 = 0
G & 1- 3gf 0 & 12 3gAm 1.2 3gAcm
/ - 3gf τ 0
τ ADM
=
V
40
A
=
FS
D
π
2
=
1.200 4
≤ 300 ⇒
= 300 kg / cm 2 D ≥
40 × 4 300π
= 0,412 cm
4
+e adopta mm.
2.+ Otros esfueros en #$s cone6!ones
En el e#ercicio anterior se vio que la barra = tira hacia arriba del pasador, produciendo un esfuerzo de corte sobre Dl. & su vez, el pasador actúa sobre la ore#a de la barra $ sobre las ore#as del soporte, produciendo esfuerzos de corte $ de compresi%n. & estos últimos algunas veces se les llama Esfueros de Ap#$st$"!ento. ?.>@ 3gf = 7orte
*.-*
*.-*
5re#a de la barra:
&plastamiento del agu#ero e )asador
=arra =
=arra =
)arte 8nferior
h
esgarre
)arte +uperior
b
Entonces, en el sector del agu#ero, el esfuerzo de tracci%n neto sobre la barra de acero es igual a la fuerza sobre el acero, dividida por el área neta, es decir: σ
=
P St A N
=
P St e ( b − D )
(2.?
donde e es el espesor de la barra. El esfuerzo de corte sobre la ore#a de la barra de acero que puede producir desgarre si el agu#ero está mu$ cerca del borde es: τ
=
P St A
P St
=
(2.@
e
!inalmente, el esfuerzo de compresi%n o de aplastamiento en la secci%n transversal de la ore#a en que se apo$a el vástago es igual a la fuerza que actúa sobre la barra de acero, dividida por el área que pro$ecta el diámetro, es decir:
=
σ Apl
P St A P
=
P St
(2.>
eD
E(EMPLO 2.1,
&plicar las ecuaciones (*.?, (*.@ $ (*.> al e#ercicio *.K para calcular los esfuerzos definidos por dichas ecuaciones. +5"67859: enemos que la barra de acero tiene una secci%n transversal de ? cm 2, $ para el pasador se calcul% un diámetro de 2 mm. )ara nuestros cálculos supondremos que el área neta es de ? cm 2, b cm $ calcularemos e. Esfuero de tr$cc!%n en #$ ore7$: σ
=
P St A N
=
P St e ( b − D)
=
6.870 e × ( 5 − 2)
≤ σ Adm = 1.200 kg / cm 2
)or lo tanto e R 1,K> cm. +e asumirá e 2 mm 2 cm. Esfuero de corte en #$ ore7$:
+e calculará el valor de h. τ
=
P St A
=
P St e
=
6.870 2
≤ τ Adm =
600
⇒
≥ 5,73 cm
+e adopta h ? cm. Esfuero de $p#$st$"!ento en #$ ore7$:
"a resistencia al aplastamiento suele ser un poco ma$or que la resistencia a la fluencia a la tracci%n, por lo que se adoptará un valor admisible igual al ?M de la tensi%n de fluencia.
σ Apl
=
P St A P
=
P St eD
=
6.870 e×2
≤ 0,65 × 2.400 kg / cm 2 ⇒
e ≥ 2,202 cm
!inalmente, se adoptará e 2,- cm 2- mm, lo que ratifica tambiDn el valor calculado para h. )ara las ore#as del soporte se hace un análisis similar, teniendo en cuenta el número de ore#as, que en este caso son dos.
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