Sol 3 Parcial 1-2020

 

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CALCULO VECTORIAL Y TENSORIAL MAT - 313 SOLUCIONARIO 3 EXAMEN 1-2020

 SOLUCIONARIO 3 EXAMEN MAT-313

01/2020

1 Calcule

donde

y C es la curva intersecció interseccio ́ n de la supericie positivamente (antihorario)

SOLUCION  

; con el plano

orientada

  Veamos primeramente las graicas y la curva curva intersección en cuestión  z  z

x

x y Como se observa en la graica la intersección de las dos supericies nos da una curva cerrada, para utilizar el teorema de Stokes debemos orientar positivamente (antihorario)

si

  y ＝  2 x -  2

2

2

2

  z -  3  + 2 ⋅   ＝2 9

elipse en el plano y=2 en su forma general tenemos

x -  2

22

2

+

 z  3

32

2

  ＝1

Para la resolución de este problema se puede realizar mediante integrales de line y también con el Teorema de Stokes veamos la Rot(F)

veamos la normal a la supericie del plano y=2 en este para que cumpla la regla de la mano derecha y que este orientado positivamente

n2 ＝ 0 ⋅  i +  1 ⋅  j +  0 ⋅  k entonces

 Rot F ⋅ n2 ＝ e y +  2 5  2   x - e y ⋅ 0 1 0 ＝ 5 AUX.: UNIV. CHAMBI JIMENEZ IVAN

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 F d R ＝

CALCULO VECTORIAL Y TENSORIAL MAT - 313 SOLUCIONARIO 3 EXAMEN 1-2020

  5 d  y d x  F d R ＝  5 ⋅

 D

1 d  y d x

 F d R ＝   5 ⋅

 F d R ＝   30 

⋅ 2 ⋅ 3 ＝ 30 

SOL

 D

x -  2

 

veamos la por integrales de línea

⎡ 2 + 2   sin t ⎤  R t ＝ ⎢ 2 ⎥ 0 ≤  t ≤  2  cos t ⎦ ⎣ 3 + 3   cos ⎡ 2   cos t ⎤ ⎥ 0  R' t ＝ ⎢ ⎣ -3   sin t ⎦

 F R t

2

 ＝ sin sin t

 

 2 y＝

 z  3

3

 ＝ co coss t

NOTA: parametrización orientada positivamente(antihorario)

⎡ 2 ⋅ 3 + 3   cos cos t +   4 ⋅ 2 + 2   sin t + e 2 ⎤ ⎥ ⎢ 2 - 2 ⋅ 3 + 3   cos t + e 2 ⎥  F R t ＝ ⎢ 2 + 2   sin t 2 ⎥ ⎢ ⎣ 3 + 3   cos t - 3 ⋅ 2 + 2   sin t + e 2 ⎦

 ⎛ ⋅ R' t ＝ 2   cos t ⋅ 2 ⋅ 3 + 3   cos cos  t   +   4 ⋅ 2 + 2   sin t + e 2 - 3   sin sin t ⋅ 3 + 3   cos t

2

- 3 ⋅ 2 + 2   s in t + e 2

⎞

2 

⌠   4 ⋅ 2 + 2 sin   t  +  I ＝ ⌡ 2 cos   t ⋅ 2 ⋅ 3 + 3 cos   t   +

2

 ⎛  - 3 sin   t ⋅ 3 + 3 cos   t

2

- 3 ⋅ 2 + 2 sin   t  +

2⎞

d t →   I ＝  30   ⋅

0

 I ＝  30   ⋅

SOL OK VERIFICA

AUX.: UNIV. CHAMBI JIMENEZ IVAN

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2   El estado de tensión a través de un medio medio continuo esta dado respecto a los ejes cartesianos Ox1x2x3 por 

⎡ a   2 a   0 ⎤ ⎢ ⎥ 2⋅ 2 ⎥ σ＝ ⎢ 2   a   0 0 ⎦ ⎣ 0 2 ⋅   ‾2 ⎛  ‾2   a  ‾2   a ⎞ a) Determinar el vector tensión que actúa en el punto  P  ―   , ―   , 2 de un plano que es 2 2 2 2 2 ⎝ ⎠ tangente en P a la supericie cilíndrica x1 + x2 ＝ a b) Determinar sus componentes intrínsecas del vector tensión. c) Calcule la ecuación secular del tensor de tensiones SOLUCION  

  n̂

  t ＝ σ ⋅ n̂   Para calcular el vector tensión tenemos que como para este caso no tenemos la normal unitaria entonces  procedemos  procede mos a calcular esa normal primera p rimeramente mente la supericie en cuestión lo volemos en una supericie de nivel y luego aplicamos la  gradientee para calcular dicha normal a ese plano tangente  gradient tangente en ese  punto φ x1 ,  x2 ,  x3 ＝ x1 2  + x2 2 - a 2 n ＝ grad φ x1 ,  x2 ,  x3 ＝ 2 ⋅  x1  ⋅  i + 2 ⋅  x2  ⋅ j +  0 ⋅  k

⎛ ⎛ 2 a 2   a ⎞⎞ n ＝ grad φ ―   , ―   , 2 ＝  ‾ 2 a ⋅i+ 2 ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠  ‾2   a ⋅ i  +

n̂ ＝

 ‾  2   a ⋅ j +  0 ⋅  k

 ‾  2   a ⋅ j +  0 ⋅  k

2   a2 + 2   a2 ⎛⎛ 2 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎞   ⋅ j +  0 ⋅  k vector normal unitaria en el plano en el punto indicado n̂ ＝ ― ⋅ i + ― ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎝⎝ 2 ⎠ ⎡  t ＝ σ ⋅ n̂ ⎢ ―2 ⎡ a   2   a   0 ⎤ ⎢⎢ 2  ‾2 ⎢ ⎥ t   n̂ ＝ ⎢ 2   a   0 2⋅ 2 ⎥⋅⎢ ⎢ 2 0 ⎦ ⎣ 0 ⎣ 0 2 ⋅   ‾2   n̂

Por tanto

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ 3⋅ 2 ⎤ ――  ⋅ a ⎢ 2 ⎥ vector tensión ⎢ ⎥ 2 ⋅  a ⎥ t   n̂ ＝ ⎢ 2 ⎣ ⎦ SOL a)

Para calcular las componentes intrínsecas tenemos las siguientes formulas para calcular 

σn ＝ t    n̂ ⋅ n̂   componente normal

    ̂

σs ＝ t1

⎡ 3 ⋅ 2 ⋅  a ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 2 2 2 ⎤ 3 a 5 a ⎢  ‾ ⎥  2 ⋅  a ⋅ ―   ―   0 ＝ ―    + a ＝  ― σn ＝ 2 2 ⎦ 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ 2

n̂

⋅ t1 n̂ - σn

 

AUX.: UNIV. CHAMBI JIMENEZ IVAN

2

componente tangencial

5 a σn ＝   ―   Componente normal  2 SOL b) 01/2020

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CALCULO VECTORIAL Y TENSORIAL MAT - 313 SOLUCIONARIO 3 EXAMEN 1-2020

2  ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾  ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾2 2 ⎛ 3 ⋅ 2 ⋅  a ⎞   ⎛ 5 a ⎞ +  ‾2 ⋅  a + 2   2 - ― σs ＝ ―― 2 ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠     ̂

 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾  ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾ 25‾‾‾   a2 9 ⋅ 2 ⋅  a 2 2 σs ＝ ――  + 2 ⋅  a + 4 -  ―― 4 4     ̂

    ̂

 ‾‾‾‾‾ a 2 + 16 σs ＝   2

componente tangencial  SOL b)

Para calcular el polinomio característico o la ecuación secular tenemos que calcular solamente las invariantes

 I  I ＝   ttrr σ ＝ a C

C

 I  II ＝ σ11  + σ22 + σ33

 I  III ＝   det   σ

C

‖⎡

⎤‖ ‖⎡ a   0 ⎤‖ ‖⎡ a   2 ⋅  a ⎤‖ 0 2 ⋅ 2   + + →  I  II ＝ - 4  ⋅  a 2 - 8  I  II ＝ ‖⎣ 2 ⋅   ‾2 0 ⎦‖ ‖⎣ 0 0 ⎦‖ ‖⎣ 2 ⋅  a   0 ⎦‖ ‖⎡ a   2   a   0 ⎤‖ ⎢ ⎥ 2 ⋅ 2 ⎥‖ → I  III ＝  - 8 ⋅  a  I  III ＝ ‖ ⎢ 2   a   0 ‖⎣ 0 2 ⋅   ‾2 0 ⎦‖

φ λ ＝ λ 3 - I  I ⋅  λ 2 + I  II ⋅  λ - I  III 

 

φ λ ＝λ3 - a ⋅ λ2   4 a 2 + 2  ⋅ λ +  8   a  ecuación secular  SOL c)

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CALCULO VECTORIAL Y TENSORIAL MAT - 313 SOLUCIONARIO 3 EXAMEN 1-2020

3   Calcular la integral de la supericie supericie donde

 F  x , y , z ＝ z ⋅ i  +  x ⋅ j - 3   y  2 ⋅ z ⋅ k

 y  Σ la supericie del del cilindro de la pregunta pregunta 2 con radio 4 situado en el primer primer octante entre   0  y  z ＝  5  z ＝ SOLUCION  

  Veamos la graica en cuestión Parametrizamos la supericie en cuestión para calcular la normal a la supericie como r=4 constante en toda la altura

x ＝  4 ⋅  cos θ

 

y ＝  4 ⋅  sin θ

 

 z ＝ z

  dV ＝ rd rdzd zdrd rdθ θ

 por tanto la supericie supericie parametrizada parametrizada será será  

θ ≔  0 ‥

 

2

 z ≔  0 ‥ 5

⎡ 4 ⋅cos   θ ⎤  R  θ , z ≔ ⎢ 4 ⋅sin   θ ⎥  z ⎦ ⎣

calculamos la normal a la supericie de la siguiente forma ⎡ -4   sin θ ⎤ ⎡0⎤ os θ  Rθ ＝ 4   ccos  R z ＝ 0

⎣

0

⎣1⎦

⎦

⎡ i j k⎤ ⎢ os θ   0 ⎥ n ＝ R   θ ⨯  R z ＝ -4   sin θ   4   ccos 0 0 1⎦ ⎣

 R

  θ  F R  θ , z ＝ z ⋅ i +  4  ⋅  co cos θ j - 3 ⋅  4   sin

 F R  θ , z 5

 Flujo ＝

0

2

n ＝ 4   cos θ ⋅ i  +   4   sin θ j +  0   k

⋅ zk

sin θ ⋅ cos θ ⋅ n ＝ 4   z ⋅c  os θ + 16 ⋅   si

 

2

4   z ⋅  cos   θ + 16 sin   θ  ⋅ cos   θ d θ d z → Flujo   ＝  90   ⋅ sin

  90  SOL  Flujo＝

0

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CALCULO VECTORIAL Y TENSORIAL MAT - 313 SOLUCIONARIO 3 EXAMEN 1-2020

4   El tensor de tensión en un punto P esta representad representado o por la matriz T ＝ T ij , cuyas direcciones  principales de tensión son

⎡2 2 1⎤ ⎣3 3 3⎦

⎡ -2 1 2 ⎤ ⎣ 3 3 3⎦

⎡ 1 -2 2 ⎤  ― ⎣3 3 3⎦  ⎡ 6 3 2 ⎤ sobre e un plano de normal unitari unitario o n̂ ＝ que contiene P es  y el vector tensión sobr ⎣7 7 7⎦ n̂ 1 ＝

 

n̂ 2 ＝  ―

 

n̂ 3 ＝

⎡ 26 ⎤ ⎡6⎤ t   n̂ ＝ T ⋅ n̂ ＝ T   ⋅  1 ⋅ ⎢ 3 ⎥ ＝ 1 ⋅ ⎢ 33 ⎥ 7 ⎣2⎦ 7 ⎣ 2 ⎦ Determine las tensiones principales y las componentes de la matriz T ＝ T ij que representa a dicho tensor tensión SOLUCION  

 A partir de las direcciones direcciones principales principales de tensión tensión dadas, se obtiene el el tensor de transformación transformación

⎡ 2 ⎢ 3 ⎢ -2  A ＝ ⎢ ⎢ 3 ⎢ ⎢⎣ 13  

1⎤ 3 ⎥⎥ 2⎥ 3⎥ ⎥ ― -2 3 23 ⎥⎦ 2 3 1 3

  a princ el cual cual re rela lacio ciona na el siste sistema ma origi original nal 0   x1x2x3 con con el sist sistem ema principa ipall

0   x' 1x' 2x' 3 .Ahor .Ahora a usa usando ndo la ley de

transformación de los tensores de segundo orden, las componentes de T en el sistema principal se representa  por la matriz matriz diagonal  diagonal  ⎡ λ1   0 0 ⎤ ⎥ ⎢ t  ATA ＝ T' ＝ 0   λ2   0

⎥ ⎢ ⎣ 0 0   λ3 ⎦

 s. De la ecua sien siendo do λ1  , λ2 y  λ3 la lass te tens nsio ione ness pr prin inci cipa pale les. ecuaci ción ón ATA t  para todo se tiene  A ⋅ T ⋅ n̂ ＝ T'  ⋅ A ⋅n̂

＝ T' , ob obte tene nemo moss la  ig igua uald ldad ad  AT ＝ T'A lu lueg ego o

⎡6⎤ ⎡6⎤ ⎢7⎥ ⎢7⎥ 3 3  A ⋅ T ⋅ ⎢ ⎥ ＝ T' ⋅ A ⋅ ⎢ ⎥ ⎢7⎥ ⎢7⎥ ⎢2⎥ ⎢2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 7 ⎣7⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 2 2 1 ⎤ ⎡ 26 ⎤ ⎡ 2 2 1⎤ ⎡6⎤ ⎢ 3 3 3⎥ ⎢ 7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ λ1   0 0 ⎤ ⎢ 3 3 3 ⎥ ⎢ 7 ⎥ -2 1 2 ⎥ ⎢ 33 ⎥ -2 1 2 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢― ⋅ ― ＝ ⎢ 0   λ2   0 ⎥ ⋅ ⎢ ― ⋅ ⎢ 3 3 3⎥ ⎢ 7 ⎥ ⎢ 3 3 3⎥ ⎢7⎥ ⎢ 1 -2 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣ 0 0   λ3 ⎦ ⎢ 1 -2 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢⎣ 3 3 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 7 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 3 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 7 ⎥⎦

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CALCULO VECTORIAL Y TENSORIAL MAT - 313 SOLUCIONARIO 3 EXAMEN 1-2020

⎡ 120 ⎤ ⎡ 20 ⋅  λ1 ⎤ ⎢ -15 ⎥ ＝ ⎢ -5 ⋅  λ ⎥ 2⎥ ⎢ ⎣ 36 ⎦ ⎣ 4 ⋅  λ3 ⎦

λ1 ＝  6 λ2 ＝   3   tensiones principales λ3 ＝   -9  SOL

  6 , λ2 ＝  3 y λ3 ＝  -9 De esta igualdad se lee inmediatamente las tensiones principales λ1 ＝ t

Finalmente, usando la formula T ＝ A   ⋅ T' ⋅ A , se obtiene las componentes de la matriz T, que representa al tensor de tensión en el sistema original 

⎡ 2 -2 1 ⎤ ⎡ 2   ― ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎡ 6 0 0 ⎤ ⎢ -2 ⎢ 32 31 -2 3 ⎥ ⋅ ⎢ 0 3  0 ⎥ ⋅ ⎢ T ij ≔ ⎢ ⎢3 3 3 ⎥ ⎢ 3 ⎢ 1 2 2 ⎥ ⎣ 0 0 -9 ⎦ ⎢ 1 ⎢ ⎥ ⎢   ⎣3 3 3 ⎦ ⎣ 3 ⎡ 3 4 -2 ⎤ T ij = 4 -1 6 ⎣ -2 6 -2 ⎦

AUX.: UNIV. CHAMBI JIMENEZ IVAN

1⎤ ⎥ 31 32 ⎥ ⎡ 3 4 -2 ⎤ ⎥ = ⎢ 4 -1 6 ⎥ 3 3 ⎥ ⎣ -2 6 -2 ⎦ -2 2 ⎥ ― ⎥ 3 3⎦ 2

componentes de la matriz T en el sistema original   SOL

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