Soal Dan Pembahasan MCSHS Babak Penyisihan

Babak Penyisihan

Soal Babak Penyisihan MCSHS (Mathematics Competition for Senior High School) Olimpiade Matematika SMA

1. Bilangan

-

merupakan bilangan . . .

a. Bulat negatif

c. Pecahan

e. Irrasional negatif

b. Bulat positif

d. Irrasional positif

2. Banyaknya soal yang dikerjakan Amin hari ini bertambah cepat 40% dibandingkan dengan

yang dikerjakannya kemarin. Banyaknya soal yang dikerjakan Amin hari ini

paling sedikit ada . . . a. 5 3. Jika

b. 6 =

a. -7

c. 7

d. 8

dengan x > 0dan x b. -5

, maka

c. -3

d. -2

e. Tidak bisa ditentukan +

sama dengan . . .

e. -1

4. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positif dari 2007. Banyaknya himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah . . . a. 6

b. 31

c. 32

d. 63

e. 64

5. Misalkan N sebuah bilangan asli dua-angka dan M adalah bilangan asli yang diperoleh dengan mempertukarkan kedua angka N. Bilangan prima yang selalu habis membagi NM adalah . . . a. 2

b. 3

6. Diketahui

=

a. 0

b. 1

c. 7 dan F = c. 2

d. 9 +

e. 11

, maka nilai F adalah . . . d. 3

e. 4

7. Sebuah kapur barus berbentuk tabung dengan diameter lingkaran alasnya sama dengan tinggi tabung. Kapur barus tersebut menyublim sedemikian rupa sehingga bentuknya selalu berbentuk tabung yang diameter alasnya sama dengan tinggi tabung. Laju perubahan volum kapur barus terhadap tingginya pada saat tingginya 2 satuan adalah . . . a. 8.

b.

Nilai x yang memenuhi

c. =

d.

e.

adalah . . . Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

a. 1 + 6

c. 1 + 6

b. 1 + 4

d. 1 + 4

9.

dan

adalah akar-akar dari persamaan

bilangan asli dan a.

e. 1 + 6

2

maka

b. 3

. Jika p

...

c. 4

d. 5

e. 7

10. Antara pukul 09.30 dan 10.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji akan berimpit pada pukul 09.00 lebih . . . a.

menit

c.

menit

e.

b.

menit

d.

menit

menit

11. Peluang menemukan di antara 3 orang ada paling sedikit 2 orang yang lahir dalam bulan yang sama adalah . . . a.

b.

c.

d. .

12. Pertidaksamaan

e.

mempunyai sifat . . .

a. a dan b positif

c. a positif dan b negatif

b. a dan b berlawanan tanda

d.

13. Jika

dan

a.

=

, maka

...

c.

e.

b. 14. Diketahui

e.

d. dan

a.

c.

b.

d.

15. Persamaan garis singgung kurva

. Nilai

adalah . . . e. .

di titik

a.

c.

b.

d.

adalah . . . e.

Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan 16. Deret Geometri terdiri dari 8 suku. Jumlah tiga suku pertama adalah 210 dan jumlah tiga suku terakhir adalah 6720. Jumlah deret geometri tersebut adalah .... a. 6930

c. 7170

b. 7650

d. 5970

e. 7410

17. Jumlah bilangan-bilangan antara 150 dan 1000 yang habis dibagi 9 adalah .... a. 53535

c. 66661

b. 53578

d. 54396

e. 53568

18. 15 + 2 56 = .... a.

7 -

8

c.

9 +

b.

7 +

8

d.

9 -

e. 10 +

6

5

6

19. Jumlah dua bilangan adalah 40. Tentukan masing-masing bilangan tersebut agar hasil kali bilangan yang satu dengan kuadrat bilangan yang lain maksimum. . . a.

40 80 dan 3 3

c. 30 dan 10

b.

20 dan 50

d.

e.

70 50 dan 3 3

100 20 dan 3 3

2

20. Nilai dari ∫ 18 x 3 x 2 + 4 dx = . . . 0

a.

72

b. 86

c. 112

d. 124

e. 128

c.

d. − 3

e.

9

21. Nilai dari

∑ (−1)

p

2 adalah . . .

p =1

a. − 2

b.

2

3

8

22. Garis dengan persamaan 2 x + y + 4 = 0 dicerminkan terhadap garis y = x dan dilanjutkan 1 2  dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks   . Tentukan persamaan 0 1  bayangannya adalah .... a. e. 2 x + 4 = 0 c. 2 y − 4 = 0 x−4= 0 b. d. 2 y + 4 = 0 x+4= 0 23. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Panjang proyeksi AE pada bidang AFH adalah ....

a.

2 6

b. 3 6

c. 6 3

d. 3 3

e. 4 3

Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

a c e 24. Jika = = = 64 , maka b d f a. 8

5a 2 c − 4c 2 e + e3 = …. 5b 2 d − 4 d 2 f + f 3

b. 16

c. 64

d. 512

e. 642

25. Dua orang gadis, Linda dan Yuli, menjual sari buah lemon. Untuk setiap gelas sari buah lemon, Linda digaji 10% lebih sedikit dibanding Yuli. Tetapi setiap harinya Linda mempersiapkan 10% sari buah jeruk lebih banyak dari Yuli. Kesimpulan yang paling tepat adalah … a. Linda mendapat gaji 10% lebih sedikit dari Yuli b. Linda mendapat gaji 1% lebih sedikit dari Yuli c. Linda dan Yuli mendapatkan gaji yang sama banyaknya d. Linda mendapat gaji 1% lebih banyak dari Yuli e. Linda mendapat gaji 10% lebih banyak dari Yuli 26. Nilai x yang memenuhi persamaan 1 − a. 3 atau -2

c. -2

b. 3 atau 2

d. 2

27. Nilai z yang memenuhi

2

x2 − 4x 4 adalah …. = x−2 x−2 e. 3

[

(

))]

(

log z −2 log 2 log z − 2 log 2 log z −2 log 2 log z − 2 log (L) = 10 adalah

…. a. 211 × 51

c. 210 × 51

b. 211 × 50

d. 210 × 50

e. 2 9 × 51

28. Jumlah dari kebalikan akar-akar persamaan kuadrat

;n

1 adalah 2. Nilai 3n adalah … a.

29. Suatu lingkaran

b.

c.

d.

e.

diputar dengan R( ,90o) kemudian dicerminkan

terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah … a. b. c. d. Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan e. 30. Hitunglah 17761492! (mod 2000) dengan kata lain berapakah sisa jika 17761492! dibagi 2000 ? a. 1286

b. 1267 1

31. Determine the value of ∫

−1

a.

32 27

b.

36 27

(x

c. 1376

8x 2 3

+2

)

3

d. 1497

e. 1455

dx = ....

c.

9 27

d.

4 27

e.

40 27

3 x + y = 25 adalah.... 32. Nilai x yang memenuhi persamaan  x − y = 8 a. 1+ 5 log 3

c. 4+ 5 log 3

b. 2+ 5 log 3

d. 6+ 3 log 5

e. 4+ 3 log 5

33. Terdapat kubus tanpa alas dan tutup, panjang rusuk kubus = 1 cm. Tentukan jarak terpendek yang ditempuh semut dari A ke B dengan mengelilingi seluruh sisi kubus adalah . . . B

A

a. 1

b.

c.

d. 2

e.

34. A positive integer is to be placed in each box. The product of any four adjacent integers is always 120. What is the value of x? 2

a. 1

4

b. 2

x

c. 3

d. 4

3

e. 5

Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

35. Henri scored a total of 20 points in his basketball team’s first three games. He scored these points in the first game and

of

of these points in the second game. How many points

did he score in the third game? a.

b. 10

c. 11

d.

36. In the sequence of fractions

e. 8 . . .fractions equivalent to any given

fraction occur many times. For example, fractions equivalent to

occur for the first two

times in positions 3 and 14. In which position is the fifth occurrence of a fraction equivalent to ? a.

c. 1209

b. 1208

d.

e.1211

37. The 50th term in the sequence 5, 6x, 7x2, 8x3, 9x4, … is. . . a. 54x49

c. 45x50

b. 54x50

d. 55x49

e. 46x51

38. When 12 345 678 is divided by 10, the remainder is. . . a. 0

b. 2

c. 4

d. 6

e. 8

39. In a school, 500 students voted on each of two issues. Of these students, 375 voted in favour of the first issue, 275 voted in favour of the second, and 40 students voted against both issues. How many students voted in favour of both issues? a. 95

b.110

c. 150

d. 190

e. 230

d. 156

e. 162

40. Evaluate (–50)+(–48)+(–46)+...+54+56 . a. 10

b. 56

c. 110

41. A triangle can be formed having side lengths 4, 5 and 8. It is impossible, however, to construct a triangle with side lengths 4, 5 and 9. Ron has eight sticks, each having an integer length. He observes that he cannot form a triangle using any three of these sticks as side lengths. The shortest possible length of the longest of the eight sticks is . . . a.

b. 21

c. 22

d.

e. 24

42. Jika diketahui sin A = , maka nilai dari cos2A adalah … Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

a.

b.

c.

d.

e.

43. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,-10) dan menyinggung garis

adalah

…. a. b. c. d. e. 44. Tentukan bilangan dengan tepat yang memiliki 8 pembagi positif yang hasil kali pembagipembaginya sama dengan 331776. a. 23

b. 24

c. 25

d. 26

e. 27

45. Tentukan Faktor Persekutuan Terbesar dari bilangan-bilangan berbentuk nn – n untuk n = 3, 5, dan 7, = . . . a. 20

b. 21

c. 22

d. 23

e. 24

46. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah … a.

b.

c.

d.

e.

47. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (a, b) yang memenuhi : FPB(a, b) + KPK(a, b) = a + b + 6 a. (2, 7), (2, 5), (5, 2), (6, 9), (7, 2), (9, 6) b. (2, 8), (3, 4), (4, 3), (6, 9), (8, 2), (9, 6) c. (2, 7), (3, 4), (4, 3), (6, 9), (7, 2), (9, 6) d. (2, 7), (3, 5), (5, 3), (6, 9), (7, 2), (9, 6) e. (2, 7), (3, 4), (4, 3), (6, 8), (7, 2), (8, 6) 48. Jumlah 5 suku pertama dari suatu deret geometri adalah 93 dan rasio deret itu 2. Hasil kali suku ke-3 dan suku ke-6 adalah … a. 4.609

b. 2.304

c. 1.152

d. 768

e. 384

Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan 49. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan log (3x2 + 5x +11) = 1. Tentukan a. 6

b. 16

c. 25

d. 19

1 1 + 2 …. 2 α β

e. 9

50. Sebuah garis l1 mempunyai kemiringan -2 dan melalui titik (p,-3). Sebuah garis lain, l2 , tegak lurus terhadap l1, di titik (a,b) dan melalui titik (6,p). Bila dinyatakan dalam p, maka a = …. a.

3 5 + a 2 2

5 b. − a 2

5 c. − a 4

d.

5 a 4

e.

3 5 − a 2 2

Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

Pembahasan Soal Babak Penyisihan MCSHS (Mathematics Competition for Senior High School) Olimpiade Matematika SMA

1. Misal :

= a dan

=b

Jadi bilangan itu a – b = x a3 – b3 = ( ab=

+ 2) – (

- 2) = 4

=1 =

- 3ab(a-b) -

= 4 - 3x + 3x – 4 = 0 Dengan aturan horner akan didapat x=1(bulat positif) Jawaban : b 2. 40% = Hari ini lebih banyak 40% dari kemarin, jadi yang dikerjakan hari ini:1 +

=

kali yang

dikerjakan kemarin. Karena jumlah soal yang dikerjakan selalu berupa bilangan asli, maka jumlah soal yang dikerjakan hari ini paling sedikit ada

x 5 = 7(dikali 5 karena 5 adalah

bilangan asli terkecil yang habis dibagi 5) Jawaban : c 3. Dipunyai

Jelas,

=

+

= =

+ +

=

+ Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

=

+

=

+

= = -1 Jawaban : e 4.

2007 = 3 x 3 x 223 x 1 Faktor-faktor positif dari 2007 adalah:1, 3, 9, 223, 669 dan 2007 (ada 6 buah) Jadi banyak himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah: +

+

+

+

+

= 6 +15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63

Jawaban : d 5. Misal : N = 10x + y dan M = 10y + x dengan x,y bilangan asli yang lebih besar atau sama dengan 1,dan lebih kecil atau sama dengan 9 N – M = 10x + y - 10y – x = 9x – 9y = 9(x-y) Jadi N - M selalu habis dibagi 9, 1 dan 3. Di antara 9, 1 dan 3 hanya 3 yang prima Jawaban : b 6. F =

+

=

+

=

-

+

=1 Jawaban : b 7. d = t V Tabung =

t

= =

t d Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

= Laju perubahan volum =

=

d=t

= =

4=

Jawaban : b 8.

= = (x + 1)log 8 = (x-1)(log 3 + log 8) (x + 1)log 8 - (x-1)log 8 = (x-1)log 3 2log 8 = (x-1)log 3 x–1= x=1+ x=1+ x=1+6 Jawaban : c

9.

Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

Jawaban : d

10. Lebihnya

menit Jawaban : b 11. Peluang menemukan 2 orang yang lahir dalam bulan yang sama : Peluang menemukan 3 orang lahir dalam bulan yang sama :

=

=

Jadi peluang menemukan sedikitnya 2 orang yang lahir dalam bulan yang sama :

+

= Jawaban : a 12.

Oleh karena pangkatnya ganjil, maka

Jawaban : d 13. Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

Jawaban : c 14.

,

Jawaban : a 15.

Garis singgung kurva melalui titik

maka

Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

Jadi Persamaan garis yang melalui

dengan

Jawaban : d 16. Tulis deret geometri = a + ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + ar 5 + ar 6 + ar 7 Jelas a + ar + ar 2 = 210 ar 5 + ar 6 + ar 7 = 6720 ⇔ r 5 (a + ar + ar 2 ) = 6720

r 5 ( a + ar + ar 2 ) 6720 = 2 210 a + ar + ar

r5

= 32

r5

= 25

r

=2

a + ar + ar 2 = 210

a + 2a + 4a = 210 7a = 210

a = 30

∑

deret geometri

= 30 + 60 + 120 + 240 + 480 + 960 + 1920 + 3840 = 7650

Jadi jumlah derat geometri tersebut adalah 7650. Jawaban : b Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan 17. Deret bilangan yang habis dibagi 9 antara 150 – 1000 adalah 153, 162, 171, ..., 999. Maka jumlah bilangannya adalah S n =

n (a + U n ) . 2

U n = a + (n − 1)b

999 = 153 + ( n − 1)9 9n − 9 = 846

9n

= 837

n

= 93

Sn =

93 (153 + 999) 2

= 53568.

Jawaban : e 18. Ingat rumus

( a + b) + 2 a × b =

a+ b

Misal : a + b = 15

a × b = 56 Jelas a = 15 − b

a × b = 56 ⇔ (15 − b)b = 56 ⇔ 15b − b 2 = 56 ⇔ b 2 − 15b + 56 = 0

⇔ (b − 8)(b − 7) = 0 ⇔ b = 8 atau b = 7 Untuk b = 8 maka a = 7 Untuk b = 7 maka a = 8

Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan Jadi diperoleh 15 + 2 56 = 7 +

8 atau

15 + 2 56 =

8+ 7.

Jawaban : b 19. Misal bilangan I = x bilangan II = (40 − x) f ( x) = x 2 ( 40 − x) = 40 x 2 − x 3 Untuk mencari nilai x yang mencapai nilai maksimum adalah f ' ( x) = 80 x − 3 x 2 0 = x (80 − 3 x )

x = 0 atau x =

80 3

syarat untuk mencapai nilai maksimum adalah f " ( x ) < 0

f " ( x) = 80 − 6 x Untuk x = 0 ⇒ f " (0) = 80  80  x = 80 ⇒ f "   = −80  3

Sehingga untuk mencapai maksimum nilai x =

Jadi diperoleh bilangan I =

80 3

80 80 40 dan bilangan II = 40 − . = 3 3 3

Jawaban : a 20. Misal u = 3x 2 + 4 Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan du = 6x dx

du = 6 x ⋅ dx dx =

du 6x

2

2

0

0

1

Jelas ∫ 18 x 3 x 2 + 4 dx = ∫ 18x ⋅ u 2

du 6x

3 2

= 2u 2 0

= 2(3 x 2 + 4) 3 x + 4

2 0

(

) (

= 2(12 x + 4) 16 − 2(0 + 4) 4

)

= 128 – 16 = 112 2

Jadi nilai dari ∫ 18 x 3 x 2 + 4 dx adalah 112. 0

Jawaban : c 21. Jelas 9

∑ (−1) p =1

p

2 = (− 1) 2 + (− 1)2 2 + (− 1)3 2 + (− 1)4 2 + (− 1)5 2

(− 1)6

2 + (− 1)

7

2 + (− 1)

8

2 + (− 1)

9

2

= (−1) 9 2 = −1 2 Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan = − 2. 9

Jadi

∑ (−1)

2 adalah − 2 .

p

p =1

Jawaban : a 22. Garis dengan persamaan 2 x + y + 4 = 0 dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan 1 2  dengan trasformasi dengan matriks   0 1  0 1  Jelas pencerminan terhadap garis y = x bersesuaian dengan matriks   1 0  1 2  0 1  Sehingga M 2 M 1 =    0 1  1 0   2 1 =   1 0 

 x'   ' = y 

 2 1  x  1 0   y    

'  x 1  0 − 1  x  =    y − 1 − 1 2   y '   

 x   0 1   x'  y  =  − 1 2   y '       x   y'   y  =  x'−2 y '     Diperoleh 2 x + y + 4 = 0

⇔ 2 y '+ x'−2 y'+4 = 0

⇔ x'+4 = 0 ⇔ x+4=0 Jadi persamaan bayangan yang terbentuk adalah x + 4 = 0 . Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan Jawaban : b 23. H

G

E

F

D C A

B

E 1 = tengah-tengah HF AE1 =

AE 2 + EE1

2

=

(12) 2 + (6 2 ) 2

=

144 + 72

=

216

= 6 6

EE2 =

=

AE ⋅ EE1 AE1 12 ⋅ 6 2 6 6

= 4 3 Jadi panjang proyeksi AE pada bidang AFH adalah 4 3 . Jawaban : e Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

24.

a c e = = = 64 , maka a = 64b, c = 64d, dan e = 64f. b d f Jelas

=

5a 2 c − 4c 2e + e3 5.64 2.b 2 .64.d − 4.642.d 2 .64. f + 642. f 3 = 5b2 d − 4d 2 f + f 3 5b2 d − 4d 2 f + f 3

(

)

643 5b 2 d − 4d 2 f + f 3 = 643 = 218 = 29 = 512 . 2 2 3 5b d − 4d f + f

Jawaban : d 25. Tulis A: jumlah gelas sari jeruk yang dibuat Yuli setiap harinya dan B: jumlah pembayaran untuk setiap gelas sari jeruk. Jelas gaji Yuli per hari adalah A × B. Linda menerima 10% lebih sedikit dari Yuli, berarti 90% dari B atau B × 90%, tetapi Linda membuat 10% lebih banyak dari Yuli, berarti 110% dari A atau A × 110%. Jadi gaji Linda per hari adalah A × 110% × B × 90% = 99% × A × B. Jadi Linda mendapat gaji 1% lebih sedikit dari Yuli. Jawaban : b 26. Jelas 1 −

4 x2 − 4 x = x−2 x−2

x − 6 x2 − 4x ⇔ = x−2 x−2 ⇔ ( x − 6) = ( x 2 − 4 x) ⇔ x2 − 5x + 6 = 0

⇔ ( x − 3)( x − 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 atau (x – 2) = 0 ⇔ x = 3 atau x = 2. Lakukan pengecekan. Untuk x = 2 tidak memenuhi persamaan karena menghasilkan penyebut 0. Jadi nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 3. Jawaban : e Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

[

(

))]

(

27. Jelas 2 log z − 2 log 2 log z − 2 log 2 log z − 2 log 2 log z − 2 log (L) = 10 z

⇔ 2 log 2

log 2

2

z

log 2

log

z

⇔ 2

2

⇔ 10 =

log

2

z L

z 2 log L

z

log 2

log

z 2

z

= 2 log 210

z

log

= 210 ⇔ 2 log

z

log

z

= 10⇔ 2 log

z

=

z

log 2

z L z 210

z

log 2

log

z L

z ⇔ z = 211 × 5 . 10 2

Jawaban : a 28. Misalkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah a dan b. maka

Jawaban : e Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan 29. Persamaan lingkaran

Pusat = (

,

B) = (3,-2)

Jari-jari =

R( ,90o)

Jadi, pusat lingkaran bayangannya adalah (2,-3) Persamaan lingkaran bayangan:

Jawaban: a 30. 17761 = 1776 (mod 2000) 17762 = 176 (mod 2000) 17763 = 576 (mod 2000) 17764 = 976 (mod 2000) 17765 = 1376 (mod 2000) 17766 = 1776 (mod 2000) 17767 = 176 (mod 2000) dan seterusnya. Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan Karena 17766 = 1776 1 = 1776 (mod 2000), maka 1776n = 1776n-5 (mod 2000) untuk n > 5. Jelas bahwa 1492! habis dibagi 5. 17761492! = 17765 (mod 2000) = 1376 (mod 2000) Maka sisa jika 17761492! dibagi 2000 adalah 1376. Jawaban : c 31. Misal: u = x 3 + 2 Maka

du = 3x 2 dx dx = 1

Jelas

∫ (x

−1

du 3x 2

8x 2 3

+2

1

dx = 3

)

∫ 8x

2

du 3x 2

⋅ u −3 ⋅

−1

1

=

8

∫3u

−3

du

−1

= −

4 −2 ⋅u 3

= −

4

= −

(

1 −1

1

3 x3 + 2

(

4

3 13 + 2

)

2

)

2

−1

 4 − −  3 ( −1) 3 + 2 

= −

4  4  − −  3 ⋅ 9  3 ⋅1 

= −

4 4 + 27 3

=

(

)

2

   

− 4 + 36 27 Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan 32 . 27

= 1

Jadi nilai dari

∫ (x

−1

8x 2 3

+2

)

3

dx =

32 . 27

Jawaban : a 32. Jelas 3 x + y = 25⇔ 3 log 25 = x + y ....(1) x − y = 8 ⇔ y = x − 8 ....(2)

Substitusikan persamaan (1) dan (2): 3

log 25 = x + ( x − 8) ⇔ 3 log 25 = 2 x − 8 ⇔ 2 x = 3 log 25 + 8 ⇔ 2 x = 3 log 5 2 + 8 ⇔ 2 x =2 3 log 5 + 8

⇔x=

(2 log 5 + 8) 3

2

⇔ x = 3 log 5 + 4

3 x+ y = 25 adalah 4+ 3 log 5 Jadi nilai x yang memenuhi persamaan  x − y = 8 Jawaban : e 33. Karena kenaikannya , maka diperoleh

4 AO = 4 x

=4x

= 4x Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan B

= Jawaban : c 1

A

34. Since the product of any four integers is 120, represents the number in the nth box. Therefore, , or more generally, x

4

2

3

= x

= =

=120 where an

and similarly

=

,

=

=

Thus the boxes can be filled as follows: 4

2

3

x

4

2

3

x

4

Therefore, (4)(2)(3)(x)= 120

Jawaban : e 35. Henri scored

or 10 points in his first game. In his second game, he scored

2 points. In the third game, this means that he will score 20 – (2

or

or 8 points.

Jawaban : e 36. In analyzing this sequence of fractions, we start by observing that this large sequence is itself made up of smaller sequences. Each of these smaller sequences is of the form with the denominators increasing from 1 to n and the numerators decreasing from n to 1. We observe that there is 1 term in the first of these smaller sequences, 2 terms in the second of these, and so on. This can be seen in the following grouping: Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

( ), (

), (

), (

), ..., (

), ...

If we take any fraction in any of these smaller sequences, the sum of the numerator and denominator is 1 greater than the number of terms in this smaller sequence. For example, if we take the first occurrence of , it would occur in the sequence with 9 terms. This implies that the fifth occurrence of a fraction equivalent to sequence with 49 terms, and would be the

, namely

, would occur in the

term in that sequence.Since the smaller

sequences before this particular sequence have 1, 2, 3, …, 48 terms, so the term

is term

number Jawaban : e 37. If we start by looking at the numerical coefficient of each term we make the observation that if we add 1 to 5 to get the second term and 2 to 5 to get the third term we will then add 49 to 5 to get the fiftieth term. Thus the fiftieth term has a numerical coefficient of 54. Similarly, if we observe the literal coefficient of each term, the first term has a literal coefficient of x0 which has an exponent of 0. The second term has an exponent of 1, the third an exponent of 2 so that the exponent of the fiftieth term is 49 which gives a literal part of 54x49 . Thus the fiftieth term is 54x49. Jawaban : a 38. Applying the standard division algorithm we would have The remainder is 8. Jawaban : e 39.

Let x be the number of students who voted in favour of both issues. We construct a Venn Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan diagram of the results of the vote: Since the total number of students is 500, then

=190 So 190 students voted in favour of both. Jawaban : d 40. If we add some terms to this series, we would have the following: ( –50)+(–48)+(–46)+...+48+50+52+54+56 . Each of the negative integers has its opposite included in the sum and each pair of these sums is 0. This implies that, (–50)+(–48)+(–46)+...+46+48+50 is 0. The overall sum is now just 52+54+56 or 162. Jawaban : e 41. If Ron wants the three smallest possible lengths with which he cannot form a triangle, he should start with the lengths 1, 1 and 2. (These are the first three Fibonacci numbers). If he forms a sequence by adding the last two numbers in the sequence to form the next term, he would generate the sequence: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Notice that if we take any three lengths in this sequence, we can never form a triangle. The shortest possible length of the longest stick is 21. Jawaban : b 42. sin A =

maka cos A =

cos 2A = 1 - 2sin 2A

cos 2A = 1 – 2

=1-

=-

cos 2A = 2 cos2A-1 ó-

= 2 cos2A-1

ó 2cos2A=

ó cos2A =

Jawaban: d Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

43. Diketahui persamaan garis singgung

Jari-jari lingkaran =

=

=

=5

Persamaan lingkaran:

Jawaban : a 44. Misalkan bilangan tersebut = n dengan d 1, d 2 , d3 ,…., d8 adalah pembagi-pembaginya serta berlaku bahwa d1 < d2 < d3 < d 4 < .... < d8. Jelas bahwa d1 = 1 dan d 8 = n. Ingat bahwa d1 . d 8 = d2 . d7 = d3 . d6 = d4 . d5 = n. Maka : d1d2d3d 4d 5d 6d7d8 = n 4 = 331776 = 212 . 34 n = 23 . 3 Maka bilangan tersebut adalah 24. Jawaban : b 45. Untuk n = 3 à n n – n = 24 Maka bilangan terbesar yang membagi nn – n untuk n = 3, 5, 7, ... adalah 24. nn – n = n(nn-1 – 1) Karena n ganjil maka n-1 genap. Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan nn – n = n(n2k – 1) à n 2k adalah bilangan genap. Karena n2k genap maka n2k akan berbentuk 3p atau 3p + 1 Jika n 2k = 3p maka 3 membagi n2k à 3 membagi n à n(n 2k – 1) habis dibagi 3. Jika n 2k = 3p - 1 maka n2k – 1 habis dibagi 3 à n(n2k – 1) habis dibagi 3. Maka nn – n habis dibagi 3. Karena bilangan kuadrat berbentuk 8q, 8q + 1, atau 8q + 4 tetapi n2k tidak mungkin berbentuk 8qatau 8q + 4 sebab n ganjil. Maka n2k berbentuk 8q + 1 à n2k – 1 habis dibagi 8 Maka nn – n habis dibagi 8. Karena nn – n habis dibagi 3 dan 8 maka nn – n habis dibagi 24. Faktor Persekutuan Terbesar dari bilangan-bilangan berbentuk n n – n untuk n = 3, 5, 7, ... adalah 24 Jawaban : e 46. Misalkan deretnya a, ra, r2a, r3a, …

Deret untuk yang bernomor genap : ra, r3a, …

Dari 1) dan 2) diperoleh Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

Dari persamaan 1)

Jadi, suku pertamanya adalah . Jawaban : b 47. Misal FPB(a,b) = x maka a = xp dan b = xq untuk x, p, q bilangan asli dan FPB (p,q) = 1 KPK (a,b) = xpq. x + xpq = xp + xq + 6 Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan x(p - 1)(q - 1) = 6 Ada beberapa kasus : v

x=1 ; p-1=1 ; q-1=6

x = 1, p = 2 dan q = 7 à (a, b) = (2, 7) v

x=1 ; p-1=6 ; q-1=1

x = 1, p = 7 dan q = 2 à (a, b) = (7, 2) v

x=1 ; p-1=2 ; q-1=3

x = 1, p = 3 dan q = 4 à (a, b) = (3, 4) v

x=1 ; p-1=3 ; q-1=2

x = 1, p = 4 dan q = 3 à (a, b) = (4, 3) v

x=2 ; p-1=1 ; q-1=3

x = 2, p = 2 dan q = 4 (Tidak memenuhi sebab FPB(p, q) v

1)

x=3 ; p-1=1 ; q-1=2

x = 3, p = 2 dan q = 3 à (a, b) = (6, 9) v

x=3 ; p-1=2 ; q-1=1

x = 3, p = 3 dan q = 2 à (a, b) = (9, 6) v

x=6 ; p-1=1 ; q-1=1

x = 6, p = 2 dan q = 2 (Tidak memenuhi sebab FPB(p, q)

1).

Pasangan (a, b) yang memenuhi adalah (2, 7), (3, 4), (4, 3), (6, 9), (7, 2), (9, 6). Jawaban : c 48. Misalkan suku pertama deret tersebut adalah a.

Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

U3 = ar2 U6 = ar5 U3. U6 = ar2. ar5 = 9.27 = 1.152 Jawaban : c 49. Jelas log (3x2 + 5x +11) = 1 ⇔ log (3x2 + 5x +11) = log 10 ⇔ 3x2 + 5x +11= 10 ⇔ 3x2 + 5x +1= 0 Jadi akar-akar persamaannya adalah α + β = −

Jelas untuk

b c 1 5 = − dan α ⋅ β = = a a 3 3

1 1 α2 +β2 + = α2 β2 α 2β 2 2 ( α + β ) − 2αβ = (αβ )2

2

 5 1  −  − 2  3  3 = 2 1    3

25 2 − = 9 3 1 9 25 6 − = 9 9 1 9 Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

19 = 9 1 9

= 19 . Jawaban : d 50. Persamaan garis l1 y - y = m(x - x) ⇔ y + 3 = -2 (x – p) ⇔ y = -2x – p – 3.

Persamaan garis l2 y – y = m(x – x)

⇔y – p =

⇔y=

1 (x – 6) 2

1 x – 3 + p. 2

Garis l1 dan garis l2 tegak lurus di (a,b) (a,b) ⇒ y = -2x – p – 3

⇔ b = -2a – p – 3,

(a,b) ⇒ y =

⇔b =

1 x–3+p 2

1 a – 3 + p. 2

Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009

Babak Penyisihan

Jadi -2a – p – 3 =

⇔- p – p =

⇔ - 2p =

⇔p = -

1 a–3+p 2

1 a + 2a 2

5 a 2

5 a. 4

Jawaban : c

Mathematics Competition for Senior High School Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 2009