Soal Dimensi 3

 

oal No. 1

Kubus dengan panjang sisi 12 cm. Tentukan a) panjang diagonal bidang sisi kubus b) panjang diagonal ruang Pembahasan

AF adalah salah satu contoh diagonal bidang pada kubus, sementara BH adalah salah satu contoh diagonal ruang pada kubus.

Panjang diagonal bidang dan diagonal dari kubus dengan panjang sisi = a masing-masing adalah

Sehingga a) panjang diagonal bidang = 12√2 cm b) panjang diagonal ruang = 12√3 cm Soal No. 2

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 12 cm. Titik P adalah perpotongan diagonal bidang ABCD. Tentukan jarak titik P ke titik G Pembahasan

Gambar sebagai berikut

AC panjangnya 12√2, sementara PC adalah setengah dari AC. Sehingga PC = 6√2 cm. CG = 12 cm.

Soal No. 3

Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jarak titik B ke diagonal ruang AG adalah... A. √5 B. 2√5 C. 3√5 D. 2√6 E. 3√6 (UN 2003) Pembahasan

Misalkan jaraknya adalah BP, dimana BP dengan AG harus tegak lurus.

Ambil segitiga ABG sebagai acuan perhitungan. Jika AB dijadikan alas segitiga, maka BG menjadi tingginya. Jika AG yang dijadikan alas, maka tinggi segitiganya adalah BP, dimana BP itulah yang

 

hendak dicari.

alas1 x tinggi1 = alas2 x tinggi2

Soal No. 4

Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, titik P adalah tepat ditengah CG, tentukan jarak titik C ke garis AP! Pembahasan

Posisi titik C dan garis AP pada kubus sebagai berikut:

Cari panjang AP terlebih dahulu,

dilanjutkan menentukan menentukan jarak C ke AP,

Soal No. 5

Diketahui panjang rusuk 6 cm. Jarak titik G ke diagonal BE adalah…. A. 3√6 cm kubus ABCD.EFGH dengan panjang B. 6√6 cm C. 9√6 cm D. 3√10 cm E. 9√10 cm Pembahasan

Sketsa kubusnya dulu, beri nama titik-titik sudutnya. Diberi tanda titik dan garis yang hendak dicari jaraknya.

Tambahkan 2 garis lagi, hingga muncul segitiga BGE.

 

  Pada segitiga BGE, EB sama panjangnya dengan BG, sama juga dengan GE yaitu 6√2 (dapatnya dari rumus langsung diagonal sisi). Karena sama sisi, maka garis x tegak lurusnya akan di tengahtengah garis EB. Terapkan pythagoras untuk segitiga BGJ untuk mendapat panjang panjang x:

  Metode kedua, bisa juga dengan penggunaan setengah luas segitiga, seperti beberapa soal terdahulu. Namun di sini perlu digunakan rumus luas segitiga yang ada sinusnya, karena diketahui dua sisi dan sudut diantaranya, tengok catatan jika lupa. Misal perlu sudutnya, ∠E = ∠B = ∠ G = 60°karena sama sisi:

Soal No. 6

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 cm dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT =.....(UN Matematika IPA 2014) A. 1/14 √14 cm B. 2/3 √14 cm C. 3/4 √14 cm D. 4/3 √14 cm E. 3/2 √14 cm Pembahasan

Sketsa soalnya seperti berikut ini

Dengan pythagoras dapat ditentukan panjang AC,

dan juga tinggi limas TP

Akhirnya dari segitiga ACT diperoleh nilai x

 

Jawaban: D. 4/3 √14 cm (Updating,..)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak Ja rak titik M ke AG adalah ... a. 4√6 cm  b. 4√5 cm c. 4√3 cm d. 4√2 cm e. 4 cm PEMBAHASAN: Perhatikan gambar berikut yang mengilustrasikan soal di atas:

Segitiga AGM = segitiga sama kaki, AM = MG

AG = diagonal ruang kubus, ingat rumus diagonal kubus = rusuk √3 = 8√3 cm AT = GT = 8√3 : 2 = 4√3 cm Segitiga AMT siku-siku di T, maka:

JAWABAN: D 2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah ... a. 1/3 √6  b. 1/2 √3 c. 1/2 √2 d. 1/3 √3 e. 1/3 √2 PEMBAHASAN: Perhatikan gambar berikut yang mengilustrasikan soal di atas:

GC = 10 cm

 

OC = ½ diagonal sisi kubus (ingat ya rumus diagonal sisi kubus = rusuk√2   = ½ . 10√2   = 5√2 cm

  Segitiga OGC siku-siku di C, maka: JAWABAN: JAWABA N: A 3. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Panjang proyeksi AH pada bidang BDHF adalah ...

a. 8 √3  b. 8 √2 c. 4 √6 d. 4 √2 e. 4 √3 PEMBAHASAN: Perhatikan kubus di bawah:

Perhatikan segitiga APH: AH = AC = diagonal sisi = 8√2 cm AT = ½ AC = ½ . 8√2 = 4√2 cm

JAWABAN: C 4. Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 6 cm, dan titik titik P merupakan titik potong diagonal EG dan FH. Jarak antara titik B dan titik P adalah ... a. 4 √2 cm  b. 3 √6 cm c. d. 3 √2 cm cm e. 2 √3 cm PEMBAHASAN: Perhatikan kubus berikut:

 

Segitiga BFP siku-siku di F. BF = 6 cm FP = ½ diagonal sisi = ½ . 6√2 = 3√2 cm

JAWABAN: B 5. Perhatikan gambar limas T.ABCD! Nilai kosinus sudut antara TP dan bidang alas adalah ...

a. √2  b. ½ √3 c. 1/3 √6 d ½ √2 e. 1/3 √3 PEMBAHASAN: Kalian harus mengingat aturan cosinus untuk mengerjakan soal ini:

Perhatikan limas berikut:

Kita misalkan panjang alas = 2cm Perhatikan segitiga siku-siku TQC, siku-siku di Q, maka:

 

Selanjutnya perhatikan segitiga TPQ, sama kaki, sehingga TP = TQ

JAWABAN: D 6. Diketahui kubus ABCD.EFGH, rusuk-rusuknya 10 cm. Jarak titik F ke garis AC adalah ... a. √6 cm  b. 5√2 cm c. 3√6 cm d. 10√2 cm e. 10√6 cm PEMBAHASAN:

BF = 10 cm BP = 5√2 (1/2 diagonal bidang)

JAWABAN: C 7. Jarak antara titik titik C dengan bidang BDG dalam kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 6 cm adalah ... cm a. 3√2  b. 2√6 c. √6 d. √3 e. 2√3 PEMBAHASAN:

Segitiga PCG siku-siku di C, sehingga:

 

CG = 6 cm CP = 3√2 ( ½ diagonal bidang)

Sekanjutnya kita cari nilai dari sinus