Slides Calculo Financeiro Economia

FACULDADE DE ECONOMIA DA UNIVERSIDADE DO ALGARVE CURSO DE LICENCIATURA EM ECONOMIA 1º ANO

CÁLCULO FINANCEIRO

Ano lectivo 2009/2010

Docente: Cristina Viegas

I – INTRODUÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS


Conceitos de Cálculo Financeiro estão presentes em operações de: - Investimento • Depósitos a prazo • Obrigações • ...

- Financiamento • Empréstimos bancários • ...

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1

I – INTRODUÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS


Valor

temporal do dinheiro

Para comparar capitais é necessário que eles estejam reportados a um mesmo momento.

Receber 100 euros hoje é diferente de receber 100 euros daqui a 1 ano. Pagar 100 euros hoje é diferente de pagar 100 euros daqui a 1 ano.

 O que é preferível? Porquê?

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I – INTRODUÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS


Importância do factor tempo em qualquer análise que envolva capitais.
Qual o valor do factor tempo? tempo JURO O juro é a remuneração de um certo capital, durante um certo prazo. Normalmente o juro é expresso em percentagem, falando-se, então, de taxa de juro.
Três variáveis fundamentais em Cálculo Financeiro: - Capital - Tempo - Juro FEUALG

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II – CAPITALIZAÇÃO

Capitalização em regime de juro simples - Exemplo Exemplo 2.1: Considere que aplicou um capital de 1.000 euros numa instituição financeira durante o prazo de dois anos. A taxa de juro da operação foi de 6%. Determine o valor do capital, decorridos os dois anos, pressupondo que o juro produzido no primeiro ano não produz juro no segundo ano, isto é, o juro do primeiro ano é igual ao juro do segundo ano. Trata-se de determinar o valor acumulado ou capitalizado de um capital em regime de juro simples.

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I I– CAPITALIZAÇÃO Capitalização em regime de juro simples - Exemplo

C2 = ?

C0 = 1.000 0

1

2

Capitais

Tempo em anos

C0 ⇒ Capital inicial

C2 ⇒ Capital acumulado decorridos 2 anos J 2 ⇒ juro vencido durante os 2 anos C2 = C0 + J 2 com J 2 = 1.000 × 0, 06 × 2

C2 = 1.000 + 1.000 × 0, 06 × 2 ⇔ C2 = 1.000 (1 + 0, 06 × 2 ) C2 = 1.120 FEUALG

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3

I I– CAPITALIZAÇÃO

Capitalização em regime de juro simples – Fórmulas gerais

C0 0

1

2

3

Cn

Capitais

n

Tempo

...

Jn ⇒

Juro relativo a n períodos de tempo

Cn ⇒

Capital acumulado após n períodos de tempo

C n = C0 + J n FEUALG

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I I– CAPITALIZAÇÃO Capitalização em regime de juro simples – Fórmulas gerais

Em regime de juro simples (r.j.s.), o juro produzido em cada período não produz juro nos períodos seguintes. Logo, o capital que vai gerar juros em cada período é sempre o mesmo.

J n = C0 in

Juro relativo a n períodos de tempo, em r.j.s.

i corresponde à taxa de juro do período

Cn = C0 + C0 in

Cn = C0 (1 + in ) FEUALG

O que, após simplificação, corresponde a: Valor acumulado ou capitalizado, em r.j.s., relativo a n períodos de tempo.

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I I– CAPITALIZAÇÃO

Capitalização em regime de juro simples - Breves notas

⇒ n e i têm que estar expressos na mesma unidade de tempo ⇒ Através da fórmula geral de capitalização, Cn = C0 (1 + in ) , também é possível determinar i, conhecidos Cn , C0 e n ⇒ Através da fórmula geral de capitalização, Cn = C0 (1 + in ) , também é possível determinar n, conhecidos Cn , C0 e i

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I I– CAPITALIZAÇÃO

Capitalização em regime de juro composto - Exemplo Exemplo 2.2 Considere que aplicou um capital de 5.000 euros numa instituição financeira durante o prazo de três anos. A taxa de juro anual da operação foi de 6%. Determine o valor do capital, decorridos os três anos, pressupondo que o juro produzido no primeiro ano produz juro no segundo ano, e, por sua vez, o juro produzido no primeiro e no segundo ano produz juro no terceiro ano. Trata-se de determinar o valor acumulado ou capitalizado de um capital em regime de juro composto.

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I I– CAPITALIZAÇÃO Capitalização em regime de juro composto - Exemplo

C3 = ?

C0 = 5.000 0

1

2

3

Capitais

Tempo em anos

C0 ⇒ Capital inicial Capital acumulado decorridos 1, 2 e 3 anos, respectivamente

C1 , C2 e C3 ⇒

j1 , j2 e j3 ⇒ Juro relativo ao 1º, 2º e 3º ano, respectivamente C1 = C0 + j1 C1 = 5.000 + 5.000 × 0, 06 ⇔ C1 = 5.000 (1 + 0, 06 ) FEUALG

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I I– CAPITALIZAÇÃO Capitalização em regime de juro composto - Exemplo

C2 = C1 + j2 C2 = 5.000 (1 + 0, 06 ) + 5.000 (1 + 0, 06 ) × 0, 06 ⇔ C2 = 5.000 (1 + 0, 06 )

2

C3 = C2 + j3 C3 = 5.000 (1 + 0, 06 ) + 5.000 (1 + 0, 06 ) × 0, 06 ⇔ C3 = 5.000 (1 + 0, 06 ) 2

2

3

C3 = 5.955, 08 Qual o valor dos juros produzidos durante os três anos?

C3 − C0 = 5.955, 08 − 5.000 = 955, 08 FEUALG

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I I– CAPITALIZAÇÃO

Capitalização em regime de juro composto – Fórmulas gerais

C0 0

1

2

3

...

Cn

Capitais

n

Tempo

jt ⇒ juro relativo ao período de tempo t , com t = 1, 2,..., n Ct ⇒ capital acumulado após t períodos de tempo, com t = 1, 2,..., n

Ct = Ct −1 + jt com jt =Ct −1i para t = 1, 2,..., n FEUALG

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I I– CAPITALIZAÇÃO Capitalização em regime de juro composto – Fórmulas gerais

Em regime de juro composto (r.j.c.), o juro produzido em cada período não é constante, sendo crescente de período para período. Neste regime, o juro vencido em cada unidade de tempo é adicionado ao capital inicial, passando imediatamente a vencer juros nas unidades de tempo posteriores.

Cn = C0 (1 + i ) J n = Cn − C0

n

Valor acumulado ou capitalizado, em r.j.c., relativo a n períodos de tempo. Juro relativo a n períodos de tempo, em r.j.c.

i corresponde à taxa de juro do período FEUALG

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I I– CAPITALIZAÇÃO

Capitalização em regime de juro composto - Breves notas

⇒ n e i têm que estar expressos na mesma unidade de tempo e o período da taxa i deverá sempre coincidir com o período da capitalização dos juros. ⇒ Através da fórmula geral de capitalização, Cn = C0 (1 + i ) , n

também é possível determinar i (aplicando a regra das potências/raízes), conhecidos Cn , C0 e n

⇒ Através da fórmula geral de capitalização, Cn = C0 (1 + i ) , n

também é possível determinar n (aplicando a regra dos logaritmos), conhecidos Cn , C0 e i FEUALG

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III– ACTUALIZAÇÃO

Actualização - Exemplo Exemplo 3.1: Considere um capital de 500 euros com vencimento daqui a 5 meses. Determine o capital que lhe é equivalente hoje, à taxa de juro anual de 8%. Trata-se de determinar o valor actual de um capital.

C0 = ?

500

0

5

Capitais Tempo em meses

C0 ⇒ valor actual de 500 euros C0 = 500 − juro ou desconto relativo a 5 meses FEUALG

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III – ACTUALIZAÇÃO

Como determinar o valor dos juros ou do desconto? Três hipóteses de determinar o valor actual: regime de juro simples com desconto por dentro; regime de juro simples com desconto por fora e regime de juro composto 3.1. Juro Simples Juro simples com desconto por dentro: Os juros decorrentes da aplicação do capital são calculados com base no capital inicial. Vamos voltar ao exemplo 3.1:

C512 = 500; i = 8%; n = FEUALG

5 ; C0 = ?; Desconto=? 12

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III – ACTUALIZAÇÃO

Actualização em regime de juro simples com desconto por dentro

C0( r ) = 500 − C0( r ) × 0, 08 ×

5 5 ⇔ C0( r ) + C0( r ) × 0, 08 × = 500 12 12

5 500  C0( r )  1 + 0, 08 ×  = 500 ⇔ C0( r ) = ⇔ C0( r ) = 483,87 5 12   1 + 0, 08 × 12

C0( r )

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C = n 1 + in

Valor actual em regime de juro simples com desconto por dentro (Valor Actual Racional), relativo a n períodos de tempo Cálculo Financeiro 2009/2010

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III – ACTUALIZAÇÃO Actualização em regime de juro simples com desconto por dentro

Por sua vez, o juro ou o desconto por dentro do exemplo é:

Dd = 483,87 × 0, 08 ×

5 ⇔ Dd = 16,13 12

Dd ⇒ Desconto por dentro Em termos gerais, vem:

Dd =

Cn in 1 + in

FEUALG

Valor do juro ou do desconto em regime de juro simples com desconto por dentro, relativo a n períodos de tempo

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III – ACTUALIZAÇÃO

Actualização em regime de juro simples com desconto por fora

Juro simples com desconto por fora: Os juros decorrentes da aplicação do capital são calculados com base no capital acumulado. Vamos voltar ao exemplo 3.1:

C0( c ) ≡ Valor actual comercial D f ≡ Desconto por fora

C0( c ) = 500 − D f ⇔ C0( c ) = 500 − 500 × 0, 08 ×

5  C0( c ) = 500  1 − 0, 08 ×  ⇔ C0( c ) = 483,33 12   FEUALG

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III – ACTUALIZAÇÃO Actualização em regime de juro simples com desconto por fora

Valor actual em regime de juro simples com desconto por fora (Valor Actual Comercial), relativo a n períodos de tempo

C0( c ) = Cn (1 − in )

Por sua vez, o juro ou o desconto por fora do exemplo é:

D f = 500 × 0, 08 ×

5 ⇔ D f = 16, 67 12

Em termos gerais, vem: Valor do juro ou do desconto em regime de juro simples com desconto por fora, relativo a n períodos de tempo

D f = Cn in FEUALG

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III – ACTUALIZAÇÃO

Actualização em regime de juro composto

3.2. Juro composto Vamos voltar ao exemplo 3.1:

C0 ≡ Valor actual em regime de juro composto (r.j.c.)

(

)

C0 = 500 − C0 (1 + 0, 08 ) 12 − C0 ⇔ C0 (1 + 0, 08 ) 12 = 500 C0 = C0 =

FEUALG

5

500

(1 + 0, 08) Cn

(1 + i )

n

5

12

5

⇔ C0 = 484, 22 Valor actual em regime de juro composto, relativo a n períodos de tempo Cálculo Financeiro 2009/2010

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III – ACTUALIZAÇÃO

Actualização – Breves notas

⇒

O valor actual racional é aplicado no desconto de Bilhetes do Tesouro, por exemplo.

⇒

O valor actual comercial é aplicado no desconto de letras, por exemplo.

⇒

A aplicação do desconto por fora só é viável para prazos curtos e / ou taxas de juro baixas.

⇒

No desconto por fora a taxa realmente suportada pelo mutuário é superior à taxa enunciada.

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IV– TAXAS DE JURO

4.1 Taxas equivalentes

Duas taxas dizem-se equivalentes, referidas a períodos de tempo diferentes, se aplicadas a um mesmo capital, durante igual extensão de tempo, produzem o mesmo valor acumulado. Como o montante de juros depende do regime de juros que se considera (juro simples ou juro composto), tornase necessário especificar em qual regime de juros as taxas são equivalentes.

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IV– TAXAS DE JURO

Taxas equivalentes Exemplo 4.1: Considere um capital inicial de 100 euros aplicado à taxa de juro anual de 10% durante um ano.
Qual o valor acumulado decorrido um ano, pressupondo regime de juro simples?

C1 = 100 × (1 + 0,10 × 1) ⇔ C1 = 110

a


Qual a taxa equivalente semestral ( i ' ) que aplicada ao mesmo capital durante o mesmo prazo (um ano), produz o mesmo valor acumulado? FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO Taxas equivalentes

C2 = 110; C0 = 100; i '( sem) = ?

110 = 100 (1 + i '× 2 )

b

Da comparação de a com b , vem:

(1 + i '× 2 ) = 1 + 0,10 ⇔ i ' =

0,10 ⇔ i ' = 0, 05 = 5% 2

Em termos gerais, vem: i' =

i período da taxa i com m = m período da taxa i '

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Taxa de juro proporcional

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IV– TAXAS DE JURO Taxas equivalentes

Exemplo 4.2: Considere os mesmos dados do exemplo 4.1.
Qual o valor acumulado decorrido um ano, pressupondo regime de juro composto?

C1 = 100 × (1 + 0,10 ) ⇔ C1 = 110 1

c


Qual a taxa equivalente semestral ( i ' ) que aplicada ao mesmo capital (100) durante o mesmo prazo (dois semestres), produz o mesmo valor acumulado (110), com capitalização de juros semestral? FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO Taxas equivalentes

C2 = 110; C0 = 100; i '( sem) = ?

110 = 100 (1 + i ' )

2

d

Da comparação de c com d , vem: (1 + i ') = 1 + 0,10 ⇔ 2

⇔ (1 + i ') = (1 + 0,10 ) 2 ⇔ i ' = (1 + 0,10 ) 2 − 1 ⇔ i ' = 4,88% 1

1

Em termos gerais, vem: i ' = (1 + i )

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1

m

-1 com m =

período da taxa i período da taxa i '

Taxa de juro equivalente

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IV– TAXAS DE JURO

4.2 Taxas nominais e efectivas: Exemplo taxa nominal
O que é uma taxa nominal? É uma taxa de juro que não reflecte o efeito das capitalizações, ou seja é uma taxa de juro que não leva em consideração o facto de haver juros de juros. Exemplo 4.3: Considere um capital de 800 euros aplicado à taxa anual nominal de 10%. Pressupondo regime de juro composto, com capitalização de juros semestral, determine os juros vencidos e o capital acumulado decorrido o primeiro ano. FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO Taxa nominal - Exemplo

1º Processo de resolução:
Primeiro, calcular os juros produzidos durante o primeiro semestre: 1 j1 = 800 × 0,10 × ⇔ j1 = 40 2
Segundo, calcular os juros produzidos durante o segundo semestre:

j2 = ( 800 + 40 ) × 0,10 ×

1 ⇔ j2 = 42 2

Juros totais = 40 + 42 = 82 Capital acumulado = 800 + 82 = 882 FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO Taxa nominal - Exemplo

2º Processo de resolução (mais rápido):
Aplicar a fórmula geral de capitalização em regime de juro composto:

Cn = 2 sem = 800 (1 + i ( sem) )

2

Quando a taxa de juro dada é nominal, o período a que está reportada a taxa deve coincidir com a periodicidade a que são efectuadas as capitalizações. No exemplo: capitalização de juros semestral ⇒ a taxa de juro

a aplicar nas fórmulas deverá ser semestral, i ( sem) FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO

Taxa nominal para diferentes períodos de tempo
Como alterar a periodicidade da taxa de juro nominal? Taxas nominais e taxas proporcionais têm em comum o facto de não reflectirem o efeito de sucessivas capitalizações.

Então, para alterar o período da taxa de juro nominal, aplica-se a fórmula: i' =

FEUALG

i período da taxa i com m = m período da taxa i '

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IV– TAXAS DE JURO Taxa nominal - Exemplo

No exemplo, pretende-se calcular a taxa de juro semestral nominal ( i ( sem) ) , dada a taxa de juro anual nominal ( i ( anual ) ) . Aplicando a fórmula, vem: i ( sem) =

período da i ( anual ) 2 semestres i( anual ) com m = = =2 m período da i ( sem ) 1 semestre

Então: i ( sem) =

Logo:

0,10 = 0, 05 2

Cn = 2 sem = 800 (1 + 0, 05 ) ⇔ Cn = 2 sem = 882

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2

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IV– TAXAS DE JURO

Taxa efectiva - Exemplo
O que é uma taxa efectiva? É uma taxa de juro que considera o efeito de sucessivas capitalizações, ou seja é uma taxa de juro que leva em consideração o facto de haver juros de juros. Exemplo 4.4: Considere um capital de 800 euros aplicado à taxa anual efectiva de 10,25%. Pressupondo regime de juro composto, determine os juros vencidos e o capital acumulado decorrido um ano.

FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO Taxa efectiva - Exemplo

Neste exemplo, a taxa de 10,25%% é efectiva, pelo que não é importante saber qual a periodicidade das capitalizações. Seja qual for o período de capitalização dos juros, o juro vencido no final do primeiro ano será 10,25% do capital inicialmente investido.

Juros vencidos durante o 1º ano: 800 × 0,1025 = 82 Valor acumulado decorrido um ano:

Cn =1ano = 800 (1 + 0,1025 ) ⇔ Cn =1ano = 882 1

FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO

Taxa efectiva para diferentes períodos de tempo
Como alterar a periodicidade da taxa de juro efectiva? Taxas efectivas e taxas equivalentes em regime de juro composto têm em comum o facto de reflectirem o efeito de sucessivas capitalizações.

Então, para alterar o período da taxa de juro efectiva, aplica-se a fórmula: i ' = (1 + i )

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1

m

-1 com m =

período da taxa i período da taxa i '

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IV– TAXAS DE JURO Taxa efectiva - Exemplo

No exemplo, dada a taxa de juro anual efectiva ( ief ( anual ) ) , a taxa de juro semestral efectiva ( ief ( sem ) ) é calculada através da fórmula: ief ( sem ) = (1 + ief ( anual ) )

1

m

-1 com m =

Então, ief ( sem ) = (1 + 0,1025 )

1

2

período da ief ( anual ) período da ief ( sem )

2 sem 1 sem

=

− 1 ⇔ ief ( sem ) = 0, 05

Pode-se, também, calcular o valor acumulado do ex. recorrendo a esta taxa semestral:

Cn = 2 sem = 800 (1 + 0, 05 ) ⇔ Cn = 2 sem = 882 2

FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO Taxa efectiva - Exemplo

No exemplo, dada a taxa de juro anual efectiva ( ief ( anual ) ) , a taxa de juro mensal efectiva ( ief ( mensal ) ) é calculada através da fórmula: ief ( mensal ) = (1 + ief ( anual ) )

1

m

-1 com m =

Então, ief ( mensal ) = (1 + 0,1025 )

1 12

período da ief ( anual ) período da ief ( mensal )

=

12 meses 1 mês

− 1 ⇔ ief ( mensal ) = 0, 008165

Pode-se, também, calcular o valor acumulado do ex. recorrendo a esta taxa mensal:

Cn =12 meses = 800 (1 + 0, 008165 ) ⇔ Cn =12 meses = 882 12

FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO

Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
Como converter uma taxa nominal numa taxa efectiva? Exemplo 4.5: Qual é a taxa anual efectiva subjacente à taxa anual nominal de 10%, pressupondo capitalização de juros semestral? Em primeiro lugar, deve-se calcular a taxa de juro nominal cujo período de tempo coincide com o período da capitalização dos juros, utilizando a fórmula da taxa proporcional. Quando o período da taxa coincide com o período da capitalização dos juros a taxa é simultaneamente nominal e efectiva. FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

Assim, para taxas nominais, a relação de equivalência corresponde a:

i (anual ) = 10% ⇒ i( sem) =

10% = 5% 2

A taxa semestral nominal de 5% também é taxa semestral efectiva, porque o período de capitalização dos juros é semestral. Em segundo lugar, deve-se calcular a taxa de juro efectiva para o período pretendido, utilizando a fórmula de equivalência em regime de juro composto. FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

Conhece-se a taxa semestral efectiva (5%) e pretende-se determinar a taxa anual efectiva. Para taxas efectivas, a relação de equivalência corresponde a:

ief (anual ) = (1 + ief ( sem) ) com m =

1

m

−1

período da ief ( sem) período da ief ( anual )

Logo: ief ( anual ) = (1 + 0, 05)

1

1

2

=

1 sem 1 = 2 sem 2

−1 ⇔

⇔ ief ( anual ) = (1 + 0, 05) 2 − 1 ⇔ ief ( anual ) = 10, 25%

FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas


Como converter uma taxa efectiva numa taxa nominal? Exemplo 4.6: Qual é a taxa anual nominal subjacente à taxa anual efectiva de 4,0605%, pressupondo capitalização de juros trimestral? Em primeiro lugar, deve-se calcular a taxa de juro efectiva cujo período de tempo coincide com o período da capitalização dos juros, utilizando a fórmula de equivalência em regime de juro composto. Quando o período da taxa coincide com o período da capitalização dos juros a taxa é simultaneamente efectiva e nominal. FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

Assim, para taxas efectivas, a relação de equivalência corresponde a:

ief ( anual ) = 4, 0605% ⇒ ief (trim) = (1 + 0, 040605 ) Com: m =

período da ief ( anual ) período da ief ( trim )

=

Então: ief (trim) = (1 + 0, 040605 )

1

m

−1

4 trim =4 1 trim 1

4

− 1 ⇔ ief (trim) = 1%

A taxa trimestral efectiva de 1% também é taxa trimestral nominal, porque o período de capitalização dos juros é trimestral. FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

Em segundo lugar, deve-se calcular a taxa de juro nominal para o período pretendido, utilizando a fórmula da taxa proporcional. Conhece-se a taxa trimestral nominal (1%) e pretende-se determinar a taxa anual nominal. Para taxas nominais, a relação de equivalência corresponde a: i ( anual ) =

i (trim) período da i (trim) 1 trim 1 com m = = = período da i ( anual ) 4 trim 4 m

Então: i ( anual ) = FEUALG

0, 01 1 4

⇔ i (anual ) = 0, 01× 4 ⇔ i (anual ) = 4% Cálculo Financeiro 2009/2010

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IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas


Outro processo de converter uma taxa nominal numa taxa efectiva e vice-versa – Dedução da fórmula Exemplo 4.7: Considere um capital de 1000 euros aplicado durante um ano, à taxa de juro anual nominal de 6%, com capitalização de juros mensal. a) Determinar o valor acumulado. A taxa de juro dada é nominal e a capitalização de juros é mensal, logo a taxa de juro a aplicar na fórmula geral de capitalização deverá ser mensal. FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

12

0, 06  0, 06  i ( mensal ) = ⇒ Cn =12 meses = 1000 1 +  ⇔ Cn =12 meses = 1061, 678 12 12  

b) Qual a taxa de juro anual efectiva que aplicada a um capital de 1000 euros, durante um ano, produz um valor acumulado igual ao encontrado através da utilização da taxa proporcional mensal, isto é um valor de 1061,678.

O que se pretende é determinar a ief ( anual ) , tal que: 1000 × ief ( anual ) = 1061, 678 − 1000, ou: 12

 0, 06  1000 × ief ( anual ) = 1000 1 +  − 1000 12   FEUALG

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IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

Após simplificação, vem: 12

 0, 06  ief ( anual ) =  1 +  − 1 ⇔ ief ( anual ) = 6,1678% 12   Significa que o juro vencido no final do primeiro ano corresponde a 6,1678% do capital inicialmente investido (1000 euros). Então, a uma taxa de juro anual nominal de 6%, com capitalização de juros mensal, corresponde uma taxa anual efectiva é de 6,1678%.

Em termos gerais, a fórmula que permite determinar a taxa efectiva dada a taxa nominal e vice-versa, corresponde a: m

m = nº de capitalizações que ocorrem durante o período da taxa i (taxa nominal)

i   ief =  1 +  − 1  m FEUALG

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47

IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

Exemplo 4.8: Aplicação de um capital de 2000 euros, durante 2 anos, à taxa de juro anual nominal de 8%, com capitalização de juros trimestral. a) Determinar o valor acumulado no fim do prazo.

i (trim) =

0, 08 ⇔ i (trim) = 0, 02 4

Cn =8trim = 2000 (1 + 0, 02 ) ⇔ Cn =8trim = 2343,32 8

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

48

24

IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

b) Determinar a taxa de juro anual efectiva. Dois processos alternativos de resolução: 1º Processo: Aplicar as regras de equivalência entre taxas  Cálculo da taxa trimestral nominal (também é efectiva):

i (trim) =

0, 08 ⇔ i (trim) = 0, 02 4

 Cálculo da taxa anual efectiva:

ief ( anual ) ) = (1 + 0, 02 ) − 1 ⇔ ief ( anual ) ) = 8, 243% 4

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

49

IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

m

i   2º Processo: Aplicar a fórmula geral ief =  1 +  − 1  m m = 4 (nº de capitalizações trimestrais que ocorrem durante um ano) 4

 0, 08  ief ( anual ) = 1 +  − 1 ⇔ ief (anual ) = 8, 243% 4   O resultado obtido nos dois processos é o mesmo. Nota: A aplicação da fórmula geral pressupõe que a taxa efectiva e a taxa nominal estão reportadas ao mesmo período de tempo. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

50

25

IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

c) Determinar a taxa de juro semestral efectiva Dois processos alternativos de resolução: 1º Processo: Aplicar as regras de equivalência entre taxas  Após o cálculo da taxa trimestral nominal e efectiva (já determinado na alínea b), 1º processo), determina-se a taxa semestral efectiva aplicando a fórmula de equivalência de taxas em r.j.c.

ief ( sem) ) = (1 + 0, 02 ) − 1 ⇔ ief ( sem) ) = 4, 04% 2

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

51

IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

2º Processo:  Após calcular a taxa anual efectiva, através da fórmula geral (já determinado na alínea b), 2º processo) determina-se a taxa semestral efectiva aplicando a fórmula de equivalência de taxas em r.j.c.

ief ( sem) ) = (1 + 0, 08243)

FEUALG

1

2

− 1 ⇔ ief ( sem) ) = 4, 04%

Cálculo Financeiro 2009/2010

52

26

IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

d) Determinar a taxa de juro trimestral efectiva e a taxa de juro trimestral nominal.  Para calcular a taxa trimestral efectiva, pode-se utilizar o resultado obtido na alínea b), para a taxa anual efectiva. Aplica-se, então, a equivalência de taxas em r.j.c.:

ief ( trim ) = (1 + ief ( anual ) )

1

m

⇔ ief ( trim ) = (1 + 0, 08243)

FEUALG

1

−1 ⇔ 4

− 1 ⇔ ief ( trim ) = 2%

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53

IV– TAXAS DE JURO Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

 Para calcular a taxa trimestral nominal, recorre-se à fórmula de equivalência entre taxas nominais, uma vez que no enunciado inicial é dada a taxa anual nominal:

i ( trim ) =

0, 08 i ( anual ) ⇔ i ( trim ) = ⇔ i ( trim ) = 2% m 4

Neste caso, a taxa trimestral nominal é igual à taxa trimestral efectiva porque a capitalização dos juros é trimestral. Em termos gerais, quando o período da taxa coincide com o período da capitalização dos juros, a taxa nominal é igual à taxa efectiva. FEUALG

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54

27

V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

5.1 Equações de equivalência

Como estabelecer equivalência entre vários capitais? Todos os capitais devem estar reportados a um mesmo momento, designado como data focal da operação de equivalência. Assim, para determinada operação de equivalência, é necessário recorrer às fórmulas gerais de actualização e/ou de capitalização, definidas anteriormente.

FEUALG

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55

V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro simples Exemplo 5.1: Considere que a empresa “XYZ” tem o seguinte conjunto de dívidas: Montante

Data de vencimento

5.000€

1 Fevereiro 2009

12.000€

1 Abril 2009

8.000€

1 Julho 2009

A empresa pretende substituir este conjunto de dívidas por uma única a ser paga no dia 1 de Junho de 2009.

a) Calcular o valor do capital único a vencer no dia 1 de Junho de 2009, pressupondo regime de juro simples com desconto por dentro, taxa de juro anual de 6% e data focal o dia 1 de Novembro de 2008. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

56

28

V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro simples

Elaboração da equação de equivalência:
Composição de um membro da equação:  As três dívidas originais, actualizadas para o dia 1 de Novembro de 2008;
Composição do outro membro da equação:  O capital único, que se pretende determinar, também actualizado para o dia 1 de Novembro de 2008.

FEUALG

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57

V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro simples

1/11/08

5.000

12.000

C=?

8.000

1/2/09

1/4/09

1/6/09

1/7/09

Data focal

5.000 1 + 0, 06 ×

3 12

+

12.000 1 + 0, 06 ×

5 12

+

8.000 1 + 0, 06 ×

8 12

=

C 1 + 0, 06 ×

7 12

C = 25.177,1338€ FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

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29

V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro simples

Continuação do ex. 5.1: b) Calcular o valor do capital único a vencer no dia 1 de Junho de 2009, pressupondo regime de juro simples com desconto por dentro, taxa de juro anual de 6% e data focal o dia 1 de Fevereiro de 2009. Neste caso, todos os capitais devem estar reportados ao dia 1 de Fevereiro de 2009:

5.000 +

12.000 2 1 + 0, 06 × 12

+

8.000 5 1 + 0, 06 × 12

FEUALG

=

C 4 1 + 0, 06 × 12

⇔ C = 25.179, 787

Cálculo Financeiro 2009/2010

59

V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro composto

Continuação do ex. 5.1: c) Calcular o valor do capital único a vencer no dia 1 de Junho de 2009, pressupondo regime de juro composto, taxa de juro anual nominal de 6% com capitalização de juros mensal e data focal o dia 1 de Fevereiro de 2009.

5000 +

12.000

(1 + 0, 005)

2

+

8.000

(1 + 0, 005 )

5

=

C

(1 + 0, 005 )

4

C = 25.181, 2515€ FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

60

30

V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro composto

Continuação do ex. 5.1: d) Calcular o valor do capital único a vencer no dia 1 de Junho de 2009, pressupondo regime de juro composto, taxa de juro anual nominal de 6% com capitalização de juros mensal e data focal o dia 1 de Maio de 2009.

5000 (1 + 0, 005 ) + 12.000 (1 + 0, 005 ) + 3

8.000

1

(1 + 0, 005)

2

=

C

(1 + 0, 005)

1

C = 25.181, 2515€

FEUALG

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61

V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Diferenças entre regime de juro simples e regime de juro composto

Comparação dos resultados obtidos em regime de juro simples - alíneas a) e b):


Repare-se que o valor do capital único obtido na alínea b) é diferente do obtido na alínea a).
Alterando a data focal, deixa de haver equivalência relativamente à data focal anterior.

No regime de juro simples a data focal é fundamental.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

62

31

V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Diferenças entre regime de juro simples e regime de juro composto

Comparação dos resultados obtidos em regime de juro composto - alíneas c) e d):


Repare-se que o valor do capital único obtido na alínea c) é igual ao obtido na alínea d).
Uma vez estabelecida a equivalência para uma data focal, ela permanece válida, mesmo que se altere a data focal

No regime de juro composto a data focal não tem qualquer relevância. FEUALG

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63

VI – RENDAS

6.1 Conceitos genéricos

Exemplo 6.1 A empresa “ABC” contraiu um empréstimo no dia 30 de Outubro de 2008 e acordou que o pagamento do mesmo seria efectuado através de 24 prestações mensais, consecutivas e constantes. O valor de cada prestação é de 450 euros e a primeira prestação tem vencimento no dia 30 de Novembro de 2008. As prestações incluem juros com i mensal igual a 1%.

A este conjunto de capitais (prestações) dá-se o nome de renda. renda Em termos gerais, uma renda corresponde a um conjunto de capitais, espaçados periodicamente, onde o intervalo de tempo que decorre entre o vencimento de quaisquer dois capitais consecutivos é constante. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

64

32

VI – RENDAS 6.1 Conceitos genéricos

450 30/10/08

450

30/11/08 30/12/2008

...

450

450

...

30/09/10

30/10/10

termos

períodos

Data da contracção do empréstimo

Termo da renda: renda cada um dos capitais.

Período da renda: renda intervalo de tempo que decorre entre o vencimento de dois termos consecutivos.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

65

VI – RENDAS

6.2 Classificação das rendas

Quanto ao período da renda:
Inteiras: período da renda coincide com o período da taxa de juro.
Fraccionadas: período da renda é diferente do período da taxa de juro.

Quanto ao valor dos termos:
Termos constantes: todos os termos da renda têm o mesmo valor.
Termos variáveis: os termos da renda variam, não são constantes ao longo da vida da renda.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

66

33

VI – RENDAS 6.2 Classificação das rendas

Quanto ao prazo de vigência:
Temporárias: número limitado de termos.
Perpétuas: número ilimitado de termos.

Quanto ao vencimento dos termos:
Termos normais ou postecipados: o vencimento dos termos ocorre no fim da cada período.
Termos antecipados: o vencimento dos termos ocorre no início de cada período. FEUALG

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67

VI – RENDAS 6.2 Classificação das rendas

Quanto ao momento de referência:
Imediatas: a data de contracção do empréstimo coincide com o início do primeiro período da renda.
Diferidas: existe um período de diferimento entre a data da contracção do empréstimo e a data de vencimento do primeiro termo.

No exemplo 6.1 a renda descrita é: Temporária, inteira, imediata, de termos constantes e normais.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

68

34

VI – RENDAS

6.3 Rendas temporárias inteiras

Continuação do exemplo 6.1 a) Qual o valor do empréstimo, no dia 30 de Outubro de 2008?

450 30/10/08

450

30/11/08 30/12/2008

...

450

450

termos

...

30/09/10

30/10/10

períodos

? 30 /10 / 2008 FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

69

VI – RENDAS 6.3 Rendas temporárias inteiras

Trata-se de resolver uma equação de equivalência de capitais, utilizando a fórmula geral de actualização em regime de juro composto. Então, o valor do empréstimo a 30/10/2008, também designado como o valor actual da renda, é igual a:

450

(1 + 0, 01)

1

+

450

(1 + 0, 01)

2

+ ... +

450

(1 + 0, 01)

23

+

450

(1 + 0, 01)

24

=

 1 1 1 1 = 450  + + ... + + 1 2 23 24  (1 + 0, 01) (1 + 0, 01) (1 + 0, 01) (1 + 0, 01) 

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

   

70

35

VI – RENDAS 6.3 Rendas temporárias inteiras

Este método revela-se demasiado moroso… Imagine-se uma renda com 480 termos. Seria necessário aplicar a fórmula geral de actualização 480 vezes… Então o passo seguinte consiste em deduzir uma fórmula geral que permite calcular o valor da renda, isto é, o valor de todos os termos unitários, reportados a um determinado momento, neste caso, t. Considere uma renda com n termos normais e unitários, imediata, temporária e inteira – início do primeiro período da renda corresponde ao momento t.

1 0

1

2

1

t t +1 t + 2

...

FEUALG

1

1

t + n −1 t + n t + n +1

...

Cálculo Financeiro 2009/2010

termos períodos

71

VI – RENDAS 6.3 Rendas temporárias inteiras

O cálculo do valor dos n termos unitários no momento t (um período antes da data de vencimento do primeiro termo) designa-se por valor actual duma renda temporária, inteira, imediata com n termos normais e unitários.

O símbolo utilizado é: an

an =

FEUALG

1

(1 + i )

1

+

1

(1 + i )

2

+ ... +

1

(1 + i )

n −1

Cálculo Financeiro 2009/2010

+

1

(1 + i )

n

72

36

VI – RENDAS 6.3 Rendas temporárias inteiras

n 1 1  1  − 1−   1 + i (1 + i )n +1 1 1+ i   an = × ⇔ an = ⇔ 1 1 1+ i 1− 1− 1+ i 1+ i

1− ⇔ an =

1

(1 + i )

n

1+ i −1

FEUALG

⇔ an =

1 − (1 + i )

−n

i

Cálculo Financeiro 2009/2010

73

VI – RENDAS 6.3 Rendas temporárias inteiras

No exemplo, o valor da renda aplicando a fórmula deduzida anteriormente é dado por:

A24 1% = 450 × a24 1% ⇔ A24 1% = 450 × ⇔ A24 1% = 9.559,524

1 − (1 + 0, 01)

−24

0, 01

Valor do empréstimo em 30/10/2008

Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:

An = c × an com an = FEUALG

1 − (1 + i )

−n

i

Cálculo Financeiro 2009/2010

74

37

VI – RENDAS 6.3 Rendas temporárias inteiras

Exemplo 6.2 A empresa Águas Turvas deposita mensalmente uma quantia constante no valor de 450 euros. O primeiro depósito ocorre no dia 30 de Novembro de 2008 e o último ocorrerá no dia 30 de Outubro de 2010. Sabe-se que os depósitos são efectuados em regime de juro composto com capitalização de juros mensal e que a taxa de juro mensal da operação é de 1%. Determine o montante que a empresa terá disponível imediatamente após efectuar o último depósito. É pedido para determinar o valor de um capital único a vencer no dia 30 de Outubro de 2010, equivalente ao conjunto de 24 capitais a vencerem mensalmente. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

75

VI – RENDAS

6.3 Rendas temporárias inteiras

Trata-se de determinar o valor da renda na data de vencimento do último termo. Em esquema, vem:

450 30/10/08

450

30/11/08 30/12/2008

...

450

450

termos

...

30/09/10

30/10/10

períodos

? 30 /10 / 2010 FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

76

38

VI – RENDAS 6.3 Rendas temporárias inteiras

É necessário resolver uma equação de equivalência de capitais, utilizando a fórmula geral de capitalização em regime de juro composto. Então, o valor do empréstimo a 30/10/2010, também designado como o valor acumulado da renda, é igual a:

450 (1 + 0, 01) + 450 (1 + 0, 01) + ... + 450 (1 + 0, 01) + 450 = 23

(

22

1

)

= 450 (1 + 0, 01) + (1 + 0, 01) + ... + (1 + 0, 01) + 1 23

FEUALG

22

1

Cálculo Financeiro 2009/2010

77

VI – RENDAS 6.3 Rendas temporárias inteiras

Mais uma vez, este método revela-se demasiado moroso… Então o passo seguinte consiste em deduzir uma fórmula geral que permite calcular o valor da renda, isto é, o valor de todos os termos unitários, reportados a um determinado momento, neste caso o momento t+n. Considere uma renda com n termos normais e unitários, imediata, temporária e inteira – fim do último período da renda corresponde ao momento t+n.

1 0

FEUALG

1

2

...

1

t t +1 t + 2

1 ...

Cálculo Financeiro 2009/2010

1

t + n −1 t + n t + n +1

termos períodos

78

39

VI – RENDAS 6.3 Rendas temporárias inteiras

O cálculo do valor dos n termos unitários no momento t+n (data de vencimento do último termo) designa-se por valor acumulado duma renda temporária, inteira, imediata com n termos normais e unitários.

O símbolo utilizado é: sn

sn = (1 + i )

n −1

+ (1 + i )

FEUALG

n−2

+ ... + (1 + i ) + 1 1

Cálculo Financeiro 2009/2010

79

VI – RENDAS 6.3 Rendas temporárias inteiras

sn = (1 + i )

⇔ sn =

FEUALG

n −1

×

1 − (1 + i )

−n

1 − (1 + i )

(1 + i )

n

−1

1+ i −1

−1

⇔ sn =

⇔ sn =

(1 + i )

n

(1 + i )

n −1

− (1 + i )

1 − (1 + i )

−1

−1

⇔

−1

i

Cálculo Financeiro 2009/2010

80

40

VI – RENDAS 6.3 Rendas temporárias inteiras

No exemplo 6.2, o valor da renda aplicando a fórmula deduzida anteriormente é dado por:

S24 1% = 450 × s24 1% ⇔ S24 1% = 450 ×

⇔ S 24 1% = 12.138, 059

(1 + 0, 01)

24

−1

0, 01

Valor do empréstimo em 30/10/2010

Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:

S n = c × sn com sn = FEUALG

(1 + i )

n

−1

i

Cálculo Financeiro 2009/2010

81

VI – RENDAS

6.4 Rendas fraccionadas Exemplo 6.3 A empresa ABC comprou um equipamento industrial no valor de 4.500 euros nas seguintes condições: Pagamento de 500 euros no acto da compra e do restante em 12 prestações mensais iguais, incluindo juros à taxa anual nominal de 6%. Calcule o valor de cada prestação, no caso da primeira prestação vencer 1 mês após o acto da compra. Atenção: a taxa de juro dada é anual e as prestações são mensais.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

82

41

VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadas

Trata-se de uma renda fraccionada porque o período da renda é diferente do período da taxa de juro.

As fórmulas deduzidas anteriormente, an e sn , só podem ser utilizadas quando o período da taxa de juro é igual ao período da renda.
O que fazer quando a renda é fraccionada? R: Transformar a renda fraccionada numa renda inteira. Como? FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

83

VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadas

Uma vez que não é possível alterar o valor dos termos nem o período da renda, a solução passa por alterar a taxa de juro, tal que o período desta coincida com o período da renda. No exemplo 6.3, como os termos da renda são mensalidades e a taxa de juro dada é anual, calcula-se a taxa de juro mensal (transformando, por isso, a renda em inteira).
Para uma taxa de juro nominal, como converter o período da taxa? R: Através de uma relação de proporcionalidade, isto é aplicando a fórmula: FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

84

42

VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadas

i' =

i período da taxa i com m = m período da taxa i '


Para uma taxa de juro efectiva, como converter o período da taxa? R: Através de uma relação de equivalência (em r.j.c.), isto é aplicando a fórmula: i ' = (1 + i )

1

m

-1 com m =

FEUALG

período da taxa i período da taxa i '

Cálculo Financeiro 2009/2010

85

VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadas

Voltar ao exemplo 6.3: Converter a taxa anual nominal numa taxa de juro mensal, transformando a renda em inteira.

i mensal =

i anual nominal 6% ⇔ i mensal = ⇔ i mensal = 0, 5% 12 12

A renda do ex. tem a seguinte representação:

0

FEUALG

c

c

c

1

2

3

…

Cálculo Financeiro 2009/2010

c

c

11

12 Período em meses

Termos

86

43

VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadas

Valor da renda no momento “0”, corresponde ao valor da dívida da empresa após o pagamento dos 500 euros, ou seja:

4.500 − 500 = c × a12 0,5% ⇔ c =

4.000 4.000 ⇔c= −12 a12 0,5% 1 − (1 + 0, 005 ) 0, 005

c = 344, 266 A empresa ABC pagou o equipamento industrial do seguinte modo: 500 euros na data da compra e 344,266 euros mensalmente durante os próximos 12 meses. FEUALG

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87

VI – RENDAS 6.4 Rendas fraccionadas

Exemplo 6.4 Considere que uma determinada entidade pretende acumular 6.000 euros numa conta bancária através de depósitos semestrais constantes, a efectuar durante 3 anos. Pressupondo regime de juro composto com capitalização de juros semestral e uma taxa de juro anual efectiva de 5,0625%, determine o valor de cada depósito, por forma a que imediatamente após ter efectuado o último depósito, a referida entidade possua na conta 6.000 euros. Atenção: a taxa de juro dada é anual e as prestações são semestrais. A renda é fraccionada.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

88

44

VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadas

Converter a taxa anual efectiva numa taxa de juro semestral, transformando a renda em inteira.

i semestral = (1 + i anual efectiva ) ⇔ i semestral = (1 + 0, 050625 )

1

2

1

2

−1

− 1 ⇔ i semestral = 2,5%

A renda do ex. tem a seguinte representação:

0

c

c

1

2

FEUALG

c …

6

Termos Período em semestres

Cálculo Financeiro 2009/2010

89

VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadas

Valor da renda no momento “6”, corresponde a 6.000 euros:

6.000 = c × s6 2,5% ⇔ c =

6.000 6.000 ⇔c= 6 s6 2,5% (1 + 0, 025) − 1 0, 025

c = 939,30 A entidade terá na sua conta 6.000 euros, imediatamente após ter efectuado o último depósito, se efectuar semestralmente um depósito no valor de 939,30 euros. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

90

45

VI – RENDAS

Rendas de termos antecipados

Exemplo 6.5 A empresa XPTO comprou um equipamento informático através do pagamento de 8 prestações trimestrais iguais a 220 euros cada, a primeira das quais logo no acto da compra, com juros contados a uma taxa de 2% ao trimestre. a) Qual o valor do equipamento informático, caso a empresa pretendesse pagá-lo no momento da compra. Qual a diferença deste exemplo em relação aos anteriores? Pretende-se determinar o valor das prestações na data de vencimento da 1ª: trata-se de uma renda de termos antecipados (o vencimento dos termos ocorre no início de cada período). FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

91

VI – RENDAS Rendas de termos antecipados

A renda do exemplo tem a seguinte representação:

-1

220

220

220

….

220

0

1

2

….

7

termos 8

período em trimestres

O que se pretende é determinar o valor da renda no momento “0”, isto é o valor da renda na data de vencimento do primeiro termo.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

92

46

VI – RENDAS Rendas de termos antecipados

Será que as fórmulas deduzidas anteriormente podem ser aplicadas para a resolução deste problema?

A fórmula do an permite obter o valor de todos os termos da renda um período antes do vencimento do primeiro termo. No exemplo, pretende-se obter o valor dos termos na data de vencimento do primeiro termo. Então, vem:

Valor da renda no momento "-1" = 220 × a8 2% Valor da renda no momento "0"=220 × a8 2% × (1 + 0, 02 )

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

93

VI – RENDAS Rendas de termos antecipados

220 × a8 2% × (1, 02) = 220 ×

1 − (1 + 0, 02 ) 0, 02

−8

× 1, 02 = 1.643,84

O valor do equipamento informático, caso a empresa pretendesse pagá-lo a pronto pagamento era de 1.643,84 euros. Continuação do exemplo 6.5: b) Considere agora que a empresa pretende pagar a totalidade do equipamento no fim do 8º trimestre. Qual o valor a pagar? FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

94

47

VI – RENDAS Rendas de termos antecipados

Neste caso pretende-se determinar o valor da renda no momento “8”, ou seja um período após o vencimento do último termo. 220

220

220

….

220

0

1

2

….

7

termos 8

período em trimestres

Valor da renda no momento "7": 220 × s8 2% Valor da renda no momento "8": 220 × s8 2% × (1 + 0, 02 )

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

95

VI – RENDAS Rendas de termos antecipados

(1 + 0, 02 )

8

220 × s8 2% × (1, 02) = 220 ×

0, 02

−1

× 1, 02 = 1.926, 02

Caso a empresa pretendesse pagar o equipamento informático no fim do 8º trimestre deveria entregar 1.926,02 euros.

Repare-se que:

1926, 02 = 1.643,84 × (1 + 0, 02 )

8

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

96

48

VI – RENDAS Rendas de termos antecipados

Em termos gerais, considere uma renda com n termos antecipados e unitários, imediata, temporária e inteira. Para uma renda de termos antecipados, vem: Início do primeiro período: t+1 (coincide com o vencimento do primeiro termo) Início do último período: t+n

1 0

1

2

...

1

t t +1 t + 2

FEUALG

1 ...

1

t + n −1 t + n t + n +1

termos períodos

Cálculo Financeiro 2009/2010

97

VI – RENDAS Rendas de termos antecipados

O cálculo do valor actual da renda de termos antecipados e imediata, refere-se ao cálculo do valor de todos os termos da renda na data de vencimento do primeiro termo. No esquema apresentado, em t+1.

aɺɺn , onde aɺɺn = an (1 + i )

O símbolo utilizado é:

Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:

ɺɺ = c × aɺɺ A n n FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

98

49

VI – RENDAS Rendas de termos antecipados

O cálculo do valor acumulado da renda de termos antecipados e imediata, refere-se ao cálculo do valor de todos os termos da renda um período após o vencimento do último termo. No esquema apresentado, em t+n+1. O símbolo utilizado é:

ɺɺ sn , onde ɺɺ sn = sn (1 + i )

Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:

Sɺɺn = c × ɺɺ sn FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

99

VI – RENDAS

Rendas diferidas Exemplo 6.6 A empresa YYY comprou uma máquina através do pagamento de 24 prestações iguais e mensais de 300 euros cada a primeira das quais com vencimento daqui a 6 meses. Considerando uma taxa de juro mensal de 1%, qual o valor da máquina? Qual a diferença deste exemplo em relação aos anteriores? Pretende-se determinar o valor das prestações, 6 meses antes da data de vencimento da primeira prestação. Trata-se de uma renda diferida. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

100

50

VI – RENDAS Rendas diferidas

A renda do exemplo tem a seguinte representação:

300 0

…

5

….

6

….

300

300

28

29

termos período em meses

O que se pretende é determinar o valor da renda no momento “0”. Como fazê-lo?

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

101

VI – RENDAS Rendas diferidas

Primeiro calculamos o valor da renda no momento “5”: A24 1% = 300 × a24 1% ⇔ A24 1% = 300 ×

1 − (1 + 0, 01) 0, 01

−24

⇔ A24 1% = 6.373, 016

Então, o valor da renda no momento “0”, corresponde a:

6.373, 016

(1 + 0, 01) FEUALG

5

= 6.063, 706

Valor da máquina sem juros

Cálculo Financeiro 2009/2010

102

51

VI – RENDAS Rendas diferidas

Em termos gerais, como calcular o valor actual duma renda diferida: Ao contrário das rendas imediatas, designam-se por rendas diferidas, as rendas para as quais se determina o valor actual numa data anterior ao início do primeiro período da renda. Tal significa, de acordo com o esquema seguinte, que o valor actual é calculado para uma data anterior a t.

1 0

1

2

...

1

t t +1 t + 2

FEUALG

1 ...

termos

1

t + n −1 t + n t + n +1

Cálculo Financeiro 2009/2010

períodos

103

VI – RENDAS Rendas diferidas

Assim, o valor da renda no momento “0”, corresponde ao valor actual duma renda temporária, inteira, diferida de t períodos, com n termos normais e unitários. O símbolo utilizado é:

t

an , onde t an =

1

(1 + i )

t

an

Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:

t

FEUALG

An = c ×

t

an

Cálculo Financeiro 2009/2010

104

52

VI – RENDAS Rendas temporárias de termos constantes

Em esquema, o valor de uma renda temporária de termos constantes, para diferentes datas: c 0

1

c × an × (1 + i )

t

2

−t

An

c

c

t t +1 t + 2

...

...

termos

c

t + n − 1 t + n t + n + 1 períodos

c × an

c × an × (1 + i )

c × sn

c × sn × (1 + i )

An

ɺɺ A n

Sn

Sɺɺn

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

105

VI – RENDAS

Rendas perpétuas Exemplo 6.7 Um filantropo pretende criar um prémio anual perpétuo, no valor de 4.000 euros, destinado ao melhor aluno de uma universidade. Qual o montante que o filantropo deve disponibilizar hoje por forma a atingir esse objectivo, considerando que o capital rende juros com base numa taxa de juro anual de 5%, com capitalização de juros anual. a) Considere que o prémio anual deverá começar a ser atribuído de hoje a uma ano. Trata-se de uma renda perpétua ( renda com número ilimitado de termos) FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

106

53

VI – RENDAS Rendas perpétuas

4.000

4.000

4.000

...

1

2

3

...

0

termos

∞

anos

A quantia que o filantropo deve disponibilizar hoje corresponde ao valor actual da renda perpétua, no momento zero.
Como determinar o valor actual de uma renda perpétua, imediata e de termos normais?

Aplicando a fórmula do an quando n tende para infinito, o que é representado por a∞ . FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

107

VI – RENDAS Rendas perpétuas

a∞ = lim an ⇔ a∞ = lim n →∞

n →∞

1 − (1 + i )

−n

i

⇔ a∞ =

1 i

Voltar ao ex. 6.7 a), pretende-se determinar o valor da renda no momento “0”:

A∞ = 4.000 × a∞ ⇔ A∞ = 4.000 ×

1 ⇔ A∞ = 80.000 0, 05

Quantia que o filantropo deve disponibilizar hoje, caso o primeiro prémio seja entregue de hoje a um ano FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

108

54

VI – RENDAS Rendas perpétuas

Continuação do ex. 6.7 b) Considere, agora, que o prémio anual deverá começar a ser atribuído hoje. Trata-se de determinar o valor da renda perpétua no momento “0” (neste caso, na data de vencimento do primeiro termo).

4.000

4.000

0

FEUALG

1

4.000

2

... ...

termos

∞

anos

Cálculo Financeiro 2009/2010

109

VI – RENDAS Rendas perpétuas


Como determinar o valor actual de uma renda perpétua, imediata e de termos antecipados?
No ex. como determinar o valor da renda, no momento “0”?

ɺɺ = 4.000 × aɺɺ ⇔ A ɺɺ = 4.000 × a × (1 + i ) A ∞ ∞ ∞ ∞ ɺɺ = 4.000 × 1 × (1 + 0, 05 ) ⇔ A ɺɺ = 84.000 ⇔A ∞ ∞ 0, 05 Quantia que o filantropo deve disponibilizar hoje, caso o primeiro prémio seja entregue hoje.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

110

55

VI – RENDAS Rendas perpétuas

Continuação do ex. 6.7 c) Considere, agora, que o prémio anual deverá começar a ser atribuído de hoje a três anos. Trata-se de determinar o valor da renda perpétua no momento “0” (neste caso, 3 anos antes da data de vencimento do primeiro termo, logo diferimento de 2 anos).

4.000

0

1

2

FEUALG

3

4.000

4

...

termos

∞

...

anos

Cálculo Financeiro 2009/2010

111

VI – RENDAS Rendas perpétuas


Como determinar o valor actual de uma renda perpétua, diferida e de termos normais?
No ex. como determinar o valor da renda, no momento “0”? t

A∞ = 4.000 × t a ∞ ⇔ A∞ = 4.000 × a∞ × (1 + i )

⇔

t

A∞ = 4.000 ×

−t

1 −2 × (1 + 0, 05 ) ⇔ A∞ = 72.562,358 0, 05

Quantia que o filantropo deve disponibilizar hoje, 3 anos antes de ser entregue o primeiro prémio

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

112

56

VI – RENDAS Rendas perpétuas

Em esquema, o valor de uma renda perpétua de termos constantes, para diferentes datas: c 0

1

c × a∞ × (1 + i )

t

2

−t

A∞

FEUALG

t

...

…

c

t +1 t + 2

c × a∞

c × a∞ × (1 + i )

A∞

ɺɺ A ∞

termos

∞

...

períodos

Para rendas perpétuas não faz sentido determinar o valor acumulado, uma vez que o número de termos tende para infinito.

Cálculo Financeiro 2009/2010

113

VI – RENDAS

Rendas constantes com diferentes taxas de juro Exemplo 6.8 Considere uma renda de 36 termos mensais de 250 euros cada, em que o primeiro termo vence no dia 13 de Novembro de 2008. Considere uma taxa de juro mensal de 1% de 13/10/2008 a 13/10/2009 e uma taxa de juro mensal de 0,75% durante o restante prazo. a) Calcule o valor da renda no dia 13 de Outubro de 2008.

Atenção: a renda é de termos constantes mas tem associada duas taxas de juro diferentes. Necessidade de desdobrar a renda numa soma de duas rendas. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

114

57

VI – RENDAS Rendas constantes com diferentes taxas de juro

250

250

...

250

13 /10 / 08 13/11/08 13/12/08 ... 13/10/09      i=1%

+ 250

...

250

13 /10 / 08 ... 13/10/09 13/11/09 ... 13/10/11      i =1%

FEUALG

i = 0,75%

Cálculo Financeiro 2009/2010

115

VI – RENDAS Rendas constantes com diferentes taxas de juro

Em termos algébricos, o valor da renda no dia 13/10/2008 corresponde a:

250 × a12 1% = 250 ×

1 − (1 + 0, 01) 0, 01

+

250 × a24 0,75% × (1 + 0, 01)

−12

250 × a24 0,75% × (1 + 0, 01)

−12

= 250 ×

−12

= 2.813, 769

1 − (1 + 0, 0075 )

−24

0, 0075

× (1 + 0, 01)

−12

= 4.856,376

2.813, 769 + 4.856,376 = 7.670,145 FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

116

58

VI – RENDAS Rendas constantes com diferentes taxas de juro

Continuação do ex. 6.8: b) Calcule o valor da renda no dia 13 de Outubro de 2011. 250

...

250

13 /10 / 08 13/11/08 ... 13/10/09 13/11/09  ... 13/10/11      i =1%

i = 0,75%

+ 250

13 /10 / 08

...

...

250

13/10/09 13/11/09  ... 13/10/11   ì= 0,75%

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

117

VI – RENDAS Rendas constantes com diferentes taxas de juro

Em termos algébricos, o valor da renda no dia 13/10/2011 corresponde a:

(1 + 0, 01)

12

250 × s12 1% × (1 + 0, 0075 ) = 250 × 24

−1

0, 01

× (1 + 0, 0075 )

24

250 × s12 1% × (1 + 0, 0075 ) = 3.793,38 24

+

250 × s24 0,75% = 250 ×

(1 + 0, 0075) 0, 0075

24

−1

= 6.547,12

3.793,38 + 6.547,12 = 10.340, 50 FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

118

59

VI – RENDAS

Rendas variáveis Exemplo 6.9 Considere uma renda de 12 termos trimestrais em que os primeiros 4 são iguais a 300 euros e os restantes a 400 euros. Pressuponha uma taxa de juro anual nominal de 8% a) Calcule o valor da renda na data de vencimento do último termo.

Atenção: a renda é de termos variáveis mas pode ser desdobrada numa soma de duas rendas de termos constantes. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

119

VI – RENDAS Rendas variáveis

i trim. =

i anual nominal → i trimestral

0

300

...

300

1

...

4

5

8% ⇔ i trim. = 2% 4

...

12

+ 0 FEUALG

...

4

400

...

400

5

...

12

Cálculo Financeiro 2009/2010

120

60

VI – RENDAS Rendas variáveis

Em termos algébricos, o valor da renda no momento “12” corresponde a:

300 × s4 2% × (1 + 0, 02 ) = 300 × 8

(1 + 0, 02 )

4

−1

0, 02

× (1 + 0, 02 ) = 1.448, 736 8

+ (1 + 0, 02 )

8

400 × s8 2% = 400 ×

0, 02

−1

= 3.433,188

1.448, 736 + 3.433,188 = 4.881,924 FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

121

VI – RENDAS Rendas variáveis

Continuação do ex. 6.9: b) Calcule o valor da renda na data de vencimento do 1º termo.

0

0 FEUALG

300

...

300

1

...

4

1

...

+ 4

5

...

12

400

...

400

5

...

12

Cálculo Financeiro 2009/2010

122

61

VI – RENDAS Rendas variáveis

Em termos algébricos, o valor da renda na data de vencimento do 1º termo, corresponde a:

300 × aɺɺ4 2% = 300 ×

1 − (1 + 0, 02 )

−4

0, 02

× (1 + 0, 02 ) = 1.165,165

+

400 × 3 a 8 2% = 400 ×

1 − (1 + 0, 02 ) 0, 02

−8

× (1 + 0, 02 ) = 2.761,186 −3

1.165,165 + 2.761,186 = 3.926,351 FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

123

VI – RENDAS Rendas variáveis: os termos variam de forma aleatória

Exemplo 6.10 Considere uma renda mensal com 4 termos normais de 100, 50, 300 e 75 euros, para a qual foi negociada uma taxa de juro anual nominal de 6% com capitalização de juros mensal. Calcule o valor actual da renda. Atenção: Os termos da renda variam aleatoriamente (são irregulares). Não é possível estabelecer qualquer relação na forma como os termos da renda variam.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

124

62

VI – RENDAS Rendas variáveis

i anual nominal → i mensal

0

i mensal =

6% ⇔ i mensal = 0,5% 12

100

50

300

75

1

2

3

4

meses

Cálculo do valor da renda no momento “0” = somatório do valor actual dos termos da renda , reportando-se todos ao mesmo momento, isto é ao momento “0”. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

125

VI – RENDAS Rendas variáveis: os termos variam de forma aleatória

Em termos algébricos, o valor da renda no momento “0” corresponde a: 100 50 300 75 + + + = 518, 0694 2 3 1 0, 005 + ( ) (1 + 0, 005) (1 + 0, 005) (1 + 0, 005)4

Em termos gerais, para rendas cujos termos variam de forma aleatória, o cálculo do valor actual (ou valor acumulado) corresponde a:
Somatório do valor actual (ou valor acumulado) dos diversos termos da renda, reportando-se todos ao mesmo momento, isto é ao momento para o qual se pretende calcular o valor actual (ou valor acumulado) da renda. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

126

63

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.1 Conceitos genéricos

Um empréstimo é um contrato pelo qual uma das partes (o mutuante) cede a outra (o mutuário) determinada importância, ficando este último com a obrigação de restituir essa importância, acrescida dos juros acordados, de acordo com as condições inicialmente estabelecidas. Empréstimos clássicos: O empréstimo é concedido na sua totalidade por apenas uma entidade (há apenas um mutuante). Empréstimos obrigacionistas: Neste tipo de empréstimos, existem vários mutuantes. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

127

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

Exemplo 7.1 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo bancário destinado à habitação: Montante do empréstimo: 100.000 euros; tipo de prestação: prestação constante; prazo do empréstimo: 10 anos; periodicidade das prestações: mensal. Para além dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal do empréstimo é igual a 4,5% e que a primeira prestação é paga um mês após a contracção do empréstimo. Determine o valor da prestação constante e o valor da amortização e do juro relativos à primeira e segunda prestações. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

128

64

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

Como as prestações são mensais, é necessário converter a taxa de juro anual nominal na respectiva taxa de juro mensal proporcional: i=

4,5% ⇔ i = 0,375% 12

Neste caso, o montante da prestação constante não sofre qualquer ajustamento durante os 10 anos (120 meses), uma vez que a taxa de juro do empréstimo é fixa. Assim, o valor de cada prestação corresponde ao valor de cada mensalidade de uma renda com 120 termos constantes:

100.000 = c × a120 0,375% ⇔ c = 1.036,38 euros FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

129

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes


Como determinar o juro a incluir em cada período?

Capital em dívida no início do período × taxa de juro
Como determinar a amortização a incluir em cada período?

Prestação do período − juro do período Note-se que: Prestação = juros + amortização Soma de todas as amortizações = valor total do empréstimo FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

130

65

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

Voltando ao exemplo, o valor do juro e da amortização relativos à primeira prestação:

Juro a incluir na primeira prestação: 100.000 × 0, 00375 = 375 Amortização a incluir na primeira prestação: 1.036,38 − 375 = 661, 38

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

131

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

O valor do juro e da amortização relativos à segunda prestação:

Juro a incluir na segunda prestação:

(100.000 − 661,38) × 0, 00375 = 372,52 Amortização a incluir na segunda prestação: 1.036,38 − 372,52 = 663,86

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

132

66

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

Dedução das fórmulas gerais que permitem determinar o valor da amortização e do juro a incluir em cada prestação constante, pressupondo que o vencimento da primeira prestação ocorre um período de tempo após a contracção do empréstimo. Considere-se:

C0 ≡ valor total do empréstimo n ≡ número de prestações periódicas c ≡ valor de cada prestação constante i ≡ taxa de juro fixa reportada ao período de tempo entre duas prestações consecutivas FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

133

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

O valor do juro incluído em cada prestação é dado por:

jk = Ck −1 × i com Ck −1 = C0 − ( m1 + m2 + ... + mk −1 ) para k = 1, 2,..., n Onde: jk ≡ juro relativo ao período k Ck −1 ≡ capital em dívida no início do período k mk ≡ amortização do empréstimo relativo ao período k

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

134

67

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

Por outro lado, para qualquer prestação, verifica-se sempre:

jk + mk = c com k = 1, 2,..., n Pelo que:

C0 − ( m1 + m2 + ... + mk −1 )  × i + mk = c Por sua vez, o capital em dívida no início do período k, corresponde ao valor actualizado das prestações vincendas, pelo que:

 1 − (1 + i )k −1− n  × i ( c × an − k +1 ) × i + mk = c ⇔ mk = c 1 − i   FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

135

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

Deste modo, e após algumas transformações algébricas, é possível determinar o valor da amortização e do juro relativo a um determinado período, período como função do valor da prestação, do número total de prestações e da taxa de juro. Assim:

mk = c (1 + i )

k −1− n

jk = c 1 − (1 + i ) 

FEUALG

k −1− n

 

Cálculo Financeiro 2009/2010

136

68

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS 7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

Voltar ao exemplo 7.1.a) - calcular o valor da amortização e do juro, relativos à primeira e à segunda prestação, aplicando as fórmulas gerais: m1 = c (1 + i )

1−1− n

m2 = c (1 + i )

k −1− n

⇒ m1 = 1.036, 38 × (1 + 0, 00375 )

1−1−120

⇒ m2 = 1.036,38 × (1 + 0, 00375 )

⇔ m1 = 661, 38

2 −1−120

⇔ m2 = 663,86

1−1− n  ⇒ j1 = 1.036,38 × 1 − (1 + 0, 00375 )1−1−120  ⇔ j1 = 375 j1 = c 1 − (1 + i )     2 −1− n 2 −1−120  ⇒ j2 = 1.036,38 × 1 − (1 + 0, 00375 )  ⇔ j2 = 372,52 j2 = c 1 − (1 + i )    

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

137

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

Exemplo 7.2 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo bancário destinado à habitação: Montante do empréstimo: 100.000 euros; tipo de prestação: prestação constante; prazo do empréstimo: 10 anos; periodicidade das prestações: mensal. Para além dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal do empréstimo é igual a 4,5% e que existe um período de carência de 12 meses, o que implica apenas o pagamento de juros durante este período inicial de 12 meses. Determine o valor do juro mensal a pagar durante os 12 meses iniciais, o valor da prestação constante a pagar a partir do 13º mês e o valor do juro e da amortização a incluir no pagamento efectuado no 13º mês.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

138

69

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

Nos primeiros 12 meses do empréstimo, o mutuário paga juros mensais no valor de:

jk = 100.000 × 0, 00375 ⇔ jk = 375 com k = 1, 2,...,12 Para um empréstimo com a duração de 10 anos, restam 108 prestações. Assim, o valor de cada prestação constante corresponde a:

c=

100.000 ⇔ c = 1.127, 76 a108 0,375%

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

139

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

O pagamento a efectuar no 13º mês corresponde ao valor da primeira prestação constante que inclui juro e amortização do empréstimo. Assim, aplicando as fórmulas:

mk = c (1 + i )

k −1− n

e jk = c 1 − (1 + i ) 

m1 = 1.127, 76 × (1 + 0, 00375 )

1−1−108

j1 = 1.127, 76 × 1 − (1 + 0, 00375 ) 

⇔ m1 = 752, 76

1−1−108

FEUALG

 ⇔ j1 = 375 

Cálculo Financeiro 2009/2010

k −1− n

 

Valor da amortização e do juro a incluir na primeira prestação constante a pagar no 13º mês. 140

70

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

Exemplo 7.3 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo bancário destinado à habitação: Montante do empréstimo: 100.000 euros; tipo de prestação: prestação constante; prazo do empréstimo: 10 anos; periodicidade das prestações: mensal. Para além dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal do empréstimo é igual a 4,5% e que existe um período de diferimento de 12 meses, o que pressupõe a existência de um período durante o qual não existe pagamento de juros nem amortização de capital (neste caso durante 12 meses). Determine o valor da prestação constante a pagar a partir do 13º mês e o valor do juro e da amortização a incluir no pagamento efectuado no 13º mês.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

141

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

Como durante, o primeiro ano, não é paga qualquer prestação do empréstimo, é necessário calcular o capital em dívida no início do segundo ano: 12

 0, 045  C12 = 100.000 ×  1 +  ⇔ C12 = 104.593,98 12   Com base neste capital é aplicada a fórmula de cálculo do valor da prestação constante com taxa de juro fixa:

c=

FEUALG

104.593,98 ⇔ c = 1.179,57 a108 0,375%

Cálculo Financeiro 2009/2010

142

71

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

O pagamento a efectuar no 13º mês corresponde ao valor da primeira prestação. Assim, aplicando as fórmulas:

mk = c (1 + i )

e jk = c 1 − (1 + i ) 

k −1− n

k −1− n

 

Valor da amortização e do juro a incluir na primeira prestação 1−1−108  ⇔ j1 = 392, 23 constante a pagar j1 = 1.179,57 × 1 − (1 + 0, 00375 )   no 13º mês.

m1 = 1.179,57 × (1 + 0, 00375 )

1−1−108

FEUALG

⇔ m1 = 787,34

Cálculo Financeiro 2009/2010

143

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.1 Empréstimos clássicos – Reembolso em prestações periódicas constantes

Dedução de uma fórmula que permite relacionar o valor da amortização a ocorrer em diferentes períodos de tempo, no caso de prestações constantes

mk = c (1 + i )

k −1− n

, logo:

m1 = c (1 + i )

1−1− n

m2 = c (1 + i )

(1 + i ) ⇔ m2 = m1 (1 + i ) 2 2 ⇔ m3 = c (1 + i ) m3 = c (1 + i ) (1 + i ) ⇔ m3 = m1 (1 + i ) 4 −1− n 1−1− n 3 3 ⇔ m4 = c (1 + i ) m4 = c (1 + i ) (1 + i ) ⇔ m4 = m1 (1 + i ) 2 −1− n

⇔ m2 = c (1 + i )

1−1− n

3−1− n

1−1− n

⋮ mk = m1 (1 + i ) FEUALG

k −1

e

mk = my (1 + i )

k−y

Cálculo Financeiro 2009/2010

com y < k 144

72

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes

Exemplo 7.4 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo: Montante do empréstimo: 24.000 euros; método de reembolso: amortizações mensais constantes e juros pagos mensalmente; prazo do empréstimo: 5 anos. Para além dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal do empréstimo é igual a 4,5%. Determine o valor da amortização constante a pagar mensalmente e o valor do juro a pagar relativo à primeira e à segunda prestação.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

145

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes

Como os juros são pagos mensalmente, é necessário converter a taxa de juro anual nominal na respectiva taxa de juro mensal proporcional: i=

4,5% ⇔ i = 0,375% 12

Neste caso, o montante da amortização constante não sofre qualquer ajustamento durante os 10 anos (120 meses), uma vez que o empréstimo é reembolsado através de amortizações constantes. Assim, o valor de cada amortização constante corresponde a:

m1 = m2 = ... = m60 = FEUALG

24.000 = 400 60

Cálculo Financeiro 2009/2010

146

73

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes


Como determinar o juro a incluir em cada período?

Capital em dívida no início do período × taxa de juro Logo, o valor do juro relativo à primeira prestação corresponde a:

24.000 × 0, 00375 = 90 E, o valor do juro relativo à segunda prestação corresponde a:

( 24.000 − 400 ) × 0, 00375 = 88,5

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

147

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes

Empréstimo com reembolso em amortizações periódicas constantes e com juros pagos periodicamente, nas datas coincidentes com a amortização do capital - Dedução das fórmulas gerais que permitem determinar o valor da amortização e do juro Considere-se:

C0 ≡ valor total do empréstimo n ≡ número de amortizações periódicas i ≡ taxa de juro fixa reportada ao período de tempo entre duas prestações consecutivas

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

148

74

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes

O valor da amortização periódica corresponde a:

m1 = m2 = ... = mn =

C0 n

O valor do juro periódico corresponde a:

j1 = C0 × i C   j2 =  C0 − 0  × i n   C C   j3 =  C0 − 0 − 0  × i e assim sucessivamente ... n n   FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

149

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes

Em termos gerais, a fórmula do juro relativo ao período k, corresponde a:

C   jk = C0 − ( k − 1) 0  × i n  Voltar ao exemplo 7.4 – calcular o valor da amortização relativa à primeira e à segunda prestação, aplicando as fórmulas gerais: C   j1 = C0 − (1 − 1) 0  × 0, 00375 ⇒ j1 = [ 24.000 − 0] × 0, 00375 ⇔ j1 = 90 n  C  24.000    j2 = C0 − ( 2 − 1) 0  × 0, 00375 ⇒ j2 =  24.000 − × 0, 00375 ⇔ j2 = 88,5 n 60    FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

150

75

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes

Exemplo 7.5 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo: Montante do empréstimo: 12.000 euros; método de reembolso: amortizações mensais constantes e juros pagos na totalidade na data da última amortização; prazo do empréstimo: 2 anos. Para além dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal do empréstimo é igual a 6%. Determine valor do juro total a pagar.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

151

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes

12.000 24

0

1

12.000 24

2

...

...

12.000 + J 24 24

24

Valor total do Empréstimo: 12.000 euros

12.000 ⇒ valor de cada amortização constante 24

J 24 ⇒ valor dos juros totais a pagar no último mês FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

152

76

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes

Para determinar o valor dos juros totais, recorre-se a uma equação de equivalência de capitais. Como os pagamentos são efectuados mensalmente, a taxa de juro a aplicar também deverá ser mensal. Assim, com todos os capitais reportados ao momento zero, a equação corresponde a:

12.000 =

12.000 J 24 a24 0,5% + 24 24 (1 + 0, 005)

Resolvendo esta equação em ordem aos juros totais, vem: −24  12.000 1 − (1 + 0, 005 )  24 ×  × (1 + 0, 005 ) ⇔ J 24 = 809,94 J 24 =  12.000 −   24 0, 005  

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

153

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes

Em termos gerais, para um empréstimo com reembolso através de amortizações periódicas constantes, a fórmula que permite determinar o valor do juro, quando este vence na totalidade na data da última amortização, corresponde a:

C  J n =  C0 − 0 × an n 

n   × (1 + i ) 

a  n J n = C0 (1 + i ) 1 − n  n   FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

154

77

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes

Exemplo 7.6 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo: Montante do empréstimo: 12.000 euros; método de reembolso: amortizações mensais constantes e juros pagos na totalidade na data da contracção do empréstimo; prazo do empréstimo: 2 anos. Para além dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal do empréstimo é igual a 6%. Determine o valor do juro total a pagar.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

155

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes

J0

12.000 24

12.000 24

0

1

2

...

...

12.000 24

24

Valor total do Empréstimo: 12.000 euros

12.000 ⇒ valor de cada amortização constante 24

J 0 ⇒ valor dos juros totais a pagar na data da contracção do empréstimo FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

156

78

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes

Para determinar o valor dos juros totais, recorre-se a uma equação de equivalência de capitais. Como os pagamentos são efectuados mensalmente, a taxa de juro a aplicar também deverá ser mensal. Assim, com todos os capitais reportados ao momento zero, a equação corresponde a:

12.000 =

12.000 a24 0,5% + J 0 24

Resolvendo esta equação em ordem aos juros totais, vem:

12.000 1 − (1 + 0, 005 ) × J 0 = 12.000 − 24 0, 005 FEUALG

−24

⇔ J 0 = 718, 567

Cálculo Financeiro 2009/2010

157

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortizações periódicas constantes

Em termos gerais, para um empréstimo com reembolso através de amortizações periódicas constantes, a fórmula que permite determinar o valor do juro, quando este vence na totalidade na data da contracção do empréstimo, corresponde a:

J 0 = C0 −

C0 × an n

 a  J 0 = C0  1 − n  n   FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

158

79

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortização única

Exemplo 7.7 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo: Montante do empréstimo: 15.000 euros; método de reembolso: amortização única no fim do prazo do empréstimo e juros pagos na totalidade no fim do prazo do empréstimo; prazo do empréstimo: 2 anos. Para além dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal do empréstimo é igual a 6%, com capitalização de juros anual. Determine o valor do juro total a pagar.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

159

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortização única

15.000 + J n = 2

0

1

2

Valor total do Empréstimo: 15.000 euros

15.000 ⇒ valor da amortização única

J n = 2 ⇒ valor dos juros totais a pagar no fim do prazo do empréstimo FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

160

80

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortização única

Para determinar o valor dos juros totais, recorre-se a uma equação de equivalência de capitais. Assim, com todos os capitais reportados ao momento zero, a equação corresponde a:

15.000 =

15.000

(1 + 0, 06 )

2

+

J n= 2

(1 + 0, 06 )

2

Resolvendo esta equação em ordem aos juros totais, vem:

 15.000  2 J n = 2 =  15.000 −  × (1 + 0, 06 ) ⇔ J n =2 = 1.854, 00 2   (1 + 0, 06 )   FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

161

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortização única

Em termos gerais, para um empréstimo com reembolso através de amortização única no fim do prazo do empréstimo, a fórmula que permite determinar o valor do juro, quando este vence na totalidade no fim do prazo do empréstimo, corresponde a:

 C0  n J n =  C0 −  × (1 + i ) n  (1 + i )   n J n = C0 (1 + i ) − 1  

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

162

81

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortização única

Exemplo 7.8 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo: Montante do empréstimo: 18.000 euros; método de reembolso: amortização única no fim do prazo do empréstimo e juros pagos na totalidade na data da contracção do empréstimo; prazo do empréstimo: 2 anos. Para além dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal do empréstimo é igual a 6%, com capitalização de juros anual. Determine o valor do juro total a pagar.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

163

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortização única

J0

18.000

0

1

2

Valor total do Empréstimo: 18.000 euros

18.000 ⇒ valor da amortização única

J 0 ⇒ valor dos juros totais a pagar na data da contracção do empréstimo FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

164

82

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortização única

Para determinar o valor dos juros totais, recorre-se a uma equação de equivalência de capitais. Assim, com todos os capitais reportados ao momento zero, a equação corresponde a:

18.000 = J 0 +

18.000

(1 + 0, 06 )

2

Resolvendo esta equação em ordem aos juros totais, vem:

J 0 = 18.000 −

FEUALG

18.000

(1 + 0, 06 )

2

⇔ J 0 = 1.980, 064

Cálculo Financeiro 2009/2010

165

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortização única

Em termos gerais, para um empréstimo com reembolso através de amortização única no fim do prazo do empréstimo, a fórmula que permite determinar o valor do juro, quando este vence na totalidade na data da contracção do empréstimo, corresponde a:

J 0 = C0 −

C0

(1 + i )

n

 1  J 0 = C0 1 − n  (1 + i )  FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

166

83

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortização única

Exemplo 7.9 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo: Montante do empréstimo: 13.000 euros; método de reembolso: amortização única no fim do prazo do empréstimo e juros constantes pagos no fim de cada ano; prazo do empréstimo: 2 anos. Para além dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal do empréstimo é igual a 6%, com capitalização de juros anual. Determine o valor do juro total a pagar.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

167

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortização única

0

j1

13.000 + j2

1

2

Valor total do Empréstimo: 13.000 euros

13.000 ⇒ valor da amortização única

j1 = j2 ⇒ valor dos juros constantes a pagar no fim de cada período FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

168

84

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.2 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortização única

Como o capital em dívida mantém-se inalterado durante o período de vida do empréstimo, os juros são iguais para os diferentes períodos. Então:

j1 = j2 = 13.000 × 0, 06 = 780 Em termos gerais, para um empréstimo com reembolso através de amortização única no fim do prazo do empréstimo, a fórmula que permite determinar o valor do juro constante pago no fim de cada período, corresponde a:

jk = C0 × i com k = 1, 2,..., n FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

169

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Construção de quadros de amortização

Exemplo 7.10 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo: Montante do empréstimo: 2.000 euros; método de reembolso: amortizações semestrais constantes e juros pagos semestralmente; prazo do empréstimo: 2 anos. Para além dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal do empréstimo é igual a 6%, com capitalização de juros semestral. Elabore o quadro de amortização.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

170

85

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Construção de quadros de amortização

Quadro de Amortização Período (em sem) (a)

Capital em dívida no início do período (b)

Juro do período (c)

Amortização do período (d)

Prestação

1

2.000

60

500

560

2

1.500

45

500

545

3

1.000

30

500

530

4

500

15

500

515

(e)

Estes dois valores deverão ser sempre iguais

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

171

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Construção de quadros de amortização

Notas para a construção do quadro de amortização: Uma vez que o empréstimo é reembolsado pelo método das amortizações constantes, o primeiro passo para a construção do quadro de amortização consiste no cálculo da amortização:

m=

2.000 ⇔ m = 500 4

O que permite preencher a coluna (d). Por sua vez, também é possível preencher a coluna (a). Existem 4 períodos, uma vez que o empréstimo é reembolsado em amortizações semestrais durante 2 anos. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

172

86

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Construção de quadros de amortização

Para preencher a coluna (b): Em relação ao primeiro período, o capital em dívida corresponde ao valor total do empréstimo. Em relação ao segundo período, o capital em dívida corresponde ao valor total do empréstimo menos a primeira amortização. Em relação ao terceiro período, o capital em dívida corresponde ao valor do capital em dívida no início do segundo período menos a segunda amortização. Em relação ao quarto período, o capital em dívida corresponde ao valor do capital em dívida no início do terceiro período menos a terceira amortização. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

173

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Reembolso em amortização única

Para preencher a coluna (c):

coluna (b) × taxa de juro do período

Para preencher a coluna (e):

coluna (c) + coluna (d)

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

174

87

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Construção de quadros de amortização

Exemplo 7.11 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo: Montante do empréstimo: 3.000 euros; método de reembolso: prestações trimestrais constantes; prazo do empréstimo: 1 ano. Para além dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal do empréstimo é igual a 6%, com capitalização de juros trimestral. Elabore o quadro de amortização.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

175

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Construção de quadros de amortização

Quadro de Amortização Período (em trim) (a)

Capital em dívida no início do período (b)

Juro do período (c)

Amortização do período (d)

Prestação

1

3.000

45

733,334

778,334

(e)

2

2.266,666

34

744,334

778,334

3

1.522,332

22,835

755,499

778,334

4

766,833

11,501

766,833

778,334

Estes dois valores deverão ser sempre iguais

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

176

88

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Construção de quadros de amortização

Notas para a construção do quadro de amortização: Uma vez que o empréstimo é reembolsado pelo método das prestações constantes, o primeiro passo para a construção do quadro de amortização consiste no cálculo da prestação. De notar que as prestações são trimestrais pelo que é necessário calcular a respectiva taxa de juro trimestral. Assim: i(trim) =

c=

FEUALG

6% ⇔ i(trim) = 1, 5% 4

3.000 3.000 ⇔c= ⇔ c = 778,334 −4 a4 1,5% 1 − (1 + 0, 015 ) 0, 015 Coluna (e) Cálculo Financeiro 2009/2010

177

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Construção de quadros de amortização

O processo de preenchimento das colunas (a), (b) e (c) é semelhante ao apresentado no exemplo 7.10.

Para preencher a coluna (d):

coluna (e) − coluna (c)

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

178

89

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Construção de quadros de amortização

Exemplo 7.12 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo: Montante do empréstimo: 4.000 euros; método de reembolso: prestações anuais constantes e juros pagos semestralmente; prazo do empréstimo: 2 anos. Para além dos dados gerais, considere que a taxa de juro anual nominal do empréstimo é igual a 6%, com capitalização de juros semestral. Elabore o quadro de amortização.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

179

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Construção de quadros de amortização

Quadro de Amortização Período (em sem) (a)

Capital em dívida no início do período (b)

Juro do período (c)

Amortização do período (d)

Prestação

1

4.000

120

-

120

(e)

2

4.000

120

1.970,44335

2.090,44335

3

2.029,55665

60,8867

-

60,8867

4

2.029,55665

60,8867

2.029,55665

2.090.44335

Estes dois valores deverão ser sempre iguais

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

180

90

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Construção de quadros de amortização

Notas para a construção do quadro de amortização: O empréstimo é reembolsado pelo método das prestações constantes. No entanto, é diferente do ex. 7.11, porque existem pagamentos de juros em sub-períodos do período de pagamento das prestações constantes. Assim, o valor da prestação constante anual é calculada utilizando a taxa de juro semestral uma vez que esta prestação só inclui juros de um semestre, pois os juros do outro semestre já foram pagos separadamente.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

181

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Construção de quadros de amortização

i( sem) =

c=

6% ⇔ i ( sem) = 3% 2

4.000 4.000 ⇔c= ⇔ c = 2.090, 44335 −2 a2 3% 1 − (1 + 0, 03) 0, 03 Prestação anual constante referente ao 2º e 4º períodos

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

182

91

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.3.5 Empréstimos clássicos – Construção de quadros de amortização

O processo de preenchimento das colunas (a) e (b) é semelhante ao apresentado no exemplo 7.10 e 7.11.

Para preencher a coluna (d):

coluna (e) − coluna (c) O método de preenchimento da coluna (c) é idêntico ao dos exemplos 7.10 e 7.11. No entanto, utiliza-se a taxa de juro semestral porque os juros são pagos semestralmente.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

183

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas

Obrigação: Obrigação  Título representativo de um empréstimo de médio / longo prazo.  Corresponde a uma promessa escrita do emitente, de pagar, a quem o detenha, o reembolso do capital e os juros calculados a uma taxa fixa ou variável, de acordo com as condições definidas na data de emissão e durante um certo período de tempo.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

184

92

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas

Três designações importantes: importantes  Valor Nominal (VN): valor inscrito no título, corresponde ao valor sobre o qual incide o cálculo dos juros.  Valor de Emissão (VE): é o montante a pagar para adquirir (“subscrever”) uma obrigação.  Valor de Reembolso (VR): é o montante pago ao detentor de uma obrigação para amortizar a dívida contraída.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

185

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Reembolso através de prestações (aproximadamente) constantes, sem prémio de reembolso

Exemplo 7.13 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo obrigacionista: Nº de obrigações emitidas: 1.000; Valor Nominal: 50 euros; Taxa do cupão: 6%; Cupão anual; Reembolso ao par (Valor de Reembolso = Valor Nominal); Método de reembolso: prestações anuais constantes; prazo do empréstimo: 4 anos. Elabore o quadro de amortização.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

186

93

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Reembolso através de prestações (aproximadamente) constantes, sem prémio de reembolso

Elementos para a construção do quadro de amortização:
Valor total do empréstimo:

Nº de obrig. emitidas (Q) × Valor Nominal (VN) Q × VN = 1000 × 50 = 50.000 euros
Valor de cada prestação constante:

c=

Q × VN 1000 × 50 ⇔c= ⇔ c = 14.429,57 −4 an 1 − (1 + 0, 06 ) 0, 06

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

187

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Reembolso através de prestações (aproximadamente) constantes, sem prémio de reembolso

Quadro de Amortização Período (anos) (a)

Capital em dív. início do período (b)

Juro do período (c)

Nº obrig. amortiz. (d)

Amortização do período (e)

Prestação

1

50.000

3000

229

11.450

14.450

2

38.550

2313

242

12.100

14.413

3

26.450

1587

257

12.850

14.437

4

13.600

816

272

13.600

14.416

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

(f)

188

94

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Reembolso através de prestações (aproximadamente) constantes, sem prémio de reembolso

Notas para a construção do quadro de amortização: O empréstimo é reembolsado pelo método das prestações constantes. No entanto, o valor de todas as prestações não é exactamente constante, mas apenas aproximadamente constante. Qual é a justificação para este facto? R: As amortizações são feitas por números inteiros de obrigações, pelo que o valor das prestações pode apresentar, entre si, algumas diferenças monetárias

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

189

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Reembolso através de prestações (aproximadamente) constantes, sem prémio de reembolso

Como preencher a primeira linha do quadro de amortização? Coluna (b): 1.000 x 50 = 50.000 Coluna (c): 50.000 x 0,06 = 3.000 Coluna (d): 14.429,57 − 3000 = 228,5914 → 228 50

Coluna (e): 229 × 50 = 11.450

Coluna (f): 11.450 + 3.000 = 14.450 FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

190

95

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Reembolso através de prestações (aproximadamente) constantes, sem prémio de reembolso

Como preencher a segunda linha do quadro de amortização?

Coluna (b): 50.000 − 11.450 = 38.550

Coluna (c): 38.550 × 0, 06 = 2.313 Coluna (d):

14.429,57 − 2.313 = 242,3314 → 242 50

Coluna (e): 242 × 50 = 12.100 Coluna (f): 12.100 + 2.313 = 14.413

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

191

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Reembolso através de prestações (aproximadamente) constantes, com prémio de reembolso

Exemplo 7.14 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo obrigacionista: Nº de obrigações emitidas: 1.000; Valor Nominal: 50 euros; Taxa do cupão: 6%; Cupão anual; Prémio de reembolso: 0,20 euros; Método de reembolso: prestações anuais constantes; prazo do empréstimo: 4 anos. Elabore o quadro de amortização.

O exemplo é semelhante ao do ex. 7.13, com excepção do prémio de reembolso. FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

192

96

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Reembolso através de prestações (aproximadamente) constantes, com prémio de reembolso

Quadro de Amortização Período (anos) (a)

Capital em dív. início do período (b)

Juro do período

Nº obrig. amortiz.

(c)

(d)

Amortiz. do período (e)

Prémio de Prestação reembolso (f)

(g)

1

50.000

3000

229

11.450

45,80

14.495,80

2

38.550

2313

242

12.100

48,40

14.461,40

3

26.450

1587

257

12.850

51,40

14.488,40

4

13.600

816

272

13.600

54,40

14.470,40

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

193

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Reembolso através de prestações (aproximadamente) constantes, com prémio de reembolso

Notas para a construção do quadro de amortização: O quadro de amortização é semelhante ao do ex. 7.13, excepto a coluna (f) e a coluna (g).

coluna (f) = coluna (d) × prémio de reembolso coluna (g) = coluna (c) + coluna (e) + coluna (f)

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

194

97

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Reembolso através de amortizações constantes, sem prémio de reembolso

Exemplo 7.15 Considere os seguintes dados gerais relativos a um empréstimo obrigacionista: Nº de obrigações emitidas: 2.500; Valor Nominal: 50 euros; Taxa do cupão: 5%; Cupão semestral; Reembolso ao par (Valor de Reembolso = Valor Nominal); Método de reembolso: amortizações semestrais constantes, com juros pagos semestralmente; prazo do empréstimo: 2 anos. Elabore o quadro de amortização.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

195

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Reembolso através de amortizações constantes, sem prémio de reembolso

Quadro de amortização Juro do período (c)

Nº obrig. amortiz. (d)

Amortização do período (e)

125.000

3.125

625

31.250

34.375

93.750

2.343,75

625

31.250

33.593,75

3

62.500

1.562,50

625

31.250

32.812,50

4

31.250

781,25

625

31.250

32.031,25

Período (sem) (a)

Capital em dív. início do período (b)

1 2

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

Prestação (f)

196

98

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Reembolso através de amortizações constantes, sem prémio de reembolso

Notas para a construção do quadro de amortização: Uma vez que o empréstimo obrigacionista é reembolsado pelo método das amortizações constantes, o primeiro passo para a construção do quadro de amortização consiste no cálculo da amortização:

m=

Q × VN 2.500 × 50 ⇒m= ⇔ m = 31.250 n 4

O que permite preencher a coluna (e).

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

197

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Reembolso através de amortizações constantes, sem prémio de reembolso

Por sua vez, a coluna (d), corresponde a:

2.500 31.250 = 625 ou = 625 4 50 Para preencher a coluna (c), é necessário calcular a taxa de juro semestral uma vez que os juros são semestrais: i ( sem) =

5% = 2,5% 2

As restantes colunas são preenchidas pelo processo já apresentado nos exercícios anteriores.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

198

99

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Taxa efectiva de custo para o emitente

Exemplo 7.16 Considere os dados gerais do exemplo 7.14. Dados adicionais: Valor de emissão: 49,50 euros Custos com a emissão: 490 euros. Calcule a taxa efectiva de custo para o emitente do empréstimo.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

199

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Taxa efectiva de custo para o emitente

A taxa de juro efectiva para o emitente do empréstimo obrigacionista pode ser diferente da taxa de juro contratual, devido a:  Valor de emissão pode ser diferente do valor nominal  Pode existir prémio de reembolso  Existência de encargos com a emissão de um empréstimo obrigacionista

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

200

100

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Taxa efectiva de custo para o emitente

Como determinar a taxa efectiva de custo para o emitente? Recorre-se a uma igualdade de capitais, cujo momento de referência é o período zero, sendo que a taxa de juro de actualização utilizada nesta igualdade corresponde à taxa de juro efectiva de custo para o emitente do empréstimo. No exemplo, vem: 49,50 ×1000 − 490 =

14.495,80 14.461, 40 14.488, 40 14.470, 40 + + + 2 3 4 1+ if (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) f

i f = 7, 032%

f

f

Valor obtido através das funções financeiras do Excel

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

201

VII – EMPRÉSTIMOS CLÁSSICOS E OBRIGACIONISTAS

7.4 Empréstimos obrigacionistas – Taxa efectiva de custo para o emitente

Em termos gerais, para determinar a taxa efectiva de custo para o emitente, considere-se o seguinte esquema relativo às entradas e saídas de capital, relativamente ao emitente do empréstimo obrigacionista:

+ C0' 0

− T1

− T2

⋯

− Tn

1

2

⋯

n

onde: C'0 = Q × VE − Ce Ce = custos com a emissão Tk = serviço da dívida no período k ( k = 1, 2,..., n )

T T2 C = 1 + 1 + i f (1 + i f ' 0

FEUALG

)

2

+ ... +

Tn

(1 + i ) f

n

 Equação que permite determinar a taxa  efectiva de custo para o emitente, i f ,  utilizando para tal as funções financeiras  do Excel.

Cálculo Financeiro 2009/2010

202

101

VIII – ANÁLISE FINANCEIRA DE INVESTIMENTOS

Significado do VAL (Valor Actual Líquido) e da TIR (Taxa Interna de Rendibilidade)

Significado do VAL (Valor Actual Líquido): Valor actual de todos os fluxos monetários gerados por um projecto, quer os custos, quer os benefícios, onde os custos aparecem com sinal negativo e os lucros com sinal positivo.

Significado da TIR (Taxa Interna de Rendibilidade): Taxa de actualização relativa aos fluxos gerados por um projecto, que torna o VAL = 0, ou seja, é a taxa de actualização que iguala os custos aos proveitos.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

203

VIII – ANÁLISE FINANCEIRA DE INVESTIMENTOS

Significado do VAL (Valor Actual Líquido) e da TIR (Taxa Interna de Rendibilidade)

Exemplo 8.1: Considere uma empresa que efectua um investimento de 25.000 euros. A empresa espera com este investimento obter as seguintes receitas e despesas, durante os primeiros três anos: Receitas

Despesas

Fluxos de tesouraria

1º ano

19.500

9.000

10.500

2º ano

20.500

9.500

11.000

3º ano

21.250

10.500

10.750

Supondo que a taxa de juro de referência prevista durante os próximos 3 anos é de cerca de 10%, determine o VAL e a TIR.

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

204

102

VIII – ANÁLISE FINANCEIRA DE INVESTIMENTOS

Significado do VAL (Valor Actual Líquido) e da TIR (Taxa Interna de Rendibilidade)

VAL = −25.000 +

10.500 11.000 10.750 + + 2 1 + 0,10 (1 + 0,10 ) (1 + 0,10 )3

VAL = 1.713 euros

25.000 =

10.500 11.000 10.750 + + ⇔ TIR = 13,835% 2 1 + TIR (1 + TIR ) (1 + TIR )3

VAL > 0 → TIR > taxa de juro de referência

FEUALG

Cálculo Financeiro 2009/2010

205

103