SOAL-SOAL FISTAT (1).pdf

Yangki Sulaeman 10209014

FISIKA STATISTIK SOAL DAN PEMBAHASAN



1. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume   pada temperature keseimbangan   dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi.



a. Berapakah nilai potensial kimia gas ini? Jelaskan! b. Tentukan banyaknya keadaan kuantum dalam selang energi  dan c. Jika persamaan untuk kerapatan energi (  dituliskan sebagai berikut :

  ∫      

   



maka tentukanlah f( )! d. Tentukan kebergantungan energi sistem ( ) terhadap temperature ( )! e. Kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi





      

maka tentukanlah ! (Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab a. Berapakah nilai potensial kimia gas ini? Jelaskan! Potensial dari gas foton akan bernilai nol, hal ini diakibatkan akibat jumlah foton setelah mengalami interaksi tidaklah sama seperti jumlah sebelum mengalami interaksi (pada kasus radiasi benda hitam). Sumber : http://en.wikipedia.org/wiki/Photon_gas http://en.wikipedia.org/wiki/Chemical_potential

b. Banyaknya keadaan kuantum dalam selang energi ditentukan dengan menggunakan

   



  dan

  

  dapat

Yangki Sulaeman 10209014

dengan

    ||  |    maka

                    mengingat foton dapat mengalami polarisasi pada dua arah, maka

        maka dengan menggunakan

        ||    |      maka

                   

Yangki Sulaeman 10209014

dengan

    ||  |    maka

                    mengingat foton dapat mengalami polarisasi pada dua arah, maka

        maka dengan menggunakan

        ||    |      maka

                   

Yangki Sulaeman 10209014

c. Jika persamaan untuk kerapatan energi (

  ∫      



 dituliskan sebagai berikut :

maka tentukanlah f( )! dari soal 1b didapatkan

                             maka bentuk dari kerapatan energi pada selang bentuk

  dan

dengan

     yang merupakan fungsi probabilistik Bose-Einstein untuk gas foton maka didapatkan

                                  maka

  mempunyai

Yangki Sulaeman 10209014





d. Tentukan kebergantungan energi sistem ( ) terhadap temperature ( )!

  ∫         

       ∫               ∫            e. Kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi

      

maka tentukanlah ! Didapatkan



  

maka

           sehingga

Yangki Sulaeman 10209014

        2. Kurva energi spectral dari cahaya matahari mempunyai maksimum pada panjang gelombang   Dengan menganggap matahari sebagai benda hitam maka tentukan

  

a. Temperature permukaan matahari. b. Kerapatan energi radiasi cahaya matahari. c. Intensitas radiasi cahaya matahari. (Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab Pada daerah panjang gelombang dengan nilai kecil, maka dapat digunakan Hukum radiasi Wien yang diturunkan dari Hukum Radiasi Planck, yaitu

         dengan mengganti

   maka didapatkan

       

 

dan dengan menurunkan persamaan tersebut terhadap  untuk mendapatkan maka didapatkan

      yang dikenal sebagai Hukum Pergeseran Wien maka

 

Yangki Sulaeman 10209014

a. Temperature permukaan matahari.

                               dengan

 didapatkan

b. Kerapatan energi radiasi cahaya matahari karena matahari dianggap sebagai benda hitam, maka

               c. Intensitas radiasi cahaya matahari. Total energi yang berada pada benda tersebut adalah

 ∫    ∫         ∫       ∫      Untuk menyelesaikan integral diatas, gunakan

     |   |   

Yangki Sulaeman 10209014

maka

                  ∫        sehingga

                          dengan

             maka

                  

3. Tinjau sistem gas elektron dalam volume  pada temperature

      

a. Turunkan ungkapan antara  dan ! b. Turunkan ungkapan dan ! c. Buat sketsa kurva



 , yaitu banyaknya keadaan elektron yang berkelajuan  , yaitu banyaknya elektron yang berkelajuan antara

 terhadap



 pada temperature nol mutlak!

(Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab

      

a. Turunkan ungkapan antara  dan !

 , yaitu banyaknya keadaan elektron yang berkelajuan

Menurut persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tak hingga

        

Yangki Sulaeman 10209014

maka dapat dibentuk suatu bola yang mempunyai jari-jari,

             dengan volume

   

dan element volume yang dimiliki oleh bola tersebut, adalah

maka

                             ,                     mengingat bahwa nilai hanya diambil

, dan

  merupakan bilangan bulat positif, maka

bagian dari bola tersebut saja dan karena elektron mempunyai

dua keadaan spin, maka

atau

            

Yangki Sulaeman 10209014

                         

  

yang merupakan rapat keadaan elektron pada selang energi   dan   per satuan volume, untuk mendapatkan ungkapan rapat keadaan elektron dengan kelajuan antara  dan  dapat digunakan hubungan

 

        sehingga

                                 b. Turunkan ungkapan dan !

 , yaitu banyaknya elektron yang berkelajuan antara



Dari point (a) didapatkan bahwa rapat keadaan elektron sebagai fungsi dari kecepatan adalah

          Untuk elektron, statistik yang berkaitan adalah statistik Fermi-Dirac, yang mempunyai fungsi probabilitas statistik sebagai berikut

    

Yangki Sulaeman 10209014

dengan



     

merupakan energi elektron bebas dan

apabila mengganti ungkapan

dengan

merupakan energi Fermi maka didapatkan

     maka

                     c. Buat sketsa kurva

 terhadap

 pada temperature nol mutlak!

Mempunyai nilai khusus untuk beberapa keadaan, salah satunya ketika T = 0 K, fungsi probabilitas FD akan bernilai

      {     dengan mengambil energi elektron yang dibawah energi Fermi maka

              dengan

          

Yangki Sulaeman 10209014

maka

   yang akan memberikan kurva sebagai berikut 

    )    v     (    N

v^2

4. Menurut mekanika kuantum, energi osilator harmonic satu dimensi bernilai diskrit, yaitu

   



  

, dengan  adalah bilangan bulat dan  adalah frekuensi osilator.

Energi terendah suatu osilator kuantum adalah sebesar

 yang dinamakan zero-

point energy. Dengan statistic Maxwell-Boltzmann, fungsi partisi Z sistem ini adalah

         ∑      a. Buktikan bahwa energi rata-rata sebuah osilator kuantum adalah

   b. Pada

temperature

   

tinggi

  

  sehingga

  

, tunjukkan bahwa nilai energi rata-rata sebuah osilator harmonic

Yangki Sulaeman 10209014

kuantum pada temperature tinggi mendekati hasil yang diperoleh untuk osilator harmonic klasik! (Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab a. Energi rata-rata mempunyai bentuk persamaan

  dengan

                           ( )            ()  [             ]           [       ]         

Yangki Sulaeman 10209014

 [   ] sehingga

          (terbukti) b. nilai energi rata-rata sebuah osilator harmonic kuantum pada temperature tinggi

                             (terbukti) 5. Gas elektron dalam sodium memiliki energi Fermi sebesar temperature nol mutlak. Hitunglah :

   

a. Kerapatan gas elektron dalam sodium pada temperature nol mutlak! b. Temperature Fermi sistem gas elektron ini! c. Kecepatan Fermi sistem gas elektron ini

  √  (Pekerjaan Rumah FI3202 Fisika Statistik 2012) Jawab a. Kerapatan gas elektron dalam sodium pada temperature nol mutlak dapat ditentukan dengan

  pada

Yangki Sulaeman 10209014

Menurut persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tak hingga

         Maka dapat dibentuk suatu bola dengan element volume pada ruang

                  



dengan

Maka

            ,                     mengingat bahwa nilai hanya diambil

, dan

  merupakan bilangan bulat positif, maka

bagian dari bola tersebut saja dan karena elektron mempunyai

dua keadaan spin, maka

atau

                     kerapatan elektron dapat ditentukan melalui

Yangki Sulaeman 10209014

   dan pada nol mutlak dan nilai energi elektron yang dibawah energi Fermi, nilai yang merupakan fungsi probabilitas Fermi-Dirac akan bernilai 1, se hingga

              maka

      ∫                yang merupakan kerapatan gas elektron pada sodium pada temperature 0 K. b. Temperature Fermi sistem gas elektron ini! Temperature Fermi didapatkan dari persamaan

              dengan

maka

                  c. Kecepatan Fermi sistem gas elektron ini

 

Yangki Sulaeman 10209014

  √  dengan

            maka

          √         ⁄                       



6. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume   pada temperature keseimbangan   dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton ( ) dapat dinyatakan dalam variable frequensi ( atau panjang gelombang ( )

   

a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi   dan  , adalah

Dengan  adalah laju gelombang electromagnetic dalam vakum. b. Jika  menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya! c. Buktikan bahwa kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi

maka tentukanlah ! d. Tentukan tekanan sistem gas foton ( ( )!

  dinyatakan dalam kerapatan energinya

(Pekerjaan Rumah FI3202 Fisika Statistik 2012 )

Yangki Sulaeman 10209014

Jawab

  

a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi   dan  , adalah

 

        dengan

dengan hubungan antara momentum dengan panjang

gelombang dapat diketahui melalui dualisme gelombang yang menyatakan maka

 

     |  |                     |  |                                      sehingga didapatkan,

melalui hubungan

maka, didapatkan

          

Yangki Sulaeman 10209014

mengingat bahwa foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah, maka

              

,

 

sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara   dan  per satuan volume adalah

 

            (terbukti)



b. Jika  menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya

                  

Dengan merupakan fungsi probabilitas Bose-Einstein yang mempunyai bentuk untuk gas Foton

dan

      ∫      dengan

         

Yangki Sulaeman 10209014

maka

        ∫                ∫                         c. tentukanlah !

maka

        



d. Tentukan tekanan sistem gas foton ( ( )!

  dinyatakan dalam kerapatan energinya

dari hasil teori kinetic untuk P gas ideal monoatomic

       ∫        



7. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume   pada temperature keseimbangan   dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton ( ) dapat dinyatakan dalam variable frequensi ( atau panjang gelombang ( )



  

   

a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi   dan  , adalah

 

Yangki Sulaeman 10209014

       

Dengan  adalah laju gelombang electromagnetic dalam vakum. b. Jika  menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya! c. Buktikan bahwa kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi

      

maka tentukanlah ! d. Tentukan tekanan sistem gas foton ( ( )!





  dinyatakan dalam kerapatan energinya

(Ujian 3 FI 3202 Fisika Statistik 2011/2012) Jawab

  

a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi   dan  , adalah

 

        dengan

dengan hubungan antara momentum dengan panjang

gelombang dapat diketahui melalui dualisme gelombang yang menyatakan maka

 

     |  |                  sehingga didapatkan,

Yangki Sulaeman 10209014

   |  |                                      melalui hubungan

maka, didapatkan

           mengingat bahwa foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah, maka

              

,

 

sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara   dan  per satuan volume adalah

 

            (terbukti)



b. Jika  menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya

        

Dengan merupakan fungsi probabilitas Bose-Einstein yang mempunyai bentuk untuk gas Foton

Yangki Sulaeman 10209014

          dan

      ∫      dengan

          maka

        ∫                ∫                         c. tentukanlah !

maka

        



d. Tentukan tekanan sistem gas foton ( ( )!

  dinyatakan dalam kerapatan energinya

Yangki Sulaeman 10209014

dari hasil teori kinetic untuk P gas ideal monoatomic

       ∫                 .

8. Tijau sistem gas elektron bebas dalam logam tembaga. Diketahui energi Fermi untuk elektron dalam tembaga pada temperature nol mutlak adalah

a. Tentukan kerapatan elektron bebas dalam logam tersebut! b. Hitunglah energi rata-rata energi bebas dalam tembaga pada temperature nol mutlak! c. Hitunglah besarnya kecepatan Fermi  dan temperature Fermi  sistem ini! d. Tentukan laju maksimum elektron dalam tembaga pada temperature nol mutlak!





(Ujian 3 FI 3202 Fisika Statistik 2011/2012) Jawab a. Kerapatan gas elektron dalam sodium pada temperature nol mutlak dapat ditentukan dengan Menurut persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tak hingga

         Maka dapat dibentuk suatu bola dengan element volume pada ruang

      dengan



Yangki Sulaeman 10209014

             Maka

          ,                       mengingat bahwa nilai hanya diambil

, dan

  merupakan bilangan bulat positif, maka

bagian dari bola tersebut saja dan karena elektron mempunyai

dua keadaan spin, maka

atau

                        kerapatan elektron dapat ditentukan melalui

  

dan pada nol mutlak dan nilai energi elektron yang dibawah energi Fermi, nilai yang merupakan fungsi probabilitas Fermi-Dirac akan bernilai 1, se hingga

              maka

 

Yangki Sulaeman 10209014

      ∫                yang merupakan kerapatan gas elektron pada tembaga pada temperature 0 K.

b. energi rata-rata energi bebas dalam tembaga pada temperature nol mutlak

   

karena pada suhu 0 K dan energi bebas elektron kurang dari energi Fermi , akan bernilai 1.



F(

maka

     

∫  ∫      ∫  ∫     



 

c. Hitunglah besarnya kecepatan Fermi Untuk temperature Fermi

    dengan

           maka



 dan temperature Fermi



 sistem ini!

Yangki Sulaeman 10209014

             Untuk kecepatan Fermi

  √           √        d. laju maksimum elektron dalam tembaga pada temperature nol mutlak! Ga dapet  mohon bantuannya …

9. Kurva energi spectral dari cahaya matahari mempunyai maksimum pada panjang gelombang . Dengan menganggap matahari sebagai benda hitam maka tentukan

  

a. Temperature permukaan matahari! b. Kerapatan energi radiasi matahari! (Ujian 3 FI 3202 Fisika Statistik 2011/2012) Pada daerah panjang gelombang dengan nilai kecil, maka dapat digunakan Hukum radiasi Wien yang diturunkan dari Hukum Radiasi Planck, yaitu

         dengan mengganti

   maka didapatkan

       

Yangki Sulaeman 10209014

 

dan dengan menurunkan persamaan tersebut terhadap  untuk mendapatkan maka didapatkan

 

      yang dikenal sebagai Hukum Pergeseran Wien maka a. Temperature permukaan matahari.

                               dengan

 didapatkan

b. Kerapatan energi radiasi cahaya matahari karena matahari dianggap sebagai benda hitam, maka

              



10. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume   pada temperature keseimbangan   dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton ( ) dapat dinyatakan dalam variable frequensi ( atau panjang gelombang ( . Diberikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi  dan  , adalah

                            



Dengan  adalah laju gelombang electromagnetic dalam vakum.

 

a. Tuliskan   yang menyatakan banyaknya foton yang berfrequensi antara dan ! b. Tuliskan   yang menyatakan kerapatan energi sistem gas foton dalam variable frequensi! c. Jika ada lubang kecil pada dinding sistem gas foton maka tentukan ungkapan   yaitu banyaknya energi foton yang terpancar keluar melalui lubang per satuan luas lubang per satuan waktu dalam variable frequensi!

Yangki Sulaeman 10209014



d. Jika  menyatakan radiasi energi per satuan luas per satuan waktu dari benda bertemperature  maka buktikan bahwa :  dan tentukanlah !



  



(Pekerjaan Rumah 3 FI3202 Fisika Statistik) Jawab



Radiasi EM dalam rongga hampa bervolume   pada temperature keseimbangan sebagai sistem gas foton yang menggunakan statistk Bose-Einstein,



dengan fungsi probabilitas statistik BE dalam fungsi energi, yaitu

   untuk gas foton maka nilai

        ,

, dan

, maka didapatkan

bentuk lain dari fungsi probabilitas statistik BE dalam fungsi frequensi

    

   

Rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara   dan ditentukan melalui

   

  dapat

dengan hubungan antara momentum dengan panjang

gelombang dapat diketahui melalui dualisme gelombang yang menyatakan maka

 

     |  |                    sehingga didapatkan,

melalui hubungan

Yangki Sulaeman 10209014

 |  |                                      maka, didapatkan

           mengingat bahwa foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah, maka

              

,

 

sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara   dan  per satuan volume adalah

 

           Sehingga

       

a. Tuliskan dan

 yang menyatakan banyaknya foton yang berfrequensi antara

!

             

 

b. Tuliskan   yang menyatakan kerapatan energi sistem gas foton dalam variable frequensi!

                  

Yangki Sulaeman 10209014

c. Jika ada lubang kecil pada dinding sistem gas foton maka tentukan ungkapan  yaitu banyaknya energi foton yang terpancar keluar melalui lubang per satuan luas lubang per satuan waktu dalam variable frequensi!

 

Persamaan untuk jumlah foton yang terpancar keluar melaui lubang per satuan luas lubang per satuan waktu, adalah

                        Maka untuk energi yang terpancarnya adalah

                

d. Jika  menyatakan radiasi energi per satuan luas per satuan waktu dari benda bertemperature  maka buktikan bahwa :  dan tentukanlah ! Total energi yang berada pada benda tersebut adalah

      ∫    ∫              ∫        ∫        Untuk menyelesaikan integral diatas, gunakan

         



Yangki Sulaeman 10209014

   maka

                  ∫        sehingga

                          dengan

     



11. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume   pada temperature keseimbangan   dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton ( ) dapat dinyatakan dalam variable frequensi ( atau panjang gelombang ( )



 

  

a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang panjang gelo mbang dan  adalah



      〈 〉 

b. Tuliskan ungkapan yang menyatakan jumlah foton dalam selang panjang gelombang   dan . Kemudian gunakan ungkapan tersebut untuk menurunkan

c. Tentukan ungkapan   yang menyatakan energi sistem gas foton. Jika pada saat itu sedang terdapat   buah foton maka tentukan energi rata-rata sebuah foton pada saat tersebut dalam variable



(Quiz 2 FI3202 Fisika Statistik) Jawab



Yangki Sulaeman 10209014

a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang panjang gelombang dan  adalah

        



Fungsi probabilitas statistik BE adalah

untuk gas foton,

          Rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara ditentukan melalui

   

    dan

  dapat

dengan hubungan antara momentum dengan panjang

gelombang dapat diketahui melalui dualisme gelombang yang menyatakan maka

 

     |  |                  sehingga didapatkan, maka

        

Yangki Sulaeman 10209014

mengingat bahwa foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah, maka

                         〈 〉

,



sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara  dan per satuan volume adalah

b. Tuliskan ungkapan yang menyatakan jumlah foton dalam selang panjang gelombang   dan . Kemudian gunakan ungkapan tersebut untuk menurunkan

Jumlah foton dalam selang panjang gelombang adalah

    dan

          〈〉   ∫ 〈 〉      ∫         ∫        Maka untuk mendapatkan

  per satuan volume