Slope Deflection

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA ESCUELA DE FORMACION PROFECIONAL DE INGENIERIA CIVIL

RESISTENCIA DE MATERIALES I DOCENTE: ING. BERROCAL GODOY, Ramón

SLOPE DEFLECTION PENDIENTE DEFLECCION METODOS DE CALCULO DE VIGAS Y PORTICOS PO RTICOS

MARCO TEORICO •

•

El método de pendiente deflexión es un procedimiento con el cual se puede analizar vigas indeterminadas y pórticos. Se conoce como el método de los de los desplazamientos ya que las ecuaciones de equilibrio empleados en el análisis se expresan en función de los desplazamientos desconocidos de los nudos. En el método de pendiente-deflexión la ecuación de la pendiente deflexión se utiliza para relacionar el momento de cada extremo de un miembro con los desplazamientos de sus extremos y con las cargas aplicadas al miembro entre los mismos

ECUACIÓN DE PENDIENTE-DEFLEXIÓN •

•

•

Para la deducción de la ecuación de pendiente-deflexión se analizará el claro AB de una viga continua de dos claros como se muestra en la figura 12.2a Se aplica una carga distribuida w(x) que varia arbitrariamente a lo largo del eje de la viga. Los apoyos A y B se asientan una cantidad ΔA y ΔB

La figura 12.2 b muestra el diagrama de cuerpo libre del claro AB con todas sus cargas y momentos MAB y M BA y los cortantes VA y V B

•

La figura 12.2c muestra la superposición de los diagramas generados por Tres cargas

1. El momento MAB en un extremo 2. El momento MAB en el otro extremo 3. La carga aplicada w(x) aplicada entre los extremos de la viga

•

o

La figura 12.2d muestra la configuración deformada del claro AB con los ángulos y rotaciones

Donde pendiente de la cuerda, que conecta los extremos A´ Y B´

•

ΨAB

•

ϴA

y ϴB representan las rotaciones de los extremos del miembro

•

tAB

y tBA son las desviaciones tangenciales desde la curva elástica hasta las tangentes

•

y ϒB angulos entre la cuerda y la tangente a la curva elástica en los puntos A y B respectivamente: ϒA

ϒA

= tBA / L

Y

ϒB

= tAB / L

…(1)

•

Se sabe de la grafica que: ϒA

•

=

y

ϒB

= ϴB - ΨAB   …..(2)

- ΨAB =

tAB

/L

y

- ΨAB = tBA / L

ϴB

…(3)

Del método de diagrama de momentos se de la figura 12.2c y aplicando el segundo principio de area-momento

 t AB

=

MBA  L   

M AB  L

 tBA =   

•

- ΨAB

Remplazando en las ecuación (1) se tiene. ϴA

•

ϴA

 

M AB  L   

 M BA  L   

 

 

(AM  ) A 

 ( AM  )B 

 

…(4)

 

…(5)

Donde : (AM  ) A

(A

 )

M B y representa el momento de área bajo el diagrama de   momentos respecto de A y B respectivamente fig 12.3

•

Remplazando las ecuaciones (4) y (5) en (3) ϴA

ϴB •

- ΨAB =



- ΨAB =



(  

(

MBA  L   

M AB  L   

 

 M AB  L   

 M BA  L   

 

 

 ( AM  ) A 

 ( AM  )B 

)

)

Se resuelve estas ecuaciones y luego se tiene.

•

M AB =

2 

•

M AB =

2 





(2 ϴ A

+ ϴB - 3 ΨAB ) +

(2 ϴB+ ϴ A

- 3 ΨAB ) +

2(AM  ) A  4 (AM  )B - L2 L2 4(AM  ) A  2 (AM  )B - L2 L2

LAS cuales son las ecuaciones de la PENDIENTE-DEFLECCION

EJERCICIO N° 1. DETERMINAR EL GRADO DE HIPERGEOMETRIA Y LUEGO LA RIGIDEZ LATERAL DE LA COLUMNA DEL SISTEMA

•

GRADO DE HIPERGEOMETRÍA = 3er. GRADO (, 1, 4)

•

1° De la ecuación de maney se tiene:

 =  +



 =  +

 

•





Ɵ   + Ɵ     =

Ɵ  + Ɵ     =

 

 

Ɵ   / = 

Ɵ   /

2° De la ecuación 1 se tiene:  

Ɵ    / = 

Ɵ    / = 0 Ɵ  =  /

 

 

…………(1)

………….(2)

•

3° Reemplazando en la ecuación (2):  =

2 

 =

 /    /

2 

 /

 =   /^ •

4° Finalmente tenemos:      = =  

 =



 

•

5° la grafica será:

EJERCICIO N° 2. ENCONTRAR LAS

REACCIONES EN LA VIGA MOSTRADA

ECUACIONES DE MOMENTOS SLOPE DEFLECTION   =

  

 =

 

+ +

2  2 

(Ɵ   + Ɵ ) (Ɵ  + Ɵ  )

REEMPLAZANDO

CONDICIONES ESTÁTICAS

•

  +  = 0

•

  +  = 0

•

 = 0

•

 =0

RESOLVIENDO •

4 0 2 0

18 1 1 0

5 4 0 1

0 1 0 2

•

Ɵ  = 823.54 /EI

•

Ɵ  = 605.41 /EI

•

Ɵ  = 687.26

•

Ɵ  = 943.63

/EI

/EI

Ɵ Ɵ Ɵ Ɵ

=

12500/3 1200 /EI 3125/3 1200

REEMPLAZANDO •

 = 0

•

  = 261.76

•

  = 261.78

•

  = 384.56

•

  = 384.56

•

 = 0

CALCULO DE REACCIONES

EJERCICIO N° 3. GRAFICAR LOS DIAGRAMAS DE MOMENTO FLECTOR Y FUERZAS CORTANTES DE LA VIGA MOSTRADA:

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO  – MOMENTOS DE FIJACIÓN •

 

•

 

•

 

•

 

•

 

•

 

= = = =

                  

    

= =



= 75

= 233.3

= 233.3

             

= 225

= 281.25 = 168.75

RIGIDECES RELATIVAS •

 =

•

 =

•

 =



    

= = =



    

5 3 5

ECUACIONES DE PENDIENTE DEFLEXIÓN •

  = 225 + (2Ɵ  + Ɵ )

•

  = 75 + (Ɵ  + 2Ɵ  )

•

  = 233.33 + (2Ɵ   + Ɵ  )

•

  = 233.33 + (Ɵ   + 2Ɵ  )

•

  = 281.25 + (2Ɵ   + Ɵ  )

•

  = 168.75 + (Ɵ  +2Ɵ  )

CONDICIONES ESTÁTICAS •

 = 0

•

  +  = 0

•

 +  = 0

•

 =0

   =   + (Ɵ   + Ɵ )

 =   + (Ɵ   + Ɵ )

RESOLVIENDO •

10 5 0 0

5 16 3 0

0 0 3 0 16 5 5 10

Ɵ Ɵ Ɵ Ɵ

=

225 158.33 47.92 168.75

REEMPLAZANDO •

 = 0

•

Ɵ  = 21.8598

•

  = 197.1

•

Ɵ  = 1.2803

•

  = 197.1

•

Ɵ  = 9.5151

•

  = 294.3

•

Ɵ  = 21.6325

•

  = 294.3

•

 = 0

CALCULO DE CORTANTES •

  = 150

•

 = 50

•

  = 150

•

 = 50

•

  = 150

•

 = 50

CORRECCIÓN DE CORTANTES •

 =

•

 =

•

 =

 −− 

= 24.6

 −.−(−.)  − (294.3) 

= 9.7

= 36.8