So Lucio Nario 1 Sec Und

Solucionario

PROLOGMÁTICA 2009

Resolución 29

Resolución 30 (14+d)tan37º D

pajarito

B

14

C elefante

 BCD (14+d)tan37º=d · tan53º 3 4    (14+d) ·  =d ·  4 3









d=18

Para calcular t utilizamos

=

k ( 10 + 3)

( k ( 10 − 3) ( =

10 + 3) ( 10 − 3)



10 − 3) ( 10 − 3)

d=v · t

3  · t 10 t=60 segundos 18=

π (19 + 6 10 ) =

10 )

1=



R=π



6

24







60 ...

68 880

 

  1×2×3   2×3×4    3×4×5 ...    40×41×42

R

π R



A={6; 24; 60; ... ; 68 880}







n(A)=40

Luego





hallamos

la

cantidad

de

subconjuntos ternarios que tiene A. Clave

D

Clave

B

20



40 C3

13

40 ! 40 × 39 × 38 × 37 ! = = 37 !× 3 ! 37 ! × 3 × 2 1

Departamento de Publicaciones Villa María, 28 de noviembre de 2009

1

40



C3 = 20 × 13 × 38



C3 = 9880

40

Por lo tanto, hay 9880 subconjuntos ternarios. Clave

12

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15 = aba 15 15 39 veces  15 15( xy )



xyz+39(5)=aba



xy+195=aba

Calculamos la cantidad de elementos de A.

= 19 + 6 10

(19 + 6

Resolución 2

Resolución 1

Reemplazando

Despejando d

Primer Año

C+ S 10 k + 9 k = C− S 10 k − 9 k

53º d

SOLUCIONARIO

S 9k = C 10 k

37º

1.er

Primer Año

Concurso Nacional de Matemática

Trabajamos en el primer miembro

A

PROLOGMÁTICA 2009

C

Como 3  n



1 x



Elevando al cuadrado tenemos

a1 a2 a3 a ⋅a ⋅a = = = ... = k → 1 2 3 = k3 b1 b2 b3 b1 ⋅ b2 ⋅ b3

La suma indicada será





  2 x

=y

x+y 1 1 1 + + +2 x⋅ y x + y x ( x + y) y ( x + y)



1 y

E

Por propiedad

(15m) · 60=p2(n –1)

2 x

1 x

Por comparación se tiene

De la hipérbola x · 60=p2(n –1)





Clave

De la recta, tenemos 3m x =     x=15m 12 60

Resolución 21

Extrayendo la raíz cuadrada en ambos

2



Área pedida

(p2; n–1)

2

Primer Año

PROLOGMÁTICA 2009

B

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Clave

B

9

Solucionario

PROLOGMÁTICA 2009

Resolución 19

Resolución 18 A





R 4

C

B

4

x+2R=4

(x+R) +(x+R) =4

.......(a)



2



2



2( x + R) = 42



2 ( x + R) = 4



5ac 25(a+c)

x+R=



x + R = 2 2

.......(α)

S=

10

∑

k =1



R=–1 Clave



Calculando el área sombreada

A S = π (4 − 2 2 )



A S = π (16 + 8 − 16 2 )



A S = π (24 − 16 2 )



A S = 8π (3 − 2 2 )

C

(2 x )

1 x

P2: precio 2

2 k−1

1 1 1 1 + + + ... + 2  4 8  512  

9  1 1 1  1     − 1 −1 2 2  = 2  512  = 511 1 512  1 1− −   2 2

S = 21 +

=y

511 512

Resolución 10



y y⋅ y y 1 = = = y y⋅ y y y y

A– x

B–x

x

x

P2

P1

C

( A − x ) P1 + xP2 ( B − x ) P2 + xP1 = ( A − x) + x ( B − x) + x

Pm =



ABP1– BxP1+BxP2=ABP2 – AxP2+AxP1

Ordenando AB ( P1 − P2 ) = Ax ( P1 − P2 ) + Bx ( P1 − P2 )

     AB=Ax+Bx

Sabemos que

2

P2





Se tiene inicialmente

P1

El precio medio en cada recipiente

511 512

Clave

y y

Luego de cambiar x litros habrá

1 1 1 1 S = 3 + 2 + + 2 + + 2 + + ... + 2 + 2  4  8    512  

∴  S = 21

Resolución 20

.......(b)

R =4−2 2





P1: precio 1

2k + 1

3 5 9 17 1025 + + + + ... + 1 2 4 8 512

S = 3 + 9 ( 2) +

5 [ −5 ( a + c)] −25 ( a + c) R= = 25 ( a + c) 25 ( a + c)

De (a) – (b)

P1

P2

A litros

B litros

     AB=(A+B)x ∴  x =

A⋅ B A+ B

En consecuencia, la igualdad será

Clave 8



5a+5c+ac=0 → ac=– 5(a+c)

4 4 2 = =2 2 2 2







Reemplazando en (α) tenemos

2

a S=∑ k = k=1 bk

Donde

También de la condición

En el T OCB se tiene

R=

10

5 ac

( )( ) + 5 a +  25 5 c + ac  a+ c

Por condición: 5a+5c+ac=0

x

2



0





R=

Resolución 9

5 ac ( ) (5 + a + c) ( a + c) 5

R

x

O

R=

Primer Año

PROLOGMÁTICA 2009

C



(2 x )

1 x

=y

1 y

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x litros

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Clave

E

5

Solucionario

PROLOGMÁTICA 2009

Resolución 11  1 1



  mnp+



  pmn

p+n=10



  npm

m=4

En el tercer mes,

Como se ha hecho 3 pagos iguales 3M=3(40,21% N)=120,63% N

Luego



...2aa=...4



→  a=3

ab

PROLOG

cd= a× b c × d



51

PROLOG

4848=5×1 4 × 8 × 4 × 8



5

Clave

Resolución 13

Peso de la segunda aleación: 5b

a+b+c+m 3+ 1 +5+4



2a

13

Resolución 12 En el primer mes, se debe

C



→  saldo 110% N – M



En el segundo mes, se debe

3a y 18b



23 + 4 3 + 6 3 + 8 3 = 200; 4



23 + 4 3 + 5 3 + 7 3 + 10 3 = 308 5

13

4 ⋅ C3 52



18 b (600 ) + 3 b (800 ) Lm = 18 b + 3 b

Clave

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C3

4 6

5

6xº

x = 4 (30º ) 2

•

α+

•

  6 x = 2 (30º ) +

x + 2α 2

x = 120º   + 2 x    3 x = 30 + + α 4 x x α + + 3 x = 150 + + α 2 4

C

Resolviendo

22 = 425

x = 46

2 13

Por lo tanto, son las 2 : 46 Clave

∴  Lm=628,57

8

  α +

Probabilidad

 

3

A

Del gráfico

Clave

800 3b

A

7

Resolución 16

110% (110% N – M)

6

C

  a=6b

+

2

x/2

9

13 + 3 3 + 5 3 = 51; 3

650– 600=50

a 150 = →    2b 50

600

N+10%N=110%N

Se paga M



800

1

10

= 22 = 4



800– 650=150

Se funden las cantidades restantes 3a  y  3b



600

a

650

Clave



2

12

11

Resolución 15

D

Peso de la primera aleación: 4a

2 10

Clave

2

Se pide

Asumiendo que son las 2:x



Intereses pagados 20,63% N

a

... m 1a3 a = = 5 10 1

Resolución 17

saldo3=110%[110%(110%N – M) – M] – M=0

Se obtiene M=40,21%N

  bc5m 15  4



Resolución 14

Se paga M →  saldo2=110%(110% N – M) – M



Primer Año

PROLOGMÁTICA 2009

E

2 13 Clave

E

C

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7