Skripta iz fizike

EME R IP R P

FIZIKA 1 PRIPREMIO

DARIO MIČIĆ

Zagreb, 2006. provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Nakladnik PRIPREME , Zagreb, 1. Ferenščica 45 tel.: (01) 24 50 904, 24 52 809, 091 51 36 794

Skripta služi isključivo za internu uporabu na tečajevima koji , održavaju kao pripreme za se, u okviru PRIPREMA polaganje razredbenog ispita na svim fakultetima na kojima se piše razredbeni test iz fizike. Zabranjeno je kopiranje i prodavanje ovog materijala ili njegovih dijelova.

provided by www.perpetuum-lab.com.hr

y 4 3

P(4, 3)

I. MEHANIKA

2 Pod pojmom mehanika razumjevamo skup znanosti koje proučavaju međudjelovanje tijela te 1 gibanje u prostoru tijekom vremena. Fizikalno utemeljenje pojma prostora i njihovo vremena te međudjelovanja tijela x prvi je dao Isaac Newton 1687. u svom djelu Philosophica 1 O Principia 4 5 1 2 3Matematica. Naturalis Prostor je, prema Newtonu, velika šuplja kutija u kojoj su 1 razmještena tijela (zvijezde, planeti, ljudi, cvijetovi, kamenje, mobiteli ...). Valja uočiti da je Ishodište O izaberemo proizvoljno prostor nezavisan od tijela koja su u njemu razmještena. Dakle, postoji trodimenzijski prostor kao neovisna kategorija. Vrijeme, prema Newtonu, također postoji neovisno o prostoru i tijelima u prostoru. Ono teče uvijek jednako, neovisno o promatraču i njegovom položaju u prostoru. Fiziku u kojoj se prostor i vrijeme razumjevaju u navedenom smislu uobičajeno je zvati Newtonovska ili klasična fizika.

I. 1. KINEMATIKA U kinematici opisujemo gibanje proizvoljnog tijela zabacujući uzrok gibanja toga tijela. Dakle, zanemarujemo međudjelovanje toga tijela i svih ostalih tijela. Utemeljimo pojam gibanja nekog, proizvoljno odabranog, tijela. Tijelo se giba kad mijenja svoj položaj u odnosu na neka okolna (referentna) tijela tijekom vremena. Na primjer, vrh krede (tijelo) se giba u odnosu na ploču (referentno tijelo) kod pisanja kredom po ploči. Položaj određujemo pomoću koordinatnog sustava kojeg možemo proizvoljno odabrati. Npr. pri gibanju u ravnini rabimo dvodimenzionalni koordinatni sustav Oxy koji ima dvije koordinatne osi x (apscisa) i y (ordinata) koje najčešće uzimamo međusobno okomitima. Položaj točke P u ravnini u odnosu na ishodište O(0, 0) određen je uređenim parom (x, y) – njenim koordinatama, npr. P(4, 3) (crtež). Točka P je od ishodišta udaljena 5 jedinica (Pitagorin teorem).

y 4 P(4, 3)

3 2 1

x

1 O 1 2 3 4 5 1 Ishodište O izaberemo proizvoljno

Slično, pri gibanju po pravcu rabimo jednodimenzionalni koordinatni sustav npr. Ox. Na crtežu je prikazana točka Q(3) koja je od ishodišta O(0) udaljena 3 jedinice.

1

O 0 1

Q(3)

2

3

4

5

x

Da bismo dobili jedinične duljine na koordinatnim osima moramo se dogovoriti za osnovnu jedinicu za mjerenje duljine (a također i vremena odnosno intervala vremena). DULJINA (L, l, d, ∆x ...) je odabrana za osnovnu fizikalnu veličinu u SI sustavu, pa se njena jedinica mora definirati. 1 METAR (1 m) je duljina prametra (štapa) koji se čuva u Parizu Godine 1983. usvojena je sljedeća definicija: Jedan metar jednak je duljini puta koji prevali val svjetlosti u vakuumu tijekom vremenskog intrvala (1/299 792 458) sekundi.

Izvedene jedinice za metar (ili bilo koju drugu fizikalnu veličinu) su: 1 dm = 10 −1 m

1 dam = 101 m

1 cm = 10 −2 m

1 hm = 10 2 m

1 mm = 10 −3 m

1 km = 103 m

1 µm = 10 −6 m

1 Mm = 10 6 m

VREMENSKE TRENUTKE (i intervale) određujemo pomoću sata (tj. ure ili dobnjaka). VRIJEME (t, T ...) je odabrano za osnovnu fizikalnu veličinu u SI sustavu, pa se jedinica mora definirati. Godine 1976. definiran je standard za vrijeme: Jedna sekunda je vremenski interval potreban za 9 192 631 770 vibracija atoma cezija.

1 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

U klasičnoj fizici je potreban samo jedan sat, jer se pretpostavlja da se informacija između dviju točaka u prostoru može prenositi beskonačnom brzinom (pogledati komentar na stranici 26.). Koordinatni sustav sa satom nazivamo sustavom referencije.

Bitno je uočiti da referentni sustav čine: referentno tijelo smješteno u ishodištu, sat i koordinatni sustav.

Dimenzije tijela su često nebitne za danu fizikalnu pojavu, pa se pri opisu pojave one mogu zanemariti. Tada tijelo nadomještamo materijalnom točkom. Materijalna točka je matematički objekt koji nema dimenzije i u njoj je smještena ukupna masa tijela. Zamjena realnog tijela s materijalnom točkom je uvijek valjano kod translacijskog gibanja krutog tijela. Npr. kod opisa gibanja automobila po autoputu automobil zamišljamo kao materijalnu točku. Jednako tako postupamo kod gibanja automobila u zavoju zato jer za kratke intervale vremena (odgovarajući) kružni luk možemo zamijeniti odsječkom tangente na kružni luk. Putanja gibanja je stvarni ili zamišljeni trag kojeg tijelo ostavlja pri svom gibanju. Npr. vrh krede po ploči. Ako je putanja pravac onda je to pravocrtno gibanje. Ako je pak putanja zakrivljena krivulja, onda govorimo o krivocrtnom gibanju. (pravocrtno gibanje udesno ili ulijevo) (krivocrtno gibanje) Prevaljeni put je duljina putanje od početne točke (P) do krajnje točke (K). Prevaljeni put najčešće označavamo sa s, ili x ili L … Uočimo: Tu veličinu mjerimo na brojčaniku automobila. Odrediti prevaljeni put u općem slučaju krivocrtnog gibanja tijela je vrlo netrivijalno! Razmislite, kako odrediti duljinu puta od točke P do točke K na crtežu!

K

P

P

r

K

Pomak, r , je usmjerena dužina (vektor) koja spaja početnu (P) i krajnju točku (K). Pomak je (kao i svaki vektor) određen duljinom (ili iznosom ili modulom), smjerom (pravac na kojem leži) i orjentacijom JJJG (početna i konačna točka). Oznaka za pomak je npr. PK , ili G r ...

a) pravocrtno gibanje To je gibanje kod kojeg je putanja tijela pravac. Dakle, za opis pravocrtnog gibanja rabiti ćemo jednodimenzionalni koordinatni sustav. Potanko ćemo o tom gibanju govoriti kasnije. Primjeri: Sprinteri u utrci na 100 m, vlak na ravnom dijelu pruge, muha pri letu u sobi (kraće vrijeme), puž na listu kupusa (kraće vrijeme). Sada ćemo uvesti pojam brzine i ubrzanja za translacijsko gibanje tijela.

2 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Promotrimo gospođicu Micu pri subotnjoj šetnji Ilicom.

tp =10h 30min

tk =10h 45min

x p =50m

xk =200m

U trenutku tp počinje razgledati izlog “Benettona”, u t1 =10h 35min stiže pred izlog “Mladosti” na položaju x1 =100m, baci pogled na nova izdanja, prisjeti se neke stvarčice iz izloga “Benettona”, vrati se do “Benettona” da bi pomnije razgledala … te se u trenutku tk nađe na uglu Ilice i Frankopanske (na položaju xk ). → u vremenskom intervalu ∆t = tk − t p =15min gospođica Mica se pomakla za ∆t = xk − x p = 200m – 50m = 150m pritom je prevalila put

∆ = ( x1 − x p ) + ( x1 − x p ) + ( xk − x p ) = 50 + 50 + 150 = 250m Za opisivanje translacijskog gibanja valja nam definirati sljedeće veličine: brzina 1˚

Srednja brzina tijela po pomaku kao omjer pomaka i pripadnog vremenskog intervala.

∆x xk − x p = ∆t tk − t p

v=

To je vektorska veličina.

Razumno je zapitati se kako to da je srednja brzina tijela po pomaku vektor kad je nismo zapisali kao vektor? Razlog leži u činjenici da napisani izraz vrijedi samo za gibanje po pravcu na kojem svaki vektor (pa tako i uvedena veličina) može imati samo dva smjera! Znači, ∆x je algebarska veličina koja može biti pozitivna, jednaka nuli ili negativna. U prvom slučaju se tijelo giba stalno u istom smjeru, u drugom miruje i u trećem slučaju brzina tijela je mijenjala smjer tijekom gibanja! Nazivnik je, dakako, uvijek pozitivan. 2˚

Srednju brzinu tijela po prevaljenom putu kao omjer ukupnog prevaljenog puta i pripadnog vremenskog intervala.

v=

s ∆t

[v] =

To je skalarna veličina. Jedinica za mjerenje se izvodi iz definicije:

[ ∆x ] = 1m = 1 m [ ∆t ] 1s s

G G ∆x kada ∆t → 0 . Trenutnu brzinu v definiramo kao graničnu vrijednost omjera ∆t G G G ∆xG ∆x v= kada ∆t → 0 ili v = lim ∆t →0 ∆t ∆t Veličina (modul) ovog vektora jednak je graničnoj vrijednosti srednje brzine po putu.

tk tk

v = lim

∆t →0

s ∆t 3 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Ubrzanje (akceleracija) G Ukoliko se trenutna brzina tijela v mijenja (po modulu i/ili po smjeru) tijekom vremena, definiramo novu fizikalnu veličinu koja opisuje tu promjenu. Za vremenski interval

∆t = tk − t p brzina se promjeni za

G G G ∆v = v k − v p

→ Srednje ubrzanje G a - omjer promjene brzine i pripadnog vremenskog intervala G G ∆v tj. to je brzina promjene brzine. a= ∆t Ovako napisani izraz za srednje ubrzanje vrijedi za svako gibanje i to pri jednodimenzijskom (pravocrtnom), dvodimenzijskom (ravninskom) ili trodimenzijskom (prostornom) gibanju tijela. Inače, za pravocrtno gibanje dovoljno je napisati a =

∆v pri čemu se podrazumjeva da ∆t

je promjena brzine ∆v algebarska veličina koja može biti pozitivna, jednaka nuli ili negativna.

→ Trenutno ubrzanje G G G G ∆v ∆v a - granična vrijednost omjera kada ∆t → 0 tj. a = lim ∆t →0 ∆t ∆t Jedinicu za mjerenje ubrzanja dobivamo iz definicije:

m

[ ∆v ] = 1 s = a [ ] [ ∆t ] 1s

=1

m s2

a1 Jednoliko gibanje po pravcu

G

JJJJJG

Putanja je pravac, a brzina konstantna, tj. v = konst

v=

∆x xk − x p = tk − t p ∆t

⋅ ( tk − t p ) → xk = x p + v ( tk − t p )

Obično odaberemo

t p = t0

x p = xo

tk = t

xk = x ( t )

→ Položaj tijela u ovisnosti o vremenu ima oblik

x ( t ) = x0 + v(t − t0 ) . Ako uzmemo za početni trenutak t0 = 0 onda imamo

x ( t ) = x0 + vt .

→ Položaj točke kod jednolikog pravocrtnog gibanja je afina funkcija vremena.

4 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Grafički prikaz ovisnosti položaja o vremenu: x - t dijagram: To je pravac koji siječe os položaja u točki x0 !

Nagib pravca ovisi o brzini: tgα = v , α je kut između grafa i osi t. Navedimo dva primjera:

m → x1 (t ) = 5 + 5t s m → x2 (t ) = 9t 2) x02 = 0m; v2 = 9 s

1) x01 = 5m; v1 = 5

x,m 20 17.5 15 12.5 10 7.5

x1 x2

5 2.5 0.5

1

1.5

2

t,s

Jedna od mogućih fizikalnih interpretacija grafova na crtežu: Biciklist Tonči prošao je kroz ishodište konstantnom brzinom 9 m/s u smjeru osi x i nastavio tako voziti u istom smjeru. U istom trenutku i u istom smjeru ali na 5 m od ishodišta prošla je biciklistica Ruža konstantnom brzinom 5 m/s i nastavila tako voziti u istom smjeru.

→ Prevaljeni put s(t) u ovisnosti o vremenu je s ( t ) = ∆x = x ( t ) − x0 = vt . Dakle

s ( t ) = vt . Uočimo da je put linearna funkcija vremena. Grafički prikaz ovisnosti puta o vremenu: s - t dijagram: Uzmimo dva prethodna primjera: 1) s1 (t ) = 5 + 5t

s,m 20 17.5 15

2) s2 (t ) = 9t

12.5

Vidimo da nema razlike između s-t grafa i x-t grafa! To je zbog toga što brzina tijela nije mijenjala smjer tijekom gibanja!

10 7.5

s1 s2

5 2.5 0.5

1

1.5

2

t,s

Grafički prikaz ovisnosti brzine o vremenu: v - t dijagram Uzimamo prethodna dva primjera:

m s m 2) v2 = 9 s 1) v1 = 5

v,ms −1 12

v2

10 8

v1

6 4 2 0.5

1

1.5

2

t,s

Oba pravca su paralelna s vremenskoj osi!

5 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Površina ispod tog dijagrama odgovara brojčano prevaljenom putu u tom vremenskom intervalu.

Kako je kod ovog gibanja v = konst. → a =

∆v m =0 2 ∆t s

Grafički prikaz ovisnosti ubrzanja o vremenu: a - t dijagram 2

a = 0 m/s To je pravac koji se poklapa s vremenskom osi.

a,ms −2 1.5 1 0.5 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t,s

-0.5 -1 -1.5

a 2 Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu Putanja je pravac a ubrzanje je konstantno (i po modulu i po smjeru), tj.

G JJJJJJG a = konst.

Kako ovisi brzina o vremenu?

a= →

∆v vk − v p = ∆t tk − t p

⋅ ( tk − t p )

vk = v p + a ( tk − t p )

obično odaberemo

t p = 0s

v p = v0

tk = t

vk = v ( t )

brzina tijela u ovisnosti o vremenu

v ( t ) = v0 + at → Linearna funkcija vremena Grafički prikaz: v - t dijagram Pravac koji siječe os ordinata u točki v0 . Nagib pravca ovisi o ubrzanju: tgα = a , α je kut između grafa i osi t.

v,ms −1 8

v2

6

Navedimo primjer: 4 v1 m m 1) v01 = 2 ; a1 = 2 2 → v1 (t ) = 2 + 2t 2 s s m m t,s 2) v01 = 0 ; a2 = 6 2 → v2 (t ) = 6t 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 s s Jedna od mogućih fizikalnih interpretacija grafova na crtežu: OpelVectra2.2 krenula je u početnom trenutku t = 0 s iz ishodišta ubrzanjem a2 = 6 m/s2 i nastavila se gibati po pravcu tim ubrzanjem. OpelCorsa1.4 gibala se u početnom trenutku brzinom v1 = 2 m/s i nalazila se ispred OpelVectre2.2 na udaljenosti v01 = 2 m. OpelCorsa1.4 se nastavila gibati po istom pravcu konstantnim ubrzanjem a1 = 2 m/s2. Automobili su se sudarili nakon 1s.

6 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Površina ispod dijagrama odgovara prevaljenom putu.

s = s1 + s2

s1 = ( v0 − 0 )( t − 0 ) = v0 t 1 1 1 ( v − v0 )( t − 0 ) = at ⋅ t = at 2 2 2 2 1 → s ( t ) = v0 t + at 2 2

s2 =

Izraz za prevaljeni put s(t) je kvadratna funkcija vremena. Grafički prikaz: s - t dijagram Graf je parabola koja polazi iz ishodišta! Taj graf nikad ne pada! Znači, kako vrijeme teče put se uvijek povećava! s,m

Navedimo primjer: m m 1) v01 = 2 ; a1 = 2 2 → s1 (t ) = 2 + t 2 s s m m 2) v01 = 0 ; a2 = 6 2 → s2 (t ) = 3t 2 s s

8 6

s2

4

s1

2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t,s

Kako je kod ovog gibanja s ( t ) = ∆x = x ( t ) − x0 slijedi x ( t ) = x0 + s ( t ) pa uvrštavanjem izraza za s(t) dobivamo

x ( t ) = x0 + v0 t +

1 2 at . 2

Polučeni izraz je ponovo kvadratna

funkcija vremena. Grafički prikaz: x-t dijagram Graf je parabola koja siječe os ordinata u x0 !

x,m

Navedimo primjer:

8

m m ; a1 = 2 2 → x1 (t ) = −2 + 2t + t 2 s s m m 2) x02 = −2 m; v02 = 0 ; a2 = 6 2 → x2 (t ) = −2 + 3t 2 s s

6

1) x01 = −2 m; v01 = 2

x2 x1

4 2 0.5

1

1.5

-2

Grafički prikaz ovisnosti ubrzanja o vremenu: a-t dijagram a = konst. Graf je pravac paralelan s vremenskom osi. Navedimo primjer: m 1) a1 = 2 2 s 2) a2 = 6

m s2

a,ms − 2 8 7

a2

6 5 4 3

a1

2 1 0.5

1

1.5

2

t,s

7 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

2

t,s

Površina ispod tog dijagrama odgovara brojčano promjeni brzine u danom vremenskom intervalu.

Vrlo često odabiremo da je na početku tijelo mirovalo u ishodištu, tj. sljedeće početne uvjete:

→ v ( t ) = at; s ( t ) = 1 at 2 ; x ( t ) = 1 at 2

t0 = 0 s; x0 = 0 m; v0 = 0 m

2

2

a3 Jednoliko usporeno gibanje po pravcu Putanja je pravac, a ubrzanje je konstantno ali negativno, tj. brzina se jednoliko smanjuje.

a 0

G G Za λ = 0 dobijemo nul-vektor 0 koji nema smjera. - suprotna od a za λ < 0

Za λ = –1 dobijemo (suprotni) vektor koji ima jednaki modul ali suprotnu orijentaciju.

13 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Oduzimanje vektora → Zbrajanje sa suprotnim vektorom

G G G G G c = a − b = a + ( −b )

Rastavljanje vektora na komponente Rastavljanje vektora na komponente vršimo uvijek u zadanom koordinatnom sustavu → najčešće se odabire pravokutni koordinatni sustav

npr. dvodimenzionalni JJG ax je x - komponenta

JJG a y je y - komponeneta G JJG JJG Tada je a = ax + a y . → definiramo jedinične vektore (ortove)

JJG JJG JJG G az G ax G ay u smjeru x - osi i = ; u smjeru y - osi j = ; u smjeru z - osi k = az ax ay

→ Tada se svaki vektor u koordinatnom sustavu Oxy (tj. u ravnini) može zapisati u obliku

G G G a = ax i + a y j

→ zbrajanje i oduzimanje vektora se lako obavlja:

G

G

G

G

G

G

Neka su zadani vektori a = ax i + a y j i b = bx i + by j . Tada je

G G G G a ± b = (ax ± bx )i + (a y ± by ) j

Množenje vektora - skalarno množenje

G G a ⋅ b = ab cos ϕ

Rezultat množenja je broj (skalar). On je jednak umnošku iznosa vektora i kosinusa kuta kojeg zatvaraju.

G G

G G

G G

Budući da je i ⋅ i = j ⋅ j = 1 , i ⋅ j = 0 onda je skalarni produkt

G G a ⋅ b = ax bx + a y by

Vektorsko množenje G G G G a × b = c kod čega je modul vektora c jednak c = a b sin ϕ

G G G b × a = −c

G

G

Dobije se kao rezultat vektor okomit i na a i na b . Duljina vektora jednaka je površini paralelograma G G G kojeg razapinju a i b , tj umnošku iznosa vektora a i

G b i sinusa kuta između njih.

G Orijentacija vektora c je određena pravilom desne ruke:

G

G

prstima preklapamo prvi vektor a na drugi b , a onda

G

palac pokazuje orijentaciju vektora c .

14 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

G G

G G

G G

Vrijede relacije (tablica množenja jediničnih vektora) i × i = j × j = k × k = 0 , a također i

G G G G G G G G G G G i × j = k , j × k = i , k × i = j . Ako vektore a i b zapišemo u koordinatnom prikazu G G G G G G G G G a = ax i + a y j , b = bx i + by j tada je njihov vektorski produkt a × b = (axby − a y bx ) k .

b) Međudjelovanje tijela. Sila Da neko tijelo međudjeluje s nekim drugim tijelom zapažamo po nekim učincima: - povećanju ili smanjenju brzine - deformaciji tijela - promjeni oblika tijela - promjeni obujma tijela - promjeni stanja površine tijela - promjeni agregatnog stanja tijela ... Sila je fizikalna veličina kojom opisujemo koliko je međudjelovanje jednog tijela na drugo. Određena je iznosom, smjerom i orijentacijom → vektor! Tijela mogu međudjelovati kad su u dodiru (npr. ruka i spužva) → Sile dodira - elastična sila pri deformaciji tijela - sila trenja pri klizanju jedog tijela na površini drugog. Tijela mogu međudjelovati kad su međusobno razmaknuta (npr. Zemlja i Sunce, Zemlja i magnetska kazaljka, natrljani balon i ruka). → Sile na udaljenost (ili sile polja) - gravitaciona sila - magnetska sila - električna sila → Sile dodira i sile na udaljenost potječu od djelovanja (najmanje) dvaju tijela. Kažemo da su to sile u Newtonovom smislu ili da su to Newtonove sile. Međutim postoje inercijalne sile (npr. centrifugalna inercijalna sila) koje se pojavljuju u neinercijalnim referentnim sustavima koje ne potječu od međudjelovanja dvaju tijela. Inercijalne sile nisu Newtonove sile! b1) Masa. Gustoća Lakše je pokrenuti “fićeka” nego kamion. Kažemo da je kamion tromiji ili inertniji od “fićeka”. Masa – fizikalana veličina kojom mjerimo inertnost tijela ili veličinu gravitacionog međudjelovanja tijela sa Zemljom. → odabrana za osnovnu fizikalnu jedinicu → jedinica se definira [m] ≡ 1 kilogram → 1kg - masa prakilograma – utega koji se čuva u Parizu Gustoću ρ homogenog tijela definiramo kao omjer mase i obujma tijela: ρ =

Jedinicu za gustoću dobivamo iz [ ρ ] =

[ m] = 1 kg [V ] m3

m V

b2) Newtonovi zakoni Svakodnevno iskustvo nas upućuje na to da postoji određena veza između: G - ubrzanja a tijela - mase m tijela G - sile F koja djeluje na tijelo

G JJJJJG F = konst

Pretpostavimo da guramo (iz mirovanja) fićeka i kamion jednakom silom. Obzirom da je

mF  mK slijedi da ćemo fićeka lakše pokrenuti, a također da ćemo lakše povećavati brzinu fićeku nego kamionu. Dakle je aF > aK . 15 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Eksperiment →

1 m

a~

Ubrzanje tijela je, uz djelovanje iste sile obrnuto proporcionalno s masom tijela na koje sila djeluje. Ako je m = konst (npr. djelujemo različitim silama na fićeka) tada F1 < F2 povlači a1 < a2 . Eksperiment → a ~ F

Ubrzanje tijela je proporcionalno veličini (modulu) sile koja djeluje na tijelo i ima smjer sile. Ako na tijelo istovremeno djeluje veći broj sila G G F1 , F2 … tada prethodni zaključak vrijedi za njihovu

G

G

G

G

rezultantnu FR . Dakle, FR = F1 + F2 + … pa je ubrzanje tijela

G G FR G G . Izraz ma = FR predstavlja II Newtonov zakon ili jednako a = m temeljnu jednadžbu gibanja. Jedinicu za mjerenje sile dobivamo iz

[ F ] = [ m][ a ] = 1kg

m ≡ 1N i zovemo je Newton. s2

Umnožak mase tijela i njegove akceleracije jednak je rezultanti svih sila koje djeluju na tijelo. Zakon smo formulirali u referentnom sustavu “Zemlja” (tj. Zemlja je referentno tijelo).

G

G

Ukoliko je FR = 0 (ili sile ne djeluju) onda imamo

G ma = 0 G G ∆v a= ∆t

G ∆v = 0 G G ⇒ G G G ⇒ vK = vP ∆v = vK − vP

a to znači brzina tijela se ne mijenja (niti po modulu niti po orijentaciji). Drugim riječima, ako je zbroj sila koje djeluju na tijelo jednak nuli ili nikakve sile ne djeluju, tada se tijelo giba jednoliko po pravcu ili miruje G G G G tj. FR = 0 ⇒ vK = vP . To je prvi Newtonov zakon (I N. Z.). Promjenu brzine, (tj. ubrzanje) uzrokuje međudjelovanje tog tijela i drugih tijela (tj. sila). I N. Z. se često naziva zakonom inercije. Referentni sustavi u kojima vrijedi ovako formuliran zakon inercije nazivaju se inercijalnim referentnim sustavima (IRS) (npr. “površina Zemlje” je približno IRS). Svi inercijalni referentni sustavi se, jedan prema drugom, gibaju jednolikom brzinom po pravcu. Djelovanje je uzajamno! Naziv sila i protusila se pridjeljuje postojećim silama proizvoljno!

G F21 - sila s kojom na tijelo 2 djeluje tjelo 1 (npr. sila) G F12 - sila s kojom na tijelo 1 djeluje tijelo 2 (protusila)

III Newtonov zakon glasi

G G F12 = − F21

F12

1

F21 2

Protusila i sila su jednake po veličini ali su supotnog smjera. G One djeluju na dva različita tijela! (npr. sila F12 djeluje na tijelo 1 tj. hvatište tog vektora je u tijelu 1 i ona opisuje međudjelovanje tijela 2 i tijela 1 (crtež)). III N. Z. vrijedi samo za dva tijela koja međudjeluju ali ne za tri ili više tijela u (istodobnom) međudjelovanju! b3) Neke vrste sila

JG

1° Sila teža F g - sila s kojom Zemlja djeluje na tijelo u svojoj blizini. Naime, Zemlja djeluje na sva tijela gravitacijskom silom. Pritom je gravitacijska sila tim manja što je tijelo udaljenije. Uobičajeno je gravitacijsku silu Zemlje blizu površine Zemlje zvati sila teža.

16 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Sila teža je jednaka umnošku mase m tijela i ubrzanja sile teže g.

Fg = mg

Sila teža je okomita na površinu Zemlje (u smjeru prema središtu Zemlje). Ubrzanje sile teže (na Zemlji) jednako je g = 9.81 ms–2 . Dakako, i druge planete imaju svoju silu težu kojoj je ubrzanje različito od navedenog na Zemlji. 2° sila pritiska, Fp - sila s kojom tijelo djeluje na podlogu na kojoj se nalazi 3° sila reakcije podloge, Fr - sila kojom podloga djeluje na tijelo koje se nalazi na podlozi. III N. Z. ⇒ Fr = Fp

4° težina tijela, G - sila s kojom tijelo djeluje na podlogu na kojoj se nalazi ili na ovjes ako je obješeno.

Valja se zapitati kolika je težina tijela? Ako tijelo miruje na horizontalnoj podlozi ili se zajedno s podlogom giba jednoliko po pravcu onda imamo G = Fr iz III. N. Z. i

Fg = Fr iz I N. Z. otkuda slijedi da je težina u tom slučaju jednaka G = Fg = mg . 5° sila trenja Ftr - sila koja se javlja kad su dva tijela u dodiru - sila trenja mirovanja – djeluje horizontalna vučna sila Fv , a tijelo miruje. Na njega u suprotnom smjeru djeluje sila trenja mirovanja Ftrm (koju uzrokuje podloga) - sila trenja klizanja – ukoliko vučna sila Fv dovoljno poraste, i poprimi vrijednost Fvk tijelo će započeti kliziti po podlozi. Ako se giba konstantnom brzinom tada iz I N. Z. ⇒ Ftr = Fvk . pokus ⇒ sila trenja klizanja ovisi o: - pritisnoj sili Fp , s kojom tijelo djeluje na podlogu

-

kvaliteti dodirnih ploha vrsti dodirnih ploha

Ftr = µ ⋅ Fp

µ - faktor (koeficjent) trenja. Opisuje ovisnost sile trenja o kvaliteti podloga i o vrsti podloga. Uočiti da sila pritiska Fp ne djeluje na tijelo nego na podlogu. Protusila te sile djeluje na tijelo i jednaka je Fr.

17 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

-

sila trenja kotrljanja – javlja se pri kotrljanju tijela po podlozi. Stotinjak puta je manja od sile trenja klizanja.

6° Elastična sila, Fe - sila koja se javlja u deformiranom tijelu U slučaju elastične opruge ona je proporcionalna veličini deformacije opruge x. l0 - duljina nerastegnute opruge l - duljina rastegnute opruge x = l – l0 je produljenje (ili skraćenje) opruge

Fe ~ x ⇒ Fe = k ⋅ x gdje je k =

Fe koeficijent elastičnosti x

opruge. On ovisi o materijalu od kojeg je opruga napravljena. Jedinica za k je

[k ] =

[ Fe ] = 1 N . [ x] m

c) Primjena Newtonovih zakona c1) horizontalni hitac JG U homogenom gravitacionom polju zemlje g na

JJG

visini H, tijelu damo početnu brzinu v0 u horizontalnom smjeru i omogučimo mu da pada. JJG Na tijelo djeluje samo sila teža Fg (otpor zraka zanemarujemo)

G JJG JG G JG ma = Fg = mg → a = g

Uz koordinatni sustav kao na slici imamo: ax = 0 , a y = g Početni uvjeti:

t0 = 0 s x(0) = 0 m vx (0) = v0 y(0) = 0 m v y (0) = 0

m s

x – komponenta gibanja je jednoliko gibanje po pravcu ax = 0 : vx ( t ) = v0 = konst., x ( t ) = v0t , y – komponenta gibanja je jednoliko ubrzano gibanje po pravcu

y (t ) =

a y = g : v y ( t ) = gt ,

1 2 gt 2

Vrijeme padanja tijela odredimo iz uvjeta:

H = y (t p ) =

1 2 2H gt p ⇒ t p = 2 g

Domet D je pomak u x – smjeru

D = x ( t p ) = v0t p = v0 G

2H g

Vektor brzine v(t ) je u svakom trenutku tangencijalan na putanju – parabolu.

18 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

x(t ) 1 x 2 (t ) ⇒ y (t ) = g 2 v0 v0 2 g y (t ) = 2 x 2 (t ) 2v0

t=

Iz Pitagorinog poučka slijedi da je veličina (modul) brzine u bilo kojem trenutku data izrazom

v(t ) = v02 + ( gt ) 2 Horizontalni hitac možemo gledati kao kombinaciju jednolikog gibanja po pravcu u horizontalnom smjeru i jednoliko ubrzanog gibanja (slobodnog pada) u vertikalnom smjeru prema dolje. c2) kosi hitac JJG Gibanje tijela izbačenog početnom brzinom v0 , pod

kutem α, u odnosu na horizontalu u homogenom gravitacionom polju Zemlje. Na tijelo tijekom gibanja

JJG

djeluje samo sila teža Fg (zanemarujemo otpor zraka)

G

JJG

JG

G

JG

pa slijedi ma = Fg = mg ⇒ a = g

U odabranom koordinatnom sustavu je

ax = 0

m , ay = − g s2

Početni uvjeti:

t0 = 0 s x(0) = 0 m vx (0) = v0 cos α ≡ v0 x y(0) = 0 m v y (0) = v0 sin α ≡ v0 y U x – smjeru - jednoliko gibanje po pravcu

vx (t ) = v0 x = v0 cos α x(t ) = v0 x ⋅ t = v0 cos α ⋅ t

U y – smjeru - jednoliko usporeno gibanje po pravcu s početnom brzinom

v y (t ) = v0 y − gt = v0 sin α − gt y (t ) = (v0 sin α ) t −

1 2 gt 2

Vrijeme uspinjanja t H do najviše visine H određujemo iz uvjeta da je u tom trenutku ykomponenta brzine jednaka nuli. Slijedi t H =

v0 sin α . Dakle, najviša visina H koju dosegne g

tijelo jednaka je

H = y (t H ) =

v02 sin 2 α v02 sin 2 α 1 v02 sin 2 α H = − g otkuda dobivamo . 2g g 2 g2

Ukupno vrijeme trajanja hica:

t p = 2t H =

2v0 sin α g

Domet kosog hica:

D = x(t p ) = v0 cos α ⋅

2v0 sin α v02 2sin α cos α = g g

v02 sin 2α D= g

19 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Jednadžba putanje kosog hica:

Iz izraza x(t) za jednoliko gibanje po osi x dobivamo t =

x(t ) . Uvrštavanjem u izraz za v0 cos α

1 g x 2 (t ) a to je jednadžba putanje (parabola). 2 2 2 v0 cos α

y(t) dobivamo y (t ) = x(t ) tgα −

I. 3. Količina gibanja Drugi Newtonov zakon

G JG ma = F

JJG JJG JJG G ∆v vk − v p = imamo možemo zapisati i u malo drugačijem obliku. Rabeći a = t t ∆ ∆ JJG JJG G mvk − mv p JG ma = =F ∆t Veličina

G JG mv = p

tj. umnožak mase tijela i njegove brzine ima važna svojstva. Naziva se količina gibanja (ili katkada impuls) tijela. Jedinicu količine gibanja dobivamo iz definicije:

[ p ] = [ m][v ] = kg

m ≡ Ns s

II Newtonov zakon sada ima oblik

JJG JJG pk − p p

JG JG JG = F ili F ⋅ ∆t = ∆ p .

∆t G JG Izraz I = F ⋅ ∆t se zove impuls sile i jednak je umnošku sile i vremena djelovanja sile. [ I ] = [ F ] ⋅ [ ∆t ] = Ns

JG Impuls sile jednak je promjeni količine gibanja ∆ p .

a) Zakon očuvanja količine gibanja Neka imamo zatvoreni sistem tijela, vanjske sile neka ne djeluju, ili je njihov zbroj nula za svako tijelo sustava. Neka između tijela sustava djeluju sile međudjelovanja, koje zadovoljavaju treći Newtonov JJJG JJG zakon F21 = − F12 (radi jednostavnosti dvije biljarske kuglice):

JJG JG p1 = m1 v1 JJG JJG p2 = m2 v2 JJG JG p1′ = m1 v1′ JJG JJG p2′ = m2 v2′

JJG

JJG JJG

JJG

JJG JJG

→ pu = p1 + p2

′ ′ →kuglica pu′ = psu 1 + p2 Promjene količina gibanja

JG JJG JG ∆ p1 = p1′ − p1 JG JJG JG ∆ p 2 = p2′ − p 2

Ako su čestice za vrijeme sudara međudjelovale vremenski interval ∆t, tada iz III N. Z. ⇒

JJG JG JJG JG JG JG JJG JJG F 21 ⋅ ∆t = − F 12 ⋅ ∆t odnosno ∆ p2 = −∆ p1 . To znači da vrijedi p2′ − p 2 = −( p′1 − p1 ) JG JJG JG JJG odnosno m1 v1 + m2 v2 = m1 v1' + m2 v2' . To je zakon očuvanja količine gibanja (ZOKG)

ZOKG: Ukupna količina gibanja zatvorenog sustava je konstanta u vremenu.

20 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Ako se nakon sudara tijela gibaju zajedno → apsolutno neelastični sudar. JG JJG JJG ZOKG: m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v12

JG JJG JJG m v + m v 2 2 v12 = 1 1 m1 + m2

Dio mehaničke energije (kinetičke) se pretvori u unutrašnju energiju. Ukoliko je mehanička energija očuvana → apsolutno elastični sudar

JG JJG JG JJG m1 v1 + m2 v2 = m1 v1′ + m2 v2′

Nakon sudara tijela se ne gibaju zajedno.

I. 4. Rad. Snaga. Energija a) rad sile JG Kažemo da sila F vrši rad ako se pod njenim djelovanjem tijelo

G

pomakne za s . Izvršeni rad sile definiramo kao umnožak komponentne sile u smjeru pomaka i veličine tog pomaka. W = F& ⋅ s ili W = F ⋅ s ⋅ cos α ili kao skalarni produkt

JG G W = F ⋅s

Pretpostavljamo da je sila konstantna i po veličini i po smjeru na čitavom pomaku. Jedinica za mjerenje [W ] = [ F ] ⋅ [ s ] = Nm ≡ J džul

JJG

G

Rad je pozitivan kad je F& istog smjera kao i s , tj. W > 0 kad je α < 90°

JJG

G

Rad je negativan kad je F& suprotnog smjera od s , tj W < 0 kad je 90° < α < 270° Rad je jednak nuli, W = 0 za 1° s = 0 – nema pomaka 2° F& = 0 – tj. sila okomita na pomak. Sila F⊥ nikada ne vrši rad. Grafičko računanje rada: Površina ispod F-s dijagrama brojčano odgovara izvršenom radu. Ako je sila konstantna tijekom gibanja onda je situacija prikazana na crtežu:

Za elastičnu silu Fe = k ⋅ x (uočiti da sila nije konstantna tijekom gibanja) rad je

brojčano jednak površini trokuta (crtež): 1 1 Fe ⋅ x = kx ⋅ x 2 2 1 W = k ⋅ x2 2

W=

21 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Općenito: Ako se sila mijenja (crtež) tada uzimamo male pomake ∆s1

na kojima možemo silu F∆s1 smatrati konstantom. Računamo mali doprinos rada ∆W1 = F∆s1 ⋅ ∆s1 a ukupan rad dobijemo zbrajanjem ovih malih doprinosa rada W = ∆W1 + ∆W2 + ... Korisnost uređaja, η

WU - uloženi rad WK - korisni (dobiveni) rad W P Tada je η = K = K . Uvijek je 0 ≤ < η < 1. WU PU b) snaga Ako sila F djelujući na tijelo tijekom intervala vremena ∆t, izvrši nad njim rad ∆W, tada definiramo srednju snagu te sile

P= P =

∆W JG G = F ⋅v ∆t

Snaga je omjer izvršenog rada ∆W i vremenskog intervala ∆t za koji je dani rad izvršen.

[ P] =

[ ∆W ] = 1 J [ ∆t ] s

≡ 1W

Ako ∆t→0 tada dobivamo trenutnu snagu P tj. to je granična vrijednost omjera

JG G

∆W kada ∆t

∆t→0! Dobivamo P = F ⋅ v gdje je v trenutna brzina. c) mehanički oblici energije ˝Zaliha˝ rada kojeg tijelo može izvršiti mijenjajući svoje stanje naziva se energijom. c1) energija gibanja (kinetička energija) Posjeduje ju tijelo koje se giba. Ovisi o: - masi Ek ~ m 1 2

⇒ Ek =

mv

2 - brzini Ek ~ v 2 Pogledajmo tijelo mase m, koje leži na horizontalnoj podlozi i miruje. Neka na njega počne djelovati konstantna sila F u horizontalnom smjeru ( Ftr - zanemarujemo). Nakon što tijelo prevali put s ono ima brzinu v (jednoliko ubr. gib.). Sila F je izvršila rad W = F ⋅ s = ma ⋅

v 1 2 = mv 2a 2

Ako tijelo koje se giba brzinom v ima kinetičku energiju

Ek = W =

1 2 mv 2

Naputak:

Kada se kaže “zaliha” rada onda se ne misli da je rad pohranjen u tijelu tj. ne misli se da tijelo ima rad. Rad nije funkcija stanja tijela (vidjeti poglavlje o toplini). To znači da tijelo ne sadrži rad u sebi. Također, količina topline i toplinski kapacitet tijela nisu funkcije stanja tijela. U drugu ruku, obujam, broj čestica, unutarnja energija su funkcije stanja tijela (dakle, te veličine tijelo sadrži u sebi). Rad se pojavljuje pri međudjelovanju dvaju ili više tijela. U tom procesu se mijenjaju energije tih tijela. Analogna tvrdnja vrijedi za količinu topline i toplinski kapacitet tijela.

22 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

c2) Energija položaja u homogenom gravitacionom polju

- Gravitaciona potencijalna energija, E pg Posjeduje ju tijelo koje se nalazi u gravitacionom polju. Ovisi o: - masi E pg ~ m

E pg ~ h

-

visini

-

jakosti gravitacionog polja E pg ~ g

E pg = mgh Razina (referentno tijelo) od koje se mjeri visina može se proizvoljno odabrati, jer je u svim fizikalnim pojavama važna ne sama potencijalna energija E pg , već njena promjena ∆E pg kojom se određuje izvršeni rad. Dakle, E pg ovisi otkuda mjerimo visinu a ∆E pg ne ovisi o tome. Neka tijelo mase m podižemo s površine Zemlje jednoliko malom brzinom (pa Ek možemo zanemariti). Znači tijelo podižemo silom F = Fg . Rad te sile na putu h jednak je W = F ⋅ h = m g h. Ako tijelo ispustimo s te visine tako da ono padne na površinu Zemlje, ono može izvršiti upravo toliki rad, tj. u stanju na visini h ima ˝zalihu˝ rada mgh tj.

E pg = mgh c3) potencijalna elastična energija, E pe

To je energija pohranjena u deformiranom tijelu. U slučaju elastične opruge ovisi o: - deformaciji E pe ~ x 2 -

konstanti elastičnosti E pe ~ k

Da bismo oprugu rastegli (ili stisnuli) za x, moramo izvršiti rad nad njom jednak W =

1 2 kx 2

Kad se opruga vraća u nerastegnuto stanje, može upravo toliki rad izvršiti, tj u stanju protegnuća x ima ˝zalihu˝ rada, tj. elastičnu potencijalnu energiju

E pe =

1 2 kx 2

d) Zakon očuvanja mehaničke energije (Emeh = Ek + Epg + Epe) Gledamo tijelo mase m koje slobodno pada s visine H (otpor zraka zanemarujemo). U stanju 1 tijelo ima ukupnu mehaničku energiju Eu1 = Ek1 + E pg1 = 0 + mgH = mgH ;

u stanju 2

Eu 2 =

mv22 m + mgh = 2h1 g + mgh = mg (h1 + h) = mgH ; 2 2

u stanju 3

mv32 m Eu 3 = + 0 = 2 gH = mgH . 2 2 Dakle, tijelo ima jednaku energiju u stanjima 1, 2 i 3 a također i u svim ostalim međustanjima koja nismo naveli. Kažemo da je mehanička energija očuvana

Eu1 = Eu 2 = Eu 3 = mgH = konst.

23 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Općenito, u zatvorenom sustavu (u kojem nema sila trenja i sila otpora (disipativnih sila)) je zbroj svih oblika mehaničke energije konstantan tijekom vremena, tj.

Ek 1 + E pg1 + E pe1 = Ek 2 + E pg 2 + E pe 2 ili

Ek + E pg + E pe = konst. ZOME! Energija može mijenjati oblik, ali se ne može niti stvoriti, niti uništiti! Ukoliko u sustavu postoje sile trenja tada mehanička energija nije očuvana. Tada je Ek 2 < Ek 1 tj. sila trenja je potrošila dio mehaničke energije Wtr = Ek 1 − Ek 2 = ∆Emeh . Mehanička energija prelazi u unutrašnju energiju tijela. Opći zakon očuvanja energije: ukupna količina energije svih oblika, uključujuči i mehaničku i sve oblike unutarnje energije, ostaje čitavo vrijeme konstantnom. (E1 = E2 + W)

I. 5. Dinamika kružnog gibanja v vektor obodne R G JG JJG brzine v mijenja smjer. Dakle, modul obodne brzine je konstantan v1 = v2 = v ali je v1 ≠ v2 . Pri jednolikom gibanju po kružnici (konstantnom) kutnom brzinom ω =

G G G G G ∆v G vremena ∆t = t2 − t1 postoji akceleracija a = . Akceleracija a ima smjer jednak smjeru ∆t G promjene obodne brzine ∆ v . G G G Kad ∆t → 0, tada ϕ → 0, tj. ϕ1 →90° i ∆ v ⊥ v (crtež). Dakle, vektor ∆ v Znači, zbog promjene smjera obodne brzine ∆ v = v 2 − v1 tijekom odgovarajućeg intervala

G je okomit na vektor v1 i u smjeru je prema središtu rotacije. Znači

G

ubrzanje a također je u smjeru prema središtu rotacije i zove se centripetalno ubrzanje. Pitanje je koliki je modul centripetalnog ubrzanja. Može se pokazati da je acp =

v2 . R

Izraz za centripetalno ubrzanje se može zapisati na više međusobno ekvivalentnih načina: Rabeći izraz za obodnu brzinu v = ω R imamo acp = ω 2 R . Slično, rabeći izraz za obodnu brzinu v = acp =

2R π gdje je T period rotacije imamo T

4π 2 R. T2

Centripetalno ubrzanje se pojavljuje kod svih gibanja kojima putanja (trajektorija) nije pravac. To je istina zato jer zakrivljene dijelove putanje možemo shvatiti kao kružne lukove na kojima (kao i kod gibanja po kružnici) imamo centripetalno ubrzanje. U vezi sa centripetalnim ubrzanjem uvodi se pojam centripetalne sile Fcp = m acp kojega valja ispravno razumjeti. Centripetalna sila nije neka posebna sila nego je to način djelovanja jednog ili više tijela na uočeno tijelo mase m pri čemu to međudjelovanje dovodi do gibanja uočenog tijela po kružnom luku (ili kružnici). Znači, različite sile mogu igrati ulogu centripetalne sile (gravitacijska sila, sila trenja klizanja, Coulombova sila, magnetski dio Lorentzove sile ...) Navedimo sada različite međusobno ekvivalentne izraze za centripetalnu silu.

Fcp = macp =

mv 2 mv 2 4π 2 m tj. Fcp = ili Fcp = mω 2 R ili Fcp = R. T2 R R

24 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Ulogu centripetalne sile može igrati npr. gravitaciona sila (gibanje m v 2 γ mZ M S Zemlje oko Sunca). Znači imamo Z = . R R2 Slično, u Bohrovom modelu atoma vodika ulogu m v 2 kq q centripetalne sile igra Coulombova sila. Dakle, vrijedi e = e 2 p . R R

Sila trenja (automobil mase m u zavoju polumjera R). Vrijedi

mv 2 = µmg R

ako je podloga horizontalna.

Ulogu centripetalne sile može igrati i rezultanta FR dvije ili više sila.

Npr. tijelo obješeno o nit koje se vrti u horizontalnoj ravnini. FN - sila napetosti niti i Fg - sila teža na tijelo Rezultanta tih sila je FR = Fg2 + FN2 + 2 Fg FN cos ε i vrijedi

FR = Fcp . Ali nema straha od zaguljenih formula! Neka je β kut između sila FN i FR. Vrijedi Fg ctg β = Fcp.

G

Ako se tijelo giba ubrzano po kružnici tada vektor ubrzanja a ne gleda prema središtu. Rastavljamo ga tada na:

v2 R

-

radijalnu komponentu ar =

-

tangencijalnu komponentu uzrokovanu promjenom iznosa obodne brzine at =

∆v ∆ω =R = Rα tj. ∆t ∆t

at = Rα gdje je α kutno ubrzanje tijela.

I. 6. Inercijalni i neinercijalni sistemi referencije a) inercijalni sustav referencije – sustav referencije u kojem vrijedi zakon inercije (I N. Z.) Newtonovi zakoni vrijede samo u inercijalnim referentnim sustavima. Prvi Newtonov zakon upravo postulira postojanje takavog sustava. Svi ostali referentni sustavi koji se jednoliko gibaju po pravcu u odnosu na taj sustav su također inercijalni referentni sustavi. Npr. uzmemo da je površina Zemlje približno inercijalni sustav. Tada je tramvaj koji se jednoliko giba na ravnoj pruzi također inercijalan sustav. Slično, avion pri pravocrtnom jednolikom gibanju, automobil pri jednolikom pravoctnom gibanju po Klaićevoj ulici, muha pri jednolikom pravocrtnom letu su inercijalni sustavi. Međutim, gumeni čep koji se jednoliko giba po kružnici nije inercijalan sustav! → Istu fizikalnu pojavu mogu opisivati dva različita promatrača iz dvaju različitih JG inercijalnih sustava koji se međusobno gibaju relativnom brzinom V . Npr. – promatrač u sistemu “zemlja” - miruje

JG

– promatrač u sistemu “tramvaj” - giba se u odnosu na “zemlju” po pravcu brzinom V pojava - gibanje putnika u tramvaju iz položaja 1 u položaj 2.

25 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

JG R - pomak sistema “tramvaj” u odnosu na sistem “zemlja” za ∆t JG rT - pomak putnika u sistemu “tramvaj” za ∆t JJG rZ - pomak putnika u sistemu “zemlja” za ∆t JJG JG JG Rabeći crtež nalazimo vezu između pomaka: rZ = R + rT - relativne veličine Uzmimo radi jednostavnosti da je putnik materijalna točka te da se giba u smjeru relativne JG JG brzine V . Uzmimo također os x tako da se ona podudara sa smjerom vektora V . Slijedi xZ = X + xT ; yZ = yT ; zZ = zT ; tZ = tT . Obzirom da je X = VtT slijedi

xZ = xT + VtT yZ = yT zZ = zT

Dobiveni izrazi zovu se Galilejeve transformacije.

tZ = tT Prema pretpostavci vrijeme je u klasičnoj fizici apsolutno tj. neovisno o promatraču. Znači, vrijeme jednako teče za promatrača u inercijalnom sustavu «Zemlja» kao i u inercijalnom referentnom sustavu «tramvaj». Ako vrijeme jednako teče u svim inercijalnim sustavima onda su i vremenski intervali jedne te iste pojave međusobno jednaki u tim sustavima ∆tZ = ∆tT ≡ ∆t . U klasičnoj (Newtonovoj) fizici se uzima da je brzina prenošenja međudjelovanja između dvaju tijela neizmjerno velika. Što to znači? Pogledajmo dva tijela koja miruju na nekoj udaljenosti. Neka tijela međudjeluju gravitacijskom (ili električnom) silom. Pretpostavimo da se jedno od tih tijela približi (ili udalji) od drugog tijela. Koliko treba vremena da drugo tijelo «osjeti» pomicanje prvog tijela? Ako se gravitacijsko (ili električno) međudjelovanje prenosi konačnom brzinom onda je za to potrebno neko konačno vrijeme. U klasičnoj fizici uzimamo da drugo tijelo «osjeti» promjenu međudjelovanja istodobno s pomicanjem prvog tijela! Dakle, brzina prenošenja međudjelovanja između tijela je neizmjerno velika. Kako su povezane brzine putnika izmjerene u različitim sistemima? JG JJG r vT = T - brzina putnika izmjerena u sistemu “tramvaj” ∆tT JJG JJG r vz = Z - brzina putnika izmjerena u sistemu “zemlja” ∆tZ JG JG R V= - brzina “tramvaja” u sistemu “zemlja” ∆tZ JJG JG JG JJG JG JJG rZ rT R = + → tj. vz = V + vT - relativne veličine ∆tZ ∆tZ ∆tT Ako se putnik giba jednoliko ubrzano JJG JJG ∆v aZ = z - ubrzanje u sistemu zemlja ∆t z JJG JJG ∆v aT = T - ubrzanje izmjereno u tramvaju ∆tT

26 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

JJG G JJG JJG JJG G iz vz = V + vT slijedi ∆ vz = ∆V + ∆ vT .

G

No, tramvaj se giba jednoliko po pravcu → ∆V = 0 JJG JJG JJG JJG JJG JJG ∆ vZ ∆ vT = a to povlači aZ = aT . - apsolutne veličine Rabeći ∆ vZ = ∆ vT dobivamo ∆tZ ∆tT Valja uočiti da su relativne veličine one koje su međusobno povezane Galilejevim transformacijama (vektori položaja, brzine). Apsolutne veličine ne ovise o izboru inercijalnog sustava (ubrzanje, vrijeme). Jednadžbe gibanja, tj. II N.Z. imat će isti oblik u svim inercijalnim sistemima referencije

JJG mZ aZ = FZ JJG mT aT = FT

Sile međudjelovanja u oba inercijalna sustava su iste. b) neinercijalni sistem referencije - sistem referencije koji se giba ubrzano u odnosu na referentno tijelo. Npr. “tramvaj” pri polasku sa stanice ili dolasku na stanicu, “automobil” u zavoju, “Zemlja” pri gibanju oko Sunca. Radi jednostavnosti promatrat ćemo pravocrtno gibanje sustava. Sistem “tramvaj” i “sistem zemlja”. Promatramo uteg obješen o nit u “tramvaju”. Inercijalni sustavi PZ - uteg se za njega giba jednoliko po pravcu

JG

brzinom V . Kako to objašnjava? Djeluju sile

JJG JJG Fg - sila teža i FN - napetost niti. Sile leže na istoj vertikali i njihov zbroj jednak je nuli. JJG JJG G JG Fg + FN = 0 ⇒ V = konst.

JJG JJG PT - uteg za njega miruje. Djeluju sile Fg i FN , njihov zbroj je jednak nuli – uteg miruje. Inercijalni i neinercijalni sustavi PZ - (inercijalni promatrač) - za njega se uteg giba

JJG

JJG

jednoliko ubrzano po pravcu. Djeluju sile Fg i FN koje više ne leže na istom pravcu. Rezultanta tih sila je različita od nule a to znači da se uteg giba jednoliko ubrzano: JJG G JJG FR ≠ 0 → ma = FR .

PT - (neinercijalni promatrač) – za njega uteg miruje. JJG JJG JJG On zapaža sile međudjelovanja Fg i FN čija je rezultanta FR ≠ 0 , tj. ne vrijedi I Newtonov zakon. Dakle, uteg mase m miruje a ukupna sila na njega je različita od nule?! To se protivi II N. Z. Da li odbaciti Newtonove zakone ili modificirati pojam sile? Rješenje: promatrač u neinercijalnom sustavu uvodi novi tip sile – virtualnu silu tj. JJG G inercijalnu silu Fi = − ma . Inercijalna sila je po veličini (modulu) jednaka umnošku mase tijela i ubrzanja sustava Fi = ma , a po smjeru suprotna od smjera ubrzanja sustava. JJG JJG JJG JJG G Zbroj inercijalne sile Fi i rezultante FR je jednak nuli Fi + FR = 0 . Sada smo ponovo

JJG

uspostavili valjanost I N. Z., a također i II N. Z. Valja uočiti da sila Fg opisuje međudje-

JJG

lovanje utega i Zemlje. Slično, sila FN opisuje međudjelovanje utega i niti. Koje tijelo djeluje JJG na uteg inercijalnom silom Fi ? Nema takvog tijela. To znači da inercijalna sila nema protusilu. Time je narušen III N. Z. On ne vrijedi u neinercijalnom referentnom sustavu.

27 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Ako se promatrač nalazi u rotirajućem sustavu (jednoliko kruženje) tada će on osim sile JJG Fe (elastične sile rastegnute opruge) morati uvesti

JJG

inercijalnu silu Fi koju često nazivamo

JJJG

centrifugalnom silom Fcf , a trebalo bi preciznije

JJJG

centrifugalna inercijalna sila Fcfi . Vrijedi

Fcfi =

mv 2 i usmjerena je od središta vrtnje. R

Uvodi ju samo promatrač koji rotira zajedno s tijelom PR (neinercijalan sustav). Za promatrača na Zemlji PZ (koji je u inercijalnom sustavu) centrifugalna inercijalna

JJJG

sila Fcfi ne postoji!

I. 7. Opći zakon gravitacije a) Keplerovi zakoni

1° Planeti se oko Sunca gibaju po elipsama. U jednom od žarišta je Sunce.

2° U jednakim vremenskim intervalima spojnica Sunca i planeta prebriše jednake površine. 3° Za svaki planet je omjer kvadrata ophodnog vremena T i kuba njegove srednje udaljenosti od Sunca R jednak konstanti: 2 4π 2 T2 −19 s 2.97 10 = konst . Vrijednost konstante se može izračunati: konst = = ⋅ . γ MS R3 m3 Za sve planete je ovisnost njihova ubrzanja ap o udaljenosti od Sunca r sljedećeg oblika:

ap = γ

MS r2

Na planet djeluje gravitaciona sila

Fp = ma p = γ

mp M S r2

, γ - gravitacijska konstanta

Newton uz pretpostavku postojanja sile ovakve vrste između Zemlje i Mjeseca uspjeva objasniti gibanje Mjeseca oko Zemlje. Newton generalizira: 2222222 Bilo koja dva tijela masa m1 , odnosno m2 na razmaku r (dimenzije tjela su zanemarive u odnosu na taj razmak tj. smatramo ih materijalnim točkama ili kuglama) se međusobno privlače gravitacionom silom

F =γ

m1m2 r2

- opći zakon gravitacije

γ je gravitacijska konstanta i dobivena je mjerenjem. Držimo da je svagdje u svemiru vrijednost gravitacijske konstante jedna te ista:

γ = 6.67 ⋅10−11

Nm 2 kg 2

Gravitaciona sila je proporcionalna umnošku masa tijela i obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između tih tijela.

28 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

b) gravitaciono polje To je prostor oko masivnog tijela M, u kome se osjeća gravitaciono djelovanje tog tijela. Za opisivanje polja uvodimo nekoliko veličina:

JG

b1) jakost gravitacionog polja, g m - probna masa JG F - sila s kojom u datoj točki na probnu masu m djeluje tijelo mase M

JG JG F g= - jakost gravitacionog polja u datoj točki (u kojoj se m

nalazi probna masa). Ovisi samo o položaju točke i o tijelu koje stvara polje M. Karakteristika točke polja

[g] =

[F ] = N = m [ m] kg s 2

- to je ubrzanje (dakle, jakost gravitacijskog polja u nekoj točki prostora

valja shvatiti kao ubrzanje koje će materijalna točka doživjeti u toj točki polja!) Ukoliko je tijelo M – sferno (dakle kugla) ili točkasto onda je grav. sila jednaka F = γ jakost grav. polja jednaka je g = γ

mM ,a r2

M . r2

b2) gravitacioni potencijal ϕ Dovodimo iz ∞ probnu masu m u točku 1 u gravitacijskom polju tijela M. Pritom gravitaciona sila izvrši rad W∞1 (naime tijelo M privlači probnu masu m), tj. u točki 1 probna masa m raspolaže potencijalnom gravitacionom energijom koja je tim veća što je veća masa m. Vrijedi E pg ~ m . Relacijom

ϕ1 =

E pg1 m

se definira gravitacijski potencijal tijela M u točki u kojoj se nalazi probna masa m.

točki potencijala jednaka je Jkg–1: Jedinica gravitacijskog

[ϕ ] =

[E] = J . [ m] kg

Potencijalna

gravitacijska energija proizvoljnog tijela mase m u gravitacijskom potencijalu ϕ (koji potječe od drugih tijela) jednaka je E pg = ϕ ⋅ m . Gravitacijski potencijal sfernog (ili točkastog) tijela mase M jednak je ϕ (r ) = −γ Potencijalna gravitacijska energija jednaka je E pg (r ) = −γ

M . r

mM gdje smo uzeli da je r

E pg (∞) = 0 (time smo odredili proizvoljnu konstantu u potencijalnoj energiji). Ovaj izraz prelazi u poznati oblik E pg = mgh E pg = mgh koji vrijedi za proizvoljno tijelo mase m na udaljenosti h od površine planete koja ima ubrzanje sile teže jednako g. b3) kozmičke brzine prva: vI To je brzina s kojom treba izbaciti u horizontalnom smjeru tijelo da ono postane satelit datog objekta:

Fg = Fcp → mg =

mvI2 što povlači vI = gR R 29 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

druga: vII To je brzina kojom treba vertikalno izbaciti neko tijelo (s površine planete) pa da ono ode u ∞ , tj. oslobodi se gravitacijskog polja. Izraz za drugu kozmičku brzinu dobijemo iz zakona očuvanja energije (ZOE):

Ek 1 + E pg1 = Ek ∞ + E pg ∞ = 0 mvII2 mM −γ =0 R 2 M vII = 2γ = 2 gR = 2vI R

I. 8. Hidrostatika i hidrodinamika Fluidi: Tekućine: Plinovi:

- tekućine i plinovi - malo stlačive, mogu teći tj. lako mijenjaju oblik - lako mijenjaju obujam i oblik. To su nakupine molekula (atoma) na slučajan način raspoređenih koje se drže na okupu slabim silama.

a) pritisak i tlak JG Silu F koja djeluje na neku površinu veličine A nazivamo silom pritiska ili kratko pritiskom. Tlak definiramo kao skalarnu veličinu p =

∆F⊥ . Ako je okomita komponenta sile konstantna ∆A

na cijeloj površini onda možemo pisati

p=

F⊥ A

Tlak je omjer normalne komponente F⊥ sile koja djeluje na površinu kojoj je ploština A. Jedinica za mjerenje jednaka je 1 Pa:

[ p] =

[F ] = 1 N [ A] m 2

≡ 1Pa , Paskal

Atmosferski tlak 1 atm = 1.013 ⋅105 Pa a1) Pascalov zakon Vanjska sila djeluje na fluid (tekućinu) (površinska sila F) ploština klipa A. Tlak kojeg površinska sila F uzrokuje u točki 1 iznosi

p1 =

F A

Mjerimo li tlakove u preostalim označenim točkama dobivamo p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 - Pascalov zakon Kad djeluju samo površinske sile tlak u svim točkama unutar tekućine je jednak. Drugim riječima, tlak kojeg stvaraju površinske sile prenosi se bez izmjena u svaku točku tekućine. primjena → hidraulični tijesak Da bi sile bile u ravnoteži tlakovi u svim točkama tekućine moraju biti jednaki tj. p1 = p2 što povlači

F1 F2 = . A1 A2

30 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

a2) tekućina pod djelovanjem sile teže – hidrostatski tlak U cilindričnoj posudi baze A imamo mirnu tekućinu gustoće ρ i visine h i konstantne temperature. Tekućina se nalazi u gravitacionom polju jakosti g. Na dno posude će djelovati sila – težina tekućine jednaka sili teži Fg .

Tlak na dno posude uzrokovan težinom tekućine iznosi

mg ρ ⋅ A ⋅ h ⋅ g = i zove se hidrostatski tlak. A A A hidrostatski tlak: ph = ρ gh ph =

Fg

=

ovisi o: - gustoći fluida - jakosti gravitacijskog polja - dubini ispod površine fluida Uzme li se u obzir da na površinu fluida djeluje npr. atmosferski tlak pa , tada je na dubini h ukupan tlak jednak

p = pa + ph = pa + ρ gh

b) Sila uzgona Fu . Arhimedov zakon Kad se čvrsto tijelo uroni u tekućinu sa svih strana tekućina tlači njegovu površinu. Kako je tlak na većoj dubini veći, pojavljuje se rezultantna sila koja djeluje na tijelo suprotno od smjera sile teže tj. uvis. Tu silu nazivamo silom uzgona Fu .

JJG

Radi jednostavnosti pogledajmo silu na vertikalno uronjeni kvadar visine h i baze A. Sile F3 i

JJG JJG JJG JJG JJG F4 jednake su po iznosu, ali su suprotne orijentacije tj. F3 + F4 = 0 . Isto tako F5 + F6 = 0 .

Rezultantna sila (sila uzgona) je

Fu = F2 − F1 = p2 A − p1 A =

= ρ gh2 A − ρ gh1 A = = ρ gA(h2 − h1 ) = ρ gAh Fu = ρ gV - sila uzgona ρ - gustoća fluida g - jakost gravitacionog polja V - volumen istisnutog fluida (ili uronjenog dijela tijela V = A h) Uočimo da je: ρV = m – masa istisnutog fluida Fu = mg - težina istisnutog fluida Arhimedov zakon: Tijelo uronjeno u tekućinu prividno gubi na svojoj težini onoliko koliko teži istisnuta tekućina. plivanje tijela u fluidu: Fu > Fg - tijelo ispliva na površinu

ρ f - gustoća fluida ρt - gustoća tijela ρ f gV > ρt gV ρ f > ρt - uvjet plivanja

31 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

lebdjenje tijela u fluidu: Fu = Fg - tijelo ostaje na datoj dubini

ρ f = ρt - uvjet lebdjenja tonjenje tijela u fluidu: Fu < Fg - tijelo tone

ρ f < ρt - uvjet tonjenja

c) dinamika fluida Promatramo tok idealnog fluida: - pretpostavljamo da nema viskoznosti (unutarnjeg trenja) - tok je stacionaran (laminaran) tj. putanje djelića fluida se ne sijeku - zamišljamo da je fluid konstantne gustoće, tj. ne može se stlačiti c1) jednadžba kontinuiteta (neprekidnosti) Tekućina prolazi laminarno kroz cijev promjenjivog presjeka. Definiramo maseni protok kroz neki presjek kao masa tekućine ∆m koja za vrijeme ∆t prođe kroz poprečni presjek A cijevi na crtežu:

∆m ∆t kg [ qm ] = 1 s qm =

Slično, uvodi se volumni protok kao obujam fluida ∆V koji za vrijeme ∆t prođe kroz poprečni presjek A cjevi na crtežu:

∆V ∆t m3 [ qV ] = 1 s qV =

Veza između tih veličina je oblika qm = ρ qV . Izvod jednadžbe kontinuiteta: Pri stacionarnom toku nestlačivog fluida, za vrijeme ∆t kroz presjek A1 proteče masa

∆m1 = ρ A1 ⋅ v1∆t Ista takva masa mora proći i kroz presjek A2 zbog nestlačivosti

∆m2 = ρ A2 ⋅ v2 ∆t Mora biti ∆m1 = ∆m2 (tekućina ne istječe iz cijevi osim na početku i na kraju cijevi). Slijedi ρ A1 ⋅ v1∆t = ρ A2 ⋅ v2 ∆t Jednadžba kontinuiteta je oblika

A1v1 = A2 v2 ili općenito A ⋅ v = konst.

32 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

To možemo iskazati i preko volumnog protoka

qV =

A ⋅ v∆t = A⋅v ∆t

tj.

qV = konst. Jednadžba kontinuiteta nam kaže da je volumni protok duž cijevi konstantan. c2) Bernoullijeva jednadžba Povezuje tlak unutar fluida s njegovom brzinom i položajem u gravitacionom polju.

p1 - statički tlak s kojim fluid s lijeve strane djeluje na presjek A1 p2 - statički tlak s kojim fluid s desne strane djeluje na presjek A2 Za vrijeme ∆t volumen

∆V1 = A1 ⋅ v1∆t

se premjesti s položaja h1 i brzine v1 na mjesto volumena

∆V2 = A2 ⋅ v2 ∆t = ∆V1 ≡ ∆V na položaju h2 i brzine v2 . Taj premještaj su izvršile sile pritiska, koje su pritom izvršile rad

∆W = p1 A1 ⋅ v1∆t − p2 A2 ⋅ v2 ∆t = = ( p1 − p2 ) ⋅ ∆V Izvršeni rad je rezultirao promjenom kinetičke energije

∆Ek =

1 2 1 2 mv2 − mv1 2 2

m = ρ ⋅∆V i promjenom gravitacijske potencijalne energije

∆E pg = mgh2 − mgh1

33 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Kako je rad sila pritiska jednak promjeni mehaničke energije

∆W = ∆Ek + ∆E pg 1 ⎛1 ⎞ ( p1 − p2 ) ⋅ ∆V = ⎜ ρ v22 − ρ v12 + ρ gh2 − ρ gh1 ⎟ ∆V 2 ⎝2 ⎠ 1 1 1 1 p1 + ρ v12 + ρ gh1 = p2 + ρ v22 + ρ gh2 2 2 2 2 ili

p+

1 2 ρ v + ρ gh = konst. - Bernoullijeva jednadžba 2

Dakle, Bernoullijva jednadžba opisuje činjenicu da je ukupni tlak unutar tekućine koja se giba konstantan duž cijevi.

U tehničkoj hidrodinamici se često primjenjuju sljedeći termini: - p – statički tlak -

1 2 ρ v - dinamički tlak 2 ph = ρ gh - hidrostatski tlak 1 p + pd = p + ρ v 2 - hidrodinamički tlak 2

pd =

Ozbiljni fizičari se obično “mršte” na te termine! Torricellijeva formula istjecanja tekućine U posudi, poprečnog presjeka A1 , imamo idealnu tekućinu do visine h. Kojom brzinom će

tekućina istjecati kroz mali otvor A2 na dnu posude? Kako je

A2 1 A1 iz jednadžbe kontinuiteta slijedi

v1 A2 = ⇒ v1  v2 ≡ v v2 A1 tj. uzimamo da je brzina spuštanja nivoa tekućine u posudi zanemariva. Bernoullijeva jednadžba ⇒

1 1 ρ ⋅ 02 + ρ gh = pa + ρ v 2 + ρ g ⋅ 0 2 2 v = 2 gh - Torricellijeva formula istjecanja

pa +

9. Rotacija krutog tijela a) rotacija krutog tijela oko fiksne osi Kruto tijelo – ne može se deformirati. Udaljenosti između bilo koje dvije čestice tog tijela se ne mijenjaju tokom vremena. Pri rotaciji oko fiksne osi 0 sve čestice imaju jednaku kutnu brzinu ω. i-ta čestica ima pritom kinetičku energiju

mi vi2 2 vi = ω ri Eki =

34 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

1 mi ri 2ω 2 2

Eki =

Ukupna kinetička energija krutog tijela (energija rotacije):

1 1 1 m1r12ω 2 + m2 r22ω 2 + ... + mi ri 2ω 2 + ... 2 2 2 1⎛ ⎞ = ⎜ ∑ mi ri 2 ⎟ ω 2 2⎝ i ⎠

Ekr =

Definiramo moment tromosti (inercije):

I = ∑ mi ri 2 i

To je mjera tromosti tijela u odnosu na rotaciju:

[ I ] = [ m] ⎡⎣v 2 ⎤⎦ = kgm2

Kinetička energija rotacije:

Ekr =

1 2 Iω 2

Momenti tromosti za neka tijela: prsten (cilindrična ljuska)

I CM = MR 2

valjak (cilindar) i disk

I CM =

1 MR 2 2

štap (oko CM)

I CM =

1 ML2 12

štap (oko jednog kraja)

1 I CM = ML2 3 kugla

I CM =

2 MR 2 5

I CM =

2 MR 2 3

sfera

35 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

a1) Steinerov poučak (teorem o paralelnim osima) Usporedimo li momente tromosti tijela za dvije međusobno paralelne osi vrtnje (neka jedna od njih prolazi kroz centar mase CM tijela) koje su na razmaku d, tada vrijedi Steinerov poučak

I 0 = I CM + Md 2

JJG

a2) Moment sile, M moment sile M definiramo kao M=k⋅F gdje je k krak sile (najkraća udaljenost od osi vrtnje do pravca djelovanja sile) F – veličina (modul) sile

[ M ] = [ k ][ F ] = m ⋅ N

Općenita definicija – preko vektorskog produkta

M =r × F G r - radijus vektor spaja os vrtnje s hvatištem sile Modul tog vektora je

M = rF sin ϕ = površina paralelograma ⎫ ⎪ ⎬ ⇒ M = kF k sin ϕ = → r sin ϕ = k ⎪⎭ r

Smjer momenta se određuje pravilom desne ruke: G JG Prstima pokazujemo smjer preklapanja prvog faktora ( r ) na drugi ( F ). Tada palac pokazuje JJG smjer momenta sile M . Uvjet ravnoteže obzirom na rotaciju (vrtnju) tijela:

JJG JJG JJG M1 + M 2 + M3 = 0

tj.

M1 = M 2 + M 3 ili

k1 F1 = k2 F2 + k3 F3 Zbroj svih momenata sila u odnosu na datu os mora biti jednak nuli! Uočimo da je to nužno ali ne i dovoljno da bi tijelo bilo u statičkoj ravnoteži. Tijelo je u statičkoj ravnoteži ako je zasebno zbroj svih sila i zbroj svih momenata tih sila oko neke osi jednak nuli. a3) veza između momenta sile i kutne akceleracije JJG mi - masa i-tog djelića

JJG Fit - tangencijalna komponenta sile koja djeluje na i-ti

djelić tijela Ta komponenta dovodi do tangencijalne akceleracije

JJG Fit = mi ait

Moment te sile u odnosu na centar vrtnje 0 je

⎛ ⎞ M = ∑ M i = ⎜ ∑ mi ri 2 ⎟ ⋅ α i ⎝ i ⎠ tj.

M=I α.

36 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

a4) Rad, snaga i energija rotacionog gibanja

JG G ∆W = F ⋅ ∆ s = ( F ⋅ sin ϕ ) ⋅ ∆s = = ( F ⋅ sin ϕ ) ⋅ r ∆θ = M ∆θ G Rad pri malom pomaku ∆ s , tj. malom zakretu ∆θ jednak je ∆W = M ⋅ ∆θ Trenutna snaga jednaka je

P=

∆W ∆θ =M otkuda slijedi P = M ω. ∆t ∆t

Ukupan rad vanjskih sila jednak je promjeni kinetičke rotacione energije:

Wtr = EKR1 − EKR 2 =

1 2 1 2 Iω1 − Iω 2 2 2

b) kotrljanje i moment količine gibanja Kod kotrljanja tijela, os rotacije više nije fiksirana u prostoru.

vCM =

s R∆θ = = Rω - uvjet čistog kotrljanja ∆t ∆t

Kotrljanje se može shvatiti kao kombinacija čiste translacije i čiste rotacije. Pogledajmo:

Ukupna kinetička energija valjka, mase M i radijusa R, koji se kotrlja može se zapisati u obliku

EK =

1 I Pω 2 2

I P - moment tromosti valjka s obzirom na trenutnu os vrtnje (oko točke P) I P = I CM + MR 2 1 1 EK = I CM ω 2 + M ( Rω ) 2 2 2 1 1 2 EK = I CM ω 2 + MvCM 2 2 To je zbroj rotacione kinetičke energije oko centra mase

1 I CM ω 2 2 i translacione kinetičke energije centra mase

1 2 MvCM 2

37 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

EME R IP R P

FIZIKA 2 PRIPREMIO

DARIO MIČIĆ

Zagreb, 2006. provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Nakladnik PRIPREME , Zagreb, 1. Ferenščica 45 tel.: (01) 24 50 904, 24 52 809, 091 51 36 794

Skripta služi isključivo za internu uporabu na tečajevima koji , održavaju kao pripreme za se, u okviru PRIPREMA polaganje razredbenog ispita na svim fakultetima na kojima se piše razredbeni test iz fizike. Zabranjeno je kopiranje i prodavanje ovog materijala ili njegovih dijelova.

provided by www.perpetuum-lab.com.hr

II. TOPLINA Temperatura – mjera za stupanj zagrijanosti nekog tijela. Jedinica za temperaturu je kelvin, K. Unutrašnja energija (U) – zbroj kinetičkih i potencijalnih energija svih čestica koje tvore dano tijelo (mjerene u odnosu na sustav referencije u odnosu na koji tijelo miruje). N

U = ∑ ( Eki + E pi ) i =1

Količina topline (Q) – Dio unutrašnje energije koji prelazi s jednog tijela na drugo tijelo.

1. TERMIČKO RASTEZANJE Promjene dimenzija tijela uzrokovane promjenom temperature tijela.

a) Linearno rastezanje Štap (metalni) duljine l0 na temperaturi t0 . Produljenje zbog promjene temperature je ∆l = lt − l0 .

Iz pokusa je zaključeno da je: ∆l ~ ∆t = t − t0

∆l ~ l0 ∆l ovisi o vrsti tvari To je obuhvaćeno relacijom

∆l = β ⋅ l0 ⋅ ∆t

gdje je β termički koeficijent linernog rastezanja. Jedinicu za β dobivamo iz relacije

β= Slijedi [ β ] =

∆l 1 ⋅ l0 ∆t

m 1 1 ⋅ = ≡ K −1 = 0C –1 . m K K

Linearno rastezanje računamo iz

lt = l0 (1 + β∆t )

Za metale je β ~10−5 K −1 . Često se uzima

t0 = 0°C →

∆t = t – 0 = t pa je gornja relacija oblika

lt = l0 (1 + β ⋅ t )

b) Volumno rastezanje Zamislimo metalni kvadar stranica a0 , b0 , c0 na temperaturi

Na temperaturi t > t0 kvadar je oblika

t0 .

ct c0

b0

grijanje kvadra

bt

a0

at

Njegov obujam je V0 = a0b0 c0 .

Njegov obujam je Vt = at bt ct .

38 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Pretpostavljamo da se kod grijanja (hlađenja) kvadar jednako rasteže (steže) u svim smjerovima. Tada imamo

Vt = at bt ct = a0b0 c0 (1 + β∆t ) = 3

(

= V0 1 + 3β ⋅ ∆t + 3 ( β∆t ) + ( β∆t ) 2

3

)

Zanemarujemo članove s β 2 i β 3 u odnosu na član s β . Dobivamo

Vt = V0 (1 + 3β ∆t ) Uvodi se oznaka za termički koeficijent volumnog rastezanja α = 3β pa imamo

Vt = V0 (1 + α ∆t ) ili za

t0 = 0°C

Vt = V0 (1 + α t ) .

2. IZMJENA TOPLINE. AGREGATNA STANJA a) Izmjena topline Dva tijela na različitim temperaturama izmjenjuju toplinu: - vođenjem (žlica u čaju) - konvekcijom (zagrijavanje zraka u sobi radijatorima) - zračenjem (sunčanje) Toplina s tijela više temperature t1 prelazi na tijelo niže temperature t2 dok ne nastupi termodinamička ravnoteža. U termodinamičkoj ravnoteži tijela imaju međusobno jednaku temperaturu τ.

Količina topline (Q) koju neko tijelo može predati (ili primiti) ovisi o masi tijela (m), razlici početne i konačne temperature (∆t) i vrsti tijela. Vrstu tijela opisujemo specifičnim toplinskim kapacitetom (c). To se može zapisati u obliku Q∼m ∼ ∆t = t – τ ∼c odnosno Q = m c ∆t. Pogledajmo gornji crtež:

Q1 = m1c1∆t1 je količina topline koju predaje prvo tijelo Q2 = m2 c2 ∆t2 je količina topline koju primi drugo tijelo U zatvorenom sustavu (idealnom kalorimetru) je energija očuvana: Q1 = Q2 to jest (Richmanovo pravilo smjese) m1c1 (t1 −τ ) = m2 c2 (τ − t2 ) . Q . Jedinicu za specifični toplinski kapacitet dobivamo iz c = m ⋅ ∆t J Slijedi [ c ] = 1 . kgK 39 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

b) Promjena agregatnih stanja

Čvrsto stanje: - amorfno – neuređen raspored atoma - kristalno – uređen raspored atoma Za kristale je karakteristično da prelaze u tekuće stanje pri određenoj temperaturi – temperatura tališta.

Npr. komad leda početne temperature –50C se zagrijava:

Kad se led zagrije do 0°C, primio je količinu topline

QL = mL cL ( 0°C − t L )

Ako se toplina i dalje dovodi led se počne taliti → temperatura ostaje ista 0°C – istodobno postoje i led i voda. Da bi se sav led pretvorio u vodu treba dovesti količinu topline (latentna toplina taljenja) QL ,talj = mL ⋅ λ Ta energija se trošila na kidanje veza između molekula leda

λ=

QL , talj

(specifična toplina taljenja),

mL

Jedinica za specifičnu toplinu taljenja je [ λ ] = 1

J . kg

Ako se toplina i dalje dovodi, nastala voda se zagrijava do 100°C. Primljena toplina je QV = mV cV (100°C − 0°C ) . Uz daljnje dovođenje topline, voda počinje isparavati → temperatura se ne mijenja (1000C) – istodobno postoji i voda i para. Da bi se sva voda pretvorila u vodenu paru treba dovesti količinu topline

QV , isp = mV ⋅ r

(latentna toplina isparavanja)

r – specifična toplina isparavanja vode. Ako se toplina dovodi i nakon što je sva voda isparila, vodena para se počinje zagrijavati QP = mP cP ( t P − 100°C ) . 40 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Ukupna količina topline dovedena tijekom ovog procesa je Qi → f = QL + QL , talj + QV + QV , isp + QP gdje i → f označava proces prijelaza iz početnog stanja (i, led) u konačno stanje (f, para).

3. PONAŠANJE IDEALNIH PLINOVA. PLINSKI ZAKONI Na makroskopskoj skali plinovi:

- lako mijenjaju obujam - ispunjavaju čitavu posudu

Na mikroskopskoj skali:

- čestice plina su slabo međusobno vezane - gibaju se kaotično

Stanje plina određujemo makroskopskim parametrima: - masom, m (ili brojem čestica, N) - tlakom, p - temperaturom, t (T) - obujmom, V Za datu količinu plina (m = konst.) ostali parametri su međusobno povezani relacijom

f (p, V, t) = 0

(jednadžba stanja plina)

a) Izobarni (Gay-Lussacov) zakon: p = konst. Pokusom je utvrđeno: Zagrijavamo li plin, da bi tlak ostao nepromijenjen moramo povećati volumen. Nadalje, iz pokusa slijedi ∆V ∼ ∆t ∆V ∼ V1 što se može obuhvatiti relacijom

∆V = α V1 ∆t 1 . Valja uočiti da je α konstantan za 273.15°C sve idealne plinove. Obzirom da je ∆V = V2 − V1 i ∆t = t2 − t1 , možemo pisati

gdje je temperaturni koeficijent širenja plina α =

V2 = V1 (1 + α ∆t ) .

Često se uzima t1 = 0°C → ∆t = t2 – 0 = t2 pa je gornja relacija oblika V2 = V1 (1 + α t2 )

ili za proizvoljnu temperaturu t

Vt = V1 (1 + α t ) Vidimo da je V linearna funkcija temperature. Grafički prikaz te ovisnosti dat je na crtežu:

V V1

Na t = – 273,15°C volumen idealnog plina iščezava: V-273.15 = 0.

,

V1 -273.15 0

t,C 0

–273,15°C se uzima za ishodište apsolutne skale temperature (Kelvinova skala). Dakle, veza između Kelvinove i Celzijusove skale temperature je oblika T(K) = t(°C) + 273,15.

41 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Pri prijelazu na Kelvinovu skalu izraz V2 = V1 (1 + α t2 ) poprima oblik

V2 V1 V V = = konst → 1 = 2 . T2 273,15 T1 T2 Navedenu ovisnost nazivamo izobarnim zakonom (Gay – Lussacov zakon) a možemo ga zapisati u obliku

V = konst , p = konst. T Grafički prikazi u (V, T), (V, p) i (T, p) ravnini su dati na crtežima:

V

V,T dijagram

V

V,p dijagram

izobara T

0

izobara p

0

T

T,p dijagram

izohora 0

p

b) Izohorni (Charlesov) zakon: V = konst. (izovolumni) Pokusom je utvrđeno: ∆p ∼ ∆t ∆p ∼ p1

To se može obuhvatiti relacijom p2 = p1 (1 + α ∆t ) , (Charlesov zakon) odnosno ako je t1 = 0°C ta relacija poprima oblik p2 = p1 (1 + α t2 ) . U skali apsolutne temperature taj zakon poprima oblik (Charlesov zakon)

p1 p2 ili = T1 T2 p = konst. ili T

p

p,T dijagram

izohora

p = konst⋅T

0

T

p

p,V dijagram

0

izohora V

T T,V dijagram

izobara 0

V

c) Izotermni (Boyle-Mariotteov) zakon: T = konst. Pokusom je utvrđeno: p∼

1 V

tj. obrnuta proporcionalnost tlaka i volumena što se može zapisati u obliku

p1V1 = p2V2 odnosno p V = konst.

d) Jednadžba stanja idealnog plina Ukoliko se sve tri veličine stanja plina p, V, T mijenjaju istodobno (uz konstantnu masu plina, m), kombinacijom gornjih zakona može se pokazati da su početne i konačne vrijednosti tih veličina međusobno povezane p1V1 p2V2 relacijom: , m = konst = T1 T2 imamo jednadžbu stanja plina: 42 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Ta relacija se može zapisati kraće (jednadžba stanja plina) pV = konst. T Konstanta na desnoj strani ovisi o broju čestica plina N pa je možemo napisati u obliku: konst = k B ⋅ N J gdje je k B = 1,38 ⋅ 10−23 Boltzmannova konstanta. Dakle, jednadžbu stanja plina možemo K zapisati i u obliku pV = N k B T Definira se količina tvari (množina tvari) relacijom

n=

N m V = = N A M VM

gdje je N A = 6, 023 ⋅1023 mol −1 Avogadrov broj, M molarna masa i VM molarni volumen. Jedinica količine tvari je [n] = 1 mol (osnovna jedinica SI sustava jedinica). Rabeći tu definiciju jednadžba stanja plina se može napisati u obliku: pV = n k B N A T.

Uvodi se univerzalna plinska konstanta R = k B N A = 8,314

J pa se jednadžba stanja Kmol

zapisuje u obliku pV = n R T

ili pV =

m RT . M

Gustoću plina m V možemo (rabeći jednadžbu stanja plina) zapisati u obliku

ρ=

ρ=

pM . RT

e) Daltonov zakon parcijalnih tlakova Ako u nekoj posudi imamo smjesu idealnih plinova (koji kemijski ne reagiraju) tada je ukupni tlak smjese jednak zbroju parcijalnih tlakova komponenata:

pu = p1 + p2 + p3 + ... gdje je pi tlak i – te komponente u posudi kad nema ostalih komponenata (parcijalni tlak i–te komponente). Jednadžba stanja smjese ima oblik pu V = n R T

pri čemu je n pokrata za ukupan broj molova (množine) smjese n = n1 + n2 + n3 + ...

43 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

f) Molekularno-kinetički model idealnog plina 1827. Brown je promatrao gibanje zrnaca peluda u kapljici vode. Ustanovio je da je putanja zrnaca peluda (približno) oblika kao na crtežu. Vidimo da je putanja gibanja zrnca peluda nasumičnog oblika. Kaže se da je gibanje zrnca kaotično. Pitanje je zašto je to tako? Odgovor su dali Einstein i Smoluhovski 1905. Neobičan oblik putanje zrnca peluda uzrokovan je kaotičnim gibanjem molekula vode.

Na sličan način se i pojava difuzije plina kroz neki medij (npr. kroz drugi plin, tekućinu ili krutinu) objašanjava kaotičnim gibanjem molekula plina kroz taj medij. Izvod temeljne jednadžbe molekulsko-kinetičke teorije idealnog plina, p =

Pretpostavke: 1° Čestice plina su materijalne točke mase m1 koje se gibaju kaotično. 2° Međudjelovanje između čestica zanemarujemo. 3° Sudari između čestica (za koje držimo da su rijetki) te sudari čestica sa stijenkama posude su elastični. 4° Broj čestica, N, je ogroman (∼ 1023 ) i čestice se gibaju u skladu s Newtonovim zakonima.

1N m1vs2 3V

a vs

a a

Neka se čestice plina nalaze u kocki stranice a (i obujma V = a3) te neka se gibaju međusobno jednakom prosječnom brzinom kojoj je veličina vs. Zanemarujemo međudjelovanje plina s okolnim tijelima tj. gledamo plin u ravnotežnom stanju kao zatvoreni sustav. Zbog toga je 1 1 1 valjano očekivati da se N molekula giba lijevo-desno, N molekula giba gore-dolje i N 3 3 3 molekula giba naprijed-natrag (zbog ravnopravnosti smjerova u 3D prostoru). Promatramo desnu (iscrtkanu) stjenku (koja ima beskonačnu masu u odnosu na jednu molekulu). Pri sudaru sa stjenkom molekula promjeni količinu gibanja za ∆p = m1vs − ( − m1vs ) = 2m1vs . To se dogodi za vrijeme ∆t

koje možemo nadomjestiti vremenom između dva 2a . uzastopna sudara molekule s istom stjenkom ∆t = vs

m1

vs

m1

vs

Sila s kojom na stjenku djeluje jedna molekula pri sudaru je ∆p 2m1vs m1vs 2 . f1 = = = 2a a ∆t vs Ukupna sila na stjenku kad djeluje

1 N molekula je 3 1 1 mv 2 Fu = Nf1 = N 1 s . 3 3 a

Tlak na stjenku kojeg uzrokuju molekule jednak je

1 m1vs 2 N F 1 1 p = u = 3 2 a = N 3 m1vs 2 3 a S a Obzirom da je obujam kocke V = a 3 slijedi

44 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

p=

1N m1vs 2 . 3V

Dakle, dobili smo da je tlak razmjeran koncentraciji molekula (ukupan broj molekula po N obujmu posude) p ~ . S druge strane, prosječna kinetička energija jedne molekule je V 1 Ek = m1vs 2 pa se izraz za tlak može napisati kao 2 2N p= Ek . 3V To se uobičajeno zapisuje u obliku

pV =

2 NEk 3

što prepoznajemo kao jednadžbu stanja plina. Dakle, time smo izveli jednadžbu stanja idealnog plina. Unutarnja energija idealnog plina kojega čine N molekula koje se translacijski gibaju u posudi volumena V (a koje međusobno ne međudjeluju) jednaka je zbroju svih kinetičkih energija translacije tih molekula U = NEk . Rabeći izraz za unutarnju energiju jednadžba stanja se može zapisati u obliku 2 pV = U 3 Usporedimo li eksperimentalno polučenu relaciju pV = k B NT i teorijski izvedenu jednadžbu 2 NEk zaključujemo da vrijedi 3 3 Ek = k B T . 2 U koordinatama (T, E k ) graf ovisnosti srednje kinetičke energije molekule o apsolutnoj temperaturi idealnog plina je pravac koji prolazi kroz ishodište sustava:

stanja plina pV =

Srednja kinetička energija molekula idealnog plina ovisi samo o temperaturi (a ne o vrsti čestica). Ova relacija omogućuje definiciju temperature. Temperatura je mjera srednje kinetičke energije molekula. Primjetimo da se unutarnja energija idealnog plina može zapisati na sljedeće načine:

U = NEk =

3 3 k B NT = nRT . 2 2

Obzirom da je masa plina jednaka zbroju masa pojednih molekula m = N ⋅ m1 , relacija za tlak p=

1N m1vs 2 se može zapisati preko gustoće plina 3V 1m 2 1 p= vs = ρ vs 2 . 3V 3

45 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

4. TERMODINAMIKA Mnoštvo je termodinamičkih sustava: ljudsko tijelo, nogometna lopta, zvijezda, njiva, čaša u kojoj se nalazi voda ili čaša u kojoj se nalazi zrak (za koju pogrešno kažemo da je prazna), ... Radi jednostavnosti ograničavamo se na plinove male gustoće. Stanje takvog plina u (p, V) koordinatama prikazujemo jednom točkom. To znači da je plin opisan datom vrijednošću tlaka kada se nalazi u posudi datog obujma u termodinamičkoj ravnoteži. Kažemo da su tlak i obujam veličine stanja plina. Slično su temperatura i količina plina veličine stanja plina. Promjenu vrijednosti veličina stanja plina možemo ostvariti međudjelovanjem plina i okoliša. Prijelaz iz početnog stanja plina P u konačno stanje K može se ostvariti na neizmjerno različitih načina (vidi crtež). Kod toga uzimamo da su sva međustanja ravnotežna tako da se u (p, V) dijagramu dobiju krivulje kao na crtežu. Ako se stanja plina P i K međusobno podudaraju onda govorimo o kružnom procesu koji je plin izvršio pod utjecajem okoliša. Unutarnja energija plina može se promijeniti izmjenom energije s okolišem u obliku rada i topline.

a) Rad plina pri termodinamičkim procesima Neka je p = konst (izobarni proces). Uzmemo posudu s klipom (motri crtež) kojemu je ploština jednaka A. Neka je tlak plina u posudi, p, jednak vanjskom tlaku. Plin djeluje na klip silom F = p A. Neka okoliš (toplinski spremnik) predaje plinu količinu topline Q tako da je plin u svakom trenutku u stanju ravnoteže s tlakom p. Kod toga plin djeluje na klip i pomakne ga za udaljenost s. Obujam plina se pritom promjenio za ∆V = V2 − V1 = A ⋅ s . Rad kojega je plin izvršio u tom procesu jednak je W = F⋅ s = p A s. Dakle, rad u izobarnom procesu jednak je W= p∆V. Grafički prikaz izobarnog procesa u (p, V) ima oblik prikazan na crtežu:

Rad je brojčano jednak površini ispod pV-dijagrama.

Neka je V = konst (izohorni proces). Neka je plin u zatvorenoj posudi nepromjenjivog obujma. Ako plin preda količinu topline Q okolišu, onda se tlak i temperatura plina smanje. Rad plina kod tog procesa jednak je nuli. ∆V = 0 → W = 0.

46 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Neka je T = konst (izotermni proces). Neka je plin u kontaktu s toplinskim spremnikom konstantne temperature, T. Ako plin povećava obujam onda se tlak plina smanjuje (crtež). Dakle, plin vrši rad koji je numerički jednak ploštini ispod izoterme. Pomoću integralnog računa dobiva se ⎛V ⎞ W = n RT ln ⎜ 2 ⎟ . ⎝ V1 ⎠

b) Prvo načelo termodinamike Kazali smo da se unutarnja energija termodinamičkog sustava može promjeniti u procesu međudjelovanja sustava i okoliša: izmjenom topline Qi → f s okolišom i vršenjem rada, Wi → f . Pitanje je koji je oblik zakona o sačuvanju energije plina i okoliša. Ukupna energija plina i okoliša je, naravno, konstantna (očuvana). Energija samog plina može se mijenjati – povećavati ili smanjivati. Promjena unutarnje energije plina opisana je relacijom (prvo načelo termodinamike) Qi → f = ∆ U + Wi → f . Sve tri veličine su algebarske i potrebno je uvesti dogovor o njihovom predznaku. Uobičajeni dogovor je: Q > 0 kada sustav prima toplinu od okoliša! W > 0 kada sustav vrši rad na okolišu!

b1) Adijabatski proces Ukoliko sustav pri procesu ne izmjenjuje toplinu s okolinom tj. Q = 0 proces nazivamo adijabatskim (npr. eksplozije su približno adijabatske). Iz prvog načela termodinamike slijedi: ∆U = – W . Ako se idealni plin adijabatski širi tj. ∆V > 0, tada plin vrši pozitivan rad, tj. W > 0, pa gornji izraz povlači ∆U = – W < 0 tj. plinu se smanjuje unutarnja energija. Kako je za idealni plin U ∼ T, plin se pri adijabatskom širenju hladi. Veza između tlaka i volumena u adijabatskom procesu je opisana izrazom p1V1γ = p2V2γ

gdje je adijabatski eksponent γ =

Cp

> 1. CV Molarni specifični toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku, Cp, odnosno pri konstantnom volumenu, Cv, definiraju se relacijama 1 ⎛ Qi → f ⎞ 1 ⎛ Qi → f ⎞ Cp = ⎜ ⎟ odnosno CV = ⎜ ⎟ . n ⎝ ∆t ⎠V n ⎝ ∆t ⎠ p

U (p, V) dijagramu vidi se (motri crtež) da je adijabata ( pV γ = konst ) strmija od izoterme ( pV = konst )! Drugim riječima, adijabatski koeficijent γ je veći od jedinice.

47 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

c) Toplinski strojevi

U bitnom, toplinski stroj se sastoji od tri dijela (tri tijela): (i) topliji spremnik (spremnik više temperature, Tv ; npr. ložište parnog kotla) (ii) radno tijelo (npr. vodena para) (iii) hladniji spremnik (spremnik niže temperature, Tn ; npr. zrak)

Tv Qv

W Qn

Tn

Načelo rada toplinskog stroja: Topliji spremnik preda radnom tijelu toplinu Qv. Radno tijelo izvrši proces (najčešće kružni proces) tijekom kojega obavi rad, W. Kod toga nije moguć kružni proces za kojeg vrijedi W = Qv (ne postoji perpetum mobile prve vrste). Dakle, iz zakona očuvanja energije slijedi da se količina topline Qn = Qv – W mora predati hladnijem spremniku.

Maksimalna korisnost, η , svakog toplinskog stroja jednaka je

η= Općenito vrijedi 0 ≤ η < 1 .

Q W Qv − Qn = =1− n . Qv Qv Qv

c1) Carnotov proces

Između mnoštva različitih kružnih procesa koje može vršiti radno tijelo u toplinskom stroju, opisati ćemo Carnotov kružni proces. U tom procesu je radno tijelo idealni plin, a proces se odvija u sljedećim koracima (motriti crtež):

1° izotermno širenje iz početnog stanja 1 u stanje 2 (pri Tv) 2° adijabatsko širenje iz stanja 2 u stanje 3 (plin se hladi od Tv do Tn) 3° izotermno sabijanje iz stanja 3 u stanje 4 (pri Tn) 4° adijabatsko sabijanje iz stanja 4 u početno stanje 1 (plin se grije od Tn do Tv). Može se pokazati da je Q ~ T , pa se za korisnost Carnotovog procesa dobiva

ηC = 1 −

Tn . Tv

Dakle, iskoristivost Carnotova procesa je tim veća što je omjer temperatura hladnijeg i toplijeg spremnika manji. Obzirom da je uvijek Tn > 0 (što je posljedica trećeg načela termodinamike) to je, kao što smo naveli, ηC < 1 . Carnotov kružni proces je idealni proces kojega nije moguće izvesti u realnosti tako da za iskoristivost realnog kružnog procesa, η , vrijedi η < ηC . d) Drugo načelo termodinamike g

H

ne zapažamo

g

zapažamo

Zakon očuvanja energije vrijedi za sve procese u svemiru. Ipak, postoje procesi koje bi se, po tom zakonu, mogli odvijati ali ih nitko dosad nije opazio. Pomislimo samo na vlažnu spužvu koju ispustimo s visine H (crtež). Spužva padne na tlo i ostane na njemu mirovati. Prema zakonu očuvanja energije moguć je i spontani proces u kojem bi se vlažna spužva s tla vratila u početni položaj. Međutim takav događaj još nitko nije opazio!

48 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

H

Mnoštvo je sličnih procesa (razmislite o nekima od njih). Zaključujemo da zakon očuvanja energije ne može objasniti zašto se takvi procesi ne događaju. Dakle, nužno je uvesti novu fizikalnu veličinu kojom ćemo to moći opisati. Doista, uvedena je entropija (Clausius, 1834. godine) slijedećom relacijom: ∆S =

Qi → f T

U tom izrazu ∆S označava promjenu entropije termodinamičkog sustava koji u reverzibilnom (povratnom) procesu iz početnog (i) u konačno stanje (f) izmjenjuje malu količinu topline Qi → f s okolišem (drugim tijelom) pri konstantnoj temperaturi T. Jedinica za mjerenje entropije je [ ∆S ] =1 J / K . Od ključne važnosti je statističko značenje entropije – kao mjere mikroskopskog nereda u termodinamičkom sustavu. Razmotrimo sljedeći primjer: Primjer: Neka se u zatvorenoj kutiji nalazi N =10 međusobno jednakih čestica. (a) Na koliko međusobno različitih načina možemo tih 10 čestica raspodijeliti tako da ih N1 = 5 bude u jednoj polovici posude, a N2 = 5 u drugoj? (b) Na koliko međusobno različitih načina možemo tih 10 čestica raspodijeliti tako da ih N1 = 9 bude u jednoj polovici posude, a N2 = 1 u drugoj? Odgovori:

N! = 252 . N1 ! N 2 ! Svaki od ovih načina razmještaja čestica predstavlja jedno mikrostanje promatranog termodinamičkog sustava. N! = 10 (b) Traženi broj načina jednak je wb = N1 ! N 2 ! U ovom slučaju je broj mikrostanja (kojim ostvarujemo zadano makrostanje N1 = 9, N2 = 1) znatno manji. Kažemo da je stanje (b) manje vjerojatno od stanja (a). Ekvivalentno je kazati da je stanje (b) uređenije od stanja (a). Rabeći izraz (L. Boltzmann, 1877.) S = kB ln w −23 dobivamo S a = 7.63 ⋅10 J / K , Sb = 3.17 ⋅10−23 J / K . Dakle, entropija uređenijeg sustava (b) je manja od entropije neuređenijeg sustava (a).

(a) Traženi broj načina jednak je wa =

Drugo načelo termodinamike se može iskazati na različite, međusobno ekvivalentne, načine. Evo nekih od njih: 1. S. Carnot (1824.): Za pretvaranje topline u rad nužno je imati topliji i hladniji spremnik, pri čemu je temperatura hladnijeg spremnika neophodno niža od temperature toplijeg spremnika. 2. R. Clausius (1850.): Toplina ne može spontano prelaziti s hladnijeg tijela na toplije. 4. W. Thomson (Lord Kelvin) (1854.): Nemoguć je kružni proces pri kojem bi jedini rezultat bio uzimanje topline Qv od toplijeg spremnika i njeno potpuno pretvaranje u mehanički rad W, tj. da je Qn = 0. Ova formulacija je dobivena razmatranjem izraza za iskoristivost toplinskih strojeva kojeg smo već naveli.

49 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

5. R. Clausius (1834.): Entropija se u izoliranom sustavu ne smanjuje, tj. ili ostaje nepromijenjena (povratni procesi) ili se povećava (nepovratni procesi). Dakle, ∆S ≥ 0 . 6. L. Boltzmann (1877.): U svim spontanim prirodnim procesima termodinamički sustav prelazi u stanje većeg nereda tj. prelazi iz manje vjerojatnih stanja u stanja veće vjerojatnosti (pogledati primjer!).

50 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

EME R IP R P

FIZIKA 3 PRIPREMIO

DARIO MIČIĆ

Zagreb, 2006. provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Nakladnik PRIPREME , Zagreb, 1. Ferenščica 45 tel.: (01) 24 50 904, 24 52 809, 091 51 36 794

Skripta služi isključivo za internu uporabu na tečajevima koji , održavaju kao pripreme za se, u okviru PRIPREMA polaganje razredbenog ispita na svim fakultetima na kojima se piše razredbeni test iz fizike. Zabranjeno je kopiranje i prodavanje ovog materijala ili njegovih dijelova.

provided by www.perpetuum-lab.com.hr

III. ELEKTROMAGNETIZAM III. 1. Elektrostatika Plastični štap nakon trljanja o kožu (ili kosu) ima sposobnost privlačenja komadića papira. → Štap je naelektriziran. Naelektritziranost karakteriziramo količinom naboja Q. Jedinica za mjerenje količine naboja: [Q] = 1C kulon Naelektrizirana tijela se ili privlače ili odbijaju.

štap

komadići papira

Postoje dvije vrste električnog naboja: pozitivan ∆ i negativan ⊖. Što je negativno nabijeno a što pozitivno odredi se dogovorom. Uzeto je da je naboj protona pozitivan a naboj elektrona negativan! 1909. Milikan – postoji najmanja količina naboja – naboj je kvantiziran e = +1.6 ⋅10−19 C - elementarna količina naboja Bilo koju količinu naboja možemo prikazati kao: Q = N⋅ e N – cijeli broj! U zatvorenom sustavu, bez obzira kakvi se fizikalni procesi unutar njega dešavali vrijedi da je: Q = konst. – zakon očuvanja naboja Količina naboja je nepromjenjiva u vremenu. a) Coulombov zakon Kulon ispituje torzionom vagom o čemu ovisi sila između dvaju točkastih (kuglastih) naboja.

F ~ Q1 Q 2 Sila je proporcionalna umnošku naboja

F~

1 r2

Sila je obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između naboja. Coulombov zakon:

FC = k0

Q1Q2 , r2

k0 =

1 4π ε 0

≈ 9 ⋅ 109

Nm 2 C2

ε 0 - dielektričnost (permitivnost) vakuuma ( ε 0 = 8.85 ⋅ 10−12 N −1m −2C 2 ) Ukoliko se naboji postave u neko sredstvo (npr. vodu), tada je sila između njih manja nego kad su u vakuumu. Definirajmo relativnu dielektričnost:

εr =

FC k QQ > 1 tj. FC = 0 1 2 2 εr r FS

Sila ima smjer radijalno od (istoimeni) ili prema (raznoimeni) naboju koji ju uzrokuje. Ako na neki naboj q < 0 (crtež desno) djeluje veći broj drugih naboja (npr. Q1 > 0 i Q2 < 0), ukupna sila na naboj q se dobije vektorskim zbrajanjem pojedinih sila.

F2

F

q F1 Q1+

F = F1 + F2

Q2

51 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

b) električno polje Prostor oko nabijenog tijela poprima nova svojstva u odnosu na slučaj kada, u tom dijelu prostora, nema nabijenog tijela. Nazivamo ga električnim poljem. Uočimo formalnu analogiju s gravitacijskim poljem. Za njegovo opisivanje uvodimo nekoliko veličina:

F1

b1) Jakost električnog polja, E Svaki naboj +Q (koji općenito nije točkast ili kuglast) stvara polje. Zamislimo točkasti pozitivni probni naboj q proizvoljno malog iznosa. Dovodimo li u zadanu točku T (crtež) različite probne naboje, na njih će naboj Q djelovati različitim silama, ali će vrijediti

q1

F2

T q2

+Q

F1 F2 F = = ... = q1 q2 q

to jest, taj omjer karakterizira odabranu točku T u kojoj postoji električno polje E jakosti

F . q To je omjer sile na probni naboj u nekoj točki (koju možemo izmjeriti dinamometrom) i količine naboja probnog naboja. Jedinica za mjerenje električnog polja jednaka je E=

[E] =

[F ] = 1 N . [q] C

Ukoliko je naboj Q točkast ili kuglast onda je Coulombova sila kojom taj naboj djeluje na naboj q jednaka

Qq F = k0 2 . r Električno polje točkastog ili kuglastog naboja Q jednako je Q E = k0 2 . r Dogovor o smjeru električnog prikazan je na crtežima (desno).

E1+ Q+

polja

1 Q

2

-

E2+

Ukoliko polje stvaraju dva točkasta naboja Q1 i Q2 (ili više naboja) onda vrijedi princip superpozicije: Ukupno polje tih naboja u proizvoljnoj točki T prostora se dobije kao vektorski zbroj pojedinih polja. Uočiti: u točki T se nalazi pozitivni probni naboj na kojega djeluje ukupna sila koju možemo izmjeriti. Kada imamo podatake o sili i probnom naboju onda modul električnog polja izračunamo E = F/q.

E-

E+ E

T

+ Q1

E-

E = E + + E-

Električne silnice – linije električnog polja To su linije kojima bi putovao probni naboj q > 0 u polju uočenog pozitivnog (+) ili negativnog naboja (–). izvor

-

Q2

ponor

52 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Vektor jakosti električnog polja E je tangencijalan na liniju električnog polja u danoj točki. Gustoća linija je proporcionalna jakosti električnog polja na tom područiju. Linije izviru na pozitivnom, a poniru na negativnom naboju. Linije se ne mogu presjecati!

2

E1

E2

1

-

+

b2) električni potencijal, ϕ Kad se probni naboj q dovodi iz beskonačnosti u neku točku polja, električno polje izvrši rad proporcinalan s q.

W q

Ep,el q

W∞1 ~ q Naboj q u datoj točki raspolaže električnom potencijalnom energijom E p el .

r

Q

E p el ~ q Definiramo veličinu:

ϕ=

E p el

- električni potencijal točke polja.

q

To je omjer električne potencijalne energije probnog naboja q u nekoj točki polja i količine naboja tog probnog naboja. Ovisi o položaju točke i o naboju Q koji stvara polje. Jedinica za mjerenje:

⎡ E p el ⎤⎦

[ϕ ] = ⎣

[q]

=1

J = 1 V volt C

Za točkasti naboj Q (ili kuglasti ) je

ϕ ( r ) = k0

ϕ A

ϕ B

Q r

+

Q

ϕ > 0 za pozitivan naboj ϕ < 0 za negativan naboj Linije (plohe) koje spajaju točke u električnom polju istog potencijala nazivaju se ekvipotencijalnim (plohama) linijama. One su uvijek okomite na silnice električnog polja. Električna potencijalna energija dvaju naboja Q i q je

E p el = ϕ ⋅ q = k0

r

ϕ A =ϕ B

ekvipotencijala linija silnica

Qq r

+

Ako polje stvara veći broj naboja vrijedi princip superpozicije:

ϕ (r ) = ϕ1 (r ) + ϕ 2 (r ) + ϕ3 (r ) + ... b3) električni napon Gledamo pomicanje probnog naboja q između dviju točaka 1 i 2 električnog polja naboja Q. Pri tom pomicanju elektrostatske sile izvrše rad W12 . Rad je proporcionalan količini naboja q.

ϕ

1q 1

W12

W12 ~ q Definiramo veličinu – električni napon U.

U=

W12 q

Q

2

ϕ2

To je omjer rada elektrostatskih sila W12 pri pomicanju naboja q iz točke 1 u točku 2 i količine tog naboja.

53 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Jedinica za mjerenje je

[U ] =

[W12 ] = 1 J ≡ 1V [q] C

Kako se izvršeni rad može iskazati kao razlika elekričnih potencijalnih energija

W12 = E pel 2 − E pel1 slijedi da je električni napon U između dvije točke polja jednak U =

E pel 2 q

−

E pel1 q

tj.

električni napon je jednak razlici električnog potencijala između tih točaka polja: U = ϕ 2 − ϕ1 = ∆ϕ . c) Električni kapacitet. Kondenzatori Kondenzator – uređaj na kojem pohranjujemo električni naboj. Najčešće se sastoji od dva vodiča (metalne ploče) razdvojena izolatorom (zrak, neki dielektrik). c1) Pločasti kondenzator d – razmak između metalnih ploča S – ploština ploča Q – količina naboja U – napon između ploča (za danu količinu naboja) - pokus → U ~ Q Napon između ploča proporcionalan je količini naboja na pločama. Možemo napisati:

C

1 Q , tj. C Q C= U

U=

d +Q

-Q S

U

C – kapacitet kondenzatora. Ovisi o geometriji i o dielektriku između ploča (ne ovisi o Q i U!)

[C ] =

[Q ] = 1 C ≡ 1F [U ] V

farad

Kapacitet pločastog kondenzatora:

C = ε rε 0

S d

ε r - relativna permitivnost dielektrika Između ploča se formira homogeno električno polje. Ako se naboj +q s pozitivne ploče prebaci na negativnu ploču, tad električno polje izvrši rad

W = Fel ⋅ d = qE ⋅ d

d -Q

+Q

Taj isti rad možemo iskazati preko napona W = q⋅ U qE⋅ d = q⋅ U

U - jakost električnog polja unutar kondenzatora d [U ] V [E] = = 1 [d ] m

E=

U

54 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Energija pločastog kondenzatora Nabijanje kondenzatora do količine naboja Q možemo ostvariti «prenoseći» (u mislima) jedan po jedan elektron (naboja –|qe|) s jedne neutralne ploče na drugu ploču. Ploča s koje «uzimamo» elektrone će postati pozitivno nabijena, a ona na koju prenosimo elektrone negativno nabijena. Valja uočiti da se utijekom «prenošenja» elektrona napon između ploča mijenja jer se mijenja i naboj ploča! Na kraju «prenošenja» elektrona, kada je naboj na pločama +Q odnosno –Q, izvršili smo jednak rad kao da smo odjednom prenijeli količinu naboja Q uz srednji napon između ploča U koji je jednak

U=

U poč + U kon

2

=

0 +U 2

tj. U =

U 2

Izvršeni rad: W = UQ =

U 1 Q = QU 2 2

Izvršeni rad je pohranjen u obliku energije električnog polja kondenzatora.

1 W = QU 2 1 Q 1 Q2 1 1 = Q = = CU ⋅ U = CU 2 2 C 2 C 2 2 C1

Q1

Spajanje kondenzatora serijski: U S = U1 + U 2

C2

Q2

U1

Količine naboja na pločama ( Q1 , Q2 , QS )

U2 U

su jednake.

nadomještamo jednim ekvivalentnim

QS

CS US

Q1 = Q2 = QS Q US = S CS Q1 C1 Q U2 = 2 C2 U1 =

⇒

Qs Q1 Q2 = + Cs C1 C2

⇒

1 1 1 = + CS C1 C2

Recipročna vrijednost ekvivalentnog kapaciteta u serijskom spoju jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti pojedinih kapaciteta. To vrijedi za proizvoljan broj kondenzatora. Spajanje kondenzatora paralelno: Naponi na kondenzatorima su jednaki.

U p = U1 = U 2

Q1 C 1

Q p = Q1 + Q2

Qp Cp

C pU p = C1U1 + C2U 2 C p = C1 + C2 Kod paralelnog spoja ekvivalentni kapacitet u paralelnom spoju jednak je zbroju pojedinačnih kapaciteta. Tvrdnja vrijedi za proizvoljan broj kondenzatora.

Q2

C2

Up

U= U1 + U2

55 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

III. 2. Električna struja - električna struja – usmjereno gibanje naboja u metalima – slobodni elektroni u otopinama – ioni, elektroni u plinovima – ioni, elektroni ∆Q – količina električnog naboja koja za vrijeme ∆t prođe kroz poprečni presjek vodiča S. a) jakost električne struje definiramo jakost električne struje:

I=

∆Q ∆t

vodic Q

s

t

Omjer količine naboja ∆Q i proteklog vremenskog intervala ∆t. Jakost struje I se odabire za osnovnu fizikalnu veličinu. Njena jedinica se definira uz pomoć magnetskih učinaka struje. [ I ] = 1 amper ([ I ] = 1 A) Za konstantne struje pišemo

I=

Q t

Q = I ⋅ t → [Q] = [I] ⋅ [t] = 1A s ≡ 1C (kulon) Po dogovoru se za smjer struje uzima smjer usmjerenog pomicanja pozitivnog naboja. Uočiti da električna struja nije vektor nego skalar! a1) mikroskopski model struje Ukoliko vodič nije priključen na izvor, slobodni elektroni se unutar njega gibaju kaotično (poput molekula plina). Kad se na krajeve vodiča priključi napon, unutar njega se formira električno polje koje slobodnim elektronima daje jednu komponentu usmjerenog pomicanja brzinom v - srednja brzina usmjerenog pomicanja (driftna brzina). N – broj slobodnih elektrona u volumenu V

n=

N - gustoća broja elektrona (brojnost) V

Za vrijeme ∆t kroz presjek S će proći samo oni elektroni koji su na udaljenosti

v ⋅ ∆t

ili manjoj, tj elektroni iz obujma

V = S ⋅ v ⋅ ∆t

Ti elektroni prenesu kroz S količinu naboja

∆Q = N ⋅ e = n ⋅ V ⋅ e = n ⋅ S ⋅ v ⋅ ∆t ⋅ e

Jakost struje je

∆Q n ⋅ S ⋅ v ⋅ ∆t ⋅ e = ∆t ∆t I = S ⋅v ⋅e⋅n

I=

Uobičajeno je definirati gustoću struje j relacijom j =

I = v ⋅ e ⋅ n . Gustoća struje je vektorska S

veličina i u metalima ima smjer električnog polja koje je odgovorno za gibanje naboja u vodiču. Jedinicu gustoće struje dobivamo iz definicije:

[ j] =

[I ] = 1 A [ S ] m2

Tipične srednje brzine i koncentracije elektrona u vodiču su

v ~1

mm ; s

n ~ 1022 cm −3 .

56 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

b) Ohmov zakon. Električni otpor Ohm eksperimentalno utvrđuje da je jakost struje I u danom metalnom vodiču proporcionalna naponu U na krajevima vodiča. I~U I Možemo napisati jednakost I=G⋅U

I - električna vodljivost U [I ] A [G ] = = 1 ≡ 1S simens [U ] V G=

U

Češće koristimo recipročnu vrijednost

1 - električni otpor G U - Ohmov zakon (za vanjski dio strujnog kruga) I= R [U ] V [ R ] = = 1 ≡ 1Ω om [I ] A

R=

Električni otpor ovisi o: - duljini vodiča, l - površini poprečnog presjeka, S - vrsti vodiča (opisano pomoću specifične otpornosti ρ, [ρ] = Ω m)

R=ρ

l S

R metalnog vodiča ne ovisi o naponu U izvora ili jakosti struje I koja prolazi kroz vodič. b1) mikroskopski izvod Unutar vodiča se formira električno polje jakosti

E=

U l

l

Srednja driftna brzina v je proporcionalna s tom jakošću v = µ E gdje je µ električna pokretljivost.

U S en = µ en U l l 1 1 l I = ⋅U ⇒ R = µ en S R

⇒ I = SvEn = S µ Een = S µ

S U

Otpornost je

1 µ en l U R=ρ , I = R S

ρ=

Taj zakon može se zapisati i u obliku j =ven= µ E en= µ en E Uvedemo li električnu provodnost

σ = µ en =

1

ρ

j = σ E – Ohmov zakon Uzrok električnog otpora: - sudari elektrona s titrajućim ionima kristalne rešetke - sudari elektrona s atomima nečistoća i nepravilnostima kristalne rešetke.

57 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Eksperimenti pokazuju da električni otpor ovisi o temperaturi

Rt = R0 (1 + α∆t )

α je temperaturni koeficijent otpora datog vodiča, [α] = 0C–1 = K–1. ∆ t je promjena temperature, a R0 je električni otpor vodiča na početnoj temperaturi. c) izvori istosmjerne struje Na izvoru razlikujemo: - pozitivan i negativan pol - područija s viškom pozitivnog, odnosno negativnog naboja Kad se polovi izvora spoje vodičem poteče električna struja koja dulje vremena ima konstantnu vrijednost Da bi to bilo tako, moraju se elektroni koji su putujući kroz vodič stigli s negativnog pola na pozitivni opet prebaciti na negativni pol → to mogu izvršiti “strane” (neelektrične) sile: - mehaničke - kemijske - toplinske - magnetske … Pri prebacivanju naboja q one izvrše rad Wst . Definiramo elektromotorni napon izvora

ε=

Wst q

Omjer rada stranih sila i količine prebačenog naboja

[ε ] =

[ J ] ≡ 1V [C ]

volt

Shema strujnog kruga: r – unutarnji otpor izvora struje ε - elektromotorni napon R – vanjski otpor I – jakost struje U = RI = εI – rI pad napona na vanjskom otporu

I=

ε

R I r

- Ohmov zakon za čitavi strujni krug

R+r Ako je R = 0 Ω struja kratkog spoja je: I ks =

ε

r

- maksimalna struja koju izvor može dati

d) Kirchhoffova pravila U strujnim krugovima razlikujemo: - čvorove – točke u kojima se susreću tri ili više vodiča - petlje – zatvorene konture s elementima strujnog kruga I. pravilo (pravilo čvora)

I = I1 + I 2 Zbroj jakosti struja koje ulaze u čvor, jednak je zbroju jakosti struja koje izlaze iz čvora. Pravilo se temelji na zakonu očuvanja količine naboja.

58 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

II. pravilo (pravilo petlje)

ε1 − ε 2 = IR1 + IR2

Algebarski zbroj elektromotornih napona u petlji jednak je zbroju padova napona u toj petlji. Pravilo se temelji na zakonu očuvanja energije. e) Spajanje otpornika serijsko: Kroz otpornike protiču jednake struje.

I1 = I 2 = I S U = U1 + U 2 = U S I1 R1 + I 2 R2 = I S RS R = R1 + R2 Ekvivalentni otpor jednak je zbroju pojedinih otpora. Tvrdnja vrijedi za proizvoljan broj otpora. paralelno: Na otpornicima su jednaki naponi. Pravilo čvora:

I = I1 + I 2 = I P U1 U 2 U P + = R1 R2 RP 1 1 1 + = R1 R2 RP Recipročna vrijednost ekvivalentnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti pojedinačnog otpora. Tvrdnja vrijedi za proizvoljan broj otpora. f) Energija električne struje. Električna snaga Pri protjecanju električne struje kroz otpornik R, pozitivan naboj prelazi iz područija više potencijalne energije u područije niže potencijalne energije (uz nepromjenjenu kinetičku energiju) tako da se ta razlika potencijalnih energija sudarima pretvara u termičku energiju kristalne rešetke (Jouleova toplina). W=UQ U2 W = U I t = t = I 2R t Q = I ⋅ t Iz ovih relacija slijedi R

Snaga je definirana kao rad po jedinici vremena.

P=

W U2 = UI = = I 2R t R

III. 3. Magnetizam magnet – privlači željezne predmete (također kobalt i nikal, kao i njihove legure). Magnetski pol – područije magneta s najjačim djelovanjem

N sjeverni pol

S juzni pol

59 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Istoimeni polovi se odbijaju. Raznoimeni polovi se privlače.

Dijeljenjem magneta se dobiju sitniji magnetići. To je tipično bipolarna (dipolna) pojava. Ne postoje izolirani magnetski polovi. Magnetska influencija – u blizini magneta se komad mekog željeza pretvara u magnet → privlači druge željezne predmete. Tvari građene od elementarnih magnetića kod magneta – raspoređeni uređeno. feromagnet Kod nemagneta - neuređeno. paramagneti – vrlo slab magnetizam dijamagneti – suprotno ponašanje a) magnetsko polje - prostor oko magneta u kojem se osjeća njegovo djelovanje Opisujemo ga: - grafički – linije magnetskog polja (silnice) Zamišljene linije koje svojim tangentama pokazuju smjer magnetskog polja

-

veličinama – tok magnetskog polja φ M kroz ploštinu A To je broj silnica koji prolazi kroz tu ploštinu

-

gustoća magnetskog toka B (ili magnetska indukcija)

N

S

JG

B=

φM A

B

Preciznije magnetski tok je

φM = B⊥ ⋅ A = BA cos α

B – ovisi o sredstvu koje se nalazi u magnetskom polju Definira se veličina koja ne ovisi o sredstvu. JJG To je jakost magnetskog polja H :

JJG H=

JG B

n

B

α A

µ

µ - permeabilnost sredstva JG JJG JJG B = µ ⋅ H = µ0 µr H

µ0 = 4π ⋅10−7

Tm - permeabilnost vakuma A

µ r - relativna permeabilnost tvari feromagnet µ r ~ 103 paramagneti µ r ≥ 1 dijamagneti µ r ≤ 1

60 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

a1) Oerstedov pokus Kad se iznad magnetske igle pusti da teče struja, magnetska igla se otkloni i otklonjena je sve dok teče struja. Kad se struja isključi, igla se vraća. Ako se smjer struje promjeni, promjeni se i smjer otklona igle. Električna struja (naboj u gibanju) stvara magnetsko polje.

I

+

b) izvori magnetskog polja

b1) ravni (beskonačni) vodič pokus ⇒ H~I

B2 1

1 H~ r 1 I H= 2π r

B = µ0 H =

B1

I

2

I

B

µ0 I 2π r

Smjer polja – pravilo desne ruke JG Palac u smjeru I, rukom obuhvatimo vodič → prsti smjer B

[H ] =

[I ] = 1 A [r ] m

- jedinica za mjerenje jakosti magnetskog polja

b2) kružna petlja radijusa R U središtu petlje je

B=

µr I

2 R

Petlju možemo smatrati elementarnim magnetićem b3) zavojnica s N zavoja N – broj zavoja L – duljina zavojnice I – jakost struje Unutar zavojnice je polje homogeno. Pokus ⇒ H~I H~N

H~

1 L

Te je obuhvaćeno relacijom H =

NI . L

Magnetska indukcija:

B = µ0

N I l

ako se unutar zavojnice postavi neki materijal permeabilnosti µ r tad je

B = µ r µ0

N I l

61 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

c1) Amperova sila, FA Ako se kroz ravni vodič koji se nalazi u homogenom JG magnetskom polju indukcije B , pusti struja jakosti I, zapaža se da se vodič izmiče iz magnetskog polja, na njega djeluje magnetska sila → Amperova sila FA

+

Pokus → FA ~ I

FA ~ l - duljina vodiča u magnetskom polju FA ~ B

N I

FA ~ sin α , α je kut između B i l FA = B ⋅ I ⋅ l ⋅ sin α

B

Ponekad ovo koristimo za definiranje magnetske indukcije

S

FA B= I ⋅ l ⋅ sin α Jedinica za mjerenje magnetske indukcije

[ B] =

[ FA ] = 1 N ≡ 1T [ I ] ⋅ [l ] A ⋅ m

tesla

Smjer sile FA - pravilo ispružene desne ruke palac – smjer I JG prsti – smjer B sila – iz dlana

B = µ0 H B T Tm µ0 = ⇒ [ µ0 ] = 1 = 1 A H A m

Sila između dva vodiča

F12 = B1 ⋅ I 2 ⋅ l = F12 =

µ0 I1 I 2 l 2π r

µ0 I1 I2 ⋅ l 2π r

Ovu relaciju koristimo za definiciju jedinice jakosti struje – 1 amper c2) Lorentzova sila, FL Struja – usmjereno gibanje naboja Sila na vodič kojim teće struja rezultat djelovanja magnetskog polja na pojedine naboje. JG l – duljina vodiča u magnetskom polju B S – površina poprečnog presjeka vodiča N – broj naboja q u volumenu S ⋅ l

FA = BIl = B ⋅ Svqn ⋅ l = Bqv FA = N ⋅ Bqv

N Sl V

JG

Na naboj q koji se giba brzinom v u magnetskom polju B djeluje sila:

62 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

FL =

FA = Bqv N

ili općenito

FL = Bqv sin α

JG G α - kut između vektora B , v Smjer sile FL → pravilo desne ruke: G palac – smjer v JG prsti – smjer B sila – iz dlana za q > 0 Gibanje naboja u homogenom magnetskom polju: G JG Ukoliko je v ⊥ B naboj se giba po kružnici radijusa R.

JJG

Sila FL igra ulogu centripetalne sile.

FL = Fcp m v2 R mv R= Bq

Bqv=

Rad Lorentzove sile jednak je nuli. JJG G WFL = 0 ! jer je FL ⊥ ∆ s (pomak) Period vrtnje

2π R R m = 2π = 2π v v Bq m T = 2π Bq

T=

Primjene: 1 separator brzine Okomito električno i magnetsko polje

Fel = FL ⇒ qE = Bqv E v = - Čestice ove brzine ne skreću! B 2 maseni spektrometar Kombinacija separatora brzine i magnetskog polja B0

E B mv m RB0 → = R= B0 q q v m R B0 B = - specifični naboj q E

v=

3

ciklotron – ubrzivač nabijenih čestica

v=

RBq m

63 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

III. 4. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA To je pojava da se uz pomoć magnetskog polja proizvede električna struja. S

a) elektromagnetska indukcija Faraday 1831. Kazaljka ampermetra se otklanja kad se: - magnet primiče ili odmiče zavojnici, tj kad se mijenja JG magnetsko polje u kojem se zavojnica nalazi, (tj. mijenja B ) - zavojnica stišće ili rasteže, tako da se mijenja površina poprečnog presjeka (tj. S) - Zavojnica rotira u homogenom magnetskom polju (tj. mijenja kut α)

N

A

G α - kut između normale n na površinu JG zavoja i vektora B

-

Jednom riječju, kad se mijenja veličina Φ M = B ⋅ S ⋅ cos α - magnetski tok

[Φ M ] = [ B ] ⋅ [ S ] = 1Tm2 ≡ 1Wb

veber

Pokusi ⇒ kazaljka se više otkloni što se Φ M brže mijenja i što je veći broj zavoja N zavojnice Inducirani napon

∆Φ M - brzina promjene magnetskog toka ∆t U i ~ N - broj zavoja Ui ~

Ui = N

∆Φ M - Faradayev zakon ∆t

a1) Lenzovo pravilo Ako se magnet primiče aluminijskom prstenu, on se odmiče. Ako se magnet odmiče prsten ide za njim. Primicanjem se u prstenu inducira takva struja da njeno magnetsko polje nastoji spriječiti povećanje magnetskog toka kroz prsten, tj. prsten formira s lijeve strane N pol, koji se odbija od N pola magneta koji se primiče. Suprotna je situacija kod odmicanja magneta.

Ui = − N

∆Φ M Minus dolazi zbog Lenzovog pravila. ∆t

b) ravni vodič u homogenom magnetskom polju JG G Neka se ravni vodič, duljine l giba brzinom v okomito na vektor magnetske indukcije B

JG G B - homogeno magnetsko polje, okomito na v G v - brzina gibanja vodiča

Možemo zamisliti petlju (iscrtkano) čija se površina mijenja. Promjena magnetskog toka kroz tu petlju je

∆Φ M = B ⋅ ∆S = B ⋅ l ⋅ v∆t Kako je N = 1, Faradayev zakon daje za iznos induciranog napona

Ui =

∆Φ M Blv∆t = ∆t ∆t

B l v

v ⋅∆t

Između krajeva vodiča se inducira napon

U i = Blv

64 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

c) samoindukcija pokus → Tinjalica zasvjetli uz napon ~ 150V. Kad se ona priključi u strujni krug kao na slici pri uključivanju ili isključivanju izvora od samo 2V zapaža se da tinjalica bljesne!

Pri uključivanju i isključivanju se na neki način dobivaju naponi reda ~ 150V.

zavojnica sklopka izvor (~2V)

Pri uključivanju jakost struje ne postigne odmah maksimalnu vrijednost, nego struja raste neko vrijeme od vrijednosti nula do maksimalne vrijednosti I MAX , tj struja se mijenja. Faradayev zakon EM-indukcije

∆Φ M εi = − N ∆t

tinjalica zeljezna jezgra I(t) I MAX

t 0 U zavojnici se, zbog promjene jakosti struje, inducira napon proces proces reda ~150V, zbog čega bljeskalica bljesne. ukljucivanja iskljucivanja Samoindukcija – pojava da se u zavojnici pojavljuje ε i zbog promjene toka vlastitog magnetskog polja. Koliki je napon samoindukcije? Magnetski tok kroz zavojnicu je

ΦM = B ⋅ S Magnetska indukcija

N N I ⇒ ∆B = µ r µ0 ∆I (zato što se mijenja samo struja kroz zavojnicu)! l l → ∆Φ M = S ⋅ ∆B B = µ r µ0

Rabeći Faradayev zakon EM-indukcije dobivamo traženi napon samoindukcije → ε i = − NS µ r µ 0

µ µ SN 2 ∆I N ∆I . =− r 0 ∆t l ∆t l

Običaj je uvesti koeficijent samoindukcije (induktivitet zavojnice) L =

µ r µ0 SN 2 l

. Napon

samoindukcije je sada jednak

εi = −L

∆I ∆t

Jedinica za mjerenje induktiviteta

[ L] =

[ε i ][ ∆t ] = 1V ⋅ s ≡ 1H A [ ∆I ]

henri

d) energija magnetskog polja Kad je zavojnica priključena na izvor, njome teče struja I i unutar nje postoji magnetsko polje indukcije B. Ako se izvor isključi, struja ne padne odmah na nulu, nego teče još neko vrijeme sve slabija i slabija. U krugu postoji još neka energija – energija magnetskog polja

1 WM = LI 2 2

l

S

B I

+

Taj izraz može se i malo drukčije zapisati:

65 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

µ r µ0 SN 2

⎫ ⎪ B 2l 2 1 µ r µ0 SN 2 ⎪ l ⋅ ⎬ ⇒ WM = 2 N Bl ⎪ l 2 ( µ0 µ r ) N 2 B = µr µ0 I → I = l µ0 µ r N ⎪⎭ B2 WM = Sl 2µ0 µ r L=

Obzirom da je volumen zavojnice jednak V = S l pa je gustoća energije magnetskog polja

wM =

WM 1 B 2 = 2 µ r µ0 V

Rabeći vezu između magnetske indukcije i magnetskog polja B = µ 0 µ r H možemo pisati

wM =

1 µ0 µr H 2 2

Gustoća energije magnetskog polja proporcionalna je kvadratu jakosti magnetskog polja H.

III. 5. IZMJENIČNE STRUJE JG

Vrtnjom petlje u magnetskom polju indukcije B , u njoj se inducira izmjenični napon prema Faradayevom zakonu EMI.

εi = − N ω=

α t

∆φM ∆t

S

B

- kutna brzina vrtnje

εi = − N

∆( BS cos ω t ) ∆(cos ω t ) = − NBS ∆t ∆t

kako je

BS cos B

∆ cos ω t = −ω sin ω t ∆t

slijedi

ε i = NBSω sin ω t

B

S

Izmjenični napon

ε (t ) =  N ⋅ B  ⋅ S ⋅

ω ⋅ sin ω t ε 0 -maksimalna vrijednost napona (amplituda)

ε (t ) = ε 0 sin ω t Priključi li se taj izvor na omski otpornik, tad kroz otpornik teče izmjenična struja jakosti i (t ) = I 0 sin ω t - trenutna jakost

I 0 - maksimalna vrijednost

66 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Izmjenični napon na krajevima otpornika je

u (t ) = U 0 sin ω t

Za opis izmjenične struje definiramo efektivne vrijednosti jakosti i napona. Efektivne vrijednosti definiramo pomoću usporedbe toplinskih učinaka istosmjerne i izmjenične struje. Veza s maksimalnim vrijednostima sljedeća:

I0 U ≡ I , U ef = 0 ≡ U 2 2 Gradska mreža u Europi ima ν = 50 Hz i U ef = 220V I ef =

a) otpori u krugu izmjenične struje a1) radni (omski), R

R

u (t ) = U 0 sin ω t u U i = = 0 sin ω t r R i (t ) = I 0 sin ω t

~

izvor izmjenicne struje

Struja i napon su u fazi, tj. u istim trenucima postižu maksimalne vrijednosti. Vrijedi Ohmov zakon:

i=

u r

I=

U R

ili

Vektorski dijagram Maksimalnim vrijednostima struje i napona pridružimo vektore koji rotiraju u pozitivnom smjeru stalnom kutnom brzinom ω. Budući da su u fazi, gledaju u istom smjeru. a2) induktivni, RL (zavojnica u strujnom krugu) Izvor izmjeničnog napona

u (t ) = U 0 sin ω t

Zbog samoindukcije

ε s = −L

∆i ∆t

Dobijemo da se struja mijenja po zakonu

i=

U0 π⎞ ⎛ sin ⎜ ω t − ⎟ ωL ⎝ 2⎠

tj.

,u

π⎞ ⎛ i = I 0 sin ⎜ ω t − ⎟ 2⎠ ⎝ Struja kasni za

I0 =

π

2

U0

u

I0

za naponom

U0 - maksimalna jakost struje ωL

Kad napon ima maksimalnu vrijednost, struja ima vrijednost nula.

0 -I0

i

t

-U0

67 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

u ⇒ RL = ω L - induktivni otpor RL U I= RL

i=

RL ~ ω - kružna frekvencija RL ~ L - induktivitet vektorski dijagram a3) Kapacitivni, RC (kondenzator u strujnom krugu) Za istosmjernu struju kondenzator je beskonačan otpor Za izmjeničnu on je samo konačan otpor

u = U 0 sin ω t

Tad se kondenzator puni i prazni, tj u strujnom krugu teče struja. Količina naboja na pločama u nekom trenutku je dana izrazom

q = u C = CU 0 sin ω t

kako je

U ∆q π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇒ i ( t ) = 0 sin ⎜ ω t + ⎟ = I 0 sin ⎜ ω t + ⎟ 1 ∆t 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ ωC U U I 0 = 0 ≡ 0 - Ohmov zakon 1 RC ωC 1 RC = - kapacitivni otpor ωC 1 - obrnuto proporcionalan s ω RC ~

i=

ω

1 - obrnuto proporcionalan C C u i= RC

RC ~

π⎞ ⎛ i (t ) = I 0 sin ⎜ ω t + ⎟ 2⎠ ⎝ Struja brza za

π

2

ispred napona

Kad struja ima maksimalnu vrijednost, napon ima vrijednost nula.

i,u U0

0

Vektorski dijagram ima oblik:

u

I0

-I0

i

t

-U0

68 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

a4) serijski spoj R, C i L Jakost struje u svim elementima je jedna te ista.

I R = IC = I L

Vektorski dijagram

UL

U = U R2 + (U L − U C ) 2 = I R 2 + ( RL − RC ) 2

Z = R 2 + ( RL − RC ) 2 - ukupni otpor (impedancija) Ohmov zakon

I=

U UL - UC

U - ovisi o ω Z

UC

ϕ - pomak u fazi između jakosti struje i napona na izvoru R − RC tgϕ = L R

IR

UR

Iz Ohmovog zakona

I=

U = Z

U R + ( RL − RC ) 2 2

slijedi da je Z najmanji odnosno I je najveća za

RL = RC ⇒ ω 0 L =

1 ω 0C

1 - rezonantna frekvencija LC

ω0 =

tada je ϕ = 0, te

I=

U R

period pobude struje je tada

T0 =

2π

ω0

= 2π LC - Thomsonova formula

a5) paralelan spoj R, C i L

R

Napon na elementima je međusobno jednak. UR = UC = UL

C

L

~ Vektorski dijagram je prikazan na crtežu:

I = I R2 + ( I C − I L ) 2 = 1 = Z

U Z

1 ⎛ 1 1 ⎞ +⎜ − ⎟ 2 R ⎝ RC RL ⎠

2

69 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

b) snaga izmjenične struje Kako su trenutne vrijednosti napona

u (t ) = U 0 sin ω t

i jakosti struje

i (t ) = I 0 sin(ω t + ϕ ) pomaknute u fazi za ϕ, trenutna vrijednost snage je p (t ) = u (t ) ⋅ i (t ) Snagu izmjenične struje dobivamo usrednjavanjem po nekom vremenskom intervalu

P ≡ p(t ) = UI cos ϕ tj.

P = UI cos ϕ gdje je faktor cosϕ uobičajeno zvati faktor snage.

= c) transformator

Uređaj koji na principu elektromagnetske indukcije mijenja (transformira) napon, odnosno jakost izmjenične struje. Brzine promjene magnetskog toka

∆Φ M ∆t

su jednake u obje zavojnice

IP

Up

N = P - omjer transformacije U S NS

Kod idealnog transformatora su snage na primaru i sekundaru jednake

IS

NP UP

NS

US

I PU P = I SU S U P IS = US IP U slučaju da postoje gubici definiramo korisnost:

η=

I SU S I PU P

70 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

EME R IP R P

FIZIKA 4 PRIPREMIO

DARIO MIČIĆ

Zagreb, 2006. provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Nakladnik PRIPREME , Zagreb, 1. Ferenščica 45 tel.: (01) 24 50 904, 24 52 809, 091 51 36 794

Skripta služi isključivo za internu uporabu na tečajevima koji , održavaju kao pripreme za se, u okviru PRIPREMA polaganje razredbenog ispita na svim fakultetima na kojima se piše razredbeni test iz fizike. Zabranjeno je kopiranje i prodavanje ovog materijala ili njegovih dijelova.

provided by www.perpetuum-lab.com.hr

IV. TITRANJE I VALOVI IV. 1. TITRANJE Titranje je periodično gibanje oko ravnotežnog položaja.

k

m

Npr. harmonijski oscilator (H. O.) Sastoji se od (crtež): - elastične opruge konstante k - tijela pričvršćenog za oprugu mase m

ravnotežni položaj

Njihalo Sastoji se od niti duljine l, za koju je obješeno neko tijelo mase m i sve se to nalazi u gravitacionom polju. Obično se uzima da je masa niti puno manja od mase tijela. Osnovni pojmovi: - elogancija, y Trenutna udaljenost od ravnotežnog položaja -amplituda, Y0 Maksimalni pomak od ravnotežnog položaja. (maksimalana elongacija)

-Y0

- titraj Proces pri kojem se tijelo koje titra vrati sljedeći put u neki položaj u istom stanju gibanja.

Y0

0

y

ravnotežni položaj

0

-Y0

Y0

y

- period, T - vrijeme jednog titraja - frekvencija, ν - broj titraja u 1s → ν =

[ν ] =

1 1 = ≡ s −1 ≡ 1Hz herc [T ] s

1 T

y svjetlo

y0 a) analogija jednolikog gibanja po kružnici i titranja y(t) y(t) Tijelo se jednoliko vrti po kružnici radijusa R, kutnom brzinom ω, obasjavamo 0 ga paralelnim snopom svjetlosti i gledamo sjenu tijela na ravnotežni okomitom zastoru → sjena titra položaj ω=

ϕ

t R = Y0

→ ϕ=ωt

zastor

sjene

71 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Iz pravokutnog trokuta slijedi:

y (t ) → y (t ) = R sin ϕ otkuda slijedi R da je elongacija titranja y (t ) = Y0 sin ω t . sin ϕ =

Ako u početnm trenutku tijelo nije u ravnotežnom položaju onda je početna faza ϕ 0 različita od nule pa je elongacija titranja

y (t ) = Y0 sin(ω t + ϕ 0 )

Izraz ω t + ϕ 0 se zove faza titranja. Brzina, v(t) Projiciramo vektore brzine tijela (crtež)

cos ϕ =

v(t ) v0

v(t ) = v0 cos ω t v0 = ω R = ωY0 → v0 = ωY0 v1 = v2 = ... = v0

y

Općenito je brzina tijela

v(t ) = v0 cos(ω t + ϕ 0 )

Ubrzanje, a(t) Projiciramo vektor ubrzanja tijela (crtež)

sin ϕ =

0

0

a(t ) a0

a(t ) = a0 sin ω t a0 ≡ acp = ω 2 R = ω 2Y0

a0 = acp1 = acp 2 = ... = acp općenito

a (t ) = a0 sin(ω t + ϕ 0 )

ili

a (t ) = ω 2Y0 sin(ω t + ϕ 0 )

v2 v0 v(t) v(t) v1 v0

a(t ) = ω 2 y (t ) ili ako uzmemo u obzir smjerove otklona y(t) i a(t), koji su suprotni

a (t ) = −ω 2 y (t )

acp2

a(t)

a(t)

acp1

72 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Povratna sila, Fp (t ) se uvijek pojavljuje u sustavima

0

koji titraju i usmjerena je prema ravnotežnom položaju.

k

Fp (t ) = m a (t ) = − mω 2 y (t )

Fp(t) m

Povratna sila je proporcionalna elongaciji:

Fp (t ) = −k y (t )

y(t)

Povratnu silu često zovemo kvazielastična sila. a1) Period titranja H. O. Usporedbom izraza

Fp = − mω 2 y (t )

Fp (t ) = −k y (t ) → k = m ω² k ω= tj. - kružna frekvencija titranja m 2π T=

ω

m - period titranja harmonijskog oscilatora k

T = 2π

a2) energija H. O. Tijelo se giba → kinetička energija – opruga se rasteže → potencijalna elastična Kinetička

Ek (t ) =

k

v(t) m 0

y(t)

m v 2 (t ) mv02 cos 2 ω t = 2 2

Elastična potencijalna

E pel (t ) =

k y (t ) kY02 sin 2 ω t = 2 2

Ukupna energija u bilo kom trenutku je zbroj tih dviju energija:

Eu (t ) = Ek (t ) + E p el = mω 2Y02 cos 2 ω t mω 2Y02 sin 2 ω t mω 2Y02 + = (cos 2 ωt + sin 2 ωt ) . 2 2 2 Ukupna energija ne ovisi o vremenu! Ona je konstantna tijekom vremena.

mω 2Y02 . Ukupna energija je proporcionalna s kvadratom amplitude Y0 ( Eu ~ Y02 ), 2 kvadratom kružne frekvencije ω2 ( Eu ~ ω 2 ) i masom tijela m ( Eu ~ m ). Eu =

b) matematičko njihalo Za male kuteve otklona ϕ (crtež na sljedećoj stranici) iz sličnosti pravokutnih trokuta slijedi Fgp y (t ) =− Fg l Vidimo da ulogu povratne sile igra komponenta sile teže Fgp. Uvrštavanjem izraza za silu težu mg y (t ) . Obzirom da je povratna sila kvazielastična sila tj. Fg = mg dobivamo Fgp = − l

Fgp = − k y (t ) , zaključujemo da je konstanta elastičnosti u ovom slučaju jednaka k =

mg . l

73 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

g

Kvazielastična sila uzrokuje harmonijsko titranje

T = 2π

m = 2π k

m otkuda slijedi da je mg l

l y(t)

period titranja matematičkog njihala jednak

m

l T = 2π . g

FN FgN

Fgp Fg

Ukoliko je njihalo obješeno u ubrzanom sustavu, tada treba naći ”rezultantno ubrzanje” g R

T = 2π

l gR

g

Npr. u vagonu koji se giba ubrzano po horizontali

FR = F + Fi = m g + a = mg R 2 g

2

2

2

FN

α

a = konst

F

gR = g 2 + a2 F

R c) LC – titrajni krug q (0) = q0 - početna količina naboja na kondenzatoru

Fg

q(t ) = q0 cos ω t Napon između ploča će se mijenjati po zakonu

u (t ) =

q(t ) C

i(t)

jakost struje u krugu se mijenja po zakonu

∆q(t ) i (t ) = ∆t

q(t) L

C

sve te veličine mijenjaju se frekvencijom

ν0 =

1 2π LC

- vlastita frekvencija LC - kruga otkuda slijedi izraz za period titranja

ovog strujnog kruga:

T0 = 2π LC - Thomsonova formula d) prigušeno titranje Ako na sustav koji titra djeluje sila “trenja”, otpora, koja troši energiju unesenu u titrajni sustav → opaža se da se amplituda titranja s vremenom smanjuje.

74 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

y Y0

Pri slabom prigušenju definiramo faktor prigušenja (dekrement):

Y δ= M YM +1

YM

konstantno

YM+1

“Period” se pritom gotovo ne mijenja. Faktor dobrote:

Q = 2π

t

En E = 2π n En − En +1 ∆En

∆En - smanjenje energije u n-tom titraju En - energija na početku n-tog titraja

-Y0

e) prinudno titranje Ako na titrajni sustav djeluje vanjska periodična sila

Fpr (t ) = F0 sin ω t

tada se uspostavi titranje s frekvencijom ω. Što je ω bliži ω 0 - vlastitoj frekvenciji titrajnog sustava, to je amplituda titranja veća. Kad ω → ω 0 dolazi do rezonancije. Amplituda beskonačno raste, titrajni sustav se “razara”. Tad je maksimalni prijenos energije s uzbudnog sustava na uzbuđivani sustav. U realnim situacijama su uvijek prisutne i sile trenja ili sile otpora tako da se pri rezonanciji dostigne samo najveća amplituda koja je konačne veličine.

IV. 2. MEHANIČKI VALOVI Val – predstavlja širenje titranja u nekom elastičnom sredstvu. Npr. val na žici: Zamislimo žicu kao skup točkastih čestica koje su međusobno povezane elastičnim oprugama: Kad se prva čestica 1 (izvor) pomakne gore-dolje (ili lijevo-desno), opruga se rastegne i povuče za sobom česticu , što dovodi do rastezanja sljedeće opruge i pokretanja čestice itd. Sve čestice titraju na isti način s istim periodom T i istom amplitudom Y0 . Međutim, nisu

sve čestice u istom stanju titranja tj. nemaju jednaku fazu. Uočimo položaje svih čestica u početni trenutak vremena t = 0, potom nakon četvrtine perioda titranja, … , te nakon punog perioda titranja (crteži):

t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 1

t= 1 T 4

1 t= T 2

2

1

2

3

3

4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14

4

5

6

7 8 9 10 1112 13 14

75 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

t= 3 T 4 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

Svaka od čestica titra oko svog ravnotežnog položaja. Tijekom titranja čestice kasne jedna za drugom u fazi. Čestice ne putuju udesno po žici. Mijenja se samo njihov položaj po vertikali. Oblik žice se, u odnosu na početni položaj, mijenja tijekom vremena. Kažemo da se po žici udesno giba val. Val ne možemo nacrtati! Ono što je prikazano na crtežima su položaji pojedinih čestica (dakle oblici žice) u pojedinim trenucima vremena. Obzirom da smo izvršili rad kojim smo čestice doveli u titranje očito je, prema zakonu očuvanja energije, da val nosi energiju! Dakle, jedan način prijenosa energije po žici je pomoću vala! Valja uočiti da svaki val (mehanički, elektromagnetski) prenosi energiju! smjer titranja

smjer titranja

brijeg smjer širenja vala

zgušcaj smjer širenja vala razrjedaj

dol

Transverzalni val – čestice titraju širenja okomito na smjer širenja vala. (npr. val na žici)

Longitudinalni val – čestice titraju na pravcu vala (npr. zvučni val)

Valna duljina, λ Udaljenost između dva susjedna brijega (ili dva susjedna zgušćaja). To je najmanja udaljenost između dviju najbližih čestica koje titraju u fazi. To je udaljenost koju val prevali dok jedna od čestica načini puni titraj. Ako je medij po kojem putuje val homogen onda se val širi konstantom brzinom:

v=

s t

Odaberemo za t period T. Tad je s = λ

v=

λ

=λ

1 1 . Držeći na umu izraz za frekvenciju titranja čestica f = dobivamo T T

T v = λ ⋅ f. Ova relacija vrijedi za sve valove. Valja uočiti da elektromagnetski val ne treba medij koji bi ga prenosio! Pomislite, koji medij omogućuje prijenos sunčeva svjetla do npr. Zemlje! a) jednadžba progresivnog vala

Sve čestice titraju harmonijski. Tako npr. čestica u ishodištu x = 0 ima elongaciju y ( x = 0; t ) = Y0 sin ω t . Jednadžbom vala nazivamo izraz za elongaciju y(x, t) čestice na mjestu x u trenutku t.

76 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

y

Čestica na mjestu x titra na potpuno isti način kao i izvor, jedino kasni za izvorom u vremenu za

tx =

x v

v y(x,t)

izvor vala

x

x

Toliko vremena treba da se val proširi od izvora do čestice na mjestu x. Možemo pisati

x

x ⎤ 2π x ⎡ y ( x, t ) = y ( x = 0, t − t x ) = Y0 sin [ω (t − t x )] = Y0 sin ⎢ω (t − )⎥ = Y0 sin(ωt − ⋅ ) v ⎦ T v ⎣ Kako je T ⋅ v = λ dobivamo 2π ⎞ ⎛ 2π y ( x, t ) = Y0 sin ⎜ t− x ⎟ - jednadžba progresivnog vala λ ⎠ ⎝ T Uvedemo li valni broj k

k=

2π

λ

može se prethodni izraz zapisati u obliku y ( x, t ) = Y0 sin(ω t − kx) - jednadžba progresivnog vala Pritom se smjer širenja podudara s pozitivnim smjerom osi x. Ako se val širi u negativnom smjeru x-osi, jednadžba glasi

y ( x, t ) = Y0 sin(ω t + kx)

y

a1) razlika u fazi ∆ϕ Za dvije čestice, koje se nalaze na položajima x1 , odnosno

x2 od izvora, je razlika u fazi u zadanom trenutku t jednaka:

v

x1

x2

x

t=konst. 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ 2π ⎛ ∆ϕ = ⎜ ωt − x1 ⎟ − ⎜ ωt − x2 ⎟ = ( x2 − x1 ) λ ⎠ ⎝ λ ⎠ λ ⎝ 2π ∆ϕ = ∆x gdje smo uveli uobičajenu pokratu ∆x = x2 − x1 .

λ

a2) brzina vala Uz malo složeniji izvod, može se pokazati da se brzina progresivnog vala može iskazati preko nekih karakteristika materijala u kom se širi val. Tako npr. brzina: transverzalnog vala na žici je jednaka:

v=

F

µ

gdje je F – napetost žice i µ =

m linearna gustoća materijala (žice) (m je l

masa žice a l duljina žice) longitudinalnog vala u štapu:

v=

E

ρ

gdje je E Youngov modul elastičnosti i ρ je gustoća materijala (štapa).

77 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

b) odbijanje (refleksija) valova čvrsti (nepomičan) kraj Brijeg se reflektira kao dol. Val se odbija suprotnom fazom, tj doživi skok u fazi za π: ∆ϕ = π

upadni puls reflektirani puls

slobodni (pomičan) kraj Brijeg se reflektira kao brijeg. Val se odbije s istom fazom, tj.nema skoka u fazi. ∆ϕ = 0 c) Huygensov princip širenja Valove često grafički opisujemo valnim frontama – plohama do kojih se val proširi do nekog momenta. Npr. kod ravnog vala:

sferni val Često koristimo i valne zrake – pravci, tj. linije koje pokazuju smjer širenja vala (smjer transporta energije)

ravni val

sferni val

Valne zrake su okomite na valne fronte u svakoj točki sredstva.

78 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Huygensov princip – svaka točka medija koju pogodi valna fronta postaje izvor elementarnih (sfernih) valova, čija ovojnica daje novu valnu frontu

d) Pojave s valovima d1) odbijanje (refleksija) Upadna zraka, normala i lomljena zraka leže u istoj ravnini i kut odbijanja jednak je kutu upada. α=β d2) lom (refrakcija) Val prelazi iz jednog medija u drugi. Upadna zraka, normala i lomljena zraka leže u istoj ravnini i vrijedi

sin α v = n21 = 1 v2 sin β

n21 - relativni indeks loma Frekvencija vala se ne mijenja pri prelasku iz jednog medija u drugi (to je karakteristika izvora).

ν1 = ν 2 v1

λ1

=

v2

λ2

d3) interferencija Kad istovremeno dva ili više valova stigne u istu točku prostora . Tad je rezultantno titranje vektorski zbroj pojedinih titranja, tj. rezultantna elongacija je y = y1 + y2 - princip superpozicije Gledamo dva vala jednakih frekvencija i stalne razlike u fazi – koherentni valovi I1 , I 2 - koherentni izvori

∆r = r2 − r1 - razlika u hodu do točke T Ako su valovi harmonijski tada je razlika u fazi titranja

∆ϕ =

2π

λ

∆r

Konstruktivna interferencija (pojačavanje) Kad je ∆r = 0, λ, 2λ … tj.

∆r = 2m

λ

2

, m – cijeli broj

Razlika u hodu mora biti paran broj (2m) valnih polu-duljina Destruktivna interferencija (slabljenje)

Kad je ∆r =

λ 3λ 5λ

, , ... tj. 2 2 2

79 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

∆r = ( 2m + 1)

λ 2

Razlika u hodu mora biti neparan broj valnih polu-duljina. c1) stojni val Dobije se interferencijom upadnog i odbijenog vala Na žici duljine L učvršćenoj na oba kraja: v – brzina širenja osnovni stojni: Udaljenost između dva susjedna čvora (čestice

stalno miruju) je

λ1 2

λ

2

cvor

!

L ravnotezni polozaj cestica

λ1 trbuh 2

cvor

= L → λ1 = 2 L v

ν1 =

λ1

=

v - osnovna frekvencija 2L

Tek za tu frekvenciju dobijemo na žici stojni val. prvi pobuđeni:

4⋅

λ2

= L →ν 2 =

4 λ2 = L → ν 2 = 2ν 1

v v =2 2L L

Udaljenost između trbuha i susjednog čvora je

λ2 4

L

Zatvorena svirala, duljina L osnovni:

λ1 4

trbuh

= L → λ1 = 4 L

cvor

λ1 4

v 4L

ν1 =

! Za više harmonike je ν n = nν 1 , n = 2, 3, …

L

prvi pobuđeni:

3⋅

λ2 4

= L → λ2 =

ν2 = 3

4 L 3

v 4L

3⋅

ν 2 = 3ν 1 . Općenito je ν n = (2 n − 1)ν 1 , n = 2, 3, ...

λ1 4

e) valovi zvuka Longitudinalni valovi u mediju. Ljudsko uho reagira na frekventni raspon 16Hz – 20000Hz. e1) razina zvuka, L Intezitet zvučnog vala (snage P na površini S) je

I=

P 1 2 = ω ρ Y02 v . S 2

v – brzina širenja zvuka Y0 - amplituda titranja čestica

80 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

ρ - gustoća medija 2π - kružna frekvencija ω= T Prag čujnosti – najmanji intezitet koji izazove osjet zvuka W I 0 = 10−12 2 m Najjači zvučni inteziteti koji još ne oštećuju uho su približno ~ 10

W . m2

Uvodi se veličina koju je uobičajeno zvati razina zvuka, L

L = 10 log

I I0

[L] = dB decibel Za sferni val je

I~

1 r2

tj.

I1 ⎛ r2 ⎞ =⎜ ⎟ I 2 ⎝ r1 ⎠

2

r – udaljenost od izvora zvuka e2) Dopplerov efekt Neka se po pravcu jednolikom brzinom vi giba izvor zvuka (npr. ambulantni automobil s uključenom sirenom po autoputu) kojemu je frekvencija fi. Neka se maturant Tibor giba jednoliko po (paralelnom) pravcu brzinom v p (brzina promatrača) koji opaža da je frekvencija

izvora jednaka fp (Dopplerov efekt). Može se pokazati da je frekvencija koju registrira opažač (Tibor) jednaka

f p = fi

v + vp v − vp

gdje je v brzina zvuka. Predznake brzina u ovom izrazu valja uzeti na

sljedeći način: vi , v p > 0 kad se izvor i promatrač međusobno približavaju

vi , v p < 0 kad se izvor i promatrač međusobno udaljavaju

IV. 3. Elektromagnetski valovi Iz Maxwellove teorije je slijedilo da se pomoću LC – kruga (ubrzanog naboja) mogu stvoriti elektromagnetski valovi. Prvi ih registrira 1888 Herz. To je širenje promjenjivih električnih i magnetskih polja (koja se međusobno proizvode) u prostoru. Nije potreban nikakav medij (sredstvo) za njihovo širenje. To su transverzalni valovi.

E (t ) ⊥ B (t ) k - valni vektor kojemu je modul k =

2π

λ

E (t ) ⊥ k B (t ) ⊥ k

81 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

E (t ) - vremenski ovisan vektor jakosti električnog polja B (t ) - vremenski ovisan vektor magnetske indukcije Brzina širenja tih valova ovisi o sredstvu u kojem se šire. U vakumu je

1

c=

3 ⋅108

ε 0 µ0

m s

Trenutne vrijednosti jakosti električnog E(t) i magnetskog B(t) polja su povezane relacijom

E =c B Spektar EM-valova:

λ

m 104 radio - valovi

0.3 10−1 10−3 10−4 7 ⋅ 10 −7

4 ⋅10−7 10−8

mikro - valovi

infracrveni ~ 7 ⋅10−7 −7 vidljiva ~ 6 ⋅10 −7 ~ 5.5 ⋅ 10 svjetlost ~ 4.5 ⋅10−7 ~ 4 ⋅ 10−7

crvena narancasta zelena plava ljubicasta

ultraljubicasti valovi

6 ⋅ 10−10 10

−12

x - zrake - zrake

10−14

82 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

V. OPTIKA Svijetlost – elektromagnetski val kojemu je valna duljina od ∼ 7,5 ⋅ 10−7 m do ∼ 4 ⋅10−7 m. Ljudsko oko je najosjetljivije na valnu duljinu zelene boje 5,5 ⋅10−7 m

V. 1. Valna optika Uzima u obzir činjenicu da je sjetlost val. Valne pojave:

x T

a) interferencija svjetlosti I1 , I 2 - koherentni izvori

r1

S0 - centralni maksimum

min max

xT

r2

I1 d

d – razmak između koherentnih izvora L – udaljenost zastora od izvora s – razmak između susjednih maksimuma λ - valna duljina upotrebljene svjetlosti koherentni izvori su oni koji imaju: 1. stalna razlika u fazi 2. istu frekvenciju, odnosno valnu duljinu

max

S max min max min max

S0

I2 L

zastor

preokrenuti zastor

Što će se dobiti u točki T ovisi o razlici u hodu valova

∆ = r2 − r1 tj. o razlici u fazi

∆ϕ =

2π

λ

∆

Uvjet maksimuma (svjetlo)

∆ = 2m ⋅

λ

2

= mλ m = 0, 1, 2 ... cijeli broj

Uvjet minimuma (tama)

∆ = ( 2m + 1)

λ

2

Iz trokuta na crtežu slijedi

xT = sin θ L ∆ sin θ = d

tgθ =

⇒ xT = ∆

L d

ako se u točki T dobije maksimum tada je ∆=mλ

xT ( m ) = m

λL d

Udaljenost između dva maksimuma je

S = xT ( m + 1) − xT ( m ) = ( m + 1)

λL d

−m

λL d

→ S=

λL d

. Dobili smo da razmak

između pruga ne ovisi o m tj. razmak između pruga je konstantan. Kažemo da su pruge ekvidistantne.

83 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

a1) optička razlika u hodu Ukoliko se valovi šire u nekom sredstvu indeksa loma n, ili doživljavaju refleksije na granici dvaju sredstava, tada je za pojavu interferencije bitna pojava optička razlika u hodu.

δ = n2r2 − n1r1 ± (razlika u hodu zbog refleksije)

Refleksija na čvrstom kraju: skok u fazi za π ∆ϕ = π

ili u hodu za

λ

2

Refleksija na mekom kraju: nema skoka u fazi ∆ϕ = 0 ili u hodu 0

a2) boja tankih listića optička razlika u hodu

δ = ( opt. put 2 ) − ( opt. put1) =

1

λ⎞ ⎛λ⎞ ⎛ = ⎜ 2n1d + ⎟ − ⎜ ⎟ = 2n1d 2⎠ ⎝2⎠ ⎝ Uvjet minimuma reflektirane svjetlosti

δ = ( 2m + 1)

n1 n 2 > n1

1

cvrsti

d cvrsti

λ

2

Debljina sredstva indeksa loma n1 za koju će se reflektirani valovi poništiti

2n1d m = ( 2m + 1) d = ( 2m + 1)

λ

λ 2

4n1

Minimalna debljina se dobije za m = 0:

d0 =

λ

4n1

b) ogib (difrakcija svjetlosti) Činjenica je da svjetlost prodire u područije geometrijske sjene. Npr. to se događa kod prolaza svjetla kroz usku pukotinu. Huygensov princip objašnjava pojavu zraka svijetlosti koje su otklonjene od upadnog smjera (zrake koje su doživjele ogib). Te zrake mogu interferirati i u geometrijskoj sjeni dati svjetlo-maksimum.

tama svjetlo tama

b1) Difrakciona rešetaka To je niz od N pukotina smještenih na međusobnoj udaljenosti l (crtež na sljedećoj stranici).

84 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

d – konstanta optičke rešetke

d=

l N

uvjet maksimuma:

d sin α m = mλ

m = 0, 1, 2 … cijeli broj

α m - kut između upadnog smjera i smjera m -tog maksimuma

Kako je

sin α m m≤

d

λ

mλ ≤1 d - najviši red maksimuma kojeg može dati difrakciona rešetka

Ukupni broj maksimuma jednak je 2m + 1. c) polarizacija svjetlosti polarizirani val – postoji istaknuta ravnina titranja Svjetlost je transverzalni val. Svjetlo iz žarulje ili neonske cijevi u sobi nije polarizirano. Dobivanje polariziranog vala: I. prolaskom kroz kristale (dvolomce) Pojavljuju se dvije zrake: linearno - obična – djelomično polarizirana polariziran - neobična – potpuno (linearno) polarizirana oznaka II. refleksijom – Brewstrov zakon Reflektirana zraka je potpuno polarizirana ukoliko je kut između reflektirane i lomljene zrake jednak 90°.

α '+ β = 90° α ' =α

Zakon loma:

sin α n2 = sin β n1

sin β = sin ( 90°-α ) = cos α

n1 n2

'

sin α n2 = cos α n1 n tgα = 2 . Kut α za kojega vrijedi polučena relacija zove se Brewsterov kut. n1 Optički aktivne tvari – zakreću ravninu polarizacije (npr. otopina šećera)

85 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

V. 2. Geometrijska optika Zanemarujemo činjenicu da je svjetlost val. Opisujemo pojave pomoću valnih zraka. a) Zakoni geometrijske optike I. Zakon pravocrtnog širenja U homogenom i izotropnom mediju svjetlost se širi pravocrtno. II. Zakon odbijanja (refleksije) Upadna zraka, normala i odbijena zraka leže u istoj ravnini i kut odbijanja jednak je kutu upada. β =α

III. Zakon loma (refrakcije) Upadna zraka, normala i lomljena zraka leže u istoj ravnini i omjer sinusa upadnog kuta i sinusa kuta loma je konstanan tj.

sin α = n21 - Snellov zakon sin β

n21 - relativni indeks loma Koristeći Huygensov princip može se pokazati da je

n21 =

v1 v2

v1 sredstvo 1 n 1 sredstvo 2 n 2 v2

v1 - brzina svjetlosti u prvom sredstvu v2 - brzina svjetlosti u drugom sredstvu Ukoliko je upadno sredstvo vakuum indeks loma se naziva apsolutnim indeksom loma.

n=

c v

Tako je

c v1 c n2 = v2 n1 =

Snellov zakon loma možemo zapisati u obliku:

sin α n2 = = n21 sin β n1

IV. Zakon nezavisnosti svjetlosnih snopova Nakon susreta svjetlosni snopovi se šire dalje bez ikakvih promjena u odnosu na upadne snopove.

86 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

b) Zrcala Izglačana površina – ravna ili sferna

1´

1

b1) ravno zrcalo slika: - virtualna (dobije se kao presjecište produžetaka odbijenih zraka) - uspravna (2′ ispod 1′ kao što je 2 ispod 1) - jednake veličine x = – x′ Slika je jednako udaljena od zrcala kao i predmet. Zrcalo je stigmatično – od točke predmeta stvara točku sliku. Stvara se zrcalno simetrična slika.

2

2´ x´

x

T

b2) sferna zrcala

udubljeno (konkavno)

ispupčeno (konveksno)

C – središte zakrivljenosti plohe T – tjeme (najudubljenija ili najispupčenija točka) R – radijus (polumjer) zakrivljenosti plohe zrcala Sferno zrcalo nije strogo stigmatično no za paraaksijalne zrake (blizu su glavne optičke osi i s njom zatvaraju male kuteve) dobivamo dobru aproksimaciju stigmatičnosti – Gaussova aproksimacija.

F

Konstrukcija slike: fokus (F) – točka na glavnoj optičkoj osi kroz koju prolaze (realno ili virtualno) sve reflektirane zrake, koje su upadale paralelno glavnoj optičkoj osi.

T f

f ≡ TF - žarišna (fokalna) duljina Zraka koja upada kroz fokus nakon refleksije ide paralelno optičkoj osi. Zraka koja upada kroz središte zakrivljenosti C, nakon refleksije ide po istom pravcu u suprotnom smjeru. Zraka koja upada u tjeme odbija je simetrično s obzirom na glavnu optičku os. konkavno: realno žarište, f > 0 Kad je x > f slika je: - realna - obrnuta - uvećana za f < x < 2f - jednaka za x = 2f umanjena za x > 2f

x A Y

f T

B´

B

F x´

y´ A´

87 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

kad je x < f slika je: - virtualna - uspravna - uvećana

A´ A BF

B´

Konveksno: virtualno žarište, f < 0 slika je: - virtualna - uspravna - umanjena za sve x > 0

A

A´

B

T

B´

F

x x´ Jednadžba sfernog zrcala x – udaljenost predmeta od zrcala (tjemena) x´ - udaljenost slike od zrcala (tjemena) f – žarišna duljina Iz trokuta ∆TAB i ∆T´A´B´ se može dobiti relacija – jednadžba sfernog zrcala

1 1 1 2 + = = , R – radijus zakrivljenosti x x´ f R linearno povećanje: y – visina predmeta y´ – visina slike

m=

y´ x´ =− y x

Omjer linearnih dimenzija slike i linearnih dimenzija predmeta Dogovor o predznacima: U gornje relacije veličine uvrštavamo s: + predznakom – realne veličine – predznakom – virtualne veličine jedina razlika y´ - kad je obrnut (realan) onda - kad je uspravan (virtualan) onda + c) lom svjetlosti Ako je n1 > n2 (slika) tad kažemo da je sredstvo 1 optički

gušće od sredstva 2. Tad je α < β , zraka se lomi od okomice. Ako je n1 < n2 , tad je α > β, tj. lomi se k okomici.

88 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

c1) totalna refleksija Pojava kad svijetlost: - dolazi iz optički gušćeg sredstva - kut upada veći od α g

Svjetlost se reflektira na graničnoj površini natrag u isto sredstvo.

sin α g

n1 sin 90° n2 n sin α g = 1 n2

g

=90°

n1 n2 > n 1

=

´>

g

´

g

c2) optička prizma A = β1 − β 2 - kut prizme n - indeks loma δ = α1 + α 2 − A - kut otklona (devijacije) – kut između izlaznog i ulaznog pravca. Taj kut je minimalan, kada je zraka unutar prizme paralelna s osnovkom prizme tj.

α 2 = α1 ⇒ β1 = β 2

δ m = 2α1 − A ⇒ α1 =

δm + A 2

A A = 2 β1 ⇒ β = 2 n=

sin

sin α1 = sin β1

δm + A

2 A sin 2

Za A maleno je i δ m maleno pa se može dobiti

δ m = (n − 1) A Disperzija Ako na prizmu upada bijela svijetlost zapaža se da se ona cijepa u spektar boja To je pojava disperzije. Kut loma ovisi o valnoj duljini, tj. indeks loma je ovisan o valnoj duljini – disperzija svjetlosti. Približno vrijedi eksperimentalna relacija

n(λ ) = n0 +

a

λ2

n0 , a – konstante budući da je

λC > λLJ ⇒ nC < nLJ tad je iz zakona loma

sin β =

sin α n

zaključujemo da je

β C > β LJ

89 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

c3) leće prozirna sredina omeđena sfernim plohama (jedna može imati i beskonačan radijus zakrivljenosti) C1 , C2 - središta zakrivljenosti ploha

pravac C1 , C2 - središta zakrivljenosti ploha 0 – optičko središte leće

R1

konvergentna (sabirna)

0

C1

divergentna (rastresna)

R 2 C2

R1 0

C1

R 2 C2

Promatraju se tanke leće – debljina zanemariva Konstrukcija slike: Fokus (žarište) – točka na glavnoj optičkoj osi kroz koju prolaze sve lomljene zrake, ako su upadne bile, paralelne s glavnom optičkom osi.

Zraka koja upada kroz fokus nakon loma ide paralelno glavnoj optičkoj osi.

F f

F

Zraka koja prolazi kroz optičko središte leće se ne lomi.

F

F

F 0

Konvergentna: slika: - realna x > f - obrnuta - uvećana f < x < 2f jednaka x = 2f umanjena x > 2f - virtualna x < f - uspravna - uvećana

x A y B

F

F´ 0

f

B´ y´

x´

A´

90 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Divergentna: slika: - virtualna - uspravna - umanjena

x A F

A´ B B´ 0 x´

F´ f

Jednadžba leće Slično kao kod zrcala može se dobiti

1 1 1 + = - jednadžba leće x x´ f Pritom je jakost leće j definirana s

j=

1 , f

[ j] =

1 = m −1 = dpt (dioptrija) m

pritom za žarišnu duljinu vrijedi

1 ⎛ nL ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ − 1⎟ ⎜ − ⎟ f ⎝ n ⎠ ⎝ R1 R2 ⎠

nL - indeks loma n – indeks loma okolnog sredstva R > 0 ako svjetlost putuje od plohe prema središtu zakrivljenosti linearno povećanje:

m≡

y´ x´ =− y x

Dogovor o predznacima: Isti kao kod sfernih zrcala!

91 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

VI. MODERNA FIZIKA VI. 1. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI Krajem 19., početkom 20 stoljeća je opaženo da klasična Newtonova mehanika ne uspjeva objasniti neke od eksperimentalnih činjenica. 1905. A. Einstein čini revolucionarni korak u pristupu. Postulati: A) Sve identične fizikalne pojave u inercijalnim sistemima referencije uz identične početne uvjete protječu na isti način (postulat opće relativnosti). B) Brzina svjetlosti u vakumu je jednaka u svim smjerovima i u bilo kojem području datog inercijalnog sistema referencije i jednaka je u svim inercijalnim sistemima referencije (postulat konstantnosti brzine svijetlosti). Posljedice su mnogobrojne: → Prostor i vrijeme su povezani → Relativnost istovremenosti → Relativnost vremenskih signala

∆t =

∆t´

- (dilatacija vremena)

V2 1− 2 c

V - brzina jednog ISR-a u odnosu na drugi ∆t´ - vremenski interval između događaja mjeren u istoj točki prostora jednim satom (vlastito vrijeme) ∆t – vremenski interval između događaja mjeren u dvjema različitim točkama prostora (dva sata) → Relativnost duljina (kontrakcija duljine)

L = L0 1 −

V2 c2

L0 - mjereno u sustavu mirovanja štapa L – mjereno u sustavu u odnosu na koji se štap giba brzinom V → Pokazuje se da se neke veličine, poput energije E i količine gibanja p moraju preciznije definirati

E=

p=

mc 2 V2 1− 2 c

mV V2 1− 2 c

- ukupna energija tijela

- količina gibanja

Pritom su one povezane fundamentalnom relacijom

E 2 = p 2c 2 + m2c 4 Odavde za V = 0 slijedi E0 = mc 2 - energija mirovanja Slično za m = 0 E = p c – npr. za fotone

92 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

VI. 2. ZRAČENJE CRNOG TIJELA Zračenje koje pada na neko tijelo obično se djelomično: - reflektira reflektirano - apsorbira - transmitira upadno Tijelo koje ima osobinu da ukupno zračenje koje na njega pada apsorbira nazivamo apsolutno crno tijelo.

transmitirano

apsorbirano

→Apsolutno crno tijelo ima koeficjent apsorpcije α = 1 U termodinamičkoj ravnoteži svako tijelo emitira onoliko energije koliko i apsorbira. a) Stefan-Boltzmannov zakon → Intezitet zračenja (energija koju emitira 1 m 2 površine crnog tijela u 1s) proporcionalan je s

T4.

σ = 5.67 ⋅10−8

I = σ T4 ,

W - Stefan-Boltzmannova konstanta m2 K 4

→ Ukupna snaga zračenja površine S je P = σ S T4

b) Wienov zakon Grafički prikaz eksperimentalnih rezultata mjerenja inteziteta zračenja I λ u ovisnosti o valnoj duljini λ, pri različitim temperaturama T, dat je na crtežu. → Zapaža se da porastom temperature maksimum krivulje odgovara manjoj valnoj duljini.

T2 > T1 → λ2 m < λ1m

λm - valna duljina na kojoj crno tijelo emitira najviše energije. Wien je došao do zaključka da je produkt apsolutne temperature crnog tijela i valne duljine na kojoj crno tijelo zrači najviše energije jednak konstanti koja ne ovisi o temperaturi: λm ⋅ T = C gdje je C = 2.9 ⋅10−3 Km - Wienova konstanta koja je određena mjerenjem. b1) Planckova hipoteza Iz klasične teorije zračenja crnog tijela je sljedilo da ono emitira beskonačno energije → besmisleno!! Izlaz nalazi Planck 1900. (14 prosinca). Postavlja hipotezu da crno tijelo emitira ili apsorbira energiju samo u određenim porcijama, kvantima energije (diskontinuirano). → Energija jednog kvanta proporcionalna je frekvenciji emitiranog elektromagnetskog vala (kvant se naziva fotonom) E f = h ⋅ν gdje je h = 6.626 ⋅10−34 J ⋅ s Planckova konstanta koja je određena

mjerenjem. → Ukupna energija za datu frekvenciju može se napisati kao E = N Ef = N h ν N = 0, 1, 2 … - cijeli broj → Koristeći tu hipotezu, Planck izvodi svoj zakon zračenja

Iλ =

2π hc 2

λ

1

5

e

hc λ kT

−1

koji izvanredno opisuje eksperimentalne rezultate. Dakako, ovaj izraz uključuje i Wienov rezultat o zračenju crnog tijela.

93 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

VI. 3. FOTOELEKTRIČNI EFEKT Ako se metalna pločica (npr. cink) postavi na elektroskop i zatim negativno nabije onda se zapaža da svijetlost određene frekvencije ima sposobnost da smanjuje negativan naboj te pločice, tj. da iz nje izbacuje elektrone → fotoelektrični efekt

zivina lampa obicna zarulja

Zn plocica

Kad pločicu obasjava obična žarulja, naboj elektroskopa se ne mijenja bez obzira kakav intezitet ima upadna svijetlost obične žarulje. Za razliku od te svjetlosti, svijetlost živine lampe vrlo malog inteziteta ima sposobnost da vrlo brzo neutralizira elektroskop, tj. da izbaci negativni naboj iz cinčane pločice. Prema klasičnoj predodžbi svjetlosti kao vala, očekivali bismo da povečavanjem inteziteta obične svijetlosti će rasti energija koju će primati elektroni, tako da će oni uz dovoljno velik intezitet početi izletati iz materijala → no to se ne opaža! → Svjetlost živine lampe, vrlo malog inteziteta izbacuje elektrone. Rješenje nalazi 1905. A. Einstein primjenjujući Planckovu hipotezu te rabeći zakon sačuvanja energije. Foton nosi energiju hν. Ona se djelomično troši za foton Ek kidanje veza elektrona s okolnim pozitivno površina E f = hν v nabijenim ionima ( Wi - izlazni rad), a ostatak se metala pretvara u kinetičku energiju foto-elektrona Ek .

hν = Wi + Ek hν = Wi +

tj.

slobodni elektron

2

mv - Einstenova relacija 2

Wi ioni

Frekvenciju svjetlosti za koju elektroni započnu izlaziti iz metalne pločice nazivamo graničnom frekvencijom.

hν g = Wi

Eksperimenti pokazuju da najveća kinetička energija foto-elektrona linearno ovisi o frekvenciji:

Ek = hν − Wi

u savršenom slaganju s Einsteinovom relacijom.

VI. 4. DUALNOST SVIJETLOSTI Svijetlost pokazuje osobine vala: - pojava interferencije - pojava difrakcije - pojava polarizacije ali i osobine čestice (korpuskule): - pojava fotoefekta - Comptonovo raspršenje (raspršenje svjetlosti na elekronu): Svijetlost ima značajke i jednog i drugog, tj. ona je dualne prirode (dakle dvojne prirode). U specijalnoj teoriji relativnosti su energija E, masa m i količina gibanja p povezane relacijom E 2 = m2c 4 + p 2c 2 .

94 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Fotoni nemaju masu mirovanja mf = 0 → E = p c S druge strane, prema Planckovoj hipotezi imamo za fotone

E = hν = h

c

λ

tj. E =

h

λ

c → p=

h

λ

.

p - količina gibanja (tipično korpuskularna karakteristika) λ - valna duljna (tipično valna karakteristika)

VI. 5. DE BROGLIEVA HIPOTEZA – DUALNOST TVARI De Broglieva hipoteza: Svakoj čestici mase m i brzine v treba pridružiti valnu duljinu, koja opisuje valne osobine dane čestice, datu relacijom

λ=

h h = gdje su m masa čestice (tijela) i v brzina čestice (tijela). p mv

Dakle, ne samo svjetlo nego sve čestice (uključivo i tijela) imaju dualnu prirodu! 1927. Davisson i Germer, te G. Thomson mjerenjem pokazuju da elektroni doživljavaju difrakciju na kristalnoj rešetki tj. ponašaju se kao val u skladu s De Broglievom hipotezom.

VI. 6. BOHROV MODEL ATOMA Krajem 19. stoljeća intezivno se ispituju spektri atoma. Za vodik se dobivaju 4 linije u vidljivom dijelu spektra. Njihove duljine, odnosno pripadne frekvencije Balmer povezuje pomoću jedne relacije

⎛ 1 1 ⎞ − 2 ⎟ , n = 3, 4, 5, 6 2 ⎝2 n ⎠

ν = cR ⎜

R – konstanta Rydberga c – brzina svjetlosti → U atomskom svijetu postoji nekakva harmoničnost. 1909. Rutherford nakon pokusa s bombardiranjem folije zlata α - česticama, dolazi na ideju da predoči atom kao sunčev sustav: pozitivna, teška jezgra → sunce negativni, lagani elektroni → planeti → nedostatak – elektroni koji se gibaju po kružnici morali bi zračiti energiju te bi pali na jezgru za oko 10−8 s .To je u suprotnosti s realnošću jer znamo da atomi “žive” puno dulje. Izlaz nalazi Niels Bohr uvodeći neke nove koncepte. Bohrovi postulati: 1) Postulat stacionarnih staza Elektroni mogu boraviti samo na određenim stazama – stacionarnim na kojima ne emitiraju energiju 2) Postulat emisije Elektroni emitiraju energiju kad prelaze s jedne stacionarne staze na drugu – energija emitiranog kvanta je hν = Em − En , m > n

gdje su energije elektrona na stacionarnim stazama Em , En .

95 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

3) Postulat kvantizacije momenta količine gibanja Moment količine gibanja elektrona može imati samo određene vrijednosti dane relacijom:

L = rn ⋅ me ⋅ vn = n

h 2π

n – prirodan broj h – Planckova konstanta rn - radijus n-te stacionarne staze

vn - brzina elektrona na n-toj stazi Promotrimo najjednostavniji atom – atom vodika. Coulombova sila igra ulogu centripetalne sile.

Fc = Fcp e2 e ⋅ e me vn2 2 = v k → = n rn me rn2 rn h h Bohrov postulat (3) → vn = n , [ = ] pa se izraz za kvadrat brzine zapisuje 2π rn me 2π k

u obliku n 2

h2 e2 k = otkuda dobivamo polumjere stacionarnih orbita elektrona rn me 4π 2 rn2 me2

oko protona u vodikovom atomu

h2 rn = n 4π 2 ke 2 me 2

n = 1, 2, 3, ...

→ Za radijus prve stacionarne staze dobijemo

r1 =

h2 ≈ 0.5 ⋅10−10 m - Bohrov radijus atoma 4π 2 ke 2 me

Radijusi ostalih stacionarnih staza su

rn = n 2 r1 tj. r2 = 4r1 , r3 = 9r1 Na svakoj stazi, n, elektron ima energiju vezanja En.

En = Ek ( n ) + E pel ( n )

me vn2 2 e2 E pel ( n ) = − k - potencijalna električna rn Ek ( n ) =

1 e2 e2 1 e2 e2 En = me k −k = k −k 2 rn me rn 2 rn rn 1 e2 En = − k 2 rn

tj. En =

1 n2

⎡ 1 e2 ⎤ ⎢− k ⎥ ⎣ 2 r1 ⎦

1 e2 E1 = − k = −13.6eV - energija osnovnog stanja 2 r1 E En = 21 n = 1, 2, 3, ... n Valja uočiti da se stacionarna orbita n = 1 u spektroskopiji obično označava kao K ljuska, stacionarna staza n = 2 kao L ljuska, stacionarna staza n = 3 kao M ljuska itd. Energija osnovnog stanja elektrona u vodikovu atomu je negativna što je odraz činjenice da je elektron vezan – dakle nije slobodan. Ionizacijom vodikova atoma se dobije slobodni elektron i slobodni proton. Energija ionizacije vodikova atoma u osnovnom stanju upravo je jednaka energiji veze elektrona u osnovnom stanju – dakle 13.6 eV.

96 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Elektroni imaju diskretne vrijednosti energije (crtež) E1 = – 13.6 eV, E2 = – 3.4 eV, ... Uz pomoć drugog postulata E,eV

hν = Em − En → ν =

E1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 2− 2⎟ h ⎝m n ⎠

što je u skladu s Balmerovom relacijom

ν=

E1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 2 − 2 ⎟. h ⎝2 m ⎠

0 -0.85 -1.5

n=4 n=3

-3.4

n=2

Pomoću gornjih relacija mogu se objasniti serije karakterističnih linija vodikovog atoma. n=1 -13.6 Intezitet tih linija teorija ne objašnjava. Rješenje daje kvantna mehanika razvijena u radovima: Wernera Heisenberga (1901. – 1976.) koji među ostalim formulira princip neodređenosti

∆x ∆px ≥

2

tj. fizikalno je nemoguće istovremeno izmjeriti točan položaj i točnu količinu gibanja čestice (∆x – neodređenost u položaju, ∆px – neodređenost u količini gibanja) Erwin Schrödinger (1887. – 1961.) koji nerelativističkoj čestici (elektronu) pripisuje valnu funkciju ψ koja zadovoljava Schrödingerovu jednadžbu Hˆ ψ = Eψ . Paul Adrien Maurice Dirac (1902. – 1984.) koji relativističkom elektronu pripisuje Diracovu valnu funkciju ψ D koja zadovoljava Diracovu jednadžbu Hˆ Dψ D = EDψ D . Rješenja

Diracove jednadžbe ED , ψ D uključuju rješenja Schrödingerove jednadžbe kao specijalni slučaj.

VI. 7. NUKLEARNA FIZIKA 1896. Henri Becquerel (1852. – 1908.) otkriva radioaktivnost uranove rude. Rutherford ispitivanjem pokazuje da postoje tri komponente radioaktivnog zračenja: I) α - zrake – pozitivno nabijene II) β - zrake – negativno nabijene γ - zrake – neutralne III) U Rutherfordovom modelu atoma pojavljuje se ideja o nuklearnoj jezgri koja sadrži gotovo svu masu atoma ali je za oko 105 puta manjih dimenzija od atoma tj. ima dimenzije oko 10−15 m. Radioaktivnost atoma uzrokovana je promjenama u jezgri! Daljnja ispitivanja pokazuju sa se jezgra sastoji od dvije vrste čestica: - protona p, pozitivno nabijen (po dogovoru) q p = +e , m p = 1.672 ⋅10−27 kg - neutron n, neutralan qn = 0 , mn = 1.674 ⋅10−27 kg Međusobno djeluju jakim nuklearnim silama koje su stotinjak puta jače od električnih. Ako se zanemari mala razlika u masi i električno međudjelovanje tada se te dvije čestice mogu smatrati ekvivalentnim → naziv nukleoni. Jezgre opisujemo: - masenim brojem A (broj nukleona ) - atomskim rednim brojem Z (broj protona) - brojem neutrona N = A – Z označavamo ih obično simbolom ZA X ← kemijski simbol elementa a) Radioaktivni raspadi. Zakon radioaktivnog raspada a1) α - raspad - iz jezgre izlaze čestice sastavljene od dva protona ( qα = +2e ) i dva neutrona → jezgre helija

α ≡ 24 He

4 2

97 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Općenito se raspad može zapisati kao

X → ZA−−42Y + 24α Energija tih α-čestica je oko 10 MeV A Z

a2) β - raspad Iz jezgre izlijeću dvije vrste čestica: β − - elektroni koji nastaju raspadom neutrona 1 0

0

n → 11 p + −10 e − + 0ν e

β + - pozitroni koji nastaju raspadom protona 1 1 0 + 0 1 p → 0 n + +1 e + 0ν e Činjenica da nastale β - čestice mogu imati proizvoljnu energiju sugerirala je W. Pauliju da pretpostavi postojanje čestica neutrina ve koje su dvadesetak godina kasnije i eksperimentalno zapažene. Općenito se β - raspad jezgre može zapisati u obliku: Z A

X →

Y +

A Z ±1

β

0 ∓1

a3) γ - raspad To su fotoni vrlo velikih frekvencija odnosno vrlo velikih energija (kvanti elektromagnetskog vala). Emitiraju ih pobuđene jezgre (koje poput atoma imaju svoje energetske nivoe koji su praćeni prijelazima reda MeV-a) koje s višeg energetskog prelaze na niži energetski nivo. Općenito se to zapisuje u obliku:

X ∗ → ZA X + 00γ gdje je AZ X ∗ jezgra u pobuđenom stanju. Z A

a4) zakon radioaktivnog raspada Neka u početnom trenutku imamo N 0 jezgara koje se mogu raspadati na jedan od gore

opisanih načina. Broj jezgara koje će se za vrijeme ∆t raspasti je očito proporcionalan početnom broju jezgara ∆N ∼ N, vremenskom intervalu ∆N ∼ ∆t i očito ovisi o vrsti jezgre. Tu ovisnost opisujemo konstantom raspada λ koja karakterizira svaki radioaktivni element. ∆N = –λ N ∆t Predznak “–“ je zbog toga što se broj jezgara smanjuje tokom vremena. Uz pomoć integralnog računa dobivamo zakon radioaktivnog raspada: N ( t ) = N 0 e − λt - broj neraspadnutih jezgara u trenutku t Često je zgodno uvesti vrijeme poluraspada T1/ 2 - za to vrijeme se pola od prisutnih neraspadnutih jezgara raspadne, odnosno pola se ne raspadne. N ln 2 0.693 N (T1/ 2 ) = 0 → T1/ 2 = = λ λ 2 Tada se zakon radioaktivnog raspada može zapisati i u obliku: −

t T1/ 2

N (t ) = N0 2 Definiramo i veličinu brzinu raspada, odnosno aktivnost ∆N A= − = λN ∆t Broj raspada u jedinici vremena: [A] = 1Bq – Bekerel – jedan raspad u sekundi. Kako se broj neraspadnutih jezgara smanjuje tokom vremena, tako se smanjuje i aktivnost. Iz A0 = λ N 0 i A ( t ) = λ N ( t ) = λ N 0 2

−

t T1 / 2

slijedi A ( t ) = A0 ⋅ 2

−

t T1/ 2

.

98 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Analogan izraz vrijedi za masu neraspadnutih jezgara:

m ( t ) = m0 ⋅ 2

−

t T1/ 2

Broj raspadnutih jezgara do nekog trenutka je

N R (t ) = N0 − N (t )

b) energija vezanja jezgre Usporedimo li masu nukleona prije nego formiraju jezgru

Z ⋅ m p + N ⋅ mn = Z mp + (A – Z) mn [ m p = 1.007276 u

1u = 1.66054 ⋅10−27 kg – atomska jedinica mase

mn = 1.008662 u , koristeći relativistički izraz E0 = mc 2 →1u = 931.494

MeV ] c2

s masom formirane, stabilne jezgre m j (Z, A) zapažamo da je

∆m = Zm p + ( A − Z ) mn − m j ( Z , A ) > 0 Uobičajeno je ∆m zvati defekt mase jezgre. Energiju, ∆Ev , koja po Einstenovoj relaciji odgovara defektu mase

∆Ev = ∆m ⋅ c 2 = ⎡⎣ Zm p + ( A − Z ) mm − m j ( Z , A ) ⎤⎦ ⋅ c 2 nazivamo energijom vezanja jezgre.

→Definiramo srednju energiju vezanja po nuklenu

Es =

∆Ev A

Krivulja ovisnosti Es o masenom broju (crtež) pokazuje maksimum kod izotopa jezgre

56 26

Fe .

c) Nuklearne reakcije Promotrimo reakciju u kojoj se jezgra meta X bombardira česticom a i kao rezultat toga nastaje jezgra kćer Y i čestica b a+X→Y+b kraći zapis X(a, b)Y Npr. prva umjetna reakcija 4 2

He + 147 N → 178 O + 11H

Vrijedi zakon očuvanja masenog broja: Zbroj masenih brojeva na lijevoj strani reakcije jednak je zbroju na desnoj strani reakcije. Te zakon očuvanja rednog broja: Zbroj rednih brojeva na lijevoj strani reakcije jednak je zbroju na desnoj strani.

99 Pripreme za razredbene ispite provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Za sve sudare vrijede zakoni očuvanja energije i količine gibanja. Kod neelastičnih sudara mehanička energija nije očuvana. Definiramo Q – vrijednost reakcije Q = Ek (konačno) – Ek (početno) tj.

Q = ( M a + M X − M Y − M b ) c2

Q > 0 – egzotermne < 0 – endotermne – potrebna energija praga da bi se ona počela odvijati c1) Fuzija Proces spajanja lakih jezgara u teže, npr: 1 1

H + 12 H → 23 He + 00γ + 6MeV

Taj proces odgovoran za energiju zvijezda. c2) Fisija Proces cijepanja teških jezgara na lakše, npr 141 92 1 n + 235 92U → 56 Ba + 36 Kr + 3 0 n Zbog dinamičke nestabilnosti teških jezgara, kad se one pogode sporim neutronom one se raspadnu na dvije srednje teške jezgre, pri čemu se oslobodi i poneki neutron. Postoji mogućnost lančane reakcije. Pritom se oslobađa i energija (nuklearni fisijski 1 0

reaktor).

100

provided by www.perpetuum-lab.com.hr

Pripreme za razredbene ispite