skupovi..

Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiˇse eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma taˇ cke ili prave u geometriji. Suˇstinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili ˇ clanova. Osnovni odnos izmed¯u elemenata i skupova je pripadanje. ckim matematiˇ ckim jezikom piˇse Izraz ”a pripada A” se simboliˇ a∈A Kaˇ ze se i da je a element skupa A, ili da je a sadrˇ zan u A. Izraz ”a ne pripada skupu A”, odnosno negacija formule a ∈ A, se simboliˇ cki oznaˇ cava sa a 6∈ A. ˇ Matematicka logika

–2–

Skupovi

Pojam skupa Za simboliˇ cko oznaˇ cavanje skupova najˇ ceˇs´ ce koristimo slova latinskog alfabeta. Pri tome, skupove obiˇ cno oznaˇ cavamo velikim slovima a njihove elemente malim. Primeri skupova: ➠ ➠ ➠ ➠ ➠ ➠

skup svih Beograd¯ana skup svih nacija skup celih brojeva skup svih reˇ ci sve osobe koje imaju odred¯enu osobinu zajedno ˇ cine skup svi tipovi u programskim jezicima (integer, real) ˇ cine skupove

ˇ Matematicka logika

–3–

Skupovi

Pojam skupa ˇ Napomena: Cesto sami skupovi jesu elementi drugih skupova. Primeri: ➠ prava, kao skup taˇ caka u ravni, pripada skupu svih pravih te ravni ➠ nacija, kao skup individua, pripadnika te nacije, pripada skupu svih nacija

ˇ Matematicka logika

–4–

Skupovi

Zadavanje skupova ➠ Navod¯enjem svih njegovih elemenata, izmed¯u vitiˇ castih zagrada { i }. {3, 6, 7}

Konaˇ can skup, sa elementima 3, 6 i 7. Ovakav naˇ cin zadavanja skupova koristi se za konaˇ cne skupove sa ne tako velikim brojem elemenata, koje je tehniˇ cki mogu´ ce sve navesti

{1, 2, . . . , n}

Konaˇ can skup sa ve´ cim brojem elemenata koje tehniˇ cki nije mogu´ ce sve navesti, zbog ˇ cega stavljamo tri taˇ cke ”. . .” koje znaˇ ce ”i tako dalje, po istom obrascu”. Odgovaraju´ ci obrazac mora da bude oˇ cigledan.

{2, 4, 6, 8, . . .}

Skup svih parnih brojeva. Primetimo da je ovaj skup, za razliku od prethodnog, beskonaˇ can.

N = {1, 2, 3, . . .}

Skup svih prirodnih brojeva.

ˇ Matematicka logika

–5–

Skupovi

Zadavanje skupova ➠ Zadavanjem svojstva koje svi njegovi elementi moraju da imaju. Zajedniˇ cko svojstvo objedinjuje u skup sve objekte sa tim svojstvom. Takvi skupovi se zapisuju u slede´ cem obliku A = {x | x ima svojstvo P (x)}

ili

A = {x | P (x)},

gde je sa P (x) oznaˇ ceno svojstvo koje moˇ ze imati objekat x. zi P (x), Na ovaj naˇ cin je oznaˇ cen skup svih objekata x za koje vaˇ odnosno skup svih objekata x koji imaju svojstvo P (x). Na primer, skup parnih brojeva moˇ ze se zadati sa {x | postoji y ∈ N tako da je x = 2y}. ˇ Matematicka logika

–6–

Skupovi

Zadavanje skupova ➠ Rekurzivna (induktivna) definicija skupa. Skup A se moˇ ze definisati rekurzivno ili induktivno na slede´ ci naˇ cin: (i) zadaju se polazni elementi ili bazni elementi skupa A; (ii) odred¯uje se naˇ cin na koji se, pomo´ cu odred¯enih operacija, iz prethodno definisanih elemenata mogu definisati drugi elementi skupa A; (iii) kaˇ ze se da skupu A mogu pripadati oni i samo oni objekti koji se mogu dobiti primenom pravila (i) i (ii) konaˇ can broj puta. Na ovaj naˇ cin ´ ce kasnije biti definisane iskazne i predikatske formule. Rekurzivno se definiˇsu i formule u jeziku FORTRAN. ˇ Matematicka logika

–7–

Skupovi

Jednakost skupova. Podskup Dva skupa A i B su jednaka, u oznaci A = B, ako imaju iste elemente, tj. def

A = B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B). Negacija gornje formule oznaˇ cava se sa A 6= B. Skup A je podskup skupa B, u oznaci A ⊆ B, ako su svi elementi skupa A sadrˇ zani u B, tj. def

A ⊆ B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B). Odnos ⊆ zove se inkluzija. Ako je A ⊆ B i A 6= B, onda se kaˇ ze da je A pravi podskup skupa B, u oznaci A ⊂ B. ˇ Matematicka logika

–8–

Skupovi

Jednakost skupova. Podskup Napomena: U prethodnim definicijama koristili smo slede´ ce simboliˇ cke oznake: ⇔

znaˇ ci ”ako i samo ako” ili ”ekvivalentno” (ekvivalencija);

def

znaˇ ci ”ekvivalentno po definiciji”;

⇒

znaˇ ci ”ako. . . , onda. . . ” ili ”povlaˇ ci” (implikacija).

⇐⇒

Viˇse reˇ ci o ovome bi´ ce u kasnijim poglavljima. Primetimo da ”ekvivalentno” i ”ekvivalentno po definiciji” imaju drugaˇ cija znaˇ cenja: def

P ⇔ Q znaˇ ci da je P taˇ cno ako i samo ako je taˇ cno Q, dok P ⇐⇒ Q znaˇ ci da P i Q imaju isto znaˇ cenje, tj. Q je samo drugaˇ ciji zapis za P .

ˇ Matematicka logika

–9–

Skupovi

Jednakost skupova. Podskup Primeri jednakih skupova: {x, x} = {x}

{x, y} = {y, x}

{x, y, z} = {x, z, y}

{x, y, z} = {z, x, x, y}

Ove jednakosti se dokazuju neposrednom primenom definicije jednakosti skupova. Dokaz se ostavlja za veˇ zbu. Odavde moˇ zemo izvu´ ci dva pravila koja se tiˇ cu zadavanja skupova navod¯enjem njegovih elemenata: – Nije bitan redosled po kome se elementi navode (nabrajaju). – Svaki element se navodi samo jednom. ˇ Matematicka logika

– 10 –

Skupovi

Jednakost skupova. Podskup Primeri inkluzije: N⊆Z

skup prirodnih brojeva N je podskup skupa celih brojeva Z (i to pravi podskup);

{a, b, c} ⊆ {b, d, a, c}

ˇ Matematicka logika

– 11 –

Skupovi

Jednakost skupova. Podskup Zadatak 1. Da li su slede´ ca tvrd¯enja taˇ cna: (a) {a, {b, c}} = {{a, b}, c}; (b) {1, 2, 3} ⊆ {{1, 2}, 3, {1, 2, 3}}. Reˇsenje: (a) Ovo nije taˇ cno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste elemente. Naime, elementi skupa na levoj strani su a i {b, c}, a elementi skupa na desnoj strani su {a, b} i c. Prema tome, a je, na primer, element skupa na levoj strani, ali nije element skupa na desnoj strani. (b) Ni ovo nije taˇ cno, jer elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, a elementi skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3}. Dakle, 1 i 2 nisu elementi skupa na desnoj strani. ˇ Matematicka logika

– 12 –

Skupovi

Jednakost skupova. Podskup Zadatak 2. Odrediti broj elemenata slede´ cih skupova: (a) {{∅, {∅}}} (b) {1, 2, 3, {1, 2, 3}} (c) {∅, {∅}, a, b, {a, b}, {a, b, {a, b}}} (d) {∅, {∅}, {∅, {∅}}} (e) {∅, {∅}, ∅} Reˇsenje: (a) Skup {{∅, {∅}}} ima samo jedan element, skup {∅, {∅}}.

ˇ Matematicka logika

– 13 –

Skupovi

Jednakost skupova. Podskup (b) Skup {1, 2, 3, {1, 2, 3}} ima 4 elementa: (1) 1, (2) 2, (3) 3 i (4) {1, 2, 3}. (c) Skup {∅, {∅}, a, b, {a, b}, {a, b, {a, b}}} ima 6 elemenata: (1) ∅, (2) {∅}, (3) a, (4) b, (5) {a, b}, i (6) {a, b, {a, b}}. (d) Skup {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ima 3 elementa: (1) ∅, (2) {∅}, i (3) {∅, {∅}}. (e) Skup {∅, {∅}, ∅} ima 2 elementa: (1) ∅ (dva puta zapisan), i (2) {∅}.

ˇ Matematicka logika

– 14 –

Skupovi

Svojstva jednakosti i inkluzije skupova Tvrd¯enje 1. Za proizvoljne skupove A, B, C vaˇ zi: (i) A = A

(refleksivnost)

A=B⇒B=A

(simetriˇ cnost)

A=B∧B =C ⇒A=C

(tranzitivnost)

(ii) A ⊆ A

(refleksivnost)

A⊆B∧B ⊆A⇒A=B

(antisimetriˇ cnost)

A⊆B∧B ⊆C ⇒A⊆C

(tranzitivnost)

Dokaz: Ostavlja se za veˇ zbu. ˇ Matematicka logika

– 15 –

Skupovi

Svojstva jednakosti i inkluzije skupova Zbog refleksivnosti inkluzije, svaki skup je i svoj sopstveni podskup. Antisimetriˇ cnost inkluzije je svojstvo koje se veoma mnogo koristi kada se dokazuje jednakost skupova. Naime, skupovnu jednakost A = B najˇ ceˇs´ ce dokazujemo tako ˇsto dokazujemo da je A ⊆ B i B ⊆ A.

ˇ Matematicka logika

– 16 –

Skupovi

Venovi dijagrami Skupove grafiˇ cki najˇ ceˇs´ ce predstavljamo pomo´ cu Venovih dijagrama. Kod Venovih dijagrama skupovi su predstavljeni skupovima taˇ caka izvesnih geometrijskih figura u ravni, kao ˇsto su krugovi ili elipse, i oblasti u ravni koje nastaju presecanjem tih geometrijskih figura. Dva primera Venovih dijagrama data su na donjoj slici:

ˇ Matematicka logika

– 17 –

Skupovi

Razlika skupova Razlika skupova A i B je skup A \ B koji se definiˇse sa def

A \ B = {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B}. tj. skup svih elemenata iz A koji ne pripadaju skupu B

ˇ Matematicka logika

– 18 –

Skupovi

Razlika skupova Tvrd¯enje 2. Neka su X i Y proizvoljni skupovi. Tada je X \ X = Y \ Y. Dokaz: Imamo da je x ∈ X \ X ⇔ x ∈ X ∧ x 6∈ X ⇔ ⊥ x ∈ Y \ Y ⇔ x ∈ Y ∧ x 6∈ Y ⇔ ⊥ odakle sledi da je x ∈ X \ X ⇔ x ∈ Y \ Y . Prema ovom tvrd¯enju, razlika X \ X ne zavisi od skupa X. Zato prazan skup, u oznaci ∅, definiˇsemo kao skup X \ X, gde je X proizvoljan skup. ˇ Matematicka logika

– 19 –

Skupovi

Razlika skupova Prema ovakvoj definiciji x ∈ ∅ ⇔ x ∈ X ∧ x 6∈ X. Kako je desna strana ove ekvivalencije kontradikcija, to imamo da ni za jedno x ne vaˇ zi x ∈ ∅. Tako dolazimo do ekvivalentne definicije praznog skupa: prazan skup je skup koji nema elemenata. Tvrd¯enje 3. Za svaki skup X vaˇ zi ∅ ⊆ X. Dokaz: Implikacija x∈∅⇒x∈X vaˇ zi za svaki x jer je leva strana te implikacije uvek netaˇ cna. ˇ Matematicka logika

– 20 –

Skupovi

Presek skupova Presek skupova A i B, u oznaci A ∩ B, je skup koji sadrˇ zi taˇ cno one elemente koji se nalaze istovremeno u oba skupa: def

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. Za skupove A i B ˇ ciji je presek prazan skup se kaˇ ze da su disjunktni.

presek skupova

ˇ Matematicka logika

disjunktni skupovi

– 21 –

Skupovi

Unija skupova Unija skupova A i B, u oznaci A ∪ B, je skup koji sadrˇ zi sve elemente koji se nalaze bar u jednom od njih: def

A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

ˇ Matematicka logika

– 22 –

Skupovi

Komplement skupa Ako je B ⊆ A, onda se razlika A \ B zove komplement skupa B u odnosu na A i oznaˇ cava sa CA(B): def

CA(B) = A \ B = {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B}.

ˇ Matematicka logika

– 23 –

Skupovi

Komplement skupa ˇ Cesto se posmatraju iskljuˇ civo podskupovi nekog unapred datog skupa U , koji se zove univerzalni skup. Tada za B ⊆ U , CU (B) se oznaˇ cava sa B i zove se samo komplement skupa B: def

B = {x | x 6∈ B}

ˇ Matematicka logika

– 24 –

Skupovi

Primeri skupovnih operacija a) Ako je A = {x ∈ N | (∃k)(x = 2k)}, B = {x ∈ N | (∃m)(x = 3m)}, onda je A ∩ B = {x ∈ N | (∃p)(x = 6p)}; A ∪ B = {x ∈ N | (∃q)(x = 2q ∨ x = 3q)}; A = {x ∈ N | (∃r)(x = 2r − 1)}. b) Skupovi taˇ caka koje pripadaju dvema mimoilaznim pravama su disjunktni. ˇ Matematicka logika

– 25 –

Skupovi

Venovi dijagrami (nastavak) Neka je dat univerzalni skup U i njegovi podskupovi A1 , A2 ,. . . , An. Predstavljanje tih skupova Venovim dijagramom je takvo grafiˇ cko predstavljanje gde je univerzalni skup U predstavljen pravougaonikom, a skupovi A1 , A2 ,. . . , An krugovima ili elipsama. Pri tome mora biti ispunjen uslov da krugovi, odnosno elipse, dele pravougaonik na 2n delova, od kojih je svaka povezana oblast. Venov dijagram mora da obezbedi dovoljan broj oblasti za predstavljanje svih mogu´ cih preseka skupova A1 ,. . . , An i njihovih komplemenata. Svi ti preseci mogu biti neprazni, i tada ih ima 2n, ˇsto znaˇ ci da je neophodno u Venovom dijagramu obezbediti 2n povezanih oblasti. ˇ Matematicka logika

– 26 –

Skupovi

Venov dijagram V2 Venov dijagram za dva skupa, u oznaci V2 , prikazan je na slede´ coj slici: U

A

B AB

AB

AB

AB

Jednostavnosti radi, ovde smo izostavljali znak ∩ za presek skupova. Na primer, A B kra´ ci zapis za A ∩ B. Komplement se gleda u odnosu na univerzalni skup U . ˇ Matematicka logika

– 27 –

Skupovi

Primer: nije Venov dijagram Primer predstavljanja koje nije Venov dijagram, jer ne ispunjava napred postavljeni uslov, dat je na slede´ coj slici. U

B A

Ovo nije Venov dijagram jer skup A ∩ B nije predstavljen povezanom oblaˇs´ cu. ˇ Matematicka logika

– 28 –

Skupovi

Venov dijagram V3 Venov dijagram za tri skupa, u oznaci V3 , je C

U

ABC

ABC

ABC

ABC ABC

ABC

ABC

A

ˇ Matematicka logika

ABC

B

– 29 –

Skupovi

Venov dijagram V4 Venov dijagram za ˇ cetiri skupa, u oznaci V4 , je prikazan na slede´ coj slici:

U

B

2

A

C

3

D

6

5

7

1

4 12

11 15 9

1 : ABC D

9 : ABC D

2 : ABC D

10 : A B C D

3 : ABC D

11 : A B C D

4 : ABC D

12 : A B C D

5 : ABC D

13 : A B C D

6 : ABC D

14 : A B C D

7 : ABC D

15 : A B C D

8 : ABC D

16 : A B C D

10 13

14

8 16

ˇ Matematicka logika

– 30 –

Skupovi

Venovi dijagrami za n skupova Ve´ c u sluˇ caju ˇ cetiri skupa nije mogu´ ce nacrtati Venov dijagram sa krugovima, ˇ cak i razliˇ citih polupreˇ cnika, ve´ c se to mora uraditi elipsama. Iako su Venovi dijagrami uvedeni joˇs 1881. godine, tek je 1975. godine dokazano da se za svaki prirodan broj n moˇ ze nacrtati Venov dijagram sa n elipsi koji obezbed¯uje svih 2n oblasti. Med¯utim, crtanje Venovih dijagrama za pet i viˇse skupova je toliko komplikovano da to ne´ cemo raditi.

ˇ Matematicka logika

– 31 –

Skupovi

Venovi dijagrami – zadatak Zadatak 3. Dokazati da donja slika ne predstavlja Venov dijagram. U

D

C 4 12

14

8

11

6

13 9

1

3

7

10

5

A

2

B

Oznaˇ cene oblasti izraziti kao preseke skupova A, B, C i D, odnosno njihovih komplemenata, na naˇ cin kako je to urad¯eno za V4 . ˇ Matematicka logika

– 32 –

Skupovi

Venovi dijagrami – zadatak Reˇsenje: Ve´ c na prvi pogled se vidi da nedostaju oblasti koje odgovaraju skupovima A C B D i B D A C, tj., A B C D i A B C D. U

D

C 4

Drugim reˇ cima, u ovom sluˇ caju je

12

14

8

1

A

ˇ Matematicka logika

– 33 –

11

6

13 9

A B C D = ∅ i A B C D = ∅.

3

7

10

5

2

B

Skupovi

Venovi dijagrami – zadatak Sve ostale oblasti iz Venovog dijagrama V4 su prisutne na ovom dijagramu i odgovaraju slede´ cim oblastima sa ovog dijagrama

U

D

C 4 12

14

8

11

6

13 9

1

3

7

10

5

A

ˇ Matematicka logika

2

B

1 : ABC D

8 : ABC D

2 : ABC D

9 : ABC D

3 : ABC D

10 : A B C D

4 : ABC D

11 : A B C D

5 : ABC D

12 : A B C D

6 : ABC D

13 : A B C D

7 : ABC D

14 : A B C D.

– 34 –

Skupovi

Svojstva skupovnih operacija Tvrd¯enje 4. Neka je A skup i X, Y, Z ⊆ A. Tada vaˇ zi: (a) Komutativnost

(b) Asocijativnost

(c) Distributivnost

(d) Apsorptivnost

ˇ Matematicka logika

X ∩ Y = Y ∩ X, X ∪ Y = Y ∪ X; X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z, X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z; X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z), X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z); X ∩ (X ∪ Y ) = X, X ∪ (X ∩ Y ) = X; – 35 –

Skupovi

Svojstva skupovnih operacija X ∩ X = X,

(e) Idempotentnost

X ∪ X = X;

(f) De Morganovi zakoni

(g)

X ∩ X = ∅, X ∪ X = A;

(h)

(X ∩ Y ) = X ∪ Y , (X ∪ Y ) = X ∩ Y ; X ∩ A = X, X ∪ A = A;

(i)

X ∩ ∅ = ∅, X ∪ ∅ = X.

Dokaz: Ostavlja se za veˇ zbu.

ˇ Matematicka logika

– 36 –

Skupovi

Svojstva inkluzije Slede´ ce tvrd¯enje daje nam vezu izmed¯u inkluzije i operacija preseka i unije skupova. Tvrd¯enje 5. Neka su X i Y skupovi. Tada vaˇ zi: X ⊆ Y ⇔ X ∩ Y = X, X ⊆ Y ⇔ X ∪ Y = Y. Dokaz: Ostavlja se za veˇ zbu.

ˇ Matematicka logika

– 37 –

Skupovi

Partitivni skup Kolekcija svih podskupova proizvoljnog skupa A je skup koji nazivamo partitivni skup skupa A i oznaˇ cavamo ga sa P(A): def

P(A) = {X | X ⊆ A}. Tvrd¯enje 6. (a) Prazan skup je element svakog partitivnog skupa. (b) Skup A je element svog partitivnog skupa P(A). Za razliku od samog praznog skupa, koji nema elemenata, njegov partitivni skup je jednoˇ clan (jednoelementan): P(∅) = {∅} ˇ Matematicka logika

– 38 –

Skupovi

Partitivni skup Primer partitivnog skupa: Za A = {a, b, c} je P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Tvrd¯enje: Neka skup A ima n elemenata. Tada
n (a) A ima k podskupova sa k elemenata (0 6 k 6 n);

(b) P(A) ima 2n elemenata.

Zbog ovoga se ˇ cesto umesto oznake P(A) koristi oznaka 2A.

ˇ Matematicka logika

– 39 –

Skupovi

Partitivni skup Setimo se da je

n k




binomni koeficijent, tj.   n(n − 1)(n − 2)(n − k + 1) n = . k k(k − 1) · · · 2 · 1

Posebne vrednosti binomnih koeficijenata su:       n n n def = 1. = n, = 1, n 1 0

ˇ Matematicka logika

– 40 –

Skupovi

Partitivni skup Zadatak: Odrediti sve podskupove skupa A = {α, 2, 5, w}. Reˇsenje: Svi podskupovi skupa A su broj elemenata

podskup

broj podskupova

0

∅

1

1

{α}, {2}, {5}, {w}

4

2

{α, 2}, {α, 5}, {α, w}, {2, 5}, {2, w}, {5, w}

6

3

{α, 2, 5}, {α, 2, w}, {α, 5, w}, {2, 5, w}

4

4

A

1 ukupno:

ˇ Matematicka logika

– 41 –

16

Skupovi

Uredeni par ¯ Kao ˇsto znamo, {x, y} oznaˇ cava skup koji sadrˇ zi elemente x i y, pri ˇ cemu je {x, y} isto ˇsto i {y, x}, tj., nije nije bitan redosled po kome navodimo elemente x i y. Zato se skup {x, y} ponekad naziva i neured¯eni par elemenata x i y. Med¯utim, ˇ cesto se name´ ce potreba da istaknemo koji je element prvi a koji drugi u paru. Da bi smo to istakli, uvodimo oznaku (x, y) i kaˇ zemo da je (x, y) ured¯eni par elemenata x i y. Za x kaˇ zemo da je prva komponenta ili prva koordinata, a za y da je druga komponenta ili druga koordinata ured¯enog para (x, y). ˇ Matematicka logika

– 42 –

Skupovi

Primer uredenog para ¯ Svaka taˇ cka u ravni moˇ ze se predstaviti ured¯enim parom (a, b) realnih brojeva, pri ˇ cemu za a kaˇ zemo da je njena x-koordinata, a za b da je njena y-koordinata. Kao ˇsto vidimo na slici, ured¯eni par (1, 3) nije isto ˇsto i ured¯eni par y (3, 1). (1,3)

b

(a, b)

a ˇ Matematicka logika

– 43 –

(3,1)

x Skupovi

Formalna definicija uredenog para ¯ Prethodna priˇ ca o ured¯enim parovima je bila potpuno neformalna. Njena uloga je bila da objasni svrhu uvod¯enja pojma ured¯enog para i kako treba shvatiti taj pojam. U nastavfkmu dajemo formalnu matematiˇ cku definiciju ured¯enog para. Ured¯eni par (x, y) elemenata x i y se formalno definiˇse kao skup def

(x, y) = {{x}, {x, y}}. Ovakva definicija moˇ ze izgledati vrlo neobiˇ cno i priliˇ cno apstraktno. Med¯utim, ona omogu´ cava da se iz nje izvedu fundamentalna svojstva ured¯enih parova. Jedno od takvih svojstava je i jednakost ured¯enih parova, koja je tema naˇsih daljih razmatranja. ˇ Matematicka logika

– 44 –

Skupovi

Formalna definicija uredenog para ¯ Tvrd¯enje 7. Dokazati da su dva ured¯ena para (a, b) i (c, d) jednaka ako i samo ako je a = c i b = d. Dokaz: Ako je a = c i b = d, tada je jasno da je {a} = {c} i {a, b} = {c, d}, pa je (a, b) = (c, d). Obratno, neka je (a, b) = (c, d), tj. {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Sluˇ caj a = b: U ovom sluˇ caju je (a, b) = {{a}, {a, b}} = {{a}}, pa {{a}} = {{c}, {c, d}}, ˇsto znaˇ ci da je {{a}} = {{c}} = {{c, d}}, odakle se lako dobija da je a = b = c = d. ˇ Matematicka logika

– 45 –

Skupovi

Formalna definicija uredenog para ¯ Sluˇ caj a 6= b: U ovom sluˇ caju je {a} 6= {a, b}, zbog ˇ cega mora biti i {c} = 6 {c, d}, odnosno c 6= d. Iz {c} ∈ {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}} dobija se {c} = {a}, tj. c = a, dok se iz {c, d} ∈ {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}} i {c, d} = 6 {a} dobija {c, d} = {a, b}, pa iz d 6= c = a i d ∈ {c, d} = {a, b} zakljuˇ cujemo da mora biti d = b. Dakle, a = c i b = d. Prema tome, dva ured¯ena para su jednaka ako su im jednake odgovaraju´ ce koordinate. Iz jednakosti ured¯enih parova moˇ zemo zakljuˇ citi i da vaˇ zi (x, y) = (y, x) ⇔ x = y. ˇ Matematicka logika

– 46 –

Skupovi

Uredena n-torka ¯ Uopˇstenjem pojma ured¯enog para sa n = 2 na bilo koji prirodan broj n, dolazimo do pojma ured¯ene n-torke. Ured¯ena n-torka (x1 , x2 , . . . , xn) elemenata x1 , x2 , . . . , xn definiˇse se induktivno, na slede´ ci naˇ cin: def

(x1 ) = x1 def

(x1 , . . . , xn) = ((x1 , . . . , xn−1 ), xn). Na primer, ured¯ena trojka (a, b, c) je zapravo ured¯eni par ((a, b), c). Za bilo koji k ∈ {1, . . . , n}, element xk se naziva k-ta koordinata ured¯ene n-torke (x1 , . . . , xn). ˇ Matematicka logika

– 47 –

Skupovi

Jednakost uredenih n-torki ¯ Kao i kod ured¯enih parova, za ured¯ene n-torke vaˇ zi Tvrd¯enje 8. Dve ured¯ene n-torke (x1 , . . . , xn) i (y1 , . . . , yn) su jednake ako i samo ako su im jednake odgovaraju´ ce koordinate, tj. x1 = y1 ∧ x2 = y2 ∧ . . . ∧ xn = yn. Dokaz: Ovo tvrd¯enje dokazuje se indukcijom po n. Za n = 1 tvrd¯enje je trivijalno, a u sluˇ caju n = 2 dokazano je u prethodnom tvrd¯enju. Pretpostavimo sada da tvrd¯enje vaˇ zi za neki prirodan broj n − 1 i dokaˇ zimo da vaˇ zi i za n.

ˇ Matematicka logika

– 48 –

Skupovi

Jednakost uredenih n-torki ¯ Zaista, (x1 , x2 , . . . , xn) = (y1 , y2 , . . . , yn) ⇔ ((x1 , . . . , xn−1 ), xn) = ((y1 , . . . , yn−1 ), yn) (definicija ured¯ene n-torke)

⇔ (x1 , . . . , xn−1 ) = (y1 , . . . , yn−1 ) ∧ xn = yn (jednakost ured¯enih parova)

⇔ x1 = y1 ∧ . . . ∧ xn−1 = yn−1 ∧ xn = yn (indukcijska hipoteza).

Ovim je tvrd¯enje dokazano za svaki prirodan broj n.

ˇ Matematicka logika

– 49 –

Skupovi

Dekartov proizvod dva skupa Ako su A i B skupovi, onda se skup svih ured¯enih parova sa prvom koordinatom iz A, a drugom iz B naziva Dekartov, Kartezijev ili direktan proizvod skupova A i B, i oznaˇ cava se sa A × B: def

A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

ˇ Matematicka logika

– 50 –

Skupovi

Dekartov proizvod dva skupa Sam naziv ”Dekartov proizvod” potiˇ ce od pojma ”Dekartov koordinatni sistem” – predstavljanja taˇ caka u ravni ured¯enim parom realnih brojeva. Ako je bilo koji od skupova A i B prazan, tada je po definiciji i njihov Dekartov proizvod A × B prazan. Dekartov proizvod A × A skupa A sa samim sobom oznaˇ cava se sa A2 i naziva Dekartov kvadrat skupa A. Primer: Ako je A = {0, 1} i B = {x, y, z}, onda je A × B = {(0, x), (0, y), (0, z), (1, x), (1, y), (1, z)}; A2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Dekartov proizvod skupova sa m i n elemenata ima mn elemenata. ˇ Matematicka logika

– 51 –

Skupovi

Dekartov proizvod n skupova Dekartov proizvod n skupova A1 , . . . , An, u oznaci

A1 × · · · × An

ili

n Y

Ai ,

i=1

je skup svih ured¯enih n-torki sa koordinatama iz odgovaraju´ cih skupova: def

A1 × · · · × An = {(a1 , . . . , an) | a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An}. Ako je bilo koji od skupova A1 , . . . , An prazan, onda je po definiciji prazan i skup A1 × · · · × An.

ˇ Matematicka logika

– 52 –

Skupovi

Dekartov n-ti stepen ci Dekartov proizvod Ako je A1 = · · · = An = A, onda se odgovaraju´ oznaˇ cava sa An i zove Dekartov n-ti stepen skupa A. Jasno, A1 = A. Ako je A 6= ∅, onda je Dekartov stepen zgodno proˇsiriti (dodefinisati) i za n = 0, na slede´ ci naˇ cin: def

A0 = {∅} U ovoj definiciji je najbitnije da je A0 jednoelementan skup. Jedini element ovog skupa mogli smo oznaˇ citi i nekako drugaˇ cije, ali je uzeta oznaka za prazan skup zbog svoje univerzalnosti.

ˇ Matematicka logika

– 53 –

Skupovi

Familija skupova Neka je dat neprazan skup I, koji ´ cemo nazivati indeksni skup, i neka je svakom elementu i ∈ I pridruˇ zen neki skup Ai. Tada moˇ zemo formirati novi skup {Ai | i ∈ I} tako ˇsto svaki element i u skupu I zamenimo odgovaraju´ cim skupom Ai. Dakle, elementi tog novog skupa su skupovi Ai. Ovako definisan skup nazivamo familija skupova Ai, i ∈ I, indeksirana skupom I, koju takod¯e oznaˇ cavamo i sa {Ai}i∈I . ˇ Matematicka logika

– 54 –

Skupovi

Unija familije skupova ci naˇ cin: Unija familije skupova {Ai | i ∈ I} definiˇse se na slede´ [ [ def Ai = {Ai | i ∈ I} = {x | (∃i ∈ I) x ∈ Ai}. i∈I

Kao ˇsto se vidi sa slike, uniju familije skupova moˇ zemo shvatiti tako kao da smo uklonili opne koje razdvajaju elemente iz razliˇ citih skupova Ai i time sve te elemente objedinili u jedan skup.

ˇ Matematicka logika

– 55 –

Skupovi

Presek familije skupova Presek familije skupova {Ai | i ∈ I} definiˇse se sa: \ \ def Ai = {Ai | i ∈ I} = {x | (∀i ∈ I) x ∈ Ai}. i∈I

Na slici desno prikazan je presek familije {Ai}i∈I , gde je I = {1, 2, 3, 4, 5}.

ˇ Matematicka logika

– 56 –

Skupovi