Sol de problemas matematicas

GUICFOMTA04272V1

Programa Focalizado Función de variable real II Marco Teórico 1. Función parte entera

1.1 Definición Su valor, para cada número x ∈ IR, es la parte entera de x y se designa por [x]. Ésta se escribe: f (x) = [x] El valor de [x] es el menor de los dos números enteros entre los cuales está comprendido x, o si x es un número entero, [x] = x, es decir [x] � x < [x + 1]

2. Función valor absoluto

2.2 Definición Si x ∈ IR, el valor absoluto de x es un número real no negativo que se define: f(x) = |x| =

x si x ≥ 0 – x si x < 0

3. Función raíz cuadrada

3.2 Definición f(x)= �x

Dom f: IR+ ∪ {0} Rec f: IR+ ∪ {0} y y =�x x

2

Cpech

Preuniversitarios

Matemática Ejercicios PSU 1.

Sea la función f(x) = [x] – 3, entonces el valor de f(4) – f(0,8) es



A) B) C) D) E)

2.

El valor numérico de la expresión



A)

–1 9



B)

0



C)



D)



E)

3.

[5,9]2 – [– 6,6] = [4,7]



A)

4 3 –2 –1 ninguno de los valores anteriores [0,3] + [– 0,8] es [– 8,2]

1 9 1 8 ninguno de los valores anteriores.

42 5



B) 8



C)



D)



E)

17 4 18 5 Ninguno de los valores anteriores.

Cpech

Preuniversitarios

3

Programa Focalizado 4.

¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?



I)

[– 9 : 4] = – 3



II)

[10,8 ] = 11



III)



A) B) C) D) E)

5.

¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función f(x) = [x] + 1?



A)

1– 1 7



Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III

y

y

B)

2

2 –1

y

C)

1

–2 –1

x

1 2 3 –1

1 –1

1 2

x

–1

1 2 3

–1 –2



y

D)

–1



1

–1 –2 –3

4

Cpech

Preuniversitarios

2

3

x

E)

Ninguno de los gráficos anteriores

x

Matemática 6.

¿Cuál de las siguientes funciones está representada por el gráfico de la figura?



A) B) C) D) E)

7.

¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función f (x) = [x – 3]?



A)

y

f(x) = [x] – 2 f(x) = [x + 2] f(x) = [x – 2] f(x) = 2 – [x] Ninguna de las funciones anteriores.

y

B)

3 2 1 1

–1 –1

y

2 3 4

x

y

C)

3 –2 –1

1

2

3

–1

2

x

–2

–1

–3

1 2 3 4

x

–2 –3 –4

–4



y

D)

x

–1

1

–1

1 2 3 4

E)

Ninguno de los gráficos anteriores.

3 2 1 1

–3 –2 –1

x

2

8.

La tarifa mínima de un taxi es $ 200 y por cada 200 metros recorridos, esta tarifa va aumentando en $ 100. La fórmula que relaciona el precio (y), en pesos, con la distancia recorrida (x), en metros es



A) y = 300 ∙[x]



B) y = 200 ∙[x] + 100



C) y = 100 ∙



D) y = [x] + 300



E)

x 200

+ 200

y = [x] + 200

Cpech

Preuniversitarios

5

Programa Focalizado 9.

Según la función f(x) = [x + 5], definida en los reales, se puede afirmar que



I) el recorrido de la función es el conjunto Z. II) el gráfico correspondiente a la función es una línea recta. III) f(– 7,5) = – 2.



A) B) C) D) E)



Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo I y III

10. Si f(x) = |x + 3| – x , con x ≠ 4, entonces f(– 5) es igual a |x – 4| A) –7 9 –1 B) 3 1 C) 3 7 D) 9

E)

ninguno de los valores anteriores.

11. El gráfico correspondiente a la función f(x) = |x – 2| – |3 – x|, intersecta al eje de las ordenadas en el punto

A) (0, – 5)



B) (0, – 1)



6

( 52 , 0) D) (0, 5 ) 2 C)

E) no lo intersecta.

Cpech

Preuniversitarios

Matemática 12. El intervalo solución de |x – 6| � 12 es

A)



B) ]– 6, 18[



C) [– 6, 18]



D) ]– ∞, 18]



E)

[– 6, 18[

[18, + ∞[

13. El intervalo solución de

A) ]– ∞, 33[



B)



C) ]– 8, 8[



D)

[– 15, 33]



E)

]– 15, 33[

|

|

x – 3 < 8 es 3

]– ∞, 8[

14. Si |8x – 4| = 52, entonces x es igual a

A) B) C) D) E)

–7 7 7 ó –6 7 ó –7 ninguno de los valores anteriores.

15. El intervalo de números reales que se encuentran a lo más a 25 unidades del número 4 es

A)

[– 29, 21]



B)

]– 29, 21[



C) ]– 21, 29[



D)

[– 21, 29]



E)

]– ∞, 29]

Cpech

Preuniversitarios

7

Programa Focalizado 16. Con respecto al gráfico de la función f(x) = 10 – |x| , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Intersecta al eje de las abscisas en x = – 10 y x = 10. II) Tiene su vértice en el punto (0,10). III) Sus ramas se abren hacia abajo.

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo II y III I, II y III

17. La función que corresponde al gráfico de la figura es y



A) f(x) = |x| – 5

B) f(x) = |x – 5|



C) f(x) = 5 – |x|



D) f(x) = |5 – x|



E)

18.

|– 7| + [– 1,8] = |0,4|



A) 22





B) 15 25 C) 2 D) 2



E)



8

ninguna de las funciones anteriores.

Cpech

Ninguno de los valores anteriores.

Preuniversitarios

–5

5 –5

x

Matemática 19. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)? –3 5



I)



II) |–45| = 45



III) [9,9] = 9



A) B) C) D) E)

=–1

Sólo I Sólo II Sólo I y III I, II y III Ninguna de ellas.

20. Dadas las siguientes funciones f(x) = �x – 3 y g(x) = �x + 3 , definidas en los reales, ¿cuál de los siguientes intervalos contiene a todos los valores que puede tomar la variable x?

A) B) C) D) E)

x�3 x�–3 –3�x�3 x�3 x�–3

21. El dominio de la función f(x) = �7x – 14 , en los reales es

A) [2, + ∞[



B)



C) ]– ∞, 2 [



D) ]– ∞, 2 ]



E)

]2, + ∞[

[–2, 2]

22. ¿Cuál es el dominio de la función f(m) = �m2 – 729, en los números reales? [27, + ∞[



A)



B) [–27, + ∞[



C) [0, + ∞[



D)

]– ∞, –27 ] ∪ [27, + ∞[



E)

[729, + ∞[ Cpech

Preuniversitarios

9

Programa Focalizado 23. ¿Cuál es el dominio de la función f(x) = �x2 – 625 en los números reales?

A) ]– ∞, –25[ ∪ ]25, + ∞[



B) ]– ∞, –25] ∪ [25, + ∞[



C) ]– ∞, –25[



D) [25, + ∞[



E)

[625, + ∞[

24. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función f(x) = �5x – 15 ?

A)



y

B)

x



y

x

y

D)

–3



x

E)

y

3

3

–3



C)

3

y

3

x

25. ¿Cuál(es) de los siguientes pares ordenados pertenece(n) al gráfico de la función

10



f(x) = �x2 – 16 + �x2 ?



I) II) III)

(4, 4) (5, 6) ( 3, 2)



A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo II y III I, II y III Ninguno de ellos.

Cpech

Preuniversitarios

x

Matemática 26. Según la función f(x) = �x + 9 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) II) III)

A) B) C) D) E)

– 9 NO pertenece al dominio de la función. El recorrido de la función es IR. f(– 11) no existe en IR. Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III

27. Según el gráfico de la función f(x) = �x + 6 + 3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El dominio de la función son todos los números reales positivos. II) Su gráfica es una parábola. III) f(– 6) NO existe en los reales.

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III Ninguna de ellas.

28. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I)

�x2 = |x|

II)

|– 5| –1 = [– 9,3] 2



III)

12 = – 6 |– 2|



A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II Ninguna de ellas.



Cpech

Preuniversitarios

11

Programa Focalizado 29. En la ecuación |3x + y| = k , se puede determinar el valor de x si:

(1) k = 12. (2) x ∈ IN e y ∈ IN.



A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

30. Sea f(x) = �x + m, es posible determinar el recorrido de la función si:

12



(1) m es un número primo. (2) m es múltiplo de 3.



A) B) C) D) E)

Cpech

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional

Preuniversitarios

Matemática Tabla de corrección Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Alternativa

Nivel Aplicación Aplicación Aplicación Análisis Análisis Análisis Análisis Comprensión Análisis Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación Análisis Análisis Análisis Aplicación Análisis Análisis Análisis Análisis Análisis Análisis Análisis Análisis Análisis Análisis Evaluación Evaluación

Cpech

Preuniversitarios

13

Programa Focalizado Solucionario 1. La alternativa correcta es A.

Evaluando en la función f(x) = [x] – 3

f(4) = [4] – 3 = 4 – 3 = 1

f(0,8) = [0,8] – 3 = 0 – 3 = – 3 Entonces el valor de f(4) – f(0,8) = 1 – (– 3) = 1 + 3 = 4

2. La alternativa correcta es C. [0,3] + [– 0,8] [– 8,2]

=

(Aplicando definición de parte entera)

0 + (– 1) –9

=

(Resolviendo)



1 9



3. La alternativa correcta es B. [5,9]2 – [– 6,6] = [4,7]

14

(Aplicando definición de parte entera)



52 – (– 7) 4

=

(Desarrollando)



25 + 7 4

=

(Sumando)



32 4

=

(Simplificando)



8

Cpech

Preuniversitarios

Matemática 4. La alternativa correcta es D.

I)



[– 9 : 4] = – 9 = [– 2,25] = – 3 4

II) Falsa, ya que:



Verdadera, ya que:

[10,8 ] = 10

III) Verdadera, ya que: 1– 1 = 7



6 = [0,857] = 0 7

5. La alternativa correcta es B.

Para analizar cuál es el gráfico correcto debemos determinar valores posibles de x.



f(x) = [x] + 1



f(0) = [0] + 1 = 1 f(1) = [1] + 1 = 2 f(– 1) = [– 1] + 1 = 0 f(– 2) = [– 2] + 1 = – 1



Luego, el único gráfico que contiene a estos puntos es B. y



2 –2 –1

1 –1

1

2

x

Cpech

Preuniversitarios

15

Programa Focalizado 6. La alternativa correcta es D. Evaluando la función tenemos:

Si x = 0, entonces f(0) = 2 Si x = 1, entonces f(1) = 1 Si x = 2, entonces f(2) = 0 Si x = – 1, entonces f(– 1) = 3 Si x = 3, entonces f(3) = – 1

y 3 2 1 –1 –1

1

2 3 4

x

Entonces, la función correspondiente al gráfico es f(x) = 2 – [x] 7. La alternativa correcta es C. Evaluando la función tenemos:

f(0) = [0 – 3] = [– 3] = – 3 f(1) = [1 – 3] = [– 2] = – 2 f(2) = [2 – 3] = [– 1] = – 1 f(– 1) = [– 1 – 3] = [– 4] = – 4 f(3) = [3 – 3] = [0] = 0

Luego, el único gráfico que contiene a estos puntos es C. y

–1

1

2

3 4

x

–1 –2 –3 –4

8. La alternativa correcta es C. La parte entera de la distancia recorrida (x) dividida por 200, se debe multiplicar por 100 y sumarle la tarifa mínima, entonces la fórmula que relaciona el precio ( y) con la distancia recox + 200 rrida (x) es: y = 100 ∙ 200 9. La alternativa correcta es A.

16

I) II) III)

Cpech

Verdadera. Falsa, ya que el gráfico correspondiente a la función es una escalera. Falsa, ya que f(– 7,5) = [– 7,5 + 5] = [– 2,5] = – 3

Preuniversitarios

Matemática 10. La alternativa correcta es D.

f(x) = |x + 3| – x |x – 4|

(Evaluando (– 5) en la función)



f(– 5) = |– 5 + 3| – (– 5) |– 5 – 4|

(Desarrollando)

f(– 5) = |– 2| + 5 |– 9|

(Aplicando definición de valor absoluto)



f(– 5) = 2 + 5 9

(Sumando)

f(– 5) = 7 9

11. La alternativa correcta es B. f(x) = |x – 2| – |3 – x|

Para determinar el punto de intersección del gráfico de la función, con el eje de las ordenadas, la abscisa debe ser igual a 0, entonces: f(0)

= |0 – 2| – |3 – 0| = |– 2| – |3| =2–3 =–1

(Resolviendo) (Aplicando definición de valor absoluto)

Luego, el punto donde intersecta al eje de las ordenadas es (0, – 1).

12. La alternativa correcta es C.

|x – 6| � 12





– 12 � x – 6 � 12



– 12 + 6 � x � 12 + 6



– 6 � x � 18

(Aplicando propiedad de valor absoluto) (Sumando 6)

(Resolviendo)

Expresado en intervalo: [– 6, 18]

Cpech

Preuniversitarios

17

Programa Focalizado 13. La alternativa correcta es E.

|



|

x – 3 < 8 3 –8< x –3