SOAL DAN PEMBAHASAN LINGKARAN.pdf

LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN LINGKARAN LINGKARAN

1. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( x  –  2 )² + ( y + 1 )² =13 di titik yang berabsis  – 1 adalah

…. a.  b. c. d. e.

3x – 2y – 3 = 0 3x – 2y – 5 = 0 3x + 2y – 9 = 0 3x + 2y + 9 = 0 3x + 2y + 5 = 0

Penyelesaian Langkah 1 : Substitusi nilai x =  – 1 pada persamaan ( x  – 2 )² + ( y + 1 )² =13, sehingga didapat:  – 1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 : ( –  9 + ( y + 1 )² =13 ( y + 1 )² =13  – 9 ( y + 1 )² = 4 y+1=±2 y = – 1 ± 2, sehingga didapat : y1 = – 1 – 2 y2 = – 1 + 2 y1 = – 3 y2 = 1 didapat koordinat titik singgungnya adalah :  – 3 ) dan (  – 1,1 ( – 1, 1, –  1,1 ) Langkah 2 : Substitusikan kedua koordinat titik singgungnya  pada persamaan persamaan : ( x – 2 ) ( x  – 2 ) + ( y + 1 ) ( y + 1 ) = 13,  – 1 – 2 ) ( x – 2 ) + ( – 3 + 1 ) ( y + 1 ) = 13 ( –   – 1 – 2 ) ( x – 2 ) + ( 1 + 1 ) ( y + 1 ) = 13 ( –   – 3 ( x – 2 ) + – 2 ( y + 1 ) = 13  – 3 ( x – 2 ) + 2 ( y + 1 ) = 13  – 3x 3x + 6 – 2y – 2 = 13  – 3x 3x + 6 + 2y + 2 = 13 3x – 2y + 4 – 13 = 0  – 3x  – 3x 3x + 2y – 13 + 8 = 0  – 3x 3x – 2y – 9 = 0  – 3x 3x + 2y – 5 = 0 {kedua ruas dikalikan dengan ( – )}, )}, maka akan diperoleh : 3x + 2y + 9 = 0 atau 3x  – 2y + 5 = 0

2. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y²  –  2x  –  6y – 7  – 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah …. a. 4x – y – 18 = 0  b. 4x – y + 4 = 0 c. 4x – y + 10 = 0 d. 4x + y – 4 = 0 e. 4x + y – 15 = 0 Penyelesaian Langkah 1 : Subtitusikan nilai x = 5 pada persamaan lingkaran untuk mendapatkan titik singgungnya. x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 5² + y² – 2(5) – 6y – 7 = 0 y² – 6y – 7 + 25 – 10 = 0 y² – 6y + 8 = 0 ( y – 2 ) ( y – 4 ) = 0 y =2 atau y = 4, sehingga koordninat titik  singgungnya adalah ( 5,2 ) dan ( 5,4 ). Langkah 2 :

Substitusikan kedua titik singgung pada persamaan x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0 5x + 2y – ( x + 5 ) – 3( y + 2 ) – 7 = 0 5x + 2y – x – 5 – 3y – 6 – 7 = 0 4x – y – 18 = 0 5x + 4y – ( x + 5 ) – 3( y + 4 ) – 7 = 0 5x + 4y – x – 5 – 3y – 12 – 7 = 0 4x + y – 24 = 0 3. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x  –  4y  –  4 = 0, serta menyinggung smbu x

negative dan sumbu y negative adalah …. a.  b. c. d. e.

x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0 x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0 x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0 x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0 x² + y² – 2x – 2y + 4 = 0

Penyelesaian

Dari soal terdapat pernyataan “ menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative “, itu artinya lingkaran berada di kuadran III. Karena pusat lingkaran menyinggung kedua sumbu maka nilai x dan y pastinya sama sehingga didapat persamaan x = y. Substitusikan x = y pada persamaan garis 2x  –  4y –  4 = 0, didapat : 2x – 4(x) – 4 = 0  – 2x 2x = 4 x =  – 2, 2, karena x = y maka koordinat pusat  – 2 ). Karena lingkaran lingkarannya adalah (  – 2, 2, –  menyinggung sumbu x dan sumbu y maka jari  –  jri lingkaran adalah 2. Subtitusikan nilai yang didapat pada persamaan umum limgkaran : ( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r² ( x + 2 )² + ( y + 2 )² = 2² x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0 4. Persamaan garis lingkaran yang berpusat di ( 1,4 ) dan menyinggung garis 3x  – 4y – 2  – 2 = 0 adalah …. a. x² + y² + 3x  – 4y – 2 = 0  b. x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0 c. x² + y² + 2x + 8y  – 8 = 0 d. x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0 e. x² + y² + 2x + 2y  – 16 = 0 Penyelesaian Karena pusat lingkarannya sudah diketahui maka nilai lain yang tinggal dicari adalah jari  –  jarinya dengan mencari jarak pusat ke lingkaran yaitu :

d 

ax1

by1 a2

c

b2

Dari soal diketahui persamaan garisnya 3x  –  4y –  2 = 0 berarti nilai a = 3, b =  – 4, 4, dan c =  – 4, 4, dengan titiknya yaitu ( 1,4 ) berarti nilai x 1 = 1 dan y1 = 4. Masukkan niliai tersebut ke dalam rumus jarak titik  ke garis

d 

3(1)

4(4)

(3) 2

2

3 16 2

( 4) 2

9 16

15 25

3

Maskkan nilai ( 1,4 ) yaitu pusat lingkarannya dan  jari – jarinya 3. ( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r² ( x – 1 )² + ( y – 4 )² = 3² x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0

8. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,-3) dan menyinggung garis 3x - 4y + 7 = 0 ! a. x2 + y2 – 9x + 3y – 64 = 0 2 2  b. x + y  – 7 + 8y – 17 = 0 c. x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 2 2 d. x + y  – 9x + 4y – 85 = 0 e. x2 + y2 – 8x + 3y – 15 = 0 Penyelesaian

5. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y  –  x + 3 = 0

adalah…. a.  b.

 y  y

c.

 y

d.

 y

e.

 y

1 2 1 2

5

 x

2 5

 x

2

5 5

2 x 5 5 2 x 5 5 2 x

5 5

Penyelesaian Gradien dari persamaan garis ax + by + c = 0

adalah m

a b

Gradien dari persamaan garis 2y  –  x + 3 = 0 adalah

m

( 1)

1

2

2

, karena persamaan garis singgung

lingkaran tegak lurus dengan garis 2y  –  x + 3 = 0 maka gardien garis tersebut adalah

m1

1 m2

1 1

9. Tentukan pusat lingkaran x 2 + y2 + 4x - 6y + 13 =0! a. (-4,3)  b. (-2,9) c. (-1,2) d. (-2,3) e. (-6,4) Penyelesaian

2

2 6. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (3,4) dan berjari-jari 6 ! a. x2 + y2 - 6x - 8y - 11 = 0  b. x2 + y2 - 2x - 7y - 35 = 0 c. x2 + y2 - 8x - 8y – 5 = 0 d. x2 + y2 - 3x - 8y -81 = 0 e. x2 + y2 - 6x - 8y - 11 = 0

10. Tentukan jari-jari lingkaran x 2 + y2 - 4x + 2y + c = 0 yang melalui titik A(5,-1) ! a. 1  b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Penyelesaian

Penyelesaian (x - 3)2 + ( y - 4)2 = 62

x2 + y2 - 6x - 8y - 11 = 0

7. Diketahui titik A(5,-1) dan B(2,4). Tentukan  persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik A dan B ! a. x2 + y2 - 9x - 1y + 8 = 0  b. x2 + y2 - 7x - 3y + 6 = 0 c. x2 + y2 - 1x - 4y + 4 = 0 d. x2 + y2 – 2x - 4y + 3 = 0 e. x2 + y2 - 2x - 3y + 4 = 0

2

2

11. Tentukan m supaya lingkaran x + y - 4x + 6y + m = 0 mempunyai jari-jari 5 ! a. -11  b. -12 c. -13 d. -14 e. -15

Penyelesaian Penyelesaian

12. Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x 2 + y = 25 maka tentukan c ! a. ±5√2  b. ±6√8

2

c. d. e.

±2√2 ±1√4 ±7√8

16. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,2) dan menyinggung sumbu Y ! 2 2 a. x + y - 9x - 3y + 7 = 0  b. x2 + y2 - 2x - 1y + 9 = 0 2 2 c. x + y - 4x - 9y + 4 = 0 d. x2 + y2 - 6x - 4y + 4 = 0 e. x2 + y2 - 3x - 6y + 1 = 0

Penyelesaian

Penyelesaian 2

13. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x + y2 = 25 yang melalui titik (7,1) ! a. 4x-3y=25  b. 5x-4y=26 c. 6x-5y=27 d. 7x-6y=28 e. 8x-7y=29 Penyelesaian

17. Diketahui lingkaran l berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L diputar 90 o searah jarum  jam terhadap titik O(0,0), kemudian digeser ke  bawah sejauh 5 satuan, maka tentukan persamaan lingkaran yang dihasilkan ! a. x2 + y2 – 8x + 3y + 5 = 0  b. x2 + y2 – 9x + 3y + 5 = 0 c. x2 + y2 – 1x + 2y + 5 = 0 d. x2 + y2 – 6x + 8y + 5 = 0 e. x2 + y2 – 6x + 6y + 5 = 0 Penyelesaian

14. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 di (5,1 ) a. 5x + 7y – 16 = 0  b. 3x + 4y – 19 = 0 c. 5x + 8y – 23 = 0 d. 9x + 9y – 18 = 0 e. 7x + 2y – 65 = 0 Penyelesaian

15. Garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran x 2 + y2 = 169 menyinggung lingkaran (x - 5)2 + ( y - 12)2 = p . Tentukan p ! a. 167  b. 168 c. 169 d. 170 e. 171 Penyelesaian

18. Tentukan jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik  A(5,0), B(0,5) dan C(-1,0) ! a. √13  b. √14 c. √15 d. √16 e. √17 Penyelesaian

19. Diketahui lingkaran dengan persamaan x 2 + y2 + bx - 6y + 25 = 0 dan b < 0 menyinggung sumbu X. Tentukan nilai b ! a. -9  b. -10 c. -11 d. -12 e. -13 Penyelesaian

2

2

20. Lingkaran x + y - 2 px + q = 0 yang mempunyai  jari-jari 2, akan menyinggung garis x  –  y = 0 bila

nilai p yang positif = …… a. √2  b. 2√2 c. 3√2 d. 4√2 e. 5√2 Penyelesaian

21. Tentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan 2 2 lingkaran x + y - 4x + 6y - 17 = 0 dan menyinggung garis 3x  – 4y + 7 = 0 ! 2 2 a. (x - 9) + (y + 7) = 32  b. (x - 6)2 + (y + 2)2 = 27 c. (x - 9)2 + (y + 3)2 = 22 d. (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25 2 2 e. (x - 3) + (y + 3) = 21 Penyelesaian