Smirnov Curs de Matematici Superioare volV

V.

S

1.

M 1 R N

O

V

.. CURS DE MATEMATICI SUPERIOARE V Traducere din limba rusă

E D 1 TUR 8

U

CUR

A

~

E

TE

Ş

T

H

N

1-19

1

CĂ

6

3

Volumul de faţă face parte din seria de volume apărute în anii precedenţi şi care reprezintă unul din cursurile clasice remarcabile de matematici superioare apărute în ţara noastră. Prezentul volum tratează integrala lui Stieltjes pe dreaptă şă plan, teoria măsurii, integrala lui Lebesgue, teoria funcţiilor de mulţimi (măsurabile), teoria spaţiilor vectoriale normate şi în încheiere un capitol despre spaţiile Hilbert. Lucrarea poate fi consultată cu interes, chiar ~i independent de celelalte volume, de către ingineri, studenţii fizicieni, matematicieni, studenţii institutelor tehnice, aspiranţi, cercetători etc.

AKa)J:. B. 11. CN1I1PHOB

KYPC Bb1ClllEV1 MA TEMA THK.M ToM nHTbiH rOCY ,IJ,APCTBEHHOE Y13,1J,ATEJlbCTBO l!JY13VIKO·MATEMA H14ECKOC1 JlVITEPATYPbl MocKBa 1959

In problemele teoretice rnoderne ale fizicii matematice, o mare importanţă o au teoria funcţiilor de variabilă reală, diferite spaţii funcţionale şi teoria generală a operatorilor. Acestor probleme le este consacrată în esenţă această carte, fiind scrisă pe baza volumului V al cursului meu "Curs de matematici superioare" apărut în 1947. Conţinutul teoriei funcţiilor de variabilă reală fn această carte îl constituie teoria integra/ei clasice Stieltjes, a integra/ei Lebesgue-Stieltjes şi teoria funcţiilor complet aditive de mulţimi. In primul capitol este expusă teoria integra/ei clasice Stieltjes şi este examinată de asemenea o definiţie mai generală a integra/ei Stieltjes în raport cu intervale de orice tip, definiţie bazată pe coincidenta integratelor Darboux corespunzătoare, cea superioară, şi cea inferioară, atunci cînd intervalul de bază este divizat fn intervale de orice tip. Ca exemple de integrală clasică Stieltjes sint examinate integra/ele Fourier-Stieltjes şi Cauchy-Stieltjes. Pentru acestea se stabilesc formule de inversiune. Integrala Stieltjes este definită şi pentru cazul unui plan. Mai departe, fn primul capitol se studiază spaţiul C al funcţiilor continue şi se stabileşte forma generală a funcţionale! or fini are în acest spaţiu. In capitolul al doilea sînt expuse bazele teoriei metrice a funcţiilor de variabilă reală şi ale integra/ei Lebesgue-Stieltjes. Intreaga teorie este expusă pentru cazul planului şi se explică posibilitatea generalizării ei pentru cazul spaţiului euclidian n-dimensional.

Teoria măsurii se construieşte pe baza anei functii normale, aditive, pozitive, arbitrare, definită pe intervale bidim~nsiona~~' s~micţe~chise. 1nte~~ala Lebesgue-Stieltjes q unet f~ncţu margtmfe este defzmti1 pe baza coincidenţei zntegralez. Darboux superioare şi a celei inferioare, atunci cind mulţzmea măsurabilă de bază este divizată fn mulţimi măsurabile. La sfîrşitul capitolului al doilea este exl!asv qmănunţiţ. procesul de mediere a funcţiilor şi propneta~zle f~ncţulor medii in anumite condiţii asupra nucleulw medtant. Procesul de mediere este larg folosit in restul capitolelor. In capitolul al treilea se expune teoria funcţiilor complet aditive de mulţimi. După demonstrarea primelor teoreme ale acestor. teorii se dă fără demonstraţie teorema descompunerii unei funcţii complet aditive de mulţimi intr-_u~ ter'flen_ singular şi unul absolut continuu şi se explzca noţzumle fundamentale legate de această descompunere. Este examinat amănunţit cazul unei singure variabile independente. In continuare se studiază. in cazul general funcţia absolut continuă de mulţimi şi se stabileşte formula de schimbare a variabilelor in integrala multiplă Lebesgue-Stieltjes. La sfîrşitul capitolului al treilea se dă demonstratia teoremei amintite asupra descompunerii unei funcţii cornplet aditive de mulţimi, fn doi termeni. Apoi se introduce in cazul polidimensional noţiunea de integrală Hellinger şi se studiază proprietăţile ei, legătura integ_ralei Hellinger cu integrala Lebesgue-Stieltjes, in partzc~l~r. Se. examinează amănunţit cazul integralei Hellinger u~tdzme~swnale: Toate demonstraţiile de la sfirşitul capztolulut al trezlea se bazează pe un studiu preliminar amănunţit al proprietăţilor funcţiilor complet aditive de mulţimi

PREFAŢĂ

PREFAŢĂ

6

[78, 79].

Capitolul al patrulea conţine expunerea bazelor teoriei generale a spaţiilor metrice şi a celor normale. La sfîrşitul acestuia se dă o expunere amănuntită a derivatelor generalizate, a teoremelor de scufundare pentru diferite spaţii funcţionale şi a teoriei funcţionale in spaţiul funcţiilor continuu derivabile. Toate aceste probleme sint legate de cunoscutele cercetări ale lui S. L. Sobolev expuse şi in monografia acestuia "Cîteva aplicatii ale 'analizei funcţionale fn fizica matematică(( ( 1950j.

7

Derivatele generalizate sint definite in două feluri: .cu ajutorul formulei de integrare prin părţi şi cu ajutorul inchiderii funcţiilor cu derivate continue, apoi se .demonstrează echivale.nţa acestor definiţii. In mod spe.cfal se examinează cazul domeniilor stelate. Mai departe .se introduc spaţiile funcţionale normale complete ~> (D) şi w~> (D ), dintre care primul constă din funcţii cp (x) definite fn domeniul D, şi avind toate derivatele generalizate de ordinul l, funcţiile cp (x) şi derivatele amintite aparţi­ nînd lui Lp (D). In definiţia celui de-al doilea spaţiu se .consideră funcţiile f (x) avînd toate derivatele generalizate pînă la ordinul l inclusiv. Se demonstrează apoi, că pentru

W

.o clasă largă de domenii D, W~l) (D) şi W~n(D) con.stau dintr-o aceeaşi mulţime de funcjii şi normale introduse in ele sfnt echivalente. 1n continuare pentru spaţiul W P (D) .se demonstrează relativ simplu teoreme care reprezintă tlll caz particular al teoremelor de scufundare pentru Ut~> (D). Aceste teoreme sfnt mai fntfi formulate, iar apoi fn :textul cu litere mai mici se dă demonstraţia lor completă pe baza reprezentării integrale a lui S. L. Sobolev. Intreg acest material este strîns legat de monografia sa amin.tită mai înainte. 1n ultimul capitol, al cincilea, este expusă teoria ge.nerală a spaţiilor Hilbert. Intreaga expunere se dă mai întîi pentru cazul operatorilor mărginiţi. Se demonstrează teoremele lui Fredholm pentru ecuaţii liniare cu operatori .complet continui. Pentru spaţiile normale ele se dau fără demonstraţie.

Pentru operatorii autoadjuncţi pe spectru continuu .se dau reprezentările integrale corespunzătoare prin soluţiile diferenţiale cu ajutorul integralelor Hellinger. Se dau .exemple de aplicare a teoriei generale a operatorilor măr­ ,giniţi in l 2 , L 2 • Ultimul paragraf al capitolului al cincilea este consacrat teoriei operatorilor nemărginiţi in spaţiul Hilbert. După demonstrarea teoremelor generale ale teoriei se dă an mare număr de exemple de operatori diferenţiali cu una şi mai multe variabile independente. După teoria generală a extinderii (prelungirii) operatorilor simetriei închişi se examinează fn mod special cazul operatorilor

PREFAŢA

8

semimărginiţi şi în particular prelungirea (extinderea) lor după Friedrichs. . Avem intenţia să edităm al şaselea volum care să cuprindă unele probleme ale teoriei .moderne a operatorilor diferenţiali cu una şi mai multe variabile independente . . In alcătuirea cărţii de faţă am folosit, în afară de articole speciale, multe cărţi. Citez pe cele mai principale

dintre ele: B. H. r AUBeHKO uliHTecpaA CTUATbecau; H. II. HaraHCOH "0C!i0Bbl reopuu cpyHKf1UU BeU{eCTBeHHOcO nepe.MeHHOcOu; CaKc "TeopuR UHTecpaAa{{; Ch. j. Val!ee-Poussin ,,Inte-

TABLA DE MATERII

grales de Lebesgue. Fonctions d'ensembles. Classes de Baire"; M. H. Stane "Linear Transformation in Hilbert Space and their ·applications to Analysis"; H. H. Axuesep şi H. M. r Aas.MaH. "TeopuR JlUHeU!iblX one paropoa" ; Il. H. IlAecHep ,,CtzeKrpaAbHaR reopu5l AUHeuHblX oneparopoau, I" (Ycnexu MareMaTuf.lecKux HayK, r. IX, 1941); H. H. Axuesep "lJeCKOHef.lHbte MaTpUf1bl f{Ko6u U npo6AeMa MoMeHTOBu ibidem; C. .n. Co6oAea "H eKoropbte npuMeHeHUR ifJYHKf1UOHa.llbH020

Prefaţă

Capitolul I

INTEGRALA STIELT JES 1. Mulţimile şi puterea lor (13). 2. Integrala Stieltjes şi proprietăţile ei fundamentale (16). 3. Sumele Darboux (21). 4. Integrala Stieltjes a unei funcţii continue (27). 5. Integrala Stieltjes improprie (30). 6. Funcţia de salturi (33). 7. Interpretarea fizică (38). 8. Funcţii cu variaţie mărgi­ nită (39). 9. Funcţia integrantă cu variaţie mărginită (47). 10. Existenţa integralei Stieltjes (49). 11. Trecerea la limită în integrala Stieltjes (50). 12. Teorema lui Helly (52). 13. Principiul selecţiei (alegerii) (57). 14. Spaţiul funcţiilor continue (58). 15. Forma generală a funcţwnale­ lor din C (61). 16. Operator liniar în C (66). 17. Funcţii de intervale (67). 18. Integrală generală Stieltjes (70). 19. Proprietăţile integralei Stieltjes (generale) (73). 20. Existenţa integralei generale Stieltje~ (77). 21. Funcţii de intervale în plan (79). 22. Trecerea la funcţta de punct (82). 23. l'ltegrala Stieltjes în plan (85). 24. Funcţia cu _variaţie mărginită în plan (88). 25. Spaţiul funcţiilor continue de mat multe variabile (91 ). 26. Integrala Fourier-Stieltjes (91 ). 27. Formula . de inversiune (94). 28. Teorema de convoluţie (97). 29. Integrala CauchyStieltjes t99).

aHaAU3a 8 MaTe.MaTUf.leCKOU cpU3UKe«.

Aduc multumirile mele lui S. M. Lozinski care a citit manuscrisul iniţial al cărţii şi a făcut o serie de observaţii preţioase.

Expunerea multor probleme din a doua parte a acestei cărji aparţine profesorului o~ A. Ladîjenskaia, coautoare în această parte a cărţii, cu care s-a discutat amănunţit şi planul acestei cărţi. In alcătuirea părţii a doua a cărţii un astfel încît să fie îndeplinite inegalităţile Atunci vom avea Prz

O~ cr 0n-S&n = ~ [/ (ţ~n)) -17J~ 1 )] [g (X~ 1 ))- g (x~':~ 1 )] k=I

I'n

1: c[g(x1'1 ))-g(xt~ 1 )J=s[g(b)-g(aJ, k=1 şi

prin urmare, scriind

diferenţa

(18)

A-s 0n sub forma

A-S0rz= (A-aorz) +(oo 11 -Sorz), obţinem

în baza

relaţiilor

(17)

şi

(18)

1A-son 1 /1 A-aon 1+! O&rz-Son 1./ s [1 +g(b)-g(a)] pentru n>N, de unde, în baza caracterului arbitrar al lui s, rezultă că Son-+ A. Absolut la fel se poate demonstra că Son ~A, prin urmare Son-son-+ O şi teorema este demonstrată. Limita A coincide, evident, cu numerele i şi 1 care, în cazul de faţă, sînt egale între -ele. Din teorema demonstrată şi din teorema precedentă rezultă imediat următorul corolar:

26

INTEGRALA STIELTJES A UNEI

INTEGRALA STIELTJES

FUNCŢII

CONTINUE

27

------------------------- - - -

Corolar. Pentru egalitatea i = 1 este necesar şi suficient existe un şir de partiţii Sn astfel încît crBn să aibă o limită bine determinată pentru orice alegere a punctelor ~~n>. Dacă această condiţie este îndeplinită, atunci limita amintită este egală cu i (sau l=i). Teorema 5. Dacă pentru şirul de partiţii Sn, crBn există o limită bine determinată şi a; este o prelungire a lui an, atunci aB'n are aceeaşi limită. Din condiţia teoremei şi din teorema 4 rezultă că SBn-sBn-+0, iar în baza teoremei 1 , să

4. Integrala Stieltjes a unei funcţii continue. Teorema 1. Dacă f(x) este continuă pe un interval finit fa, b] şi g (x) este o funcţie mărginită crescătoare, atunci integrala Stieltjes a lui f (x) în raport cu g (x) pe intervalul [a, b] există. Ţinînd seama de ine gali tătile ( 13) şi ( 15) putem scrie n 1

f

Fie

8

i-crfl 1 LS&-SB= ~ (Mk-mk)(g(xk)-g(xk_t)].

k=l

un

număr

pozitiv dat. In baza

a lui

(x) în intervalul [a, b] există un număr pozitiv

O LMk-mkL8

Prin urmare, cu atît mai mult SB'Il -sB'Il -+O, adică cro'n -+ i si• teorema este demonstrată. In cazul integralei Riemann, adică g(x)=x, am arătat mai înainte [1; 112) că pentru orice funcţie mărginită f (x), dacă intervalele parţiale sînt micşora te nelimitat, atunci sBn ~i şi S 6n-+1. Aşadar, în cazul integralei Riemann egalitatea i = 1 este echivalentă cu faptul că suma crfl are o limită bine determinată atunci cînd intervalele s~ micşorează nelimitat şi această limită este egală cu i. In cazul general, nu se mai întîmplă acelaşi lucru. Dacă crfl are o limită bine determinată atunci cînd intervalele parţiale se micşorează nelimitat, avem i = !, aceasta în baza corolarului teoremei 4. Reciproca nu poate fi afirmată. Din faptul că i=l, rezultă numai că există un şir de partiţii an astfel încît crfln are o limită bine determinată. Nu se poate însă afirma că cr"B va avea o limită determinată pentru orice şir de partiţii atunci cînd intervalele parţiale se micşo­ rează nelimitat. In definiţia dată mai înainte a integralei Stieltjes noi am pus condiţia ca crfl să aibă o limită determinată atunci cînd intervalele parţiale se micşorează nelimitat. In generalizările ulterioare al~ noţiunii de integrală, vom înlocui această condiţie printr-o condiţie mai simplă: existenţa egalităţii i = !. In afară de aceasta, în cele ce urmează vom lărgi posibilităţile noastre în vederea descompunerii intervalului de bază de integrare în părţi, ceea ce se va lămuri în cele ce urmează în noile definiţii ale integralei. In paragraful următor vom reveni la integrala Stieltjes definită în [2] şi vom da o condiţie suficientă, importantă cu privire la existenţa integralei.

continuităţii uniforme 7] astfel încît

(19)

(k=1,2, ... , n),

dacă cea mai mare dintre diferentele (xk-Xk-d nu [n acest caz inegalitatea (19) ne dă 1

i-crfl L 1

8

depăşeşte

pe

7].

[g(b)-g(a)],~

şi, prin urmare, crfl-+ i cînd intervalele se micşorează nelimitat. Absolut la fel se poate arăta că crfl-+ 1 şi, prin urmare, i = !. Această egalitate decurge imediat şi din corolarul teoremei 4 din paragraful precedent în baza faptului că crfl are o limită determinată atunci cînd intervalele se micşorează nelimitat. Caracterul infinit al intervalului de integrare nu joacă un rol esenţial în cazul integralei Stieltjes. Trebuie numai să lămurim ce se înţelege prin micşorarea nelimitată a intervalelor parţiale atunci cînd dividem intervalul infinit în părţi. Să considerăm, de exemplu, intervalul [- oo, + oo ). Vom spune că pentru şirul de partiţii ale ~cestui interval într-un număr finit de intervale parţiale, acestea din urmă se micşorează nelimitat dacă pentru orice A pozitiv dat cea mai mare dintre diferenţele (xk - Xk- I) pentru acele intervale {xk-I, xkl care au puncte comune cu [-A, +Al, tinde către zero. Dacă cp (x) este continuă în intervalul [- oo, + oo] şi creşte strict, adică cp (~)>cp (cx) pentru ~>o:, atunci schimbarea de variabilă t= =cp (x) transformă intervalul - oo / x L+ oo în intervalul finit {a, b] şi a=cp (- oo ), b=cp ( + oo ). Partiţiile cu micşorarea nelimitat_ă a intervalelor parţiale pentru [- oo, + oo] se reduc la partiţii ob1şnuite cu micşorarea nelimitată a intervalelor parţiale pentru intervalul finit [a, b].

INTEGRALA STIELTJES A UNEI

INTEGRALA STIELTJES

28

Dacă, de exemplu, l(x) este continuă [- oo, -1- oo ], iar g (x) este mărginită şi. nu există ca şi mai înainte. Pentru a ne convmg~ ficient, de exemplu, să introducem în locul lm t= arctg x. Punînd

l(tg t)=ldt)

şi

în intervalul închis. descreşte, integrala de aceast~ est~ s~: x o noua vanabtla.

g(tg t)=gl (t),

vom exprima integrala pe intervalul infinit [- oo, mediul integral ei pe intervalul finit

l- -~ , + -~]

+ oo]

prin inter-

3C

+·2

~== 1 (x) dg (x) = ~ It (t) dgt (t),_

FUNCŢII

CONTINUE

29

extreme dintre ele pot ieşi din [-A, +A], iar lungimea părţilor care ies nu este mai mare decît r;, unde r; este cea mai mare dintre diferenţele xk-Xk-1 pentru intervalele care au puncte comune cu il -A, +A]. La o micşorare nelimitată a intervalelor parţiale, acest număr r; tinde către zero şi începînd de la o anumită etapă a partiţiei, el va fi în orice caz mai mic decît 1. In modul acesta, toate -intervalele [Xk-t , xk] pe care le considerăm acum, începînd de la .0 anumită etapă a partiţiei, vor aparţine intervalului [-A-l, A+ 1] în care funcţia 1 rx) este uniform continuă. Datorită acestui fapt, pentru toate valorile lui r; suficient de mici, vom avea OL Mk-mk L 8, deci, pentru acei termeni ai sumei (19) care corespund :intervalelor [xk-l, Xk} ce au puncte comune cu [-A, +AI, vom avea evaluarea

·o L

(Mk-mk) [g(xk)-g(Xk-t)] L

8

[g(xk)--g(Xk-t) ],

3C

-2

unde

11 (t)

şi

este continuă, iar g 1 (t) este mărginită şi nu descreşte

în intervalul [- -~- , + ; ] · Vom indica un caz practic important al teoremei fundamentale· de existenţă a integralei Stieltjes: Teorema 2. Dacă 1 (x) este continuă fn intervalul de in_-

tegrare şi mărginită, iar funcţia crescătoare g _(x) este .c~nt~­ nuă la capetele intervalului, atunci 1 (x) este cntegrabtla t n· raport cu g (x). . . .

Să presupunem că intervalul de integrare este m tervalul mh-· nit [- oo, + oo ]. Să evaluăm termenii care se află în membrul drept al formulei (19). Datorită faptului că funcţia 1 (x) este mărgi~ită, . avem 1 (x) L L, unde L este nn număr P?ziti.v dete:minat Şl, prm urmare, oL M k - mi< L2L. Acei terment a1 sume1 (1 9) care cores-pund intervalelor [Xk-1' X~c]. ce nu au puncte comune cu r-A, A], vor da o sumă ce nu depăşeşte 1

suma acestor termeni nu va fi mai mare decît

1

2L [g ( -A)-g (- co)] + 2L [g ( + oo )-g(A)].

In baza continuităţii presupuse putem alege pe A atit de mare încît decît orice număr pozitiv dat s. Să minăm ceilalţi termeni ai sumei (19). corespund, fie că intră complet în

(20}

a lui g (x) în punctele ± oo expresia (20) să fie .m~i tmca fixăm astfel pe A Şl sa exaIntervalele [Xk-:-1, ~k] car~ ~~­ [-A, +A], fle ca cele doua

8

In cele din

urmă

[g (A + 1) - g ( - A - 1)] .

inegalitatea ( 19) va da

ji-cral Ls[l+g(A+1)-g(-A-l)]L8[1+g(+ oo)-g(- oo)],

de unde în baza caracterului arbitrar al lui s rezultă că o·a-+ i şi teorema este demonstrată. Menţionăm unele proprietăţi suplimentare ale integralei Stieltjes pentru cazul unei funcţii continue 1 (x) şi a unei funcţii crescătoare g (x). Dacă 11 (x) 1L L, avem evaluarea

~~:l(x)dg(x)l L~[g(b)-g(a)], care se limită.

(21)

obţine din evaluarea evidentă a sumei cr 0 cînd trecem la Are loc, evident, teorema mediei [1, 92] :

~:l(x) dg(x)=l(ţ)[g(b)-g(a,] (ţ

din [a, b]).

(21t)

presupunem acum că şirul de funcţii In (x), continue în [a, b] tinde uniform în acest interval către funcţia f (x). Ultima funcţie va fi de asemenea continuă în [a, b] şi deci integrabilă în raport cu g (x). Pentru orice 8 pozitiv dat există în baza convergenţei uniforme a şirului In (x), un număr N astfel încît Să

11 (x)- In (x) 1L

8,

INTEGRALA STIELTJES IMPROPRIE

INTEGRALA STIELTJ-ES

30

pentru x

lui [a, bJ,

aparţinînd

dacă

n>N. Folosind evaluarea (21),.

obţinem 1

de unde

~: [ / (x)- In (x)] dg (x) 1 L

datorită

Iim

8

[g (b)-g (a)],

caracterului arbitrar al lui

8,

... X-2IV),

şi datorită caracterului arbitrar al lui s, rezultă că diferenţa

~:f(x) dgd (x)- ~:f(x) dsm (x) =~:/(X) drm(x) tinde către zero cînd

unde ck sînt punctele de discontinuitate ale funcţiei /( (x), iar '(k sint salturile totale ale lui g (x) in aceste puncte. Vom considera

(36l

~: f (x) d0)k (x) = f (C~c) ·r~c, şi

j

tată

ao

wk

1

Această descompunere se poate face pentru orice interval, închis sau deschis, finit sau infinit. Pentru orice functie continuă put'2m scrie

Jaf (x) dg (x) =

(x) =

unde

Să

g (x) =gd (x)+gc (x).

lo1c

·rk, putem fixa, pentru orice s pozitiv dat, un N astfel încît pentru orice x

evidentă

g(p)-g(o:) ~gd (p)-gd (a)

37

=ct~~c ( x)-J-ll'~c (x),

gd (x) este evident egală cu suma salturilor funcţiei g (x) în toate

punctele de discontinuitate situate în stînga lui x, şi a saltului la stînga în punctul x însuşi, dacă el există, iar diferenţa g d (~)- g d (o:) este egală cu suma salturilor în punctele de discontinuitate situate între r:x şi ~ ale saltului la dreapta în punctul a şi ale saltului la stînga în punctul -~. Diferenţa g (~)- g (o:) dă creşterea totală a funcţiei g(x) cînd x variază de la o: la p, iar diferenţa gd (p)-gd (~) dă creşterea funcţiei g (x), care se obţine numai pe baza salturilor in punctele ei de discontinuitate. Avem astfel următoarea inegalitate

DE SALTURI

m

creşte, adică

\l> f(x) dgd (x) =

Ja

lim \b f (X) dsm (X), m-"oo

Jn

38

de unde, în baza

INTEGRALA STIELT.JES

notaţiei

(37),

rezultă

FUNCŢII

formula

două funcţii crescătoare:

g (x)=g1 (x)-g2 (x). Este

39 uşor

de dat.

o interpretare fizică a lui g (x) în acest caz. Să presupunem că pe

00

~:f(x)dgd(x)= kY;:1 f(ck)i~c ·

CU VARIAŢIE MĂRGINITĂ

(38)

1. Interpretarea fizică. Să dăm interpretarea fizică a funcg (x) şi a integral ei Stieltjes. Să presupunem că pe intervalul {a, b] este distribuită materia şi fie g(x) masa aflată pe intervalul (a, x], iar g(a) masa aflată în punctul x=a, dacă o astfel de masă concentrată există. In caz contrar, punem g(a)=O. Diferenţa g(d)-g (c) dă masa continută pe intervalul (c, d]. Cind numărul pozitiv h tinde către zero intervalul (x, x+hJ se comprimă şi orice punct va ieşi din intervalul (x, x+hJ pentru Iz suficient de mic, căci capătul stîng .nu aparţine acestui interval. Funcţia g (x) este o funcţie crescătoare (masa este pozitivă) şi în baza celor ară­ tate este firesc să supunem funcţia g (x), care caracterizează distribuţia maselor, la condiţia g(x+h)-g(x)--+ O sau g(x)=g (x+O), adică funcţia g (x) trebuie să fie continuă la dreapta în toate punctele de discontinuitate în afară de x=b. Nu are sens să vorbim de continuitate la capătul drept al intervalului, căci pentru x>b, hmcţia nu este definită. In interiorul intervalului există mase concentrate in punctele de discontinuitate ale functiei g (x) şi mărimea masei concentrate este dată de diferenţa g (x)- g (x-O). Acelaşi lucru şi pentru capătul drept al intervalului. Cantitatea totală de materie pe intervalul [a, b] este egală cu g(b). Toate cele arătate sînt valabile atit pentru un interval finit cît şi pentru un interval infinit. Caracteristic pentru rationamentele precedente, a fost faptul că nu am folosit noţiunea de densitate a distribuţiei. Centrul de greutate al materiei distribuită va fi dat de formula ţiei

.intervalul (- co, + co) sînt distribuite sarcini pozitive şi negative. Atunci g 1 (x) dă sarcina pozitivă totală pe intervalul (- co, x], iar g 2 (x) dă sarcina negativă totală pe acest interval.

8. Funcţii cu variaţie mărginită. Pînă acum am presupus .că funcţia integrantă g (x) este crescătoare. P ~ntru a trece la integrare cu funcţii g (x) mai generale, vom introduce o clasă de funcţii care ne va servi drept clasă fundamentală de funcţii căreia trebuie :să-i aparţină toate funcţiile integrante g (x). Fie pe intervalul închis, finit sau infinit [a, b] o funcţie g(x) care ia în fiecare punct al acestui interval o valoare finită. Fie o partiţie oarecare a lui Ja, b] în părţi a=x0 . Dacă g !x) este cu variaţie mărginită pe [a, cj şi fc, bJ, formula precedentă ne dă fo L V~ (g)+ V~ (g). In modul acesta sumele to rămîn mărginite dacă c este un punct de diviziune. Ele rămîn mărginite cu atît mai mult pentru alte partiţii căci adăugarea unui punct de diviziune poate cel mult mări suma to. Din acest raţionament rezultă că g (x) este cu variaţie mărginită pe [a, b] şi că

FUNCŢII

·~.nriaţia totală

inegalitatea invers, de unde va rezulta formula (42). pozitiv dat. Conform definiţiei marginii superioare exacte putem alege în relaţia t0 = t~!> + t~;> partiţiile o1 şi o2 astfel încît să avem

t o > Ve(.) a g -8 1

Atunci

.

Şl

t 02(2)

> Vb(c g)-c.

obţinem

fo> V~ (g) +V~ (g) -28

numeşte,

·poate fi

sau în baza caracterului arbitrar al lui s

demonstrează

complet teorema 4. Corolar. Am demonstr'at teorema pentru cazul divizării intervalului [a, bj în două părţi. Aplicînd-o de mai multe ori, obţinem un rezultat analog pentru cazul partiţiei lui [a, bJ pentru un număr finit de intervale parţiale, adică dacă intervalul [a, b] este divi-

zat într-un număr finit de intervale parţiale şi g (x) este cu variaţie mărginită pe tntregul interval, atunci ea este cu variaţie mărginită pe fiecare interval parţial şi reciproc; mai departe,

de obicei, proprietate de sub forma

scrisă

(43)

Teorema 5. Pentru ca g (x) să fie o funcţie cu variaţie este necesar şi suficient ca ea să fie o diferenţă de

.mărginită

.două funcţii crescătoare.

Suficienta condiţiei este evidentă. Functiile crescătoare sînt cu variaţie mărginită şi diferenta acestor funcţii, conform corolarului teoremei 2, este de asem~nea o funcţie cu variaţie măr­ ginită. Să demonstrăm acum necesitatea condiţiei, adică să arătăm .-că dacă g (x) este o funcţie cu variaţie mărginită, ea poate fi reprezentată ca diferenţă de două funcţii crescătoare. Dacă punem ·funcţii

g 1 (x)= ~--[V~(g)+g(x)];

g 2 (x)= ~: [V~(g)-g(x)J,

(44)

vom avea

g (x) =g1 (x)--g2 (x),

(45)

este suficient să arătăm că funcţiile g 1 (x) şi g 2 (x) sînt crescă­ toare. Să demonstrăm aceasta pentru g 1 (x). Fie o.: şi ~ aparţinînd intervalului [a, bJ şi o: V~ (g) +V~ (g)-28

43

pe întregul interVal este pilor totale pe fiecare interval parţial.

V~ (g) L- V~ (g)+ V~ (g). Să demonstrăm Fie c un număr

CU VARIAŢIE MĂRGINITĂ

In să conform

relaţiei

totale

~ [V~ (g)+g (~)-g(a)].

(40)

V~(g)~jg(~)-g(o.:) 1,

de unde

rezultă că

g 1 (~)-g 1 (o.:)~ O.

Funcţiile crescătoare g 1 (x) şi g 2 (x) pot avea numai un număr finit sau o mulţime numerabilă de puncte de discontinuitate şi în fiecare punct de discontinuitate ele au limită la stînga şi la dreapta In consecinţă acelaşi lucru se poate afirma şi despre functia g (x ).

1,11 111'.,·.·.1.,,11·'.1'

11,1!1,1

44

INTEGRALA STIELTJES

FUNCTII CU VARIA'.j.'IE

MARGINITĂ

45

111

1111

Teorema 6. Dacă într-un punct X=C funcţia g(x) este continuă, în acest punct funcţia V~ (g) = v (xl este de asemenea continuă şi recipror:. Dacă g(x) este continuă la dreapta (la stlnga), atunci şi v (x) este continuă la dreapta (la stînga) şi reciproc. Să presupunem că c< b şi să considerăm de exemplu continuitatea Ia dreapta. Fie s un număr pozitiv dat. Impărţim intervalul [c, b] în părţi c=x 0 gi(~)-gi(o:).

(50)

v (xt)-v (c)O,

il

Lf k=l

(54)

Sumele din membrul drept au o limită bine determinată atunci cînd intervalele se micşorează nelimitat şi, prin urmare, acelaşi lucru se poate afirma şi despre sumele din membrul stîng, adică o juncfie continuă este integrabilă în raport cu o funcţie cu variaţie mărginită. Trecerea Ja limită în formula (54) ne dă

g(xp)-g(Xp-t)>gî (xp)-gi(xp_I), şi

{53}

9. Funcţie integrantă cu variaţie mărginită. Dacă f{x) este o funcţie continuă pe [a, b] şi g (x) funcţie cu variaţie mărgi­ nită, atunci folosind reprezentarea funcţiei g (x) sub forma diferenţei­ a două funcţii crescătoare, putem scrie

n ;

g 2 (x}

Aceasta ne conduce la o descompunere bine determinată a g (x) într-o funcţie de salturi şi o parte continuă

n

gj (~)-gi(rx)= ~ [gi (xk)-gi (xk-1)] şi,

47

FC?\CTIE INTEGRANTĂ CU VARIAŢIE MĂRGINITĂ

INTEGRALA STIELTJES

ţilor

schimbările

integra1ei SHeltjes

făcute

ce trebuie dacă.

(x) dg2 (x).

în formularea

(55) proprietă­

g (x) este o funcţie cu variaţie măr­

ginită.

Avem n

'

.

L

k=l

dacă

1

1

k=l

\g(xk)-g(xk-1)J~LV~U;)

L. Trecerea la limită dă 1

din

r Il

J

~~ f(~k)ig(x;c)-g(xk._J)J\

~:/{x) dg (x)

Această formulă ~2] formula

înlocuieşte

~>(x) d ,,t,

1

L

LV~ (g).

(56)

formula · (21) din [4]. Reamintim

akgk (x) ~

~~ ak ~: f(x) dgk (x).

(57)

INTEGRALA STIELTJES EXISTENŢA

Dacă

naţia

cu

gk (x) sînt funcţii cu variaţie mărginită atunci şi combi . . a 1g 1 (x) + .. .+aPgp (x) este de asemenea o funcţie

liniară

lor

:adică

7l

Să examinăm integrala Stieltjes cu limita superioară variabilă pentru cazul în care f (x) este continuă şi g (x) este cu variaţie mărginită

F (x) =

~: f

Aplicînd formula (56)

funcţie

cu

variaţie mărginită.

este

şi

ea

cro =

In punctele în care g (x) este iar din inegalitatea

continuă,

Punctele ţk şi ţ~ aparţin t:nui aceluiaşi interval şi raţionînd .absolut la fel ca în cazul formulei (9) din [2] ne convingem că :·suma din membrul drept al formulei (60), ne dă la limită integrala din membrul drept al formulei (59) şi, prin aceasta, ultima formulă •este demonstrată.

. în toate punctele de discontinuitate a-'e lui g(x) şi dacă aceast!J. condiţie este "lndeplinită, f (x) este integrabilă în raport cu funcţia de salturi gd (x) şi inte_grala lui f (x) în raport cu gd (x) se exprimă prin formula (37). Dacă condiţia necesară, indicată, de integrabilitate este îndeplinită, integrabilităţii funcţiei t (x) în raport cu g (x) se reduce la problema integrabilităţii funcţiei tx) în raport cu funcţia crescătoare continuă g c (x).

_problema

suficientă

1

rezultă imediat că în aceste puncte şi F (x) este continuă. Să demonstrăm încă următoarea afirmaţie: dacă f(x) şi cp (x) sînt continue pe intervalul b] şi g(x) este ca variaţie mărginită,

ra,

atunci are loc formula dg(x).

k=l

este o functie cu variaţie mărginită, atunci după cum integrabilitatea are sens. Dăm co'ldiţia necesară şi de integrabilitate a lui f (x) în raport cu gc (x).

Il. Pentru integrabilitatea funcţiei f (X) în raport cu gc (x) este necesar şz .:suficient îndeplinirea următoarei condiţii: pentru orice s pozitiv dat se pot acoperi punctele de discontinuitate ale funcţiei j (x) printr-o mulţime finita sau numerabilă de intervale [ak, bd (care pot eventual să se suprapună), astfel :tncît are loc inegalitatea

Y-: [gc (bk)-gc (ak)J

~ e•

(61)

k

Să presupunem acum că g (x) este o funcţie cu variaţie mărginită. Fie -o descompunere canonică a acestei funcţii (45) şi o altă descompunere (47). .Să scriem diferenţa S 0 -s& pentru g 1 (x) şi gi (x): 7Z

So -so= ~ în raport cu g 1(x) şi g 2 (x) este echivalentă cu integrabilitatea funcţiei f (x) în raport cu variaţia totală

In intervalul [-A, +A] trecerea la limită fn (x)-* f (x) are loc uniform, de aceea, în baza teoremei amintite mai înainte avem pentru toţi n suficient de mari

gj (x), ea este

V~ (g) =gt (x)+g2lX). Această afirmaţie, ca şi afirmaţia complicată este demonstraţia afirmaţiei

lim rb fn (X) dg (X)= rb j (X) dg (X).

(63}·

Ja

Indicăm cîteva generalizări simple ale acestei examinarea unui interval infinit.

afirmaţii

limitîndu-ne la:

Teorema 1. Fie funcţiile f n (x) continue în [- oo, + oo] şi marginile ae un acelaşi număr 1 fn (X) 1 ~L, independent de n, fn. (x)-* f (x) uniform în orice interval finit, şi g (x) o funcţie cu variaţie mărginită pe intervalul [-oo, + oo ],. continuă la capetele acestui interval. Atunci, pentru intervalul [-oo, + oo] are· loc formula (63). . (x) este continuă în [- oo, + oo] şi mărginită, de aceea este, raport cu g (x). Ţinînd seama că g (x), cît şi variaţia sa totală sînt continue la capetele intervalului şi că

f

\f (X)- fn (X)

1

~ 2L,

1

J

~:: [f(x)- fn (x)] dg (x) ~ 3s, 1

de unde, datorită caracterului arbitrar al lui s, rezultă afirmaţia teoremei. Să demonstrăm acum o teoremă analogă pentru cazttl în care funcţiile f (x) sînt nemărginite în intervalul [- oo, + oo] şi integrala pe acest interval trebuie înţeleasă ca o integrală improprie. Teorema 2. Fie funcţiile fn (x) [continue în intervalul [-oo, + oo];

~:: fn (x) dg (X)= aJ~moc ~: fn (x) dg (.x)

~; [f(x)-fn (x)] dg(x) 1 ~ s;

~=: [f(x) -fn (x)] dg (x) ~s. 1

există

un.

(64)

B-++oc există uniform în raport cu n, In (x)-*f (x) uniform în orice interval finit şi g (x) este o funcţie cu variaţie mărginită în orice interval finit. Atunci integrala lui f (x) în raport cu g (x) (improprie) pe intervalul [-oo, + oo] există si are loc formula (63). ' Funcţia f (x) este continuă în orice interval finit şi integrabilă pe un astfel de interval în raport cu g (x). Să demonstrăm că ea este integrabilă pe intervalul infinit. Fie s un număr pozitiv dat. Datorită faptului că integralele (64) converg uniform în raport cu n, există un număr pozitiv A astfel încît pentru orice interval [8', B"] aflat în exteriorul lui [-A, +A] şi orice indice n, avem 1

~:~ fn (x) dg (X) ~s.

(65)

1

~ . S~ fixăm Jntr-un .mod oarecare pe B' şi. B~, astfel încît intervalul [B', B"J sa f1e 1n extenorul lUI [-A, +AJ. Atunci, tn baza convergenţei uniforme fn (X) ~ f (x) pe intervalul [B', B"], vom avea pentru toate valorile n suficient de 1mari 1

Ţinînd

putem afirma, ţinînd seama de (56), că pentrn orice s pozitiv dat număr pozitiv A, astfel încît pentru orice n,

1

~~~ [j(x)-fn (x)] dg (x) ~ s

consecinţă,

I, se demonstează simplu. Mult maii II.

n-+ocJa

.1

în

integra/ele improprii

ll. Trecerea la limită in integrala Stieltjes. Vom indica în acest paragraf şi în paragrafele următoare unele teoreme privind trecerea la limită sub semnul integralei Stieltjes. Una dintre aceste teoreme am enunţat-o şi. mai înainte. Ea se referea la cazul în care funcţiile integrabile tind uniform către funcţia limită f (x). Fie funcţiile fn (x) continue pe intervalul [a, b]l fn (x)-*f (X) ugiform pe [a, b] şi g (x) o funcţie cu variaţie mărginitiS pe [a, b ]•. n baza paragrafului [4] şi a formulei (!55) avem

Funcţia integrabilă în

1

şi

~

~::'

[/

(x)- fn (x)] dg (X)

1

~s.

seama de egalitatea evidentă

~" ~B" f (x) dg (x) = f n (x) dg (x)+ B'

B'

SB'B" [f (x)- fn (x)] dg (x),

obtinem în baza relaţiilor (65) şi (66) : 1

~::· f

(X)

dg (x)

1

~2s,

(66)

TEOREMA LUI HELLY

INTEGRALA STIELTJES

52

53

-----·-·--·--·-··

de unde rezultă că integrala funcţiei f(x) în raport cu g (x) pe intervalul [-(X), +(X)] există. Pentru demonstrarea formulei (63) este suficient să observăm că integrala diferenţei j (X)-fn (.x) va fi destul de mică în valoare absolută pe intervalele suficient de depărtate, iar pe intervalele finite ea va fi mică pentru toate valorile n suficient de mari, aceasta in baza convergenţei uniforme a lui fn (x) către f (x). Observăm că în cazul unui interval finit pentru valabilitatea formulei (63) nu este necesar ca fn (x) să tindă uniform către f(x). Este suficient să cerem funcţiile continue fn (x) să tindă către funcţia continurt f (X) rămînînd mărgi­ nite independent de indicele n, adică trebuie să existe un număr pozitiv L astfel încît pentru orice n şi orice x din intervalul [a, b] să aibă loc inegalitatea fn (x) ~L. Această afirmaţie va fi demonstrată mai tîrziu [50]. 12. Teorema lui Helly. Vom demonstra acum teorema trecerii la limită în cazul în care se schimbă funcţia integrantă g (x). Vom cerceta în prealabil problema cînd o funcţie cu variaţie mărginită tinde către funcţia limită. Fie !!n (x) un şir de funcţii cu variaţie mărginită pe intervalul [a, b], variaţiile tuturor acestor funcţii fiind mărginite de un acelaşi număr L, independent de n, avem 1

Teorema 1. Dacă funcţiile gn (x) crescătoare pe intervalul [a, b] tind g (x) pe o mulţime de puncte ~. densă în [a, b], convergenta are loc tn fiecare punct de continuitate a funcţiei g (x) situat în interiorul intervalului către funcţia

funcţiei

şi

(a, b].Fie x 0 un punct de continuitate a g (x) iar x' x" puncte din mulţimea $i, situate în stînga şi în dreapta lui x 0 , adică x' marginea superioară exactă a numerelor pozitive ! O. Mai întîi alegem p atît de mare încît

pentru orice n

şi ~ f.c •

să

avem

EXISTENTA INTEGRALE! GENERALE STIELTJES

INTEGRALA STIELTJES

76

Mai departe, pentru toţi n suficient de mari avem pentru p fixat mai înainte, 1 AP- o~P) 1 < s. In modul acesta 1 A- o-& 1 < 2z, de unde datorită caun

In sfîrşit, pentru a demonstra integrabilitatea produsului ficient să prezentăm produsul sub forma următoare

integrala lui f (x) in raport cu g (x), atunci existd in raport cu g (x) şi are loc inegalitatea

Dacă există

integrala lui f 1

(X)

1

1

~Aof(x) dg(x) 1 ~ ~

60 \f(x)

1

dg(x).

şt

(110)'

Să introducem notaţiile obişnuite mk şi MTc pentru funcţia f (x). Dacă ambele numere sînt pozitive, aturici pentru 1 f (x) 1 vcm avea aceleaşi margini. exacte. Dacă ambele nu.met:e sint negative, atunci pentru 1 f (x) 1 drept margine, inferioară şi cea superigară vor fi numerele 1 M1c 1 şi 1 mk 1, iar diferenţa_ dintre marginea exactă surerioară şi cea inferioară rămîne aceeaşi. In sfîrşit~. dacă mk este negativ, iar Mk pozitiv, atunci pentru 1f (x) 1, ca marginec exactă superioară va fi cel mai mare dintre numerele 1 m k 1 şi 1 M /{ 1 , iar ca margine inferioară exactă - un număr ~O. In modul acesta, în toate cazurile diferenţa dintre marginea exactă superioară şi cea inferioară pentru 1 f (x) 1 nuva fi mai mare decit pentru f (x). De aceea, dacă pentru un anumit şir de.· partiţii di~erenţa S&n-s&n pentru f (x) tinde către zero, cu atît mai mult ea

va tinde către zero în acelaşi şir de parti "tii şi pentru 1 f (x) 1 , adică din exis-tenţa integralei lui f (x) rezultă existenţa integralei pentru 1f (X) 1. Inegalitatea (110) se obţine imediat din inegalitatea analogă pentru sume prin trecerea la Hmită.

VII.

atunci

şi

Dacă funcţiile f 1 (x) Şl f 2 (x) sînt integrabile În ro port cu g (x),. produsul lor f 1 (x)·/2 (x-) este integrati! În roţort cu g(x). Să demon-

mai întîi că dacă f (X) e&te integrabilă în raport cu g (X) atunci f2 (X)> este integrabilă în raport cu g (X). Să presupunem deocamdată că f (x) este: pozitivă şi să scriem sumele ~o pentru j(x) şi f2 (x) străm

Tl

crli= ~ (M.~c-mk) G Clk),

Membrul drept al formulei acesteia reprezintă o sumă de funcţii integrabile. 20. Existenţa integralei generale Stieltjes. Indicăm mai departe ;,unele condiţii suficiente de existenţă a integralei generale Stieltjes. Teoremă. Orice furzcţie mărglnită f (x) e~te integrabilă funcţie de salturi gd (x) în sensul integra/el ge1erale Stieltjes.

Tl

p

In]modu! acesta, integrala lui

f

(x) în raport cLt gd (x) există şi se ex-

prim.ă ~rin suma (111 ). Să presupunem acum că mulţimea punctelor de dis.conttnuttate ck ale funcţiei g d (x) este in finită. Fie n o partiţie a intervalului

o

.cte bază, efectuată la fel ca şi m1i înainte, in care drept elemente de sine .stătătoare ale p.utiţiei sînt fixate capdele intervalelor şi prim~le puncte de .discontinuitate: c 1 , c2 , ... , cn. Pentm şitul co11struit de partiţii ort formăm .sumele o&n. Sunn acelor termeni din cr 0rz care provin de la pun:!tele fixate, .ca elemente de sine stătătoare ale partiţiet, este egală cu n'

Dacă prima dintre ele tinde către zero pentru un anumit şir de 1=artiţii,. atunci in baza caracterului mărginit al factorului M1c+mk şi a doua sumă va:. tinde către zero pentru acelaşi ~ir de partiţii. In modul acEsta, pentru o func-· ţie pozitivă f (x), conform integrabilităţii lui f (x) rezultă integrabilitatea lui. f2 (x). Dacă f (x) n.u este ţozitivă, ai unei datorită caracterului ei mărginit există o constantă J:Ozitivă astfel încît fvncţia f (x) +a este pozitivă. Această din urmă funcţie este evident integrabilă în baza proprietăţii 1 şi deci, con-· form celor dm:onstrate, este integrabilă şi funcţia [f (x)+ a] 2 = f2 (x) +2af (x)+ a2,

/ 2

(111)

k=l

~ f (ck) 1 ţ~ k=l

k=l

de unde rt:.zuliă imediat şi integrabilitatea tată ca ~ tmă a h.mcţiilor integrabile

~f(ck)l;_;·

S 0 =S6 =

Il

k=l

in raport cu o

Să presupunem mai întîi că mulţimea c1 • c2 , ••• , c de puncte de discontinuitate a lui g (x) este finită şi fie a o partiţie a igtervalului de bază, .definită in modul următor: capetele interva!ul~:ii, d1că aparţin domeniului de ,integrare, şi punctele c1 , c2 , ... , cp sint elemente de slne stătăto1rc ale lui a, .celelalte elemente ale lni o fiind intervalele descrise ce se obţin după extragerea punctelor indicate. Pe fiecare dintre aceste intervale, gd (x) păstrează o valoare constantă şi sumele corespunzătoare integralei lui f (X) în raport cu gd (x) sînt evident aceleaşi şi se exprimă prin formula

as•= ~ (M~-m~) O (.~rJ= ~ (M1c+mlc) (Mk-mk) O (b").

1

este su-

l[f1 · l? (x)-l-/2 (x)] 2 - 12 f 1 (x) f 2 (x) = -i 2 f 1 (x)- -2- !2 (x).

k=l

f

f 1 (x) ·f2 (x)

n

racterului arbitrar al lui s rezultă că o0n~A.

VI.

77

frncţiei

f2 (x)

(x)=rf(x)+a] 2 -2af(x)-a 2.J

care roate fi prezen-

:Şi nu depinde de punctele variabile ~,re. Să considerăm unul dintre intervalele , o~ ) partiţiile corespunzătoare ale lui Âx şi .ÂY ~ atunci se .~~­ meşte produs o1o2 acea partiţie care este dehmta de partiţule V

87

Dacă f(x, y) este continuă în intervalul închis Ll0 (a 1LxL.b 1 ; a 2 L y L b 2) şi g (x, y) are proprietatea indicată mai înainte, atund

integrala Stieltjes poate fi p

uo=

'E

k=l

definită

ca

limită

a sumelor

q

~ f(~k'

1=1

7] 1 )[g(xk,

Y1)-g(xk-l, Yz)-g(xk, Y1_ 1)+

+g(Xk-1, Yt-1)],

(118)

.unde

!J

a1 =x0 O, deoarece. V (l) dă suma totală a sarcinilor, toate sarcinile fiind luate cu semnul plus. Am fi putut defini funcţia aditivă şi normală a (L\) numai pe intervale semideschise şi folosi partiţii numai în intervale semideschise. Atunci am fi putut face toate raţionamentele de mai înainte şi am fi ajuns la formul~ (125). Fu~cţiile pozitive aditiv: şi ~or­ male a 1 (L\) şi a 2 (L\) pe tntervale semtdeschtse ar putea h extms~ asupra tuturor intervalelor şi prin aceasta formula (126) ne-ar f~ dat şi extensiunea funcţiei date O (L\) asupra tuturor mtervalelor Ş1 această funcţie ar fi fost aditivă, normală şi cu variaţie mărginită pentru orice intervale. Folosind reprezentarea canonică (125) putem defini integrala în raport cu a (L\) în modul obişnuit avem o

altă

91

25. Spaţiul funcţiilor continue de mai multe variabile. Să presupunem că p~ un interval închis, finit t> 0 (a 1 ~ x ~ b1 ; a2 ~ y ~ b ) este dată 2 funcţia continuă f(x, y). Cu ajutorul transformării liniare x'=ax+b, Y'=cy+d (a şi_, c~O) pu!e~, aduce pe. Ilo ula. inter_yalul O~x' ~ 1; O~y' ~ 1 şi funcţia contmua va ramlne tot continua Şi dupa această transformare. Vom considera că intervalul iniţiaJ Ilo este d~ja intervalul O~x~1, O~y~1. Să construim pentru f (x, y) polinoamele lui S. N. Bernstein [Il; 154]: m

p m, n (x, Y)=

k

n

l

-) c~l C~xk/·(1- x)m-k (1-y)'l-/.

'E L f (-' k=Ol=O m

n

"'

Folo~ind continuitatea uniformă a funcţiei f (x, y) în ~o se poate arăta, la fel ca m [Il; 154], că P m, n (x, y)-+ f (x, y) uniform pe a0 cînd m şi n cresc ~elim!tat.. ~ă p~esl:lp_u~em acum că avem o funcţie f (x, y) continuă pe o mulţ1me 1nch1sa marg1mta F [IV ; 157]. Folosind ca si mai înainte o transfor~are lin~ară putem considera că F aparţine intervalului 6 0 menţi~nat mai înawte .. Mal departe, putem prelungi f (x, y) pe întregul interval ~o păstrînd continuitatea ~i valoarea rnaxill!ă ~ lui j j (x, y) 1 [IV; 157]. Pentru j (x, y) astfel prelungita putem constrUi şirul de polinoame Pm n (x, y), astfel încît Pm, n (x, Y)-+ f (x, Y) uniform pe a0 şi cu atît mai mult uniform pe F. Să examinăm acum, analog cu ceea ce am făcut în [14] &paţiul C de funcţii conti~~1e în Ilo cu următoarea definiţie a normei 11 f 11 = max 1 f (x, y) 1 pe Ilo. Ca Şi In [15] se poate arăta că forma generală a functionalelor liniare din C es1e integrala Stieltjes · u

ciJ(f)= \

jflo

f (x,

y) G

(d~).

(

f(P)O(dl:i)=\

JL\(0)

f(P)addL\)-r f(P)a2(pll). j a(O)

(127)

Dacă există un interval închis a(O) (a 1 ~ x ~ b1 ; a 2 ~ y ~ b2), atunci fo:losind expresia (115) putem defini funcţia cu variaţie mărginită g (x, y) ş~ variaţia totală la fel ca în [8] plecînd de la sumele p

to=

q

b 2:

k=ll=l

[g(xk, Yz)-g(xk-1• Yz)-g(x;,"•Yz-I)+g(xk-1• Yl-I)\. (l2SJ

(130)

unde G (a) este o funcţie cu variaţie mărginită pe a0 şi caracterizează funcţională ci> ( f). In definiţia funcţiei cu variaţie mărginită putem folosi sumele ( 128) iar integrala (1~0) poat: fi d_ef~nită ca limit~. a sumelor (118) atunci cînd i~ter­ valele se m1cşoreaza nehmttat. Informaţu asupra spaţiului functiilor continue pe mulţimi mărginite se pot găsi în articolul lui Radon Despre transformă­ riie funcţional~ l~niare şi ecuaţii funcţionale" ("YcnexH Ma;eMaTYFiecKux HayK" nr. 1, 1936) ŞI ln cartea llll F. Riesz şi B. Sz. Nagy "Lectii de analiză funcţională". '

.

26. Integrala Four ier-Stieltjes. Să examinăm funcţia reprezentabilă

prln integrala Fourier-Stieltjes

r+oo .

cp(t) = .)_

eztxdg(x)(-oo Â. Vom numi a-extensiune a interval ului Â, intervalul definit de inegalităţile

<

c .şt. ~nn Ipoteza G (.10 ) este. ~nit~. Observăm că o mulţime nemargtmta $ nu poate h acopenta pnntr-un număr finit de interva!e, deoare~~ fi~care in~erval. a~ con~e~it. să-I luăm finit. Totuşi, l!l~sura exterioara a unei mulţtmi nemargtmte poate fi şi un număr ftmt. Vom demonstra acum o serie de teoreme cu privire la măsura ~a~ă ~entru oric~ ac?perire sumele (30) ~ sînt egale atun~I ŞI mvas~r~ vextenoa~a trebuie considerată egală cu

q

~ G (olc)+2. k=l

De aceea, cu atît mai mult G (Ra) L ~ G (oic)+e.

Comparînd cu (28) G (R) -2 L ~

exterioară.

obţinem

a (ok)+2

adică

~ G (oic) ~O (R)- 2s.

Suma din membrul stîng nu depinde de c: şi avind în vedere este arbitrar, obţinem inegalitatea (27). Obse~·văm că termenii sumei din membrul stîng al inegalităţii (27) sînt pozitivi şi finiţi, iar suma însăşi poate fi egală şi cu ( + CXJ ). [n cele ce urmează vom avea adesea de a face cu sume de un număr infinit de termeni pozitivi. Dacă cel puţin unul dintre termenii unei astfel de sume este egal cu ( + CXJ ), atunci şi întreaga , sumă trebuie considerată egală cu (+ CXJ ). Dar, după cum am arătat imediat mai înainte se poate intimpla ca toţi termenii să fie finiţi, iar suma să fie egală cu ( +- CXJ ), adică seria să fie divergentă. 34. Măsura exterioară şi proprietăţile ei. Folosind funcţia G (Â) vom pune acum în corespondenţa oricărei mulţimi de puncte $ din plan un număr pozitiv pe care îl vom numi măsură exterioară a acestei mulţimi. Definiţie. Fie intervalele Ân (n = 1, 2, ... ) al căror număr este finit sau numerabil şi care conţine o acoperire a mulţimii $. Vom numi măsură exterioară a lui $ marginea inferioară exactă a valorilor sumelor

că

in~icfn_cţ funcţia G (il) care a servit ca bază pentru definirea masura exterware. In modul acesta, pentru orice acoperire putem scrie şi (31) 1 $la=inf ~ G (iln). n

imediat G (Ra) L G (R') L

il?

2

(30)

pentru toate acoperirile posibile ale mulţimii $ cu intervale. Vom nota măsura exterioară cu simbolul 1 $\a, indicele inferior

Teorema 1. Dacă $' c S", atunci 1 $' la L 1 $"la. Orice acoperire a lui E9" este totodată şi o acoperire a lui $' d~ ~ceea marginea !,nf:riovar_ă a ~urnelor (30) pentru $' poate fi mai mica dectt pentru $ , msa m once caz nu poate fi mai mare decît pentru $", ceea ce trebuia demonstrat. Teorema 2. Pentru orice figură elementară R măsura exterioară este egală cu a (R), adică 1 R la= G (R). . Dacă dividem pe R vi'~tr-un ~od oarecare în intervale parţtale. ~k, acestea dm urma Il acopera pe R şi, prin aceasta, în baza relaţtei (25) şi a definiţiei măsurii exterioare, ca margine inferioară a sumelor (30), pentru tot felul de acoperiri ale lui R avem R.l 0 L G (R). Să demonstrăm acum inegalitatea, invers. Dacă intervalele ~~ constituie o acoperire a lui R, atunci în baza lemei de la paragraful precedent avem A

1

h G (Li~) ~ G (R) n

de unde rezultă imediat că R la~ G (R). Cele două inegalităţi demonstrate ne duc la egalitatea 1 R la= G (R). Tt:orel_!la 3. Pentru un număr finit sau numerabil de ferment ~asura exterioară a sumei de mulţimi este mai mică (sau. ega~a~ decît suma măsurilor exterioare ale mulţimilor-·ter­ mem, adzca 1

1

~n

&;n

1

G

L

~n

\ $n 1 1

O

•

(32)

MULŢIMI

FUNCŢII DE MULŢIMI ŞI INTEGRALA LEBESGUE

ll8

In cele ce urmează vom nota adesea acoperirea unei mulţimi printr-o singură literă S. Atunci suma (30) pentru o a~tfel de. ~co­ perire o vom nota cu simbolu~ cr (S). Fie dat. u~ numar ~oz1Uv 8. In baza definiţiei marginii infenoare exacte ex1sta o acopenre Sn a

mulţimii Sn astfel încît cr (S n) L \ Sn \a+

;n ·

Luăm intervalele care intră în toate Sn (n = 1, 2, ... ). Ele constituie o acoperire S pentru ~ Sn şi pentru această acoperire

avem evident

n

cr(S)=

8 ~-,-î~~ ~a(Sn) L~\Sn\a-+n n n 2 n 1

[Sn\a+ 8 ·

şi

Pe fiecare dţntre intervalele Ân îl supunem unei tXn-extensiuni alegem numerele pozitive tXn astfel încît G (Â =

t9n (12-· lJ) ;

@~3 )

~n (r3-'12); · · ·

Fiecare dintre ele este mărginită şi toate sint măsurabile deoarece ~ul!imeva înc~isă _r 1 şi diferenţa mulţimilor închise ·rk.:_"rk-l sînt multtmt masurabtle, tar produsul unor mulţimi măsurabile este d~ asemenea măsurabil. Putem reprezenta fiecare dintre multimlle t9n sub forma sumei unor mulţimi măsurabile mărginite două cîte două disjuncte ' 00

·

=

JR =n-

"L..J 19 a -

rezultă şi măsurabili tate a

de asemenea

! ]'

celei de a doua

mulţimi.

că mulţimile

s [/ = + co]

şi

$

f/ =

-

co]

pot fi reprezentate sub forma 00

s rt = + co 1= II s rt > n1; s rt = n=l

00

co 1=

II s rt < -n1. n=l

Observăm că este de ajuns să demonstrăm măsurabilitatea lui ( 1) numai pentru valori a raţionale. Intr-adevăr, orice număr iraţional a

1~2

DEFINIŢIA FUNCŢIILOR

FUNCŢII DE MULŢIMI ŞI INTEGRALA LEBESGUE

MASURABILE

143

--------------·-

poate fi prezentat ca limită a unui şir descrescător de numere· raţionale an şi măsurabilitatea lui 13 [f > a] rezultă imediat din formula IX>

S[f>a]= }:t9[f>an]· TZ=I

Să lămurim o serie de proprietăţi simple ale funcţiilor măsu­ rabile care rezultă imediat din definiţia dată mai înainte.

Teorema 2. Dacă f(P) este mâsurabilă pe 19, ea este

măsurabilă şi pe orice parte măsurabilă 19' a mulţimii 19. pacă f(P) este măsurabilă pe un număr finit sau numerabzl .de mulţimi ©n două cîte două disjuncte, atunci ea este măsurabzlă şi pe mulţimea t9 care este sumă a lui Sn. Afirmaţii1e teoremei decurg imediat din următoarele formule:

S' [f> a] =19 [f

> a]•S';

S [f> a]=~ &n [f >a]. n

Teorema 3. Dacă s este o mulţime de măsură nulă, atunet orice funcţie f (P) este nzăsurabilă pe această mulţime. Intr-adevăr, pentru orice a mulţimea S [/ > a] este o parte a mulţimii E9 care are măsură nulă, prin urmare, şi mulţimea 13 [J > a] are măsură nulă, adică este măsurabilă. Definiţie. Două funcţii f (P) şi g (ţ:) definite pe ~zulţi­ mea 19 se numesc echivalente pe aceasta mulţmze sau, szmplu, echivalente dacă mulţimea 19 [f :;z= g) are măsură nulă. Să demonstrăm următoarea teoremă relativ la funcţiile echivalente. Teorema 4. Dacă f (P) şi g (P) sînt funcţii eclziv51lente pve o mulţime măsurabilă s şi ana dintre ele este masurabtla, atunci si cealaltă este măsurabilă. Co~form ipotezei teoremei, mulţimea S [f "#- g] =A este o mulţime de măsură nulă. Pe mulţimea măsurabilă S' =S-A avem f(P)=g(P). Din măsurabilitatea I~i f~P) p~ .s rezult~ şi măsur:,­ bilitatea lui f (P) pe S', de aceea Şl masurab1htatea Im g (P) pe_ (•} . Pe mulţimea A funcţia g (P) esi.e măsurabilă în baza teoreme1 3. In modul acesta, în baza teoremei 2, g (P) este măsurabilă pe mulţimea E9 = S' +A şi teorema este demonstrată. Este uşor de demonstrat că dacă f 1 este echivalentă cu g 1 şi f 2 este echivalentă cu g 2 , atunci f 1 + f 2 este echivai:ntă c~ g 1+g2 ,f1f 2 este echivalentă cu g 1g 2 şi f 1 :f2 este ech1valenta cu g 1 : g 2 dacă operaţiile respective au sens aproape peste tot.

Dacă două funcţii continue sînt echivalente în sensul măsurii Lebesgue pe un anumit interval sau în întregul plan, atunci este uşor de văzut că valorile lor coincid in toate punctele. Intr-adevăr, dacă de exemplu într-un punct am avea f(P 0 )-g(P0 ) >O, atunci această inegalitate s-ar păstra, în baza continuităţii funcţiilor, într-o s-vecinătate o suficient de mică a punctt:lui P 0 şi m (o) > O, iar aceasta contrazice definiţia de echivalenţă a funcţiilor. Indicăm exemple simple de funcţii, măsurabile. Să presupunem că f(P) este continuă pe un interval închis finit .6. 0 • Să considerăm pentru orice a mulţimea  0 [f(P) ~.a] şi să arătăm că ea este inchisă. De aici va rezulta imediat că ea este măsurabilă şi de aceea, f(P) este o funcţie măsurabilă. Dacă Pn (n= 1, 2, ... ) este un şir de puncte avînd ca punct limită P şi f (P n) '--..... a, atunci în baza continuităţii funcţiilor, şi f (P) :::::::".a, ceea ce demonstrează faf)tul că mulţimea ~o[/ (P) ~a] este închisă. Tot astfel, dacă f (P) este continuă în întregul plan, ea este măsurabilă. Intr-adevăr, dacă  0 este un interval închis oarecare, atunci după cum am arătat mai înainte mulţimea Â0 [f (P) ~a] este măsurabilă. Prin extinderea lui .6 0 mulţimea limită va fi şi ea măsurabiiă. Această mulţime este mulţimea tuturor acelor puncte din plan în care f(P) :::::::".a. · Să presupunem acum că f (P) are un punct de discontinuitate P 0 ~ Să-I acoperim cu un şir de intervale deschise ~n(n=l, 2, ..• ) care se contractă nelimitat către P 0 • In exteriorul lui Ân funcţia f (P) este continuă şi mulţimea en a punctelor P în care f (P) :::::::".a, este închisă. Cind n creşte, mulţimile en nu descresc si tind către mulţimea măsurabilă e. Acestei mulţimi trebuie să-i' adăugăm şi pe P 0 dacă f (P0 ) '--.....a şi se obţine astfel mulţimea tuturor punctelor in care f(P) '--.....a şi această mulţime este măsurabilă conform celor precedente. Acelaşi raţionall).ent este aplicabil şi în cazLI unui număr finit de puncte de discontinuitate, adică o funcţie cu un număr finit de puncte de discontinuitate este măsurabilă.

Menţionăm fără demonstraţie următoarea propoziţie: dacă i~

f(P)

valori finite pe intervalul închis Â0 şi mulţimea punctelor ei de d1scontmuitate are măsură nulă, atunci f (P) este măsurabilă pe ~o. Această condiţie de măsurabilitate este însă numai suficientă. Este u,Şor de dat un exemplu cînd orice punct al mulţimii S este un . punct de discontinuitate şi totuşi funcţia este măsurabilă. Să considerăm o funcţie f (x) definită pe intervalul [0, 1] în modul urmă­ tor: [(x)=O dacă x este un număr raţional şi f(x)=l dacă x este 1raţional. Să luăm măsura Lebesgue, adică cazul în care G: Â) este lungimea intervalului. Atunci măsura oricărui punct este nulă.

FUNCŢII

144

DE

MULŢIMI ŞI

PROPRIETĂŢILE FUNCŢIILOR MĂ.SURABILE

INTEGRALA LEBESGUE

ale intervalului [0, 1] formează o mulţime numerabilă şi în baza faptului că măsura este complet aditivă, mulţimea punctelor raţionale are de asemenea măsură nulă. Funcţia f(x) construită, diferă de funcţia identic egală cu 1 pe întregul interval numai pe mulţimea punctelor raţionale care au măsură nulă, adică f (x) este echivalentă cu funcţia identic egală cu 1 şi în baza teoremei 4, f (x) este măsurabilă. Este uşor de văzut însă că orice punct x0 al intervalului [0, 1] este un punct de discontinuitate al lui f (x). Intr-adevăr, în orice a-vecinătate a lui x0 se găsesc atît valori raţionale cît şi valori iraţionale ale lui x, adică în orice s-vecină­ tate a lui x =Xo funcţia f (x) ia şi valoarea O şi valoarea 1, de aceea x 0 este un punct de discontinuitate. In [45] vom indica o legătură profundă între noţiunea de măsurabilitate şi noţiunea de continui ta te. · Să considerăm încă aşa numita funcţie constantă pe porţiuni pe o mulţime măsura bilă S adică o funcţie f (P) care ia pe t9 un număr finit sau numerabil de valori c1c (k= 1, 2, ..• ). Dacă mulţi­ mile Sk pe care f(P)=Cic sînt mulţimi măsurabile, atunci din definiţia măsurabilităţii rezultă imediat că funcţia f (P) constantă pe porţiuni este măsurabilă pe s. Dăm încă un exemplu. Fie j (P) măsurabilă pe mulţimea măsurabilă @. Să o consideram egală cu zero pe mulţimea complementară CS. Funcţia astfel construită este măsurabilă pe S şi pe CS, adică în baza teoremei 2 este măsura­ bilă pe întregul plan. Să considerăm şi cazul unei singure variabile. Fie g (x) o funcţie crescătoare, pusă Ia baza măsurii [42] şi f(x) o funcţie măsu­ rabilă. In. acest caz se spune uneori că f (x) este nzăsurabilă în raport cu g (x), iar dacă g(x) = x se spune, simplu, că f (x) este Punctele

raţiona 1 e

măsurabilă.

43.

Proprietăţile funcţiilot; măsurabile. Să lămurim

unele

noi ale funcţiilor măsurabile. Teorema 1. Dacă f (P) este o funcţie măsurabilă, atunci şi 1 f (P) 1 este o funcţie măsurabilă. Afirmaţia teoremei rezultă din formula t9 [ fi > aj =t9 [f>a]+ +S [/al= s [ f(P) > ~ J

pentru c >O; t9 [cf (P) >a]= t9

[t (P) < ~]

pentru c gj este măsurabilă. Să numerotăm toate numerele raţionale: r1 , r 2 , ••• Măsura­ bilitatea mulţimii amintite în teoremă decurge imediat din formula 00

t9 [!> g] = ~ tŞ [f > rk] ~ [g< rkl· k=l

Teorema 4. Dacă f(P) şi g(P) sînt funcţii măsurabile~ care ~iau valori finite, atunci funcţiile f-g, f + g, fg şi ~~:­ (pentru g:;t:O) sînt măsurabile.Măsurabilitatea diferenţei f - g rezultă imediat din formula ~

[f-g >a]=~ [f > a+g]

şi din teoremele 2 şi 3. Măsurahlitatea sumei rezultă din formula j+g=f-(-g) şi din teorema 2 pentru C= -1. Măsurabilitatea pătratului / 2 a unei func.ţii măsurabile f rezultă din formula

~

t9 [f > faJ+S fia 1=

aT măsurabilitatea

fg=

! [(f+g) -(f-g)2j. 2

-1

Să demonstrăm măsurabilitatea funcţiei cu condiţia că g nu ia valoarea zero. Aceasta rezultă imediat din u~mătoarele formule

~f-} >a] =~[g> 0]·18 [g< ~]

> aj =19 [f(P) >a-- cj, l.O - Curs de matematici superioare vol. V

FUNCŢII

146

DE

MULŢIMI ŞI

LIMITA FUNCŢIILOR MĂSURABILE

INTEGRALA LEBESGUE

pentru a N, de aceea P 0 nu aparţine lui S. Aşadar, SeC. Insă O(C)=O. De aceea G(S)=O şi în baza relaţiei (8) O (Rn)--;. O. Dar, conform primei formule din (7)1 Sn C Rn, de aceea cu atît mai mult OtSn)--;.0, ceea ce trebuia demons:rat. Observaţie. Observăm că mulţimea C poate fi adăugată la toate Sn . In baza relaţiei O (C) =O şi după această adăugare vom avea O (Sn)--;. O şi în toate punctele mulţimii (S-Sn) va fi îndeplinită inegalitatea 11 (P)- In (P) 1 < c. Din convergenta în măsură nu decurge convergenta.. aproape peste tot, însă are loc următoarea ţine

teoremă:

Teorema 7. Din orice şir J n(P) convergent tn măsură de funcţii măsurabile pe mul,timea măsurabilă & se poate extrage un subşir fnk (P), convergent aproape peste tot pe mulţimea s. Să alegem un şir de numere pozitive o·c (k= 1, 2, ... ), astfel încît o~c--;. O pentru k--;. oo, şi un şir de numere pozitive 8 'c astfel încît seria 8 1 +s2 + . . . să fie convergentă. In baza convergenţei în măsură, există un şir nemărginit crescător de indici n~c astfel încît peTJ.tru mulţimile &~c=&l!f(P)- frzk (P)] ~ o,c] este îndeplinită inegalitatea O (&~c) ?-, &tc. Introducem mulţimile 1

00

Rn = ~ $ k; S =

00

II Rn • n=l

Intr -adevăr 00

O(Rn)L.. ~ O(&k)L.. ~· 8~c

00

măsură finită, deoarece $ are limită pentru R n astfel încît

k=n

Se

151

k=n --;.O pentru n--+

şi

k=n

ultima sumă m în baza convergentei senet s 1 +s 2 +··· Să atătăm acumcăfnk(P)-;.f(P) pe mulţimea $-S. Deoarece O(S)=O, teorema va fi demonstrată. Fie un !'lunct P 0 ES- S. şi, prin aceasta, P0 ES. De aici rezultă c~ P 0 nu aparţine lui Rk pentru toti k suficient de mari, prin urmare P 0 nu aparţine lui Sk pentru toti k suficient de mari, adică ~xistă un N astfel încît P 0 ESk pentru k ~ N. Reamintindu-ne deîiniţia lui &k, obţinem · 1

f (Po)- fnk (Po) 1 < ok pentru k ~ N

rezultă

frzk (P 0) ~ f(P 0) deoarece ok-+ O pentru k ~

oo.

· Observaţie. Am fi putut evident presupune, ca şi în teorema 6, ~ă In (P) şi f (P) numai aproape peste tot sînt finite pe & şi prin , ~liminarea din & a mulţimilor A şi An, pe mulţimea rămasă ftl (P) .Converg în mă:mră către f (P). . Există o teoremă care leagă convergenta aproape peste tot cu convergenta uniformă. Ace:1stă teoremă a fost demonstrată în 1911 avem

şir crescător.

lV\ai

In afară de mulţimile $kn> din teorema precedentă, mai construim mulţimea $0 =$[/(P)= + oo] şi introducem şirul de functii

In

şi Cf!n (P) = n dacă (P) n sau PE t9 0 • Este uşor funcţiile Cf!n (P) verifică toate condiţiile teoremei. Mai

Astfel OL-j(P)-/n (P)

< ~n

în toate punctele P aparţinînd lui $ de unde rezultă că şirul In (P) tinde către f (P) uniform pe $. In teorema următoare vom considera cazul în care f (P) poate fi nemărginită.

Teorema 2. Pentru orice funcţie f (P) pozitivă, luînd valori finite şi măsurabilă pe mulţimea $, există un şir crescă­ tor fn (P) de funcţii pozitive, constante pe porţiuni pe ~ care tinde uniform. pe $ către f (P). In cazul de faţă ajutorul punctelor

împărţim

k

Xk=2n

intervalul finit [0,

+ oo],

în

părţi

cu

(k=l, 2, 3, ..• ).

Definim din nou mulţimile $kn> = ~

r:n L, f {P) < k2: 1 1şi funcţiile

fn (P)= :n' pentru

PE $kn>.

(11)

de văzut că departe vom

(olosi teoremele amintite. 47. Clasa B. In [41] am indicat un corp închis de mulţimi de puncte astfel încît orice mulţime apartinind acestui corp intră în ~rice corp de mulţimi La. In mod absolut analog vom indica acum -o familie de funcţii astfel încît orice functie a acestei familii este Q funcţie măsurabilă pentru orice alegere a funcţiei de măsură (Ll).

a

Definiţie. Funcţia f(P) definită pe mulţimea bilă B, se numeşte B-funcţie dacă mulţimiLe &J [/ ~

a] ;

t9 [/

.Sfnt, pentru orice a real, definiţie

t9 [/

> a] ;

$ [/ /

mulţimi măsurabile rezultă

măsura­

a]

B.

imediat că orice B-funcţie este J;năsurabilă pentru orice alegere a lui a (L1). Se poate indica o altă ,definiţie a B-funcţiilor p~ deplin analogă definiţiei mulţimilor ,B-măsurabile pe care am dat-o în [41]. Să considerăm familia ţuturor functiilor posedind următoarele două proprietăţi: în primul rind familia conţine toate funcţiile continue pe t9, şi în al doilea dacă fa miii a conţine un şir de funcţii f n ( P) convergent în . ecare punct al lui t9, atunci această familie conţine şi funcţia Vom numi familie d~ B-funcţii familia de funcţii aparţinînd turor familiilor de funcţii, cu cele două proprietăţi indicate mai Din

această

< a] ;

s,

],!11

1': 1, l··.·.:·i', 1

l

INTEGRALA UNEI

'1, '1

156

FUNCŢII

DE

MULŢIMI ŞI

INTEGRALA LEBESGUE

inainte. Nu ne oprim asupra demonstraţiei echivalenţei ultimei definiţii şi a acelei care a fost indicată mai înainte. Să intrăm ·în unele amănunte legate de ultima definiţie. Orice: funcţie continuă este o B-funcţie şi dew obicei. ~e spune că o astf~t de funcţie aparţine clasei zero. Daca funcţia f (P) este funcţia_ limită a unui şir de funcţii continue, convergent în fiecare punct al lui s iar funcţia f (P) însăşi nu este continuă, se spune că o astfel~ de f~ncţie f(P) aparţine clasei I. Toate funcţiile din clasa 1. sînt şi ele B·funcţii. Dacă funcţia f(P) _este funcţia limită _a un~i Şir de funcţii de clasa 1, convergent în hecare punct al lm ~' Iar . func-ţia f (P) insăşi nu este funcţie de. clasă l, se sp~ne ~ă f (P) apa::-· ţine clasei a 11-a. Toate funcţiile dtn clasaw a Il-a smt ŞI ele __B~funcţn .. In mod analorr se definesc clasele urmatoare de funcţn ŞI toatefuncţiile din ~ceste clase sînt J!-funcţii. In . ace~s!ăw constr~cţ!e se poate merge şi mai departe. Fte f (P)_ f_?ncţia _hmtta a ~nu~ Şir. ~e funcţii f (P), fiecare funcţie fn (P) aparţmmd une1 clase cu mdice hmt~ iar fun~ha f (P) însăşi nu aparţine ni_ci unei _clase cu .~ndice_ fi~it .. Atunci se spune că funcţia f (P) aparţtne clasei de funcţa cu mdice transfinit (U. Toate funcţiile din această clasă sînt B-funcţii. Ma~. departe se defineşte clasa de funcţii cu indice tra nsfini t ((U + 1) şi aşa mai departe. Prin metoda indicată ~~i înai~te .. se p~t obţine toate B-funcţiile. Această afirmaţie necesita ~xphcaţu suphme_ntare privind numerele transfinite asur:ra cărora noi ne putem opn. Se· poate arăta că orice funcţie f (P) măsura bilă pe mulfi:nea g),, V

care este B-măsurabilă, este o B-funcţie cp (P).

echivalentă

pe aceasta

mulţzme

cu

§ 3. INTEGRALA LEBESGUE

4 8. In~egra_la unei_ fun~ţii m~rg~ni!e: Vom d_a acum. ~~f!­

niţia obişnmtă a mtegralei unei funcţn margimte, folo~tnd. parttţn I_n tot felul de mulţimi măsurabile, şi vom demonstra ca ~nce fu~cţie· mărainită măsurabilă este integrabilă. Fie dată pe mulţimea masu-

rabilă ~ de măsură finită, o funcţie mărginită de punct f (P) adică

pe S avem 1f (P) IWL L,. unde L este _u~ n~măr ~ozitiv. Impăr!im pe ~~ într-un numar fimt de submulţiml masurabtle f9lc, neavmd puncte comune două cîte două n &1 =

~ ~k. k=l

( 1}

şi exactă

Fie m,c

rioară

{)bişnuite

FUNCŢII

MARGINITE

157

M,c marginea inferioară exactă şi marginea supeale valorilor lui .f (P) pe $k. Construim sumele n

"

S~:~= ~ m"a($k);

S~:~ = ~ Mka ($k),

k=l

k=:l

(2)

o

înseamnă partiţia (1) a mărgini te pentru orice partiţii şi

multimii $. Sumele so şi So sînt anume 1 so 1 şi 1 So 1 L L ·a(~). Fie mai departe i marginea superioară exactă a sumelor s0 şi 1 marginea inferioară exactă a sumelor So pentru tot felul de partiţii ale lui ~ într-un număr finit de mulţimi măsurabile. unde

Definiţie. Dacă

raport cu a($) pe sideră egală cu i

i = !, se zice

mulţimea

i=

s

şi

că

f (P) este integrabilă fn valoarea integralei se con-

~tSf(P) a(d$).

Vom numi integrala astfel definită, integrală Lebesgue-Stieltjes. o este partiţia ( 1) şi o' o altă partiţie,

Dacă

(3)

atunci se numeşte produs al partiţiilor oo', partiţia formată din mulţimi parti ale $k $j. Aceste mulţimi nu au, evident, · puncte comune două cîte două. Unele dintre ele pot fi şi vide. Partitia (3) se numeşte prelungirea partiţiei ( 1), dacă fiecare m mulţime t~i este parte a uneia din t9k. Dacă o2 este o prelungire a lui o1 , putem scrie o2 ~ o1 • In afară de sumele (2) vom construi, ca şi pentru integrala ltjes, suma

iot felul de

IZ

cro = ~

k=l

f

(Pk)

a (S,c)

{4)

P1c este un punct din &k. Pentru mărimile s0 , S~:~, cr 0 , i şi 1 valabile toate cele arătate în [3]. Vom indica acum un şir de partiţii pentru orice funcţie j (P) rginită şi măsurabilă pe S, astfel încît So - s 0 -+ O şi prin cro are o limită determinată. Din aceasta rezultă că există ala i a lui f (P) în raport cu a (g;) şi că S0 , So şi cro tind tre i pentru şirul amintit de partiţii [3].

FUNCŢII

158

DE

:;\IULŢIMI ŞI

PROPRIETAŢ~LE

INTEGRALA ::LEBESGUE

f(

Aşadar, fie dată o funcţie mărginită P), definită şi măsura­ bilă pe $, şi fiA m şi M marginea inferioară exactă şi marginea superioară exactă a valorilor (P) pe ~- lmpărţim intervalul [m, MJ! de variaţie a funcţiei in părţi prin punctele intermediare yk,

f

(5p şi fie '1) cea mai mare dintre diferenţele toarea partiţie o a mulţimii tf> fn mulţimi

&\ =tg [Yo / f(P) / Yn];

~k=S

Y~c- yk-t.

Definim

urmă­

măsurabile parţiale &)r-c

fyk_ 1

< f(P) Lyk]

(6);

(k=2, 3, ... , n).

Din Yk-l ~

această

definiţie

n

imediat

că

n

~

Yk-1

k=J

şi

rezultă

mulţimilor

a

mr-c şi Y~c ~ M1c şi in modul acesta

o (i0k) L

So

~::::: sli _c:~ ~ Y~cG (~ ;;J k=l

deci rz

'E y"_

k=l

1O

(~le) / f ,;;;~ 1

Să considerăm diferenţa

dintre sumele extreme

ll

l1

(8)>

7l

~ Y~c O ((0lc) ~ ~ Yk-10 (&)k) = ~ (yk- Y~c-J) O (S~c)·

k=]

Ţinînd

k=l

seama

(9)>

k=l

că yk-Ytc-J~'X'J

şi

·de aditivitatea lui G(S):.

obţinem

n

o,~ ~ yko (~_:Jk=1

şi

n

I: yk_ 1G (~'~=1

în modul acesta pentru "1-* O diferenţa scrisă tinde către zero. De aici, in baza relaţiilor (7) şi (8), rezultă imediat că i = 1 şi: So- So--+ O. Partiţia (6) a mulţimii de bază fB în mulţimile parţiale &Jk se numeşte partiţie Lebesgue. Aceasta este definită de partiţia (5) a intervalului [m, M] de variaţie a funcţiei f (P). Sumele care corespund partiţiei (6) şi întră ln inegaHtăţile (7) şi (8) se numesc· sume Lebesgue. Din cele de mai inainte rezultă următoarea teoremă fundamentală.

INTEGRALE!

159

Teorema fundamentală. O funcţie măsurabilă rmargif (P), dată pe mulţimea măsurabilă ~ de măsură .finită,_ ,este integrabilă pe ~ şi valoarea integralei este egală cu limita ·sumelor Lebesgue sau a sumelor O"& pentru orice alegere a punctelor P~c, pentru partiţii Lebesgue, ctnd partiţiile interva{ului lm, M] de variaţie afuncfiei f(P) se micşorează nelimitat .. Menţionăm că, d11pă cum se ştie, sumele cr& vor avea aceeaş~ .limită şi pentru orice prelungiri ale partiţiilor despre care este vorba în teorema fundamentală. Deoarece integrala este definită, în modul obişnuit, ca limită a sumelor O"&, ea păstrează şi proprietăţile obişnuite ale integralei Riemann şi ale integralei clasice· Stieltjes. Vom trece 'la demonstrarea acestor proprietăţi în paragraful următor. . Am numit integrala construită, integrala Lebesgue-Stieltjes~ Vom numi, simplu, integrală Lebesgue, integrala construită mai înainte în cazul particular cînd O (6.) este aria intervalului 6.. Am văzut că orice funcţie mărginită cu număr finit de puncte de discontinuitate este măsurabilă. Fie dată o astfel de funcţie f (P), pe un interval inchis finit Â. Ştim că o astfel de funcţie este integrabilă în sensul lui Riemann pe intervalul 6.; ca funcţie măsurabilă \mărginită, este integrabilă şi după Lebesgue. Să arătăm că inte·grala Lebesgue coincide cu integrala Riemann. Intr-adevăr, pentru ~ obţine integrala Lebesgue este suficient să luăm un şir de partiţiii ale intervalului 6. în mulţimi măsurabile pentru care suma (4) are ,o limită determinată, care tocmai dă valoarea integralei Lebesgue. Dar din moment ce funcţia este integrabilă după Riemann, deja partiţiile lui  în intervale, cînd intervalele parţiale se micşorează nelimitat, ne conduc la o limită determinată a sumelor (4) şi această limită este integrala Riemann. Din aceste raţionamente re.zultă coincidenta integratelor Lebesgue şi Riemann. . După cum a arătat Lebesgue, pentru existenţa integralei; R1emann pe intervalul 6. este necesar şi suficient ca f (P) să fie mărginită şi mulţimea punctelor ei de discontinuitate să aibă măsură Lebesgue nulă [ 10]. După cum am indicat mai înainte, o astfel de· funcţie este măsurabilă şi după Lebesgue. Coincidenta integralelor:Lebesgue şi Riemann poate fi demonstrată absolut Ia fel ca mai· )nainte. In modul acesta orice funcţie integrabilă pe un interval' U:nchis finit după Riemann (în sens propriu) este integrabilă şi după Lebesgue, integralele Lebesgue şi Riemann fiind egale între ele. 49. Proprietăţile integralei. Dăm proprietăţile fundamentale· ,al~ integralei Lebesgue-Stieltjes. In toate teoremele ce urmează se consideră că ~ este o mulţime măsurabilă de măsură finită. nită

FUNCŢII

DE

MULŢIMI ŞI

PROPRIETĂŢILE

INTEGRALA LEBESGUE

1. Dacă c este o constantă, atunci

unde

(U)

Pentru orice partiţii a sumele s 5 şi Se au valoarea cG (~), de rezultă (11) [3]. 2. Dacă / 1 (P) şi 12 (P) sînt mărginite şi măsurabile pe ~'

LI lunci

(P)G(d&)

+ ~~ I2 (P)G(d~).

Scoaterea unui factor constant în afara semnului integralei imediat din posibilitatea de a scoate acest factor în afara ,parantezei, în sumele cr 5n. In afară de aceasta, i:rebuie să aplicăm de mai multe ori proprietatea 2. 4. Dacă I(P) ~O pe &, atunci rezultă

~c;;I(P) G(d~) ~0.

( 14)

Există

unele sume con care sînt pozitive. ·5. Dacâ 11 (P) ~ 12 (P), atunci

~~1 1 (P) G(d&) ~ ~ 10 /2 (P) 0 (dG~). Este suficient să aplicăm proprietatea 4 să folosim apoi proprietatea 3.

6.

imediat din proprietăţile 5 Dacă f (P) L L, atunci 1

diferenţei / 1 (P)- f 2 (P) (16)

1.

~~f(P) GJd&) ~LG(SJ).

( 18)

1

Din ipoteză rezultă că -L L-f(P) L +L este o consecinţă a proprietăţii 7. 9. Dacă &=&'+&", unde &' şi &" sînt junete atunci

şi

inegalitatea (18)

măsurabile şi

~~f(P)G(d&)= ~~,/(P)G(d&)+ ~~"f(P)G(d&).

dis-· (19)

Pentru demonstratie este suficient să luăm partitiile (6) ale mulţimilor &' şi &", să construim cro pentru aceste partitii şi să luăm suma lor. Această din urmă sumă va avea o limită determinată şi, prin aceasta, formula (19) va fi demonstrată. Dacă t9 este divizată mulţimi măsurabile &k,

10.

bil de

~

~

I(P)G(d&)=

într-un atunci

~.r

număr

finit sau numera-

/(P)G(d&).

(20)

J~k Pentru un număr finit de termeni, formula rezultă imediat din aplicarea repetată a proprietăţii 9. Să considerăm cazul unui număr 'infinit de mulţimi &k. Fie 1 f (P) 1 ~ L. Putem scrie '

unde ( 15)

şi

(17)

1

1

(13)

şi

rezultă

(12)

Fie on şi o;z partiţii în care cren pentru funcţia 11 (P) şi cr5~ pentru / 2 (P) au ca limită integra lele respective. Pentru partiţia a~ =Orzo;z sumele cro~ atît pentru 11 (P) cît şi pentru 12 (P) au ca liimită integralele respective şi ( 12) se obţine imediat pe baza teoremei fundamentale asupra limitei sumei. In cele ce urmează nu vom mai specifica măsurabilitatea şi mărginirea funcţiilor.

1

aG(&)L~~f(P)G(d&J)~bG(~) 8.

~~JfdP) +I2 (P)]G(dt-) = ~ 10 11

161

Pentru demonstraţie este suficient să luăm, produsul partitiilor (6) pentru f şi f şi să scriem inegalitatea analogă pentru sumele cre. 7. Dacă aL f (P) L b pe &, atunci 1

~ 10 cG (d$) = cG (tS).

INTEGRALE!

k

t9=&t+t92+•• · +$n+Rn, Rn=&J-(&1 +&2+• • .+&n)'

este evident un şir imediat de mulţimi şi, prin urmare, O (Rn) ~O [37]. Aplicînd proprietatea pentru un număr finit de termeni obtinem

~$f(P) G(dS)= kţ, ~$/(P) G(dl&) + ~RJ(P) G(d!l). 11 - Curs de matematici superioare vol. V

(21)

FUNCŢII

162

DE

MULŢIMI ŞI

INTEGRALE LEBESGUE

PROPRIETĂŢILE

INTEGRALE!

163

------·----------

Pentru ultima

integrală

1

avem evaluarea

~Rn f(P) O (d$)

1 L_

14.

~ef(P) G(d$) ~ 8, ec

&;

Această

1

şi dac~ măsura ~i

mulţimii

(23).

f

[f>OJ=

n=l

&;

1

$

[t> -n ] '

est: pozi_t~v~ şi :năsura cel puţin a _u_n~ia dintre va h poz1t1va. Fte de exemplu pozthva măsura

[t > ~o] . Impărţim integrala în doi termeni

(25)

faptului

Pe mulţimea B 1

no

că f~

O termenul al doilea nu este negativ.

> -no1

şi, prin urmare, primul termen O (B). In modul acesta, datorită lui G (B) >O, membrul stîng avem f

al formulei este pozitiv, ceea ce contrazice relaţia (24). 15. Dacă fn (P) este un şir de funcţii, măsurabile pe &; şi egal mărginite, adică fn (P) L- L, unde L este un număr pozitiv determinat (independent de n) şi acest şir tinde aproape peste tot pe @ către funcţia limită f (P), atunci 1

1

(23)

Fie A acea parte a lui & în care f #; g. Această mulţime A este prin ipoteză o multime de măsură nulă. Pe mulţimea &;'=$-A funcţiile f(P) şi g(P) coincid. In modul acesta, obţinem două

~$' f,(P) O(d&)= ~$'g(P) O(d$),

B=

Datorită

-

(P) este măsurabilă pe @ [421 şi pentru orice partiţie So sînt egale cu zero. 13. Dacă f(P) şi g (P) sînt echivalente pe &;, atunci

~A f(P)O(d&)= ~A g(P)O(d$)=0;

[/>OJ

$-B

:::::-". -

f

egaJităţi

' (24)

~$ f(P) 0 (d$)= ~B f(P) G (d$)+ ~ f(P) O (d&).

sumele so

relaţia

poate fi

mulţimtle-termem

~$/(P) O(d$)=0.

care prin ad1.mare dau

măsura

L- LG(e).

~$/ (P) O (d$) = ~$ g (P) G (d$).

@ şi

(22)

Ea se numeşte de obicei continuitate absolută a integralei . 12. Dacă &; este o mulţime de măsură nulă, adică O (@)=0 atunci pentru orice funcţie mărginită pe &;

Funcţia şi

pe

echivalentă cu zero. Trebuie să demonstrăm că mulţimii @ este egală cu zero. Această mulţime reprezentată ca sumă a mulţimilor

atunci f(P) este

$

O(e)L- 1J· proprietate rezultă imediat din evaluarea

~e f (P) O (d$)

~O

~$/(P) O(d@)=O

şi

1

f(P)

LO (Rn),

şi formula (21 ), în baza lui O (Rn)-+ O, dă la limită (20). Proprietatea demonstrată se numeşte de obicei aditivitate completă a integral ei. 11. Pentru orice 8 pozitiv dat există un 1J > O, astfel încft

dacă

Dacă

Iim

l fn'(P) O (d$) = l f(P) G (d@).

(26)

J$

n-HoJ$

f (P) satisface aproape peste tot pe &; inegali(P) 1 L- L. Trecînd, dacă este necesar, la funcţia echiva-

Funcţia limită

tatea

1

f

lentă, putem considera că inegalitatea menţionată este satisfăcută peste tot pe S. Integrala unei ._funcţii f (P) măsurabilă şi mărginită pe & are sens. Să alcătuim integrala diferenţei f(P)- In (P) şi să-i aplicăm proprietatea 6:

~~$[/(P)-fn(P)] O(d&)

1

L

~~ Jf(P)-fn(P)

1

G(d$).

(27)

FUNCŢII

număr

Fie s un în care

DE

MULŢIMI ŞI

pozitiv dat 1

INTEGRALE LEBESGUE

şi

t9n

f(P)- In (P)! ~

mulţimea

In

afară

punctelor lui &

2.

In baza teoremei 6 din [44], G(t9n) -+0. In punctele este îndeplinită inegalitatea \ f(P)- fn (P)

INTEGRALA UNEI FUNCŢII POZITIVE NEMĂRGINITE

mulţimii

(t9-t9n)

1< s.

de aceasta, în orice punct P din t9 avem 1

I(P)- fn (P) L II(P) l+lfn (P) L., 2L. 1

1

Integrala din membrul drept al formulei (27) o

împărţim

în

două:

~&; 11 (P)-fn (P) =

1

~\f(P)-In(P)\G(d©)+ ~

echivalente, dacă aceasta este necesar, putem considera că inegalitatea indicată este respectată, peste tot pe 19. Proprietatea demonstrată stabileşte posibilitatea trecerii la limită sub semnul integraleî cu singura presupunere a mărginirii lui In (P) în valoarea absolută in~ep~ndent de i?di~ele" n: O proprietate analogă ~entru int~grala Stielt]es a fost mdtcata m [11]. Ea este o consecmţă imediată a teoremei demonstrate, deoarece dacă In (P) şi f (P) sînt continue, integrala Lebesgue-Stieltjes se reduce la integrala Stieltjes. Menţio. n~m că în __ formularea proprietăţii 15, p~tem înlocui convergenta IUl In (P) catre f (P) aproape peste tot prm convergenta în măsură. Demonstraţia rămîne in esenţă aceeaşi. · 16. Dacă pe mulţimea 19 avem mN.

Pentru cazul unei linii drepte şi a unui spaţiu tridimensional se folosesc în mod analog următoarele notaţii pentru integrala Lebesgue

~~f (x) dx şi ~~ f(x,

obţinem

~~s/(P)G(d©)- ~g;fn(P)G(d©)l

y) dx dy.

L[2L+G(©)]E pentru n>N

de unde, ţinînd seama că s este arbitrar, rezultă relaţia (26). Menţionăm că pentru demonstrarea relaţiei (26) este suficient să presupunem că fn (P) L L aproape peste tot pe ©. Trecind la funcţii

y, z) dx dy dz.

. . 50. Integrala unei funcţii pozitive nemărginite. Să defmtm acum integrala pentru cazul în care f (P) este o functie

nemărginită şi pozitivă, măsurabilă pe mulţimea măsurabild t9 In cazul de faţă vom divide pe 19 nu numai

~e măsură finită. mtr-un ?umăr finit

dar şi o infinitate numerabilă de suhmulţimi masurabtle 19.'c. In rest, construirea integralei va fi absolut aceeaşi

FUNCŢII

166

ca

şi

INTEGRALA UNEI FUNCŢII POZITIVE NEMAR.GINITE

DE MULŢIMI ŞI INTEGRALE LEBESGUE

pentru cazul unei

funcţii mărginite.

S= ~

Fie o

partiţie

oarecare Sk

sk.

Construim sumele corespunzătoare ei,

Dacă că

acum (29) S&

O (S 0 )>0, atunci evident i=l= + oo. Să presupunem O (S0 ) =O. Atunci inegalităţile (32) şi (33) se scriu astfel 00

QO

~ yk_ 10 (Sk) L k=1

şi S&

S&

L

V

S1 =S [Yo Lf LytJ; ., Sk=S [yk-1 < f Lyk).

(31)

00

( + oo) G (S0 )+ ~ yk_ 10 (SrJ /s& L S& L ( + oo) O (S 0 )+ k=1 00

şi

(32)

Vom presupune

că partiţia

b

yk_ 10(Sk)LiL! L(+oo)G(So)+ 00

+ k=l ~ ykO (Sk)·

intervalului [0, oo) este astfel încît

00

00

~ ykO (Sk) k=1

L_

~ yk_ 10 (Sk)+1JO (S). k=1

(35)

De a1c1 rezultă imediat că dacă pentru o partiţie oarecare, cu 1J finit, suma din membrul drept al formulei (34) este egală cu (+ oo ), atunci acelaşi lucru se poate afirma şi cu privire la suma din membrul stîng al relatiei (34). Totodată, în baza relaţiei (34t) i = 1= + oo. Invers, dacă 1= + oo, a tun ci ţinînd seamă de (34t) suma din membrul stîng (35) este egală cu (+ oo) pentru orice partiţie cu 1J finit, de aceea şi suma din membrul drept (35) este de asemenea egală cu ( + oo) şi conform relaţiei (34tJ, i = + oo. De aici, avînd în vedere relaţia (34), rezultă că, dacă pentru o anumită partiţie ~u 1J finit suma S& este egală cu ( + oo ), atunci şi s6 este egală cu ( + oo) şi totodată sa şi S& sînt egale cu ( + oo ), pentru orice partiţie cu 1J finit. In aceste cazuri i = 1= + oo. In cazul sumelor finite avem, ca şi în [49] 00

şi cind 1J --1- O diferenta scrisă tinde către zero, de unde rezultă i = /. Atunci ambele sume Lebesgue (34) precum şi sumele S&, Sa tind pentru 1J --1- O către valoarea integralei. Acelaşi lucru se poate afirma şi cu privire la suma 00

= ~ f (Pk) O (Sk)

(36)

k=1 pentru orice alegere a lui Pk din Sk. In cazul i = 1= + oo şi suma .(36) este evident egală cu (+ oo ). Dacă s6n, S&n şi Ci&n tind către

00

k=l

(34t)

(yk-yk_ 1) (k= 1, 2, ... ) sînt mărginite. Fie 1J marginea lor superioară exactă. Ţinînd seama că yk L yk_ 1 +1J" putem scrie

cr&

deci (+oo)0{$ 0 )+

(34)

OL ~ ykO (Sk)- ~ yk_ 10 (Sk) L 1JO ($) k=1 . k=1

şi

+ k=l ~ ykO (Sk)

~ ykO (S!c) k=l

diferenţele

00

Avem evident mk :::::::". yk_ 1, Mk Lyk

L

00

QO

In cazul de faţă vom avea serii infinite cu termeni pozitivi şi unele dintre numerele mk şi Mk pot fi egale cu ( + oo ). Dacă pentru un termen oarecare O (Src) =0, atunci termenul corespunzător îl considerăm egal cu zero şi în cazul în careprimul_ factor mk_ sau Mk este egal cu ( + oo ). Sumele seriilor (30) nu ~epmdv de ordmea t7~­ menilor [1; 134]. Observăm, de a~emenea, ~a daca luam o partlţte finită o, atunci în suma S6 cel puţm unul dmtre numerele fVlk este egal cu + oo în baza nemărginirii lui _f(P). _Su~ele S& Şl S& pot lua şi valori infinite. Ele au _acelea~l p:opnet~ţ1 ~a~ ş_t su~ele finite s6 şi S6 pe care le-am mat folostt .. Fte ca Şl m_a1 ma~nte,. t -: marginea superioară exactă a lui S& ş_t 1 - m~rgmea mfenoara exactă a lui S6 • Aceste numere pot f1 egale Şl cu ( + oo ). Vom ară ta că i = 1 la fel ca şi în cazul unei funcţii mărgini te. Impărţim mulţimea S i~ părţi în modul următor : extragem din ea mai întîi mulţimea S0 pe care f(P)= + oo dacă ? asem7n:a m~lţime există, iar mulţimea rămasă o descompunem 1~ J?Ulţtml Sk m modul ur~ mător: dividem intervalul [0, + oo) in parţt 0= Yoa] =tf, [f>a] pentru aa]= A pentru a~ N

unde A este

mulţimea vidă. Să

scriem integralele (38)

creşte, ele cresc şi limita (finită sau infinită) a funcţii monotone de N pentru N-+ +(X), o vom numi integrală a lui f(P). Să arătăm că această nouă definiţie a integra/ei este echivalentă cu cea precedentă. Să presupunem mai întîi că mulţimea tf,0 pe care f (P) =+(X), are măsură nulă. Valoarea integralei (38) este egală cu marginea superioară iN a

Cînd N

acestei

sumelor s~N> pentru funcţia [flN· Aceste sume nu depăşesc sumele respective So pentru l şi de aceea iN Li. Trebuie să demonstrăm că funcţia monotonă iN pentru N ---++(X) are limita i. Demonstrăm prin reducere Ia absurd. Fie iN-+i'< i (prin aceasta i' este finltă). Putem lua o sumă So pentru f(P) astfel încît s6 > i'. Să reţinem în această sumă un număr finit de termeni astfel încît şi pentru suma finită obţinută s5 să avem si, > i'

(*) unde suma este finită si însumarea se extinde asupra termenilor lăsaţi, ceea ce este indicat prin accent la semnul sumei. Dacă mK = + CXJ, atunci f (P)= +(X) în toate punctele lui tf,k, adică.

c

$ 0 , de aceea O ($k) =O, întrucît prin ipoteză O (tf, 0) =O. Tercorespunzător sumei scrise se consideră după cum am menţionat mai înainte, egal cu zero şi putem să nu-l scriem. In modul acesta se poate considera că în toţi termenii sumei (*) toate nu-

$k

menul

merele mk sînt finite. Construim suma s~ (N) = ~ 'mkN)G (19 1,:)

analogă

pentru [fiN

(m~N) = inf [/]N pe ~,c)·

k

Dacă numărul intră

N este mai mare decit toate numerele m1c care în suma (*) (aceste numere sînt în număr finit), atunci mk(N) =mi{;

'> z.

·

So'(N) =So

Şl

~,

A fortiori suma totală s~N) pentru [!JN va fi >i' şi prin urmare şi iN=sup s~N>>i', iar aceasta contrazice faptul că iN tinde, crescind, către i'. In modul acesta, iN___,.. i şi în a doua definiţie a

integra/ei, valoarea integra/ei este

aceeaşi

ca

şi

în prima de-

finiţie. Dacă G (tf, 0 )>0 atunci in prima definiţie valoarea integralei este egală cu ( + oo ). Să arătăm că acelaşi lucru se va întîmpla şi în a doua definiţie. Ţinînd seama că funcţia [ flN nu este negativă, avem

iN=

~$[/]NG(dt9)~,~~ fiNG(d&~)=l\TQ(tf, 0 ),

0

j

deoarece conform definiţiei [/]N = N fn toate punctele lui g;o. Din inegalitatea iN~ NG ($0 ) rezultă imediat că iN-+ + (X) pentru N~+ CXJ, ceea ce trebuia demonstrat. 51. Proprietăţile integralei. Folosind sumele putem demonstra unele proprietăţi ale integralei unei funcţii pozitive nemărginite, absolut la fel ca în [49]. In afară de aceasta, pentru demonstrarea proprietăţilor putem tolosi şi a doua definiţie a integralei. Mai observăm că dacă f (P) este o funcţie pozitivă mărginită, atunci [ f(P)]N coincide cu f (P) pentru N suficient de mare şi noua definiţie a integraleî coincide cu cea veche din [48J. Trecem Ia demonstraţia proprietăţilor integra lei. Ca şi în [49] considerăm că $ este o mulţime măsurabilă de măsură finită. 1. Dacă f 1c (P) (k= 1, 2, ... , m) sînt junc fii sumabile, atunci

şi orice combinaţie liniară a lor cu coeficienţi pozitivi constanti este o funcţie sumabilă şi are loc formula (13). Demonstraţia

este

aceeaşi

ca în [49J.

170

FUNCŢII

DE

MULŢIMI ŞI

PROPRIETĂŢILE

INTEGRALE LEBESGUE

INTEG RALEI

171

-------------------------~-----~---~------

Mărindu-1

. 2. Dacă f (P) este sumabilă pe $, ea este sumabilă şi pe

once parte

măsurabilă $'

a

mulţimii $.

~ $ f(P) G (d$) ~ k=l f ~$k f(P) G (d$),

Pentru [/ (P)JN, în baza pozitivităţii şi a proprietăţii 9 din [49] avem

~$' [/ (P)]NG (d$)

L

~$ [/ (P) ]NG (d$).

inversă inegalităţii

4.

limită obţinem

Trecînd Ia

bil de fiecare

~$,/(P) G(d$)L ~$/(P) G(d$), şi dacă

membrul drept este finit, atunci

şi

infinit de mulţimi

Pentru

(40)

rezultă

Mărindu-1

nelimitat pe N,

~$/ (P) G (d$) /

cu termeni pozitivi are o

sumă finită (converge), atunci f(P) sumabilă pe $ şi are loc formula (20). Pentru funcţia [!JN avem, ca şi mai înainte, formula (40) şi inegalitatea (41 ), al cărei membru drept reprezintă un număr finit. Din această inegalitate rezultă imediat că integralele (38) au limită finită, adică f(P) este sumabilă pe ©. După aceasta, formula (20) rezultă

imediat din proprietatea

,

Dacă

5.

f

~$k f(P) G (d$).

precedentă.

f (P) este suma bilă pe $, atunci pentru orice s un 1J >O astfel fnctt

există

~ef (P) G (d$) ~ s

(41)

(44)

pentru e c $ şi G (e) L 1J· Putem fixa un N astfel încît

obţinem

k=l

(43)

este

dat pozitiv

~$[/]NG(d$) L k=l ~ ~ $k f(P) G(d$).

f

$k.

finit sau numeraeste sumabilă pe

k~I ~$/(P) G (dlll)

membrul stîng este finit.

~@ (flNG (d!>) = k~I ~~k [f]NG (d.!>) de unde

(42 ).

Dacă $ este împărţită într-un număr mulţimi măsurabile $k, funcţia f (P) $~ şi seria

(39)

3. Dacă f (P) este sumabilă pe $ şi multimea $ este descompusă tntr-un număr finit sau numerabil de multimi măsurabile, atunci are loc formula (20). ' ?ă considerăm cazul unui număr funcţ1a mărginită [/]N avem

acum ne1imitat pe m ajungem la inegalitatea

(42)

Să demons.trăfll inegalitate~. inversă. Datorită pozitivităţii lui

(P~ putem sene m baza relaţ1e1 (40) pentru orice valoare finită

(j~ [f]N)•

. Atunci, in baza

relaţiei

(39), pentru orice e c

$

va fi

a llll m

~$ [f]NG (d$) "'· k=l f ~$k [/JNG (d$). Mărindu-1

nelimitat pe N

obţinem

la

limită

~$ f (P) G (dlll) ::-, k~r ~~/ (P) G (dlll),

2

_şi pentru G (e) ~ ~ obţinem inegalitatea cerută.

Ultimele două proprietăţi arată că integrala unei funcţii pozitive norn;; ..."..;nite se bucură la fel ca şi integrala unei funcţii mărginite, ~'9e proprietăţile de aditivitate completă şi continuitate absolută.

FUNCŢII

172

DE

MULŢIMI ŞI

FUNCŢII

INTEGRALE LEBESGUE

Dacă @ este (P) este egală

o mulţime de măsură nulă, atunci integrala cu zero. lui f Demonstraţi~ este aceeaşi ca în [49]. 7. Integralele funcţiilor echivalente pe @ sînt egale. 8. Dacă integrala lui f(P) este egală cu zero, atunci această funcţie este echivalentă cu zero. 9. Dacă / 2 (P) L-/1 (P) pe @ şi / 1 (P) este sumabilă, atunci şi f 2 (P) este sumabilă şi are loc inegalitatea 6.

pe

u)k

(P) este un

şir

de

funcţii

pozitive, sumabile

@ şi

-~-~~---------

poate lu~ .v~lo~i de ~n:bele semn~ .. Să întroducem poz1t1va Şl negat1va, ale funcţ1e1 f (P)

aşa-numitele

părţi,

(P) = \

j-(P)=

'

Altfel, j + (P) =

a

dacă j(P)2.0

Jf(P),

+

f

(45) 10. Dacă

173

DE SEMN ARBITRAR

--------------·----·~-----~--~·--·-·--~------··------

J-

l

O,

dacă f

f(P),

dacă

O,

această definiţie

(P) O.

scrisă

~ f 1f (P) 1+ f (P) ] ; /- (P) = ~ [ 1f (P) 1- f (P )].

Pentru funcţia f (P) două funcţii pozitive ·

avem reprezentarea sub forma

(461)

diferenţei

f(P)= j+ (P)- /- (P). Definiţie.

atunci wn (P)----?>- O fn

măsură

pe @. Demonstraţia proprietăţilor 7, 8 şi 9 este aceeaşi co. şi în [49]. Inegalitatea (45) poate fi scrisă pentru [/2]N şi [/1]N şi trecînd la limită pentru N-+oo obţinem {45). Proprietatea 10 se demonstrează prin reducere la absurd. Dacă (J)n (P) nu --+O în măsură, atunci există un o>O, astfel încît O (@n) nu ----?>-O unde @n =@ [ (l)n (P) ~o]. De aici rezultă că există un subşir @nk, astfel încît O (@nrJ ~ d, unde d este un număr pozitiv. Avem

~~ wnk (P) G (d@) ~ ~~

(J)nk

(P) O (d@) ~o O (@nk)

~ od,

nk

de unde rezultă că integrala din membrul stîng nu ~O,. iar aceasta contrazice ipoteza. Trecem acum la definiţia integralei Lebesgue-Stieltjes pentru o funcţie nemărginită care poate să-şi schimbe semnul. Pentru funcţiile negative (nepozitive) putem defini integrala ca şi mai înainte. 52. Funcţii de semn arbitrar. Fie dată pe mulţimea mă­ surabilă ~ de măsură finită o functie reală măsurabilă f(P) care

f+ (P)

şi

funcţiei

Funcţia f (P) se numeşte sumabilă pe ~ dacă f- (P) sînt sumabile pe i§. Atunci valoarea integral ei f(P) este dată de formula

rJ~ f(P)O(d$)=\J@ f+(P)O(d@)-\J@ f-(P)G(d&>).

(47)

Observăm că dacă numai una dintre funcţiile t+ (P) sau /- (P) este sumabilă, atunci ultima formulă dă pentru integrala lui f (P) o valoare determinată, însă infinită. De exemplu dacă t+ (P) este sumabilă, iar f- (P) nu, integrala lui f (P) este egală cu (- oo ). Teoremă. Pentru ca j (P) să fie sumabilă pe 10, este necesar şi suficient ca funcţia pozitivă f(P) să fie sumabilă pe $. Dacă f(P) este sumabilă, atunci sînt sumabile şi/+ (P) şi /-(P), prin urmare este sumabilă şi suma lor f (P) = t+ (P) + !- (P). Invers, dacă suma /+ (P) + f- (P) este sumabilă, atunci în baza proprietăţii 9 din [51] este sumabil fiecare termen, de aceea şi funcţia f (P) este suma bilă. Observăm că şi pentru o funcţie măr­ ginită putem face descompunerea în partea pozitivă şi partea negativă şi pentru integrală va avea loc de asemenea formula (47). In cele ce urmează vom folosi adesea termenul "funcţie sumabilă'( şi în cazul unei funcţii măsurabile mărginite. Trecem acum la 1

1

1

1

174

FUNCŢ'II

DE

MULŢIMI ŞI

FUNCŢII

INTEGRALE LEBESGUE

indicarea proprietăţilor fundamentale ale integralei unei funcţii sumabile de semn arbitrar. Aceste proprietăţi rezultă aproape imediat din proprietăţile analoge ale integralei funcţiilor pozitive t+ (P) şi /- (P). 1. Dacă fk (P) (k= 1, 2, ... , p) sînt funcţii sumabile, atunci şi orice combinaţie liniară a lor cu coeficienţi constanţi funcţie sumabilă şi are loc formula (13).

Sumabilitatea 1

combinaţiei

.t,

liniare

ckfk (P) 1 L

rezultă

(47)

sumabile. Aplicînd pro-

~~ {10 (d&J)+ ~~/20 (dS)+ ~$/+0 (d@)

de unde

~st+o (d&;)- ~~~-o (d@) =

ceea ce

~~tto (d$)- ~~110 (dt0)+ ~&3!~-o (d~)- ~;20 (d$) demonstrează

Dacă

ft (P)

formula (48).

şi

/ 2 (P) sînt sumabile pe t9 atunci are loc formula (15). 2.

negativă.

Atunci

formula este demonstrată. Să presupunem acum că / 1 (P) funcţii sumabile. Trebuie să demonstrăm formula

Inegalitatea (16) este

şi

echivalentă

cu

următoarea

1, / 2

şi

~&l [/+(P)- f-(P)] O (d$) 1 L ~$ [f+(P)+ /-(P) 1O (d$).

4. Dacă f (P) este sumabilă pe $, atunci ea este sumabilă pe orice parte măsurabilă &;' a mulţimii $. 5. Dacă f(P) este sumabilă pe t9 şi mulţimea t9 este descompusă într-un număr finit sau numerabil de mulţimi măsu­ rabile &;k, atunci are loc formula (20). şi

/ 2 (P)

/= ft + / 2 în partea pozi-

f t= ! l+- - j'-1 ; f 2= 1-f-2 - !-2 ; f =!+Avem

tt +tt +f-=!1 +/2+/

1 -.

~-- .

inegalitate

evidentă

Ultimele două proprietăţi rezultă din faptul tăţi au loc pentru t+ (P) şi (P).

r

descompunem funcţiile / partea negativă,

~/2 (P),

Conform proprietăţii 1, funcţia pozitivă / 1 (P)- { 2 (P) este suşi integrala ei (nu este negativă) este egală cu diferenţa integralelor lui ft (P) şi / 2 ( P), ceea ce ne conduce la relaţia ( 15).

1

dă

sînt

Să

/ 1 (P)

4. Dacă f (P) este suma bilă, atunci are loc formula (16).

r efO (d$)= -c Jsr f-0 (dS)+ c .)~\ j+O (d$)= c rJ~ fO (d$)

tivă şi

şi

mabilă

j~ şi

=

=

~~ cf(P) O (d~)= c ~sf(P) O (d$). Pentru concretizare vom considera că c este avem · (ct_r~-- = ~ cf- şi (cf)- = -cf+.

şi

~~tto (d$)+ ~~tto (d$)+ ~~ t-o (d&;) =

•ţ, 1c< 11/k (P) 1'

din teorema demonstrată mai înainte şi din proprietatea 1 din [51]. Pentru demonstraţia formulei (13) să considerăm separat cazul înmulţirii funcţiei cu o constantă şi cazul adunării a două funcţii. fie f (P) sumabilă şi c o constantă. Trebuie să demonstrăm formula

Definiţia

Toate funcţiile scrise sînt pozitive prietatea 1 din [51 1 obţinem

este o

imediat din inegalitatea

175

DE SEMN ARBITRAR

că

aceste proprie-

6. Dacă &; este descompusă într-un număr finit sau numerabi! de mulţimi măsurabile &;k, funcţia f (P) este sumabilă pe fiecare &;k şi seria

~~ k=l

~k

1

f(P) O (d$),

este convergentă, atunci f(P) este formula (20).

(49)

1

sumabilă

pe

t9 şi

are loc

176

FUNCŢ'II

DE

MULŢ'IMI ŞI

INTEGRALE LEBESGUE

FUNCŢII

funcţia pozitivă 1 f (P) 1 este sumabilă pe toate ~k şi din convergenta seriei (49) rezultă, în baza proprietăţii 4 din [51], că lf(P) 1 este sumabilă pe &, prin urmare şi f(P) este sumabilă pe ~. După aceasta, formula (20) rezultă din proprietatea precedentă. Observăm că, convergenta seriei (43) nu este suficientă pentru afirmarea sumabilităţii lui f (P). 7. Dacă f (P) este sumabilă pe ~' atunci pentru orice s>O dat, există un 1J>O astfel încît

Demonstrăm prin reducere la absurd. Dacă valentă cu zero, atunci există un număr pozitiv dintre mulţimile

~

:are

(f(P) '-----a]

sau

f

(P) nu este echia, astfel încît una

Âo [f(P) L -aj

măsură

notăm

rn

DE SEMN ARBITRAR

mai mare decît zero. Fie aceasta prima cu S. Avem

mulţime şi

s-o

~~ef(P)G(d~)l Ls pentru e c

~ şi

G (e) L 1). Această proprietate rezultă imediat din faptul că ea are loc pentru t+ (P) şi f- (P). In modul acesta am demonstrat aditivitatea completă şi continuitatea absolută a integralei oricărei funcţii sumabile. 8. Dacă ~ este o mulţime de măsură nulă, integrala oricărei funcţii f (P) pe t9 este egală cu zero. 9. lntegralele funcţiilor echivalente pe ~ sînt egale. Ambele proprietăţi se reduc la proprietăţile analoge pentru t+ (P) ş1 f- (P), cu observaţia că dacă două funcţii sînt echivalente, atunci şi părţile lor pozitive şi negative sînt echivalente. 10. Dacă f(P) este măsurabilă pe ~' F (P) - măsurabilă, pozitivă şi sumabilă pe ~ şi f(P) ~ F (P), atunci f(P) este sumabilă şi are loc formula 1

1

~g;,f(P) G (d~)

1

L

1

~LS F (P) G (d&).

(50)

f

In baza proprietăţii 9 din {51] se poate afirma că 1 (P) 1 este sumabilă, prin urmare şi (P) este sumabilă. Inegalitatea (50) rezultă imediat din proprietatea 3 şi din proprietatea 9 din [51]. Din cele demonstrate rezultă imediat că produsul unei funcţii sumabile cu o funcţie măsurabilă mărginită este de asemenea o funcţie sumabilă.

f

Mai menţionăm două proprietăţi ale integralei care ne vor fi necesare mai tîrziu. 1. Dacă f (P) este sumabilă pe un interval finit ,~0 , iar integrala ei pe orice interval ~ aparţinînd lui Â0 este egală cu zero, atunci f (P) este echivalentă cu zero pe Â0 •

Există însă mulţimi

încît

e1

şi

e2 cu

măsură

oricît de

mică

astfel

~+e 1 =R+e 2 •

',unde R este o figură elementară, adică o sumă finită de intervale disjuncte două cîte două. Prin ipoteză, integrala lui f (P) pe R trebuie să fie egală cu zero şi putem scrie \ f(P) G(d-'9)= )~

rJe2 f(P) G (dS)-- rJeJ f(P) G(dS).

In baza continuităţii absolute a integralei membrul drept poate oricît de mic în valoarea absolută, iar în membrul stîng avem un număr pozitiv determinat. Am ajuns astfel la o absurdi,tate şi deci afirmaţia enunţată mai înainte este demonstrată. 12. Dacă f (P) este sumabilă pe f9 şi verifică condiţia fi

făcut

~~ cp (P) f(P) G (dt0)=0

(51)

pentru orice alegere a lui cp (P) măsurabilă şi mărginită pe ~:î, atunci f (P) este echivalentă cu zero. Dacă conditia (51) este tndeplinită pentru orice alegere a lui cp (P) măsurabilă şi măr­ ginită pe ~ şi astfel Încft

~$ cp (P) G (d~)=O

(52)

atunci f (P) este echivalentă cu o constantă. Fie ~' acea parte a lui ~ unde f (P) ~ O. Alegem drept cp ( P) o funcţie egală cu unitatea pe ~, şi cu O pe ~-t9'. Condiţia {51) ne arată că integrala lui f + (P) pe & este egală cu zero şi de aici. 12 - Curs de matematici superioare vol. V

178

11~UNCTII

DE

MULŢIMI ŞI

INTEGRALE LEBESGUE

F'UN C'fii SUM.A.BILE COMPLEX.E

în baza proprietăţii 8 din [52] rezultă că t+ (P) este echivalentă cu zero. Analog se demonstrează că f- (P) este echivalentă ·cu zero şi de aceea şi f (P) este echivalentă cu zero. Să trecem la demonstrarea părţii a doua a afirmaţiei. Să notăm cu kG (iŞ) valoarea integralei lui f (P) pe $. In baza relaţiei (52) funcţia f(P)-k verifică şi ea condiţia (51), adică

~~ cp (P)

[f(P)-k]

ln afară de aceasta, conform gere a constantei c avem

definiţiei

face

lui k, pentru orice

funcţie

măsurabilă

arbitrară,

mărginită,

pe

/(P)=/1 (P)+i/2 (P). Funcţia

numeşte sumabilă dacă (P) se defineşte

f

/ 1 (P) şi f 2 (P) sfnt fn acest caz prin (54)

pentru suficient ca modulul

In cazul de faţă are loc teorema demonstrată înainte:

lf(P) 1

In încheierea acestui paragraf să examinăm integralele Lebesgue-Stieltjes de o singură variabilă. Fie g (x) o funcţie crescătoare care generează o măsură şi f(x) o funcţie măsurabilă în raport cu g (x) şi sumabilă pe mulţimea măsura bilă $y de pe axa X sau " pe intervalul [a, b ], sau pe intervalul (a, b] etc. Integralele respective se scriu sub forma

'

f(P) se

sumabile, şi integrala lui

~f(x)dg(x) [a, b]

sau

~f(x)dg(x) [a,

b]

să fie sumabilă este necesar şi să fie o funcţie surnabi!ă.

ca f(P)

de unde rezultă, conform celor demonstrate mai înainte, că f(P)~k este echivalentă cu zero, adică f (P) este echivalentă cu k.

•

introducem pentru o astfel de

~t;f(P)O(d~)= ~$fdP)G(d~)+i~&;/2 (P)G(dt9).

~$'li' (P) [f(P)-k] G(d~)=O

sau

uşor să

f

sau în baza relaţiei (53)

f(x)dg(x)

sumabile complexe. Este

formula

~$ ['!' (P)-c][f (P)--k] G (dS)=O

~

Funcţii

noţiunea de funcţii sumabile şi să definim integrala şi funcţie (P) care ia valori complexe. Să separăm la o funcţie partea reală şi partea imaginară

$~ şi

cG U~) valoarea integralei acestei funcţii. Funcţia cp (P)='V (P)~c verifică condiţia (52) şi avem

In afară de aceasta, se

~: f(x) dx=- ~: f(x) dx.

ale~·

(53)

~: f (x) dx. presupus că a < b.

următoarea convenţie

53.

~~ c [f(P)--k] O (dS)=O. Fie t!J ( P) o

Dacă g (x)=x, obţinem integrala Lebesgue. ln acest caz mă­ sura oricărui punct este egală cu zero şi nu este important dacă se includ sau nu la interval capetele lui, iar integrala pe interval se notează de obicei astfel

Mai Înainte am

G(d~)=O.

179

etc.

Observăm, în primul rînd, că în bazl rnăsurabilităţii Jui / 1 (P) / 2 (P), va fi măsurabilă şi suma pătrate lor acestor funcţii, de aceea va ti sumabilă şi valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate din această sumă, adică .fi= fÎ /~, ceea ce rezultă direct din formula

şi

J

S [ VI1+ f~ Mai departe din

V+ >aJ =

S [fÎ+ f~>a 2 ).

inegalităţile

din f5l I rezultă imediat că sumabilitatea lui 1/1 1 şi 1/ 2 1 este echivalentă cu sumabilitatea lui 1f 1, de unde rezultă afirmaţia enunţată mai inainte. şi din proprietăţile 9 şi 1

FUNCTII DE

180

MULŢIMI ŞI INT~-:GRALE

LEBESGUE

THECERJ!-;A LA LIMI'l~A SUB SEMNUL IN'I'EGRALEI

Mai departe au loc proprietăţile indicate mai înainte 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 şi 10, iar în alcătuirea unei combinaţii liniare a functiilor fk (P) putem folosi şi coeficienţi constanţi complexi ck. Să ne oprim numai la demonstraţia proprietăţii 3 (55)

V/î

Funcţiile {1 , j~ şi +f~ sînt sumabile, de aceea, pentru aceste trei functii sumele cr 5n o~t:l), sumele cron pentru funcţiile /1, Dacă

~$ [! (P)- In (P) l o (d~)

G(Sn)~O afară

In

k

Iim('

J$

fn(P)G(d~)=~ [f, f(P)a(dtS). rezultă că funcţia limită verifică

l/(P)I /

F(P).

=-'

(60)

1

~lln [f(P)-j~ (P) 1 a(dS)+ ~

a(dt9)=

lf(P.l-fn (P) l O (dS).

~-~n

De aici. in baza

relaţiilor

(59)

~$1 f(P)- fn (P) 1O (dS) L

şi

(60)

12

rezultă

2 ~$ F (P) O

(d~)+s a ($-Sn),

. de unde cu atît mai mult

~ $ !f(P)-fn (P)

(57)

Din

aproape

Trecînd Ia funcţia echivalentă, putem considera că această inegalitate este verificată peste tot pe ~. In baza proprietăţii 10 din [52], fn (P) şi f (P) sînt suma bile pe S şi de aceea au aproape

(59)

avem

+! fn (P) i .L 2F(P).

~~ if(P)-j~(P)

(56)

(56 1)

1

~

PES-~n·

două

1

G (dS) /2

(61)

şi din continuitatea absolută a integralei lui F (P) un N astfel încît

~tJn. F (P) O (dS) L şi

~ ~ F (P) O (d~)+sa (~).

a (~n) ~O

rezultă că există

Din ipotezele teoremei peste tot pe ~ inegalitatea

(58)

Integrala din membrul drept al formulei (58) se descompune în,

limită se obţine (55). 54. Trecerea la limită sub semnul integralei. Vom de~­ monstra unele teoreme privind trecerea la limită sub semnul integralei pentru funcţii sumabile. Teorema 1. Dacă fn (P) este un şir de funcţii sumabile pe o mulţime ~ de măsură finită şi pentru toate aceste functii are loc evaluarea

unde F (P) este o funcţie sumabilă pe t9 şi In (P)-+ f (P) aproape peste tot pe ~' atunci f (P) este sumabilă pe ~ şi

dacă

de aceasta in orice punct P din

'

IÎn(P)[~F(P)

if(P)-fn(P)jL-s,

1

la

n-+-oo

şi

1/1 (P~z) )+i/2 (P~n)) [O (~~n))

k

~IS! 1 (P)- In (P) 1. a (d~).

L

lf(P)-/11 (P) ?-lf(P)

on

i ~ [/1 (P~n)) + i/2 (Pkn))] O (~~1 )) j ~ ~

1

diferenţei

Fie a un număr pozitiv dat şi ~n mulţimile aparţinînd lui $ despre care s-a arătat în teorema 6 din (44]. Conform acestei teoreme, avem

V

este o partiţie a lui ~ în părţile ~1n) şi P~n> sînt puncte oarecare din ~kn>, avem

şi

.j

şi !Î +/~ a fortiori vor tinde către integralele respective.

/ 2

1

peste tot pe ~ valori finite. Să considerăm integrala f(P)-fn(P) şi să-i aplicăm proprietatea 10 din [51]

181'

s

pentru

n>N,

în baza re la ţi ei (61 )

~~ Jf(P)- fn (P)

1

G (dS) L [2+a (&)J s pentru

n>N.

FUNCŢII

f82

Comparînd cu 1

~&~ /

DE

MULŢIMI ŞI

relaţia

(58)

(P) O (dS)-

INTEGRALE LEBESGUE

TRECEREA LA LIMITA SUB SEMNUL INTEGRALE!

obţinem

~g;fn (P) G (d&))

De aceasta ne convingem l

L [2+ G (&1)]

e~

c:p

de unde, ţinînd seama că s este arbitrar, rezultă relaţia (5'7) . Ca şi in demonstraţia proprietăţii 15 din [49] este suficient să presupunem că inegalitatea (56) este verificată aproape peste tot pe ~. Observaţie. Este uşor de văzut că în demonstraţia teoremei am folosit numai co:wergenţa In (P)-+ f (PJ în măsură şi prin a.;easta in formularea teoremei, convergenta In (P) -f (P) aproape peste tot poate fi înlocuită prin convergenta în măsură.

Teorema 2. Dacă In (P) este un şir crescător de functii sumabile pe mulţimea tB de măsură finită, atunci integrala pe ~ a funcţiei limită f (P) este egală cu o valoare finită sau (+ co) şi are loc formula (57).

sumabile In (P) sînt finite aproape peste tot pe i9 şi In (P) are în fiecare punct o limită ce poate fi egală şi cu (+ co ). Să considerăm şirul crescător de funcţii· pozitive In (P)-/1 (P). Avem, evident

uşor

(P) / N

H83

analizînd separat cazurile şi

cp (P)

> N.

In

modul acesta, şirul crescător de funcţii pozitive [fn (P)- fdP)JN tinde aproape peste tot către [ f (P)- ft (P)Lv. Funcţia limită este mărginită şi deci sumabilă. In baza celor demonstrate mai înainte Iim ( f/n (P)- fdP)]NG (d~)= \ [/(P)-/1 (P)JN G (d~).

n-..oo

J,

J&;

(62)

Fie K un număr pozitiv dat arbitrar. Ţinînd seama că inlui [/ (P)- / 1 (P)] este egală cu ( + oo) putem fixa un N. astfel încît integrala din membrul drept al formulei (62) să fie mai mare decît K. In modul acesta avem, in baza relaţiei (62), pentru toti n suficient dE' mari t~grala

Funcţiile

şirul crescător

o:~fn(P)--fdP)L-/(P)-ft

şi

cu atît mai mult

~' [/n (P)- /1 (P)l O (d~)>K.

(P) ..

Numărul

K fiind arbitrar,

rezultă

de aici

că

Dacă funcţi:t pozitivă f (P)-: ft (P) este sumabită pe tD atunci f(P) este suma bilă. Diferenţa f (P)- / 1 (P) poate juca rolul ~uncţiei F(P) din teorema 1 şi aplicind această teoremă obţinem şi

adică

[J~ (P)-/ 1 (P)] O (d~) = fj &~ [/(P)-/1 (P)] G (d~). tz-+oo J&; Iim (",

Adăugînd la ambii membri integrala lui / 1 (P) obţinem relaţia (57). Să presupunem acum că integrala lui f(P)- / 1 (P) este egală cu ( oo ). Atunci [deoarece (P). este sumabilă] integrala lui (P) este şi ea egală cu ( co ) • .1\t\enţionăm mai departe că dacă un şir c:p 11 (P) tinde aprollpe peste tot că.tre cp (P), atunci pentru

f

+

+

ft

orice N: [:p11 (P)]N-+ [:p (P)]~ aproape peste tot. Pentru a demonstra aceasta este suficient să observăm intr-un punct t:Fn (P)-+ c:p (P) atunci în acest punct ·,

[t:Fn (P)Lv ~[o/ (P)]N.

că dacă

şi

formula (57) este demonstrată egală cu ( + oo ).

f (P) este

Observaţie.

şi

este valabilă şi pentru un şir sumabile. Numai că funcţia limită poate avea o integrală egală cu (- oo) şi nu cu ( + oo ). Dacă fn (P) este un şir descrescător, atunci punînd cp n = - f n obţinem un şir crescător şi semnul minus iese în afara semnului integralei. · · " . Să lămurim o consecinţă din teorema demonstrată, importantă pentru cele ce urmează. descrescător

de

O

teoremă analogă

în cazul fn care integrala lui

funcţii

FUNC'f'll DE

181

MULŢIMI ŞI

Teorema 3. Dacă zitive şi sumabile pe t9

INTEGRALE LEBESGUE

CLASA L•

funcţiile uk(P) (k= 1, ?, 3, ... ) şi seria cu termeni pozitivi

sînt po-

Avem inegalitatea

~&; [/n]N

(63)

este

atunci aproape peste tot pe &; este conver-

convergentă, gentă seria

185

şi în baza proprietăţii mărul N, putem scrie

G (d&) L

~$/n O (d&) /A

(66)

15 din [49], unde ro!uJ lui L îl •

joacă

nu-

(64} şi

Trecînd la

uk (P)-+ O aproape peste tot pe t9. Să

bile pe

considerăm

. şirul

crescător

de functii pozitive

şi

n 11

(P)= ~ uk(P) k=l

şi să aplicăm acestui şir teorema demonstrată mai înainte. In baza convergenţei seriei (63) integralele lui fn (P) au, cînd n creşte nemărginit,

cazul de

o limită finită. faţă prin seria

In consecinţă, (64)

funcţia

Jimită,

exprimată

în

ce

f(P)= ~ Urc(P)

este sumabilă pe ~ şi de aceea are aproape peste tot pe t9 valori finite, adică seria (64) converge într-adevăr aproape peste tot pe t9~ Termenii seriei convergente tind însă către zero atunci cînd ne depărtăm de origine, adică u,c (P)-+ O aproape peste tot pe &; şi teorema este complet demonstrată.

Teorema 4. Dacă In (P) este un şir de funcţii pozitive şi sumabile pe t9, tinzfnd aproape peste tot pe t9 către funcţia limită f(P) şi integra/ele lui fn (P) pentru orice n nu depăşesc un număr A, adică

~$ fn (P) O (d&;) LA sumabilă

pe &;

şi

de unde rezultă că f (P) este sumabilăp iar pentru N ~ co obţinem (65). 55. Clasa L 2 • Vom examina în paragraful de faţă o anumită clasă de funcţii măsurabile. Această clasă joacă un mare rol în aplicatiile teoriei Ia diferite probleme ale matematicii şi ale fizicii matematice. Definiţiee Funcţia reală f (P), măsurabilă pe mulţimea mă­ surabilă &; de măsură finită, se numeşte funcţie de pătrat sumabil pe ~ dacă pătratul ei f 2 (P) este sumabil pe t'9, adică dacă

~.s / 2 (P) O (d&;)< + co. Clasa funcţiilor de pătrat sumabil pe ~ o vom nota cu simbolul L?. Pentru cazul integralei Lebesgue, adică pentru cazul în care O (6.) este aria intervalului Â, se foloseşte simbolul L2 • In cele ce urmează pentru simplificare vom scrie în locul lui L?, numai L 2 • Trebuie însă ţinut seama că toate cele ce vor fi spuse mai departe sînt valabile şi pentru orice alegere a lui O (6.). Să demonstrăm o serie de proprietăţi ale clasei L2 • Teorema t. Dacă f (P) şi g (P) EL 2 , atunci f (P) şi produsul f(P)g(P) este sumabil pe &;. Afirmaţiile teoremei rezultă imediat din inegalitătile

1/IL ~ (1+/ 2); !fgJL; (/ 2 +g2)

are loc inegalitatea

~~/ (P) O (d&) LA.

oo, obţinem

~$ (fJN 0 (d~) LA.

k=l

atunci f (P) este

în inegalitatea (66) pentru n--+-

suma-

$ /

limită

(65)

~i

din

proprietăţile

urmează

noi ne

1

şi

ocupăm

10 [52]. Observăm de funcţii reale.

că

aici

şi

în cele ce

~'UNCŢ'll

DE

MULŢIMI ŞI

INTEGRALE LEBESGUE

CONVERGEN.J.'A !N MEDIE

Teorema 2. Dacă f(P) şi g (P) EL 2 , atunci cj (P) şi f (P)+ +g(P) aparţin de asemenea lui L2 • Afirmaţia relativă la cj (P) este evidentă, iar pentru f (P)+ -+g (P) ea rezultă din formula (f+g) 2 = din teorema l

şi

v~&

Teorema 3.

Dacă

f

şi

Demonstraţia

este

aceeaşi

/

2

(d~) ~~ g 2 0 (d$).

0

ca

şi

al doilea au -{-2bu+ c identitatea

coeficienţii

(67)

pentru integrala Riemann. sînt reali

Să

şi

L

rezultă

imediat că dacă trinomul menţionat are, pentru toate valorile reale ale lui u, valori pozitive, atunci b2 Lac. Presupunem că funcţiile f şi g nu sint echivalente cu zero, căci în caz contrar inegalitatea (67) este bana1ă deoarece membrul ei stîng este atunci egal cu zero. Să scriem formula evidentă

unde u este un parametru. Integrala din membrul stîng are o valoare pozitivă pentru orice u real. In consecinţă şi trinomul din membrul drept se bucură de aceeaşi proprietate. Pentru acest trinom trebuie să avem b2 ~ac, ceea ce ne duce 1a inegalitatea (67). Observăm că. coeficientul a din trinomul menţionat este sigur pozitiv deoarece funcţia f nu este .echivalentă cu zero. Consecinţă. Dacă /EL 2 , atunci evident şi f EL 2 , şi scriind pe f sub forma produsului !f = f 1·1 obţinem următoarea inegalitate 1

1

1

1~$/G 1/ ~~ \!\ G (d&>)

(d$)

(d$)~ v~ 8 f2 G (d&.)+ v~3 g2 G (d$).

(69)

1

1

~v~&f2 G (d$).0 (~).

(68)

şi adăugăm şi integrala

~$/ 2 G (d~)+2 ~~fgG (d~) + ~~ g 2 G (d&r~

a >O, atunci din

au2 +2bu-i-c= ~ [(au+bf+(ac-b 2 )]

1

gEL 2 , atunci are loc inegalitatea

Inmulţim ambii membri ai acestei inegalităţi cu 2 Ja ambii membri ai inegalităţii obţinute integrala lui / 2 lui g 2• Inegalitatea obţinută

o repetam. Observăm~ în primul rînd, că dacă în trinomui de gradul 2

+g)2 G

şi

rJ~ fgG (d$) L_,V 1~ $ / 2 a (ct~)""'V 1~ ~ g 2 a (d~).

gEL 2 , atunci are loc inegalitatea.

~~fgG {d~)r~ ~$

(/

f

Dacă

Din inegalitatea (67) obtinem

/ 2 +2fg+g2

din proprietatea 1 [52].

(Buniako wski-Sch war tz) [

Teorema 4.

18'7

~$f2 G(d&\)+2 v~$f2 G (dll) v~@g2 G (dll) + ~&g2 G (dm)

poate fi

scrisă

sub forma

ceea ce ne duce direct la inegalitatea (69). Mai observăm că dacă f (P) EL 2 , atunci conform sumabilirăti! lui / 2 (P), funcţia f (P) ia aproape peste tot pe $ valori finite· 56. noţiune

Convergenţa

de

convergenţă

in medie. Vom introduce acum o

nouă

în clasa L2 •

Definiţie. Se spune că şirul de functii In (P) din L2 converge în medie către funcţia f(P) din L 2 sau mai simplu, converge în L 2 către funcţia ] (P) dacă

Iim \.,[/(P)--/n(P)]2Q(dtS)=0. IZ-'f'ao

J/9

Observăm în primul funcţie echivalentă g (P), schimbă şî funcţia g (P)

(70)

rînd că dacă vom înlocui pe f (P) printr-o integrala care intră în formula (70) nu se va fi şi ea limita în medie a lui / 11 (P).

lmNCŢII

188

DE

MULŢIMI ŞI

----

INTEGRALE LEBESGUE

CONVERGENŢ A

In- cele ce urmează vom identifica funcţiile echivalente, adică vom considera funcţiile echivalente apartinind lui L2 ca una şi aceeaşi funcţie. Să demonstrăm acum unicitatea limitei, adică să

189

. . P~ntr~ ~on~ergenţa ~n medie se_ poat~ stabili o condiţie nece~ar~ ~I suhcienţa, _analoga_ cu condiţia lm Cauchy de existenţă a hmitei pentru Şirun numence [1; 36). Să introducem în prealabil o

demonstrăm următoarea teoremă:

Teorema 5. Dacă şirul fn (P) din L.2 converge în L2 către f (P) şi g (P), atunci aceste funcţii sînt echivalente. Să scriem formula evidentă

două funcţii

nouă definiţie.

Definiţie. Se spune că şirul fn (P) de funcţii din L 2 este fundamental în medie, dacă pentru orice s pozitiv dat există un N astfel încît

~a; (fn-fm) 2 G(d&J) -N.

(71)

membrului drept inegalitatea (69),

Pentru n -t- co membrul drept tinde către zero, iar membrul sting nu depinde de n şi, prin urmare avem

Teorema 7. Pentru ca şirul fn(P) să fie fundamental tn medie către o funcţie din L2 este necesar şi suficient ca el să fie fundamental fn medie. con~ideră că şirul converge în medie către o funcţie f (P)~ Sa scnem dtferenţa In (P)- f m(P) sub forma

~t3 (f-g) 2 G(d&;)=O.

frz- fm = (fn -/)+(f-fm)

v~~ (f-g)" o (df>)L, v~$

f.l" G(dl'>) + v~, (g- 1.)

2

G(d&).

. s:

şi să aplicăm

Conform proprietăţii 8 din [51] rezultă că diferenţa f-g este echivalentă cu zero şi prin aceasta funcţiile f şi g sînt echivalente. Teorema demonstrată afirmă unicitatea limitei lui fn (P) în L2 însă, desigur, nu orice şir de funcţii are limită în medie. Observăm că din convergenta aproape peste tot nu rezultă convergenta in medie şi din convergenta în medie nu rezultă convergenta aproape peste tot. Să demonstrăm în legătură cu aceasta teorema.

Teorema 6. Dacă şirul fn (P) din L2 tinde către f(P) în medie pe &, atunci din el se poate extrage un subşir fnk (P) care converge aproape peste tot către f(P) pe &;. Din (70) rezultă, în baza proprietăţii 10 din [51], că fn (P)-+ -t- f (P) în măsură pe &J, şi teorema 6 este o consecinţă a teoremei 7 din [44]. Corolar. Dacă In (P) tinde fn medie către f(P) şi tinde aproape peste tot pe &; către cp (P), atunci cp (P) şi f (P) sînt echivalente pe &;. Dacă/" (P)-+ cp (P) aproape peste tot atunci şi fnk (P) -t- cp (P) aproape peste tot. Dar, după cum am văzut, fnk (P)--+ -+ f(P) aproape peste tot, de unde rezultă că cp (P) şi /(P) sînt echivalente.

inegalitatea (69):

"0p.-tmfo(ct-;l Vt(t~/~-l;-;(d~J + v~x;~:f~);Gr~~J. . . Fie s un . n~măr pozitiv dat. In baza convergenţei in medie catre f (P), exista u_n N" astfel încît pentru n şi m >N integrale le de ~ub semnul radical 111 membrul drept din ultima inegalitate LŢ. Atunci ultima inegalitate ne duce direct Ia inegalitatea (71) şi teorema este demonstrată. Să demonstrăm acum teorema reciprocă.

Teorema 8. Pentru ca şirul fn (P) să fie convergent ln medie către o funcţie este suficient ca el să fie convergent în medie în sine. De asemenea In (P) este fundamental şi trebuie să demonstrăm că el converge în medie către o functie. Sirul considerat fiind fundamental există un şir crescător de· indi'ci n1 p)

şi din convergenta seriei (90) rezultă că membrul drept al formulei scrise tinde către zero atunci cînd p creşte nemărginit, adică şirul funcţiilor (91) din L2 este fundam~ntal. Prin urmare există o funcţie f (P) din L2 către care Sa (P) converg în medie

Iim~. [f(P)-Sn(P)]2G(d&)=0.

n-7 oo

(92)

&;

Să arătăm că ck sint coeficienţii Fourier ak ai acestei funcţii. Ţinînd seama de (83) precum şi de ortogonalitatea şi normarea

sistemului (81) putem scrie

r~"/ 2 (P)G(d&)- ~ akl + k=l t (ck-a~c) 2 • §

k=l

-

(93)

197

In membrul drept diferenţa din parantezele drepte nu este neîn baza inega.H.t~ţii lui Bessel. Ceilalţi termeAni di~ dreaptă sînt de asemenea pozthvt. Pentru n--+ oo membrul stmg unde către zero şi deci acelaşi lucru se poate afirma şi despre membrul drept. De aici rezultă imediat că fiecare dintre termenii pozitivi (c~c-ak)2 este egal cu zero, adică ck = ak, ceea ce am vrut să demonstrăm. In modul acesta funcţiile (91) sînt sume parţiale ale seriei Fourier a funcţiei f (P) şi din (92) rezultă imediat că pentru f (P) are loc formula de închidere. Rămîne de demonstrat că funcţia f (P) cu proprietăţile menţionate este unică. Dacă în afară de f (P) mai există o funcţie g (P) cu proprietăţile menţionate, atundrelatia (91) ~eprezintă intervale ale seriei Fourier atît pentru j (P) cit şi pentru g (P). Prin ipoteză, situaţia de inchidere are loc atît pentru f (P) cît şi pentru g (P), adică şirul Sn (P) tinde în medie atît către f (P) Cît şi către g (P). Jn baza unicităţii limitei în L2 , de aici rezultă că f (P) şi g (P) sînt echivalente, adică reprezintă un aceiaşi element al lui L2 şi teorema este în întregime demonstrată. Să introducem acum definiţia închiderii sistemelor. gativă

Definiţie. Sistemul ortogonal şi normal (81) se numeşte închis dacă pentru orice funcţie f (P) din L2 are ecuaţia de închidere (89). In deTon~traţia !eoremei 1' noi nu am . presupus . că vsistem~tl (81) este mchts. Daca aceasta are loc, atunet nu trebme sa specificăm că pentru funcţie are loc ecuaţia de închidere, căci prin definiţia sistemelor închise aceasta are loc pentru orice funcţie din L 2 • De aceea, pentru sisteme închise teorema 1 se formulează astfel,. Teoretna 11 • Dacă sistemul (81) este închis şi Cn este un şir arbitrar dat de numere reale pentru care seria (90) este convergentâ, atunci există o funcţie unică din L2 pentru care numere! e Ca sfnt coejicienţii ei Fourier. . In afară de noţiunea de închidere a sistemului se introduce încă şi noţiunea de completitudine a sistemului. Definiţie. Sistemul (81) există o funcţie diferită de şi ortogonală tuturor cpk (P).

se numeşte complet dacâ fn L 2 nu zero (adică neechivalentâ cu zero)

Vom arăta acum, că noţiunea de completitudine de închidere sînt echivalente.

\ [f(P)-S 12 (P)]2 G(d~)= J&; =

FUNCŢII

şi noţiunea

Teorema 2. Pentru ca sistemul (81) sâ fie complet este

necesar

şi

suficient ca el

să

fie· inchis.

FUNC':J'II DE

198

dă

MULŢIMI ŞI

INTEGRALA LEBESGUE

SISTEME ORTOGONALE DE

Demonstrăm .necesitatea prin metoda reducerii la absurd. Se că sistemul (81) este complet şi se presupune că sistemul este închis, adică există o funcţie h (P) din L 2 cu coeficienţii

nu Fourier ak, astfel incit

~E31z2 (P) G (dt9) > k~t a~·

199

In formulele· următoare trebuie să scriem peste tot in locul pătratelor funcţiilor şi a numerelor - pătratele modulelor. A~tfel, de exemplu, ecuaţia de închidere va avea forma . (98)

(94)

Pe de altă parte, conform teoremei 1, există o funcţie f (P) din L 2 cu aceiaşi coeficienţi Fourier ak, pentru care are loc formula de închidere (89). Comparînd această formulă cu (94) obţinem

~ 10 ~ 2 (P)G(d.~:~)> ~E3f 2 (P) G(dt9).

FUNCŢII

(95)

Insă diferenfa f(P)-h (P) are toţi coeficienţii Fourier egali cu zero, adică ea- este ortog.onală cu c.pk (P) şi în baza completitudinii, dife-

este egală cu zero, adică h (P) şi f (P) sînt echivalente, ceea ce contrazice (95) şi astfel necesitatea este de~ons!rată. Să demonstrăm suficienta. Prin ipoteză sistemul este închis Şl trebttie demonstrată completitudinea lui, adică trebuie demonstrat că dacă toţi coeficienţii fourier ai unei funcţii f (P) sînt egali cu zero, atunci această funcţie este echivalentă cu zero. Intrucit se presupune inchiderea sistemului, putem scrie pentru funcţia f (P) ecuaţia de închidere (89) care, ţinînd seama că toţi coeticienţii Fourier ai funcţiei f (P). sînt nu li, ne dă~ renţa amintită

~E3/ 2 (P) G(d~)=O,

Teoremele indicate mai înainte rămîri. valabile, însă în locul .seriei (90) trebuie să considerăm seria de termen general Cn 12. Vom arăta în plus, aşa-numita ecuaţie generalizată de închi(iere. Fie an şi bn coeficienţii Fourier ai funcţiilor f (P) şi g (P) şi sistemul (81) închi3. Funcţia f(P)+g(P) are coeficienţii .Fourier an+bn şi funcţia f(P)+ig(P) are coeficienţii Fourier an+. ·+ ibn. Ecuaţiile de închidere pentru ele au forma 1

~Jf+gl 2 G(d19)= n=l )S 1an+bn [2, @

~J/+igl 2 G(dt9)= ll=l ~ 1an+ibnl 2 , @

0:>

=

~ [ 1an 12 +1 bn l 2 +(anbn+anbn)J;

n=l

~ IS [ f 2 + 1

1

1

g 12 + i (fg- fg)] G (dl9) =

în baza proprietăţii 8 din [51J, că f (P) este cu zero. ·Observăm că pentru orice sistem de funcţii 'Vn (P) din L2 este aplicabil procesul de orto~onalizare pe care l-am descris mai înainte [IV; 33]. Cele arătate se generalizează imediat la cazul funcţiilor complexe din L2 • Proprietăţile de ortogonalitate şi normare ale sistemului (81) se exprimă atunci prin egalităţile r ---·( o pentru k;i;l (96) ~/il q:;k (P) Cf>1 (P) 0 (d&) = 1 pentru k=l

Ţinînd seama de ecuaţia de închidere pentru f şi g, înmulţind .a doua egalitate termen cu termen cu i şi adunînd-o cu prima, ob:ţinem ecuaţia generalizată de închidere

iar coeficienţii Fourier sînt definiţi prin formulele

In cazul funcţiilor reale ecuaţia generalizată de închidere are forma

de unde

şi rezultă,

echivalentă

an=

~~f(P)cpn(P)G(d~).

(97)

ClO

~

n=l

[1 an 12 +1 bn

l

2

+i(anbn-arzl;n)J.

rJ$ fgG (df9) = ~ anbn. n=l

(99)

(100)

F'UNCTII DE

:MULŢIMI ŞI

INTEGRALA LEBESGUE

de închidere rezultă imediat posibilitatea termen eu termen a seriei Fourier a oricărei funcţii f (P) din L') pe mulţimea $ sau pe orice parte măsurabilă ~'[II; 156] ş~ anume dacă ak (k= 1, 2, ... ) sînt coeficienţii Fourier ai lui f (P)p. Din

ecuaţia generalizată

~ntegrării

atund

lndicăm încă o proprietate a spaţiului L 2 din care rezultă existen~.a in L 2 a unui sistem norma t ortogonal închis. Această proprietate se numeşte de obicei separ abilitate şi constă în următoarele~: există o multime numerabilă de elemente 'Vk (P) (k = 1, 2, ... )

din L2 densd în L2 , adică astfel încft pentru f (P) din L 2 şi' orice s pozitiv dat, există un element 'Vm (P) din mulţimea numerabilă menţionată, astfel încît Il f(P)-'l'm (P) IJ ~ 2. Intr~unul

din paragrafele următoare vom demonstra separab1htatea lUl L 2 • Acum vom demonstra că din separabilitate decurge existenţa unui sistem ortogonal, normat şi închis. Aplicînd lui 1VK: (P) pro.::esul de· ortogonalizare fiV; 3] obţinem un sis~em ortonormat cpk (P) (k= = 1, 2, ... ). Să demonstrăm că el este închis. In baza celor arătate· mai înainte pentru orice f (P) din L 2 şi orice a pozitiv dat exista 11pm (P) astfel încît llf-'Vm 11 L s. Dar 'l'm (P) este conform procesului de ortogonaHzare o combinatie liniară finită a funcţiilor cpk (P)

SPAŢIUL

l,

201

Mai observăm că în cazul în care G ($) corespunde maselor concentrate aşezate în punctele P 1 , P 2 , ••• , Pm , atunci sistemul inchis conţine numai m elemente şi acest caz nu prezintă interes. El duce după cum am menţionat, ia un spaţiu Rm cu un număr finit de- dimensiuni. 59. Spaţiul 12 • Alături de spaţiu] L2 să considerăm spaţiul şi­ rurilor infinite 12 , strîns legat de L 2 • Vom considera dintr-o dată cazul complex. Vom numi element al lui !2 un şir infinit de·

numere complexe x (x 1 , x 2 , x3 , ••• ) astfel fncft seria formată din l Xn 12 să fie convergentă. Produsul unui element cu un număr complex şi adunarea elementelor se definesc imediat. Elementul cx prin definiţie are coordonatele (cx 1, cx2 , ••• )? iar suma elementelor x Şi y cu coordonatele Xn şi Yn are coordonatele Xn+Yn, convergenta seriei construite din numerele 1 Xn + Yn 12 rezultînd direct din convergenta seriilor formate din numerele 1 Xn j2 şi 1yn 12, în baza inegalităţii evidente 2 1 Xn+Yn 1

L2 ( 1 Xn /2

+

2 1 Yn 1 )·

Norma elementului x se defineşte prin formula (102)

adică

iar produsul scalar al elementelor x

şi

y prin formula

00

şL

(x, Y)= ~

în modul acesta

(103)

XnYn'

n=l

r

Il1. f-'4J m.)j 2 = Jt& [t(P)-

t

lf=l

2

CkCfk

(P)] G (d&i) / s 2•

unde convergenta absolută a seriei din membrul drept decurge imediat din inegalitatea

Dacă inlocuim pe c,c cu coeficienţii Fourier ai lui f (P) in raport cu sistemul cpk (P), atunci a fortiori inegalitatea va avea loc

!H ~ t4Sj

Avem

~t&[/ (P)- St (/)]2 G (dl9) /

2 2,

unde 5 1 (j) este suma primilor termeni ai sene1 Fourier a func-· ţiei f (P). Din această inegalitate ţinînd seama că 2 este arbitrar· rezultă. închiderea sistemului cpk (P).

(104) Distanţa dintre elementele x şi

y se defineşte prin formula ~-----

p (x, Y)= V(x-y, x-y)= llx-y il =

vr~Ji

1

Xu-Ynl 2 •

(105)

202

FUNCŢII

DE

MULŢIMI ŞI

inegalităţile

In mod absolut analog cu

SPAŢIUL

INTEGRALA LEBESGUE

(67)

şi

(69) au loc ur-

Jtnătoarele inegalităţi:

~ XnY n

1 11=1

Vf.,

.

11=1

1

Xn+Y" 12

2 1

L

~

1

n=l

2

Xn [

~V f.,

11=1

1

e

f

1

11=1

Xn 12

Y11

1 ;

(

+V f., IY" n=l

1

2

(107)

•

Acestea se demonstrează la fel ca şi inegalităţile (67) Observăm că inegalitatea (l06) poate fi scrisă astfel

106)

şi

(69). (108)

Pentru distanţă, în baza relaţiei ( 107) are loc re aula triunghiului. Elemexi'tul ale cărui coordonate sînt toate egale ~u zero, se numeşte elementul zero al spaţiului. Spunem că şirul de elemente x\n) converge către elementul x dacă Jl x-x [[--+o. Fie x~z) coordonatele x(n) şi xk coordonatele lui x. Convergenta lui .x(rz) către x este echivalentă cu următoarele: co

jjx-x(lz)jj 2= 1;

Jxk-xtz>J 2 ~0 pentru

n-+

CXJ.

(t09)

k=l Indicăm acum legătura dintre spaţiile L2 şi 12 • Să luăm un sistem ortogonal şi normat, închis (81). Fiecărei funcţii f(P) din L 2 ii va corespunde un şir de numere complexe a,0 anume coeficienţii săi Fourier, seria construită din ak [2 fiind convergentă. Invers, fiecărei serii de numere complexe de acest fel îi corespunde, în baza teoremei 1 din [59], o funcţie determinată din L2 • In modul acesta, luînd un sistem oarecare închis (81) stabilim o corespondenţă biunivocă între elem2mele lui L 2 şi 12 • Fiecărui element din L2 îi ·corespnnde un element bine dderminat din 12 şi reciproc. Datorită faptului că coeficienţii Fourier ai unei combinaţii liniare finite de J

m

funcţii ~

Ck/k

scalare ale elementelor corespondente din L 2 şi ! 2 în corespondenţa indicată sînt aceleaşi. Normele elementelor, în baza ecuaţiei de închidere (98), sînt ele asemenea egale. Spaţiile L2 şi ! 2 sînt diferite ·realizări ale unui aceluiaşi spatiu abstract. Mai tîrziu vom studia proprietăţile acestui spaţiu abstract şi operatorii din el descriind acest spaţiu cu ajutorul unui sistem de axiome. Mai menţionăm noţiunea de şir fundamental în spaţiul / 2 • Spunem că şirul de elemente x este fundamental în ! 2 dacă pentru orice s pozitiv există ;un N astfel încît Jl x(n) ~x O elat, există

206

FUNCŢII DE MULŢIMI ŞI INTEGEA.LA LEBESGUE

V ARIET A ŢI LINIA RE 1N L2

o funcţie cp (P) continuă pe $ astfel încît 11 w-cp 11 L s. Se ştie căc pentru orice s0 > O dat există o mulţime închisă F aparţinînd lui ~0 astfel încît O (~ 0 -F) /' s5 [35J. Atunci 11

W&; 0

CJJp

11

2

= ~ [CJJ&;0 (P)- CDp (P)]2 G (d&) = &l

~

O (d&) = O (&0

şi, în baza inegalităţii 11 w&l 0 -cp 11 L 11 CJJ&lo- CJjp 11 + 11 CJJp -cp 11 este'· suficient să demonstrăm afirmaţia enunţată pentru funcţia caracte-· ristică a mulţimii închise mărginite F aparţinînd lui &. Să notăm cu r (P) distanţa de Ia punctq_J P pînă Ia mulţimea F. Avem r (Qt) L ?-r (Q)_+ QQtl şi r (Q) Lr (Q 1) + I.QQ 1 unde QQ 1 j este dis-· tanţa dmtre Q şi Q 1 , de unde rezultă continuitatea funcţiei r (P). Ma1 departe r ( Q)=O, atunci şi numai atunci cînd QEF [II; 89J. Este· uşor de văzut că wp (P) este limita şirului necrescător de funcţii;·, continue pe S 1

1

cpn (P) = 1 +r:r(P)

(113}

astfel încît 11 wp-cpn 11 ~O [541 pentru n-+ co şi, prin urmare, pentru~ orice s>O dat, există un n astfel încît 11 CJJp -cpn 11 L s, iar cpn (P)' este continuă pe $ şi prin aceasta, teorema este demonstrată. . Co!olarul 1. Limitîndu-ne pentru concretizare la cazul pla-· nuhu, sa presupunem că S este un interval închis Ll. (a 1 L x ~ b1 ;. a2 _:.: __ Y ./ bz). Pentru orice funcţie cp (x, y) continuă pe acest Interval putem construi un polinom p (x, y) astfelîncît cp (x, y)- p(x, y)i /-s0, pe Â, unde s0 este un număr pozitiv dat, arbitrar. Atunci i

1

, j[cp-pj[ 2 =

~$[/(x, y)-cpk (x,

prelungită~ pastnndu-se contmuitatea, Ia un interval închis Â, care să conţină~ pe F [IV; 157J. Pentru aceasta trebuie să ţinem seama că

jJ-:p-p

deo~rece o funcţte continuă pe

//~= ~F[cp (x,

y)-p (x, y)j20 (dF) /

densă

F poate fi

~icp (x, y)-p (x, y)]20 (dL\) ..

y)J2 O (d$)=

+ \J&l-&l _ [/ (x,

Â.

~n. l._?cul intervalului b. am. fi put~t lua şi orice mulţime închisă:

F,

peste tot

în L 2 pe b. sau pe F.

=-ce

~L\[cp(xSy)-p[(x, y)J20(dil)~-=-:s60(L\).

linealul polinoamelor este peste tot dens în L 2 pe V

mulţime

acestor polinoame este numerabilă. Să punem în. corespondenţă fiecărui polinom de aces! fel q (x, y) .~u­ mărul pozttiv cr= n+r-1-s, unde n este gradul lm q (x, y), r ftmd numitr rul comun minim al coeficienţilor săi (r se ia pozitiv) şi s - suma valorilor absolute ale numărătorilor din coeficienţii lui, aduşi la numitorul r [excepţie: dacă q (x, y):=O, îi punem în corespondenţă cr Oj. Se. vede uşor că numărul polinoamelor cărora le corespunde un acelaşi cr, este finit. Putem numerota toate polinoamele cu coeficienţi raţionali în ordinea creşterii numerelor cr care le corespund, ordinea polinoamelor cu acelaşi cr fiind indiferentă. Vedem că există o mulţime numerabilă de elemente din L 2 peste tot densă iri L 2 , adică L 2 pe  sau pe F este separabil. Să presupunem acum că $ este o mulţime · măsurabilă mărgi.., nită oarecare. Să luăm închiderea ei $. Aceasta va fi o mulţime închisă mărginită şi, după cum s-a demonstrat, în L2 pe "i există o mulţime numerabilă peste tot densă cpk (x, y) (k= 1, 2, ... ). Acestea vor fi funcţii din L2 pe 79 şi prin aceasta şi pe $. Să arătăm că cpk (x} y) sînt peste tot dense şi pe &. Să luăm o funcţie f(x, y) din L2 pe S şi s-o prelungim prin O pe ~- Ea va fi cli11 L2 şi pe ~ şi prin aceasta pentru orice s>O dat se va găsi o funcţie cpk (x, y) din mulţimea numerabilă amintită astfel încît

Tinind seama ~e faptul că 111-PIILI/f-cpll+ llcp-pll:unde· f(x, Y) ELz pe  Şl de teorema demonstrată, se poate afirma că.

m!lrg~mta

o

Să arătăm că mulţimea

&lo-F

1

Corolarul 2. Dacă p (x, y) este un polinom oarecare, atunci deoarece numerele raţionale sînt peste tot dense pe axa numerelor reale - există un polinom cu coeficienţi raţionali q (x, y) astfe] -încît pentru orice s0 >0 dat avem IP (x, y)- q (x, y) 1 L s0 pe .:.\ sau pe F. De aici rezultă imediat că polinoamele cu coeficienţi raţionali formează

F) "'/ s6 ;

-

~07

şi

~ 13 [/(x,

y)-cpk (x, y)J2 O (dg:1 )~·

y)-·cpk (x, y)]2 O (d~~)Ls

cu atît mai mult

~$ [ 1 (x,

y)-\Pk (x, y))2 O (d$) L s etc.

Separabilitatea lui L2 pe orice mai departe.

monstrată

mulţime măsurabilă

va H de--

FUNCŢII

20S

ce

DE

MULŢIMI ŞI

Să mai demonstrăm urmează.

o

INTEGRALA LEBESGUE

teoremă

ce ne va fi

necesară

INEGALITĂŢILE

în cele

Teorema 2. Dacă ecuaţia de închidere are loc pentru ancţiile unei mulţimi K densă fn L 2 , atunci ea are loc şi pentru orice funcţie din L 2 • Fie (P) un element oarecare din L 2 şi s un număr pozitiv dat. Deoarece K este densă în L 2 , există în K un element cp (P) astfel

j

f

încît 1 f- cp Il L -}-. Prin ipoteză, pentru cp (P) are loc ecuaţia de închidere şi deci se poate lua o sumă parţială sn (cp) a seriei Fourier a funcţiei cp (P) faţă de sistemul ortonormat de funcţii cpk (P) astfel încît

Il cp-sn (cp) Il L -j- ·

şi

11/-sn(/)i\ Ll[/-cpl:

209

Pentru a ne convinge de aceasta este suficient să determinăm pe Cn astfel, încît în membrul drept coeficientul lui xn să fie acelaşi ca şi Ia p (x). Apoi, trebuie să determinăm pe Cn-1 astfel, încît coeficientul lui xn·- 1 în termenul Cn-IPn-I (x) să fie acelaşi ca şi la p (x)-CnPn (x) etc. Coeficienţii ck din formula (114) sint evident egali cu coeficienţii Fourier ai lui p (x) faţă de pk (x). Din egalifatea (114) rezultă că în cazul sistemului ortogonal pk (x) ecuaţia de închidere este valabilă pentru orice polinom pk (x), iar de aici rezultă, în baza teoremei 2 din paragraful precedent, că sistemul de polinoame ortogonale este închis. Am văzut mai înainte că pe intervalul [ -l, +l] pentru sistemul ortogonat.

Ţinînd

seama de egalitatea / -Sn (/) = (f-cp )+(cp-Sn (cp ))+(sn (cp)- Sn (/)) de regula triunghiului, obtinem

LUI HbLDER ŞI MINKOVSKI

. nrr.x sm - -;

1

ecuaţia

cos nrr.x - 1-

(

n=O, 1, 2, ...

(115)

orice runcţie continuă este inchis în L 2 • Tot astfel, pe intervalul [0, l] vor fi închise sistemele ortogonale de

+ \!cp-sn(cp)l + ilsn(cp)-sn(/)1\

de unde

satisfăcută pentru rezultă LDER ŞI MINKOVSKI

pentru

şiruri

partiţii

de

213

Lebesgue,

obţinem

•

Membrul drept este sumabil prin ipoteză, de aceea şi produsul f(P)g(P) este o funcţie sumabilă, adică dacă f(P)ELp şi g(P) EL~ atunci produsul f(P) g(P) este o funcţie sumabilă (teorema 1 din [55]). Pentru integrala acestui produs are loc inegalitatea lui Holder analogă cu inegalitatea (67) din [55] 1

rezultă direct (124). mai demonstrăm inegalitatea analogă cu inegalitatea (69) din [55]. Mai întii să examinăm cazul sumelor. Fie ca şi mai înainte ak şi bk şiruri de numere pozitive. Insumînd în raport cu k egalitatea evidentă

de unde Să

1

p

(a.~c+ bk)P = (ak+ bkl- a').

Dar în baza devine

k

acum numerelor

relaţiei

k

•

1

1

Impărţind ambii membri pătrate, ajungem pentru sume

inegalitate a lui Holder

Să notăm cu mk n marginea superioară exactă a valorilor produsului 1f 11 g 1 pe ' (~~n>). Avem evident inegalitatea mk, n / ~mk,nm~, 11 şi din (125) rezultă 1

CEk m'P n m (~)fP- {~k m?', m (~in>))jj'. k

Il

1

1

1

(~(ak+bk)P)P L(~ a~)P + (~b~)Ji. k

k,

1

prin factorul din faţa parantezelor la inegalitatea lui Minkovski

1

(125)

1

ultima inegalitate

~k (ak+bkt L(:E (ak+ bk)P/- 1J [(~a~)li+ ( ~br) 11 ]. . k k k

1

ak==mk,n mP ($~n)) şi bk= mZ, n mp; (~}n))

~k mk' n m (~Cn>) L k -

şi

(117), p'=p:(p-1)

k

k

(127)

Din această inegalitate rezultă absolut Ia fel ca mai înainte, inegalitatea integrală a lui Minkovski pentru f(P) şi g(P) ELp

214

FUNCŢII

dacă ţinem seama că ll+gl

L-/

III+ JgJ.

Inegalităţile (127) şi (128)

au fost deduse în ipoteza că p > 1. Ele sînt evidente pentru p = 1, dar încetează să fie valabile pentru p < 1. Folosind inegalităţile deduse, putem demonstra uşor pentru familia de funcţii Lp (p > 1) acele proprietăţi pe care le-am enunţat mai înainte pentru L 2 (considerăm funcţiile complexe). Să enumerăm aceste proprietlţi [55]. Dacă

f

INTEGRALA PE O MULŢIME DE MASURA INFINITĂ

DE MULŢIMI ŞI INTEGRALE LEBESGUE

(P) ELp

şi

g (P) ELp' (p

215

--------------

şi distanţa

dintre

două

elemente o(1, g) = 111- g Il, avînd loc ega-

litatea 11 el (P) 11 şi

=

1c III 1 (P) 11

regula triunghiului. Să

mai

demonstrăm

că

dacă

q

>p

şi

1 (P) ELp,

atunci

t(P) ELp.

Prin

> 1),

atunci I(P) şi produsul I(P)g(P) sînt sumabile pe t9. Aceasta din (124). Dacă I(P) şi g(P)ELp şi c este o constantă, atunci

ipoteză

rezultă

el (P)

şi

I(P)+ g(P) ELp

Ceea ce rezultă din (128). Se spune că şirul de funcţii In (P) din Lp converge în medie în Lp (p ~ 1) sau converge în medie cu indicele p către funcţia I(P) din Lp dacă

r 1f(P)- In (P) lp o (dt9) =0. n-+oc)$ Iim

(72),

~$1 In (P)-1m (P) IP O (dS) L

S

Iim~

ln(P)gn(P)G(dS)=

Mai departe, în Lp poate fi

introdusă

~

I(P)g(P)O(dS). &!

norma (p

~-

~ 19 ( i f ( P)

~

+ f

> 1)

II(P)IPO(dS)+ 1

~ 1)

II(P)JPO(dS)L-~~G(dS)+~$11(P)IqO(dt9)=0(S)+A,

(P) 1

rezultă că 1 (P) ELp. In demonstraţie am folosit faptul că O (S) a mulţimii S este finită. lnsă în Lp (pentru p :j:. 2) nu avem produsul scalar pe care

de unde măsura

l..-am avut în L2 • Absolut analog lui 12 putem introduce spaţiul 1P ale cărui elemente sînt şiruri infinite de numere complexe (x1 , x 2 , ••• ) astfel încît seria formată din xk IP este convergentă. El se bucură pentru p ~ 1 de proprietăţi analoge cu proprietăţile lui 12 , absolut la fel ca mai înainte pentru Lp faţă de L2 • In lp(p;;C-2) nu există produs scalar şi nu există acea legătură cu L P pe care am stabilit-o între 12 şi L2 • Inegalităţile (106) şi (107) se înlocuiesc prin inegalităţile (122) şi (127) în care ak= lxk 1 şi bk= 1y~ 1· 63. Integrala pe o mulţime de măsură infinită. Pînă acum am examinat integrala pe o mulţime măsurabilă S de măsură finită. Extinderea la cazul mulţimilor de măsură infinită se face în -esenţă la fel cum am făcut la definiţia integralei Riemann pe interval infinit. Fie dată pe o mulţime măsurabilă S de măsură infinită, o funcţie măsurabilă şi pozitivă I(P). Să considerăm un şir infinit crescător de mulţimi de măsură finită 1

pentru n şi m ~ N şi proprietatea şirului 1n (P) de a fi fundamental în Lp constituie o condiţie necesară şi suficientă pentru ca acest şir să fie convergent în medie către o funcţie din Lp (p '----- 1). Dacă ln(P)--+I(P) în Lp şi gn(P)--+g(P) în Lp•(p>1), atunci n-+oo $

integrala

~~\I(P)IPO(dt9)=

$ (1

Limita în medie în Lp este unică cu aproximaţia funcţiilor echivalente. Dacă In (P)--+ I(P) în medie, atunci din şirul In (P) se poate extrage un subşir lnk (P) care converge aproape peste tot pe S către I(P). Un şir fundamental este definit printr-o condiţie analogă relaţiei

Să considerăm

(p ~ 1).

1)

( 129)

FUNCŢII

216

DE

MULŢIMI ŞI

INTEGRALA PE O MULŢIME DE MASURA INFINITA

INTEGRALE LEBESGUE

pentru care ~ este mulţimea limită. Putem construi mulţimile ~n de exemplu, ca produs al mulţimii ~ cu intervalele Ân ( -n ~ x L- + n ; -n .L..y ~ +n). Pentru mulţimile mărginite există integralele

~ ~n f(P)G(d~),

(130)

care în baza pozitivităţii lui f(P) nu descresc cînd n creşte. Limita şirului monoton (130) o vom numi integrală a lui f (P) pe ~:

~ f(P) a(d~)= ~

Iim n-+oo

~ f(P) G(d~). ~n

mulinte-

Vom face demonstraţia prin metoda reducerii la absurd. Fie, în afara şirului de mulţimi (129), un alt şir crescător de mulţimi de măsură finită: ~~ c ~2 C ~3 c . . . avînd mulţimea ~ ca mulţime limită şi asfel încît avem limite diferite ale şirului de integrale (130) pentru mulţimile ~n şi ~~ (132)

n-+ao ~n

Numărul

a este în orice caz iinit

~&~

f(P) G (d~) .L.. a

şi

avem

(n=1, 2, ... ).

n

(133)

Să

presupunem mai întîi că şi numărul b este finit. Alegînd numărul pozitiv c < b - a, putem fixa o valoare a numărului pozitiv m astfel încît

~ , f(P) a (d~) > a+c. ~m

lui

f

(P),

~ f(P) a (d~)

(135)

.L.. a.

s~~n

Să considerăm mulţimile ~~ ~n. Cînd n creşte, ele cresc şi, ~n mulţimea limită este ~' pentru mulţimile ~~ ~n mulţimea limită va fi ~:n de unde rezultă că

deoarece pentru

,

Iim

integralele (130) pot fi egale şi cu ( + oo ). Atunci şi integrala lui f (P) pe ~ este evident egală cu (+ oo ). Se poate întîmpla ca toate integralele (130) să fie finite, iar integrala pe ~ să fie egală cu + oo. Pentru a justifica definiţia dată mai înainte integralei trebuie să arătăm că limita şirului numeric ( 130) nu depinde de alegerea şirului monoton crescător de mulţimi ~n.

Iim~ f(P)a(d~)=a şi

pozitivităţii

a (~~- ~:ntf,n) = o.

(136)

(131)

Observăm că

Teoremă. Pentru orice alegere a şirului crescător de ţimi măsurabile ~n de măsură finită care tinde către ~' gralele (130) au aceeaşi limită.

In baza

217

(134)

Deoarece b este finit, f (P) este sumabilă pe ~~ formulei (136) şi a continuităţii absolute a integral ei lui

J~~ ~

f(P) O (dtf,)

=

~ &~~~ /

(P)

şi,

f

in baza

(P), avem

a (d~)

s~sn

iar aceasta contrazice inegalităţile (134) şi (135). Dacă b=+oo, atunci în locul lui f(P) vom lua [/ (P)JN , alegînd pe N şi pe m atît de mari incît să aibă loc inegalitatea

~~, (f(P)]N a (d~)>a+ 1. m

Conform

relaţiei

(133) vom avea de asemenea

~ !f(P))N a (d~) ~a. ~~~n Raţionamentul de mai înainte ne va duce la o contradicţie şi astfel teorema este demonstrată. Dacă valoarea integral ei unei funcţii pozitive f (P) pe ~ este finită, se spune că f (P) este sumabilă pe ~. Din această definiţie şi din definiţia dată mai înainte rezultă direct că f (P) este sumabilă şi funcţia pozitivă cp (P) verifică pe ~ inegalitatea cp (P) .L.. L-f(P), atunci şi cp (P) este sumabilă. Să considerăm acum o funcţie măsurabilă pe ~ care poate să-şi schimbe semnul şi s-o descompunem în părţile pozitivă şi negativă

f (P) = f+ (P) - j - (P).

(137)

FUNCŢII

218

Funcţia f(P) şi

DE

MULŢIMI ŞI

INTEGRALA PE O MULŢIME DE MASURA INFINITA

INTEGRALE LEBESGUE

se numeşte sumabilă dacă sînt sumabile j+ (P) defineşte prin formula

De aceea cu atît mai mult

j- (P). Atunci valoarea integral ei se

~gjf(P)=~~f+(P) G(dS)- ~~j-(P) G(dS).

m k=l

ceea ce contrazice a1c ~O.

Să

'E ak,

k=l

presupunem acum

că

In acest caz vom avea pentru un m oarecare fix

Putem alege acum un s atît de mare încît

să

avem

m

~a~)>

simplă.

a.

k=l

Lemă. creşte şi

oo

~ aK>

(138)

Dacă numai una dintre funcţiile /+ (P) şi j- (P) este sumabilă, atunci, ca şi în [52], integrala lui f(P) va avea sens, însă valoarea ei va fi (+ co) sau (- oo ). De cele mai multe ori, mulţimea s pe care se face integrarea este întregul plan, sau întreaga dreaptă, sau în general intregul spaţiu n-dimensional. Pentru integrarea pe o mulţime măsurabilă de musură infinită este valabilă teorema din [52] şi proprietăţile 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 şi 10. Vom demonstra numai aditivitatea completă şi continuitatea absolută. Demonstraţia teoremei şi a celorlalte proprietăţi este foarte simplă. In prealabil vom demonstra următoarea Iemă

219

Dacă

Iim S-7

numerele pozitive aks) nu descresc cînd s at unei notînd

a~s) =a k

QO

QO

a(s) =

~

a(s)'

k=l

k

avem QO

Iima(s)= S~oo

L

a1,_.

(139)

k=l

Să demonstrăm prin metoda reducerii Ia absurd. Menţionăm suma scrisă poate avea valoarea (+ co ). Notind cu a limita lui a(s) vom presupune mai întîi că

că

Pentru valori s suficient de mari vom avea a(s) > c, unde c este suma seriei (139) şi fixînd un astfel de s, putem indica un m atît de mare încît m

~ a~s) k=l

oo

>~

k=l

ak.

Suma finită scnsa este evident L a

gralei pe s e nefiind mai mare decît ; pentru eE & şi O (e) .c: TJ. Ţinînd seama de (140) putem afirma acelaşi lucru şi pentru integrala pe (&-s) e de unde rezultă că valoarea absolută a integralei pe e nu este mai mare decît 2, dacă e c & şi G (e) .c: r;, ceea ce demonstrează continuitatea absolută a integralei. Teoremele 1, 2, 3, 4 din [54] se extind şi ele fără dificultate la cazul unei mulţimi & de măsură infinită. Ca exemplu să demonstrăm teorema 1. Fie E un :număr pozitiv dat. Alegem un m atit de mare încît să aibă loc inegalitatea F(P)G(d&).C:s.

(141)

$-&;(m) Evaluăm

apoi integrala

~(1-ln)G(d&)l

1

&;

LI ~

diferenţei

f (P)·- fn (P):

(1-ln)G(d&)

&j(m)

1

+

1

~

(1-ln)G(d&)l·

&;-&;(m)

Pe mulţimea &-sCm) folosim evaluarea 1f-frzl (141) obţinem

(142) .c: 2F şi în baza

relaţiei

~ 1

(1-ln)G(d&)l .C:

&;-&;N

221

primul termen din membrul drept (142) .C: s. In modul acesta obţinem

ceea ce, ţinînd seama că 2 este arbitrar, demonstrează teorema. Absolut analog se demonstrează şi celelalte teoreme din [54j.

64. Clasa L 2 pe o mulţime de măsură infinită. Conclasei L2 şi teoria funcţiilor ortogonale se extind fără dificultate la cazul unei mulţimi & de măsură infinită. Spunem că funcţia f (P) pe mulţimea & de măsură infinită aparţine lui L 2 dacă ea este măsurabilă pe i0 şi pătratul ei 12 (P) sau pătratul modulului ei 1f (P) 12 este o funcţie sumabilă pe i0. Toate teoremele din [55] în afară de teorema 1, rămin valabile. In teorema 1 am folosit în mod esenţial faptul că măsllra lui t9 este finită. Se poate da uşor un exemplu de funcţie aparţinînd lui L 2 care să nu fie suma bilă. De exemplu, funcţia _! aparţine lui L2 pe intervalul [ 1, co j X deoarece _2_ este sumabilă, însă funcţia .l însăşi nu este sumabi!ă. X2 X In afară de aceasta, noi am folosit în demonstrarea teoremei 8, faptul că măsura lui ~ este finită. Să arătăm că această teoremă rămîne valabilă şi în cazul în care măsura lui t9 este infinită. Să presupunem pentru concretizare că 0 este întregul plan &co. Fie şirul fundamental In (P) (n = 1, 2, ... ) de funcţii aparţinînd lui L 2 pe &co. Fie Llm intervalul definit de inegalităţile: - m.C: x L m, -m .C: y .C: m. Funcţiile frz (P) aparţin lui L2 şi şirul corespunzător este fundamental pe fiecare Llm deoarece integrala unei funcţii pozitive pe Llm nu este mai mare decît integrala aceleiaşi funcţii pe întregul plan. Din teorema 8 [56] rezultă că se poate extrage din şirul In (P) un subşir ~~~> (P), ~~~~> (P), f~1a> (P), ... , care converge aproape peste tot pe Ll 1 • Din subşirul menţionat putem extrage un nou subşir 1~:> (P), !~;) (P), ... care converge aproape peste tot pe L\. 2 şi aşa mai departe. Este uşor de văzut că subşirul ~~~:> (P), 1~:> (P), ... converge aproape [peste tot pe & [IV; 15]. Fie 1 (P) funcţia limită pentru aces1 subşir. Datorită faptului că şirul fn (P) converge în sine pe t9co pentru orice s pozitiv dat, există un N astfel încît strucţia

fG (d&).

In baza continuităţii absolute a integralei pe mulţimea s de măsură finită există un TJ O, astfel încît valoarea absolută a inte-

~

MULŢIME

~&; fffzi(P)-·fn(P)J2G(d&).C:s pentru n~k) şi n>N. co

222

FUNCŢII

Făcind

pe k

DE

MULŢIMI ŞI

să tindă către

obţinem

infinit.

~&lce [/ (P) -In (P)]2 O (d$) ~ s ceea ce încît

teorema 8. ~ce şi se

demonstrează

Dacă

f

(P) EL 2 pe

~

o

CLASA L2 PE O MULŢIME DE MASURA INFINIT Ă

INTEGRALE LEBESGUE

şi

ca

Să arătăm acum că linealul funcţiilor continue cp (P) egale cu · zero în exteriorul unui interval finit [(diferit pentru diferite cp (P)J, este peste tot dens în L2 (~ce)· Acest lineal se numeşte de obicei linealul funcţiilor con-

în [56}

n> N,

pentru

tinue finite. dă s 0

> O,

există

un N astfel

s5.

/ 2 (P) G (d&J)

&lce-11N Să şi

definim funcţia 1jJ (P) în modul următor: 'tjJ (P) = f (P) în ÂN 'lV (P) = O în exteriorul lui ÂN. Este evident că 'tjJ (P) EL 2 (~co),

rezultă

iJ'-1vll~co ~ ~ [f(P)-1IJ(P)J2G(d~)= &lce

~ j 2 (P)G(d~)-Ls6,

~oo-11N

şi

de aici se vede că linealul funcţiilor 'iJ (P) diferite de zero numai pe un interval finit, este peste tot dens în L 2 (&1co), adică în L2 pe ~ce. Să demonstrăm separabilitatea lui L 2 (~oo). Pe Âm (m = 1, 2, .•. ) există, după cum s-a demonstrat mai înainte o mulţime peste tot densă înL 2 de funcţii Cf!k,m(P) (k, m=l, 2, ... ).Prelungim aceste funcţii cu zero pe ~oo • Obţinem astfel o mulţime numerabilă de funcţii cpk (P) din L 2 (t0co) . Este uşor de văzut că ele sînt peste ,m tot dense în L2 (&'>oo)· Intr-adevăr, fie f (P) EL 2 (~co) şi un 2> O dat. Atunci există un m0 astfel încît

Fie

f

>

(P) EL 2 (~ce) şi e. O dat. Să arătăm că există o funcţie cp (P) astfel încît 11 f-cp ll&loo ~ s. După cum am văzut

continuă finită

mai înainte, există un m astfel încît 11 f ll@oo-Llm L -~- · Fixînd acest llm, putem afirma că există o funcţie cp (P) continuă în D-m astfel încît 6 11 f-cp 11 11 L 2 • Să notăm M= max 1 cp (P) J. Luăm un h >O m

PE11m

oarecare; punem cp (P) =O pe frontierea lui Âm+tz şi prelungim pe cp (P) pe întregul interval b.m+tz , păstrînd continuitatea şi fără a mări max cp (P) [IV; 157]. In exteriorul lui l::im+tz punem cp (P) =O astfel încît cp (P) să fie o funcţie continuă finită. Tinînd seama de cele arătate mai înainte, rezultă 1

Jnsă

11

1

cp 11~0 dat, există un >O, astfel

!1/(x-t-h,

241

CONTINUITATEA IN MEDIE

(163)

lll(x+lz, y+k)-r:p (x-th, y+k) ll~o =

= \ ll(x+h, y+k)- cp(x+h, y+k)IPdxdy,

Jlio

sau

lll(x+h, y+k)-r:p (x+h, y+k) ll~o

l1

~ 0

=

11 (x, y)-cp (x, y) IP dx dy,

(h, k)

unde .:10 (h, k) este un interval care se obţine din .:10 printr-o. translaţie cu vectorul (h, k). Considerînd de exemţlu că h Şl k>O, obţinem

lll(x+h, y+k)-cp (x+h, y+k) ll~o =

+

~

1

r:p (x, y) IP dx dy

+ ~

a 1+h:::;>:::;:b 1+h, b 2 ~y~b 2 +k 16 - Curs de mqtematici superioare vol. V

11 f 1

(x, y)-r:p (x, Y) 11~,

cp (x, y) \P dx dy

b1~x:=;b1+h

a 2 +k~y~~b2

+

FUNCŢII

242

DE

MULŢIMI

ŞI

FUNCŢII

INTEGRALA LEBESGUE

Să

unde Â' este o parte a lui Â0 , astfel încît 11/(x, y)-cp (x, y) IIA,L: · Ultimele două integrale tind evident către zero cînd Iz şi k-+ O şi, prin urmare, există un 1J2 >0 astfel încît 11 f (x+h, y+k)-cp (x+h~ y+k) ll~o L

unde 1J=min('l} 11

1) 2).

Din (163)

pentru

llz 1 şi 1k IL1J,

următoarea notaţie

Funcţia wQ însă

se

bucură de aceleaşi proprietăţi diferenţiale şi

wQ = O pentru r::::::,.p

~ wQ (x, y; ţ,

pentru

1Iz 1 şi

1k 1L 1)

243

( 165)

obţinem

\lf(x+h, y+k)-f(x, y) IIAo L s şi

;

introducem acum

MEDII

'YJ)

dx dy = p2 •

ca

şi w 1,

(166)

Vom indica mai departe una dintre posibilităţile de alegere a w1 (P; Q) [IV; .157]. Vom nota cu simbolul CQ (ţ, 'YJ) în cele ce urmează cercul cu centrul (ţ, r;) şi raza p. Introducem de asemenea următoarea notaţie

funcţiei

cu atît mai mult pentru

llf(x+h, y+k)- f(x, y) 11$ La

ceea ce trebuia demonstrat. Teorema poate fi demonstrată surabile nemărginite.

1h 1

şi

1 k 1 L 1),

(167) şi

pentru cazul unei

mulţimi mă­

71. Funcţii medii. Vom introduce un proces de mediere pentru orice funcţie sumabilă f (P). Acesta va duce Ia un şir de functii care vor avea derivate de toate ordinele şi vor tinde într-un anumit sens către f (P). Pentru concretizare vom considera cazul pla... nu!ui şi în locul punctelor vom introduce coordonatele lor. Fie w 1 (P; Q) = w 1 (x, y; ţ, '1/) o funcţie dependentă numai de distanţa.

r= PQ = 1

1

de unde (168) Fie o funcţie sumabilă ! (x, y) într- un domeniu D 0 mărginitJ deschis sau închis (in locul domeniului am fi putut lua orice mulţime măsurabilă mărginită). S-o prelungim prin zero pe întregul plan şi să construim din ea funcţia medie

V(x-ţ) 2 + (y-'1}) 2

!Q (ţ, r;)

egală

=

_ţ ~! (x, y) wQ (x, y; ţ, p

r;) dx dy.

(169)

cu zero pentru r :::::::". 1, continuă şi avînd derivate continue de toate ordinele în raport cu toate cele patru coordonate. Menţionăm că derivarea lui w 1 (P; Q) în raport cu x şi y poate fi înlocuită prin derivarea după ţ şi 1), schimbînd semnul rezultatului. Vom presupune în afară de aceasta că

pozitiv p se'':numeşte, de obicei, rază a medierii. Funcţia de sub semnul integralei este egală cu zero în exteriorul cercului CQ (ţ, 1J) şi dacă distanţa d de Ia punctul (ţ, r;) pînă la D 0 este mai mare decît zero, atunci fQ (ţ, 1))=0 pentru p L d.

~wdx, y; ţ, 1J)dxdy=1.

Teoren1a 1. Funcţia fQ (ţ, 'YJ) este continuă şi are derivate parţiale continue de orice ordin în întregul plan. Ţinînd seama că wQ depinde numai de diferenţele x- ţ şi y -1), ·avem

(164)

Nu scriem domeniul de integrare, presupunînd că integrala se ia pe întregul plan. In baza celor arătate mai înainte, integrarea se face, de fapt, pe cercul (x-ţ)2+(y-1))2

Dacă

L 1.

în formula (164) integrarea după (x, y) se integrarea după (ţ, 1)), rezultatul va fi acelaşi.

înlocuieşte

prin

Numărul

1/Q(ţ+h,

1J+k)-fQ(ţ,

'1/)IL

L-ţ ~ 1 f(x, y) 11 wQ (x-h, y-k; ţ, 1))-wQ (x, y; ţ, 1)) 1dxdy. p

•

(170)

244

FUNCŢII

DE

MULŢIMI

ŞI

FUNCŢII

INTEGRALA LEBESGUE - ---·----------------··

·-~------·-----

Din continuitatea uniformă a lui wQ ca funcţie de x, y, pentru orice e>O dat, există un 1)>0 astfel încît

ţ,

1J,

rezultă că

1wQ (x-Iz, y-k; ţ, 1))- wQ (x, y; ţ, 1)) 1 / s pentru 1h 1 şi 1k 1~ 1J şi,

prin urmare 1/Q (ţ+/z, y+k)-fQ (i;, '1/)I 1, atunci în locul inegalitătii lui Buniakowski trebuie să folosim inegalitatea lui Holder şi formula

(178)

Atunci inegalitatea (178)

y)\ 2dxdyLm.

!4 ~w~(x,y; ~, 1J)dxdy·~\f(x,y)\ 2 dxdyL~;1tm.

(177\

+ v) [2 d!;d7J] du du.

~lf(ţ, Î7)-/(~+u, 1J+v)l 2 d~d1JLs, dacă

pozitiv m astfel încît pentru toate

/ ; ~lwQ(x-h, y-k; ţ, 1))-CJJQ(x, y; ~' 1J)\2dxdy

2

",j"') ~

număr

\fQ (~+h,

c:; H",JL,,l /(~, '1)-/ (~+u, '1 +v) [ ductv] dl;d'l').

11/-!, 1 2 L ~;~

un

(x, y) din U

Rămîne să demonstrăm continuitatea egală. Aplicăm membrului drept al formulei (170) inegalitatea lui Buniakovski şi folosim relaţia ( 179)

/(~+ u, 1J+u) 2 du du.

Ca rezultat formula (176) dă

11/-!, 11 2 L

ipoteză există

Aplicind membrului drept al formulei (169) inegalitatea lui Buniakovski obţinem

Insă CJ.); ~ C 2 ( C2 - constantă independentă de p) şi, prin urmare, membrul drept nu depăşeşte

~

f

~Dolf(x,

u2+v2 ~ Q2

c2 np 2

247

MEDII

Iim Q-+0

~ 1 f(x, y)- f (x, Q

y)

\P dxdy =0.

Are loc şi teorema straţia rămîne valabilă şi

(181)

3 dacă schimbăm pe L2 cu L P • Demonîn cazul în care D0 este o mulţime măsu­ rabilă nemărginită, de exemplu, întregul plan t9 Folosind teorema 3 se poate arăta uşor că linealul funcţiilor finite continue, cu derivate continue de toate ordinele, este peste tot dens în Lp (~'c.o)· 00 •

·

(180)

FUNCŢII

248

DE

MULŢIMI

ŞI

FUNCŢII

INTEGRALA LEBESGUE

~enţionăm

de a_semenea, că toate cele expuse mai înainte au !oc. attt pentru spaţtul L p real, cît şi pentru unul complex. Mai mamte am examinat funcţ~ile medii în ipoteza că f (x, y) EL P (p ~ 1). Să PŢesupun~~ acum ca f(x, y) este continuă într-un domeniu ~eschts .Pa şt fte D' un domeniu închis fix arbitrar, situat în intertorul ~Ul ~Do·. In. baz~ c_onti~uităţii _uniforme a lui f (x, y) în orice domemu mchts sttuat m mtenorul lUt D 0 pentru c>O dat există un 1J>O astfel încît ' lf(x, Y)-f(~, 7J)I.Ls, d~că.

(x, ):') ECQ (~, 1}) pentru p .L 1} Dm megahtatea

şi (~,

1J) un punct arbitrar din D'.

lf(~, 1})-fQ(~, 7J)I.L

.LP~ ~lf(~,

1})-f(x, y)JlwQ(x, y;

~'

7J)Jdxdy

obţinem

lf(~,

1})-fQ (~, 7J) 1 .L sC pentru p .L 1}

şi

(~,

7J) ED'.

(182)

de ~ceast~ funcţia. f (x, y) are în D0 derivate pma !a un. anumtţ ordtn~ atunet, înlocuind in formula (172) d:n:rar.ea dupa ~ Şl ~ ?~m den~aŢea după x şi y, integrînd prin p_arţt şt folosmd propnetaţtle funcţtet c.uQ, obţinem pentru (E 1}) ED' şt pentru p suficient de mici ·' .Dacă ~ î~ afară

co~tmue

akJQ (~. "fi) a~P BTJq

1 =

p2

r ;;k j(x, y) J-;:-xP a} q

(l)Q

(x, y; ~' 1}) dx dy

249

MEDII

-----------------------------

Mai observăm că dacă f(x, y) este mărginită f (x, y) .L m, atunci lfQ (~, 'Y)) 1 .L ~- ~ 1 f (x, y) Il wQ (x, y; ~, 'Y)) 1 dx dy .L Cm. ( 184) 1

Teorema 5. Dacă F (x, y) este suma bilă pe orice domeniu tnchis D' situat în interiorul lui D 0 şi se bucură de proprietatea că (185) \ F (x, y) cp (x, y) dx dy=O jDo

pentru orice alegere pînă la un ordin l unui domeniu închis echivalentă cu zero . Este suficient si că relaţia ( 185) are

.derivata funcţiei medii este egală cu funcţia medie a dertvatet pentru (~, 1}) ED' şi p suficient de mic. Obs:rvăm. c~ în condiţiile menţionate wQ (x, y; ţ, 1J) este egală ~u zero m v~cm

"fl) = { C0 l;.:._ ·1 O

1

pentru

r< 1

pentru r ::::::".1

[r2= (x-~)2+(y-1})2],

(187)

250

FUNCTII DE

MULŢIMI

ŞI

INTEGRALA LEBESGUE

unde constanta C0 este aleasă astfel încît este îndeplinită condiţia (164). Existenţa derivatelor continue de toate ordinele pentru r< 1 şi r> 1 este evidentă. Pentru r ~ 1 din partea valorilor mai r2

mici l - 1~ O. Prin inducţie se verifică uşor că deriva ta de orice ordin pentru r0 pentru r)= ~cp (&>k) (aditivitatea completă). Vom studia acum proprietăţile funcţiilor complet aditive care nu sînt date sub formă de integrală nedefinită, ci într-un mod oarecare. Aşadar. fie c;:: (~) care ia valori reale finite pentru mulţimi aparţinînd une1 farrulu C de mulţimi dintr-un corp închis de mulţimiv T, vcare conţ_ine t~ate mulţimile închise şi deschise. Presupunem ca daca @ aparţme luz C,

atunci şi orice parte a lui $, care aparţine lui T, aparţine şi lui C. In afară de aceasta presupunem că cp (&>) este complet aditivă, adică dacă @ apartinind lui C este împărţită în mulţimi @~;,; fiind din T şi deci din C (2)

atunci

(3)

FUNCŢII

252

DE

MULŢIMI.

CONTINUITATEA

FUNCŢII

ABSOLUTĂ

. Dacă numărul termenilor este infinit, seria scrisă trebuie să fte absolut conver~entă. In cazul formulei ( 1) drept corp T serveşte corpul La şt familia C constă din acele mulţimi S din La pe care f (P) este sumabilă. Cel mai important pentru cele ce u_rm~ază va fi c~z~l în ~are C constă dintr-un S0 aparţinînd lui La ŞI dm ~cele mulţ1m1 S dm La care aparţin lui &0 • Atunci C însuşi este evtden t un corp închis. ~?servăm că dacă cp (S) este definită pentru mulţimile din T ap~rţt~md, de exemplu, unui interval închis Â, atunci ea poate fi deftmta pentru toate mulţimile S din T cu ajutorul formulei cp (S)-=cp (SÂ).

(4)

Atunci ea va lua valori finite şi va fi complet aditivă pe mtre~ul corp _T. In ~ele ce urm~ază, cînd vom vorbi de cp (&;), vom constdera destgur ca sec. In VIrtutea aditivităţii trebuie să avem cp (&)=O dacă S este mulţimea vidă. Din aditivitate rezultă imediat că dacă &;' şi &" aparţin lui C şi &' c &" atunci

.

(5)

Mai departe, din aditivitatea completă rezultă că dacă S (n = 1 ~ 2? : .. ) este ~n şir monoton de mulţimi din C şi dacă mulţi~ me~ J~mtta S aparţ~ne şi ea lui C, atunci cp (&n)-+ cp (&). In cazul unut ştr nedescrescator de mulţimi, avem

s =&1 +(&2-&1)+(&3-&2)+ ... în virtutea aditivităţii complete, cp (&) = cp (& 1 ) + [cp (&2)- cp (& 1)] + --1: fcp (&3)-'fl (& 2)) + .... , adică cp (&n)---+ cp (&). In cazul unui şir necrescator &n demonstraţia este analogă, însă S aparţin obligatoriu lui C.

şi

Observăm că combinaţia liniară finită

C1cpţ{S)+c2cp2

complet aditive este evident o fun~ţie complet aditivă. trecem la demonstraţia teoremelor fundamentale ale teoriei: Te?rema. 1: Valorile lui cp (&) pentru toate submulţimile s ale unet mulţtmt oarecare &1 din C sînt mărginite în valoare absolută printr-un acelaşi număr. Demonstrăm prin metoda reducerii la absurd. Dacă nu este aşa, atunci există o mulţime &2 c &1 astfel incît 1 cp (&2 ) 1 ~ 2 şi 1 cp (&1-& 2) 1 ~ 2. Aici trebuie să ţinem seama că cp (s 1) = cp ($2) + cp (s 1- $2)

de

Să

funcţii

(&)+ ... +cPcpp (&)

253

ADITIVE DE MULŢIMI

şi că nemărginirea unui termen implică nemărginirea celuilalt, fiindcă cp (& 1) este un număr dat. Pentru &2 sau &1-& 2 teorema nu este adevărată. Putem considera că ea nu este îndeplinită pentru &2 şi există o mulţime &3 c& 2 astfel încît cp (& 3 ) ~ 3 şi cp (&;2-&3) ~ 3 1

1

1

1

etc. Avem: &1 ~ 02 ~ &3 •.. şi notînd S = &102 ••• , avem, in virtutea celor arătate mai înainte, cp (Sn)---+ cp (&) ceea ce este absurd deoarece cp (&n) cresc nelimitat în valoare absolută, şi astfel teorema este demonstrată. Să

Fie o o partiţie a lui S într-un număr finit de mulţimi &Jc. scriem suma (6) to = 1: 1 cp (Sk) 1 k

şi să arătăm că mulţim =-a va1orilor lui to pentru orice

o este

măr­

O'inită. Fie &[, suma acelor t9k pentru care cp (Sk) ~O şi && suma ~celor &k pentru care cp (&Jc)(S)+cp(S)J;

şi ţinînd

255

~

în

părţi

Sk.

Să

scriem seria

şi să arătăm că S = cp (&). In primul rînd, să arătăm că S< + co. Intr-adevăr, dacă s-ar întîmpla ca S = co atunci printr-o alegere adecvată a lui ek c ~k suma

+

'E cp (ek) ar putea lua valori oricît de mari. Dar această sumă este egală cu cp (e) unde

Analog, şi variaţia negativă este complet tutea lui (1 O) este complet adi ti vă şi variaţia arată că

orice funcţie complet

aditivă

este

aditivă, deci în virtotală. Formula (11) o diferenţă de funcţii

pozitive con~plet a~iţi_ve. Obs~rvă~ că dacă în ~alc~tu!r~a sumelor.(~) am fi folostt part1ţ11 ale Im S mtr-un numar mflmt de mulţtmt, atunci am fi obţinut marginea superioară de mai înainte. Orice punct (mulţime închisă) aparţine lui T. Dacă ~EC atunci orice punct P din & aparţine lui C şi putem vorbi de valoarea cp (P) a funcţiei cp (&) în punctul P. Daca cp (P) ;t:O punctul P se numeşte punct de discontinuitate a lui cp (&). In caz contrar, el se numeşte punct de con~i~uiţate a lui VCf! (~). Dacă J (P)~O, atunci ?in defi: niţiile date mat mamte rezulta ca cp (P) = cp (P) Şl cp (P) =O, tar daca q; (P) ELa şi f(P) =0 în punctele lui s< 2>. Trebuie să demonstrăm că S EL~: Mulţimea s(l> ELcp în virtutea teoremei 1. Rămîne de arătat acelaşt ~ucru pentru s< 2>. Mulţimea H a tuturor punctelor în ~ar: f (!:>)=O ·este măsurabilă în raport cu G (S) de aceea HEL~, şt, m vtrtutea 2 ·formulei (16), cp (H)=O. lnsă $(2) c H, de aceea s< > este măsura­ bilă în raport cu cp (S) şi are măsură nulă. In modul acesta teorema 2 2 ·este demonstrată. Tinind seama că s< > c H şi deci, cp (S< >)=0, putem afirma că cp(~)=cp~s< 1 >), adică pentru calculul lui cp(S) trebuie să aplicăm formula (16), înlocuind în ea pe S cu s menţionată în teoremă. In punctele acestei mulţimi, produsul F 0 (P)f(P) coincide·cu F(P)f(P), adică F(P)f(P) este măsurabil în raport cu O(~) în $(1>. La demonstrarea formulei (46) ne vom mărgini la cazul în care F (P) este mărginită. Pentru funcjiile nemărginite demonstraţia este absolut analogă. Fie F (P) < L şi ~n. k mulţimea acelor puncte P din t9 în care este îndeplinită inegalitatea 1

măsură finită în raport cu cp (~), atunci produsul F (P) f(P) este măsurabil fn raport cu G (~) fn t0( 1) şi are loc formula

~g;F(P)cp(d~)= ~~< 0 F(P)f(P) O(d~),

(k = (46)

Construim

-

funcţiile

2n, - 2rz

Fn(P)=-L, 2n (46.)

Prelungind pe F (P) cu zero în exteriorul lui @, putem considera că F (P) ca şi f (P) este definită peste tot. In afară de aceasta putem considera că F (P) şi f (P) au în toate punctele valori finite. Funcţia F(P) este măsurabilă în raport cu cp (t9) şi f(P) este măsurabilă în raport cu O (t9), prin urmare şi în raport cu cp (~) •. Să introducem o nouă funcţie F 0 (P) punînd F0 (P)=F(P) dacă f(P) =/:-O şi F 0 (P)=0 dacă f(P)=O. Cu alte cuvinte F 0 (P 1 = = F (P) wH (P) unde w H (P) este funcţia caracteristică a mulţimii H de puncte în care f(P)=O. După cum am amintit, HELa şi prin urmare HEL~, adică atît F (P) cît şi wH (P) sînt măsurabile în raport cu cp(t0) de aceea şi F 0 (P) este măsurabilă în raport cu cp(/0). Să arătăm că F 0 (P) este măsurabilă şi în raport cu O (10). Deoarece F 0 (P) este măsurabilă în raport cu cp (10), pentru orice a, mulţimea if>a de puncte în care F 0 ( P) > a poate fi reprezentată sub forma if>a = ~1 1 > + ~12 > unde @~ 1 ) ELa şi f (P) =O în punctele lui ~~2 >. Dacă a~ O, atunci în virtutea definiţiei lui F 0 (P) mu 1 ţi­ mea @~~> lipseşte, şi prin urmare, t9aEL 0 • Dacă însă a< O. mulţimea ~a conţine întreaga mulţime H şi, dună cum am amintit mai înainte, putem considera în acest caz că t01~) coincide cu H, adică f (P) >O în toate punctele lui ~~1). Dar HELa de aceea şi t0a = = @~1 > + HELa. In modul acesta t9aEL 0 pentru toţi a, F 0 ( P) este măsurabilă în raport cu G(t9) de aceea şi produsul F 0 (P)f(P) este de asemenea măsurabil in raport cu O(~). Să revenim Ia multi.:.

Sirul F n (P)

creşte

o

dată

absolută prin numărul L. Avem

cJFn(P)cp(d&)= &;

2TZ-t

~

+ 1 , •.. ,

1

2n -1 ).

constante pe portiuni k

ceea ce poate fi scris astfel.

~~F(P)[~d~f(P)G(dt9)] =~~(1) F(P)f(P)G(dt9).

269

ABSOLUT CONTINUE DE MULŢIMI

dacă

PE~n-k·

cu n

şi

este

2TZ-l

k

k

2JZLcp(&n,k)=

k=-2n

mărginit

~ 2JZL

k=-2n

r

J

în valoare

j(P)G(d&),

&~(l)k n,

~nde ~~,> k se obţine din &n,

k cu ajutorul formulei (39). Sumînd ,după toate valorile indicate ale lui k obtinem mulţimea sm şi scoţind în ultima formulă pe L de sub semnul integralei, ajungem 2 la .formula

4

~~ Fn (P) cp (d&)= ~&~< 1 > Fn (P)f(P) G (d&). Funcţia de sub semnul integralei din membrul II nu este mai m.are în valoare absolută decît functia sumabilă Lf (P) şi în ambii membri este posibilă trecerea Ia limită sub semnul integralei, ceea ce ne conduce Ia formula (46). Dacă mulţimea & este măsurabilă şi în raport cu O(&), atunci în formula (46) putem înlocui pe s(l> cu &, deoarece ~< 2)=&-~(o şi f(P)=O pe ~< 2 >

astfel încît integrala pe s< 2> este egală cu zero. , Demonstraţia ultimelor trei teoreme este luată din cartea lui Stone "Linear transformations in Hilbert Space and their applications to Analysis''.

•

FUNCŢII

270

a (L\)

Dacă

reprezentarea

DE MULŢIMI. CONTINUITATEA ABSOLUTĂ

este o

canonică

FUNCŢII

funcţie cu variaţie mărginită, atunci folosind sub forma diferen1ei a două funcţii pozitive,.

obţinem

a(~)=a 1 (~)-02(~)

a

=cp 1 (L\)-cp 2 (L\) şi în locul lui LO dat, există mulţimi $n aparţinînd lui $0 şi La, astfel încît cp x 0 sau Iim Xn = x 0 • Este uşor de văzut că un şir nu poate avea mai mult de o singură limită. Intr-adevăr, fie Xn = > x 0 şi Xn => Yo. Trebuie să arătăm că x 0 = y0 • Conform lui (2) avem

limitei

creşte nelimitat membrul al doilea tinde către zero şi 1& limită obţinem p (x 0 , y 0 ) b O. Insă p (x 0 , y0 ) ~O şi din aceste două' inegalităţi rezultă că p (x 0 , y 0 )=0, şi deci X0 = Yo. Dacă Xn x 0 9• atunci este evident că şi orice subşir infinit Xnk = x0 •

>

=>

Să arătăm că

p (x, y) este o functie continuă de x şi de Y:. adică dacă Xn=> X0 şi Yn => Yo atunci P(xn, Yn)--+ P(xo, Yo)· In virtutea lui (2 1) putem scrie p(Xn, Yn)Lp(Xn, Xo)+p(xo, Yo)+p(yo, Yn); P(Xo, Yo) L P (Xo, Xn)+P (Xn' Yn)+P (Yn' Yo);

de unde P (Xn, Yn)-p (Xo' Yo) L P (Xn, Xo)+P (Yo' Yn); p(xo, Yo)-p(xn, Yn)~p(xo, xn)+P(Yn' Yo), adică 1

P (Xo' Yo)-p (Xn' Yn) L P (Xo' Xn)+P (Yo' Yn)· 1

Cînd n--+ ():) membrul al doilea tinde către zero de unde rezultă: P(Xn, Yn)--+p(Xo, Yo)• Dacă şirul Xn are limită (xn x 0 ), atunci pentru orice a>O) dat există un N astfel încît

=>

p (Xm, Xn) La Aceasta

rezultă

pentru m

şi

n ~ N.

(3.);:

imediat din inegalitatea

P (Xm, Xn) L P (Xm, Xo)+P (Xo, Xn),

unde membrul al doilea tinde către zero atunci cînd m şi n--+ OJ •• lnsă din (3) nu rezultă în baza axiomdor admise că şirul Xn are· limită (suficienta criteriului Cauchy de existenţă a limitei nu are loc) •. Dacă introducem condiţia suplimentară ca din (3) să rezulte existenţa,

atunci un astfel de

spaţiu

m~tric

se

numeşte

spaţiul

metric complet. O mulţime U de elemente ale

spaţiului metric se numeşte măr­ un element x 0 şi un număr pozitiv f.l, astfel încît p (x0 , x) LA pentru toţi x din U. Fie x 1 un element ftx oarecare diferit de x 0 • Avem

ginită,

P (Xo, Yo) L P (Xo, Xn)+ P (Xn, Yo).

Cînd n

şirului Xn,

307

METRIC

dacă

există

p(x1 , x)Lp(x 1 , x 0 )+p(x0 , x) şi

pentru elementele lui U

obţinem:

p (x 1 , x) L p (x 1 , x 0 )+A,

membrul al doilea al acestei inegalităţi fiind un număr pozitiv. In modul acesta în definiţia mărginirii mulţimii U alegerea elementului Xo este indiferentă. Este uşor de arătat vcă. ?c:că şirul Xn are limită atunci mulţimea de elemente Xn este margmtta. Elementul x0 se numeşte un element limită al mulţimii U de elemente ale lui X, dacă există un şir Xn de elemente din U, astfel încît x => x 0 • O mulţime U care conţine toate elerr:entele sale limită ~e numeşte închisă. Dacă U nu este închisă şi îi adăugăm toate elementele sale limită, atunci noua mulţime pe care o vom nota cu U va fi o mulţime închisă [31]. Trecerea de Ia U la V se numeşte închiderea lui U. Dacă U este în_c~isă, ahmci (J = U: Dacă U este mulţimea vidă (care nu conţine mct un element), atunct şi V trebuie considerată vidă. Mulţimea de ele~1ent: care verifi~ă condiţia p (x 0 , x) Xa) Să arătăm că Axn = > Axa : • p (Axn, Ax0 ) L ap (Xn, Xa)--+ O,

deoarece p (xn, Xa) -t- O. Trecînd în egalitatea Xn ==Axn-I la limită obţinem x 0 =Axa . Rămîne să arătăm că soluţia ecuatiei x =Ax est~ unică. Fie x' o soluţie a ecuaţiei amintite: x' ==Ax'. Trebuie să demonstrăm că x' = Xa • Avem

p(x, y)=

~

k=l

317

infinite de numere, în care 1 ak-bk 1 2k(1+la -b

k

k

(Il)

1).

Posibilitatea acestei definiţii a lui p (x, y) poate fi verificată la fel cum :vom face mai jos pentru spaţiul funcţional analog S. In spaţiul S, la fel ca şi în Rn , convergenta este echivalentă cu o convergenţă după fiecare coordonată. 4. Spaţiul !P (p ~ 1) al şirurilor infinite de numere complexe ak, astfel încît ao

~ 1 a;,; IP<

+oo,

(12)

k=l

.în care

p (xa, x')=p (Axa, Ax')~ ll.p (x 0 , x'), adică (1-a) p (xa, x')=O, de unde p (x 0

x')=O şi, prin urmare x' coincide cu Xa . Teorema este astfel demonstrat;1. Observaţie. Fie U o mulţime im~hisă cUn .,:1' (, Dacă D (A) este U, R (A) c U şi este îndeplinită condiţia (7) (O< x< 1), teorema are loc şi X aEU şi orice x', care verifică ecua.tia x' Ax', coincide cu X a• Se consideră că x' EU, deoarr~ce A este definit în U.

p (X, y)= [

,

:c;

87. Exemple. Inainte de a trece la ex.empie de aplicaţie a principiului contracţiei dăm exemple de spaţii metrice complete. 1. Spaţiul Rn al tuturor şirurilor posibile de n numere reale. Distanţa dintre elementele x (a 1 , a 2 , ... , an) şi y (b 1 , b2 , ••• bn) din ~n se defineşte în modul următor

Y)= [

t

(ak- b1.=l 2lj,

(9)

Se poate defini şi spaţiul complex Rn de şiruri din IZ numere complexe. In formula distanţei (9) trebuie să înlocuim pe (a" -b.? cu 1 ak -bk 12. Această . K K o b servaţ1e se referă şi la exemplele nltcrioaH! de sp[rţli de şiruri sau funcţii. 2. Sp~ţ~ul m de ~iruri infinite de n~1mere x (a 1 , o 2 , ••• ) mărginite în an..; samblu, ad1ca pentru fiecare element x dm m există tlll număr pozitiv m astfel încît 1 a1 1 ~ mx pentru orice i. x Formula pentru p (x, y); p (x, Y)=sup k

1

a,.-bj.l• .... .•

(10)

. Co__n~ergenţa în m_ e~te echivalentă cu convergenta în fiecare coordonată. umforma 1n raport cu 1nd1cele componentei.

lp]p.

(13)

(14)

xE$

6. Spaţiul M al funcţiilor cp (x) definite pe o mulţime $ din Rn măsura­ Lebesgue. Funcţiile echivalente sînt identificate şi orice funcţie din M ·este mărginită (sau echivalentă cu una mărginită). Definiţia distanţei bilă

p (cp, 4>)= •

ak -bk

p (cp, 4>)= max 1cp (x)- 4> (x) 1·

2

k=i

1

Regula triunghiului se obţine din inegalitatea lui Minkovski pentru sume pentru p> 1 [62] şi evident pentru p= 1. 5. Spaţiul C al funcţiilor cp (x), unde x este un punct al spaţiului IZ-dimensional Rn, continue pe o mulţime îochisă mărginită $, în care

1

p (x,

~ k=l

inf

sup

m ($o)=a

$-$0

1cp (x)-~ (x) 1·

(15)

Sensul acestei definiţii este următorul : excludem din $ o mulţime $ 0 de măsură nulă, determinînd marginea superioară a lui 1 cp (x)-4> (x) 1 pe mulţimea rămasă $- $ 0 , alegem mulţimea amintită $ 0 în toate felurile posibile şi determinăm marginea inferioară a mulţimii obţinute de margini superioare po'litive sup 1cp (x)-4> (x) 1· Uneori în locul lui (15) se scrie .~-~0

p(cp, 4>)=vraimaxlcp(x)-4>(x)l.

(16)

Dacă ~ este o mulţime închisă mărginită, atunci C este o parte a lui M p (cp, 4>) pentru D este aceeaşi ca şi pentru M, adică C este izometric cu o parte a lui M. 7. Spaţiul S al tuturor funcţiilor cp (x) măsurabile pe o mulţime măsu­ cabilă de puncte $ de măsură finită din Rn, în care

~i

r

P (cp,

1 cp (x)-4> (x) 1 4>)= J~ 1 + 1 cp (x)-4> (x)

dx 1

•

(17)

318

SPAŢII

EXEMPLE

METRICE. SPAŢII NORMATE

. Aici şi îp cele .ce urmează vom subînţelege măsura şi integrala în sensul lut Lebesgue 111 spaţlUl Rn corespunzător.

Pr~n ipoteză

m [t$n (8)] ~O pentru n ~

8. Spaţiul LP (t$) (p'2:.1) al funcţiilor cp (x) măsurabile pe o mulţime mă­ surabilă g; şi astfel încît

~g;

1

cp (x)

P (cp ' cp n ) --

IP dx < + oo,

+

în care

~ g;

1

319'

oo şi orice 8>0 fix. Avem

cp (x)-cpn (x)

1

1 + cp (X) -cpn (x) 1

dx 1

.c::.

~

1 • dx +

--

$n (B)

r

J

1

J

cp {x)- cpn (x) 1 1 cp (x)-cpn (x)

+

1

dx,

l$-t$n (B) 1

~)= [ ~.g; cp (x)-~ (x) IP dx] P.

P (cp,

1

(18)

de unde, ţinînd seama de creşterea funcţiei Jcp(X)-cpn(x) 1 O astfel, încît să avem 6 6 8 - - m ($) ~ • Mai departe, există un N, astfel încît m (t$n (8)] ~ pentru 2 2 1+8 n~N, şi prin urmare p {cp, rpn)~6 pentru n2.N, adică p {cp, cpn) ~O. Să presu-punem acum că p {cp, cpn) ~O, şi să demonstrăm că cpn (x) ~ cp (x) în măsură pe $. Avem, în virtutea celor spuse mai înainte relativ la o.> (t), că

Dacă lăsăm la o parte condiţia cp (a)=O, distanţa p (cp, q;) se defines,te

în modul

1q;> (x)-cpn (x) 1: [J +1 cp (x)-cpn (x) 1]2.8: (1+8)

următor:

dacă

P (cp, ~)= 1 cp (a)-~ (a)

. tui

1

+

b

V 1 cp (x)-~ (x)

1·

a

(20}

xE$n (8).

In modul acesta,

Sp~ţiul iniţial, cu distanţa dată de (19) este izometric unei părţi a aces-

spaţ1u.

Toate spaţiile menţionate mai înainte sînt complete. Pentru LP şi lp completitudinea a fost demonstrată. In celelalte cazuri demonstraţia completitudinii nu prezintă dificultăţi şi nu o vom face. ţă ne opri~ mai amănunţit asupra spaţiului S. Ţinînd seamă că w (f) =

= t+f = 1-l+t

creşte pentru f2.0, putem scrie

unde 8>0 se consideră fix. Prin ipoteză p (cp, cpn) ~O şi din ultima inegalitate rezultă că m {$n (8)] ~O ceea ce trebuia demonstrat. Folosind teorema din [44] şi cele demonstrate mai înainte putem afirma p (cp, cpn) ~O în S, atunci există un subşir cpnk (x) astfel încît

că dacă

cpnk (x) ~ cp (x) aproape peste tot pe $.

Completitudinea lui S poate fi de-·

monstrată

absolut la fel ca şi pentru L 2 • In construirea spaţiilor funcţionale LP, M sura şi integrala Lebesgue-Stieltjes.

şi de ai~i rez~ltă axioma triunghiului pentru S. Să arătăm că convergenta în S este echzvalenta cu convergenta ln măsură. ' Fie cpn (x) ~ cp (x) în măsură pe introducem mulţimile

t$,

Să demonstrăm că p (cp, cpn) ~O.

Să

S am fi putut folosi

mă­

88. Exemple de aplicaţie a principiului contracţiei. 1. Să consisistemul de n ecuaţii cu n necunoscute

derăm

n

~i=t. ~ aik~k+bi' k=I

g;n (8)=t$ [ 1 cp (x)-cpn (x) 128).

şi

(i=1,2, ..• ,n)

(21}

SPAŢII lVIETRICE.

APLICAŢIE

EXEMPLE DE

SPATII NORlVIATE

unde ). este un parametru numeri~. V~m considera membrii ~oi c~ operathor fix din Rn în R11 aplicat elementulUi lUl -x (~ 1 , \; 2 , ... , ~ 11 ) Şl acţ10mnd In Intregul R11 • Din inegalitatea Cauchy obţinem

. Dacă K (x, t) EL 2 pe Q şi f (x) EL 2 pe [a, b] (în cazul de faţă intervalul poate fi şi infinit), atunci membrul doi este un operator din L 2 [a, b] în Lz[a, bJ definit în întregul L2 [a, b], şi principiul contracţiei este aplicabil ecuaţiei (23), dacă 1

1

p(Ax,

Ay)~IJ.I[. t l,

latkl 2 ]ip(x,

y).

1

< [. l,

t

1

2 i ai k 12 -]- -

-

·

cp (x)=

,(=1

~l=J. ~ aik~k+bi

(22)

k=l

(i=l,2,3, ... ),

unde considerăm că şirul (b 1 , b2 ... ) este un element al lui m. Dacă

'E

1aik l=c

1

1 aik

dacă

1

~: K (x,

1

V

t) cp (t) dt+ f (x),

(23)

unde [a, b] este un interval finit şi K(x, t) este continuă în pătratu! Q (a~x~b; a~t~b). Dacă f (~) este conti~uă pe [a, b] ~t!-m~i hmembrul do~ ai lui (23) este un operator d1n C [a, b] 1n C [a, b] def1mt 1n mtregul C Şl principiul contracţiei este aplicabil ecuaţiei (23) dacă

a~x~b

EQ, iar \ Z 1 1 dacă

lb Ja

1

K(x, t)

A.~: K [x,

1

dt) ~

1

A.\ N (b-a) p (cp, 4>), condiţiile

sînt respectate 1

Jn

A.\ max

t)

prin urmare,

i,k=l

1

(x,

K (x,

p :şi

lz=d< + oo,

atunci membrii doi din (22) dau un operator din /2 în /2 definit întvregu~ ţ?, şi principiul contracţiei este ap!icabil, dacă A. d < 1. O?.servam ca umctta!e~ soluţiei are loc în spaţiile amintite însă pot scăpa soluţu care sa nu aparţma acestor spaţii. 3. Să considerăm ecuaţia integrală (cazul unidimensional) cp (x) =A.

K (x, 1) 12 dx dt]'

.adică

este un număr pozitiv finit, atunci membrii doi din (22) dau un operator A din m în m, definit în întregul m, şi principiul contracţiei este aplicabil dacă 1 J.! c< t. Dacă (b 1 , b 2 ... ) este un element al lui / 2 şi

~

1

unde [a, b J este un interval finit, K (x, f, z) o funcţie continuă de argunJentele sale pentru a~x~b. a~t~b şi \ziO o e:-reţea finită. Să dem~n~trăm necesitatea. Să presupunem că pentru un e:0 >O nu extsta pentru U o c 0 -reţea finită şi să arătăm că U n~ este ~ompactă. ~ă luăm un element oarecare x 1EU. Se poate aftrma ca s: va gast un element x2 EU astfel încît p (x 1 , x2 ) > e:0 • I~tr-ade.văr m caz contrar am avea p (x 1 , x)? s0 pentru orice xEU · şt un s~ngur element x 1 ar da o e:0 -reţea pentru U. Mai departe, se va g31s1 un element x 3 astfel încît p (x 1 , x 3 ) > s0 (i = 1, 2) deoarece m caz contrar elementele x1 şi x2 ar da o e: 0 -reţea pentru U şi aşa mai departe. In modul acesta obţinem un şir infinit de elemente x din U astfel încît P (xp, Xq) > e:0 pentru toţi p;t:.q. Pentru ori~e subşir Xnk (k= 1, 2, •.. ) vom avea de asemenea p (Xnk, Xnz) > e: 0 pentru nk;t:.n1, şi, prin urmare, nici un subşir al lui Xn nu poate fi convergent, adică U nu este compactă. .. VSă demo~străm suf~ci~nţa. Să ~resupunem că U are o· E-reţea ftmta pentru once s > O, şt fte Xn un ştr oarecare de elemente din U. Trebuie să demonstrăm că din acest şir se poate extrage un subşir convergent. Dacă pentru un număr infinit de valori n, elementele Xn c~incid cu un acelaşi elementy, atunci subşirul y,y,y, ... este un subştr convergent. Să presupunem că această situaţie nu are loc. Atunci, păstrînd în şirul Xn din fiecare grup de elemente egale, numai un singur element (de exemplu elementul cu indicele cel mai mic), obţinem un şir cu elemente diferite. Se poate presupune că şirul de bază ca atare se bucură de această proprietate. Să fixăm un număr pozitiv arbitrar e:. Ţinînd seama că există , pentru U o ~ -reţea finită, există un număr finit de sfere închise de rază ; a;tfel încît toate elementele din U, deci şi toţi Xn, aparţin acestor sfere. Cel puţin uneia dintre ele îi aparţine o mulţime infinită de Xn.

.

Ţeoref!Iă·

V

ţzulut m!tr~c

V

1

a(P; Q) dt 0 =a0 •

Dacă 1Ai a0 d ~ c, membrul doi (27) este un operator în C (D) la careD (A) este sfera p (O, u) ~ c în C (15), adică u (P) ~cînD) şi R (A) aparţine· acestei sfere. Principiul contracţiei este aplicabil ecuaţiei (27) dacă A\ Na0 < L In modul acesta, dacă sînt îndeplinite condiţiile 1

1

1

1A 1aod ~ c

şi

1A 1N Go <

1

problemele (25) şi (26) au în sfera u (P) l~c o soluţie unică. Ea poate fi obţinută prin metoda aproximaţiilor succesive, aplicată lui (27) cu orice ale-· gere a aproximaţiei iniţiale din sfera menţionată, şi aproximaţiile converg uniform către soluţie în 15. 1

89. Compacitatea. Am introdus mai înainte noţiunea de compacitate pentru un caz particular [IV; 36]. Acum vom examina: această noţiune pentru spaţiul metric general X. O mulţime U de elemente din X se numeşte compactă fn spaţiul X, sau pur şi simplu compactă, dacă orice şir de elemente Xn din U conţine un subşir convergent. Dacă în afară de aceasta, U este închisă, ea se numeşte compactă fn sine. Este uşor de văzut că mărginirea mulţimii U este o condiţie necesară a compacităţii ei. Intr-adevăr, dacă U este nemărginită,. există un şir Xn din U astfel încît p (a, Xn) ~ + oo, unde a este un element fix oarecare. Din acest şir Xn nu se poate extrage un subşir convergent fiindcă orice şir convergent este mărginit. Mărginirea lui U este totodată condiţie suficientă de compacitate în Rn [IV; 15). In cazul general al spaţiului metric, aceasta nu are loc şi vom stabili acum condiţia necesară şi suficientă de compacitate. Să introducem întîi o nouă noţiune. Vom spune că mulţimea U are o e: - reţea finită, unde s este un număr pozitiv dat, dacă

Să notăm una dintre aceste sfere cu există

(1-).

S1 Mai departe un număr finit de sfere de rază -;-cărora le aparţin toţi Xn 2

SPAŢII

METRICE.

SPAŢII

NORMATE

COlVIP ACIT ATEA ÎN Lp

din S 1j ; ). Să luăm dintre acestea acea sferă S2( 22) care conţine o mulţime infinită de elemente menţionate. Tot astfel există o sferă S3 ( ; 3 ) de rază ; 3 care conţine o mulţime infinită de emenete Xn

reprezintă condiţii suficiente Să demonstrăm că aceste condiţii

în U

de compacitate a lui U (IV; 16]. sînt şi necesare. Fie U compactă. Conform teor:emei demonstrate pentru orice E > O dat există un număr finit de funcţii cp 1 (t), cp 2 (t), ... , cpP (t) din C, astfel încit pentru orice funcţie cp (t) din U avem

6

apartinînd simultan lui S1 (;) şi S2 (

6

22

)

~ Continuînd aşa mai de-

parte, obţinem un şir infinit de sfere închise Src ( raza lui S re (

;k ) este 2.

6 "

k)

6

2

astfel încît

3

şi S 1c ( ;k ) conţine o mulţime in finită de

Xn,

ment Xnk, unde putem considera că nr>n~c pentru l > k. In modul acesta obţinem un subşir infinit Xnk al şirului Xrz. Ţinînd seama că pentru oricare două elemente x şi y, aparţinînd aceleaşi sfere de rază r avem, în virtutea axiomei triunghiului, p (x, y) L 2r, putem afirma că p (xn 1, Xnk) .,~ pentru n1 > nk.

1

cpk (t+h)-cpk (t) 1 L

1-

pentru

tL

b,

llz 1 ~ r; (k= 1, 2, .. ,, p)

t + h E[a, b1)

(t şi

unde r; depinde numai de c, De aici obţinem

2-t'-t'

De aici rezultă, în virtutea completitudinii spaţiului, că Xnk este un şir convergent. Teorema este astfel demonstrată. Observatia 1. Pentru compacitate este suficientă existenţa nu a unei 8-reţ~Ie finite ci numai a unei 8-reţele compacte pentru orice 8>0. Aceasta înseamnă că pentru orice 8>0 există sfere de rază 8 conţinînd toate elementele lui U ale căror centre formează o mulţime compactă. Să notăm această mulţime de centre cu U1 • Pentru U1 există conform teoremei demonstrată (necesitatea) o 8-reţea finită şi din axioma triunghiului rezultă imediat că această reţea va fi o 2s-reţea finită pentru U, de unde, ţinînd seama că e este arbitrar, şi ţinînd seama de teorema demonstrată (suficienţă) rezultă că U este o mulţime compactă. Observaţia 2. Menţionăm că U poate coincide cu X astfel încît se poate vorbi şi de compacitate a întregului spaţiu X. Folosind continuitatea distanţei este uşor de arătat că orice spaţiu compact este un spaţiu complet. Prin aceasta orice mulţime U, compactă în sine, de elemente ale lui X, este un spaţiu metric complet. 90. Compacitatea în C. Fie C spaţiul funcţiilor continue pe un interval finit [a, b], şi U o mulţime oarecare de elemente din C. Am vazut că mărginirea şi continuitatea egală a funcţiilor care intră

a~

pentru

und cps (t) este una dintre funcţiile indicate mai înainte. Pentru toate aceste funcţii, întrucît numărul lor este finit, există un r; pozitiv, astfel încît

aparţinînd simultan tuturor sferelor Sm ( ~n) pentru 2 mO astfel încît

il cp Il = [ ~$1 '~' (x,

yJ 1" dx dy

COMPACITATEA IN Lp

NORMATE

r/

c (mărginireaJ,

(28J

11

Această mărime

1

11

ohkCf/ 11 =- [

~ 1 cp (x+h, y+k)-cp (x, y) \P dx dy ]IJ 1 inegalitatea lui Minkovski, obţinem (29), în virtu!ea lui (30) şi 11 cp-~ 8 11 L ; . Pentru p= 1, (29) se obţine limedtat. Să demonstrăm acum suficienta condiţiilor (28) şi (29). Să notăm cu cpQ (x, y) funcţia medie pentru cp (x, y) [71]. Am avut formula (178) din [71]. Pentru orice p ~ 1 ea are forma :şi

cp 11 este o notaţie a membrului stîng al inegalităţii (28). se numeşte normă a lui cp (x, y) în Lp pe & [62]. 2. Pentru orice s>O dat există un 7J>O, acelaşi pentru toţi cp (x, y) din U, astfel încît unde

327

7J)- cp (ţ+ u, 7J+ v) \P dţ d7J] du du, (31)

unde C1 este o constantă. In virtutea condiţiei (29) pentru orice s>O dat, există un 7J>O, acelaşi pentru toate funcţiile cp (x, y) EU, ;astfel încît

~ \ cp (ţ, :şi

7])-cp (ţ+ u, 7J+v) [P dţ d7JL

~;n

pentru

u2+u2 /-7]2,

inegalitatea (31) pentru orice cp(x, y)EU: [\cp-cp(/\\Le

pentru

pL7J.

(32)

Norma din stînga se ia pe întregul plan &ce (de fapt pe o multime mă.rginită). Cu atît mai mult 11 cp-cp(/ Il$ Le pentru p L 7J· Fixînd ;p L 7J putem afirma că funcţiile cpQ (x, y) formează o e-reţea pentru mulţimea U de funcţii cp (x, y). Fie A(aL x L b; c Ly L d) un interval conţinînd pe &. In virtutea condiţiei (28) şi a teoremei 3 ·din [71] se poate afirma că mulţimea cp Q (x, y) este compactă în C pe A şi cu atit mai mult compactă în L P pe &. In modul acesta funcţiile cpQ (x, y) formează o s-reţea compactă pentru U şi în vir-tutea caracterului arbitrar al lui c, se poate afirma că mulţimea U .este compactă. Suficienta lui (28) şi (29) este astfel demonstrată. Să examinăm acum cazul în care & este întregul plan & Demonstraţia de mai înainte îşi pierde acum valabilitatea deoarece mulţimea de funcţii cpQ (x, y) poate fi necompactă. Necesitatea conO dat există un N vozitiv, acelaşi pentru toate funcţiile cp (x, y) din U, astfel încît rf.)

~

1

$oo-ilN

cp (X, y) j P dx dy L

sP,

•

(33)

32t5

SPAŢII

METRICE.

SPAŢII

NORMATE

COMPACITATEA IN Lp

unde Am este intervalul ( -m L-x L- m; -rn L y L- m). Observăm că dacă condiţia (33) este îndeplinită pentru un N, ea rămîne valabilă şi pentru un N mai mare. Să demonstrăm necesitatea condiţiei (33). Dacă mulţimea U este compactă atunci există pentru ea o -reţea finită de funcţii cpk (x, y) (k= 1, 2, ... , n). Pentru fiecare dintre aceste funcţii condiţia (33) este îndeplinită şi deoarece numărul 'lor este finit, pentrU! orice ,c>O dat există un N, astfel incît ·

1-

~

1cpk

(x, y) [P dx dy /

-~;-

(k=l,2, ... , n).

care reprezintă un subşir al şirului de bază cpk (x, y). Dacă m este · un număr pozitiv întreg arbitrar, toţi termenii şirului (35), începînd cu cpm 1 Cfin(q) (x, q 'i

o

funcţie

oarecare cp (x, y) EU. Se va

găsi

o

funcţie cp 8 (x, y),

Tinînd seama de inegalitatea '

astfel incît 11 cp-cp8 Ils00 L- ...~ . Din inegalitatea [/ cp ~~~ 00 -AN L

din inegalitatea (34)

şi

Il

cp -cps

1!$ 00 -~N+ 11 cps

~

[

r

+ 2P ~ \ cp 1 ~q) (x,

1

cp (x, Y)

[P

dx dyr

;

+;

(33) pentru orice cp(x, y)EU .. Să demonstrăm acum suficienţii condiţiilor (28), (29) şi (33),, Să presupunem că pentru funcţiile cp (x, y) EU aceste condiţii sînt: îndeplinite şi· cp 1 (x, y), cp 2 (x, y), ... este un şir arbitrar de funcţU din U. Trebuie să demonstrăm că din acest şir se poate extrage~ un subşir convergent în L P pe tSoo • Din (28) şi (29) rezultă că se. poate extrage un subşir cp~} (x, y), cp~!) (x, y), ... convergent în Lp, pe A1 • Din acesta din urmă se poate extrage un. nou subşir cp~> (x, y)~ cp~~) (x, y), ... convergent în Lp pe A2 şi aşa mai departe. Să construim subşirul (2)( X,y ) cp1l2

1

[ cp

1 ~r) (x,

y) IP dx dy.

f>oo -i.lm

primul, este mai mică decît

= c;

demonstrează

mO dat, un m astfel încît suma termenilor din membrul al doilea, în afară de

~oo -~N

ceea ce

y) [P dx dy+2P

$ 00 -i.lm

1

llgjoo-~N =

evidentă

1\ cpn(q) -cpn(r) li~ /1cpn(lj) (x, y)-cpn~r) (x, y) lp dx dy+ q r oo )i.lm q r

• '

din

rezultă

cp

'

-obtinem

//$ 00 -~N'

2.

IJ

Y) -cp,y) (X, Y) [P dx dy+

+

(34)

$oo-~N

Să luăm

:329

r3)( X,y~ ·) .. ,, cpt/a

(35).

11

s; .

Fixînd un astfel de m~ obţinem

cpn~4)-cpny> 1\~ 00 : 1) obţinem

unde y are componentele (y 1 , y2 , .•• , Y,J şi y = VY~+yj+ · · · +Y~. 92. Compacitatea în lp. Să demonstrăm următoarea teoremă: :reoremă. Pentru ca o mulţime Ude elemente din l P (p :-: : :". 1) să fie compactă este necesar şi suficient ca toate elementele x (~ 1 , ţ 2 , ••• ) din U să satisfacă următoarele două condiţii: 1. Există un număr C>O, astfel încît 1

rezultă

X-Xs 11 'L -;-l

(

[

331

•

Ue mulţimea acestor elemente scurtate. Di~ ~39) rezultă că pentru orice xEU Pxistă un element yEVe, astf:I ~nc1t Jl x-y 11 ~ 2, ;adică mulţimea Ve este o 2-reţea pentru V. Ram~ne sa de:nonstram · că Ue este o mulţime compactă [89]. J?emonst~·aţla ac:st~t. f~p_t este analogă cu demonstraţia faptului că once mulţtme margmtta m R n \este compactă. In virtutea lui (38) avem [ţs [ ~ C, pentru orice componentă a elementelor lui U din Ue. Putem extrage din orice şir de elen:e~t~ . din U un subşir la care primele (ne-1 )-componente au o hmtta finită. e Celelalte componente ale acestor elemente sînt egale cu zero şi de aici rezultă că subşirul amintit converge în lp c~tre un element la care toate componentele ţs pentru s ~ Ils smt egale cu zero. Prin aceasta compacitatea lui U e este demonstrată. Din te~­ rema demonstrată rezultă că sfera x Il Lr în lp nu este compacta. 11

unde

unul dintre elementele xk. Pentru elementele ... ), întrucît numărul lor este finit, există un întreg pozitiv ne ' astfel încît

Xs Xk (ţ~, ţ~,

este

~ ~~ lP) P L 1

(

l=ne

(k= 1, 2, ... , m)

; .

(40)

93. Funcţionale pe mulţimi compacte în sine. ~~ vpresupunem că functionala l (x), care ia valon reale, este deftmta pe o mulţime compactă în sine U a spaţiului metric X. Ea se numeşte Continuă, dacă din Xn=> x 0 rezultă l (xn) ~ l (xo)· Pentru astfel de funcţionale are loc o teoremă analogă cu teorema asupra funcţiilor continue pe mulţimi închise mărginite din spatiul Rn.

332

SPAŢII

METRICE.

SPAŢII

SEPARABILITATEA

NORMATE

-------------------

(superior), este mărginită inferior (superior) şi atinge pe U marginea sa inferioară (superioară). Luăm o funcţională semicQntinuă inferior şi demonstrăm ca şi în teorema 1, mărginirea.inferioară. Ipoteza l (xn)--+- co duce Ia un .subşir Xnk=> x0 , unde x 0 EU şi l(xnk)--+-co. Dar, în virtutea .semicontinuităţii inferioare,

Teorema 1. Dacă U este o mulţime compactă a spaţiului şi l (x) o funcţională continuă reală pe U, atunci ea este mărginită şi îşi atinge pe U marginea sa inferioară şi marginea sa superioară. X

Vom demonstra numai mărginirea inferioară şi atingerea marginii inferioare. Mărginire a se demonstrează prin metoda reducerii la absurd. Dacă mulţimea de valori a lui l (x) ar fi nemărginită inferior, atunci ar exista un şir de elemente -xn din U astfel încît/ (xn)-+ - CXJ. In virtutea compacităţii lui U, se poate extrage din xR un subşir convergent Xnk = > x 0 şi în virtutea compacităţii în sine, x 0 EU. De asemenea, în virtutea continuităţii lui l (x) avem l (xnk)--+ l (x0 ), ceea ce contrazice că l (xnk) -+ - CXJ, deoarece 1(x0 ) este un număr finit. Fie a marginea inferioară a mulţimii rie valori a lui l (x) pe U._ Atunci există un şir de elemente XnEU, astfel încît aL l (xn) L La+ ~ . Ca şi mai înainte, putem considera că Xnk = ) x 0 , unde

x0 EU,

şi,

prin urmare, l (xnk)-+ l (x0 ).

lnsă

din a

l (xnk) La+ n l

RJ

rezultă că

l (x 11k)--+ a, de unde l (x 0 ) =a, ceea ce trebuia demonstrat" Am introdus mai înainte noţiunea de limită inferioară şi limită superioară a unui şir de numere reale an (n = 1, 2, ... ). Să intro-ducem pentru ele notaţiile S=Iim a11 ;

T=lim an.

Aceste limite pot fi egale cu + CXJ sau cu - co. Dacă şirul an are limită~ S şi T coincid cu această limită. In' afară de aceasta, din definiţia lui S şi T rezultă că nici un subşir a 11 k al şirului a11 nu poate avea limită mai mică decît S sau mai mare decît T, însă există cel puţin un subşir care are limita S şi un subşir care are limita T. Functionala l (x) se numeşte semi-continuă inferior pe U, dacă din Xn = > x 0 rezultă!!_~/ (xn) ~ l (x0), şi semicontinuă superior dacă din Xn => x0 rezultă Iim l (xn) L

L l (x0 ).

Să demonstrăm aplicaţii.

Teore~a pactă în sine

o generalizare a teoremei 1

importantă

în

2. O funcţională l (x) definită pe o mulţime com~ U a spatiului metric şi semicontinuă inferior

333

Iim l (Xnk)

~

l (x 0),

:unde l (x0 ) este un număr finit ceea ce contrazice că l (xnk)--+ - CXJ. Fie a marginea inferioară a mulţimii de valori a lui l (x) pe U. Ca şi în demonstrarea teoremei 1, obţinem subşirul Xnk= > x 0 şi aL l (x 11k) ~a+ n~ • Din prima rezultă: li~_! (xnk) ~ l (x 0), iar din

,

- a doua Iim l (xnk) =a, de unde l (x 0 ) ~a. Insă a este marginea inferioară a valorilor lui l (x) şi prin urmare l (x 0 ) =a, ceea ce trebuia

demonstrat.

.

94. Separabilitatea. Un spaţiu metric X care conţine o mulţime infinită de elemente, se numeşte, separabil dacă există o mulţime numerabilă de elemente din X: x 1 ,x 2 , ••• densă în X, adică pentru orice x EX şi orice e: O există un element Xs din mulţimea amintită, astfel încît p (x, Xs) L s.

>

Am demonstrat mai înainte separabilitatea lui lp şi Lp (p'-----1) [59, 60]. In spaţiul C mulţimea numerabilă amintită este de exemplu mulţimea tuturor polinoamelor cu coeficienţi raţionali. In spaţiul R n o astfel de mulţime este mulţimea elementelor (a 1 , a 2 , ••• , an) la care toate numerele ak sînt raţionale sau (în cazul spatiului complex) au forma ak=CO un număr pozitiv dat. Să demonstrăm că cel puţin pentru unul dintre elementele Um este îndeplinită inegalitatea 11 u-um 11 L :. Putem considera aici s < 1, încît există un număr pozitiv întreg l, astfel ca

(xn,

1 21-l

~

1

E

< -2!-2

•

In virtutea faptului că mulţimea Xn este densă în X, există 1 un n=n 0 , astfel încît IILL-Xnoll~: < 1 , de unde rezultă că sfe2

ra S (xno, ) ) conţine elemente ale lui U. Fie Un acel element din U pe care l-am ales din această sferă (el poate Deoarece u şi llnES (xno, ~-),avem 11 u-un 11 trebuia demonstrat.

să

nu

coincidă

cu u). 1 ·· ~ s, ceea ce

< -2L

95. Spaţiile normale liniare. Vom introduce acum noţiunea de spaţii abstracte care sînt metrice însă au şi alte proprietăţi. Vom nota elementele spaţiului, ca şi mai înainte, cu ultimele litere ale alfabetului, x, y, z, ... , iar numerele cu primele litere ale alfabetului, a, b, c, . . . Aceste numere pot fi considerate fie reale,

NORMALE LINIARE

fie complexe. In primul caz avem un spaţiu real, în al doilea un spatiu complex. Mai departe, dacă nu se va face vre-o mentiune specială vom considera spaţiile complexe. O mulţime X de elemente x, y, z, ... se numeşte spaţiu liniar, dacă elementele ei satisfac axiomele indicate în cele ce urme~ză.

Axioma A. Elementele lui X pot fi înmulţite cu numere· · ·şi adunate, adică dacă x şi y sint elemente ale lui X şi a un număr, atunci ax şi x+ y sînt de asemenea anumite elemente· ale lui X. Operaţiile menţionate se supun următoarelor axiome: 1) x+y=y +x; 3) a (x + y) =ax+ ay ; 5) a (bx)= (ab) x;

2) x+(y+z)=(x+y)+z; 4) (a+b) X=aX +bx; 6) 1•X=X;

x+y=x+z, atunci y=z. Să introducem noţiunea de element nul (neutru). Fie x şi y două elemente arbitrare din X. Vom arăta acum că Ox=Oy. Să ·notăm cu Ox=e şi Oy=6 1 • Folosind axiomele 4 şi 6 putem scrie 7)

dacă

x+6= 1·x+O·x=(1 +O) X= 1·x=x şi absolut analog y+ 61 = y. Mai departe, în virtutea axiomelor 1 şi 2 ayem (x+y)+e= (x+6)+ y=x+ y, şi absolut analog (x+ y)+0 1 =x+y, de unde rezultă că (x+y)+0= .~.=(x+y)+6 1 şiînvirtutea lui 7, avem 6=6 1 • In modul acesta~ ,prin înmulţirea oricărui element cu numărul O obţinem un acelaşi element pe care îl vom numi element nul. Vom nota elementul tţul cu simbolul e. Este uşor de verificat următoarele consecinţe simple ale legilor indicate mai sus. Produsul ae pentru orice număr ·complex a este egal cu e. Dacă ax=e şi a;t=O atunci x=e. Dacă ax=bx şi x:;z=e, atunci a=b. Dacă ax= ay şi a;t=O, atunci x= y. Prin simbolul (-x) vom nota produsul ( -1) x. Diferenţa x-y o definim prin formula x-- y=x+( -y). . Este uşor de verificat că şi pentru diferenţă sînt valabile regulile obişnuite ale algebrei. In cele ce urmează vom nota elementul nul pur şi simplu cu simbolul O. Aceasta nu va produce confuzii

SPAŢIILE

33()

SP.AŢII METRICE;

SPAŢII

cu numărul O, dacă sînter:n atenti la egalităţile pe care le vom scrie mai jos. Dacă un membru al egalităţii este element al lui X iar in celălalt membru avem O. acesta trebuie înţeles ca· element nui al lui X. Definiţie. Elementele dacă egalitatea

dependente

x 1 , x2 ,

CtX 1 +c 2x2

••• ,

X111 se numesc liniar in.;.

+... +CmXm=O

ieste

posibilă numai în cazul în care toate numerele ck (k= 1, 2, .•. , m) sînt egale cu zero. Pentru spatiul complex n-dimensional examinat de noi in volumul III, numărul maxim de elemente liniar independente este egal cu n. Uneori se introduce o axiomă care exclude posibilitatea unui .spaţiu cu număr finit de dimensiuni.

. Axioma B. Pentru orice n pozitiv întreg liniar independente. In cete ce urmează. ea nu trat. Introducem încă o axiomă.

există joacă

n elemente un rol cen-

Axioma C. Fiecărui element x fi corespunde un număr po.zitiv real bine determinat li x 11 - norma acestui element, şi .această normă trebuie să satisfacă următoarele trei condiţii: 1)

2) 3)

11 6 1 = 0 Şi 11 X 11 > 0 llx+yiiL::!Ixii+IIYII, 1i ax 11 = 1 a 1· !1 x Il.

pentru

X ;t: 0

1

Il x-y li ~IIY 11-11 x 11,

.adică

l!x-yll~lllxi!-IIYIII·

( 41) ..

Distanta dintre elemente se defineşte prin formula p (x, y)= x-y Il şi este uşor de văzut că p (x, y) verifică toate cele trei eonditii indicate în definitia spatiului metric, adică orice spatiu liniar normat este în acelaşi timp şi un spaţiu metric, astfel încît pentru spatiile liniare normate sînt valabile toate cele spuse relativ la spatiile metrice. Norma poate fi exprimată prin distanţă, conform formulei llxll=p(x-'-6). = 11

337

Dacă adăugăm condiţia de completitudine, vom numi spaţiul ;liniar uormat spaţiul de tip B sau spaţiul B. Toate cele de mai jos se referă la spatiile B. Un spatiu liniar normat imcomplet poate fi completat [85]. Norma elementelor adăugate se defineşte prin formula Il x li =P (x-e). Prin completare se păstrează toate axiomele şi în particular axi.oma A. Ultima rezultă din continuitatea sumei x+y şi a produsu4ui ax despre care vom vorbi mai jos. In cele ce urmează vom avea şiruri convergente de numere şi de elemente. Pentru un şir convergent de numere vom scrie, ca şi mai înainte, an-+ a0 , iar pentru elemente Xn =>x0 • Convergenta Xn = > x0 este echivalentă cu Il x 0 - Xn 11 -+ O. Putem considera în B serii infinite u1+ u2 +u 3 +··· unde ukEB(k=l, 2 .... ). Să notăm Xn=U 1 +u 2 + ... +un. Dacă şirul Xn de elemente ale lui B are o limită x 0 se spune că seria amintită converge şi are ca sumă pe x 0 • Să arătăm că expresiile x+y şi ax sînt continue, adică dacă Xn==>Xo, Yn=>Yo şi an-+ao, atunci Xn+Yn=>xo+Yo şi anXn=> a0 x 0 • Avem

11 (xo+Yo)-(xn+Yn) Il L Il Xo-Xn 1 +li Yo-Ynll· Membrul drept tinde către zero, prin urmare şi membrul stîng, adică Xn+Yn => x 0 + Yo. Diferenţa a0 x0 - anXn o scriem sub forma a0 x 0 -anx 0 +anx0 -anXn. Avem -1.1

unde a este un număr arbitrar, iar i a modulul lui a. Din proprietatea a doua şi a treia a normei rezultă că 11 -x 11 = 11 x 11 şi

llx-y Il~ Il xii-IIY 11;

NORMALE LINIARE

NORMA TE

aoXo-anXn li L

Il aoXo-anXo 11+11 anXo-anXn \\= 1ao-an j + 1an 111 Xo-Xn Il

şi, ţinînd

Il

Xo 11+

seama că din an-+ a0 rezultă mărginire a lui 1 an 1, vedem că membrul .al doilea tinde către zero. Observăm, de asemenea, că dacă Xn==>x 0 ., .atunci Il Xn Il-+ 11 x0 11· Aceasta rezultă din formula 1 Xn il= =P (xn, fJ)) :şi din continuitatea distanţei. Să definim linealul în B: ·o mulţime :de elemente U se numeşte lineal dacă este îndeplinită .condiţia:; ·dacă xkEU (k= 1, 2, ... , m), atunci orice combinaţie liniară a ilor c1 x 1 + c2 x2 + ... + CmXmEU. Este suficient să ne concă dacă X şi yEU, atunci x+ yEU şi axeu pentru orice egere a numărului a. Punînd a= O, vedem că elementul nul apartine oricărei varietăţi liniare nevide. O varietate liniară închisă o ·v0m numi subspaţiu. Este uşor de văzut că dacă U este un Iineal chis, atunci mulţimea închisă U este un subspaţiu, adică înderea linealului duce la un subspaţiu. Aceasta rezultă din -,curs de matematici superioare voi. V

338

SPAŢII

METRICE. SPAŢII NORMATE

OPERATORI 1N

SPAŢII

NORMA TE

339

continuitatea demonstrată mai înainte a expresiilor x + y şi ax. Dacă mulţimea U nu este un lineal, atunci formînd tot felul de com4 bin~ţii liniare vfinite,. C1X1 +c2x2+ •. • + CmXm de elemente XkEU,. obţmem o noua mulţtme de elemente V, care va fi acum un lineal. Ea se numeşte, de obicei, tnvelişul liniar al lui U. Acesta este cel mai mic tineai care îl conţine pe U. .Dacă x 1 , x 2 , .•. , xk sînt elemente liniar independente, atuncf: mulţimea U de elemente din B reprezentabile prin formula x = = c1x1 + c2x2+ •.• + ckxk cu alegere arbitrară a numerelor Cs, este ~vident un lineal. Este uşor de arătat că acest Iineal este o mulţime închisă (subspaţiu). In virtutea independenţei liniare a lui x reprezentarea lui x cu ajutorul formulei indicate mai înainte est~ unică. Un astfel de lineal se numeşte, de obicei finit-dimensional Se pot exprima toate elementele lui U cu ajutorul formulei X=.. = CIYI +c2Y2+ · · • +ckyk unde Ys (s= 1, 2, ... , k) sînt elemente· !iniar. independe,?te, arbitrare. al~ lui U şi Cs numere arbitrare, şi: m once formula care reprezmta toate elementele lui U sub forma· aceasta, numărul termenilor este întotdeauna egal cu k. Acest număr se numeşte dimensiunea lui U. Observăm, că orice subspaţiu a lui B este un spaţiu B. Am defenit mai înainte noţiunea de izometrie pentru spaţiile metrice. Să dăm definiţia izometriei pentru spaţiile B. Două astfel de spaţii X şi X' se numesc izometrice, dacă între elementele lor se poate stabili o corespondenţă biunivocă, astfel încît sînt respecţate urm~toar~le două condiţii: 1) dacă x şi x', y şi y' sînt doua. perechi a~bitrare de elemente corespondente din X şi X',. atunci ax+by ŞI ax' +by' pentru orice alegere a numerelor a şi b· sînt de asemenea elemente corespondente ; normele elementelor corespondente sînt aceleaşi. Din cele arătate rezultă că elementele nule ale lui X şi X' trebuie să fie obligatoriu elemente corespondente şi că distanţele dintre elementele corespondente în X şi X' sînt aceleaşi. Din punctul de vedere al teoriei abstracte nu are sens să dis-tingem spaţiile izometrice între ele, şi vom scrie X= X'.

Pentru spaţiile funcţionale, înmulţirea unui element cu un număr a se reduce prin definiţie la înmulţirea funcţiei cu a, iar adunarea elementelor la adunarea funcţiilor corespunzătoare. Elementul nul în spaţiul şirurilor este sirul format din zerouri, iar în spaţiul funcţiilor - funcţia identic egală cu iero (în C şi V), sau echivalentă cu zero (Îfl M, S şi L p>·

96. Exemple de spaţii normate. 1. Toate spaţiile indicate în [87] în de s şi S sînt spaţii B dacă punem pentru ele 11 x 11 =p (O, x). Atunci pentru spaţiile şirurilor înmulţirea unui element cu un număr a se reduce,. prin definiţie, la înmulţirea fiecărui număr al şirului cu a şi adunarea ele-. mentelor - la adunarea numerelor din aceste şiruri care au acelaşi indice:

Mai jos vom vorbi numai de operatori distributivi, definiţi pe lineale. Reamintim definiţia continuităţii. Un operator A se numeşte · continuu pe elementul x 0 dacă este îndeplinită următoarea condiţie: dacă Xn (n = 1, 2, ... ) şi x 0 ED (A) şi Xn => x 0 în X, atunci Axn=> Ax0 în X'. Este uşor de arătat că dacă un operator distributiv A este continuu pe un element oarecare y 0 ED (A,)

afară

a (~1, ~2' • • .)=(a~l • a~2, · · .) ;

(~I, ~2, • •• )+("1) 1 , "fJ2, •• c.)=

=(1;J+"'ll• g2+"1l2• ••. ).

2. Să considerăm în Rn un domeniu mărginit D şi mulţimea C (!) de c:p (x), care au în interiorul lui D derivate parţiale continue pînă la ordinul !, aceste derivate avînd valori limită pe frontiera lui D şi reprezentînd funcţii continue în domeniul închis D. In acest caz, vom spune pe scurt că funcţia are derivate continue în D. Mulţimea amintită de funcţii este un spaţiu liniar. Să introducem în el următoarea normă :

funcţii

11

c:p

11 c este o convergenţă uniformă în D a funcţiei şi a tuturor derivatelor ei pînă la ordinul !. Conform criteriului de convergenţă al lui Cauchy şi a teoremei cunoscute asupra derivării termen cn termen a şirurilor de funcţii, se poate afirma că dacă şirul de elemente c:pn (x) EC(l) converge în sine, ea converge către un element c:p (x) Edl), adică spatiul C(l) este un spaţiu B.

97. Operatori în spaţii normate. Am definit mai înainte operatorii în spaţii metrice X. In spaţiile normate liniare apar noi elemente. Vom considera că operatorul A este definit pe un lineal D (A) al spaţiului X de tip B, iar mulţimea valorilor sale R (A) aparţine unui spaţiu X' tot de tip B. Operatorul se numeşte liniar dacă pentru xkED (A) şi orice numere ck este îndeplinită condiţia A (c 1x 1 +c2 x 2 ••• +cmxm) = c1Axi + c2 Ax 2 + ... + CmAXm·

(43)

verificăm că A(c 1x 1 )=cAx şi A(x+y)= rezultă imediat că R (A) este un Iineal în X' este elementul nul în X şi 6'- în X', atunci A6=6'. :A (6) =A (Ox),-- unde xED (A), însă A (Ox) =O Ax= 6'.

Este suficient

să

= Ax+Ay. Din (43) şi că dacă Intr-adevăr,

e

SPAŢII

340

METRICE.

SPAŢII.

NORMATE

341

OPERA TORT ÎN SPAŢII NORMA TE

a.tunct el est~ continuu şi pe o_rice__ alt element z 0 ED (A). Fie zn ZoED.(A) ŞI Zn=>z 0 , trebu1e sa demonstrăm, că AZn=>Az0 . Constru1m elementele Yn=(Zn-Zo)+Yo din D(A), unde Yn=> y0 , Avem Azn=AZ0 + Ayn-Ay0 şi, în virtutea !ni Ayn=> Ay0 , avem Azn=> Az0 In modul acesta nu are sens să vorbim de continuitate pe un element al. lu_i J? (A), ci de continuitate pe întregul D(A). Un ope:~tor dtstnbuhv A se numeşte mărginit, dacă există un număr poz1t1v C astfel încît pentru orice xE(DA) 1 Ax il?- C [1 X li· (44) .. O__b~ervă~ că în dreapta norma se ia în X, iar în stînga în X'. Sa. aratam ca pentru un operator distributiv, mărginirea şi continuztatea pe D (A) sînt echivalente. .In. virtutea celor spuse mai înainte este suficient să examinăm c~ntmmtatea ye e!ementul nul e. Să presupunem că are loc (44). s~ demonstram ca d~acă__ XnED(A) ~i Xn=> e, atunci Axn=>e'. ~~~ Xn => e rezulta ca pentru once 8>0 dat, există un N astfel mctt il Xn 11 L 8 pentru n ~AN şi în virtutea lui (44), 11 Axn 11 L::: C8 pentru n ~ N, de unde ţwmd seama că 8 este arbitrar, rezultă că Axn=>9'. da·~a-- x =>{j ş 1· " d "Să (presupunem acum că AxTl ='>a' / ' '"' Tl v, sa . emonst~am 44). Dacă x = e, atunci (44) se transformă în inegahtatea Jl9 IILCil91i,. adică OLCO, -care este îndeplinită (cu semnul =:=) pentru ortce alegere a lui C şi este suficient să demonstram (44) pentru x;ee. Demonstrăm prin metoda reducerii la absurd. Dacă (44) nu are loc, atunci există un şir x ED (A). ·(ilxnli>O), astfel încît IIAxnii=Cnllxnli, unde Cn-++cx:>. In1 troducînd elementele Zn= XnED (A) la care 1 z li-+ O obCnllxnll ' ' n ţinem 11 Azn Il= 1, ceea ce contrazice continuitatea operatorului Ax pe elementul nul. J?~că A este operatorul nul, adică Ax=e' pentru orice xED(A), atu?c1 m. (44) se poate pune C=O. Pentru ori~e alt operator avem ?bhga_tnnu C >O, şi există un C pozitiv minim pentru care are loc me~ahtatea .(44). El, se numeşte normă a operatorului A şi se obţme cu aJutorul formulei nA= sup iJAxJJ. (45) Şl

o

11 X

X

11=1

ED (A)

Norma operatorului nA se notează şi cu simbolul li A ii, astfel încît putem scrie 11 Ax Il L nA ii x 11 sau 11 Ax Il L Il A 1111 x 11 . (46)

Cele spuse mai înainte sînt analoge cu ceea ce am avut de exemplu în !IV; 36] intr-un caz particular. Teorema 1. Dacă pentru un operator mărginit distributiu A linealul D (A) este dens în X, atunci A poate fi prelungit pe întregul X păstrîndu-se distributivitatea şi norma. Deoarece D (A)= X putem reprezenta orice element x0 EX ca limita Xn = > x0 , unde XnED (A). Să arătăm că în X există limita lui Axn, care nu depinde de şirul ales Xn. Intr-adevăr, Jl Axn-AXm \\

=

1,\ A(Xn-Xm)\\ L \\A\\\\ Xn-Xm

1\

>

şi, în virtutea lui Xn = x 0 , membrul al doilea tinde către zero cînd 11 şi m-+ cx:>, însă atunci şi 1\ Axn- Axm 1\--+ O, şi, în virtutea comp'etitudinii lui X', există limita lui Axn. Rămîne să den.onstrăm independenţa limitei lui Axn de alegerea şirului Xn. Fie x,, şi x;,ED (A), pentru care Xn = x 0 şi x;z = x 0 • Trebuie să demonstrăm că limitele lui Axn şi Ax;z, coincid. Existenta limitelor ca atare rezultă

+

>

>

din cele precedente. Este uşor de văzut că şirul x 1 , x'1 , x 2 , x~, x3 , x3, o.. are de asemenea ca limită pe x0 • Prin urmare şi şirul Ax 1 • Ax!, A x- 2 , Ax2, Ax3 , Ax3, ... are o limită yEX'. Dar atunci şi subşiruri le Axn şi Ax~ au aceeaşi limită y, adică o aceeaşi limită. Dacă x0 EX, însă x0 ED(A), atunci luăm un şir oarecare XnED (A) şi Xn=> x 0 şi punem Ax0 = Iim Axn. Să demonstrăm că Il~

a:>

operatorul astfel definit în X este distributiv şi norma lui nu creşte cînd trecem de la D (A) la X. Fie Xo şi Xo X~ şi X~ două şi­ ruri din D (A) care au ca limite pe x~ şi x 0 (dacă de exemplu x(,ED(A) atunci putem pune toţi x~=x 0 ). Ţinînd seama că în D(A) operatorul A este distributiv, şi ţinînd seama de continuitatea adunării şi înmulţirii cu un număr, obţinem

ex.

A (c 1x&+c 2 xo) =Iim A (c 1 x~+ c2x;z) = c, Iim Ax~+ c2 lim Ax;,= n~a:>

n~oo

=

rz-too

c, Axo+ c2 Ax().

Păstrarea normei rezultă din inegalitatea \\ Ax;l \1 L Il A Il il x~ Il r în care în membrul drept \\A\\ este norma lui A în D (A), după trecerea la limită. Norma nu poate, evident, să scadă. Teorema este astfel demonstrată. Procedeul indicat mai înainte, de prelungire a lui A se numeşte de obicei prelungire prin continuitate.

343

FUNCŢIONALE LINIARE SPAŢII

342

METRICE.

SPAŢII

NORMATE

?ă arătăm de asemenea că prelungirea ~ntr~ .un"anumit sens u?ic~: dacă B este

--------

lui A din D (A) pe X

un operator mărginit d1stnbut!V 1n X, care c01nc1de cu A pe D (A), atunci B coincide peste tot .cu prelungirea .lui A prin continuitate. Fie x ED (A) x~ED (~) şt Xn=> x0 • In vtrtutea continuităţii lui B şi a coi~cidentei es.te

IUl B

şt

A pe D (A), avem

Bx0 = Iim Bxn=lim Axn= Ax0 , n-+co

unde y este e!ementul dat, iar x elementul cautat _din .x. Este uş~r de verificat ca operatorul Ax= y+Bx (A - notatta dm [86]) vt.nfică condiţia de aplicabilitate a principiului contracţiei. Intr-adevăr 11 Ax2-Ax1 Il= 11 B(x2-xt) 11 / cx 11 x2-X1 11 (O< cx O, în virtutea lui (58), există un N,. astfel încît Jln (x) -lm (x) 1 Le 11 x :1 pentru n şi m ~ N. Trecînd la limită pentru m--+ co, obţinem ln (x)-1 (x) 1 L s Il x Il pentru n ~ N~. adică lll-ln[[Ls pentru n~N, ceea ce dă [[1-ln/I~O. Completitudinea lui X* este demonstrată. Jn modul acesta spaţiul X* este un spaţiu de tip B. El se numeşte spaţiu conjugat cu X"

şi

+ Lx (1 2 )

Lx (l) este o funcţională Din inegalitatea

JJlm !J + /Jlnm [J.

In virtutea lui (58) există un N, astfel încît J[lnm 11 L 1 pentru n· şi m ~ N. Fixînd m = m0 ~ N, obţinem llln Il L lllmo Il+ 1 pentru n ~ N, iar printre numerele pozitive în număr finit llln (Il= 1, 2, ... ,. N -1) există unul care este cel mai mare. In modul acesta din (58): rezultă că există un C >O astfel încît [[ln Il L C pentru toţi indicii n. Avem mai departe Jln (x)-lm (x) [ L \Jln-lm JJIJ X J[' şi din (58) rezultă că Jlrz (x)-lm (x) [-+O pentru 11 şi m -+co

ln (x+ y) = ln (x)

349

CONJUGATE

(al 1 )(x)=al 1 (x),

şi

Lx (al)= aLx (l),

distributivă

în X*.

Il (x) / L 1111\1! x Il, in virtutea lui Lx (!) = l(x)

(59)

rezultă

(60) ILx(l)J LJ\x[IIJl\1' unde Il x Il este norma lui x în X şi 11111 norma lui l în X*. Din (60) rezultă că norma funcţionalei Lx (!) în X* nu este mai mare decît 11 x Il , adică ea este mărginită în X*. Aşadar, Lx (!) este o funcţională liniară în X*. Dacă x=e este elementul nul din X, atunci La (l) = l (fJ) =O pentru orice lEX*, adică La (l) este elementul nul din X**. Din (60) rezultă că norma lui Lx (l) nu este mai mare decît 11 x Il· Dar în virtutea teoremei 2 din [98] pentru orice x ;t; () există o funcţională l (x), astfel încît l (x) = 11 x Il şi 11111 = 1. Pentru acest l ambii membri ai lui (60) sînt egali cu 11 x 11 şi are loc semnul =, de unde rezultă că norma lui Lx (!) este egală cu Il x 11· Mai departe, din

l(x 1+x2)=l(xt)+l(x2) rezultă că

şi

în general

In particular

şi

l(c1x1)=c1l(x1)

SPAŢII

350

METRICE.

SPAŢII

CONVERGENŢA

NORMATE

de unde, în virtutea celor spuse mai î11ainte despre normă, rezultă: 11Lx1 -Lx2 11= llx 1 -x 2 11, iar de aici rezultă că unor x diferiţi le corespund elemente diferite Lx în spaţiul X**. Din cele expuse rezultă următoarea afirmaţie importantă: Teoremă. Fiecărui element xEX i se poate pune în corespondenţă un element Lx EX**. In această corespondenţă unor x diferiţi le corespund Lx diferiţi, adunării şi înmulţirii cu un număr în X le corespund aceleaşi operaţii pentru elementele

corespondente din X**, iar normele elementelor corespondente din X şi X** sînt egale. Această afirmaţie ne permite să identificăm pe Lx cu x, adică să cufundăm pe X în X** , ceea ce se scrie astfel: XC X** cu alte . cuvinte X este izometric unei părţi a lui X**. Vom vedea mai departe că -în unele cazuri X este izometric cu întregul X**, adică X**= X. Un astfel de spaţiu X se numeş 'e reflexiv. Adesea în loc de l (x) = Lx (l), se foloseşte notaţia (l, x) sau (x, l) (61) (x, l) = (!, x) = l (x), şi (x, l) se numeşte produsul intern al elementului lEX* cu elementul xEX. Elementele l şi X se numesc ortogona'e dacă

(x, l) =O.

Inegalitatea (59) se scrie sub forma: 1

şi

(x, l) 1L:: lll\111 x

din cele spuse mai înainte

Il,

rezultă:

(ax, bl) = ab (x, l); (x 1 +x 2 , l) = (x 1 , l) (x, l 1+l2)=(x, l.) + (x, l 2 ), unde a

şi

(62)

+ (x 2 ,

l);

b sînt numere reale arbitrare.

Pînă în prezent am examinat spaţii reale de tip...,B. Tot ce s-a arătat rămîne valabil şi pentru spaţiile complexe de tip B (înmulţirea elementelor x cu numere complexe arbitrare). In acest caz şi funcţionalele pot lua valori complexe. In continuare, prin ii vom nota ca şi mai înainte, numărul complex conjugat cu o:(~X=a+bi; -a.=a-bi). Observăm că dacă l(x) este o func-

în B, atunci l (x) este de asemenea o funcţională X, însă nu o funcţională liniară, deoarece l (x) se înc atunci cînd x se înmulţeşte cu numărul complex c.

A

FUNCŢIONALELOR

351

Spaţiul

conjugat X** se defineşte nu ca mulţimea tuturor l (x), ci tuturor l (x). Adunarea elementelor din X* şi înmulţirea lor cu un număr complex este adunarea şi înmulţirea obişnuită a numerelor complexe. Norma lll ~ se ia egală cu lllll, atunci Il (x) 1L:: \l"ill • 11 x 11 şi numărul ll"ill nu poate fi înlocuit printr-unul mai m~c. Spaţiul X* este de tip B. Produsele interne se definesc prin formulele ca

mulţimea

(l, x)= l (x);

(x, l)= (l;X) =l (x).

Atunci pentru orice numere complexe a

şi

(63)

b

(al, bx)=ab (l, x), (64) Spaţiul X**=(X*J* are aceeaşi legătură cu X ca şi în cazul spaţiului real. 100. Convergenta slabă a funcţionalelor. Am examinat în [99] următoarea convergenţă a şirului de funcţionale liniare ln (x) către functionala l (x): lll-ln 11 ~O şi cu atît mai mult ln (x) ~ l (x) pentru orice xEX. O astfel de convergenţă se numeşte de obicei convergenţă în normă. Atunci din [99] rezultă că normele lui l n(x) sînt mărginite, adică nu depăşesc pentru orice n un anumit număr pozitiv. Să introducem acum o nouă noţiune de convergenţă. Se spune că şirul de funcţionale liniare ln (x) este slab convergent (converge slab), dacă pentru orice xEX şirul numeric ln (x) are limită (finită): Să notăm această limită cu 1(x). Aceasta este o funcţională definită în întregul X. Distributivitatea ei rezultă din distributivitatea lui ln (x) şi am putea afirma şi mărginirea ei (şi prin aceabta liniaritatea), dacă am şti că şirul llln 11 este mărginit. Se constată că aceasta are într-adevăr loc. Teorema 1. Fie L o m_ulţime oarecare de funcţionale liniare l (x). Presupunem că pentru orice element x există un număr pozitiv mx, astfel încît ll (x) L:: mx dacă ZEL, adică pentru x fix mulţimea de numere Il (x) este mărginită. Atunci normele funcţionalelor l (x) (!EL) sînt mărginite. Să arătăm mai întîi că pentru demonstrarea teoremei este suficient să stabilim mărginirea lui ll (x) 1 într-o sferă oarecare. Intr-adevăr, să presupunem că există un număr pozitiv b, astfel încît 1

1

ţională liniară mărginită în mulţeşte cu

SLABĂ

Il (x) 1L:: b dacă

(!EL),

x aparţine unei sfere închise S(x 0 , a)

(Il x-x0 Il

(65)

/a) şi fie y

352

SPAŢII

METRICE.

SPAŢII

NORMATE CONVERGENŢA

un element arbitrar al lui X, diferit de elementul nuL Elementul ·X= il; li y+x 0 aparţine lui S (x 0 , a) şi, în virtutea lui (65), avem j

şi

FUNCŢIONALELOR

353

este mărginit şi în virtutea teoremei şirul lllnll este mărginit. După cum am observat, de aici rezultă că limita l (x) a unui şir slab convergent de funcţionale liniare este de asemenea o funcţională liniară.

; z(y)+l(x0 )\Lb 11 11

Dacă şirul llln 11 este mărginit, se constată că pentru convergenta slabă a funcţionalelor este suficient să cerem existenţa limitei lui ln (x) nu pe întregul X ci numai pe un lineal dens în X.

a fortiori

de unde (66) pentru orice yEX, adică 11111 L ~ , ceea ce constituie afirmaţia teoremei. Prin aceasta, dacă mulţimea de numere Il (x) 1 este mărginită intr-o sferă, teorema este demonstrată. Acum demonstrăm teorema prin metoda reducerii la c:.bsurd. Presupunem că mulţimea amintită este nemărginită în orice sferă închisă ; vom arăta că aceasta ne conduce la o contradicţie. Să fixăm o sferă închisă oarecare S 1 • Conform celor demonstrate există un element x 1ES1 şi o funcţională / 1EL, astfel încît Jl1 (xt) 1 > 1. In virtutea continuităţii lui /1 (x) se poate considera că x 1 se află în interiorul lui S1 şi că inegalitatea / 1 (x) > 1 este satisfăcută în întreaga sferă S (x 11 rt), unde r 1 este un număr pozitiv suficient de mic. Ca şi mai înainte, se va găsi un element x2 situat în interiorul lui S (x 1 , rt), o funcţională l 2ES şi un număr pozitiv mic r 2 , astfel încît sfera S (x2 , r 2 ) aparţine lui S (x1 , rt) şi în toată această sferă este îndeplinită inegalitatea 112 (x2 ) 1 > 2. Continuînd aşa mai departe obţinem şirul de sfere incluse una în alta S(x 1 ,rt)=:>S(x2 , r 2)=:>S(x3 , r 3 )=> ••• şi de funcţionale l !{.EL astfel încît, în întreaga sferă S (xk, rk) este îndeplinită inegalitatea Jlk (x) k. Se poate considera desigur că rk-+ O în k-+ co. In punctul x 0 aparţinînd tuturor acestor sfere [85] 1

SLABA A

>

este îndeplinită prin aceasta inegalitatea llk (x0 ) 1 > k, ceeace contrazice faptul că mulţimea de numere Il k (x 0 ) 1 trebuie să fie măr­ ginită. Teorema este astfel demonstrată. Dacă un şir oarecare de funcţionale ln (x) pentru orice x are o limită finită, prin aceasta şirul de numere lln (x) 1 pentru orice x

Teorema 2. Pentru ca un şir de funcţionale ln (x) să fie slab convergent este necesar şi suficient ca şirul llln 11 să fie mărginit şi să existe limita lui ln (x) pe un lineal dens în X. Necesitatea primei condiţii decurge din teorema 1, iar a celei de a doua este evidentă. Trecem la demonstrarea suficienţei. Să notăm cu V linealul despre care este vorba în a doua condiţie a teoremei. In virtutea primei condiţii llln 11 L C, unde C este un număr pozitiv. Notînd cu l (x) limita lui ln (x) pentru xEU, putem afirma că l (x) este o funcţională mărginită şi distributivă pe U (norma ei nu depăşeşte pe C). Putem prelungi această funcţională prin continuitate asupra întregului X. Vom nota ca şi mai înainte cu 1(x) functionala liniară astfel obţinută şi vom demonstra că ln (x)-+ l (x) pentru orice xEX~ Dacă xEU, atunci aceasta are loc. Fie XoEU. Pentru orice 8 >O dat există un element xcEU, astfel încît 5 !lx0 -xâi!L 4 c· Ţinînd seama că normele lui ln(x) şi l(x) nu depăşesc pe C, putem scrie

Il (xo)-ln (x0 ) 1L Il (x0 )-l (xo) 1+ [l (xo)-ln (x6) 1+

-+

lln(xb)-ln(xo)ILIIlllllxo-xăll

+ llln 11·11 xo-Xo 11 L Insă

+ ll(xb) -ln(xă)l +

~ +Il (x&)-ln (xr) 1.

l n (x6)-+ l (xo) şi prin urmare există un indice N, astfel încît Il (xb) -In (xo) 1 L ~ pentru n ~ N, şi din inegalitatea precedentă: Il (x0 ) -In (x 0 ) L 8 pentru n ~ N, de unde rezultă că ln (x0)-+ l (x0 ). Observaţie. A doua condiţie din teoremă poate fi înlocuită prin următoarea: există limita lui ln (x) pe o mulţime de elemente V, al cărei "înveliş" liniar U (lineal) este dens în X. ·Intr-adevăr, din convergenta lui ln (x) pe V rezultă, în virtutea distributivităţii lui ln (x) convergenta lui ln (x) pe U. 1

· 23- Curs de matematicj superioare vol. V

SPAŢII

354

METRICE.

SPAŢII

NORMATE

CONVERGENŢA SLABĂ

A ELEMENTELOR

355

~---------------

Noţiunea de convergenţă slabă a funcţionalelor duce în mod firesc la noţiunea de compacitate slabă. Mulţimea W de elemente din X* se numeşte slab compactă dacă din orice şir de funcţionale lnE W se poate extrage un subşir slab convergent.

Teorema 3. Dacă X este separabil, atunci orice mulţime de funcţionale ( lll 11 L r (r> O)) este slab compactă. Trebuie să demonstrăm că dacă normele şirului de funcţionale liniare ln (x) sînt mărginite, llln 11 L r, atunci se poate extrage un subşir lnk (x) convergent pentru orice xex. Fie Xt ' x2' ••• o mulţime numerabilă V de elemente din X, densă în X. Pentru orice m avem Jln (Xm) 1 L r Il Xm 11, adică şirul de numere ln (xm) (n = 1, 2, 3, ... ) este mărginit. Aplicînd procesul de diagonalizare obişnuit [IV; 15], formăm subşirul lnk (x) convergent pe toate elementele lui V. Din observaţia la teorema precedentă rezultă că şirul con.verge pe întregul X şi teorema este astfel demonstrată. Observaţie. Este evident slab compactă şi orice mulţime măr­ ginită de elemente din X* deoarece ea poate fi inclusă într-o

Din convergenta slabă nu rezultă în general convergenta tare. un exemplu. Să considerăm spaţiul L 2 pe intervalul [0, 1 ]. Drept şir Xn să luăm funcţiile sin nrct (n = 1, 2, ... ,). După cum se va arăta la [102], forma generală a funcţiona­ Ielor din L 2 [0, 1] este dată de formula Dăm

mărginită

sferă

Jllll

L r.

101. Convergenţa slabă a elementelor. Să introducem acum noţiunea de convergenţă slabă a elementelor spaţiului X de tip B. Se spune că un şir de elemente Xn din X converge slab către elementul x0 şi se scrie Xn ~-+ x 0 , dacă l (xn)-+ l (x) pentru orice funcţională liniară l (x). Elementul x 0 se numeşte limită slabă a lui Xn. Să arătăm că şirul { Xn} nu poate converge slab către limite distincte. Intr-adevăr, dacă Xn ~-+ x 0 şi Xn ~-+ Yo atunci prin definiţie l-(xn)-+ l (x0 ) şi l (xn)-+ l (y0 ) pentru orice lEX* de unde l (y 0 ) = l (x0 ) sau l (y 0 - x 0 ) = O pentru orice lEX*. Dacă însă y 0 :1: x0 , adică y0 -x 0 nu este elementul nul, atunci există un element lEX*, astfel încît l (y 0 - x 0 ) = 11 Yo- x 0 11 > O, ceea ce contrazice cele spuse mai înainte şi, prin aceasta, afirmaţia formulată este demonstrată. Dacă Xn ~-+ x 0 , atunci evident şi orice subşir Xnk ~-+ Xo. Dacă Xn ~-+ Xo ' .yn ~-+ Yo şi an-+ ao atunci anXn ~-+ a0 x0 , Xn+ Yn ~-+ x 0 + y0 • Aceasta rezultă imediat din distributivitatea funcţionalelor. Convergenta în normă 11 x0 -xnll-+ O, pe care am notat-o sub forma Xn=> x 0 , se numeşte uneori convergenţă tare. Noi am numit pur şi simplu convergenţă. In virtutea continuităţii unei. funcţionale liniare, din Xn = > x 0 rezultă că l (xn)-+ l (x 0 ) pent~u orice lEX*, adică din convergenta tare rezultă convergenta slabă.

l (x) =

~~! (f) x (t) dt,

unde f (t) este o funcţie· fixă din L 2 [0, 1] şi x (t) este un element oarecare al acestui spaţiu. In particular, pentru elementele Xn (t) = sin nnt, avem

~ of 1

l (Xn) =

.

(t) şin nnt dt,

de unde se vede că, cu aproximaţia unui factor V2, l (xn) sînt coeficienţii Fourier ai lui f (t) faţă de sistemul sin nrct pe intervalul [0, 1]. Ştim că l (xn)-+ o pentru orice alegere a lui f (t) din L2 [0, 1], adică l (xn)-+ l (6), unde 6 este elementul nul din L 2 [0, 1] (funcţia echivalentă cu 0). In modul acesta sin nrct ~:...-+ () pentru n-+ oo în L 2 [0, 1]. In acelaşi timp, nu există convergenţă tare, deoarece

Teorema l. Dacă Xn ~-+ x 0 ,

mărginit.

atunci şirul

11

Xn 11

este

Putem considera pe Xn şi x0 ca elemente ale lui X**. Afunc din Xn ~-+ x 0 rezultă că funcţionalele din X* corespunzătoare lui Xn converg slab către functionala corespunzătoare lui x 0 • Dar . atunci, conform formulei 1 din [lOOJ, normele funcţionalelor amintite, egale cu 11 Xn 11, formează o mulţime mărginită şi teorema este astfel demonstrată. .~ Compacitatea slabă a unei mulţimi de elemente din X se defineşte la fel ca şi compacitatea slabă a unei mulţimi de funcţionale. Orice mulţime mărginită de elemente x ( 11 x 11 / C) este o mulţime mărginită în X**, însă această din urmă mulţime, în cazul lui X* separabil, este slab compactă, ca mulţime de funcţionale în X*. Dacă ..X este un spaţiu reflexiv, adică X**=X, atunci din cele arătate rezultă:

356

SPAŢII

METRICE.

SPAŢII

CONVERGENŢA

NORMATE

Teorema 2. Dacă X este un spaţiu reflexiv, iar X şi X* separabile, atunci orice mulţime mărginită de elemente ale lui X este slab compactă. Observăm că dacă X nu ~ste un spaţiu reflexiv, adică X** este mai larg decît X, limita unui şir de elemente din X** poate fi un element din X**, căruia să nu:-i corespundă nici un element din X. Se poate demonstra că dacă X este separabil şi reflexiv atunci şi X* este separabil. Din corespondenta indicată mai înainte dintre elementele xEX şi elementele X**, şi din teorema 2 din [100] rezultă imediat: .

Teorema 3. Pentru ca un şir Xn de elemente ale unui spatiu reflexiv X să fie slab convergent, este necesar şi suficient' ca şirul 11 Xn 11 să fie mărginit şi să existe limita lui l (xn) pe un lineal oarecare U de elemente lEX* dens în X*. Ca şi în [lOD] linealul U poate fi înlocuit printr-o mulţime \t de elemente ale lui X* al cărui înveliş "liniar" este dens în X*. Teorema 4. Fie A un operator liniar în spaţiul X de tipul B şi R (A) aparţine spaţiului X' tot de tip B. Dacă Xn ~-+ x 0 fn X, atunci Axn -~-+ Ax0 fn X'. Fie m (y) o funcţională liniară oarecare în X'. Este uşor de văzut că m (Ax) este o funcţională liniară în X şi din Xn ~-+ x 0 în X rezultă că m (Axn)-+ m (Ax 0 ). Aceasta are loc pentru orice funcţională în X', prin urmare Axn ~-+ Ax 0 în X', şi teorema

este astfel demonstrată. Ştim că un operator liniar este continuu în sensul convergenţei tari. Teorema 4 afirmă că el este continuu şi în sensul convergenţei slabe. Am văzut că dacă Xn => x0 , atunci 11 Xn \\-+ 11 x0 1\ [95]. Pentru convergenta slabă, această proprietate poate să nu existe. Să revenim la exemplul indicat mai înainte al şirului de funcţii sin nrcx din L 2 pe [0, 1]. Am văzut că sin nrcx ~-+ e, iar 11 sin nrcx 11= V~·

Teorema 5. Dacă Xn ~_,. x0 , atunci 1\ x 0 \1 L Iim Il Xnll· Observăm în primul rînd că Iim 11 Xn \1 este finită în virtutea teoremei 1. Demonstrăm teorema prin metoda reducerii la absurd. Fie Il x0 11 > Iim 1Xn J. Să luăm un număr oarecare m care verifică inegalitate a 11

x 0 \i

> m > Em \\

Xn

Il •

SLABA A ELEMENTELOR

357

----------------------

(67)

De aici rezultă că există un N astfel încît 11 Xn Il < m pentru n ""-- N. Mai departe există o funcţională liniară l (x) astfel încît l (x0 ) = = Il x 0 11 şi 11111 = 1 [98] şi avem Il (xn) 1~ \Jlll • \1 Xn 11 , adică Jl (xn) 1 L 11 Xn 1\ < m pentru n ~ N, iar în virtutea lui (67) l (x 0 )= = lJxoll > m. In modul acesta l (xn) nu tinde către l (x 0 ) ceea ce contrazice condiţia teoremei şi teorema este astfel demonstrată. Să presupunem că spaţiul X satisface următoarea condiţie: pentru orice o> O dat există un număr 1} II).

de convexitate

uniformă

Teorema 6. Dacă Xn ~-+ x 0 , atunci x0 aparţine închiderii normă) a fnvelişului liniar al unui şir de elemente

(după

Demonstrăm prin metoda reducerii la învelişul liniar al elementelor Xn; să presupunem că aparţine lui U, adică

xn (rz= 1, 2, ... ). Fie U

inf

11

Xo-Y

11

absurd. x 0 nu (68)

=d>O.

YEU

Pentru orice

număr

t diferit de O, avem 11

txo+Y 11

"'--1

t! d.

(69)

Intr-adevăr

Dacă însă

din (68).

Să

yEU, atunci examinăm

şi

acum

1

-t yEU mulţimea

şi

rezultă

imediat de elemente de forma (69)

x=tx0 +y,

(70)

unde yEU şi t este un număr oarecare. Ca ş1 m [98] este uşor de văzut că reprezentarea lui x sub forma (70) este unică şi că 1) C. JI. Co6oJteB, HeKoTophie npHMeHeHIUI cpyHKUHOHaJihHoro B MaTeMaTHqecKOH cpH3HKe, JlfY, 1950.

aHaJinsa

SPAŢII

358

METRICE.

SPAŢII

FUNCŢIONALE

NORMATE

mulţimea indicată de elemente x este Jineal. Să-I notăm cu şi să definim pe el o funcţională distributivă cu ajutorul

litera V formulei

l (x)=t astfel încît l (y)=O dacă yEU. Să demonstrăm că această funcţională este mărginită pe V. Fie t:;t:O. In virtutea lui (69) putem scrie 1

Teorema 7 poate fi formulată are completitudine slabă.

această

inegalitate este

!

> x0

pentru k -+-

1

=> x0

(71)

unde g (x) este o funcţie cu variaţie mărginită, continuă Ia dreapta verificînd condiţia g (a) =0, funcţii g (x) diferite cu proprietăţile indicate generînd funcţionale l ( f) diferite. Ştim, de asemenea că şi

I!LII =

b

V g (x). Putem astfel a

din C o b

f~mcţie

11 g Il= V g (x) a

amintite.

g (x) cu

să

punem în

corespondenţă fiecărui

proprietăţile

şi să identificăm spaţiul C

Spaţiul

V este un

spaţiu

menţionate

cu

spaţiul V

f

oo.

cu norma al

funcţiilor

Formula (71) o astfel de

In modul acesta spaţiul C este cufundat în C**. Să arătăm că nu toate funcţional ele din V sînt reprezentabile prin formula (71 ). Să luăm ca funcţională 10 (g) în V suma salturilor lui g (x) şi să arătăm că ea nu este reprezentabilă printr-o formulă (71) pentru nici o alegere a funcţiei continue (x). Să construim următorul

f

element al lui V: O pentru aL xa). \ 1 pentru c ~ x L b. Dacă am avea formula (71) am obţine 10 (g0 )=j(c). Jnsă suma -calculelor lui g 0 (x) este egală cu 1, şi prin urmare f (c) = 1, adică funcţia continuă f(x)=:l. Dar atunci formula (71) dă l0 (g)=g(b)-g(a), iar această diferenţă nu este sumă a salturilor pentru orice funcţie g (x) EV. In modul acesta, C** este mai larg decît C, adică C nu este un spaţiu reflexiv. Tot ce s-a spus mai înainte se referă la funcţiile reale, însă· poate fi extins şi la funcţiile complexe. 2. Să stabilim acum forma generală a unei funcţionale liniare :în spaţiul Lp (p> 1) al funcţiilor reale pe o. mulţime măsurabilă mărginită &0 din Rn. Fie l (/) o asemenea funcţională şi w$ (x) go (x)=

'

Teorema 7. Dacă spaţiul X este reflexiv şi şirul XnEX cqnverge slab în sin~, adică! (xn)-l (xm)=l (xn-Xm)-+ O pentru n şz m-+ oo pentru orzce element lEX*, atunci acest şir Xn este slab convergent. Din condiţiile teoremei şi criteriul Cauchy pentru şiruri numerice ~e~ultă că l (xn) are limită pentru orice lEX*, adică funcţionalele hmare LxnU) = l (xn) în X* au limită pentru orice lE X*. Această limită este de asemenea o funcţională liniară în X*. Din reflexivitatea lui X rezultă însă că această funcţională limită are forma Lx = l (x0 ), adică pentru orice lEX* avem l (xn)-+ l (x 0 ), adică Xn ~-+ x 0-, ceea ce trebuia demonstrat. 0

şi

l (/)

de tip B [96].

Să considerăm acum funcţionale le din C* adică în V. pentru orice funcţie (x) fixă, continuă pe [a, b), dă funcţională.

. _?e poate ~emonstra o afirmaţie mai tare : dacă Xn ~-+ x 0 atunci ex1sta un subş1r Xnk (k= 1, 2, ... ) astfel încît k (Xnl+xn2+ ••. +xnk)

reflexiv X ·

a

evidentă.

x0

c~ Xt + c~x2 + ... + c~/~nk =

spaţiu

b

(k=1, 2, ... ) către

astfel: un

l(f)= ~ f(x)dg(x),

In modul acesta 11111 L pe V. Putem prelungi pe l asupra întregului X cu aceeaşi evaluare a normei şi obţinem o funcţională liniară l(x). Prin definiţie l(x0 )=1 şi l(xn)=O deoarece toţi xnEU. Vedem că l (xn) nu tind către l (x 0 ), ceea ce contrazice condiţia teoremei: Xn ~-+ x0 • Teorema este astfel demonstrată. Teorema demonstrată poate fi formulată şi în modul următor: dacă Xn ~-+ x 0 atunci există un şir de combinatii liniare de clemenft Xn '

care tinde tare

şi

359

102. Funcţionale Hniare în C, Lp şi lp. 1. Ştim că în C pe un interval finit [a, b] forma generală a unei funcţionale liniare .este [15}

ll(txo+Y)I=ItiLll lltxo+YII· Pentru t=O

LINIARE IN C, Lp ŞI lp

(/)

360

SPAŢII

METRlCE.

SPAŢII

NORMATE

FUNCŢIONALE LINIARE

funcţia caracteristică a

Este evident

că

unei mulţimi măsurabile oarecare ~ : ~o wg; (x) ELp ($0 ) şi vom nota l (wg;)=F ($).

C ~.

unde relativ la 'ljJ (x) putem afirma pe ~o. Am demonstrat astfel că

(72)

+lS

In virtutea

distributivităţii

l (cp)= (73}

converge în Lp (~0 ).

Intr-adevăr,

şi ultima sumă tinde către zero tivităţii complete a măsurii. In

cînd q şi r-+ oo, în virtutea adifiecare punct x din ~ seria (73) converge către w$ (x). Prin urmare şi în Lp (~ 0 ) ea converge către w$ (x) [62] (sau către o funcţie echivalentă cu aceasta) adică 00

w$

(x)

= ~

w$k

(x),

(74)

k=I

unde convergenta poate fi înţeleasă ca o convergenţă în Lp (~0 ). In virtutea continuităţii funcţionalei l (/) în Lp (~ 0 ), din (74) obţinem F(~)= F' (~t)+F (~ 2 ) adică

de

aditivitatea

măsură nulă,

completă

a

+...

funcţiei F(~). Dacă ~,

este o

mulţime

atun ci

adică

[~$'dx

r

l (CfJn) =

(~)= ~$ ~J (x) dx,

sumabilă

lui l (f) avem

rj$0 'V (x) cp (x) dx

(75)

~$'V (x) CFn (x) dx.

(76)

următor: 1

cp(x)= {

'V (x)

NP'-l

1

P'-I

sgn 'ljJ(x) pentru

sgn 'V (x)

unde

I

F ( ~) reprezentarea F

ea este

Este evident că CFn (x) => cp (x) în Lp (~ 0 ) şi se poate trece la limită sub semnul integralei [54] în ultima formulă. Continuitatea funcţio­ nalei l (cp) duce la formula (75) care este astfel stabilită pentru orice funcţie cp (x) pozitivă, mărginită şi măsurabilă pe ~o. Cazul unei functii mărginite, de orice semn, se reduce imediat la cel examinat cu ajutorul reprezentării: cp (x) = cp + (x)- cp- (x), unde cp+ (x) şi cp- (x) sint partea pozitivă şi partea negativă a lui cp (x). Să demonstrăm acum că 'ljJ (x) ELpr (~ 0 ), unde _!_ + J,p = 1. SubstiP tuind in (75) funcţia mărginită cp (x) măsurabilă definită în modul

=o,

l [w$' (x)] =0, dacă m (~')=0 şi teorema din [73] dă pentru

deocamdată că

361

pentru orice funcţie mărginită cp (x) cu un număr finit de valori. Să arătăm acum că formula este adevărată şi pentru orice funcţie cp (x) mărginită şi măsurabilă pe ~o. [O astfel de functie aparţine lui Lp (~ 0 )]. Să presupunem mai întîi că 'P (x) ~O. Conform teoremei 1 din [46] există un şir de funcţii CFn (x) cu un număr finit de valori finite, astfel încît CFn (x) ~ cp (x) uniform pe ~o. Prin aceasta, CFn (x) sînt mărgini te pe ~o printr- un acelaşi număr. Pentru CFn (x) avem formula

1

11 [w®.(x)] 1L 11111·11 "'$' (x) IILp(Sol L 11111

ŞI lp

r.)g;o 'V (x) Wg; (x) dx.

l fw$ (x)]=

Să arătăm că această funcţie de mulţimi, definită pentru toate $ măsurabile din $ 0 este complet adi ti vă.· Fie $ = $ 1 2 + ... , unde mulţimile măsurabile ~]~ sînt disjuncte două cîte două. Seria

!N C, Lp

pentru

1

'ljJ (x)

1

1

'ljJ (x)

1

1 pentru o:>O, -1 pentru o:: N,

(77)

SPAŢII

362

METRICE.

SPAŢII

FUNCŢIONALE

NORMATE

obţinem

l (cp) ~ ~~ 1 cp (x) IP dx,

(78)

o

1

deoarece 11!J (x) 1~ 1cp (x) Pe de

altă

1 P'-

1

Pentru cpn (x) avem formula (75) loc şi pentru orice Holder

rezultă că ea are tea inegalităţii lui

parte

~

1 ( 'i') / 1111 1-11 'P 11 = 1111[ [ So \ '1' (X) şi

r. '!J(X)cpn(x)dX~\ '!J(X)cp(x)dx. J~o · J~o

-,- 1 = p. p-

[P dx

r•

11 (O. Pe această cale obţinem o funcţie 'V (x) ELp' (~ 00 ) echivalentă cu lVm (x) pe Âm şi avem l (cp) = \ 'V (X) cp (X) dx. J~c.o

Deoarece funcţiile finite sînt peste tot dense în Lp (~ ) ajungem la f~aptul că toate cele spuse mai înainte pentru Lp (~or au loc şi

ŞI lp

365

pentru Lp (~ 00 ). Este uşor de extins rezultatele obţinute şi asupra spatiuJui complex Lp (~ 0 ), pentru care şi funcţionalele pot lua valori cotnf)lexe. Din cele spuse mai înainte rezultă imediat că spaţiul L; (~ 0 ) poate fi identificat cu Lp' (~ 0 ) şi, prin aceasta, cu L~* (~ 0 ), · adică Lţ, (~ 0 ) coincide cu Lp (~ 0 ). Cu alte cuvinte, membrul doi al formulei (75) pentru cp (x) ELp (~ 0 ) fix dă ferma generală a unei funcţionale liniare în Lp' (~0 ) cu norma egală cu 11 cp IILp(~o)· In modul acesta spaţiul Lp(~ 0 ) este reflexiv. In virtutea faptului că Lp(~ 0 )= = Lt· (~ 0 ) şi Lp' (~ 0 ) este separabil, se poate afirma că orice sferă din Lp (~ 0 ) (sau orice mulţime mărginită) este slab compactă. Pentru p=2 avem p 1 =2: adică L~ (~ 0 ) este L 2 (~ 0 ). Vom examina amă­ nunţit acest caz în capitolul următor. Tot ce s-a spus mai înainte este valabil şi pentru Lp (~ 00 l. Folosind formula stabilită mai înainte a funcţional ei liniare în Lp (~ 0 ) (p > 1) să demonstrăm următoarea teoremă:

Teoremă. Dacă 'V (x) este o funcţie măsurabilă pe o mulţime ~o mărginită şi măsurabilă şi produsul 'P (x) cp (x) este sumabil pe ~o pentru orice cp (x) ELp (~ 0 ) (p 1), atunci 'V (x) ELp' (~ 0 ).

>

Din condiţiile teoremei rezultă imediat că 'V (x) poate lua o valoare infinită numai pe o mulţime de măsură nulă şi se poate considera că 'V (x) ia numai valori finite. Să definim şirul de funcţii . 1Vn (x) =

{ tv:(x) n

dacă

I1.V····(x)] L. n,

d

1 . ( '1

aca V

'V, xt

·> n,',

(84)

care tinde către 1v (x) în orice punct x. Dacă cp (x) este o funcţie arbitrară din Lp (~ 0 ), atunci l1l;n (x) cp (x) 1 ~ 1'V (x)cp (x) 1, proctusul1jJ (x) cp (x), fiind prin ipoteză, sumabil pe ~o. De aici rezultă

lnsă 1/Jn (x), ca funcţii mărginite, apartin lui Lp' (~ 0 ) şi integralele din membrul stîng sînt funcţionale liniare de cp (x) în Lp (~ 0 ). Din faptul ca ele au limită pe orice element cp (x) ELp (&; 0 ), rezultă că normele lor sînt m~rginite de un număr A [100]

366

SPAŢII

de unde la

METRICE.

limită obţinem

SPAŢII

CONVERGENŢA SLABĂ lN C,

NORMATE

şi

[54]:

~@

la

limită

cînd N

~ co

'iJ 1 (x) IP' dx ./ AP',

[

ceea ce trebuia demonstrat.

adică v(a 1 , a2 ,

Cazul p = 1 prezintă o particularitate. Se poate arăta că spatiul Lt este izometric cu M (spaţiul funcţiilor mărgini te măsurabile) şi L 1 este un spaţiu nereflexiv. . 3. Să examinăm acum funcţionalele liniare din l P (p > 1) Fte l (x) o astfel de funcţională.. Fiecărui element al spaţiului lp: x (ţp ţ 2 , ~ 3 , ... ) îi corespunde elementul scurtat (tăiat) Xn (ţt, ţ2 , .•• , ţn, O, O, ... ) şi din faptul că seria cu termenul general 1 ~Jc IP este convergentă rezultă imediat că Xn => x. Să introducem elementele Yk (ţ~k>, ţ~k>, ... ) (k = 1, 2, ... ) astfel încît ţ~k) =o pentru i-:t:.k şi ţ~i>= 1. Să notăm l (yk)=ak. In virtutea distributivităţii Jui l (x) avem l (xn)=a 1 ţ 1 +a 2 ~ 2 + şi,

folosind continuitatea lui l (x)

... +anţn,

Să

ocupăm cu r;~N>, ... ) din lp

ne

1

1JkN) =

{

k~tl a,, [P']

Jl

L [[11[,

)Elv' şi 1\

că

367

v\lzP,

L\llll,

Mai departe inegalitatea lui Holder aplicată sumei (85) 1\ v \Izv' şi în virtutea lu~ (86) obţinem

(86) arată

1\ll\ L

llll\=llvllzv''

(87)

La fel ca pentru Lp se poate arăta că formula (85), în care v (a1 , a 2 , .•• ) este un element oarecare din lv', dă forma generală a functionalelor în [p, elementul V fiind determinat unic de functionala l (x) şi are loc formula (87). De aici rezultă că Lt este lp' şi că l P este un spaţiu reflexiv. Are loc o teoremă cu totul analogă teoremei demonstrate mai înainte: dacă seria

obţinem

l (x)=atţt +a2ţ2+ ..•

zN (1J~N),

...

ŞI ~p

1 cro

O, astfel încît fn (x) L C (n = 1, 2, ... ) ; b) frz (x)-+ f (x) pentru orice xE [a, b]. Condiţia (a) rezultă imediat din [101}. Mai departe, dacă x=x 0 este o valoare fixă oarecare din [a, b] şif(x) un element arbitrar din C, atunci 10 (/) = f (x 0 ) este evident o funcţională liniară în C, şi deoarece fn (x) ~-+ f (x), trebuie să avem /0 (fn)-+ 10 (f), adică fn (x 0 )-+ f (xo)· Acum trebuie să arătăm că din "a" şi "b" rezultă (88) pentru orice 1

de unde

~

1

368

SPAŢII

METRICE.

SPAŢII

SPAŢIUL

NORMATE

alegere a funcţiei cu variaţie mărginită g (x). In virtutea lui lin (x) L_ L C şi fn (x) ~ 1 (x) trecerea la limită în (88) este admisibilă dacă considerăm integrale le drept integrale Lebesgue-Stieltjes [54 ]. Dar în virtutea continuităţii lui f (x) şi In (x) aceste integrale pot fi privite şi ca integrale Stieltjes obişnuite. Observăm, de asemenea, că în virtutea teoremei din [101f, dacă sînt respectate condiţiile "a" şi "b", există un şir de combinaţii liniare ale lui In (x) care tinde către l(x) uniform pe [a, b]. Funcţiile In (x) şi l(x) se presupun continue aşa cum a fost indicat mai înainte. Observăm că spaţiul nereflexiv C nu este slab complet. Acest lucru corespunde faptului că limita şirului In (x) de funcţii continue, convergente în fiecare punct din [a, b] şi mărginite în ansamblu (egal mărginite) (/In (x)/ L.. m), poate să nu fie o funcţie continuă. 2. Convergenta slabă a elementelor cpn (x) ELp ($ 0 ) (p> 1) către elementul cp (x) ELp ($0 ), este definită prin egalitatea Iim

r tv (x) cpn (x) dx= \

:llJ (x) cp (x) dx

(89)

J&;O

pentru orice funcţie 1V (x) ELp' ($ 0 ). In virtutea teoremei 3 din [101] condi_tiile necesare şi suficiente pentru convergenta slabă în Lp ($0 ) pot f1 formulate astfel: a) normele lui cpn (x) sînt mărgini te, adică 1

(90) şi

b) formula (89) are loc pe o mulţime de elemente tV (x) din Lp' ($ 0 ) al cărei înveliş liniar este peste tot dens în Lp' ($0 ). Dacă condiţia (90) este îndeplinită atunci este suficient, de exemplu ca formula (89) să aibă Joc pentru toate funcţiile caracteristice CJ)&; (x) ale mulţimilor măsurabile &; care sînt submulţimi ale lui $ 0 (&o - mulţime mărginită). Pentru cazul în care &0 este un interval unidimensional finit sau infinit, este suficientă indeplinirea condiţiei (90) şi a egalităţilor r~

Iim J cpn (x) dx=

n~co

c

~

~ c cp (x) dx,

unde c este un număr fix arbitrar din intervalul un număr arbitrar din acest intervaL

(91) menţionat,

iar

~

369

3. Convergenta slabă a elementelor (~~n\ ~~n> ... ) Elp (p> 1) către Elp este definită prin egalitatea

1

THCO J&;O

OP.ERATORILOR LINIAR!

~lementul (~ 1 , ~ 2 , .•• )

Iim (b1~fn)+b2~~~)+ ... )=b1~1+b:i2+ ...

(92)

TZ-+oo

pentru orice element (b 1 , b2 ) Elp'. Să suficiente pentru converger ta slabă

formulăm

condiţiile

necesare

.şi

co

~

1

~~~) \pL.. cp

(93)

k=l

(94) Condiţia 1Liăm

(93) este cea

obişnuită,

iar necesitatea lui (94)

dacă

bi=O pentru i:f:.k şi bk=l. Să presupunem că sînt îndepli-

nite condiţiile (93) şi (94). Din (94) rezultă că (92) este îndeplinită pe elementele de tipul (0, O, ... , O, 1, O, O, ... ) (versorii spatiului lp•). Insă învelişul liniar al versorilor este dens în lp', deoarece elementele scurtate ("tăiate") ale căror componente, începînd cu un anumit indice (diferit pentru fiecare element) sînt egale cu zero, sînt dense în lp' [59}. In modul acesta suficienta lui (93) şi (94) decurge din cele arătate în [101]. 104. ~paţiul operatorilor liniari şi convergenţa şiru­ r1lor de operatori. Am examinat mai înainte spaţiul funcţiona­

lelor liniare şi problemele de convergenţă ale unui şir de funcţio­ tnale (convergenţă în normă şi convergenţă slabă). Să ne ocupăm ·cu aceleaşi probleme pentru operatori Jiniari în spaţiul X de tip B. Fie Y spaţiul tuturor operatorilor liniari din X cu domeniul de valori intr-un spaţiu oarecare X' de tip B. Adunarea şi Inmultirea cu un număr se definesc ca şi pentru funcţionale

(A+B) x=Ax+Bx;

(cA) X=C (Ax).

(95)

Norma elementului AE Y se introduce cu norma 11 A\\ a operatorului resJectiv. Ca şi în [99} se demonstrează că Y este un spaţiu de tip B. Să considerăm acum un şir de operatori liniari An (n = 1. 2, ... ) din X în X'. In virtutea celor spuse mai înainte, dacă \\An-Am\\~ O pentru n şi m ~ oo, atunci există un operator liniar A, astfel încît :f\A-An \1 ~O şi prin aceasta pentru orice xEX avem Anx=> Ax în X'. Convergenta 1\ A-An\\~ O se numeşte convergenta operalorilor fn normă. In acest caz \IAn\\(n=l, 2, ... )sînt mărginite, ceea ce rezultă din inegalitatea: 11 An li L.. li A 1\+\1 An-A li· 24 - Curs de matematici superioare voi. V

370

SPAŢII

METRICE.

SPAŢII

NORMATE

OPERATORI

Observăm că pentru convergenta în normă 11 A- An li ---1- O. este necesară şi suficientă convergenta în normă în sine, adică 11 An-Am 11 ~O pentru n şim ~co (completitudinea spaţiului de ope-· ratori). Să scriem inegalitatea evidentă

11 Ax-AnX 11 L Il A-An 11·11 X Il· Dacă

(96)1

x aparţine unei mulţimi mărginite U a spaţiului X, atund există un d, astfel încît llx 11 L d, dacă xeu, şi (96) dă 11 Ax-AnX Il L_ L 11 A-An 11 d. De aici rezultă că pentru orice a> O există un indice N (dependent de a şi independent de x), astfel încît jj Ax-Anx li L.. s pentru n : : : : ". N şi xEU, adică convergenta lui Anx către Ax pe orice mulţime mărginită U este uniformă. De aceea, în locul convergenţei operatorilor în normă uneori se vorbeşte de convergenta uniformă a operatorilor. Să examinăm un alt tip de convergenţă a operatorilor. Se spune că şirul de operatori liniari An converge tare către operatorul liniar A dacă Anx =>Ax în X' pentru orice xEX• Ca şi în [99] se demonstrează că dacă Anx este un şir convergent în X pentru orice xex, atunci şirul de norme Il An Il, este mărginit, precum şi afirmaţia următoare: pentru convergenta' tare a şirului An este suficientă mărginirea lui 11 An 11 (jj An 11 L.. C) şi convergenta lui Anx pe un Unea! dens în X. Să presupunem că Anx este convergent în X' pentru orice xEX. Să notăm cu Ax limita lui Anx (Anx=> Ax în X'). Operatorul A este distributiv· în X îa virtutea distributivităţii lui An, şi este mărginit în virtutea mărginirii şirului 11 An 11, adică A este un operator liniar. In modul acesta, dacă Anx este un şir convergent · în X' pentru orice xEX,. atunci şirul An este tare convergent către operatorul liniar A. In virtutea completitudinii lui X', în locul convergenţei şirului Anx este·' suficient să cerem convergenta lui în sine. In modul acesta, spaţiul operatorilor liniari este complet nu numai relativ la convergenta în normă, dar şi relativ la convergenta tare. După cum am remarcat mai inainte, din convergenta în normă rezultă convergenta tare. Să examinăm şi o a treia convergenţă a operatorilor. Se spune· că şirul de operatori liniari An converge slab către operatorul liniar A, dacă Anx ~.... Ax în X' pentru orice xEX. Din convergenta, tare a operatorilor decurge evident convergenta slabă. Pentru funcţionale, convergenta tare şi convergenta slabă coincid. Am definit mai înainte adunarea operatorilor liniari şi înmul-· tirea lor cu un număr. Se poate fireşte defini şi înmulţirea opera-

ADJUNCŢI (CONJUGAŢI)

371

tarilor. Dacă A este un operator liniar din X în X' şi B un operator liniar din X' in .>:..", atunci operatorul BA definit cu ajutorul formulei (BA) x=B (Ax) este un operator liniar din X î,n X". Distributivitatea lui rezultă din distributivitatea lui A şi B, iar mărginirea din inegalitatea evidentă

il (BA) x jj L..jj B 11·11 Ax

llx, LJI B 11·11 A JJ·II X Jix •

De aici rezultă că 11 BA 11 L..lj B 11·11 A 11· Se poate forma şi produsul mai mu1.!or factori. ~acă -~ est~ un .operator lini.ar din X în X atunci pot h luate puten pozltlve mtreg1 ale aceste1a: A2 = =A (Ax) etc. Observăm că produsul factorilor poate depinde de ordinea lor. Dacă, de exemplu, A şi B sînt operatori liniari din X în X, atunci are sens să vorbim de următorii liniari din X în X: (BA)x=B(Ax)

şi

(AB)x=A(Bx).

Aceşti operatori şi în cazul mai

pot fi distincţi. O observaţie analogă se poate face multor factori. Convergenta tare a operatorilor se numeşte uneori pur şi simplu convergenta. Vom folosi pentru ea ~otaţia An'-: A. Fie ~n şi Bn şiruri de operatori liniari din X în X' tar an un ştr num~nc. Este uşor de arătat că dacă an~ a, An-+ A şi Bn ~ B, atunc1 anAn~ -+ aA şi An+Bn-+ A+B. O afirmaţie analogă are loc şi pentru convergenta în normă. Dacă An sînt operatori liniari din X în X' şi Bn din )(' în X", atunci din An-+ A şi Bn ~ B rezultă EnAn-+ -:;+BA (acelaşi lucru pentru convergenta în normă). Să demonstrăm ultima afirmaţie. Avem BAx-BnAnX = (B-Bn) (Ax)+Bn (A-An) X şi

11 BAx-BnAnX ll.x" ~li (B-Bn) (Ax) IJx~~+IIBn IJ·JI(A-Arz) X i:x'.

tinde

Primul termen tinde către zero, deoarece Bn -'t B, iar al doilea către zero în virtutea faptului că Il Bn 11 sînt mărginite şi An-+ A.

105. Operatori adjuncţi (conjugaţi). Fie A un operator· liniar din X în X' (X, X' - de tip B) şi l' (x) o funcţională oare.care în X' (l'EX'*).

372

Este în X:

SPAŢII

uşor

de

METRICE.

văzut că

SPAŢII

NORMATE

l' (Ax) va fi atunci o funcţională liniară

l' (Ax)= l tx).

Pentru un A dat această egalitate pune în corespondenţă fieelement l'EX'* elementul lEX*. Se poate scrie acest lucru astfel l =A *l', unde operatorul A* definit în întregul X'* cu domeniul de valori în X* se numeşte adjunct lui A. Din distrihutivitatea funcţionalelor liniare şi a operatorului A, rezultă distributivitatea lui A*. Să arătăm acum mărgini rea ·lui A* precum şi faptul că \\A* li~= 1\ A 11, unde membrul stîng reprezintă norma operatorului în X'* iar membrul drept în X. Avem cărui

\l (x) =Il' (Ax) 1L 1

\Il' \1·11

Ax

il

L: lll' 1\·11 A 1\·1\ x 1\,

de m1de \\l\1 L \Il' \1·11 A Il· lnsă l = A*l', şi, prin urmare 11 A*\1 L 11 A J\. Fie mai departe x0 un element fix oarecare al lui X şi l' un element analog în X'*, astfel încît \Il' 11 = 1, şi l' (Axa) = 11 Axa 11· Obţinem

Il

Axa \1 = l' (Axa)= l (xa) ~ \\l\1·11 Xa li=

= 1\ A* l' 11·11 Xo 11 L Il A* 11·1 i l' 11·11 Xa 11 = \\ A * 11·11 Xa 11' adică Il Axa 11 L 11 A* 11·11 Xa 11, de unde 1\ A 11 L \1 A* 11, ceea ce, împreună cu 11 A* 11 /Il A 1\ dă 11 A* Il= 1\ A. 11· Aceasta ne conduce la următoarea teoremă.

Teoremă. Operatorul A* adjunct operatorului liniar A din X în X' este un operator liniar din X'* în X* şi 11 A* 11 = =1\All. Observaţie. Observăm că dacă X' coincide cu X, atunci A* este un operator liniar în X* cu domeniul de valori tot în X*. Dacă A şi B sînt operatori liniari din X în X', atunci din definiţia operatorului adjunct rezultă (A + B) *=A*+ B*, Dacă A şi B sînt operatori liniari din X in X, atunci (BA)*= A*B*, aşa cum rezultă din egalităţile l (BAx) = (B*l) (Ax) =A* (B*l) (x) = =(A*B*l)(x). In cazul spaţiului real, (cA)*= cA*, iar pentru spaţiul complex (cA)*= cA*.

106. Operatori complet continui. Un operator liniar A din X în X' se numeşte complet continuu, dacă orice multime mărgi­ nită în X este transformată de el într-o mulţime compactă în X'. Este uşor de văzut că un operator distributiv A definit în întregul X, care transformă orice mulţime mărginită într-o mulţime compactă,

OPERATORI COMPLET CONTINUI

373

este un operator mărginit, adică un operator liniar. Intr-adevăr, prin ipoteză, A transformă sfera 1·1 x 11 L 1 într- o mulţime compactă Ax. Dar orice mulţime compactă este mărginită, adică există un număr pozitiv C astfel încît 11 Ax 1\ L C pentru Il x 1/ L 1, de unde rezultă că A este un operator mărginit. In modul acesta definiţia operatorului complet continuu poate fi formulată şi astfel: un operator distributiv A, definit in întregul X, se numeşte complet continuu, dacă el transformă orice mulţime mărginită într-o mulţime compactă. Din cele spuse mai înainte rezultă ca operatorul complet continuu definit astfel va fi totodată un operator liniar. Teorema 1. Dacă A este un operator complet continuu şi Xn~-+ Xa, atunci Axn==:>Axa. Ştim că Axn~-+ Axa, dacă A este un operator liniar. Conform condiţiilor teoremei Xn ~-+ Xa şi de aceea şirul de numere 11 Xn 11 este mărginit. Din şirul Axn se poate extrage, în virtutea continuităţii complete a lui A, un subşir care converge tare către un element YaEX'. Pe de altă parte, din cele spuse mai înainte rezultă că acest subşir converge slab către Ax0 şi .de aceea, Ya =A Xa. Prin urmare, orice subşir tare convergent dintr-un şir Axn converge tare către Axa. Trebuie să demonstrăm că întreg acest şir converge tare către Axa. Demonstrăm prin metoda reducerii Ia absurd. Presupunem că există un număr G>O şi un subşir infinit Axnk astfel încît ~.1 Axuk-Axa Il::::::". o. Din şirul Axnk se poate extrage un subşir tare convergent şi acest subşir trebuie să tindă tare către Axa aşa cum s-a arătat mai înainte, ceea ce contrazice inegalitatea IIAxnk-Axal\::::::".8>0. Teorema este astfel demonstrată. Teorema 2. Fie Am (m= 1, 2, ... ) un şir de operatori complet continui care tind în normă către un operator liniar A (jj A-Am 11-+0). Atunci şi operatorul A este complet continuu. Trebwe să demonstrăm că A transformă orice şir mărginit de elemente XnEX(n= 1, 2, ... ) într-o mulţime compactă. Şirul AmXn pentru orice m fix este compact. Pe de altă parte, din convergenta în normă rezultă convergenta uniformă pe orice mulţime mărginită. In modul acesta, pentru orice 8 >O dat, există un m astfel încît Il Axn-AmXn 11 L 8 (n= 1, 2, ... ), adică Axn are o s-reţea compactă AmXn, de unde rezultă compacitatea lui Axn. Se poate arăta că dacă A este un operator complet continuu, atunci şi A*, definit în X'* şi avînd ca domeniu de valori în X* este de asemenea complet continuu.

374

SPAŢII

METRICE.

NORMATE

SPAŢII

ECUAŢII

. Vom demonstra aceasta în cele ce urmează pentru operatori în spaţiul Hilbert. Pentru acest spaţiu vom expune teoria operatorilor complet continui mai amănunţit. 107. Ecuaţii cu operatori. Vom presupune acum că operatorii liniari A definiţi în spaţiul X au domeniul de valori aparţinînd tot lui X(X' coincide cu X). Atunci A* definit în X* are domeniul de valori tot în X*. Prin litera E vom nota ca şi ma1 înainte operatorul transformării identice în orice spaţiu de tip B, adică Ex = x pentru orice xeX. Reamintim de asemenea că numim operator nul operatorul liniar care transformă orice element x în elementul nul. Norma lui este egală cu zero în timp ce orice alt operator liniar are norma pozitivă.

Uneori

Atunci condiţia \ "A 1 > 11 A \1 se înlocuieşte prin condiţia !A 1 < Să

şi să

presupunem acum că A este un operator complet continuu, scriem două ecuaţii: una în spaţiul X, iar cealaltă în X*:

atnde y

(98)

Membrul al doilea al acestei egalităţi este un operator din X în X. Notînd Bx=Ax-y (B nu este un operator liniar), avem Bx1 -Bx2 = Ax 1 - Ax2 , de unde \1 Bx1 - Bx2 11 .L:: 1\ A \1·\1 x 1 - x 2 11. Dac~ 1\ A Il< 1, atunci ecuaţiei (98) i se aplică principiul contracţiei. Obţinem rezultatul următor. Teoremă. Dacă Il A Il< 1, ecuaţia (97) are pentru orice yEX dat o soluţie unică şi această soluţie poate fi obţinută prin metoda aproximaţiilor succesive din ecuaţia (98) pornind de la o aproximaţie iniţială arbitrară. In continuare vom avea de a

face mereu cu-. ecuaţia

conţinînd

un parametru (99)

(A-A.E)x=y. Dacă

X este un

real. Pentru

spaţiile

spaţiu real de tip B, atunci A este un număr complexe el poate fi şi complex. Conside-

rînd "A -::j:. O să transcriem (99) sub forma '( ~ A- E ) x = ~ y. Din teorema demonstrată rezultă că dacă A > \1 A 1\, atunci ecuaţia (99) pentru orice y are o soluţie unică şi această soluţie poate fi obţi1

1

nută prin metoda aproximaţiilor succesive din ecuaţia x= _!_Ax1

--~y.

A.

(A-E)x=y

(100)

(A*-E) x*=y*,

(101)

şi

y* sînt elemente date, iar x şi x* elemente necunoscute. scriem de asemenea ecuaţiile omogene corespunzătoare

unde y este un element dat, iar x elementul necunoscut din X. Transcriem ecuaţia (97) sub forma x=Ax-y.

sau (E-AA) X=Y·

< 11 A~~-~.

(97)

(A-E) X= y,

375

(97) se scrie sub forma

(AA-E) X= y

Să

Să considerăm ecuaţia

ecuaţia

CU OPERATORI

(A-E)x=6

(102)

(A*-E) x*=6*,

(103)

;unde a şi 6* sînt elementele nule respectiv în X şi X*. Mulţimile .de soluţii ale acestor ecuaţii sînt lineale. Vom formula acum rezul·:tatele relativ la ecuaţiile scrise. Demonstrarea lor va fi dată în .capitolul urmă tor pentru cazul spaţiilor Hilbert. Dacă una dintre ecuaţiile (100) sau ( 101) are soluţie pentru 1111embrul doi arbitrar, atunci şi cealaltă ecuaţie se bucură de aceeaşi ·proprietate. Totodată, fiecare dintre ecuaţiile amintite are o soluţie 'tUnică oricare ar fi membrul doi, şi prin aceasta ecuaţiile ( 102) . şi (103) au numai soluţii banale x=6 şi x*=6*. Dacă una dintre ecuaţiile (102) sau (103) are soluţie diferită O

dat există un r;

K(x 2 , t)-K(x 1, t) \ dt L

2

> 0,

astfel încît

pentru , x2 -x 1 i ~ 1J· 1

Aceasta din urmă se demonstrează în mod analog cu demonstraţia continuităţii uniforme a unei funcţii care este continuă pe un

în C operatorul integral

~: K (x,

1

a~t~b

108. Operatori complet continui în C, Lp şi lp. 1. Să?

cp (X)=

U este o mulţime mărginită de funcţii 'V (t) 1 L A, atunci este uşor de văzut că

lo~t; (x) corespunzătoare este compactă. Mărginirea rezultă imediat

unde x 0 este o soluţie oarecare a ecuaţiei (1C4), x 1 , x2 , ••• , Xmun sistem complet de soluţii liniar independente ale ecuaţiei (106}) şi ck numere arbitrare. Toate acestea rezultă imediat din Iiniaritatea~ ecuaţiilor (104) şi (106) [IV ; 9, lOJ. considerăm

J

377

ŞI lp

\

interval inchis finit [1 ; 43]. Mărginirea şi continuitatea egală a lui cp (x) se demonstrează in mod analog ca mai înainte. In cele ce urmează vom studia operatorii integrali cu nucleu polar. 2. Să examinăm acum operatorul (109) în Lp (p > :J) in ipoteza că nucleul K(x, t)ELp' (Q), adică 013)

378

SPAŢII

METRICE.

SPAŢII

NO:ij,MATE

Dacă 'lJ (x) este o funcţie oarecare din Lp fa, bJ, atunci integrala (109) are sens. Este uşor de arătat că ea reprezintă o funcţie măsurabilă cp (x) [68]. Conform formulei lui Holder, avem 1

1rp (x) 1b

[ ~: 1K (x, t) 1"' dt]

1

P'l ~: •P

1 (x)

Ridicînd ambii membri la puterea p'

şi

IP dx ]" · după

.integrînd



~

i~s k~1

eP'

p' j

Gik

1

L

CP' '

(121)

de unde, în virtutea lui (120) rezultă (119). 109. Deriv·ate generalizate. Vom introduce acum o nouă noţiune de derivată care se foloseşte deseori in fizica matematică modernă. Fie D un domeniu mărginit al spaţiului euclidian n-dimensional Rn ale cărui puncte x sint definite prin coordonatele carteziene (x 1 , x2 , ••• , Xn)· Prin domeniu vom înţelege întotdeauna o

381

DERIVATE GENERALIZATE SPAŢII

380

METRI CE.

SPAŢII

NORMA TE

mulţime conexă deschisă şi

vom considera că frontierele domeniilor de -care vom vorbi mai departe au măsură de volum nulă. Prin D vom. noAta ~a de obice! do~eniul D împreună cu frontiera lui- (do~enm l~chts). Vo:n ztce ca _domeniul D' se găseşte strict în intenorul lm D daca D' c D Şl distanţa de la D' pînă la frontiera lui D_ este. P?ziţivă. Aceasta este echivalent cu faptul că D' c D. Ca }l ma1 mamte, vom numi o funcţie cu suport compact în D da~a ;a . est~ egală cu zero în exteriorul unui domeniu D' situat st~lct m mtenorulv lui D ~P' poate fi diferit pentru funcţii diferite). Sa pr~supun:m. ca !uncţnle. cp (x)_ şi '4J (x) au derivate continue pînă 1~ or~mul l m. mt~norul lw D Şl funcţia 1jJ (x) este finită. Să con-stderam o denvata oarecare de ordinul D 1cp=

~~q; a~l ax~2 ... ax1n

(122},

Il

~plicind ~or~ula integrării prin părţi obţinem, ţinînd mdtcată a lui 1jJ (x)

seama de-

propnetatea

pusă

la baza unei

noţiuni

cp (x) are în interiorul lui D derivate continue pînă la ordinul l, atunci are loc (123) şi x (x)= D 1cp (x). In cele ce urmează

vom păstra notaţia (122) şi pentru derivatele generalizate. Menţionăm .unele proprietăţi ale derivatei generalizate ce decurg direct din .definiţia ei. Deriva ta generalizată D 1cp (x) nu depinde de ordinea în care este scrisă derivarea, deoarece în formula (124) se poate .Schimba arbitrar ordinea derivării funcţiei '4' (X), care are derivate continue. Dacă cp 1 (x) şi cp 2 (x) au derivate generalizate de tip (122): Xt (x) şi X2 (x), atunci C1Cfl 1 (x)+c2cp2 (x) are derivata generalizată c 1x1 (x)+c 2x2 (x) de acelaşi tip (c 1 şi c2 -constante). Dacă x(x) este derivata generalizată a lui cp (x) în D, ea va fi derivata generalizată de acelaşi tip şi în orice domeniu D' aparţinînd lui D.

Dacă cp (x) are deriva ta generalizată Rq; (x) = x(x) şi x(x) are axl .derivata generalizată (x) , atunci cp (x) are derivata generalizată a2 (X) iJX (X) --!-a . = -a· In moduX2analog pentru derivatele de alte tipuri. Mai oXt X2 X2 2 'departe, dacă ct (x) are derivatele generalizate iJq; (x) şi a q; (x), atunci

a:

a2 (x)

~DI 0 1 Cfl (x) 1jJ (x) dx= (-Il ~D cp (x) 0 1 'V (x) dx. Formula (123) poate fi de derivată.

Dacă

(123)'·

mai aenerale:

:~ ,axl vX2

•

este derivata generalizată a lui

arăta în valabilă

cele ce formula

urmează că obişnuită de

a +în (x)

oX2

ax2

axl ax2

raport cu x 1 • Vom

cu anumite restricţii suplimentare este derivare a produsului:

b

1. Fie funcţiile cp (x) şi x (x) sumabile pe oricesubdo_memu D' strict interior domeniului D şi pentru orice funcţie. cu suport compact, '4' (x), de l ori continuu derivabilă,, ele satisfac relaţia

D [q;t (x) 't!2 (x)]

Defln_iţia

~D X (x) 'V (x) dx= ( -1 )1 ~D cp (x) 0 1 '1; (x)dx.

(124)

Atunci funcţia X (x) se numeşte derivată 6aeneralizată de forma· ( 122) a funcţiei cp (x) fn D. Să ne convingem că o funcţie dată cp (x) poate avea numat o s~ngu~ă derivată !{eneralizată de un tip dat. Fie x (x) şi Xt (x) doua ·dvenvat~ generahzate. Pentru cp (x) şi Xt (x) este de asemeneavalablla egahtatea (124). Scăzînd termen cu termen obţinem

~D lx (x)-Xt (x)] '!J(x) dx=O, de unde, ţinînd seama că funcţia finită 'V (x) este arbitrară că X(x) şi Xt (x) sînt funcţii echivalente în D [71}. '

(125) rezultă

=

oq;1 (x)

axl

axl

Cf/ 2

(x)+~

:.Pt

(x)

o't!2 Cx).

axl

(126)

Să

stabilim acum legătura dintre derivarea generalizată şi de mediere (luare a mediei). Fie w 1 ( 1x-y 1) un nucleu mediator oarecare dependent de distaNţa dintre punctele x şi y, iar cph (x) funcţiile medii construite pentru cp (x) operaţia

il h (X)

1

=

hn

~ W h ( 1 X- Y 1 ) cp (y) dY.

(127)

Presupunînd că cp (x) are în D derivata generalizată x (x)= =Dzcp (x) de tip (122) să calculăm derivata corespunzătoare (evident obişnuită) a funcţiilor medii [71]: 1 ( Dxcph x) =

1 \ l hn J cp (y) Dxwh ( 1x-y 1) dy= 1

( -1) \ ' = -,;n J il (y) Dyl Wfi (!Xy 1) dy.

(128)

382

SPAŢII

METRICE.

SPAŢII

NORMATE -------··-·--·-·--··-~----····-

In baza proprietăţilor functiilor medii [71] putem acum afirma că pentru h-+ O avem cph (x) ~ cp (x) şi Dtcph (x)-+ Dtcp (x) în L(D'),. unde D' este orice subdomeniu strict interior domeniului D. Mai mult decît atît, dacă presupunem în plus că cp (x) este sumabilă pe orice subdomeniu D' strict interior, cu o putere oarecare p ~ 1; iar derivata generalizată Dlcp (x) - cu o putere oarecare q ~ h atunci convergenta a lui cp1z(x) şi Dtcph(x) are loc în Lp(D') şi respectiv Lq (D'). Face următoarea remarcă. Dacă definiţia funcţiei cp (x) este prelungită într-un mod oarecare asupra intregului Rn, de exemplu pusă egală cu zero în exteriorul lui D, atunci funcţiile cph (x) vor fi şi ele definite în întregul spaţiu, şi pentru h ~O vor converge către cp (x) în Lp (D). Functiile Dtcph (x) nu vor converge în general către Dtcp (x) în spaţiul Lq (D). Aceasta se datoreşte faptului că funcţia cp (x) astfel prelungită poate să nu aibă deriva ta generalizată corespunzătoare în întregul R n· Să revenim acum la demonstraţia formulei (126) de derivare a produsului. Să demonstrăm mai întîi o afirmaţie simplă. Fie· cp 1 (x) EL p (D') (p> 1) şi cp 2(x) ELp' (D') (__!_ + _;_ = 1) în orice domeniu. p p ' D' strict interior lui.D şi 1~ (x) o funcţie finită şi mărginită în D. Atund

rJn cplh (x) cp2h (x) ~) (x) dx h~oJn ~ \ Cf'l (x) Cf'2 (x) 1~ dx. Intr-adevăr, 1

folosind inegalitatea lui Holder,

găsim

~ Dfcp lh (X) Cf' 2h (X)- cp 1 (X) Cf'2 (X) J 't~ (X) dx

~ ~D 1Cf'uz (x) 1·1 Cf!2h (x)- cp2 (x)

1

L

L

1·1 '~ (x) 1dx+

c [ 11 Cf'th llc.p(D')·II cp2h-cp211c.p (D')"+ 1

Il CF.2IIc.pr(D')·II cplh-cplllc.p(D')l·

Aici C=supjl!J(x)l şi L' este un subdomeniu al lui D în exteriorul căruia 1!J (x) este egală cu zero. Membrul drept al ultimei inegalităţi tinde către zero cînd h-+ O, deoarece cp 2h (x)-+ cp 2 (x) în Lp• (D'), cp 1h (x) -+ cp 1 (x) în L P (D') şi şirul cp 1h (x)-+ cp 1 (x) convergent în L P (D') este mărginit în L P (D') în normă.. Să stabilim acum formula (126) în ipoteza că cp 1 (x) şi ocp; (x) ELp(D'),.

(129)

care poate fi formulată astfel: funcţiile medii ale derivatelor generalizate coincid cu derivatele de acelaşi tip ale funcţiilor medii în toate punctele domeniului D a căror distanţă pînă la frontiera lui D este mai mare decît raza de mediere.

383:

DERIVATE GENERALIZATE --------------------------------------

+ ~DI Cf'2(x) 1·1 Cf' 1h (x)-cpt (x) 1·1 ~ (x) 1dxL

Vom considera că punctul xED se găseşte la o distanţă mai mare decît h de frontiera lui D. Deoarece functia e»h ( 1x- y 1) se anulează în exteriorul unei sfere de rază h cu centrul în punctul x, ea poate fi luată ca funcţie finită in formula (124). lmpreună cu (128) aceasta ne conduce la relaţia

D~q;h(x)= ;n~wh([x-yi)D~cp(y)dy,

··-

uXt

iar cp2 (x) şi ocp~ (x) ELp' (D') pentru orice subdomeniu D' strict inteuxt rior. Folosind afirmaţia precedentă, avem pentru orice funcţie cu . suport compact continuu derivabilă, '~ (x), egală cu zero în exteriorul lui D' [62)

rJn cp şi,

1

(x) cp 2 (x) o sînt mărgini te în orice subdomeniu D'. OXt

.384

SPAŢII

METRICE.

SPAŢII

NORMATE . DERIVATE GENERALIZATE

Să arătăm acum că se poate da o altă definiţie derivatei generalizate şi în baza formulei ( 129) se poate stabili echivalenta ei cu definiţia iniţială. Definiţia 2. Funcţia x (x) se numeşte derivata generalizată

rezultă existenţa unui subşir cpnk (x)

astfel încît D1cpnk (x) converg · slab în Lp (D'). Luînd un şir de domenii D'm strict interioare care se lărgesc şi converg către D, să construim cu ajutorul procesului de diagonalizare subşirul Dzcp mk (x), pentru care derivatele Dzco•mk (x) . converg slab în Lp (D') către q funcţie x(x) în orice subdomeniu D' strict interior. Este clar că x (x) este definită peste tot în D şi aparţine lui Lp (D') pentru orice domeniu D' strict interior. Egalitatea (123) este valabilă dacă înlocuim cp (x) cu Ym (x). k Trecînd .în ~a 1~. I~miţă cu func;ia 1.p (x) fixă, ajungem, - în virtutea propnetaţn mdicate a lUI 'V (x), la egalitatea (124) (convergenta slabă), de unde rezultă că x (x) este deriva ta generalizată a lui c.p (x) în .D. Din cele arătate mai înainte rezultă că orice suhşir slab convergent Dzcpmk (x) are aceeaşi limită x. (x) (unicitatea deri-

de tip {122) a funcţiei so (x) În D dac_ă existâ un şir de funcţii '.P (x), de l ori continuu derivabile fn interiorul lui D, astfel încît 9m (x) şi Dzcpm (x) converg respectiv către cp (x) şi X (x) fn L (D'), unde D' este un subdomeniu strict interior lui D. Teorema 1. Definiţ-iile 1 şi 2 sînt echivalente. Să presu-

punem că x(x) este derivata generalizată a lui cp (x) conform definiţiei 2. Are loc formula (123), prin înlocuirea lui cp (x) cu Cf!m (x) şi întrucît 9m (x)--+ cp (x) şi Dz'Ym (x)--+ X(x) în L' (D'), putem trece la Lmită sub semnul integralei pentru orice alegere a funcţiei cu suport compact 'V (x) cu proprietăţile menţionate [62] de unde rezultă formula (124). Să presupune, acum că x (x) este derivata generalizată a lui cp {x) în sensul primei definiţii. Atunci, în virtutea lui ( 129) şi a teoremei 4 din [71], şirul de funcţii C!!m (x) cerut de definiţia a doua, va fi dat de funcţiile medii cph (x) cu un şir oarecare hm tinzînd m către zero (aici cp (x) se consideră prelungită cu zero în exteriorul lui D). Teorema 1 este astfel demonstrată. Din această teoremă rezultă ca şi în sensul celei de a doua definiţii, derivata generalizată este unică dacă ea există. Să demonstrăm acum o teoremă care arată că derivatele generalizate admit trecerea slabă Ia limită în L P ( L'). Teorema 2. Fie funcţiile cpk (x) (k= 1, 2, ... ) definite zn interiorul lui D care converg slab către o funcţie cp (x) în Lp (D') (p> 1), unde D' este un domeniu oarecare situat strict în interiorul lui D, au în D derivate generalizate Dzcpk (x) de tip (122) şi normele lui Dzcpk (x) în Lp (D') sînt mărginite de un

anumit număr M (D') care depinde de alegerea lui D'. Atunci cp (x) are în D derivat a generalizată Dzcp (x) de tip (122) egală cu limita slabă a lui Dzcpk (x) în L.v (D'). Demonstraţie. In virtutea compacităţii slabe a ginite în L P cu p > 1, din inegalitatea 11

Dz:pk IILp (D') L_ M (D')

mulţimilor măr­

(131)

385

V

vatei generalizate) şi de aici conchidem uşor că întregul şir Dzcpk (x) converge slab către x (x). · Observaţii. 1. Din teorema demonstrată rezultă că dacă cp (x) ELp (D') şi derivatele funcţiilor medii cph (x) au evaluarea (131 ), · atunci în D există derivata generaJizată Dzcp (x) ELp (D'). Am văzut mai înainte că în acest caz Dz cph (x) ~ Dzcp (x) în Lp (D') şi prin urmare norma lui Dzcp (x) satisface evaluarea (131). · 2. In condiţiile teoremei 2 funcţiile cp (x) şi Dzcp (x) pot aparţine . lui Lp (D'), respectiv Lq (D'), şi pentru p#-q. 3. Teorema 2 rămîne valabilă pentru p = 1, dacă în locul . -lui (131) presup~nem compacitatea slabă a funcţiilor Dzcpk (x) în .L (D') pentru once subdomeniu D' strict interior domeniului D. 110. f?erivat~ generaH~ate (continuare). Să stabilim acum legatura dmtre existenţa denvatelor generalizate şi continuitatea :·~bsolută a funcţiilor. Vom examina cazul unei singure variabile mdependente şi drept domeniu de bază D vom considera intecrraJul OO şi să considerăm intervalul [s, l-e]. Pentru Iz suficient de mic deriva ta funcţiei medii cp~(x) este egală cu zero în [s, 1--s] şi prin urmare cp~(x) este constantă în [s, 1-s]. Deoarece limita unor constante poate fi numai o constantă şi cp~ (x)--+ cp* (x) in L ([s, 1- s]), rezultă că cp* (x) este echivalentă cu o constantă în intervalul [s, 1-sJ. De aici rezultă imediat că cp (x) =

GENER~IZATE

---- - -------------------------------- ·-------------

şi nu are derivate generalizate de

există, şi

este identic

finită netedă

ijJ

1 l

egală

cu zero.

Intr-adevăr,

(x 1 , x 2 ), avem

.

1

1

~O ~of (xl) cJ2~;~~;2 x2) dx, dx2 = ~o dxl ~o şi

f (x2 )

în mod analog pentrn 1

a Î (x ) 1

1

pentru orice functie · d (x)

şi să arătăm că functiile

cp(k) (x)

converg în Lp (D) către cp (x), iar derivatele generalizate oz cp(k) (x) converg în Lp (D) către x (x) = oz cp (x). Să stabilim, de exemplu, cea de a doua afirmaţie. Avem il

0 1q:> (x)- 0 1cp (x) 11 = [

u

1

x(x)- (

"-;!)' xlk~l x) rdxr L

1

L

1

)\p ]p lr, (k 1 liP ]p [1 - (k--lzl[r k-) j JD 1X ~k-1 / ( X dx + JD X (X)- X 7c X 1 dx • 1

1

Distanţa dintre punctele

k7c 1 x

1

şi x nu depăşeşte ~ unde d

este diametrul lui D şi, prin urmare, tinde către zero uniform în D. Repetînd raţionamentul din teorema continuităţii în medie [70], ne convingem că termenul al doilea din membrul doi al ultimei inegalităţi tinde către zero cînd k-+ co.

r

In primul termen factorul 1 - ( k~ tinde către zero, iar factorul al doilea converge, în virtutea celor spuse mai înainte, către 11 X(x) 1/rP (continuitatea normei). Şi mai simplu se stabileşte convergenta lui (.p(k} (x) către c.p (x) în Lp (D). Observăm acum că pentru k fix, domeniul D este strict interior faţă de Dk şi de aceea, funcţiile medii cpfzk> (x) converg către cp (x) converg către D1 cp (x) în Lp (D) cînd h ~O. De aici , rezultă că funcţiile :: (x) şi x (x) pot fi aproximate în metrica 1

SPAŢII

390

METRICE.

S'PAŢII

SPATIILE W(l) , p

NORMATE

.

ŞI

391

W(lî p

--~---·--~---

lui Lp (D) prin funcţiile cph (x) nedefinit derivabile în -D ' . k h" . printr-o alegere adecvată a şirului hk-+ O. Funcţiile '--Ph~> (x) pot fi luate drept funcţii cp" (x) indicate în enunţul teoremei. Teorema este astfel demonstrată. 1

.complet). Să ne oprim acum asupra demonstraţiei separabilităţii spaţiului W~ 1 > (D). Pentru aceasta să reprezentăm domeniul D sub forma unei mulţimi numerabile de intervale semideschise disjuncte [32]. Să numerotăm intervalele deschise corespunzătoare, să notăm cu .Dk (k= 1, 2, ... ) şi să introducem mulţimea v~> (D) de funcţii cp (x)

1 ~2. Spaji~le W~0 . şi . W~ >. Fie ca şi mai înainte, D un domemu ma~~m1t al spaţt~llll n-dimensional. Să examinăm mulţimea tuturor funcţlllor cp (x), avmd toate derivatele generalizate pînă la ordinul !, cp (x) şi toate 0 1 cp (x) aparţinînd lui Lp (D) (p "'--·, 1). Vom

aparţinînd lui W~ 0 (bK.) în fiecare interval convergentă seria

nota. această clasă ~d~ funcţii cu W%) (D); o vom transforma într-Lm spaţm normat daca mtroducem norma cu ajutorul formulei

Definirea normei cu ajutorul formulei (139) transformă pe v~0 (D) într-un spaţiu liniar normat. Este uşor de văzut că funcţiile

1

i1

·:p 1iSu) (D) = p

~· D 1 cp (X) lp dx + r)D l

I:

1--/ '1-~r-lp dX. , l -li axl · •· 8X 1

'l ' II2T•••~"n-

nIl

(138)

2:

Aici şi în cele ce urmează

înseamnă

suma după

l1+l2+ ••• ·i-ln=i

toate sistemele posibile de numere naturale (l 1 ' l 2 ' ' •• J l IZ/') a ca~ror suma este l. Este uşor de verificat existenţa proprietăţilor fundaV

'

(D) adică complet. fie f'" (x) un şir convergent în sine în {VU> p ·'

L

1'- i/cpk (x) 1

ax;1 ,,.aX~ll

-

.mt·;' ~ 1a m

v P (D)

f

k=J

şt.

Il cp 11~(1) p

şi astfel încît este

(D ) •

(

139)

"

11,cp 11.....,(1) ,wP W) =

11i

cp 1' v(l> (D). In mo1

-

p

·dul acesta W~l) (D) este un subspaţiu al spaţiului v~> (D) şi este :Suficient să stabilim separabilitatea acestuia din urmă [94]. Mulţimea funcţiilor din v~> (D) diferite de zero numai pe un ·număr finit de intervale este densă în v~> (D). Intr-adevăr, fie Cf (x) E 1>( D) şi s >O un număr arbitrar. Să punem cpm (x) =:= cp (x)

V1

m

pentru xE ~ Dk- şi cp (x)=O în restul părţii lui D. Este evident că k=l

Ym (x)

E v~> (D)

şi pentru un m suficient de mare 00

T

m

Vp (D)

=

~ 1\ cp 11 k=m+l

p w(D) p

k

L -c.P'

în virtutea convergenţei seriei (139). Funcţiile Ym (x) în fiecare

rlCFm(x) ax;1 . , .ax'n n

n:

'pl 1 1

dx-+0

cînd k _şi -+A oo. De aici .rezultă că şirul (.p" (x) şi D cpk (x} converg n~ sme. m Lp (D). ln v1rtutea completitudinii lui L (D) si a teore~ne1 2 dm [109] obţinem că cp" (x) converg în Lp (J]) cătr~e o func~1e cp (x): această func}ie avînd toate derivatele generalizate de ordmul l dm Lp (D) şi D Yk (x) -+ D1 cp (x) în Lp (D). Cele spuse 1

sînt echivalente cu convergenta lui (h (x) către ·:p (x) în w~> (D)..

Spaţiul {,V~t> (D) este astfel un spaţiu de tip

1\~p(l)(D) =

\\ m- cp 'i\P (/)

~D [1 'f'k(x)- 'f'm (x) i" + ld-f2+.,,+{1l={

. w"' PU> (D) .dm

-

mentale ale normei indicate în [95j. Să arătăm că spaţiul W~l) este

+

11 cp

D1c

B

(spaţiul liniar normat

interval Dk (k L.. m) pot fi aproximate în metrica lui W~> (Dk) l prin funcţii de l ori continuu derivabile [111], acestea din urmă pot fi aproximate la rîndul lor uniform în 15~-;;, împreună cu derivatele lor, prin polinoame cu coeficienţi raţionali. De aici rezultă că în (D) mulţimea de funcţii este densă; fiecare funcţie este diferită de zero numai într-un număr finit de intervale Dk şi în fiecare dintre aceste intervale coincide cu un polinom cu coeficienţi raţio­ nali. Este uşor de văzut că mulţimea acestor funcţii este numerabilă şi, prin urmare, V~J (1 ) este separabil. Prin aceasta am de-

V1°

monstrat

şi separabilitatea spaţiului

wJ) (D).

SPAŢII

392

METHICE.

SPAŢII

PROPRIETATILE FUNCTIILOR DE CLASA W(l)lD) p

NORMATE

o

•

Să ne oprim acum asupra unei probleme speciale. Să presupunem că intr-un spaţiu liniar normat X alături de norma de bază 11 x 11 s-a introdus încă norma Il x III şi pentru toţi x EX

c2JI x 11 L 11 x III L etil x 11' ( 140) unde ci> O şi c2 >O sînt constante. Normele care satisfac condiţia {140) se numesc echivalente. Evident că u~ şir Xn care converge într-una din norme, converge şi în cealaltă. In rezolvarea problemelor de completitudine, separabilitate, compacitate etc. este indiferent care dintre normele echivalente se consideră. Tot astfel, un operator liniar mărginit într-una din norme 'Va fi mărginit şi în raport cu o altă normă (echivalentă). In acest caz norma operatorului mărginit se schimbă în general cînd trecem la o normare echivalentă a spaţiului, dar rămîne finită. Să examinăm mai amănunţit problema normărilor echivalente în spaţiul euclidian real n-dimensional Rn. Am introdus în Rn norma cu ajutorul formulei

Vxi+x2+ ... +xn.

lz

, ~ _ (0~) 2 ]

1 -:- • • •

dx}p

+ li cp llLp (D)

(144)

+ln-l

sînt echivalente cu norma de bază (138). Vom folosi această obserîn cele ce urmează. Să introducem acum încă un spaţiu funcţional. Pe mulţimea fuhcţiilor care au toate derivatele generalizate în D pînă la ordinul l inclusiv şi aparţin impreună cu aceste derivate lui Lp (D), să definim norma cu ajutorul formulei

vaţie

l

li cp 1\w~)(D) = k~O

k 1

~kn=k 1\ D! IJLp.

+ ..

(145)

Spaţiul liniar normat obţinut îl vom nota W~) (D). La fel cum

Fie acum funcţiaf(x)= f(x 1, x 2 , ••• , Xn) care posedă proprietăţile normei [95] şi în afară de aceasta este continuă pe suprafata sferei unita'te xi+x~+ ... +x~=l. Să arătăm că JJxll 1 =/(x) reprezintă o normă echivalentă cu norma (141). Funcţia continuă f(x) atinge pe suprafaţa sferei unitare valoarea sa maximă şi minimă. Să notăm c1 =supf(x) şi c2 =infj(x) pentru llxii=L Ţinînd seama că f(x) este pozitivă şi continuă, avem O < c2 L c1 < + co. In virtutea proprietăţilor lui f (x) avem peste tot în R n

am făcut pentru spatiul W~) (D) se poate demon~tra că spaţiul \t1t ~) (D) este complet şi separabil. Observaţia făcută mai înainte asupra

2

c2 JJxJJ

2

2

f(x)Lc 1 Jix'jJ,

normele (141) şi f (x) sînt echivalente. Drept f (x) se pot lua, de exemplu, expresiile

adică

1

f(x) =

Lt.1 xk ~pr (p>l) sau f(x)= m.ax 1x·d.

Bazîndu-ne pe aceste consideratii este :,

11 cp li= { ~D f

1

2

( 141)

llxiJ=

1,'1

p_

393

uşor

de verificat

că·

normele definite în spaţiul W~l) (D) cu ajutorul formulelor IJ

cp J =

ll+•

.~+ln=ZJJ•D[:p J/Lp (D) + JJ :P IJLp(D)

(142)

normelor echivalente în W~n. (D) se referă în egală măsură şi la ' spaţiul W~) (D). In cele ce urmează vom arăta [116] că pentru o

clasă destul de largă de domenii spaţiile W~'> (D) şi w~> (D) constau din aceeaşi mulţime de funcţii, şi normele (138) şi (145) sînt echivalente. Pentru l=O şi l=l spaţiile w~>(D) şi W~)(D) coincid prin definiţie şi evident W~ 0) (D) este Lp (D). 113. Proprietăţile funcţiilor de clasă w~> (D). Studiul sistematic al proprietăţilor funcţiilor din spaţiile W bz) (D) şi w~> (D) , va fi făcut în paragrafele următoare, consacrate aşa numitelor teoreme de scufundare. Rezultatele paragrafului de faţă sînt cazuri particulare ale acestei teoreme generale. Datorită însă importanţei rezultatelor amintite dăm aici demonstraţiile lor independente, mult mai simple. Menţionăm, in primul rînd o proprietate a spaţiului w~> (,P) care decurge direct din definiţia acestuia. Fie o schimbare de variabilă x (x 1 , x 2 , ... , Xn) în y (y 1 , y 2 , ... , Yn) astfel, încît D se transformă biunivoc într-un domeniu D 1 şi transformarea în ambeJe

SPAŢII

3fJ 1

JVIETRICE.

SPAŢII

NORMATE

PROPRIETATILE FUNCTIILOR DE CLASA W(l) (D) ' . • [J

------sensuri se exprimă prin funcţii avînd derivate continue pînă Ia ordinul l în domeniul închis corespunzător. Dacă efectuăm în funcţii schimbarea de variabile independente, indicată, atunci spaţiul W~1 > (Dl trece în w~>(Dt). Din definiţia spaţiului vV~) (D) rezultă imediat că dacă cp (x) Ew~> (D) atunci cp (x) EW~m) (D) pentru q ~p şi m ~ l. Să demonstrăm în legătură cu aceasta următoarea teoremă.

----------------------~

Pentru p > 1 integrala din interior se lui Holder

glllităţii

RL \

- Jo'

p ~ (D.x )p' 1

--

estimează

r xl a_?.(xl + -c, x2, .•. ' X IZ)--,p d,; b.

Jo

1 1

i

J1

8-c

1

cp

'

iP l1

~

w 1).

.

limită

0

•'

A

sz atzt '

"'

m·. TIC

•

~ (xn.) =

lui

în D.

- Xn

maţia

teoremei pentru

X nE

f ~ , a].

o

funcţie ~ (xn)

definită

obţinem

pentru ~ k (x) funcţia fiecare secţiune &xn dacă

pe

demonstrează în mod absolut Xn E[O, ~ 1şi evirient că această funcţie limită cp (x),

şi

se

Iim\ 1 y (XI, ... , li~O Jg;Xn

6

-cp (x 1 ,

... , Xn-1,

Avem, în virtutea

Să demonstrăm mai întîi afir-

Să luăm

E[ ~ , a] ,

aJ. Această afirmaţie

Atunci CF~c (x) converge tn Lp (a;xn) uniform în raXn.

în Lp (&~xn)

dr:pr,;(X) dX n

1vk (x) converge în normă în Lp (19xn) uniform o funcţie 1v (x). Prin aceasta, în virtutea

1 pentru Xn

(x) ctt sz ---- conver(J' în '

către

pentru definită pe toate secţiunile l9x 11 , va fi funcţie limită pentru cpk (x) şi în Lp (D). Rămîne să demonstrăm dependenţa continuă de Xn a rui cp (x) ca element al lui Lp (&xn), adică să demonstrăm că

pqr! cu _xn din [0, a], funcţia limit cp (x) din Lp (D) este defimta prw aceasta pe toate sectiunile a; Xn si , , ca element al lui Lp (~xn) depinde continuu de

Xn

cp (x)

E[-~,

analog

1

rezultă că

397

C·'

Xn)

inegalităţii

j1pk(x1, ... ,

Xn·+-o)-

Xn-1,

IP dx1 ... dXrz--1 =0.

iui Holder Xn-1,

Xn+i3)-

.)g;xn

con-

tinuă derivabilă pe intervalul [0, a] egală cu O pentru Xn =O şi

egală

cu 1 pentru XnE [

r· (

(

= ~ Xn)

.

cpk x) Şl

--axAc!.• k (x) n

-f,

a J . Se

verifică direct că funcţiile 1vk (x) =

converg în Lp (D).

Folosind formula

1L. ( xl'

1

1\.

şi

.

x2 ' ••• ' Xn )

inegalitatea lui Holder,

=

Xn d~k (Xt, X2, • •• , X11 _ 1 , 't) . (h •

~o -----------··-·----. ct·~

(149)

obţinem

~g;11P1 (x)-1Vk (x) 1r dx 1... dxn--1 =

'şi. Ia Hmită

C

~Sx 11

j1.v(x 1, ...

l

Xn-l, Xn+B)

-1[!(x 1 , ... , p

rezultă relaţia cerută şi pentru 'Xn E [O, ~ 1·

de unde loc

iPdx 1... dXn-L~

' ,;lcjJ p :-, ' i! i)Xn Lp (D)

-·--, f!

//(jP '-=c

Xn-1, Xn)

1

1

pentru

Xn

r~ ' al . Acelaşi lucru are

E

SPAŢII

398

METRICE.

SPAŢII

PROPRIETATILE FUNCTIILOR DE CLASA w(ll - ,. • T' (D).

NORMATE

399

---~-··-~----~-----~---------------~------·--------------

. crep (x) Ob servaţie. Condiţia de continuitate a denvatelor -~ din oXn teoremă poate fi slăbită cerind numai existenţa derivatelor aeneraHzate din .LP (D). In aces~ caz egalitatea (149). va avea Io~ [110] ~.entru ~oţi Xn Ef~, aJ ŞI aproape pentru toţi (x 1 , x 2 , ••• , Xn-!) am &J ŞI toate raţionamentele ulterioare rămîn valabile. Limita lui

-axm Lp (D) n

i:icpm (x)

A

(x)

va ti ev1dent denvata generalizată ~cpax ••

•

•

•

"

inD. Din

n

teorei~a demo?strată . şi din proprietăţil_e derivatelor generalitate rezulta că, daca. funcţ1a cp (x) este defimtă de exemplu în eubul Q[O/xi 1; l=l, 2, ... , n] şi aparţine lui Lp(Q) (p> 1) împre-

ună cu derivata generalizată a~;:)~, atunci ea este echivalentă cu o funcţie definită pe fiecare secţiune a cubului Q cu planul Xn=b (OLb~l), aparţinînd pe aceste secţiuni lui Lp(fiJxn) şi dependentă co~tinuu

norma lui ~P (fJJ). Aceasta rezultă din faptul că 0 asttel de (x) p_