Soal Matematika Dasar Dan Pembahasan Lengkap SBMPTN 2014

PEMBAHASAN MATEMATIKA DASAR TES KEMAMPUAN DAN POTENSI AKADEMIK SBMPTN 2014 1.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan √𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 < √3𝑥𝑥 + 6 adalah … Pembahasan Perhatikan bahwa bilangan real yang terdapat dalam akar kuadrat haruslah lebih besar atau sama dengan nol. Sehingga, ⟺ ⟺

dan,

⟺

𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 ≥ 0

𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) ≥ 0

𝑥𝑥 ≤ 0 atau 𝑥𝑥 ≥ 2 3𝑥𝑥 + 6 ≥ 0

3𝑥𝑥 ≥ −6

syarat faktorkan selesaian 1

syarat kurangi kedua ruas dengan 6

−6 = −2 selesaian 2 3 Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan yang diberikan soal. Dengan mengkuadrat kedua ruas, kita proleh ⟺

⟺ ⟺ ⟺

𝑥𝑥 ≥

𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 < 3𝑥𝑥 + 6

𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 6 < 0

(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 6) < 0 −1 < 𝑥𝑥 < 6

kuadratkan kedua ruas kurangi dengan 3𝑥𝑥 + 6 faktorkan

selesaian 3

Dengan mengiriskan himpunan selesaian 1, 2, dan 3 pada garis bilangan kita peroleh,

1

| ©yosprens.wordpress.com

Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014

Garis bilangan dapat digunakan untuk memudahkan menemukan himpunan selesaian.

2. cot 𝑥𝑥 = 2 bisa menghasilkan 𝑥𝑥 = −2 dan 𝑦𝑦 = −1. Tetapi nilai-nilai tersebut menyebabkan nilai sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 yang sama, yaitu 2�5.

Sehingga, berdasarkan garis bilangan di atas, himpunan selesaian dari pertidaksamaan yang diberikan adalah {x | –1 < x ≤ 0 atau 2 ≤ x < 6} (Jawaban E). Jika cos 𝑥𝑥 = 2 sin 𝑥𝑥, maka nilai sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 adalah … Pembahasan Pertama, kita selesaikan persamaan cos 𝑥𝑥 = 2 sin 𝑥𝑥. persamaan yang diberikan cos 𝑥𝑥 = 2 sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 bagi kedua ruas dengan sin 𝑥𝑥 ⟺ =2 sin 𝑥𝑥 2 identitas trigonometri ⟺ cot 𝑥𝑥 = 1 Karena cot 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥�𝑦𝑦 maka kita peroleh 𝑥𝑥 = 2 dan 𝑦𝑦 = 1. Sehingga,

3.

𝑟𝑟 = �𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = �22 + 12 = √5 Selanjutnya kita tentukan nilai dari sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 sebagai berikut. 𝑦𝑦 𝑥𝑥 1 2 2 sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 = ∙ = ∙ = 𝑟𝑟 𝑟𝑟 √5 √5 5 Jadi sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 = 2�5 (Jawaban D). Jumlah suku ke-4 dan ke-5 dari suatu barisan aritmetika adalah 55, sedangkan suku-9 dikurangi dua kali suku ke-2 bernilai 1. Jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah … Pembahasan Misalkan suku ke-n dari barisan aritmetika yang diberikan adalah 𝑈𝑈𝑛𝑛 , maka informasi yang ada dalam soal dapat dimodelkan sebagai berikut. 𝑈𝑈4 + 𝑈𝑈5 = 55 …(3.1) 𝑈𝑈9 − 2𝑈𝑈2 = 1 …(3.2) ©yosprens.wordpress.com | 2

Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014

Karena barisan tersebut merupakan barisan aritmetika, maka 𝑈𝑈𝑛𝑛 = 𝑈𝑈1 + (𝑛𝑛 − 1)𝑏𝑏. Sehingga persamaan (3.1) dan (3.2) dapat diubah

menjadi persamaan-persamaan yang ekuivalen sebagai berikut. (𝑈𝑈1 + 3𝑏𝑏) + (𝑈𝑈1 + 4𝑏𝑏) = 2𝑈𝑈1 + 7𝑏𝑏 = 55 …(3.3) (𝑈𝑈1 + 8𝑏𝑏) − 2(𝑈𝑈1 + 𝑏𝑏) = −𝑈𝑈1 + 6𝑏𝑏 = 1 …(3.4) Dengan mengalikan persamaan (3.4) dengan 2, kemudian menjumlahkannya dengan persamaan (3.3) kita mendapatkan, ⟺

(2𝑈𝑈1 + 7𝑏𝑏) + 2(−𝑈𝑈1 + 6𝑏𝑏) = 55 + 2(1)

Jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika dapat dirumuskan dengan, 𝑛𝑛 (2𝑈𝑈1 + (𝑛𝑛 − 1)𝑏𝑏) 2

19𝑏𝑏 = 57

⟺

𝑏𝑏 = 3

Selanjutnya, substitusi 𝑏𝑏 = 3 ke dalam persamaan (3.4) kita mendapatkan, −𝑈𝑈1 + 6(3) = 1

⟺

−𝑈𝑈1 + 18 = 1

⟺

4.

𝑈𝑈1 = 17

Sehingga, jumlah tiga suku pertama dari barisan tersebut adalah, 3 𝑆𝑆3 = (2(17) + (3 − 1) ∙ 3) = 60 2 (Jawaban E). Garis 𝑙𝑙 mempunyai gradien 2. Jika 𝑙𝑙 menyinggung grafik fungsi 2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑝𝑝 + 1 di 𝑥𝑥 = 1, maka persamaan 𝑙𝑙 adalah …

Pembahasan Semua garis singgung dari fungsi 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥 2 + 𝑝𝑝𝑝𝑝 + 1 memiliki gradien, 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥 + 𝑝𝑝 Padahal garis 𝑙𝑙 dengan gradien 2 menyinggung grafik 𝑓𝑓 ketika 𝑥𝑥 = 1. Atau dengan kata lain, gradien dari singgung grafik 𝑓𝑓 ketika 𝑥𝑥 = 1 bernilai 2. Sehingga, ⟺

−2(1) + 𝑝𝑝 = 2 𝑝𝑝 = 4

substitusi 𝑥𝑥 = 1

tambahakan kedua ruas dengan 2

Diperoleh 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 1. Sehingga, 3

𝑓𝑓(1) = −12 + 4(1) + 1 = 4

| ©yosprens.wordpress.com

Turunan pertama dari suatu fungsi merupakan fungsi gradien garis singgung dari grafik fungsi tersebut.

Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014

Oleh karena itu, garis 𝑙𝑙 menyinggung 𝑓𝑓 pada titik (1, 4). Dengan demikian, persamaan garis 𝑙𝑙 dapat ditentukan sebagai berikut. ⟺ 5.

⟺

𝑦𝑦 − 4 = 2(𝑥𝑥 − 1) 𝑦𝑦 − 4 = 2𝑥𝑥 − 2 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 2

persamaan garis dengan gradien 2 dan melalui titik (1, 4) sederhanakan isolasi 𝑦𝑦

Jadi, persamaan garis 𝑙𝑙 adalah 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 2 (Jawaban D). Semua nilai 𝑥𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan 22𝑥𝑥+2 − 17(2𝑥𝑥 ) + 4 < 0 adalah …

Pembahasan Pertama kita tulis suku 22𝑥𝑥+2 sehingga menjadi suku yang terdiri dari perkalian 2𝑥𝑥 . 22𝑥𝑥+2 = 22 (22𝑥𝑥 ) = 4(2𝑥𝑥 )2 Sehingga pertidaksamaan yang diberikan dapat diubah menjadi pertidaksamaan yang ekuivalen sebagai berikut. 4(2𝑥𝑥 )2 − 17(2𝑥𝑥 ) + 4 < 0 …(5.1) Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan (5.1) sebagai berikut. ⟺ ⟺ ⟺ ⟺

Jika 𝑥𝑥1 dan 𝑥𝑥2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat maka 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = − 𝑏𝑏�𝑎𝑎 dan 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 𝑐𝑐⁄ . 𝑎𝑎

6.

4(2𝑥𝑥 )2 − 17(2𝑥𝑥 ) + 4 < 0 (4(2𝑥𝑥 ) − 1)(2𝑥𝑥 − 4) < 0

pertidaksamaan (5.1) faktorkan

1 𝑥𝑥 < 2𝑥𝑥 < 4 selesaian untuk 2 4 2−2 < 2𝑥𝑥 < 22 bentuk pangkat −2 < 𝑥𝑥 < 2

selesaian untuk 𝑥𝑥

Jadi selesaian dari pertidaksamaan yang diberikan adalah −2 < 𝑥𝑥 < 2 (Jawaban E).

Diketahui 𝑥𝑥1 dan 𝑥𝑥2 akar-akar real persamaan 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 𝑝𝑝 = 0, dengan 𝑥𝑥1 dan 𝑥𝑥2 kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ,

𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 , dan 𝑥𝑥1 2 𝑥𝑥2 2 merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika maka 𝑝𝑝 = … Pembahasan Karena 𝑥𝑥1 dan 𝑥𝑥2 merupakan akar-akar real persamaan

𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 𝑝𝑝 = 0 maka 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −3 dan 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 𝑝𝑝. Sehingga, –3, 𝑝𝑝, dan 𝑝𝑝2 merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika. Hal ini mengakibatkan,

©yosprens.wordpress.com | 4

Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014

⟺ ⟺

7.

5

𝑝𝑝2 − 2𝑝𝑝 − 3 = 0

(𝑝𝑝 + 1)(𝑝𝑝 − 3) = 0

𝑝𝑝 = −1 atau 𝑝𝑝 = 3

kurangi kedua ruas dengan 𝑝𝑝 + 3 faktorkan selesaian

Karena 𝑥𝑥1 dan 𝑥𝑥2 akar-akar real, maka 9 𝐷𝐷 = 32 − 4(1)(𝑝𝑝) ≥ 0 ⟺ 𝑝𝑝 ≤ 4 9 9 Karena 3 > �4 dan −1 ≤ �4 maka nilai 𝑝𝑝 yang memenuhi adalah

−1 (Jawaban B). 𝑦𝑦 2 1 −1 4 � � � dengan 𝑥𝑥 ≠ − 1�2, maka nilai 1�2 𝑥𝑥 + Jika � � = � 𝑥𝑥 −1 −1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 =… Pembahasan Dengan mengalikan kedua ruas dengan matriks 2 1 � �, kita mendapatkan −1 𝑥𝑥 2 � −1

1 𝑦𝑦 4 �� � = � � −1 𝑥𝑥 𝑥𝑥

kalikan kedua ruas dengan

2 −1

�

1 � 𝑥𝑥

2𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 4 sederhanakan � =� � −𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 2 −1 Sehingga diperoleh, 1 2𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 = 4 ⟺ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 2 2 (Jawaban D). Empat koin palsu dicampur dengan delapan koin asli. Jika dua koin diambil secara acak, maka peluang terambil satu koin asli dan satu koin palsu adalah … Pembahasan Misalkan kejadian terambilnya satu koin asli dan satu koin palsu adalah 𝐸𝐸, maka 4! 8! |𝐸𝐸| = 𝐶𝐶14 ∙ 𝐶𝐶18 = ∙ = 4 ∙ 8 = 32 3! 1! 7! 1! Sedangkan banyaknya anggota ruang sampel adalah 12! |𝑆𝑆| = 𝐶𝐶212 = = 66 10! 2! Sehingga peluang kejadian tersebut adalah ⟺

8.

𝑝𝑝 − (−3) = 𝑝𝑝2 − 𝑝𝑝 beda barisan aritmetika

�

| ©yosprens.wordpress.com

Jika 𝐴𝐴 dan 𝐴𝐴−1 adalah suatu matriks dan inversnya, maka 𝐴𝐴 ∙ 𝐴𝐴−1 = 𝐼𝐼, dengan 𝐼𝐼 adalah matriks identitas.

Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014

𝑃𝑃(𝐸𝐸) =

(Jawaban B). 9.

|𝐸𝐸| 32 16 = = |𝑆𝑆| 66 33

Jika 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 1�𝑥𝑥 − 1, 𝑥𝑥 ≠ 1, maka 𝑓𝑓 −1 �1�𝑥𝑥 � =…

Pembahasan Pertama kita tentukan invers dari fungsi 𝑓𝑓. 𝑥𝑥 + 1 fungsi 𝑓𝑓 yang diberikan 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1 kali kedua ruas dengan 𝑥𝑥 − 1 ⟺ 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1 ⟺ ⟺

𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 1

𝑥𝑥(𝑦𝑦 − 1) = 𝑦𝑦 + 1

𝑦𝑦 + 1 𝑦𝑦 − 1 𝑥𝑥 + 1 ⟺ 𝑓𝑓 −1 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 1 Selanjutnya, 1 +1 1 𝑥𝑥 𝑓𝑓 −1 � � = 1 𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 = 1 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 1 = −1(𝑥𝑥 − 1) 𝑥𝑥 + 1 = −1 ∙ 𝑥𝑥 − 1 = −𝑓𝑓(𝑥𝑥) ⟺

𝑥𝑥 =

isolasi suku yang memuat variabel 𝑥𝑥 faktorkan

bagi kedua ruas dengan 𝑦𝑦 − 1; 𝑓𝑓 −1 (𝑦𝑦) fungsi invers 𝑓𝑓 −1 (𝑥𝑥)

substitusi 1�𝑥𝑥 ke 𝑥𝑥 pada 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

kalikan pembilang dan penyebut dengan 𝑥𝑥 faktorkan penyebut faktorkan sederhanakan

(Jawaban A) 10. Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah … Pembahasan Misalkan banyak model pakaian A dan B yang dapat dibuat secara berturut-turut adalah 𝑎𝑎 dan 𝑏𝑏. Maka permasalah di atas dapat dimodelkan menjadi, 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 ≤ 40; ©yosprens.wordpress.com | 6

Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014

1,5𝑎𝑎 + 0,5𝑏𝑏 ≤ 15 ⟺ 3𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ≤ 30; 𝑎𝑎 ≥ 0; 𝑏𝑏 ≥ 0; 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℤ (bilangan bulat); dengan fungsi tujuan: 𝑓𝑓(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏. Sehingga daerah selesaian dari kendala-kendala tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Dengan menggunakan uji titik pojok, 𝑓𝑓(0, 20) = 0 + 20 = 20; 𝑓𝑓(4, 18) = 4 + 18 = 22; 𝑓𝑓(10, 0) = 10 + 0 = 10. Jadi, maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah 22 (Jawaban C). 11. Jika 𝑥𝑥1 dan 𝑥𝑥2 akar-akar persamaan kuadrat 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 1 = 0, maka 𝑥𝑥 𝑥𝑥 persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 + 2�𝑥𝑥1 dan 2 + 1�𝑥𝑥2 adalah … Pembahasan Misalkan, 𝑥𝑥2 𝛼𝛼 = 2 + 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 𝛽𝛽 = 2 + 𝑥𝑥2 7

| ©yosprens.wordpress.com

Untuk menentukan nilai optimum dalam program linear, dapat digunakan uji titik pojok atau metode garis selidik.

Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014

Persamaan kuadrat yang memiliki akarakar 𝛼𝛼 dan 𝛽𝛽 memiliki persamaan, 𝑥𝑥 2 − (𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)𝑥𝑥 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 = 0.

Dengan 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = − 3�1 = −3 dan 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 1�1 = 1, kita peroleh 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = �2 + � + �2 + � 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 2 2 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =4+ 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )2 − 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 =4+ 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 2 (−3) − 2(1) =4+ 1 =4+7 dan

= 11

𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 � �2 + � 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 4 + 2� + � + 1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 2 = 5 + 2� � 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2

𝛼𝛼𝛼𝛼 = �2 +

=5+2∙7 = 19

Jadi, persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar 𝛼𝛼 dan 𝛽𝛽 adalah 𝑥𝑥 2 − (𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)𝑥𝑥 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 = 0 ⟺ 𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 + 19 = 0. (Jawaban A) 12. Agar sistem persamaan 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 1 = 0 �4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 5 = 0 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑦𝑦 − 7 = 0 Mempunyai penyelesaian, maka nilai 𝑎𝑎 adalah … Pembahasan Perhatikan bahwa sistem persamaan tersebut terdiri dari tiga persamaan dua variabel. Agar sistem persamaan tersebut memiliki selesaian, maka persamaan 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑦𝑦 − 7 = 0 haruslah memuat selesaian dari persamaan-persamaan 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 1 = 0 dan 4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 5 = 0. Apabila digambarkan,

©yosprens.wordpress.com | 8

Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014

Pertama, kita tentukan titik potong garis dengan persamaan 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 1 = 0 dan 4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 5 = 0. Dengan substitusi 𝑦𝑦, kita peroleh ⟺ ⟺ ⟺

2𝑥𝑥 − 1 = 4𝑥𝑥 − 5

2𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 = 1 − 5 −2𝑥𝑥 = −4

substitusi

isolasi suku dengan variabel 𝑥𝑥 sederhanakan

𝑥𝑥 = 2

bagi kedua ruas dengan −2

𝑎𝑎(2) − (3) − 7 = 0

substitusi 2 ke 𝑥𝑥 dan 3 ke 𝑦𝑦

Sehingga, 𝑦𝑦 = 2(2) − 1 = 3. Diperoleh titik potong kedua garis tersebut adalah (2, 3). Karena persamaan 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑦𝑦 − 7 = 0 harus memenuhi (2, 3), maka ⟺ ⟺

2𝑎𝑎 = 10 isolasi suku-𝑎𝑎 𝑎𝑎 = 5

bagi kedua ruas dengan 2

Jadi, nilai dari 𝑎𝑎 adalah 5 (Jawaban B). 9

| ©yosprens.wordpress.com

Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014

Rata-rata (𝑥𝑥̅ ) sama dengan jumlah data dibagi dengan banyaknya data.

13. Tiga puluh data mempunyai rata-rata 𝑝𝑝. Jika rata-rata 20% data di antaranya 𝑝𝑝 + 0,1, 40% lainnya adalah 𝑝𝑝 − 0,1, 10% lainnya lagi adalah 𝑝𝑝 − 0,5, dan rata-rata 30% data sisanya adalah 𝑝𝑝 + 𝑞𝑞, maka 𝑞𝑞 =… Pembahasan Rata-rata merupakan jumlah data dikurangi dengan banyak data. Pertama, kita tentukan banyaknya data pada masingmasing kelompok. 𝑛𝑛1 = 20% × 30 = 6; 𝑛𝑛2 = 40% × 30 = 12; 𝑛𝑛3 = 10% × 30 = 3; 𝑛𝑛4 = 30% × 30 = 9; Sehingga, informasi dalam soal di atas dapat dimodelkan sebagai berikut. 6(𝑝𝑝 + 0,1) + 12(𝑝𝑝 − 0,1) + 3(𝑝𝑝 − 0,5) + 9(𝑝𝑝 + 𝑞𝑞) 𝑝𝑝 = 30 Selanjutnya kita sederhanakan dan selesaikan persamaan di atas seperti berikut. ⟺

30𝑝𝑝 = 30𝑝𝑝 − 2,1 + 9𝑞𝑞 9𝑞𝑞 = 2,1

sederhanakan isolasi suku-𝑞𝑞

2,1 bagi kedua ruas dengan 9 9 7 sederhanakan ⟺ 𝑞𝑞 = 30 Jadi nilai 𝑞𝑞 adalah 7�30 (Jawaban B). ⟺

𝑞𝑞 =

14. Nilai 1 + (log 3 8)(log 2 3 + log 4 5) − 4 log 9 45 2 adalah … Pembahasan Agar lebih mudah, kita sederhanakan satu per satu. log 3 8 = log 3 23 = 3 log 3 2

1

log 2 3 + log 4 5 = log 2 3 + log 22 5 = log 2 �3 ∙ 52 �

4 log 9 45 = 4 log 32 45 = 2 log 3 45 = log 3 452 Sehingga, soal di atas ekuivalen dengan, 1 1 + (3 log 3 2) �log 2 �3 ∙ 52 �� − log 3 452 2

©yosprens.wordpress.com | 10

Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri 2014

=

1 1 + 3 log 3 �3 ∙ 52 � − log 3 452 2 1

1 3

= log 3 32 + log 3 �3 ∙ 52 � − log 3 452 1

3

32 ∙ 33 ∙ 52 = log 3 � � 452 7

3

log 𝑎𝑎 𝑝𝑝 − log 𝑎𝑎 𝑝𝑝 𝑝𝑝 = log 𝑎𝑎 �𝑞𝑞

1

= log 3 �3−2 ∙ 5−2 � 1 5)−2

𝑛𝑛log 𝑎𝑎 𝑝𝑝 = log 𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑛𝑛

= log 3 (3 ∙ 1 = − log 3 15 2 = − log 32 15 = − log 9 15 (Jawaban D)

log 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑝𝑝 =

15. Jika fungsi 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎2 𝑥𝑥 2 − 12𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 2 menyinggung sumbu 𝑋𝑋 di 𝑥𝑥 = 2� , maka 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐 2 =… 3 Pembahasan Fungsi kuadrat 𝑓𝑓 menyinggung sumbu 𝑋𝑋 di 𝑥𝑥 = 2�3. Ini artinya,

⟺ ⟺ ⟺

2 𝑓𝑓′ � � = 0 3

2 2𝑎𝑎2 � � − 12 = 0 3 4 2 𝑎𝑎 = 12 3 𝑎𝑎2 = 9

gradien sumbu-𝑋𝑋 sama dengan 0 substitusi 𝑥𝑥 = 2�3 ke 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) isolasi suku-𝑎𝑎2

kalikan kedua ruas dengan 3�4

Karena 𝑓𝑓 ′ �2�3� = 0 maka titik (2�3, 0) merupakan titik puncak dari fungsi kuadrat tersebut. Atau dengan kata lain, titik (2�3, 0) dilaui oleh grafik fungsi 𝑓𝑓. Sehingga, 2 𝑓𝑓 � � = 0 substitusi 𝑥𝑥 = 2�3 dan 𝑦𝑦 = 0 3 2 2 2 ⟺ 9 � � − 12 � � + 𝑐𝑐 2 = 0 substitusi 𝑥𝑥 = 2�3 3 3 11 | ©yosprens.wordpress.com

log 𝑎𝑎 𝑝𝑝 + log 𝑎𝑎 𝑝𝑝 = log 𝑎𝑎 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞 log 𝑎𝑎 𝑝𝑝 ∙ log 𝑝𝑝 𝑞𝑞 = log 𝑎𝑎 𝑞𝑞

32 ∙ 52 = log 3 � 2 � (3 ∙ 5)2 1

Sifat-sifat logaritma yang digunakan:

1 log 𝑎𝑎 𝑝𝑝 𝑛𝑛

Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2014

⟺ ⟺

4 − 8 + 𝑐𝑐 2 = 0 sederhanakan

Sehingga, 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐 2 = 9 − 4 = 5 (Jawaban D).

𝑐𝑐 2 = 4 hasil

©yosprens.wordpress.com | 12