Slide de Radiciação 9 ano
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Radiciação
A radiciação potenciação. Ex.
é
a
operação
Na raiz , temos:
inversa
n
a =b
O número n é chamado O número a é chamado O número b é chamado radical . é um n a
índice ; radicando ; raiz ;
da
Raiz Quadrada Raiz quadrada de um número positivo positivo que elevado ao quadrado dê “a”.
“a”
é o número
Exemplos: 9 3
36 6
49 7
81 9
1 1
0 0
1, 21 1,1
6, 25 2,5
1 4
1
9
2
25
3 5
0, 04 0, 2
100 10
A Raiz Enézima de a
Radical
n
a b
Raiz enézima de a
Radicando
Para a e b reais não negativos e n natural maior que 1. Quando n é impar, a e b podem ser negativos.
Propriedades da Radiciação a)
n
a
n
a
n natural maior que 1; Sendo a real não negativo, se n é par; a real qualquer, se n é impar. b)
n
Sendo
a
m
n. p
. n a m p am ou
n, p e r natural maior que 1; r divisor comum de n e m.
n:r
a m :r
Propriedades da Radiciação c)
n
ab
n
a
n
b
n natural maior que 1; Sendo a e b real não negativo, se n é par; a e b real qualquer, se n é impar.
d) n
a b
n
n
a b
(b
0)
n natural maior que 1; Sendo a real não negativo e b real positivo, se n é par; a real qualquer e b real não nulo, se n é impar.
Propriedades da Radiciação e)
n
Sendo
f)
n
Sendo
m
a
mn
a
n e m natural maior que 1;
a
m
n
a
m
n e m natural maior que 1;
Se
a R , b R , m Z , n N , p N , temos : a) a b n
b) a m
n
c)
a
n
b
n
d ) a p n
e)
n
a b
n p
m p
n
n n
m
a b
a
(b 0)
a
a
n
pn
m
a
5
3
2
4
5 3
3
5 2 5 2 10 3
3
3
8 5
3
32
4
5
4
3
2.2
5
3
5 6
4
8 2 2 3
5
3
3
7 32 7 6 7
5
5
32
Aplicação das propriedades dos radicais Cálculo de raízes exatas EX: 3 3
3
3
3
3
2195 2 2 7 3
3
3
3
3
2 2 7 2 2 7 28
21952 10976 5488 2744 1372 686 343 49 7 1
2 2 2 2 2 2 7 7 7
Simplificando Radicais Simplificar um radical é reduzir o radicando à sua expressão mais simples. Exemplos: 6
6
3
a) 8 2
63
2
33
2
2
2
2 2
2
b) 288 2 2 2 3 2
2
2
2 2 2 3 2 2 2 3 12 2
Redução de radicais ao mesmo índice Exemplos: 6
Mmc (6,4) = 12
4
a) 2 e 5 6.2
1.2
2
e
4.3
1.3
5
2
5
b) 3 e 20 2.5
1.5
3
e
5.2
1.2
20
12
2
e
12
3
12
12
5 4 e 125
Mmc (2,5) = 10 10
3
5
e
10
2
10
10
20 243 e 400
Radicais Semelhantes Dois ou mais radicais são semelhantes, quando possuem o mesmo índice e mesmo radicando 2 3
43 5
e
7 3
e
63 5
RADICIAÇÃO Potência com expoente racional Observe as seguintes igualdades: ou Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.
De modo geral, definimos: , com a
IR,m,n,
IN, a >0, n>0, m>0
Podemos também transformar um radical com expoente fracionário, isto é,val também a volta. O exercício que foi resolvido anteriormente na multiplicação, pode também agora ter esta resolução: 2 3
3
4
a 2 .4 a 3 .5 a 4 a 3 .a 4 .a 5 a
2 3 4 3 4 5
133
a 60 60 a133 a 2 . 60 a13
RADICIAÇÃO Potência com expoente racional Propriedade das potências com expoentes racionais As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que: p m p m
a
n
.a
q
a
m
a
n p
m
a
n
n
q
p q
aq m
m
a.b n m
a
n m
an a n m b
m
.b
n
RADICIAÇÃO “Introdução” de um fator no radical
2.3 7 3 23 .3 7 3 23.7 3 56
104 3 4 104.3 4 30000
6 5 62.5 180
10 5 102.5 500
Processo prático:
23 7 3 23.7 3 56
RADICIAÇÃO Operações com Radicais: Adição e Subtração
Exemplo 1: Efetue: 3 3 3 7 3 Resolução: Os três radicais são semelhantes, pois possuem o mesmo índice 2 e o mesmo radicando 3. Adicionando algebricamente os coeficientes, podemos escrever: 3 3 3 7 3 3 1 3 7 2 3
Exemplo 2: Efetue: 3 8 32 4 18 Resolução: Os três radicais aparentemente não são semelhantes, mas se os simplificarmos, perceberemos que eles são verdadeiramente semelhantes. Simplificando cada um dos radicais, teremos:
3 23 2 25 4 2. 32 3.2 2 22 2 4.3 2 6 2 4 2 12 2 14 2
RADICIAÇÃO Operações com Radicais: Adição e Subtração
Exemplo 3: Efetue: 75 4 400 6 125 8 81 Resolução: Os três radicais aparentemente não são semelhantes, mas se os simplificarmos, perceberemos que eles são semelhantes dois a dois. Simplificando cada um dos radicais, teremos:
3.52 4 24.52 6 53 8 34 5 3 22.5 5 3 6 3 5
RADICIAÇÃO Operações com Radicais: Multiplicação Exemplo 1:
2. 5
Resolução: Os dois são homogêneos, pois possuem o mesmo índice 2. Multiplicando os radicandos e conservando o índice, podemos escrever: 2 . 5 2.5 10
Exemplo 2: Efetue:
3
a 2 .4 a3 .5 a 4
Resolução: Os três radicais são heterogêneos, pois possuem índices diferentes. Reduzindo-os ao mesmo índice, teremos: 3 a 2 .4 a3 .5 a 4 60 a 40 .60 a 45 .60 a 48 60 a 40 .a 45.a 48 60 a133 E simplificando o radical 60 a133 teremos:
60
a120.a13 a 2 .60 a13
RADICIAÇÃO Operações com Radicais: Divisão
RADICIAÇÃO Operações com Radicais: Divisão
RADICIAÇÃO Operações com Radicais: Potenciação
2
5
2. 2. 2 2.2.2 2 5 8 5
5
7
5
3
1
3
2
5
5
Logo, 7
3
3
3 7
7
2
7
5
5
2 2. 5 5. 5
Logo,
3
5
3
6
3
3.1
5 .5 5 7
5 .
3
3
7
6
2.3
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente.
a n
r
m
a n
r m
RADICIAÇÃO Operações com Radicais:
3
6
64 2 Logo,
81 9 3 e 4 81 3 Logo,
64 3 8 2 e
Radiciação
3
3
4096 3
64 3 8 2
3.2 3
2
64
6
2 .2 2 2
81 4 81
ou
4096 12 4096 12 212 2
De modo geral, satisfeitas as condições de existência dos radicais envolvidos, podemos indicar a radiciação de um radical assim: n m
a m.n a
64
RADICIAÇÃO Expressões
3
18 84 4 25 18 84 4 5 18 84 9 3
3
3 18 84 3 3 18 81 3 18 9 3 27 3 3
14 125
3
5
11 25
3
14 125
14
3
3
52 : 3 13.3 16
75
12
588
3
3.5
2
125
25 2
5
2
2 .3
2 .3.7
2
3
52 : 13.16
2
15 11
5.
3
14
125 14 50 125
3
4.16
3
2.
2.7.
3
4
3
25 64
3 3
125
4 5
64 4 2 7. 2.7.
3 3
1 2
RADICIAÇÃO Desenvolvendo Produtos Notáveis
2 2 2 2. 2 2 4 2
2
3 2
3 6 . 3 6
10 3
2
2 2 2 2 44 2 2 64 2
3. 6 3. 6
6
2
10 3. 10 3 10 10. 3 10. 3 3 2
2
3 6 3
2
10 2.
30 3 13 2. 30
RADICIAÇÃO Racionalização de Denominadores Em alguns cálculos, você pode se deparar com raízes no denominador da fração, o que a torna irracional. Para que você possa prosseguir com os cálculos, é conveniente que você elimine essas raízes do denominador, esse processo chamado de racionalização de denominadores. Isto é, transforma-se um denominador irracional em racional, para que assim possamos trabalhar com tranquilidade com a fração que agora teremos o denominador
é um número irracional e deve ser eliminado.
Atenção: o importante é eliminar a raiz (que pode ser quadrada, cúbica, etc), mantendo uma fração "equivalente", ou seja, que representa o mesmo valor. Uma dica é multiplicar tanto o numerador (parte de cima), quanto o denominador pelo mesmo número, o que não interfere na igualdade. Se a fração anterior for multiplicada em cima e em baixo por ficará:
Note que
é igual a 1, logo a multiplicação de um número por 1 não o altera.
RADICIAÇÃO Racionalização de Denominadores Prosseguindo:
Como se pode notar o denominador agora é um número racional (3).
RADICIAÇÃO Racionalização de Denominadores Raízes não-quadradas Para eliminar raízes cúbicas, ou de outros índices diferentes de 2 (lembre-se: raiz quadrada é, na verdade, uma raiz de índice 2), é necessário utilizar um artifício.
Multiplique, no numerador e no denominador, por uma raiz de mesmo radicando (o número dentro da raiz) e cujo índice seja equivalente ao índice da raiz original, e o expoente do radicando seja o valor do índice menos um. Por exemplo:
ou é o fator racionalizante de
RADICIAÇÃO Racionalização de Denominadores Soma de raízes no denominador Veja: Deve-se multiplicar por Isso porque a multiplicação de por é, na verdade, a multiplicação de (a + b). (a - b), um produto notável, cujo resultado é (a 2 - b2), isto é, os radicais somem!
é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de
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