SKA primjer.docx

Statičko-kinematička analogija - primjer Za dati nosač odrediti dijagram vertikalnog pomjeranja označenog poteza štapova sa ordinatama na 2m. Zanemariti uticaj normalnih sila na deformaciju. b/h=20/20cm E=31 500 000 kN/m2

Rekapitulacija teorije: = =(

(K) (

tgα )

tgα +



)

(S)



Upoređivanjem diferencijalnih jednačina po nepoznatim globalnim pomjeranjima i obrtanjima tačaka ose štapa (K) sa jednačinama ravnoteže diferencijalnog elementa štapa (S), možemo uočiti da su ) istog oblika kao i statičke kinematičke diferencijalne jednačine po ugibima i obrtanjima ( diferencijalne jednačine po momentima savijanja i transverzalnim silama . Ako usvojimo da su fiktivno raspodjeljeno opteredenje i fiktivni raspodjeljeni moment deformacijskim veličinama štapa ⁄ i tgα + jednačine (K) i (S) postaju analogne. 

jednaki

tgα

i

Ovim jednačinama uspostavljena je potpuna analogija između stvarnih globalnih kinematičkih veličina ) sa fiktivnim statičkim veličinama štapa tačaka ose štapa i( i , odakle slijedi da su one međusobno jednake. 

i

(

)

U cilju potpune jednakosti dijagrama kinematičkih i statičkih veličina, granični uslovi po kinematičkim veličinama stvarnog štapa moraju biti jednaki graničnim uslovima po statičkim veličinama fiktivnog štapa, tj.

(

Statika konstrukcija 2

)

(

)

Statičko-kinematička analogija

1

Opteredenje na fiktivnom nosaču: ( ( -

α α

)

) (uticaj transverzalnih sila se zanemaruje)

α je ugao između ose štapa i horizontalne ose

Znak fiktivnog opteredenja određen je znakom promjene krivine i dilatacije ε ose štapa.

Primjer određivanja smjera fiktivnog opteredenja Usljed dejstva koncentrisane sile P na sredini proste grede dodi de do pomjeranja svih tačaka grede na dolje. S obzirom da je dijagram ugiba grede jednak dijagramu momenata savijanja fiktivnog nosača (koji je takođe prosta greda), odgovarajude fiktivno opteredenje treba usmjeriti na dolje da bi dobili dijagram momenata fiktivnog nosača (tj. dijagram ugiba stvarnog nosača) sa donje strane.

Određivanje statički neodređenih veličina fiktivnog nosača Za svaku ploču fiktivnog nosača možemo postaviti dva uslova ravnoteže. Nepoznate veličine su reakcije vertikalnih oslonaca, uklještenja i reakcije veza u zglobovima. Slijedi da je stepen statičke neodređenosti fiktivnog nosača: (

)

Statičke neodređene veličine fiktivnog nosača, saglasno statičko-kinematičkoj analogiji, predstavljaju generalisana pomjeranja na realnom sistemu, tako da ih određujemo kao pomjeranja ili obrtanja na zadatom sistemu primjenom principa virtuelnih sila. Za luk na tri zgloba, kao na skici, odgovarajudi fiktivni nosač je jednom statički neodređena kontinualna greda. Za statički neodređenu veličinu demo, recimo, usvojiti reakciju srednjeg oslonca. Ta reakcija je jednaka razlici transverzalnih sila lijevo i desno od oslonca na fiktivnom nosaču, što je jednako razlici obrtanja presjeka lijevo i desno od zgloba na stvarnom nosaču. Ovu razliku obrtanja određujemo primjenom principa virtuelnih sila. U ovom slučaju virtuelna sila je par jediničnih momenata suprotnog smjera. Postavlja se pitanje: koji smjer momenata (tj. obrtanja) odgovara usvojenom smjeru rekcije fiktivnog nosača?

Statika konstrukcija 2

Statičko-kinematička analogija

2

Elementarnom logikom možemo zaključiti da de pretpostavljeni smjer reakcije (kao na skici) napraviti ‘špic’ prema gore na dijagramu momenta fiktivnog nosača (tj. dijagramu ugiba stvarnog nosača) te stoga i pretpostavljena razlika obrtanja mora izazvati pomjeranja zgloba na gore (kao na skici).

Zamjena raspodjeljenog opteredenja koncentrisanim silama vrši se uz uslov da su statički momenti u diskretnim presjecima grede isti za oba opteredenja.

Za linearno promjenljivo opteredenje Koncentrisane čvorne sile: (

(

)

)

(

)

(

) za λ=const: (

(

)

)

(

)

Za parabolično promjenljivo opteredenje: za λ=const: (

Statika konstrukcija 2

)

(

)

Statičko-kinematička analogija

(

)

3

Rješenje:

Određivanje fiktivnog nosača:

FIKTIVNI NOSAČ: - uticaj normalnih sila na deformaciju nosača je zanemaren

-uticaj normalnih sila na deformaciju nosača nije zanemaren:

Statika konstrukcija 2

Statičko-kinematička analogija

4

Osnovni sistem fiktivnog nosača:

Statika konstrukcija 2

Statičko-kinematička analogija

5