Skripta signali 3

Digitalne telekomunikacije skripta

Vladimir Milošević Vlado Delić Milan Narandžić Čedomir Stefanović

Univerzitet u Novom Sadu Fakultet tehničkih nauka Katedra za telekomunikacije i obradu signala

The publishing of this script was financed by Austrian Cooperation through WUS Austria within the CDP+ 025/2004 project.

THIS COPY IS NOT FOR SALE

Objavljivanje ove skripte omogućili su Austrian Cooperation i WUS Austria u okviru projekta CDP+ 025/2004.

BESPLATAN PRIMERAK

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

5

SADRŽAJ

1. UVOD 1.1. Opšti model sistema za digitalni prenos signala 1.2. Kodni i modulacioni kanal 2. STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA 2.1. Uvod 2.2. Rešeni zadaci

7 7 8 9 9 15

VEŽBA 1

37

3. KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA

47

3.1. Uvod 3.2. Rešeni zadaci

47 50

VEŽBA 2

67

4. SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE

71

4.1. Uvod 4.2. Rešeni zadaci

71 73

5. LINIJSKO KODOVANJE

81

5.1. Uvod 5.2. Rešeni zadaci

81 83

VEŽBA 3

93

6. PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

95

6.1. Uvod 6.2. Rešeni zadaci

95 99

7. VEROVATNOĆA GREŠKE PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU 7.1. Uvod 7.2. Rešeni zadaci 8. OPTIMIZACIJA PRENOSA U OSNOVNOM OPSEGU 8.1. Uvod 8.2. Rešeni zadaci VEŽBA 4

119 119 121 135 135 137 157

6

SADRŽAJ

VEŽBA 5

163

9. DIGITALNA AMPLITUDSKA MODULACIJA

173

9.1. Uvod 9.2. Rešeni zadaci 10. DIGITALNA FAZNA MODULACIJA 10.1. Uvod 10.2. Rešeni zadaci 11. DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA 11.1. Uvod 11.2. Rešeni zadaci 12. SPEKTRALNO EFIKASNE MODULACIJE 12.1. Uvod 12.2. Rešeni zadaci

173 175 189 189 191 205 205 208 219 219 220

VEŽBA 6

237

13. PRENOS U PROŠIRENOM SPEKTRU

247

13.1. Uvod 13.2. Rešeni zadaci

247 250

VEŽBA 7

261

14. SINHRONIZACIJA

263

14.1. Uvod 14.2. Rešeni zadaci

263 266

VEŽBA 8

275

PRILOG

277 Tablica Q-funkcije

LITERATURA

277 281

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

7

1 UVOD Telekomunikacije je moguće definisati kao proces prenosa poruka od jedne ili većeg broja tačaka - izvora, do drugih, udaljenih tačaka - korisnika poruka. Prenos se vrši posredstvom elektromagnetskih sistema. U zavisnosti od tipa prenošenih signala, razlikuju se analogni i digitalni prenos, odnosno analogne i digitalne telekomunikacije. Digitalni signali mogu biti dvojakog porekla. Izvorno digitalni su oni signali koje generišu digitalni izvori i nazivaju se signali podataka. S druge strane, oni mogu nastati i digitalizovanjem analognih signala - A/D konverzijom; takvi su PCM i DM signali. Bez obzira na poreklo, digitalni signali su slučajni signali, i tretiraju se alatima teorije verovatnoće. Takođe, svaki digitalni signal mora imati neku karakteristiku koja je diskontinualna u vremenu i koja se može opisati konačnim skupom diskretnih vrednosti. Ove vrednosti moguće je numerisati, pa se zato prenos digitalnih signala svodi na prenos brojki, odnosno digita. 1.1

OPŠTI MODEL SISTEMA ZA DIGITALNI PRENOS SIGNALA Blok šema sistema, data na slici 1.a, predstavlja opštu koncepciju prenosa digitalnih signala oba porekla. U tačku A na ulazu kodera dolazi digitalna poruka, predstavljena nizom simbola M-arnog alfabeta.

{bk }

{ak }

s (t )

f (t )

sˆ(t )

{aˆ k }

{bˆk } fˆ (t )

Slika 1.a Opšta blok šema sistema za digitalni prenos signala

Koder, prikazan blok šemom na slici 1.b. vrši višestruku transformaciju informacionog sadržaja signala na digitalnom nivou. Skrembler obezbeđuje transparentnost digitalnog signala, omogućavajući liniji da dobro prenese signale bez obzira na prirodu izvora koji ih generiše. Skremblovanjem se postiže: ⋅ mala fluktuacija gustine jedinica (smanjenje verovatnoće pojave dugog niza nula), što je bitno za uspostavljanje sinhronizacije između predajnika i prijemnika;

8

UVOD

⋅ ravnomernost raspodele spektralne gustine srednje snage digitalnog signala i eliminacija periodičnih (diskretnih) komponenti signala, koje predstavljaju značajan uzrok preslušavanja između kanala.

Slika 1.b Blok šema kodera predajnika

Zaštitni koder povećava redundantnost digitalnog signala dodavanjem neinformacionih bita informacionom sadržaju. Na taj način povećava se otpornost digitalnog signala na uticaj smetnji, odnosno omogućava se detekcija i korekcija pogrešno prenetih simbola. Linijski koder prilagođava spektar digitalnog signala karakteristikama linije veze, odnosno prenosnog medija i obezbeđuje uslove za sinhronizaciju i kontrolu ispravnosti prenosa. Dekoder, prikazan blok šemom na slici 1.c. vrši takođe trostruku funkciju, koja je inverzna funkciji kodera.

Slika 1.c Blok šema dekodera prijemnika

1.2

KODNI I MODULACIONI KANAL Deo telekomunikacionog sistema na slici 1.1. koji obuhvata modulator, liniju veze i demodulator naziva se kodni kanal. Kodni kanal je diskretni, digitalni kanal, jer se na njegovom ulazu i izlazu pojavljuju nizovi simbola (kodne reči). Ukoliko se pretpostavi da je kodni kanal bez memorije (u modulacionom kanalu je prisutan samo šum) moguće ga je opisati matricom transverovatnoća. Kodni kanal je okarakterisan verovatnoćom greške, kao kvantitativnom merom za ocenu kvaliteta prenosa simbola i diskretnih poruka (verovatnoća greške po simbolu, bitu, bloku bita itd.). Na osnovu karakteristika kodnog kanala vrši se izbor metoda zaštitnog kodovanja u cilju smanjenja verovatnoće greške. U primopredajnim uređajima koder i dekoder zajedno čine kodek. Modulacioni kanal je analogni kanal, čija je osnovna funkcija da što vernije prenese signale sa svog ulaza na izlaz. Čini ga linija veze (prenosni medijum) i izvor aditivnih, stohastičkih smetnji (npr. Gausov šum). Kao prenosni putevi najčešće se koriste kablovi, usmerene (mikrotalasne) veze, optički vodovi i radio veze. Ciljevi modulacionog i kodnog kanala su slični: prenos diskretnih poruka, odnosno digitalnih signala uz minimalnu verovatnoću greške. Razlikuju se načini i metode ostvarivanja ovog cilja. Za modulacioni kanal vezuje se izbor talasnih oblika signala, odnosno izbor modulacionog postupka. Vrši se prilagođenje karakteristika signala karakteristikama linije veze i prisutnih smetnji, u cilju što vernijeg prenosa, odnosno što pouzdanije rekonstrukcije primljenog signala. Modulator i demodulator sadržani su u zajedničkom uređaju, modemu. Materija koju obuhvata ova zbirka zadataka se uglavnom odnosi na problematiku modulacionog kanala.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

9

2 STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA 2.1 UVOD 2.1.1 Osnovni elementi teorije verovatnoće Bajesova formula Neka je {H 1 , H 2 ,..., H n } potpun sistem događaja (tj. događaji H i i H j su disjunktni za svako i, j = 1,..., n i i ≠ j , i

∑ P[H i ] = 1 ). Važi: i

P[H k / A] =

P[ A / H k ] ∑ P[A / H i ]P[H i ]

(2.1)

i

2.1.2 Slučajna promenljiva Momenti slučajne promenljive N-ti moment diskretne i kontinualne slučajne promenljive ξ je definisan izrazom:

ξ =∑ n

xin Pξ

( xi ) , i ξ = n

i

∞

∫x

n

pξ ( x)dx

(2.2)

−∞

Prvi moment je statistička srednja vrednost ξ = mξ . N-ti centralni moment diskretne i kontinualne slučajne promenljive ξ je definisan izrazom:

(ξ − ξ ) = ∑ (x − ξ )Pξ ( x ) , i (ξ − ξ )

n

n

i

i

i

∞

=

∫ (x − ξ )pξ ( x)dx

(2.3)

−∞

Drugi centralni moment (n = 2), je varijansa σ ξ2 i predstavlja naizmaničnu snagu, odnosno 2

razliku između ukupne ( ξ 2 ) i jednosmerne snage ( ξ ). Združeni (n+k) - ti centralni moment dve slučajne promenljive, ξ i η , je definisan izrazom:

(

µ nk = ξ − ξ

) (η − η ) n

k

(2.4)

Združeni centralni moment drugog reda dvodimenzionalne slučajne promenljive je kovarijansa: (2.5) µ11 = Kξη 2.1.3 Transformacija gustine verovatnoće Neka su ξ i η dve slučajne promenljive povezane relacijom η = f(ξ). Razlikujemo dva slučaja: 1. Između nove i stare promenljive postoji korespodencija 1:1. Tada je gustina verovatnoće nove promenljive data izrazom:

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

10

pη ( y ) =

pξ ( x ) dy dx

(2.6) x = f −1 ( y )

2. Između nove i stare promenljive postoji korespodencija 2:1. Tada je gustina verovatnoće nove promenljive data izrazom: pη ( y ) =

pξ ( x ) + pξ ( − x ) dy dx

, za y ≤ 0

(2.7)

x = f −1 ( y )

pη ( y ) = 0, za y ≥ 0 .

U opštem slučaju, za slučajne promenljive ξ1 , ξ 2 ,..., ξ N i η1 ,η 2 ,...,η N , koje su povezane jednoznačnim funkcijama: η1 = f1 (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ N ),

η 2 = f 2 (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ N ), ...

η N = f N (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ N ), gustina verovatnoće su povezane izrazom

pη

1,η2 ,...,η N

( y1 , y2 ,..., y N ) = p ξ ,ξ

1 2 ,...,ξ N

(x1 = g1 ( y1 , y2 ,..., y N ),..., x N

= g N ( y1 , y2 ,..., y N )) ⋅ J (2.8)

J je apsolutna vrednost Jakobijana, koji predstavlja determinantu matrice: ∂g N ∂y1 ... ∂g N ... ∂y N

∂g1 ∂y1 J = ... ∂g1 ∂y N

...

(2.9)

U prethodnom postupku, pretpostavljeno je da se slučajne promenljive ξ1 , ξ 2 ,..., ξ N mogu izraziti kao jednoznačne funkcije od η1 ,η 2 ,...,η N :

ξ1 = g1 (η1 ,η 2 ,...,η N ), ξ 2 = g 2 (η1 ,η 2 ,...,η N ), ...

(2.10)

ξ N = g N (η1 ,η 2 ,...,η N ). Suma slučajnih promenljivih Ako je η = ξ1 + ξ 2 i ako je poznata združena gustina verovatnoće promenljivih ξ1 i ξ 2 , pξ1ξ 2 ( x1 , x 2 ) , tada je gustina verovatnoće zbirne slučajne promenljive data izrazom: ∞

pη ( y ) =

∫ pξ1ξ2 ( x1 , y − x1 )dx1

−∞

Ako su ξ1 i ξ 2 nezavisne slučajne promenljive, važi :

(2.11)

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

11

∞

pη ( y ) =

∫ pξ1 ( x1 ) pξ2 ( y − x1 )dx1 ,

(2.12)

−∞

što predstavlja konvoluciju gustina verovatnoća promenljivih koje čine zbir. Srednja vrednost zbira i proizvoda dve slučajna promenljive Srednja vrednost sume i proizvoda dva slučajne promenljive čest je slučaj u telekomunikacijama:

ξ + η = ∫∫ (x + y )pξη (x, y )dxdy = ξ + η

(2.13)

ξ ⋅η = ∫∫ xy ⋅ pξη ( x, y )dxdy

(2.14)

ξη

ξη

Kada su slučajne promenljive ξ i η statistički nezavisne važi:

ξ ⋅η = ξ ⋅η 2.1.4 Karakteristične raspodele Uniformna raspodela Data je izrazom:

⎧ 1 x1 ≤ x ≤ x 2 , ⎪ p ( x) = ⎨ x 2 − x1 ⎪⎩ 0 drugde. Srednja vrednost i varijansa dati su izrazima:

(2.15)

x2 + x1 ( x − x1 ) 2 , iσ 2 = 2 . 2 12 Pokazuje se da je bilo koji tip raspodele, pξ (x ) moguće transformisati u uniformnu

ξ =

raspodelu, formalnim uvođenjem nove slučajne promenljive y = P[ξ ≤ x] , 0 ≤ y ≤ 1 . Transformacijom se dobija uniformna raspodela oblika: ⎧1 0 ≤ y ≤ 1, p( y) = ⎨ (2.16) ⎩0 drugde.

Gausova raspodela Data je izrazom:

p ( x) =

1 2π σ

e

−

( x −m)2 2σ 2

(2.17)

Srednja vrednost i varijansa su jednake m i σ 2 , respektivno.

2.1.5 Slučajni procesi Slučajni proces ξ ( A, t ) (ili kako se još naziva stohastički proces, stokhastikos – zasnovan na pretpostavkama), је funkcija dve promenljive – slučajnog događaja A i vremena. U telekomunikacijama slučajni procesi predstavljaju slučajnu promenu električne veličine (struja ili napon), i nazivaju se često slučajni signali.

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

12

Za određenu realizaciju slučajnog događaja A = Ai , slučajni proces postaje vremenska funkcija ξ ( Ai , t ) = ξ i (t ) . Skup svih mogućih realizacija (tj. vremenskih funkcija) slučajnog procesa se naziva statistički ansambl. Za određeni vremenski trenutak t k , slučajni proces postaje slučajna promenljiva ξ ( A, t k ) = ξ k (tj. vremenski odbirci slučajnog procesa su slučajne promenljive). Konačno, za datu vrednost događaja i dati vremenski trenutak, slučajni proces se svodi na brojnu vrednost.

Stacionarnost slučajnog procesa Slučajni proces je stacionaran ukoliko je gustina raspodele slučajnih promenljivih koje se dobijaju odabiranjem slučajnog procesa ista (tj. ne zavisi od trenutka odabiranja), tj: pξ1 ( x ) = pξ ( x ) za svako t i . Stacionarnost se može posmtrati i u širem smislu. Za slučajni proces se kaže da je stacionaran u širem smislu ukoliko je: 1. stacionaran po srednjoj vrednosti:

ξ k = mξ za svako t i . 2. stacionaran po autokorelaciji:

Rξ (t1 , t 2 ) = ξ1ξ 2 =

∞ ∞

∫ ∫ x1 x2 pξ ( x1 , x2 , t1 , t 2 )dx1dx2 =

−∞ −∞ ∞ ∞

=

∫ ∫ x1 x2 pξ ( x1 , x2 , t 2 − t1 )dx1dx2 = Rξ (τ )

−∞ −∞

gde je τ = t 2 − t1 , tj, Rξ (t1 , t 2 ) zavisi samo od razlike trenutaka posmatranja, a i njihovih konkretnih vrednosti. Srednja vrednost po vremenu i ansamblu - ergodičnost slučajnog procesa Kod stacionarnog ansambla, srednja vrednost po vremenu i ansamblu data je izrazima: 1 T →∞ 2T

f (t ) = lim

T

∫

f (t )dt , ξ =

∞

∫ xpξ ( x)dx

(2.18)

−∞

−T

gde je f (t ) neka realizacija slučajnog procesa, a x odbirak slučajnog procesa u nekom vremenskom trenutku. Ako su ove veličine jednake, ansambl je ergodičan po srednjoj vrednosti (za ergodičnost po srednjoj vrednosti, umesto striktno stacionarnog, može se posmatrati slučajni proces stacionaran samo po srednjoj vrednosti). Vremenska i statistička autokorelacione funkcija stacionarnog ansambla su: 1 ℜ f (τ ) = lim T →∞ 2T

Rξ (τ ) =

T

∫ f (t ) f (t + τ )dt

(2.19)

∫ ∫ x1 x 2 p ξ ( x1 , x 2 ,τ ) dx 1 dx 2

(2.20)

−T

∞ ∞

−∞ −∞

Ukoliko su ove vrednosti jednake, ℜ f (τ ) = Rξ (τ ) , slučajni proces je ergodičan po autokorelaciji (za ergodičnost po autokorelaciji, umesto striktno stacionarnog, može se posmatrati slučajni proces stacionaran samo po autokorelaciji). Kaže se da je slučajan proces ergodičan u širem smislu ukoliko je ergodičan po srednjoj vrednosti i po autokorelaciji.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

13

Slučajni proces je ergodičan ukoliko su sva njegova vremenska usrednjavanja i usrednjavanja po ansamblu jednala. Međukorelaciona funkcija Za ergodične slučajne procese ξ (t ) i η (t ) definiše se međukorelaciona funkcija oblika: 1 ℜ fg (τ ) = f (t ) g (t + τ ) = lim T →∞ 2T

T

∫ f (t ) g (t − τ )dt = R gf (−τ )

(2.21)

−T

gde su f (t ) i g (t ) njihove realizacije, respektivno. Kovarijansa međusobno stacionarnih procesa data je izrazom:

)

(

K ξη (τ ) = f (t ) − f (t ) ( g (t + τ ) − g (t ) + τ ) = Kηξ ( −τ )

(2.22)

Ako realizacije f (t ) i g (t ) pripadaju istom stacionarnom ansamblu, kovarijansa postaje autokovarijansa.

2.1.6 Spektralna gustina snage, Viner - Hinčinova teorema Spektralna gustina srednje snage slučajnog procesa i njegova autokorelaciona funkcija čine Furijeov transformacioni par. S ξ (ω ) =

∞

− jωτ

dτ

∫ Sξ (ω )e

jωτ

∫ Rξ (τ )e

(2.23)

−∞

1 Rξ (τ ) = 2π

∞

dω

(2.24)

−∞

Ako autokorelaciona funkcija i spektralna gustina srednje snage ne zadovoljavaju uslove: ∞

∞

−∞

−∞

∫ R(τ ) dτ < ∞ i

∫ S ξ dω < ∞ ,

uvodi se generalizacija spektralne gustine srednje snage da bi bila u važnosti VinerHinčinova teorema. S ξ (ω ) = S ξ( k ) (ω ) + S ξ( d ) (ω )

(2.25)

gde je prvi član sume kontinualna funkcija i predstavlja spektar slučajne komponente, a drugi član sume diskretna funkcija i predstavlja spektar periodične komponente signala koja je data izrazom: S ξ( d ) (ω ) =

∞

∑ 2π Fn

n = −∞

2

δ (ω − ω 0 )

U poslednjem izrazu Fn

2

(2.26)

predstavlja snagu n-tog harmonika periodične komponente

slučajnog signala. Zbir i proizvod dva stacionarna povezana slučajna procesa Ako je ϕ (t ) = ξ (t ) + η (t ) zbir dva stacionarna povezana slučajna procesa, njegova autokorelacija i spektralna gustina srednje snage date su sledećim izrazima: (2.27) Rφ (τ ) = Rξ (τ ) + Rη (τ ) + Rξη (τ ) + Rηξ (τ ) S φ (ω ) = S ξ (ω ) + Sη (ω ) + S ξη (ω ) + Sηξ (ω )

(2.28)

Ako je ϕ (t ) = ξ (t ) ⋅ η (t ) proizvod dva stacionarno povezana sučajna procesa, njegova autokorelacija i spektalna gustina srednje snage date su sledećim izrazima:

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

14

Rφ (τ ) = Rξ (τ ) ⋅ Rη (τ )

1 Sφ (ω ) = 2π

(2.29)

∞

∫ Sη (λ )Sξ (ω − λ )dλ

(2.30)

−∞

2.1.7 Beli i obojeni šum Beli šum predstavlja stacionaran slučani proces konstantne spektralne gustine srednje snage: N S n (ω ) = p n = 0 , N 0 = const , − ∞ < ω < ∞ (2.31) 2 Njegova autokorelacija data je izrazom: N Rn (τ ) = 0 δ (τ ) (2.32) 2 Propuštanjem belog šuma kroz idealan filtar propusnik niskih učestanosti, granične učestanosti f g , dobija se obojeni šum, čija je autokorelacija data izrazom:

Rn' (τ ) =

N 0ω g sin(ω gτ ) 2

ω gτ

(2.33)

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

2.2 2.2.1

15

ZADACI Posmatra se pojednostavljeni model telekomunikacionog sistema dat na slici (Slika 2.2.1.1). Izvor emituju binarne simbole iz skupa {0,1} , koji se koduju jednostavnim repetitivnim kodom tako što se svaki simbol ponovi pet puta (umesto simbola 0 šalje se sekvenca 00000, odnosno umesto 1 šalje se sekvenca 11111). Apriorne verovatnoće pojavljivanja 0, odnosno 1 su P[i n = 0] = 0.3 i P[in = 1] = 0.7 . Smetnje koje deluju u kanalu utiču na verovatnoću ispravnog prijema simbola, i ona iznosi 0.6 (da nema smetnji verovatnoća ispravnog prijema bi bila 1), pri čemu se smatra da smetnje nezavisno pogađaju simbole kodne reči (kanal bez memorije). Ukoliko je primljena sekvenca 10110, odrediti koji je simbol izvor najverovatnije generisao.

in

xn

ˆn x

) in

Slika 2.2.1.1

Rešenje: Označimo događaje i pridružene verovatnoće opisane tekstom zadatka na sledeći način: ⋅ P[i n = 0] = P[0] = 0.3 , ⋅ P[i n = 1] = P[1] = 0.7 ,

⋅ sa H 1 obežimo događaj da je poslata kodna reč 00000, P[H 1 ] = P[in = 0] = 0.3 ,

⋅ sa H 2 obežimo događaj da je poslata kodna reč 11111, P[H 2 ] = P[in = 1] = 0.7 ,

⋅ P[verovatnoća ispravnog prenosa ] = P[G ] = 0.6 , i

⋅ sa A obeležimo primljenu sekvencu 10110. Na osnovu primljene sekvence A, prijemnik procenjuju koja je kodna reč bila poslata na osnovu toga koja je uslovna verovatnoća veća P[H 1 / A] , odnosno P[H 2 / A] . Nakon toga, dekodovanje informacionog simbola iz kodne reči je trivijalno. Navedene uslovne verovatnoće se mogu izračunati kao: P[H 1 , A] P[H 1 ] ⋅ P[ A / H 1 ] P[H 1 / A] = = ,i P[A] P[ A / H 1 ]P[H 1 ] + P[ A / H 2 ] ⋅ P[H 2 ] P[H 2 / A] =

P[H 2 , A] P[H 2 ] ⋅ P[A / H 2 ] = . P[A] P[ A / H 1 ]P[H 1 ] + P[ A / H 2 ] ⋅ P[H 2 ]

Dalje imamo: P[ A / H 1 ] = P[G ] ⋅ P[G ] ⋅ P[G ] ⋅ P[G ] ⋅ P[G ] = 0.02304 , P[ A / H 2 ] = P[G ] ⋅ P[G ] ⋅ P[G ] ⋅ P[G ] ⋅ P[G ] = 0.03456 , i P[ A] = 0.02304 ⋅ 0.3 + 0.03456 ⋅ 0.7 = 0.031104 .

Na kraju dobijamo: P[H 1 / A] = 0.22 , i

16

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

P[H 2 / A] = 0.78 . Na osnovu dobijenih vrednosti za uslovne verovatnoće, odlučivač na svom izlazu daje simbol 1. Na kraju, dodajmo i to da se tip kanala opisan u ovom zadatku naziva binarni simetrični kanal, i skraćeno obeležava sa BSC (Binary Symmetric Channel). 2.2.2 U jednom binarnom sistemu za prenos podataka na predaji se javlja pozitivni impuls koji odgovara kodnom znaku 1 (događaj H 1 ), i negativni impuls koji odgovara kodnom znaku 0 (događaj H 2 ) sa verovatnoćoma P[H 1 ] = 0.6 i P[H 2 ] = 0.4 . Prijemnik detektuje tri vrste signala:

⋅ pozitivni impuls 1, ⋅ negativni impuls 0, i ⋅ neodređeni impuls E (znak E potiče od engleske reči Erasure, pa se ovakav kanal naziva binarni kanal sa brisanjem, i skraćeno obeležava sa BEC – Binary Erasure Channel). Uslovne verovatnoće dogaaja na prijemu kada su realizovani događaji na predaji su: ⋅ P[0 / H 1 ] = 0.1 , P[E / H 1 ] = 0.1 i P[1 / H 1 ] = 0.8 , i ⋅ P[0 / H 2 ] = 0.8 , P[E / H 2 ] = 0.1 i P[1 / H 2 ] = 0.1 .

Izračunati sledeće verovatnoće na prijemu: a) P[0] , P[1] i P[E ] , b) verovatnoću ispravnog prijema i greške na prijemu, c) ako je primljen pozitivan impuls, kolika je verovatnoća da je impuls na predaji bio negativan odnosno pozitivan, d) ako je primljen negativan impuls, kolika je verovatnoća da je impuls na predaji bio negativan odnosno pozitivan, e) ako je primljen neodređeni impuls, kolika je verovatnoća da je impuls na predaji bio negativan odnosno pozitivan? Rešenje:

a)

P[1] = P[H 1 ] ⋅ P[1 / H 1 ] + P[H 2 ] ⋅ P[1 / H 2 ] = 0.52 ,

P[0] = P[H 1 ] ⋅ P[0 / H 1 ] + P[H 2 ] ⋅ P[0 / H 2 ] = 0.38 , i

P[E ] = P[H 1 ] ⋅ P[E / H 1 ] + P[H 2 ] ⋅ P[E / H 2 ] = 0.1 . b) Obeležimo događaj da je prijem ispravan sa T. P[T ] = P[H 1 ] ⋅ P[1 / H 1 ] + P[H 2 ] ⋅ P[0 / H 2 ] = 0.8 , i

[]

P T = 0 .2 .

c) P[H 1 / 1] = P[H 2 / 1] =

P[H 1 ,1] P[H 1 ] ⋅ P[1 / H 1 ] = = 0.923 , i P[1] P[1]

P[H 2 ,1] P[H 2 ] ⋅ P[1 / H 2 ] = = 0.077 . P[1] P[1]

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

d) P[H 1 / 0] =

P[H 2 ,0] P[H 2 ] ⋅ P[0 / H 2 ] = = 0.842 . P[0] P[0]

P[H 1 / E ] =

P[H 1 , E ] P[H 1 ] ⋅ P[E / H 1 ] = = 0 .6 , i P[E ] P[E ]

P[H 2 / E ] =

2.2.3

P[H 1 ,0] P[H 1 ] ⋅ P[0 / H 1 ] = = 0.158 , i P[0] P[0]

P[H 2 / 0] =

e)

17

P[H 2 , E ] P[H 2 ] ⋅ P[E / H 2 ] = = 0 .4 . P[E ] P[E ]

Data je funkcija f ( x) = k ⋅ x ⋅ e

−

x2 2n

gde su k i n pozitivne konstante.

a) U kom domenu može funkcija f ( x) da predstavlja gustine raspodele verovatnoća (GRV) neke slučajne promenljive? Odrediti relaciju između k i n . b) Izračunati verovatnoću da slučajna promenljiva čija je gustina raspodele f ( x) uzme neku vrednost iz intervala

[

]

2π ,2 π .

c) Napisati izraz za kumulativnu funkciju raspodele i skicirati njen izgled. Rešenje:

a) Da bi f ( x) bila GRV, njene vrednosti moraju biti nenegativne. To je slučaj za x ≥ 0 : ∞

∫k ⋅ x⋅e

−

x2 2 n dx

= kn = 1 .

0

b)

[

2 π

] ∫

P 2π ≤ x ≤ 2 π =

k ⋅ x⋅e

−

x2 2 n dx

2π

=

e −1 . e2

c) x

FX ( x ) = ∫ k ⋅ t ⋅ e

−

t2 2 n dt

= 1− e

−

x2 2n .

0

Slika 2.2.3.1 prikazuje izgled kumulativne funkcije raspodele. FX [x ] 1

x Slika 2.2.3.1

18

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

2.2.4 Na ulazu i izlazu sistema su signali čije su trenutne vrednosti slučajne promenljive X i Y. Odrediti funkciju gustine raspodele verovatnoća slučajne promenljive Y za sve kombinacije funkcija gustine raspodele verovatnoća slučajne promenljive i prenosnih funkcija sistema.

Funkcije gustine raspodele verovatnoća slučajne promenljive X su: 1.

⎧1 x ∈ [0,1], p X ( x) = ⎨ ⎩0 drugde.

p X ( x) =

1

−

x2 2

e . 2π Prenosne funkcije sistema su (pri čemu su a i b pozitivne konstante): 1. y ( x) = ax + b , 2.

2. y ( x) = ax 2 , x < −a, ⎧− ba ⎪ 3. y ( x) = ⎨ bx − a ≤ x ≤ a, ⎪ ba a < x. ⎩ Rešenje:

a) (Kombinacija uniformne raspodele i linearnog sistema.) Pošto je preslikavanje y ( x) = ax + b “1 na 1”, onda je; P[x < X < x + dx ] = P[ y < Y < y + dy ] , p X [x ]dx = pY [ y ]dy , pY [ y ]dy =

p X [x ]dx dy dx

x = f −1 ( y )

⎧1 ⎪ = ⎨a ⎪0 ⎩

b ≤ y ≤ a + b, drugde.

pY [ y ]

p X [x ]

1

1 a 1

x

b

ab

y

Slika 2.2.4.1

b) (Kombinacija uniformne raspodele i nelinearnog sistema.) Preslikavanje y ( x) = ax 2 je prikazano na slici (Slika 2.2.4.2). Na slici se vidi da se dve vrednosti promenljive x preslikavaju u jednu vrednost y, iz čega sledi: P[ y < Y < y + dy ] = P[x1 < X < x 2 + dx ] + P[x 2 < X < x 2 + dx ]

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

pY [ y ] =

p [x ] p X [x ] + X dy dy dx x = x dx x = x 1

Pritom važi

19

(2.2.4.1) 2

y dy = 2ax i x1, 2 = ± . dx a

Kako je uniformna raspodela definisana samo na intervalu [0,1] , preostaje samo član sume iz jednačine (2.2.4.1) za koji je x pozitivno, pa se dobija: ⎡ y⎤ ⎧ 1 pX ⎢ ⎥ a ⎦ ⎪⎪ 2 ay ⎣ =⎨ pY [ y ] = y ⎪ 0 2a ⎪⎩ a

0 ≤ y ≤ a, drugde.

pY [ y ]

y

1 2a x1

x

x2

a

y

Slika 2.2.4.2

c) (Kombinacija uniformne raspodele i linearnog sistema sa zasićenjem.) Pretpostavimo da je a < 1 , u suprotnom bi ova kombinacija u potpunosti svela na slučaj pod a). Za 0 ≤ x < a imamo preslikavanje y ( x) = bx , pa je na osnovu dela zadatka pod a) gustina raspodele verovatnoće; 1 pY [ y ] = , 0 ≤ y < ab . b Za a < x ≤ 1 sve vrednosti x se preslikavaju u istu tačku y ( x) = ba , odakle sledi da je 1

verovatnoća P[Y = ba ] = ∫ p X [x ]dx = 1 − a . Ovu verovatnoću modelujemo pomoću a

δ -impulsa u gustini raspodele smeštenom u tački y = ab , pa na kraju dobijamo: ⎧1 ⎪ + (1 − a)δ ( y − ab) 0 ≤ y ≤ ab, pY [ y ] = ⎨ b ⎪ 0 drugde. ⎩

20

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

y

pY [ y ]

ab

−a

1 b

x

a

(1 − a )δ ( y − ab )

− ab

y

a Slika 2.2.4.3

d) (Kombinacija Gausove raspodele i linearnog sistema). Potpuno analogno načinu na koji rešen deo zadatka pod a) dobijamo: x2

p [x ]dx pY [ y ]dy = X dy dx

=

1 −2 e 2π a

x = f −1 ( y )

− 1 = e 2π a

x=

( y −b )2 2a2

.

y −b a

Vidi se da se prolaskom kroz linearan sistem Gausova raspodela sa nultom srednjom vrednosti i jediničnom varijansom na ulazu transformisala u odgovarajuću Gausovu raspodelu sa srednjom vrednosti b i varijansom a 2 na izlazu. pY [ y ]

p X [x ]

1 2π a

1 2π

x

y

a

Slika 2.2.4.4

e) (Kombinacija Gausove raspodele i nelinearnog sistema.) Analogno delu zadatka pod b), imamo: 1 pY [ y ] =

e

−

x2 2

1

2π 2ax

+ y x =− a

e

−

x2 2

y ⎧ 1 − 2 ⎪ e a = ⎨ 2πay ⎪ 0 ⎩

2π 2ax y x= a

pY [ y ]

y Slika 2.2.4.5

y > 0, drugde.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

21

f) (Kombinacija Gausove raspodele i linearnog sistema sa zasićenjem.) Analogno delu zadatka pod c), dobijamo: y2 ⎧ − 1 2 ⎪ e 2b + Q(a)(δ ( y + ab) + δ ( y − ab) ) − ab ≤ y ≤ ab, ⎪ 2π b pY [ y ] = ⎨ ⎪ 0 drugde. ⎪ ⎩ pri čemu je:

Q(a) =

−a

∫

=∞

1 2π

e

−

x2 2 dx

=

∞

∫ a

1 2π

e

−

x2 2 dx .

pY [ y ] Q ( a )δ ( y + ab )

Q( a )δ ( y − ab )

y Slika 2.2.4.6

2.2.5

U prijemnicima modulisanih signala često se vrši izdvajanje nosioca, koji predstavlja neki sinusoidalni signal amplitude A , kružne učestanosti ω 0 i početne faze ξ . Obično su na mestu prijema poznate vrednosti za amplitudu i kružnu učestanost, dok je početna faza nepoznata. Zato se početna faza može predstaviti slučajnom promenljivom sa uniformnom raspodelom čija je gustina raspodele verovatnoća: ⎧ 1 ⎪ 2π 0 ≤ x ≤ 2π , pξ [x] = ⎨ ⎪ 0 drugde. ⎩ Odrediti GRV slučajne promenljive koja predstavlja trenutnu vrednost nosećeg signala u nekom određenom trenutku t = t1 . Rešenje:

Trenutna vrednost nosioca predstavlja slučajnu promenljivu koju ćemo obeležiti sa Z, Z = A sin(ω0t1 + ξ ) , a trenutni ugao sinusoide ćemo obeležiti sa η , η = ω 0 t1 + ξ . GRV slučajne promenljive Z ćemo odrediti u dva koraka. U prvom ćemo odrediti GRV za η , a zatim iz nje izvesti traženu GRV na osnovu relacije Z = A sin η . Pošto je η = ω 0 t1 + ξ , na osnovu zadatka 2.2.4 pod a) se dobija: ⎧1 ⎪ pη [ y ] = ⎨ 2π ⎪ 0 ⎩

ω 0 t1 ≤ y ≤ ω 0 t1 + 2π , drugde.

22

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

Pošto preslikavanje z = A sin y nije “1 na 1”, poslužićemo se sličnim rezonovanjem kao u zadatku 2.2.4 pod b). Na osnovu slike (Slika 2.2.5.1) se vidi da važi: p Z [z ] =

pη [ y ] dz dy

+ y = y1

pη [ y ] dz dy

, y = y2

pri čemu je; dz z2 2 = A cos y = A 1 − sin y = A 1 − 2 = dy A

A2 − z 2 .

Na kraju se dobija: 1 ⎧ ⎪ 2π + ⎪ ⎪ A2 − z 2 p Z [z ] = ⎨ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎩ 1 ⎧1 ⎪⎪π 2 A − z2 =⎨ ⎪ 0 ⎪⎩

1 2π A2 − z 2

0 ≤ z ≤ A,

drugde. 0 ≤ z ≤ A, drugde.

p Z [z ]

z

ω0t1 + 2π

ω0t1 y1

y2

y

1 Aπ −A

A z

Slika 2.2.5.1

2.2.6 Na ulazu u radio prijemnik superponiraju se dva sinusoidalna signala jediničnih amplituda i kružne učestanosti ω 0 , a slučajne fazne razlike koja je uniformno raspodeljena u intervalu [0,2π ] . Odrediti i nacrtati GRV slučajne promenljive koja predstavlja anvelopu signala na ulazu. Izračunati verovatnoću da anvelopa ulaznog signala bude manja od polovine amplituda pojedinih komponenti. Rešenje:

Na ulazu radio prijemnika je signal: x ⎛ x⎞ s (t ) = sin(ω0t ) + sin(ω0t + x) = 2 cos sin ⎜ ω0t + ⎟ . 2 ⎝ 2⎠

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

23

x Slučajna promenljiva koja predstavlja anvelopu na ulazu je y = 2 cos . 2 Ovo preslikavanje je jednoznačno na intervalu [0,2π ] , pa sledi:

pY [ y ]dy =

p X [x ]dx dy dx

. x = f −1 ( y )

Slično kao i u zadatku 2.2.5, važi: dy x x y2 = sin = 1 − cos 2 = 1 − , 2 2 4 dx pa se konačno dobija: 1 ⎧ ⎪⎪ 2 pY [ y ] = ⎨ 2π 1 − y 4 ⎪ ⎪⎩ 0

− 2 ≤ y ≤ 2, drugde.

⎡ 1 1⎤ Verovatnoća da je anvelopa u intervalu ⎢− , ⎥ (polovina amplituda pojedinih ⎣ 2 2⎦ komponenti) je:

P[Y < 0.5] =

1 2

1

1 2

∫1 pY ( y )dy = 2π ∫1

−

−

2

2

1 1−

y2 4

1⎛ 1 1⎞ ⎜ arcsin − arcsin ⎟ = 0.16 . 4 4⎠ π⎝

dy =

pY [ y ]

y

π

2π

x

1 2π −2

2

y

Slika 2.2.6.1

2.2.7

Odrediti GRV zbira dve nezavisne slučajne promenljive Y = X 1 + X 2 u opštem slučaju. ⎡ 1 1⎤ Ako su X 1 i X 2 uniformno raspodeljene u intervalu ⎢− , ⎥ , skicirati GRV slučajne ⎣ 2 2⎦ promenljive Y. Rešenje:

Da bismo rešili zadatak, uvedimo pomoćnu slučajnu promenljivu Z = X 2 . Odgovarajuća inverzna preslikavanja su: x1 = g1 ( y, z ) = y − z ,

24

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

x2 = g 2 ( y , z ) = z . Jakobijan je: ∂g1 J = ∂y ∂g1 ∂z

∂g 2 ∂y = 1 0 = 1 . ∂g 2 − 1 1 ∂z

Sledi: pY [ y ] = =

∞

∞

−∞

−∞

∫ p X1, X 2 [g1 ( y, z), g 2 ( y, z )] J dz =

∫ p X [g1 ( y, z)]p X [g 2 ( y, z )]dz 1

2

∞

∫ p X [y − z ]p X [z ]dz

−∞

1

2

= p X1 [ y ] * p X 2 [ y ].

Vidi se da je GRV zbira dve nezavisne slučajne promenljive konvolucija njihovih GRV. Na osnovu ovoga je lako pokazati da je GRV zbira dve nezavisne uniformno raspodeljene slučajne promenljive jednaka u stvari dobro poznata konvolucija dva pravougaona impulsa: ⎧ 0 ⎪ pY [ y ] = ⎨1 − y ⎪ 0 ⎩

y < −1, − 1 ≤ y ≤ 1, 1 < y.

Slika 2.2.7.1 prikazuje skicu ove GRV. pY [ y ] 1

1 y

−1 Slika 2.2.7.1

2.2.8 Na ulazu idealnog kvantizera sa dva nivoa kvantizacije čija je karakteristika data na slici (Slika 2.2.8.1) deluje stacionarni normalni statistički proces X (t ) , čija je srednja vrednost

nula, a varijansa σ X2 .Potrebno je odrediti: a) Srednju vrednost kvadrata razlike ε 2 statističkih procesa X (t ) i Y (t ) , pri čemu je Y (t ) statistički proces na izlazu iz kvantizera. b) Optimalnu vrednost praga kvantizacije pri kojoj je ε 2 minimalno, kao i samu 2 . vrednost ε min

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

25

y

a

x −a Slika 2.2.8.1

Rešenje:

a) GRV procesa na ulazu i izlazu kvantizera su (vidi zadatak 2.2.4 pod f), uz razliku da u ovom slučaju da linearna zona na karakteristici ne postoji): −

1

p X ( x) =

2πσ X

e

x2 2σ 2X

,i

1 1 pY ( y ) = δ ( y + a ) + δ ( y − a ) . 2 2 Srednja vrednost kvadrata razlike slučajnih procesa X (t ) i Y (t ) je:

[

] [ ]

[ ]

ε 2 = E ( X − Y )2 = E X 2 − 2 E[ XY ] + E Y 2 ,

[ ] E [Y ] = ∫ y

E X 2 = σ X2 , ∞

2

2

pY ( y )dy =

−∞

E [ XY ] =

1 1 (−a) 2 + a 2 = a 2 , i 2 2

∞ ∞

∞ ∞

−∞ −∞

−∞ −∞

∫

∫ xyp XY ( x, y)dydx =

∫ ∫ xyp X / Y ( x / y) pY ( y )dxdy .

Poslednju vrednost ćemo izračunati na sledeći način. Slučajni proces Y (t ) može uzeti samo dve vrednosti, − a i a . Kada je Y = −a , važi: ⎧2 p ( x) − ∞ < x < 0, p X / Y [x / y = − a ] = ⎨ X drugde. ⎩ 0 Kada je Y = a , važi: ⎧ 2 p ( x ) 0 < x < ∞, p X / Y [x / y = a ] = ⎨ X drugde. ⎩ 0 Dalje je:

26

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

E [ XY ] =

∞ ∞

∫ ∫ xyp X / Y ( x / y) pY ( y)dxdy

−∞ − ∞

=

0 ∞

∫

∞ ∞

∫ xyp X / Y ( x / y) pY ( y)dxdy + ∫

−∞ − ∞

0 −∞

0

= 2⋅

∫ xyp X / Y ( x / y) pY ( y)dxdy ∞∞

0

1 1 xyp X ( x)δ ( y + a)dxdy + 2 ⋅ ∫ ∫ xyp X ( x)δ ( y − a)dxdy ∫ ∫ 2 −∞ −∞ 200 ∞

0

∞

∞

= −a ∫ xp X ( x)dx + a ∫ xp X ( x)dx = 2a ∫ xp X ( x)dx =2a ∫ x −∞

0

0

0

1 2π σ X

−

e

x2

2σ 2X

dx.

Konačno se dobija: aσ X , E [ XY ] = 2 2π pa je:

ε 2 = σ X2 − 4a

σX + a2 . 2π

b) Optimalnu vrednost praga kvantizacije dobijamo za minimalno ε 2 :

σ dε 2 = −4 X + 2a = 0 , da 2π a=2

σX , 2π 2

ε =σ 2

2 X

2

⎛ σ ⎞σ ⎛ σ ⎞ ⎛σ ⎞ 2⎞ ⎛ − 4⎜⎜ 2 X ⎟⎟ X + ⎜⎜ 2 X ⎟⎟ = σ X2 − 2⎜⎜ X ⎟⎟ = σ X2 ⎜1 − ⎟ . 2π ⎠ 2π ⎝ 2π ⎠ ⎝ π⎠ ⎝ ⎝ 2π ⎠

2.2.9 Dat je slučajni proces z (t ) = X cos(ω0t ) − Y sin(ω0t ) gde su X i Y dve statistički nezavisne kontinualne slučajne promenljive čija su matematička očekivanja jednaka nuli, a varijansa su im takođe jednake i iznose σ 2 . Pokazati da je slučajni proces z (t ) stacionaran u širem smislu ako je ω 0 konstantna kružna učestanost. Rešenje:

Po uslovu zadatka imamo: E[X ] = E[X ] = 0 ,

[ ] [ ]

E X 2 = E Y2 =σ 2,

E [ XY ] = E [ X ]E[Y ] = 0 . Očekivana vrednost slučajnog procesa je: E [z (t )] = E [X cos(ω0t ) − Y sin(ω0t )] = E[ X cos(ω0t )] − E[Y sin(ω0t )]

= E [X ] cos(ω0t ) − E[Y ]sin(ω0t ) = 0.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

27

Autokorelacija je: R zz (t1 , t1 ) = E [z (t1 ) z (t 2 )] = E [( X cos(ω 0 t1 ) − Y sin(ω 0 t1 ) )( X cos(ω 0 t 2 ) − Y sin(ω 0 t 2 ) )]

[

]

= E X 2 cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) −

− E [ XY (cos(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) + cos(ω 0 t 2 ) sin(ω 0 t1 ) )] +

[ ] = E [X ]cos(ω t ) cos(ω t ) + E [Y ]sin(ω t ) sin(ω t ) + E Y 2 sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) 2

2

0 1

0 2

0 1

0 2

= σ (cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) ) = σ 2 cos(ω 0 (t 2 − t1 ) ) 2

= σ 2 cos(ω 0τ ). Pošto ni srednja vrednost ni autokorelacija slučajnog procesa ne zavise od trenutka posmatranja, slučajni proces z (t ) je stacionaran u širem smislu. 2.2.10 Odrediti autokorelacione funkcije slučajnih procesa:

y (t ) = x(t ) cos(ω0t ) , z (t ) = x(t ) cos(ω0t + θ ) , gde je x(t ) slučajni proces stacionaran u širem smislu sa poznatom autokorelacionom funkcijom Rxx (τ ) , θ je slučajna promenljiva uniformno raspodeljena u intervalu [−π , π ) i nezavisna od x(t ) , a ω0 je konstanta. Ispitati stacionarnost u širem smislu slučajnih procesa y (t ) i z (t ) . Odrediti njihove spektralne gustine snage ako je: R xx (τ ) = A 2 e

−α τ

,

pri čemu su A i α pozitivne konstante. Rešenje:

Pošto važi: E [ y (t )] = E [x(t ) cos(ω0t )] = E [x(t )] cos(ω0t ) , vidi se da proces y (t ) nije stacionaran u širem smislu. Njegova autokorelacija je: R yy (t , t + τ ) = E[x(t ) cos(ω 0 t )x(t + τ ) cos(ω 0 (t + τ ))]

1 R xx (τ )(cos(2ω 0 t + ω 0τ ) + cos(ω 0τ )). 2 Za proces z (t ) važi: =

π

E [z (t )] = E[x(t ) cos(ω 0 t + θ )] = E [x(t )]E [cos(ω 0 t + θ )] = E [x(t )] ∫ cos(ω 0 t + θ )pθ (θ )dθ −π

π

= E[x(t )] ∫ cos(ω 0 t + θ ) −π

1 1 π dθ = E[x(t )]sin (ω 0 t + θ ) −π = 0, 2π 2π

R zz (t , t + τ ) = E [x(t ) cos(ω 0 t + θ )x(t + τ ) cos(ω 0 (t + τ ) + θ )] 1 R XX (τ )E [cos(ω 0 (2t + τ ) + 2θ ) + cos(ω 0τ )] 2 1 1 = R XX (τ ) cos(ω 0τ ) + R XX (τ )E[cos(ω 0 (2t + τ ) + 2θ )]. 2 2

=

28

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

Važi: E [cos(ω0 (2t + τ ) + 2θ )] =

π

1

1 1 π sin (ω0 (2t + τ ) + 2θ ) −π = 0 , 2

∫ cos(ω0 (2t + τ ) + 2θ ) 2π dθ = 2π

−π

odakle sledi: 1 Rxx (τ ) cos(ω0τ ) = Rzz (τ ) , 2 pa je slučajni proces z (t ) stacionaran u širem smislu. Rzz (t , t + τ ) =

Spektralna gustina snage slučajnog procesa z (t ) je (Viner-Hinčinova teorema): S zz ( f ) =

∞

∫ Rzz (τ )e

− j 2πfτ

−∞

∞

1 R xx (τ ) cos(ω 0τ )e − j 2πfτ dτ 2 −∞

dτ = ∫

∞

1 −α τ cos(2πf 0τ )e − j 2πfτ dτ = ∫ A2e 2 −∞ =

A2 2

0

− j 2πfτ ατ ∫ e cos(2πf 0τ )e dτ +

−∞

∞

A 2 −ατ e cos(2πf 0τ )e − j 2πfτ dτ . 2 ∫0

Potrebno je izračunati odgovarajuće integrale. Npr. za drugi integral sa leve strane se dobija: ∞

∫e

−ατ

cos(2πf 0τ )e

− 2πfτ

∞

dτ = ∫ e

0

−ατ

0

e j 2πf0τ + e − j 2πf0τ − j 2πfτ e dτ 2

∞

∞

1 1 = ∫ e −ατ e j 2πf 0τ e − j 2πfτ dτ + ∫ e −ατ e − j 2πf 0τ e − j 2πfτ dτ . 20 20 ∞

∞

∞

1 (−α − j 2π ( f − f0 ))τ 1 e dτ + ∫ e (−α − j 2π ( f + f0 ))τ dτ ∫ 20 20

−ατ − 2πfτ ∫ e cos(2πf 0τ )e dτ = 0

=

1 e −(α + j 2π ( f − f0 ))τ − 2(α + j 2π ( f − f 0 ))

+

1 e −(α + j 2π ( f + f 0 ))τ ( ( ) ) − 2 α + j 2π f + f 0

=

1

2(α + j 2π ( f − f 0 ))

+

∞ 0

+

∞ 0

1

2(α + j 2π ( f + f 0 ))

.

Na sličan način se može pokazati da je prvi integral: 0

∫e

−∞

ατ

cos(2πf 0τ )e − 2πfτ dτ =

1

2(α − j 2π ( f − f 0 ))

+

1

2(α − j 2π ( f 0 + f ))

Uvrštavanjem izračunatih integrala u početnu jednačinu se dobija:

.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

29

⎛ ⎞ 1 1 ⎜⎜ ⎟⎟ + + ⎝ 2(α + j 2π ( f − f 0 )) 2(α + j 2π ( f + f 0 )) ⎠ ⎞ 1 1 A2 ⎛ ⎜⎜ ⎟ + + 2 ⎝ 2(α − j 2π ( f − f 0 )) 2(α − j 2π ( f 0 + f )) ⎟⎠

A2 2

S zz ( f ) =

⎞ ⎛ 2α 2α ⎟ ⎜ + ⎜ α 2 − (ω − ω )2 α 2 − (ω + ω )2 ⎟ 0 0 ⎠ ⎝ ⎞ αA 2 ⎛⎜ 1 1 ⎟. = + 2 ⎜⎝ α 2 − (ω − ω 0 )2 α 2 − (ω + ω 0 )2 ⎟⎠

A2 4

=

2.2.11 Odrediti spektralnu gustinu snage slučajnog procesa y (t ) , na izlazu linearnog sistema prikazanog na slici (Slika 2.2.11.1), ako na ulaz ovog sistema deluje stacionaran slučajni proces x(t ) čija je spektralna gustina snage S yy ( f ) . y (t )

x(t )

Slika 2.2.11.1

Rešenje:

Važi: y (t ) = x(t ) + x(t − T ) , odnosno, impulsni odziv sistema je: h(t ) = δ (t ) + δ (t − T ) , a njegova prenosna karakteristika je: H(f ) =

∞

∫ h(t )e

− 2πft

dt =

−∞

∞

∫ (δ (t ) + δ (t − T ))e

− j 2πft

dt = 1 + e − j 2πfT ,

−∞

H ( f ) = 1 + e − j 2πfT 2

2

(

= e − jπfT e jπfT + e − jπfT

)

2

= 4 cos 2 (πfT ) = 2(1 + cos(2πfT )) ,

a spektralna gustina snage je:

S yy ( f ) = H ( f ) S xx ( f ) = 2(1 + cos(ωT ))S xx ( f ) . 2

2.2.12 Za slučajni proces x(t ) = A cos(ω0t + θ ) , gde je θ slučajna promenljiva sa uniformnom raspodelom u intervalu [− π , π ) , dok su A i ω0 konstante. Odrediti srednju vrednost i autokorelacionu funkciju x(t ) na sledeće načine:

a) usrednjavanjem po ansamblu, b) usrednjavanjem po vremenu. Rešenje:

a) Na osnovu zadatka 2.2.10 sledi:

30

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

E [x(t )] = E[ A cos(ω0t + θ )] = 0 ,

R xx (t , t + τ ) = E [A cos(ω 0 t + θ )A cos(ω 0 (t + τ ) + θ )] = A 2 E [cos(ω 0 t + θ ) cos(ω 0 (t + τ ) + θ )]

A2 = cos(ω 0τ ). 2 b) Usrednjavanje po vremenu za srednju vrednost daje: 1 T →∞ 2T

x(t ) = lim

T

1 A

(sin(ω 0T + θ 0 ) − A sin (− ω0T + θ 0 )) ∫ A cos(ω0 t + θ 0 )dt = Tlim →∞ 2T ω 0

−T

= 0. Limes je jednak 0, jer je razlika dve sinusne funkcije ograničena na interval [− 2,2] , a vreme T koje je u imeniocu teži ka beskonačno velikim vrednostima. Autokorelacija po vremenu je: 1 T →∞ 2T

ℜ xx (t , t + τ ) = lim

1 T →∞ 2T

= lim

∫ x(t ) x(t + τ )dt =

−T T

∫ A cos(ω0t + θ 0 )A cos(ω0 (t + τ ) + θ 0 )dt

−T

2 T

A T →∞ 4T

= lim

T

∫ (cos(ω0 (2t + τ ) + 2θ 0 ) + cos(ω0τ ))dt

−T

T ⎛T ⎞ ⎜ cos(ω 0 (2t + τ ) + θ 0 )dt + cos(ω 0τ )dt ⎟ ∫ ⎜∫ ⎟ −T ⎝ −T ⎠ A (sin (ω 0 (2T + τ ) + θ 0 ) − A sin (ω0 (− 2T + τ ) + θ 0 )) + = lim T →∞ 8Tω 0

A2 = lim T →∞ 4T

A2 + lim cos(ω 0τ ) ⋅ 2T T →∞ 4T A2 = cos(ω 0τ ). 2 Prvi limes sa desne strane je jednak 0 (važe ista razmatranja kao i kod izračunavanja srednje vrednosti po vremenu). Kod drugog limesa podintegralna funkcija cos(ω0τ ) ne zavisi t (promenljive po kojoj se integrali), pa se za vrednost integrala dobija 2T i vrednost limesa je različita od nule. Poređenjem rezultata dobijenih pod a) i pod b), vidi se da je slučajni proces x(t ) ergodičan po srednjoj vrednosti i po autokorelaciji, jer obe metode usrednjavanja daju iste rezultate.

2.2.13 Da li je slučajni proces z (t ) = x(t ) + Y ergodičan po srednjoj vrednosti ako je x(t ) ergodičan slučajni proces, a Y slučajna promenljiva nezavisna od x(t ) ? Rešenje:

Srednja vrednost x(t ) po ansamblu je:

E [z (t )] = E[x(t ) + Y ] = E [x(t )] + E[Y ] = E [x(t )] + mY ,

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

31

gde smo sa mY obeležili srednju vrednost slučajne promenljive Y. Srednja vrednost x(t ) po vremenu je: 1 T →∞ 2T

T

z (t ) = lim

∫ (x(t ) + Y0 )dt = ~x (t ) + Y0 = E[x(t )] + Y0 ,

−T

gde smo sa Y0 obeležili neku realizaciju slučajne promenljive Y. Kako se u opštem slučaju srednja vrednost slučajne promenljive Y i vrednost neke njene realizacije razlikuju, sledi da slučajni proces z (t ) nije ergodičan po srednjoj vrednosti (a samim tim nije ni ergodičan). 2.2.14 Neka je kružna učestanost slučajnog procesa slučajna promenljiva ω , čija je gustina raspodele verovatnoće parna funkcija p(ω ) . Naći spektralnu gustinu snage ergodičnog slučajnog procesa x(t ) = a cos(ωt + θ ) ako je a = const , a θ slučajna promenljiva ravnomerno raspodeljena na intervalu [− π , π ) i statistički nezavisna od ω . Rešenje:

Autokorelacija slučajnog procesa x(t ) je: R xx (t , t + τ ) = E[x(t )x(t + τ )]

= E[a cos(ωt + θ )a cos(ω (t + τ ) + θ )]

a2 E [cos(2ωt + ωτ + 2θ ) + cos(ωτ )] 2 a2 = (E[cos(2ωt + ωτ ) cos(2θ )] − E[sin (2ωt + ωτ )sin (2θ )] + E[cos(ωτ )]) 2 a2 (E[cos(2ωt + ωτ )]E[cos(2θ )] − E[sin (2ωt + ωτ )]E[sin (2θ )] + E[cos(ωτ )]). = 2 Na sličan način kao u zadatku 2.2.10, može se pokazati da važi E [cos(2θ )] = E[sin (2θ )] = 0 , pa se gornji izraz svodi na: =

a2 a2 Rxx (t , t + τ ) = E[cos(ωτ )] = 2 2

∞

∫ cos(ωτ ) p(ω )dω = Rxx (τ )

(2.2.14.1)

=∞

Na osnovu Viner-Hinčinove teoreme sledi: S xx (ω ) =

∞

∫ Rxx (τ )e

− jωτ

dτ ,

=∞

odnosno: Rxx (τ ) =

1 2π

∞

jωτ ∫ S xx (ω )e dω =

=∞

1 2π

∞

∫

=∞

S xx (ω ) cos(ωτ )dω + j

1 2π

∞

∫ S xx (ω ) sin(ωτ )dω .

=∞

Ako uporedimo poslednji izraz sa izrazom (2.2.14.1), uz uslov da je p(ω ) parna funkcija, dobija se da je: S xx (ω ) = a 2πp(ω ) .

32

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

2.2.15 Odrediti i skicirati autokorelaciju belog Gausovog šuma (AWGN – Additive White Gaussian Noise), čija je spektralna gustina snage konstantna u čitavom opsegu N učestanosti (Slika 2.2.15.1) i jednaka 0 . 2 Sn ( f

)

N0 2 f Slika 2.2.15.1

Rešenje:

Na osnovu Viner-Hinčinove teoreme, važi: Rn (t ) =

∞

∫ S n ( f )e

j 2πft

df =

=∞

∞

∫

=∞

N 0 j 2πft N e df = 0 2 2

∞

∫e

j 2πft

df =

=∞

N0 δ (t ) . 2

Slika 2.2.15.2 prikazuje autokorelaciju AWGN-a. Rn (t ) N0 2 t Slika 2.2.15.2

2.2.16 U kanalu koji koristi opseg učestanosti B = 4 kHz deluje beli Gausov šum čija je 1 spektralna gustina srednje snage pn = N 0 ; N 0 = 10 −12 W/Hz. 2

a) Odrediti verovatnoću da je amplituda šuma veća od U 0 , P[ n > U o ] = ? , pri čemu je U 0 = 0,3 mV. b) P[| n| < σ ] = ? . c) P[| n |< 2σ ] = ? .

σ je efektivna vrednost napona šuma. Rešenje:

Gustina raspodele verovatnoće amplituda Gausovog šuma je: −

f ( n) =

n2 2σ n2

e , 2π σ n

( n(t ) = 0 ) pa se njegova varijansa svodi na srednju kvadratnu vrednost: 2

σ n2 = n 2 (t ) − n(t ) = n 2 (t ) ⇒ Pn ≡ σ n2 .

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

33

Spektralna gustina srednje snage belog šuma je p n = const pa je snaga belog šuma ograničena samo propusnim opsegom kanala H ( f ) . Ako je on idealan NF filtar, jediničnog pojačanja u propusnom opsegu B, onda je ta srednja snaga: Pn =

∞

∫

B

∫ pn1 df

pn | H ( jf ) |2 df =

2

−∞

= 2 pn B = N 0 B = 4 ⋅ 10 −9 W .

−B

Za izračunavanje traženih verovatnoća potrebno je izračunati σ n :

σ n = 6,32 ⋅ 10 −5 V = 0,063 mV . ∞ −

1

2π σ n U∫o

P[n > U o ] =

e

n2 2σ n2 dn .

Vrednosti ovakvih integrala se očitavaju iz tablica tzv. komplementarne funkcije greške (erfc), ili iz tablica Q funkcije (vidi prilog). Tablice su obično date za normalizovanu Gausovu raspodelu ( σ n = 1), zato se uvodi smena: x=

n

σn

, pa je:

a) 1 2π

P[n > U 0 ] =

∞

∫e

−

x2 2 dx

Uo / σ n

⎡U ⎤ = Q⎢ 0 ⎥ , ⎣σ n ⎦

P[n > U 0 ] = Q(4,76) ≅ 10 −6. b)

P[− σ n < n < σ n ] = 1 − 2P[n > σ n ] = 1 − 2Q(1)= 0,68 . (Sa verovatnoćom 68% šum će biti manji po apsolutnoj vrednosti od svoje efektivne vrednosti).

c) P[−2σ n < n < 2σ n ] = 1 − 2 ⋅ Q(2) = 0,95 . 2.2.17 Na ulazu idealnog pojasnog filtra prikazanog na slici (Slika 2.2.17.1) se nalazi aditivni N beli Gausov šum n(t ) , konstantne spektralna gustina snage koja je jednaka 0 . Dobijeni 2 uskopojasni šum nakon filtriranja se može predstaviti izrazom:

nu (t ) = nc (t ) cos(ωc t ) − ns (t ) sin (ωc t ) , gde su nc (t ) i ns (t ) komponente šuma u fazi, odnosno u kvadraturi. Pri tome se može smatrati da su nc (t ) i ns (t ) nezavisni procesi sa jednakim srednjim snagama i autokorelacijama, a njihove spektralne gustine snage su konstantne i različite od 0 u opsegu [− B, B ] . a) Pokazati da važi: t+

nc (t ) ≅

2 T

T 2

∫Tnu (u ) cos(ωcu )du , i

t−

2

34

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA t+

ns (t ) ≅

2 T

T 2

∫Tnu (u )sin (ωcu )du ,

t−

pri čemu je

2

1 1 > subplot (122),gaus_cdf ( mean_u,var_u )

Grafik 1.2. 2.2. Naznačiti vrednosti na horizontalnoj osi gde pdf ima maksimalnu vrednost i gde je cdf jednaka 0.5. Uporediti ove vrednosti sa srednjom vrednošću Gausove raspodele. 2.3. Odrediti sledeće verovatnoće : P(0 clf >> m = 1; gaus_pdf (m,0.5) >> axis ( [ -10 10 0 0.6 ] ),hold on >> gaus_pdf (m,1) … >> gaus_pdf (m,10)

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

41

Pitanje 1.1. Ako pretpostavimo događaj A : 0 clf >> m = 1; gaus_cdf (m,10) >> axis ( [ -10 10 0 1 ] ),hold on >> gaus_cdf (m,1) … >> gaus_cdf (m,10) a) Da li možete pretpostaviti granični oblik cdf kada σ 2 → 0 ? Prikaz cdf za malu vrednost σ 2 može pomoći pri odgovaranju na postavljeno pitanje: >> gaus_cdf (m,0.00001) b) Šta znači imati raspodelu verovatnoća sa vrlo malom varijansom? Prikaz odgovarajuće pdf pomaže da bolje ilustrujemo ovo pitanje: >> clf >> gaus_pdf (m,0.00001) >> axis ( [ 0 2 0 200 ] ) c) Ako u poslednjem koraku uzmemo uniformno raspodeljenu slučajnu promenljivu sa srednjom vrednošću µ i varijansom 0.0001, da li će se rezultujuća funkcija pdf promeniti? 2.6. Da bi utvrdili efekte promene srednje vrednosti µ∈{-4,-1,2,5} na pdf Gausove raspodele, njenu varijansu, σ², držaćemo konstantnom: >> clf >> s = 1; gaus_pdf (-4,s) >> axis ( [ -8 8 0 0.5 ] ), hold on >> gaus_pdf (-1,s) … >> gaus_pdf (5,s) a) Šta sada zapažate: kakav je uticaj promene srednje vrednosti µ ? b) Neka je X (µ, σ²) slučajna promenljiva sa normalnom raspodelom X ( µ,σ²) ∼ N ( µ,σ²). Uporediti vrednosti P(-5< X(-4,1) x = gauss (-5,1,100); >> y = gauss (0,1,100); >> z = gauss (5,1,100); >> clf >> plot (x) >> axis ( [ 1 100 -10 10 ] ), grid on, hold on >> plot (y) >> plot (z) Da li je moguće konstatovati da srednja vrednost Gausove slučajne promenljive utiče na jednosmerni nivo talasnog oblika (sekvence)? 3.2. Generisati slučajne sekvence na osnovu Gausovih raspodela sa različitim vrednostima varijanse: >> a = gauss (0,4,100); >> b = gauss (0,1,100); >> c = gauss (0,0.5,100); >> d = gauss (0,0.01,100); >> clf >> subplot (221), plot(a), axis ( [ 1 100 -10 10 ] ) >> subplot (222), plot(b), axis ( [ 1 100 -10 10 ] ) >> subplot (223), plot(c), axis ( [ 1 100 -10 10 ] ) >> subplot (224), plot(d), axis ( [ 1 100 -10 10 ] ) Koristeći MATLAB funkcije mean i var odrediti srednju vrednost i varijansu svake sekvence, i dobijene podatke uneti u tabelu 1.3. Odrediti srednju kvadratnu vrednost svakog signala koristeći dobijene vrednosti srednje vrednosti i varijanse. Proveriti rezultate korišćenjem funkcije meansq. sekvenca

srednja vrednost

varijansa

srednja kvadratna vrednost

a b c Tabela 1.3 Pitanje 1.2. Ako talasni oblici iz ovog primera predstavljaju šum, koji bi od njih uneo najmanje smetnji vašem komunikacionom sistemu? Ako prikazani talasni oblici predstavljaju korisne signale bez prisutnog šuma, koji biste upotrebli za prenos informacije i zašto? SLUČAJNI PROCESI 4) Stacionarnost u širem smislu i ergodičnost 4.1 Generisati sve četiri realizacije slučajnog procesa X (θ,t) opisanog u pripremnom zadatku P3.2 i prikazati prvih 400 uzoraka svake realizacije. >> x = realize ( [ 0 pi/2 pi 3*pi/2 ] ); >> subplot (221),waveplot (x(1,1:400)); >> subplot (222),waveplot (x(2,1:400));

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

43

>> subplot (223),waveplot (x(3,1:400)); >> subplot (224),waveplot (x(4,1:400)); a) Odrediti vrednosti svake realizacije slučajne promenljive X (θ,t) za trenutke t = 0, 0.5, 1.25, 2.2, 3.4 ms. Za svako t izračunati srednju vrednost po ansamblu i srednju kvadratnu vrednost po ansamblu

time [ ms ] 0.0

0.5

1.25

2.2

3.4

X (θ1,t) X (θ2,t) X (θ3,t) X (θ4,t) E[X (θ,t)] E[X² (θ,t)] Tabela 1.4. 4.2. Koristeći funkciju ecorr odrediti autokorelacionu funkciju Rx( t1,t2) za vrednosti t1 i t2 iz tabele 1.5. >> ecorr (x, t1, t2)

t1

t2

0.0

0.7

1.9

2.6

0.0 0.7 1.9 2.6 Tabela 1.5. Pitanje 1.3. Zašto su vrednosti u tabeli 1.5 simetrične? Zašto su Rx(1.9, 2.6) i Rx(0.7, 0) jednake? Kako bi izračunali Rx(t1,t2) sa grafika koji su generisani u zadatku 4.1? 4.3. Odrediti vremenske srednje vrednosti za X (θ,t) i X²(θ,t) za svaku vrednost θ. Rezultate uneti u tabelu 1.6. >> [ mean ( x ( 1,:) ) meansq ( x(1,:) ) ]

44

VEŽBA 1

>> [ mean ( x(2,:) ) meansq ( x(2,:) ) ] >> [ mean ( x(3,:) ) meansq ( x(3,:) ) ] >> [ mean ( x(4,:) ) meansq ( x(4,:) ) ]

θ

X (θ,t)

X²(θ,t)

θ1 θ2 θ3 θ4 Tabela 1.6. Uporediti ove vrednosti sa vrednostima dobijenim u tabeli 1.4. Šta to govori o ergodičnosti X(θ,t)? 4.4. Prikazati autokorelacionu funkciju X (θ1,t) koja je određena usrednjavanjem u vremenu: >> clf >> acf ( x(1,:),100); Da li je vremenska autokorelaciona funkcija (acf) za X (θ1,t) različita od acf za X (θ3,t)? Pitanje 1.4. Ako je X(θ, t) ergodičan proces, kako se može izračunati Rx(2.6, 0.7) koristeći grafik iz zadatka 4.4? 4.5 Generisati slučajni proces Y (Φ, t) = cos(2π1000t + Φ) definisan u terminima diskretne slučajne promenljive faze Φ koja uzima vrednosti Φ1 = 0 i Φ1 = π sa jednakim verovatnoćama. >> y = realize ([ 0,pi ]); Prikazati obe realizacije slučajnog procesa Y (Φ, t). Odrediti srednju vrednost i srednju kvadratnu vrednost za t = 1ms i t = 1.25 ms >> subplot (211),waveplot ( y(1,1:400)) >> subplot (212),waveplot ( y(2,1:400)) Pitanje 1.5. Da li je Y(Φ, t) stacionaran u širem smislu? Da li je Y(Φ, t) ergodičan proces? Obrazložite odgovore.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

45

5) Autokorelaciona funkcija i spektralna gustina srednje snage Korelacija je mera sličnosti između dva skupa podataka, u tom smislu da što su skupovi sličniji veća će biti apsolutna vrednost korelacije. Jedna od primena je procena slučajne veličine na osnovu posmatranja nekog zavisnog procesa. Autokorelacija je korelaciona mera odmeraka uzetih iz istog slučajnog procesa. 5.1. Generisati 4096 uzorak korelusanog slučajnog procesa Z(t) i prikazati rezultujući grafik >> close (2),clf >> z = corr_seq( 0.85,4096.3,0 ); >> waveplot (z) a) Izračunati i prikazati autokorelacionu funkciju RZ(τ) i spektralnu gustinu srednje snage SZ(f) slučajnog procesa Z(t) >> clf,subplot (211),acf (z) >> subplot (212),psd (z) Uporedite SZ(f) sa odgovorima na pripremno pitanje P4.2. b) Izračunati srednju vrednost i srednju kvadratnu vrednost slučajnog procesa Z(t) koristeći RZ(τ). E [Z(t)] = E [Z²(t)] = c) Odredite srednju kvadratnu vrednost procesa Z(t) koristeći SZ(f). Srednja kvadratna vrednost je ekvivalentna oblasti ispod PSD funkcije pomnožena sa faktorom skaliranja. Faktor skaliranja predstavlja broj uzoraka podeljen sa frekvencijom odabiranja. U ovom eksperimentu faktor skaliranja ima vrednost 0.04096. E [Z²(t)] =

* 0.04096 =

6) Beli šum Spektralna gustina srednje snage belog šuma je konstantna funkcija na celom propusnom opsegu. Beli šum korišćen kao ulaz sistema prisutan je na svim frekvencijama, zato se koristi za identifikaciju sistema tj. za određivanje frekvencijskog odziva nepoznatog sistema.

6.1. Generisati 1024 uzoraka belog Gausovog šuma sa nultom srednjom vrednošću i jediničnom snagom. Iskoristiti dobijenu sekvencu kao ulaz u nepoznati sistem koji predstavlja filtar sa nepoznatom širinom propusnog opsega.

46

VEŽBA 1

>> clf >> wn = gauss (0,1,1024); >> cn = blackbox (wn); a) Dovedimo izlaz iz nepoznatog filtra na usko pojasni filtar sa promenljivim propusnim opsegom >> spect_est (cn) Nakon poziva funkcija spect_est potrebno je zadati frekvencijski opseg u kojem se vrši procena spektra kao i širinu propusnog opsega uskopojasnog filtra koji se koristi za analizu spektra. Za spektralni opseg unesite [0, 5 kHz] a za širinu propusnog opsega filtra 250 Hz. Po unošenju podaka, funkcija prikazuje spektralnu amplitudsku karakteristiku izlaznog signala unutar zadatog frekvencijskog opsega i sa rezolucijom koja odgovara širini upotrebljenog uskopojasnog filtra.

Grafik 1.3. b) Prikazati rezultat spektralne analize na grafiku 2.1. Uporediti tačnost procenjene spektralne raspodele koja aproksimira frekvencijski odziv nepoznatog sistema poredeći sa spektralnom gustinom srednje snage na njegovom izlazu. >> hold on, psd (cn) Pitanje 1.6. Odrediti propusni opseg i red nepoznatog filtra koji je predstavljen blackbox funkcijom.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

47

3 KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA 3.1

UVOD

3.1.1 Osnovne definicije i oznake Osnovne komponente digitalnog signala su: ⋅ informacioni sadržaj, ⋅ vremenski oblik elementarnog impulsa, ⋅ digitski takt (signalizacioni interval). Informacioni sadržaj predstavlja vremenski niz diskretnih simbola: {a k } =L, a k −1 , a k , a k +1 ,L

(3.1)

Simboli a k uzimaju vrednosti iz konačnog skupa (alfabeta) A = {Am , m = 0,1,2,L,M − 1}.

Ako je a k simbol alfabeta A , h(t ) elementarni impuls, a T signalizacioni interval, digitalni signal se može predstaviti u obliku:

s( t ) =

N

∑a

k

⋅ h ( t − kT )

(3.2)

k =− N

Ako se uvedu sledeće pretpostavke: ⋅ {ak } su međusobno zavisne slučajne veličine, ⋅ svi nizovi elemenata informacionog sadržaja čine ergodičan ansambl u širem smislu, tada će važiti: a k = {a k } = µ a , i

(3.3)

a k a k + n = {a k }{a k + n } = Ra ( n)

(3.4)

U poslednjim izrazima su: M

a k = E[a k ] = ∑ Am ⋅ P[a k = Am ] , i

(3.5)

m =1

M M

a k a k + n = E[a k a k + n ] = ∑∑ Ai A j P[a k = Ai , a k + n = A j ]

(3.6)

i =1 j =1

statistička srednja vrednost i autokorelacija elemenata informacionog sadržaja, a N 1 ∑ ak , i N →∞ 2 N + 1 k = − N

{a k } = lim

N 1 ∑ ak ak +n N →∞ 2 N + 1 k = − N

{a k }{a k + n } = lim

srednja vrednost i autokorelacija člana informacionog sadržaja po vremenu.

(3.7) (3.8)

KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA

48

3.1.2 Statističke i spektralne karakteristike digitalnih signala Srednja vrednost digitalnog signala po vremenu je: NT

1 N →∞ 2 NT

∫ s(t )dt =

s (t ) = lim

∞

µa T

− NT

∫ h(t )dt =

−∞

µa T

(3.9)

H ( 0)

Statistička srednja vrednost je:

µa

∞

∞

⎛k⎞ H ⎜ ⎟e − j 2πkt / T T k =−∞ ⎝ T ⎠

∑ h(t − kT ) =

s (t ) = E[ s (t )] = µ a

k = −∞

∑

(3.10)

Autokorelacija digitalnog signala po vremenu definisana je izrazom: 1 R(τ ) = s (t )s (t + τ ) = lim N →∞ 2 NT 1 = lim N →∞ 2 NT =

N

∑

NT

∫ s(t )s(t + τ )dt

− NT NT

N

∑ ak an

k =− N n=− N

∫ h(t − kT )h(t + τ − nT )dt

(3.11)

− NT

∞

1 ∑ RT (τ + mT ) ⋅ Ra (m) T m=−∞

gde je m = k − n , a ∞

∫ h(t )h(t + τ )dt

RT (τ ) =

(3.12)

−∞

autokorelacija elementarnog impulsa. Spektralna gustina srednje snage (SGSS) digitalnog signala definisana je izrazom: ∞

S( f ) =

− j 2πfτ ∫ R(τ )e dτ =

−∞

∞ 1 2 H ( f ) ∑ Ra (m)e − j 2πfmT T m = −∞

(3.13)

2

H ( f ) je spektralna gustina energije signala h( t ) i predstavlja njegov uticaj na SGSS, Ka ( f ) =

1 ∞ ∑ Ra (m) e− j 2πfmT T m=−∞

(3.14)

predstavlja spektar informacionog sadržaja, Ka ( f ) =

µ a2 T2

∞

∑

⎛ ⎝

δ⎜ f −

m = −∞

m⎞ 1 ⎟+ T⎠ T

∑ [Ra (m) − µ a2 ]e − j 2πfmT ∞

(3.15)

m = −∞

Sledi: S ( f ) = Sd ( f ) + Sk ( f ) ,

(3.16)

pri čemu su S d ( f ) i S k ( f ) diskretni i kontinualni deo SGSS respektivno, a mogu se predstaviti sledećim izrazima: Sd ( f ) = H ( f )

2

Sk ( f ) = H ( f )

2

µ a2 T

2

∞

⎛

m⎞

∑ δ ⎜⎝ f − T ⎟⎠ , i

(3.17)

m = −∞

[

]

1 ∞ Ra (m) − µ a2 e − j 2πfmT ∑ T m=−∞

(3.18)

Ukoliko je digitalni signal sa statistički nezavisnim elementima informacionog sadržaja, statistička autokorelacija informacionog sadržaja je:

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

⎧⎪ a 2 = R (0) a Ra ( m ) = ⎨ k ⎪⎩ µ a2 R (τ ) =

σ a2

RT (τ ) +

T

m = 0, m ≠ 0.

T

(3.19)

∞

µ a2

49

∑ RT (τ +mT )

(3.20)

m = −∞

je autokorelacija digitalnog signala, pri čemu je σ2a varijansa elemenata informacionog sadržaja. P = R ( 0) =

σ a2 T

RT (0) +

µ a2 T

∞

∑ RT (mT )

(3.21)

m = −∞

predstavlja srednju snagu digitalnog signala. Spektralna gustina srednje snage je tada data izrazom: S( f ) =

σ a2 T

2

H ( jf ) +

µ a2 T

2

H ( jf )

2

∞

⎛

m⎞

∑ δ ⎜⎝ f − T ⎟⎠

(3.22)

m = −∞

Ako su elementi alfabeta informacionog sadržaja polarni: a k ∈ A = {Am =[2m − ( M − 1)] ⋅ d , m = 0,1,2,L, M − 1}

(3.23)

gde je d polovina rastojanja između susednih simbola alfabeta, iste apriorne verovatnoće: 1 (3.24) P ( Am ) = , m =1,2,L ,M M sledi: µ a = 0 (SGSS nema diskretni deo). M 2 −1 2 d (varijansa alfabeta) 3 M 2−1 2 1 R(τ) = d RT ( τ ) (autokorelacija) T 3 a srednja snaga takvog digitalnog signala je:

σ a2 = a k2 =

P=

σ a2 T

∞

∫

−∞

2

H ( f ) df =

σ a2 T

∞

∫h

−∞

2

(t )dt

(3.25) (3.26)

(3.27)

50

3.2 3.2.1

KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA

ZADACI Prikazati vremenski oblik digitalnog signala kojim se prenosi binarna sekvenca 10011011, ukoliko se za prenos koriste sledeći formati signala (kodovi): ⋅ unipolarni kod bez povratka na nulu (unipolarni NRZ – Non-Return to Zero), ⋅ diferencijalni unipolarni kod bez povratka na nulu ( diferencijalni unipolarni NRZ), ⋅ bipolarni kod bez povratka na nulu (bipolarni NRZ), ⋅ bipolarni kod sa povratkom na nulu (bipolarni RZ – Return to Zero), ⋅ Mančester kod, ⋅ diferencirajući RZ kod. Rešenje: Unipolarni NRZ kod Ovo je najjednostavniji način kodovanja. Binarno 1 se koduje impulsom pozitivnog nivoa, dok se binarno 0 koduje odustvom impulsa. Oba simbola traju čitav sinhronizacioni interval. Problem je što pri dugotrajnom nizu 1-ca, odnosno 0, nema tranzicija u digitalnom signalu, pa se gubi informacija o taktu, i stoga ovaj format ne može da služi za održavanje sinhronizacije između predajnika i prijemnika. Diferencijalni unipolarni NRZ kod Kod ovog formata je karakteristično da se koduju promene u informacionoj sekvenci. Ukoliko su susedni biti iste vrednosti, to se koduje odsustvom impulsa, a ukoliko su susedni biti različite vrednosti, to se koduje pozitivnim impulsom. Simboli traju čitav signalizacioni interval, a prvi simbol se koduje na prethodno dogovoren način (u ovom primeru je početni simbol pozitivan ako sekvenca počinje bitom 1). Bipolarni NRZ kod I u ovom slučaju je nivo signala konstantan za vreme prenosa jednog bita. Koriste se takođe dva naponska nivoa, ali za razliku unipolarnog NRZ koda, pozitivan impuls koduje binarno 1, a negativan impuls koduje binarno 0. Ovde važi isti problem vezan za NRZ kodove – pri dugotrajnom nizu 1-ca, odnosno 0, nema tranzicija, pa ni bipolarni NRZ ne može da služi za održavanje sinhronizacije. Bipolarni RZ U ovom formatu, binarno 1 je predstavljeno pozitivnim, a binarno 0 negativnim impulsom. Za razliku od prethodno navedenih formata, na sredini svakog intervala signal pada na nulti nivo. Kako na sredini svakog interval postoji tranzicija, sinhronizacija između između predajnika i prijemnika se lako održava. Nedostatak je, međutim, da su promene signala dva puta češće nego protok bita, pa je i zahtevani propusni opseg duplo veći. Mančester kod Slično kao i kod RZ kodova, postoji tranzicija na sredini intervala. Prva polovina intervala označava vrednost bita (pozitivan impuls za binarno 1, a odsustvo impulsa za binarno 0), a na druga polovina je suprotne vrednosti od prve. Prednost nad RZ-om je postojanje samo dva naponska nivoa. AMI kod AMI kod poseduje tri naponska nivoa. Binarno 0 se koduje naponom nula, a binarno 1 naizmenično negativnim i pozitivnim nivoom (pseudoternarni kod). Impulsi traju polovinu signalizacionog intervala.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

51

Slika 3.2.1.1 prikazuje vremenske oblike navedenih formata. biti informacione sekvence

1

0

0

1

1

0

1

1

+V unipolarni NRZ 0 diferencijalni unipolarni NRZ

+V 0 +V

bipolarni NRZ

0 -V +V

bipolarni RZ

0 -V +V

Mancester 0 +V AMI

0 -V

Slika 3.2.1.1

3.2.2

Izvesti izraze za varijanse informacionih sadržaja digitalnih signala sa simbolima iz M-arnih alfabeta: a) A = {Am = [2md − ( M −1)d ], m = 0,1,2, L , M −1} (polarni), b) A = {Am = 2md , m = 0,1,2, L, M −1} (unipolarni),

pod pretpostavkom da su svi simboli jednako verovatni. Rešenje: Varijansa informacionog sadržaja digitalnog signala je σ a2 = a 2 − a 2 . a) Kako je a = 0 , varijansa je jednaka srednjoj kvadratnoj vrednosti alfabeta:

52

KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA

σ a2 =

M −1

∑ P( Am ) ⋅ Am2

m =0

=

1 M

M −1

∑ (2md − (M − 1)d )2

m=0

=

(

d 2 M −1 ∑ 4m 2 − 2(M − 1)m + (M − 1)2 M m=0

)

M −1 M −1 ⎞ d 2 ⎛ M −1 2 2 ⎜ 4 ∑ m − (M − 1) ∑ m + (M − 1) ∑1⎟⎟ = M ⎜⎝ m=0 m=0 m=0 ⎠

(M − 1)M + (M − 1)2 (M − 1)⎞ d 2 ⎛ (M − 1)M (2M − 1) − (M − 1) ⎜ ⎟ 6 2 M⎝ ⎠ 2 2 2 2 d (M − 1) ⎛ 2M − M − 3M + 3M + 2 M − 2 M + 1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 6 M ⎝ ⎠ =

M 2 −1 2 d . 3 b) Kod unipolarnog alfabeta srednja vrednost alfabeta je različita od nule: =

a=

M −1

1

M −1

2d ( M − 1)( M − 1 + 1) = ( M − 1)d , 2

∑ P( Am ) ⋅ Am = M ∑ 2dm = M

m=0

m=0

pa pošto je srednja kvadratna vrednost: a2 =

M −1

1

M −1

∑ P( Am ) ⋅ Am2 = M ∑ (2dm)2 =

m =0

m=0

4d 2 ( M − 1) M (2 M − 1) M 6

2( M − 1)(2 M − 1) 2 d , 3 za varijansu informacionog sadržaja unipolarnog digitalnog signala dobija se: =

( M − 1)(2 M − 1) 2 M 2 −1 2 d − ( M 2 − 2 M + 1)d 2 = d . 3 3 Dakle, varijansa informacionog sadržaja polarnog i unipolarnog digitalnog signala ista je i data je izrazom:

σ a2 = a 2 − a 2 = 2

M 2 −1 2 d . 3 Ovo je i logično, s obzirom da varijansa reprezentuje samo naizmenični deo snage slučajnog signala.

σ a2 =

3.2.3 Ako su snage unipolarnih binarnih signala od kojih je prvi bez povratka na nulu, a drugi sa povratkom na nulu iste, odrediti i uporediti njihove spektralne gustine srednje snage (SGSS), pod uslovom da su im alfabeti identični i da su simboli statistički nezavisni sa podjednakim verovatnoćama pojavljivanja.

Slika 3.2.3.1 Unipolarni binarni digitalni signali a) bez povratka na nulu b) sa povratkom na nulu

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

53

Rešenje:

Digitalni signali s1 (t ) i s2 (t ) dati su sledećim izrazima:

s1 (t ) =

∞

∑ a1n h1 (t − nT ),

n = −∞

⎧U h1 (t ) = ⎨ 1 ⎩0

0 ≤ t ≤ T, drugde.

0 ≤ t ≤ T 2, ⎧U h2 (t ) = ⎨ 2 drugde. ⎩0 n = −∞ Za izračunavanje SGSS važi izraz (3.22). Treba odrediti σ 2a i a , kao i spektar elementarnog impulsa H ( f ) . ∞

∑ a2n h2 (t − nT ),

s 2 (t ) =

Statistike oba informaciona sadržaja su iste i izračunavaju se na sledeći način: 1 a1 = P(0) ⋅ 0 + P(1) ⋅ 1 = , 2 1 a12 = = a 22 , 4 1 a12 = P(0) ⋅ 0 2 + P(1) ⋅ 12 = = a 22 , 2 1 σ a21 = = σ a22 . 4 Pošto su srednje snage oba digitalna signala po uslovu zadatka iste, parametri U1 i U2 mogu se izraziti preko srednje snage Ps . Za srednju snagu unipolarnog digitalnog signala ne može se koristiti izraz (3.27) - dat za polarne signale, već se polazi od opšteg izraza (3.21). Kako je proizvod h(t )h(t + mT ) = 0 za m ≠ 0 u izrazu (3.12) za RT (mT ) , izraz (3.21) za srednju snagu unipolarnih digitalnih signala sa elementarnim impulsima h1 ( t ) i h2 (t ) svodi se na: P=

a2 T

∞

∫ h (t )dt , 2

−∞

odnosno: Ps1 = a12

∞

1 1 h12 (t )dt = U 12 = Ps ⇒ U 12 = 2 Ps , ∫ T −∞ 2

11 2 U 2 = Ps ⇒ U 22 = 4 Ps . 22 Treba još odrediti Furijeove transformacije elementarnih impulsa h1 (t ) i h2 (t ) : Ps 2 =

H1 ( f ) =

∞

T

− j 2πft − j 2πft ∫ h1 (t )e dt = U 1 ∫ e dt = TU 1

−∞ 2

H 1 ( f ) = 2 Ps T 2

0

sin (πfT ) , (πfT ) 2 2

sin(πfT ) − j 2πf T 2 , e πfT

54

KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA

⎛ k ⎞ sin 2 ⎜ π T ⎟ 2P sin (πfT ) 1 ⎝ T ⎠δ ⎛ f − k ⎞ S1 ( f ) = s T 2 2 Ps T 2 + ⎜ ⎟ 2 2 2 ∑ 4T T⎠ (πfT ) 4T k =−∞ ⎝ ⎛ k ⎞ ⎜π T ⎟ ⎝ T ⎠ ∞

2

2 Ps 2 sin 2 (πfT ) 1 = + T 2 4T (πfT ) 4T 2

sin 2 (kπ ) ⎛ k⎞ ∑ 2Ps T (kπ )2 δ ⎜⎝ f − T ⎟⎠, k = −∞ ∞

2

2

⎛ sin kπ ⎞ k ≠ 0 ⇒⎜ ⎟ = 0. ⎝ kπ ⎠

SGSS unipolarnog digitalnog signala srednje snage Ps bez povratka na nulu, pri brzini signalizacije 1/T je: S1 ( f ) =

1 sin 2 πfT 1 Ps T + Ps δ ( f ) . 2 2 (πfT ) 2

Na sličan način dolazi se do SGSS unipolarnog digitalnog signala sa povratkom na nulu: ⎛ πfT ⎞ sin ⎜ ⎟ 1 2 ⎠ − j 2πfT / 4 ⎝ − j 2πft , H2( f ) = U2 ∫e dt = TU 2 ⋅e fT π 2 0 2 ⎛ πfT ⎞ sin 2 ⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎝ 2 , H 2 ( f ) = Ps T 2 ⎛ πfT ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ T /2

⎛ πfT ⎞ sin 2 ⎜ ⎟ Ps 2 1 2 ⎠ ⎝ S2 ( f ) = T + 2 4T 4T 2 ⎛ πfT ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

⎛ kπ sin 2 ⎜ 2 ∑ PsT 2 ⎝ 2 k = −∞ ⎛ kπ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ∞

⎞ ⎟ ⎠δ ⎛ f − k ⎞, ⎜ ⎟ T⎠ ⎝

2 0 k = 2m, m ≠ 0, ⎧ ⎞⎞ 2 ⎟⎟ ⎪ ⎞ 2 ⎠ ⎟ = ⎪⎛⎜ ⎟ k = 2 m + 1, ⎨ ⎜ ⎟ (2m + 1)π ⎟⎠ ⎝ ⎪ ⎟ 1 k = 0. ⎪⎩ ⎠ SGSS unipolarnog digitalnog signala sa povratkom na nulu srednje snage Ps , pri brzini signalizacije 1/T je:

⎛ ⎛ kπ ⎜ sin ⎜ ⎜ ⎝ 2 ⎜ kπ ⎜ 2 ⎝

⎛ πfT ⎞ sin 2 ⎜ ⎟ Ps 1 2 ⎠ Ps ⎝ f + + S 2 ( f ) = Ps T δ ( ) 2 4 4 π2 ⎛ πfT ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

∞

1 (2m + 1) ⎞ ⎛ − f δ ⎜ ⎟. 2 T ⎝ ⎠ m = −∞ (2m + 1)

∑

U spektru digitalnog signala s1 (t ) , čiji je elementarni impuls bez povratka na nulu (NRZ 2

⎛ sin(πfT ) ⎞ ⎟⎟ , – Non Return to Zero), diskretne komponente se nalaze u nulama obvojnice ⎜⎜ ⎝ πfT ⎠ pa se digitalni takt ne može izdvojiti na osnovu spektra (Slika 3.2.3.2).

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

55

Slika 3.2.3.2 SGSS unipolarnog digitalnog signala

U spektru digitalnog signala s 2 (t ) , čiji je elementarni impuls sa povratkom na nulu (RZ Return to Zero), postoje diskretne komponente na rastojanju 2/T, pa se na osnovu njih može rekonstruisati digitalni takt (Slika 3.2.3.3).

Slika 3.2.3.3 SGSS unipolarnog digitalnog signala sa povratkom na nulu

Takođe, treba primetiti da su arkade spektra signala sa povratkom na nulu dva puta šire od arkada spektra bez povratka na nulu. To je posledica činjenice da se kod signala sa povratkom na nulu promene nivoa dešavaju dva puta većom frekvencijom (na polovini signalizacionog intervala). Jedna od najčešće korišćenih procena za potrebnu širinu propusnog opsega sistema za prenos digitalnih signala je širina prve arkade. Na osnovu gore rečenog, signal sa povratkom na nulu zahteva dva puta veći propusni opseg od signala bez povratka na nulu. 3.2.4

Odrediti snagu digitalnog signala, čiji su simboli jednako verovatni iz polarnog M-arnog alfabeta, a spektar elementarnog impulsa je dat izrazom: 1 ⎧ ⎪T | f |≤ 2T , H( f ) = ⎨ 1 ⎪ 0 | f |> . 2T ⎩

56

KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA

Rešenje:

Važi: ∞

∞

∞ ⎛ σ a2 µ a2 m ⎞⎞ 2 2 ⎛ ⎜ P = ∫ S ( f )df = ∫ ⎜ H ( f ) + 2 H ( f ) ∑ δ ⎜ f − ⎟ ⎟⎟df . T T ⎠⎠ T m = −∞ ⎝ −∞ −∞ ⎝ Pošto se radi o polarnom alfabetu sa jednakoverovatnim simbolima, gornji izraz postaje:

P=

σ a2 T

∞

∫ H( f )

2

df .

−∞

Varijansa simbola iz polarnog M-arnog alfabeta je (zadatak 3.2.2): M 2 −1 2 d , 3 pa se konačno dobija:

σ a2 =

P=

M −1 2 d 3T 2

1 2T

2 ∫ T df =

−

1 2T

M 2 −1 2 2 1 M 2 −1 2 = d T d . 3T T 3

3.2.5 U prenosu podataka brzinom v d = 1200b s koristi se impuls: ⎧ ⎛π ⎞ T ⎪⎪cos⎜ T t ⎟ t < 2 , h(t ) = ⎨ ⎝ ⎠ ⎪ 0 drugde. ⎪⎩ Odrediti i uporediti spektre signala podataka, kada se koriste alfabeti veličine M = 2, M = 4, i M = 8 . Kolika širina propusnog opsega je dovoljna za prenos prve arkade spektra? Amplitude simbola su iz M-arnih polarnih alfabeta, a verovatnoće pojedinih simbola su jednake. Pretpostavlja se da su srednje snage iste u svim slučajevima.

Rešenje:

Kako su simboli alfabeta simetrično raspoređeni oko nule i jednakih verovatnoća, srednja vrednost simbola alfabeta je a = 0 , pa će SGSS imati samo kontinualni deo: a2 2 H( f ) , T gde je H ( f ) Furijeova transformacija determinističkog signala h( t ) . S( f ) =

Srednja snaga Ps je ista u svim slučajevima, pa se a 2 može izraziti preko nje:

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

Ps =

2 ∞

a T

∫h

2

(t )dt =

−∞

M −1 2 1 M −1 2 ⎛ πt ⎞ cos 2 ⎜ ⎟dt = dM dM ∫ 3 3 T −T / 2 ⎝T ⎠ T /2

2

2

57

⎛ 2πt ⎞ 1 + cos⎜ ⎟ 1 ⎝ T ⎠ dt 2 T −T∫/ 2 T /2

T /2 ⎞ T /2 T /2 2 M 2 − 1 2 1 ⎛⎜ T ⎛ 2πt ⎞ ⎞⎟ M − 1 2 1 ⎛⎜ ⎛ 2πt ⎞ ⎟ cos sin dM dt + dt d T = + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ M ∫ ∫ ⎜ ⎜ 6 6 2π T ⎝ −T / 2 −T / 2 ⎝ T ⎠ ⎠ T ⎝ T ⎠ −T / 2 ⎟⎠ ⎝ 1 = a 2 = const. 2 ld M . Digitalni takt je funkcija broja simbola M i datog digitalnog protoka T = vd

=

Elementarni impuls je polukosinus (HC - Half Cosine): ∞

T /2

−∞

0

− j 2πft ∫ h(t )e dt = 2

H( f ) =

T /2

∫

=

0 T /2

∫

=

0

=

=

=

=

= =

∫

⎛ πt ⎞ cos⎜ ⎟ cos(2πft )dt ⎝T ⎠

πt ⎞ ⎛ cos⎜ 2πft + ⎟dt + T⎠ ⎝

T /2

∫ 0

πt ⎞ ⎛ cos⎜ 2πft − ⎟dt T⎠ ⎝

⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ cos⎜⎜ 2π ⎜ f + ⎟t ⎟dt + 2T ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝

T /2

∫ 0

⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ cos⎜⎜ 2π ⎜ f − ⎟t ⎟dt 2T ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ T /2

2T cos(πfT ) . π 1 − (2 fT ) 2

SGSS je:

S( f ) =

T /2

⎛ ⎛ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ 1 1 ⎞ ⎞ sin ⎜⎜ 2π ⎜ f + sin ⎜⎜ 2π ⎜ f − + ⎟t ⎟⎟ ⎟t ⎟ 1 ⎞ ⎝ ⎝ 1 ⎞ ⎝ ⎝ 2T ⎠ ⎠ 0 2T ⎠ ⎟⎠ 0 ⎛ ⎛ 2π ⎜ f + 2π ⎜ f − ⎟ ⎟ 2T ⎠ 2T ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ 1 1 ⎞T ⎞ 1 1 ⎞T ⎞ sin ⎜⎜ 2π ⎜ f + sin ⎜⎜ 2π ⎜ f − ⎟ ⎟⎟ + ⎟ ⎟ 1 ⎞ ⎝ ⎝ 1 ⎞ ⎝ ⎝ 2T ⎠ 2 ⎠ 2T ⎠ 2 ⎟⎠ ⎛ ⎛ 2π ⎜ f + 2π ⎜ f − ⎟ ⎟ 2T ⎠ 2T ⎠ ⎝ ⎝ 1 1 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ sin ⎜ πfT − ⎟ sin ⎜ πfT + ⎟ + 1 ⎞ ⎝ 1 ⎞ ⎝ 2⎠ 2⎠ ⎛ ⎛ 2π ⎜ f − 2π ⎜ f + ⎟ ⎟ 2T ⎠ 2T ⎠ ⎝ ⎝ 1 1 cos(πfT ) − cos(πfT ) 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 2π ⎜ f + 2π ⎜ f − ⎟ ⎟ 2T ⎠ 2T ⎠ ⎝ ⎝ 2T cos(πfT ) ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + 2π ⎝ 1 + 2 fT 1 − 2 fT ⎠ 1

a 2 4T 2 T π2

2

⎡ cos(πfT ) ⎤ = 2 Ps ⎢ 2⎥ 1 ( 2 ) fT − ⎣ ⎦

4

⎛ ld M ⎞ ⎤ ld M ⎡⎢ ⎟⎟ ⎥ cos⎜⎜ πf v vd ⎢ d ⎠ ⎥ ⎝ ⎢ ⎥ π 2 ⎢ ⎛ ldM ⎞ 2 ⎥ ⎟ ⎜ ⎢1 − ⎜ 2 f v ⎟ ⎥ d ⎠ ⎦ ⎣ ⎝

58

KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA 2

2

⎡ ⎡ ⎛ ld M ⎞ ⎤ ⎛ ld M ⎞ ⎤ ⎢ cos⎜⎜ πf ⎢ cos⎜⎜ πf ⎟⎟ ⎥ ⎟⎟ ⎥ v v 8 Ps ld M ⎢ ⎢ ⎥ d ⎠ d ⎠ ⎥ ⎝ ⎝ S( f ) = , = C ld M ⎢ 2 ⎢ 2⎥ 2⎥ vd π ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ld M ⎥ ld M ⎥ ⎢ ⎜ ⎢ ⎜ ⎟ ⎟ ⎢1 − ⎜ 2 f v ⎟ ⎥ ⎢1 − ⎜ 2 f v ⎟ ⎥ d ⎠ ⎦ d ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ ⎣ ⎝

gde je C =

8Ps vd π 2

.

Prva arkada spektra leži u intervalu [− f 01 , f 01 ] , gde je sa f 01 označena prva učestanost ⎛ ldM ⎞ ⎟. za koju važi S ( f 01 ) = 0 . Potencijalni kandidati za f 01 su nule funkcije cos⎜⎜ πf v d ⎟⎠ ⎝ vd , međutim ovo nije i nula S ( f ) , jer tada i imenilac Prva nula ove funkcije je f = 2 ldM

⎛ ldM 1 − ⎜⎜ 2 f vd ⎝ dobija: ⎛ v S ⎜⎜ d ⎝ 2 ldM

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

jednak 0. Traženjem granične vrednosti S ( f ) se za ovu vrednost f

⎞ π ⎟⎟ = C ldM . 16 ⎠

⎛ ldM ⎞ 3v d ⎟⎟ je za f = , što je takođe i nula S ( f ) , pa je prva arkada Druga nula cos⎜⎜ πf vd ⎠ 2 ldM ⎝ ⎡ 3v d 3v d ⎤ spektra u opsegu ⎢− , ⎥. ⎣ 2 ldM 2 ldM ⎦ Za f = 0 amplituda prve arkade je S (0) = C ⋅ ld M . Sa povećanjem M, amplituda prve arkade će se povećavati sa ldM. Spektar ovog signala prikazan je na slici (Slika 3.2.5.1). Za razliku od prethodnih zadataka, bočne arkade su nacrtane u pravoj razmeri u odnosu na prvu arkadu. Sa slike se vidi da je procena koja kaže da se značajan deo spektra nalazi u prvoj arkadi opravdana.

Slika 3.2.5.1 SGSS HC digitalnog signala u funkciji od M

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

59

Slika 3.2.5.2 daje predstavu spektra u logaritamskoj razmeri. Na ovoj slici se jasno vide nule spektra digitlanog signala. Nule spektra S ( f ) su određene nulama funkcije ⎛ ldM cos⎜⎜ πf vd ⎝

⎞ vd ⎟⎟ , tj. f ok = (2k + 1), k ∈ Ζ (sem prve nule, kako je već objašnjeno). 2 ld M ⎠

Slika 3.2.5.2

Vidi se da povećavanjem M sužavaju se arkade, a površine ispod krivih ostaju iste jer je snaga ista. Sledi tabela u kojoj je prikazano kako se menjaju nule spektra u funkciji M za k = 1, 2. nule funkcije

f o1 =

3v d 2 ld M

f o2 =

5vd 2 ld M

širina prve arkade

M=8

1 vd 2

5 vd 6

1200Hz

M=4

3 vd 4

5 vd 4

1800Hz

M=2

3 vd 2

5 vd 2

3600Hz

Tabela 3.2.1 Prve dve nule funkcije SGSS

Prethodna analiza pokazuje da se povećanjem broja simbola alfabeta sužava spektar digitalnog signala, odnosno da se isti digitalni protok može ostvariti kroz uži propusni opseg kanala. Međutim, tada se usložnjava uređaj i povećava uticaj šuma. 3.2.6

Signalom prikazanim na slici (Slika 3.2.6.1), prenose se simboli binarnog polarnog 1 alfabeta A = {−1, 1} . Brzina signalizacije je = 1200 Bd . T a) Odrediti spektralnu gustinu srednje snage digitalnog signala ako su simboli različite verovatnoće.

60

KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA

b) Nacrtati SGSS kada su simboli jednako verovatni.

Slika 3.2.6.1 Deo digitalnog signala

Rešenje:

a) Simboli ovog signala pripadaju binarnom alfabetu a k ∈ A = { A1 , A0 } = {1,−1} . Sa slike (Slika 3.2.6.1) se može videti da je elementarni impuls oblika: T ⎧ ⎪U 0≤t< 2, ⎪⎪ T ≤ t < T, h(t ) = ⎨− U 2 ⎪ ⎪ 0 drugde. ⎪⎩ Statistički parametri informacionog sadržaja su: a = P( A1 ) A1 + P( A0 ) A0 = P( A1 ) − P( A0 ), a 2 = P( A1 ) A12 + P( A0 ) A02 = 1,

σ a2 = 4 ⋅ P( A1 ) ⋅ P( A0 ). Elementarni impuls može se predstaviti izrazom ⎧ ⎪U T 3 T ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ gde je = h t ( ) h(t ) = h0 ⎜ t − ⎟ − h0 ⎜ t − , ⎟ ⎨ 0 4⎠ 4 ⎠ ⎝ ⎝ ⎪0 ⎩

t ≤

T , 4

drugde.

a njegova Furijeova transformacija je: 3T ⎤ ⎡ − j 2πf T − j 2πf T ⎞ − jπfT 4 4 ⎥ = H ( f ) ⋅ 2 j sin ⎛ πf H ( f ) = H 0 ( f ) ⋅ ⎢e , −e ⎜ ⎟⋅e 0 ⎝ 2⎠ ⎦⎥ ⎣⎢

pri čemu je ⎛ T⎞ sin ⎜ πf ⎟ T ⎝ 2⎠. H 0 ( f ) = ∫ U e − j 2πft dt = U T 2 −T / 4 πf 2 Dalje se dobija: T /4

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

61

⎛ πfT ⎞ sin ⎜ ⎟ πfT − jπfT 2 ⎠ ⎝ H ( f ) = UT j sin e , πfT 2 2

⎛ πfT ⎞ sin ⎜ ⎟ πfT − jπfT 2 ⎠ 2 ⎝ H ( f ) = UT j sin e πfT 2 2

Zamenom H ( f )

2

2

2

⎛ ⎛ πfT ⎞ ⎞ ⎜ sin ⎜ ⎟⎟ 2 ⎠⎟ ⎛ πfT ⎞ ⎝ 2 2⎜ =U T sin 2 ⎜ ⎟. ⎜ πfT ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

u izraz za SGSS digitalnog signala sledi: 2

⎛ ⎛ πfT ⎞ ⎞ ⎜ sin ⎜ ⎟⎟ 4 ⋅ P( A0 ) ⋅ P( A1 ) 2 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎛ πfT ⎞ S( f ) = U T sin 2 ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ πfT T ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2

⎛ ⎛ πfT ⎞ ⎞ ⎜ sin ⎜ ⎟⎟ 2 ∞ [ P( A1 ) − P( A0 )] k⎞ 2 ⎠⎟ ⎛ ⎝ 2 2⎜ 2 ⎛ πfT ⎞ δ⎜ f − ⎟ U T sin + ⎜ ⎟ ∑ 2 2 ⎜ πfT ⎟ T⎠ π T ⎝ 2 ⎠ k = −∞ ⎝ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ 2

⎛ ⎛ πfT ⎞ ⎞ ⎜ sin ⎜ ⎟⎟ 4 ⋅ P( A0 ) ⋅ P( A1 ) 2 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎛ πfT ⎞ U T sin 2 ⎜ = ⎟+ ⎟ ⎜ πfT T ⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ +

[ P( A1 ) − P( A0 )]2 U 2

π2

∞

∑

k = −∞

1 1⎞ ⎛ ⎜k + ⎟ 2⎠ ⎝

⎛ ⎝

δ⎜ f − 2

(2k + 1) ⎞ ⎟, T ⎠

jer je: ⎧ ⎛ n⎞ n ⎛ πfT ⎞ ⎛ π ⎞ ⎧ 0 , n = 2k , ⎟ = sin⎜ n ⎟ = ⎨ ⎪δ ⎜ f − ⎟ ≠ 0 ⇔ f = ⇒ sin⎜ T⎠ T ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎩(−1) k , n = 2k + 1; ⎪ ⎝ ⎪ 2 ⎡ ⎤ ⎨ 2 2 ⎢ (−1) k ⎥ ⎪ ⎛ n⎞ ⎡ ⎤ 2 2 2 2k 2 2 ⎪ H ⎜ j T ⎟ = ⎢ (2k + 1)π ⎥ ⋅ U T (−1) = ⎢ (2k + 1)π ⎥ ⋅ U T . ⎠ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎪ ⎝ ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦ ⎩ Slika 3.2.6.2 prikazuje spektar digitalnog signala kada simboli nisu jednakoverovatni, odnosno kada srednja vrednost nije jednaka 0. Posledica toga je postojanje δ -impulsa u spektru.

62

KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA

Slika 3.2.6.2

b) Za jednakoverovatne simbole se dobija: P( A1 ) = P( A0 ) ⇒ a = 0 i σ a2 = 1 , 2

⎛ ⎛ πfT ⎞ ⎞ ⎜ sin ⎜ ⎟⎟ 2 ⎠⎟ ⎛ πfT ⎞ ⎝ 2 ⎜ sin 2 ⎜ S( f ) = U T ⎟ ⎜ πfT ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ S( f ) U1 U1

4 TU 2 2

U1 9 0

1/ T

2/ T

3/T

U1 25 4/T

5/T

6/ T

f

Slika 3.2.6.3

3.2.7 Digitalni signal kao nosilac koristi elementarni impuls čiji je spektar dat izrazom:

⎧ 1 f < 2 B0 − B, ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎛ π f + B − B0 ⎞ ⎟ 2 B0 − B ≤ f ≤ B, H ( f ) = ⎨cos 2 ⎜⎜ ⎟ 4 − B B 0 ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 0 f > B. ⎪ ⎪⎩

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

gde je B =

63

B − B0 1 , pri čemu se još definiše i tzv. roll-off faktor r kao r = . 2T B0

a) Skicirati spektar elementarnog impulsa za vrednosti r = 0 , r = 0.5 i r = 1 . b) Odrediti vremenski oblik elementarnog imupulsa i skicirati njegov izgled za vrednosti r date pod a). Rešenje:

a) Slika 3.2.7.1 prikazuje izgled H ( f ) navedenog spektra. Za r = 0 propusni opseg sistema potreban za prenos signala sa ovakvim elementarnim impulsom je najmanji, ali je spektar ovakvog “idealnog” oblika nemoguće realizovati (tzv. impuls minimalnog spektra). Preostala dva slučaja (za r = 0.5 i r = 1 ) predstavljaju spektre koje je jednostavnije aproksimirati i realizovati u praksi, ali je potreban propusni opseg sistema veći.

r=0

r = 0.5 r =1

−

1 T

−

1.5 T

−

1 2T

1 2T

1 T

1.5 T

Slika 3.2.7.1

Faktor r u stvari daje informaciju koliko je relativno proširenje spektra u odnosu na impuls minimalnog spektra. b) Vremenski oblik elementarnog impulsa je (treba primetiti da je spektar elementarnog impulsa parna funkcija): h(t ) =

B ⎛ 2 B0 − B ⎛ π f + B − 2 B0 j 2πft ⎜ cos(2πft )df + ( ) = 2 cos 2 ⎜⎜ H f e df ∫ ∫ ∫ ⎜ ⎝ 4 B − B0 2 B0 − B −∞ ⎝ 0 ∞

=2

2 B0 − B 0

=

∫ 2 B0

sin (2πft ) πt 0

2 B0 − B

⎛ π f + B − 2 B0 1 ⎛⎜ ⎜⎜ + 1 cos ⎜ 2 ⎝ 2 B − B0 −B ⎝

B

∫ cos(2πft )df + 2 B

+

∫ cos(2πft )df +

2 B0 − B

⎞ ⎟⎟ cos(2πft )df ⎠

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟ cos(2πft )df ⎟ ⎠⎠

⎛ π f − B0 π ⎞ + ⎟⎟ cos(2πft )df cos⎜⎜ − 2 B B 2⎠ 0 0 ⎝ 2 B0 − B B

∫

B ⎛ π f − B0 ⎞ sin (2π (2 B0 − B )t ) sin (2πft ) ⎟ cos(2πft )df = + − ∫ sin ⎜⎜ πt 2πt 2 B0 − B 2 B − B ⎝ 2 B − B0 ⎟⎠ B

0

sin (2π (2 B0 − B )t ) sin (2πBt ) − sin (2π (2 B0 − B )t ) + − πt 2πt B ⎛ ⎛ π f − B0 ⎞ ⎛ π f − B0 ⎞⎞ 1 ⎜ sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎟df , − + + − 2 π ft sin 2 π ft ⎟ ⎜2 B−B ⎟ 2 2 B∫− B ⎜⎝ ⎜⎝ 2 B − B0 0 ⎠ ⎝ ⎠⎠ 0

=

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

64

KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA

⎛ π f − B0 ⎞ sin (2πBt ) + sin (2π (2 B0 − B )t ) 1 B + 2πft ⎟⎟df − sin⎜⎜ − ∫ 2πt 2 2 B − B ⎝ 2 B − B0 ⎠

h(t ) =

0

⎛ π f − B0 ⎞ 1 sin ⎜⎜ − 2πft ⎟⎟df . ∫ 2 2 B − B ⎝ 2 B − B0 ⎠ B

−

0

Dalje se dobija: ⎞ ⎛ π f − B0 cos⎜⎜ + 2πft ⎟⎟ 2 sin (2πB0 t ) cos(2π (B0 − B )t ) 1 ⎠ ⎝ 2 B − B0 h(t ) = + π 2πt 2 + 2πt 2(B − B0 ) ⎞ ⎛ π f − B0 − 2πft ⎟⎟ cos⎜⎜ 1 ⎠ ⎝ 2 B − B0 + π 2 − 2πt 2(B − B0 ) =

+

B

+ 2 B0 − B

B

2 B0 − B

2 sin (2πB0 t ) cos(2π (B0 − B )t ) + 2πt ⎛ π B − B0 ⎞ ⎛ π B0 − B ⎞ + 2πBt ⎟⎟ − cos⎜⎜ cos⎜⎜ + 2π (2 B0 − B )t ⎟⎟ B − B0 ⎝ 2 B − B0 ⎠ ⎝ 2 B − B0 ⎠

π

1 + 4(B − B0 )t

+

⎞ ⎛ π B0 − B ⎞ ⎛ π B − B0 cos⎜⎜ − 2π (2 B0 − B )t ⎟⎟ − 2πBt ⎟⎟ − cos⎜⎜ B − B0 ⎠ ⎝ 2 B − B0 ⎠ ⎝ 2 B − B0 + π 1 − 4(B − B0 )t = + = +

sin (2πB0 t ) cos(2π (B0 − B )t ) B − B0 − sin (2πBt ) − sin (2π (2 B0 − B )t ) + + πt π 1 + 4(B − B0 )t B − B0 sin (2πBt ) + sin (2π (2 B0 − B )t ) π 1 − 4(B − B0 )t

sin (2πB0 t ) cos(2π (B0 − B )t ) 2(B − B0 ) sin (2πB0 t ) cos(2π (B0 − B )t ) + − πt π 1 + 4(B − B0 )t 2(B − B0 ) sin (2πB0 t ) cos(2π (B0 − B )t ) π 1 − 4(B − B0 )t

sin (2πB0 t ) cos(2π (B0 − B )t ) + πt ⎞ ⎛ 2(B − B0 ) 1 1 ⎟⎟ sin (2πB0 t ) cos(2π (B0 − B )t )⎜⎜ + − π ⎝ 1 − 4(B − B0 )t 1 + 4(B − B0 )t ⎠

=

=

sin (2πB0 t ) cos(2π (B − B0 )t ) . 2 πt 1 − (4(B − B0 )t )

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

h(t ) = =

65

sin (2πB0 t ) cos(2π (B0 − B )t ) sin (2πB0 t ) cos(2π (B0 − B )t ) 16(B − B0 )2 t + πt π 1 − (4(B − B0 )t )2 sin (2πB0 t ) cos(2π (B0 − B )t ) 1 − (4(B − B0 )t )2 + 16(B − B0 )2 t 2 πt 1 − (4(B − B0 )t )2

Za r = 0 (odnosno B = B0 =

1 ) se dobija: 2T

sin (2πB0 t ) - što je vremenski oblik impulsa minimalnog spektra. πt 1 ) se dobija: Za r = 0.5 (odnosno B = B0 = 2T sin (2πB0 t ) cos(πB0 t ) - ovo je tzv. kosinusno zaobljena karakteristika. h(t ) = 2 πt 1 − (2 B0 t ) h(t ) =

Za r = 1 se dobija: sin (2πB0 t ) cos(2πB0 t ) - ovo je podignuti kosinus (raised cosine, ili kosinush(t ) = 2 πt 1 − (4 B0 t ) kvadrat, kako se još naziva).

Slika 3.2.7.2

Slika 3.2.7.2 prikazuje izgled elementarnog impulsa u ova tri slučaja. Treba primetiti da je u sva tri slučaja elementarni impuls nekauzalan i kao takvog nemoguće ga je realizovati u praksi. Međutim, moguće je realizovati odgovarajuće aproksimacije.

66

KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA

Najjednostavnije je realizovati aproksimaciju podignutog kosinusa, jer su “repovi” najmanji i mogu se lako zanemariti, a kauzalnost se postiže prostim vremenskim kašnjenjem (Slika 3.2.7.3). h(t )

τ Slika 3.2.7.3

t

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

67

VEŽBA 2

KARAKTERISTIKE DIGITALNIH SIGNALA Vremenski oblici (signalizacioni formati, linijski kodovi) i njihove spektralne karakteriskike I PRIPREMA VEŽBE (DOMAĆI ZADATAK) P1. Vremenski oblici digitalnog signala (signalizacioni formati, linijski kodovi) P.1.1. Skicirajte vremenski oblik digitalnog signala koji odgovara sekvenci b=[1 0 1 0 1 1] ukoliko se koristi linijski kod: a) unipolarni NRZ (Non Return to Zero); b) polarni NRZ; c) unipolarni RZ (Return to Zero); d) bipolarni RZ e) Mančester kod. Pretpostavi jediničnu amplitudu uz binarni protok od Rb = 1 kbs . P2. Spektralne karakteristike digitalnog signala P2.1. Odrediti i skicirati spektralnu srednje gustinu snage (SGSS) koja odgovara datim linijskim kodovima. Koristiti Rb = 1 kbs . Neka je f 1 >0 lokacija prve nule SGSS funkcije. P2.2. Ako je prenosni opseg BT linijskog koda određen sa f 1 odrediti prenosne opsege linijskih kodova datih u tački 1. P2.3. Koja je osnovna razlika između SGS za Mančester kod i NRZ tehniku? II ZADATAK VEŽBE 1) Oblici binarnog digitalnog signala: talasni oblici različitih linijskih kodova (CST)

Nizovi binarnih jedinica i nula, kao u sistemima sa impulsnom kodnom modulacijom (PCM), mogu biti predstavljeni u različitim signalizacionim formatima koji su poznati pod imenom linijski kodovi. U ovom odeljku posmatramo različite oblike binarnog digitalnog signala i njihove karakteristike. Za tu namenu koristimo Matlab-ovu funkciju wave_gen (Communication System Toolbox) kojom generišemo talasne oblike koji reprezentuju binarnu sekvencu: wave_gen(binary_sequence,’line_code_name’, Rb)

gde je Rb binarni protok dat u b/s. Ako se koristi ova funkcija sa samo prva dva argumenta tada je podrazumevana vrednost za Rb =1000 b/s. 1.1. Formirajte sledeću binarnu sekvencu: >> b=[ 1 0 1 0 1 1];

68

VEŽBA 2

a) Generisati talasni oblik koji reprezentuje sekvencu b koristeći unipolarni NRZ linijski kod sa Rb =1000b/s i prikazati talasni oblik x. >> x=wave_gen(b,’unipolar_nrz’,1000); >> waveplot(x) b) Ponoviti korak a) za: • polarni NRZ (‘polar_nrz’); • unipolarni RZ (‘unipolar_rz’); • bipolarni RZ (‘bipolar_rz’); • Mančester (‘manchester’). Pošto se porede talasni oblici za isto Rb može se koristiti funkcija wave_gen sa samo dva argumenta, odnosno komandna linija može se sažeti korišćenjem: >> waveplot(wave_gen(b, ’line_code_name’)) Pitanje 2.1. Utvrditi koji od posmatranih linijskih kodova generišu talasne oblike bez jednosmerne (DC) komponente? Zašto je odsustvo DC komponente od praktičnog značaja za prenos talasnih oblika. 2) Spektralna gustina snage (PSD – Power Spectral Density) linijskih kodova. 2.1. (CST) Generiši slučajnu binarnu sekvencu dužine 1000 bita: >> b=binary(1000); a) Prikaži PSD funkciju svakog linijskog koda iz zadatka 1.1: >> psd(wave_gen(b,’line_code_name’)) b) Ako f p1 i f p 2 označavaju prvi i drugi spektralni maksimum, a f n1 i f n 2 prvu i drugu spektralnu nulu (pri čemu se sve navedene frekvencije pozitivne, f (.) > 0 ), popuniti tabelu 3.1. Usvojiti da je frekvencijski opseg potreban za prenos nekog signala, BT , određen prvom spektralnom nulom u njegovoj amplitudskoj karakteristici. Rb=1000b/s

f p1

f n1

f p2

f n2

BT

unipolarni NRZ polarni NRZ unipolarni RZ bipolarni RZ Mančester

Tabela 3.1. 2.2. (CST) Da bi se ilustrovala zavisnost spektralne gustine snage (PSD funkcije) od binarnog protoka, koristi Mančester kod i menjaj Rb . >> psd(wave_gen(b, ’manchester’, Rb )

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

69

gde Rb ∈⎨5 kb/s, 10 kb/s, 20 kb/s⎬. (Umesto Mančester koda moguće je koristiti bilo koji drugi kod iz odeljka 1.1.) Posmatraj lokaciju spektralnih nula i maksimuma i ustanovi vezu sa Rb . Pitanje 3.2 Za osnovni komunikacioni kanal sa propusnim opsegom od 10 kHz, koliki je maksimalni digitalni protok za svaki od linijskih kodova ispitanih u odeljku 1.1. 2.3. (CCS) Odrediti i prikazati spektralnu gustinu snage slučajnog procesa S(t) čija je realizacija PAM signal s (t ) =

∞

∑ a h(t − nT )

n = −∞

n

kod kojeg h(t) predstavlja pravougaoni

impuls prikazan na slici 2.1. i: a) kod kojeg informacioni simboli {an } nekorelisani,

m=0 ⎧ 1, ⎪ b) ako je autokorelaciona funkcija sekvence {an } : Ra (m) = ⎨1 / 2 m = ±1 i ukoliko ⎪ 0 inače ⎩ je varijansa σ a2 = 1.

h(t )

1 T

t 0

T

Slika 2.1. – Pravougaoni elementarni impuls

70

VEŽBA 2

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

71

4 SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE 4.1

UVOD

4.1.1 Skremblovanje Skremblovanje predstavlja vid kodovanja, koje kao rezultat daje digitalni signal sa osobinama stacionarnog slučajnog niza bez memorije sa podjednakom verovatnoćom pojave svih simbola. Ovim se postiže transparentnost - nezavisnost osobina prenošenog digitalnog signala od informacionog sadržaja koji on nosi. Ako je: {an } =Lan−1 ,an ,an+1 ,L (4.1) digitalni niz sa statistički zavisnim elementima informacionog sadržaja, a {bn } =L,bn−1 ,bn ,bn+1 ,L

(4.2)

slučajni niz sa statistički nezavisnim simbolima i podjednakom verovatnoćom svih elemenata informacionog sadržaja, tada niz: {cn } =L,cn−1 ,cn ,cn+1 ,L (4.3) nastao kao rezultat operacije skremblovanja nad nizovima {an } i {bn } može imati osobine slučajnog niza {bn }.

Ako su {a n } i {bn } binarni nizovi, postupak skremblovanja svodi se na logičku operaciju "sabiranja po modulu 2", (⊕ ). Ako niz {bn } ima osobine slučajnog niza: 1 bn = , 2 bn bn + k

⎧1 ⎪ = ⎨2 1 ⎪ ⎩4

k = 0,

(4.4)

k ≠ 0,

niz {c n } sa elementima c n = a n ⊕ bn

imaće iste osobine: 1 cn = , 2 ⎧1 k = 0, ⎪ cn cn+k = ⎨ 2 1 ⎪ k≠0 ⎩4 Deskremblovanje se vrši ponovnim skremblovanjem sa istim slučajnim nizom {bn } :

(4.5)

(4.6)

SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE

72

d n = c n ⊕ bn = [a n ⊕ bn ] ⊕ bn = a n ⊕ [bn ⊕ bn ] = a n ⊕ 0 = a n

(4.7)

Međutim, nemoguće je dva puta generisati isti slučajni niz {bn } , na predaji i na prijemu. Jedno rešenje je dodatni kanal koji bi prenosio niz {bn } , ili multipleks nizova {bn } i {cn } . U praksi se koriste deterministički izvori (PN generatori) sa nizovima koji dosta dobro statistički aproksimiraju slučajne nizove. To su pseudoslučajni izvori koji zahtevaju dodatni kanal za sinhronizaciju (ali mnogo manjeg kapaciteta), ili tzv. samosinhronišući skrembleri. Za pseudoslučajni niz važe sledeće karakteristike: ⋅ periodičnost s periodom L (4.8) {bn } = {bn + L } ⋅ ”kašnjenje i sabiranje” {bn } ⊕ {bn + k } = {bn + m }

(4.9)

gde su m i k neki brojevi digitskih intervala, ⋅ ergodičnost u širem smislu (jednakost srednjih vrednosti i autokorelacija po ansamblu i vremenu) E[bn bn + k ] = bn bn + k = {bn }{bn + k } =

1 L ∑ bn bn+k = R(k ) L n =1

Srednja vrednost i autokorelacija pseudoslučajnog niza periode ponavljanja L su: L +1 bn = 2L ⎧ bn ⎪ bn bn + k = ⎨ 1 ⎪⎩ 2 bn

k = 0,± L,± 2 L,... k ≠ 0,± L,± 2 L,...

(4.10)

(4.11) (4.12)

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

4.2 4.2.1

73

ZADACI Slika 4.2.1.1 prikazuje prosto sekvencijalno kolo sa N D flip-flopova (kola za kašnjenje), N + 1 prekidačem i sabiračem po modulu 2 (tzv. pomerački ili šift-registar), koje pri određenoj kombinaciji prekidača postaje generator PN niza.

Slika 4.2.1.1 PN generator

a) Kolika je maksimalna perioda L ponavljanja niza PN generatora na slici 3.2.? b) Koristeći ergodičnost PN niza i osobinu kašnjenja i sabiranja, odrediti srednju vrednost niza bn i njegovu autokorelacionu funkciju R (k ) . Rešenje: a) Pretpostavimo da se struktura sekvencijalnog kola (položaj prekidača i dr.) ne menja i da su prekidači PN i P0 zatvoreni. Kada se ponovi neki sadržaj u PN generatoru, dalje se deterministički ponavlja isti niz. Pošto je 2N broj različitih kombinacija od N binarnih elemenata, perioda ponavljanja PN niza mora biti L ≤ 2 N . Sadržaj svih nula se mora isključiti jer se on sam ponavlja, pa je maksimalna perioda koju ovakva struktura može da generiše jednaka: Lmax = 2 N − 1 .

Ova perioda može se postići samo pri nekim kombinacijama prekidača, a takav generator naziva se PN generator niza maksimalne dužine (MLSR - Maximum Length Shift Register). b) U periodi je

2N jedinica pa je srednja vrednost jednaka: 2

2 N −1 1 L +1 . bn = N = 2 −1 2 L Pošto je PN niz periodičan, periodična je i njegova autokorelaciona funkcija i to sa istom periodom. Zbog ergodičnosti, autokorelaciju možemo računati u vremenu: R(k ) =

1 L ∑ bn bn+k . L n=1

1 Koristeći relaciju x ⊕ y = ( x − y ) 2 = x − 2 xy + y ⇒ xy = ( x + y − x ⊕ y ) dobija se: 2

R(k ) =

1 L ∑ (bn + bn+k − bn ⊕ bn+k ) . 2 L n=1

74

SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE

Za k ≠ 0 , koristeći osobinu šiftovanja i sabiranja, autokorelacija je: R(k ) =

L L ⎤ 1 ⎡L b b + − ⎢∑ n ∑ n + k ∑ bn + m ⎥ . 2 L ⎣ n=1 n =1 n =1 ⎦

Sve tri sume su iste jer predstavljaju zbir elemenata u jednoj periodi, pa je: 11 L 1 R(k ) = bn = bn , za k ≠ 0 . ∑ 2 L n =1 2 Ako je k = 0 , onda je bn ⊕ bn = 0 i R(0) = bn .

Ovim su izvedeni izrazi (4.11) i (4.12). 4.2.2 Na slici (Slika 4.2.2.1) su prikazana dva PN generatora sa N = 4 D flip-flopa.

a) Objasniti princip rada i odrediti veličine L i bn za ova dva PN generatora. b) Izračunati i skicirati autokorelaciju PN niza koji se dobija pomoću generatora sa čemu je autokorelacija definisana kao slike 4.2.2.1 b), pri L 1 R(k ) = ∑ (2bn − 1)(2bn+ k − 1) , a bn + k označava ciklični šift za k pozicija. L n=1 c) Konstruisati set-reset skrembler pomoću PN generatora sa slike 4.2.2.1 b) i odrediti skremblovani niz poruke {a n } = {...011111010010111111001000101111110...} čijih pet uzastopnih jedinica sa periodom ponavljanja 25 predstavlja sinhro-grupu.

Slika 4.2.2.1 a) Delitelj sa 6 (3) b) Generator m-sekvence

Rešenje:

a) Pošto je N = 4 , maksimalna dužina periode PN niza je Lmax = 2 4 − 1 = 15 . Analizirajmo data dva PN generatora sa različitim kombinacijama prekidača. U prvom slučaju (Slika 4.2.2.1 a) perioda ponavljanja zavisi od početnog sadržaja PN generatora i jednaka je 6 ili 3. Srednja vrednost generisanog niza takođe zavisi od početnog sadržaja i jednaka je 2/3 ili 1/3.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

75

Slika 4.2.2.2 Nizovi koje generiše sekvencijalno kolo sa slike 3.2.1. a)

Drugi PN generator (Slika 4.2.2.1 b) daje PN niz maksimalne dužine, tzv. MLSR sekvencu (Maximum Length Shift Register, ili m-sekvencu, kako se još naziva). U jednoj periodi generiše se 8 jedinica i 7 nula po “slučajnom” redosledu. Srednja 8 1 ≅ . vrednost tog niza je bn = 15 2

1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1

1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0

L1

15

L2

1

L1 L2 16

Slika 4.2.2.3 PN niz kola sa slike 3.2.1. b)

Za vrednosti N koje se koriste u praksi (npr: 9, 15 ili 23) postoje tabele tzv. primitivnih generatorskih polinoma čiji koeficijenti odgovaraju položajima prekidača u PN generatoru. Za veće N postoji više rešenja; najinteresantnija su ona sa minimalnim brojem nenultih koeficijenata pošto zahtevaju najmanji broj sabirača po modulu 2. Osim smanjenja prostorne kompleksnosti kola koja generišu ovakvu sekvencu, ovim se postiže i najmanji koeficijent propagacije greške (vidi zadatak 4.2.3 b). b) PN sekvence se primenjuju kod tehnike prenosa u proširenom opsegu pomoću direktne sekvence, (DS-SS – Direct Sequence Spread Spectrum, vidi zadatak 13.2.1). Za ove primene se binarno 0 i 1 prenose pomoću negativnog, odnosno pozitivnog 1 L impulsa, respektivno. Definisanje autokorelacije kao R(k ) = ∑ (2bn − 1)(2bn + k − 1) L n=1 odgovara ovoj činjenici. Drugim rečima bn i bn+ k će prilikom prenosa imati vrednosti ±1, a operacija (2bn − 1)(2bn +k − 1) odgovara množenju bipolarnih impulsa, predstavljenom kroz množenje binarnih vrednosti.

76

SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE

Dobri PN nizovi imaju osobinu da imaju izražen pik autokorelacije u tački k = 0 , a za sve ostale vrednosti k je vrednost autokorelacije značajno manja. Autokorelacija sa ovakvim osobinama omogućava laku sinhronizaciju na prijemu, gde se primljena sekvenca koreliše (upoređuje) sa lokalno generisanom PN sekvencom, i izražen pik lako omogućuje detekciju početka PN sekvence i postizanje sinhronizama potrebnog za ispravno deskremblovanje. Ovo je posebno važno ako se uzme u obzir uticaj šuma koji se superponira u prenosu i može da poremeti nivoe koji reprezentuju kodovani signal i na taj način poveća vrednosti autokorelacije. Veoma izražen pik znači i veliku otpornost na pogrešnu sinhronizaciju izazvanu greškama nastalim usled šuma. Vrednosti autokorelacije PN niza generatora sa slike 4.2.1.b) su: k = nL, n = 0,1,2,3,... ⎧ 1 R(k ) = ⎨ drugde. ⎩− 0,067 Slika 4.2.2.4 prikazuje izgled autokorelacione funkcije. Vidi se da postoji izražen pik na svakom celobrojnom umnošku periode PN sekvence. R (k )

k

Slika 4.2.2.4

Sve sekvence koje su generisane pomoću MLSR registra imaju ovakav oblik periodične autokorelacije. Može se primetiti da autokorelaciona funkcija MLSR sekvence u okviru jedne periode liči na autokorelaciju belog Gausovog šuma (pik u tački nula, vrednosti bliske nuli u ostalim tačkama, vidi zadatak 2.2.15). Na osnovu ovoga je jasno zašto se koristi naziv pseudoslučajna sekvenca, jer ovakve sekvence po svojim osobinama vrlo podsećaju na slučajne signale, kao što je šum. c) Kod set-reset skremblera (Slika 4.2.2.5) sinhronizacija se ostvaruje na osnovu samog signala. Detektori sinhro-grupe vrše monitoring digitalnog niza u tački A, odnosno B.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

77

Slika 4.2.2.5 Set-reset skrembler i deskrembler

Kada detektuju periodičnu sinhro-grupu, oni resetuju skrembler, odnosno deskrembler. Sinhro-grupa prolazi neskremblovana, jer se PN generatori vrte u stanju svih nula. Po isteku sinhro-grupe detektori setuju skrembler, odnosno deskrembler na isto početno stanje i oni dalje generišu identične PN nizove. U datom primeru biće (Tabela 4.2.2.1): {a n } ... 0 11111 01001 01111 11001 00010 11111 10 ...

{bn } ... 1 00000 10001 00110 10111 10001 00000 10 ... {cn } ... 1 11111 11000 01001 01110 10011 11111 00 ... Tabela 4.2.2.1 Set-reset skremblovanje

4.2.3

Slika 4.2.1.1 prikazuje samosinhronišući skrembler koji se koristi za digitalni prenos brzinom 9600 bit/s po ITU (International Telecommunications Union) preporuci V.32.

Slika 4.2.3.1 Samosinhronišući skrembler

78

SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE

a) Pod kojim uslovima {bn } postaje PN niz? Kolika je njegova perioda ponavljanja? b) Pod kojim uslovima dolazi do greške u prijemu n-tog simbola a n ? Rešenje: a) Ako je na ulazu {a n } = {0} niz nula, onda binarni niz {bn } predstavlja klasičnu PN sekvencu. Takav niz ima periodu ponavljanja L = Lmax = 2 23 − 1 = 8.388.607. b) Skremblovani simbol je bn = a n ⊕ bn−18 ⊕ bn −23 , a deskremblovani, u trenutku n, aˆ = bˆ ⊕ bˆ ⊕ bˆ . n

n

n −18

n − 23

Ako u toku prenosa nije nastala greška, tj. bˆn = bn , biće aˆ n = a n ⊕ bn −18 ⊕ bn−23 ⊕ bˆn−18 ⊕ bˆn −23 . Ako su takođe ispravno preneti i simboli bn−18 i bn − 23 onda je aˆ n = a n ⊕ bn −18 ⊕ bn−23 ⊕ bn− 23 ⊕ bn −18 = a n . Dakle, ako nastane greška u prenosu, bˆn ≠ bn , ona će se multiplicirati onoliko puta koliko ima direktnih veza u FIR strukturi deskremblera, pa je poželjno da tih veza bude što manje. Dodatni kanal koji se ostvarivao detektorima sinhro-grupe bio je nepraktičan. Želeo se kompromis - skoro idealno skremblovanje, ali bez dodatnog kanala. Zato se, umesto set-reset skremblera sa sinhronizacijom, sve više koriste samosinhronišući skrembleri. Dakle, njihova osnovna prednost je što ne zahtevaju sinhronizaciju, ali oni imaju problem multipliciranja greške na prijemu. 4.2.4 Data je Volš-Adamarova (Walsh-Hadamard) matrica, dimenzije 8: ⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢ 1 C8 = ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢1 ⎢ ⎢⎣1

1 −1 1 −1 1 −1 1 −1

1 1 −1 −1 1 1 −1 −1

1 −1 −1 1 1 −1 −1 1

1 1 1 1 −1 −1 −1 −1

1 −1 1 −1 −1 1 −1 1

1 1 −1 −1 −1 −1 1 1

1⎤ − 1⎥⎥ − 1⎥ ⎥ 1⎥ − 1⎥ ⎥ 1⎥ 1⎥ ⎥ − 1⎥⎦

Izračunati cikličnu autokorelaciju: Ri (k ) =

1 8 ∑ ai,n ai,n+k , i = 2,3,...,8; 8 n =1

svake sekvence koja je definisana simbolima nekog reda matrice, i pokazati da je ciklična međukorelacija sekvenci: Ri , j (k ) =

1 8 ∑ ai,n a j ,n+k , i, j = 1,2,3,...,8, i i ≠ j; 8 n =1

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

79

koje definišu dva različita reda jednaka 0 za sve ciklične pomeraje k (redovi su međusobno ortogonalni). Rešenje:

Volš-Adamarove matrice postoje za n = 2 t , t = 1,2,3,... . Generišu se na vrlo jednostavan način, pomoću rekurzije: ⎡1 1 ⎤ C2 = ⎢ ⎥, ⎣1 − 1⎦ ⎡C C2M = ⎢ M ⎣C M

CM ⎤ . − C M ⎥⎦

U konkretnom primeru, izračunavanjem ciklične autokorelacije za npr 3. red matrice C8 se dobija: Slika 4.2.4.1 prikazuje izgled ciklične autokorelacije za svaki red matrice. R1 (k )

R2 (k )

R3 (k ), R4 (k )

R5 (k ), R7 (k )

R6 (k ), R8 (k )

Slika 4.2.4.1

80

SKREMBLOVANJE I PN SEKVENCE

Što se tiče vrednosti međukorelacije, ortogonalnost se lako proverava. Npr. za 5. i 7. red matrice i pomeraj k = 3 se dobija: 1 8 R5,7 (3) = ∑ (1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ (− 1) + 1 ⋅ (− 1) + (− 1) ⋅ (− 1) + (− 1) ⋅ (− 1) + 1 ⋅ (− 1) + 1 ⋅ (− 1)) = 0 . 8 n =1 Generalno, kao što se iz priloženog može videti, sekvence definisane Volš-Adamarovom matricama imaju lošije autokorelacione karakteristike od MLSR sekvenci, ali sa druge strane poseduju osobinu ortogonalnosti. To ih čini veoma pogodnim za primenu u sistemima za prenos u proširenom opsegu (DS-SS), u kojima postoji više korisnika (tzv. CDMA – Code Division Multiple Access, zadatak 13.2.3). U ovom slučaju, svaki od korisnika koristi po jednu sekvencu definisanu Volš-Adamarovom matricom za širenje spektra svog signala, a ortogonalnost omogućava da se korisničke informacije lako mogu “izvući” iz primljenog signala (koji je sastavljenom od mnoštva “proširenih” signala svih korisnika u sistemu) pomoću korelacije. Kao primer CDMA sistema se obično navodi mobilna telefonija u Sjedinjenim Američkim Državama, pri čemu se zbog loših svojstava autokorelacije, koristi dodatno skremblovanje svih signala sa sekvencom koja poseduje zahtevane autokorelacione osobine.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

81

5 LINIJSKO KODOVANJE 5.1

UVOD

5.1.1 Linijsko kodovanje Osnovni zadaci linijskog kodovanja su: ⋅ oblikovanje spektra digitalnog signala, ⋅ ograničavanje pojave velikog broja uzastopnih nula. Linijsko kodovanje unosi redundansu i pri tome je u kodovanom signalu moguće: a) zadržati binarnu prirodu signala, a povećati digitalni protok; b) povećati broj nivoa signala (M > 2), a zadržati istu brzinu signaliziranja; c) povećati broj nivoa signala i sniziti brzinu signaliziranja. Pseudoternarni (PT) kodovi imaju tri nivoa (-1,0,1). Ako su nastali linearnom transformacijom binarnog niza {an } , (a n ∈ {0,1}) , primenom relacije: bn =

K +1

⎛

1⎞

∑ µ k ⎜⎝ an−k − 2 ⎟⎠, bn ∈ {− 1,0,1},

k =0

(5.1)

nazivaju se linearnim PT kodovima. Koeficijenti µk mogu imati samo celobrojne vrednosti. Unipolarni linearni PT kod je: (5.2) µ 0 = 1 , µ K +1 = 1 , i µ k = 0, k = 1,2,...,K bn = a n + a n −( K +1) − 1.

(5.3)

Za K = 0 to je poznati duobinarni kod. Polarni linearni PT kod je: µ 0 = 1 , µ K +1 = −1 , i µ k = 0, k = 1,2,..., K bn = a n − a n −( K +1) .

(5.4) (5.5)

Za K = 0 ovaj kod poznat je pod imenom dikod, a za K = 1 dobija se tzv. modifikovani duobinarni kod. Ove linearne transformacije realizuju se linearnim kolima koja su okarakterisana kvadratom modula funkcije prenosa u obliku: ⎧ 4 cos 2 ( K + 1)πfT 2 H( f ) = ⎨ 2 ⎩ 4 sin ( K + 1)πfT

unipolarni kod, polarni kod.

(5.6)

Ako je spektralna gustina srednje snage (SGSS) digitalnog signala pre kodovanja bila S ( f ) , tada će linearni linijski kodovani signal imati SGSS oblika: 2

SL ( f ) = S( f ) ⋅ H ( f ) .

(5.7)

Prekodovani linearni PT kodovi eliminišu nedostatke PT kodova, koji se odnose na prostiranje greške do koje dolazi u toku prenosa i obrtanju polariteta originalnog niza.

82

LINIJSKO KODOVANJE

Prekodovani dikod je tzv. bipolarni kod (AMI – Alternate Mark Inversion), koji se realizuje prethodnim diferencijalnim kodovanjem: cn = an ⊕ cn −1 . (5.8) Nedostatak linearnih PT kodova, moguća pojava dugog niza nula u kodovanom signalu, prevazilazi se primenom nelinearnih PT kodova, od kojih su najpoznatiji PST i modifikovani alternativno bipolarni kodovi. Kod PST koda par ili skup od tri binarna simbola zamenjuje se parom ternarnih simbola (2B-2T; 3B-2T). Najčešće korišćeni modifikovani bipolarni kodovi su B6ZS i HDBn (HDB3) kodovi.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

5.2 5.2.1

83

ZADACI Linijskim koderom prikazanim na slici (Slika 5.2.1.1), koduje se binarni signal x(t ) =

∞

∑ anδ (t − nT ) .

n = −∞

1 ⎧ ⎪T | f |≤ 2T , H( f ) = ⎨ 1 ⎪ 0 | f |> , ⎩ 2T a n ∈ {0,1}. Slika 5.2.1.1 Dikod (Diferencirajući kod)

Linijski koder uobličava spektar, a filtar H ( f ) ga ograničava na Nikvistov opseg. D je kolo za kašnjenje za digitski takt T. a) Odrediti i nacrtati prenosnu karakteristiku predajnika G ( f ) i impulsni odziv g(t). b) Odrediti sve moguće vrednosti y( nT ) . Odrediti strukturu dekodera koji na osnovu vrednosti { y (nT )} daje originalni niz {an } . Na primeru niza {a n } = {011010001011} prikazati kodovane sekvence. c) Odrediti niz {a$n } na izlazu dekodera na primeru niza iz predhodne tačke, ako u toku prenosa dođe do greške u prijemu 6-tog simbola. Pod istom pretpostavkom analizirati prenos korišćenjem kodera na slici (Slika 5.2.1.2).

Slika 5.2.1.2 AMI koder (prekodovani dikod)

Rešenje: a) Prenosna karakteristika predajnika je:

(

G ( f ) = 1 − e − j 2πfT

)

⎧ − jπfT ⎪ 2 jT sin(πfT ) ⋅ e ⋅ H( f ) = ⎨ ⎪ 0 ⎩

1 ⎧ ⎪ 2T | sin(πfT ) | | f |≤ 2T , | G ( f ) |= ⎨ 1 ⎪ 0 | f |> . 2T ⎩ Impulsni odziv predajnika je:

1 , 2T 1 | f |> . 2T

| f |≤

84

LINIJSKO KODOVANJE

⎛π ⎞ sin ⎜ t ⎟ sin π (t −T ) T T . g (t ) = (δ (t ) − δ (t − T )) ∗ h(t ) = h(t ) − h(t −T ) = ⎝ ⎠ − π π (t −T ) t T T Slika 5.2.1.3 prikazuje prenosna karakteristiku i impulsni odziv dikoda.

Slika 5.2.1.3 Prenosna karakteristika i impulsni odziv dikoda

b) Odziv linearnog sistema na linearnu kombinaciju δ -delta impulsa je: y (t ) =

∞

∑ an g (t − nT ) ,

n = −∞

i u trenutku odlučivanja je y (kT ) =

∞

∑ an g [(k − n)T ] .

n = −∞

Impulsni odziv dikoda je takav da je:

n = k, ⎧ 1, ⎪ g [(k − n)T ] = ⎨ − 1, n = k − 1, ⎪ 0, drugde. ⎩ y (nT ) = a n − a n −1 i y (nT ) ∈ {−1,0,1} . an

an −1

y (nT )

0

0

0

0

1

-1

1

0

1

1

1

0

Tabela 5.2.1.1 Vrednosti odmeraka kodovanog signala

Dakle, interferencija postoji samo od simbola koji prethodi - kontrolisana je i može se na prijemu eliminisati tako što će odlučivač uraditi inverznu operaciju sa prethodno primljenim simbolom: aˆ n = yˆ (nT ) + aˆ n−1 . Dekoder je prikazan na slici (Slika 5.2.1.4).

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

85

Slika 5.2.1.4

Tabela 5.2.1.2 prikazuje kodovanje i dekodovanje informacione sekvence (bez grešaka u prenosu). {an}

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

{an-1}

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

{bn}

0

1

0

-1

1

-1

0

0

1

-1

1

0

{y(nT)}

0

1

0

-1

1

-1

0

0

1

-1

1

0

{aˆ n-1}

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

{aˆ n }

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

Tabela 5.2.1.2 Kodovanje i dekodovanje dikoda

Pretpostavljene vrednosti su podvučene. Dekodovani niz simbola jednak je originalnoj poruci, {aˆ n }={a n } . Problem je što kada nastane greška u prenosu, yˆ (nT ) ≠ y (nT ) , ona će zbog povratne veze u odlučivanju prouzrokovati prostiranje greške. Pomoću dikoda se eliminiše jednosmerna komponenta u spektru digitalnog signala. Impulsi u digitalnom signalu će naizmenično biti kodovani pozitivnim, odnosno negativnim nivoom, što će u relativno kratkom vremenskom intervalu eliminisati jednosmernu komponentu. To se jasno vidi i u prenosnoj karakteristici linijskog kodera (Slika 5.2.1.3), koja potiskuje jednosmernu komponentu (učestanosti oko 0 Hz). c) Tabela 5.2.1.3 prikazuje kodovanje i dekodovanje dikoda sa greškom prenosu koja je nastala na šestom simbolu. Masnim brojevima je označen pogrešno dekodovani deo poruke.

{an}

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

{an-1}

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

{bn}

0

1

0

-1

1

-1

0

0

1

-1

1

0

{y(nT)}

0

1

0

-1

1

-1

0

0

1

-1

1

0

{ yˆ (nT )}

0

1

0

-1

1

0

0

0

1

-1

1

0

{aˆ n-1}

0

0

1

1

0

1

1

1

1

?

?

?

{aˆ n }

0

1

1

0

1

1

1

1

2

?

?

?

Tabela 5.2.1.3 Dekodovanje dikoda sa greškom u prenosu šestog simbola

86

LINIJSKO KODOVANJE

Problem prostiranja greške kod linearnih linijskih kodova rešava se prekodovanjem originalne poruke, što se u slučaju dikoda i duobinarnog koda svodi na diferencijalno kodovanje. Ako u linearnom sistemu formalno zamenimo redosled linijskog kodera i njegovog dekodera, novi, tzv. prekodovani linearni linijski koder imaće strukturu kao na slici (Slika 5.2.1.2). Ovo je tzv. AMI (Alternate Mark Inversion) kod. Treba uočiti da operacija prekodovanja za razliku od starog dekodera ima sabirač po modulu 2. Novi dekoder, aˆ n = mod 2( y (nT ) ) biće bez memorije (bez povratne veze) i neće doći do prostiranja greške. Na primer: {an}

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

{cn-1}

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

{cn}

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

{bn}

0

1

-1

0

1

0

0

0

-1

0

1

-1

{y(kT)}

0

1

-1

0

1

0

0

0

-1

0

1

-1

{ yˆ (kT )}

0

1

-1

0

1

1

0

0

-1

0

1

-1

{aˆ k }

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

Tabela 5.2.1.4 Kodovanje i dekodovanje AMI koda sa greškom u prenosu šestog simbola

U slučaju AMI (Alternate Mark Inversion) koda (prekodovanog dikoda) nema prostiranja greške. 5.2.2 Na slici (Slika 5.2.2.1) je dat linijski koder kojim se koduje binarni signal

x(t ) =

∞

∑ anδ (t − nT ) ,

sa statistički nezavisnim, jednako verovatnim simbolima

n = −∞

a n ∈ {−d ,d } . 1 ⎧ ⎪T , | f |≤ 2T , H( f ) = ⎨ 1 ⎪ 0, | f |> . 2T ⎩

Slika 5.2.2.1 Duobinarni kod

Linijski koder uobličava spektar, a filtar H ( f ) ga ograničava na Nikvistov opseg. D je kolo za kašnjenje za digitski takt T. a) Odrediti i nacrtati prenosnu karakteristiku predajnika G ( f ) i impulsni odziv g(t). b) Odrediti SGSS digitalnog signala na izlazu linijskog kodera. Koliki je propusni opseg potreban za prenos ovog signala? c) Odrediti vrednosti signala y(t ) u trenucima odabiranja kT. Odrediti strukturu dekodera.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

87

d) Na primeru poruke {in } = {00100010101011} koju generiše izvor prikazati dekodovane nizove kada je greška nastala pri prenosu šestog simbola originalnog niza. e) Ponoviti zadatak pod d) ako je prethodno izvršeno diferencijalno kodovanje. Rešenje:

a) Slično kao u prethodnom zadatku, lako se dobija:

(

G ( f ) = 1 + e − j 2πfT

)

⎧ − jπfT ⎪ 2T cos(πfT ) ⋅ e ⋅ H ( jf ) = ⎨ ⎪ 0 ⎩

1 , 2T 1 | f |> . 2T

| f |≤

Amplitudska karakteristika i impulsni odziv predajnika su 1 ⎧ ⎪ 2T | cos(πfT ) | | f |≤ 2T , | G ( f ) |= ⎨ 1 ⎪ 0 | f |> , 2T ⎩ g (t ) =

⎛π ⎞ sin⎜ t ⎟ ⎝T ⎠

π

T

t

+

⎛π ⎞ sin⎜ (t −T )⎟ ⎝T ⎠

π

T

(t−T )

⎛π ⎞ sin⎜ t ⎟ ⎝T ⎠ . = t⎞ π ⎛ t ⎜1 − ⎟ T ⎝ T⎠

Slika 5.2.2.2 prikazuje prenosnu karakteristika i impulsni odziv predajnika. Ovde treba spomenuti da se duobinarno kodovanje umesto digitalnim koderom može realizovati analognim kolima koja će uobličiti spektar tako da izgleda kao na slici (Slika 5.2.2.2). Ovakav impulsni odziv je daleko lakše aproksimarati i realizovati nego impulsni odziv minimalnog spektra kao što je H ( f ) . Naravno, mana (uslovno rečeno) ovakvog pristupa je to što sada postoji intersimbolska interferencija, ali ona je kontrolisana i može se lako eliminisati.

Slika 5.2.2.2 Prenosna karakteristika i impulsni odziv duobinarnog koda

b) Srednja vrednost i varijansa informacionog sadržaja digitalnog signala x(t ) su: a=

1 1 1 1 d + (− d ) = 0, σ a2 = a 2 = d 2 + (−d ) 2 = d 2 , 2 2 2 2

σ a2

d2 . T T SGSS linijski kodovanog signala je na osnovu izraza (3.19) data kao:

pa je SGSS data sa S x ( f ) =

=

88

LINIJSKO KODOVANJE

1 ⎧ 4Td 2 cos 2 (πfT ) | f |≤ , ⎪ 2T S y ( f ) = S x ( f )⋅ | G ( jf ) | 2 = ⎨ 1 ⎪ 0 | f |> . 2T ⎩ Vidi se da je propusni opseg potreban za prenos B = 1 2T , tj. isti je kao i za signal sa minimalnim spektrom sa idealno ravnom frekvencijskom karakteristikom. c) Na izlazu iz predajnika, u trenucima kT interferiraju (na poznat način - kontrolisano) dva simbola: y (kT ) =

∞

∑ an g ((k − n)T ) = ak + ak −1 .

n = −∞

Koder ima FIR (Finite Impulse Response), a dekoder IIR (Infinite Impulse Response) strukturu: aˆ n = yˆ (nT ) − aˆ n −1 . Odlučivač je kvantizer sa onoliko nivoa koliki je alfabet (Slika 5.2.2.3). Dekoder uspešno eliminiše uticaje šuma i smetnji ukoliko su oni manji od polovine rastojanja susednih simbola u alfabetu. Međutim, kada dođe do greške, ona se prostire zbog povratne veze u IIR strukturi dekodera.

Slika 5.2.2.3 Duobinarni dekoder

d) Poruka koju generiše izvor je {in}. Odgovarajuća informaciona sekvenca {an} digitalnog signala x(t ) uzima vrednosti iz polarnog alfabeta {-d, d}. Duobinarno kodovanje daje bn = a n + a n−1 . Kvaziternarni niz koji se prenosi je y (nT ) = bn . Dekodovanje poruke daje aˆ n = yˆ (nT ) − aˆ n −1 . {in}

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

-d

-d

d

-d

-d

-d

d

-d

d

-d

d

-d

d

d

{bn}

0

-2d

0

0

-2d -2d

0

0

0

0

0

0

0

2d

{y(nT)}

0

-2d

0

0

-2d -2d

0

0

0

0

0

0

0

2d

{ yˆ (nT )}

0

-2d

0

0

-2d

0

0

0

0

0

0

0

0

2d

{an}

d

{aˆ n }

d

-d

-d

d

-d

-d

d

-d

d

-d

d

-d

d

-d

3d

{iˆn }

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

?

Tabela 5.2.2.1 Duobinarno kodovanje i dekodovanje sa greškom u prenosu šestog simbola

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

89

Greška aˆ n ≠ a n prostire se nakon pogrešno primljenog simbola. Pogrešno dekodovane vrednosti označene su masnim znacima, a pretpostavljene vrednosti su podvučene. Dekodovana vrednost 3d predstavlja indikaciju da je došlo do greške. e) Ako se pre duobinarnog prenosa izvrši diferencijalno kodovanje originalne poruke (prekodovanje), princip odlučivanja se menja i rad dekodera, ispravljač i komparator, više ne zavisi od prethodnih odluka, pa nema prostiranja greške. Diferencijalno kodovana poruka je cn = in ⊕ c n −1 . Njoj je pridružena polarna binarna informaciona sekvenca {an}. Ona se dalje duobinarno koduje bn = a n + a n−1 . {in}

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

{cn}

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

{an}

d

d

d

-d

-d

-d

-d

d

d

-d

-d

d

d

-d

d

{bn}

2d 2d

0 -2d -2d -2d 0

2d

0 -2d 0

2d

0

0

{y(nT)}

2d 2d

0 -2d -2d -2d 0

2d

0 -2d 0

2d

0

0

{ yˆ(nT)}

2d 2d

0 -2d -2d 0

0

2d

0 -2d 0

2d

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

{iˆn }

0

0

0

1

0

1

Tabela 5.2.2.2

Dekoder prekodovanog linearnog linijskog kodera radi bez memorije; u ovom slučaju princip odlučivanja može eksplicitno da se opiše kao: ⎧ 0 yˆ (nT ) = ±2d , in = ⎨ yˆ (nT ) = 0. ⎩1 Sada greška, iˆn ≠ in , postoji samo na pogrešno prenetom (šestom) simbolu i ne prostire se dalje. 5.2.3

Linijskim koderom prikazanim na slici (Slika 5.2.3.1), koduje se binarni signal x(t ) =

∞

∑ an hT (t − nT )

sa statistički nezavisnim, jednako verovatnim simbolima iz

n = −∞

alfabeta a n ∈ {−d ,d } i spektrom elementarnog impulsa: 1 ⎧ ⎪T [1 + cos(πfT )] | f |≤ T , HT ( f ) = ⎨ 1 ⎪ 0 | f |> , T ⎩ 1 ⎧ ⎪T | f |≤ 2T , H( f ) = ⎨ 1 ⎪ 0 | f |> . 2T ⎩ Slika 5.2.3.1 Modifikovani duobinarni kod (1-2D)

90

LINIJSKO KODOVANJE

Linijski koder uobličava spektar, a filtar H ( f ) ga ograničava na Nikvistov opseg. 2D je kolo za kašnjenje za dva digitska takta. a) Odrediti i nacrtati prenosnu karakteristiku predajnika G ( f ) i impulsni odziv g(t). b) Odrediti SGSS linijski kodovanog digitalnog signala y(t ) . c) Ako se odabiranje signala y(t ) vrši u trenucima kT, odrediti način dekodovanja. Rešenje:

a) Amplitudska karakteristika predajnika je: 1 ⎧ T fT f 2 | sin( 2 ) | | | ≤ , π ⎪ T 2 | G ( f ) |= ⎨ 1 ⎪ 0 | f |> . 2T ⎩ Impulsni odziv predajnika je: g (t ) =

⎛π ⎞ sin⎜ t ⎟ ⎝T ⎠

π

T

−

⎛π ⎞ sin⎜ (t−2T )⎟ ⎝T ⎠

t

π

T

.

(t−2T )

Slika 5.2.3.2 Prenosna karakteristika i impulsni odziv modifikovanog duobinarnog koda (1-2D)

b) Statistički parametri informacionog sadržaja digitalnog signala na ulazu linijskog kodera su a = 0 i σ a2 = d 2 , pa je njegova SGSS: ⎧ 1 ⎛ πfT ⎞ 4Td 2 cos 4 ⎜ ⎟ | f |≤ , ⎪ d2 ⎪ T ⎝ 2 ⎠ Sx ( f ) = | H T ( f ) |2 = ⎨ 1 T ⎪ > f 0 | | . ⎪⎩ T SGSS kodovanog signala biće

1 ⎧ 16T 3 d 2 cos 4 (πfT / 2)sin 2 (2πfT ) | f |≤ , ⎪ 2T S y ( f ) = S x ( f )⋅ | G ( f ) | 2 = ⎨ 1 ⎪ 0 | f |> . 2T ⎩ c) Ovaj koder uobličava spektar uz kontrolisanu ISI Signal y (t ) može se napisati u obliku:

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

y (t ) = x(t ) ∗ g (t ) =

91

∞

∑ an ⋅ (hT (t ) ∗ g (t )) ,

tako da je njegova vrednost u trenucima

n = −∞

odabiranja data sledećim izrazom: y (nT ) = 2a n − 2a n −2 i y (nT ) ∈ {−2,0,2} . Dekodovanje je jednostavno, aˆ n =

yˆ (nT ) + aˆ n− 2 , a prostiranje greške rešava se 2

prekodovanjem. 5.2.4

Kodovati informacionu sekvencu 10000000011100001000 pomoću: a) AMI koda, b) HDB3 (High Density Bipolar 3) koda. Rešenje:

Kodovanje pomoću AMI koda je prikazano u tabeli (Tabela 5.2.4.1). Postupak kodovanja je vrlo jednostavan, jedinice se naizmenično koduju pozitivnim i negativnim impulsima, pri čemu je izbor početne vrednosti proizvoljan (ovde je izabrana pozitivna vrednost). Obično se umesto vrednosti ±1, koristi oznaka B, što je skraćeno od Bipolar. informaciona sekvenca AMI kodovana sekvenca

1

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

0 0 0 0

+1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 +1 0 0 0 0

-1

0 0 0 0

B

B

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

1

B

1

B

0 0 0 0

Tabela 5.2.4.1

a) Problem koji postoji kod AMI koda je to što je moguća pojava dugog niza nula, što može dovesti do gubitka sinhronizacije između predajnika i prijemnika. Da bi se ovo sprečilo u praksi se često koriste HDBn kodovi, npr. za linijsko kodovanje PDH (Plesiochronus Digital Hierarchy) i ISDN signala. Pritom je n oznaka nekog prirodnog broja. HDBn kodovi su slični AMI kodu, uz jednu bitnu razliku – ukoliko dođe dođe do pojave sekvence sa n + 1 uzastopnom nulom ova sekvenca se zamenjuje sekvencom koja se završava veštački umetnutim impulsom. Umetnuti impuls je istog polariteta kao i prethodna jedinica (prethodni B impuls), što ga na prijemu jasno identifikuje i lako ga je ukloniti, i obično se označava sa V (skraćeno od Violation - povreda alternativne promene znaka). Postoji još jedan dodatni koncept kod HDBn kodova, a to je da se mora obezbediti da uzastopni V impulsi budu suprotnog polariteta, jer se na taj način srednja vrednost digitalnog signala održava na nivou 0. Uzevši u obzir gore navedeno, dolazi se do sledećeg algoritma za HDBn kodovanje:

92

LINIJSKO KODOVANJE

originalna sekvenca

HDBn kodovanje broj B impulsa između dve zamene neparan

broj B impulsa između dve zamene paran (ili nula)

n +148 647 000 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0V

n +148 647 B00 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0V

n +148 647 000 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 00

Na ovaj način se postiže da je u kodovanoj sekvenci maksimalno moguće da se pojavi n nula. Treba primetiti da se postoje dve vrste zamene, koje obezbeđuju da uzastopni V simboli budu suprotnog polariteta, kao i da se u drugoj vrsti zamene, pored V impulsa forsira i B impuls na početku sekvence. HDB3 je jedan iz familije HDBn kodova. Konkretno za HDB3 kod, algoritam kodovanja je: originalna sekvenca

HDB3 kodovanje broj B impulsa između dve zamene je neparan

broj B impulsa između dve zamene je paran (ili nula)

000V

B00V

0000

Tabela 5.2.4.2 prikazuje HDB3 kodovanje date informacione sekvence (zasenčeni su delovi sekvence koji su pretrpeli zamenu). Prvu zamenu u informacionom nizu smo proizvoljno izabrali da bude 000V. informaciona sekvenca

1

0 0 0

0

0

0 0

0

1

1

0

0 0

0

1

0 0 0

0

AMI kodovana sekvenca

+1 0 0 0

0

0

0 0

0

-1 +1

0

0 0

0

-1

0 0 0

0

B

0

0

0 0

0

B

0

0 0

0

B

0 0 0

0

HDB3 kodovana sekvenca

+1 0 0 0 +1 -1 0 0 +1 -1 +1 -1 0 0 -1 +1 0 0 0 -1 B

0 0 0

0 0 0

V

B

0 0

V

B

B

B

B

0 0

V

B

0 0 0

V

Tabela 5.2.4.2

Na kraju treba reći da su HDBn kodovi uobičajen primer nelinearnih PT linijskih kodova.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

93

VEŽBA 3

PSEUDO-SLUČAJNE SEKVENCE I PRIPREMA VEŽBE (DOMAĆI ZADATAK) P1) Perioda PN (Pseudo-Noise) sekvence P1.1. Za pomerački registar realizovan u skladu sa polinomom h( D) = 1 + D 2 + D 5 odrediti periodu generisane sekvence. Usvojiti da je početno stanje registra različito od nule. Odrediti broj jedinica i nula u dobijenoj sekvenci. P2) Ciklična autokorelacija PN sekvence P2.1. Napisati MATLAB kod koji implementira generator PN sekvence u vidu MLSR proizvoljne dužine. Ulazni parametar predstavlja vektor-vrstu koja predstavlja koeficijente polinoma u opadajućem redosledu. Tako npr. polinomu h( D) = 1 + D 2 + D 5 iz prethodnog zadatka odgovara vektor-vrsta [1 0 0 1 0 1]. Za dužinu registra m = 12 ([1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1]) odrediti i prikazati periodičnu autokorelaciju funkciju definisanu izrazom: L

R c ( m ) = ∑ c n c n + m , 0 ≤ m ≤ L − 1. n =1

Da li se dobijene vrednosti slažu sa teoretskim? P3) Osobine PN sekvenci generisanih pomoću više pomeračkih registara P3.1. Napisati MATLAB kod koji implementira dva MLSR, dužina m = 3 i m = 4, a zatim od njihovih izlaznih sekvenci formira novu sekvencu formira sabiranjem po modulu 2. Da li je dobijena sekvenca periodična? Ako jeste koji je njen period? Odrediti i prikazati njenu autokorelaciju funkciju. II ZADATAK VEŽBE UPOTREBA PN SEKVENCI 1) GOLD-ove sekvence 1.1. Generisati L = 31 Gold-ovu sekvencu korišćenjim dva MLSR dužine m = 5 ([1 0 0 1 0 1] i [1 1 0 1 1 1]) i sabiranjem po modulu 2 njihovih izlaznih sekvenci . Da li je dobijena sekvenca periodična? Ako jeste, koji je njen period? Odrediti i prikazati njenu autokorelaciju funkciju. Odrediti i prikazati njihove auto- i među-korelacione funkcije. 2) Skrembleri 2.1. Upotrebom PN generatora realizovati set-reset i samosinhronišući skrembler.

94

VEŽBA 3

3) Poređenje različitih realizacija 3.1. Uporediti sekvence dobijene pod 1) i 2) sa sekvencama koje daju blokovi iz Simulink/ Communications Blockset: generator Goldovih sekvenci i skrembler.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

95

6 PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU 6.1

UVOD Prenos u osnovnom opsegu često se naziva impulsna amplitudska modulacija (PAM - Pulse Amplitude Modulation), jer se elementarnom impulsu, koji se prenosi u signalizacionom intervalu T, dodeljuju različite diskretne vrednosti amplituda. Deo opšte blok šeme sistema za prenos digitalnih signala sa slici 1.1. (od tačke B do tačke E), koji je relevantan za prenos signala u osnovnom opsegu učestanosti, prikazan je na slici 6.a.

Slika 6.a Sistem za prenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestanosti

H T ( f ) , H C ( f ) i H R ( f ) predstavljaju funkcije prenosa predajnog filtra, kanala i prijemnog filtra, respektivno. Predajni filtar uobliči signal i prilagodi ga kanalu, a uloga prijemnog filtra se odnosi na smanjenje uticaja šuma i smetnji. Signal u tački B, na ulazu sistema ima oblik: s B (t ) =

∞

∑ ak δ (t − kT )

(6.1)

k = −∞

a u tački C: sC (t ) =

∞

∑ ak hT (t − kT )

(6.2)

k = −∞

pri čemu je hT (t ) impulsni odziv predajnog filtra. U tački D, ispred odlučivača signal je: s D (t ) =

∞

∑ ak h(t − kT ) + n(t )

(6.3)

k = −∞

gde je n( t ) uskopojasni šum na izlazu prijemnog filtra, a h ( t ) je impulsni odziv sistema čija je Furijeova transformacija oblika: H ( f ) = H T ( f ) H C ( f ) H R ( f ) = A( f )e jθ ( f )

(6.4)

Usled ograničenog propusnog opsega i izobličenja tokom prenosa doći će do intersimbolske interferencije koja zajedno sa šumom može da prouzrokuje greške u prenosu. 6.1.1

Intersimbolska interferencija (ISI)

Pošto je sistem linearan borbu protiv šuma i ISI posmatraćemo odvojeno. Kako projektovati H T ( f ) i H R ( f ) da se minimizuje ISI?

96

PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

Odlučivač odlučuje o simbolu a k na osnovu odbirka primljenog digitalnog signala sD ( t ) uzetog u trenutku kT, slika 6.b. Pretpostavlja se ispravan rad ekstraktora takta, tj. sinhron prenos.

Slika 6.b Sistem za prenos digitalnih signala u osnovnom opsegu

s D (kT ) =

∞

∑ an ⋅ h(kT − nT ) = a k ho +

n = −∞

∞

∑ a n hk − n

(6.5)

n = −∞ n≠k

gde je: ⋅ a k - simbol o kojem se donosi odluka na osnovu odbirka sD ( t ) uzetog u t = kT ⋅ ho - vrednost impulsnog odziva u trenutku t = 0. Neželjena komponenta odbirka sD ( kT ) : ik =

∞

∑ an hk −n

(6.6)

n = −∞; n≠k

posledica je izobličenja elementarnog impulsa i naziva se intersimbolska interferencija (ISI). Za odbirak u kT = 0, ISI je: i0 =

∞

∑ a n h− n = ∑ a − n h n

n = −∞; n≠0

(6.7)

n≠0

Maksimalna ISI je: ⎧ ∞ ⎫ ⎪ ⎪ imax = max{i} = max ⎨ ∑ a − n hn ⎬ = ( M − 1)d ⋅ ∑ hn . n≠0 ⎪n= −∞ ⎪ ⎩ n ≠0 ⎭ Varijansa ISI je: 2

σi2 = i 2 − i Ova veličina se može izračunati na tri načina: 1. kada je poznata gustina raspodele verovatnoće ISI, GRV(i):

σ i2 = i 2 = ∑ P(i ) ⋅ i 2 ∀i

(6.8)

(6.9)

(6.10)

(

)

jer je GRV(i) parna funkcija i = 0 ; 2. kada je poznat elementarni impuls h( t ) digitalnog signala:

σ i2 = σ a2 ∑ hn2 n ≠0

gde je σ2a varijansa informacionog sadržaja; 3. kada je poznata funkcija prenosa sistema H ( f ) :

(6.11)

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

σ i2

6.1.2

⎧

⎪1 = σ a2 ⎨ ⎪⎩T

1 / 2T

∫

−1 / 2T

2 ⎫ n⎤ ⎡ 2⎪ H f df h + − ∑ ⎢⎣ T ⎥⎦ 0⎬ n ⎪⎭

97

(6.12)

Idealni sistem prenosa

Za digitalni signal čiji se simboli prenose u ritmu digitalnog takta T, idealni sistem minimalnog propusnog opsega zadovoljava sledeće uslove: ⎧ ⎪K A( f ) = ⎨ ⎪0 ⎩ θ ( f ) = kf ,

f ≤

1 = fN 2T

drugde,

gde su K i k konstante. Impulsni odziv idealnog sistema je oblika: sin πt T K h(t ) = ho , ho = = const T πt T

(6.13)

(6.14)

Nikvistova brzina signaliziranja jeste maksimalna brzina signaliziranja koja u idealnom sistemu obezbeđuje prenos bez intersimbolske interferencije. Data je izrazom: 1 vs = = 2 f N (6.15) T Digitalni protok (brzina prenosa informacija) definisan je izrazom: ld M [ b s] (6.16) vd = T i predstavlja količinu prenete informacije u jedinici vremena. 6.1.3

Prvi i drugi nikvistov kriterijum

Prvi Nikvistov kriterijum (I NK) odnosi se na prenos digitalnih signala, kod kojih se odluka na prijemu donosi na osnovu amplitude odbiraka uzetih na sredini svakog signalizacionog intervala. Njegova formulacija u vremenskom domenu glasi: h(kT ) = ho ⋅ δ k ,o , (6.17) gde je δ k ,0 Kronecker-ova delta funkcija definisana izrazom: ⎧1 k = m, ⎩0 k ≠ m.

δ k ,m = ⎨

Formulacija I NK u frekvencijskom domenu ima analitički oblik: . ∞ 1 1 ∑ H [ f + nf s ] = Tho , f ≤ 2T = f N , f s = T n = −∞

(6.18)

(6.19)

Drugi Nikvistov kriterijum (II NK) definiše uslov prenosa signala bez izobličenja trajanja signalizacionog intervala. Analitička formulacija ovog uslova u vremenskom domenu ima oblik: T⎤ h ⎡ h ⎢(2k − 1) ⎥ = 1 (δ k ,o + δ k ,1 ), k = 0,± 1,± 2,... , 2⎦ 2 ⎣

gde je h1 = konstanta. U frekvencijskom domenu II NK glasi:

(6.20)

98

PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU ∞

∑ (−1) n ⋅ H [ f + nf s ] = Th1 cos(πTf ),

f ≤

n = −∞

6.1.4

1 1 = fN , fs = . 2T T

(6.21)

Kontrolisana ISI- duobinarni prenos

Ovo je tehnika koja se bazira na II NK i omogućava udvostručavanje brzine signaliziranja u odnosu na Nikvistovu brzinu u sistemu koji ne zadovoljava uslov idealnog prenosa, uz kontrolisanu ISI. Ako se odabiranje signala, koji predstavlja odziv na signal poslat u trenutku kT (tačka B sistema na slici 4.a.), izvrši u trenutku t = kT − T 2 , u tački D dobija se: T⎞ ⎛ ⎛ T⎞ ⎛T⎞ s D ⎜ kT − ⎟ = a k ⋅ h⎜ − ⎟ + a k −1 ⋅ h⎜ ⎟ . ⎝ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2⎠

(6.22)

Prethodni izraz važi za sistem čija je funkcija prenosa oblika: 1 ⎧ ⎪2T cos(πfT ) f ≤ = fN , H( f ) = ⎨ 2T ⎪⎩ 0 drugde. odnosno, čiji je impulsni odziv: 4 cos(πt T ) h( t ) = ⋅ . π 1 − (2 t T ) 2

(6.23)

(6.24)

Duobinarni prenos može se tretirati kao pseudoternarni prenos sa ili bez prethodno izvršenog diferencijalnog kodovanja informacionog sadržaja.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

6.2 6.2.1

99

ZADACI Digitalni signal podataka opisan je izrazima: s (t ) =

N

∑ ak ⋅ h(t − kT ), ak ∈ {−1,1}, P(ak = −1) = P(ak = 1).

k =− N

Elementarni impuls h(t ) prikazan je na slici (Slika 6.2.1.1). Nacrtati talasni oblik dela signala s (t ) koji odgovara sekvenci {a k } = 1 1 -1 1 -1 -1 1

Slika 6.2.1.1 Elementarni impuls

Rešenje: Deo digitalnog signala koji sadrži informacionu sekvencu {a k } je: s (t ) =

3

∑ ak ⋅ h(t − kT ), {ak } = 1,1,− 1,1,− 1,− 1,1 .

k = −3

Njegov talasni oblik predstavlja superpoziciju elementarnih impulsa ponderisanih informacionim sadržajem, prenošenih u ritmu digitskog takta. U intervalu vremena − 3T < t < 3T digitalni signal ima oblik prikazan na slici (Slika 6.2.1.2). Vidi se da iako postoji preklapanje susednih impulsa, tj. intersimbolska interferencija (ISI), i dalje je moguće rekonstruisati originalnu sekvencu.

Slika 6.2.1.2 Deo digitalnog signala

6.2.2

Koliki su propusni opsezi potrebni za prenos govornog signala maksimalne učestanosti u spektru f m = 4 kHz , u slučaju analognog, odnosno digitalnog prenosa? Pretpostaviti da se za digitalan prenos govornog signala koristi PCM (Pulse Code Modulation) sa 8 bita i elementarni impuls sa minimalnim spektrom koji zadovoljava I Nikvistov uslov.

100

PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

Rešenje: Kod analognog prenosa, propusni opseg potreban za prenos je jednak maksimalnoj učestanosti u spektru, tj. B A = f m = 4 kHz . Pre digitalnog prenosa, mora se izvršiti digitalizacija signala, tj. njegovo odabiranje i kvantovanje. Odabiranje se prema dobro poznatoj teoremi o odabiranju, vrši sa učestanošću koja je dvostruko veće od maksimalne učestanosti u spektru, f S = 2 f m = 8 kHz , odnosno period koji prođe između dva odbirka je TS = 1 f S . Pošto između dva odbirka treba “smestiti” 8 bita (što znači da se vrši kvantovanje sa 28 = 256 nivoa), signalizacioni interval digitalnog signala je: T 1 Tb = S = . 8 8 fS

Kako se koristi impuls minimalnog spektra, za potreban propusni opseg dobijamo: 8f 1 = S = 4 f S = 32 kHz , BD = 2Tb 2 odnosno osam puta više nego kod analognog prenosa. 6.2.3 Izvor generiše bite sa taktom T = 125 µs koji se u predajniku koduju polarnim M-arnim alfabetom, pri čemu je M = 2, 4, i 8 (Slika 6.2.3.1). Elementarni impuls je dat sa: ⎧1 0 ≤ t ≤ T , h(t ) = ⎨ ⎩0 drugde. a) Skicirati vremenski oblik signala na izlazu predajnika, ukoliko je generisana informaciona sekvenca 010111101001. b) Uporediti brzine signaliziranja i protoke digitalnih signala u sva tri slučaja. c) Skicirati konstelacije digitalnih signala u sva tri slučaja.

Slika 6.2.3.1

Rešenje:

a) Slika prikazuje vremenski izgled digitalnog signala.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

101

Slika 6.2.3.2

b) Sa slike se jasno vidi da važi: TM = T ⋅ ld( M ) . Stoga je: 1 1 , v sM = = TM T ⋅ ld( M ) 1 1 1 = 8000 Bd , v s4 = = 4000 Bd , i v s8 = = 2667 Bd . T 2T 3T Za digitalni protok važi: ld( M ) 1 vd M = = , TM T v ss =

pa su digitalni protoci u sva tri slučaja isti i jednaki: v d M = 8000 b/s . U slučaju da je brzina signaliziranja bila ista za sva tri digitalna signala, tada bi digitalni protoci bili različiti, i bili bi u odnosu 1 : 2 : 3 . c) Svaki digitalni signal se sastoji od niza talasnih oblika, kojima se prenose informacioni simboli. U najjednostavnoj varijanti (koja se razmatra u ovom zadatku), talasni oblici su pravaougaoni impulsi, čija se amplituda menja u zavisnosti od prenošenog simbola. Koriste se i komplikovanije prenosne tehnike, npr. modulacije,

102

PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

gde se kao elementarni impulsi koriste kosinusi, čije se amplitude, faze, i/ili frekvencije menjaju u zavisnosti od prenošenog simbola. Talasni oblici (odnosno, simboli) se često predstavljaju u vidu konstelacija. U slučaju prenosa u osnovnom opsegu, konstelacija je jednodimenzionalna, a simboli su prikazani pomoću amplituda talasnih oblika kojima se prenose. Slika 6.2.3.3 prikazuje konstelacije za M = 2, 4, i 8 . M =2

M =4

M =8

Slika 6.2.3.3

Treba navesti na kraju da se mapiranje informacionih bita u simbole obično ne vrši na način prikazan na slici (Slika 6.2.3.3), već se za mapiranje koristi Grejov kod (Slika 6.2.3.4). Odlika ovog koda je da se susedni simboli koduju sekvencama koje se razlikuju za po jedan bit. Ovim se postiže minimizacija bitske greške. Naime, najverovatnija greška koja nastaje usled uticaja šuma prilikom odlučivanja na prijemu je zamena poslatog simbola za susedni. Ukoliko dođe do ovakve greške, tada će samo jedan informacioni bit biti pogrešno dekodovan. M =2

M =4

M =8

Slika 6.2.3.4

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

103

Pokazati da za elementarni impuls iz zadatka 3.2.7 važi prvi Nikvistov kriterijum. Pokazati da za podignuti kosinus, pored prvog, važi i drugi Nikvistov kriterijum:

6.2.4

H( f ) r=0

r = 0.5 r =1

−

1 T

−

1.5 T

−

1 2T

0

1 2T

1.5 T

1 T

f

Slika 6.2.4.1

Rešenje:

Pokazaćemo da elementarni impuls zadovoljava I Nikvistov kriterijum u vremenskom domenu, pošto je to jednostavnije. Vremenski oblik elementarnog impulsa je (vidi zadatak 3.2.7): sin (2πB0 t ) cos(2π (B − B0 )t ) , h(t ) = 2 πt 1 − (4(B − B0 )t ) gde je B0 = 1 2T . Lako se pokazuje da važi: h(0) = 1 , i

h(kT ) = 0, k = ±1,±2,±3,... ,

odnosno, I Nikvistov kriterijum je zadovoljen. To se može proveriti i posmatranjem spektra elementarnog impulsa (Slika 6.2.4.1), koji je neparno simetričan u odnosu na učestanost ± 1 2T . Za elementarni impuls tipa podignuti kosinus važi B = 2 B0 , a vremenski oblik impulsa je: sin (2πB0 t ) cos(2πB0 t ) h(t ) = 2 πt 1 − (4 B0 t ) Važi: 1 T⎞ 1 T⎞ ⎛ ⎛ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sin⎜ 2π ⎟ cos⎜ 2π ⎟ sin⎜ ⎟ cos⎜ ⎟ ⎛T ⎞ ⎝ 2T 2 ⎠ ⎝ 2T 2 ⎠ = ⎝2⎠ = 2 π = 1 , ⎝2⎠ h⎜ ⎟ = 2 T T 1 − (1)2 πT 4 2T ⎝2⎠ ⎛ 1 T⎞ π π 1 4 − ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 2T 2 ⎠ pri čemu je za izračunavanje korišćena granična vrednost. Pošto je h(t ) parna funkcija, dalje važi:

104

PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

⎛ T⎞ ⎛T ⎞ 1 . h⎜ − ⎟ = h⎜ ⎟ = ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ 2T

Na kraju, za vrednosti t = (2k − 1)T 2 , dobija se: ⎛ (2k − 1)π ⎞ ⎛ (2k − 1)π ⎞ sin ⎜ ⎟ ⎟ cos⎜ T⎤ 2 2 ⎡ ⎝ ⎠ = 0, ⎝ ⎠ h ⎢(2k − 1) ⎥ = 2 (2k − 1)πT 1 − (2k − 1) 2⎦ ⎣ 2 čime je pokazano da je zadovoljen i II Nikvistov kriterijum.

6.2.5 Koji je teoretski minimalan propusni opseg potreban za prenos digitalnog signala protoka 10 Mbit/s, pri čemu su informacioni simboli iz alfabeta sa 16 elemenata? Ukoliko kanal koji se koristi za prenos signala ima propusni opseg od 1.375 MHz, koliki je maksimalno dozvoljen roll-off faktor r (definisan u zadatku 3.2.7)? Rešenje:

Brzina signaliziranja je sa digitalnim protokom povezana sledećim odnosom: vd 10 Mbit/s vS = = = 2.5 MBd . ld(M ) ld(16) Minimalno potreban propusni opseg je (shodno I Nikvistovom kriterijumu): v 1 B0 = = S = 1.25 MHz . 2T 2 Ako je propusni opseg sistema B = 1.375 MHz , tada je maksimalno dozvoljeni roll-off faktor: B − B0 r= = 0,1 . B0 6.2.6 M-arni signal sa alfabetom A = { Am = 2md − ( M −1)d , m = 0,1,2,L , ( M −1)} prenosi se sistemom čiji su impulsni odziv h(t ) i prenosna karakteristika H ( f ) .

a) Pokazati da je GRV (gustina raspodele verovatnoće) ISI parna funkcija. b) Za M = 2 i h0 = 1 , h− 2 = 0,1 , h−1 = −0,2 , h1 = 0,3 , h2 = −0,1 i h(kT ) = 0 za | k |> 2 nacrtati GRV i KGRV (kumulativna GRV) i ucrtati maksimalnu i srednju kvadratnu ISI.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

105

Slika 6.2.6.1 Impulsni odziv sistema

Rešenje:

a) Za neku konkretnu kombinaciju "x" simbola u nekom delu informacione sekvence {a nx } može se izračunati ISI u trenutku odlučivanja:

i ( x ) = ∑ a n( x ) ⋅ h− n . n ≠o

GRV je parna ako i samo ako za svaku vrednost ISI, i ( x ) , postoji jednako verovatna ISI, - i ( x ) : i ( y ) = −i ( x ) = ∑ (− a n ( x ) ) ⋅ h−n = ∑ a n( y ) ⋅ h−n . . n≠0

n ≠0

Primer (d = 1, M = 4): {a n( x ) } = ... 1 3 − 3 1 − 1... ⇒ i ( x ) , {a n( y ) } = ...− 1− 3 3 − 1 1... ⇒ i ( y ) = −i ( x ) .

Dakle, pošto su svi simboli i sve kombinacije simbola jednako verovatne, za svaku kombinaciju simbola koja daje neku vrednost ISI i ( x ) , postoji jednako verovatna kombinacija simbola koja daje - i ( x ) , pa je GRV(i) parna funkcija, bez obzira na oblik h( t ) . b) Digitalni signali na ulazu i izlazu sistema su respektivno: ui (t ) =

∞

∑ anδ (t − nT ) , i u o (t ) =

n = −∞

∞

∑ an h(t − nT ) .

n = −∞

Kako je propusni opseg realnih sistema konačno širok, tj. H( f ) ≠ 0 ⇔ f < fg , to će za posledicu imati vremensko proširenje elementarnog impulsa u kanalu. U ovom zadatku h( t ) je poznat u tačkama t = kT (Slika 6.2.6.1). U trenutku odlučivanja o a 0 ISI je:

106

PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

i=

∞

∑ an ⋅ h−n = 0,1 ⋅ a+2 − 0,2 ⋅ a+1 + 0,3 ⋅ a−1 − 0,1 ⋅ a−2 .

n = −∞ n≠0

U trenutku t = 0 ISI prouzrokuju 4 simbola. Tako postoji 2 4 mogućih kombinacija 4 binarna signala koji učestvuju u ISI Pojedinim kombinacijama tih simbola odgovaraju konkretne vrednosti ISI. k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

a−2

-d +d -d +d -d +d

-d

a−1

-d

-d +d +d -d

+d +d -d

a1

-d

-d

-d

-d +d +d +d +d -d

a2

-d

-d

-d

-d

-d

-d

-d

9

10 11 12 13 14 15

+d -d +d -d +d -d +d -d +d -d +d +d -d -d

-d

-d +d +d

-d +d +d +d +d

-d +d +d +d +d +d +d +d +d

-d

i d -0,1 -0,3 0,5 0,3 -0,5 -0,7 0,1 -0,1 0,1 -0,1 0,7 0,5 -0,3 -0,5 0,3 0,1 Tabela 6.2.6.1 Sve moguće vrednosti normalizovane ISI I = i/d

Maksimalna ISI se direktno očitava iz tabele (Tabela 6.2.6.1). svih mogućih vrednosti ISI, kao max{|i|} , ili se izračunava po definicionom izrazu (4.8): imax = ( M − 1)d ⋅ ∑ hn = d ⋅ (0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,1) = 0,7 d . n≠0

Nakon što se izračunaju sve moguće vrednosti ISI za određivanje GRV(i) potrebno je odrediti verovatnoće pojedinih vrednosti ISI Za to se može iskoristiti druga tabela (Tabela 6.2.6.2) u kojoj su navedene frekvencije pojavljivanja pojedinih vrednosti ISI id

-0,7

-0,5

-0,3

-0,1

0,1

0,3

0,5

0,7

f (i)

1

2

2

3

3

2

2

1

Tabela 6.2.6.2 Frekvencija pojedinih ISI

Verovatnoće pojedinih vrednosti ISI su: P(i ) =

f (i ) . 16

GRV( i ) 3 16 2 16

3 16

2 16

2 16

2 16

1 16

-0,7 -0,5 -0,3 -0,1

1 16

0

0,1

0,3

0,5

0,7

i/d

Slika 6.2.6.2 Gustina raspodele verovatnoća ISI

Varijansa ISI može se izračunati pomoću nekog od izraza (6.10)÷(6.12):

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

107

M 2 −1 2 2 σ = d ∑ hn = d 2 [0,12 + (−0,2) 2 + 0,3 2 + (−0,1) 2 ] = 0,15d 2 , 3 n≠0 2 i

ili:

σ i2 = i 2 =

∑ P(i )i

2

∀i

=

1 2 ( −0,7d ) 2 + ( −0,5d ) 2 + ... = 0,15d 2 ; 16 16

σ i = 0,39d .

Slika 6.2.6.3 Inverzna kumulativna funkcija gustine raspodele verovatnoća ISI

6.2.7

Na slici (Slika 6.2.7.1) je prikazan sistem za prenos podataka. Brzina prenosa koju diktira 1 izvor je vd = [b s] . Podaci se prenose δ -impulsima, tj. s (t ) = ∑ a k δ (t − kT ) , gde je T0 k T signalizacioni interval. Prenosna karakteristika sistema je: ⎧ ⎪2T [1 + cos(2πfT0 )] H( f ) = ⎨ 0 ⎪⎩ 0

1 , 2T0 drugde.

f ≤

Odrediti sve moguće vrednosti ISI na mestu prijema ispred odlučivača u trenucima odlučivanja t = nT, i to u slučaju: a) kada se prenose binarni signali, b) kada se prenose kvaternarni signali.

Slika 6.2.7.1 Sistem za prenos podataka

Rešenje:

Digitalni signal na prijemu je oblika: s D (t ) = ∑ a k h(t − kT ). k

108

PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

Za izračunavanje ISI treba odrediti oblik impulsnog odziva h( t ) na ulazu u odlučivač: ⎛π sin⎜⎜ T h(t ) = ∫ 2T0 [1 + cos(2πfT0 )]e j 2πft df = 2 ⎝ 0 π −1 / 2T0 t T0 1 / 2T0

⎞ ⎞ ⎞ ⎛π ⎛π t ⎟⎟ sin⎜⎜ (t − T0 ) ⎟⎟ sin⎜⎜ (t + T0 ) ⎟⎟ ⎠ + ⎝ T0 ⎠ + ⎝ T0 ⎠.

π

T0

(t − T0 )

π

T0

(t + T0 )

Treba uočiti da je h(t ) funkcija od T0 a ne od T. Sledi: h(0) = 2, h(T0 ) = 1, h(−T0 ) = 1, h(kT0 ) = 0 za k > 1. Odbirak signala na osnovu kojeg odlučivač donosi odluku o prenošenom simbolu an je: s D (nT ) =

∞

∑ ak h((n − k )T ) =

k = −∞

∞

∑ a n−m h(mT ) = an h(0) +

m = −∞

∞

∑ an−m h(mT ) .

m = −∞ m≠0

Potrebno je utvrditi vezu između signalizacionog intervala T i parametra T0 koji figuriše u izrazima za H ( f ) i h(t ) : vd =

1 ld M = . T0 T

a) Za M = 2 je T0 = T . s D (nT ) = a n h(0) + a n+1h(−T0 ) + a n−1h(T0 ) = 2a n + a n−1 + a n +1 . Pri odlučivanju o simbolu a n , interferenciju prave samo dva susedna simbola: a n −1

a n +1

ISI

-1

-1

-2

-1

1

0

1

-1

0

1

1

2

Tabela 6.2.7.1 Sve moguće vrednosti ISI za M = 2

Maksimalna ISI je i max = 2 , a njena normalizovana vrednost je I max =

i max = 1 , pa je h0

dijagram oka zatvoren. b) Za M = 4 je T = 2T0 , pa je h(nT ) = 0 za n ≠ 0, odnosno digitalni protok od

1 [b s] T0

ostvaruje se bez ISI sa kvaternarnim alfabetom. 6.2.8 Spektar elementarnog signala kojim se vrši prenos binarnog digitalnog signala u osnovnom opsegu ima oblik: ⎧ 1 ⎛ πfT ⎞ ⎪T cos 2 ⎜ f ≤ , ⎟ HT ( f ) = ⎨ T ⎝ 2 ⎠ ⎪⎩ 0 drugde. Funkcija prenosa kanala ima oblik filtra idealnog propusnika niskih učestanosti:

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

109

1 ⎧ ⎪1 f ≤ − ∆f , HC ( f ) = ⎨ T ⎪⎩0 drugde. Prenos se vrši digitalnim protokom od 2400 b/s. T je signalizacioni interval. a) Odrediti impulsni odziv h( t ) sistema.

b) Ako je ∆f = 0, pokazati da h( t ) zadovoljava I i II Nikvistov kriterijum. 0,2 : T c) Odrediti sve vrednosti ISI za poruku koja sadrži 5 simbola (1, 1, 1,-1, 1) a odlučivanje se vrši u trenucima t = kT; d) Odrediti vrednost šuma u trenutku odlučivanja o najugroženijem simbolu koja je dovoljna da odlučivač pogreši; e) Izračunati maksimalni digitalni protok koji se može postići kroz dati kanal pa da ne dođe do ISI.

Ako je ∆f =

Rešenje:

a) Standardni odziv (odziv kanala na pobudu elementarnim impulsom hT ( t ) ) jeste: fg

h(t ) =

∫ H C ( f ) H T ( f )e

j 2πft

df

− fg

⎡ ⎡ ⎛ T ⎞⎤ ⎛ T ⎞⎤ sin ⎢2πf g ⎜ t + ⎟⎥ sin ⎢2πf g ⎜ t − ⎟⎥ sin(2πf g t ) f g 2 ⎠⎦ f g 2 ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎣ ⎣ T T = f gT + + , 2πf g t 2 2 ⎛ T⎞ ⎛ T⎞ 2πf g ⎜ t + ⎟ 2πf g ⎜ t − ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ 1 f g = − ∆f . T

Slika 6.2.8.1 Standardni odziv kosinus-kvadrat sistema

b) Za ∆f = 0 je f g =

1 : T

110

PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

t⎞ t t ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ sin ⎜ 2π ⎟ sin ⎜ 2π + π ⎟ sin ⎜ 2π − π ⎟ ⎝ T ⎠ + 0,5 ⎝ T ⎠ + 0,5 ⎝ T ⎠; h(t ) = t t t ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2π ⎜ 2π + π ⎟ ⎜ 2π − π ⎟ T ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠

h(kT ) =

sin(2πk ) sin (2πk + π ) sin (2πk − π ). + 0,5 + 0,5 (2πk + π ) (2πk − π ) 2πk

Iz ovog izraza vidi se da je: h(0) = 1 , i h(kT ) = 0 za k ≠ 0 ; odnosno zadovoljen je I Nikvistov kriterijum. Kako je još i: T⎞ ⎛ T⎞ 1 ⎛ h⎜ ± ⎟ = i h⎜ (2k + 1) ⎟ = 0 , za k ∉{0,− 1}, 2⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ 2 zadovoljen je i II Nikvistov kriterijum. 1 1 1 c) Za ∆f = 0,2 , je f g = − ∆f = 0,8 . T T T Sledi:

⎡ ⎡ 1 ⎞⎤ 1 ⎞⎤ ⎛ ⎛ sin ⎢1,6π ⎜ k − ⎟⎥ sin ⎢1,6π ⎜ k + ⎟⎥ 2 ⎠⎦ 2 ⎠⎦ sin(1,6πk ) ⎝ ⎝ + 0,4 ⎣ + 0,4 ⎣ . h(kT ) = 0,8 1⎞ 1⎞ 1,6πk ⎛ ⎛ 1,6π ⎜ k − ⎟ 1,6π ⎜ k + ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ Tako je: h(0) = 0,987097, h(T ) = -0,00736, h(2T ) = 0,00368, h(3T ) = 0,009559, h(4T ) = 0,00582,

odnosno: i− 2 = h(T ) + h(2T ) − h(3T ) + h(4T ) = −0,007416 a − 2 = +1 i−1 = 2h(T ) − h(2T ) + h(3T ) = −0,008841

a −1 = +1

i0 = h(2T ) + h(T ) − h(T ) + h(2T ) = 0,00736

a0 = +1

i1 = h(3T ) + h(2T ) + 2h(T ) = −0,001481

a1 = −1

i2 = h(4T ) + h(3T ) + h(2T ) − h(T ) = 0,026422

a 2 = +1.

d) Najugroženiji je drugi simbol u poruci (1, 1, 1,-1, 1), pa je: s D (−T ) = a −1h(0) + i−1 = 0,987097 − 0,008841 = 0,978256 . Dakle, ako šum u trenutku odluke o a −1 bude n(−T ) < −0,9786 , odlučivač će doneti pogrešnu odluku aˆ −1 = −1 . e) Granična učestanost kanala je: 0,8 fg = = v d ⋅ 0,8 = 1920 Hz . T Bez ISI, kroz sistem tolikog propusnog opsega, može se postići digitalni protok: 2 v d1 = = 2 f g = 3840b s . T1 6.2.9 Slika 6.2.9.1 prikazuje impulsni odziv sistema za prenos podataka. Digitski takt je T.

Za binarni polarni signal na prijemu: a) odrediti sve vrednosti ISI, maksimalnu ISI i njenu varijansu;

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

b) nacrtati dijagram oka u intervalu t < 3T 4 i odrediti maržu za šum.

Slika 6.2.9.1 Impulsni odziv sistema

Rešenje:

a) Signal na prijemu je: ∞

∑ ak ⋅ h(t − kT ),

s(t ) =

k = −∞

gde je: 4 ⎧ ⎪1 − 5T t h(t ) = ⎨ ⎪ 0 ⎩

t ≤

5T , 4

drugde.

Na osnovu oblika h(t ) jasno je da se odluka o a0 donosi na osnovu: s (0) = a0 ⋅ h(0) + a −1 ⋅ h(T ) + a1 ⋅ h(−T ). Dakle, ISI je: 1 1 i = a −1 + a1 , 5 5 pa su sve vrednosti ISI date u tabeli (Tabela 6.2.9.1). a-1

a1

i

-1

-1

-2/5

-1

1

0

1

-1

0

1

1

2/5

Tabela 6.2.9.1 Sve vrednosti ISI

Maksimalna ISI je i max =

2 . 5

Varijansa ISI je:

σ i2 = ∑ P(i) ⋅ i 2 = ∀i

2

1 ⎛2⎞ 2 ⋅⎜ ⎟ = . 2 ⎝5⎠ 25

111

112

PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

b)

Slika 6.2.9.2 Dijagram oka za impulsni odziv sa slike 4.6.

Marža za šum je: m = h( 0) − imax = 3 / 5. 6.2.10 Za tri brzine signaliziranja date su vrednosti odziva sistema u trenucima odabiranja kT:

vs

k = ±3

k = ±2

k = ±1

k=0

600 Bd

0,01

0,02

0,03

1

1200 Bd

0,015

0,03

0,05

0,9

2400 Bd

0,06

0,15

0,2

0,81

Tabela 6.2.10.1 Vrednosti impulsnog odziva

h(kT )

Za ostale celobrojne vrednosti k, h(kT ) se može zanemariti. Odrediti maksimalni digitalni protok koji je moguće ostvariti u datom sistemu. Na raspolaganju je M-arni signal, gde M može biti 2, 4, 8 ili 16. Kriterijum za određivanje mogućnosti prenosa jeste otvor oka, odnosno I max < 1 . Rešenje:

Maksimalna normalizovana ISI se izračunava pomoću izraza: I max = ( M − 1)d

3

∑

k = −3 k ≠0

h(kT ) ⋅

1 M −1 3 = ∑ h(kT ) . h ( 0) d h(0) k = −3

Tabela 6.2.10.2 daje izračunate vrednosti:

k ≠0

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

113

vs

M=2

M=4

M=8

M = 16

600 Bd

0,12

0,36

0,84

1,80

1200 Bd

0,21

0,63

1,47

3,15

2400 Bd

1,01

3,03

7,07

15,1

Tabela 6.2.10.2 Normalizovana maksimalna ISI

Na osnovu tabele se zaključuje sledeće: ⋅ u datom sistemu nije moguće signalizirati brzinom 2400 Bd; ⋅ takođe, u datom sistemu ne može se koristiti alfabet sa 16 simbola; ⋅ najveći digitalni protok ostvaruje se sa M = 4 pri v s = 1200 Bd i iznosi v d = 2400 b s . 6.2.11 M-arni signal sa pravougaonim elementarnim impulsima trajanja T prenosi se kroz kanal prikazan na slici (Slika 6.2.11.1). Brzina signalizacije je v s = 1 / T . Odlučivanje se izvodi sa T sekundi zakašnjenja.

Slika 6.2.11.1 RC kanal

a) Odrediti pojačanje A tako da bude h' (T ) = 1 . b) Odrediti maksimalnu ISI. c) Za koju brzinu signalizacije će doći do zatvaranja dijagrama oka u prijemniku i koliki je tada digitalni protok, ako je M = 2, 4, 8 ili 16? Rešenje:

Odziv RC kola h(t ) na pobudu hT (t ) prikazan je na slici (Slika 6.2.11.2) i dat je izrazom: 0 ⎧ ⎪ h(t ) = ⎨ 1 − e −t / τ ⎪(1 − e −T / τ ) ⋅ e −(t −T ) / τ ⎩

t < 0, 0 ≤ t ≤ T, t > T.

114

PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

Slika 6.2.11.2 Odziv RC kola na pobudu signalom hT ( t )

Upravo zbog ovakvog oblika odziva, odlučivanje se izvodi sa T sekundi zakašnjenja (tada je odziv maksimalan). a) 1 . h' (t ) T |t =T = A ⋅ h(T ) = 1 ⇔ A = − 1− e τ b) U t = T odlučuje se o simbolu poslatom u t = 0; T ⎛ − ⎜ hk = h(T + kT ) = 1 − e τ ⎜ ⎝

hk ' = A ⋅ hk = e

−

kT

τ

⎞ − kT ⎟e τ ⎟ ⎠

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ k = 0 ⇒ korisni odbirak , k = 1,2,3,... ⇒ ISI. ⎪ ⎪ ⎭

Superpozicijom se dobija: ∞

i = ∑ a −k ⋅ hk' , k =1

∞

e

imax = ( M − 1)d ∑ hk' = ( M − 1)d k =1

−

T

τ

1− e

−

T

τ

c) Oko se zatvara za i max ≥ d:

d=

( M − 1)d T

⇒ T = τ ⋅ ln M ; v s =

1 , T

eτ −1 kb ld M ld M 1 vd = = = = 14,4 . T s τ ⋅ ln M τ ⋅ ln2

=

( M − 1)d T

eτ −1

.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

115

M

2

4

8

16

T [µs]

69

139

208

277

A

2

1,33

1,14

1,07

vs [kBd]

14,4

7,2

4,8

3,6

Tabela 6.2.11.1 Parametri digitalnog signala pri kojim dolazi do zatvaranja dijagrama oka

vd ≠ f ( M ) - digitalni protok, pri kojem dolazi do zatvaranja dijagrama oka u ovakvom sistemu, ne zavisi od broja simbola M jer nije ograničen propusni opseg. Tabela 6.2.11.1 prikazuje da se porastom broja simbola M, isti digitalni protok postiže prenosom kroz kanal sa užim propusnim opsegom. 6.2.12 Sistemom prikazanim na slici (Slika 6.2.12.1) prenose se polarni binarni signali. Impulsni odziv kanala je oblika: ⎧ −t ⎪ τ h(t ) = ⎨e ⎪⎩ 0

t ≥ 0, drugde.

Izvor informacija šalje poruke u obliku signala: s A (t ) = ∑ a k δ (t − kT ), gde je a k ∈ {1,−1}. k

Prijemni odbirač vrši odabiranje primljenog signala u trenucima t = nT, gde je T = τ širina signalizacionog intervala. Poruka koja se šalje konačne je dužine i sastoji se od 5 uzastopnih impulsa poslatih u trenucima -2T, -T, 0, T i 2T. a) Odrediti sve moguće vrednosti ISI za središnji impuls poruke. b) Odrediti imax za onaj impuls u poruci koji ima najveću maksimalnu ISI. c) Da li će doći do zatvaranja dijagrama oka na prijemu ako se brzina signalizacije izvora poveća za 25%? d) Koliko procenata se maksimalno može povećati brzina signalizacije pa da ne dođe do zatvaranja dijagrama oka?

Slika 6.2.12.1 Sistem za prenos podataka

Rešenje:

Pošto je h(t ) = 0 za t < 0, u ISI učestvuju samo prethodno poslati simboli: s B (nT ) =

n

∑ ak h((n − k )T ) .

k = −∞

a) Za središnji impuls poruke je: s B (0) = a o ho + a −1h(T ) + a −2 h(2T ), 1 1 i0 = a −1 ⋅ + a − 2 ⋅ 2 . e e

116

PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

a −1

a −2

i0

-1

-1

-0,51

-1

1

-0,23

1

-1

0,23

1

1

0,51

Tabela 6.2.12.1 ISI za središnji impuls poruke

b) Za dati oblik impulsnog odziva, najveću maksimalnu ISI ima poslednji impuls u poruci: 4

i2 max = h(T ) + h(2T ) + h(3T ) + h(4T ) = ∑ e − k = 0,57. k =1

c) vS ' =

1 1 T τ ⋅ 1,25 = ⇒ T = ' = = 0,8τ . T T' 1,25 1,25

Povećanjem brzine signaliziranja za 25%, smanjio se interval signalizacije T za 20%. Sada su odbirci h(kT )' > h(kT ) , pa je povećana i max . Oko se zatvara ako je: I max =

imax > 1. h ( 0) d h(t )

1

2T

T

0

2T'

T'

3T 3T'

Slika 6.2.12.2 Uticaj promene T na

4T

t

4T'

h( kT )

imax = i2 max = h(T ' ) + h(2T ' ) + h(3T ' ) + h(4T ' ) =e

−

1 1, 25

+e

−

2 1, 25

+e

−

3 1, 25

+e

−

4 1, 25

≅ 0,78.

0,78 < d = 1. pa neće doći do zatvaranja dijagrama oka ako se v S poveća za 25%. d) Ako se zanemari udeo simbola za k > 5 u ISI uslov zatvaranja dijagrama oka se svodi na:

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

4

imax = ∑ e k =1

1 T ''

−

kT ''

τ

∞

≈ ∑e

−

kT ''

τ

=

e

−

.

T ''

τ −

k =1

117

T ''

=

1 T ''

τ

1− e e τ −1 1 1,44 τ ≤ 1⇒ T ' ' ≥ vS ' ' = ≤ = 1,44 ⋅ v S . 1,44 T '' τ

e τ −1 Do zatvaranja dijagrama oka ne dolazi ako se v S poveća za manje od 44%. 6.2.13 Sistemom koji koristi kontrolisanu ISI duobinarno se prenose podaci grupisani u pakete od po 4 simbola. Paketi su dovoljno razmaknuti pa se prenos svakog od paketa može posmatrati nezavisno. Jedan od posmatranih paketa ima sledeću strukturu simbola {ak } = { 1 1 − 1 − 1 } . Impulsni odziv sistema za duobinarni prenos dat je u obliku

g (t ) =

4 cos(2πf c t ) . π 1 − (4 f c t ) 2

a) Na osnovu oblika impulsnog odziva odrediti digitalni takt i trenutke odlučivanja. b) Odrediti maržu za šum koja nastaje kao posledica greške u sinhronizaciji ako je odmeravanje izvršeno ε = T/8 sekundi ranije. Referentni simbol na prijemu je “1”, a u sistemu deluje aditivni Gausov šum. Rešenje:

a) Na osnovu izraza (6.24) za impulsni odziv sistema za duobinarni prenos, digitalni takt 1 . Tabela 6.2.13.1 daje vrednosti impulsnog odziva na osnovu kojih je je T = 2 fc jasno da sistem zadovoljava drugi Nikvistov kriterijum (a ne zadovoljava I NK). t

0

g (t )

4/π

± T 2 ±3 T 2 ±5 T 2 ±7 T 2 1

0

0

0

±T

±2T

3 T 8 -5 T 8 11 T 8 -13 T 8

4/3π -4/15π 1,114 0,866 0,074 -0,051

Tabela 6.2.13.1 Vrednosti impulsnog odziva u karakterističnim tačkama

Digitalni signal koji odgovara prenosu jednog paketa na prijemu je oblika: 3

s (t ) = ∑ a n g (t − nT ) . n =0

118

PRENOS U OSNOVNOM OPSEGU

Slika 6.2.13.1 Sekvenca impulsnih odziva za poruku {1 1 -1 -1}

O simbolima ak odlučuje se na osnovu odmeraka s (t ) uzetih u trenucima kT − s (− T 2) = a ref + a 0 g (− T 2) = 2

T . 2

⇒ aˆ 0 = 2 − aref = 1,

⇒ aˆ1 = 2 − aˆ 0 = 1, s (3T 2) = a1 g (T 2) + a 2 g (− T 2) = 0 ⇒ aˆ 2 = 0 − aˆ1 = −1, s (5 T 2) = a 2 g (T 2) + a3 g (− T 2) = −2 ⇒ aˆ 3 = −2 − aˆ 2 = −1. s (T 2) = a0 g (T 2) + a1 g (− T 2) = 2

Slika 6.2.13.2 Duobinarni dekoder

b) U prijemu trećeg simbola poruke, a2, zbog greške u sinhronizaciji ε = T/8 odmerak digitalnog signala s (t ) na osnovu kojeg se odlučuje je: s (3 T 2−T 8) = a0 g (3T 2−T 8) + a1 g (T 2−T 8) + a 2 g (− T 2−T 8) + + a3 g (− 3T 2−T 8) = g (11T 8) + g (3T 8) − g (− 5T 8) − g (− 13T 8) = = 0,074 + 1,114 − 0,866 + 0,051 = 0,373. U trenutku odlučivanja prisutan je i šum. Kvantizer u duobinarnom dekoderu će ispravno dekodovati simbol a2 ako je s (3T 2 − T 8) + n(3T 2 − T 8) < 1 , tj. ako je trenutna vrednost šuma manja od 0,627 (i veća od 1,373 - što je mnogo manje verovatno). S obzirom da je analizirani odmerak najkritičniji sa aspekta uticaja greške u sinhronizaciji, marža za šum iznosi 0,627.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

119

7 VEROVATNOĆA GREŠKE PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU 7.1

UVOD Verovatnoća greške je osnovni kvantitativni parametar koji služi za ocenu kvaliteta prenosa digitalnih signala. Usvajamo sledeće pretpostavke: 1. Vrši se prenos M-arnih digitalnih signala, čiji su simboli: ak ∈ {Am = 2md − ( M − 1)d , m = 0,1,...,M − 1} (7.1) 2. Impulsni odziv sistema je ograničen na 2K signalizacionih intervala; 3. Pragovi odlučivanja o simbolima ak u prijemniku postavljaju se na sredini razmaka između susednih amplitudskih nivoa {0,± 2d ,± 4d ,...,± (M − 2)d } (7.2) 4. Šum u kanalu n( t ) je Gausov proces sa varijansom σ2n i srednjom vrednošću 0. Za m-ti digitalni signal sa nizom simbola oblika:

...,a−( mk) ,a −( mk+) 1 ,...,a−( m1 ) ,a0( m) ,a1( m) ,...,ak( m) ,...

(7.3)

verovatnoća pogrešnog prijema simbola a0 data je izrazom: Pem =

⎤ M −1 ⎡ P⎢ n0 + ∑ ak( m ) h− k > h0 d ⎥ M k ≠0 ⎦⎥ ⎣⎢

(7.4)

Verovatnoća greške za celu klasu digitalnih signala je: PE =

M 2K

∑ Pem P[m]

(7.5)

m =1

gde je P[ m] verovatnoća m-tog digitalnog signala, odnosno m-te sekvence simbola, koja predstavlja informacioni sadržaj tog digitalnog signala. Ako se sa im označi m-ta vrednost ISI i ako se pretpostavi da su svi simboli jednako verovatni i svi nizovi simbola jednako verovatni, sledi: M −1 1 PE = M M 2K

M 2K

∑

m =1

⎧⎪ ⎡ h0 d − im ⎤ ⎡ h0 d + im ⎤ ⎫⎪ ⎨Q⎢ ⎥ +Q ⎢ ⎥⎬ ⎪⎩ ⎣ σ n ⎦ ⎣ σ n ⎦ ⎪⎭

(7.6)

gde je sa Q ( x0 ) =

1 2π

∞

∫e

−

x2 2 dx

(7.7)

x0

označena površina ispod repa normalizovane Gausove raspodele, čije su vrednosti date u prilogu. 7.1.1 Donja granica verovatnoće greške

VEROVATNOĆA GREŠKE PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU

120

U odsustvu ISI, im = 0, m = 1,2,..., M 2 K , iz izraza (7.6) sledi:

PEd = 2

M − 1 ⎛ h0 d ⎞ ⎟⎟ Q⎜⎜ M ⎝ σn ⎠

(7.8)

Ovaj izraz predstavlja verovatnoću greške samo pod uticajem Gausovog šuma i nazivamo ga donja granica verovatnoće greške. 7.1.2 Gornja granica verovatnoće greške Vezuje se za vršnu ISI i najnepovoljniji niz simbola digitalnog signala: PEg = max{Pem } =

M − 1⎧⎪ ⎡ ho d (1 − I max ) ⎤ ⎡ ho d (1 + I max ) ⎤ ⎫⎪ ⎨Q ⎢ ⎥ +Q ⎢ ⎥⎬ σn σn M ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪⎭

(7.9)

gde:

I max =

imax h = ( M − 1)∑ −n h0 d n ≠ 0 h0

predstavlja normalizovanu vršnu (maksimalnu) ISI.

(7.10)

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

7.2 7.2.1

121

ZADACI Digitalni signal na predaji ima oblik sT (t ) =

∞

∑ ak Tδ (t − kT )

gde su a k jednako

k = −∞

verovatni simboli binarnog alfabeta A = {1,−1} . Prenos se vrši brzinom v d = 8000 bit/s. Signalu se u kanalu dodaje beli Gausov šum spektralne gustine snage p n = N 0 2 = 5 ⋅ 10 −6 W/Hz . Prijemni filtar je idealan Nikvistov, minimalnog propusnog opsega, jedinične amplitudske karakteristike u propusnom opsegu. Odlučivač je sa pragom odlučivanja na nuli. Odrediti verovatnoću (simbolske) greške na prijemu.

Slika 7.2.1.1 Sistem prenosa u osnovnom opsegu

Rešenje:

Za digitalni signal sT (t ) čija je brzina signaliziranja vs = 1/T minimalni propusni opseg je

tzv. Nikvistov opseg f < 1 2T , pa je: ⎧ ⎪1 HR( f ) = ⎨ ⎪0 ⎩

f ≤ fg =

1 , 2T

f > fg.

Impulsni odziv sistema je: ⎛πt ⎞ sin ⎜ ⎟ ⎝ T ⎠, h(t ) = ∫ T ⋅ H R ( f )e j 2πft df = πt −∞ T odnosno: ∞

⎧ h = 1 k = 0, h(kT ) = ⎨ 0 ⇒ h(kT ) = h0δ k ,0 . 0 k 0 . ≠ ⎩ Dakle, u trenucima mT nema interferencije simbola, pa na grešku u odlučivanju utiče samo odbirak šuma koji je prošao kroz prijemni filtar nR (mT ) . Signal na izlazu prijemnog filtra je: ⎛ π (t − kT ) ⎞ sin ⎜ ⎟ T ⎝ ⎠ + n (t ) , s R (t ) = ∑ a k R π ( t − kT ) k = −∞ T a njegov odbirak u t = mT je s R (mT ) = a m + n R (mT ) . ∞

Verovatnoća greške je:

122

VEROVATNOĆA GREŠKE PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU

⎛ 1 PE = P(a k = 1) ⋅ P(n R < −1) + P(a k = −1) ⋅ P(n R > 1) = P(n R > 1) = Q⎜⎜ ⎝σn što se može dobiti i na osnovu izraza (7.8):

⎞ ⎟⎟ , ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎛h d ⎞ ⎟⎟ . PE = Q⎜⎜ 0 ⎟⎟ = Q⎜⎜ σ σ ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ Snagu šuma ograničava prijemni filtar svojim propusnim opsegom: v 1 B = fg = = s = 4kHz , 2T 2

σ n = σ n 2 = Pn = 2 p n B = 0,2 V. Zamenom u izraz za PE sledi: PE = Q(5) = 0,287 ⋅ 10−6 . Verovatnoća PE se često izražava u funkciji energije emitovane po simbolu, jer je to mera “uspešnosti” iskorišćenja emitovane energije. Za konkretan slučaj imamo: E s = Ps T , gde je P srednja snaga digitalnog signala: Ps =

σ a2 T

∞

∫ H( f )

2

df =

−∞

1 2 T =T , T

odakle sledi: E s = PT = T 2 Dalje važi σ n :

σ n = σ n 2 = Pn = 2 p n B = N 0 B =

N0 = 2T

N0 2Es

pa je: ⎛h d ⎞ ⎛ 1 PE = Q⎜⎜ 0 ⎟⎟ = Q⎜⎜ ⎝ σn ⎠ ⎝σn

⎛ 2E s ⎞ ⎟⎟ = Q⎜ ⎜ N 0 ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Često se umesto verovatnoće simbolske greške PE , posmatra verovatnoća bitske greške Pb (ili kako se skraćeno naziva BER – Bit Error Rate), u funkciji energije emitovane po bitu informacije. Pošto se radi o binarnom digitalnom signalu, verovatnoća simbolske greške je jednaka verovatnoći bitske greške: Pb = PE

Što se tiče energije emitovane po bitu, ona je u konkretnom slučaju: Es E Eb = = s = Es ld( M ) ld(2) Na kraju se dobija: ⎛ 2 Eb ⎞ ⎟ – verovatnoća bitske greške pri prenosu polarnog binarnog signala u Pb = Q⎜ ⎜ N ⎟ 0 ⎠ ⎝ osnovnom opsegu.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

123

Na kraju treba navesti da je verovatnoća bitske greške jedan od najvažnijih parametara koji služi za upoređivanje tehnika digitalnog prenosa (signalizacionih šema), koje se međusobno razlikuju po alfabetima informacionih elemenata i oblicima elementarnih impulsa, tj. utrošenoj energiji za prenos bita informacije. Stoga se obično verovatnoća simbolske greške odgovarajućim transformacija (sličnim onima koje su izvedene u ovom zadatku) svodi na verovatnoću bitske greške u funkciji energije emitovane po bitu, što omogućava direktno poređenje signalizacionih šema. 7.2.2

Računar na svom izlazu generiše oktalne simbole brzinom od 10 kBd. Prenos se vrši elementarnim impulsom minimalnog spektra (pri čemu je h0 = 1 ) kroz idealni NF sistem propusnog opsega 12 kHz. Prijemni i predajni NF filtri su idealni, propusnog opsega prilagođenog digitalnom signalu koji se prenosi u okviru posmatranog sistema. Spektralna gustina srednje snage Gausovog šuma u kanalu iznosi p n = N 0 2 = 5 ⋅ 10 −8 W/Hz. a) Izraziti verovatnoću greške na prijemu u funkciji broja simbola alfabeta M, SGSS šuma, digitalnog protoka v d i srednje snage signala Ps . Vrednost ekvivalentnog impulsnog odziva sistema za prenos u trenutku odlučivanja je h0 = 1 . b) Izraziti verovatnoću greške u funkciji E s N 0 , gde je E s prosečna energija emitovana po simbolu. Izvesti izraz za verovatnoću bitske greške u funkciji Eb N 0 , gde je Eb prosečna energija emitovana po informacionom bitu (pp. da se koristi Grejov kod). c) Pri zadatom odnosu signal/šum odrediti optimalan broj simbola M tako da verovatnoća greške bude minimalna i da se postigne zadati digitalni protok. d) Za izračunato M pod b) odrediti srednju snagu digitalnog signala Ps , pod uslovom da verovatnoća greške bude manja od 10− 4 .

Slika 7.2.2.1 Minimalni spektar koji zadovoljava I NK pri brzini signaliziranja 1/T

Rešenje:

Elementarni impuls minimalnog spektra za digitalni signal sa periodom signaliziranja T je signal čiji je spektar u obliku idealnog NF filtra sa graničnom učestanošću B = 1/2T. To je signal oblika “sinx/x” koji zadovoljava I NK. a) Nema ISI jer se prenos vrši elementarnim impulsom koji zadovoljava I NK, pa je verovatnoća greške jednaka donjoj granici: PE = 2

M − 1 ⎛ ho d ⎞ ⎟⎟ . Q⎜⎜ σ M ⎝ n ⎠

Efektivna vrednost šuma se može izračunati na osnovu srednje snage, tj. varijanse. Nju ograničava prijemni NF filtar. Ako on propušta samo opseg frekvencija u kojem se nalazi korisni signal, srednja snaga šuma na izlazu prijemnog filtra biće:

124

VEROVATNOĆA GREŠKE PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU

σ n2 =

∞

2 ∫ pn | H R ( jf ) | df =

−∞

B

∫ pn df

= 2 pn B = N 0 B .

−B

Srednja snaga digitalnog signala sa minimalnim spektrom je jednaka (vidi zadatak 3.2.4): M 2 −1 2 d , 3 odnosno, važi: Ps =

d=

3Ps

M 2 −1 Širina spektra B zavisi od digitalnog protoka: vd ld M vd = = 2 Bld M ⇒ B = . T 2ld M

Konačno, verovatnoća greške je: PE = 2

⎛ ⎞ 3Ps 3Ps ldM M − 1 ⎛⎜ ⎟ = 2⎛⎜1 − 1 ⎞⎟Q⎜ Q 2 ⎜ ( M − 1)2 p B ⎟ M ⎝ M ⎠ ⎜⎝ ( M 2 − 1) p n v d n ⎝ ⎠

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

b) Važi: 1 (I Nivistov kriterijum), i 2T E s = Ps T .

B=

Verovatnoća greške izražena preko energije emitovane po simbolu je: PE = 2

⎞ ⎛ ⎞ 3Ps 3Ps M − 1 ⎛⎜ ⎟ = 2 M − 1 Q⎜ ⎟ Q ⎜ ( M 2 − 1)2 p B ⎟ ⎜ ( M 2 − 1) N B ⎟ M M n 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞ ⎛ E s ⎞⎟ 6 ⎟ = 2⎛⎜1 − 1 ⎞⎟Q⎜ . ⎜ ( M 2 − 1) N 0 ⎟ ⎟ M ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Verovatnoća bitske greške je približno (koristi se Grejov kod, vidi zadatak 6.2.3): =2

6 Ps T M − 1 ⎛⎜ Q ⎜ ( M 2 − 1) N M 0 ⎝

PE M − 1 ⎛⎜ 6 ⋅ ldM Eb ⎞⎟ , Q =2 M ⋅ ldM ⎜⎝ ( M 2 − 1) N 0 ⎟⎠ ldM jer je broj bita ldM , a prosečna energija emitovana po bitu je: Pb =

Es . ldM c) Odnos signal/šum je zadat, pa se izraz za verovatnoću greške može izraziti u funkciji broja simbola M, (Slika 7.2.2.2). Eb =

1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎟, K = const , pri čemu smo fiksirali B na B ≤ 12 kHz . PE = 2⎜1 − ⎟Q⎜⎜ K 2 M − 1 ⎟⎠ ⎝ M⎠ ⎝

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

125

Slika 7.2.2.2 Verovatnoća greške u funkciji broja simbola

Optimalan u pogledu šuma je alfabet sa minimalnim brojem simbola, dakle M = 2. Ali sa M = 2 ne može se postići željeni digitalni protok vd = 30000 bit/s. U sistemu sa B = 12 kHz maksimalni v d sa M = 2 je: vd 2 max = 2 Bld2 = 24000 bit/s, a sa M = 4 je: v d 4 max = 2 Bld4 = 48000 > 30000 bit/s. Dakle, za zadate uslove optimalan alfabet je alfabet sa M = 4 simbola. d) Označimo argument Q funkcije sa A: 3PS ld M 2 PS = ⇒ PS = 2,5 A 2 p n v d = 3,75 ⋅ 10 −3 ⋅ A 2 , A2 = 2 ( M − 1) p n v d 5 p n v d Q( A) =

M PE = 0,66 ⋅ 10 − 4 ⇒ A ≅ 3,82. 2( M − 1)

Potrebna snaga signala koja obezbeđuje verovatnoću greške od 10− 4 je: PS ≥ 3,75 ⋅ 3,82 2 ⋅ 10 −3 W ≅ 54,7215 mW . 7.2.3

Signal na predaji, u sistemu za prenos podataka u osnovnom opsegu ima oblik: sT (t ) =

∞

∑ ak δ (t − kT ), ak ∈ {d ,−d } .

k = −∞

Brzina signaliziranja je 1 T . Odlučivanje se vrši sa T 2 sekundi zakašnjenja. Impulsni odziv sistema prikazan je na slici (Slika 7.2.3.1). U sistemu deluje beli Gausov šum. 2 Odnos signal/šum definisan je odnosom (d / σn ) i iznosi 20 dB. Za simetrični binarni signal odrediti: a) Sve vrednosti ISI. b) Gornju granicu verovatnoće greške. c) Prosečnu verovatnoću greške i uporediti njenu vrednost sa gornjom granicom verovatnoće greške.

126

VEROVATNOĆA GREŠKE PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU

Slika 7.2.3.1 Impulsni odziv sistema

Rešenje:

Signal na prijemu je: uD (t ) =

∞

∑ a h(t − kT ) + n(t ) , k

k = −∞

a impulsni odziv sistema se lako određuje pomoću jednačine prave kroz dve tačke: T ⎧ 2 0 U P ] + p ⋅ P[r k < U P ] = (1 − p ) ⋅ Q⎜⎜ ⎝ σn

⎛U −UP ⎞ ⎟⎟ + p ⋅ Q⎜⎜ ⎠ ⎝ σn

⎞ ⎟⎟ ⎠.

Ukoliko je P[0] = P[1] = 0.5 , (informacioni simboli su jednako verovatni) tada se MAP odlučivanje svodi na tzv. maximum likelihood decoding, a za optimalnu vrednost praga se dobija U P = 0 (što se je u praksi obično i slučaj, jer se u skoro uvek koristi skremblovanje). Kada je P[0] = 0.75 , P[1] = 0.25 , i U σ n = 4 , važi: UP =

σ n2

U ⎛ 0.75 ⎞ ln⎜ ⎟≅ 2U ⎝ 0.25 ⎠ 29,13 ,

⎛U +U P ⎞ ⎛U −UP ⎟⎟ + 0.25 ⋅ Q⎜⎜ PE = 0.75 ⋅ Q⎜⎜ ⎝ σn ⎠ ⎝ σn Da je prag bio na nuli, bilo bi:

⎞ ⎟⎟ ≅ 2,72 ⋅ 10 −5 ⎠

⎛U PE = (1 − p ) ⋅ P[r k > 0] + p ⋅ P[r k < 0] = Q⎜⎜ ⎝σn

⎞ ⎟⎟ = Q(4) ≅ 3,17 ⋅ 10 −5 ⎠ .

Slika prikazuje položaj praga za kada je slanje binarno 0 verovatnije od slanja binarno 1. Površina ispod krive p[rk / U ] u intervalu [U P , ∞] ponderisana sa P[0] jednaka je površini krive p[rk / − U ] u intervalu [− ∞,U P ] ponderisana sa P[1]. p[rk / − U ]

p[rk / U ]

P(0 / 1)

P(1 / 0 )

rk

Slika 7.2.6.2 Gustina raspodele verovatnoća amplituda signala na ulazu u odlučivač

7.2.7 Vrši se prenos duobinarno kodovanog binarnog polarnog signala. Simboli originalne poruke su statistički nezavisni i jednako verovatni. Sistem za prenos zadovoljava drugi Nikvistov kriterijum, a u kanalu se superponira Gausov šum srednje snage Pn u opsegu za prenos.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

133

Izvesti izraze za verovatnoću greške, ako su pragovi odlučivanja postavljeni: a) Na sredini razmaka između susednih simbola; b) Tako da minimizuju verovatnoću greške i odrediti takve pragove. Rešenje:

Ako je originalna poruka bk ∈ {−d , d } , simboli duobinarne poruke su a k ∈ {−2d ,0,2d } , a odgovarajuće verovatnoće P[a k = 0] = 2 P[a k = −2d ] = 2 P[a k = 2d ] = 0.5 . a)

PE = P[ak = −2d ]⋅ P[n > d ] + P[ak = 0]⋅ P[| n |> d ] + P[ak = 2d ]⋅ P[n < −d ] 1 1 3 = 2 P[n > d ] + P[| n |> d ] = P[| n |> d ] 4 2 2 3 ⎛ d ⎞ = Q⎜⎜ ⎟⎟. 2 ⎝σn ⎠

b) Pored načina opisanog u prethodnom zadatku (7.2.6), optimalni prag odlučivanja se može odrediti kao ona vrednost koja zadovoljava: dPE = 0 za U p = U po dU p Neka su pragovi odlučivanja ± U p (zbog simetrije).

[

] )]

[

PE = P[a k = −2d ] ⋅ P n > (2d − U p ) + P[a k = 0] ⋅ P n |> U p

[

+ P[a k = 2d ] ⋅ P n < −(2d − U p

[

]

[

1 1 P n > (2d − U p ) + ⋅ P | n |> U p 2 2 ⎛U ⎞ 1 ⎛ 2d − U p ⎞ ⎟ + Q⎜ p ⎟. = Q⎜⎜ ⎜σ ⎟ 2 ⎝ σ n ⎟⎠ ⎝ n⎠ =

]

]

Pošto se radi o Gausovom šumu parametar σ n može se odrediti na osnovu relacije: σ n = Pn , a izraz za verovatnoću greške je: PE =

∞

−

1 1 e 2 2π σ n 2 d −∫U p

n2 2σ n2

dn +

∞

1

∫e

−

n2 2σ n2

2π σ n U p

dn.

Izvod određenog integrala je jednak vrednosti podintegralne funkcije za gornju granicu: 1 1 e 2 2π σ n

−

( 2 d −U po ) 2 2σ n2

−

1 2π σ n

−

e

U 2po 2σ n2

=0,

134

VEROVATNOĆA GREŠKE PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU

ln 2 +

(2d − U po ) 2 2σ n2

U po = d +

PEmin

σ n2

=

2 U po

2σ n2

,

ln 2, 2d 2 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ d + σ n ln 2 ⎟ ⎜ d − σ n ln 2 ⎟ 1 ⎟. ⎟ + Q⎜ 2d 2d = Q⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σn σn 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

135

8 OPTIMIZACIJA PRENOSA U OSNOVNOM OPSEGU 8.1

UVOD Osnovni zadatak postupka optimizacije je minimiziranje verovatnoće greške u prenosu M-arnih digitalnih signala. Greška može da nastane pod uticajem intersimbolske interferencije i šuma. U zavisnosti od postavljenih uslova, razlikuju se optimizacije: predajnog filtra, prijemnog filtra i združena optimizacija predajnog i prijemnog filtra.

8.1.1

Optimizacija prijemnog filtra

Polazi od sledećih pretpostavki: ‚ M-arni signal je ograničenog trajanja i sadrži 2N + 1 simbol, ‚ poznate su funkcije prenosa predajnog filtra H T ( f ) i kanala H C ( f ) , ‚ u kanalu deluje aditivni Gausov šum konstantne spektralne gustine snage pn .

Cilj optimizacije je određivanje optimalne funkcije prenosa prijemnog filtra digitalnog sistema za prenos u osnovnom opsegu na slici 6.a. Postupak optimizacije zahteva primenu varijacionog računa i rešavanje funkcionala:

V

= σ n2

+

N

∑ λ k hk

(8.1)

k =− N

gde je: ∞

σ n2

=

∫ pn H R ( f ) −∞

2

df

(8.2)

varijansa, odnosno srednja snaga šuma na izlazu prijemnog filtra, a ∞

hk =

∫ H T ( f ) H C ( f ) H R ( f )e −∞

j 2πfkT

df

(8.3)

odbirak impulsnog odziva sistema u k-tom signalizacionom intervalu. λ k su Lagranžovi koeficijenti. Rezultat optimizacije je funkcija prenosa prijemnog filtra u obliku: N −λ k − j 2πfkT (8.4) H R ( f ) = [H T ( f ) H C ( f )]* ∑ e k =− N 2 p n Prvi član optimalnog filtra predstavlja prilagođeni filtar koji redukuje uticaj šuma, a drugi je transverzalni filtar koji se projektuje tako da minimizuje uticaj ISI. 8.1.2

Ekvalizacija

Cilj je eliminacija, odnosno redukcija intersimbolske interferencije primenom transverzalnog filtra. Postupak ekvalizacije predstavlja izbor i podešavanje koeficijenata T-filtra na osnovu prethodno izabranog kriterijuma.

136

OPTIMIZACIJA PRENOSA U OSNOVNOM OPSEGU

Slika 8.a Transverzalni filtar

Signal na izlazu T-filtra i njegova spektralna gustina amplituda su: s o (t ) = C − N si (t ) + C − N +1 si (t − T ) +L+ C 0 si (t − NT ) +L+ C N si (t − 2 NT )

[

]

S o ( f ) = C − N + C − N +1e − j 2πfT +L+ C 0 e − j 2πfNT +L+ C N e − j 2πf 2 NT S i ( f )

(8.5)

pa su njegova prenosna karakteristika i impulsni odziv: N

∑ C k e − j 2πfkT

T ( f ) = e − j 2πfNT

k =− N

e(t ) =

(8.6)

N

∑ Ck δ [t − ( N + k )T ]

k =− N

Ako je g ( t ) impulsni odziv sistema za prenos zajedno sa T-filtrom, može se pisati: g (t ) = F −1 {H ( f ) ⋅ T ( f )} = h(t ) ∗ e(t ) =

N

∑ C k h[t − ( N + k )T ]

(8.7)

k =− N

Slika 8.b Sistem prenosa u osnovnom opsegu sa T-filtrom

Odmerak odziva T-filtra koji stoji , uz simbol a0 o kojem se odlučuje je: g ( NT ) ≡ g 0 = C0 h0 +

N

∑ Ck h−k

(8.8)

k =− N k ≠0

pa se koeficijent T-filtra C0 određuje na osnovu relacije (8.8). Izbor preostalih koeficijenata vrši se na osnovu jednog od kriterijuma: 1. minimizacija vršne ISI imax =

N

∑ gk

(8.9)

k =− N k ≠0

2. minimizacija varijanse ISI

σ i2 = σ a2

N

∑ g k2 .

k =− N k ≠0

(8.10)

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

8.2 8.2.1

137

ZADACI Posmatra se sistem za prenos digitalnog signala oblika s (t ) = ∑ a k h(t − kT ) , gde su k

informacioni simboli iz binarnog polarnog alfabeta {− 1,1} , a elementarni impuls je oblika: ⎧1 0 ≤ t ≤ T , h(t ) = ⎨ ⎩0 drugde. Odrediti i skiciriti odziv prijemnika u toku i-tog signalizacionog intervala, ukoliko se na prijemu koristi: a) prilagođeni filtar (Slika 8.2.1.1), b) korelacioni prijemnik (korelator, Slika 8.2.1.2), pri čemu je prenošeni simbol u i-tom signalizacionom intervalu ai = 1 . ∗ h(T − t ) s (t )

∗ (− h(T − t ))

r1 (T )

r0 (T )

r (T )

Slika 8.2.1.1 Prilagođeni filtar

h(t ) T

∫

r1 (T )

0

s (t )

T

∫

r0 (T )

r (T )

0

− h(t ) Slika 8.2.1.2 Korelacioni prijemnik

Rešenje:

U prethodnim poglavljima prijemnik je predstavljan kao kombinacija idealnog NF filtra i odlučivača koji vrši odabiranje primljenog signala u trenucima koji su umnošci signalizacionog intervala (kT). U stvarnosti, kao prijemnik se koristi prilagođeni filtar, ili još češće njegova uprošćena varijanta – korelacioni prijemnik. U oba slučaja, prijemnik vrši preslikavanje primljene energije u toku jednog signalizacionog intervala u tačke (brojeve), koji odgovaraju simbolima korišćenog informacionog alfabeta. Način na koje se ovo preslikavanje vrši je dobijen maksimizacijom iskorišćenja primljene energije (vidi jednačinu 8.4). Prilagođeni filtar se sastoji od onoliko grana koliko različitih talasnih oblika digitalni signal može imati (tj. koliko ima različitih informacionih elemenata). U svakoj od grana se u toku jednog signalizacionog intervala vrši konvolucija između primljenog signala i jednog od talasnih oblika koji je zakašnjen za signalizacioni interval T. U grani u kojoj se

138

OPTIMIZACIJA PRIJEMNIKA PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU

primljeni digitalni signal poklapa sa talasnim oblikom dobiće se maksimalna vrednost konvolucije, dok će u ostalim granama vrednost biti nula, i na taj način se donosi odluka o primljenom simbolu. (Naravno, usled uticaja šuma ovo će važiti samo približno). Za razliku od prilagođenog filtra, u korelacionom prijemniku se u svakoj od grana vrši korelacija sa jednim od talasnih oblika. Naime, pokazuje se da je na kraju signalizacionog intervala rezultat gore opisane konvolucije i korelacije isti. a) U toku i-tog signalizacionog intervala digitalni signal je: iT ≤ t < (i + 1)T , s (t ) = ai h(t ) = h(t ). Dalje važi: 0≤t 0,11, što je protivrečno sa C < 0 .

Slika 8.2.9.3 Ekvalizator

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

153

ii ) 0 < C < 0,5 ⇒ I max = 3,75(−0,8C + 0,4 + 0,4C ) < 1 Rešenje nejednakosti je 0,33 < C < 0,5; iii ) C ≥ 0,5 ⇒ I max = 3,75(0,8C − 0,4 + 0,4C ) < 1 Rešenje ove nejednakosti je 0,5 < C < 0,556. Dakle, za vrednosti pojačanja C ∈ (1 / 3; 5 / 9) T-filtar sa slike (Slika 8.2.9.3) eliminiše uticaj ISI nastale u kanalu sa slike (Slika 8.2.9.2) pri čemu se minimalna vrednost vršne ISI postiže za C = 0,5. 8.2.10 Na ulaz prijemnika sa slike (Slika 8.2.10.1) dolazi signal oblika si (t ) gde su simboli am iz alfabeta {−d , d } , a elementarni impuls je h( t ) . ⎧− 1 0 ⎟ = Q⎜⎜ ⎟ σ RC ⎠ ⎝ n0 ⎝ ⎠

Integrator nije idealni NF filtar i propusni opseg nije konačan pa se varijansa slučajne promenljive n0 izračunava na sledeći način:

σ n20

2 ⎧⎛ T TT ⎞ ⎫⎪ 2⎞ ⎪⎜ 1 2 ⎛ ⎟ ⎬= 1 = ⎜ n0 − n0 ⎟ = E ⎨ − n ( t ) dt E{n(t )n(τ )}dt dτ . 2 ∫∫ ⎜ RC ∫ ⎟ ⎝ ⎠ RC ( ) ⎪⎩⎝ 0 00 ⎠ ⎪⎭

Podintegralna funkcija predstavlja autokorelaciju belog šuma, tj:

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

E {n(t )n(τ )} = E{n(τ )n(τ + t − τ )} = Rn (t − τ ) =

155

N0 δ (t − τ ) . 2

Autokorelacija šuma je delta impuls jer je spektralna gustina snage

N0 = const. pa je 2

onda:

σ n20

1 N0 = ( RC ) 2 2

TT

N0

T

N 0T

∫ ∫ δ (t − τ )dtdτ = 2( RC ) 2 ∫ dτ = 2( RC ) 2 , σ n0 = 00

0

N0 T 2 RC

.

Sada je verovatnoća greške data sa: ⎛ ⎜ PE = Q⎜⎜ ⎜⎜ ⎝

Td RC N0 T 2 RC

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎛ ⎞ ⎟ = Q⎜ Td ⎟ = Q⎜ ⎟ ⎜ ⎜ TN 2⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠

⎞ ⎟ d ⎟ . N 0 vd ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠

c) Polovina rastojanja između susednih simbola d lako se određuje iz: PE = 10 − 4 = Q(3,7) ⇒ (3,7) 2 =

2d 2 N0 ⇒ d = 3,7 vd , N 0 vd 2

d = 0,37 V.

Ako su simboli na ulazu u prijemnik sa slike (Slika 8.2.10.1) razmaknuti za više od 2 ⋅ 0,37 = 0,74 V verovatnoća greške biće manja od 10-4. Na kraju treba spomenuti da je razmatrani prijemnik praktična realizacija korelatora.

156

OPTIMIZACIJA PRIJEMNIKA PRI PRENOSU U OSNOVNOM OPSEGU

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

157

VEŽBA 4

PRENOS KROZ FREKVENCIJSKI OGRANIČENE KANALE I PRIPREMA VEŽBE (DOMAĆI ZADATAK) P1) Dijagram oka

P1.1 Prikazati dijagrame oka za za NRZ, AMI i Mančester prenosne formate. P2) Intersimbolska interferencija P2.1. NRZ pravougaoni impuls ima konačno trajanje u vremenu. Kako se to odražava na njegov frekvencijski opseg? Da li ovakav impuls omogućuje prenos bez ISI (odnosno da li zadovoljava I Nikvistov kriterijum)? II ZADATAK VEŽBE KARAKTERISTIKE (MODEL) KANALA Da bismo mogli posmatrati uticaj komunikacionog kanala na prenošene signale potrebno je definisati njegove karakteristike, odnosno usvojiti odgovarajući model. U okviru predmeta Digitalne telekomunikacije razmatra se dejstvo šuma i konačnog propusnog opsega kanala, tako da se kanal modeluje filtrom propusnikom niskih učestanosti, na čijem izlazu se signalu dodaje aditivni (najčešće beli Gausov) šum (slika 4.1). šum

ulazna sekvenca

KANAL

izlazna sekvenca

Slika 4.1. Model kanala MATLAB funkcija (CST) koja simulira odziv kanala naziva se channel i poziva se sa sledećim argumentima: >> channel(input,gain,noise_power,bandwith) 1) Uticaj komunikacionog kanala na prenos signala (CST) 1.1. Kreiraj slučajnu binarnu sekvencu dužine 10 bita i generiši talasni oblik signala

koristeći polarni NRZ linijski kod. Smatrati da je Rb = 1 kb/s. >> b=binary(10); >> x=wave_gen(b,’polar_nrz’,1000);

158

VEŽBA 4

Odrediti potreban frekvencijski opseg za prenos signala x, ako se smatra da je širina njegovog spektra određena prvom spektralnom nulom:

BT =

Hz

1.2. Smatrajući da je prenosna karakteristika kanala u osnovnom opsegu

učestanosti jednaka jedinici, da je prisutan beli aditivan gausov šum (AWGN) snage 10 −2 W i da je kanal propusnog opsega 4.9 kHz, propustiti signal x kroz dati kanal i prikazati talasne oblike ulaznog (x) i izlaznog signala (y).

>> y=channel(x,1,0.01,4900); >> subplot(211), waveplot(x) >> subolot (212),waveplot(y) 1.3. Odrediti poslatu sekvencu na osnovu izlaza (y) iz kanala:

b =

1.4. Uporediti dobijenu procenu sa originalnom sekvencom. 2) Efekti konačnog propusnog opsega kanala na talasni oblik prenesenog signala. 2.1. Izobličenja posmatrana u prethodnom zadatku posledica su prisustva šuma i

konačnog propusnog opsega kanala. Izobličenja nastala kao posledica konačnog propusnog opsega mogu se posmatrati izdvojeno ako se snaga šuma postavi na nulu.. >> clf >> b=binary(10); >> x=wave_gen(b, ’polar_nrz’,1000) >> subplot(211), waveplot(x) >> subplot(212), waveplot(channel(x,1,0,4900) 2.2. Istražiti efekte promene propusnog opsega na talasni oblik prenesenog signala. >> subplot(212), waveplot(channel(x,1,0,bw)) gde bw∈⎨3000, 2000, 1000, 500⎬. Posmatraj kašnjenje talasnog oblika na izlazu kao posledicu filtriranja u kanalu. Nacrtaj talasni oblik ulaza i izlaza.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

159

Grafik 4.1. 3) Dijagram oka Efekti usled filtriranja u kanalu i šuma mogu najbolje biti uočeni posmatranjem talasnog oblika signala na izlazu u obliku “dijagrama oka”. Bitni parametri za dijagram oka prikazani su na slici 4.2.

Slika 4.2. A B C D E

- vremenski interval tokom koga je potrebno izvršiti odabiranje; - margina šuma; - varijacija preseka sa nulom (džiter); - nagib: osetljivost na izbor trenutka odmeravanja; - maksimalno izobličenje usled ISI-a i šuma u kanalu;

160

VEŽBA 4

t∗

- najpogodniji trenutak odabiranja. Ako je perioda binarnog signala Tb tada će digitalni signal pri odlučivanju biti odabran u trenucima t∗, t∗+ Tb , t∗+ 2 Tb

,..., gde

je Tb perioda signaliziranja.

3.1. Generisanje dijagrama oka >> >> >> >> >>

b=[ 1 0 0 1 0 1 1 0]; x=wave_gen(b, ’polar_nrz’,1000); clf subplot(221),waveplot(x) subplot(223), eye_diag(x)

Dijagram oka za talasni oblik signala x pokazuje šta treba očekivati za jedan neizobličen signal. Da bi se posmatralo generisanje dijagrama oka i da bi se uočilo izobličenje signala potrebno je signal x propustiti kroz kanal sa konačnim propusnim opsegom i nultom snagom šuma: >> y=channel(x,1,0,4000); >> subplot(222),waveplot(y) >> subplot(224), eye_diag(y,-1) Ako je drugi argument u funkciji eye_diag negativan, prikaz dijagrama oka ide korak po korak, što doprinosi lakšem razumevanju načina generisanja dijagrama oka. Da bi se okončala pauza između pojedinih koraka potrebno je pritisnuti tipku na tastaturi. 3.2. Generiši dijagram oka za polarni NRZ signal i kanal sa propusnim opsegom bw, u kome deluje šum varijanse s2, za svaku kombinaciju s2 i bw iz tabele 4.1. Na osnovu dobijenih dijagrama oka odrediti vrednosti za t∗, A, B i uneti ih u tabelu 4.1. >> >> >> >>

clf b=binary(100); x=wave_gen(x, ’polar_nrz’,1000); eye_diag(channel(x,1,s2,bw)) Polarni NRZ kod s2 [w]

bw [Hz] 3000

0.01

2000 1000

0.02 0.08

4000

0.1

Tabela 4.1.

t∗

B

A

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

161

3.3. Ponoviti postupak iz zadatka 3.2. za Mančester kod i dobijene rezultate zabeležiti u tabelu 4.2 mančester kod s2 [w]

bw [Hz]

t∗

B

A

3000 0.01

2000 1000

0.02 0.08

4000

0.1

Tabela 4.2. Pitanje 4.1. Ako se porede dijagrami oka iz zadataka 3.2. i 3.3. za s2=0.01 W i bw=1000Hz, koji linijski kod ima povoljniji dijagram oka? Objasni razliku na osnovu relevantnih osobina linijskih kodova. 3.4. Za polarni i unipolarni RZ, kao i za unipolarni NRZ linijski kod, generiši dijagram oka na način prikazan u zadatku 3.2. Posmatraj kako linijski kod određuje oblik i simetriju dijagrama oka. 4) Intersimbolska interferencija (ISI) 4.1. Pokrenuti SIMULINIK TUTORIAL>PulseShape>Raised-Cosine. a. Za koje vrednosti faktora zaobljenja postižemo prenos bez ISI? Kako je ovo moguće uočiti na elementarnom impulsnom odzivu? b. Da li prethodna konstatacija važi i ako se posmatra koren iz podignutog kosinusa (Root-RC)? c. Kako faktor zaobljenja utiče na frekvencijski opseg, odnosno kako se to manifestuje u vremenskom domenu? 4.2. Ako se kroz frekvencijski ograničene kanale bez šuma prenose binarni polarni signal, na signalnoj konstalaciji ilustrovati efekte intersimbolske interferencije. Odmerci impulsnih odziva posmatranih kanala jesu: n=0 ⎧ 1 ⎪− 0,25 n = ±1 ⎪ Kanal 1: hn = ⎨ n = ±2 ⎪ 0,1 ⎪⎩ 0 inače n=0 ⎧ 1 ⎪ 0,5 n = ±1 ⎪ Kanal 2: hn = ⎨ ⎪− 0,2 n = ±2 ⎪⎩ 0 inače 4.3. Prenos binarnog digitalnog signala potrebno je ostvariti kroz telefonski (tf) kanal sa protokom vd ∈ {600,1200,2400,4800 b/s}. Slabljenje tf kanala na granici propusnog opsega iznosi Ac a grupno kašnjenje je tg. Za elementarni impuls je moguće odabrati

162

VEŽBA 4

jedan od 4 ponuđena talasna oblika: pravougaoni impuls, polukosinus, podignuti kosinus i sinc(x). Na osnovu simulacionog modela i tabele 4.3. za svaki talasni oblik potrebno je utvrditi maksimalnu vrednost ISI za različite brzine prenosa i različite parametre telefonskog kanala. ISImax [%] vd [b/s]

Ac [dB] 3

6

25 tg = 0 ms tg = 3 ms

600 1200 2400 4800 Tabela 4.3.

a. Koji elementarni impuls daje najmanju ISI pri prenosu kroz tf kanal? Zašto? b. Šta se dešava sa ISI kada se povećava digitalni protok? Zašto? c. Objasniti uticaj faznih izobličenja (t g ≠ 0) na ISI. 5) Ekvalizacija 5.1. Neka se za digitalni prenos kroz tf kanal koristi elementarni impuls sinc(x), kao u zadatku 4.3. Utvrditi koliko smanjenje ISI omogućuje primena transferzalnog filtra sa 3, odnosno 5 koeficijenata. Koliko kašnjenje unosi ekvalizator? 5.2. Ukoliko je elementani impuls izobličen usled uticaja kanala tako da se može izraziti relacijom 1 x(t ) = 1 + (2t / T ) 2 gde je T trajanje signalizacionog intervala, odrediti koeficijente ekvalizatora sa 5 koeficijenata ako se koristi algoritam: a. za forsiranje nula u impulsnom odzivu; b. za minimizaciju srednje kvadratne greške. 5.3. Implementirati adaptivni LMS ekvalizator koji koristi stohastički gradijentni algotiram. 5.4. Primer nelinearne ekvalizacije: DFE (Decision-Feedback Equalizer) algoritam.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

163

VEŽBA 5

UTICAJ ŠUMA NA PRENOS SIGNALA I PRIPREMA VEŽBE (DOMAĆI ZADATAK) P1) Prilagođeni filtar

P1.1.

Prilagođeni iltar treba da omogući ⎛t −T / 2⎞ b ⎟ , gde je T =1 ms. r( t ) = rect ⎜ b ⎜ Tb ⎟ ⎝ ⎠

− Tb / 2

detekciju

pravougaonih

impulsa

Tb / 2

Slika 5.1.

a. Odredi impulsni odziv prilagođenog filtra. b. Odredi odziv prilagođenog filtra na pravougaoni impuls r(t). c. Ponovi tačke a i b za trougaoni impuls trajanja 10 ms. P2) Verovatnoća greške pri optimalnoj detekciji P2.1. Odrediti izraz za verovatnoću greške u slučaju detekcije binarnog antipodalnog signala pomoću prilagođenog filtra. P2.2. Neka je Y(t)=X(t)+n(t), talasni oblik na izlazu iz kanala. X(t) je polarni NRZ signal sa jediničnom amplitudom i binarnim protokom Rb =1kb/s. Šum n(t) je beli Gausov sa PSD funkcijom:

S n ( f ) = N 0 / 2 = 0.5 ⋅ 10 −4 W/Hz. Ako signal Y(t) primamo prijemnikom sa prilagođenim filtrom: a. Odredi RMS vrednost (koren iz srednje kvadratne vrednosti, u našem slučaju

σ 2 ) šuma n(t) i maksimalnu amplitudu signala na izlazu prilagođenog filtra. b. Odrediti srednju energiju ( Eb ) signala X(t) u bitskoj periodi Tb . c. Odrediti verovatnoću bitske greške Pe = Q(

2 Eb ). N0

P2.3. Kada se za prenos koristi Mančester kod, kolika je verovatnoća greške? Obrazložiti.

164

VEŽBA 5

P2.4. Potrebno je uporediti unipolarni NRZ i Mančester signalizacione formate, u slučaju N kada je SGSŠ S ( f ) = 0 : 2 a. Odrediti energiju po bitskom intervalu Eb u funkciji od amplitude signala i trajanja jednog bita Tb; b. Ako se detekcija obavlja prilagođenim filtrom odrediti verovatnoću greške Pe u funkciji Eb i N0. Skicirati verovatnoću greške, Pe, za Eb / N 0 ∈ [0,1;10]. P2.5. Utvrditi verovatnoću greške bita za AMI tehniku, na osnovu sledećih koraka: a. Koja su tri osnovna talasna oblika? b. Za svaki od talasnih oblika, odrediti signale na izlazu prijemnog prilagođenog ⎛ t ⎞ filtara, čiji je odziv e(t ) = rect⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ Ts ⎠ c. Odrediti i nacrtati na istom dijagramu tri gustine verovatnoća za signale na ulazu odlučivača, ako se signal prenosi kroz AWGN kanal. d. Ako su pragovi odlučivanja ± EL izraziti verovatnoću greške (bez računanja dobijenih integrala). P3) Suboptimalna detekcija P3.1. Da li je za određene prenosne medijume moguće izostaviti prilagođeni filtar? Obrazložiti. P3.2. Ako je Y(t) iz zadatka P2.2. propušten kroz RC-filtar sa prenosnom karakteristikom: 1 H rc ( f ) = 1 + j 2πfRC gde je RC=1/(2000π), odrediti: a. maksimalnu amplitudu signala i rms vrednost šuma na izlazu iz filtra; b. verovatnoću bitske greške ako je X(t) detektovan prijemnikom sa RC-filtrom. P4) Združena optimizacija prijemnog filtra P4.1. U kakvom su odnosu prilagođeni filtar i filtar koji sa cilj ima zadovoljenje I Nikvistovog kriterijuma? P4.2. Za koje oblike elementarnog impulsa nemamo ISI u slučaju kada prijemnik koristi prilagođeni filtar.

II ZADATAK VEŽBE 1) Uticaj šuma u kanalu na talasni oblik i konstelaciju prenošenog signala. 1.1. Za propusni opseg kanala od 4.9 kHz, postepeno povećavati snagu šuma u kanalu i posmatrati šta se dešava sa signalom na izlazu, >> subplot(212), waveplot(channel(x,1,sigma,4900)) gde sigma∈⎨0.1, 0.5, 1, 2, 5⎬. Na kom nivou snage šuma više nije moguće razlikovati izlaz iz kanala i šuma?

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

165

1.2. Efekat povećanja snage šuma moguće je posmatrati preko spektralne gustine snage šuma (PSD) izlaza iz kanala. >> b=binary(1000) >> x=wave_gen(b, ’polar_nrz’,,1000); >> clf, subplot(121), psd(channel(x,1,0.01,4900)); >> axis(a), hold on; >> psd(channel(x,1,1,4900)); >> psd(channel(x,1,5,4900)) Pitanje 5.1. Za aditivan šum koji je nekorelisan sa signalom na ulazu komunikacionog kanala, odrediti vezu izraz koji opisuje PSD funkciju izlaznog signala u zavisnosti od PSD funkcije ulaznog signala i šuma u kanalu. 1.3. Ako komunikacioni sistem za prenos koristi binarne ortogonalne signale, prikazati dejstvo šuma na signalnu konstelaciju (Monte-Carlo simulacija, CCS). 2) Karakteristike prilagođenih filtara 2.1. Generiši pravougaoni impuls jedinične amplitude i trajanja 1 ms. >> r=wave_gen(1,’polar_nrz’,1000); a. Prikaži r i impulsni odziv prilagođenog filtra zasnovanog na r, odnosno impulsni odziv za polarni NRZ signal. >> subplot(311), waveplot(r) >> subplot(312), match(’polar_nrz’) b. Posmatraj izlaz prilagođenog filtra ako mu je na ulaz doveden signal r. >> rm=match(‘polar_nrz’,r); >> subplot(313), waveplot(rm) Odredi vreme kada izlaz iz filtra dostiže svoj maksimum. Kako je to vreme povezano sa talasnim oblikom r ? Pitanje 5.2. Da li je moguće odrediti maksimalnu vrednost amplitude na izlazu prilagođenog filtra direktno sa grafika iz zadatka 2.1? 2.2. Ponoviti korake iz zadatka 2.1. za trougaoni impuls jedinične amplitude i trajanja 10 ms. >> >> >> >> >>

r=wave_gen(1,’triangle’,100); clf;subplot(311),waveplot(r) subplot(312),match(’triangle’) rm=match(’triangle’,r) subplot(313),waveplot(rm)

Pitanje 5.3. Ako se širina trougaonog impulsa iz zadatka 2.2. promeni na 1 ms, odrediti maksimalnu amplitudu na izlazu iz prilagođenog filtra.

166

VEŽBA 5

2.3. Ponoviti korake iz zadatka 2.1. za Mančester kod sa jediničnom amplitudom elementarnog impulsa i trajanjem od 10 ms. Predvideti impulsni odziv prilagođenog filtra kao i izlaz iz datog filtra. Proveriti pretpostavku korišćenjem MATLAB-a. 2.4. Generiši polarni NRZ talasni oblik binarne sekvence [1 0 0 1 0], binarnog protoka Rb =1kb/s i jedinične amplitude impulsa. >> x5=wave_gen([1 0 0 1 0],’polar_nrz’,1000); >> clf, subplot(211), waveplot(x5) a. Prikazati talasni oblik signala x5 na grafiku 5.1. koristeći amplitudnu skalu sa leve strane grafika.

Grafik 5.1. b. Propusti signal x5 kroz prilagođeni filtar. Zabeleži rezultate na grafiku 4.1 koristeći amplitudsku skalu datu na desnoj strani grafika. >> subplot(212), waveplot(match(’polar_nrz’,x5)) Pitanje 5.4. Skicirati talasni oblik na izlazu prilagođenog filtra ako je na ulazu unipolarni NRZ talasni oblik binarne sekvence [1 0 0 1 0].

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

167

3) Detekcija signala 3.1. Generiši 10-bitsku binarnu sekvencu, a talasni oblik predstavi koristeći polarni NRZ linijski kod. >> b10=binary(10); >> x10=wave_gen(b10,’polar_nrz’,1000); >> clf, subplot(211), waveplot(x10) a. Propusti x10 kroz kanal sa propusnim opsegom 4.9 kHz i aditivnim belim Gausovim šumom snage 2 W. Prikazati talasni oblik na izlazu iz kanala y10: >> y10=channel(x10,1,2,4900); >> subplot(212), waveplot(y10) b. Dekoduj binarnu sekvencu na osnovu izlaza iz kanala (y10): b 10 = c. Propusti signal y10 kroz prilagođeni filtar. Prikaži talasni oblik z10 na izlazu iz filtra: >> z10=match(‘polar_nrz’,y10); >> subplot(212), waveplot(z10) d. Odabiraj izlaz iz prilagođenog filtra u trenucima kTb , gde je k=1,...,10 pri tom primenjujući sledeće pravilo odlučivanja: ⎧0, ako je z10( kTb ) ≤ 0; bk = ⎨ ⎩1, ako je z10( kTb ) > 0; gde je b k procenjena vrednost binarne sekvence b10. Primeni dato pravilo na

signal z10 i proceni signal: b 10 = Uporedi datu procenu sa originalnom sekvencom b10: b10= Pitanje 5.5. Da li je lakše izvršiti detekciju poslate binarnu sekvencu na izlazu iz kanala (signal y10 iz zadatka 3.1.) ili na izlazu iz prilagođenog filtra (signal z10)? Ako se za odabiranje koriste trenutci odabiranja drugačiji nego u 3.1.d, verovatnoća bitske greške će se povećati. Zašto? 4) Prijemnik sa prilagođenim filtrom 4.1. Generiši slučajnu binarnu sekvencu b sačinjenu od 2000 bita koristeći polarni NRZ linijski kod: >> b=binary(2000); >> x=wave_gen(b,’polar_nrz’); a. Propusti signal x kroz kanal sa propusnim opsegom od 4.9 kHz i aditivnim belim gausovim šumom snage σ n 2 = 0.5 W. Neka je y signal na izlazu iz kanala: >> y=channel(x,1,0.5,4900);

168

VEŽBA 5

b. Propusti signal y kroz prilagođeni filtar. Prikaži dijagram oka signala z na izlazu iz prilagođenog filtra: >> z=match(’polar_nrz’,y); >> clf, eye_diag(z); c. Sa dijagrama oka odredi optimalan trenutak odabiranja kao i prag odlučivanja detektora v_th. Trenutci odabiranja na izlazu iz prilagođenog filtra određeni su u odnosu na početak vremenske ose. Na primer, ako je period signalizacije Tb , a optimalan trenutak odlučivanja podešen na t 0 , tada će detektor vršiti odabiranje u trenucima t 0 , t 0 + Tb , t 0 +2 Tb , i tako dalje. v_th= V. t0 = sec. d. Ako su v_th i t 0 parametri detektora koji se nalazi na izlazu prilagođenog filtra, izvršiti detekciju i dobijeni (empirijske) rezultat za verovatnoću bitske greške zabeležiti u tabelu 5.1. >> detect(z,v_th, t 0 ,b);

σ 2 [W]

Pe-empirijski

Pe-teorijski

0.5 1 1.5 2

Tabela 5.1. e. Ponovi sve prethodne korake u zadatku, za snage šuma od 1, 1.5 i 2 W (bez crtanja dijagrama oka signala z na izlazu iz prilagođenog filtra). Zabeleži utvrđenu verovatnoću greške, Pe , u tabelu 5.1. Napomena: Početni trenutak odabiranja t 0 kao i vrednost praga ne zavise od snage šuma u kanalu. Zato je moguće za jedan nivo šuma odrediti optimalni trenutak početka odabiranja i prag odlučivanja i potom ih koristiti za detekciju signala na izlazu prilagođenog filtra pri različitim nivoima snage šuma u kanalu. f. Ako se ne koristi optimalan trenutak početka odabiranja, rezultujuća BER (Bit Error Rate) biće veća. Uticaj ovog parametra na proces detekcije može se posmatrati korišćenjem vremena početka odabiranja koje predstavlja 90% odnosno 50% od optimalne vrednosti koja je određena u delu zadatka pod c. Pitanje 5.6. Izračunati teorijsku verovatnoću bitske greške za sve slučajeve iz tabele 5.1. Primeti da se PSD belog gausovog procesa može odrediti kao: Sn ( f ) =

N0

2

=

σ n2 2 × propusni opseg sistema

gde je propusni opseg za dati sistem 4,9 kHz.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

169

5) Prijemnik sa NF filtrom 5.1. Propustiti pravougaoni impuls kroz RC filtar prvog reda sa propusnim opsegom od 1 kHz. Prikaži izlaz iz filtra i odredi amplitudski maksimum Ar : >> r=wave_gen(1,’unipolar_nrz’); r_lpf=rc(1000,r); >> subplot(211), waveplot(r) >> subplot(212), waveplot(r_lpf)

Ar =

V. a. Generisati 2000 odmeraka belog Gausovog šuma sa nultom srednjom vrednosti i varijansom 0.5 W. Propusti generisanu sekvencu kroz RC filtar. Zabeleži rms vrednost signala šuma na izlazu iz filtra: >> n=gauss(0,0.5,2000); >> meansq(rc(1000,n))

σ n2 = W. b. Odrediti odnos Ar / σ n , gde je Ar amplitudski maksimum, a σ n je rms vrednost šuma na izlazu iz filtra. 5.2. Signal y iz zadatka 4.1.a. propusti kroz RC filtar i prikaži dijagram oka signala z_lpf na izlazu iz RC filtra. >> y=channel(x,1,0.5,4900); >> z_lpf=rc(1000,y); >> clf, eye_diag(z_lpf); a. Na osnovu dijagrama oka, odrediti optimalni trenutak početka odabiranja i vrednost praga, i za određene otimalne vrednosti dekodovati binarnu sekvencu iz z_lpf. >> detect(z_lpf,v_th, t 0 ,b); Pitanje 5.7. Uporediti BER dobijenu za prijemnik sa RC filtrom, sa BER izračunatom u zadatku 4.1.d, za prijemnik sa prilagođenim filtrom. b. Ponoviti zadatak 5.2 za kanal sa šumom od 1, 1.5 i 2 W i zabeležiti rezultate u tabelu 5.2.

170

VEŽBA 5

σn

2

[W}

Pe BW=1 kHz

BW=0.5 kHz

0.5 1 1.5 2 Tabela 5.2. 5.3. Ponoviti zadatak za RC filtar prvog reda sa propusnim opsegom od 500 Hz i dobijene vrednosti BER zabeležiti u tabelu 5.2. >> z_lpf=rc(500,y); >> eye_diag(z_lpf) >> detect(z_lpf,v_th, t 0 ,b); Pitanje 5.8. Objasniti zašto je BER za NF filtar sa propusnim opsegom od 500 Hz, manja od BER za NF filtar sa propusnim opsegom od 1000 Hz. Da li će se BER dalje smanjivati ako se koristi NF filtar od 100Hz? 6) Realizacija prilagođenog filtara Kolo na slici 5.2. predstavlja praktičnu realizaciju prilagođenog filtra. Prekidač S1 na slici zatvara se periodično zbog pražnjenja kapacitativnosti C. Ako je RC konstanta velika, izlazni napon je srazmeran integralu ulaznog napona, pa ovo kolo obavlja operaciju integraljenja.

Slika 5.2. Praktična realizacija prilagođenog filtra. 6.1. Da bi ilustrovao operaciju integraljenja, propusti signal x5 generisan u odeljku 2.4. kroz filtar sa slike 5.2 i posmatraj ulazni i izlazni signal. >> y5=int_dump(x5); >> clf; waveplot(x5); hold on; waveplot(5*y5) a. Ubeleži signal x5 i uvećani izlaz iz filtra 5*y5 na grafiku 5.2

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

171

Grafik 5.2. Pitanje 5.9. Na grafiku 5.2. označiti periode punjenja i pražnjenja kondenzatora. Kada je prekidač S1 zatvoren? Da li je moguće odrediti optimalni trenutak početka odabiranja bez posmatranja dijagrama oka? b. Ponoviti zadatak 5.2. ali umesto NF filtra koristi kolo sa slike 4.2. Uporedi rezultujuću BER za kolo sa slike 5.2, sa vrednostima BER koje su dobijene korišćenjem prilagođenog i NF filtra. 7) Eksperimentalno određivanje verovatnoće greške bita na osnovu Monte-Carlo simulacije 7.1. Radi procene verovatnoće greške bita (BER) generisati 1000 binarnih simbola. Simboli se prenose u osnovnom opsegu brzinom Rb=1 kb/s, korišćenjem dva različita signalizaciona formata: unipolarnog NRZ i Mančester koda. >> b = binary(1000); >> Rb = 1000; >> u = tx(b,'unipolar_nrz',Rb); >> m = tx(b,'manchester',Rb); a. Generisati signal na izlazu kanala i proceniti prenošenu binarnu sekvencu upotrebom MATLAB funkcije rx. Komunikacioni kanal predstavlja filtar propusnik niskih učestanosti, sa širinom 19 kHz i pojačanjem u propusnom opsegu od 0 dB, u kojem deluje šum čija je snaga σ n2 = 1 W. >> ch _output = channel( A*ch_input, 1, 1, 19000 ); >> rx( ch_output, 'linecode', b ); b. Promenljiva A skalira elementarni impuls, utičući tako na predajnu snagu, odnosno na energiju po bitu, Eb. Za vrednosti promenljive A koje su navedene u tabeli 5.3. odrediti odnos signal-šum i eksperimentalno (Monte-Carlo simulacija) utvrditi BER performanse.

172

VEŽBA 5

Tabela 5.3. 7.2. Na osnovu Monte-Carlo simulacije proceniti verovatnoću greške bita u zavisnosti od SNR za binarni sistem koji koristi prilagođene filtre ili korelatore. 7.3. Prikazati teoretske krive simulirane rezultate za verovatnoće greške (Monte-Carlo) ako se za prenos kroz AWGN kanal u osnovnom opsegu koriste signalizacioni formati: a. Binarni antipodalni prenos; b. On-Off prenos; c. PAM; d. Ortogonoalni (u vremenu) talasni oblici; e. Biortogonalni prenos. 8) Združena optimizacija prijemnog filtra 8.1. Projektovati predajni, GT ( f ) , i prijemni, GR ( f ) , digitalni filtar tako da njihov proizvod bude jednak prenosnoj funkciji koja je poznata kao podignuti kosinus, i da istovremeno prijemni filtar bude prilagođen za predajni filtar. 8.2. Projektovati predajni, GT ( f ) , i prijemni, GR ( f ) , digitalni filtar tako da njihov proizvod bude jednak spektru duobinarnog impulsa, i da istovremeno prijemni filtar bude prilagođen za predajni filtar.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

173

9 DIGITALNA AMPLITUDSKA MODULACIJA 9.1

UVOD

9.1.1 AM modulacija Pripada linearnom tipu modulacije, koji vrši samo translaciju spektra digitalnog signala iz osnovnog u neki viši opseg učestanosti, pogodniji za prenos. Opšti oblik linearno modulisanog digitalnog signala je: s( t ) = u1 ( t ) cos( 2πf 0 t ) + u2 ( t ) sin( 2πf 0 t ) (9.1) U zavisnosti od oblika modulišućih digitalnih signala u1 (t ) i u2 (t ) , razlikuju se: a) AM signal sa potisnutim ili nepotisnutim nosiocem: u1 (t ) =

N

∑ a k h(t − kT )

k =− N

(9.2)

u 2 (t ) = 0 u1 (t ) = u d + u1n (t )

(9.3)

gde je ud = u1( t ) , u1n (t ) = 0

(9.4)

Ako je ud = 0, AM signal je sa potisnutim nosiocem (AM-2BO), a ako je ud ≠ 0 , AM signal je sa nepotisnutim nosiocem (KAM). b) AM signal sa jednim bočnim opsegom (AM-1BO, SSB):

1 N u1 (t ) = ∑ a k h(t − kT ) 2 k =− N 1 N u 2 (t ) = ± ∑ a k hˆ(t − kT ) 2 k =− N gde je h$ ( t ) Hilbertova transformacija signala h(t ) ; s( t ) = u1 ( t ) cos( 2πf 0 t ) ± u$1 ( t ) sin( 2πf 0 t )

(9.5)

(9.6)

c) AM signal sa nesimetričnim bočnim opsegom (AM-NBO, VSB):

u1 (t ) =

1 N ∑ ak h(t − kT ) 2 k =− N

1 N u1β (t ) = ± ∑ a k hβ (t − kT ) 2 k =− N

(9.7)

gde je hβ ( t ) linearna transformacija signala h(t ) , s (t ) = u1 (t ) cos(2πf 0 t ) ± u1β (t ) sin( 2πf 0 t )

(9.8)

DIGITALNA AMPLITUDSKA MODULACIJA

174

d) Kvadraturni AM signal (QAM):

u1 (t ) = u 2 (t ) =

N

∑ ak1h(t − kT )

k =− N

(9.9)

N

∑ ak 2 h(t − kT )

k =− N

gde su ak1 i ia k 2 simboli koji pripadaju nezavisnim sekvencama simbola. 9.1.2 AM demodulacija Rezultat idealne koherentne demodulacije je signal: 1 (9.10) sd (t ) = u1 (t ) 2 kod svih oblika AM signala, osim kod QAM kod koga postoje dve nezavisne komponente demodulisnog signala: 1 sd 1 (t ) = u1 (t ) 2 (9.11) 1 sd 2 (t ) = u2 (t ) 2 9.1.3 Ekvivalentni sistem prenosa u osnovnom opsegu učestanosti Linearnost AM modulacije omogućava definisanje ekvivalentnog sistema prenosa funkcijom: 1 (9.12) H eq ( f ) = H NR ( f ) H NT ( f ){H L ( f − f c ) + H L ( f + f c )} 4 gde su: ⋅ H NT ( f ) - predajni NF filtar i H NR ( f ) - prijemni NF filtar H L ( f ) = HT ( f ) ⋅ HC ( f ) ⋅ H R ( f ) ⋅

(9.13)

H T ( f ) - predajni pojasni filtar, H C ( f ) - kanal i H R ( f ) - prijemni pojasni filtar.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

9.2 9.2.1

175

ZADACI Slika 9.2.1.1 a) prikazuje sistem za prenos podataka pomoću ASK modulacije sa nosiocem na f 0 = 1800 Hz . Na ulazu sistema je elementarni impuls minimalnog spektra:

⎛T H ( f ) = ⎜⎜ ⎝0

f ≤ 1 2T , drugde.

Prenos se vrši binarnim signalima, digitalnim protokom vd = 2400 b/s . Slika 9.2.1.1 b) prikazuje funkciju slabljenja standardnog telefonskog kanala, a fazna karakteristika kanala jednaka je nuli. NF filtar na izlazu sistema je idealan sa graničnom učestanošću f g = 1600 Hz i jediničnom amplitudskom karakteristikom u propusnom opsegu. a) Odrediti ekvivalentnu funkciju prenosa sistema. b) Odrediti srednju snagu signala na izlazu sistema. c) Odrediti a0 tako da odnos srednjih snaga signala na ulazu i izlazu sistema bude 20 dB. d) Ukoliko se u tački 4 postavi korektor koji će eliminisati nesavršenost ekvivalentne amplitudske karakteristike sistema, odrediti maksimalni digitalni protok koji se može ostvariti bez ISI. Nacrtati karakteristiku slabljenja korektora.

Slika 9.2.1.1 a) Sistem za ASK prenos podataka b) Funkcija slabljenja tf kanala

Rešenje:

a) Karakteristike amplitudskog slabljenja i amplitudska karakteristika povezane su relacijama: ac ( f ) = −20 log Ac ( f ) ili AC ( f ) = 10 a ⎧ − 0 20 ⎪ A0 = 10 ⎪ 1 − ⎪ AC ( f ) = ⎨ A0 ⋅ 10 2 ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎩

−

ac ( f ) 20 ,

800 ≤ f ≤ 2800 Hz, 200 < f < 800 Hz i 2800 < f < 3400 Hz, drugde.

Ekvivalentna prenosna karakteristika je H eq ( f ) =

s1 (t ) = s 0 (t ) ⋅ cos(2πf 0 t ), S1 ( jf ) =

1 1 S 0 [ f − f 0 ] + S0 [ f + f 0 ] , 2 2

S4 ( f ) . S0 ( f )

176

DIGITALNA AMPLITUDSKA MODULACIJA

S 2 ( f ) = S1 ( f ) ⋅ AC ( f ), S 3 ( jf ) = S 2 [ f − f 0 ] + S 2 [ f + f 0 ] 1 {S 0 [ f − 2 f 0 ] + S 0 ( f )} + AC [ f + f 0 ] ⋅ 1 {S 0 ( f ) + S 0 [ f + 2 f 0 ]}, 2 2 S 4 ( f ) = S 3 ( f ) ⋅ H NF ( f ) = AC [ f − f 0 ] ⋅

⎧⎪ 1 S ( f ) ⋅ {AC [ f + f 0 ] + AC [ f − f 0 ]} | f |≤ f g , = ⎨2 0 ⎪⎩ 0 drugde.

Na slici (Slika 9.2.1.2) za pretpostavljeni oblik spektra S 0 ( f ) , prikazane su spektralne gustine amplituda signala u naznačenim tačkama sistema.

1 2

A0 2

A0

A0 2

A0

Slika 9.2.1.2 Spektralne gustine amplituda signala u naznačenim tačkama sistema sa slike 9.2.1.1 a)

Ekvivalentna funkcija prenosa je: ⎧1 ⎪ {A [ f − f 0 ] + AC [ f + f 0 ]} | f |≤ f g , H eq ( f ) = ⎨ 2 C ⎪⎩ 0 drugde, a ⎧ − 0 ⎪ A0 = 10 20 1 ⎪ − ⎪ H eq ( f ) = ⎨ A0 ⋅ 10 2 ⎪ 0 ⎪ ⎪⎩

| f |≤ 1000 Hz, 1000 Hz > 1 , pa se dobija: t r1 (t ) = − . 2

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

183

Na sličan način je: t r0 (t ) = . 2 Na kraju se dobija: r (t ) = r1 (t ) − r0 (t ) = −t . Slika 9.2.3.2 prikazuje odziv prijemnika. r (t )

T t

−T Slika 9.2.3.2

9.2.4

Prenos podataka vrši se elementarnim impulsom sa spektrom H ( f ) oblika "podignuti kosinus": ⎧ ⎛π f T ⎞ ⎪T cos 2 ⎜ ⎟ H(f ) = ⎨ ⎝ 2 ⎠ ⎪⎩ 0

1 , T drugde. f ≤

Primenjena je amplitudska modulacija, a sistem za prenos je prikazan na slici (Slika 9.2.4.1). Kanal se ponaša kao filtar idealan propusnik opsega učestanosti. Propusni opseg kanala je od 200 Hz do 3400 Hz. Svi filtri su idealni sa propusnim opsezima koji odgovaraju propusnom opsegu kanala, i imaju jediničnu amplitudu. Šum u tački C je AWGN.

Slika 9.2.4.1 Sistem za prenos podataka ASK modulacijom

Prenos se vrši sa 8 nivoa ASK signalom sa digitalnim protokom vd = 4800 b/s. Odnos signal/šum definisan je odnosom srednje snage modulisanog signala u tački A i srednje snage šuma u tački F. a) Odrediti širinu spektra modulisanog signala, kao i učestanost nosioca pod uslovom da kanal bude optimalno iskorišćen za prenos. b) U tački F odrediti spektar signala i izračunati vrednost standardnog odziva g (0) . c) Odrediti potreban odnos signal/šum da verovatnoća greške bude PE = 10 −4 . Rešenje:

a) Signal u tački A je ASK modulisani signal: u A (t ) = u (t ) ⋅ cos(2πf 0 t ) = ∑ a k h(t − kT ) ⋅ cos(2πf 0 t ) . k

184

DIGITALNA AMPLITUDSKA MODULACIJA

Modulišući digitalni signal ima spektar do f g , a ASK modulisani signal ima spektar u opsegu od f 0 − f g do f 0 + f g : 1 ⎫ T ⎪⇒ f = v d = 1600 Hz , g ld M ⎬ 3 . ⎪ vd = T ⎭ B AM − 2 BO = 2 f g = 3200 Hz. fg =

Učestanost nosioca je na sredini propusnog opsega telefonskog kanala f 0 = 1800 Hz . b) H F ( f ) = G ( f ) = H ( f ) ⋅ H eq ( f ) , 1 H NF ( f ){H L [ f − f 0 ] + H L [ f + f 0 ]}, 2 H L ( f ) = HT ( f ) ⋅ H C ( f ) ⋅ H R ( f ) . H eq ( f ) =

Slika 9.2.4.2 Ekvivalentna prenosna karakteristika u NF opsegu

Pošto je propusni opseg telefonskog kanala B = 3200 Hz propustio ceo spektar modulišućeg signala, signal u tački F je: u F (t ) = ∑ a k g (t − kT ) + nc (t ) , k

g (t ) =

∞

∫ G ( f )e

j 2πft

df ,

−∞

g ( 0) =

∞

∫ G ( f )df

−∞

⎛π fT ⎞ T cos 2 ⎜ ⎟df = 1 = g 0 . ⎝ 2 ⎠ −1 / T 1/ T

=

∫

c) Nema ISI, pa je odmerak na osnovu kojeg se odlučuje dat sa: uF ( mT ) = am g ( 0) + nc ( mT ) , pa je: PE = 2

Ps M − 1 ⎛ g0d ⎞ M − 1 ⎛⎜ 4 ⎟⎟ = 2 Q⎜⎜ Q ⎜ M 2 −1 σ 2 M M ⎝ σn ⎠ n ⎝

⎞ ⎟ = 10 −4 , ⎟ ⎠

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

185

2

Ps

σ n2

M 2 − 1 ⎡ −1 ⎛ M 10 −4 ⎞⎤ ⎟⎥ = 234,67 . = ⎢Q ⎜⎜ ⎟ 4 ⎣⎢ ⎝ 2( M − 1) ⎠⎦⎥

10 log

Ps

σ n2

≅ 23,704 dB .

Pri tome treba uočiti da je d =

4 M −1 2

Ps , što je posledica oblika spektra

elementarnog impulsa H ( f ) . 9.2.5

Telefonskim kanalom prenosi se binarni polarni signal sa simbolima iz alfabeta d, d}, čiji je standardni signal minimalnog spektra oblika:

A = {-

1 ⎧ ⎪T f ≤ , H( f ) = ⎨ 2T ⎪⎩ 0 drugde. Telefonski kanal se ponaša kao filtar idealni propusnik opsega učestanosti sa graničnim učestanostima: fd = 200 Hz i fg = 3400 Hz. Za prenos se koristi AM-1BO modulacija i donji bočni opseg. Sistem za prenos prikazan je na slici (Slika 9.2.4.1). Ako se toleriše izobličenje signala koje nastaje kada se u telefonskom kanalu zbog nedovoljnog propusnog opsega izgubi najviše 40% snage modulisanog signala, odrediti maksimalni digitalni protok kojim je moguć prenos ovakvim sistemom.

Rešenje:

AM-1BO modulisani signal je oblika: s A (t ) = u (t ) cos(2πf 0 t ) + uˆ (t ) sin(2πf 0 t ) , a njegova srednja snaga je: 1 Ps1 = u 2 (t ) ⋅ ⋅ 2 , 2

u (t ) =

∞

∑ ak h(t − kT ) ,

k = −∞

d2 u (t ) = T

1 2T

∫

2

H ( jf ) df = d 2 , 2

−1 2T

Ps1 = d 2 , fg

Ps 2 =

u F2 (t )

2 1 = d ⋅ ∫ H ( jf ) ⋅ H eq ( jf ) df = d 2T ⋅ 2 f g , T −f 2

g

gde je f g = 3200 Hz , jer je korišćena AM-1BO modulacija. Iz uslova: Ps 2 ≥ 0,6 Ps1 , sledi: vd =

b 1 2 fg ≤ = 10666 . T 0,6 s

Prva niža standardna brzina iznosi 9600 b/s.

186

DIGITALNA AMPLITUDSKA MODULACIJA

9.2.6 Slika 9.2.6.1 a) prikazujeje ASK modulator. Na njegov ulaz dolazi binarni unipolarni signal amplitude U = 1 V i trajanja impulsa T. Slika 9.2.6.1 b) i c) prikazuju nekoherentni prijemnik i koherentni (sinhroni) prijemnik, respektivno. Učestanost nosioca je f 0 = 2 T . Prag odlučivanja u odlučivaču je U. Odrediti signale u tački F na ulazu u odlučivače, ako je informacioni sadržaj periodični niz ...U 0 U 0 ... Kolika je marža za šum?

Slika 9.2.6.1 a) ASK modulator b) Nekoherentni demodulator c) Koherentni demodulator

Rešenje:

Modulišući digitalni signal je periodična povorka pravougaonih impulsa. Periodični signal može da se razvije u Furijeov red: u m (t ) = u m (t − T0 ) =

∞

∑ Fn ⋅ e jn 2πt / T

0

, T0 = 2T ,

n = −∞

sa koeficijentima: Fn =

1 T0

⎛ π⎞ sin ⎜ n ⎟ U 1 ⎛ n 2π t ⎞ ⎝ 2⎠ − j 2πnt / T 0 dt = 2 ⋅ U cos⎜ ⎟dt = ∫T u m (t )e ∫ π 2T 0 2 ⎝ 2T ⎠ n − 0 2 2 U n = 0, 2 T0 2

T 2

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ n = 2k , =⎨ 0 k ≠ 0, ⎪ ⎪U k ⎪ (− 1) n = 2k + 1. ⎩ nπ Ako se periodični modulišući signal zapiše u obliku Furijeovog reda:

⎡1 ⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎤ u m (t ) = U ⎢ + 0,64 cos⎜ t ⎟ − 0,21cos⎜ 3 t ⎟ +...⎥ , ⎝T ⎠ ⎝ T ⎠ ⎦ ⎣2 onda je ASK signal u tački A dat sa: ⎡ ⎤ ⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ s A (t ) = U ⎢cos(2πf 0 t ) + 1,28 cos⎜ t ⎟ ⋅ cos(2πf 0 t ) − 0,42 cos⎜ 3 t ⎟ ⋅ cos(2πf 0 t ) +...⎥ . ⎝T ⎠ ⎝ T ⎠ ⎣ ⎦ Na ulazu u detektor anvelope DA signal je: ⎡ ⎛ π ⎞⎤ s D (t ) = U ⎢1 + 1,28 cos⎜ t ⎟⎥ ⋅ cos(2πf 0 t ) , ⎝ T ⎠⎦ ⎣

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

187

tako da se na izlazu DA dobija signal:

⎛π ⎞ s F (t ) = U 1 + 1,28 cos⎜ t ⎟ . ⎝T ⎠

Slika 9.2.6.2 Nekoherentno demodulisani ASK digitalni signal

Marža za šum je 0,72. U slučaju koherentne (sinhrone) demodulacije, signal na izlazu prijemnog pojasnog filtra ponovo je:

⎡ ⎛ π ⎞⎤ s D (t ) = U ⎢1 + 1,28 cos⎜ t ⎟⎥ ⋅ cos(2πf 0 t ) , ⎝ T ⎠⎦ ⎣ ali se koherentnom demodulacijom dobija: ⎧ ⎛ π ⎞⎫ s F (t ) = U ⎨1 + 1,28 cos⎜ t ⎟⎬ . ⎝ T ⎠⎭ ⎩ Marža za šum je povećana na 1,28, što predstavlja prednost koherentne ASK demodulacije u pogledu verovatnoće greške, ali je demodulator složeniji.

Slika 9.2.6.3 Koherentno demodulisani ASK digitalni signal

188

DIGITALNA AMPLITUDSKA MODULACIJA

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

189

10 DIGITALNA FAZNA MODULACIJA 10.1 UVOD 10.1.1 ΦM MODULACIJA Digitalni fazno modulisan signal može se predstaviti kao realni deo kompleksnog signala, odnosno u obliku: ⎧⎪ N ⎫⎪ s (t ) = Re{w(t )} = Re⎨ ∑ ξ k h(t − kT ) ⋅ e j 2πf0t ⎬ ⎪⎩k =− N ⎪⎭ gde je:

(10.1)

ξ k = e jΦ k

(10.2)

Faze Φ k uzimaju vrednosti iz skupa: 2π (i − 1) + Φ 0 , i = 1,2,...,M M gde je Φ0 početna faza koja je najčešće jednaka nuli.

Ako je signal h(t) oblika: h(t ) = Au (t )

(10.3)

(10.4)

gde je u(t ) jedinični pravougaoni impuls trajanja T sekundi, digitalni ΦM signal naziva se PSK signal, odnosno "fazno tastovanje" i oblika je:

{

}

s (t ) = Re [P(t ) + jQ(t )]e j 2πf 0t = P(t ) cos(2πf 0 t ) − Q(t ) sin(2πf 0 t )

(10.5)

gde su: N

P(t ) = A

∑ u (t − kT ) cos Φ k

k =− N

Q(t ) = A

(10.6)

N

∑ u(t − kT ) sinΦ k

k =− N

Fazor PSK signala je: 2

2

s (t ) = P (t ) + jQ (t ) = P (t ) + Q (t ) ⋅ e

jarctg

Q (t ) P (t )

(10.7)

a njegov oblik u k-tom signalizacionom intervalu je:

s k = Ae jΦ k A = P 2 (t ) + Q 2 (t ) = const

(10.8)

10.1.2 DEMODULACIJA ΦM SIGNALA Koristi se koherentna demodulacija, koja u pogledu sinhronizacije postavlja iste zahteve kao i AM demodulacija.

DIGITALNA FAZNA MODULACIJA

190

Verovatnoća greške pod uticajem Gausovog šuma u kanalu približno je data izrazom:

⎡ A sin (π M ) ⎤ PE = 2Q ⎢ d ⎥, M ≥ 4 σn ⎦ ⎣ gde je: ⋅ Ad - amplituda ΦM signala na izlazu pojasnog limitera prijemnika, a

(10.9)

⋅ σ n2 - varijansa Gausovog šuma. Verovatnoća greške za binarni ΦM signal (BPSK) odgovara AM signalu sa potisnutim nosiocem, odnosno prenosu u osnovnom opsegu učestanosti. 10.1.3 DIFERENCIJALNA DIGITALNA ΦM MODULACIJA I DIFERENCIJALNA KOHERENTNA DEMODULACIJA Zahteva diferencijalno kodovanje originalne sekvence simbola na predaji koje se ostvaruje logičkom funkcijom "sabiranja po modulu 2". f {bk }⎯⎯→ {ck }

c k = bk ⊕ ck −1 = b0 ⊕ b1 ⊕ b2 ⊕L⊕ bk

(10.10)

Demodulisani signal u k-tom signalizacionom intervalu, posle diferencijalne koherentne T = m, ( m = 1,2,...) , dat je izrazom: demodulacije i pri uslovu T0 sdk (t ) = Ad cos ∆Φ k gde je: ⋅ T T0 - odnos širine signalizacionog intervala i periode nosioca ΦM signala, ⋅ Ad - konstantna amplituda demodulisanog signala, ⋅

∆Φk = Φk − Φk −1 - razlika faza u dva susedna signalizaciona intervala.

(10.11)

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

191

10.2 ZADACI 10.2.1 Slika 10.2.1.1 prikazuje sistem za prenos kvadraturnog PSK signala (QPSK). Signali u1 (t ) i u2 (t ) su binarni i prikazani su na slici (Slika 10.2.1.2). a) Pokazati da se na izlazu kola za sabiranje dobija fazno modulisani signal: s A (t ) = A cos[ 2πf 0t + Φ(t )] .

b) Prikazati fazorsku predstavu (konstelaciju) modulisanog signala. c) Nacrtati vremenski oblik devijacije faze Φ(t ) . d) Odrediti signale u tačkama E i G u idealnom slučaju: H c ( f ) = 1 i važi f 0 >> 1 2T ; T je signalizacioni interval.

Slika 10.2.1.1 Sistem za prenos QPSK signala

Slika 10.2.1.2 Modulišući signali

Rešenje:

a) Modulisani signal se dobija superpozicijom 2PSK signala (u jedan sa nosiocem u fazi i drugi sa nosiocem u kvadraturi): s A (t ) = 2u1 (t ) cos(2πf 0 t ) + 2u 2 (t ) sin(2πf 0 t ) = A cos[2πf 0 t + Φ(t )] = A cos Φ (t ) ⋅ cos(2πf 0 t ) − A sin Φ (t ) ⋅ sin(2πf 0 t ).

Važi: 2u1 (t ) = A cos Φ (t ) , i 2u 2 (t ) = − A sin Φ (t ). Amplituda fazno modulisanog signala treba da je konstantna: A = 2 u12 (t ) + u 22 (t ) = 2 2U 2 = 2 2U = const ,

što je zadovoljeno.

192

DIGITALNA FAZNA MODULACIJA

Sledi: cos Φ(t ) =

2u1 (t ) u1 (t ) = , A 2U

sin Φ(t ) = −

2u 2 (t ) u (t ) =− 2 . A 2U

Faza kvadraturnog PSK signala je: u (t ) Φ(t ) = −arctg 2 . u1 (t ) Tabela 10.2.1.1 daje vrednosti faze u zavisnosti od vrednosti modulišućeg signala. cos Φ(t )

u1 (t )

u2 (t )

U

U

2 2

U

-U

2 2

-U

U

− 2 2

-U

-U

− 2 2

sin Φ(t )

Φ(t )

− 2 2

−π 4

2 2 − 2 2 2 2

π 4 − 3π 4 3π 4

Tabela 10.2.1.1 Kombinacije vrednosti modulišućih signala i odgovarajuće vrednosti faze

b) Konstelacija QPSK signala je prikazana na slici (Slika 10.2.1.3).

A U

−U

U

−U Slika 10.2.1.3 Konstelacija QPSK signala

Treba primetiti, što se na osnovu izgleda konstelacije lako uočava, da su 4QAM i QPSK međusobno ekvivalentne. Može se reći da je QAM generalizovani oblik modulacije sa jednom nosećom frekvencijom, čiji su specijalni slučajevi ASK i PSK modulacije. Za frekvencijsku modulaciju (FSK) ovo ne važi, jer se u ovom slučaju koristi više nosećih frekvencija (vidi zadatak 11.2.1). c) Slika 10.2.1.4 prikazuje vremenski oblik devijacije faze.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

193

Slika 10.2.1.4 Devijacija faze

d) Na izlazu produktnog modulatora signali su: sD (t ) = u1 (t ) ⋅ cos(2 ⋅ 2πf 0t ) + u1 (t ) + u2 (t ) ⋅ sin(2 ⋅ 2πf 0t ) , sF (t ) = u1 (t ) ⋅ sin(2 ⋅ 2πf 0t ) − u2 (t ) ⋅ cos(2 ⋅ 2πf 0t ) + u2 (t ) .

Svrha NF filtra u sinhronom prijemniku je da propusti signal u osnovnom opsegu, a da potisne signal modulisan na 2 f 0 , pa su signali na izlazu prijemnika: sE (t ) = u1 (t ), sG (t ) = u2 (t ).

10.2.2 Posmatra se 8PSK modulacija. a) Skicirati konstelaciju 8PSK signala. Ako se tokom prenosa faza modulisanog signala promeni za |εg| ≤ π koliko će bita biti pogrešno primljeno? b) Izvesti izraz za verovatnoću bitske greške. Izraziti verovatnoću bitske greške u fukciji odnosa Eb N 0 , gde je Eb prosečna energija koja se emituje po bitu informacije. Pretpostaviti da se koristi Grejov kod. Rešenje:

a) Slika 10.2.2.1 prikazuje 8PSK konstelaciju.

Slika 10.2.2.1 8PSK konstalacija

194

DIGITALNA FAZNA MODULACIJA

Za ε ≤ π 8 ne dolazi do greške, za π 8 ≤ ε ≤ 3π 8 greška je na 1 bitu, a za

3π 8 ≤ ε ≤ π greška može biti i na sva 3 bita (granice regiona dekodovanja su na polovini ugaonog rastojanja između simbola u konstelaciji). b) Istim rezonovanjem kao u zadatku 9.2.2 pod d), dobija se da je verovatnoća bitske greške približno: ⎛ A sin(π M ) ⎞ PE 2 ⎟⎟ . 2Q⎜⎜ = ldM ldM σn ⎠ ⎝ Prosečna snaga modulisanog signala je: Pb ≈

A2 , Ps = 2 a prosečna energija je: E s = Ps T =

A 2T , 2

pa je: 2Es . T Snaga šuma je (pretpostavka je da je na prijemu pojasni filtar, širine propusnog opsega B = 1 T ): A=

N0 . T Dobija se:

σ n2 =

⎛ 2 E sT ⎞ ⎛ 2 Es ⎞ 2 2 2Q⎜⎜ sin(π M ) ⎟⎟ = 2Q⎜⎜ sin(π M ) ⎟⎟ , ldM ⎝ N 0T ⎠ ldM ⎝ N 0 ⎠ Prosečna energija po bitu je: E Eb = s , ldM pa je konačno: Pb =

Pb =

⎛ 2 ⋅ ldM ⋅ Eb ⎞ 2 2Q⎜ sin(π M ) ⎟ . ⎜ ⎟ ldM N0 ⎝ ⎠

10.2.3 Posmatra se MPSK modulacija: a) U kakvom odnosu stoje srednje snage PSK signala za M = 4 i M = 8 pod uslovom da su verovatnoće greške jednake, i da se koristi polarni alfabet? a) Za istu verovatnoću greške uporediti PSK i ASK sistem sa istim brojem simbola. Pretpostaviti da se koristi elementarni impuls koji ispunjava I Nikvistov kriterijum. Pored toga, pretpostaviti da se može usvojiti aproksimacija da je: M −1 ≈ 1, za M ≥ 4 . M

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

195

Rešenje:

a) Verovatnoća greške za PSK sa M ≥ 4 simbola data je izrazom: ⎛ A sin(π M ) ⎞ ⎟⎟ PEPSK = 2Q⎜⎜ M σn ⎠ ⎝ Iz uslova PE4 = PE8 dobija se A4 sin

modulisani signal ( S N ) M

(S N )8 (S N )4

π

π

= A8 sin . Pošto je odnos signal/šum za fazno 4 8

A M2 = , sledi: 2σ n2

A82 sin 2 (π 4) = 2 = = 4 cos 2 (π 8) = 3,41, 2 A4 sin (π 8)

odnosno: SNR8 = SNR4 + 10 ⋅ log 3,41 = SNR4 + 5,33 dB . b) Snaga ASK modulisanog signala je: 1 PASK = PS , 2 gde je PS snaga signala u osnovnom opsegu. PASK =

M 2 −1 2 6P d ⇒ d 2 = 2ASK , 2⋅3 M −1

PE ASK = 2

6 PASK M − 1 ⎛⎜ Q ⎜ ( M 2 − 1)σ 2 M n ⎝

⎛ π PEPSK = 2Q⎜ sin ⎜ M ⎝

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

2 PPSK ⎞⎟ . σ n2 ⎟⎠

Porede se sistemi za M ≥ 4 jer su za M = 2 binarni PSK i binarni ASK sistem potpuno ekvivalentni i imaju iste performanse. Za M ≥ 4 je ( M − 1) / M ≈ 1 , pa se može pisati: ⎛ 6 PPSK PEFSK ≅ 2Q⎜ ⎜ ( M 2 − 1)σ 2 n ⎝

⎞ ⎛ ⎛ π ⎞ 2 PPSK ⎟ = PE ⎜ sin⎜ ⎟ 2 = Q FSK ⎟ ⎜ ⎝M ⎠ σ2 n ⎠ ⎝

sledi: 6 M −1 2

(S

(S

⎛π ⎞ N ) ASK = 2 sin 2 ⎜ ⎟ ⋅ (S N )PSK , ⎝M ⎠

N )ASK =

(M

2

)

⎛π ⎞ − 1 sin 2 ⎜ ⎟ ⎝ M ⎠ (S N ) , PSK 3

⎡ M 2 −1 2 ⎛ π sin ⎜ SNR ASK = SNRPSK + 10 ⋅ log ⎢ ⎝M ⎣ 3

⎞⎤ ⎟⎥ [dB] . ⎠⎦

Za M = 4: SNR4 ASK = SNR4 PSK + 10 ⋅ log 2,5 ≅ SNR4 PSK + 4 [dB].

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

196

DIGITALNA FAZNA MODULACIJA

Za M = 8: SNR8 ASK = SNR8 PSK + 10 ⋅ log 3,07 ≅ SNR8 PSK + 4,9 [dB] . Za M = 16: SNR16 ASK = SNR16 PSK + 10 ⋅ log 3,2 ≅ SNR16 PSK + 5 [dB].

Slika 10.2.3.1 Verovatnoća greške za ASK i PSK u funkciji SNR sa parametrom M

Udvostručenje broja simbola kod ASK zahteva povećanje snage signala za oko 6 dB za istu verovatnoću greške. Za M = 2 ASK je isto što i PSK, a za M > 2 ASK zahteva za oko 5 dB veću snagu od odgovarajućeg PSK. 10.2.4 Optimalni koherentni MPSK prijemnik je prikazan na slici (Slika 10.2.4.1). Odrediti signal na izlazu iz prijemnika. T

∫

X

0

s (t )

arctan(Y X )

cos(2πf 0t ) T

∫ 0

Y

sin( 2πf 0t ) Slika 10.2.4.1

Rešenje:

U k-tom signalizacionom intervalu prenošeni signal je: s (t ) = A cos(2πf 0 t − Φ k ). Nakon množenja sa kosinusiodom i integraljenja, dobija se:

φ

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA T

197

T

X = ∫ A cos(2πf 0 t − Φ k ) cos(2πf 0 t )dt = A cos Φ k ∫ cos(2πf 0 t ) cos(2πf 0 t )dt + 0

0 T

+ A sin Φ k ∫ cos(2πf 0 t ) sin(2πf 0 t )dt 0

=

A cos Φ k 2

T T ⎛T ⎞ ⎜ dt + cos(4πf 0 t )dt ⎟ + A sin Φ k sin(4πf 0 t )dt ∫ ∫ ⎜∫ ⎟ 2 0 0 ⎝0 ⎠

=

A cos Φ k 2

⎛ sin(4πf 0T ) ⎞ A sin Φ k 1 − cos(4πf 0T ) ⎟⎟ + ⎜⎜ T + f 4 π 2 4πf 0 0 ⎠ ⎝

AT cos Φ k , 2 uz pretpostavku da je f 0 >> 1 . =

Za granu sa sinusoidom se na sličan način dobija: T

T

Y = ∫ A cos(2πf 0 t − Φ k ) sin(2πf 0 t )dt = A cos Φ k ∫ cos(2πf 0 t ) sin(2πf 0 t )dt + 0

0 T

+ A sin Φ k ∫ sin(2πf 0 t ) sin(2πf 0 t )dt 0 T

A cos Φ k A sin Φ k = sin( 4πf 0 t )dt + ∫ 2 2 0 =

T ⎛T ⎞ ⎜ dt − cos(4πf 0 t )dt ⎟ ∫ ⎜∫ ⎟ 0 ⎝0 ⎠

A cos Φ k 1 − cos(4πf 0T ) A sin Φ k + 2 4πf 0 2

.

⎛ sin(4πf 0T ) ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ T − 4πf 0 ⎠ ⎝

AT sin Φ k . 2 Važi: =

⎛ sin Φ k ⎛Y ⎞ ⎟ = arctan⎜⎜ ⎝X⎠ ⎝ cos Φ k

⎞ ⎟⎟ = Φ k . ⎠ Problem koherentnog prijemnika je to što se na prijemu mora obezbediti estimacija faze nosioca. Za to se obično koristi PLL kolo koje usložnjava realizaciju prijemnika.

φ = arctan⎜

10.2.5 Na ulaz u prijemnik čija je blok šema prikazana na slici (Slika 10.2.5.1) dolazi fazno modulisani signal s (t ) = U 0 cos[2πf 0t + φ (t )]. Vremenski oblik trenutne devijacije faze φ (t ) prikazan je na slici (Slika 10.2.5.2).

198

DIGITALNA FAZNA MODULACIJA 1

s(t )

T

C

2

~~

A

~~

B

f0

f0

Slika 10.2.5.1 Blok šema prijemnika

Pri tome je 2πf 0T = π 4 + 2kπ , gde je k ceo broj i k >> 1 .

Slika 10.2.5.2 Trenutna devijacija faze

Pronaći signale na izlazima iz prijemnika, u tačkama A i B, i prikazati njihove vremenske oblike. Rešenje:

Signal u tački C je: S C ( f ) = S ( f ) ⋅ H ( f ) = S ( f ) ⋅ e − j 2πfT , sC (t ) =

∞

∞

−∞

−∞

j 2πft j 2πf ( t −T ) df = s (t − T ), ∫ S C ( f )e df = ∫ S ( f )e

a signali u pojedinim tačkama prijemnika su: s1 (t ) = U 0 cos[2πf 0 t + Φ (t )] ⋅ U 0 cos[2πf 0 (t − T ) + Φ (t − T )] =

U 02 {cos[4πf 0 t − 2πf 0T + Φ(t ) + Φ(t − T )] + cos[2πf 0T + Φ(t ) − Φ(t − T )]}, 2

U 02 cos[2πf 0T + Φ (t ) − Φ (t − T )] s A (t ) = 2 U2 2 π ⎞ U2 ⎛ = 0 cos⎜ ∆Φ(t ) + ⎟ = 0 [cos ∆Φ(t ) − sin ∆Φ (t )] , 2 4⎠ 2 2 ⎝ s 2 (t ) = U 0 cos[2πf 0 t + Φ (t )] ⋅ U 0 sin[2πf 0 (t − T ) + Φ(t − T )] U 02 {sin[4πf 0 t − 2πf 0T + Φ(t ) + Φ(t − T )] − sin[2πf 0T + Φ(t ) − Φ(t − T )]}, = 2

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

199

U 02 sin[2πf 0T + Φ (t ) − Φ (t − T )] s B (t ) = − 2 U 02 =− [sin ∆Φ(t ) + cos ∆Φ(t )] 2 . 2 2

Slika 10.2.5.3 Demodulisani signal

Ovo je primer tzv. diferencijalne koherentne detekcije, gde se na prijemu ne generiše lokalni nosilac u fazi sa nosiocem u predajniku (tj. koherentna detekcija), već se za demodulaciju koristi u nosilac primljen u prethodnom signalizacionom intervalu. Obično se ovakav način detekcije kombinuje sa diferencijalnim kodovanjem na predaji (vidi zadatak 10.2.6). 10.2.6 Za prenos poruke {ak}={101011000110} koristi se diferencijalna PSK. Neka je prvi simbol diferencijalno kodovane poruke {bk} jednak 1. Za demodulaciju se koristi prijemnik sa slike (Slika 10.2.6.1). Digitalni protok je 1200 b/s. Detektor na svom izlazu daje "1" kada je signal na njegovom ulazu negativan. a) Odrediti diferencijalno kodovanu poruku {bk} i simbole PSK signala koji odgovaraju toj poruci. Simbolu "1" odgovara faza 0, a simbolu "0" faza π. b) Odrediti minimalnu učestanost nosioca PSK signala, tako da prijemnik ispravno radi. c) Odrediti dekodovanu poruku ako se u 5-tom signalizacionom intervalu promenila faza nosioca za π.

Slika 10.2.6.1 Sistem za prenos DPSK signala

200

DIGITALNA FAZNA MODULACIJA

Rešenje:

a) Originalna poruka je:

{ak } = 10101100 0110 , a odgovarajuća diferencijalno kodovana poruka bk = ak ⊕ bk −1 je:

{bk } = 1001101111011. Poruci {bk } odgovaraju sledeći simboli PSK signala: {Φ k } = 0 ππ 00 π 000 0π 00 . b) Idealni PSK signal u k-tom signalizacionom intervalu ima oblik: sk (t ) = A cos(2πf 0t + Φ k ) , pa je signal na ulazu u NF filtar oblika: sk ( t ) ⋅ sk −1 ( t ) = A cos( 2πf 0 t + Φ k ) ⋅ A cos( 2πf 0 ( t − T ) + Φ k −1 ) . Nakon NF filtra, na ulaz detektora dolazi signal: s D (t ) =

A2 cos(2πf 0T + ∆Φ k ), 2πf 0T = const , 2

gde je: ∆Φ k = Φ k − Φ k −1 . Uslov da prijemnik ispravno radi svodi se na uslov: n f 0T = n ⇒ f 0 = . T Minimalna učestanost nosioca je za n = 1 i iznosi: 1 f 0min = = 1200 Hz. T c) Tada je ispunjen uslov ispravnog rada prijemnika: sD ( t ) =

A2 cos ∆Φ k , 2

$ = 0|ππ 00|0πππ |π 0ππ |, Φ k

∆Φ k = π 0π 0 0π 00 0ππ 0 ,

{aˆ k } = 1010 0100 0110 ≅ {a k }. Diferencijalnim kodovanjem simbol ak je utisnut u razliku faza PSK signala u dva uzastopna signalizaciona intervala, čime je izbegnuta osetljivost demodulacije na promenu faze nosioca. 10.2.7 Slika 10.2.7.1 prikazuje sistem koji koristi diferencijalnu binarnu faznu modulaciju:

Slika 10.2.7.1 Sistem za prenos DPSK signala

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

201

Na ulaz kola za sabiranje po modulu 2 u tački A dolazi povorka vrlo uskih impulsa: a0 a1 a2 a3 a4 a5 -1 -1 1 1 -1 -1 H ( f ) je kolo za uobličavanje impulsa. U tački C, DFSK signal se može napisati u obliku: sC ( t ) =

∑ h (t − kT ) cos(2πf t + Φ 0

k

).

k

a) Odrediti vrednosti simbola bk u tački B iza sabirača (pretpostaviti da je b-1 = -1). b) Na osnovu oblika signala u tački C odrediti vezu između faze Φk i simbola bk. c) Ako sistem za prenos ima idealnu amplitudsku karakteristiku i faznu karakteristiku oblika: ϕ ( f ) = − f∆t , i ako se prenos vrši brzinom vd = 2400 b/s odrediti minimalnu vrednost učestanosti nosioca f0 tako da u trenutku odabiranja signala u tački F ne dođe do ISI pod uslovom da elementarni impuls h(t ) zadovoljava sledeći kriterijum: k = 0, ⎧ h0 ⎪ h(k T 2) = ⎨h0 2 k = ±1, ⎪ 0 k ≠ 0,± 1. ⎩ Rešenje:

a) Diferencijalno kodovana poruka je: bk = bk −1 ⊕ a k . Ako operacija sabiranja po modulu 2 daje “1” kad su simboli različiti i ako se pretpostavi b−1 = −1 onda je: b0 b1 b2 b3 b4 b5 -1 -1 1 -1 -1 -1 b) Na osnovu blok dijagrama na slici 8.7., signal u tački C je: sc ( t ) =

∑ b h(t − kT ) cos(2πf t ). 0

k

k

Po uslovu zadatka taj signal je oblika: sc (t ) =

∑ h(t − kT ) cos(2πf t + Φ 0

k

)=

k

=

∑ h(t − kT ) cos(2πf t ) ⋅ cos Φ −∑ h(t − kT ) sin(2πf t ) ⋅ sin Φ 0

k

k

0

k

pa se poređenjem može zaključiti da je: bk = cos Φ k , tj. Φ k = arccos bk = {0,π }. bk

-1

-1

1

-1

-1

-1

Φκ

π

π

0

π

π

π

Tabela 10.2.7.1 Kodovanje i modulacija DPSK signala

c) Funkcija prenosa sistema je: H L ( f ) = H T ( f ) ⋅ H C ( f ) ⋅ H R ( f ) = A ⋅ e − j 2πf∆t ( A = 1),

k

,

202

DIGITALNA FAZNA MODULACIJA

što znači da sistem unosi kašnjenje za ∆t, pa kasni i odlučivanje: sD (t + ∆t ) = sC (t ), sE (t + ∆t ) = sD (t + ∆t − τ ) = sC (t − τ ); sF (t ) = NF {sD (t ) ⋅ sE (t )},

sF (t + ∆t ) = NF { sC (t ) ⋅ sC (t − τ )} ⎧ ⎫ = NF ⎨ ∑ h(t − kT ) cos[ 2πf 0t + Φk ] ⋅ ∑ h(t − τ − kT ) cos[ 2πf 0 (t − τ ) + Φ'k ] ⎬ ⎩k ⎭. k U trenutku odlučivanja nT + ∆t je: s F (nT + ∆t ) = ⎧ ⎫ NF ⎨∑ h((n − k )T ) cos(2πf 0 nT + Φ k ) ⋅ ∑ h((n − k )T − τ ) cos 2πf 0 (nT − τ ) + Φ 'k ⎬ k ⎩k ⎭. U prvoj sumi od nule je različit samo član za k = n, pa je 1 sF (nT + ∆t ) = ∑ h0h( (n − k )T − τ ) cos[ 2πf 0τ + Φn − Φ'k ] 2 k .

(

)

Oblik impulsnog odziva h(t ) poznat je u trenucima t = kT/2 pa je potrebno analizirati prethodni izraz za vrednosti τ = mT/2: ⋅ τ = 0 nema smisla jer se gubi informacija sadržana u razlici faza; ⋅ za τ = ±T/2 u sumi ostaju dva člana - postoji ISI ⋅ τ = ±T dobija se: h02 sF (nT + ∆t ) = cos[ 2πf 0τ + Φn − Φn−1] 2 .

Ako se za učestanost nosioca odabere minimalna vrednost: v 1 1 f0 = = = d = 2400 Hz, T0 T ld M konačno se dobija željeni demodulisani DPSK signal: h02 sF (nT + ∆t ) = cos[ Φn − Φn−1 ] . 2 Dekodovanje daje originalnu (ali invertovanu) sekvencu:

∆Φ k

0

0

π

π

0

0

a$k

1

1

-1

-1

1

1

Tabela 10.2.7.2 Demodulacija i dekodovanje DPSK signala

10.2.8 Na slici (Slika 10.2.8.1) prikazan je diferencijalni fazni demodulator u kome je NF filtar zamenjen integratorom (optimalni prijemnik). Na ulaz prijemnika dolazi kvaternarni fazno modulisani signal:

⎧1 0 < t ≤ T , ) , h(t ) = ⎨ k = −∞ ⎩0 t ≤ 0, t > T , u kome promeni faze ϕ k − ϕ k −1 odgovara dibit ak bk : sM (t ) =

∞

∑ h(t − kT ) ⋅ cos( 2πf t + ϕ 0

k

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

ϕ k − ϕ k −1

ak

bk

0

0

0

π 2

0

1

π

1

0

3π 2

1

1

203

a) Odrediti f 0T tako da sd 1 i sd 2 zavise samo od razlike ϕ k − ϕ k −1. b) Za f 0T = 1 nacrtati modulisan signal koji odgovara poruci, i popuniti tabelu:

k ak

0

1

2

3

4

0

0

1

0

1

bk

1

0

1

1

0

ϕk ϕ k − ϕ k −1 sd 1 sd 2

Slika 10.2.8.1 Demodulator DPSK signala

Napomena: ϕ −1 = a −1 = b−1 = 0. Rešenje:

a) U intervalu integraljenja kT < t ≤ (k + 1) T signal na ulazu integratora je: ⎡ ∞ ⎤⎡ ∞ ⎤ s1 (t ) = 2⎢ ∑ h(t − nT ) sin(2πf 0 t + φ n )⎥ ⎢ ∑ h(t − mT − T ) cos(2πf 0 (t − T ) + φ m )⎥ ⎣n= −∞ ⎦ ⎣m= −∞ ⎦ = 2 ⋅ h(t − kT ) sin(2πf 0 t + φ k ) ⋅ h(t − kT ) cos(2πf 0 (t − T ) + φ k −1 ), pa je u trenutku t = ( k + 1) T uzimanja odbirka demodulisanog signala za odlučivanje, taj odbirak jednak: s d 1 [(k + 1)T ] =

1 T

( k +1)T

∫ [sin(2 ⋅ 2πf 0 t − 2πf 0T + φk − φk −1 ) + sin(2πf 0T + φk − φk −1 )]dt

kT

= sin(2πf 0T + φ k − φk −1 ).

204

DIGITALNA FAZNA MODULACIJA

Slično se dolazi do: sd 2 [ ( k + 1) T ] = cos( 2πf 0 T + φ k − φ k −1 ) . Za f 0 T = n, n ∈ Z + , demodulisani signali zavisiće samo od razlike dve uzastopne faze. b)

k ak

0

1

2

3

4

0

0

1

0

1

bk

1

0

1

1

0

ϕ k − ϕ k −1

π/2

0

3π/2

π/2

π

sd 1[( k + 1) T ]

1

0

-1

1

0

sd 2 [( k + 1) T ]

0

1

0

0

-1

ϕk

π/2

π/2

0

π/2

3π/2

Slika 10.2.8.2 Diferencijalno fazno modulisani signal

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

205

11 DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA 11.1 UVOD 11.1.1 FSK modulacija FSK modulacija našla je veoma široku primenu zbog jednostavnosti generisanja modulisanog signala i jednostavne nekoherentne demodulacije koja ne zahteva rekonstrukciju nosioca. FM modulacija (FSK) nepovoljnija je od digitalne ΦM modulacije u pogledu širine spektra i zahtevanog odnosa signal/šum, pa se zato koristi za manje brzine prenosa, kod kojih propusni opseg kanala nije kritičan. Moguć je i koherentni prenos FSK signala, koji daje bolje rezulate od nekoherentnog. Bolji kvalitet prenosa ostvaren je složenijim koherentnim prijemnikom. Digitalni FM signal dat je izazom: t

s (t ) = A cos[2πf 0 t + 2πf d ∫ x(τ )dτ +θ 0 ]

(11.1)

0

gde je: ⋅ A - konstantna amplituda, ⋅ f 0 - učestanost nosioca, ⋅

f d - konstanta FM modulatora,

⋅ θ 0 - početna faza FM signala za t = 0, ⋅ x (t ) - modulišući digitalni signal, dat izrazom: N

x (t ) =

∑bk h(t − kT )

(11.2) U slučaju da je h(t ) pravougaoni impuls jedinične amplitude, trajanja T, FSK signal u k-tom signalizacionom intervalu je oblika: s k (t ) = A cos(2πf 0 t + 2πf d bk t + θ k ) (11.3) k =− N

Ako je: θ k = 2πf 0 (k − 1)T + 2πf d bk −1T + θ k −1

(11.4) tada je FSK signal sa kontinualnom promenom faze, odnosno dobijen je "mekim tastovanjem". Ukoliko uslov (11.4) nije ispunjen, FSK signal je dobijen "tvrdim tastovanjem". 11.1.2 Demodulacija FSK signala

Koriste se koherentna i nekoherentna demodulacija, odnosno detekcija. a) Detektor sa limiterom i diskriminatorom, slika 11.a.

206

DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA

Slika 11.a Detektor FM signala sa limiterom i diskriminatorom

Ako je signal na ulazu u pojasni limiter oblika: suL (t ) = r (t ) cos[2πf 0 t + θ (t )], r (t ) ≥ 0

(11.5)

tada je na izlazu pojasnog filtra koji sledi iza idealnog limitera signal oblika: siL (t ) = U L cos[2πf 0 t + θ (t )]

(11.6)

gde je: 4A UL = = const

(11.7) π A je vrednost na koju se limituje. Na izlazu diferencijatora D signal je: 1 dθ (t ) ⎞ ⎛ (11.8) siD (t ) = −8 A⎜ f 0 + ⎟sin[2πf 0t + θ (t )] 2π dt ⎠ ⎝ 1 dθ (t ) 1 dθ (t ) , izraz f 0 + predstavlja anvelopu Ukoliko je ispunjen uslov f 0 ≥ 2π dt 2π dt koja je proporcionalna trenutnoj devijaciji učestanosti, odnosno modulišućem digitalnom signalu: s D (t ) = D f

dθ = Df dt

N

∑ bk h(t − kT ), D f

= const

(11.9)

k =− N

pri čemu sD(t) predstavlja signal na izlazu iz diskriminatora D. Ispravljač ISP i NF filtar čine detektor anvelope. b) Diferencijalni FM detektor, slika 11.b.

Slika 11.b Diferencijalni FM detektor

Pod uslovom da je f 0τ = 1 4 , gde je τ vremensko kašnjenje diferencijalnog detektora, demodulisani signal ima oblik: dθ s D (t ) ≅ D f τ (11.10) dt c) Detektor sa dva filtra i dva detektora anvelope, slika 11.c.

Slika 11.c Nekoherentni prijemnik FM signala

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

207

Koristi se kod binarnog FSK signala sa kontinualnom promenom faze, koji zadovoljava uslov: n1 n2 = =T (11.11) f1 f 2 gde su n1 i n2 celi pozitivni brojevi, a f 1 i f 2 učestanosti FSK signala koje odgovaraju prenosu logičke "0" i "1". Pored prethodnog uslova, pojasni filtri prijemnika moraju da zadovolje i sledeći uslov: f1 − f 2 > B (11.12) gde je B širina propusnog opsega filtara, a f 1 i f 2 predstavljaju njihove centralne učestanosti. d) Koherentni demodulator, slika 11.d.

Slika 11.d Koherentni FM detektor

Mora da zadovolji sve uslove kao i prethodni detektor. 11.1.3 Verovatnoća greške binarne FSK

Analiziran je slučaj prenosa binarnog FSK signala u prisustvu Gausovog šuma konstantne spektralne gustine srednje snage. U slučaju detektora sa dva filtra i dva detektora anvelope, verovatnoća greške je: 1 − PE = e 2

ρ2 2

A2 ,ρ = 2σ n2 2

(11.13)

U poslednjem izrazu A predstavlja konstantnu amplitudu FSK signala na ulazu u prijemnik, a σn2 varijansu uskopojasnog Gausovog šuma. U slučaju koherentne demodulacije, verovatnoća greške data je izrazom: PE = Q( ρ ) (11.14)

208

DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA

11.2 ZADACI 11.2.1 Posmatra se sistem za prenos u kome se koristi MFSK. a) Prikazati vremenski izgled modulisanog signala za M = 2 ako se prenosi binarna sekvenca 010011110. b) Skicirati konstelaciju modulisanog signala za slučajeve M = 2 i M = 3 . c) Skicirati spektar talasnog oblika koji odgovara simbolu modulišućeg signala. Rešenje: a) Kod FSK se simboli alfabeta prenose pomoću talasnih oblika čije frekvencije odgovaraju simbolima. Drugim rečima, u toku k-tog signalizacionog intervala digitalni signal je: kT ≤ t ≤ (k + 1)T s (t ) = A cos(2πf k t ) , gde je A = const i f k ∈ { f1 , f 2 ,... f M }. U slučaju 2FSK, važi: 0

f1

1

f2

Slika 11.2.1.1 prikazuje vremenski izgled modulisanog signala.

Slika 11.2.1.1

b) Prikaz konstelacije kod FSK signala se suštinski razlikuje od prikaza konstelacija ASK, PSK, ili QAM signala. Kod ASK, PSK i QAM modulacije, prikaz konstelacije je u opštem slučaju u ravni (dve dimenzije), pri čemu je ravan definisana frekvencijom nosioca, a simboli se u njoj prikazuju pomoću amplitude i faze talasnih oblika kojima se prenose. FSK spada u ortogonalne modulacije, a simboli se prikazuju na osama koje odgovaraju pojedinim frekvencijama. Kod FSK modulacije postoji onoliko osa (dimenzija) u konstelaciji koliko ima nosećih frekvencija, a simboli se prikazuju rastojanjem od koordinatnog početka koje odgovara amplitudi talasnog oblika (koja je za sve simbole ista). Projekcija simbola na bilo koju drugu osu je 0, stoga je FSK ortogonalna modulacija. Slika 11.2.1.2 prikazuje konstelacije za M = 2 i M = 3 .

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

f2

f3

M =2

209

M =3

A

A A

f1

A

f2

A

f1 Slika 11.2.1.2

c) Talasni oblik koji odgovara nekom simbolu je: 0≤t ≤T hm (t ) = A cos(2πf m t ) . Njegova Furijeova transformacija je:

Hm( f ) =

∞

T

− j 2πft − j 2πft ∫ s(t )e dt = ∫ A cos(2πf m t )e dt

−∞

0 T

T

A A = ∫ Ae j 2πf mt e − j 2πft dt + ∫ Ae − j 2πf mt e − j 2πft dt 20 20 =

A e j 2π ( f m − f )t 4 jπ ( f m − f )

=

A(e j 2π ( f m − f )T − 1) A(1 − e − j 2π ( f m + f )T ) + 4 jπ ( f m − f ) 4 jπ ( f m + f )

T

0

+

A e − j 2π ( f m + f )t − 4 jπ ( f m + f )

T

0

Ae jπ ( f m − f )T (e jπ ( f m − f )T − e − jπ ( f m − f )T ) = + 4 jπ ( f m − f ) +

Ae − jπ ( f m + f )T (e jπ ( f m + f )T − e − jπ ( f m + f )T ) 4 jπ ( f m + f )

=A

sin(π ( f m − f )T ) jπ ( f m − f )T sin(π ( f m + f )T ) − jπ ( f m + f )T +A e e 2π ( f m − f ) 2π ( f m + f )

=A

sin(π ( f − f m )T ) − jπ ( f − f m )T sin(π ( f + f m )T ) − jπ ( f + f m )T e +A e 2π ( f − f m ) 2π ( f + f m )

Slika 11.2.1.3 prikazuje Furijeovu transformaciju H m ( f ) . Hm( f )

A⋅ T 2

− fm

fm

Slika 11.2.1.3

f

210

DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA

11.2.2 Koliko je minimalno potrebno rastojanje između nosećih frekvencija kod FSK ako se koristi: a) nekoherentna demodulacija (Slika 11.2.2.1), b) koherentna demodulacija (Slika 11.2.2.2). Minimalno rastojanje se određuje iz uslova da dva talasna oblika koji predstavljaju simbole budu međusobno ortogonalni u toku jednog signalizacionog intervala T. Odrediti potrebni propusni opseg za MFSK u oba slučaja. T

∫

( )2

0

r1 (T )

cos( 2πf1t ) T

∫

( )2

0

sin( 2πf1t ) T

∫

( )2

0

s (t )

r2 (T )

cos( 2πf 2t )

max (ri (T ) )

T

∫

( )2

1≤i≤ M

0

sin( 2πf 2t )

T

∫

( )2

0

rM (T )

cos( 2πf M t ) T

∫

( )2

0

sin( 2πf M t )

Slika 11.2.2.1 Nekoherentni prijemnik

T

∫

r1 (T )

0

cos( 2πf1t ) T

∫

r2 (T )

0

s (t )

max (ri (T ) )

cos( 2πf 2t )

1≤ i≤ M

T

∫

rM (T )

0

cos( 2πf M t ) Slika 11.2.2.2 Koherentni prijemnik

r (T )

r (T )

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

211

Rešenje: a) Uslov ortogonalnosti je: T

∫ cos(2πf1t ) cos(2πf 2t + θ )dt = 0 , 0

gde je sa θ označena fazna razlika. Razvojem gornjeg izraza dobijamo: T

T

∫ cos(2πf1t ) cos(2πf 2 t + θ )dt = cosθ ∫ cos(2πf1t ) cos(2πf 2t )dt − 0

0 T

− sin θ ∫ cos(2πf1t ) sin(2πf 2 t )dt 0

cos θ = 2

T

sin θ 2

T

=

cos θ 2

⎛ sin (2π ( f1 + f 2 )T ) sin (2π ( f1 − f 2 )T ) ⎞ ⎜⎜ ⎟+ + 2π ( f1 − f 2 ) ⎟⎠ ⎝ 2π ( f1 + f 2 )

+

sin θ 2

⎛ cos(2π ( f1 + f 2 )T ) − 1 cos(2π ( f 2 − f1 )T ) − 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟. + 2 ( ) 2 ( ) π f f π f f + − 1 2 2 1 ⎝ ⎠

−

∫ (cos(2π ( f1 + f 2 )t ) + cos(2π ( f1 − f 2 )t ))dt − 0

∫ (sin(2π ( f1 + f 2 )t ) + sin(2π ( f 2 − f1 )t ))dt 0

Ako pretpostavimo da je f1 + f 2 >> 1 , dobijamo: T

∫ cos(2πf1t ) cos(2πf 2 t + θ )dt = 0

cos θ sin (2π ( f1 − f 2 )T ) + 2 2π ( f1 − f 2 )

sin θ cos(2π ( f 2 − f1 )T ) − 1 + 2 2π ( f 2 − f1 )

(11.2.2.1)

Gornji izraz može biti jednak 0, samo ako je istovremeno: sin (2π ( f1 − f 2 )T ) = 0 , i cos(2π ( f 2 − f1 )T ) = 1 .

Oba uslova su zadovoljena za: 2π ( f1 − f 2 )T = 2kπ , k . T Minimalno rastojanje između nosioca je za k = 1 : 1 f1 − f 2 = . T Slika 11.2.2.3 prikazuje minimalno rastojanje u između talasnih oblika u frekvencijskom domenu. f1 − f 2 =

212

DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA

f1

f2 f

1 T Slika 11.2.2.3

b) Ako je u pitanju koherentna demodulacija, tada je θ = 0 . Zamenom u (11.2.2.1) se dobija: T

∫ cos(2πf1t ) cos(2πf 2t + θ )dt = 0

cos θ sin (2π ( f1 − f 2 )T ) = 0, 2 2π ( f1 − f 2 )

što je zadovoljeno za: 2π ( f1 − f 2 )T = kπ , k , 2T pa je minimalno rastojanje između nosioca: 1 f1 − f 2 = , 2T odnosno, dva puta manje nego kod nekoherentne demodulacije (Slika 11.2.2.4). f1 − f 2 =

f1

f2

f

1 2T Slika 11.2.2.4

Na osnovu dobijenih rezultata, može se izračunati širina propusnog opsega koja je potrebna za prenos MFSK signala. Za MFSK je potrebno M nosećih frekvencija. U slučaju nekoherentne demodulacije, potrebna širina propusnog opsega je: M B≈ , T dok je u slučaju koherentne demodulacije: M B≈ . 2T

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

213

11.2.3 Odrediti signal na izlazu nekoherentnog prijemnika iz prethodnog zadatka. Prenošeni simbol u k-tom signalizacionom intervalu je A cos(2πf i t + θ ) , gde je θ ugao koji modeluje nekoheretnost (faznu razliku između nosioca na predaji i na prijemu). Rešenje:

U svim granama prijemnika u kojima se primljeni signal množi sa sinusoidama i kosinusoidama učestanosti koje su različite od f i , nakon integraljanja će se dobiti 0 (vidi prethodni zadatak). U grani u kojoj se signal množi sa sinusoidom učestantosti f i , nakon integraljenja se dobija: T

T

∫ A cos(2πf i t + θ ) sin(2πf i t )dt = A cosθ ∫ sin(2πf i t ) cos(2πf i t )dt + 0

0

T

+ A sin θ ∫ cos(2πf i t ) cos(2πf i t )dt 0

T ⎛T ⎞ ⎜ dt + cos(4πf i t )dt ⎟ − ∫ ∫ ⎜ ⎟ 0 ⎝0 ⎠

=A

cos θ sin θ sin(4πf i t )dt + A ∫ 2 0 2

=A

cos θ 1 − cos(4πf i T ) sin θ +A 2 4πf i 2

T

⎛ sin(4πf i T ) ⎞ ⎜⎜ T + ⎟⎟. 4 π f i ⎝ ⎠

Ako pretpostavimo da je f i >> 1 , dobija se: T

AT sin θ . 2

∫ A cos(2πf i t + θ ) sin(2πf i t )dt = 0

Za granu u kojoj se primljeni signal množi sa kosinusoidom učestantosti f i , nakon integraljenja se dobija: T

T

∫ A cos(2πf i t + θ ) cos(2πf i t )dt = A cosθ ∫ cos(2πf i t ) cos(2πf i t )dt − 0

0

T

− A sin θ ∫ cos(2πf i t ) sin(2πf i t )dt 0

T T T ⎞ sin θ cos θ ⎛⎜ ⎟ =A dt + ∫ cos(4πf i t )dt − A ∫ sin(4πf i t )dt ⎟ 2 ⎜⎝ ∫0 2 0 0 ⎠

AT cosθ . 2 Nakon integraljenja, dobijene vrednosti se kvadriraju i sabiraju, pa je: =

2

2

2

⎛ AT ⎞ ⎛ AT ⎞ ⎛ AT ⎞ ri = ⎜ sin θ ⎟ + ⎜ cos θ ⎟ = ⎜ ⎟ . ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

11.2.4

a) Izraziti verovatnoću greške za binarnu FSK u funkciji odnosa energije emitovane po bitu Eb , i SGSS belog Gausovog šuma N 0 (pretpostaviti da je širina propusnog opsega za obe demodulacije ista i jednaka B = 1 2T ).

214

DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA

b) Izraziti verovatnoću bitske greške Pb u funkciji verovatnoće (simbolske) greške PE i broja informacionih bita po simbolu k = ldM . Rešenje:

a) Verovatnoća greške binarne FSK zavisi od odnosa signal šum ρ :

ρ=

Ps

σ n2

=

Ps = 2N 0 B

Ps

=

Ps T = N0

1 2T Pošto je reč o binarnoj modulaciji, važi: E s = Eb , 2N 0

Es . N0

pa je:

ρ=

Eb . N0

Za koherentnu demodulaciju je: ⎛ Eb ⎞ ⎟, PE = Q( ρ ) = Q⎜ ⎜ N ⎟ 0 ⎠ ⎝ Za nekoherentnu demodulaciju je: ρ2

Eb

1 − 1 − PE = e 2 = e 2 N 0 . 2 2 b) Za izvođenje verovatnoće bitske greške se ne može koristiti rezonovanje upotrebljeno za izvođenje ovog parametra kod ASK ili PSK. Naime, kod FSK su zamene poslatog talasnog oblika za neki od preostalih M − 1 jednakoverovatne (ovo važi generalno za ortogonalne modulacije). Postoji ukupno 2 k informacionih sekvenci (odnosno, simbola). Posmatrajmo jednu fiksiranu poziciju u okviru sekvence. Postoji tačno 2 k −1 sekvenci na kojima je na posmatranoj poziciji 0, i 2 k −1 sekvenci na kojima je na posmatranoj poziciji 1. Takođe, broj sekvenci kod kojih je na posmatranoj poziciji vrednost bita različita od one koja je poslata je 2 k −1 . Ukoliko je došlo do greške prilikom odlučivanja, broj sekvenci u koje se poslata sekvenca može preslikati je 2 k − 1 . Verovatnoća da je došlo do zamene prilikom odlučivanja u sekvencu u kojoj je posmatrani bit pogrešan je stoga 2 k −1 2 k − 1 . Verovatnoća bitske greške je: 2 k −1 M 2 PE = PE . k M −1 2 −1 Granična vrednost je: M 2 1 PE = PE . lim Pb = lim M →∞ M →∞ M − 1 2

Pb =

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

215

11.2.5 Ako je najvažniji parametar sistema za prenos verovatnoća greške, koja modulacija je bolji izbor: ⋅ binarna FSK sa koherentnom demodulacijom i odnosom signal/šum SNR = 12 dB , ⋅ binarna FSK sa nekoherentnom demodulacijom i odnosom signal/šum od SNR = 14 dB ? Rešenje:

Za binarnu FSK sa koherentnom demodulacijom verovatnoća greške je: PE = Q( ρ ), gde je:

ρ = 10

SNR 10

= 10

SNR 20

= 10 0.6 ≈ 4 ,

Dobija se: PE = Q(4) ≈ 5 ⋅ 10 −5.

Za binarnu FSK sa nekoherentnom demodulacijom verovatnoća greške je: 1 − PE = e 2

ρ2 2

,

pri čemu je ρ

SNR = 10 20

= 10 0.7 ≈ 5 ,

Dobija se: PE = 0.5e −12.5 ≈ 1.9 ⋅ 10 −6.

Jasno je da je binarna FSK sa nekoherentnom demodulacijom i SNR = 14 dB bolji izbor sa stanovišta verovatnoće greške. 11.2.6 Prenos binarnog ASK i FSK signala vrši se telefonskim kanalom čija funkcija prenosa ima oblik filtra idealnog propusnika opsega učestanosti sa graničnim učestanostima f d = 300 Hz i f g = 3400 Hz . U kanalu deluje Gausov šum ravne jednostrane spektralne

gustine snage N 0 = 3,0 ⋅ 10 −11 W Hz . Spektar elementarnog impulsa modulišućeg digitalnog signala je oblika: ⎧H f < 1 2T , H( f ) = ⎨ 0 drugde. ⎩ 0 gde je T širina signalizacionog intervala. Na prijemu ASK signala konstatovano je da je −5 verovatnoća greške prenosa PEA = 10 . a) Odrediti maksimalnu vrednost odnosa η = vd B (η - spektralna efikasnost) za prenos ASK signala, gde je B propusni opseg kanala, B = fg - fd. b) Ako su srednje snage ASK i FSK signala jednake, odrediti verovatnoću greške u prenosu FSK signala, ako se vrši nekoherentna demodulacija. c) Koliki je maksimalni odnos η = vd B za prenos FSK signala?

Modulišući signal podataka je binarni polarni signal sa simbolima ak = ±1.

216

DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA

Rešenje:

Propusni opseg kanala je B = (3400 − 300) Hz = 3100 Hz , a njegova centralna učestanost je: B f c = f d + = 1850 Hz . 2

Slika 11.2.6.1 Spektar AM-2BO signala.

Maksimalna učestanost u spektru modulišućeg signala je: 1 B = = 1550 Hz . fm = 2T 2 AM-2BO signal ima dva puta širi spektar od odgovarajućeg signala u osnovnom opsegu. Odavde sledi da je: 1 vd max = = 2 f m = 3100 b s . T a) Maksimalni spektralna efikasnost prilikom prenosa AM signala je: vd bit s η = max = 1 . B Hz b) Verovatnoća greške ASK signala je: ⎛g d⎞ ⎛ U ⎞ ⎟⎟, PEA = Q⎜⎜ o ⎟⎟ = Q⎜⎜ ⎝ σn ⎠ ⎝ σ nA ⎠ gde je U vrednost odbirka demodulisanog AM signala na prijemu, a σ nA efektivna vrednost napona šuma na mestu odlučivanja. Iz uslova: PEA = 10−5

nalazi se: U2 2 σ nA

= A 2 = 18,1476.

Kako je: fc +

2 σ nA = N0

B 2

∫ df B

fc −

= N 0 B,

2

sledi: U = A N0 B. Srednja snaga AM signala je: 1 2T

PSA

H 02 d 2 M 2 −1 2 1 2 2 d H f df f t = ( ) ⋅ ⋅ cos 2 π = . 0 T −1∫2T 3 2T 2

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

217

Vrednost odbirka signala na prijemu je: 1 2T

∫

g 0 = h(0) =

H ( f )df =

−1 2T

H0 . T

Dalje je: H0 = 2 PSA = 1,46 mV. T Verovatnoća greške nekoherentno detektovanog FSK signala je: U = A N0 B = g0d = d ⋅

−

U F2

2 1 2σ nF e , 2 gde je U F vrednost amplitude FSK signala. Elementarni FSK signal je oblika: s F (t ) = h(t ) cos(2πf1t ) i s F (t ) = h(t ) cos(2πf 2 t ).

PEF =

Srednje snage FSK signala i ASK signala su jednake, pa sledi: U F = U = 2 PSA . Sada je: PEF =

1 2

P − SA σ2 e nF

,

2 2 σnF = σnA , jer je ista širina kanala, pa je verovatnoća greške FSK signala:

A2

1 − PEF = e 2 = 1.15 ⋅10 −4 . 2 c) Pošto se radi o nekoherentnoj demodulaciji, važi: M 2 B= = , pa je T T vd 1 bit s η = max = . B 2 Hz Potrebna širina propusnog opsega za binarni nekoherentni FSK je duplo veća nego za binarni ASK sistem.

218

DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

219

12 SPEKTRALNO EFIKASNE MODULACIJE 12.1 UVOD 12.1.1 Trelis-kodovana modulacija (TCM – Trellis-Coded Modulation) Kod klasičnih M-arnih modulacionih postupaka, kao što su PAM, MPSK i QAM, verovatnoća greške zavisi od minimalnog (Euklidskog) rastojanja između simbola, koje je određeno srednjom snagom signala, kao i brojem i pozicijom simbola. Pri konstantnoj srednjoj snazi i pri povećanju broja simbola dolazi do smanjenja ovog minimalnog rastojanja. To znači da pri konstantnoj srednjoj snazi i konstantnoj brzini signaliziranja, dolazi do povećanja verovatnoće greške kada poraste digitalni protok, odnosno kada poraste broj simbola. Trelis-kodovana modulacija se koristi za povećanje efikasnosti prenosa digitalnih signala uskopojasnim kanalima ograničenog frekvencijskog opsega. Cilj trelis-kodovane modulacije je da se poveća minimalno rastojanje između simbola bez povećanja srednje snage signala. Trelis-kodovana modulacija predstavlja kombinaciju kodovanja i nekog od digitalnih modulacionih postupaka. Kodovanje je moguće izvesti blok ili trelis kodovima. Trelis kodovanje je izabrano zbog efiksanosti Viterbijevog algoritma dekodovanja. Trelis-kodovanje se realizuje konvolucionim koderom, koji na osnovu ulazne sekvence od k informacionih (nekodovanih) bita i sopstvenog stanja (memorije) u kojoj se nalazi K − 1 prethodni bit, proizvedi n = k + p kodovanih bita (tzv. kodne reči). K predstavlja dužinu memorije kodera a p je broj bita redudandanse (parnosti). Kodovanje povećava broj simbola sa 2 k na 2 k + p . Zadržavanjem iste srednje snage, očigledno se smanjuje minimalno rastojanje između simbola kodovanog niza. Međutim, pomoću konvolucionog kodovanja se uvodi međuzavisnost između simbola, odnosno u toku signalizacionog intervala se onemogućava pojava simbola koji su na međusobno malom rastojanju. Odlučujući doprinos verovatnoći greške u ovom slučaju je od strane minimalnog (Euklidskog) rastojanja dve putanje kroz trelis, koje se pogodnim mapiranjem kodnih reči konvolucionog kodera u simbole može načiniti znatno većim nego minimalno rastojanje između simbola u nekodovanom slučaju. Konačni rezultat je smanjenje zahtevanog odnosa SNR (3-6 dB) za istu vrednost verovatnoće greške, bez povećanja širine spektra modulisanog signala. Sa druge strane, trelis-kodovanje povećava složenost realizacije predajnika i prijemnika.

220

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

12.2 ZADACI 12.2.1 Dva nezavisna M-arna digitalna signala potrebno je preneti pomoću QAM modulacije. Elementarni impulsi su pravougaoni impulsi jedinične amplitude, trajanja T i predstavljaju impulsni odziv predajnog filtra H ( f ) . a) Skicirati konstelacije u slučajevima kada je M = 2,4 i 8. b) Koji uslov moraju da zadovolje f 0 i T, da bi komponenta u fazi i komponenta u kvadraturi bile međusobno ortogonalne u toku jedne periode?

Slika 12.2.1.1 QAM modulator

Rešenje: a) Digitalni signali na izlazu predajnih filtara su: d1 (t ) = ∑ an h(t − nT ) i d 2 (t ) = ∑ bn h(t − nT ) , n

n

pri čemu je elementarni impuls dat sa: ⎧1 0 ≤ t < T , h(t ) = ⎨ ⎩0 drugde. Modulisani signal je: s (t ) = ∑ a n h(t − nT ) cos(2πf 0 t ) + ∑ bn h(t − nT ) sin(2πf 0 t ) . n

n

Slika 12.2.1.2 prikazuje izgled konstelacije modulisanog signala za slučajeve M = 2,4 i 8. Konstelacije su dvodimenzionalne, po jedna dimenzije za komponentu u fazi i kvadraturi. Konstelacije sa ovakvim rasporedom tačaka se nazivaju pravougaone. Postoje i QAM konstelacije gde su tačke drugačije raspoređene, npr. po koncetričnim kružnicama ili šestougaonim rešetkama, što se dobija pogodnim izborom amplitudskih nivoa komponenata u fazi i kvadraturi.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

221

M =4 M =2

M =2

M =4

M =8

M =8

Slika 12.2.1.2

b) Da bi u toku jednog perioda (signalizacionog intervala) komponenta u fazi i komponenta u kvadraturi bile međusobno ortogonalne, treba da važi: ( k +1)T

∫ d1 (t )d 2 (t )dt = 0 .

kT

Razvojem gornjeg izraza, dobija se: ( k +1)T

( k +1)T

kT

kT

( k +1)T

∫ d1 (t )d 2 (t )dt = ∫ ak sin(2πf 0 t )bk cos(2πf 0 t )dt = ak bk ∫ sin(2πf 0 t ) cos(2πf 0 t )dt kT ( k +1)T

= 2a k bk

a k bk

∫ sin(4πf 0 t )dt = − 2πf

( k +1)T

cos(4πf 0 t ) kT

kT

a k bk (cos(4πf 0 kT + 4πf 0T ) − cos(4πf 0 kT ) ) 2πf a b = k k sin(4πf 0 kT + 2πf 0T ) sin(2πf 0T ). πf

=−

222

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

Da bi uslov ortogonalnosti bio zadovoljen za svako k, mora važiti: 2πf 0T = 2nπ , f 0 T = n, n , T tj. u jednom signalizacionom intervalu mora biti obuhvaćen ceo broj perioda. Ortogonalnost omogućava koherentnu demodulaciju bez interkanalne interferencije. f0 =

12.2.2 Posmatra se QAM modulacija sa M simbola. a) Odrediti verovatnoću (simbolske) greške i verovatnoću bitske greške za QAM modulaciju sa pravougaonom konstelacijom. b) Sa stanovištva ovih parametara, uporediti QAM i ASK modulaciju, za isti odnos 10 log( E s N 0 ) = 30 db i M = 16 . Rešenje: a) Kada je konstelacija pravougaona, verovatnoća greške QAM se relativno lako određuje pomoću verovatnoće greške za ASK. Naime, u ovom slučaju se QAM može predstaviti kao kombinacija dve ASK modulacije sa po N = M simbola (M je broj QAM simbola) i polovinom snage PASK = PQAM / 2 ; jedna ASK odgovara komponenti u fazi, druga ASK komponenti u kvadraturi (smatra se da je uslov ortogonalnosti ovih komponenata zadovoljen). Da bi QAM simbol bio ispravno detektovan, oba ASK simbola moraju biti ispravno detektovani (Slika 12.2.2.1). Verovatnoća greške pojedine ASK je (vidi zadatak 9.2.2):

PE ASK = 2

6 E ASK N − 1 ⎛⎜ Q⎜ 2 N ⎝ N −1 N0

⎛ ⎞ 3 EQAM ⎟ = 2 M − 1 Q⎜ ⎟ ⎜ M −1 N0 M ⎠ ⎝

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

Verovatnoća ispravne detekcije QAM simbola je tada: ⎛ M − 1 ⎛⎜ 3 EQAM 2 PC QAM = 1 − PE ASK = ⎜1 − 2 Q ⎜ ⎜ M −1 N0 M ⎝ ⎝ a verovatnoća greške je:

(

)

2

⎞⎞ ⎟⎟ , ⎟⎟ ⎠⎠ 2

⎛ M − 1 ⎛⎜ 3 EQAM ⎞⎟ ⎞⎟ 2 PE QAM = 1 − PC = 1 − 1 − PE ASK = 1 − ⎜1 − 2 Q . ⎜ ⎜ M −1 N0 ⎟⎟ M ⎝ ⎠⎠ ⎝ Lako se pokazuje da je gornja granica na verovatnoću greške za QAM:

(

⎛ 3 EQAM PE QAM ≤ 4Q⎜ ⎜ M −1 N0 ⎝

)

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

223

Slika 12.2.2.1 Veza između QAM sa pravougaonom konstelacijom i ASK

Verovatnoća bitske greške se takođe dobija na jednostavan način. M simbola koduje ldM bita informacije. Pretopstavimo da se kodovanje bita u simboli vrši tako da se susedni simboli razlikuju za 1 bit (Grejov kod), i da je najverovatnija greška zamena za susedni simbol. Dobijamo: PE QAM Pb QAM = . ldM b) Pretpostavimo sada da posmatramo QAM i ASK sa istim brojem simbola i istom srednjom snagom (odnosno energijom): E ASK = EQAM = E s . Važi: PE ASK = 2

Es M − 1 ⎛⎜ 6 Q⎜ 2 M ⎝ M −1 N0

⎞ ⎟, i ⎟ ⎠

⎛ M − 1 ⎛⎜ 3 Es PE QAM = 1 − ⎜1 − 2 Q⎜ ⎜ M ⎝ M −1 N0 ⎝ Za date brojne vrednosti se dobija:

2

⎞⎞ ⎟⎟ . ⎟⎟ ⎠⎠

PE ASK = 1.875 ⋅ Q(4.85) = 1.16 ⋅ 10 −6 , i

PE QAM = 1 − (1 − 1.5 ⋅ Q(14.14)) ≈ 0. 2

Vidi se da je verovatnoća greške za QAM modulaciju praktično zanemarljiva. Pošto je za obe vrste modulacije potreban isti propusni opseg, može se reći da je QAM bolji izbor. Grafik (Slika 12.2.2.2) prikazuje odnos verovatnoća greške ove dve modulacije za date parametre.

224

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

10 log (Es N 0 ) [dB] Slika 12.2.2.2

12.2.3 Uporediti ASK, PSK, QAM i nekoherentnu FSK modulaciju sa stanovišta spektralne efikasnosti. Rešenje:

Za MASK, MPSK, MQAM je spektralna efikasnost: v ldM T ⎡ bit s ⎤ η= d = = ldM ⎢ ⎥, B 1T ⎣ Hz ⎦ odnosno, raste sa porastom broja simbola u alfabetu. Međutim, za datu srednju snagu, verovatnoća greške takođe raste sa porastom broja simbola. Za MFSK modulaciju, spektralna efikasnost je: v ldM T ldM ⎡ bit s ⎤ η= d = = , B M T M ⎢⎣ Hz ⎥⎦ što znači da opada sa porastom broja simbola. Prednost MFSK modulacije je što je u principu potrebna manja snaga za datu verovatnoću greške nego kod ostalih modulacija, a takođe je i realizicaja nekoherentnog prijemnika relativno jednostavna i jeftina. Ukoliko je na raspolaganju ograničen propusni opseg, tada se obično koriste PSK ili QAM modulacije zbog svoje spektralne efikasnosti. Ako je na raspolaganju širok propusni opseg, dok je snaga predajnika limitirana, tada se obično koristi MFSK modulacija. 12.2.4 Slika 12.2.4.1 prikazuje standardni QPSK i OQPSK (Offset QPSK) modulator. Skicirati signale na izlazu modulatora, ukoliko su signali u1 (t ) i u 2 (t ) kojima se vrši modulacija nosilaca u fazi i kvadratruri u oba slučaja isti i prikazani na slici (Slika 12.2.4.2).

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

cos(2πf 0t + π 4)

cos(2πf 0t + π 4)

sin (2πf 0t + π 4)

sin (2πf 0t + π 4)

225

Slika 12.2.4.1 a) QPSK modulator b) OQPSK modulator

u1 (t )

u2 (t )

Slika 12.2.4.2 Modulišući signali

Rešenje:

a) QPSK modulisan signal je (vidi zadatak 10.2.1): ⎡ u (t ) π ⎤ s q (t ) = 2 cos ⎢2πf 0 t − arctg 2 + ⎥. u1 (t ) 4 ⎦ ⎣ Početna faza od π 4 je izabrana tako da se dobiju vrednosti faze modulisanog signala date u tabeli (Tabela 12.2.4.1).

cos Φ(t )

u1 (t )

u2 (t )

1

1

2 2

1

-1

2 2

-1

1

− 2 2

-1

-1

− 2 2

sin Φ(t )

Φ(t )

− 2 2

0

2 2 − 2 2 2 2

π 2 3π 2

π

Tabela 12.2.4.1

Prikaz konstelacije signala je dat na slici (Slika 12.2.4.3), a njegov vremenski izgled je dat na slici (Slika 12.2.4.4).

226

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

2

Slika 12.2.4.3

sq (t )

u1 = 1 u2 = 1

u1 = −1 u2 = −1

u1 = 1 u 2 = −1

u1 = −1 u2 = 1

0

8T

Slika 12.2.4.4

b) OQPSK modulisan signal je: ⎡ u (t − T ) π ⎤ s q (t ) = 2 cos ⎢2πf 0 t − arctg 2 + ⎥. u1 (t ) 4⎦ ⎣ Vrednosti faze, kao i izgled konstelacije su isti, jedina razlika je ta što je modulišući signal zakašnjen za polovinu signalizacionog intervala (ofset). Vremenski izgled modulišućeg signala je dat na slici (Slika 12.2.4.5). soq (t ) u = 1 u1 = −1 u1 = 1 u1 = −1 1 u2 = 1 u2 = 1 u 2 = −1 u 2 = −1

7T

T

Slika 12.2.4.5

Za razliku od QPSK, kod OQPSK ne može do doći skokovite promene faze od π , već je maksimalna promena faze π 2 . To je posledica činjenice da postoji ofset između modulišućih signala od polovine signalizacionog intervala. Naime, pomoću ofseta je obezbeđeno da ne može doći do istovremene promene vrednosti oba modulišuća signala, već se njihove vrednosti naizmenično menjaju, što daje promenu faznog stava za maksimalno π 2 (vidi tabelu). 12.2.5 MSK (Minimum Shift Keying) je varijanta binarne frekvencijske modulacije sa mekim tastovanjem (CPFSK – Continuous Phase Frequency Shift Keying), kod koje se modulisani signal u k-tom signalizacionom intervalu može izraziti na sledeći način:

⎛ ⎛ ⎞ d ⎞ s(t ) = A cos⎜⎜ 2π ⎜ f 0 + k ⎟t + θ k ⎟⎟ , 4T ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

227

gde je d k ∈ {−1,1} prenošeni informacioni simbol u k-tom signalizacionom intervalu, a θ k faza koja se izračunava po sledećem rekurzivnom obrascu: ⎛ ⎝

θ k = ⎜θ k −1 +

πk 2

(d k −1 − d k )⎞⎟ mod(2π ) , ⎠

pri čemu je početna faza θ 0 = 0 . a) Koliko je rastojanje između nosilaca? b) Pokazati da je faza modulisanog signala kontinualna. c) Skicirati modulisani signal ako je {d k } = 1,−1,−1,1,1,−1 . d) Pokazati da je MSK ekvivalentna OQPSK sa elementarnim impulsom: ⎧ ⎛ πt ⎞ ⎪ A cos⎜ ⎟ −T ≤ t ≤ T, h(t ) = ⎨ ⎝ 2T ⎠ ⎪⎩ 0 drugde.

i kašnjenjem u kvadraturnoj grani od T. Skicirati komponentu u fazi i kvadraturi OQPSK signala. Rešenje:

a) Rastojanje između nosilaca je: 1 ⎛ 1 ⎞ 1 , − ⎜ f0 − ⎟= 4T ⎝ 4T ⎠ 2T odnosno, to je minimalno rastojanje između nosilaca kod frekvencijske modulacije (vidi zadatak 11.2.2). Zbog toga se ova modulacija naziva Minimum Shift Keying. b) Na kraju k-tog signalizacionog intervala, faza je: πkd k φ k = 2πf 0 kT + + θk , 2 a na početku (k + 1) -og signalizacionog intervala faza je jednaka: ∆f = f 0 +

φ k +1 = 2πf 0 kT +

πkd k +1

+ θ k +1 2 Ukoliko je naredni informacioni simbol isti kao i prethodni, d k +1 = d k , tada je:

θ k +1 = θ k mod(2π ) = θ k pa je faza na početku (k + 1) -og signalizacionog intervala jednaka:

φ k +1 = 2πf 0 kT +

πkd k

+ θk . 2 Ukoliko je naredni informacioni simbol različit od prethodnog, d k +1 = −d k , tada je:

⎛

θ k +1 = ⎜θ k +

kπ (d k + d k ) ⎞ ⎟ mod(2π ) = (θ k + kπd k ) mod(2π ) , 2 ⎠

⎝ pa je faza na početku (k + 1) -og signalizacionog intervala jednaka:

πkd k

+ (θ k + kπd k ) mod(2π ) . 2 Ako je k parno, k = 2n , tada je:

φ k +1 = 2πf 0 kT −

φ k = 4πf 0 nT + nπd k + θ k , i

228

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

φ k +1 = 4πf 0 nT − nπkd k + θ k . Važi: cos(4πf 0 nT + nπd k + θ k ) = cos(4πf 0 nT − nπd k + θ k ) = (− 1)n cos(4πf 0 nT + θ k ) . Za neparno k, k = 2n + 1 , dobija se: πd (2n + 1)πd k φ k = 2πf 0 (2n + 1)T + + θ k = 2πf 0 (2n + 1)T + nπd k + k + θ k , i 2 2 πd (2n + 1)πd k φ k +1 = 2πf 0 (2n + 1)T − + θ k + πd k = 2πf 0 (2n + 1)T − nπd k + k + θ k . 2 2 Takođe važi:

πd πd ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ cos⎜ 2πf 0 (2n + 1)T + nπd k + k + θ k ⎟ = cos⎜ 2πf 0 (2n + 1)T − nπd k + k + θ k ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ = (−1) n (− d k ) sin (2πf 0 (2n + 1)T + θ k ). Pošto se vrednost modulišućeg signala ne menja skokovito prilikom smene signalizacionih intervala, radi se signalu sa kontinualnom fazom (odnosno, o mekom tastovanju). c) Na osnovu definicionih izraza, dobija se: k

dk

fk

θk

0

1

f 0 + 1 4T

0

1

−1

f 0 − 1 4T

π

2

−1

f 0 + 1 4T

π

3

1

f 0 + 1 4T

0

4

1

f 0 − 1 4T

0

5

−1

f 0 − 1 4T

π

Slika 12.2.5.1 prikazuje modulišući signal. s (t )

d 0 = 1 d1 = −1d 2 = −1 d 3 = 1 d 4 = 1 d 5 = −1

0

6T

Slika 12.2.5.1

d) Da bi se dokazalo da su MSK i OQPSK sa elementarnim impulsom “polukosinus” ekvivalentne, polazi se od izraza za MSK: ⎞ ⎛ ⎛ d ⎞ πt ⎛ ⎞ dk + θk ⎟ s (t ) = A cos⎜⎜ 2π ⎜ f 0 + k ⎟t + θ k ⎟⎟ = A cos⎜ 2πf 0 t + 4T ⎠ 2T ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

πt πt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = A cos θ k cos⎜ 2πf 0 t + d k ⎟. d k ⎟ − A sin θ k sin⎜ 2πf 0 t + 2T 2T ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

229

Početna faza za MSK je θ 0 = 0 . U svakom narednom signalizacionom intervalu, faza se ili ne menja, ili se menja za (kπd k −1 ) mod(2π ) . Pošto je d k −1 = ±1 , θ k se može promeniti samo za π , što znači da θ k ∈ {0, π } , odnosno sin θ k = 0 . Dalje se dobija:

πt ⎛ ⎞ dk ⎟ s (t ) = A cos θ k cos⎜ 2πf 0 t + 2T ⎝ ⎠ ⎛ πt ⎞ ⎛ πt ⎞ = A cos θ k cos⎜ d k ⎟ sin (2πf 0 t ). d k ⎟ cos(2πf 0 t ) − A cos θ k sin ⎜ ⎝ 2T ⎠ ⎝ 2T ⎠ Važi: ⎛ πt ⎞ ⎛ πt ⎞ ⎛ πt ⎞ d k ⎟ = cos⎜ ± cos⎜ ⎟ = cos⎜ ⎟, i ⎝ 2T ⎠ ⎝ 2T ⎠ ⎝ 2T ⎠ ⎛ πt ⎞ ⎛ πt ⎞ d k ⎟ = d k sin ⎜ sin ⎜ ⎟, ⎝ 2T ⎠ ⎝ 2T ⎠ pa je: ⎛ πt ⎞ ⎛ πt ⎞ s (t ) = A cos θ k cos⎜ ⎟ cos(2πf 0 t ) − Ad k cos θ k sin ⎜ ⎟ sin (2πf 0 t ) ⎝ 2T ⎠ ⎝ 2T ⎠ ⎛ π (t − T ) ⎞ ⎛ πt ⎞ = a k cos⎜ ⎟ sin (2πf 0 t ), ⎟ cos(2πf 0 t ) − bk cos⎜ ⎝ 2T ⎠ ⎝ 2T ⎠

gde je a k = A cos θ k = ± A , i bk = Ad k cos θ k = ± A . Zbog zavisnosti koja postoji između d k i θ k , ak i bk mogu da menjaju vrednost samo u trenucima koji su umnošci intervala 2T , uz međusobni ofset od T (Tabela 12.2.5.1). k

dk

θk

ak

bk

0

1

0

A

A

1

−1

π

−A

A

2

−1

π

−A

A

3

1

0

A

A

4

1

0

A

A

5

−1

π

−A

A

Tabela 12.2.5.1

Slika 12.2.5.2 prikazuje komponente u fazi i kvadraturi. Na slici su jasno naznačene anvelope, koje su oblika cos(πt 2T ) .

230

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

d 0 = 1 d1 = −1d 2 = −1 d 3 = 1 d 4 = 1 d 5 = −1

a0 = A a1 = −A a2 = −A a3 = A a4 = A a5 = −A 0

6T b0 = A b1 = − A b2 = −A b3 = A b4 = A b5 = −A

0

6T

Slika 12.2.5.2

12.2.6 OFDM sistem (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) prenosi N digitalnih signala si(t), i = 1, 2,…, N, upotrebom N frekvencijskih nosilaca međusobno pomerenih u frekvencijskom domenu za učestanost ∆f. Kompleksna predstava signala si(t), i-tog frekvencijskog kanala u osnovnom opsegu je:

si (t ) = xi e 2πji∆ft , 0 ≤ t ≤ T ; gde su xi kompleksni simboli modulacionog alfabeta koji se koristi (npr. MQAM, MPSK, itd.), a T je period odnosno trajanje jednog OFDM simbola. Vremenski oblik jednog OFDM simbola trajanja T dobija se kao suma svih N komponentnih signala: N

N

i =1

i =1

s (t ) = ∑ si (t ) = ∑ xi e 2πj∆f it , 0 ≤ t ≤ T. a) Odabrati minimalno frekvencijsko rastojanje ∆f susednih komponentnih signala si (t ) takvo da su bilo koja dva različita komponentna signala si (t ) i sk (t ) , i ≠ k , ortogonalna u vremenskom domenu. b) Odabrati skup N učestanosti f i na kojima će biti formiran OFDM signal s (t ) u osnovnom opsegu tako da širina spektra OFDM signala bude minimalna. c) Na ulaz OFDM predajnika dolazi niz informacionih simbola xk , k = 1,2,... modulacionog alfabeta čije je trajanje simbolskog intervala TS = T N . Tokom trajanja jednog OFDM simbolskog intervala T prihvata se N modulacionih simbola na ulazu i formira jedan OFDM simbol na izlazu OFDM predajnika. Pokazati da se vremenski odbirci OFDM signala s (t ) u trenucima t = k ⋅ TS mogu predstaviti kao inverzna diskretna Furijeova transformacija (IDFT) povorke ulaznih modulacionih simbola xk . Da li su odbirci sk = s (kTS ) kao rezultat IDFT( xk ) dovoljni za potpunu rekonstrukciju OFDM signala s (t ) ? d) Na osnovu prethodnog, nacrtati principsku blok-šemu OFDM predajnika. Komentarisati zašto je ovo rešenje značajno pogodnije za implementaciju u odnosu na klasične FDM (Frequency Division Multiplexing) sisteme. Rešenje:

a) Signali si(t) i sk(t), i ≠ k, su ortogonalni u vremenskom domenu ako važi: < si (t ) ,s j (t ) >=

T

T

t =0

t =0

2 πj∆f it ⋅ x*k e - 2πj∆f kt dt = xi x*k ∫ xi e

∫

e - 2πj∆f (i −k )t dt.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

231

Prethodni integral jednak je nuli za i ≠ k ako je ∆f = m/T, m є Z, što daje minimalno frekvencijsko rastojanje ∆f = 1/T. Uvrštavanjem prethodnog dobijamo: < si (t ) ,s j (t ) >= 0, i ≠ k < si (t ) ,s j (t ) >= |xi|2 , i = k . b) Minimalnu širinu spektra dobijamo ako komponentne signale rasporedimo simetrično oko nulte učestanosti u frekvencijskom domenu tj: ⎛ N −1⎞ fi = ⎜ i − ⎟∆f , i = 1,..., N. 2 ⎠ ⎝ Širina spektra OFDM signala je približno N/2 ∆f.

c) N

s (t ) = ∑ xi e i =1

N

2 πj (i −( N −1) / 2 )t T

s (kTS ) ≈ ∑ xi e i =1

2 πjikTS NTS

=e

πj (( N −1) / 2 ) t

N

∑ xi

2π j i t e T ,0

≤ t ≤ T.

i =1

N

= ∑ xi e

2 πjik N

, što je IDFT( xi ).

i =1

Pošto OFDM signal s(t) ima najvišu frekvencijsku komponentu približno jednaku N ∆f , prema teoremi odabiranja potrebni su nam odbirci na svakih 2 1 T = = TS , što upravo daje IDFT( xi ). 2 N 2 ∆f N d) Slika 12.2.6.1 prikazuje principsku šemu OFDM predajnika.

xi

x( kT S )

Slika 12.2.6.1

Za veliko N (reda veličine 1000), što je slučaj u OFDM prenosu, ovakva implementacija predajnika kao DSP procesora koji vrši IDFT transformaciju je neuporedivo jeftinija od npr. N produktnih modulatora kakvi su potrebni u FDM-u (što ne bi bilo fizički izvodivo u malim gabaritima). 12.2.7 Predajnik 4PSK signala je prikazan na slici (Slika 12.2.7.1). Izvor generiše bite koji se grupišu po dva i modulišu u 4PSK modulatoru. Signal na izlazu 4PSK modulatora u ktom signalizacionom intervalu je: 2πi s (t ) = A cos(2πf 0 t − Φ k ), Φ k = , i = 0,1,...,3. 4

Slika 12.2.7.1

232

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

Konstelacija se proširuje sa još 4 simbola pomoću trelis-kodovane modulacije (TCM – Trellis-Coded Modulation). U predajnik je dodat konvolucioni koder kodne brzine 2 3 , čija je blok šema data na slici (Slika 12.2.7.2). a) Skicirati 4PSK konstelaciju i odrediti minimalno Euklidsko rastojanje između simbola. b) Odrediti mapiranje kodnih reči na izlazu iz kodera tako da se maksimizuje minimalno Euklidsko rastojanje između putanja kroz trelis. c) Na osnovu mapiranja određenog pod b), odrediti minimalno Euklidsko rastojanje između dve putanje u trelisu.

⊕

c3

⊕

c2 c1

i2 i1

Slika 12.2.7.2 8PSK modulator

Rešenje:

a) Slika 12.2.7.3 prikazuje 4PSK konstelaciju. Minimalno Euklidsko rastojanje između simbola je A 2 .

A

Slika 12.2.7.3 4PSK konstelacija

b) Trelis konvolucionog kodera je prikazan na slici (Slika 12.2.7.4).

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

233

Slika 12.2.7.4 Trelis konvolucionog kodera

Ako se pogledaju mogući izlazi iz svakog stanja i mogući ulazi u svako stanje, vidi se da su oni podeljeni u dve odvojene grupe: prva grupa

druga grupa

000

010

100

110

011

001

111

101

Mapiranje kodnih reči u simbole se vrši na sledeći način: ⋅ paralelni prelazi, tj. grane koje počinju u istom stanju i završavaju u istom stanju se mapiraju u simbole koji su maksimalno udaljeni u konstelaciji, ⋅ preostale grane koje počinju iz istog stanja, ili se završavaju u istom stanju se mapiraju u simbole koji su na sledećem maksimalno mogućem rastojanju. Pomoću ovih pravila se obezbeđuje da dve putanje kroz trelis koje počinju iz istog stanja i završavaju se u istom stanju budu maksimalno moguće udaljene, posmatrano kroz simbole u konstelaciji (Euklidsko rastojanje), tj. obezbeđuje se maksimizacija d free . Na osnovu ovih pravila, za 8PSK i dati konvolucioni koder dobija se mapiranje prikazano na slici (Slika 12.2.7.5).

234

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

Slika 12.2.7.5 8PSK konstelacija

c) Ako se posmatra trelis sa slike (Slika 12.2.7.4), kandidati za minimalno udaljene putanje su: ⋅ dve putanje koje imaju paralelne tranzicije ⋅ putanje koje divergiraju i iz istog stanja i prolaskom kroz minimalan broj stanja ponovo konvergiraju u isto stanje. Što se tiče putanja sa paralelnim tranzicijama, njihovo minimalnoEukldisko rastojanje je 2A. Što se tiče putanje koje divergiraju iz istog stanja i zatim konvergiraju u isto stanje, minimalan broj različitih stanja kroz koja prolaze je 2. Posmatrajmo npr. putanju koja prolazi kroz stanja ...-00-00-00-00-... i putanju koja prolazi kroz stanja ...-00-10-0100-... Ukupno Euklidsko rastojanje u ovom slučaju je zbir sledećih rastojanja: ⋅ grane koje divergiraju iz stanje 00 su minimalno udaljene A 2 , ⋅ grane koje odgovaraju prelazu 10-01 su minimalno udaljene 2 A sin(π 8) = 0,77 A , ⋅ grane koje konvergiraju konvegiraju u stanje 00 su minimalno udaljene A 2 , odnosno ukupno rastojanje je 3,6A. Na osnovu ovoga sledi da su dve putanje kroz trelis su minimalno udaljene za d free = 2 A . Sa obzirom da je verovatnoća greške srazmerna d free , dodavanjem konvolucionog kodera i proširenjem skupa simbola dobija se modulaciona tehnika koja za istu srednju snagu obezbeđuje manju verovatnoću greške. Loša strana TCM je to što se usložnjava realizacija predajnika i prijemnika. Takođe, treba obratiti pažnju na činjenicu da TCM povećava broj simbola u konstelaciji, pri čemu efektivni digitalni protok (protok informacionih bita) ostaje isti. 12.2.8 Uporediti 4ASK i trelis kodovanu 8ASK koja koristi: a) konvolucioni koder čiji je trelis prikazan na slici Slika 12.2.8.1 a), b) konvolucioni koder čiji je trelis prikazan na slici Slika 12.2.8.1 b). U oba slučaja je srednja snaga signala ista.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

235

Slika 12.2.8.1

Rešenje:

Srednja snaga ASK modulisanog signala je: a k2 M 2 − 1 2 = d , 2 6 gde je d polovina rastojanja između simbola: Ps = Pk =

d=

6 Ps

. M 2 −1 Konstelacija 4ASK modulacije je data na slici (Slika 12.2.8.2). Minimalno rastojanje između simbola je 2d = 2 2 Ps 5 = 1.26 Ps . M =4

d=

2 Ps 5

Slika 12.2.8.2

a) Trelis ovog kodera je prikazan na slici (Slika 12.2.7.4). Mapiranje kodnih reči u simbole na način koji maksimizuje d free je prikazano na slici (Slika 12.2.8.3).

236

STATISTIČKA TEORIJA TELEKOMUNIKACIJA

M =8

d =

2 Ps 21

Slika 12.2.8.3

Treba odrediti minimalno rastojanje između dve putanje kroz trelis. Na osnovu zadatka 12.2.7, to je rastojanje putanja sa paralelnim prelazom, koje je jednako d free = 8d = 8 2 Ps 21 = 2.47 Ps . b) Sa slike trelisa (Slika 12.2.8.1 b) se vidi da ne postoje paralelni prelazi. Mapiranje kodnih reči u simbole kojima je maksimizovano d free prikazano je na slici (Slika 12.2.8.4). M =8

d=

2 Ps 21

Slika 12.2.8.4

Minimalno rastojanje između dve putanje kroz trelis je npr. rastojanje između putanje koja prolazi kroz stanja ...S3-S3-S3-S3... i putanje koja prolazi kroz stanja ...S3-S2-S5S3..., i iznosi d free = 10d = 3.09 Ps .

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

237

VEŽBA 6

PRENOS ZASNOVAN NA MODULACIJI NOSIOCA I PRIPREMA VEŽBE (DOMAĆI ZADATAK) P1) Talasni oblici, kompleksna reprezentacija i spektralne karakteristike modulisanih signala P1.1. Uzmimo binarnu sekvencu b=[ 1 0 0 1 0 ]. Neka je binarni protok Rb = 1 kb/s i neka je maksimum amplitude svih digitalno modulisanih talasa postavljen na 1 V. a. Skicirati oblik ASK koji odgovara datoj binarnoj sekvenci b, koristeći frekvenciju odabiranja 5 kHz. b. Skicirati oblik PSK koji odgovara datoj binarnoj sekvenci b, koristeći frekvenciju odabiranja 5 kHz. c. Neka su frekvencije koje odgovaraju logičkoj ″1″ i ″0″, korišćene u FSK modulatoru, podešene na 3 i 6 kHz, respektivno. Skicirati rezultujući oblik FSK za datu binarnu sekvencu b. P1.2. Skicirati funkciju spektralne gustine snage za svaki od modulisanih signala iz pitanja P1.1. P1.3. Sekvenca q ( k ) = L 0,1, 0, 0,1,1,1, 0, 0,1,1,1,1, 0, 0,0,L prenosi se 4-PSK tehnikom. Pri mapiranju bita u simbole koristi se Grey-ov kod i nerotirana fazna konstalacija. ⎛ t ⎞ Elementarni impuls je pravougaoni trajanja Ts, e(t ) = rect⎜⎜ ⎟⎟ . Nactrati realni i ⎝ Ts ⎠ imaginarni deo kompleksne reprezentacije modulisanog signala u osnovnom opsegu, sT(t), kao i prenošeni modulisani signal, s(t) u trasponovanom opsegu za učestanost 1 nosioca f c = . Ts P1.4. Odrediti spektralnu gustinu srednje snage za M-PSK signale na osnovu izraza 1 2 Φ sT sT ( f ) = ET ( f ) Φ xx ( f ) , Ts gde je Φ xx ( f ) spektralna gustina snage za informacioni sadržaj sa međusobno nezavisnim simbolima. Autokorelaciona funkcija elementarnog impulsa eT (t ) jeste podignuti kosinus sa faktorom zaobljenja α = 1 / 2 . Za dobijene vrednosti prikazati spektralnu gustinu snage modulisanog signala s(t). P2) Koherentna i nekoherentna detekcija P2.1. Ako je na ulaz koherentnog detektora prikazanog na slici 6.1. doveden ASK signal, skicirati oblik signala na izlazu svakog bloka.

238

VEŽBA 6

Slika 6.1.

P2.2. Ponoviti prethodni zadatak za dati nekoherentni detektor sa slike 6.2.

Slika 6.2. P3) BER performanse modulacionih postupaka P3.1. Na osnovu Simulink Tutorial modela za On-Off Keying (OOK) upoznati se sa upotrebljenim blokovima. Uporediti performanse prijemnika koji koriste prilagođeni filtar i običan NF filtar (Pretpostaviti da je snaga prenošenog signala jednaka snazi šuma u kanalu). P3.2. Odrediti verovatnoću bitske greške PEb za koherentnu detekciju ASK i PSK modulacionih postupaka u funkciji od Eb i N0. P3.3. Za koliko dB treba povećati

Eb da bi se kod 32-PSK modulacije dobila ista N0

verovatnoće greške kao kod 16-PSK. II ZADATAK VEŽBE U delu vežbe koji koristi CST, binarni protok je Rb = 1 kbs , a maksimum amplitude modulisanog signala je 1 V. Perioda trajanja bita Tb=1/Rb sadrži 100 odmeraka. GENERISANJE MODULISANOG SIGNALA 1) ASK (Amplitude-Shift Keying) 1.1. Generisati binarnu sekvencu dužine 5 bita: [ 1 0 0 1 0 ]: >> b=[ 1 0 0 1 0 binary (45) ] a. Da bi generisali ASK signal sa sa nosećom frekvencijom 8 kHz: 1. generišemo unipolarni NRZ signal xu, iz sekvence b;

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

239

2. množimo xu sa izlazom iz oscilatora koji osciluje na 8 kHz. >> xu = wave_gen(b, 'unipolar_nrz' ); >> sa = mixer( xu, osc(8000) ); b. Prikazati prvih 500 odmeraka oblika signala xu i sa koji predstavljaju prvih 5 bita date binarne sekvence b. Uporediti ova dva talasna oblika. >> tt = [1:500]; >> subplot(211), waveplot(xu(tt)) >> subplot(212), waveplot(sa(tt)) c. Takođe prikazati respektivno spektralnu gustinu snage (PSD) u opsegu frekvencija [0,20 kHz] za xu i sa, i zabeležiti ih na grafiku 6.1 i 6.2. Za prikaz PSD funkcije u traženom frekvencijskom opsegu mora se izdati komanda psd sa dva argumenta kao psd(x,freq_range) koja prikazuje PSD od x duž definisanog frekvencijskog intervala definisanog vektorom freq_range. >> fr = [ 0, 20000 ]; >> subplot(211), psd(xu,fr) >> subplot(212), psd(sa,fr)

Grafik 6.1.

Grafik 6.2.

1.2. Za amplitudsku modulaciju PAM signala koristi se nosilac učastanosti f c = 40 / T . PAM signal ima elementarni impuls oblika koren iz podignutog kosinusa sa faktorom zaobljenja α = 0,5. Odrediti i nacrtati spektar osnovnog i amplitudski modulisanog signala. 2) PSK (Phase-Shift Keying) BPSK 2.1. Da bismo generisali PSK signal sp, sa nosećom frekvencijom 8 kHz: 1. generišemo polarni NRZ signal xp, iz sekvence b (zadatak 1.1); 2. množimo xp sa izlazom iz oscilatora koji osciluje na 8 kHz. >> xp = wave_gen(b, 'polar_nrz' );

240

VEŽBA 6

>> sp = mixer( xp, osc(8000) ); a. Prikažite prvih 500 uzoraka oblika signala xp i sp: >> subplot(211), waveplot(xp(tt)) >> subplot(212), waveplot(sp(tt)) Kakva je razlika faza imeđu sp i nosioca sin(2Βfct) u toku trajanja prvog i drugog bita? b. Prikažite PSD funkcije xp i sp duž frekvencijskog intervala [0, 20 kHz]. Skicirati osnovne karakteristike svake PSD funkcije. >> subplot(211), psd(xp,fr) >> subplot(212), psd(sp,fr)

Grafik 6.3

Grafik 6.4

2.2. Na osnovu Simulink Tutorial-a, za BPSK sa NRZ elementarnim impulsima i prilagođenim filtrom izvršiti analizu signala: a. Da li je obvojnica (anvelopa) prenošenog signala konstantna? b. Objasniti zašto poslati u(t) i primljeni signal r(t) nisu jednaki (misli se na signale na ulazu i izlazu iz kanala). c. Objasniti izgled signala nakon množača korelacionog prijemnika, x(t). d. Da li postoji ISI na predajnoj strani? Kako je to moguće uočiti na dijagramu oka i konstalacionom dijagramu (scatter plot)? e. Objasniti izgled dijagrama oka. Da li na prijemu postoji ISI? f. Koji su optimalni trenuci odmeravanja? g. Zašto konstelacioni dijagram sadrži više od 2 tačke? M-PSK 2.3. Prikazati talasne oblike koji se koriste pri prenosu 8-PSK signala sa konstelacionim π

simbolima Am = e

j m 4

, m = 0, 1, L, 7 , ako je učestanost nosioca f c = 3 / T .

2.4. Na osnovu Simulink Tutorial-a, za QPSK sa elementarnim impulsom koren iz podignutog kosinusa i prilagođenim filtrom : a. Objasniti izgled trajektorije signala na predajnoj strani.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

241

b. Detektovati isčezavanja amplitude i objasniti ih sa stanovišta konstelacije. c. Uporediti konstelacione dijagrame na predajnoj i prijemnoj strani u odsustvu šuma. d. Ako se pojavi greška u sinhronizaciji faza sinusnog (u kvadraturi) i kosinusnog (u fazi) nosioca od po π/8 kakav uticaj će to imati na kontelacioni i dijagram oka, odnosno na trajektoriju signala? Ako nema šuma, koliko je maksimalno odstupanje faze nosioca koje i dalje ne prouzrokuje greške? e. Šta se dešava sa konstelacionim dijagramom i trajektorijom ako fazni pomak između nosilaca u fazi i kvadraturi nije π/2? f. Ako se u frekvencijama nosioca na prijemu pojavi odstupanje od po 1% u odnosu na nosilac na predaji, opisati uticaj na dijagram oka, konstalacioni dijagram i trajektoriju signala. Da li je moguća detekcija bez grešaka. g. Ako se komponenta u kvadraturi zakasni za T/2 dobijamo Offset-QPSK. ƒ Kakve razlike je na predajnoj strani moguće uočiti na konstelacionom dijagramu, dijagramima oka, i trajektorijama signala? ƒ Postoje li ovde značajna slabljenja obvojnice? Uporediti sa QPSK. Zbog čega su slabljenja obvojnice nepoželjna? ƒ Da li trajektorija prijemnog signala ima dijagonalne prolaze kroz nulu? Dati objašnjenje na osnovu realizacije prijemnika u Simulinku. ⎧ ⎛πt ⎞ ⎟⎟ − T ≤ t ≤ T ⎪ 4 E / T cos⎜⎜ ƒ Pokazati da je za elementarni impuls h(t ) = ⎨ ⎝ 2T ⎠ ⎪ 0 inače ⎩ i kašnjenje u kvadraturnoj grani od T, OQPSK jednaka Minimum Shift Keying (MSK - BFSK sa minimalnom mogućom separacijom između nosilaca 1 ∆f = . ) Zašto konstalacioni dijagram ima 4 umesto dve tačke? 2T QAM 2.5. Na osnovu Simulik Tutorial-a simulirati prenos zasnovan na 16-QAM. Da li je 16QAM više ili manje osetljiva na šum u odnosu na QPSK? Objasniti na osnovu konstelacionih i dijagrama oka. 3) FSK (Frequency-Shift Keying) 3.1. Da bismo generisali neprekidnu fazu FSK signala sf, sa frekvencijama logičke ″1″ i ″0″, 4 i 8 kHz, respektivno: 1. generišemo polarni NRZ signal iz sekvence b (zadatak 1.1); 2. dovodimo polarni oblik signala na ulaz naponski kontrolisanog oscilatora (Voltage Controlled Oscillator - VCO).U ovom eksperimentu VCO ima centralnu frekvenciju podešenu na 6 kHz a frekvencijska osetljivost je -2 kHz/V. >> sf = vco(xp); a. Prikazati oblik xp i sf za period 0 < t < 5Tb. >> subplot(211), waveplot(xp(tt)) >> subplot(212), waveplot(sf(tt)) b. Prikazati PSD funkciju FSK signala i zabeležiti je na grafiku 6.5. >> clf >> psd(sf,fr)

242

VEŽBA 6

Grafik 6.5 OPitanje 6.1. F DKako se može generisati FSK signal uz pomoć dva ASK signala? Koju modulacionu šemu bi ste preporučili za sistem gde je potrebno efikasno korišćenje propusnog opsega? M 3 .2. Napisati MATLAB kod koji omogućuje generisanje OFDM signala. DETEKCIJA DIGITALNO MODULISANOG SIGNALA 4) Koherentna detekcija Koherentni detektor ASK i PSK signala predstavljen je na slici 6.1. 4.1. Da bismo demodulisali ASK signal sa, prvo množimo sa sa lokalno generisanim nosiocem koji ima istu frekvenciju i istu fazu kao i nosilac korišćen prilikom generisanja. Prikaži oblik signala ya na izlazu posle množenja sa sa nosiocem za prvih pet perioda bita. Takođe, prikaži odgovarajuću PSD funkciju duž intervala fr i zabeleži je na grafik 6.6. >> ya = mixer( sa, osc(8000) ); >> clf, subplot(211), waveplot(ya(tt)) >> subplot(212), psd(ya,fr)

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

243

Grafik 6.6 a. Priključi ya na ulaz prilagođenog filtra i zabeleži njegov izlaz u toku vremenskog perioda 0 < t < 5Tb. >> za = match('unipolar_nrz', ya); >> subplot(212), waveplot(za(tt))

Grafik 6.7 Pitanje 6.2. Odrediti impulsni odziv prilagođenog filtra. Primetiti da je za sličan izlazu prilagođenog filtra za slučaj unipolarnog NRZ signala. Zašto?

244

VEŽBA 6

Glavni problem u implementaciji koherentnog detektora je sinhronizacija nosioca. Da bismo postigli optimalne performanse lokalni oscilator treba da ima istu fazu i istu frekvenciju kao dolazeći nosilac. Devijacija faze i frekvencije rezultuje degradacijom osobina (performansi) detekcije. 4.2. Da bissmo ispitali efekat greške faze demodulišemo sa koristeći lokalni oscilator čiji je izlaz dat kao sin(2Βfc+Ν). Ovde je sa Ν predstavljena greška faze merena u odnosu na nosilac signala. Zabeleži maksimum amplitude signala na izlazu iz filtra za svaku grešku faze datu u tabeli 6.1. >> ya = mixer( sa, osc(8000, greška faze) ); >> za = match('unipolar_nrz', ya); >> subplot(212), waveplot(za(1:500)) a. Demoduliši sa sa 60º i 120º faznom freškom. Dekoduj izlaz iz prilagođenog filtra i izvršite procenu primljenih prvih pet bita sekvence b. Zabeleži svaku dekodovanu sekvencu i komentarišite njihovo razlikovanje. Phase error = 60º;

b^1-5 =

Phase error = 120º;

b^1-5 =

GREŠKA FAZE

MAKSIMUM AMPLITUDE [V]

0º 20º 60º 80º 120º Tabela 6.1. 4Pitanje 6.3 . BER (Bit Error Rate) koja se dobija pri detekciji signala u prisustvu šuma, funkcija je 3maksimuma amplitude signala na izlazu iz filtra prijemnika. Na osnovu rezultata . prikupljenih u tabeli 6.1 odrediti koja greška faze daje najmanju vrednost BER? Da bismo ispitali efekat devijacije frekvencije prilikom demodulisanja ASK signala, demoduli sa sa lokalnim oscilatorom podešenim na 7900 Hz. Prikaži i uporedi demodulisane signale ya i ya1. >> ya1 = match('unipolar_nrz', mixer(sa, osc(7900))); >> subplot(211), waveplot (ya(tt)) >> subplot(212), waveplot (ya1(tt)) a. Da li se može izvršiti estimacija orginalne binarne sekvence iz ya1? Razmotriti i drugi slučaj kada je frekvencija lokalnog oscilatora podešena na 7985 Hz. Demoduliši sa i generišite izlaz iz prilagođenog filtra. >> ya2 = match('unipolar_nrz', mixer(sa, osc(7985))); >> subplot(211), waveplot (ya),subplot(212), waveplot (ya2) Odredite frekvenciju sinusoide koja množi anvelopu na izlazu iz filtra:

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

frekvencija anvelope =

245

Hz

Pitanje 6.4 Posmatrajmo ASK signal sa(t) sa frekvencijom nosioca fc. Ako se sa(t) demoduliše monožeći sa izlazom lokalnog oscilatora podešenog na fo, tako da je fo ≠ fc, anvelopa na izlazu iz filtra detektora modulisana je sinusoidom. Odredite frekvenciju ovako 5modulisanog signala kao funkciju od fc i fo. ) Nekoherentna detekcija Nekoherentna detekcija digitalno modulisanih signala ne zahteva sinhronizaciju lokalnog oscilatora sa komponentom nosioca signala. Bez obzira na prisustvo šuma, iz iskustva znamo da sistemi sa nekoherentnom detekcijom imaju veći BER nego sistemi sa koherentnom detekcijom. Razmatramo nekoherentni detektor za ASK signal prikazan na slici 6.2. Funkcija filtra propusnika opsega (Band-Pass Filter BPF) je da redukuje šum i smetnje. Pretpostavimo da je propusni opseg BPF pogodno odabran tako da je distorzija signala neznatna; tj. ako je ulaz u BPF sa(t), onda je i signal na izlazu iz BPF takođe sa(t). Detektor anvelope se sastoji iz ispravljača iza kojeg sledi filtar propusnik niskih učestanosti (Low-Pass Filter LPF) sa propusnim opsegom fo, odabranim tako da je zadovoljeno sledeće pravilo: propusni oseg signala > frekvencija nosioca. 5.1. Neka je propusni opseg filtra propusnika niskih učestanosti LPF koji koristimo u MATLAB-u kao funkciju envelope podešen na 4000 Hz. Primeniti na ASK signal sa funkciju envelope i prikazati njen izlaz zajedno sa prikazom ASK signala sa. >> ya = envelope(sa,4000); >> clf, subplot(211), waveplot (sa(tt)) >> subplot(212), waveplot (ya(tt)) Dekodujte prvih 5 bita emitovane sekvence. Pitanje 6.5 Može li se nekoherentna detekcija koristiti u slučaju PSK signala?

5.3. Utvrditi uticaj invertujućeg kanala na diferencijalno kodovan i nekodovan Mančester binarni signal. Invertujući kanal u osnovnom opsegu odgovara obrtanju faze nosioca na prijemu za 180. 5.4. Implementirati diferencijalni koder za 8-DPSK. 5.5. Implementirati FSK demodulator zasnovan na korelatorima. 6) Osobine sistema u prisustvu šuma 6.1. Generiši ASK signal pretstavljen sa 500 uzoraka binarne sekvence: >> b =[ 1 0 0 1 0 binary (495) ];

246

VEŽBA 6

>> sa=mixer (wave_gen(b,'unipolar_nrz'),osc(8000)); a. Dovesti sa na kanal sa jedinstvenim pojačanjem, šumom kanala σ2=1 W i dovoljnim propusnim opsegom tako da nema distorzije signala. Prikaži ASK signal sa i izlaz iz kanala y, za vremenski period 0 < t < 5Tb. >> y =channel(sa,1,1.5,49000); >> subplot(211), waveplot(sa(tt)) >> subplot(212), waveplot(y(tt)) b. Iskoristiti koherentni detektor za demodulaciju y. Prikazati na dijagramu oka izlaz iz prilagođenog filtra. >> zm =match('unipolar_nrz', mixer(y,osc(8000))); >> clf, eye_diag(zm); c. Iz dijagrama oka izvesti optimalni trenutak semplovanja i vrednost praga odlučivanja. Dovesti zm na kolo odluke, i zabeležiti rezultujuću verovatnoću greške bita. >> detect(zm,vth,sampling_instant,b); Koherentna detekcija: Pe = Pitanje 6.6. Izračunaj teorijsku verovatnoću bitske greške za slučaj razmatran u prethodnom delu. Primeti da se PSD funkcija šuma kanala može odrediti kao

σ n2 N0 = 2 2 × propusni opseg sistema Propusni opseg sistema u ovom eksperimentu je 50 kHz. Sn ( f ) =

d. Koristite nekoherentnu detekciju za dekodovanje bit-sekvence y na izlazu iz kanala. >> ze = envelope(y,400); >> detect(ze,vth,sampling_instant,b); e. Uporediti rezultujuću BER sa slučajem kod koherentne detekcije. f. Za kanal sa istim karakteristikama odrediti BER za: • koherenetno detektovan PSK signal, • nekoherentno detektovan FSK signal. 6.2. Prikazati teorijske i vrednosti verovatnoće greške dobijene Monte-Carlo simulacijom za • 4-PSK prenos • 4-DPSK • 16-QAM • B-FSK, square-low detektor (nekoherentna detekcija) 6.3. Pomoću bertool MATLAB funkcije, nacrtati teorijske BER krive za M-PSK, M=2, 4, 8, 16, i 32. Objasniti povećanje verovatnoće greške za veći broj simbola u alfabetu. 6.4. Kakav je uticaj aditivnog šuma na OFDM prenos.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

247

13 PRENOS SIGNALA U PROŠIRENOM SPEKTRU (PPS) 13.1 UVOD Ideja prenosa u proširenom spektru je bila prisutna u laboratorijama za telekomunikacije pre više od 50 godina, a proistekla je iz namere da se u radio-prenosu obezbedi visok stepen otpornosti na šum, ometanje, elektronsko izviđanje i prisluškivanje. Komercijalna primena ove tehnike omogućena je razvojem mikroelektronike. 13.1.1 Princip PPS radio-sistema Ako sa S t ( f ) označimo modulisani signal na izlazu klasičnog predajnika (modulatora), a E PPS (⋅) operaciju proširivanja spektra, tada je signal na izlazu bloka za proširenje spektra dat izrazom: S PPS ( f ) = E PPS [S t ( f )] (13.1.) Na prijemu se vrši skupljanje spektra signala S PPS ( f ) primenom identične operacije E PPS (⋅) , koja je sama sebi inverzna, jer važi E PPS [E PPS (⋅)] = E 2PPS (⋅) = 1 . S r ( f ) = E PPS [S PPS ( f )] = E PPS {E PPS [S t ( f )]} = S t ( f )

(13.2.)

U procesu proširenja spektra snaga signala ostaje nepromenjena, odnosno važi: P = S t ( f ) Bm = S PPS ( f ) BPPS = S r ( f ) Bm

(13.3)

Definiše se faktor proširenja spektra PPS signala, odnosno procesno pojačanje: B G = PPS , γ = 10 log G [dB] Bm

(13.4.)

Procesno pojačanje predstavlja meru efikasnosti PPS radio-sistema. 13.1.2 Redukcija uticaja uskopojasne smetnje

Na ulaz prijemnika PPS sistema dolazi PPS signal širine spektra B PPS i uskopojasna smetnja J ( f ) širine spektra Bm . Spektri oba signala imaju iste centralne učestanosti. R( f ) = S PPS ( f ) + J ( f ) . Primenom operacije skupljanja spektra sledi: E PPS [R( f )] = E PPS [S PPS ( f ) + J ( f )] = S t ( f ) + J e ( f ) . J e ( f ) je smetnja čiji je spektar primenom operacije E PPS (⋅) proširen na opseg B PPS . Snage smetnje na ulazu i izlazu bloka za skupljanje spektra su jednake. N i = N u = J e ( f ) BPPS = J ( f ) Bm . Isto važi i za signal: Pi = Pu = S t ( f ) Bm = S PPS ( f ) BPPS .

248

DIGITALNA FREKVENCIJSKA MODULACIJA

Klasični prijemnik na svom ulazu ima filtar propusnog opsega Bm , koji ograniči spektar, odnosno snagu smetnje J e ( f ) , N i = J e ( f ) Bm . Odnos signal/šum na izlazu klasičnog prijemnika dat je izrazom: P P ⎛P⎞ ⎛P⎞ ⎜ ⎟ = i = G u = G⎜ ⎟ Nu ⎝ N ⎠i Ni ⎝ N ⎠u

(13.5.)

Tehnike proširenja spektra dele se na: ⋅ direktnu sekvencu (DS), ⋅ frekvencijsko skakanje (FH), ⋅ kombinacija DS i FH 13.1.3 Direktna sekvenca

Blok šeme predajnika i prijemnika u sistemu za prenos u proširenom spektru tehnikom direktne sekvence su prikazani na slici 13.a i 13.b, respektivno.

izvor informacija

PPS-DS modulator

klasični modulator

generator takta

generator psudoslučajne sekvence

nosilac stabilne učestanosti

izlazni stepen

Slika 13.a DS-PPS predajnik

Slika 13.b DS-PPS predajnik

13.1.4 Frekvencijsko skakanje

Blok šema sistema za prenos u proširenom spektru tehnikom frekvencijskog skakanja je prikazana na slici 13.c.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

Slika 13.c FH-PPS predajnik

249

250

PRENOS U PROŠIRENOM SPEKTRU

13.2 ZADACI 13.2.1 Predajnik DS/BPSK signala sa slike prenosi informacionu sekvencu {x} = {1,0,0,1,1,0,0,0,1} brzinom 75 b/s. Sekvencu za proširivanje spektra {g} generiše pomerački registar I = D3+D4 sa početnim stanjem 1111 i učestanošću takta 225 Hz.

s (t )

⊕

{x}

{g}

cos( ω0t ) Slika 13.2.1

a) Napisati krajnju emitovanu sekvencu {x} ⊕ {g} . b) Koliki je opseg emitovanog (proširenog) signala? c) Koliko iznosi procesno pojačanje? d) Ako je procenjeno kašnjenje veće od stvarnog za vreme jednog čipa (chip), odrediti dekodovanu sekvencu. Bitske vrednosti se mapiraju u amplitudu modulisanog signala na sledeći način: bit amplituda 0 1 1 −1 Rešenje: a) Slika 13.2.2 prikazuje pomerački (šift) registar opisan datim polinomom.

{g} Slika 13.2.2

Generisana PN sekvenca {g} je data na slici (Slika 13.2.3, vidi zadatak 3.2.2).

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

251

Slika 13.2.3

Protok PN sekvence na izlazu generatora je 3 puta brži nego protok informacione sekvence: vd = 75 b/s, vc = 225 b/s, . vc = 3vd . To znači da se svaki bit informacione sekvence množi sa tri bita PN sekvence. Novodobijeni niz {x} ⊕ {g} je: {x}

111 000 000 111 111 000 000 000 111

{g}

100 010 011 010 111 100 010 011 010

{x} ⊕ {g}

011 010 011 101 000 100 010 011 101

b) Sekvenca dobijena množenjem informacione i PN sekvence ima protok jednak protoku PN sekvence i zauzima opseg od: v Bc = c . 2 Nakon BPSK modulacije, potreban propusni opseg je duplo širi i jednak: BBPSK = 2 Bc = vc = 225 Hz . c) Procesno pojačanje izražava povećanje otpornosti na ometajuće signale, koje se ostvaruje proširivanjem spektra: v Bc G= c = . v d BBPSK

Na osnovu prethodnog izraza vidimo da je procesno pojačanje jednako odnosu brzine čipa (vc) i digitalnog protoka (vd). Čip predstavlja jedan signalizacioni interval digitalne pseudo-slučajne sekvence koja se koristi za proširivanje spektra, tako da brzina čipa predstavlja broj čipova u jednoj sekundi. Procesno pojačanje je takođe moguće izraziti kao odnos širina frekvencijskih opsega koje zauzimaju sekvenca za proširivanje (Bc) i neproširena informaciona sekvenca (B). Kako su nam u zadatku poznate i brzina čipa i digitalni protok, iz njihovog količnika nalazimo traženu vrednost procesnog pojačanja:

252

PRENOS U PROŠIRENOM SPEKTRU

G=

vc = 3. vd

d) Prijemnik DS/BPSK signala je prikazan na slici. Prvo se vrši “skupljanje” spektra množenjem sa lokalno generisanom PN sekvencom g (t − Tˆd ) koja je zakašnjena za procenjeno kašnjenje. Nakon toga sledi konvencionalni BPSK prijemnik.

s (t − Td )

{xˆ} 2 g (t − Tˆd ) − 1 Slika 13.2.4

Ukoliko je procenjeno kašnjenje različito od stvarnog ( Tˆd = Td + Tc – fazni nesinhronizam), doći će do grešaka na prijemu: amplituda s (t − Td )

1 -1 -1

1 -1 1

1 -1 -1

-1 1 -1

111

-1 1 1

1 -1 1

1 -1 -1

-1 1 -1

2 g (t − Tˆd ) − 1

111

-1 1 1

-1 -1 1

-1 1 -1

-1 -1 -1

111

-1 1 1

-1 -1 1

-1 1 -1

1 -1 -1

-1 -1 1

-1 1 -1

111

-1 -1 -1

-1 1 1

-1 -1 1

-1 1 -1

111

011

110

101

000

111

100

110

101

000

s (t − Td )

(

)

⋅ 2 g (t − Tˆd ) − 1 dekodovana sekvenca {xˆ}

13.2.2 Sistem za prenos signala u proširenom spektru metodom direktne sekvence koristi se za prenos signala sa digitalnim protokom vd = 7500 b/s. Proširenje spektra ostvaruje se korišćenjem PN sekvence čiji je protok vc = 192⋅10-6 b/s. a) Izračunati procesno pojačanje. b) Ako je snaga signala sa proširenim spektrom na ulazu u prijemnik P0=4⋅10-14 W, a SGSS šuma u istoj tački pN = 1.6⋅10-20 W/Hz odrediti odnos signal-šum na ulazu u prijemnik. Rešenje:

a) Procesno pojačanje je: G=

vc 192 ⋅ 10 6 = = 25,6 ⋅ 10 3. 3 vd 7,5 ⋅ 10

Vrednost procesnog pojačanja izražena u [dB] iznosi: g = 10 log G = 44,08 dB. b) Na ulasku u prijemnik vrši se pojasno filtriranje, kako bi se eliminisao doprinos šuma i ometača koji postoje na učestanostima koje se ne koriste za prenos korisnog signala. Kako je u prenosu korišćen prošireni spektar, potrebna širina pojasnog filtra biće znatno veća nego u slučaju uskopojasnih modulacija. Ukoliko pretpostavimo da je za

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

253

proširivanje spektra iskorišćena sekvenca sa pravougaonim elementarnim impulom, tada će širina njenog spektra između prvih nula u spektru (prva arkada), biti jednaka: BC = 2vC = 384 MHz. Pošto je širina spektra proširenog signala, kod metoda proširivanja sa direktnom sekvencom, jednaka širini spektra sekvence za proširivanje, nalazimo da je snaga šuma na ulazu u prijemnik PN = N 0 BC = 6,14 pW. Za datu snagu primljenog signala, odnos signal/šum nakon pojasnog filtra ima vrednost P a N = 10 log S = 10 log 6,51 ⋅10 −3 = −21,86 dB, PN odnosno snaga šuma je na ulazu u prijemnik za više od 20 dB veća od snage signala. 13.2.3 Ukupno 24 terminala jednake snage dele frekvencijski opseg u CDMA sistemu. Svaki terminal signalizira brzinom 9.6 kb/s DS-SS modulisan signal. Izračunati minimalnu brzinu signalizacije (chip-rate – vc ) PN sekvence da bi se ostvarila BER = 10-3. Pretpostaviti da se šum koji postoji u kanalu može zanemariti u odnosu na interferenciju od ostalih korisnika. Rešenje:

U DS-CDMA sistemu postoji više korisnika kojima je dodeljen isti frekvencijski opseg. Svakom korisniku je dodeljena različita PN sekvenca, a deljenje istog opsega je moguće jer su PN sekvence međusobno ortogonalne, ili “skoro” ortogonalne (vidi zadatak 4.2.4). U ovom zadatku je pretpostavljeno da PN sekvence nisu u potpunosti ortogonalne, tj. da postoji interferencija od ostalih korisnika u sistemu (njih 23), koja predstavlja smetnju. Verovatnoća greške za BPSK, u sistemu gde pored Gausovog šuma postoji i smetnja je: ⎛ Ps PE = Q⎜ ⎜ Pn + Pj ⎝

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

gde je Ps snaga signala, Pn snaga šuma, a Pj snaga ometajućeg signala (jamming). Po uslovu zadatka je, uz pretpostavku da se snaga šuma može zanemariti: ⎛ P ⎞ PE = Q⎜ s ⎟ = 10 −3 , ⎜ Pj ⎟ ⎝ ⎠ pa je: Ps = Q −1 10 −3 Pj

( ( ))

2

= (3.08) 2 = 9.49 .

Snaga ometanja je: 23Ps , Pj = G gde je sa G obeleženo procesno pojačanje. Traženo procesno pojačanje je:

254

PRENOS U PROŠIRENOM SPEKTRU

Ps GPs = = 9.49 ⇒ G = 23 ⋅ 9.49 = 218.3 . Pj 23Ps

Sa druge strane, procesno pojačanje je: v G= c , vd pa je brzina signalizacije: vc = Gv d = 218.3 ⋅ 9.6 kb/s = 2095.4 kb/s . 13.2.4 CDMA komunikacioni sistem koristi 11 terminala jednake snage koji emituju signale ka centralnom čvoru. Svaki terminal emituje informacije brzinom 1 kb/s koristeći direktnu sekvencu za proširivanje od 100 kb/s i BPSK modulaciju.

a) Odrediti odnos energije po bitu i SGSS smetnje, Eb J 0 , ako se šum prijemnika može zanemariti u odnosu na smetnju koja potiče od ostali korisnika. b) Ako svi korisnici udvostruče izlaznu snagu, kako se to odražava na odnos Eb J 0 ? c) Kako modifikovati pseudoslučajnu sekvencu za proširenje sistema na 101 korisnika iste snage, a da se pri tome zadrži izračunati odnos Eb J 0 ? Rešenje:

a) Snaga ometajućeg signala je: Pj = 10 Ps , gde je Ps snaga terminala. SGSS ometajućeg signala je: Pj 10 Ps J0 = = , Bc Bc dok je energija po bitu: Es P Eb = = E s = Ps T = s . ld( M ) vs Važi: Eb P v B v 100 kb/s = s s = c = c = = 10 . J 0 10 Ps Bc 10v s 10v s 10 ⋅ 1 kb/s b) Iz dela zadatka pod a) se vidi da u ovom slučaju Eb J 0 ne zavisi od snaga terminala, pa se udvostručavanjem izlazne snage ovaj odnos ne može promeniti. c) Kada u sistemu ima 101 korisnik, odnos Eb J 0 je: Eb v = c . J 0 100v s Da bi se zadržao isti odnos Eb J 0 , mora se povećati odnos vc v s (tj. procesno pojačanje) za deset puta. Ako se zadržava ista brzina signaliziranja terminala, tada se brzina koda za proširenje mora povećati deset puta: vc' = 10vc .

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

255

13.2.5 Posmatra se FH/8FSK sistem dat na slici (Slika 13.2.5), sa digitalnim protokom 1,2 kb/s. PN generator čini 20-bitski pomerački (šift) registar, koji gereriše sekvencu maksimalne dužine (prolazi kroz sva stanja izuzev stanja svih nula). Svako stanje registra diktira novu centralnu učestanost unutar opsega frekvencijskog skakanja, a rastojanje između između susednih centralnih učestanosti iznosi 200 Hz. Učestanost takta registra je 2 kHz.

a) b) c) d)

Kolika je širina spektra nakon proširenja? Odrediti brzinu skakanja? Koliko skokova se napravi po simbolu? Izračunati procesno pojačanje.

{xˆ}

{x}

Lmax = 2 20 − 1

Lmax = 2 20 − 1 Slika 13.2.5

Rešenje:

a) Pošto je u pitanju MLSR registar, postoji Lmax = 2 20 − 1 stanja registra, odnosno 2 20 − 1 centralnih učestanosti. Ukupan propusni opseg je: B FH = (2 20 − 1) ⋅ 200 Hz ≈ 210 MHz .

b) Brzina skakanja je: vc = f c = 2 kBd . c) Broj skokova po simbolu je: v Nc = c . vs Važi: vs =

vd 1.2 kb/s = = 0.4 kBd , ld( M ) 3

pa je: Nc = 5 . d) Procesno pojačanje za FH sistem je: B G = FH . B8 FSK Širina spektra 8FSK modulisanog signala je: B8 FSK = ( M − 1) ⋅ 200 Hz = 1400 Hz , pa je: 210 MHz G= = 150 ⋅ 10 3 . 1400 Hz

256

PRENOS U PROŠIRENOM SPEKTRU

13.2.6 Sistem za prenos signala metodom frekventnog skakanja odlikuje se sledećim parametrima vd =2400 b/s, broj promena frekvencije (skokova) po bitu poruke N = 16, faktor proširenja opsega K = 8, procesno pojačanje g > 45 dB.

a) Odrediti minimalan broj potrebnih učestanosti nosioca, m, ako je m stepen broja 2. b) Izračunati opseg učestanosti koji zauzima sistem sa FH. Rešenje:

a) Pošto se u toku prenosa jednog simbola (bita) frekvencija nosioca promeni N = 16 puta, u pitanju je brzo frekvencijsko skakanje. Zadržavanje na svakom od nosilaca biće N puta kraće, tako da možemo usvojiti da se frekvencijska modulacija obavlja sa fiktivnim digitalnim signalom čiji je signalizacioni interval N puta kraći od stvarnog. Spektar ovakvog signala biće N puta širi od originalnog, što je na slici (Slika 13.2.6) prikazano isprekidanom linijom. Postupak FSK modulacije unosi K-tostruko proširenje spektra, pri čemu je ovde sadržano i zahtevano rastojanje između korištenih nosilaca, odnosno zaštitni intervali.

Slika 13.2.6

Kako posmatrani sistem sa frekventnim skakanjem koristi m mosilaca, njegovo procesno pojačanje je moguće odrediti na osnovu izraza, B mKNB = mKN . G = FH = B B Za traženo procesno pojačanje neophodno minimalan broj nosilaca mora zadovoljiti uslov g

10 10 m≥ ≈ 247, KN a pošto je zahtevano da m bude stepen broja 2 usvajamo m = 256. b) U toku jednog čipa emituje se samo jedan FSK simbol u okolini nosioca koji je definisan sekvencom skakanja, što predstavlja uskopojasni signal. Međutim, prenošeni signal u dužem vremenskom intervalu koji obuhvata veći broj skokova koristi spektar znatno veće širine, BFH = mKNB = mKN 2vd = 157,3 MHz.

13.2.7 Odnos signal/šum ( Eb N 0 ) na ulazu u nekoherentni BFSK prijemnik u sistemu sa FH iznosi SNR = 30 dB. Sistem zauzima opseg učestanosti B = 2 GHz. U istom opsegu učestanosti radi šumni ometač čija je SGSS J0 = 100N0.

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

257

a) Izračunati PE na izlazu iz prijemnika u odsustvu ometača. b) Izračunati PE u prisustvu ometača. c) Ako ometač ometa samo deo opsega učestanosti B, koliki opseg treba ometati da bi se maksimizovala verovatnoća greške. d) Odrediti maksimalnu vrednost PE za slučaj pod c). Rešenje:

a) Verovatnoća greške za nekoherentnu BFSK demodulaciju je (vidi zadatak 11.2.4): Eb

1 − PE = e 2 N0 , 2 gde je: 30

Eb = 10 10 = 10 3 = 1000 , N0 pa je: 1 −500 e ≈ 0. 2 b) Ako se čitav opseg u kojem su prenosi signal ometa sa konstantnom SGS ometača, J0, prethodni izraz za verovatnoću greške modifikujemo dodajući ovu vrednost na SGSS šuma, PE =

Eb

1 − PE = e 2( N 0 + J 0 ) = 3,54 ⋅ 10 −3. 2 c) Kada se ometa samo jedan deo opsega B moguće je definisati tzv. faktor ometanja koji predstavlja verovatnoću da tekući nosilac u sekvenci skakanja pripada ometanom opsegu širine BJ, BJ . B Ukoliko pretpostavimo da se za ometanje koristi ometač iste snage Pj = J 0 B kao pod

ρ=

b), njegova SGSS biće povećana jer se ista snaga koncentriše na suženom opsegu ometanih frekvencija, J J0 '= 0 .

ρ

U toku prenosa FH nosilac pripada ometanom opsegu sa verovatnoćom ρ, odnosno komunikacija je neometana sa verovatnoćom (1-ρ). Pošto svakom od ovih slučajeva odgovaraju drugačiji izrazi za verovatnoću greške, njenu konačnu vrednost možemo izraziti na sledeći način: Eb

Eb

Eb ρ

(1 − ρ ) − 2 N0 ρ − 2( N 0 + J 0 ') ρ − 2 J 0 PE = e + e ≈ e . 2 2 2 U izvođenju aproksimativnog izraza usvojeno da će greška biti mnogo veća u prisustvu ometača i da je u tom slučaju zanemarljiv uticaj šuma. Najnepovoljnije ometanje će prouzrokovati najveću verovatnoću greške. Traženi maksimum biće ostvaren za ρ koje zadovoljava relaciju:

258

PRENOS U PROŠIRENOM SPEKTRU

∂PJ = 0, ∂ρ

odnosno: ⎧ 2 J 0 Eb ≥ 2, ⎪ ρ 0 = ⎨ Eb J 0 ⎪⎩ 1 drugde. d) Na osnovu vrednosti za optimalan faktor ometanja nalazi se maksimalna verovarnoća greške:

PE max

⎧ J0 ⎪ E e ⎪ b =⎨ E − b ⎪ 1 e 2 J0 ⎪⎩ 2

Eb > 2, J0 Eb ≤ 2. J0

Vidi se da će u logaritamskoj razmeri PEmax opadati linearno, što je veoma nepovoljno jer to znači da je za smanjenje verovatnoće greške potrebno znatno povećanje predajne snage. 13.2.8 Sistem za prenos signala metodom direktne sekvence brzinom čipa vc = 125 Mb/s ima digitalni protok vd = 2500 b/s. U frekvencijskom opsegu koji zauzima signal deluje snažan uskopojasni Gausov ometač sa širinom spektra BJ = 50 kHz, i snagom je PJ = 1,5 10-6 W.

a) Koliko iznosi snaga ovog ometajućeg signala nakon sužavanja spektra signala u prijemniku? b) Ako je snaga korisnog signala na ulazu u prijemnik P0 = 1,5 10-10 W, koliko iznosi bitska verovatnoća greške PE? Zanemariti širokopojasni Gausov šum. c) Ako se umesto sistema sa DS koristi sistem sa frekvencijskim skakanjem FH-SS u istom frekvencijskom opsegu sa istom snagom korisnog signala na ulazu u prijemnik, poruke ponoviti a) i b) i uporediti dobijena rešenja. Rešenje:

a) Pretpostavlja se da je SGSS ometača konstantna: Pj . J0 = Bj Širina spektra ometajućeg signala je nakon suženja: B j vd B 'j = = Bj , G vc a snaga ometajućeg signala nakon suženja spektra je: v Pj' = J 0 B 'j = d Pj = 2 ⋅ 10 −5 Pj = 3 ⋅ 10 −11 W . vc b) Verovatnoća greške je: ⎛ Ps PE = Q⎜ ⎜ P + P' j ⎝ n

−10 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎟ ≈ Q⎜ Ps ⎟ = Q⎜ 1.5 ⋅ 10 ⎟ ⎜ P' ⎟ ⎜ 3 ⋅ 10 −11 j ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ = Q 5 = 1.25 ⋅ 10 −2. ⎟ ⎠

( )

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

c) Kod FH sistema se koristi isti opseg u proširenom spektru kao i kod DS sistema: B FH = Bc = 2vc = 250 MHz . Faktor ometanja je: B ρ = J = 2 ⋅ 10 −4. BFH Verovatoća greške je: PE ≈

ρ

e

P − 0 2 Pj

= 10 −4.

2 Odnosno za oko dva reda veličine manja nego kod DS sistema.

259

260

PRENOS U PROŠIRENOM SPEKTRU

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

261

VEŽBA 7

PRENOS U PROŠIRENOM SPEKTRU I PRIPREMA VEŽBE (DOMAĆI ZADATAK) P1) Osobine PN sekvenci za proširenje spektra P1.1. Nacrtati spektralnu gustinu snage signala c(t) i označiti karakteristične vrednosti. c (t ) =

∞

⎛ t − kT ⎞ ⎟ T ⎠

∑ 2[ y (kT ) − 0.5] rect⎜⎝

k = −∞

PN sekvenca y(kT) je generisana korišćenjem MLSR dužine 4 memorijska elementa. Trajanje čipa T iznosi 1 ms. P1.2. Prikazati ACF (autokorelacionu funkciju) signala iz zadatka P1.1. i označiti karakteristične vrednosti. Kako se menja autokorelaciona funkcija, za sekvencu koja ima vrednosti 0 i 1 umesto -1 i 1. P1.3. Kada je SSMA sistem zasnovan na DS principu, koje osobine moraju zadovoljiti PN funkcije da bi nivo šuma, u slučaju većeg broja korisnika, bio najmanji mogući? P2) Procesno pojačanje i margina smetnji P2.1. Digitalni signal čiji je spektar proširen upotrebom DS sekvence prenosi se kroz P AWGN tako da je na mestu prijema odnos snaga signala i šuma, R = 0.01 . Odrediti PN E minimalnu vrednost procesnog pojačanja da bi se ostvario odnos b = 10 dB. J0 Eb = 10 dB. Odrediti J0 neophodno procesno pojačanje da bi se ostvarila margina smetnji od 20 dB. Margina smetnji definiše koliko puta snaga ometača može biti veća od snage prenošenog signala, a da komunikacioni sistem i dalje bude u funkciji.

P2.2. Za ostvarivanje pouzdane veze koja koristi BPSK zahteva se

P3) Performanse sistema sa proširenim spektrom Eb = 10 dB. Odrediti J0 maksimalan broj istovremenih korisnika ako je širina spektra signala jednog korisnika 100 puta veća od njegovog digitalnog protoka, a kodno pojačanje 6 dB.

P3.1. Pretpostaviti da je željeni nivo performansi u CDMA sistemu

P3.2. Obrazložiti zašto je DS sistem osetljiviji od FH sistema na dejstvo jakih i bliskih predajnika.

262

VEŽBA 7

P3.3. Da li prostiranje signala proširenog spektra po više putanja onemogućuje njegovu detekciju? Kakva strukturu treba da poseduje prijemnik ovakvih signala? II ZADATAK VEŽBE 1) Postupci za proširenje spektra 1.1. Ako je u DS sistemu poznat digitalni protok, na osnovu simulaciju odrediti širinu spektra koji zauzima prošireni signal, a zatim izračunati ostvareno procesno pojačanje. Da li su sistemi sa većim procesnim pojačanjem otporniji na dejstvo šuma? 1.2. Za FH sistem skicirati signale pre i nakon proširivanja, i nakon sakupljanja spektra. 2) Potiskivanje uskopojasnih smetnji 2.1. Demonstrirati sposobnosti potiskivanja simusoidalne smetnje od strane signala proširenog DS sekvencom. 2.2. Posmatrati i komentarisati spektar signala proširenog spektra ometanog sinusoidalnim signalom: a. na ulazu u prijemnik (DS-CDMA). b. nakon vraćanja u osnovni frekvencijski oseg (binarni signal u osnovnom opsegu). Da li se prisustvo smetnje i dalje uočava u spektru korisnog signala? c. Ako se umesto sinusiode konstantne učestanosti koristi chirp signal koji u toku 5 s menja učestanost od 500 kHz do 900 kHz, da li je moguće rekonstruisati poslatu informaciju? Kako sada izgleda spektar primljenog signala pre i nakon sakupljanja (despreading)? 3) Robusnost prenosa u proširenom spektru 3.1. Ako se DS-CDMA signal propusti kroz NF filtar koji odstranjuje deo spektra koji odgovara neproširenom signalu, utvrditi da li je moguća rekonstrukcija signala na prijemu? 4) Interferencija u sistemima koji koriste prošireni spektar 4.1. Ustanoviti uticaj promene snage signala jednog korisnika DS-CDMA na kvalitet signala koji prima drugi korisnik. 5) Performanse prenosa u proširenom spektru 5.1. Ako korišćeni kanal nije frekvencijski ograničen utvrditi dejstvo AWGN na prenos signala u proširenom spektru. 5.2. Na osnovu Monte Carlo simulacije utvrditi performanse digitalnog komunikacionog sistema sa FH koji koristi BFSK i kojem se deo spektra ometa prema strategiji oprimalnog ometanja. a. Ako postoje dva skoka po simbolu, kako će ostvareni frekvencijski diversiti uticati na verovatnoću greške bita?

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

263

14 SINHRONIZACIJA NOSIOCA I IZDVAJANJE DIGITALNOG TAKTA 14.1 UVOD Korektan prijem digitalnih signala zahteva poznavanje: 1. frekvencije i faze nosioca modulisanog signala u slučaju koherentne demodulacije, 2. digitalnog takta (početka i kraja signalizacionog intervala) modulišućeg digitalnog signala. Ovi zahtevi se rešavaju uspostavljanjem sinhronizacije nosioca i izdvajanjem digitskog takta na mestu prijema, sistemom čija je principska blok šema prikazana na slici 14.a. s d (t )

s m (t )

{a n }

Slika 14.a Blok šema sistema za sinhronizaciju nosioca i izdvajanje digitskog takta

14.1.1 Greška u fazi lokalnog nosioca Sinhronizacija prijemnika (demodulatora), u zavisnosti od tipa modulisanog signala, ostvaruje se filtriranjem pilotskog nosioca (nosilaca) ili postupcima linearne i nelinearne obrade modulisanog signala (filtriranje, PLL, Kostasova petlja, itd.). Pri tome je najkritičnije uspostavljanje faznog sinhronizma. Greška u fazi lokalnog nosioca (θ) izaziva smetnje i izobličenja čija priroda zavisi od tipa modulisanog signala. Opšti oblik demodulisanog AM signala u slučaju postojanja faznog nesinhronizma je: 1 1 sd (t ) = u1 (t ) cosθ + u 2 (t ) sin θ (14.1) 2 2 Ako se pretpostavi da impulsni odziv h(t ) zadovoljava I Nikvistov kriterijum za prenos bez interferentncije sledi: 1. Za AM sa potisnutim nosiocem: 1 s d (0) = a 0 h0 cos θ (14.2) 2 Fazni nesinhronizam ne izaziva izobličenje već samo smanjenje amplitude demodulisanog signala. 2. Za AM-1B0

264

SINHRONIZACIJA NOSIOCA I IZDVAJANJE DIGITALNOG TAKTA

s d ( 0) =

1 1 N h(0)a0 cos θ ± ∑ ak hˆ(− kT ) sin θ = 4 4 k =− N

⎧ ⎫ N 1⎪ ⎪ = ⎨a0 h(0) cos θ ± hˆ(0) sin θ ± ∑ ak hˆ(−kT ) sin θ ⎬ 4⎪ k =− N ⎪ k ≠0 ⎩ ⎭ Izobličenje u vidu interferencije je:

{

D(θ ) = ±

}

(14.3)

N

∑ ak hˆ(−kT ) sin θ

(14.4)

k =− N k ≠0

Njena maksimalna vrednost je: Dmax = ( M − 1)d

N

∑

hˆ(− kT ) sin θ

(14.5)

k =− N k ≠0

3. Za AM-NB0 Izobličenje je sličnog oblika kao i u slučaju AM-1BO signala: D(θ ) = ±

N

∑ ak hβ (−kT ) sin θ

(14.6)

k =− N k ≠0

a njegova maksimalna vrednost je: Dmax = ( M − 1)d

N

∑ hβ (−kT ) sin θ

(14.7)

k =− N k ≠0

4. Za QAM 1 1 sd (0) = h(0)a0(1) cos θ + h(0)a0( 2) sin θ . 2 2 Izobličenje u obliku međukanalne interferencije je: D(θ ) = h(0)a0( 2) sin θ

(14.8)

čija je vršna vrednost: Dmax = h(0)( M − 1)d sin θ

(14.9)

Kod binarnog PSK signala postupak demodulacije i efekat faznog nesinhronizma identičan je kao kod binarnog AM signala sa potisnutim nosiocem. Postupak demodulacije 4 PSK i BPSK signala odgovara demodulaciji QAM signala. 14.2 Izdvajanje digitskog takta Izdvajanje digitskog takta zasniva se na periodičnosti statističke srednje vrednosti digitalnog signala, a ostvaruje se linearnim i nelinearnim postupcima obrade (PF, PLL, itd.). Posledica nesavršenosti ekstraktora digitskog takta, smetnji na liniji i nestabilnosti digitskog takta digitalnog signala jeste pojava fluktuacije položaja impulsa oko nominalnog položaja - džiter. Diskretni signal džitera može se predstaviti relacijom: ∞

θ d (t ) = ∑ θ nδ (t − nT ) n =1

gde je:

(14.10)

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

2πτ n T fazni, a τ n vremenski džiter.

θn =

265

(14.11)

266

SINHRONIZACIJA NOSIOCA I IZDVAJANJE DIGITALNOG TAKTA

14.2 ZADACI 14.2.1 Na slici (Slika 14.2.1.1) prikazan je sistem za prenos podataka u osnovnom opsegu učestanosti. Simboli ak uzimaju vrednosti iz skupa (-U,U). Predajni i prijemni filtri su idealni sa prenosnim karakteristikama: ⎧T | f |< 1 2T , HT ( f ) = ⎨ ⎩ 0 | f |≥ 1 2T , ⎧1 | f |< 1 2T , HR( f ) = ⎨ ⎩0 | f |≥ 1 2T , gde je T digitalni takt.

Slika 14.2.1.1 Sistem za prenos podataka u osnovnom opsegu

Odlučivanje o k-tom simbolu se vrši na osnovu odbirka signala s R (t ) u trenutku t = (k + ε )T , gde je ε greška u sinhronizaciji, | ε |< 0,5 .

Pod pretpostavkom da se šum u kanalu može zanemariti: a) napisati analitički izraz za signal u tački R, b) izračunati vršnu ISI koja nastaje zbog greške u sinhronizaciji, ako je ε = 0,1 , smatrajući da je impulsni odziv sistema ograničen na K = 2L+1 = 7 digitalnih intervala, c) kolika je maksimalna dozvoljena greška u sinhronizaciji ε, ako je prenosni sistem idealan, a L → ∞? Rešenje:

Signal na izlazu predajnika je: sT (t ) =

∞

∑ ak h(t − kT ),

k = −∞

gde je: h(t ) =

sin(π t T ) . πt T

a) Pošto se šum zanemaruje: s R (t ) ≡ sT (t ) = ∑ a k h(t − kT ). k

b) U trenutku odlučivanja o l-tom simbolu: s R [(l + ε )T ] = ∑ a k h{T [ε + (l − k )]} k

=

∞

∑ ak

k = −∞

sin{π [ε + (l − k )]} . π [ε + (l − k )]

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

267

Uvodi se smena m = l − k , gde je m "rastojanje" od l-tog simbola, pa je: s R [(l + ε )T ] =

∞

∑

m = −∞

= al

al −m

sin[π (m + ε )] π (m + ε )

sin(πε )

πε

+

∑ al −m

m≠0

sin[π (m + ε )] . π (m + ε )

U prethodnom izrazu koristan član je za m = 0, a ostatak sume je ISI Interesuje nas vršna ISI: imax =

L

∑U

m=− L m≠0

sin [π (m + ε )] . π (m + ε )

Kako za celobrojne vrednosti m važi: sin (π (m + ε ) ) = sin(επ ) , za L = 3 i | ε |< 0,5 vršna ISI je: imax =

U sin(επ )

π

1 ⎞ U sin(επ ) ⎛ 1 ∑ ⎜⎝ m + ε + m − ε ⎟⎠ = π m =1 3

3

⎛

2m

⎞

∑ ⎜⎝ m 2 − ε 2 ⎟⎠ = 0,36U .

m =1

c) Ako je sistem idealan (bez šuma, sa datom H ( f ) koja zadovoljava I NK), biće za L → ∞ usled greške u sinhronizaciji: ⎧U sin(επ ) imax = lim ⎨ L →∞ π ⎩

⎧ L 1⎫ ⎛ 2m ⎞⎫ 2U = sin( επ ) lim ⎜ ⎟ ⎬ ⎨∑ ⎬ → ∞. ∑ 2 2 L →∞ π m =1 ⎝ m − ε ⎠⎭ ⎩m=1 m ⎭ L

Pošto vršna ISI divergira, ne sme se dozvoliti greška u sinhronizaciji. 14.2.2 Sistemom koji koristi kontrolisanu ISI duobinarno se prenose podaci grupisani u pakete od po 4 simbola. Paketi su dovoljno razmaknuti pa se prenos svakog od paketa može posmatrati nezavisno. Jedan od posmatranih paketa ima sledeću strukturu simbola {a k } = {1,1,−1,−1} . Usled greške u sinhronizaciji na prijemu kod trećeg simbola u paketu odmeravanje je izvršeno ε = T/8 sekundi ranije. Ako je impulsni odziv sistema za duobinarni prenos dat u obliku:

g (t ) =

4 cos(2πf c t ) 1 , fc = , 2 π 1 − (4 f c t ) 2T

i pod pretpostavkom da na predaji nije izvršeno diferencijalno kodovanje poruke, a) izračunati vrednost odmerka digitalnog signala u trenutku odlučivanja o trećem simbolu, b) izračunati maksimalnu snagu šuma pod uslovom da poruka u ovom paketu bude ispravno primljena sa verovatnoćom greške po bitu manjom od 10-6. Referentni simbol na prijemu je “1”, a u sistemu je prisutan aditivni Gausov šum. Rešenje:

a) Tabela 14.2.2.1 daje vrednosti impulsnog odziva na osnovu kojih je jasno da sistem zadovoljava drugi Nikvistov kriterijum (a ne zadovoljava I NK).

268

SINHRONIZACIJA NOSIOCA I IZDVAJANJE DIGITALNOG TAKTA

t

0

±T/2 ±3T/2 ±5T/2 ±7T/2

g (t ) 4/π

1

0

0

0

±T

±2T

±3T/8 ±5T/8 ±11T/8 ±13T/8

4/3π -4/15π 1,114 0,866

0,074

-0,051

Tabela 14.2.2.1 Vrednosti impulsnog odziva u karakterističnim tačkama

b) Digitalni signal koji odgovara prenosu jednog paketa na prijemu je oblika: s( t ) =

3

∑ a g (t − nT ) . n

n=0

Slika 14.2.2.1 Sekvenca impulsnih odziva za poruku { 1 1 -1 -1 }

O simbolima ak odlučuje se na osnovu odmeraka s (t ) uzetih u trenucima kT − T 2 : s (− T 2) = a ref + a 0 g (− T 2) = 2

⇒ aˆ 0 = 2 − a ref = 1,

⇒ aˆ1 = 2 − aˆ 0 = 1, s (3T 2) = a1 g (T 2) + a 2 g (− T 2) = 0 ⇒ aˆ 2 = 0 − aˆ1 = −1, s (5 T 2) = a 2 g (T 2) + a3 g (− T 2) = −2 ⇒ aˆ 3 = −2 − aˆ 2 = −1. s (T 2) = a0 g (T 2) + a1 g (− T 2) = 2

U prijemu trećeg simbola poruke, a2, zbog greške u sinhronizaciji ε = T/8 odmerak digitalnog signala s (t ) na osnovu kojeg se odlučuje je: s (3 T 2−T 8) = a0 g (3T 2−T 8) + a1 g (T 2−T 8) + a 2 g (− T 2−T 8) + + a3 g (− 3T 2−T 8) = g (11T 8) + g (3T 8) − g (− 5T 8) − g (− 13T 8) = = 0,074 + 1,114 − 0,866 + 0,051 = 0,373. U trenutku odlučivanja prisutan je i šum. Kvantizer u duobinarnom dekoderu će ispravno dekodovati simbol a2 ako je s (3T 2 − T 8) + n(3T 2 − T 8) < 1 , tj. ako je trenutna vrednost šuma manja od 0,627 (i veća od 1,373 - što se može zanemariti). Verovatnoća greške je:

⎛ 0,627 ⎞ 0,627 ⎟⎟ < 10 −6 ⇔ PE = P(n > 0,627) = Q⎜⎜ > 4,75 , σn ⎝ σn ⎠ pa se konačno dobija:

σ n2 ≤ 0,0174 . Dakle, ako je snaga šuma na prijemu manja od 17 mW, vrednost simbola a2 biće ispravno dekodovana sa verovatnoćom greške manjom od 10-6. Ostali simboli u

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

269

poruci imaju dobru sinhronizaciju i samo kontrolisanu ISI pa je verovatnoća greške kod njih daleko manja. 14.2.3 U optimalnom prijemniku binarnog ASK signala (Slika 14.2.3.1) postoji fazna greška θ u odnosu na nosilac na predaji. Izračunati vrednost fazne greške koja će izazvati povećanje verovatnoće greške sa 4 ⋅ 10 −4 (za slučaj kada je θ = 0 ) na 4 ⋅ 10 −3 . Prenos se vrši preko AWGN kanala. r1 (t )

T

∫ 0

s (t )

r (t )

cos( 2πf 0t + θ )

r2 (t )

T

∫ 0

− cos( 2πf 0t + θ ) Slika 14.2.3.1 Optimalni prijemnik BPSK signala

Rešenje:

Modulisani signal u k-tom signalizacionom intervalu je: ⎧ cos(2πf 0 t ) prenosi se binarno 1, s (t ) = ⎨ ⎩− cos(2πf 0 t ) prenosi se binarno 0. Pretpostavimo prvo da se prenosi binarno 1. Signali u prijemniku su tada: T

r1 (T ) = ∫ cos(2πf 0 t ) cos(2πf 0 t + θ )dt 0 T

T

0

0

= cos θ ∫ cos(2πf 0 t ) cos(2πf 0 t )dt − sin θ ∫ cos(2πf 0 t ) sin(2πf 0 t )dt =

cos θ 2

T T ⎛T ⎞ ⎜ dt + cos(4πf 0 t )dt ⎟ + sin θ sin( 4πf 0 t )dt ∫ ⎜∫ ⎟ 2 ∫0 0 ⎝0 ⎠

=

cos θ 2

⎛ sin(4πf 0T ) ⎞ sin θ 1 − sin(4πf 0T ) ⎟⎟ + ⎜⎜ T + 4πf 0 2 4πf 0 ⎠ ⎝

T cos θ , 2 uz pretpostavku da je f 0 >> 1 . =

Na isti način je: T

r2 (T ) = − ∫ cos(2πf 0 t ) cos(2πf 0 t + θ )dt = − 0

pa je: r (T ) = r1 (T ) − r2 (T ) = T cos θ . Ukoliko se prenosi binarno 0, tada je: r (T ) = −T cos θ .

T cos θ , 2

270

SINHRONIZACIJA NOSIOCA I IZDVAJANJE DIGITALNOG TAKTA

Polovina rastojanja između nivoa na prijemu je: T cos θ − (−T cos θ ) d= = T cos θ , 2 a kada nema faznog nesinhronizma ( θ = 0 ), onda je: d =T . Verovatnoća greške je: ⎛ d ⎞ ⎟⎟ . PE = Q⎜⎜ σ ⎝ n⎠ Kada nema faznog nesinhronizma, po uslovu zadatka je: ⎛ T ⎞ ⎛ d ⎞ ⎟⎟ = 4 ⋅ 10 −4 , ⎟⎟ = Q⎜⎜ PE = Q⎜⎜ ⎝σn ⎠ ⎝σ n ⎠ odakle se dobija: T = Q −1 4 ⋅ 10 − 4 ≈ 3.35,

(

σn

)

Ugao θ za koji se dobija verovatnoća greške od 4 ⋅ 10 −3 ćemo dobiti iz sledeće jednačine: 2.65 T cos = Q −1 4 ⋅ 10 −3 ≈ 2.65 ⇒ cos θ = = 0.79, σn 3.35

(

)

odnosno,

θ ≈ 37 o . Vidi se da fazni nesinhronizam na prijemu dovodi do toga da se rastojanje između primljenih simbola smanjuje, što rezultuje povećanjem verovatnoće greške. 14.2.4 Posmatra se MPSK sistem sa optimalnim prijemnikom (Slika 14.2.4.1). Odrediti koliko je maksimalno dozvoljeno fazno odstupanje θ između nosioca na predajnoj i na prijemnoj strani (smatra se da je uticaj šuma u kanalu zanemarljiv). T

∫

X

0

s (t )

arctan (Y X )

cos( 2πf 0t + θ ) T

∫ 0

sin( 2πf 0t + θ ) Slika 14.2.4.1

Rešenje:

Talasni oblici M-arnog PSK signala su: s k (t ) = A cos(2πf 0 t − Φ k ), Φk =

2πk , k = 0,1,..., M − 1. M

Y

φ

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

271

Minimalno rastojanje između njihovih faza je: 2π ∆Φ = . M Važi: T

X = ∫ A cos(2πf 0 t − Φ k ) cos(2πf 0 t + θ )dt = 0

T

T

A A cos(4πf 0 t + θ − Φ k )dt + ∫ cos(θ + Φ k )dt ∫ 20 20

=

AT A cos(4πf 0T + θ − Φ k ) − cos(θ − Φ k ) cos(θ + Φ k ) + 2 2 4πf 0

=

AT cos(θ + Φ k ), 2 T

T

T

A A Y = ∫ A cos(2πf 0 t − Φ k ) sin(2πf 0 t + θ )dt = ∫ sin(4πf 0 t + θ − Φ k )dt + ∫ sin(θ + Φ k )dt 20 20 0 =

A ⎛ cos(θ − Φ k ) − cos(4πf 0T + θ − Φ k ) ⎞ AT ⎜ ⎟⎟ + sin(θ + Φ k ) 2 ⎜⎝ 4πf 0 ⎠ 2

=

AT sin(θ + Φ k ), 2 ⎛ sin(θ + Φ k ) ⎞ ⎛Y ⎞ ⎟⎟ = θ + Φ k . ⎟ = arctan⎜⎜ ⎝X⎠ ⎝ cos(θ + Φ k ) ⎠

φ = arctan⎜

Prilikom odlučivanja dolazi do greške ukoliko je θ veći od polovine rastojanja između susednih simbola (Slika 14.2.4.2), odnosno: ∆Φ M θ < = . 2 π

θ ∆Φ ∆Φ

Slika 14.2.4.2

14.2.5 Na slici (Slika 14.2.5.1) prikazana je blok šema QAM sistema za prenos dva signala podataka s A (t ) i s B (t ) . Oba signala imaju isti M-arni alfabet i isti digitalni takt T. Standardni signal na ulazu je δ (t ) . Prenosna karakteristika predajnog NF filtra je:

⎧T H(f ) = ⎨ ⎩0

f ≤ 1 2T , drugde.

272

SINHRONIZACIJA NOSIOCA I IZDVAJANJE DIGITALNOG TAKTA

Odrediti zavisnost margine šuma na prijemu na oba izlaza, od razlike faza nosioca i lokalnog nosioca.

s A (t )

sd 1 (t )

s B (t )

sd 2 (t )

Slika 14.2.5.1 Sistem za prenos QAM signala

Rešenje:

Signali na ulazu QAM sistema prenosa su: ∞

s A (t ) =

∑ an(1)δ (t − nT ) , i

n = −∞

s B (t ) =

∞

∑ a n( 2)δ (t − nT ).

n = −∞

Impulsni odziv idealnog NF filtra prenosne karakteristike H ( f ) = T u Nikvistovom opsegu je: sin(π t T ) h(t ) = F −1 {H ( f )} = . πt T QAM signal je: ∞

∞

n = −∞

n = −∞

∑ a n(1) h(t − nT ) cos(2πf 0 t ) + ∑ an(2) h(t − nT ) sin(2πf 0 t ).

s M (t ) =

U tački 1 signal je: s1 (t ) = s M (t ) ⋅ 2 cos(2πf 0 t + θ ) = = ∑ a n(1) h(t − nT ) cos(2π 2 f 0 t + θ ) + ∑ a n(1) h(t − nT ) cos θ + n

n

+∑

a n( 2) h(t

− nT ) sin(2π 2 f 0 t + θ ) − ∑ a n( 2) h(t − nT ) sin θ .

n

n

Uloga NF filtra u sinhronom prijemniku je da potisne komponentu na 2 f 0 . Tako je:

s d 1 (t ) = ∑ a n(1) h(t − nT ) cos θ − ∑ a n( 2) h(t − nT ) sin θ . n

n

Slično se dobija: s d 2 (t ) = ∑ a n(1) h(t − nT ) sin θ + ∑ a n( 2) h(t − nT ) cos θ . n

n

U trenutku odlučivanja je: sd 1 (0) = ∑ an(1) h(− nT ) cos θ − ∑ an( 2) h(− nT ) sin θ . n

Pošto je zadovoljen I NK: ⎧1 n = 0, h(−nT ) = ⎨ ⎩0 n ≠ 0,

n

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

273

odbirak demodulisanog signala svodi se na: s d 1 (0) = a0(1) cos θ − a0( 2) sin θ . Slično se dobija i: s d 2 (0) = a 0(1) sin θ + a0( 2) cos θ . Ako je alfabet ± d ,± 3d ,...,± ( M − 1)d onda je margina šuma: M N = g 0 d − Dmax = d [cos θ − ( M − 1) sin θ ] = d cos θ [1 − ( M − 1)tgθ ]. Dijagram oka se zatvara kada je preslušavanje veće od korisnog signala, tj. kad je MN = 0. ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎝ M − 1⎠

θ = tg −1 ⎜ ili θ =

π 2

, a u tom slučaju i amplituda korisnog signala jednaka je nuli. M

2

4

8

θ

45°

18,43°

8,13°

Kada se koriste alfabeti sa više od dva simbola, oko se zatvara već pri znatno manjim greškama u sinhronizaciji. 14.2.6 Uporediti verovatnoću greške pojedinom kanalu na prijemu 16QAM signala, u slučaju kada je fazna sinhronizacija između nosioca na predajnoj i na prijemnoj strani idealna, i u slučaju kada postoji fazni nesinhronizam od θ = 7 o . Može se smatrati da je intersimbolska interferencija zanemarljiva, a odnos koristan signal/šum na prijemu je 24 dB. Rešenje:

Verovatnoća greške za po pojedinom kanalu je verovatnoća greške za 4ASK (zadatak 9.2.2): PE = 2

M − 1 ⎛⎜ Ps 3 ⎞ Q⎜ 2 2 ⎟⎟, M = 4 , M ⎝ σ n M −1 ⎠

pa je u slučaju idealne sinhronizacije:

(

PE = 1.5 ⋅ Q 0.2 ⋅ 10 2, 4 = 1.5 ⋅ Q(7.088)

)

≈ 1 ⋅ 10 −12. Na sličan način kao i u zadatku 14.2.3, može se pokazati da je verovatnoća greške kada postoji fazni nesinhronizam:

PE = 2

⎞ 3 M − 1 ⎛⎜ Ps Q⎜ 2 2 cos θ [1 − ( M − 1)tgθ ] ⎟⎟ M ⎝ σ n M −1 ⎠

(

= 1.5 ⋅ Q 0.63 0.2 ⋅ 10 2, 4 = 1.5 ⋅ Q(4.465) ≈ 6 ⋅ 10 −6.

)

274

SINHRONIZACIJA NOSIOCA I IZDVAJANJE DIGITALNOG TAKTA

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

275

VEŽBA 8

SINHRONIZACIJA TAKTA NAČINI REALIZACIJE SINHRONIZACIJE TAKTA 1) Sinhronizacija zasnovana na korišćenju fazne petlje (PLL – Phase Locked Loop) 1 + 0.01s i 1+ s da je K=1, odrediti odziv PLL-a na nagli skok faze u vidu jedinične odskočne funkcije.

1.1. Ako se pretpostavi da je prenosna funkcija filtra koji koristi PLL G ( s) =

1.2. Na primeru Simulink realizacije PLL strukture, upoznati se osnovama njenog funkcionisanja, kao i parametrima koji utiču na performase sinhronizacionog podsistema. 2) Early-late gate sinhronizacija 2.1. Binarni PAM sistem koristi elementarni impuls sa spektrom oblika podignuti kosinus i faktorom zaobljenja 0,4. Ako je digitalni protok 4800 b/s napisati MATLAB program koji simulira sinhronizaciju takta zasnovanu na early-late gate metodu. 3) Primer implementacije 3.1. Proučiti realizaciju MATLAB/Simulink blokova za sinhronizaciju takta.

276

VEŽBA 8

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

277

PRILOG Za izračunavanje verovatnoće greške često se koristi tzv. Q funkcija. Njen definicioni izraz je: 1 2π

Q ( x) =

+∞

∫e

−

y2 2

(P1)

dy

x

Takođe se koriste i funkcija greške erf ( x ) i njena komplementarna funkcija erfc ( x ) . One su definisane kao:

erf ( x) =

2

π

x

−y ∫ e dy 2

(P2)

0

erfc ( x ) = 1 − erf ( x ) .

(P3)

Relacija između ovih funkcija data je sa: Q ( x) =

1 ⎛ x ⎞ erfc ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 2

(P4)

Vrednosti Q-funkcije date su u tabeli. Osnovne osobine Q-funkcije su: Q ( −∞ ) = 1 , Q ( 0) = 0,5 , Q (∞ ) = 0.

(P5)

Za izračunavanje vrednosti Q funkcije, često se koriste i aproksimativni izrazi kao što su: 2 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜1 − ⎟ e−x 2 ⎟ ⎜ x ⎠ x ⋅ 2π ⎝

2

< Q( x ) <

1 x ⋅ 2π

e−x

2

2

Za vrednosti argumenta x > 2 aproksimativni izrazi daju zadovoljavajuću tačnost.

(P6)

Q ( x) = x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4

0.00 0.5000 0.4602 0.4207 0.3821 0.3446 0.3085 0.2743 0.2420 0.2119 0.1841 0.1587 0.1357 0.1151 0.0968 0.0808 0.0668 0.0548 0.0446 0.0359 0.0287 2.2750e-02 1.7864e-02 1.3903e-02 1.0724e-02 8.1975e-03 6.2097e-03 4.6612e-03 3.4670e-03 2.5551e-03 1.8658e-03 1.3499e-03 9.6760e-04 6.8714e-04 4.8342e-04 3.3693e-04

0.01 0.4960 0.4562 0.4168 0.3783 0.3409 0.3050 0.2709 0.2389 0.2090 0.1814 0.1562 0.1335 0.1131 0.0951 0.0793 0.0655 0.0537 0.0436 0.0351 0.0281 2.2216e-02 1.7429e-02 1.3553e-02 1.0444e-02 7.9763e-03 6.0366e-03 4.5271e-03 3.3642e-03 2.4771e-03 1.8071e-03 1.3062e-03 9.3544e-04 6.6367e-04 4.6648e-04 3.2481e-04

0.02 0.4920 0.4522 0.4129 0.3745 0.3372 0.3015 0.2676 0.2358 0.2061 0.1788 0.1539 0.1314 0.1112 0.0934 0.0778 0.0643 0.0526 0.0427 0.0344 0.0274 2.1692e-02 1.7003e-02 1.3209e-02 1.0170e-02 7.7603e-03 5.8677e-03 4.3965e-03 3.2641e-03 2.4012e-03 1.7502e-03 1.2639e-03 9.0426e-04 6.4095e-04 4.5009e-04 3.1311e-04

0.03 0.4880 0.4483 0.4090 0.3707 0.3336 0.2981 0.2643 0.2327 0.2033 0.1762 0.1515 0.1292 0.1093 0.0918 0.0764 0.0630 0.0516 0.0418 0.0336 0.0268 2.1178e-02 1.6586e-02 1.2874e-02 9.9031e-03 7.5494e-03 5.7031e-03 4.2692e-03 3.1667e-03 2.3274e-03 1.6948e-03 1.2228e-03 8.7403e-04 6.1895e-04 4.3423e-04 3.0179e-04

1 2π

+∞

∫e

−

y2 2

dy

x

0.04 0.4840 0.4443 0.4052 0.3669 0.3300 0.2946 0.2611 0.2296 0.2005 0.1736 0.1492 0.1271 0.1075 0.0901 0.0749 0.0618 0.0505 0.0409 0.0329 0.0262 2.0675e-02 1.6177e-02 1.2545e-02 9.6419e-03 7.3436e-03 5.5426e-03 4.1453e-03 3.0720e-03 2.2557e-03 1.6411e-03 1.1829e-03 8.4474e-04 5.9765e-04 4.1889e-04 2.9086e-04

0.05 0.4801 0.4404 0.4013 0.3632 0.3264 0.2912 0.2578 0.2266 0.1977 0.1711 0.1469 0.1251 0.1056 0.0885 0.0735 0.0606 0.0495 0.0401 0.0322 0.0256 2.0182e-02 1.5778e-02 1.2224e-02 9.3867e-03 7.1428e-03 5.3861e-03 4.0246e-03 2.9798e-03 2.1860e-03 1.5889e-03 1.1442e-03 8.1635e-04 5.7703e-04 4.0406e-04 2.8029e-04

0.06 0.4761 0.4364 0.3974 0.3594 0.3228 0.2877 0.2546 0.2236 0.1949 0.1685 0.1446 0.1230 0.1038 0.0869 0.0721 0.0594 0.0485 0.0392 0.0314 0.0250 1.9699e-02 1.5386e-02 1.1911e-02 9.1375e-03 6.9469e-03 5.2336e-03 3.9070e-03 2.8901e-03 2.1182e-03 1.5382e-03 1.1067e-03 7.8885e-04 5.5706e-04 3.8971e-04 2.7009e-04

0.07 0.4721 0.4325 0.3936 0.3557 0.3192 0.2843 0.2514 0.2206 0.1922 0.1660 0.1423 0.1210 0.1020 0.0853 0.0708 0.0582 0.0475 0.0384 0.0307 0.0244 1.9226e-02 1.5003e-02 1.1604e-02 8.8940e-03 6.7557e-03 5.0849e-03 3.7926e-03 2.8028e-03 2.0524e-03 1.4890e-03 1.0703e-03 7.6219e-04 5.3774e-04 3.7584e-04 2.6023e-04

0.08 0.4681 0.4286 0.3897 0.3520 0.3156 0.2810 0.2483 0.2177 0.1894 0.1635 0.1401 0.1190 0.1003 0.0838 0.0694 0.0571 0.0465 0.0375 0.0301 0.0239 1.8763e-02 1.4629e-02 1.1304e-02 8.6563e-03 6.5691e-03 4.9400e-03 3.6811e-03 2.7179e-03 1.9884e-03 1.4412e-03 1.0350e-03 7.3638e-04 5.1904e-04 3.6243e-04 2.5071e-04

0.09 0.4641 0.4247 0.3859 0.3483 0.3121 0.2776 0.2451 0.2148 0.1867 0.1611 0.1379 0.1170 0.0985 0.0823 0.0681 0.0559 0.0455 0.0367 0.0294 0.0233 1.8309e-02 1.4262e-02 1.1011e-02 8.4242e-03 6.3872e-03 4.7988e-03 3.5726e-03 2.6354e-03 1.9262e-03 1.3949e-03 1.0008e-03 7.1136e-04 5.0094e-04 3.4946e-04 2.4151e-04

x 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7.0

0.00 2.3263e-04 1.5911e-04 1.0780e-04 7.2348e-05 4.8096e-05 3.1671e-05 2.0658e-05 1.3346e-05 8.5399e-06 5.4125e-06 3.3977e-06 2.1125e-06 1.3008e-06 7.9333e-07 4.7918e-07 2.8665e-07 1.6983e-07 9.9644e-08 5.7901e-08 3.3320e-08 1.8990e-08 1.0718e-08 5.9904e-09 3.3157e-09 1.8175e-09 9.8659e-10 5.3034e-10 2.8232e-10 1.4882e-10 7.7688e-11 4.0160e-11 2.0558e-11 1.0421e-11 5.2310e-12 2.6001e-12 1.2798e-12

0.01 2.2405e-04 1.5310e-04 1.0363e-04 6.9483e-05 4.6148e-05 3.0359e-05 1.9783e-05 1.2769e-05 8.1627e-06 5.1685e-06 3.2414e-06 2.0133e-06 1.2386e-06 7.5465e-07 4.5538e-07 2.7215e-07 1.6108e-07 9.4420e-08 5.4813e-08 3.1512e-08 1.7942e-08 1.0116e-08 5.6488e-09 3.1236e-09 1.7105e-09 9.2762e-10 4.9816e-10 2.6492e-10 1.3952e-10 7.2760e-11 3.7575e-11 1.9216e-11 9.7312e-12 4.8799e-12 2.4233e-12 1.1916e-12

0.02 2.1577e-04 1.4730e-04 9.9611e-05 6.6726e-05 4.4274e-05 2.9099e-05 1.8944e-05 1.2215e-05 7.8015e-06 4.9350e-06 3.0920e-06 1.9187e-06 1.1792e-06 7.1779e-07 4.3272e-07 2.5836e-07 1.5277e-07 8.9462e-08 5.1884e-08 2.9800e-08 1.6950e-08 9.5479e-09 5.3262e-09 2.9424e-09 1.6097e-09 8.7209e-10 4.6788e-10 2.4858e-10 1.3078e-10 6.8137e-11 3.5154e-11 1.7960e-11 9.0862e-12 4.5520e-12 2.2582e-12 1.1093e-12

0.03 2.0778e-04 1.4171e-04 9.5740e-05 6.4072e-05 4.2473e-05 2.7888e-05 1.8138e-05 1.1685e-05 7.4555e-06 4.7117e-06 2.9492e-06 1.8283e-06 1.1226e-06 6.8267e-07 4.1115e-07 2.4524e-07 1.4487e-07 8.4755e-08 4.9106e-08 2.8177e-08 1.6012e-08 9.0105e-09 5.0215e-09 2.7714e-09 1.5147e-09 8.1980e-10 4.3940e-10 2.3322e-10 1.2258e-10 6.3802e-11 3.2885e-11 1.6784e-11 8.4832e-12 4.2457e-12 2.1042e-12 1.0327e-12

0.04 2.0006e-04 1.3632e-04 9.2010e-05 6.1517e-05 4.0741e-05 2.6726e-05 1.7365e-05 1.1176e-05 7.1241e-06 4.4979e-06 2.8127e-06 1.7420e-06 1.0686e-06 6.4920e-07 3.9061e-07 2.3277e-07 1.3737e-07 8.0288e-08 4.6473e-08 2.6640e-08 1.5124e-08 8.5025e-09 4.7338e-09 2.6100e-09 1.4251e-09 7.7057e-10 4.1261e-10 2.1879e-10 1.1488e-10 5.9737e-11 3.0759e-11 1.5684e-11 7.9193e-12 3.9597e-12 1.9605e-12 9.6120e-13

0.05 1.9262e-04 1.3112e-04 8.8417e-05 5.9059e-05 3.9076e-05 2.5609e-05 1.6624e-05 1.0689e-05 6.8069e-06 4.2935e-06 2.6823e-06 1.6597e-06 1.0171e-06 6.1731e-07 3.7107e-07 2.2091e-07 1.3024e-07 7.6050e-08 4.3977e-08 2.5185e-08 1.4283e-08 8.0224e-09 4.4622e-09 2.4579e-09 1.3407e-09 7.2423e-10 3.8741e-10 2.0523e-10 1.0766e-10 5.5925e-11 2.8769e-11 1.4655e-11 7.3923e-12 3.6925e-12 1.8264e-12 8.9459e-13

Vrednosti Q funkcije

0.06 1.8543e-04 1.2611e-04 8.4957e-05 5.6694e-05 3.7475e-05 2.4536e-05 1.5912e-05 1.0221e-05 6.5031e-06 4.0980e-06 2.5577e-06 1.5810e-06 9.6796e-07 5.8693e-07 3.5247e-07 2.0963e-07 1.2347e-07 7.2028e-08 4.1611e-08 2.3807e-08 1.3489e-08 7.5686e-09 4.2057e-09 2.3143e-09 1.2612e-09 6.8061e-10 3.6372e-10 1.9249e-10 1.0088e-10 5.2351e-11 2.6904e-11 1.3691e-11 6.8996e-12 3.4430e-12 1.7014e-12 8.3251e-13

0.07 1.7849e-04 1.2128e-04 8.1624e-05 5.4418e-05 3.5936e-05 2.3507e-05 1.5230e-05 9.7736e-06 6.2123e-06 3.9110e-06 2.4386e-06 1.5060e-06 9.2113e-07 5.5799e-07 3.3476e-07 1.9891e-07 1.1705e-07 6.8212e-08 3.9368e-08 2.2502e-08 1.2737e-08 7.1399e-09 3.9636e-09 2.1790e-09 1.1863e-09 6.3955e-10 3.4145e-10 1.8052e-10 9.4514e-11 4.9001e-11 2.5158e-11 1.2790e-11 6.4391e-12 3.2101e-12 1.5847e-12 7.7467e-13

0.08 1.7180e-04 1.1662e-04 7.8414e-05 5.2228e-05 3.4458e-05 2.2518e-05 1.4575e-05 9.3447e-06 5.9340e-06 3.7322e-06 2.3249e-06 1.4344e-06 8.7648e-07 5.3043e-07 3.1792e-07 1.8872e-07 1.1094e-07 6.4592e-08 3.7243e-08 2.1266e-08 1.2026e-08 6.7347e-09 3.7350e-09 2.0513e-09 1.1157e-09 6.0091e-10 3.2051e-10 1.6929e-10 8.8544e-11 4.5861e-11 2.3522e-11 1.1947e-11 6.0088e-12 2.9926e-12 1.4759e-12 7.2077e-13

0.09 1.6534e-04 1.1213e-04 7.5324e-05 5.0122e-05 3.3037e-05 2.1569e-05 1.3948e-05 8.9337e-06 5.6675e-06 3.5612e-06 2.2162e-06 1.3660e-06 8.3391e-07 5.0418e-07 3.0190e-07 1.7903e-07 1.0515e-07 6.1158e-08 3.5229e-08 2.0097e-08 1.1353e-08 6.3520e-09 3.5193e-09 1.9310e-09 1.0492e-09 5.6455e-10 3.0082e-10 1.5873e-10 8.2943e-11 4.2918e-11 2.1991e-11 1.1159e-11 5.6067e-12 2.7896e-12 1.3744e-12 6.7056e-13

ZBIRKA ZADATAKA IZ DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

281

LITERATURA 1. Sklar B., “Digital Communications; Fundamentals and Applications”, Prentice-Hall International, London, 1988. 2. Milošević V., Delić V., “Zbirka zadataka iz Digitalnih telekomunikacija”, 1995. 3. Proakis J.G., “Digital Communications”, McGraw-Hill, New York, 1995. 4. Proakis J. G. at al: “Contemporaty Communication Systems using Matlab”, Thomson Brooks/Cole, Canada, 2004. 5. McClellan J. at al, “Computer-Based Exercises for Signal Processing Using MATLAB 5”, Matlab Curriculum Series, 1998. 6. Tretter S. A., “Communications System Design Using DSP Alghoriths”, Kluwer Academic/ Plenum Publishers, New York, 2003. 7. Lab Course “Communications Technology”, Information Technology, University of Ulm. 8. Dukić M. at al, “Osnovi telekomunikacija”, Praktikum za laboratorijske vežbe, ETF, Beograd. 9. Zeytinoglu O.M., Ma N. W., “Communication Sytems II ELE 045 Laboratory Manual”, Department of Electrical ond Computer Engineering, Ryerson Polytechnic University 10. Benedetto S., Biglieri E., and Castellani V., “Digital Transmission Theory”, Prentice-Hall International, New Jersey, 1987.. 11. Jovanović-Doleček G., “Slučajne varijable i procesi u telekomunikacijama”,Svjetlost, Sarajevo, 1987. 12. Kostić I. M., “Digitalni telekomunikacioni sistemi”, Naučna knjiga, Beograd, 1994. 13. Lukatela G., Drajić D., Petrović G. i Petrović R., “Digitalne telekomunikacije”, Građevinska knjiga, Beograd, 1984. 14. Lukatela G., “Statistička teorija telekomunikacija i teorija informacija”, Građevinska knjiga, Beograd, 1980. 15. Roden M. S., “Analog and digital communication systems”, Prentice-Hall International, Singapore, 1991.

282

LITERATURA

16. Stojanović J. S., “Osnovi telekomunikacija”, Građevinska knjiga, Beograd, 1977. 17. Stojanović Z., Beća H., Dukić M. i Petrović Z., “Osnovi Telekomunikacija; Zbornik rešenih problema”, Građevinska knjiga, Beograd, 1982. 18. CCITT, “Red Book, Volume VIII”, Geneva, 1984.