Skripta 2010-12-01.pdf
April 9, 2017 | Author: Марко Симовић | Category: N/A
Short Description
Download Skripta 2010-12-01.pdf...
Description
SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET
Alen Harapin Jure Radnić
OSNOVE BETONSKIH KONSTRUKCIJA INTERNA SKRIPTA
Split, 2009.
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
2
SADRŽAJ: 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Uvod u Armirani beton...........................................................................................................................................4 Uvod4 Povijest..................................................................................................................................................................4 Karakteristike.........................................................................................................................................................6 Norme za proračun AB konstrukcija ......................................................................................................................7 Opterećenja...........................................................................................................................................................7
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Fizičko-mehanička svojstva materijala ................................................................................................................8 Beton .....................................................................................................................................................................8 Armatura................................................................................................................................................................8 Uvjeti okoliša .........................................................................................................................................................8 Zahtjevi trajnosti ....................................................................................................................................................8 Zaštitni slojevi betona ............................................................................................................................................8
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
Proračun prema Graničnim stanjima nosivosti (GSN)........................................................................................9 Općenito ................................................................................................................................................................9 Osnovne pretpostavke.........................................................................................................................................11 Radni dijagram betona ........................................................................................................................................12 Radni dijagram čelika ..........................................................................................................................................13 Koeficijenti sigurnosti...........................................................................................................................................14 Klase okoliša .......................................................................................................................................................15
2
3
4
Dimenzioniranje AB konstrukcija prema Graničnim stanjima nosivosti.........................................................17 4.1 Minimalna i maksimalna armatura u presjeku......................................................................................................17 4.2 Jednostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja...........................................................17 4.2.1 Teoretske postavke.....................................................................................................................................17 4.2.2 Slučaj 1 .......................................................................................................................................................20 4.2.3 Slučaj 2 .......................................................................................................................................................21 4.2.4 Slučaj 3 .......................................................................................................................................................23 4.2.5 Slučaj 4 .......................................................................................................................................................25 4.3 Dvostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja ..............................................................26 4.4 Dimenzioniranje T i Γ presjeka ............................................................................................................................30 4.5 Kratki elementi opterećeni centričnom tlačnom silom..........................................................................................35 4.6 Kratki elementi opterećeni centričnom vlačnom silom .........................................................................................35 4.7 Dimenzioniranje pravokutnog presjeka na moment savijanja i uzdužnu silu........................................................36 4.7.1 Uzdužna vlačna sila – postupak Wuczkowskog ..........................................................................................36 4.7.2 Uzdužna tlačna sila – postupak Wuczkowskog...........................................................................................37 4.7.3 Uzdužna tlačna/vlačna sila – dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije..............................................42 4.8 Dimenzioniranje okruglog presjeka naprezanih momentom savijanja i uzdužnom silom.....................................45 4.9 Dimenzioniranje presjeka na Poprečnu silu.........................................................................................................47 4.9.1 Općenito......................................................................................................................................................47 4.9.2 Postupak .....................................................................................................................................................47 4.9.3 Standardna metoda.....................................................................................................................................48 4.9.4 Metoda slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova .....................................................................................49 4.9.5 Minimalna (konstruktivna) armatura ............................................................................................................50 4.10 Dimenzioniranje presjeka na Moment torzije .......................................................................................................54 4.10.1 Općenito......................................................................................................................................................54 4.10.2 Postupak .....................................................................................................................................................54 4.10.3 Zajedničko djelovanje Momenta torzije i Poprečne sile...............................................................................56 4.11 Proračun ploča na proboj.....................................................................................................................................61 4.11.1 Općenito......................................................................................................................................................61 4.11.2 Postupak .....................................................................................................................................................61 4.12 Koso savijanje .....................................................................................................................................................64
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
3
4.12.1 Općenito......................................................................................................................................................64 4.12.2 Postupak .....................................................................................................................................................64 4.13 Vitki elementi naprezani ekscentričnom tlačnom silom........................................................................................68 4.13.1 Općenito......................................................................................................................................................68 4.13.2 Pojam izvijanja ............................................................................................................................................68 4.13.3 Približni postupak prema EC-2....................................................................................................................70 5
Dimenzioniranje presjeka prema Graničnim stanjima uporabe .......................................................................74 5.1 Općenito ..............................................................................................................................................................74 5.2 Granično stanje naprezanja.................................................................................................................................74 5.3 Granično stanje pukotina.....................................................................................................................................75 5.3.1 Općenito......................................................................................................................................................75 5.3.2 Minimalna armatura ....................................................................................................................................75 5.3.3 Dokazni postupak bez kontrole širine pukotina ...........................................................................................76 5.3.4 Proračun širine pukotina .............................................................................................................................76 5.4 Granično stanje progiba ......................................................................................................................................80 5.4.1 Općenito......................................................................................................................................................80 5.4.2 Dokaz graničnog stanja progibanja .............................................................................................................81
6
Detalji ugradnje armature ....................................................................................................................................88 Općenito ..............................................................................................................................................................88 Razmak šipki .......................................................................................................................................................88 Dozvoljeni promjeri savijanja šipki .......................................................................................................................88 Sidrenje uzdužne armature..................................................................................................................................88 Sidrenje poprečne armature ................................................................................................................................88 Posebna pravila za šipke velikog promjera..........................................................................................................88
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 7
PRILOZI .................................................................................................................................................................89 Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graničnim stanjima sloma ........................................90 Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka........................................................................................................91 Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka........................................................................................................91 Prilog 3: Tablice za proračun pravokutnih križno armiranih ploča opterećenih jednolikim kontinuiranim opterećenjem.92 Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka.........................................................93 Prilog 5: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka.........................................................94 Prilog 6: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka.........................................................95 Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka ...............................................................96 Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka ...............................................................97 Prilog 9: Dijagram za dimenzioniranje pravokutnih presjeka na koso savijanje – armatura simetrično raspoređena u kutovima......................................................................................................................................................98 Prilog 10: Dijagram za dimenzioniranje pravokutnih presjeka na koso savijanje – armatura simetrično raspoređena po stranicama ..................................................................................................................................................99 Prilog 11: Armaturne tablice ........................................................................................................................................100
4
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
1
UVOD U ARMIRANI BETON
1.1
Uvod
U usporedbi s konstrukcijama od drugih materijala (kamen, drvo, čelik), betonske konstrukcije od armiranog i prednapetog betona relativno su nove. Betonske konstrukcije pojavljuju se u građevinarstvu u drugoj polovici 19. stoljeća i za kratko vrijeme ulaze u široko područje upotrebe. Za veliki broj objekata, kao što su: tvornički dimnjaci, silosi, temelji strojeva, piloti, kesoni, a osobito zgrade, mostovi i hidrotehnički objekti armirani beton i prednapeti beton su se nametnuli kao gotovo nezamjenjiv materijal. Betonske su konstrukcije u usporedbi s konstrukcijama od drugih materijala u mnoštvu primjera povoljnija rješenja u ekonomskom, funkcionalnom i estetskom pogledu.
1.2
Povijest
Iskustva u dobivanju betona vrlo su stara. Još su davno Azijati, Hebreji i Egipćani, a preko njih stari Grci i Rimljani, poznavali hidraulička svojstva mješavine pucolana, pržene gline i vapna. Pucolani su vulkanski pepeli koji nastaju erupcijom vulkana a imaju vezivna svojstva. Ime dolazi od mjesta Pozzuoli kod Napulja gdje se pucolan koristio kao vezivo u staroj vijeku. Termički procesi dobivanja pucolana su slični onima dobivanja zgure ili proizvodnji cementa. Sam pucolan nije vezivno sredstvo ali to postaje mješavina pucolana i vapna. Stari narodi su hidraulička veziva miješali s pijeskom i drobljenom opekom te na taj način izrađivali mort. Neke rimske građevine zidane takvim mortom, kao što je rimski Koloseum ili Pont du Gard kod Nimesa u južnoj Francuskoj, održale su se do danas jer je cementni mort još uvijek jak i čvrst. U ruševinama Pompeja neki mortovi, stari gotovo 2000 godina, često su bolje očuvani od nekog kamena u zidu.
Slika 1 – Rimski koloseum
Slika 2 – Akvadukt Pont du Gard
Nakon propasti Rimskog carstva način njegovog spravljanja je gotovo izgubljen. Moderna znanstvena iskustva počinju 1818. godine, kad je Vicat otkrio uzroke hidrauličkih svojstava nekih vrsta veziva. Prvi portland-cement proizveo je 1824. godine graditelj Joseph Aspdin iz Leedsa, ali on nije bio dovoljno pečen, pa je tek 1845. godine Isaac Johnson, pečenjem mješavine gline i vapnenca sve do nastajanja klinkera, uspio dobiti portland-cement sa svojstvima po kojima je i danas poznat. Sam naziv nastao je prema boji tog očvrslog cementa sličnoj boji vapnenca iz okolice Portlanda. Ocem armiranog betona obično se, pogrešno, smatra francuz Monier, koji je 1876. patentirao izradu velikih betonskih lonaca. Kasnije je patentirao i rezervoare, cijevi montažne ploče i svodove. Monier nije poznavao filozofiju nošenja armiranog betona, te je on žičanu mrežu postavljao u sredini presjeka. Međutim znatno ranije, francuz Joseph-Louis Lambot počeo je eksperimentirati s izradom betonskih vodospremnika ojačanih čeličnom žicom. Godine 1848. konstruirao je svoj prvi brod koristeći isti sustav. Brod je patentiran i prikazan na svjetskoj izložbi u Parizu 1955. U otprilike isto doba, u Njemačkoj, Weiss i Bauschinger rade prve pokuse utvrđivanja čvrstoće betona. Koenen, 1866. izlaže prvu metodu proračuna armirano-betonskih konstrukcija, što daje snažan poticaj za širenje uporabe ovih konstrukcija po Austriji i Njemačkoj.
5
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
François Hennebique, francuski inženjer, razvojem novog sustava rebrastih stropova daje novi podstrek razvoju armiranog betona. Također je integrirao do tada razdvojene elemente konstrukcije (greda, ploča, stup) u jednu jedinstvenu monolitnu cjelinu i uveo armirano betonske stropove ojačane čeličnim šipkama na donjoj strani, što je znatno pojeftinilo do tadašnja rješenja, te je u praksu uveo armiranobetonske pilote. Vrijeme Hennebiquea, kraj 19. stoljeća, može se smatrati prvom etapom razvoja armiranog betona u kojem nastaju raznovrsni sustavi armiranobetonskih konstrukcija. U ovoj etapi treba posebno naglasiti i istraživače: u Francuskoj – Considèra I Masnagera, u Njemačkoj – Mörscha, Bacha i Empergera, u Austriji – Salingera. Za proračun ab konstrukcija se koristila Coignetova i de Tedescova metoda proračuna prema dopuštenim naprezanjima. U SAD-u 1906. pojavljuju se nove monolitne ab konstrukcije poznate po imenom ravni gljivasti stropovi. Oni se sastoje od ploča bez greda sa stupovima koji se u spoju s pločom proširuju. Također u to doba snažan uzlet dobivaju ab okvirne konstrukcije, kojima se postižu kruti čvorovi, što je u drugim materijalima (čelik, drvo) teže postići. Počevši od 1928. u građevinsku praksu se uvode i tankostijene prostorne konstrukcije: cilindrične i rotacijske ljuske, složenice i šatori. Veliku zaslugu u razvoju ljusaka imaju Ellers i Dischinger. Istodobno se počinju razvijati i montažne ab konstrukcije.
Slika 3 – Tipični Hennebiqueov strop
Slika 4 – Freyssinetovi prednapeti mostni elementi
Kao početak praktične uporabe prednapetog betona smatra se 1928. kada je francuski inženjer-konstrukter Eugène Freyssinet izveo prvu uporabljivu prednapetu konstrukciju – Most na rijeci Elorn. Iako je prednapeti beton bio poznat i patentiran ranije, Freyssinetov nesumnjiv doprinos bilo razumijevanje da samo visoko kvalitetni čelik za prednapinjanje može umanjiti efekte puzanja betona. Na osnovi ideje A. F. Lolejta, 30-ih godina 20. stoljeća razvija se nova metoda proračuna, prijelomna metoda, koja će kasnije postati metoda graničnih stanja. Poseban podstrek dali su sovjetski znanstvenici: Lolejt, Gvozdjev, Stoljarov i dr. Nešto nakon toga ova metoda se počinje primjenjivati u SAD-u i Francuskoj, a zatim i u cijelom svijetu. Uvođenje prijelomne metode označava početak druge faze razvoja armirano betonskih konstrukcija. Znanstveni i tehnološki razvoj od 70. godina 20. stoljeća dao je i snažan poticaj razvoju armiranobetonskih konstrukcija. Razvija se čitav niz novih konstrukcija i poboljšavaju metode proračuna. Specijalnim recepturama i dodacima (aditivima) postižu se betoni visokih i vrlo visokih čvrstoća, a također se razvijaju i novi materijali. Kompozitni vlaknasti materijali omotani polimernom smolom, moguća su alternativa čeličnim armaturnim šipkama/mrežama. Polimerna aramidna armaturna vlakna (aramid fiber reinforced polymer (AFRP), Karbonska polimerna armaturna vlakna (carbon fiber reinforced polymer (CFRP)), i staklena polimerna armaturna vlakna (glass fiber reinforced polymer (GFRP) već predstavljaju komercijalni proizvod u građevinskoj industriji. Predviđena su za uporabu kao zamjena za armaturni i prednapeti čelik (ACI 440R 1996). S njima se izbjegava problem korozije, a imaju i neke druge poboljšane karakteristike u odnosu na obični čelik. Betoni od reaktivnog praha (RPC – Reactive Powder Concrete) je mikroarmirani beton vrlo visoke čvrstoće i drugih poboljšanih svojstava. RPC posjeduje vrlo visoke tlačne čvrstoće 200-800 Mpa, te vrlo velike svijajuće čvrstoće 25-150 Mpa. Ovo sve ukazuje da su armirani beton i prednapeti beton još uvijek u fazi intenzivnog razvoja.
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
1.3
6
Karakteristike
Beton se može najlakše opisati kao umjetni kamen, dakle materijal koji, kao i svaki kamen ima veliku tlačnu ali malu vlačnu čvrstoću. Ova loša osobina betona onemogućava širu primjenu nearmiranog betona. Da bi popravili ovaj osnovni nedostatak betonu dodajemo čelik (armaturu) i time dobivamo jedan novi kompozitni materijal, kojeg nazivamo armirani beton. Ovaj kompozit omogućava dobru iskoristivost oba materijala i to na mjestima gdje su najbolji: beton – u tlaku i čelik – u vlaku. Armirani beton, u odnosu na druge materijale, ima niz prednosti: −
Nezapaljivost. Armirani beton po otpornosti prema požaru pripada povoljnijim građevinskim materijalima. Kako je poznato, čelik sam po sebi nije otporan na visoke temperature i jako se deformira. Beton je materijal otporan na djelovanje požara, na što osobito utječe vrsta upotrebljenog agregata. Najbolje vrste agregata prema požaru su od bazalta, diabaza, vapnenca i dolomita a posebno od šamota i zgure iz visokih peći. Za vrijeme požara voda ispari iz betona, što znatno povećava njegovu termičku otpornost.
−
Trajnost. Trajnost armiranobetonskih konstrukcija osigurana je velikim dijelom time što beton štiti armaturu od korozije i što mu se čvrstoća u tijeku vremena povećava. To sve vrijedi uz uvjet da je konstrukcija načinjena od kompaktnog betona.
−
Relativno mali troškovi održavanja. Troškovi održavanja armiranobetonskih konstrukcija vrlo su mali, kao uostalom i za građevine od kamena, za razliku od troškova održavanja čeličnih i drvenih konstrukcija. U pogledu higijene armiranobetonske su konstrukcije u prednosti pred drvenim i čeličnim zbog svoje monolitnosti, u kojoj nema šupljina za leglo parazita i skupljanje prašine.
−
Mogućnost izrade najraznovrsnijih oblika. Prilagodljivost armiranog betona svim potrebnim oblicima dopušta projektantu zadovoljenje najrazličitijih zahtjeva konstrukcijske, izvođačke ili arhitektonske prirode.
Međutim, beton ima i niz mana, od kojih se može nabrojati nekoliko: − znatna vlastita težina − velika provodljivost topline i zvuka − niska vlačna čvrstoća − teško naknadno provjeravanje količine ugrađene armature − otežani radovi kod niskih i visokih temperatura. Ne bi trebalo betonirati kada je temperatura niža od +5°C. Kod visokih temperatura (>30°C) voda naglo hlapi iz betona i potrebne su specijalne mjere njege. − otežana naknadna adaptacija ili pojačanje gotove konstrukcije − korozija armature u betonu − dimenzionalna nestabilnost izazvana puzanjem i skupljanjem betona − poroznost − osjetljivost na mraz − mogućnost pojave pukotina koje ne narušavaju sigurnost i trajnost kada su ograničene širine, ali ipak kvare vanjski izgled. − beton izložen duže vrijeme visokim temperaturama (>250°C) naglo gubi čvrstoću i prionljivost s čelikom, a osobito ako se prilikom gašenja požara polijeva vodom, kada zbog naglog hlađenja još više raspucava. Iako je lista mana betona veća od liste prednosti, prednosti su ipak veće pa je beton danas jedan od najraširenijih gradiva. Efikasno djelovanje betona i armature koji su po mehaničkim karakteristikama dva različitih materijala, omogućeno je sljedećim: −
Beton tokom svog stvrdnjavanja čvrsto prianja uz čelik (armaturu), tako da pri djelovanju vanjskih sila oni zajedno sudjeluju u nošenju. Prianjanje čelika i betona glavni je faktor njihovog zajedničkog sudjelovanja u nošenju.
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
1.4
−
Beton i čelik imaju približno jednake temperaturne koeficijente. Betonu, ovisno o agregata temperaturni koeficijent je: α c = 1.4 ⋅ 10−5 − 0.7 ⋅ 10−5 1 o C , a čeliku: α c = 1.2 ⋅ 10−5 1 o C , zbog čega u kombinaciji ova dva materijala dolazi do neznatnog unutrašnjeg naprezanja pri temperaturnim promjenama.
−
Beton štiti čelik od korozije, ako je dovoljno kompaktan, zbog bazičnog karaktera kemijskih reakcija i obilnog lučenja Ca(OH)2.
Norme za proračun AB konstrukcija
Osnovne norme za proračun konstrukcija podijeljene su u 9 knjiga Euro Kodova, koji su navedeni u tablici:
1.5
7
Opterećenja
Osnovne norme za proračun konstrukcija podijeljene su u 9 knjiga Euro Kodova, koji su navedeni u tablici:
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
2
FIZIČKO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA
2.1
Beton
8
Osnovne mehaničke karakteristike betona su čvrstoća i deformabilnost. Struktura očvrslog betona se može zamisliti kao kostur od stvrdnutog cementnog tijesta u kojem je raspoređena kamena ispuna sastavljena od sitnog i krupnog kamena (agregat).
2.2
Armatura
2.3
Uvjeti okoliša
2.4
Zahtjevi trajnosti
2.5
Zaštitni slojevi betona
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
3
PRORAČUN PREMA GRANIČNIM STANJIMA NOSIVOSTI (GSN)
3.1
Općenito
9
Pod pojmom graničnog stanja nosivosti presjeka odnosno konstrukcije, podrazumijeva se ono stanje pri kojem presjek odnosno konstrukcija gubi sposobnost da se odupre vanjskim utjecajima ili pak dobiva nedopušteno velike deformacije ili lokalna oštećenja, čime prestaje ispunjavati postavljene kriterije u pogledu nosivosti, trajnosti i funkcionalnosti. Prema tome, konstrukcija (ili jedan njen dio) smatrat će se nepodobnom za predviđenu uporabu ako je prekoračeno bar jedno od graničnih stanja. Ovakav pristup, zasnovan na teoriji pouzdanosti konstrukcija, zahtijeva da se odabere ograničeni skup stanja za opisivanje ponašanja konstrukcije. Takva se stanja obično nazivaju graničnim stanjima pri kojima konstrukcija zadovoljava uvjete za koje je projektirana. Općenito, uobičajeno je da se granična stanja dijele u dvije velike grupe: a) granično stanje koje odgovara maksimalnoj nosivosti, a postiže se: −
lomom materijala u kritičnom presjeku ili dosezanjem znatnijih deformacija;
−
otkazivanjem nosivosti konstrukcije praćeno pojavom tzv. plastičnih zglobova, gdje se formira mehanizam loma kod statički neodređenih nosača (kod ploča se formiraju tzv. linije loma);
−
dovođenjem konstrukcije ili elementa konstrukcije koje promatramo kao kruta tijela u stanje gubitka ravnoteže;
−
izvijanjem u elastičnom ili plastičnom području;
−
zamorom materijala (npr. za mostove i nosače kranskih staza);
−
nestabilnošću uslijed velikih pomaka i deformacija.
b) granična stanja upotrebljivosti, a postižu se: −
graničnim stanjem deformacija vezano za upotrebljivost i izgled elementa i konstrukcije u cjelini - proračun deformacija;
−
graničnim stanjem pukotina - proračun pukotina.
−
graničnim stanjem naprezanja – kontrola naprezanja.
Bitno je napomenuti da se još uvijek često proračun konstrukcija vrši po teoriji elastičnosti (linearna teorija), dok se dimenzioniranje vrši po metodi graničnih stanja. Dakle, očiti je nesklad takvog postupka jer, naime, nedjeljiva je nelinearna ovisnost naprezanje-deformacija za armirano betonski presjek od preraspodjele unutarnjih sila u statički neodređenoj konstrukciji ("plastifikacija" presjeka i "plastifikacija" sistema). Metoda graničnih stanja promatra stanje deformacija i naprezanja neposredno pred slom presjeka. Da bi se mogla odrediti nosivost presjeka neposredno pred slom, valja poznavati i stanja naprezanja koja prethode graničnome. Greda od armiranog betona opterećena koncentriranom silom u sredini raspona ima različite stupnjeve iskorištenosti u raznim presjecima zavisno od momentnog dijagrama. Idući od ležajeva prema sredini raspona vide se tri različita stanja naprezanja, poznata u armiranom betonu kao stanja naprezanja I, II i III (crtež 1).
10
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
F Ia
I
III n.o.
n.o.
n.o.
SREDINA PRESJEKA
R
II
d
Bez pukotina
Sitne pukotine
Pukotine pred slom
1/2 l MI
M Ia
M II
M III
Crtež 5 - Stanja naprezanja AB grede
Za stanje I, naprezanja tlaka i vlaka su mala, pa je opravdano pretpostaviti da je raspodjela naprezanja linearna. Kraj stanja I (Ia) označava da je vlačna čvrstoća betona pred iscrpljenjem, pa raspodjela naprezanja u vlačnoj zoni ide po krivulji dok je raspodjela tlačnih naprezanja još uvijek linearna. Stanje naprezanja II karakteristično je po tome što u vlačnoj zoni nastaju pukotine i vlačna se zona isključuje iz nosivosti, a raspodjela tlačnih naprezanja ima oblik krivulje. Stanje naprezanja III (stanje neposredno pred slom) karakteristično je po tome što raspodjela tlačnih naprezanja ima oblik krivulje, a u vlačnoj zoni, kao i u zoni II, nastaju pukotine koje su još veće i dosežu neutralnu os. Tlačna zona se smanjuje i neutralna os putuje prema gore. Način sloma armirano betonskih elemenata ovisi o postotku armiranja, o djelovanju unutrašnjih sila i o mehaničkim karakteristikama betona i armature. Općenito slom presjeka može nastati: 1. uslijed popuštanja armature i to na 2 načina: − nedovoljnim armiranjem (ρ < ρmin) tako da prilikom prijelaza iz faze I u fazu II dolazi do naglog povećanja
naprezanja u armaturi, plastifikacije armature, formiranja većih pukotina i loma armature. Slom nastaje trenutno. Da se takav slom ne dogodi, potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom;
− iscrpljenošću armature, kod čega se slom presjeka ne događa odmah poslije pojave pukotina, već mu prethode
sve veće pukotine i naglašene deformacije armature u vlačnoj zoni (duktilan slom);
2. uslijed popuštanja betona nastaje neduktilan slom. Takav slom nastaje kod jako armiranih presjeka, pri čemu naprezanje u čeliku ne doseže granicu popuštanja. Slom nastaje iznenadno bez naglašenih pukotina i većih deformacija, osobito za betone visokih kvaliteta; 3. uslijed istodobnog popuštanja betona i armature nastaje tkz. balansirani slom, koji je karakteriziran prethodnom pojavom naglašenih deformacija i pukotina. Ako postoji mogućnost slobodnog izbora presjeka, preporučuje se dimenzioniranje uz pretpostavku istodobne iscrpljenosti armature i betona, tj uz potpuno iskorištenje obaju materijala ili samo čelika.
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
3.2
11
Osnovne pretpostavke
Elementi konstrukcija kod dimenzioniranja trebaju zadovoljiti uvjete: − postojanje dovoljne sigurnosti na lom, − zadovoljenje uvjet ograničenja pukotina za radna opterećenja (uvjet trajnosti), − da ukupne deformacije, s utjecajem puzanja, skupljanja i temperature, ne izazovu nepovoljne utjecaje na
konstrukciju u eksploataciji (uvjet uporabljivosti). U proračunu se po pravilu izračuna jedno granično stanje, koje se smatra mjerodavnim, a zatim se, za usvojenu geometriju poprečnih presjeka i kvaliteta materijala, dokazuje da su i ostala granična stanja zadovoljena. U velikom broju slučajeva, u inženjerskoj praksi, najkritičnije je stanje granične nosivosti - loma. Stoga se detaljan proračun - dimenzioniranje karakterističnih poprečnih presjeka nosača sprovodi prema teoriji granične nosivosti, a zatim se daje dokaz odnosno provjera ispunjenosti uvjeta koje traže granična stanja upotrebljivosti. Međutim, zavisno od namjene objekta, okolne sredine, primijenjenog sistema konstrukcije i sl., može se dogoditi da ne bude (uvijek) mjerodavno stanje loma, već jedno od dva granična stanja upotrebljivosti. Tako, na primjer, u jako agresivnim sredinama, gdje se u toku eksploatacije dopuštaju vrlo male širine pukotina u betonu, može biti najkritičnije granično stanje pukotina, pa kao takvo i mjerodavno za proračun. Kod vitkih AB konstrukcija velikih raspona može pak biti mjerodavno granično stanje deformacija, koje se kod savijenih elemenata svodi na granično stanje progiba. Uvjeti koje ovo granično stanje traži moraju se poštivati radi osiguranja funkcionalnosti konstrukcije, posebno radi osiguranja kompatibilnosti deformacija (progiba) konstrukcije sa opremom, pregradnim zidovima, oblogama, izolacijama; zatim izbjegavanja nepovoljnih psiholoških efekata, itd. Proračun prema graničnim stanjima dakle obuhvaća proračune i kontrole ponašanja konstrukcija i to: a)
granično stanje loma:
− proračun statičke ravnoteže konstrukcije (gdje se konstrukcija promatrana kao kruto tijelo provjerava na klizanje,
izvijanje, prevrtanje, isplivavanje, odizanje oslonaca...); − proračun unutarnjih sila koje vladaju u konstrukciji bilo linearnom teorijom (teorijom elastičnosti) ili
transformacijom konstrukcije u mehanizme loma (proračun teorije plastičnosti); − proračun granične nosivosti kritičnih presjeka za djelovanje momenata savijanja i uzdužnih sila, poprečnih sila,
momenata torzije, lokalnih naprezanja, probijanja, adhezije i sl.; − proračun graničnog stanja loma uslijed zamora materijala (za posebne elemente konstrukcija).
b)
granično stanje u eksploataciji:
− dokaz razmaka i otvora pukotina u vlačnoj zoni betona; − dokaz maksimalnih deformacija i progiba za upotrebljivost konstrukcije.
Proračun po graničnoj nosivosti lomu vrši se na osnovu sljedećih pretpostavki: − presjeci i nakon deformiranja ostaju ravni (vrijedi hipoteza Bernoulli-a), iz čega proističe da je raspored
deformacija po visini presjeka pravolinijski; − nosivost betona u vlačnoj zoni se ne uzima u obzir. Vlačnu silu prima armatura; − prianjanje betona i čelika nije narušeno sve do samog loma konstrukcije. Dakle deformacije betona i armature
su iste za istu udaljenost od neutralne osi presjeka; − poznata je veza naprezanje-deformacija za armaturu i beton, čime je određena veličina i raspored tlačnih
naprezanja po visini tlačnog dijela presjeka.
12
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
3.3
Radni dijagram betona
Eksperimentalna istraživanja su pokazala da stvarni oblik veze između naprezanja σc i deformacije εc za beton ovisi o nizu faktora: vrsti opterećenja, stanju naprezanja u elementu (jednoosno, dvoosno ili višeosno), kvaliteti betona, brzini nanošenja opterećenja, dužine trajanja opterećenja, obliku poprečnog presjeka nosača, količine armature u tlačnoj zoni presjeka, gustoći vilica itd. Za potrebe proračuna-dimenzioniranja betonskih i armirano betonskih presjeka potrebno je iznaći analitičku vezu između naprezanja σc i deformacija εc betona, koja će s jedne strane biti vrlo jednostavna i primjenjiva u praksi, a s druge što vjernije opisivati stvarnu vezu. Ova analitička veza, koja se u literaturi naziva radni dijagram betona (RDB), u pravilnicima raznih zemalja poprima čitav niz oblika: parabole drugog ili trećeg stupnja, pravokutnika, parabole+pravokutnika i sl. U našoj zemlji, a prema prijedlogu EC 2, usvojen je radni dijagram betona oblika parabola+pravokutnik (crtež 2).
σc fck
σc = ck (4−εc)εc f 4
αfcd
εc [‰] 2.0‰
3.5‰
Crtež 6 – Radni dijagram betona
Računski radni dijagram betona je dakle parabola: σc =
α fcd (4 − εc ) εc 4
pri
0 ≤ εc ≤ 2.0 ‰
(2.1)
tj pravac
σc = α fcd
pri
2.0 < εc ≤ 3.5 ‰
(2.2)
gdje je: − fcd - računska tlačna čvrstoća betona, koja se dobiva iz karakteristične tlačne čvrstoće Karakteristika betona fck (MPa) fc,cub (MPa) fct,m (MPa) τRd (MPa) Ecm (MPa)
C 12/15
C 16/20
C 20/25
C 25/30
C 30/37
C 35/45
C 40/50
C 45/55
C 50/60
Čvrstoća na valjku
12.0
16.0
20.0
25.0
30.0
35.0
40.0
45.0
50.0
Čvrstoća na kocki
15.0
20.0
25.0
30.0
37.0
45.0
50.0
55.0
60.0
Srednja vlačna čvrstoća
1.6
1.9
2.2
2.6
2.9
3.2
3.5
3.8
4.1
Posmična čvrstoća
0.18
0.22
0.26
0.30
0.34
0.37
0.41
0.44
0.48
Početni modul elastičnosti
26000.0
27500.0
29000.0
30500.0
32000.0
33500.0
35000.0
36000.0
37000.0
U tabeli su također dane i vrijednosti početnog modula elastičnosti te vlačne čvrstoće za pojedine klase betona, izračunate po izrazima
Ecm = 9500 ⋅ 3 fck + 8
;
fck [MPa]
fct ,m ≈ 0.3 ⋅ (fck )
;
fck [MPa]
23
[MPa] [MPa]
(2.3)
13
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
3.4
Radni dijagram čelika
Idealna veza između naprezanja i deformacija za čelik, kao računski model za proračun-dimenzioniranje armirano betonskih presjeka, koja se u literaturi naziva radni dijagram čelika (RDČ), uzima se u obliku bilinearnog dijagrama (crtež 3). Maksimalno (granično) naprezanje čelika fyk jednako je granici tečenja (razvlačenja). Dakle usvaja se da je granična nosivost armature po naprezanjima dostignuta kada naprezanje u armaturi bude jednako granici razvlačenja.
±σs fyk fyd
εs [‰] 20.0‰
Crtež 7 – Radni dijagram čelika
Dakle smatra se da je dostignuta granična nosivost presjeka po vlačnoj uzdužnoj armaturi znatno prije no što čelik uđe u zonu očvršćivanja. To je iz razloga što već pri deformacijama od 5 ‰ do 20 ‰ armirano betonski nosači se toliko deformiraju da se praktički iscrpljuje nosivost presjeka - deformacije rastu iako se vanjska sila ne mijenja (armatura "teče"). Pri prekoračenju deformacija od 20 ‰ dolazi do značajnih rotacija presjeka i do znatne redukcije tlačne zone što ima za posljedicu drobljenje i lom betona u tlaku. U tablici su date mehaničke karakteristike i uvjeti za pojedina svojstva čelika za armiranje, koji u stvari predstavljaju tražene kvalitete za pojedina svojstva. Šipkasta armatura (nHRN EN 10080-2, nHRN EN 10080-3 i nHRN EN 10080-4)
Mrežasta armatura (nHRN EN 10080-5)
B 500A (1.0438)
B 500B (1.0439)
B 450C (1.04…)
B 500A (1.0438)
B 500B (1.0439)
B 450C (1.04…)
Namot: 4-16 Šipke: 6-40
Namot: 6-16 Šipke: 6-40
Namot: 6-16
5-16
6-16
6-16
Granica razvlačenja fyk (MPa)
≥ 500
≥ 500
≥ 450
≥ 500
≥ 500
≥ 450
Omjer vlačne čvrstoće i granice razvlačenja
≥ 1.05
≥ 1.08
≥ 1.15 ≤ 1.35
≥ 1.05
≥ 1.08
≥ 1.15 ≤ 1.35
Naziv i oznaka (broj) čelika Nazivni promjer, d (mm)
14
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
3.5
Koeficijenti sigurnosti
Metoda graničnih stanja je semiprobabilistička metoda u kojoj se na principu vjerojatnoće intenziteta opterećenja definiraju reprezentativne vrijednosti. Tim se vrijednostima pridružuju koeficijenti sigurnosti, pa se dobivaju računske vrijednosti. Željeni stupanj sigurnosti postiže se dakle preko koeficijenata sigurnosti. Zavisno o kakvom se opterećenju radi imamo i različite koeficijente sigurnosti. Koeficijenti sigurnosti variraju prema tome da li se radi o stalnom (vlastita težina, težina stalne opreme...), promjenjivom (korisno opterećenje, snijeg, vjetar...) ili specijalnom opterećenjenju (utjecaji temeperature, puzanja i skupljanja betona, seizmički udari...). Koeficijent sigurnosti, u biti, služi nam da "pokrijemo" neke netočne pretpostavke koje smo uveli u račun, kao što su: − Netočnost procjene stalnog i pokretnog opterećenja; − Netočnost određivanja čvrstoća i deformacija materijala; − Netočnost usvojenog statičkog sistema u odnosu na stvarnu konstrukciju; − Odstupanje računskih radnih dijagrama σ−ε od stvarnih za pojedine materijale; − Tolerantne greške proračuna; − Greške određivanja kritičnih presjeka kod dimenzioniranja konstrukcije; − Utjecaj puzanja i skupljanja betona na konačnu čvrstoću, kao i utjecaj nejednolike temperature; − Neke netočnosti kod izvođenja (tolerantna odstupanja vertikalnosti elemenata, netočnost dimenzija presjeka,
itd.); − Netočnost u položaju armature, naročito odstupanje u veličini zaštitnog sloja u odnosu na projektiranu statičku
visinu presjeka; − Moguću koroziju čelika, koja utječe na smanjenje nosivosti; − Zanemarivanje prostornog djelovanja konstrukcije i zanemarivanje prostornog stanja naprezanja na čvrstoće;
Zavisno od deformacije betona i čelika definiraju se područja za određivanje stanja naprezanja, odnosno jedinstvenog koeficijenta sigurnosti, prema crtežu 4. Tlak 2.0‰ 3.5‰ B
d2
Vlak
As2 a b 1
c C
d
2 4 d f e
3
d1
As1
5
A 20.0‰
g h
3.0‰
Crtež 8 – Dijagram deformacija AB presjeka
1.
Centrični i ekscentrični vlak u fazi malog ekscentriciteta u području 1 omeđeni su linijama a i b. Cijeli betonski presjek je vlačno opterećen. Ukupnu vlačnu silu prima armatura. Točka A je točka rotacije presjeka.
2.
Između linija deformacija b i c, u području 2, dolaze slučajevi čistog savijanja i savijanja sa uzdužnom silom (±N). Neutralna os uvijek se nalazi u presjeku, a po položaju ide i do tlačnog ruba. Mogući položaji linija deformacije b i c imaju rotaciju u točki A. Samo u slučaju linije c beton je potpuno iskorišten.
3.
Slučajevi čistog savijanja i savijanja sa uzdužnom silom mogu biti omeđeni i linijama c i d, u području 3. Beton je u ovom području uvijek iskorišten do čvrstoće (fcd). Presjeci su jače armirani za liniju deformacije d. Mogući položaji linije deformacija imaju za rotaciju točku B.
15
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
4.
Između linija d i f u području 4, spadaju svi slučajevi složenog savijanja sa ekscentričnom tlačnom silom. Vlačna armatura, As1, u pravilu nije uvijek iskorištena kod loma zbog malih deformacija čelika. Točka rotacije linija deformacije je točka B. Za deformacije armature: ε s1 < ε v = fyd Es lom nastaje po betonu, prije nego što čelik dostigne granicu razvlačenja fyd. Naprezanja u čeliku nisu iskorištena između linija e i f, dok su iskorištena između linija d i e. Linija f predstavlja granicu kod koje je εc=3.5‰ i εc=0‰. U području iznad ove linije (prema liniji d) presjeci se računaju na složeno savijanje po velikom ekscentricitetu.
5.
3.6
Područje 5 određeno je linijama g i h, a odnosi se na slučajeve ekscentrične tlačne sile u fazi malog ekscentriciteta. Neutralna linija nalazi se uvijek izvan presjeka. U presjeku se javljaju samo tlačna naprezanja. Moguća točka rotacije linija deformacije je točka C. Lom uvijek nastaje po betonu. Za krajnje tlačno vlakno betona εc= 2.0-3.5‰, naprezanja su praktično na granici gnječenja, dok su naprezanja u armaturi na suprotnom rubu od σs= 0 do σs= fyd. Maksimalna deformacija tlačne armature iznosi 2.0‰.
Klase okoliša
Beton u eksploataciji može biti izložen različitim djelovanjima. Prema uvjetima u kojima se beton nalazi propisani su minimalni tehnološki zahtjevi u vezi sastava betona, karakteristične tlačne čvrstoće, minimalnog zaštitnog sloja, vodocementni omjer i sl. prema kojima treba odabirati i projektirati klasu betona. Razredi izloženosti i minimalne vrijednosti dane su u tablici. Razred
Informativni primjer moguće pojave razreda izloženosti
Najmanji razred tlačne čvrstoće betona
Minim. Zaštitni sloj cmin (mm)
Maksim. v/c omjer
Min. količina cementa
Ostali zahtjevi
Elementi bez armature u neagresivnom okolišu (npr. Nearmirani temelji koji nisu izloženi smrzavanju i odmrzavanju, nearmirani unutarnji elementi)
C 20/25
15
-
-
-
C 20/25
20
0.65
260
-
C 30/37
35
0.60
280
-
C 30/37
35
0.55
280
-
C 30/37
40
0.50
300
-
C 30/37
55
0.55
300
C 30/37
55
0.55
320
C 35/45
55
0.45
320
Vanjski elementi u blizini obale
C 30/37
55
0.50
300
-
Stalno uronjeni elementi u lukama
C 35/45
55
0.45
320
-
Zidovi lukobrana i molova
C 35/45
55
0.45
340
-
C 30/37
-
0.55
300
Opis okoliša
1. Nema rizika od oštećenja X0
Bez rizika djelovanja
2. Korozija armature uzrokovana karbonitizacijom XC1
Suho ili trajno vlažno
XC2
Vlažno, rijetko suho
XC3
Umjerena vlažnost
XC4
Cikličko vlažno i suho
Elementi u prostorijama obične vlažnosti zraka (uključujući kuhinje, kupaonice, praonice rublja u stambenim zgradama); elementi stalno uronjeni u vodu Dijelovi spremnika za vodu; dijelovi temelja Dijelovi do kojih vanjski zrak ima stalni ili povremeni pristup (npr. Zgrade otvorenih oblika); prostorije s atmosferom visoke vlažnosti (npr. Javne kuhinje, kupališta, praonice, vlažni prostori zatvorenih bazena za kupanje,…) Vanjski betonski elementi izravno izloženi kiši; elementi u području vlaženja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke,…
3. Korozija armature uzrokovana kloridima koji nisu iz mora XD1
Suho ili trajno vlažno
XD2
Vlažno, rijetko suho
XD3
Cikličko vlažno i suho
Područja prskanja vode s prometnih površina; privatne garaže Bazeni za plivanje i kupališta sa slanom vodom; elementi izloženi industrijskim vodama koji sadrže kloride Elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja se nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog sloja
4. Korozija armature uzrokovana kloridima iz mora XS1 XS2 XS3
Izloženi soli iz zraka, ali ne u direktnom dodiru s morskom vodom Uronjeno U zonama plime i prskanja vode
5. Djelovanje smrzavanja i odmrzavanja, sa li bez sredstava za odleđivanje XF1
Umjereno zasićeno
Vanjski elementi
Agregat
16
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
XF2
XF3
XF4
vodom bez sredstava za odleđivanje Umjereno zasićeno vodom sa sredstvom za odleđivanje ili morska voda Jako zasićeno vodom bez sredstava za odleđivanje
Jako zasićeno vodom sa sredstvom za odleđivanje ili morska voda
Područja prskanja vode s prometnih površina, sa sredstvom za odleđivanje (ali drukčije od onog kod XF4); područje prskanja morskom vodom Otvoreni spremnici za vodu; elementi u području kvašenja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke) Prometne površine tretirane sredstvima za odleđivanje; pretežno vodoravni elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja se nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog sloja); elementi u području morske plime; mjesta na kojima može doći do struganja u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije
C 25/30
-
0.55
300
C 30/37
-
0.50
320
prema HRN EN 12620 s dovoljnom otpornošću na smrzavanje;
C 30/37
-
0.45
340
Minimalna količina zraka 4.0%
-
6. Beton izložen kemijskom djelovanju XA1
Slabo kemijski agresivan okoliš
Spremnici u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije; spremnici tekućih umjetnih gnojiva
C 30/37
-
0.55
300
XA2
Umjereno kem. agresivan okoliš; konstrukcije u marinama
Betonski elementi u dodiru s morskom vodom; elementi u agresivnom tlu
C 35/45
-
0.50
320
Jako kemijski agresivan okoliš
Kemijski agresivne vode u postrojenjima za tretiranje otpadnih voda; spremnici za silažu i korita (žlijebovi) za hranjenje životinja; rashladni tornjevi s dimnjacima za odvođenje dimnih plinova
XA3
C 35/45
-
0.45
360
C 30/37
25
-
-
C 30/37
45
-
-
Sulfatno otporni cement
7. Beton izložen habanju XM1
Umjereno habanje
XM2
Znatno habanje
XM3
Ekstremno habanje
Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu vozila s pneumatskim gumama na kotačima Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s pneumatskim ili tvrdim gumama na kotačima Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s pneumatskim gumama ili čeličnim kotačima; hidrauličke konstrukcije u vrtložnim (uzburkanim) vodama (npr. Bazeni za destilaciju); površine izložene prometu gusjeničara
Manje maks. zrno agregata C 35/45
50
-
-
17
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
4
DIMENZIONIRANJE AB KONSTRUKCIJA PREMA GRANIČNIM STANJIMA NOSIVOSTI
4.1
Minimalna i maksimalna armatura u presjeku
Slom slabo armiranih presjeka, kao što je prije istaknuto, nastaje trenutno. Da bi spriječili takav slom potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom. Minimalna vlačna armatura određuje se iz uvjeta sprečavanja krtog loma, tj. iz uvjeta da ukupnu vlačnu silu u betonu kod pojave pukotina preuzme vlačna armatura. Osim toga ova armatura smanjuje širinu pukotina kod loma betona. EC-2 utvrđuje jedinstveni minimalni postotak armiranja za presjeke opterećenje dominantno na savijanje: ρl,min = 0.1% Maksimalna vlačna armatura u presjeku određuje se iz uvjeta da kapacitet rotacije pri lomu bude dovoljan da bi se mogla izvršiti redistribucija momenata duž nosača. Plastifikacija armature se mora izvršiti prije iscrpljenja nosivosti betona da do sloma ne bi došlo drobljenjem betona u tlaku. EC-2 utvrđuje jedinstveni maksimalni postotak armiranja za presjeke opterećenje dominantno na savijanje: ρl,max = 4.0%
4.2
Jednostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja
4.2.1
Teoretske postavke
U presjeku opterećenom momentom savijanja javlja se stanje deformacije-naprezanja kakvo je prikazano na crtežu 5.
εc2
d-d2 z=ζ*d
d-x
h d
εs1
As1
Fc
B
Neutralna os
Msd
d1
0.85 fcd
x=ξ*d
2
A
Fs1
1
b Crtež 9 - Naprezanja i deformacije jednostruko armiranog pravokutnog AB presjeka
Linija deformacije je pravac jer vrijedi Bernoullieva hipoteza ravnih presjeka. Naprezanje u betonu je određeno radnim dijagramom betona (parabola+pravokutnik) - crtež 2, a naprezanje u armaturi po radnom dijagramu čelika – crtež 3. Za dimenzioniranje presjeka koristi se uvjetom ravnoteže koji se za ovaj slučaj može iskazati
∑M = 0 ∑H = 0 gdje su: − Msd =
− − − −
∑γ M i
i
⇒
Msd = Fc ⋅ z = Fs1 ⋅ z
⇒
Fc = Fs1
- računska vrijednost utjecaja (računski moment);
Fc - računska sila u betonu (tlačna sila); Fs1 - računska sila u armaturi (vlačna sila); z - krak unutrašnjih sila; x - udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka;
(3.1)
18
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
− − −
d - udaljenost težišta vlačne armature od tlačnog ruba presjeka, statička visina presjeka; b, h - dimenzije presjeka (širina i visina); d1 - udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka.
Tlačna sila u betonu za opći poprečni presjek može se izraziti kao integral naprezanja po površini poprečnog presjeka:
∫
Fb = σc dA
(3.2)
A
Za pravokutni poprečni presjek kod kojeg je širina (b) konstantna izraz 3.2 se transformira u: x
∫
Fc = b σc dx = α v x b α fcd
(3.3)
0
gdje je αv koeficijent punoće RDB-a, ovisan o stupnju iskorištenosti betona, a predstavlja odnos površine RDB-a i površine pravokutnika ( fcd ⋅ x ). εc 2 (6 − εc 2 ) 0 ‰ < εc 2 ≤ 2 ‰ 12 3 εc2 − 2 αv = 2 ‰ < ε c 2 ≤ 3 .5 ‰ 3 εc2
αv =
(3.4)
Vlačna sila u armaturi dobiva se umnoškom površine armature sa naprezanjem u čeliku sa: Fs1 = A s1 fyd
(3.5)
Položaj neutralne osi x može se lako izračunati iz geometrijskih odnosa (crtež 5): x d = εc 2 ε s1 + εc 2
⇒
x=
εc 2 d= ξd ε s1 + εc 2
(3.6)
gdje je: −
ξ - koeficijent položaja neutralne osi.
Krak unutrašnjih sila (z) također se može lako izračunati: z = d − k a ⋅ x = d − k a ⋅ ξ ⋅ d = (1 − k a ⋅ ξ ) ⋅ d = ζ ⋅ d
(3.7)
gdje su: − z - krak unutrašnjih sila; − ζ - koeficijent kraka unutrašnjih sila; − ka - koeficijent položaja tlačne sile betona. 8 − εc 2 0 ‰ < εc 2 ≤ 2 ‰ 4(6 − εc 2 ) ε (3ε − 4 ) + 2 ka = c2 c2 2 ‰ < ε c 2 ≤ 3.5 ‰ 2εc 2 (3εc 2 − 2) ka =
(3.8)
Unutrašnji reaktivni moment (računska nosivost presjeka) može se izraziti kao umnožak unutrašnje sile i kraka: Msd = Fc ⋅ z = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ d ⋅ b ⋅ fcd ⋅ ζ ⋅ d
(3.9)
tj. µ sd = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ ζ =
gdje su: − b - širina pravokutnog presjeka; − d - statička visina presjeka;
Msd b ⋅ d2 ⋅ fcd
(3.10)
19
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
− −
fcd - računska čvrstoća betona; µ sd - bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja.
Potrebna površina armature dobit će se iz: Msd = A s1 ⋅ fyd ⋅ ζ ⋅ d ;
A s1 =
Msd ζ ⋅ d ⋅ fyd
(3.11)
Na isti način može se postaviti jednadžba preko sume horizontalnih sila:
∑N = 0
⇒
Fc = Fs1
0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ d ⋅ b ⋅ fcd = A s1 ⋅ fyd ω = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ =
(3.12)
fyd A s1 fyd ⋅ = ρ⋅ d ⋅ b fcd fcd
gdje su: − ω - mehanički koeficijent armiranja; − ρ - stvarni koeficijent armiranja; Kod praktičnog rješavanja pojedinih zadataka dimenzioniranja armirano betonskih presjeka, niz uvedenih koeficijenata se očitava iz tablica. Jedne takve tablice dane su u prilogu 1, a njihovo a njihovo praktično korištenje biti će prikazano na konkretnim primjerima koji se javljaju u praksi.
20
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
4.2.2
Slučaj 1
Postupak
Poznate su dimenzije betonskog presjeka, kvaliteta materijala i računsko opterećenje. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. Iz izraza (3.10). odredi se bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja:
µ sd =
Msd bd2 fcd
te se iz tablica (prilog 1) za odabranu deformaciju armature εs1 očitaju vrijednosti εc2, ξ i ζ. Potrebna površina armature dobiva se prema izrazu (3.11).
A s1 =
Msd ζ d fyd
Numerički primjer
h = 60 d = 55
x = 10.67
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=260 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: C 30/37
;
fck = 30.0 MPa
fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa
Msd
B 500B
;
fyk = 500.0 MPa
fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa
d1 = 5
opterećenje c
A s1
Msd = 260.0 kNm
b = 40
geometrija
b = 40 cm h = 60 cm d1 = 5.0 cm d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm µ sd =
Msd 260 ⋅ 100 = = 0.107 bd2 fcd 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0
iz tablica
⇒
εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.4 ‰; ζ = 0.925; ξ = 0.194
x = ξ ⋅ d = 0.194 ⋅ 55 = 10.67 cm A s1 =
Msd 260 ⋅ 100 = = 11.75 cm2 ζ d fyd 0.925 ⋅ 55 ⋅ 43.48
⇒ odabrano 6∅16 (As=12.06 cm2)
21
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
3.5 0.8 1.6 5.1
A s1
3
1.6 0.8
1.6 4.56
1.6 4.56
1.6 4.56
1.6 4.56
4.56
1.6 0.8
3
40
4.2.3
Slučaj 2
Postupak
Poznate su dimenzije betonskog presjeka b/d i kvaliteta materijala. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature. (Nepoznato nam je As1, εs1, εc2 i moment nosivosti). Moment nosivosti presjeka je onaj moment za kojega su oba materijala (beton i čelik) u potpunosti iskorišteni. Dakle εc2 =3.5 ‰ a εs1=3-20 ‰. Izborom εs1=3 ‰ dobiva se veliki moment nosivosti i više armature, a izborom εs1=20 ‰ mali moment nosivosti i malo armature Za pretpostavljene deformacije iz tablica se očitaju koeficijenti µ sd i ζ. Izrazima (3.10) i (3.11) dobivamo tražene veličine.
MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd A s1 =
MRd,lim ζ d fyd
Numerički primjer
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature. materijal:
B 500B
d1 = 5
fck = 30.0 MPa
;
fyk = 500.0 MPa
fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa A s1
geometrija
;
fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa Msd
b = 40
c
h = 60 d = 55
C 30/37
22
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
b = 40 cm h = 60 cm d1 = 5.0 cm d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm
Pretpostavimo: εs1 = 20.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰ ⇒
iz tablica
µsd,lim = 0.096; ζlim = 0.938; ξ lim = 0.149
MRd,lim = µ sd bd2 fcd = 0.096 ⋅ 40 ⋅ 552 ⋅ 2.0 = 232.32 kNm x = ξlim ⋅ d = 0.149 ⋅ 55 = 8.19 cm
A s1 =
MRd,lim ζ lim d fyd
=
232.32 ⋅ 100 = 10.36 cm2 0.938 ⋅ 55 ⋅ 43.48
Pretpostavimo: εs1 = 3.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰ ⇒
iz tablica
µsd,lim = 0.288; ζlim = 0.776; ξ lim = 0.538
MRd,lim = µ sd bd2 fcd = 0.288 ⋅ 40 ⋅ 552 ⋅ 2.0 = 696.96 kNm
x = ξlim ⋅ d = 0.538 ⋅ 55 = 29.59 cm A s1 =
MRd,lim ζ lim d fyd
=
696.96 ⋅ 100 = 37.56 cm2 0.776 ⋅ 55 ⋅ 43.48
U tablici su dani odnosi momenta nosivosti i uzdužne armature za još neke deformacije čelika: εs1
εc2
ξlim
ζlim
µRd,lim
x
MRd,lim
As1
3.0
3.5
0.538
0.776
0.288
29.59
696.96
37.56
0.412
0.829
0.235
22.65
568.23
28.67
3.5
0.259
0.892
0.159
14.26
385.16
18.05
15.0
3.5
0.189
0.921
0.120
10.41
290.24
13.17
20.0
3.5
0.149
0.938
0.096
8.19
232.32
10.36
14.26
εc2=3.5‰
h = 60 d = 55
29.60 22.65
8.19
3.5
10.41
5.0 10.0
A s1
εs1
d1 = 5
20 ‰ b = 40
15 ‰
10 ‰ 5 ‰ 3 ‰
23
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
4.2.4
Slučaj 3
Postupak
Poznati su kvaliteta materijala i računsko opterećenje. Potrebno je odrediti dimenzije betonskog presjeka i potrebnu površinu armature. (Nepoznato nam je: b, h, As1, εs1, εc2). Unaprijed se odabere širina presjeka b, te se izračunavanjem izraza (3.10) po d odredi potrebna visina presjeka. µ sd,lim =
Msd bd2 fcd
;
dpot ≥
Msd µ sd,lim b fcd
te se za odabrano d, potrebna površina armature dobiva prema izrazu (3.11) A s1 =
Msd ζ d f yd
Numerički primjer
Potrebno je odrediti optimalni betonski presjek, za računski moment Msd=300 kNm.. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature. materijal: ;
fck = 30.0 MPa
fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa Msd
B 500B
;
fyk = 500.0 MPa
fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa
d1 = 5
A s1
c
h = 60 d = 55
C 30/37
b = 40
Pretpostavimo: εs1 = 10.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰ iz tablica
⇒
µsd,lim = 0.159; ζlim = 0.892; ξ lim = 0.259
dpot ≥
Msd µ sd,lim b fcd
b (cm)
d (cm)
120.0
10.0
97.1
100.0
20.0
68.7
80.0
30.0
56.1
40.0
48.6
50.0
43.4
60.0
39.7
70.0
36.7
h (cm)
60.0 40.0 20.0
b
0.0 0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
Za presjeke koji su opterećeni momentom savijanja povoljan odnos dimenzija je d/b = 1.5-2.0.
80.0
24
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
bod = 35 cm hod = 60 cm d1 = 5.0 cm d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm Msd 300 ⋅ 100 = = 0.142 2 bd fcd 35 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0
µ sd =
⇒
iz tablica
εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.1 ‰; ζ = 0.904; ξ = 0.237
x = ξ ⋅ d = 0.237 ⋅ 55 = 13.04 cm
A s1 =
Msd 300 ⋅ 100 = = 13.88 cm2 ζ d fyd 0.904 ⋅ 55 ⋅ 43.48
⇒ 7∅16 (As=14.07 cm2) Armatura nije dobro odabrana jer je razmak između šipki premali.
3.5 0.8 1.6 5.1
A s1
3.5
1.6 0.8
1.6 2.53
1.6 2.53
1.6 2.53
1.6 2.53
1.6 2.53
2.53
1.6 0.8
3.5
35
A s1 = 13.88 cm2
⇒ 6∅18 (As=15.27 cm2) Ova armatura je bolje odabrana.
3.5 0.8 1.8 5.2
A s1
3.5
1.8 0.8
1.8 3.12
1.8 3.12
1.8 3.12 35
1.8 3.12
3.12
1.8 0.8
3.5
25
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
4.2.5
Slučaj 4
Postupak
Poznate su dimenzije betonskog presjeka (b/h), površina armature i kvaliteta materijala. Potrebno je odrediti moment nosivosti. (Nepoznato nam je: Msd). Uz pretpostavku deformacija armature εs1 = 20.0 ‰, nađe se mehanički koeficijent armiranja (izraz 3.12):
ω=
A s1 fyd ⋅ d ⋅ b fcd
te nakon što se iz tablica (prilog 1) očitaju koeficijenti µ sd,lim ili ζ lim moment nosivosti se odredi prema jednom od sljedećih izraza MRd,lim = µ sd,lim b d2 fcd
ili
MRd,lim = A s1 ζ lim d fyd
Važno je napomenuti da se na ovaj način dobiva najmanji moment nosivosti. Odabirom manjih deformacija Numerički primjer
Potrebno je odrediti optimalni betonski presjek, za računski moment Msd=300 kNm.. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature. materijal:
h = 60 d = 55
C 30/37
;
fck = 30.0 MPa
fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa Msd
B 500B
;
fyk = 500.0 MPa
fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa
d1 = 5
c
A s1
b = 40
Pretpostavimo: εs1 = 10.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰, i b=60 cm iz tablica dpot ≥
⇒
µsd,lim = 0.159; ζlim = 0.892; ξ lim = 0.259
Msd = µ sd,lim b fcd
300 ⋅ 100 = 39.65 cm 0.159 ⋅ 60 ⋅ 2.0
26
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
4.3
Dvostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja
d2
2
As2
x=ξ*d
Dvostruko armirani presjeci su oni presjeci koji posjeduju vlačnu i tlačnu armaturu (crtež 6). Dvostruko armirani presjeci upotrebljavaju se kada je računski moment Msd veći od momenta nosivosti MRd,lim kojeg presjek može preuzeti bez tlačne armature.
εs2
εc2
Fs2 Fc
Nsd
d-x
h d
d-d2 z=ζ*d
Neutralna os
Msd
εs1
As1
d1
0.85 fcd
Fs1
1
b Crtež 10 - Naprezanja i deformacije dvostruko armiranog pravokutnog AB presjeka
U dvostruko armiranom presjeku utjecaj tlačne armature na njegovu nosivost može se uzeti u obzir ako je ona povezana sponama na razmaku: sw ≤ 15∅ (∅ - promjer šipke tlačne armature) i ako je zadovoljen uvjet x ≥ 2d2 (x - udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka , d2 -udaljenost težišta tlačne armature od ruba presjeka). Time se tlačna armatura osigurava od izvijanja! Za betone razreda ≤C 35/45 prema normi HRN EN 1992-1-1 najveća dopuštena granična vrijednost koeficijenta položaja neutralne osi iznosi ξlim=0.45. S tim u vezi mogu se izračunati i ostali parametri:
εc2 = 3.5 ‰ ξlim = 0.45
;
ε s1 = 4.278 ‰ ζ lim = 0.813
;
; µ sd,lim = 0.252
(3.13)
Prema tome najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti je:
(
MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.252 ⋅ bd2 fcd
)
(3.14)
Za betone razreda ≥C 40/50 prema normi HRN EN 1992-1-1 najveća dopuštena granična vrijednost koeficijenta položaja neutralne osi iznosi ξlim=0.35. S tim u vezi mogu se izračunati i ostali parametri: ε c2 = 3.5 ‰ ξlim = 0.35
; ;
ε s1 = 6.5 ‰ ζ lim = 0.854
;
µ sd,lim = 0.206
(3.15)
Prema tome najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti je:
(
MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.206 ⋅ bd2 fcd
)
(3.16)
Limitirajući moment preuzimaju beton i vlačna armatura, dok razliku do stvarnog momenta preuzimaju dodatna vlačna i tlačna armatura. Prema tome potrebna armatura će se izračunati prema izrazima: A s1 =
MRd,lim M − MRd,lim + sd - ukupna vlačna armatura (d − d2 ) fyd ζ lim d fyd
(3.17)
Msd − MRd,lim - tlačna armatura (d − d2 )σs2
(3.18)
A s2 =
Gdje je σs2 tlačno naprezanje u armaturi. Pri deformaciji ε s2 ≤ ε v uzima se da je ε s2 = fyd a za ε s2 > ε v , sa se izračunava iz izraza:
27
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
σs2 = Es εs2
d2 d 1− ξ
ξ−
(3.19)
gdje je: −
ε s 2 - vlačna deformacija čelika promatrana kao apsolutna vrijednost,
−
Es - modul elastičnosti čelika ( Es = 200 GPa ),
−
εv - Granična deformacija pri kojoj dolazi do tečenja armature (= fyd Es ).
Numerički primjer 1
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne i tlačne armature od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=760 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: C 30/37
c
d2 = 5
A s2
;
fck = 30.0 MPa
d = 55
fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa Msd
B 500B
;
fyk = 500.0 MPa
fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa
d1 = 5
opterećenje c
A s1
Msd = 760.0 MPa
b = 40
geometrija b = 40 cm h = 60 cm
d1 = d2 = 5.0 cm d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm µ sd =
Msd 760 ⋅ 100 = = 0.314 2 bd fcd 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0
Vidljivo je da izračunati µ sd veći od maksimalnog kojeg možemo očitati iz tablica. Presjek je potrebno dvostruko armirati. Računamo moment nosivosti: ε c2 = 3.5 ‰ ξlim = 0.45
; ;
ε s1 = 4.278 ‰ ζ lim = 0.813
; µ sd,lim = 0.252
MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.252 ⋅ bd2 fcd = 0.252 ⋅ 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0 = 609.8 kNm
Vlačna armatura:
28
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
A s1 =
MRd,lim M − MRd,lim (760.0 − 609.8 ) ⋅ 100 = 609.8 ⋅ 100 + sd = + (55 − 5) ⋅ 43.48 (d − d2 ) fyd 0.813 ⋅ 55 ⋅ 43.48 ζ lim d fyd = 31.36 + 6.91 = 38.27 cm2
A s2
d2 = 5
x = 24.75
εc2 = 3.5 ‰
x = ξlim ⋅ d = 0.45 ⋅ 55 = 24.75 cm εc 2 ε x − d2 24.75 − 5.0 = s2 ⇒ εs2 = εc 2 = ⋅ 3.5 = 2.79 ‰ x x − d2 x 24.75
ε s2 = 2.79 ‰
ε v (B 500 ) =
fyd Es
=
434.8 ⋅ 1000 (‰) = 2.17 ‰ 200000
ε s2 > ε v ⇒ σ s2 = fyd A s1
A s2 = A s1 = 38.27 cm2
⇒ odabrano 5∅32 (As=40.21 cm2) ⇒ odabrano 3∅20 (As=9.42 cm2) 2 0.8 3.5 5.33
A s2 = 6.91 cm2
Msd − MRd,lim (760.0 − 609.8 ) ⋅ 100 = = 6.91 cm2 (55 − 5) ⋅ 43.48 (d − d2 ) fyd
Krivo su pretpostavljene veličine d1 i d2, pa ponavljamo proračun.
A s2
b = 40 cm h = 60 cm
d1 = 6.0 cm d2 = 5.5 cm d = h − d1 = 60 − 6 = 54 cm 3.5 0.8 3.2 5.9
A s1
3.2 3.5
0.8
3.2 3.85
3.2
3.2 3.85
3.85
3.2 3.85
0.8
3.5
40
MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.252 ⋅ bd2 fcd = 0.252 ⋅ 40 ⋅ 54 2 ⋅ 2.0 = 587.9 kNm Vlačna armatura:
A s1 =
MRd,lim M − MRd,lim (760.0 − 587.9) ⋅ 100 = 587.9 ⋅ 100 + sd = + (d − d2 ) fyd 0.813 ⋅ 54 ⋅ 43.48 ζ lim d fyd (54 − 5.5) ⋅ 43.48 = 30.80 + 8.16 = 38.96 cm2
Tlačna armatura
A s2 =
Msd − MRd,lim (760.0 − 587.9 ) ⋅ 100 = = 8.16 cm2 (54 − 5.5) ⋅ 43.48 (d − d2 ) fyd
Vidljivo je da se armatura nije značajno promijenila. Vrijede odabrane šipke.
29
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Numerički primjer 2
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=6 cm, a udaljenost težišta tlačne armature od ruba presjeka d2=12 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=760 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. d 2 = 12
materijal:
d = 55
c
C 30/37 A s2
;
fck = 30.0 MPa
fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa
Msd
B 500B
;
fyk = 500.0 MPa
fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa
d1 = 5
opterećenje c
A s1
Msd = 760.0 MPa
b = 40
geometrija
b = 40 cm h = 60 cm d1 = 6.0 cm d2 = 12.0 cm d = h − d1 = 60 − 6 = 54 cm µ sd =
Msd 760 ⋅ 100 = = 0.314 bd2 fcd 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0
MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.252 ⋅ bd2 fcd = 0.252 ⋅ 40 ⋅ 54 2 ⋅ 2.0 = 587.9 kNm Vlačna armatura:
A s1 =
MRd,lim M − MRd,lim (760.0 − 587.9) ⋅ 100 = 587.9 ⋅ 100 + sd = + (54 − 12) ⋅ 43.48 (d − d2 ) fyd 0.813 ⋅ 54 ⋅ 43.48 ζ lim d fyd = 30.80 + 9.42 = 40.22 cm2
A s2
d 2 = 12
x = 24.75
εc2 = 3.5 ‰
ε s2 = 1.80 ‰
x = ξlim ⋅ d = 0.45 ⋅ 55 = 24.75 cm εc 2 ε x − d2 24.75 − 12.0 = s2 ⇒ ε s2 = εc 2 = ⋅ 3.5 = 1.80 ‰ x x − d2 x 24.75 ε v (B 500 ) =
fyd Es
=
434.8 ⋅ 1000 (‰) = 2.17 ‰ 200000
ε s2 > ε v ⇒ σs2 = Es ⋅ ε s2 = 200000 ⋅ 0.0018 = 360.6 MPa A s1
A s2 =
Msd − MRd,lim (760.0 − 587.9 ) ⋅ 100 = = 11.36 cm2 (55 − 12) ⋅ 36.06 (d − d2 )σs2
30
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
⇒ odabrano 5∅32 (As=40.21 cm2)
A s2 = 11.36 cm2
⇒ odabrano 4∅20 (As=12.57 cm2) 2 0.8 3.5 5.33
A s1 = 40.22 cm2
A s2
3.5 0.8 3.2 5.9
A s1
3.2 3.5
0.8
3.2
3.2
3.2
3.85
3.85
3.85
3.2 0.8
3.85
3.5
40
Napomena: Ovim postupkom se praktički može odrediti armatura za bilo koji zadani moment Msd. No, potrebno je uvijek imati na umu da ukupni postotak armature u presjeku ne prijeđe maksimalnu dopuštenu vrijednost. ρl =
A sl A s1 + A s 2 40.21 + 12.57 = = = 2.2% Ac 60 ⋅ 40 60 ⋅ 40
Maksimalna vrijednost količine armature za presjeke naprezanje savijanjem je (prema EC2) ρl,max=4%, što je više od dobivene vrijednosti, te zaključujemo da je presjek ispravno dimenzioniran. Međutim, ovaj postotak armature je praktično prevelik za dani presjek, te je potrebno povećati presjek i/ili smanjiti opterećenje.
4.4
Dimenzioniranje T i Γ presjeka
T presjecima nazivamo one presjeke čija tlačna zona ima oblik slova "T", crtež 7. b eff A s2
εs2
x
hf
d2
2
Neutralna os
εc2
0.85 f cd
ε*c
Fs2 Fc
d1
A s1 1
εs1
z
d-x
h d
d-d2
Msd
Fs1
bw Crtež 11 – T - presjek
Dakle, osim oblika, da bi presjek bio T presjek mora biti ispunjen i uvjet da je x>hf . Ako je x5bw primjenjuje se pojednostavljeni proračun, koji je za praksu dovoljno točan, a nalazi se na strani sigurnosti. Pri tome se
31
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
pretpostavlja da ukupnu tlačnu silu prima samo ploča, i da ova sila djeluje u srednjoj ravnini ploče, tj. da je krak unutrašnjih sila z=(d-hf/2). Dakle, zanemaruje se tlačna sila koju prima dio rebra između neutralne osi i donje ivice ploče beff 0.85 f
εs2
εc2
x
cd
Fc
ε*c
Neutralna os
z = d - h f /2
hf
d2
2
d-x
h d
Msd
εs1
d1
A s1 1
Fs1
bw Crtež 12 – "T" presjek s odnosom beff/bw>5
Koristeći uvjete ravnoteže, dobiva se izraz za potrebnu površinu presjeka vlačne armature.
A s1 =
Msd
(3.20)
(d − hf / 2) fyd
U praksi se najčešće pretpostave-usvoje dimenzije presjeka, a zatim se određuje armatura. Pri tom se, u pravilu, ne ide na potpuno iskorištavanje betona, jer bi to dalo neracionalne, previše armirane presjeke. Dakle granična nosivost ovakvih presjeka dostiže se po armaturi (10-20 ‰). S obzirom na veliku nosivost ploče, tlačna računska armatura je u pravilu nepotrebna i ekonomski neopravdana. Izuzetno kada aktivna širina ploče beff nije mnogo veća od širine rebra bw, a T presjek izložen savijanju s velikom tlačnom silom, može se javiti potreba i za tlačnom računskom armaturom. Ako je beff≤5bw, obično se ne zadovoljavamo prethodnim, pojednostavljenim postupkom proračuna T presjeka, posebno ako je nosač T presjeka većeg raspona i opterećenja. Tada primjenjujemo točniji postupak u kojem ne zanemarujemo doprinos tlačnog dijela rebra. Točniji postupak primjenjujemo i onda kada je beff>5bw ako je x >>hf. To će se dogoditi kod presjeka opterećenih na savijanje s velikom tlačnom silom. Tada se doprinos nosivosti presjeka velike tlačne zone rebra ne smije zanemariti. U praksi se dimenzioniranje T presjeka svodi na dimenzioniranje zamjenjujućeg presjeka širine bi. Širina bi određuje se iz uvjeta da se, pri jednakim položajima neutralne osi, dobiju jednake tlačne sile u zadanom i zamjenjujućem presjeku. Polazišna osnova nam je pravokutni presjek širine jednake širini ploče. Nakon izračunavanja koeficijenta µsd i očitavanja koeficijenta ξ, određujemo položaj neutralne osi (3.6), pri čemu se mogu pojaviti dvije mogućnosti:
−
neutralna os prolazi kroz ploču ili njenim donjim rubom. Takav presjek proračunavamo kao pravokutni dimenzija beff/d, dakle za očitani ζ određujemo armaturu prema (3.11).
−
neutralna os siječe rebro. b eff bi A s2
εs2
x
hf
d2
2
Neutralna os
εc2
0.85 f cd
ε*c
Fs2 Fc
N sd
d1
A s1 1
bw
εs1
z
d-x
h d
d-d2
Msd
Fs1
32
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Crtež 13 – Zamjenjujući "T" presjek
Širinu fiktivnog T presjeka bi možemo odrediti iz izraza: (3.21)
bi = λ b ⋅ beff
pri čemu se koeficijent λb može izračunati iz formule (3.22) ili dovoljno točno očitati iz tablica danih u prilogu 2, što u praksi predstavlja uobičajeni postupak.
λb = 1 −
αv α∗v
⎛ h ⎞⎛ b ⎜⎜1 − f ⎟⎟⎜⎜1 − eff bw ⎝ ξ d ⎠⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
(3.22)
pri čemu su: − α v - koeficijent punoće radnog dijagrama betona za deformaciju εc 2 ;
α∗v - koeficijent punoće radnog dijagrama betona za deformaciju ε∗c ;
−
Nakon pronalaženja aktivne širine bi zamjenjujućeg T presjeka provodi se dimenzioniranje kao za pravokutni presjek poznatih dimenzija bi/d. Dobivene nova vrijednost ξ uspoređuje se sa starom, pa nastane li razlika, postupak se ponavlja. Na ovaj način T presjek je zamijenjen s pravokutnim presjekom pa se mogu koristiti sva pomoćna sredstva za proračun pravokutnih presjeka (tablice, dijagrami i sl.) Numerički primjer 1
Zadan je betonski presjek dimenzija prema slici. Element je izrađen iz betona klase C 25/30 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=700 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. b eff = 150
d = 95
Msd
C 25/30
;
fck = 25.0 MPa
fcd = fck γ c = 25.0 1.5 = 16.7 MPa B 500B
;
fyk = 500.0 MPa
A s1 b w = 40
c
fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa d1 = 5
h = 100
h f = 15
materijal:
opterećenje
Msd = 700.0 MPa
33
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
početni presjek:
µ sd =
beff/d = 150/95:
Msd 700 ⋅ 100 = = 0.031 2 beff d fcd 150 ⋅ 95 2 ⋅ 1.67
iz tablica
⇒
εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 1.0 ‰; ζ = 0.968; ξ = 0.091
< hf = 15.0 cm − neutralna os siječe ploču!
x = ξ ⋅ d = 0.091⋅ 95 = 8.65 cm
Msd 700 ⋅ 100 = = 17.51 cm2 ζ d fyd 0.968 ⋅ 95 ⋅ 43.48
A s1 =
⇒ odabrano 6∅20 (As=18.85 cm2)
Numerički primjer 2
Zadan je isti betonski presjek kao u prethodnom primjeru, ali opterećen računskim opterećenjem Msd=3000 kNm. početni presjek: µ sd =
beff/d = 150/95:
Msd 3000 ⋅ 100 = = 0.133 2 b eff d fcd 150 ⋅ 95 2 ⋅ 1.67
iz tablica
⇒
εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.9 ‰; ζ = 0.910; ξ = 0.225
x = ξ ⋅ d = 0.225 ⋅ 95 = 21.38 cm
> hf = 15.0 cm − neutralna os siječe rebro!
⇒ Potrebno je odrediti aktivnu širinu fiktivnog T presjeka. Aktivnu širinu očitavamo iz Tablice u Prilogu 2, prethodno izračunavši parametre:
beff 150 = = 3.75 bw 40
h f 15 = = 0.16 d 95
,
ξ = 0.225
,
hf d 0.550
0.525
0.500
0.475
0.450
0.425
0.400
0.375
0.350
0.325
0.300
0.275
b eff b 0.250
0.225
0.200
0.175
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
0.025
1.5
2.0
2.5
3.0
0.550
3.5
4.0
4.5
5.0
λb
ξ=x d 0.525
0.500
0.475
0.450
0.425
0.400
0.375
0.350
0.325
0.300
0.275
0.250
0.225
0.200
0.175
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
0.025
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
0.550
0.513
0.489
0.464
0.437
0.413
0.386
0.362
0.335
0.309
0.284
0.259
0.232
0.207
0.181
0.155
0.130
0.103
0.078
0.052
0.026
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
0.550
0.513
0.487
0.461
0.436
0.409
0.383
0.357
0.330
0.303
0.276
0.249
0.221
0.194
0.166
0.139
0.111
0.083
0.056
0.028
0.99
0.99
0.99
0.99
0.99
0.99
0.99
0.99
0.550
0.513
0.487
0.460
0.434
0.407
0.379
0.351
0.323
0.295
0.266
0.237
0.208
0.178
0.149
0.119
0.090
0.060
0.030
0.99
0.98
0.98
0.98
0.98
0.98
0.98
0.98
0.550
0.512
0.485
0.459
0.431
0.403
0.374
0.345
0.315
0.285
0.254
0.223
0.192
0.160
0.129
0.097
0.065
0.032
0.98
0.97
0.97
0.97
0.96
0.96
0.96
0.96
0.550
0.512
0.485
0.457
0.428
0.399
0.368
0.337
0.306
0.273
0.240
0.207
0.173
0.139
0.105
0.070
0.035
0.97
0.96
0.95
0.94
0.94
0.94
0.94
0.93
0.550
0.511
0.483
0.454
0.425
0.394
0.362
0.329
0.295
0.260
0.224
0.188
0.151
0.114
0.076
0.038
0.96
0.94
0.93
0.92
0.91
0.91
0.91
0.550
0.510
0.481
0.451
0.420
0.388
0.354
0.318
0.281
0.243
0.204
0.164
0.124
0.083
0.042
0.95
0.92
0.90
0.89
0.88
0.88
0.87
0.87
0.550
0.509
0.479
0.448
0.415
0.381
0.344
0.305
0.265
0.223
0.180
0.136
0.091
0.046
0.93
0.90
0.87
0.86
0.85
0.84
0.84
0.83
0.550
0.508
0.477
0.444
0.409
0.372
0.331
0.289
0.244
0.198
0.150
0.101
0.051
0.91
0.87
0.84
0.83
0.81
0.80
0.80
0.79
0.550
0.507
0.473
0.439
0.401
0.360
0.316
0.268
0.218
0.166
0.112
0.056
0.90
0.84
0.81
0.79
0.78
0.76
0.76
0.75
0.550
0.505
0.469
0.432
0.391
0.345
0.295
0.241
0.184
0.125
0.063
0.88
0.82
0.78
0.75
0.74
0.72
0.71
0.70
0.550
0.502
0.464
0.423
0.378
0.326
0.268
0.206
0.140
0.071
0.86
0.79
0.74
0.72
0.70
0.68
0.67
0.66
0.550
0.499
0.457
0.412
0.360
0.299
0.232
0.158
0.081
0.84
0.76
0.71
0.68
0.65
0.64
0.62
0.61
0.550
0.494
0.448
0.397
0.335
0.262
0.181
0.093
0.82
0.73
0.68
0.64
0.61
0.59
0.58
0.57
0.550
0.488
0.435
0.374
0.298
0.208
0.108
0.80
0.70
0.64
0.60
0.57
0.55
0.53
0.52
0.550
0.479
0.418
0.342
0.243
0.127
0.78
0.67
0.60
0.56
0.53
0.51
0.49
0.48
0.550
0.467
0.392
0.288
0.154
0.76
0.64
0.58
0.53
0.49
0.47
0.45
0.43
0.550
0.449
0.347
0.192
0.74
0.62
0.54
0.49
0.45
0.42
0.40
0.38
0.550
0.420
0.252
0.72
0.59
0.50
0.45
0.41
0.38
0.36
0.34
0.550
0.351
0.71
0.56
0.47
0.41
0.37
0.34
0.31
0.29
0.550
0.69
0.53
0.43
0.37
0.33
0.29
0.27
0.25
Te iz tablice očitamo λb: λb = 0.91
Fiktivna širina je: bi = λ b ⋅ b eff = 0.91 ⋅ 150 = 136 .5 cm
0.90
34
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
⇒ Analiziramo novi presjek:
bi/d = 136.5/100
Msd 3000 ⋅ 100 = = 0.146 2 bi d fcd 136.5 ⋅ 95 2 ⋅ 1.67
µ sd =
iz tablica
⇒
εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.2 ‰; ζ = 0.901; ξ = 0.242
⇒ Ponovno je potrebno odrediti aktivnu širinu fiktivnog T presjeka (ξ = 0.242): hf d 0.550
0.525
0.500
0.475
0.450
0.425
0.400
0.375
0.350
0.325
0.300
0.275
b eff b 0.250
0.225
0.200
0.175
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
0.025
1.5
2.0
2.5
3.0
0.550
3.5
4.0
4.5
5.0
λb
ξ=x d 0.525
0.500
0.475
0.450
0.425
0.400
0.375
0.350
0.325
0.300
0.275
0.250
0.225
0.200
0.175
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
0.025
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
0.550
0.513
0.489
0.464
0.437
0.413
0.386
0.362
0.335
0.309
0.284
0.259
0.232
0.207
0.181
0.155
0.130
0.103
0.078
0.052
0.026
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
0.550
0.513
0.487
0.461
0.436
0.409
0.383
0.357
0.330
0.303
0.276
0.249
0.221
0.194
0.166
0.139
0.111
0.083
0.056
0.028
0.99
0.99
0.99
0.99
0.99
0.99
0.99
0.99
0.550
0.513
0.487
0.460
0.434
0.407
0.379
0.351
0.323
0.295
0.266
0.237
0.208
0.178
0.149
0.119
0.090
0.060
0.030
0.99
0.98
0.98
0.98
0.98
0.98
0.98
0.98
0.550
0.512
0.485
0.459
0.431
0.403
0.374
0.345
0.315
0.285
0.254
0.223
0.192
0.160
0.129
0.097
0.065
0.032
0.98
0.97
0.97
0.97
0.96
0.96
0.96
0.96
0.550
0.512
0.485
0.457
0.428
0.399
0.368
0.337
0.306
0.273
0.240
0.207
0.173
0.139
0.105
0.070
0.035
0.97
0.96
0.95
0.94
0.94
0.94
0.94
0.93
0.550
0.511
0.483
0.454
0.425
0.394
0.362
0.329
0.295
0.260
0.224
0.188
0.151
0.114
0.076
0.038
0.96
0.94
0.93
0.92
0.91
0.91
0.91
0.550
0.510
0.481
0.451
0.420
0.388
0.354
0.318
0.281
0.243
0.204
0.164
0.124
0.083
0.042
0.95
0.92
0.90
0.89
0.88
0.88
0.87
0.87
0.550
0.509
0.479
0.448
0.415
0.381
0.344
0.305
0.265
0.223
0.180
0.136
0.091
0.046
0.93
0.90
0.87
0.86
0.85
0.84
0.84
0.83
0.550
0.508
0.477
0.444
0.409
0.372
0.331
0.289
0.244
0.198
0.150
0.101
0.051
0.91
0.87
0.84
0.83
0.81
0.80
0.80
0.79
0.550
0.507
0.473
0.439
0.401
0.360
0.316
0.268
0.218
0.166
0.112
0.056
0.90
0.84
0.81
0.79
0.78
0.76
0.76
0.75
0.550
0.505
0.469
0.432
0.391
0.345
0.295
0.241
0.184
0.125
0.063
0.88
0.82
0.78
0.75
0.74
0.72
0.71
0.70
0.550
0.502
0.464
0.423
0.378
0.326
0.268
0.206
0.140
0.071
0.86
0.79
0.74
0.72
0.70
0.68
0.67
0.66
0.550
0.499
0.457
0.412
0.360
0.299
0.232
0.158
0.081
0.84
0.76
0.71
0.68
0.65
0.64
0.62
0.61
0.550
0.494
0.448
0.397
0.335
0.262
0.181
0.093
0.82
0.73
0.68
0.64
0.61
0.59
0.58
0.57
0.550
0.488
0.435
0.374
0.298
0.208
0.108
0.80
0.70
0.64
0.60
0.57
0.55
0.53
0.52
0.550
0.479
0.418
0.342
0.243
0.127
0.78
0.67
0.60
0.56
0.53
0.51
0.49
0.48
0.550
0.467
0.392
0.288
0.154
0.76
0.64
0.58
0.53
0.49
0.47
0.45
0.43
0.550
0.449
0.347
0.192
0.74
0.62
0.54
0.49
0.45
0.42
0.40
0.38
0.550
0.420
0.252
0.72
0.59
0.50
0.45
0.41
0.38
0.36
0.34
0.550
0.351
0.71
0.56
0.47
0.41
0.37
0.34
0.31
0.29
0.550
0.69
0.53
0.43
0.37
0.33
0.29
0.27
0.25
0.90
Te iz tablice očitamo λb: λb = 0.88
Fiktivna širina je: bi = λ b ⋅ b eff = 0.88 ⋅ 150 = 132 .0 cm
⇒ Analiziramo novi presjek: µ sd =
b/d = 132.0/100
Msd 3000 ⋅ 100 = = 0.151 2 bi d fcd 132 ⋅ 95 2 ⋅ 1.67
iz tablica
⇒
εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.3 ‰; ζ = 0.898; ξ = 0.248
pošto je promjena ξ mala, zadovoljavamo se dobivenim rezultatom. A s1 =
Msd 3000 ⋅ 100 = = 80.87 cm2 ζ d fyd 0.898 ⋅ 95 ⋅ 43.48
⇒ odabrano 6∅20 (As=18.85 cm2)
Da smo prihvatili da je zadani presjek vitak (beff>5bw): A s1 =
Msd 3000 ⋅ 100 = = 78.85 cm2 (d − hf 2) fyd (95 − 15 2) ⋅ 43.48
Napomena uz primjer 2: Potrebna površina armature je korektno izračunata danim formulama, međutim postava ove armature u presjek bi bila prilično nezgodna. ρs =
A s1 80.87 = = 0.5% Ac 150 ⋅ 100
35
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
9.7
Težište armature
3.6 3.5
0.8
3.6 5.67
3.6
3.5 0.8 3.6
3.6
3.6
Moguća armatura bila bi 8∅36 (As1=81.43 cm2), pa skica armature jasno pokazuje da je potrebno ponoviti proračun s novom vrijednosti d1≈10.0 cm.
3.6
5.67
5.67
0.8
3.5
40
4.5
Kratki elementi opterećeni centričnom tlačnom silom
Pošto je beton materijal koji posjeduje veliku tlačnu čvrstoću, često nema potrebe za armiranjem kratkih elemenata opterećenih centričnom tlačnom silom. Kratkim elementima smatramo one elemente kod kojih nema pojave izvijanja. Potrebna armatura u presjeku, uz poznate dimenzije, proračunava se po izrazu: A s,req =
Nsd − A c ⋅ 0.85 ⋅ fcd fyd − 0.85 ⋅ fcd
(3.23)
Ako je vrijednost A s,req negativna, armatura nije potrebna i tada se postavlja minimalna armatura. Važno je napomenuti da bi presjeci opterećeni na centrični tlak u svakom slučaju trebali biti minimalno armirani. Pojava armature, posebno veće količine, u takvim presjecima ukazuje na iscrpljenost betona i nedostatne dimenzije presjeka.
4.6
Kratki elementi opterećeni centričnom vlačnom silom
Elementi naprezani na centrični vlak mogu se proračunavati na dva načina: 1. Ako monolitnost betona nije važna i u njemu mogu nastati pukotine, sve sile vlaka preuzima armatura A s,req =
Nsd fyd
(3.24)
2. Ako treba paziti na trajnu monolitnost betona, što znači da beton konstrukcije ne smije imati pukotina, tada: Nsd ≤ NRd =
pri čemu su: − Nsd =
∑γ N i
i
A c ⋅ fct,m + A s ⋅ fs γ1
- računska vrijednost utjecaja (računska uzdužna sila);
− − −
NRd - računska nosivost; A c - ukupna površina betonskog presjeka; fct,m - srednja vlačna čvrstoća betona (tablica u poglavlju 2.4);
− −
fs - stvarna čvrstoća čelika; γ1 - koeficijent sigurnosti od pojave pukotina: 1.2-1.5 i ovisi o važnosti konstrukcije;;
(3.25)
36
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Stvarno naprezanje u armaturi nalazi se iz uvjeta da su relativne deformacije betona εc i čelika εs u trenutku nastanka pukotina jednake (uvjet monolitnosti): εs = εc =
fct,m Ecm
;
fs = Es ⋅ ε s
Prema pokusima opasnost od pojave pukotina u betonu nastaje kada relativna deformacija betona dosegne vrijednost εc = 0.1‰. Iz izraza (3.25) može se odrediti potrebna količina armature za zadani betonski presjek odnosno potrebna površina betonskog presjeka za zadani koeficijent armiranja. Ovdje je također važno napomenuti da je generalno potrebno izbjegavati armiranog betonske elemente opterećene na centrični vlak. Takve elemente je znatno ekonomičnije izvesti iz čelika ili nekog drugog materijala (npr. karbonska vlakna i sl.).
4.7
Dimenzioniranje pravokutnog presjeka na moment savijanja i uzdužnu silu
4.7.1
Uzdužna vlačna sila – postupak Wuczkowskog
Kada na pravokutni presjek osim momenta savijanja Msd djeluje i uzdužna vlačna sila Nsd govorimo o ekscentričnom vlaku ili savijanju s uzdužnom vlačnom silom. Primjer takvog slučaja prikazan je na crtežu 10.
As2
εs2
x=ξ*d
d2
2
εc2
d-x
h d Nsd
εs1
d1
As1
Fs2 Fc
d-d2 z=ζ*d
Neutralna os
Msd
0.85 fcd
Fs1
1
b Crtež 14 – Pravokutni presjek opterećen momentom savijanja i tlačnom silom
Dimenzioniranju presjeka pristupa se tako da se sila prebaci u težište vlačne armature, crtež 11.
Msds
d-x
d-h/2
h d
Neutralna os
d1
As1 Nsd
εc2
0.85 fcd
Fs2 Fc
d-d2 z=ζ*d
As2
εs2
x=ξ*d
d2
2
εs1
Fs1
1
b Crtež 15 – Prebacivanje sile u težište vlačne armature
Računski moment savijanja s obzirom na vlačnu armaturu bit će: h⎞ ⎛ Msds = Msd − Nsd ⋅ ⎜ d − ⎟ 2⎠ ⎝
Moment nosivosti (najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti) je:
(3.26)
37
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd
(3.27)
Pa se potrebna armatura može dobiti po slijedećim izrazima: A s1 =
MRd,lim M − MRd,lim Nsd + + sd (d − d2 ) fyd fyd ζ lim d fyd A s2 =
Msd − MRd,lim (d − d2 )σs2
- ukupna vlačna armatura
(3.28)
- tlačna armatura
(3.29)
gdje je −
σs2 tlačno naprezanje u armaturi (izraz 3.19)
Kada je računski moment Msd nije veći od momenta nosivosti MRd,lim, prethodni izrazi za potrebnu količinu armature se reduciraju: A s1 =
Msd N + sd ζ d fyd fyd A s2 = 0
4.7.2
- ukupna vlačna armatura
(3.30)
- tlačna armatura
(3.31)
Uzdužna tlačna sila – postupak Wuczkowskog
U slučaju kada na pravokutni presjek osim momenta savijanja Msd djeluje i uzdužna tlačna sila Nsd govorimo o ekscentričnom tlaku ili savijanju s uzdužnom tlačnom silom. Primjer takvog slučaja prikazan je na crtežu 12.
As2
εs2
x=ξ*d
d2
2
εc2
d-x
h d Nsd
εs1
d1
As1
Fs2 Fc
d-d2 z=ζ*d
Neutralna os
Msd
0.85 fcd
Fs1
1
b Crtež 16 – Pravokutni presjek opterećen momentom savijanja i tlačnom silom
As2 Msds
d-x
d-h/2
h d
Neutralna os
d1
As1 Nsd
εs2
εc2
0.85 fcd
Fs2 Fc
d-d2 z=ζ*d
d2
2
x=ξ*d
Dimenzioniranju presjeka također se pristupa tako da se sila prebaci u težište vlačne armature, crtež 13.
εs1
1
b Crtež 17 – Prebacivanje sile u težište vlačne armature
Fs1
38
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Računski moment savijanja s obzirom na vlačnu armaturu bit će: h⎞ ⎛ Msds = Msd + Nsd ⋅ ⎜ d − ⎟ 2⎠ ⎝
(3.32)
Moment nosivosti (najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti) je:
MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd
(3.33)
Pa se potrebna armatura može dobiti po slijedećim izrazima: A s1 =
MRd,lim M − MRd,lim Nsd + sd − ζ lim d fyd (d − d2 ) fyd fyd A s2 =
Msd − MRd,lim (d − d2 )σs2
- ukupna vlačna armatura
- tlačna armatura
(3.34) (3.35)
gdje je −
σs2 tlačno naprezanje u armaturi (izraz 3.19)
Kada je računski moment Msd nije veći od momenta nosivosti MRd,lim, prethodni izrazi za potrebnu količinu armature se reduciraju: A s1 =
Msd N − sd ζ d fyd fyd
A s2 = 0
- ukupna vlačna armatura - tlačna armatura
(3.36) (3.37)
39
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Numerički primjer 1
h = 60 d = 55
Msd
x = 11.33
x = 10.67
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=260 kNm i Nsd=-120 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: C 30/37
;
fck = 30.0 MPa
fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa
B 500B
Nsd
;
fyk = 500.0 MPa
fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa
d1 = 5
opterećenje c
A s1
Msd = 260.0 kNm
Nsd = −120.0 kN (tlačna sila)
b = 40
geometrija b = 40 cm
d1 = 5.0 cm
h = 60 cm
d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm
Moment s obzirom na težište vlačne armature h⎞ 0.60 ⎞ ⎛ ⎛ Msds = Msd + Nsd ⎜ d − ⎟ = 260.0 + 120.0 ⋅ ⎜ 0.55 − ⎟ = 290.0 kNm 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝
Moment nosivosti za εs1 = 10.0 ‰ ( µ sd,lim = 0.159 )
MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.159 ⋅ bd2 fcd = 0.159 ⋅ 40 ⋅ 552 ⋅ 2.0 = 384.8 kNm > Msds µ sd =
iz tablica
Msds 290 ⋅ 100 = 0.120 = 2 bd fcd 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0
⇒
εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.6 ‰; ζ = 0.919; ξ = 0.206
x = ξ ⋅ d = 0.206 ⋅ 55 = 11.33 cm
A s1 =
Msd N 290 ⋅ 100 120.0 − sd = − = 13.20 − 2.76 = 10.44 cm2 ζ d fyd fyd 0.919 ⋅ 55 ⋅ 43.48 43.48
A s 2 = 0 .0 A s1 = 10.44 cm2
⇒ odabrano 6∅16 (As=12.06 cm2)
Kao usporedba mogu se navesti rezultati za čisto savijanje (djelovanje samog momenta) iz točke 3.2.2. Položaj neutralne osi: x sav = 10.67 cm < x exc,tl = 11.33 cm Potrebna armatura: A s1,sav = 11.75 cm2 > A s1,exc,tl = 10.44 cm2
40
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Numerički primjer 2
h = 60 d = 55
Msd
x = 11.33
x = 9.57
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=260 kNm i Nsd=120 kN (vlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: C 30/37
fck = 30.0 MPa
fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa
B 500B
Nsd
;
;
fyk = 500.0 MPa
fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa
d1 = 5
opterećenje c
A s1
Msd = 260.0 kNm
Nsd = 120.0 kN
b = 40
(vlačna sila)
geometrija b = 40 cm
d1 = 5.0 cm
h = 60 cm
d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm
Moment s obzirom na težište vlačne armature h⎞ 0.60 ⎞ ⎛ ⎛ Msds = Msd − Nsd ⎜ d − ⎟ = 260.0 − 120.0 ⋅ ⎜ 0.55 − ⎟ = 230.0 kNm 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝
Moment nosivosti za εs1 = 10.0 ‰ ( µ sd,lim = 0.159 )
MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.159 ⋅ bd2 fcd = 0.159 ⋅ 40 ⋅ 552 ⋅ 2.0 = 384.8 kNm > Msds µ sd =
iz tablica
Msds 230 ⋅ 100 = = 0.095 2 bd fcd 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0 ⇒
εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.1 ‰; ζ = 0.934; ξ = 0.174
x = ξ ⋅ d = 0.174 ⋅ 55 = 9.57 cm A s1 =
Msd N 230 ⋅ 100 120.0 − sd = + = 10.30 + 2.76 = 13.06 cm2 ζ d fyd fyd 0.934 ⋅ 55 ⋅ 43.48 43.48
A s 2 = 0 .0 A s1 = 13.06 cm2
⇒ odabrano 7∅16 (As=14.07 cm2)
Kao usporedba mogu se navesti rezultati za čisto savijanje (djelovanje samog momenta) iz točke 3.2.2. i rezultati iz prethodnog primjera: Položaj neutralne osi: x exc,vl = 9.57 cm < x sav = 10.67 cm < x exc,tl = 11.33 cm Potrebna armatura: A s1,exc,vl = 13.06 cm2 > A s1,sav = 11.75 cm2 > A s1,exc,tl = 10.44 cm2
41
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Numerički primjer 3
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=360 kNm i Nsd=-240 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: A s2
C 30/37
;
fck = 30.0 MPa
h = 60 d = 55
fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa Msd
B 500B
Nsd
;
fyk = 500.0 MPa
fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa
d1 = 5
opterećenje c
A s1
Msd = 360.0 kNm
Nsd = −240.0 kN (tlačna sila)
b = 40
geometrija b = 40 cm
d1 = 5.0 cm
h = 60 cm
d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm
Moment s obzirom na težište vlačne armature h⎞ 0.60 ⎞ ⎛ ⎛ Msds = Msd + Nsd ⎜ d − ⎟ = 360.0 + 240.0 ⋅ ⎜ 0.55 − ⎟ = 420.0 kNm 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝
Moment nosivosti za εs1 = 10.0 ‰ ( µ sd,lim = 0.159 )
MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.159 ⋅ bd2 fcd = 0.159 ⋅ 40 ⋅ 552 ⋅ 2.0 = 384.8 kNm < Msds presjek je dvostruko armiran iz tablica A s1 =
⇒
εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.5 ‰; ζ = 0.892; ξ = 0.259
MRd,lim M − MRd,lim Nsd (420.0 − 384.8 ) ⋅ 100 − 240.0 384.8 ⋅ 100 + sds − = + (55 − 5 )⋅ 43.48 (d − d2 ) fyd fyd 0.892 ⋅ 55 ⋅ 43.48 43.48 ζ lim d fyd
εc2 = 3.5 ‰ d2 = 5
A s2
x = 14.25
A s1 = 18.04 + 1.62 − 5.52 = 14.14 cm2
ε s2 = 2.27 ‰
⇒ odabrano 5∅20 (As=15.71 cm2)
x = ξlim ⋅ d = 0.259 ⋅ 55 = 14.25 cm εc 2 ε x − d2 14.25 − 5.0 = s2 ⇒ ε s2 = εc 2 = ⋅ 3.5 = 2.27 ‰ x x − d2 x 14.25 ε v (B 500 ) =
fyd Es
=
434.8 ⋅ 1000 (‰) = 2.17 ‰ 200000
ε s 2 > ε v ⇒ σ s2 = fyd A s1
A s2 =
Msds − MRd,lim (420.0 − 384.8 ) ⋅ 100 = = 1.62 cm2 (55 − 5 )⋅ 43.48 (d − d2 ) fyd ⇒ odabrano 2∅12 (As=2.26 cm2)
42
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
4.7.3
Uzdužna tlačna/vlačna sila – dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije
Pravokutni presjeci pri djelovanju momenta savijanja i uzdužne tlačne ili vlačne sile mogu se također proračunati pomoću dijagrama interakcije. Dijagrami su napravljeni za različite vrste armature i za različite omjere d1/h (d2/h) i za različite omjere As2/As1. Dijagrami za armaturu B500, simetričnu armaturu (As2=As1) i tri odnosa d1/h (d2/h) prikazani su u prilozima 4, 5 i 6. Postupak je vrlo jednostavan. Za proračunate bezdimenzionalne vrijednosti: µ sd = ν sd
Msd b ⋅ h2 ⋅ fcd
(3.38)
Nsd = b ⋅ h ⋅ fcd
u dijagramima interakcije se očita mehanički koeficijent armiranja ω, te se proračuna potrebna armatura prema izrazima A s1 = ω ⋅ A c ⋅
fcd f = ω ⋅ b ⋅ h ⋅ cd fyd fyd
(3.39)
A s2 = A s1 Numerički primjer 1
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=260 kNm i Nsd=-120 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: d2 = 5 h = 60 d = 55
C 30/37
A s2
fck = 30.0 MPa
fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa
Msd
B 500B Nsd
;
fyk = 500.0 MPa
fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa
opterećenje c
A s1 d1 = 5
;
Msd = 260.0 kNm Nsd = −120.0 kN (tlačna sila)
b = 40
geometrija b = 40 cm
d1 = d2 = 5.0 cm
h = 60 cm
α = d1 h = 5 60 = 0.083
Koristimo dijagram: α=0.075 (prilog 5)
ν sd =
Nsd 120 = = 0.025 bh fcd 40 ⋅ 60 ⋅ 2.0
µ sd =
Msd 260 ⋅ 100 = = 0.090 2 bh fcd 40 ⋅ 60 2 ⋅ 2.0
43
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta 30 25 0. 20 0. 15 0. 10 05 0.
Nsd b h fcd
µsd =
Msd b h2 fcd
A s1 = A s2 = ω b h
As1 Msd fcd fyd
d h
νsd =
d2
β = d1 h = d2 h = 0.075
ν
0.
ω=
B 500 α = A s2 A s1 = 1.0
Nsd
d1
As1
b
35 0. 30 0. 25 0. 20 0. 15 0. 0 1 0. 5 .0 =0
1. 0 00 0 .95 0. .90 8 0 5 0 .8 0 .75 0 0 .70 0 .65 0. .60 5 0 0 .5 5 0 . .4 5 0 40
ω
Očitano
ω = 0.090 µ
Armatura
2.0 = 9.94 cm2 43.48 = A s1 = 9.94 cm2
A s1 = 0.09 ⋅ 40 ⋅ 60 ⋅ A s2
Vidljivo je da je armatura izračunata na ovakav način znatno veća nego armatura izračunata postupkom Wuczkowskog, iako je sama vlačna armatura (As1) nešto manja:
A sl,tot,dij = A s1 + A s2 = 9.94 + 9.94 = 19.88 cm2 A sl,tot, Wuc = A s1 + A s2 = 10.44 + 0.0 = 10.44 cm2 U slučaju da je moment alternirajući (mijenja smjer), vidljivo je da bi ukupna armatura tada bila manja.
44
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Numerički primjer 2
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=860 kNm i Nsd=-420 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: d2 = 5 h = 60 d = 55
C 30/37
A s2
;
fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa
Msd
B 500B Nsd
;
fyk = 500.0 MPa
fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa opterećenje c
A s1 d1 = 5
fck = 30.0 MPa
Msd = 860.0 kNm
Nsd = −420.0 kN (tlačna sila)
b = 40
geometrija b = 40 cm
d1 = d2 = 5.0 cm
h = 60 cm
α = d1 h = 5 60 = 0.083
Koristimo dijagram: α=0.075
ν sd =
Nsd 420 = = 0.088 bh fcd 40 ⋅ 60 ⋅ 2.0
µ sd =
Msd 860 ⋅ 100 = = 0.300 2 bh fcd 40 ⋅ 60 2 ⋅ 2.0
B 500 α = A s2 A s1 = 1.0
β = d1 h = d2 h = 0.075
Msd b h2 fcd
A s1 = A s2 = ω b h
d2
µsd =
35 0. 30 0. 25 0. 20 0. 15 0. 10 0. 5 0 0.
Nsd b h fcd
As1 Msd fcd fyd
0 0 0. .50 45 40
ω=
νsd =
d h
ν
0.
Nsd
d1
As1
b
35 0. 30 0. 25 0. 20 0. 15 0. 0 0.1 5 0.0
1. 0 00 0 .95 0 .90 0. .85 0 8 0 .75 0 0 .70 0 .65 0. .60 5 0 0 .5 5 0. .45 0 40
ω=
Očitano
ω = 0.31 µ
Armatura
2.0 = 34.22 cm2 43.48 = A s1 = 34.22 cm2
A s1 = 0.31 ⋅ 40 ⋅ 60 ⋅ A s2
45
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
4.8
Dimenzioniranje okruglog presjeka naprezanih momentom savijanja i uzdužnom silom
Određivanje potrebne armature za elemente okruglog presjeka najlakše je sprovesti pomoću dijagrama interakcije. Na sličan način kao za pravokutne presjeke izrađeni su dijagrami za dimenzioniranje kružnih presjeka. Dijagrami, izrađeni za armaturu B500 simetrično raspoređenu po opsegu, te za odnose ϕ = rs r = 0.85 i ϕ = rs r = 0.90 ,
priloženi su u prilozima 7 i 8.
d=2r
εc2
Msd Nsd
Neutralna os
rs r
As
d1
εs,max
Crtež 18 – Kružni presjek opterećen momentom savijanja i tlačnom silom
Dijagram se koristi na sličan način kao i dijagram za pravokutne presjeke. Dakle, za proračunati odnos: ϕ = rs r ,
proračunaju se bezdimenzionalne vrijednosti: µ sd =
Msd r ⋅ A c ⋅ fcd
ν sd =
;
Nsd A c ⋅ fcd
(3.40)
te se iz dijagrama interakcije očita mehanički koeficijent armiranja ω i proračuna ukupna potrebna armatura prema izrazu:
As = ω ⋅ Ac ⋅
fcd fyd
(3.41)
Proračunatu armaturu je potrebno jednoliko raspodijeliti po opsegu. Numerički primjer
Okrugli betonski stup dimenzija d=50 cm (udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1 =4 cm), izrađen je iz betona klase C 40/50 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Stup je opterećen računskim opterećenjem Msd=160 kNm i Nsd=-320 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: C 40/50 ; fck = 40.0 MPa As Msd fcd = fck γ c = 40.0 1.5 = 26.7 MPa B 500B ; fyk = 500.0 MPa fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa
Nsd
opterećenje Msd = 160.0 kNm 4
geometrija
42 50
4
Nsd = −320.0 kN (tlačna sila)
46
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
r = 25 cm
d1 = 4.0 cm
rs = r − d1 = 21 cm
ϕ = rs r = 21 25 = 0.84
Koristimo dijagram: ϕ = 0.85 (prilog 7) A c = r 2 π = 25 2 ⋅ π = 1963.5 cm2
ν
ν sd =
Nsd − 320 = = 0.061 A c fcd 1963.5 ⋅ 2.67
µ sd =
Msd 160 ⋅ 100 = = 0.122 A c r fcd 1963.5 ⋅ 25 ⋅ 2.67
B 500 ϕ = rs r = 0.85
νsd =
Nsd A c fcd
µsd =
Msd A c r fcd
ω=
Ac = r 2 π
1.0 0.9 0 0.9 5 0.8 0 0.8 5 0.7 0 0.7 5 0.6 0 0.6 5 0.5 0 0.5 5 0.4 0 0.4 5 0.3 0 0.3 5 0.2 0 0.2 5 0.1 0 ω= 0.105 0.0 5
A s1 = A s2 = ω A c
5 0.0 .10 0 .15 0
fcd fyd
Očitano ω = 0.010
Armatura µ
As = ω ⋅ Ac ⋅
fcd = fyd
= 0.100 ⋅ 1963 .5 ⋅
2.67 = 12.1 cm2 43.48
Odabrana simetrična armatura: 12∅12 As=13.57 cm2 ρ=
Msd
rs
Nsd
As 13.57 = = 0 .7 % A c 1963 .5
r As
A s =12Ø12
4
42 50
4
47
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
4.9
Dimenzioniranje presjeka na Poprečnu silu
4.9.1
Općenito
Poprečne sile se proračunavaju prema poboljšanoj Mörsch-Ritterovoj analogiji rešetke. Po toj metodi pretpostavlja se da jedan dio poprečne sile prihvaća beton i uzdužna armatura nakon razvoja dijagonalnih pukotina u betonu, a ostatak poprečne sile se prihvaća vertikalnim sponama (stremenovima) i/ili kosom armaturom (Standardna metoda). Po drugoj metodi – Metodi slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova, koja se kao alternativa predlaže s EC2, nosivost betona se ne uzima u obzir, već se uzima blaži kut nagiba tlačnih dijagonala od 45°, čime se postižu uštede na poprečnoj armaturi, ali se povećava uzdužna armatura, izravno ili preko pomaka dijagrama vlačnih sila prilikom raspodijele armature. F F
z d h
Vwd
sw
sw
sw
VRd1
l
Vwd
Crtež 19 – Model Mörsch-Ritterove rešetke
4.9.2
Postupak
Uvjet nosivosti na poprečne sile: Vsd ≤ VRd
(3.42)
gdje je: −
Vsd – računska poprečna sila
−
VRd – računska nosivost na poprečne sile
Računska armatura za prihvaćanje poprečnih sila (tj. glavnih kosih vlačnih naprezanja) neće biti potrebna ako je zadovoljen uvjet:
[
]
Vsd ≤ VRd1 = τRd ⋅ k ⋅ (1.2 + 40 ⋅ ρl ) + 0.15 ⋅ σcp ⋅ b w ⋅ d
(3.43)
gdje je: −
τRd – računska čvrstoća na djelovanje glavnih kosih naprezanja
−
k = 1.6 − d ≤ 1 - korekcijski faktor (d u metrima)
−
ρl – koeficijent armiranja uzdužnom armaturom (As/Ac) < 0.02 (2.0%)
−
bw – najmanja širina presjeka u vlačnoj zoni
−
d – statička visina presjeka
−
σcp = Nsd/Ac – središnje naprezanje (+ za tlak, - za vlak)
−
Nsd – računska uzdužna sila u presjeku
−
Ac – površina betonskog presjeka
Za presjek u kojem je zadovoljen izraz 3.43, računska poprečna armatura nije potrebna, ali je uvijek potrebno postaviti minimalnu (konstruktivnu) poprečnu armaturu. Ako na presjek istovremeno s poprečnim silama djeluje i moment torzije, tada se uzima VRd1 = 0.0 , i cjelokupnu poprečnu silu preuzima armatura.
48
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je: Vsd ≤ VRd2 = 0.5 ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ z ≈ 0.5 ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ 0.9 ⋅ d
(3.44)
pri čemu je:
ν = 0.7 −
−
fck ≥ 0.5 – redukcijski faktor (fck u N/mm2) 200
Tablica Karakteristika betona: Karakteristika betona Čvrstoća na valjku Čvrstoća na kocki Posmična čvrstoća
fck (MPa) fc,cub (MPa) τRd (MPa)
C12/15
C16/20
C20/25
C25/30
C30/37
C35/45
C40/50
C45/55
C50/60
12
16
20
25
30
35
40
45
50
15
20
25
30
37
45
50
55
60
0.18
0.22
0.26
0.30
0.34
0.37
0.41
0.44
0.48
Ako u elementu djeluje uzdužna tlačna sila, potrebno je reducirati nosivost tlačnih štapova: σ ⎛ VRd2,red = 1.67 ⋅ VRd2 ⋅ ⎜⎜1 − cp,eff fcd ⎝
⎞ ⎟⎟ ≤ VRd2 ⎠
(3.45)
pri čemu je:
−
⎛ A ⎞ σcp,eff = ⎜⎜ Nsd − fyk s2 ⎟⎟ A c - tlačno naprezanje u betonu γs ⎠ ⎝
Ako nije zadovoljen uvjet Vsd ≤ VRd1 potrebno je proračunati računsku armaturu za prijem poprečnih sila. Konstrukcijska poprecna armatura
0
Proracun poprecne armature
Nedopušteno podrucje
VRd1 Vsd Vwd
VRd2
Vsd
Crtež 20 – Područja poprečnih sila
4.9.3
Standardna metoda
Standardna metoda proračuna presjeka na djelovanje poprečnih sila pretpostavlja nagib tlačnih štapova u betonu od 45°. Poprečna armatura (stremenovi, vilice, spone) se proračunava iz uvjeta: Vsd ≤ VRd3 = VRd1 + Vwd Vwd =
A sw ⋅ fyw,d ⋅ m ⋅ z sw
gdje je: −
Asw – površina jedne grane spone
−
m – reznost spona
−
z – krak unutrašnjih sila (z ≈ 0.9 d)
−
sw – razmak spona
−
fyw,d – računska granica popuštanja poprečne armature
(3.46)
49
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Nosivost kose armature može se izračunati po izrazu:
Vwd =
A sw ⋅ fyw,d ⋅ z s
⋅ (1 + ctg α ) ⋅ sin α
(3.47)
gdje je:
−
s – razmak kose armature mjeren uzduž osi elementa
−
α – kut nagiba kosih šipki prema osi nosača (crtež 17)
Θ
α
s
s
s
Crtež 21 – Kutovi kod proračuna poprečnih sila
4.9.4
Metoda slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova
Ovaj postupak dopušta veću slobodu rasporeda armature od normalnog postupka, što dovodi do racionalnijeg razmještaja poprečne armature, ali može dovesti do povećanja uzdužne vlačne armature. Ovaj se postupak preporuča kad je element istodobno napregnut poprečnim silama i torzijom. Nagib tlačnih štapova prema uzdužnoj osi (Θ) bira se u granicama:
21.8o ≤ Θ ≤ 68.2o ⇒ 0.4 ≤ tg Θ ≤ 2.5 - Kada se glavna uzdužna armatura vodi do ležaja 26.6o ≤ Θ ≤ 63.4o ⇒ 0.5 ≤ tg Θ ≤ 2.0 - Kada se glavna uzdužna armatura postupno prekida u polju Kod elemenata s vertikalnom poprečnom armaturom (sponama), nosivost na poprečne sile dobiva se iz izraza:
VRd2 = ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ VRd3 = Vwd =
z ctg Θ + tg Θ
A sw ⋅ fyw,d ⋅ z ⋅ m sw sw =
A sw
⎛ A sw ⋅ m ⋅ fyw,d 1 ⎞ ⋅ ctg Θ ; uz uvjet : ⎜⎜ ≤ ⋅ ν ⋅ fcd ⎟⎟ 2 ⎝ bw ⋅ sw ⎠ ⋅ fyw,d ⋅ z ⋅ m ⋅ ctg Θ VSd
Proracun poprecne armature
0
Nedopušteno podrucje
Vsd Vwd
VRd2
Vsd
Kod elemenata s kosom poprečnom armaturom, nosivost na poprečne sile:
(3.48)
50
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
ctg Θ + ctg α 1 + ctg2 Θ A sw ⋅ fyw,d ⋅ z = ⋅ (ctg Θ + ctg α ) ⋅ sin α s ⎛ A sw ⋅ fyw,d 1 ν ⋅ fcd ⋅ sin α ⎞ ⎟ uz uvjet : ⎜⎜ ≤ ⋅ 2 1 − cos α ⎟⎠ ⎝ bw ⋅ sw
VRd2 = ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ z ⋅ VRd3 = Vwd
(3.49)
Da bi se ustanovila najmanja količina poprečne armature za mala i srednja posmična naprezanja, gornje granice za ctg Θ, bit će u običnom slučaju mjerodavne za dimenzioniranje. Za veća posmična naprezanja najveću vrijednost za ctg Θ (što odgovara najmanjoj količini poprečne armature) može se naći izjednačavanjem vrijednosti proračunskih poprečnih sila VSd i VRd2. Nakon raspucavanja nosača, sila u donjem pojasu bit će:
Fs =
MSd 1 + ⋅ VSd ⋅ (ctg Θ − ctg α ) z 2
(3.50)
te je za drugi član potrebno povećati uzdužnu armaturu u polju.
4.9.5
Minimalna (konstruktivna) armatura
Ukupna poprečna armatura (spone) ne smije biti manja od minimalne:
A sw,min =
ρmin ⋅ s w ⋅ b w m
(3.51)
Tablica 4.1 - Minimalni postoci armiranja Klasa betona
C12/15
ρmin
C16/20
C20/25
C25/30
0.0007
C30/37
C35/45
C40/50
C45/55
0.0011
C50/60
0.0013
Tablica 4.2 - Maksimalni razmaci spona Broj
Računska poprečna sila Vsd
Maksimalni razmak spona u smjeru glavne vlačne armature sw,max
Maksimalni razmak vertikalnih krakova spona u poprečnom smjeru sp,max
1
Vsd ≤ 0.2 VRd2
0.8 d; 30 cm
1.0 d; 80 cm
2
0.2 VRd2 ≤ Vsd ≤ 0.67 VRd2
0.6 d; 30 cm
0.6 d; 30 cm
3
Vsd > 0.67 VRd2
0.3 d; 20 cm
0.3 d; 20 cm
gdje je:
h
d
d – statička visina presjeka
s w,max
s w,max
s w,max
s w,max
s w,max
s p,max
s p,max
d1
−
b
s p,max
51
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Numerički primjer
Potrebno je dimenzionirati ab gredu, l=8.0 m, dimenzija 30×80 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1 =7 cm. Greda je izrađena iz betona klase C 30/37 i armirana s B 500B. Greda je opterećena opterećenjem prema skici. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. G, Q
73 80
g, q
1.0
7.0
A s1 7
8.0
30
beton:
armatura:
C 30/37 fck = 30.0 MPa fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa τRd = 0.34 MPa
B 500B fyk = 500.0 MPa fyd = fyk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa
Opterećenje: g = 8.0 kN m'
;
G = 40.0 kN
q = 11.0 kN m'
;
Q = 67.0 kN
s = γ g ⋅ g + γ q ⋅ q = 1.35 ⋅ 8.0 + 1.5 ⋅ 11.0 = 27.3 kN m' S = γ g ⋅ G + γ q ⋅ Q = 1.35 ⋅ 40.0 + 1.5 ⋅ 67.0 = 154.5 kN G, Q
g, q
a
b d
1.0
73 80
c
7.0 8.0
244.4 Vsd (kN)
7
A s1 R a =244.4 kN
R b =128.5 kN
30
217.1 62.6
128.5
3.3 M sd (kNm)
230.8 302.4
Nosač je prvo potrebno dimenzionirati na moment savijanja.
52
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
µ sd =
Msd 302 .40 ⋅ 100 = = 0.095 2 b d fcd 30 ⋅ 73 2 ⋅ 2.0
⇒
iz tablica A s1 =
εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.1 ‰; ζ = 0.934
Msd 30240 = = 10.20 cm2 ζ d fyd 0.934 ⋅ 73 ⋅ 43.48
Odabrana armatura prikazana je na skici:
73
2Ø14 (As2=3.08 cm2)
2Ø14 (As =3.08 cm2)
7
5Ø16 (As1=10.05 cm2)
30
Za proračun nosača na poprečne sile koristi se standardna metoda proračuna.
∑ A = 10.5 + 2 ⋅ 3.08 = 16.21 cm ∑ A = 16.21 = 0.00675 ρ =
2
s
s
l
Ac
30 ⋅ 80
Dio poprečne sile koju preuzima beton i uzdužna armatura:
[
]
VRd1 = τRd ⋅ k ⋅ (1.2 + 40 ⋅ ρl ) + 0.15 ⋅ σ cp ⋅ b w ⋅ d k = 1.6 − d = 1.6 − 0.73 = 0.87 < 1.0
⇒
k = 1.0
σ cp = Nsd A c = 0.0
VRd1 = [0.034 ⋅ 1.0 ⋅ (1.2 + 40 ⋅ 0.00675 ) + 0.15 ⋅ 0.0] ⋅ 30 ⋅ 73 VRd1 = 109.5 kN Dio poprečne sile koju mogu preuzeti tlačne dijagonale:
VRd2 = 0.5 ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ z fck 30 = 0.7 − = 0.55 > 0.5 ⇒ 200 200 = 0.5 ⋅ 0.55 ⋅ 2.0 ⋅ 30 ⋅ (0.9 ⋅ 73 ) = 1084.1 kN ν = 0.7 −
VRd2
ν = 0.55
53
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Vsd,max = Vsd,a = 244.4 kN
G, Q
g, q
1.0
c
Vsd,max VRd2 = 244.4 1084 .1 ≈ 0.23 ⇒ Vsd = 0.23 VRd2
s w,max = min {0.6 ⋅ d; 30.0 cm} =
a d
min {0.6 ⋅ 73 = 43.8; 30.0} ⇒
7.0 8.0
ρmin = 0.0011
R a =244.4 kN 244.4 Vsd (kN)
s w,max = 30.0 cm
217.1
Maksimalni razmak spona:
62.6
sw ≤ 3.3 M sd (kNm)
230.8 302.4
m ⋅ A sw 2 ⋅ A sw = ρmin ⋅ b w 0.0011 ⋅ 30
Profil
Površina (Asw) (cm2)
Razmak (sw) (cm)
∅6
0.28
17.0
∅7
0.38
23.0
∅8
0.50
30.3
∅10
0.79
47.9
Odabrane spone ∅7/20, B 500B fyw,d =
fyk γs
; B 500B ⇒
500 = 434.8 MPa = 43.48 kN cm2 1.15 m ⋅ A sw ⋅ fyw,d ⋅ z = VRd1 + Vwd = VRd1 + sw fyw,d =
VRd
2 ⋅ 0.38 ⋅ 43.48 ⋅ (0.9 ⋅ 73 ) = 109.5 + 108.6 = 218.1 kN 20 > VRd
109.5 + Vsd,a
Odabrane spone zadovoljavaju na cijelom nosaču osim kod ležaja a. 244.4
VRd =218.1 kN 217.1
62.6
Prikaz armature nosača:
s w,pot ≤
m ⋅ A sw ⋅ fyw,d ⋅ z Vsd − VRd1
=
2 ⋅ 0.38 ⋅ 43.48 ⋅ (0.9 ⋅ 73 ) = 16.09 cm 244.4 − 109.5
Odabrane spone ∅7/15, B 500B
54
73
80
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
7
A s1 30 1.0 Ø7/15
7.0 Ø7/20 8.0
4.10 Dimenzioniranje presjeka na Moment torzije 4.10.1 Općenito Kod betonskih konstrukcija, s obzirom na značenje, a potom i daljnje tretiranje, razlikujemo kompatibilnu (sekundarnu) i ravnotežnu (primarnu) torziju. Kompatibilna torzija je ona koja nastaje kod monolitnih spojeva elemenata, nije nužno bitna za ravnotežu, pa se za granično stanje nosivosti može zanemariti. Naime, konstrukcija u graničnom stanju doživljava velike deformacije i pukotine što znano smanjuje torzijsku krutost, te kompatibilna torzija iščezava. Može se reći da konstrukcija koja je ispravno dimenzionirana na momente savijanja, poprečne sile i ostale utjecaje je sigurna i na djelovanje kompatibilne torzija. Nasuprot tome primarna torzija nastaje kao posljedica zadovoljavanja uvjeta ravnoteže. Zanemarivanjem primarne torzije dolazi do sloma konstrukcije, te stoga ona ne smije biti zanemarena. Dva karakteristična primjera za primarnu i sekundarnu torziju prikazani su na crtežu 18.
Primarna torzija
Sekundarna torzija
Crtež 22 – Primjer primarne (ravnotežne) i sekundarne (kompatibilne) torzije
4.10.2
Postupak
Proračun elemenata naprezanih torzijom provodi se uporabom modela oblika prostorne rešetke. Puni presjeci zamjenjuju se šupljim presjecima debljine t. Nagib tlačnih štapova slobodno se odabire u granicama navedenim pri proračunu na poprečne sile.
55
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta Kontura u Kontura uk t /2
t c
Ak
Crtež 23 – Presjek opterećen momentom torzije
Uvjet nosivosti na moment torzije: Tsd ≤ TRd
(3.52)
gdje je: −
Tsd – računski moment torzije
−
TRd – računska nosivost na torziju
Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je: Tsd ≤ TRd1 =
2 ⋅ ν′ ⋅ fcd ⋅ A k ⋅ t ctg Θ + tg Θ
(3.53)
gdje je: −
f ⎞ ⎛ ν′ = 0.7 ⋅ ⎜ 0.7 − ck ⎟ ≥ 0.35 – - redukcijski faktor (fck u N/mm2) 200 ⎠ ⎝
−
t=A/u – debljina stjenke zamjenjujućeg šupljeg presjeka
−
Ak – površina unutar srednje konture šupljeg presjeka
−
u – opseg vanjske konture
−
A – ukupna površina presjeka Proracun poprecne armature
0
Nedopušteno podrucje
Tsd TRd2 TRd3
TRd1
TSd
Crtež 24 – Područja momenata torzije
Površina poprečne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta:
TSd ≤ TRd2 = 2 ⋅ A sw ⋅ A k ⋅ fyw,d ⋅
ctg Θ sw
(3.54)
56
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Površina uzdužne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta: TSd ≤ TRd3 = 2 ⋅ A sl ⋅ A k ⋅ fyl,d ⋅
tg Θ uk
(3.55)
gdje je: −
Asw – presjek spone koja obuhvaća presjek na razmaku sw
−
Asl – površina svih uzdužnih šipki
−
fyw,d, fyl,d – računske granice popuštanja poprečne i uzdužne armature
Uzdužne šipke treba raspodijeliti po opsegu. U svakom kutu treba postaviti jednu šipku, a ostale jednoliko raspodijeliti po opsegu, s tim da razmak između njih ne bude veći od 35.0 cm. Kada su poznate armature Asw i Asl, te kut Θ i nosivost TRd2, moraju biti zadovoljene i sljedeće jednadžbe: tg2 Θ =
fyw,d A sw ⋅ s w A sl ⋅ fyl,d uk
TRd2 = 2 ⋅ A k ⋅
4.10.3
(3.56)
A sw A ⋅ fyw,d ⋅ sl ⋅ fyl,d sw uk
Zajedničko djelovanje Momenta torzije i Poprečne sile
Pri istodobnom djelovanju poprečne sile i momenta torzije valja zadovoljiti uvjet: 2
2
⎛ TSd ⎞ ⎛ VSd ⎞ ⎟⎟ ≤ 1 ; uz : VRd2 = 0.5 ⋅ ν′ ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ z ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ TRd1 ⎠ ⎝ VRd2 ⎠
(3.57)
Poprečna armatura se posebno određuje za svako djelovanje te superponira. Pri simultanom djelovanju momenta savijanja i momenta torzije valja posebno za svako naprezanje izračunati uzdužnu armaturu, samo što se one u vlačnoj zoni od savijanja zbrajaju, a u tlačnoj redovito nije potrebno dodavati onu zbog naprezanja torzijom, jer je ona često manja od konstruktivne. Kad istodobno djeluju moment torzije i veliki moment savijanja (sandučasti presjeci), može biti kritično glavno naprezanje u tlačnoj zoni od savijanja, pa valja zadovoljiti uvjet:
2
σ ⎛σ ⎞ 2 ≤ 0.85 ⋅ fcd σ 2 = Sd − ⎜ Sd ⎟ + τSd 2 ⎝ 2 ⎠
(3.58)
gdje je: −
σ Sd =
MSd – Računsko normalno tlačno naprezanje koje se uvrštava s predznakom + z ⋅b⋅ t
−
τSd =
TSd – Računsko posmično naprezanje uzrokovano torzijom 2 ⋅ Ak ⋅ t
Spone za prihvaćanje torzije moraju biti zatvorene i preklopljene po kraćoj stranici. Uvjeti za minimalnu armaturu i maksimalne razmake spona su isti kao i kod proračuna na poprečne sile. Numerički primjer 1
Isti presjek kao kod proračuna na poprečne sile, opterećen momentom torzije Tsd=20.0 kNm
57
2Ø14 (A s2=3.08 cm2 )
68
73
80
5
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
2Ø14 (A s =3.08 cm2 )
beton: C 30/37 fck = 30.0 MPa fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa τRd = 0.34 MPa armatura:
7
7
5Ø16 (A s1=10.05 cm2 ) 4
22 30
4
B 500B fyk = 500.0 MPa fyd = fyk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa
Nosivost tlačnih štapova: TRd1 =
2 ⋅ ν′ ⋅ fcd ⋅ A k ⋅ t ctg Θ + tg Θ f ⎞ 30 ⎞ ⎛ ⎛ ν′ = 0.7 ⋅ ⎜ 0.7 − ck ⎟ = 0.7 ⋅ ⎜ 0.7 − ⎟ = 0.385 200 ⎠ 200 ⎠ ⎝ ⎝ A = b ⋅ h = 30 ⋅ 80 = 2400 cm 2 u = 2 ⋅ (b + h) = 2 ⋅ (30 + 80 ) = 220 cm A 2400 = = 10.91 cm u 220 A k = (b − t ) ⋅ (h − t ) = (30 − 10.91) ⋅ (80 − 10.91) = 1319 cm 2
t=
Θ = 45 o 2 ⋅ ν′ ⋅ fcd ⋅ A k ⋅ t 2 ⋅ 0.385 ⋅ 2.0 ⋅ 1319 ⋅ 10.91 TRd1 = = = ctg Θ + tg Θ ctg 45 o + tg 45 o TRd1 = 11080 .5 kNcm = 110.8 kNcm
58
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Odabrane spone ∅10 (Asw=0.79 cm2): TSd ≤ TRd2 = 2 ⋅ A sw ⋅ A k ⋅ fyw,d ⋅ s w,pot ≤
ctg Θ sw
2 ⋅ A sw ⋅ A k ⋅ fyw,d ⋅ ctg Θ TSd =
2 ⋅ 0.79 ⋅ 1319 ⋅ 20.87 ⋅ 1 = 21.74 cm 2000
Odabrana poprečna armatura: ∅10/20.
Uzdužna armatura:
TSd ≤ TRd2 = 2 ⋅ A sl ⋅ A k ⋅ fyl,d ⋅
tg Θ uk
uk = 2 ⋅ ((b − t ) + (h − t )) = 2 ⋅ ((30 − 10.91) + (80 − 10.91)) = 176.36 cm A sl =
TSd ⋅ uk 2000 ⋅ 176.36 = 3.08 cm2 = 2 ⋅ A k ⋅ fyl,d ⋅ tg Θ 2 ⋅ 1319 ⋅ 43.48 ⋅ 1
Odabrana uzdužna armatura: 8∅10 (Asl=6.28 cm2). Numerički primjer 2
Pretpostavimo da na gredu zadanu kod numeričkog primjera za poprečne sile, djeluje i moment torzije. Koristimo metodu slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova. Odaberimo Θ=45°.
VRd1 = 0.0 30 fck = 0.7 − = 0.55 > 0.50 200 200 0.9 ⋅ 73 z = 1084.1 kN = ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ = 0.55 ⋅ 2.0 ⋅ 30 ⋅ 1+ 1 ctg Θ + tg Θ
ν = 0.7 − VRd2
Ukupnu poprečnu silu, u ovom slučaju potrebno je preuzeti armaturom. Odabrani profil spona: ∅10. Presjek uz ležaj a:
VRd3 = Vwd = sw =
A sw ⋅ fyw,d ⋅ z ⋅ m sw
⋅ ctg Θ
2 ⋅ 0.79 ⋅ 43.48 ⋅ 0.9 ⋅ 73 ⋅ 1 = 18.47 cm 244.4
Odabrane spone uz ležaj a: ∅10/18. Kontroliramo zadani uvjet:
0.79 ⋅ 2 ⋅ 43.48 1 ≤ ⋅ 0.55 ⋅ 2.0 30 ⋅ 18 2 0.191 ≤ 0.55 Ostali presjeci duž nosača:
Vwd =
A sw ⋅ fyw,d ⋅ z ⋅ m sw
⋅ ctg Θ =
2 ⋅ 0.79 ⋅ 43.48 ⋅ 0.9 ⋅ 73 ⋅ 1.0 = 180.5 kN sw
Odabrane spone na ostalom dijelu nosača: ∅10/25
59
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Presjek (element) smo dosad dimenzionirali odvojeno na moment savijanja, poprečnu silu i torziju. U slučaju da sva tri djelovanja su istovremena armaturu je potrebno sumirati. Uzdužna armatura:
Msd
Tsd
2Ø14
2Ø10
2Ø10
2Ø10
2Ø10
2Ø14
"+"
5Ø16
Ukupno
"=" 2Ø10
2Ø10
2Ø10
6Ø16
−
U gornjoj zoni i sredini presjeka armatura od savijanja je konstruktivna, a armatura od torzije je računska. Usvaja se armatura od torzije.
−
U donjoj zoni obje armature (i od savijanja i od torzije su računske. Potrebno ih je zbrojiti. 5∅16 (As=10.05 cm2);
2∅10 (As=1.57 cm2)
6∅16 (As=12.06 cm2) > 5∅16+2∅10 Poprečna armatura: Spone na prvih 1 m grede: Vsd
s wt ≤
s w , V ⋅ s w ,T = s w , V + s w ,T =
1.0 Ø10/18
Spone na ostalom dijelu grede:
7.0 Ø10/25
"+"
Tsd
s wt ≤
s w , V ⋅ s w ,T = s w , V + s w ,T =
8.0 Ø10/20
"="
1.0 Ø10/9.5
Ukupno
7.0 Ø10/11.1
18 ⋅ 20 = 9.5 cm 18 + 20
25 ⋅ 20 = 11.1 cm 25 + 20
60
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Kontrola zajedničkog djelovanja poprečne sile i momenta torzije 2
2
⎛ TSd ⎞ ⎛ VSd ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟ ≤1 ′ 2 ⎟⎠ ⎝ TRd1 ⎠ ⎝ VRd TSd = 20.0 kNm ; TRd1 = 110.8 kNm VSd = 244.4 kN ; VRd2 = 1084.1 kN ′ 2 = 0.7 ⋅ VRd2 = 758.8 kN VRd 2
2
⎛ 20.0 ⎞ ⎛ 244.4 ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 0.129 ≤ 1 ⎝ 110.8 ⎠ ⎝ 758.8 ⎠
61
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
4.11 Proračun ploča na proboj 4.11.1
Općenito
Proboj ploče nastaje kad na ploči leži teret na maloj površini, ili kad je ploča na stupovima male površine. U građevinarstvu to nastaje kod gljivastih stropova, temeljnih ploča, stropova opterećenih koncentriranim teretom i sl. Granično stanje sloma manifestira se stvaranjem zaobljenog probojnog stošca kojem je vodilica kontura opterećene površine, a izvodnica pravac koji u normalnim okolnostima zatvara s ravninom ploče kut β=33.7° (tg β=1/1.5). Provjeru na proboj potrebno je provesti kod:
−
kružnih presjeka s promjerom manjim od 3.5 d,
−
pravokutnih presjeka s opsegom manjim od 11d, ako je omjer širine i dužine presjeka stupa najviše 2.0,
−
proizvoljnih presjeka koji se približno svode na jedan od gornja dva kriterija.
pri čemu je d statička visina ploče.
1.5 d
lc
1.5 d
Kriticni presjek
β 1.5 d
lc
1.5 d
d
h
d1
Kriticna površina
Kriticni presjek
Crtež 25 – Proboj ploče
4.11.2
Postupak
Uvjet nosivosti na proboj:
v sd ≤ v Rd gdje je:
−
vsd – računska poprečna sila po jedinici kritičnog opsega
−
vRd – računska nosivost na proboj po jedinici kritičnog opsega
(3.59)
62
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Računska nosivost na proboj:
v sd = Vsd ⋅
βp
(3.60)
ucr
gdje je:
−
Vsd – računska sila proboja od vanjskog opterećenja
−
ucr – duljina kritičnog opsega
−
βp – korekcijski faktor kojim se uzima u obzir ekscentrično djelovanje sile proboja u odnosu na kritičan presjek −
βp = 1.0 – za simetrično naprezane stupove
−
βp = 1.15 – za unutrašnje stupove nesimetrično naprezanje
−
βp = 1.4 – za stupove na rubu
−
βp = 1.5 – za stupove u kutu
1.5 d 1.5 d
1.5 d
β = 1.4
β = 1.0
β = 1.0
β = 1.4
β = 1.15
β = 1.0
1.5 d
;
⎧b ⎩2.8 ⋅ d
b1≤⎨
Instalacijski šaht
β = 1.5
β = 1.4
β = 1.4
b1 /2
b
b1 /2
⎧a ⎪ a1≤⎨ 2⋅ b ⎪5.6⋅ d−b 1 ⎩
a1 /2
a1 /2 a>b
Stup pri rubu
1.5 d
Stup u kutu
1.5 d
Crtež 26 – Kritični opseg
Armatura za osiguranje od proboja neće biti potrebna ako je zadovoljen uvjet
v sd ≤ v Rd1 = τRd ⋅ k ⋅ (1.2 + 40 ⋅ ρl ) ⋅ d
(3.61)
gdje je:
−
τRd – računska čvrstoća za djelovanje glavnih kosih naprezanja
−
k – koeficijent visine presjeka ploče (vidi dimenzioniranje na poprečne sile)
−
d – srednja statička visina presjeka ploče (d=(dx+dy)/2)
−
ρl – koeficijent armiranja ploče ρl = ρlx ⋅ ρly ; 0.5% ≤ ρl ≤ 1.5%
Ako gornji uvjet nije zadovoljen, potrebno je kontrolirati nosivost na tlak te proračunati poprečnu armaturu. Nosivost tlačnih štapova kontrolira se prema izrazu:
63
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
v sd ≤ v Rd2 = 1.6 ⋅ v Rd1
(3.62)
Potrebna armatura se dobiva po izrazu: v sd ≤ v Rd3 = v Rd1 +
∑A
sw
⋅ fyd ⋅
sin α ucr
(3.63)
gdje je: −
Asw – ukupna poprečna armatura
−
α – kut nagiba poprečne armature prema ravnini ploče
Minimalna poprečna armatura proračunava se po izrazu:
∑A
sw,min
=
ρ w,min ⋅ (A crit − A load )
(3.64)
sin α
gdje je −
ρw,min = 0.6 ρmin (ρmin – minimalni koeficijent armiranja na poprečne sile)
−
Acrit – površina unutar kritičnog presjeka
−
Aload – površina djelovanja opterećenja
α=90
α
< 0.5 d ≤ 0.75 d ≈ 1.5 d 1.5 d
lc
1.5 d
a) Spone
1.5 d
lc
1.5 d
b) Kosa armatura
Crtež 27 – Armatura za osiguranje ploče protiv probijanja
64
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
4.12 Koso savijanje 4.12.1
Općenito
Koso savijanje nastaje kada moment (momenti) savijanja djeluju van glavnih osi tromosti presjeka, pa prilikom savijanja dolazi do zakretanja neutralne osi presjeka. Koso savijanje s uzdužnom tlačnom silom i bez nje susreće se kod stupova prostornih okvira i kod elemenata nepravilnih presjeka. Presjek je istodobno naprezan momentima savijanja oko glavnih osi z i y ili uzdužnom silom koja ima hvatište van glavnih osi presjeka. Dimenzioniranje na koso savijanje je stoga opsežan posao jer položaj neutralne osi ne ovisi samo o poprečnom presjeku već i o položaju sile.
4.12.2
Postupak y 3
εs4 εc2 εs3
4
Msdz
h d
Nsd z
Neu tra
0.80
fcd
lna o s
Fc Fs4
Msdy 1
2
Fs3
d1
εs2
εs1
b
Fs2 Fs1 Crtež 28 – Presjek opterećen kosim savijanjem
Najčešći način proračuna presjeka na koso savijanje je postupak pomoću dijagrama interakcije. Dijagram se koristi na sličan način kao i dijagram za pravokutne presjeke opterećene momentom savijanja oko jedne osi. Za proračunati odnos: α = d1 h , proračunaju se bezdimenzionalne vrijednosti: µ sdz = ν sd
Msdz b ⋅ h2 ⋅ fcd
;
µ sdy =
Msdy b ⋅ h ⋅ fcd 2
Nsd = b ⋅ h ⋅ fcd
(3.65)
i u dijagramima interakcije se očita mehanički koeficijent armiranja ω, te se proračuna potrebna armatura prema izrazima As = ω ⋅ Ac ⋅
fcd f = ω ⋅ b ⋅ h ⋅ cd fyd fyd
(3.66)
pri čemu je As ukupna armatura u presjeku. U prilozima su prikazani dijagrami za armaturu koncentriranu u krajevima presjeka, te za armaturu simetrično raspodijeljenu po stranicama presjeka.
65
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Numerički primjer 1
Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msdz=260 kNm, Msdy=100 kNm i Nsd=0.0 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal:
h = 60 d = 55
d2 = 5
C 30/37
fck = 30.0 MPa
fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa
Msdz
B 500B Nsd
;
;
fyk = 500.0 MPa
fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa
Msdy
d1 = 5
c
opterećenje Msdz = 260.0 kNm Msdy = 100.0 kNm
b = 40
Nsd = −120.0 kN (tlačna sila)
geometrija b = 40 cm
d1 = d2 = 5.0 cm
h = 60 cm
α = d1 h = 5 60 = 0.083
Koristimo dijagram za simetričnu armaturu u uglovima presjeka, α=0.1 (prilog 9) ν sd =
Nsd 0. 0 = = 0.0 bh fcd 40 ⋅ 60 ⋅ 2.0
Msdz 260 ⋅ 100 ⎫ = = 0.090 ⎪ 2 ⎧ µ1 = µ sdz = 0.090 bh fcd 40 ⋅ 60 2 ⋅ 2.0 ⎪ µ sdz > µ sdy ⇒ ⎨ ⎬ Msdy 100 ⋅ 100 ⎩µ 2 = µ sdy = 0.052 = 2 = = 0.052 ⎪ ⎪⎭ b h fcd 40 2 ⋅ 60 ⋅ 2.0
µ sdz = µ sdy
Očitano ω = 0.218
Armatura A s = 0.218 ⋅ 40 ⋅ 60 ⋅ A s,kut =
2.0 = 24.07 cm2 43.48
A s 24.07 = = 6.02 cm2 4 4
Odabrano: 3∅16 u svakom kutu (As=6.03 cm2)
66
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
d1 = d2 = 6.33 cm
c = 3.0
d1 = 6.33
h = 60
α = d1 h = 6.33 60 ≈ 1.00
d1 = 6.33 b = 40
Numerički primjer 2
Zadan je betonski presjek, kao u prethodnom primjeru, s računskim opterećenjem Msdz=260 kNm, Msdy=100 kNm i Nsd=200.0 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. ν sd =
− 200 Nsd = = −0.042 bh fcd 40 ⋅ 60 ⋅ 2.0
Msdz 260 ⋅ 100 ⎫ = = 0.090 ⎪ 2 2 ⎧ µ1 = µ sdz = 0.090 bh fcd 40 ⋅ 60 ⋅ 2.0 ⎪ ⎬ µ sdz > µ sdy ⇒ ⎨ Msdy 100 ⋅ 100 ⎩µ 2 = µ sdy = 0.052 = 2 = = 0.052 ⎪ ⎪⎭ b h fcd 40 2 ⋅ 60 ⋅ 2.0
µ sdz = µ sdy
Za νsd=0.0, očitano: ω0.0 = 0.218 Za νsd=-0.2, očitano: ω0.2 = 0.100 za νsd=-0.042: ω=
(ω0.2 − ω0.0 ) ⋅ (ν − ν ) + ω sd sd,0.0 0 .0
(ν sd,0.2 − νsd,0.0 )
(0.100 − 0.218 ) ⋅ (− 0.042 − 0.0 ) + 0.218 (− 0.2 − 0.0 ) = 0.59 ⋅ (− 0.042 ) + 0.218 = 0.193
=
Armatura A s = 0.193 ⋅ 40 ⋅ 60 ⋅ A s,kut =
2 .0 = 21.31 cm2 43.48
A s 21.31 = = 5.33 cm2 4 4
67
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Numerički primjer 3
Zadan je betonski presjek, kao u prethodnim primjerima, s računskim opterećenjem Msdz=160 kNm, Msdy=240 kNm i Nsd=480.0 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. ν sd =
Nsd − 480 = = −0.100 bh fcd 40 ⋅ 60 ⋅ 2.0
Msdz 160 ⋅ 100 ⎫ = = 0.056 ⎪ ⎧ µ = µ sdy = 0.125 bh2 fcd 40 ⋅ 60 2 ⋅ 2.0 ⎪ µ sdz < µ sdy ⇒ ⎨ 1 ⎬ Msdy 240 ⋅ 100 ⎩µ 2 = µ sdz = 0.056 = 2 = = 0.125 ⎪ 2 ⎪ b h fcd 40 ⋅ 60 ⋅ 2.0 ⎭
µ sdz = µ sdy
Za νsd=0.0, očitano: ω0.0 = 0.310 Za νsd=-0.2, očitano: ω0.2 = 0.195 za νsd=-0.100: ω=
(ω0.2 − ω0.0 ) ⋅ (ν − ν ) + ω sd sd,0.0 0 .0
(ν sd,0.2 − νsd,0.0 )
(0.195 − 0.310 ) ⋅ (− 0.100 − 0.0) + 0.310 (− 0.2 − 0.0) = 0.575 ⋅ (− 0.100 ) + 0.310 = 0.253 =
Armatura A s = 0.253 ⋅ 40 ⋅ 60 ⋅ A s,kut =
2.0 = 27.93 cm2 43.48
A s 27.93 = = 6.98 cm2 4 4
68
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
4.13 Vitki elementi naprezani ekscentričnom tlačnom silom 4.13.1
Općenito
Proračun po teoriji II reda mora se provesti za pojedinačne stupove i konstrukcije od vitkih elemenata pretežno naprezanih uzdužnom tlačnom silom. Tim proračunom valja dokazati da za najnepovoljniju kombinaciju opterećenja u graničnom stanju nosivosti neće doći do gubitka ravnoteže pojedinih elemenata ili sustava kao cjeline prije otkazivanja nosivosti presjeka naprezanih na ekscentrični tlak. U analizi sustava po teoriji II reda valja razlikovati: −
Krute sustave i elemente od onih koji to nisu,
−
Horizontalno pomične i horizontalno nepomične sustave.
Kruti element ima veliku krutost na savijanje, upet je u temelj ili podrumsko ziđe (npr. armirano-betonski zid). Kruti sustav sadrži jedan ili više krutih elemenata u oba smjera. Horizontalno nepomični sustavi su oni koji zadovoljavaju uvjet: za n ≤ 3 za n > 4
gdje je: − − − −
h tot ⋅ h tot ⋅
Fv Ecm ⋅ Ic Fv Ecm ⋅ Ic
≤ 0 .2 + 0 .1 ⋅ n
(3.67) ≤ 0 .6
htot – ukupna visina zgrade od temelja ili stropa podruma n – broj katova Fv – suma ukupnog vertikalnog opterećenja Ecm Ic – suma krutosti na savijanje vertikalnih krutih elemenata
Horizontalno pridržani sustavi proračunavaju se tako da sve horizontalne sile prihvaćaju kruti elementi (zidovi), a ostali elementi (stupovi), ovisno o vitkosti, proračunavaju prema teoriji I, odnosno II reda, uključujući imperfekciju i puzanje betona. Često se pri tome koriste pojednostavljene metode.
Pojam izvijanja
F
H ∆u
Rezne računske sile po teoriji I reda:
F
∆v
NIsd = F MIsd = H ⋅ h
Rezne računske sile po teoriji II reda:
NIIsd = F
MIIsd = H ⋅ (h − ∆v ) + F ⋅ ∆u
1. SLUČAJ: Nema uzdužne sile ili je zanemariva (F ≈ 0.0) h
4.13.2
MIIsd = H ⋅ (h − ∆v ) + F ⋅ ∆u = H ⋅ (h − ∆v ) <
2. SLUČAJ: Sustav nije vitak (∆u ≈ ∆v ≈ 0.0) MIIsd = H ⋅ (h − ∆v ) + F ⋅ ∆u ≈ H ⋅ h
=
MIsd
3. SLUČAJ: Sustav je vitak (Du >> Dv ≠ 0.0) MIIsd = H ⋅ (h − ∆v ) + F ⋅ ∆u
>
MIsd = H ⋅ h
MIsd = H ⋅ h
69
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Mjera vitkosti je parametar izvijanja λ: λ=
l0 l = 0 i IA
(3.68)
Za određivanje dužine izvijanja Eurokodom 2 se predlažu Jackson-Morelandovi nomogrami. Dužina izvijanja se općenito može izraziti: l0 = β ⋅ lcol
(3.69)
Za korištenje nomograma treba općenito izračunati kA i kB, te očitati vrijednost β iz nomograma. Za upete čvorove je: kA = kB = 0
(3.70)
kA = ∞
(3.71)
a za slobodni vrh (vrh konzole): Za ostale slučajeve:
∑E k A (ili k B ) =
∑
cm
⋅ l col
lcol E cm ⋅ α ⋅ Ib
(3.72)
lb
pri čemu indeks “col” označava stupove (columns), a indeks “b” grede (beams). α – koeficijent oslanjanja suprotnog kraja grede; α=1.0 – kraj upet, α=0.5 zglob; α=0.0 konzola
Crtež 29 – Jackson-Morelandovi nomogrami
70
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Pojedinačne tlačne elemente nije potrebno proračunavati po teoriji II reda, ako je zadovoljen uvjet: λ=
⎛ e ⎞ l0 l = 0 ≤ λ crit = 25 ⋅ ⎜⎜ 2 − 01 ⎟⎟ e 02 ⎠ i IA ⎝
e 02 ≥ e 01
;
(3.73)
gdje su e01 i e02 ekscentriciteti uzdužne tlačne sile na krajevima elementa.
Nsd
Nsd
Nsd
e02
e0
e02
e01 Nsd
e01
Nsd Nsd Crtež 30 – Ekscentriciteti
Elemente koji ne zadovoljavaju gornji kriterij valja proračunati po teoriji II reda, pri čemu vitkost ne smije prelaziti graničnu λlim=140.
4.13.3
Približni postupak prema EC-2
Približni postupak koji predlaže EC-2, a koji vrijedi za elemente konstantnog presjeka i armature, pronalazi se ukupni ekscentricitet za koji se izračuna povećani moment savijanja dok odgovarajuća uzdužna sila ostaje nepromijenjena. Ukupni ekscentricitet, bez utjecaja puzanja, bit će:
e tot = e0 + ea + e 2
(3.74)
gdje je: −
ea – ekscentricitet zbog imperfekcije ea = ν1 ⋅
−
l0 2
l0 = β ⋅ lcol
νmin =
1 - pridržani sustavi 400
νmin =
1 - nepridržani sustavi 200
1 100 ⋅ htot
≥ νmin
(3.75)
e0 – ekscentricitet po teoriji I reda e0 =
−
ν1 =
Msd Nsd
(3.76)
e2 – dodatni ekscentricitet po teoriji II reda −
htot – ukupna visina građevine
−
λ0 – dužina izvijanja stupa
−
lcol – stvarna dužina stupa
−
β – koeficijent izvijanja (iz nomograma)
Ekscentricitet nastao zbog deformiranja sustava (dodatni ekscentricitet po teoriji II reda) može se izračunati po izrazu:
71
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
⎛ 1⎞ e 2 = 0.1⋅ K 1 ⋅ l02 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝r ⎠
(3.77)
gdje je: −
ε yd 1 - zakrivljenost = 2 ⋅ K2 r 0 .9 ⋅ d
−
K1 =
−
K 2 ≤ 1 - Koeficijent kojim se uzima u obzir zakrivljenost
−
ε yd =
λ − 0.75 20
fyd Es
;
za λ > 35, K 1 = 1.0 - Korekcijski faktor
- Računska deformacija u čeliku koja odgovara računskoj granici popuštanja
Rezne računske sile na deformiranom sustavu bit će: NIIsd = NIsd MIIsd = NIsd ⋅ e tot
4.13.4
(3.78)
Približni postupak prema ACI-propisima
ACI (American code institut) propisi daju jedan vrlo jednostavan postupak za srednje razine vitkosti. Postupak se sastoji u izračunu koeficijenta vitkosti ψ, kojim se množi moment 1. reda: MIIsd = ψ ⋅ M sd ; ψ =
gdje je: −
Cm = 1.0 - koeficijent
−
γ = 1.5 - koeficijent sigurnosti
−
Ne = π 2
Eϕ ⋅ I l 20
;
Eϕ =
E 1+ ϕ
- Eulerova sila
Cm γ ⋅N 1− Ne
(3.79)
72
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Numerički primjer 1
Potrebno je proračunati i dimenzionirati stup dimenzija prema slici. Materijal C 25/30 i B500B. Rezne sile pri dnu stupa
F
NG = 150 kN ; NQ = 170 kN MG = 36 kN ; NQ = 54 kN
Računske čvrstoće
35
⇒
C 25 30 4.5 m
As2
B500B
30
As1
⇒
fcd = 25 1.5 = 16.6 MPa fyd = 500 1.15 = 434.8 MPa
Koeficijent izvijanja
40
l0 = 2 ⋅ lcol = 2 ⋅ 450 = 900 cm l0 900 = = 78 i 0.289 ⋅ 40 ⎛ ⎛ e ⎞ 0 ⎞ ⎟ = 50 λ crit = 25 ⋅ ⎜⎜ 2 − 01 ⎟⎟ = 25 ⋅ ⎜⎜ 2 − e 02 ⎠ e02 ⎟⎠ ⎝ ⎝ λ > λ crit λ=
Potreban proračun na deformiranom sustavu! Proračun prema EC-2
Ekscentricitet po teoriji I reda:
e0 =
Msd 1.35 ⋅ MG + 1.5 ⋅ MQ 129.6 = = = 0.283 m Nsd 1.35 ⋅ NG + 1.5 ⋅ NQ 457.5
Ekscentricitet zbog imperfekcije:
ν1 =
1 100 ⋅ h tot
=
1 100 ⋅ 4.5
= 0.0047
1 = 0.005 200 ν1 < ν min ⇒ ν1 = 0.005
ν min =
e a = ν1 ⋅
l0 9 .0 = 0.005 ⋅ = 0.0225 m 2 2
Dodatni ekscentricitet po teoriji II reda:
λ − 0.75 ; 20 K 2 = 1 .0
K1 =
ε yd =
fyd Es
=
za λ > 35, K 1 = 1.0
434.8 = 0.02174 200000 .0
ε yd 1 0.02174 = 2 ⋅ K2 = 2 ⋅ 1 .0 = 1.38 ⋅ 10 −3 r 0.9 ⋅ d 0.9 ⋅ 35 ⎛ 1⎞ e 2 = 0.1⋅ K 1 ⋅ l02 ⋅ ⎜ ⎟ = 0.1⋅ 1.0 ⋅ 9.0 2 ⋅ 1.38 ⋅ 10 −3 = 0.0112 m ⎝r ⎠
73
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Ukupne sile po teoriji I reda:
NIsd = 1.35 ⋅ NG + 1.5 ⋅ NQ = 457.5 kN
MIsd = 1.35 ⋅ MG + 1.5 ⋅ MQ = 129.6 kNm Ukupni ekscentricitet:
e tot = e0 + ea + e 2 = 0.283 + 0.0225 + 0.0112 = 0.3167 m Ukupne sile po teoriji II reda: NIIsd = NIsd = 457.5 kN MIIsd = NIsd ⋅ e tot = 457.5 ⋅ 0.3167 = 144.9 kNm Odnos momenata: MIIsd 144.9 = = 1.12 MIsd 129.6 Proračun prema ACI propisima:
MIIsd = ψ ⋅ MIsd ; ψ = Ne = π 2
Eϕ ⋅ I l 2i
;
Cm γ ⋅N 1− Ne Eϕ =
; Cm = 1.0 ; γ = 1.5 E 34000 = = 34000.0 MPa 1+ ϕ 1+ 0
0.30 ⋅ 0.403 = 0.0016 m4 12 l 0 = 9.0 m 2 34.000.000,0 ⋅ 0,0016 = 6628.5 kN Ne = π 9.02 Cm 1.0 ψ= = = 1.115 γ ⋅N 1.5 ⋅ 457.5 1− 1− Ne 6628.5 II M sd = 1.115 ⋅ 129.6 = 144.6 kNm I=
74
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
5
DIMENZIONIRANJE PRESJEKA PREMA GRANIČNIM STANJIMA UPORABE
5.1
Općenito
Ako graničnim stanjima nosivosti osiguravamo da konstrukcija i njeni elementi u graničnom stanju imaju dovoljnu nosivost, graničnim stanjima uporabe osiguravamo da ta konstrukcija bude i upotrebljiva, pri čemu uzimamo u obzir uvjete okoliša i vrstu i karakter opterećenja. Primjerice, ako konstrukcija ima preveliki progib i/ili značajne pukotine, bez obzira na što sigurnost konstrukcije nije ugrožena, korištenje takve konstrukcije neće biti ugodno, te je bitno smanjena njena vrijednost. U nastavku će biti obrađena tri granična stanja uporabe koja obrađuje i EC-2, to su:
5.2
−
Granično stanje naprezanja
−
Granično stanje pukotina
−
Granično stanje progiba
Granično stanje naprezanja
Prekomjerno naprezanje betona i/ili čelika pod opterećenjem u eksploataciji utječe preko raspucavanja i plastičnog deformiranja na trajnost i uporabljivost armiranobetonskih i prednapetih konstrukcija. Da bi se izbjegle negativne posljedice, prema EC-2 ograničavaju se naprezanja, i to: U Betonu:
−
Pod rijetkom kombinacijom opterećenja σ c ≤ 0.6 fck
−
(4.1)
Pod kvazistalnom kombinacijom opterećenja σ c ≤ 0.45 fck
(4.2)
σ s ≤ 0.8 fyk
(4.3)
U Čeliku:
−
−
Pod rijetkom kombinacijom opterećenja
Pod naprezanjem izazvanim samo indirektnim djelovanjem (prinudne deformacije)
σs ≤ 1.0 fyk −
(4.4)
U čeliku za prednaprezanje nakon svih gubitaka pod rijetkom kombinacijom djelovanja
σp ≤ 0.75 fpk
(4.5)
Ograničenjem naprezanja sprječava se slabljenje tlačne zone otvaranjem poprečnih mikropukotina nastalih poprečnim vlačnim naprezanjima (sile cijepanja) i plastifikacija betona. Izrazima (5.3) i (5.5) želi se spriječiti prekomjerno istezanje čelika, a time i široke pukotine. Za određivanje naprezanja koristi se linearna raspodjela naprezanja u betonu i čeliku (linearna teorija), te konstantan odnos modula elastičnosti (Es/Ec=15). Kada uvjeti ograničenja naprezanja nisu ispunjeni, potrebno je pojačati presjek i/ili armaturu, ili poduzeti druge mjere.
75
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
5.3
Granično stanje pukotina
5.3.1
Općenito
Raspucavanje armiranobetonskih konstrukcija ograničava se kako bi se spriječile šetne posljedice za trajnost građevine. Pukotine nastaju kada vlačna naprezanja izazvana savijanjem, torzijom, poprečnim silama i uzdužnom vlačnom silom, pojedinačno ili zajednički, prijeđu vlačnu čvrstoću betona. Kada nema posebnih zahtjeva na raspucavanje (npr. vodonepropusnost) armiranobetonskih sustava, može se uzeti za normalne klase onečišćenja, za armirano betonske konstrukcije wg=0.3 mm, a za prednapete konstrukcije wg=0.2 mm. Za proračun graničnih stanja pukotina primjenjuju se kvazistalna i/ili česta kombinacija opterećenja.
5.3.2
Minimalna armatura
Armiranobetonske i prednapete elemente valja uvijek armirati u području vlačnih naprezanja barem minimalnom armaturom za ograničenje širina pukotina, osobito ako se očekuje indirektno djelovanje izazvano spriječenošću slobodnog skupljanja ili prinudnim deformacijama (popuštanje ležaja). Kako raspodjela vlačnih naprezanja po visini presjeka utječe na raspucavanje elementa, valja razlikovati:
−
Promjenjivu raspodjelu izazvanu momentom savijanja (postoji vlačna i tlačna zona),
−
Jednoliku raspodjelu izazvanu vlačnom silom ( cijeli presjek naprezan na vlak).
Minimalna armatura može se izračunati po izrazu:
A s,min = k c ⋅ k ⋅ fct,eff ⋅
A ct σs
(4.6)
gdje je:
−
kc – koeficijent kojim se uzima u obzir raspodjela naprezanja po visini presjeka pri pojavi prve pukotine (kc=1.0 za centrični vlak; kc=0.4 za savijanje)
−
k – korekcijski koeficijent (k=0.8 kod spriječenih deformacija; k=1.0 za prinudne deformacije)
−
fct,eff – vlačna čvrstoća betona pri pojavi prve pukotine
−
Act – vlačna površina neposredno prije pojave pukotine
−
σs – naprezanje u armaturi neposredno nakon pojave pukotine
Granično stanje pukotina nije potrebno kontrolirati kod ploča, ako debljina ploče ne prelazi 200 mm, te kada je ploča armirana u skladu s preporukama u vezi površine i rasporeda armature potrebnom za nosivost. Za elemente armirane minimalnom armaturom, dobivenom po prethodno prikazanom izrazu, granično stanje pukotina biti će zadovoljeno ako promjeri šipaka i razmaci šipki budu manji od graničnih. Naprezanja u čeliku (σs) odgovara onom pri određivanju minimalne armature, a proračunava se za kvazistalnu kombinaciju opterećenja.
76
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
5.3.3
Dokazni postupak bez kontrole širine pukotina
Armirano betonske i prednapete ploče naprezane savijanjem nije potrebno kontrolirati na granično stanje širina pukotina ako ukupna debljina ploče ne prelazi 20 cm, te kada je korektno proračunata i armirana prema graničnim stanjima nosivosti. Za elemente armirane minimalnom armaturom, izračunatom prema izrazu (4.6) granično stanje širina pukotina biti će zadovoljeno ako promjeri šipki i razmaci među njima odgovaraju onima danim u tablicama priloženim u nastavku. Osnovni odnos raspona i efektivna debljina presjeka (l/h), sortirani su u tablici: Konstrukcijski sustav
Jače napregnut beton
Slabije napregnut beton
1. Prosta greda; Samostojeće ploče koje nose u jednom ili dva smjera (ploče koje se nastavljaju)
18
25
2. Krajnji raspon kontinuiranog nosača ili ploče koja nosi u dva smjera a nastavlja se preko jedne stranice
23
32
3. Unutarnji raspon kontinuiranog nosača ili ploče koja nosi u 1 smjeru ili 2 smjera i koja se nastavlja
25
35
4. Ploče oslonjene na stupove bez greda (bazirano na duljem rasponu)
21
30
5. Konzole
7
10
Maksimalni promjeri šipki i njihovi maksimalni razmaci za različite nivoe naprezanja u čeliku, sortirani su u tablici: Naprezanje u armaturi (MPa)
Maksimalni promjer šipke φ (mm)
160 200 240 280 320 360
32 25 20 16 12 10
Maksimalni razmak šipki (mm) Savijanje
Vlak
300 250 200 150 100 50
200 150 125 75 -
Visoke grede (grede visine 60 cm i više), kod kojih je glavna armatura skoncentrirana u donjem dijelu vlačne zone valja armirati po visini hrpta kako bi se ograničile širine pukotina i po visini grede. Površinu ove armature se može izračunati po izrazu (4.6), s tim da se uzme k=0.5, a σs=fyk. Promjeri i razmaci šipki se odabiru prema priloženim tablicama. Ovu armaturu je potrebno dobro povezati sponama.
5.3.4
Proračun širine pukotina
Kada nisu zadovoljeni uvjeti iz tablica ili kada se želi točniji dokaz graničnog stanja pukotina, proračunava se računska (karakteristična) vrijednost širine pukotina i uspoređuje s graničnom vrijednošću.
wk ≤ wg
(4.7)
Računska širina pukotine, prema EC-2, može se prognozirati pomoću izraza: w k = β ⋅ srm ⋅ ε sm
(4.8)
gdje je:
−
β – odnos računske i srednje širine pukotina (β=1.7 za vanjsko opterećenje; β=1.3 za neizravno opterećenje)
−
σrm – srednji razmak pukotina
−
εsm – srednja deformacija armature
Srednja deformacija armature određuje se po izrazu: ε sm
gdje je:
σ σ = s ⋅ζ = s Es Es
⎡ ⎛σ ⋅ ⎢1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜⎜ sr ⎢ ⎝ σs ⎣
⎞ ⎟⎟ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
(4.9)
77
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
−
ζ – koeficijent raspodjele
−
σs – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pukotine σs =
−
Msd Msd ≈ x⎞ z ⋅ As ⎛ ⎜d − ⎟ ⋅ As 3⎠ ⎝
(4.10)
σsr – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pojave prve pukotine σ sr =
Mcr z ⋅ As
; Mcr = fctm ⋅
b ⋅ h2 6
(4.11)
−
β1 – koeficijent kojim se uzima u obzir vrsta armature (β1=1.0 - rebrasta armatura, β1=0.5 - glatka armatura)
−
β2 – koeficijent kojim se uzima u obzir trajanje opterećenja (β2=1.0 – kratkotrajno opterećenje, β2=0.5 – dugotrajno opterećenje ili promjenjivo s čestim udjelom)
Srednji razmak pukotina određuje se po izrazu:
srm = 50 + 0.25 ⋅ k 1 ⋅ k 2 ⋅
φ ρr
[mm]
gdje je: −
φ – promjer šipke u mm
−
ρr – djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturom
−
k1 – koeficijent kojim se uzima u obzir prionjivost čelika i betona (k1=0.8 - rebrasta armatura, k1=1.6 - glatka armatura
−
k2 – koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj raspodjele deformacija (k2=0.5 – savijanje, k2=1.0 – vlak)
−
Ac,eff – sudjelujuća vlačna zona presjeka Grede Ploce h d
h d
Ac,eff
d1
Težište armature
c
d1
2.5 d1
Ac,eff Manja vrijednost od
2.5 (c+φ/2) ili (h-x)/3
b
Crtež 31 – Primjeri za određivanje sudjelujuće vlačne zone presjeka
(4.12)
78
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Numerički primjer
x
d2 =4
Potrebno je odrediti granično stanje pukotina za gredu prikazanu na crtežu. Beton C40/50. materijal: C 40/50 ; fck = 40.0 MPa fcd = fck γ c = 40.0 1.5 = 26.7 MPa A =3Ø12 h=44 cm d=40 cm
s2
B 500B ; fyk = 500.0 MPa fyd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa opterećenje: Msd = 43.90 kNm
M sd=43.90 kNm
geometrija: b = 30.0 cm
A s1 =3Ø16
d1 =4
h = 44.0 cm ; b=30 cm
d1 = 4 cm
d = h − d1 = 40.0 cm
Prognozna širina pukotine: w k = β ⋅ srm ⋅ ε sm
β=1.7 - odnos računske i srednje širine pukotina
Proračun srednje deformacije armature: ⎡ ⎛σ ⋅ ⎢1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜⎜ sr ⎢ ⎝ σs ⎣
⎞ ⎟⎟ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
ε sm
σ σ = s ⋅ζ = s Es Es
x=
n ⋅ A S1 ⎛⎜ 2 ⋅ b ⋅ d ⎞⎟ 5.71 ⋅ 6.03 ⎛⎜ 2 ⋅ 30 ⋅ 40 ⎞⎟ = 8.50 cm = ⋅ − 1+ 1+ ⋅ − 1+ 1+ ⎜ ⎜ b n ⋅ A S1 ⎟⎠ 30 5.71 ⋅ 6.03 ⎟⎠ ⎝ ⎝
σs =
Msd Msd 4390 kN ≈ = = 19.59 = 195.9 MPa x⎞ 8 .5 ⎞ z ⋅ As ⎛ ⎛ cm 2 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s ⎜ 40 − ⎟ ⋅ 6.03 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝
σsr =
Mcr z ⋅ As
; Mcr = fct,m ⋅
fct,m = 0.3 ⋅ (fck )
23
b ⋅ h2 6
;
= 0.3 ⋅ (40.0 )
23
fct,m ≈ 0.3 ⋅ (fck )
23
;
fck = 40.0 MPa
= 3.5 MPa
30 ⋅ 442 = 3388.0 kNcm = 33.88 kNm 6 Mcr Mcr 3388 3388 kN σsr = ≈ = = = 15.12 = 151.2 MPa x 8 . 5 z ⋅ As ⎛ 0.9 ⋅ 40 ⋅ 6.03 ⎞ ⎛ ⎞ cm2 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s ⎜ 40 − ⎟ ⋅ 6.03 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ Mcr = 0.35 ⋅
E s = 200.0 GPa = 200000000 .0 kPa - modul elastičnosti armature β1 = 1.0 - Rebrasta armatura
β2 = 0.5 - Dugotrajno opterećenje ε sm
⎛σ σ ⎡ = s ⋅ ⎢1 − β1 ⋅ β2 ⋅ ⎜⎜ sr Es ⎢ ⎝ σs ⎣
⎞ ⎟⎟ ⎠
2
2 ⎤ ⎡ 195.9 ⎛ 151.2 ⎞ ⎤ −3 ⎥= ⋅ ⎢1 − 1.0 ⋅ 0.5 ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 0.688 ⋅ 10 195.9 ⎠ ⎥⎦ ⎥ 200000 .0 ⎢⎣ ⎝ ⎦
79
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Proračun srednjeg razmaka pukotina:
srm = 50 + 0.25 ⋅ k 1 ⋅ k 2 ⋅
φ ρr
[mm]
φ = 16 mm - Promjer najdeblje šipke
k1 = 0.8 - Rebrasta armatura k 2 = 0.5 - Savijanje
=2.5*d1 =10 cm
As 6.03 = = 0.0201 - Djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturom A c,eff 30 ⋅ 10
d1 4
ρr =
b=30 srm = 50 + 0.25 ⋅ k 1 ⋅ k 2 ⋅
φ 16 = 50 + 0.25 ⋅ 0.8 ⋅ 0.5 ⋅ = 129.6 mm ρr 0.0201
Prognozna širina pukotine:
w k = β ⋅ srm ⋅ ε sm = 1.7 ⋅ 0.688 ⋅ 10 −3 ⋅ 129.6 = 0.151 mm < w g = 0.3 mm
80
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
5.4
Granično stanje progiba
5.4.1
Općenito
Deformiranje elemenata i konstrukcija dozvoljava se u određenim granicama i pod uvjetom da ne izazove oštećenja u samom sustavu i drugim nosivim elementima. Pod pojmom deformiranje (izobličenje) podrazumijeva se deformacija, progib, zakrivljenost, pomak, uvrtanje i promjena nagiba. Najčešća analiza je analiza progiba. Preporučene vrijednosti maksimalnih vertikalnih progiba prikazane su u tablici: Konstrukcija
δmax
δ2
krovovi
L/200
L/300
pristupačni krovovi za drugu namjenu osim održavanja
L/250
L/300
stropovi
L/250
L/300
stropovi/krovovi sa žbukom ili drugim krhkim završnim slojevima ili nesavitljivim pregradama
L/250
L/250
stropovi koje podupiru stupovi (osim ako je progib uzet u obzir u sklopu proračuna za granično stanje nosivosti)
L/400
L/500
kada δmax može narušiti izgled zgrade
L/250
−
δ0= nadvišenje δ1= progib od kratkotrajnog opterećenja δ2= progib od vremenskih efekata δmax= maksimalni (ukupni) progib
Kontrolu progiba nije potrebno provoditi uvijek. EC2 propisuje da kontrolu graničnog stanja uporabe nije potrebno provoditi kada vitkost elementa na savijanje (leff/d) ne prelazi vrijednosti naznačene u tablici. Vrijednosti naznačene u tablici valja umanjiti:
−
Za grede T presjeka kojima je beff/bw>3 s faktorom: 0.8;
−
Za sve elemente, osim ravnih ploča, raspona preko 7 m, koji nose pregradno ziđe, s faktorom: 7/leff.
−
Za ravne ploče, raspona preko 8.5 m, s faktorom: 8.5/leff.
Također, kada je stvarno naprezanje u čeliku manje od 250.0 MN/m2, vrijednosti u tablici treba korigirati s nepovoljnijim od dva faktora: f3 =
250 σs
;
f3 =
400 A fyk ⋅ s,req A s,prov
(4.13)
gdje je As,prov postojeća, a As,req potrebna površina armature. Upotreba ove tablice je na strani sigurnosti. Kod većih vitkosti i kada se ne može zadovoljiti uvjet za primjenu tablice potrebno je provesti dokaz graničnog stanja deformiranja.
81
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
5.4.2
Dokaz graničnog stanja progibanja
Potrebno je dokazati da je progib izazvan opterećenjem manji od graničnog: νk ≤ ν g
(4.14)
Za elemente pretežno naprezane na savijanje vrijedi sljedeći izraz:
ν = ζ ⋅ νII + (1 − ζ ) ⋅ νI gdje je: −
ν – ukupni progib
−
ζ – koeficijent raspodjele (već primjenjivan kod proračuna pukotina); za neraspucali element z=0.0 2 ⎡ ⎛σ ⎞ ⎤ ζ = ⎢1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜⎜ sr ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎝ σ s ⎠ ⎥⎦ ⎣
−
νI, νII – odgovarajuće vrijednosti progiba za neraspucali (homogeni) i potpuno raspucali element
(4.15)
82
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Za elemente konstantne visine koristi se pojednostavljena metoda prema kojoj se izračuna zakrivljenost na mjestu maksimalnog momenta, a progib se tada izračuna prema izrazu: ν tot = k ⋅ L2 ⋅
1 rtot
(4.16)
gdje je: −
k – koeficijent ovisan o statičkom sustavu i opterećenju (vidi tablicu)
−
L – raspon elementa
−
rtot – ukupna zakrivljenost elementa, prema izrazu 1 1 1 = + rtot rm rcsm
−
rm – zakrivljenost zbog opterećenja i puzanja
−
rcsm – zakrivljenost zbog skupljanja
Tablica koeficijenata k za pojednostavljeni proračun progiba:
(4.17)
83
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Srednja zakrivljenost zbog opterećenja i puzanja sastoji se od zakrivljenosti u stanju naprezanja I i stanju naprezanja II: 1 1 1 = ζ ⋅ + (1 − ζ ) ⋅ rm rI rII
(4.18)
Zakrivljenost za stanje naprezanja I proračunava se prema izrazu:
MSd 1 = rI Ec,eff ⋅ II
(4.19)
gdje je: −
II – moment tromosti presjeka u stanju I (neraspucalo stanje)
Približne vrijednosti vlačne čvrstoće betona i modula elastičnosti mogu se odrediti izrazima:
E cm = 9500 ⋅ 3 fck + 8
;
fck [MPa]
fct,m ≈ 0.3 ⋅ (fck )
;
fck [MPa]
23
[MPa] [MPa]
(4.20)
Puzanje betona može se uzeti u obzir preko korigiranog modula elastičnosti, nakon očitanja trajnog koeficijenta puzanja ( ϕt 0 ,t ∞ ) iz pravilnika: Ec,eff =
Ecm 1 .0 + ϕ t 0 , t ∞
(4.21)
Zakrivljenost za stanje naprezanja II:
ε s1 MSd 1 = = rII d − yIIg E c,eff ⋅ III
(4.22)
gdje je: −
yIIg – udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba poprečnog presjeka za stanje II
−
εs1 – relativna deformacija armature, koja se izračunava po izrazu: ε s1 =
σs Es
σs =
;
Msd z ⋅ A s1
(4.23)
Moment nastanka prve pukotine određuje se prema izrazu: Mcr = fct,m ⋅
b ⋅ h2 6
;
fct,m ≈ 0.3 ⋅ (fck )
23
(4.24)
Te, ako je Mcr>Msd, tada se koeficijent raspodjele z uzima jednak 0, bez obzira na proračunatu vrijednost, jer je nosač u elastičnom stanju. Zakrivljenost zbog skupljanja za stanje naprezanja I i II iznose:
1 rcsl,I
=
ε cs∞ ⋅ α e ⋅ SI II
;
1 rcsl,II
=
ε cs∞ ⋅ α e ⋅ SII III
gdje je: −
SI, SII – statički moment površine armature za stanje naprezanja I, tj. II,
−
II, III – momenti tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja I, tj. II,
−
εcs∞ – relativna deformacija zbog skupljanja u beskonačnosti (iz tablica)
−
αe – omjer modula elastičnosti čelika i betona, prema:
(4.25)
84
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
αe =
Es (za t = 0) ; α e = Es (za t = ∞ ) Ecm E c,eff
(4.26)
Numerički primjer
Potrebno je izračunati granično stanje progiba za nosač prikazan na crtežu. Granični progib: L 460 ν lim = = = 1.84 cm 250 250 MB= 57.5 kNm Beton: C 40/50; fck=40.0 MPa Ecm = 9500 ⋅ 3 fck + 8 = 9500 ⋅ 3 40 + 8 ≈ 35000 MPa
MA= 0 kNm
fct,m = 0.3 ⋅ (fck )
23
= 0.3 ⋅ (40.0 )
23
= 3.5 MPa
Čelik: B500B; Es=200.0 GPa E 200.0 α eI = s = = 5.71 E cm 35.0
MF= 43.9 kNm L=460 cm
ν tot = k ⋅ L2 ⋅
1 rtot
β = MA + MB MF = 0.0 + 57.5 43.9 = 1.31 k=
d2 4
Presjek u polju: As2=3Ø12
5 ⋅ (1 − 0.1 ⋅ β ) = 0.104 ⋅ (1 − 0.1 ⋅ 1.31) = 0.091 48
As1 = 3∅16 =6.03 cm2 As2 = 2∅12 =2.26 cm2 II =
2 2 ⎡ bh3 ⎞ ⎤ ⎛h ⎞ ⎛h + α eI ⋅ ⎢ A s1 ⋅ ⎜ − d2 ⎟ + A s2 ⋅ ⎜ − d1 ⎟ ⎥ 12 ⎠ ⎦⎥ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎣⎢
40
2 2 ⎡ 30 ⋅ 44 3 ⎛ 44 ⎞ ⎤ ⎛ 44 ⎞ − 4⎟ ⎥ = = + 5.71 ⋅ ⎢6.03 ⋅ ⎜ − 4 ⎟ + 2.26 ⋅ ⎜ 12 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎢⎣
= 212960 .0 + 15336 .8 = 228296 .8 cm 4 d1 4
As1=3Ø16 b=30
MSd = MF = 1.0 ⋅ Mg + 1.0 ⋅ Mq = 43.90 kNm = 4390.0 kNcm Ec,eff = Ecm = 35.0 GN m2 = 3500.0 kN cm2 1 MSd 4390.0 1 = = = 0.00000549 rI Ec,eff ⋅ II 3500.0 ⋅ 228296 .83 cm
x=
α eI ⋅ A s1 ⎛⎜ 2bd ⎞⎟ 5.71 ⋅ 6.03 ⎛⎜ 2 ⋅ 30 ⋅ 40 ⎞⎟ − 1+ 1+ = − 1+ 1+ = 8.50 cm ⎜ ⎟ ⎜ α eI ⋅ A s1 ⎠ b 30 5.71 ⋅ 6.03 ⎟⎠ ⎝ ⎝
85
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
[
2
III =
bx 3 ⎛x⎞ 2 2 + bx ⋅ ⎜ ⎟ + α eI ⋅ A s1 ⋅ (d − x ) + A s2 ⋅ (x − d2 ) 12 ⎝2⎠
[
2
=
]
30 ⋅ 8.50 3 ⎛ 8.50 ⎞ 2 2 + (30 ⋅ 8.50 ) ⋅ ⎜ ⎟ + 5.71 ⋅ 6.03 ⋅ (40 − 8.5 ) + 2.26 ⋅ (8.5 − 4 ) 12 2 ⎝ ⎠
]
= 6141.25 + 34425.78 = 40567.03 cm 4 Msd Msd 4390 kN ≈ = = 19.59 = 195.9 MPa x⎞ 8.5 ⎞ z ⋅ A s1 ⎛ ⎛ cm2 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s1 ⎜ 40 − ⎟ ⋅ 6.03 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝
d2 4
σ s1 =
ε s1 =
Fc
ε s1 1 0.0009795 1 = = = 0.00003110 rII d − yIIg 40 − 8.5 cm
d - x/3
h = 44 cm d = 40 cm
x
As2=3Ø12
As1=3Ø16
195.9 σs1 = = 0.0009795 Es 200000
Alternativno:
MSd 1 4390.0 1 = = = 0.00003092 rII Ec,eff ⋅ III 3500.0 ⋅ 40567.03 cm
d1 4
Fs1
b=30
σ sr =
Mcr z ⋅ As
; Mcr = fctm ⋅
fctm = 0.3 ⋅ (fck )
23
b ⋅ h2 6
;
= 0.3 ⋅ (40.0 )
23
fctm ≈ 0.3 ⋅ (fck )
23
;
fck = 40.0 MPa
= 3.5 MPa
30 ⋅ 44 = 3388.0 kNcm = 33.88 kNm 6 Mcr Mcr 3388 kN σ sr = ≈ = = 15.12 = 151.2 MPa x⎞ 8 .5 ⎞ z ⋅ As ⎛ ⎛ cm2 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s ⎜ 40 − ⎟ ⋅ 6.03 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ 2
Mcr = 0.35 ⋅
1 1 = 0.00000549 rI cm 1 1 = 0.00003110 rII cm 2
⎛σ ⎞ ⎛ 151.2 ⎞ ζ = 1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜⎜ sr ⎟⎟ = 1 − 1.0 ⋅ 0.5 ⋅ ⎜ ⎟ = 0.702 ⎝ 195.9 ⎠ ⎝ σs ⎠ 1 1 1 1 = ζ ⋅ + (1 − ζ ) ⋅ = 0.702 ⋅ 0.00000549 + (1 − 0.702 ) ⋅ 0.00003110 = 0.0000131 rm rI rII cm 2
k = 0.091 L = 360.0 cm ν tot,t =0 = k ⋅ L2 ⋅
1 rtot
= 0.091 ⋅ 360.0 2 ⋅ 0.0000131 = 0.16 cm < ν lim = 1.84 cm
86
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
Ako uključimo puzanje: Presjek u polju: d2 4
E c,eff = α eII =
As2=3Ø12
40
II =
E cm 35.0 = ≈ 10.3 GPa 1 + ϕ t,t =∞ 1 + 2.4
Es 200.0 = = 19.42 E c,eff 10.3
2 2 ⎡ bh3 ⎛h ⎞ ⎛h ⎞ ⎤ + α eI ⋅ ⎢ A s1 ⋅ ⎜ − d2 ⎟ + A s 2 ⋅ ⎜ − d1 ⎟ ⎥ 12 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣
=
d1 4
As1=3Ø16
2 2 ⎡ 30 ⋅ 44 3 ⎛ 44 ⎞ ⎛ 44 ⎞ ⎤ + 19.42 ⋅ ⎢6.03 ⋅ ⎜ − 4 ⎟ + 2.26 ⋅ ⎜ − 4⎟ ⎥ = 12 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣
= 212960 .0 + 52161 .34 = 265121 .34 cm 4
b=30
MSd = MF = 1.0 ⋅ Mg + 1.0 ⋅ Mq = 43.90 kNm = 4390.0 kNcm
As1 = 3∅16 =6.03 cm2 As2 = 2∅12 =2.26 cm2
1 1 MSd 4390.0 = = = 0.0000161 cm rI Ec,eff ⋅ II 1030.0 ⋅ 265121.34 x=
α eII ⋅ A s1 ⎛⎜ 2bd ⎞⎟ 19.42 ⋅ 6.03 ⎛⎜ 2 ⋅ 30 ⋅ 40 ⎞⎟ − 1+ 1+ = − 1+ 1+ = 14.20 cm ⎜ ⎟ ⎜ α eII ⋅ A s1 ⎠ b 30 19.42 ⋅ 6.03 ⎟⎠ ⎝ ⎝
III =
bx 3 ⎛x⎞ 2 2 + bx ⋅ ⎜ ⎟ + α eII ⋅ A s1 ⋅ (d − x ) + A s2 ⋅ (x − d2 ) 12 ⎝2⎠
[
2
[
2
=
]
30 ⋅ 14.20 3 ⎛ 14.20 ⎞ 2 2 + (30 ⋅ 14.20 ) ⋅ ⎜ ⎟ + 19.42 ⋅ 6.03 ⋅ (40 − 14.20 ) + 2.26 ⋅ (14.20 − 4 ) 12 2 ⎝ ⎠
= 28632 .88 + 82514 .41 = 111147 .29 cm 4 σ s1 =
ε s1 =
Msd Msd 4390 kN ≈ = = 20.64 = 206.4 MPa x⎞ 14.2 ⎞ z ⋅ A s1 ⎛ ⎛ cm 2 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s1 ⎜ 40 − ⎟ ⋅ 6.03 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ σ s1 206.4 = = 0.001032 E s 200000
1 εs1 1 0.001032 = = 0.0000400 = cm rII d − yIIg 40 − 14.2 MSd 1 4390.0 1 = = = 0.0000383 rII Ec,eff ⋅ III 1030.0 ⋅ 111147 .29 cm σsr =
Mcr z ⋅ As
; Mcr = fctm ⋅
fctm = 0.3 ⋅ (fck )
23
b ⋅ h2 6
;
= 0.3 ⋅ (40.0 )
23
fctm ≈ 0.3 ⋅ (fck )
23
;
fck = 40.0 MPa
= 3.5 MPa
30 ⋅ 44 = 3388.0 kNcm = 33.88 kNm 6 Mcr Mcr 3388 kN σsr = ≈ = = 15.90 = 159.0 MPa x⎞ 14.2 ⎞ z ⋅ As ⎛ ⎛ cm2 d A 40 − ⋅ − ⋅ 6 . 03 ⎟ ⎜ ⎟ s ⎜ 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ Mcr = 0.35 ⋅
2
(195.9 MPa)
]
87
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
1 1 = 0.0000161 rI cm 1 1 = 0.0000400 rII cm 2
⎛σ ⎞ ⎛ 159.0 ⎞ ζ = 1 − β1 ⋅ β2 ⋅ ⎜⎜ sr ⎟⎟ = 1 − 1.0 ⋅ 0.5 ⋅ ⎜ ⎟ = 0.703 ⎝ 206.4 ⎠ ⎝ σs ⎠ 1 1 1 1 = ζ ⋅ + (1 − ζ ) ⋅ = 0.703 ⋅ 0.0000161 + (1 − 0.703 ) ⋅ 0.0000400 = 0.0000232 cm rII rm rI 2
k = 0.091 L = 360.0 cm ν tot,t = ∞ = k ⋅ L2 ⋅
1 = 0.091⋅ 360.02 ⋅ 0.0000232 = 0.27 cm < νlim = 1.84 cm rtot
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
6
DETALJI UGRADNJE ARMATURE
6.1
Općenito
88
Ako graničnim stanjima nosivosti osiguravamo da konstrukcija i njeni elementi u graničnom stanju imaju dovoljnu nosivost, graničnim stanjima uporabe osiguravamo da ta konstrukcija bude i upotrebljiva, pri čemu uzimamo u obzir uvjete okoliša i vrstu i karakter opterećenja. Primjerice, ako konstrukcija ima preveliki progib i/ili značajne pukotine, bez obzira na što sigurnost konstrukcije nije ugrožena, korištenje takve konstrukcije neće biti ugodno, te je bitno smanjena njena vrijednost.
6.2
Razmak šipki
6.3
Dozvoljeni promjeri savijanja šipki
6.4
Sidrenje uzdužne armature
6.5
Sidrenje poprečne armature
6.6
Posebna pravila za šipke velikog promjera
Osnove betonskih konstrukcija - Interna skripta
7
PRILOZI Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graničnim stanjima sloma Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka Prilog 3: Tablice za proračun pravokutnih križno armiranih ploča opterećenih jednolikim kontinuiranim opterećenjem Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka, β=0.05 Prilog 5: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka, β=0.075 Prilog 6: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka, β=0.10 Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka, ϕ=0.85 Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka, ϕ=0.90 Prilog 9: Dijagram za dimenzioniranje pravokutnih presjeka na koso savijanje – armatura simetrično raspoređena u kutovima Prilog 10: Dijagram za dimenzioniranje pravokutnih presjeka na koso savijanje – armatura simetrično raspoređena po stranicama Prilog 11: Armaturne tablice
89
Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graničnim stanjima sloma Lom preko armature εs1=20.0 ‰ 0.998 0.997 0.995 0.993 0.992 0.990 0.988 0.987 0.985 0.983 0.982 0.980 0.978 0.977 0.975 0.973 0.971 0.970 0.968 0.966 0.964 0.962 0.960 0.958 0.957 0.955 0.953 0.951 0.949 0.947 0.945 0.944 0.942 0.940 0.938
0.000 0.001 0.002 0.003 0.005 0.007 0.009 0.011 0.014 0.017 0.020 0.023 0.026 0.030 0.033 0.037 0.041 0.044 0.048 0.052 0.055 0.059 0.062 0.066 0.069 0.073 0.076 0.080 0.083 0.086 0.090 0.093 0.096 0.099 0.102
0.000 0.001 0.002 0.003 0.005 0.007 0.009 0.011 0.014 0.017 0.020 0.023 0.026 0.029 0.033 0.036 0.039 0.043 0.046 0.050 0.053 0.056 0.060 0.063 0.066 0.069 0.073 0.076 0.079 0.082 0.085 0.088 0.090 0.093 0.096
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
d2
2
εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d
As2
10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0
εs2
0.010 0.020 0.029 0.038 0.048 0.057 0.065 0.074 0.083 0.091 0.099 0.107 0.115 0.123 0.130 0.138 0.145 0.153 0.160 0.167 0.174 0.180 0.187 0.194 0.200 0.206 0.213 0.219 0.225 0.231 0.237 0.242 0.248 0.254 0.259
0.997 0.993 0.990 0.987 0.984 0.981 0.977 0.974 0.971 0.968 0.965 0.962 0.959 0.956 0.953 0.950 0.947 0.944 0.941 0.938 0.934 0.931 0.928 0.925 0.922 0.919 0.916 0.913 0.910 0.907 0.904 0.901 0.898 0.895 0.892
εc2
ω1
µsds
0.000 0.002 0.004 0.006 0.009 0.013 0.017 0.022 0.027 0.032 0.038 0.044 0.050 0.056 0.062 0.069 0.075 0.082 0.088 0.094 0.101 0.107 0.113 0.119 0.125 0.130 0.136 0.142 0.147 0.153 0.158 0.163 0.168 0.173 0.178
0.000 0.002 0.003 0.006 0.009 0.013 0.017 0.021 0.026 0.031 0.037 0.042 0.048 0.054 0.059 0.065 0.071 0.077 0.083 0.089 0.094 0.099 0.105 0.110 0.115 0.120 0.125 0.129 0.134 0.138 0.143 0.147 0.151 0.155 0.159
0.85 fcd
Lom preko armature εs1=5.0 ‰ εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0
0.020 0.038 0.057 0.074 0.091 0.107 0.123 0.138 0.153 0.167 0.180 0.194 0.206 0.219 0.231 0.242 0.254 0.265 0.275 0.286 0.296 0.306 0.315 0.324 0.333 0.342 0.351 0.359 0.367 0.375 0.383 0.390 0.398 0.405 0.412
0.993 0.987 0.981 0.975 0.969 0.963 0.958 0.952 0.947 0.942 0.937 0.931 0.926 0.922 0.917 0.912 0.907 0.902 0.898 0.893 0.888 0.883 0.879 0.874 0.870 0.865 0.861 0.857 0.852 0.848 0.844 0.840 0.836 0.832 0.829
Lom preko armature εs1=3.0 ‰
ω1
µsds
0.001 0.003 0.007 0.012 0.018 0.025 0.032 0.041 0.050 0.059 0.069 0.079 0.089 0.100 0.110 0.121 0.131 0.142 0.152 0.162 0.172 0.181 0.190 0.199 0.208 0.216 0.224 0.232 0.240 0.248 0.255 0.263 0.270 0.277 0.283
0.001 0.003 0.007 0.011 0.017 0.024 0.031 0.039 0.047 0.056 0.064 0.074 0.083 0.092 0.101 0.110 0.119 0.128 0.136 0.145 0.152 0.160 0.167 0.174 0.181 0.187 0.193 0.199 0.205 0.210 0.216 0.221 0.226 0.230 0.235
εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0
Neutralna os
Msd
d-x As1 1
b
εs1
0.032 0.063 0.091 0.118 0.143 0.167 0.189 0.211 0.231 0.250 0.268 0.286 0.302 0.318 0.333 0.348 0.362 0.375 0.388 0.400 0.412 0.423 0.434 0.444 0.455 0.464 0.474 0.483 0.492 0.500 0.508 0.516 0.524 0.531 0.538
0.989 0.979 0.969 0.960 0.951 0.943 0.935 0.927 0.920 0.913 0.906 0.899 0.892 0.886 0.880 0.874 0.868 0.862 0.856 0.850 0.844 0.839 0.833 0.828 0.822 0.817 0.812 0.807 0.802 0.798 0.793 0.789 0.784 0.780 0.776
Lom preko betona εc2=3.5 ‰
ω1
µsds
0.001 0.005 0.011 0.019 0.028 0.038 0.050 0.062 0.075 0.089 0.102 0.117 0.131 0.145 0.159 0.173 0.187 0.201 0.214 0.227 0.239 0.251 0.262 0.273 0.283 0.293 0.303 0.313 0.322 0.331 0.339 0.347 0.355 0.363 0.371
0.001 0.005 0.011 0.018 0.026 0.036 0.046 0.058 0.069 0.081 0.093 0.105 0.117 0.129 0.140 0.152 0.162 0.173 0.183 0.193 0.202 0.210 0.218 0.226 0.233 0.240 0.246 0.252 0.258 0.264 0.269 0.274 0.279 0.283 0.288
Fs2 Fc
d-d2 z=ζ*d
0.005 0.010 0.015 0.020 0.024 0.029 0.034 0.038 0.043 0.048 0.052 0.057 0.061 0.065 0.070 0.074 0.078 0.083 0.087 0.091 0.095 0.099 0.103 0.107 0.111 0.115 0.119 0.123 0.127 0.130 0.134 0.138 0.142 0.145 0.149
µsds
h d
20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0
d1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Lom preko armature εs1=10.0 ‰
ω1
x=ξ*d
εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d
µ sd Fs1
Msd = = µRd = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ ζ b ⋅ d2 ⋅ fcd
A s1 =
M sd ζ ⋅ d ⋅ f yd
A s1 = ω1
fcd ⋅d⋅b f yd
εc2 [‰] εs1 [‰] ξ=x/d ζ=z/d 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5
20.0 19.5 19.0 18.5 18.0 17.5 17.0 16.5 16.0 15.5 15.0 14.5 14.0 13.5 13.0 12.5 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0 8.5 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5
0.149 0.152 0.156 0.159 0.163 0.167 0.171 0.175 0.179 0.184 0.189 0.194 0.200 0.206 0.212 0.219 0.226 0.233 0.241 0.250 0.259 0.269 0.280 0.292 0.304 0.318 0.333 0.350 0.368 0.389 0.412 0.438 0.467 0.500 0.538 0.583 0.636 0.700 0.778 0.875
0.938 0.937 0.935 0.934 0.932 0.931 0.929 0.927 0.925 0.923 0.921 0.919 0.917 0.914 0.912 0.909 0.906 0.903 0.900 0.896 0.892 0.888 0.884 0.879 0.873 0.868 0.861 0.854 0.847 0.838 0.829 0.818 0.806 0.792 0.776 0.757 0.735 0.709 0.676 0.636
ω1
µsds
0.102 0.105 0.107 0.109 0.112 0.115 0.117 0.120 0.124 0.127 0.130 0.134 0.138 0.142 0.146 0.151 0.155 0.161 0.166 0.172 0.178 0.185 0.193 0.201 0.209 0.219 0.229 0.241 0.254 0.268 0.283 0.301 0.321 0.344 0.371 0.401 0.438 0.482 0.535 0.602
0.096 0.098 0.100 0.102 0.104 0.107 0.109 0.112 0.114 0.117 0.120 0.123 0.126 0.130 0.133 0.137 0.141 0.145 0.149 0.154 0.159 0.165 0.170 0.176 0.183 0.190 0.198 0.206 0.215 0.224 0.235 0.246 0.259 0.272 0.288 0.304 0.322 0.341 0.362 0.383
Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka b eff bi
ε s2
A s2
ε c2
x
hf
d2
2
0.85 f cd
ε *c
Neutralna os
λb = 1 −
F s2 Fc
αv α∗v
⎛ h ⎞⎛ b ⎜⎜1 − f ⎟⎟⎜⎜1 − eff bw ⎝ ξ d ⎠⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
N sd
ε s1
d1
A s1 1
z
d-x
h d
d-d2
M sd
F s1
bw
hf d 0.550
0.525
0.500
0.475
0.450
0.425
0.400
0.375
0.350
0.325
0.300
0.275
b eff b 0.250
0.225
0.200
0.175
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
0.025
1.5
2.0
2.5
3.0
4.0
4.5
5.0
1.00
λb
ξ=x d 0.550
3.5
0.525
0.500
0.475
0.450
0.425
0.400
0.375
0.350
0.325
0.300
0.275
0.250
0.225
0.200
0.175
0.150
0.125
0.100
0.075
0.050
0.025
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
0.550
0.513
0.489
0.464
0.437
0.413
0.386
0.362
0.335
0.309
0.284
0.259
0.232
0.207
0.181
0.155
0.130
0.103
0.078
0.052
0.026
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
0.550
0.513
0.487
0.461
0.436
0.409
0.383
0.357
0.330
0.303
0.276
0.249
0.221
0.194
0.166
0.139
0.111
0.083
0.056
0.028
0.99
0.99
0.99
0.99
0.99
0.99
0.99
0.99
0.550
0.513
0.487
0.460
0.434
0.407
0.379
0.351
0.323
0.295
0.266
0.237
0.208
0.178
0.149
0.119
0.090
0.060
0.030
0.99
0.98
0.98
0.98
0.98
0.98
0.98
0.98
0.550
0.512
0.485
0.459
0.431
0.403
0.374
0.345
0.315
0.285
0.254
0.223
0.192
0.160
0.129
0.097
0.065
0.032
0.98
0.97
0.97
0.97
0.96
0.96
0.96
0.96
0.550
0.512
0.485
0.457
0.428
0.399
0.368
0.337
0.306
0.273
0.240
0.207
0.173
0.139
0.105
0.070
0.035
0.97
0.96
0.95
0.94
0.94
0.94
0.94
0.93
0.550
0.511
0.483
0.454
0.425
0.394
0.362
0.329
0.295
0.260
0.224
0.188
0.151
0.114
0.076
0.038
0.96
0.94
0.93
0.92
0.91
0.91
0.91
0.90
0.510
0.481
0.451
0.420
0.388
0.354
0.318
0.281
0.243
0.204
0.164
0.124
0.083
0.042
0.95
0.92
0.90
0.89
0.88
0.88
0.87
0.87
0.550
0.509
0.479
0.448
0.415
0.381
0.344
0.305
0.265
0.223
0.180
0.136
0.091
0.046
0.93
0.90
0.87
0.86
0.85
0.84
0.84
0.83
0.550
0.508
0.477
0.444
0.409
0.372
0.331
0.289
0.244
0.198
0.150
0.101
0.051
0.91
0.87
0.84
0.83
0.81
0.80
0.80
0.79
0.550
0.507
0.473
0.439
0.401
0.360
0.316
0.268
0.218
0.166
0.112
0.056
0.90
0.84
0.81
0.79
0.78
0.76
0.76
0.75
0.550
0.505
0.469
0.432
0.391
0.345
0.295
0.241
0.184
0.125
0.063
0.88
0.82
0.78
0.75
0.74
0.72
0.71
0.70
0.550
0.502
0.464
0.423
0.378
0.326
0.268
0.206
0.140
0.071
0.86
0.79
0.74
0.72
0.70
0.68
0.67
0.66
0.550
0.499
0.457
0.412
0.360
0.299
0.232
0.158
0.081
0.84
0.76
0.71
0.68
0.65
0.64
0.62
0.61
0.550
0.494
0.448
0.397
0.335
0.262
0.181
0.093
0.82
0.73
0.68
0.64
0.61
0.59
0.58
0.57
0.550
0.488
0.435
0.374
0.298
0.208
0.108
0.80
0.70
0.64
0.60
0.57
0.55
0.53
0.52
0.550
0.479
0.418
0.342
0.243
0.127
0.78
0.67
0.60
0.56
0.53
0.51
0.49
0.48
0.550
0.467
0.392
0.288
0.154
0.76
0.64
0.58
0.53
0.49
0.47
0.45
0.43
0.550
0.449
0.347
0.192
0.74
0.62
0.54
0.49
0.45
0.42
0.40
0.38
0.550
0.420
0.252
0.72
0.59
0.50
0.45
0.41
0.38
0.36
0.34
0.550
0.351
0.71
0.56
0.47
0.41
0.37
0.34
0.31
0.29
0.550
0.69
0.53
0.43
0.37
0.33
0.29
0.27
0.25
0.550
Prilog 3: Tablice za proračun pravokutnih križno armiranih ploča opterećenih jednolikim kontinuiranim opterećenjem M x = k x ⋅ q ⋅ l2x
;
Max = k ax ⋅ q ⋅ l2x
M y = k y ⋅ q ⋅ l 2y
;
Mby = k by ⋅ q ⋅ l2y
Shema 1
upeti rub
q – jednoliko raspodijeljeno opterećenje Poissonov koeficijent = 0.15
Shema 2
slobodno oslonjeni rub
Shema 4
Shema 3
Shema 6
Shema 5
Mby
q
My ly
ly
q
My
Max
ly
Mx
My
Max
Mx
lx
Max
My
Max
ly
Mx
Mx
Mby
Mby
Max
ly
q
My
Max
Max
Mx Mby lx
lx q
q
q
My
Max
lx
lx
q
q
ly
Mx
lx q
q
q
q
ly lx
kx
ky
kx
ky
k ax
ly lx
kx
ky
k ax
kx
ky
k ax
k by
ly lx
kx
ky
k ax
k by
kx
ky
k ax
k by
0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00
0.0079 0.0103 0.0131 0.0162 0.0194 0.0230 0.0269 0.0307 0.0344 0.0383 0.0423 0.0500 0.0575 0.0644 0.0710 0.0722 0.0826 0.0874 0.0916 0.0954 0.0991
0.0991 0.0923 0.0857 0.0792 0.0730 0.0669 0.0611 0.0577 0.0507 0.0462 0.0423 0.0353 0.0293 0.0244 0.0204 0.0173 0.0146 0.0124 0.0107 0.0091 0.0079
0.0084 0.0109 0.0135 0.0162 0.0192 0.0221 0.0249 0.0277 0.0304 0.0330 0.0354 0.0399 0.0438 0.0471 0.0500 0.0524 0.0544 0.0561 0.0572 0.0586 0.0594
0.0908 0.0826 0.0747 0.0670 0.0599 0.0533 0.0472 0.0417 0.0369 0.0327 0.0291 0.0288 0.0180 0.0143 0.0115 0.0094 0.0076 0.0062 0.0052 0.0044 0.0037
-0.0305 -0.0362 -0.0421 -0.0479 -0.0537 -0.0594 -0.0650 -0.0703 -0.0750 -0.0797 -0.0840 -0.0917 -0.0980 -0.1032 -0.1075 -0.1109 -0.1136 -0.1160 -0.1184 -0.1203 -0.1213
0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00
0.0088 0.0113 0.0137 0.0166 0.0187 0.0212 0.0233 0.0254 0.0274 0.0292 0.0309 0.0335 0.0357 0.0374 0.0386 0.0396 0.0404 0.0410 0.0414 0.0416 0.0417
0.0835 0.0738 0.0647 0.0563 0.0489 0.0423 0.0363 0.0313 0.0270 0.0232 0.0201 0.0151 0.0113 0.0088 0.0068 0.0053 0.0042 0.0034 0.0028 0.0023 0.0019
-0.0297 -0.0350 -0.0400 -0.0450 -0.0497 -0.0540 -0.0578 -0.0612 -0.0644 -0.0677 -0.0699 -0.0741 -0.0770 -0.0793 -0.0811 -0.0815 -0.0825 -0.0830 -0.0832 -0.0833 -0.0833
0.0040 0.0054 0.0072 0.0092 0.0114 0.0139 0.0164 0.0191 0.0217 0.0243 0.0269 0.0319 0.0365 0.0406 0.0442 0.0473 0.0499 0.0521 0.0540 0.0556 0.0570
0.0570 0.0543 0.0514 0.0483 0.0451 0.0418 0.0385 0.0354 0.0324 0.0295 0.0269 0.0221 0.0182 0.0148 0.0122 0.0100 0.0081 0.0066 0.0055 0.0046 0.0040
-0.0205 -0.0249 -0.0294 -0.0341 -0.0390 -0.0442 -0.0496 -0.0548 -0.0598 -0.0648 -0.0699 -0.0787 -0.0869 -0.0937 -0.0993 -0.1041 -0.1082 -0.1116 -0.1143 -0.1167 -0.1189
-0.1189 -0.1148 -0.1104 -0.1057 -0.1008 -0.0957 -0.0905 -0.0852 -0.0798 -0.0745 -0.0699 -0.0608 -0.0530 -0.0462 -0.0405 -0.0358 -0.0317 -0.0282 -0.0252 -0.0226 -0.0205
0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00
0.0045 0.0062 0.0081 0.0101 0.0122 0.0145 0.0169 0.0191 0.0211 0.0232 0.0252 0.0287 0.0316 0.0340 0.0359 0.0374 0.0386 0.0395 0.0402 0.0408 0.0412
0.0550 0.0514 0.0476 0.0436 0.0398 0.0359 0.0323 0.0289 0.0257 0.0228 0.0202 0.0158 0.0123 0.0096 0.0075 0.0060 0.0048 0.0039 0.0031 0.0026 0.0022
-0.0203 -0.0247 -0.0291 -0.0336 -0.0381 -0.0427 -0.0471 -0.0513 -0.0551 -0.0586 -0.0617 -0.0676 -0.0722 -0.0757 -0.0782 -0.0800 -0.0814 -0.0825 -0.0834 -0.0842 -0.0847
-0.1135 -0.1078 -0.1021 -0.0964 -0.0906 -0.0845 -0.0781 -0.0720 -0.0661 -0.0603 -0.0546 -0.0467 -0.0399 -0.0341 -0.0293 -0.0254 -0.0221 -0.0193 -0.0171 -0.0154 -0.0141
0.0024 0.0033 0.0046 0.0061 0.0079 0.0098 0.0103 0.0139 0.0160 0.0181 0.0202 0.0242 0.0287 0.0306 0.0332 0.0353 0.0369 0.0383 0.0392 0.0399 0.0405
0.0405 0.0394 0.0378 0.0360 0.0339 0.0315 0.0293 0.0269 0.0247 0.0224 0.0202 0.0164 0.0131 0.0105 0.0084 0.0066 0.0053 0.0042 0.0035 0.0028 0.0024
-0.0143 -0.0172 -0.0206 -0.0242 -0.0280 -0.0320 -0.0360 -0.0400 -0.0440 -0.0480 -0.0515 -0.0585 -0.0643 -0.0690 -0.0728 -0.0757 -0.0779 -0.0797 -0.0812 -0.0824 -0.0833
-0.0833 -0.0817 -0.0794 -0.0767 -0.0737 -0.0704 -0.0668 -0.0631 -0.0593 -0.0554 -0.0515 -0.0449 -0.0388 -0.0336 -0.0291 -0.0254 -0.0223 -0.0198 -0.0176 -0.0158 -0.0143
Množitelj
q ⋅ l 2x
q ⋅ l 2y
q ⋅ l 2x
q ⋅ l 2y
q ⋅ l 2x
Množ.
q ⋅ l 2x
q ⋅ l 2y
q ⋅ l 2x
q ⋅ l 2x
q ⋅ l 2y
q ⋅ l 2x
q ⋅ l 2y
Množ.
2 2 2 2 q ⋅ l 2x q ⋅ l y q ⋅ l 2x q ⋅ l y q ⋅ l 2x q ⋅ l y q ⋅ l 2x q ⋅ l y
Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka
B 500 α = A s2 A s1 = 1.0
Nsd b h fcd
µsd =
Msd b h2 fcd
A s1 = A s 2 = ω b h
As1 Msd fcd fyd
d h
νsd =
d2
β = d1 h = d2 h = 0.05
ν
N sd
d1
As1
b
ω=
35 0. 30 0. 25 0. 20 0. 15 0. 10 0. 5 0 0.
1. 0. 00 9 5 0. 0. 90 0. 85 0 80 0 .75 0. .70 65 0 0 .6 0. .55 0 5 0 0 . .4 5 0 40
µ
Prilog 5: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka
B 500 α = A s2 A s1 = 1.0
Nsd b h fcd
µsd =
Msd b h2 fcd
A s1 = A s2 = ω b h
As1 Msd fcd fyd
d h
νsd =
d2
β = d1 h = d2 h = 0.075
ν
Nsd
d1
As1
b
ω=
35 0. 30 0. 25 0. 20 0. 15 0. 10 0. 5 0 0.
1. 0 00 0. .95 0 90 0 .85 0. .80 75 0 0. .70 0. 65 6 0 0 .5 0 0. .50 5 0. 45 40
µ
Prilog 6: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka
B 500 α = A s2 A s1 = 1.0
Nsd b h fcd
µsd =
Msd b h2 fcd
A s1 = A s2 = ω b h
As1 Msd fcd fyd
d h
νsd =
d2
β = d1 h = d2 h = 0.10
ν
Nsd
d1
As1
b
ω=
35 0. 30 0. 5 2 0. 20 0. 5 1 0. 10 0. 5 0 0.
1 0 .00 0. .95 0 90 0 .85 0. .80 0 7 0 .7 5 0. .65 0 0 6 0 .5 0 0 .5 5 0 . .4 5 0 40
µ
Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka
ν
B 500 ϕ = rs r = 0.85
νsd =
Nsd A c fcd
µsd =
Msd A c r fcd
Ac = r 2 π
1 .0 0 .9 0 0 .9 5 0 .8 0 0 .8 5 0 .7 0 0 .7 5 0 .6 0 0 .6 5 0 .5 0 0 .5 5 0 .4 0 0 .4 5 0 .3 0 0. 3 5 0 .2 0 0 .2 5 0 .1 0 ω= 0.105 0. 0 5
A s1 = A s2 = ω A c
fcd fyd
µ
Msd
rs
Nsd
r As
Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka
ν
B 500 ϕ = rs r = 0.90
1 .0 0.9 0 0 .9 5 0.8 0 0.8 5 0 .7 0 0.7 5 0.6 0 0 .6 5 0.5 0 0.5 5 0 .4 0 0.4 5 0.3 0 0 .3 5 0.2 0 0 .2 5 0.1 0 ω= 0.105 0 .0 5
νsd =
Nsd A c fcd
µsd =
Msd A c r fcd
Ac = r 2 π A s1 = A s 2 = ω A c
fcd fyd
µ
Msd
rs
Nsd
r As
Prilog 9: Dijagram za dimenzioniranje pravokutnih presjeka na koso savijanje – armatura simetrično raspoređena u kutovima
Prilog 10: Dijagram za dimenzioniranje pravokutnih presjeka na koso savijanje – armatura simetrično raspoređena po stranicama
Prilog 11: Armaturne tablice
Tip mreže Q 131 Q 139 Q 166 Q 188 Q 196 Q 226 Q 257 Q 283 Q 335 Q 385 Q 424 Q 503 Q 636 Q 785
1 0.20 0.28 0.38 0.50 0.79 1.13 1.54 2.01 2.54 3.14 3.80 4.91 6.16 7.07 8.04 10.18 12.57
2 0.39 0.57 0.77 1.01 1.57 2.26 3.08 4.02 5.09 6.28 7.60 9.82 12.32 14.14 16.08 20.36 25.13
3 0.59 0.85 1.15 1.51 2.36 3.39 4.62 6.03 7.63 9.42 11.40 14.73 18.47 21.21 24.13 30.54 37.70
4 0.79 1.13 1.54 2.01 3.14 4.52 6.16 8.04 10.18 12.57 15.21 19.63 24.63 28.27 32.17 40.72 50.27
5 0.98 1.41 1.92 2.51 3.93 5.65 7.70 10.05 12.72 15.71 19.01 24.54 30.79 35.34 40.21 50.89 62.83
UZDUŽNO NOSIVE MREŽE “R-mreže” Profil šipki Razmak Površina Dimenzije [mm] [mm] [cm2/m] [cm] Uzd. Pop. Uzd. Pop. Uzd. Pop. Duž. Šir. 5.0 4.2 150 250 1.31 0.56 600 215 4.2 4.2 100 250 1.39 0.56 600 215 4.6 4.2 100 250 1.66 0.56 600 215 6.0 4.2 150 250 1.88 0.56 600 215 5.0 4.2 100 250 1.96 0.56 600 215 7.0 5.0 150 250 2.57 0.78 600 215 6.0 4.6 100 250 2.83 0.66 600 215 8.0 5.0 150 250 3.35 0.78 600 215 7.0 5.0 100 250 3.85 0.78 600 215 9.0 6.0 150 250 4.24 1.13 600 215 8.0 6.0 100 250 5.03 1.13 600 215 10.0 6.0 150 250 5.24 1.13 600 215 9.0 6.0 100 250 6.36 1.13 600 215 10.0 6.0 100 250 7.85 1.13 600 215 OBOSTRANO NOSIVE MREŽE “Q-mreže” Profil Razmak Dimenzije Površina [mm] [mm] [cm] Uzd. i Pop. Uzd. i Pop. [cm2/m] Dužina Širina 5.0 150 1.31 600 215 4.2 100 1.39 600 215 4.6 100 1.66 600 215 6.0 150 1.88 600 215 5.0 100 1.96 600 215 6.0 125 2.26 600 215 7.0 150 2.57 600 215 6.0 100 2.83 600 215 8.0 150 3.35 600 215 7.0 100 3.85 600 215 9.0 150 4.24 600 215 8.0 100 5.03 600 215 9.0 100 6.36 600 215 10.0 100 7.85 600 215
Masa [kg/m2] 1.50 1.55 1.76 1.96 2.00 2.72 2.77 3.33 3.68 4.34 4.89 5.15 5.95 7.35
Masa [kg/m2] 2.12 2.20 2.64 3.06 3.07 3.63 4.16 4.48 5.45 6.10 6.81 8.03 10.08 12.46
POPREČNO NOSIVE MREŽE “T-mreže” Profil šipki Razmak Površina Dimenzije [mm] [mm] [cm2/m] [cm] Uzd. Pop. Uzd. Pop. Uzd. Pop. Duž. Šir. 5.0 7.0 250 150 1.31 0.56 240 600 5.0 8.5 250 150 3.85 0.78 240 600 6.0 10.0 250 150 7.85 1.13 240 600
Tip mreže T 257 T 378 T 524
OBOSTRANO NOSIVE "Q-mreže"
215
R 131 R 139 R 166 R 188 R 196 R 257 R 283 R 335 R 385 R 424 R 503 R 524 R 636 R 785
[kg/m] 0.154 0.222 0.302 0.395 0.617 0.888 1.208 1.578 1.998 2.466 2.984 3.853 4.834 5.549 6.313 7.990 9.865
TABLICA ŠIPKASTE ARMATURE površina presjeka As [cm2] za komada: 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.18 1.37 1.57 1.77 1.96 2.16 2.36 2.55 2.75 2.95 1.70 1.98 2.26 2.54 2.83 3.11 3.39 3.68 3.96 4.24 2.31 2.69 3.08 3.46 3.85 4.23 4.62 5.00 5.39 5.77 3.02 3.52 4.02 4.52 5.03 5.53 6.03 6.53 7.04 7.54 4.71 5.50 6.28 7.07 7.85 8.64 9.42 10.21 11.00 11.78 6.79 7.92 9.05 10.18 11.31 12.44 13.57 14.70 15.83 16.96 9.24 10.78 12.32 13.85 15.39 16.93 18.47 20.01 21.55 23.09 12.06 14.07 16.08 18.10 20.11 22.12 24.13 26.14 28.15 30.16 15.27 17.81 20.36 22.90 25.45 27.99 30.54 33.08 35.63 38.17 18.85 21.99 25.13 28.27 31.42 34.56 37.70 40.84 43.98 47.12 22.81 26.61 30.41 34.21 38.01 41.81 45.62 49.42 53.22 57.02 29.45 34.36 39.27 44.18 49.09 54.00 58.90 63.81 68.72 73.63 36.95 43.10 49.26 55.42 61.58 67.73 73.89 80.05 86.21 92.36 42.41 49.48 56.55 63.62 70.69 77.75 84.82 91.89 98.96 106.03 48.25 56.30 64.34 72.38 80.42 88.47 96.51 104.55 112.59 120.64 61.07 71.25 81.43 91.61 101.79 111.97 122.15 132.32 142.50 152.68 75.40 87.96 100.53 113.10 125.66 138.23 150.80 163.36 175.93 188.50
600 UZDUŽNO NOSIVE "R-mreže"
215
Tip mreže
Masa
600 POPRECNO NOSIVE "T-mreže"
240
Promjer ∅ [mm] 5 6 7 8 10 12 14 16 18 20 22 25 28 30 32 36 40
600
Promjer ∅ [mm] 5 6 7 8 10 12 14 16 18 20 22 25 28 30 32 36 40
Masa [kg/m2] 2.72 3.62 5.15
View more...
Comments
