SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.11 SUDUT ANTARA DUA VEKTOR)

Smart Solution TAHUN PELAJARAN 2012 2012/2013 /2013 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

(Program Studi IPA) IPA) Disusun oleh :

Pak Anang

2. 11.

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara dua vektor. vektor.

Sudut Antara Dua Vektor Diketahui

Komponen Vektor 34

=4, =Z4X Q 5 RSY >=4

Titik Koordinat @

?

34 5 36 74 8 39 :4 8 3; =4 5 >6 74 8 >9 :4 8 >; =4 A 34 ?@ =====4 ?B 5 C4 A >=4

9

D>=4D

2

9

D34 8 >=4D 5 |34| 8 D>=4D 8 2|34|D>=4D cos F 2 D34 A >=4D 5 |34| 8 D>=4D A 2|34|D>=4D cos F

Kosinus Sudut Antara Dua Vektor

9

9

Kosinus Sudut Antara Dua Vektor

=4 =3 =4·> cos F 5 =4 =4DH>H D=3

cos F 5

2

==4H =48> H=3

2

AID=3=4D 8H==4 >H

2D=3=4DH==4 >H

atau cos F 5

2

==4D ID3

2

2

J

2

==4H ==4A> 8H==4 >H JAH3 ==4DH==4 2D3 >H

Besar Sudut Antara Dua Vektor

“Sudut berapa yang nilai cosnya L""

cos F 5 N O F 5 cosP6 (N)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 73

TRIK SUPERKILAT: Tentukan dua vektor Cek Perkalian titik

Perkalian titik 5 0

Perkalian titik ≠ 0

F 5 90°

Gunakan rumus cos F

Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal sudut antara dua vektor, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah besar sudut yang dibentuk antara dua vektor. Nah, vektor yang diketahui ada tiga jenis, pertama diketahui komponen vektor, kedua diketahui vektor yang dibentuk oleh dua titik, dan yang terakhir adalah panjang atau resultan vektor. Langkah TRIK SUPERKILAT: • •

Halaman 74

Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua vektor yang membentuk sudut F. Kedua, segera tentukan apakah perkalian titik kedua vektor tersebut nol. Jika benar, maka sudut F pasti 90°! Kalau perkalian titiknya tidak nol, maka segera tentukan panjang kedua vektor dan gunakan rumus cos F yang sesuai dengan kondisi soal.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

LOGIKA LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras: Pythagoras: Masih ingat tripel Pythagoras? Asyik….!

Misal vektor 34 = 374 A 4:4 8 12 dan 3 √C, dan misal sisi miring segitiga siku-siku adalah N, maka nilai N bisa ditentukan oleh: 9

9

N 9 = S3√>X 8 S3√CX

O N = g39 > 8 39 C O N = g39 (> 8 C) O N = g39 √> 8 C O N = 3√> 8 C

Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini: Tripel Pythagoras bentuk akar 3 √> 3 √C 3 √> 8 C

3 √> 8 C

bilangannya harus sama, kalau nggak sama cari FPBnya

Contoh:

8

12

• • • • •

3 √>

3 √C jumlahkan saja bilangan di dalam akar

Cari FPB dari 12 dan 8. FPBnya adalah 4. Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4. Artinya 12 = 4√9 dan 8 = 4√4, Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4√9 8 4 = 4√13

Sekarang mari mari cermati contoh soal panjang vektor di bawah ini!

4√13 4√9

4√4

Misal vektor 34 = 474 A 2:4 8 6=4D = g39 8 39 8 09 = √9 8 9 8 0 = √18 = √9√2 = 3√2 0

Dengan demikian diperoleh: cos F =

34 · >=4 |34|D>=4D

4 3 s2 t · s 3 t 0 = 2 2√6 · 3√2 (4)(3) 8 (2)(3) 8 (2)(0) = 6√12 12 8 6 8 0 = 6√4√3 18 = 12√3 18 √3 = u 12√3 √3 18√3 = 36 1 = √3 2 6

Jadi karena cos F = 9 √3, maka besar sudut F = 30°

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Lihat bahwa 34 · >=4 ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah! Segera cari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar: 2√4 4 =4 34 = 474 8 2:4 8 2< = s2t = v2√1w O |34| = 2√4 8 1 8 1 = 2√6 2 2√1 3 3√1 >=4 = 374 8 3:4 = s3t = v3√1w 0 0

O D>=4D = 3√1 8 1 = 3√2

Lanjutkan dengan menghitung nilai cos F menggunakan rumus: 4 3 s2 t · s 3 t 34 · >=4 0 = xyz xyz xyz … cos F = = 2 |34|D>=4D 2√6 · 3√2 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 77

Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui beberapa titik koordinat. koordinat.

Contoh Soal: Soal: =====4 dan |4 mewakili @B =====4 , Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika { =4 mewakili @? maka sudut yang dibentuk oleh vektor { =4 dan |4 adalah … a. 30° b. 45° c. 60° d. 90° e. 120° Penyelesaian:

6 2 4 =====4 =====4D = g49 8 09 8 09 = √16 8 0 8 0 = √16 = 4 @? = >=4 A 34 = s1t A s1t = s0t O D@? 0 2 2 6 2 4 =====4 D = g49 8 49 8 09 = √16 8 16 8 0 = √32 = 4√2 =====4 @B = C4 A 34 = s5t A s1t = s4t O D@B 2 2 0 Dengan demikian diperoleh:

=====4 @? · =====4 @B =====4 DD@B =====4 D D@? 4 4 s0 t · s 4 t 0 = 0 4 · 4√2 (4)(4) 8 (0)(4) 8 (0)(0) = 16√2 16 8 0 8 0 = 16√2 16 = 16√2 1 = √2 1 √2 = u √2 √2 1 = √2 2

cos F =

6

Jadi karena cos F = √2, maka besar sudut F = 45° 9

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: PRAKTIS: =====4 · =====4 Lihat bahwa @? @B ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah! Lanjutkan segera dengan mencari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar: 6 2 4 =====4 =====4D = 4 (karena komponen yang lain nol) @? = >=4 A 34 = s1t A s1t = s0t O D@? 2 2 0 6 2 4 4√1 =====4 =====4 D = 4√1 8 1 = 4√2 @B = C4 A 34 = s5t A s1t = s4t = v4√1w O D@B 2 2 0 0

=====4 · =====4 serta hasil kali titik dari @? @B tidak mungkin memuat bilangan bentuk akar. 6 Karena panjang @B memuat bilangan √2. Jadi feeling kita mengatakan bahwa nilai cos F = 9 √2, dan satu6

satunya jawaban yang mengakibatkan nilai cos F = 9 √2 adalahF = 45°.

Halaman 78

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui panjang dan resultan vektor. Contoh Soal: Soal: Diketahui|34| = 2, D>=4D = 3, dan D34 8 >=4D = √19. Besar sudut antara vektor 34 dan >=4 adalah …. a. 30° b. 45° c. 60° d. 90° e. 120° Penyelesaian: 9 9 2 Ingat D34 8 >=4D = |34| 8 D>=4D 8 2|34|D>=4D cos F

Dengan demikian diperoleh:

D3 =4 8 >=4D = |3 =4| 8 D>=4D 8 2|3 =4|D=>4D cos F 2

2

2

} S√19X = (2)2 8 (3)2 8 2(2)(3) cos F } 19 = 4 8 9 8 12 cos F } 19 = 13 8 12 cos F } 19 A 13 = 12 cos F } 6 = 12 cos F 6 } = cos F 12 1 } = cos F 2 1 } cos F = 2 6 Jadi, karena cos F = 9, maka besar sudut F = 60° 2

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: PRAKTIS: Ingat kalau diketahui jumlah kedua vektor maka kosinus sudut antara dua vektor adalah: cos F =

D34 8 >=4D A ~|34| 8 D>=4D  9

2

2|34|D>=4D 19 A (4 8 9) = 12 19 A 13 = 12 6 = 12 1 = 2

9

6 9

Jadi, karena cos F = , maka besar sudut F = 60°

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 79

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

2.

 2   3  r   r   Diketahui vektor a =  − 3  dan b =  − 2  . Sudut antara vektor a dan b adalah ....  3   − 4 TRIK SUPERKILAT:     Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?. 34 · >=4 A. 135° Kalau nol pasti siku-siku. cos RS34, >=4X = |3||>| Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor B. 120° 6 8 6 A 12 sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C. C. 90° = ☺ √22√29 D. 60° =0 E. 45°  cos ‚ = 0 O ‚ = 90°

Diketahui titik A (1, 0, −2), B (2, 1, −1), C (2, 0, −3). Sudut antara vektor AB dengan AC adalah .... A. 30° =====4 TRIK SUPERKILAT: @? = ? A @ = (1, 0, 1) Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?. B. 45° =====4 @B = B A @ = (1, 0, A1 Kalau nol pasti siku-siku. C. 60° =====4 =====4 @? · =====4 @B Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor D. 90° =====4 , =====4 cos RS@? @B X = sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C. =====4 =====4 D@? DD@B D E. 120° =

180A1

√2√2 =0  cos ‚ = 0 O ‚ = 90°

☺

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

Halaman 80

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)