SJankovic-Mehanika Leta Zrakoplova

69(8ý,/,â7(8=$*5(%8 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB )$.8/7(76752-$5679$,%52'2*5$'1-(       6ORERGDQ-DQNRYLü 3URIXPLURYLQL  

0(+$1,.$/(7$ =5$.23/29$       





=DJUHE BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

8'ä%(1,.69(8ý,/,â7$8=$*5(%8 0$18$/,$81,9(56,7$7,6678',2580=$*5$%,(16,6 

5HFHQ]HQWL $NDGHPLNGUVF6WMHSDQ-HFLü 3URIGUVF3HWDU.HVLü)6%=DJUHE 'UVF7RGRU.RVWLü%URGDUVNL,QVWLWXW=DJUHE  /HNWRU6PLOMND-DQDþHN.XþLQLü  ,]GDYDþ)DNXOWHWVWURMDUVWYDLEURGRJUDGQMH,YDQD/XþLüD=DJUHE  *ODYQLXUHGQLN3URIGHVF7RPLVODY)LOHWLQ   2GREUHQMH6HQDWD6YHXþLOLãWDX=DJUHEX EURGUXMQD  8GåEHQLN       &,3.DWRORJL]DFLMDXSXEOLNDFLML  1DFLRQDOQDLVYHXþLOLãQDNQMLåQLFD=DJUHE    8'.    -$1.29,û6ORERGDQ 0HKDQLND OHWD ]UDNRSORYD  6ORERGDQ -DQNRYLü   =DJUHE  )DNOXWHW VWURMDUVWYD LEURGRJUDGQMH   VWULOXVWUFP  8GåEHQLFL6YHXþLOLãWDX=DJUHEX   0DQXDOLD8QLYHUVLWDWLVVWXGLRUXP=DJUDELHQVLV     %LEOLRJUDILMDLND]DORQDNUDMXNQMLJH    ,6%1         *UDILþNRUMHãHQMHQDVORYQLFH$QGUHM)LOHWLQ &RS\ULJKWŒ)DNXOWHWVWURMDUVWYDLEURGRJUDGQMH=DJUHE 7LVDN

1DNODGD«««««

I

SADRŽAJ PREDGOVOR.......................................................................................XIII UVOD.....................................................................................................XV 1 Kinematika leta ................................................................................ 1-1 1.1 Matrični zapis vektora......................................................................................1-1 1.1.1 Baza koordinatnog sustava................................................................................. 1-1 1.1.2 Vektorski i skalarni produkt vektora...................................................................1-2 1.1.3 Derivacija vektora ..............................................................................................1-4 1.2 Matrice transformacija......................................................................................1-6 1.2.1 Definicija i svojstva matrice transformacija........................................................1-6 1.2.2 Derivacija matrice transformacija.......................................................................1-9 1.2.3 Određivanje matrice transformacije pomoću kutova........................................1-10 1.2.4 Određivanje matrice transformacije pomoću parametra ..................................1-13 1.2.5 Veze između parametara i kutova.....................................................................1-17 1.2.6 Diferencijalne jednadžbe parametara................................................................1-19 1.3 Koordinatni sustavi ........................................................................................1-23 1.3.1 Lokalni koordinatni sustav (L) .........................................................................1-24 1.3.2 Nošeni koordinatni sustav (O) ..........................................................................1-26 1.3.3 Koordinanti sustav letjelice (F) ........................................................................1-27 1.4 Brzine letjelice ...............................................................................................1-30 1.4.1 Brzina leta i brzinski koordinatni sustav (V) ....................................................1-30 1.4.2 Aerodinamička brzina i aerodinamički koordinatni sustav (A) .......................1-33 1.4.3 Primjer ..............................................................................................................1-39

2 Aerodinamika 2.1 Aerodinamički koeficijenti zrakoplova..............................................................2-1 2.1.1 Definicije.............................................................................................................2-1

II

2.1.2 Aerodinamički moedel zrakoplova.....................................................................2-6 2.1.3 Veze između aerodinamičkih koeficijenata........................................................2-9 2.2 Noseća površina ...........................................................................................2-11 2.2.1 Geometrijske karakteristike ..............................................................................2-11 2.2.2 Veza između uzgona i normalne sile ................................................................2-11 2.2.3 Gradijent normalne sile ....................................................................................2-11 2.2.4 Položaj hvatišta normalne sile ..........................................................................2-14 2.2.5 Hvatište normlane sile polovice noseće površine .............................................2-16 2.2.6 Maksimalni uzgon ............................................................................................2-17 2.2.7 Gradijent normlane sile po otklonu upravljačke površine ................................2-19 2.3 Normalna sila kombinacije tijelo - noseća površina ......................................2-21 2.4 Usporenje i savijanje struje ...........................................................................2-23

3 Otpor, normalna sila i moment propinjanja 3.1 Otpor................................................................................................................3-1 3.1.1 Otpor trenja..........................................................................................................3-1 3.1.2 Otpor dna ............................................................................................................3-1 3.1.3 Valni otpor ..........................................................................................................3-5 3.1.4 Otpor u transonici ...............................................................................................3-8 3.1.5 Dodatni otpor ....................................................................................................3-11 3.1.6 Nulti otpor ........................................................................................................3-13 3.1.7 Inducirani otpor ................................................................................................3-14 3.1.8 Primjer ..............................................................................................................3-19 3.2 Normalna sila i moment propinjanja .............................................................3-20 3.2.1 Normalna sila i moment propinjanja kombinacije BW.....................................3-21 3.2.2 Normalna sila i moment propinjanja kombinacije hB ......................................3-25 3.2.3 Moment propinjanja tijela ................................................................................3-28 3.2.4 Nulti članovi i stacionarni gradijenti normalne sile i momenta propinajnja ....3-29

III

3.2.5 Gradijent zbog promenljivog napadnog kuta ...................................................3-30 3.2.6 Gradijent zbog kutne brzine propinajnja ..........................................................3-31

4 Bočna sila, moment skretanja i valjanja 4.1 Bočna sila i moment skretanja ........................................................................4-1 4.1.1 Gradijent bočne sile i momenta skretanja po kutu klizanja ................................4-1 4.1.2 Gradijent bočne sile i momenta skretanja od otklona kormila pravca ...............4-4 4.1.3 Gradijent momenta skretanja zbog otklona krilaca ............................................4-5 4.1.4 Bočna sila i momenta skretanja zbog kutne brzine valjanja ..............................4-6 4.1.5 Bočna sila i momenta skretanja zbog kutne brzine skretanja .............................4-9 4.2 Moment valjanja ............................................................................................4-10 4.2.1 Gradijent po kutu klizanja ................................................................................4-10 4.2.2 Gradijent po otklonu kormila pravca ................................................................4-15 4.2.3 Gradijent po otklonu krilaca .............................................................................4-17 4.2.4 Gradijent po kutnoj brzini valjanja ...................................................................4-18 4.2.5 Gradijent po kutnoj brzini skretanja .................................................................4-21

5 Primjer 5.1 Podaci i geometrija .......................................................................…...............5-1 5.1.1 Krilo (dva polukrila) ..........................................................................….............5-1 5.1.2 Tijelo .......................................……...................................................................5-4 5.1.3 Horizontalni rep ...............................……...........................................................5-4 5.1.4 Vertikalni rep ............................................……..................................................5-5 5.1.5 Zrakoplov ...........................................................…............................................5-6 5.2 Otpor ...............................................................................................................5-7 5.2.1 Krilo ....................................................................................................................5-7 5.2.2 Tijelo ..............................................................................................……............5-7 5.2.3 Horizontalni rep .......................................................................................……...5-9 5.2.4 Vertikalni rep ........……......................................................................................5-9

IV

5.2.5 Otpor podvozja ..............……...........................................................................5-10 5.2.6 Otpor zrakoplova ....................……..................................................................5-10 5.3 Normalna sila i moment propinjanja .............................................................5-10 5.3.1 Krilo ..................................................................................................................5-10 5.3.2 Tijelo ................................................................................................................5-12 5.3.3 Savijanje struje .................................................................................................5-12 5.3.4 Horizontalni rep ................................................................................................5-13 5.3.5 Stacionarni koeficijenti normlane sile zrakoplova............................................5-15 5.3.6 Stacionarni koeficijenti mojmenta propinjanja zrakoplova ..............................5-16 5.3.7 Nestacionarni gradijenti normalne sile i momenta propinajnja ........................5-16 5.4 Bočna sila i moment skretanja ......................................................................5-17 5.4.1 Vertikalni rep ....................................................................................................5-17 5.4.2 Skretanje struje .................................................................................................5-18 5.4.3 Bočna sila zrakoplova ......................................................................................5-18 5.4.4 Moment skretanja zrakoplova ..........................................................................5-18 5.5 Moment valjanja ............................................................................................5-20

6 Dinamika letjelica 6.1 Relativno gibanje ............................................................................................6-1 6.1.1 Kinematika relativnog gibanja ...........................................................................6-1 6.1.2 Inercijekse sile ....................................................................................................6-4 6.1.3 Akcelerometri .....................................................................................................6-5 6.2 Temeljni zakoni gibanja letjelica konstantne mase..........................................6-6 6.2.1 Gibanje središta mase..........................................................................................6-6 6.2.2 Gibanje oko središta mase...................................................................................6-9 6.2.3 Tenzor tromosti ................................................................................................6-11 6.2.4 Transformacija tenzora tromosti.......................................................................6-13 6.2.5 Primjer ..............................................................................................................6-16

V

6.3 Zakoni gibanja letjelice promjenljive mase ...................................................6-18 6.3.1 Sustav pšromenljive mase ................................................................................6-18 6.3.2 Prividni sustav Σ ∗ ............................................................................................6-19 6.3.3 Očvrsnuti sustav S ............................................................................................6-20 6.3.4 Veze između sustava Σ ∗ i S .............................................................................6-21 6.3.5 Načelo očvršćivanja .........................................................................................6-22 6.4 Pogonska sila i moment mlaznog motora .....................................................6-25 6.4.1 Napadni kut i kut klizanja motora.....................................................................6-25 6.4.2 Komponente pogonske sile . ........................................................................... 6-27 6.4.3 komponente pogonskog momenta ....................................................................6-30 6.4.4 Raspoloživa sila mlaznog motora .....................................................................6-32 6.5 Pogonska sila i moment elisnog motora .......................................................6-34 6.5.1 Komponenta pgonske sile u ravni diska elise ..................................................6-34 6.5.2 Komponente momenta pogonske sile elise ......................................................6-35 6.5.3 Primjer ..............................................................................................................6-37

7 Ravnotežni let, stabilnost i upravljivost 7.1 Ravnotežni let .................................................................................................7-1 7.1.1 Definicija ravnotežnog leta .................................... ...........................................7-1 7.1.2 Zbroj pogonske i aerodinamičke sile i momenta ................................................7-2 7.1.3 Uzgon u ravnotežnom letu .................................................................................7-5 7.1.4 Normlano opterećenje ........................................................................................7-7 7.1.5 Primjer ................................................................................................................7-8 7.2 Stabilnost ravnotežnog leta ............................................................................7-8 7.2.1 Uvjeti uzdužne stabilnosti ravnotežnog leta .......................................................7-9 7.2.2 Uzdužna statička stabilnost ..............................................................................7-11 7.2.3 Neutralno točka ................................................................................................7-11 7.2.4 Primjer...............................................................................................................7-13

VI

7.2.5 Bočna statička stabilnost...................................................................................7-14 7.3 Upravljivost u ravnotežnom letu ....................................................................7-16 7.3.1 Upravljivost u uzdužnom gibanju ....................................................................7-16 7.3.2 Primjer ..............................................................................................................7-19 7.3.3 Upravljivost bočnog gibanja ...........................................................................7-21 7.3.4 Primjer...............................................................................................................7-23 7.4 Jednadžbe gibanja ravnotežnog leta ............................................................7-24 7.4.1 Komponente ubrzanja .......................................................................................7-25 7.4.2 Komponente sile ...............................................................................................7-25 7.4.3 Veza između kutova valjanja............................................................................7-28 7.4.4 Model gibanja središta mase ............................................................................7-29 7.4.5 Program gibanja zrakoplova kao materijalne točke .........................................7-30

8 Performanse zrakoplova 8.1 Horizontalni let ................................................................................................8-1 8.1.1 Režim leta ...........................................................................................................8-1 8.1.2 Potrebna sila ili snaga .........................................................................................8-2 8.1.3 Raspoloživa sila ili snaga ...................................................................................8-5 8.1.4 Ovojnice .............................................................................................................8-6 8.1.5 Dolet zrakoplova (Breguetova jednadžba) .........................................................8-8 8.1.6 Maksimalno trajanje leta (endurance) ..............................................................8-11 8.1.7 Primjeri .............................................................................................................8-13 8.2 Stacionarno penjanje i spuštanje zrakoplova ...............................................8-15 8.2.1 Najveći kut penjanja .........................................................................................8-16 8.2.2 Najveća brzina penjanja ...................................................................................8-19 8.2.3 Vrijeme penjanja i potrošnja goriva u penjanju ...............................................8-21 8.3 Horizontalni zaokret ......................................................................................8-22 8.3.1 Jednadžbe zaokreta ...........................................................................................8-23

VII

8.3.2 Ograničenje kutne brzine ..................................................................................8-24 8.3.3 Koordinirani zaokret .........................................................................................8-25 8.3.4 Raspoloživo opterećenje u koordiniranom zaokretu.........................................8-26 8.3.5 Najveća kutna brzina u koordiniranom zaokretu .............................................8-27 8.3.6 Najmanji polumjer zaokreta .............................................................................8-28 8.3.7 Primjer ..............................................................................................................8-29 8.4 Vertikalni zaokret ..........................................................................................8-30 8.4.1 Jednadžbe .........................................................................................................8-30 8.4.2 Najveća kutna brzina ........................................................................................8-31 8.4.3 Analiza vertikalne petlje ...................................................................................8-32

9 Polijetanje i slijetanje 9.1 Polijetanje (take off) ........................................................................................9-1 9.1.1 Tehnika polijetanja .............................................................................................9-1 9.1.2 Duljina zalijetanja - prva faza polijetanja...........................................................9-4 9.1.3 Propinjanje zrakoplova - druga faza polijetanja ...............................................9-10 9.1.4 Treća faza polijetanja .......................................................................................9-12 9.1.5 Sigurnost polijetanja .........................................................................................9-15 9.1.6 Primjeri .............................................................................................................9-17 9.2 Slijetanje .......................................................................................................9-22 9.2.1 Opis slijetanja ...................................................................................................9-22 9.2.2 Prva faza - spuštanje .........................................................................................9-23 9.2.3 Druga faza - zaokret do dodira piste ................................................................9-23 9.2.4 Usporavanje - treća faza ...................................................................................9-23 9.2.5 Primjer...............................................................................................................9-25

10 Ukupna energija 10.1 Energetska jednadžba ................................................................................10-1 10.2 Specifični višak snage zrakoplova ..............................................................10-2

VIII

10.2.1 Jednadžba specifičnog viška snage ................................................................10-2 10.2.2 Primjer ............................................................................................................10-3 10.3 Usporedba performansi zrakoplova ............................................................10-4 10.3.1 Specifična snaga u funkciji kutne brzine ........................................................10-4 10.3.2 Krivulje normalnog opterećenja .....................................................................10-5 10.4 Područje horizontalnog leta i optimalno penjanje .......................................10-6 10.4.1 Krivulje PS (Ma , h ) = const za određeno opterećenje ....................................10-6 10.4.2 Područje uporabe zrakoplova .........................................................................10-7 10.4.3 Minimalno vrijeme penjanja ..........................................................................10-9 10.4.4 Penjanje s najmanjom potrošnjom goriva ....................................................10-11

11 Model leta sa 6 stupnjeva slobode gibanja 11.1 Opće odrednice ..........................................................................................11-1 11.1.1 Derivacija vektora položaja ............................................................................11-2 11.1.2 Derivacija brzine leta ......................................................................................11-3 11.1.3 Derivacija kinetičkog momenta ......................................................................11-4 11.1.4 Derivacija kutova ili parametara ....................................................................11-6 11.2 Model 6DOF u simulatorima leta ................................................................11-7 11.3 Pojednostavljeni model 6DOF u trenažerima ...........................................11-12

12 Linearizacija modela 6DOF 12.1 Princip linearizacije .....................................................................................12-1 12.1.1 Jendadžbe stvarnog gibanja ...........................................................................12-1 12.1.2 Referentno gibanje .........................................................................................12-3 12.1.3 Linearne diferencijalne jednadžbe poremećaja .............................................12-4 12.2 Linearizacija modela 6DOF ........................................................................12-6 12.2.1 Linearizacija kinematičkih jednadžbi .............................................................12-6 12.2.2 Linearizacija sila .............................................................................................12-7

IX

12.2.3 Linearizacija jednadžbi gibanja središta mase ...............................................12-9 12.2.4 Linearizacija kutnih brzina ...........................................................................12-11 12.2.5 Linearizacija komponenata aerodinamičkog momenta ................................12-11 12.2.6 Linearizacija jednadžbi gibanja zrakoplova oko središta mase ....................12-13 12.2.7 Linearni model zrakoplova ...........................................................................12-14

13 Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13.1 Modovi uzdužnog gibanja .........................................................................13-15 13.2 Odgovor letjelice u vremenskom području ................................................13-17 13.2.1 Homogeno rješenje .........................................................................................13-2 13.2.2 Partikularni integral ........................................................................................13-6 13.2.3 Opće rješenje ..................................................................................................13-7 13.2.4 Primjer ............................................................................................................13-8 13.3 Prijenosne funkcije (open loop transfer function) ......................................13-10 13.4 Odgovor na jedinični impuls (impulsive admittance) .................................13-11 13.4.1 Primjer ..........................................................................................................13-12 13.5 Odgovor na jedinični odskok (impulsive admittance) ................................13-15 13.5.1 Primjer ..........................................................................................................13-16 13.6 Odgovor na harmonijsku pobudu ..............................................................13-18 13.6.1 Primjer .........................................................................................................13-20 13.7 Ocjena kvalitete neposrednog upravljanja uzdužnim gibanjem ................13-21 13.7.1 Primjer ..........................................................................................................13-23

14 Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14.1 Modovi bočnog gibanja ...............................................................................14-1 14.1.1 Primjer ............................................................................................................14-4 14.2 Prenosne funkcije po otklonu kormila pravca ili krilca.................................14-5 14.2.1 Primjer ............................................................................................................14-8

X

14.3 Odgovor na impuls kormila pravca ili krilca..................................................14-7 14.3.1 Primjer ............................................................................................................14-8 14.4 Odgovor na odskok kormila pravca ili krilca .............................................14-12 14.4.1 Primjer ..........................................................................................................14-13 14.5 Odgovor na harmonijski otklon kormila pravca ili krilca.............................14-18 14.5.1 Primjer ..........................................................................................................14-19 14.6 Ocjena kvalitete direktnog upravljanja bočnog gibanja .............................14-22 14.6.1 Primjer ..........................................................................................................14-24

Prilozi: A Maksimalni uzgon krila B Atmosfera B.1 Opće o atmosferi ..................................................................................................B-1 B.2 Ubrzanje Zemljine teže ........................................................................................B-2 B.3 Značajke vlažnog zraka ........................................................................................B-3 B.4 Vertikalna ravnoteža ............................................................................................B-6 B.5 Standardna atmosfera ...........................................................................................B-7 B.6 Tablica standardne atmosfere ISO 2533 ............................................................B-11 C Performanse klipnog motora C.1 Snaga klipnog motora...........................................................................................C-1 C.2 Grafička metoda određivanja snage .....................................................................C-3 D. Vrijednosti nekih jedinica izvan sustava ISO u zrakoplovstvu

Literatura

XI

PREDGOVOR Osnutkom studija zrakoplovstva na Fakultetu strojarstva i brodogradnje u Zagrebu, pojavila se potreba za udžbenikom iz mehanike leta kako bi studenti mogli na najbrži način u skladu sa svojim temeljnim znanjem stečenim na ovom fakultetu, ovladati mehanikom leta zrakoplova, kao jednom od bitnih komponenata znanja zrakoplovne struke. Točno je da postoji na engleskom jeziku nekoliko vrlo dobrih knjiga iz mehanike leta, ali studentima nije lako, niti imaju dovoljno vremena učiti iz više knjiga. Osim toga, ti udžbenici obuhvaćaju sadržaje koje su studenti tijekom studija na našem fakultetu već usvojili kroz druge kolegije, ili zahtijevaju znanja koja ne odgovaraju programu temeljnog obrazovanja studenata na našem fakultetu. Zato je ovaj udžbenik prije svega kompilacija najboljih knjiga po autorovu izboru, ali prilagođena nastavnom planu fakulteta. Manjim dijelom u knjizi je i osobni autorov pristup nekim problemima kojima se on bavio u svojoj praksi, kao što su aerodinamika letjelica i metoda 6DOF. S obzirom na ovako postavljenu namjenu knjige, u njoj su odabrani sadržaji prema nastavnom planu i programu studija zrakoplovstva na našem fakultetu. Oni zadovoljavaju tri zahtjeva: prvo, studentima daju potrebna znanja iz mehanike leta zrakoplova koja su nužna zrakoplovnom inženjeru, drugo, temelje se na kolegijima koje su studenti slušali u prethodnim semestrima i, treće, čine temelj za predmete koji slijede, kao upravljanje zrakoplovom, konstrukcija zrakoplova i dr. Ako ovim uvjetima dodamo i broj sati koji je predviđen nastavnim planom, onda je sadržaj knjige, koji ispunjava te zahtjeve, u potpunosti određen. To je razlog što se u knjizi nalaze i neki sadržaji iz drugih oblasti, jer nisu obuhvaćeni odgovarajućim kolegijima u zajedničkom temeljnom dijelu studija. a prijeko su potrebni za suvremeni pristup mehanici leta. Takav je slučaj s matricama transformacija iz linearne algebre i s mehanikom tijela promjenljive mase. Osim toga, u prilogu knjige dana su i neka posebna znanja koja su potrebna za mehaniku leta a nisu obuhvaćena ni jednim kolegijem postojećeg nastavnog plana, kao npr. temeljna znanja o atmosferi. U prilogu je i postupak određivanja maksimalne sile uzgona krila jer taj sadržaj nije studijskog već empirijskog karaktera, ali je nužan za rješavanje problema u procesu projektiranja zrakoplova. Knjiga je pisana kao udžbenik a ne kao monografija sa znanstvenim pretenzijama. To ne znači da su objašnjenja površna i modeli nepotpuni. Uvijek je specificirano je li neka pojava u potpunosti objašnjena, odnosno modelirana, ili su objašnjeni samo najvažniji učinci i samo oni modelirani. Tako se u poglavljima, u kojima se razmatra aerodinamika zrakoplova,

XII

upotrebljavan riječ "procjena" za aerodinamičke koeficijente, čime se iskazuje da to nisu egzaktne veličine već približne aproksimativne vrijednosti. Isto tako dinamika zrakoplova u ovoj knjizi temelji se na gibanju krutog tijela, što znači da nisu uzeta u obzir elastična svojstva krila koja ponekad utječu na dinamičku stabilnost zrakoplova. Ti se sadržaji prema koncepciji našeg fakulteta izučavaju na poslijediplomskom studiju. Mehanika leta je vrlo široka oblast tehnike, u kojoj razvoj tehnologije otvara stalno nove i nove mogućnosti. Koliko god našim radom širili naše spoznaje, napredak tehnologije još brže širi polje mogućnosti. Ta utrka je vrlo teška, a posljedica je to da sve što se danas uradi ma koliko dobro bilo, sutra se može bolje i više. Sve metode i svi proračuni u ovoj oblasti u potpunosti se oslanjaju na suvremene mogućnosti računala tijekom pisanja knjige. U objašnjenjima, a posebno u primjerima, korišten je MATLAB software koji se sve više upotrebljava u mehanici leta. Čitatelj student može se koristiti i nekim drugim jezikom za programiranje. Uz objašnjenja ima dovoljno primjera. Što više, na jednom istom, malom lakom putničkom zrakoplovu, procijenjeni su svi aerodinamički koeficijenti, izvršen je proračun performansi, urađen proračun uzdužne i bočne stabilnosti i konačno dana ocjenjena kvalitete tog zrakoplova. Da bi se olakšalo slijediti tekst, svi su programi dani na disketi u prilogu knjige. U otklanjanju propusta i u kompletiranju primjera veliku pomoć pružio je autoru njegov neposredni suradnik Milan Vrdoljak, za što mu autor toplo zahvaljuje. Katedra motora pomogla je autoru uskladiti sadržaj knjige s predmetima pogona zrakoplova. Svojim stručnim savjetima autoru su pomogli i kolege sa Zrakoplovnog usmjerenja na Fakultetu prometnih znanosti. Iskustvo i praktično znanje mehanike leta njihovih instruktora bilo je od velike pomoći autoru. Posebno je bila dragocjena pomoć koju je autoru pružilo zapovjedništvo Hrvatskog ratnog zrakoplovstva. Svojim primjedbama pomogli su i studenti koji su čitali prve verzije teksta u obliku skripata i ukazali autoru na neke nedostatke. Autor svima njima posebno zahvaljuje. Osim ove neposredne stručne pomoći, podršku autoru pružili su odgovorni ljudi na Fakultetu: prof. Žanić, akademik Jecić i prof. Filetin, a posebno ohrabrenije pružio je autoru i savjetnik predsjednika Republike general Agotić. Svima njima autor srdačno zahvaljuje. Konačno, svi oni koji su stvarali ovakva djela znaju od kolike je pomoći obitelj i domaća atmosfera. Te uvjete rada autor duguje svojoj supruzi.

U Zagrebu, svibanja 2001 g.

Autor

XIII

UVOD Sadržaj ove knjiga obuhvaća mehaniku leta zrakoplova kao krutog tijela. U tako definiranom sadržaju razlikujemo pet cjelina: kinematiku leta, aerodinamiku zrakoplova, performanse zrakoplova, simulatore leta i dinamičku stabilnost. Prvu cjelinu čini prvo poglavlje koje se zato naziva kinematika leta. U tom poglavlju objašnjena su ukratko načela linearne algebre na kojima se temelji suvremena mehanika leta svih letjelica, a zatim su obrađene matrice transformacija koje se koriste u mehanici leta. Za razliku od matrica transformacija u klasičnoj mehanici na temelju Eulerovih kutova, u mehanici leta koriste se matrice transformacije na temelju De Sparreovih kutova. Ta dva sustava kutova nisu kompatibilni, te ih treba razlikovati. Zato se u okviru kinematike leta posebna pažnja poklanja matricama transformacijama na temelju De Sparreovih kutova. Ti kutovi kompatibilni su (mogu biti zamijenjeni) s Hamilton Rodriguezovim parametrima koji se nazivaju i Eulerovi parametri, a ponekad, zato što su četiri, kvaternion transformacije. Poslije ovih temeljnih odrednica u prvom poglavlju, počinje kinematika leta zrakoplova u pravom smislu riječi. Definirani su svi koordinatni sustavi koji se primjenjuju u ovoj knjizi, dane su definicije svih kutova i veze između njih, zatim su definirane kutne brzine i drugi kinematički pojmovi kao primjerice stav zrakoplova, veze između kutne brzine zrakoplova i derivacije stava. Aerodinamika zrakoplova predstavlja drugu cjelinu. Čine je drugo, treće, četvrto i peto poglavlje. To je nastavak teorijske aerodinamike koja je primijenjena na složenu zrakoplovnu konfiguraciju. Uglavnom je razmatrana normalna konfiguracija zrakoplova, manjim dijelom i "canard" konfiguracija, a "bezrepac" nije obrađivan. U toj cjelini promatra se aerodinamička uloga pojedinih dijelova zrakoplova: krila, horizontalnog repa, vertikalnog repa, krilaca, kormila visine i kormila pravca. Razumijevanje uloge pojedinih dijelova zrakoplova omogućuje procjenu derivativa koja se temelji na načelu aerodinamičke superpozicije. Taj pristup predstavlja uvod u aerodinamičko projektiranje zrakoplova sa svjetskim bazama podataka kao što su DATCOM, ESDU i dr. U drugom poglavlju na početku ove cjeline definiraju se aerodinamički koeficijenti zrakoplova, zatim opće zakonitosti ovisnosti aerodinamičkih koeficijenata o parametrima gibanja s obzirom na geometrijsku konfiguraciju zrakoplova i način upravljanja. Na temelju tih zakonitosti uvodi se pojam aerodinamičkog modela zrakoplova, a zatim linearni model aerodinamike zrakoplova.

XIV

Otpor, normalna sila i moment propinjanja čine drugo poglavlje jer pripadaju uzdužnom gibanju (u ravnini simetrije zrakoplova), a bočna sila i moment skretanja čine treće poglavlje. Moment valjanja obrađen je u četvrtom poglavlju. Tako se aerodinamičke sile i momenti bočnoga gibanja nalaze u trećem i četvrtom poglavlju. U opisu aerodinamičkih sila i momenata objašnjena je uloga svakog dijela zrakoplova. Na temelju tih objašnjenja izvode se jednadžbe za procjenu derivativa pojedinih dijelova zrakoplova, te konačno primjenom načela superpozicije i zrakoplova u cjelini. Treća cjelina mehanike leta izučava performanse zrakoplova. Tu cjelinu čini pet poglavlja: šesto, sedmo, osmo, deveto i deseto. Performanse leta određuju se na temelju gibanja središta mase zrakoplova. Gibanje zrakoplova predstavlja gibanje tijela promjenljive mase. Takvo gibanje je vrlo složeno i ono se može izučavati samo uz pomoć računala. Modeliranje tog gibanja u računalu izvodi se pomoću matričnog računa na temelju primjene linearne algebre u mehanici. Da bi se studentima olakšao taj pristup, u šestom poglavlju izloženi su poznati temeljni zakoni dinamike krutog tijela, ali na temelju linearne algebre, s posebnim osvrtom na određivanje glavnih osi tenzora tromosti i na zakone relativnog gibanja koji su potrebni u dinamici leta. Budući da se suvremena mehanika leta zrakoplova temelji na teoriji o gibanju tijela promjenljive mase, u nastavku ovog poglavlja cjelovito je objašnjena Gantmaherova teorija o gibanju tijela promjenljive mase. Na temelju te teorije, korištenjem kontrolne površine i načela očvrsnuća, izvedene su jednadžbe gibanja zrakoplova kao i komponente pogonske sile i pogonskog momenta mlaznog motora. Time su u šestom poglavlju postavljeni temelji za izučavanje performansa zrakoplova. Sedmo poglavlje obrađuje ravnotežni let, koji se razlikuje od klasičnog pristupa mehanike leta zrakoplova po kome su zrakoplovi morali biti statički stabilni da bi letjeli. Suvremena mehanika leta omogućuje let zrakoplova koji su statički nestabilni, jer imaju bolje manevarske sposobnosti. Zato je posebna pozornost poklonjena ovoj problematici. U ovom poglavlju u vezi s problemom statičke stabilnosti objašnjen je i pojam neutralne točke, a zatim je u ravnotežnom letu definiran pojam vektora opterećenja kao i upravljivost letjelice. Taj isti pristup primijenjen je na uzdužno i na bočno gibanje. Pri izučavanju bočnoga gibanja objašnjen je i utjecaj bočnog vjetra kao i potreban otklon kormila pravca za njegovu kompenzaciju. Posebna pažnja posvećena je sigurnosti leta u slučaju otkaza bočnog motora. Kako je zbroj momenata za središte mase u ravnotežnom letu jednak nuli, gibanje zrakoplova u ravnotežnom letu zamjenjuje se gibanjem upravljive materijalne točke. S tim modelom izučavaju se performanse zrakoplova.

XV

U osmom poglavlju najprije se objašnjava veza između performansa pogona i aerodinamike letjelice i s tim u vezi ovojnica leta u horizontalnom letu. Zatim su objašnjeni optimalni režimi horizontalnog leta, penjanja i spuštanja. Posebno detaljno razmatran je koordinirani horizontalni zaokret za zrakoplove s elisom i s mlaznim motorom. U devetom poglavlju objašnjeni su principi polijetanja i slijetanja zrakoplova, a posebna je pažnja usmjerena na problem sigurnosti. U desetom poglavlju proučava se totalna energija. Osim uobičajenih teorema o specifičnom višku snage, obrađeni su i problemi usporedbe dvaju zrakoplova lovaca s gledišta performansi. Konačno objašnjeni su načini određivanja optimalnog penjanja za najmanje vrijeme i za najmanju potrošnju goriva. Četvrta cjelina u jedanaestom poglavlju izučava gibanja zrakoplova kao krutog tijela promjenljive mase (6DOF, six degrees of freedom). Postavljena su dva modela 6DOFa. Za simulatore leta koji služe za izučavanje mnogih pojava u letu koristi se prvi model u kome vjetar može biti promjenljiv u vremenu i prostoru. Drugi model pretpostavlja konstantan vjetar. Taj model se prije koristio u mnogim trenažerima leta, pa je zato ovdje izložen. U oba modela izvedene su po dvije varijante, pomoću De Sparreovih kutova ili pomoću HamiltonRodriguezovih parametara. Udžbenik Mehanike leta završava petom cjelinom koju čine dvanaesto, trinaesto i četrnaesto poglavlje. U dvanaestom poglavlju objašnjeno je načelo linearizacije, a zatim su pomoću njega linearizirane jednadžbe 6DOF modela. Tako su dobiveni linearni modeli uzdužnog i bočnog gibanja. U trinaestom poglavlju analizirana je dinamička stabilnost uzdužnog gibanja. Prvo su određeni mogući oblici poremećaja (modovi) uzdužnog gibanja, a zatim su primjenom teorije linearnih sustava dobivene prijenosne funkcije zrakoplova i poremećaji zbog impulsa i odskoka otklona kormila visine. Izvršena je harmonijska analiza i objašnjena pojava rezonance. Na kraju tog poglavlja dani su kriteriji ocjene upravljivosti zrakoplova bez povratne veze u uzdužnom gibanju. Isto tako, u četrnaestom poglavlju prvo su određeni mogući oblici gibanja po pravcu i valjanju. Zatim se primjenom teorije linearnih sustava istodobno dobivene prijenosne funkcije i poremećaji skretanja i valjanja zbog impulsa i odskoka otklona kormila pravca ili krilca. Izvršena je harmonijska analiza i bočnog gibanja, a na kraju tog poglavlja dani su kriteriji za klasifikaciju zrakoplova s obzirom na njegovu namjenu ako se bočnim gibanje upravlja bez povratne veze.

XVI

Kinematika leta

1-1

1 KINEMATIKA LETA 1.1 Matrični zapis vektora 1.1.1 Baza koordinatnog sustava Svaki Deckartov koordinatni sustav određen je s tri jedinična vektora njegovih koordinatnih osi: r bx

r by

r bz

1.1

koje zovemo baza koordinatnog sustava. U slučaju desnog koordinatnog sustava (uvijek ćemo se služiti desnim koordinatnim sustavom), prva dva vektora pomnožena vektorski daju r treći (drugi pomnožen s trećim daje prvi, a treći s prvim daje drugi). Bilo koji vektor V bit će u tom koordinatnom sustavu određen jednadžbom: r r r r V = V x b x + V y b y + V z bz u kojoj su V x V y Vz

1.2

r projekcije vektora V na osi koordinatnog sustava A. Uvodimo

oznaku za matricu od jednog stupca koju čine tri komponente jednog vektora: V x    V = V y  = V x V y Vz Vz 

[

A

]

T

i matricu od jednog stupca koju čine tri jedinična vektora nekog koordinatnog sustava r bx  r r  r r r T b = by  = bx by bz r  bz   

[

]

1.3

1.4

Tu matricu od tri jedinična vektora nekog koordinatnog sustava zovemo baza toga koordinatnog sustava. Matrice označavamo masnim slovima. Indeks gore označava u kojemu su

koordinatnom sustavu

zadane komponente vektora i izostavljamo ga ako se

podrazumijeva u kojem su koordinatnom sustavu dane komponente. S ovim oznakama bit će: r rT T r V = b V A = (V A ) b 1.5

()

ili

Kinematika leta

1-2

r r V A = bV

1.6

1.1.2 Vektorski i skalarni produkt vektora

r Poznate su nam komponente C i D dvaju vektora u koordinatnom sustavu čija je baza b r r C = bTC r r D = bT D Želimo matrično izračunati komponente u istom koordinatnom sustavu od skalarnog i vektorskog produkta:

r r S= C⋅D r r r A=C×D Skalarni produkt lako nalazimo prema definiciji: r r S = CTb ⋅ b T D = CT D , rr jer je b b T jedinična matrica. Da bi smo odredili komponente vektorskog produkta, pomnožimo skalarno jednadžbu vektorskog produkta r r r b T A = C × ( b T D)

r s bazom b . Dobivamo: r r r A = b ⋅ (C × b T D ) r r r r r = b ⋅ C × bx C × b y

[

]

r r C × bz D

Kako je: r

(b C r (b C r (b C x

x

x

r r r r r + b yC y + b zC z × b x = − C y b z + C z b y r r r r r x + b yC y + b zC z × b y = C x b z − C z b x r r r r r + + × = − + b C b C b C b C b x y y z z z x y y x

) ) )

x

bit će:

r r r b ⋅ C × bT

(

ili

)

r b x  r r r  = b y  ⋅ −C y b z + Cz b y r bz   

[

r r Cx b z − Cz b x

r r −Cx b y + C y b x

]

1.7

Kinematika leta

1-3

 0 r r rT  b⋅ C × b =  C z − C y 

(

)

−C z 0 Cx

Cy   −C x  0 

1.8

Ovu antisimetričnu matricu koja ima nule na glavnoj dijagonali, sastavljenu od komponenti ~ vektora nazivamo kososimetrična matrica. Obično je obilježavamo sa C . Tako konačno dobivamo matricu A od komponenti vektorskog produkta:  0  A =  Cz − C y 

−C z 0 Cx

C y  D x   ~ − C x   D y  = CD 0   D z 

1.9

Zapamtit ćemo da vektorski produkt dvaju vektora, čije su komponente poznate, ima komponente koje se dobivaju matričnim množenjem kososimetrične matrice prvoga vektora s matricom od jednog stupca drugog vektora. 1.1.3 Derivacija vektora

U dinamici leta vrlo se često susrećemo s problemom koji možemo formulirati ovako: u r nekom koordinatnom sustavu B, koji rotira poznatom kutnom brzinom Ω (poznate komponente p, q i r duž osi toga koordinatnog sustava), poznate su nam komponente duž osi r toga koordinatnog sustava od vektora V

[

V= u v w

]

T

1.10

koje su funkcije vremena, a nama su potrebne komponente (duž osi toga istog koordinatnog r r sustava B) derivacije po vremenu vektora V . Obilježimo tu derivaciju sa a . r Ako je b baza promatranog koordinatnog sustava, onda je r r V = bT V . Po definiciji, tražena derivacija je

r r dV db T r d rT a = (b V) = V + bT . dt dt dt Komponente bilo kojeg vektora, tj. matricu komponenata, dobivamo kad dani vektor pomnožimo skalarno ispred s bazom koordinatnog sustava: r r& & a = bbT V + V

1.11

Kinematika leta

1-4

Napomenimo najprije da izvod po vremenu komponenata koje obilježavamo sa T & = [ u& v& w & ] nije isto što i komponente izvoda koje obilježavamo sa a. Kao što vidimo, V

r r& r r& razlika je član bb T V . Razvijmo produkt bb T . Kako je derivacija po vremenu bilo kojeg jediničnog vektora jednaka vektorskom produktu kutne brzine toga jediničnog vektora te samog jediničnog vektora, a sva tri jedinična vektora imaju istu kutnu brzinu koja je jednaka kutnoj brzini koordinatnog sustava B, bit će: r r& r r r bb T = b Ω × b T ,

1.12

a prema definiciji kososimetrične matrice, na desnoj strani je upravo kososimetrična matrica kutne brzine koordinatnog sustava B, tj. r r& ~ bb = Ω .

1.13

Kako vidimo, dobiveni rezultat je koso simetrična matrica komponenti trenutne kutne brzine Ω = [ p q r ] koordinatinog sustava B, te je T

~ &. a = ΩV + V

1.14

r Prema tomu, zapamtimo, ako vektor V ima komponente u v w poznate u koordinatnom r T sustavu B čija je kutna brzina Ω = [ p q r ] , onda derivacija po vremenu vektora V ima

komponente (u koordinatnom sustavu B) a x   0 − r q   u   u&  a  =  r 0 − p  v  +  v&   y  a z  − q p &  0   w   w

1.15

r T & = [ u& v& w & ] nazvati relativna derivacija vektora V , jer ona ne uzima u obzir Moguće je V

rotaciju koordinatnih osi, dok apsolutna derivacija jest zbroj relativne derivacije i člana zbog rotacije koordinatnih osi. U jednadžbi apsolutna derivacija nalazi se na lijevoj strani, a na desnoj strani prvi član je posljedica rotacije koordinatnog sustava B, a drugi član predstavlja relativnu derivaciju.

Kinematika leta

1-5

1.2 Matrice transformacija Kad izračunavamo složene probleme mehanike leta kao što je let zrakoplova, tada primjenjujemo znanja iz više oblasti. Na primjer, aerodinamičke sile određujemo prema teoriji i praksi aerodinamike, pogonske sile prema konstrukciji motora, a sila Zemljine teže određena je u geofizici. Tako se susrećemo s problemom da je jedna sila poznata u jednom koordinatnom sustavu, druga u drugomu, treća u trećemu, a mi želimo kretanje tijela u četvrtome koordinatnom sustavu. Ovaj problem nameće potrebu za nekim jednostavnim

načinom prijelaza iz jednoga koordinativnog sustava u drugi, što znači ne zadržavati se na problemu određivanja komponenti vektora u nekom koordinatnom sustavu ako su one poznate u drugome. Za rješenje tog problema služit ćemo se matricama transformacija, jer je matrični račun pogodan za rad na računalu. 1.2.1 Definicija i svojstva matrice transformacije

r Ako imamo neki drugi desni koordinatni sustav čija je matrica jediničnih vektora b (baza r koordinatnog sustava B), onda je taj isti vektor V u tom drugom koordinatnom sustavu: r r T V = ( b) V B

te mora biti: r

(a) T V A = (b ) r

T

VB

r Množenjem ove matrice ispred s matricom b dobivamo: rr VB = b aT V A rr Produkt matrica b a T nazivamo matricom transformacije u koordinatni sustav B iz

koordinatnog sustava A, te je označavamo sa L BA , tj. bit će: r r bx ar x bx  rr r r r  r r r L BA = b a T = b y  a x a y a z = b y a x r r b ar bz   z x

[

]

r r bx a y r r by a y rr bz a y

r r bx a z  r r  b yz a z  rr bz a z 

1.16

ili

[

L BA = a xb

a by

]

a zb .

Korisno je znati zapis ove matrice u računalu npr. u FORTRANU ona ima oblik

1.17

Kinematika leta

1-6

L BA

 L(1,1) L(2,1) L(3,1) =  L(1,2 ) L(2,2 ) L(3,2 )    L(1,3) L(2,3) L(3,3)

1.18

Matrica transformacije ima dimenzije 3x3 (kvadratna trećega reda). Njen član lij predstavlja kosinus kuta između osi “i koordinatnog sustava B” i osi “j koordinatnog sustava A”. Prvo svojstvo matrice transformacije dobivamo polazeći od jednakosti: V B = L BA V A

Množenjem inverznom matricom ispred dobivamo: 1 L−BA VB = VA

te je prvo svojstvo matrice transformacije L A B = L−1BA .

1.19

Drugo svojstvo matrice transformacije dobivamo iz jednakosti intenziteta vektora

(V )

B T

( )

VB = VA

T

VA

iz koje slijedi:

(V )

B T

( )

L BA V A = V A

(V )

B T

( )

L BA = V A

T

VA

T

LTBA V B = V A LTBA = L AB .

1.20

To je vrlo važno svojstvo matrice transformacije jer je mnogo lakše transponirati matricu negoli odrediti njenu inverznu matricu. Iz ove jednadžbe slijedi i zaključak da je determinanta matrice transformacije jednaka jedinici: L BA = 1 .

1.21

Zbroj kvadrata članova jednog stupca ili jednog retka bit će zbroj kvadrata kosinusa kutova koje čini jedna od osi s osima drugoga koordinatnog sustava, te taj zbroj mora biti jednak jedinici. Ako kososimetričnu matricu treba množiti s matricom transformacije ispred L P E , onda će se ona transformirati, tj. sve će komponente iz jednog koordinatnog sustava prijeći u

Kinematika leta

1-7

komponente drugoga sustava, a matrica transformacije bit će iza novo oblikovane kososimetrične matrice ~ ~ LP E CE = CP LP E .

1.22

Da bismo dokazali ovo svojstvo, pretpostavimo dva različita koordinatna sustava “E” i “P”. Vektorsko množenje možemo obaviti u oba koordinatna sustava: ~ A E B E = CE ~ A PBP = CP . Kako je L P EC E = C P ,

mora biti ~ ~ LPE A EB E = A PB P odakle dobivamo: ~ ~ L P E A E = A P L PE .

1.23

Ova jednadžba pokazuje kako množenjem ispred, kososimetrične matrice sastavljene od komponenata vektora u koordinatni sustav “E” s matricom transformacije, dobivamo kososimetričnu matricu istog vektora, ali sastavljenu od komponenata u koordinatnom sustavu

“P” pomnoženu iza s istom matricom transformacije, što ima za posljedicu

transformaciju vektorskog produkta u matričnom obliku: ~ ~ ~ ~ L PE A E B E = L PE A E B E = A P L PE B E = A P B P .

(

)

1.24

1.2.2 Derivacija matrice transformacije r Neka je vektor r konstantan u prostoru u kojemu se nalazi koordinatni sustav A koji miruje.

r A (koju čine komponente toga vektora u koordinativnom sustavu A) bit će r konstantna matrica. Koordinatni sustav B ima kutnu brzinu Ω B/ A (u odnosu na koordinatni

Matrica

sustav A), te zato su komponente konstantnog vektora u koordinatnom sustavu B promjenljive veličine, a to znači da su članovi matrice r B funkcije vremena. U svakom trenutku postoji matrica transformacija LBA koja je također funkcija vremena, takva da je r B = L BA r A

te je

1.25

Kinematika leta

1-8 r& B = L& BA r A ,

1.26

jer su članovi matrice r A konstante. Sa r& B označili smo matricu koju čine derivacije r komponenti vektora r u koordinatnom sustavu B. Komponente derivacije bilo kojeg vektora r u koordinatnom sustavu B koji rotira kutnom brzinom Ω B/ A bit će u koordinatnom sustavu B ~ Ω r B + r& B . r Međutim, kako je vektor r konstantan, njegova derivacija je nulti vektor, te je ~ r& B = −Ω r B .

Zamijenimo li u ovoj jednadžbi r& B sa L& BA r A i r B sa L BA r A , dobivamo traženi izvod matrice transformacije ~ L& BA = −Ω B / A L BA .

1.27

1.2.3 Određivanje matrice transformacije pomoću kutova

Vrijednosti članova matrice transformacija LBA ovise o položaju koordinatnog sustava B u odnosu na koordinatni sustav 1. U mehanici postoje tri načina za određivanje položaja jednog koordinatnog sustava u odnosu na drugi koordinatni sustav. To su: Eulerovi kutovi, de Sparreovi kutovi i Hamilton - Rodriguezovi parametri. Eulerovi kutovi ne primjenjuju se u mehanici leta, već tzv. de Sparreovi kutovi, te ćemo se i mi koristiti njima. Zadani koordinatni sustav B zaokrenut je u odnosu na

koordinatni sustav A: za kut ψ oko z osi , za kut ϑ oko novog položaja y osi i konačno za kut φ oko najnovijeg položaja x osi. Te kutove φ ϑ ψ nazivamo de Sparreovi kutovi (sl.1-1).

Slika 1-1 De Sparreovi kutovi

Kinematika leta

1-9

Matricu transformacije odredit ćemo postupno od ta tri kuta. Promatrat ćemo transformaciju

LBA (u B iz A) kao rezultat triju sukcesivnih transformacija: 1) za kut ψ oko treće osi Lz(ψ), 2) za kut ϑ oko druge osi L(ϑ), 3) za kut φ oko treće osi L(φ). Svakoj od tih transformacija odgovara po jedna matrica transformacije. Rezultat svake sljedeće transformacije jest produkt matrice transformacije ispred vektora. Tako će poslije r prve transformacije (rotacija za kut ψ oko treće osi) komponente vektora V biti L z ( ψ )V A ,

1.28

poslije druge transformacije (rotacija za kut ϑ oko druge osi) bit će L y ( ϑ )L z ( ψ )V A

1.29

i poslije treće transformacije (rotacija za kut φ oko prve osi), bit će L x (φ)L y ( ϑ )L z ( ψ )V A .

1.30

Prema tome vidimo da je matrica transformacija u koordinatni sustav B iz koordnatnog sustava A L BA = L x (φ)L y ( ϑ )L z ( ψ ) .

1.31

Koristeći se definicijom matrice transformacija, dobivamo: 0 0  1  L x (φ) = 0 cos φ sin φ  0 − sin φ cos φ

1.32

cos ϑ 0 − sin ϑ    1 0  L y ( ϑ) =  0  sin ϑ 0 cos ϑ 

1.33

 cos ψ L z ( ψ ) = − sin ψ  0

1.34

sin ψ

0 cos ψ 0 0 1 

Produkt svih triju matrica transformacije daje: L BA

cϑ c ψ   = − cφ sψ + sφ sϑ cψ −sφ sψ + cφ sϑ cψ

−sϑ  cφ cψ + sφ sϑ sψ sφ cϑ  −sφ cψ + cφ sϑ sψ cφ cϑ 

cϑ sψ

1.35

Kinematika leta

1-10

Radi kraćeg pisanja označili smo sa “s” sinusnu, a sa “c” kosinusnu funkciju. Općenito, možemo reći kako je matrica transformacija jedna matrična funkciju od tri parametra te je L BA = L X (ϕ ) ⋅ L Y (ϑ ) ⋅ L Z (ψ ) = L(φ ,ϑ ,ψ ) .

1.36

U korisničkoj biblioteci možemo napraviti potprogram u kojeme su ulazni parametri ta tri kuta (u radijanima) ϕ, ϑ i ψ, a izlaz je matrica transformacije L BA , dimenzija 3x3. 1.2.4 Određivanje matrice transformacije pomoću parametra

Proračun trigonometrijskih funkcija pomoću računala razmjerno je dugotrajan u usporedbi s proračunom osnovnih računskih operacija. To je razlog zašto se nastoji izbjeći proračun matrica transformacija na osnovi kutova ϕ, ϑ i ψ.

Slika 1-2. Hamilton-Rodriguezovi (Eulerovi) parametri

Prijelaz iz koordinatnog sustava A u koordinatni sustav B može se ostvariti zaokretom za r jedan kut χ oko neke osi čiji je jedinični vektor u . Matrica od jednog stupca sastavljena od komponenti toga jediničnog vektora u koordinatnom sustavu A poznata je i označit ćemo je r sa “u”. Cijeli koordinatni sustav okrene se oko u za kut χ kao kruto tijelo te prijeđe iz

Kinematika leta

1-11

položaja A u položaj B (slika 1-2). Pri tomu, svaka os koordinatnog sustava napravi isti kut r rotacije χ oko u . Hamilton - Rodriguezovi parametri (u literaturi iz SADa nazivaju se Eulerovi parametri) po definiciji su: e0 = cos e = [e1

χ 2 e3 ] = usin T

e2

χ 2

1.37 .

To znači da imamo četiri parametra od kojih prvi e0 jest kosinus polukuta rotacije, a preostala tri su komponente vektora duž osi rotacije čiji je intenzitet sinus polukuta rotacije. Iz toga slijedi prvo svojstvo parametara: e 20 + e12 + e 22 + e 23 = 1 .

1.38

Uvedemo li oznaku za matricu od jednog stupca p = [e 0

e1

e2

e3 ] , T

1.39

prvo je svojstvo parametara p T p = 1,

1.40

p T p& = 0 .

1.41

a deriviranjem te jednadžbe bit će i

Za daljnje izvođenje nužne su neke jednadžbe veza između tih parametara, koje lako dobivamo na osnovi gornjih definicija:

(

)

~~ e e = e 20 − 1 I + ee T ~e& ~e = ee& + e e& I 0 0 T ~~ & & + e 0 e& 0 I e e = ee T

1.42

r Promatrajmo jednu os određenu jediničnim vektorom a kada je koordinatni sustav u položaju r r A. Trebamo odrediti jedinični vektor te iste osi poslije rotacije χ oko u . Obilježimo sa b taj novi položaj jediničnog vektora osi poslije rotacije kad je koordinatni sustav došao u položaj r r r A. Znači jedinični vektor a poslije rotacije χ oko osi u postaje jedinični vektor b (slika 1-2). r r Vrh jediničnog vektora a opisao je jedan dio kružnice KH sa središtem u C na osi rotacije u . U ravnini kružnice iz točke H spustimo okomicu na polumjer kružnice CK. Nazovimo tu r r okomicu vektor n , a neka je vektor r udaljenost od središta kružnice do okomice. Intenzitet r r r tog vektora a je HC sin χ , a smjer i pravac podudaraju se s vektorskim produktom u × a . S

Kinematika leta

1-12

obzirom na intenzitet toga vektorskog produkta, koji je jednak polumjeru CK ili CH, bit će u matričnom obliku: ~asinχ n=u

[

]

r = a − (u T a )u cos χ . Sad smo u mogućnosti izraziti u matričnom obliku i jedinični vektor b: b = (u T a )u + r + n

[

]

~asinχ = (u T a )u + a − (u T a )u cosχ + u ~asinχ . = acosχ + u(u T a )(1 − cosχ ) + u

S

obzirom

na

vrijednosti

Hamilton-Rodriguezovih

parametara

zamijenit

ćemo

trigonometrijske funkcije njihovim vrijednostima ovisno o polukutu χ 2 . cos χ = 2 cos 2

χ 2

−1

1 − cos χ = 2 sin 2 sin χ = 2 sin

χ 2

χ 2

cos

χ 2

.

Poslije tih zamjena dobivamo:

χ  χ ~ χ χ  b =  2cos 2 − 1a + u(u T a )2 sin 2 + u a2 sin cos 2 2 2 2   = (2e02 − 1)a + 2e (e T a ) + 2e0 ~ ea . Razvijanjem matrica možemo pokazati da je

( ) ( )

e e T a = ee T a , te pomoću ove relacije imamo konačni izraz za zarotirani jedinični vektor osi-z:

[

)]

(

b = 2e 20 − 1 + 2 ee T + e 0 ~e a

1.43

b je matrica komponenti (u koordinatnom sustavu A) jediničnog vektora osi koja je zarotirana u novi položaj B, a a je matrica komponenti te osi (u istom koordinatnom sustavu A) prije rotacije. Prema definiciji matricu transformacije čine tri jedinična vektora osi koordinatnoga sustava iz kojega se polazi u odnosu na sustav u koji se dolazi, a to znači da je:

[

L AB = b AX

b ZA

L AB ili

] [ = (2e − 1)I + 2(ee

]

b ZA = (2e02 − 1) + 2(ee T + e0 ~ e ) [a x 2 0

T

+ e0 ~ e ),

ay

az ]

1.44

Kinematika leta

1-13

L AB

1  2 2 + − e e 1 0  2  = 2 e1e2 + e0 e3  e e − e e  3 1 0 2

e1e2 − e0 e3 e22 + e02 −

1 2

e2 e3 + e0 e1

 e3 e1 + e0 e2   e2 e3 − e0 e1  .  1 2 2 e3 + e0 − 2 

1.45

S obzirom na to što je ee T simetrična matrica, a ~e kososimetrična, bit će

(

)

(

)

L BA = 2e 20 − 1 I + 2 ee T − e 0 ~e ,

1.46

ili

L BA

1  2 2 e 1 + e 0 − 2  = 2 e 1 e 2 − e 0 e 3  e e + e e 0 2  3 1

e1e 2 + e 0 e 3 e 22 + e 20 −

1 2

e 2 e 3 − e 0 e1

 e 3e1 − e 0 e 2   e 2 e 3 + e 0 e1  .  1 2 2 e3 + e0 −  2

1.47

Time smo odredili matricu transformacije ovisno o Hamilton - Rodriguezovim parametrima i, kao što vidimo, članovi matrice nisu trigonometrijske funkcije parametara, već polinomi drugoga reda koji se vrlo brzo računaju u procesoru računala. 1.2.5 Veze između parametara i kutova

Možemo lako naći vezu između Hamilton - Rodriguezovih parametara i de Sparreovih kutova. Razmotrimo prvo slučaj kad poznamo de Sparreove kutove, a želimo naći Hamilton Rodriguezove parametre. Pomoću de Sparreovih kutova možemo izračunati matricu transformacije L AB . Kad su nam poznati članovi l ij te matrice transformacije

L AB

 l 11 = l 21  l 31

l 12 l 22 l 32

l 13  l 23  .  l 33 

1.48

Usporedbom dobivamo zbroj članova jednak dijagonali:

3  trL AB = 2 e12 + e22 + e32 + 3e02 −  = 4e02 − 1 2 

1.49

te je:

e02 =

(trL AB + 1) . 4

1.50

Kinematika leta

1-14

Predznak parametra e0 time je neodređen. Pretpostavimo li da je predznak +, tada je e0 određeno. Uspoređivanjem razlika članova simetričnih u odnosu na glavnu dijagonalu dobivamo e1 =

l 32 − l 23 , 4e0

e2 =

l 13 − l 31 , 4e0

e3 =

l 21 − l 12 . 4e0

1.51

Ako smo odabrali pogrešan predznak za e0 vektor e promijenit će smjer te je transformacija ista jer koordinatni sustav transformiramo iz položaja A u položaj B na isti način (suprotna rotacija na obratnom smjeru osi rotacije isto je što i zadana rotacija oko zadanog smjera osi rotacije). Drugi slučaj, kada znamo Hamilton-Rodriguezove parametre, a trebamo de Sparreove kutove, lakši je jer jednostavnom usporedbom matrica L AB , napisane pomoću de Sparreovih kutova i pomoću Hamilton-Rodriguezovih parametara, dobivamo: tgψ =

e 0 e 3 − e1e 2 e 20 + e 12 − 1 2

sin ϑ = −2(e 1e 3 − e 0 e 2 ) tgφ =

1.52

e 2 e 3 + e 0 e1 e 20 + e 23 − 1 2

1.2.6 Diferencijalne jednadžbe parametara

Poseban problem jest taj kako za vrijeme gibanja nekog objekta u svakom trenutku odrediti Hamilton-Rodriguez-ove parametre p. Budući da dinamičke jednadžbe određuju kutnu brzinu objekta u ovisno o vremenu, problem se svodi na kinematičku zadaću iznalaženja veze između te kutne brzine i derivacija po vremenu Hamilton-Rodriguez-ovih parametara. Da bi lakše riješili taj problem uvodimo dvije nove pomoćne matrice: E = [ − e e 0 J + ~e ]

1.53

G = [ − e e 0 J − ~e ] .

1.54

Te matrice imaju neka svojstva na kojima ćemo temeljiti nalaženje derivacija HamiltonRodriguezovih parametara.

Prva Lema

L AB = EGT

1.55

Kinematika leta

1-15

Dokaz  − eT  T ~ ~~ EG T = [− e e0 J + ~ e ]  = ee + e0 J + 2e0 e + e e ~ e J + e  0 

Pomoću jednadžbe za matricu L AB bit će EGT = (2e02 − 1)J + 2(eeT + e0 ~ e ) = L AB

Druga lema

& T = EG &T EG

1.56

Dokaz T &e ] ⋅  − e  = e& e T + e& e J + e ~ & & ~ ~& ~ &EG T = [ − e& e& J + ~ 0 0 0 0 e + e0 e + e e   ~ e + J e  0 

 − e& T  & T = [− e e J + ~ ] EG e ⋅ = ee& T + e0 e&0 J + e&0 ~ e + e0 ~ e& + ~ e~ e& 0  ~ & & e J + e  0 

a s obzirom na svojstva Hamilton-Rodriguezovih parametara dokazana je druga lema.

Treća lema

E T E = J − pp T

1.57

Dokaz  − eT   e T e − e0 e T − e T ~ e ~ [ ] e ET E =  − e J + e = 0    2 ~ ~ ~ e0 J − e e   e0 J − e   − e0 e

Kako je T − e T ~e = ( ~ee) = 0

i prema polaznoj jednadžbi, dobivamo konačno 1 − e 20 ETE =   −e 0 e

−e 0 e T  = J − pp T . T J − ee 

Isto tako možemo dokazati i drugi oblik treće leme G T G = J − pp T .

1.58

Gp = Ep = 0

1.59

Četvrta lema

Kinematika leta

1-16 Dokaz: e  Gp = [ − e e 0 J − ~e ] 0  = − ee 0 + e 0 e − ~ee = 0 e Analogno tomu je i Ep = 0 .

Peta lema

& T jednako je koso simetričnoj matrici od Gp& GG

1.60

Dokaz  − e& T  T T ~& ~ & T = [− e e J − ~ ] GG e 0  T  = ee& + e0 e − e&0 e − e& e . ~ & e& J + e 

Uz pomoć treće leme biti će ~& & ~ & T & &~ & T & T = ee& T + e e& J + e ~ &T & GG 0 0 0 e − e0 e − (ee + e0 e0 J )= ee + e0 e − e0 e − ee .

Odredimo vektor e&  Gp& = [− e e0 J − ~ e ] 0  = − e&0 e + e0 e& − ~ e e& . & e   Kako je − e 3 e& 2 + e 2 e& 3  ~ee& =  e e& − e e&  , 1 3   3 1  − e 2 e& 1 + e 1e& 2 

bit će koso simetrična matrica od ovog vektora 0  e& e − e e& 2 1  2 1  e& 3 e 1 − e 3 e& 1

e& 1e 2 − e 1e& 2 0 e& 3 e 2 − e 3 e& 2

e& 1e 3 − e 1e& 3  & T − ee& T . e& 2 e 3 − e 2 e& 3  = ee  0

Na temelju ovog rezultata koso simetrična matrica Gp& bit će

& T + ee& T , − e& 0 ~e + e 0 ~e& − ee što je trebalo dokazati. Derivacije Hamilton-Rodriguezovih parametara nalazimo na slijedeći način. Polazimo od jednadžbe: ~ L& BA = −Ω BB A L BA , ili poslije transformiranja ~ Ω BB A = LTAB L& AB .

Kinematika leta

1-17

Prema značajkama pomoćnih matrica iz prve i druge leme: L AB = EG T

& T = 2EG &T & =E & G T + EG L AB bit će T ~ & T = 2GET EG & T = 2G(J − pp T )G & T = 2GG & T − 2Gpp T G &T Ω BB A = 2(EG T ) EG

te s obzirom na četvrtu lemu po kojoj je Gp = 0 , bit će: ~ &T, Ω BA A = 2GG a s obzirom na petu lemu ~ Ω BB A = 2Gp& . Pomnožimo ispred ovu jednadžbu s G T . ~ GT Ω BB A = 2GT Gp& . S obzirom na dodatnu treće lemu, dobivamo: GT Ω BB A = 2(J − ppT )p& = 2(p& − ppT p& ) .

Kako je p T p& = 0 bit će konačno: p& =

1 T B G ΩB A . 2

1.61

U ovoj jednadžbi komponente rotacije definirane su u koordinatnom sustavu B. Ova matrična jednadžba trebati će nam u raspisanom obliku.  e& 0   p  e&  T   − e 1   1  =  q  e& 2  2  e 0 J + ~e        r  & e  3  − e1 e& 0  e  e&   1 = 1  0 e& 2  2  e 3    − e 2 e& 3 

− e2 − e3 e0 e1

− e3  p e2     q − e1     r  e0   

1.62

Kinematika leta

1-18

1.3 Koordinatni sustavi U mehanici leta zrakoplova koristimo nekoliko koordinatnih sustava. Svaki problem zahtijeva neki primjeren kooordinatni sustav. Tako određivanje aerodinamičkih sila i njihovih momenata vezujemo za ravninu simetrije letjelica ili za pravac aerodinamičke brzine, dok performanse zrakoplova izučavamo u odnosu na Zemlju, pa u tom slučaju postavljamo koordinatni sustav vezan za Zemlju. Kada se bavimo interkontinentalnim letovima, koristimo koordinatni sustav postavljen u središtu zemlje, a kad promatramo lokalne letove, služimo se nekim lokalnim kooridnatnim sustavom, itd. Gibanje središta Zemlje oko Sunca u vremenskom intervalu u kojemu izučavamo letjelicu je praktično pravocrtno s konstantnom brzinom. Zato je koordinatni sustav s ishodištem u središtu Zemlje, a koji se ne okreće sa Zemljom, inercijski koordinatni sustav (I). Svi ostali koordinatni sustavi jesu relativni, u kojima djeluju i inercijske sile, jer svi imaju neku kutnu brzinu. Kao što je spomenuto na početku, svaki se problem može najprikladnije riješiti u nekom od koordinatnih sustava. S obzirom na probleme koje ćemo razmatrati u ovoj knjizi, trebamo pet koordinatnih sustava: •

lokalni koordinatni sustav (L),

•

nošeni koordinatni sustav (O),

•

koordinatni sustav letjelice (F),

•

aerodinamički koordinatni sustav (A) i

•

brzinski koordinatni sustav (V).

Napomenimo da su svi koordinatni sustavi desni, što znači da je dovoljno definirati dvije osi, a treća čini desni trijedar. Uvijek si možemo pomoći desnom šakom, ako palac, kažiprst i srednjak namjestimo okomito jedan na drugi. Palac tada označuje os-x, kažiprst os-y, a srednjak os-z. Za svaki koordinatni sustav trebamo znati, osim definicije pravca dviju osi, njegovu kutnu brzinu i kutove u odnosu na neki prethodno definirani koordinatni sustav. Kutna brzina nužna je da bismo odredili inercijsku silu, a kutovi da bismo odredili matricu transformacije u taj koordinatni sustav iz nekog drugog koordinatnog sustava. Kutna brzina i njene komponente imat će indeks dolje kako bi se označilo na koji se koordinatni sustav odnosi ta kutna brzina, a indeks gore označavat će koordinatni sustav na čijim osima su komponente. Primjerice komponente kutne brzine označavamo uvijek sa

[p

q r ] . Ako su to komponente kutne brzine brzinskog koordinatnog sustava na osi

[

aerodinamičkog koordinatnog sustava ona ih označavamo sa pVA

qVA

]

rVA = Ω VA .

Kinematika leta

1-19

1.3.1 Lokalni koordinatni sustav (L)

Ishodište je ovog koordinatnog sustava na mjestu polijetanja letjelice. Os x L je horizontalna u pravcu zadanog azimuta A 0 . Kut azimuta se mjeri u pozitivnom trigonometrijskom smjeru kada se gleda odozdo, a kad kut azimuta gledamo odozgo onda je on pozitivan u smjeru kazaljke na satu. Os y L je vertikalna prema gore. Geocentrične koordinate ishodišta su

λ0 , ϕ0 , h0 (indeks nula podsjeća da se radi o ishodištu, kada je vrijeme obično jednako nuli). (slika 1-3). S obzirom na to što je lokalni koordinatni sustav vezan za Zemlju, on ima istu kutnu brzinu kao i zemlja Ω E = 7.27 10 −5 s−1 .

Slika 1-3. Lokalni koordinatni sustav Budući da se taj koordinatni sustav okreće sa Zemljom konstantnom kutnom brzinom, gibanje je u tom kordinatnom sustavu relativno gibanje. To znači da postoje dvije inercijalne sile: centrifugalna i Coriolisova. Inercijalna centrifugalna sila koja se pojavljuje zbog ove kutne brzine zbraja se s privlačnom silom Zemlje i zajedno čine silu Zemljine teže. Drugim riječima, težina svake mase je zbroj dviju sila: privlačne sile Zemlje i centrifugalne sile zbog rotacije te mase zajedno sa Zemljom. Drugu inercijalnu silu uslijed Coriolisova ubrzanja r r 2Ω E × VK zanemarujemo jer je ona zbog male kutne brzine vrlo mala u odnosu na težinu. Primjerice je za brzinu leta 240 m/s u smjeru istoka ili zapada Coriolisova ubrzanja najveće i iznosi 0.035 m s 2 , što zanemarujemo u odnosu na ubrzanje težine 9.81 m s 2 , a u slučaju leta s juga na sjever i obrnuto Coriolisovo ubrzanje je nula.

Kinematika leta

1-20 1.3.2 Nošeni koordinatni sustav (O)

Nošeni koordinatni sustav ima ishodište u središtu mase letjelice. Os xO je u horizontalnoj ravnini, a zO je vertikalna u smjeru prema dolje (slika 1-4). Zanemarujemo li •

zakrivljenost Zemljine površine, onda su kutovi λ = λ0 i ϕ = ϕ 0 konstantni i

•

kutnu brzinu Zemlje Ω E = 0 ,

onda nošeni koordinatni sustav nema kutnu brzinu Ω OO = 0 , tj. nošeni koordinatni sustav ne rotira tijekom leta, već ostaje paralelan samom sebi. U svim problemima koje razmatramo u ovoj knjizi opravdane su ove dvije pretpostavke o zanemarivanju zakrivljenosti Zemljinine površine i o zanemarivanju kutne brzine..

Slika 1-4. Translacija nošenog koordinatnog sustava kada je λ& = ϕ& = 0

Radi pojednostavljenja, postavljamo nošeni koordinatni sustav paralelno s lokalnim, pa zato on ostaje u tijeku leta paralelan s lokalnim koordinatnim sustavom, ali putuje sa središtem mase letjelice (zato smo mu dali ime "nošeni", slika 1-5). U odnosu na nošeni koordinatni sustav definiramo “stav” letjelice i izučavamo njeno gibanje oko središta mase. 1.3.3 Koordinatni sustav letjelice (F)

Ovaj koordinatni sustav Oxyz kruto je vezan za letjelicu. Najprikladnije je usvojiti glavne ose tromosti kao koordinatni sustav letjelice, a da je njegovo ishodište u središtu mase (ako se drukčije ne odredi). Os x i os z nalaze se u ravnini simetrije letjelice i to os x duž tijela u

Kinematika leta

1-21

smjeru leta, a os z je nadolje, dok je os y okomita na ravninu simetrije. Zato što je taj koordinatni sustav kruto vezan za letjelicu, njegova je kutna brzina ujedno i kutna brzina letjelice. Slovo F sa kojim označavamo taj koordinatni sustav dolazi od engleske riječi "frame", ali kako je to najviše upotrebljavan koordinatni sustav, sve veličine definirane u tom koordinatnom sustavu nemaju nikakvih oznaka. Usmjerenost tog koordinatnog sustava određena je u odnosu na nošeni pomoću tri kuta (slika 1-5)

ψ u horizontalnoj ravnini oko osi z O , nazivamo ga kut zanosa, θ u vertikalnoj ravnini oko horizontalne osi ~y , nazivamo ga kut propinjanja,

φ oko osi x, nazivamo ga kut valjanja letjelice. Matrica transformacije za ove tri rotacije ψ , θ , φ je L F O = L X ( φ ) L Y (θ ) L Z (ψ ) ,

1.63

Slika 1-5. Koordinatni sustav letjelice što pišemo kraće L F O (φ ,ϑ ,ψ ) . Kutna brzina letjelice koja je i kutna brzina njenog koordinatnog sustava r

r

r

r

Ω = ψ& + θ& + φ& ima projekcije na osi tog koordinatnog sustava

1.64

Kinematika leta

1-22  0  φ& 0   Ω = L F O  0  + L X (φ ) θ& +  0  .      0   0  ψ&  Poslije množenja matrica i zamjene dobivamo  − ψ& sin θ + φ&  p      Ω = q = ψ& sin φ cosθ + θ& cosφ  .    r  ψ& cosφ cosθ − θ& sin φ 

1.65

Kao što je već spomenuto, nije potrebno posebno označavati da su to projekcije na osi letjelice, jer kada nije tako onda to i posebno označimo. Matricu na desnoj strani gornje jednadžbe možemo rastaviti u produkt dviju matrica  1  0 −ψ& sinθ + φ&    & ψ& sin φ cosθ + θ cosφ  = 0 cosφ ψ& cosφ cosθ − θ& sin φ  0 − sin φ  

− sinθ  φ&    sin φ cosθ  θ&   cosφ cosθ  ψ& 

Matricu 3 × 3 na desnoj strani označavamo sa R. Ona je funkcija dvaju kutova φ i ϑ , nije matrica transformacije i na nju se ne odnose pravila o matrici transformacija. Sa s označavamo novi pojam stav. To je matrica koju čine tri kuta

[

s= φ θ ψ

]

T

.

1.66

−1 s& = R (φ ,ϑ ) ⋅ Ω ,

1.67

S ovim oznakama je

Ω = R(φ ,ϑ ) ⋅ s&

ili φ&  1 sin φ tgθ  &  cosφ θ  = 0 ψ&  0 sin φ cosθ  

cosφ tgθ   p  − sin φ   q  .   cosφ cosθ   r 

1.68

1.4 Brzine letjelice Razlikujemo dvije brzine letjelice. Prva je brzina letjelice u odnosu na Zemlju. Nazivamo je r r brzina leta i označavamo je sa V K . Druga je brzina letjelice u odnosu na zrak V i nju nazivamo aerodinamička brzina (bez indeksa). Između te dvije brzine imamo vezu r r r V K = VW + V ,

1.69

Kinematika leta

1-23

r gdje je VW brzina zraka (u odnosu na Zemlju) ili, kratko, vjetar.

Ponekad nam je potrebna brzina zraka u odnosu na letjelicu, ali ne u neposrednoj blizini letjelice, gdje je zračna struja poremećena prisutnošću letjelice. Tu brzinu nazivamo r "brzina opstrujavanja", a označavamo je sa V∞ . Ona je jednaka po intenzitetu i pravcu aerodinamičkoj brzini, ali suprotnog je smjera. Drugim riječima, brzina opstrujavanja je r r V∞ = −V . 1.4.1 Brzina leta i brzinski koordinatni sustav (V)

Kao što je rečeno brzina leta je brzina letjelice u odnosu na Zemlju. Ona je određena svojim intenzitetom V K i pomoću dva kuta (slika 1-6). •

χ je kut u horizontalnoj ravnini oko osi z O od osi xO do horizontalne projekcije brzine (pozitivan oko osi z prema dolje), nazivamo ga kut skretanja,

•

γ je u vertikalnoj ravnini od horizontalne projekcije do brzine leta (pozitivan prema gore), nazivamo ga kut prenjanja.

Slika 1-6. Brzinski koordinatni sustav

Projekcije brzine leta na osi letjelice obilježavamo uvijek sa

[

VK = u K

vK

wK

]

T

.

1.70

Za rješenje nekih problema kao što su to izračunavanja performansa zrakoplova, dovoljno je promatrati samo gibanje središta mase. Tada je pogodno primjenjivati brzinski koordinatni sustav. Brzinski koordinatni sustav ima os xV u pravcu i smjeru brzine leta, os

Kinematika leta

1-24

zV mu je u vertikalnoj ravnini kroz brzinu leta prema dolje, a os yV koja čini desni koordinatni sustav je horizontalna. Prema slici 1-6 iz nošenog koordinatnog sustava “O” u brzinski prelazi se s dvije rotacije: prvo oko osi z 0 za kut χ , a zatim oko osi yV za kut γ : L VO = L Y (γ )L Z (χ ) .

1.71

Taj koordinatni sustav ima dvije kutne brzine: •

χ& kutnu brzinu oko vertikalne osi z 0 i

•

γ& oko horizontalne osi yV r

r

r

ΩV = χ& + γ& ,

1.72

ili

Ω

V V

 0   0  − χ& sin γ  . = L VO  0  + γ&  =  γ&   χ&   0   χ& cos γ 

1.73

V&K VK γ&

VK χ& cos γ

Slika 1-7. Ubrzanja uzduž osi brzinskoga koordinatnog sustava Komponente brzine leta u brzinskom koordinatnom sustavu su VKV = [VK komponente ubrzanja u brzinskom koordinatnom sustavu

0 0 ] , pa su T

Kinematika leta

1-25

V&   0 ~ & V + Ω V V V =  0  +  χ& cos γ aV = V K V K     0   − γ&  

− χ& cos γ 0 − χ& sin γ

T   VK   V&K   χ& sin γ   0  = VK χ& cos γ  .   0   0   − VK γ& 

γ&

1.74

Do tih komponenata ubrzanja u brzinskom koordinatnom sustavu mogli smo doći ako tražimo komponente brzine hodografa. Iz mehanike znamo da je hodograf putanja točke čiji je vektor položaja brzina. Znamo da je brzina derivacija vektora položaja. Ako je vektor položaja jednak brzini leta, onda je derivacija tog vektora položaja tj. brzina hodografa jednaka ubrzanju. 1.4.2 Aerodinamička brzina i aerodinamički koordinanti sustav (A)

Položaj aerodinamičke brzine određujemo prvenstveno u odnosu na letjelicu, jer o njenom intenzitetu i položaju u odnosu na letjelicu ovise aerodinamičke sile i momenti. Primjenjuju se dva načina za određivanje položaja aerodinamičke brzine u odnosu na letjelicu.

Slika 1-8. Napadni kut i kut klizanja Prvi način su kutovi α i β . Napadni kut α nalazi su u ravnini simetrije (vanjske površine letjelice), od projekcije aerodinamičke brzine na tu ravninu do osi x letjelice u toj ravnini (slika 1-8), a kut klizanja β je od projekcije aerodinamičke brzine do aerodinamičke brzine. Drugim riječima, kut klizanja je otklon aerodinamičke brzine od ravnine simetrije letjelice (simetrije vanjske površine letjelice). Sa tim kutovima komponente aerodinamičke brzine u koordinatnom sustavu letjelice su

Kinematika leta

1-26

u = V cos β cosα v = V sin β w = V cos β sin α .

1.75

Na osnovu tih jednadžbi dobivamo zavisnost napadnog kuta i kuta klizanja od komponenti aerodinamičke brzine: sin β =

v V

tgα =

w . u

1.76

Uočavamo da je napadni kut α pozitivan kad je pozitivna komponenta w , te isto tako da je kut klizanja pozitivan ako je pozitivna komponenta v aerodinamičke brzine. To je najsigurniji način kontrole predznaka napadnog kuta i kuta klizanja. Vrlo često su os letjelice i aerodinamička brzina vrlo blizu, te su napadni kut i kut klizanja mali kutovi. To nam omogućava primjenu pojednostavljenih jednadžba v = βV

w = αV .

1.77

Slika 1-9. Kutovi ψ , θ , φ , α , β , χ , γ . Drugi način su kutovi χ A i γ A (isto kao što su kutovi χ i γ za brzinu leta). Kut χ A je u horizontalnoj ravnini od osi x 0 nošenog koordinatnog sustava do projekcije aerodinamičke brzine na horizontalnu ravninu, a kut γ A je u vertikalnoj ravnini od horizontalne projekcije aerodinamičke brzine do aerodinamičke brzine letjelice.

Kinematika leta

1-27

Između kutova χ A , γ A i kutova ψ , θ , φ , α , β postoje veze. Te veze dobivaju se iz relacije: u   v  = L VO FO    w V cos γ A cos χ A  V cos β cosα   V sin β  = L (φ ,ϑ ,ψ )V cos γ sin χ  . FO A A     − V sin γ A  V cos β sin α 

Možemo skratiti aerodinamičku brzinu na lijevoj strani s aerodinamičkom brzinom na desnoj i tako dobiti tri jednadžbe, od kojih su dvije neovisne, a treća se može dobiti kombinacijom tih dviju odabranih jednadžbi.

Slika 1-10. Aerodinamičke osi i glavne osi tromosti

U aerodinamici zrakoplovnih konfiguracija upotrebljava se osim koordinatnog sustava letjelice i aerodinamički koordinatni sustav (slika 1-10). Njegovo ishodište je u središtu mase ili nekoj određenoj točki letjelice, a os x A je u pravcu i smjeru aerodinamičke brzine. Os z A je u ravnini simetrije letjelice. Kako je ta os okomita na aerodinamičku brzinu (jer je brzina

Kinematika leta

1-28

na osi x A ), ona se nalazi u presjeku dviju ravnina, ravnine okomite na aerodinamičku brzinu i ravnine simetrije letjelice. Najviše

trebamo

matricu

transformacije

u

koordinatni

sustav

letjelice

iz

aerodinamičkog koordinatnog sustava. Ta transformacija predstavlja dvije sukcesivne rotacije (vidi sliku 1-10): •

prvo, oko osi z A za kut β i to u negativnom smjeru rotacije (dok os x A ne uđe u ravninu simetrije letjelice)

•

drugo, oko novodobivene osi y , za kut α (dok os x A ne dođe u položaj osi x ).

Prema tome je matrica transformacije L FA = L Y (α ) L Z ( − β) ,

1.78

što množenjem daje L FA

cos α cos β =  sin β  sin α cos β

− cos α sin β

cos β − sin α sin β

− sin α  0  . cos α 

1.79

Ako su kutovi mali, onda je L FA

1 =  β α

−β

1 0

−α 0  . 1 

1.80

Od nošenog koordinatnog sustava do brzinskog dolazimo pomoću tri rotacije (slika 1-11) •

za kut χ A u horizontalnoj ravnini oko osi z 0 do horizontalne projekcije aerodinamičke brzine;

•

za kut γ A u vertikalnoj ravnini oko osi y, od horizontalne projekcije do aerodinamičke brzine;

•

za kut µ A oko aerodinamičke brzine dok os z ne uđe u ravninu simetrije letjelice.

To znači da je matrica transformacije u aerodinamički iz nošenog koordinatnog sustava L AO (µ A , γ A , χ A ) = L X (µ A )L Y (γ A )L Z (χ A ) .

Uočimo da je to ista matrična funkcija kao L FO (φ ,ϑ ,ψ ) .

1.81

Kinematika leta

1-29

Slika 1-11. Transformacija iz nošenog koordinatnog sustava u aerodinamički koordinatni sustav Kada nema vjetra, možemo lako usporediti aerodinamički i brzinski koordinatni sustav, jer su tada brzina leta i aerodinamička brzina jednake, pa oba koordinatna sustava imaju istu os x. Osi z A i zV se razlikuju. Obje su u ravnini okomitoj na brzinu, ali dok je os z A u ravnini simetrije letjelice, os zV je u vertikalnoj ravnini kroz brzinu (slika 1-11).

Između njih je kut µ A koji se nalazi u ravnini okomitoj na brzinu od osi zV do osi z A , mjeren oko brzine. Zato je matrica transformacije iz aerodinamičkog u brzinski koordinatni sustav L VA = L X (− µ A ) .

1.82

Kada nema vjetra, može se lako prijeći iz koordinatnog sustava letjelice u brzinski kroz aerodinamički koordinatni sustav. Matrica transformacije u brzinski iz koordinatnog sustav letjelice jest produkt dviju matrica L VF = L VA L AF ,

1.83

Kinematika leta

1-30

pa se množenjem matrica L VA = L X (− µ A ) i L AF = L Z (β ) L Y (− α ) , dobiva tražena matrica transformacije L VF = L X (− µ A )L Z (β )L Y (− α )

1.84

koja vrijedi samo u slučaju ako nema vjetra. 1.4.3 Primjer

Zadana je brzina horizontalnog leta VK = 54.4 [m s ] i njen kut pravca χ = 10.80 . Intenzitet brzine vjetra je VW = 8 [m s ] , koji puše iz pravca čiji je azimut AW = 120 0 , a to znači da je kut pravca kud puše vjetar χ W = 300 0 . Treba odrediti aerodinamičku brzinu, napadni kut i kut

[

klizanja kada je stav zrakoplova s = − 2.5 0

2.9 0

19 0

]

T

Projekcije su brzine leta na osi nošenog koordinatnog sustava: V cos γ cos χ  rO  K VK = VK cos γ sin χ     − VK sin γ 

Uvijek pretpostavljamo da je vjetar horizontalan te su njegove projekcije na osi nošenog koordinatnog sustava: V cos χ W  rO  W VW = VW sin χ W  .   0  

Projekcije aerodinamačke brzine na iste osi nošenog koordinatnog sustava bit će: V O = VKO − VWO .

Intenzitet ove brzine je V=

(u ) + (v ) + (w ) O 2

O 2

O 2

,

a njene su projekcije na osi letjelice V = L FO V O = L FO (VKO − VWO ) .

Matrica transformacije u koordinatni sustav letjelice iz nošenog koordinatnog sustava jest produkt triju temeljnih matrica: L FO = L X (φ ) ⋅ L Y (ϑ ) ⋅ L Z (ψ )

Na osnovu tih vrijednosti izračunavamo komponente aerodinamičke brzine u koordinatnom sustavu letjelice, a s tim komponentama bit će napadni kut i kut klizanja

Kinematika leta

1-31 w u v β = arcsin . V

α = arctan

Rješenje se nalazi u fileu primjer.m. na disketi u direktoriju kinematika.

3URMHNWQDDHURGLQDPLND



 352-(.71$$(52',1$0,.$  $HURGLQDPLþNLNRHILFLMHQWL]UDNRSORYD  'HILQLFLMH 'MHORYDQMH ]UDND QD OHWMHOLFX PRåH VH ]DPLMHQLWL MHGQRP DHURGLQDPLþNRP VLORP X VUHGLãWX PDVH L MHGQLP DHURGLQDPLþNLP PRPHQWRP RNR VUHGLãWD PDVH 7D DHURGLQDPLþND VLOD L WDM DHURGLQDPLþNLPRPHQWLPDMXSRWULNRPSRQHQWHXNRRUGLQDWQRPVXVWDYXNRMLPVHNRULVWLPR .DGD VX X SLWDQMX DHURGLQDPLþND VLOD LOL DHURGLQDPLþNL PRPHQW ]UDNRSORYD XSRWUHEOMDYDPR GYD NRRUGLQDWQD VXVWDYD NRRUGLQDWQL VXVWDY OHWMHOLFH LOL DHURGLQDPLþNL NRRUGLQDWQL VXVWDY 2YLVQR R SUREOHPX NRML UMHãDYDPR RGDEUDW üHPR MHGDQ RG WLK GYDMX NRRUGLQDWQLK VXVWDYD .RPSRQHQWHRELOMHåDYDPRLQD]LYDPR x

XNRRUGLQDWQRPVXVWDYXOHWMHOLFHNRPSRQHQWHVLOH >;

= @ QD]LYDPR 7

<

  ; DNVLMDOQDVLODLR]QDþDYDPRMHVD$ < MHERþQDVLODL  = QRUPDOQDVLODR]QDþDYDVHVD1

>

.RPSRQHQWHPRPHQWD /

0

1

@

7

QD]LYDPR

/ MHPRPHQWYDOMDQMD 0 PRPHQWSURSLQMDQMDL 1 PRPHQWVNUHWDQMD

x

>

XDHURGLQDPLþNRPNRRUGLQDWQRPVXVWDYXNRPSRQHQWHVLOH ; $

@6D 6 G R]QDþLOLVPRGLRQRVHüHSRYUãLQHQDNRMRMVHQDOD]LXSUDYOMDþND SRYUãLQDNDRQDVOLFL 

 6OLND3RYUãLQD 6 G   .RHILFLMHQW . I  MH NRUHNFLMD ]ERJ QHOLQHDUQRVW WH RYLVL R RWNORQX G  DOL L R RGQRVX WHWLYD FG F 7DRYLVQRVWSULND]DQDMHQDVOLFLSUHPD>@ 

 6OLND.ULYXOMH . I

§ F · I ¨G  G ¸  F ¹ ©

 3RORåDMKYDWLãWDXSUDYOMDþNHVLOH]ERJRWNORQDXSUDYOMDþNHSRYUãLQH [G PRåHVHXVXEVRQLFL GRELWL OLQHDUQRP LQWHUSRODFLMRP L]PH X GYD HNVWUHPQD VOXþDMD 3UYR DNR MH FLMHOD QRVHüD SRYUãLQD XSUDYOMDþND SRYUãLQD RQGD MH QDSDGQD WRþND QD þHWYUWLQL WHWLYH 'UXJR DNR MH XSUDYOMDþNLGLRL]QLPQRPDOLRQGDMHQDSDGQDWRþNDQDSRORYLFLQHRWNORQMHQRJDGLMHODWHWLYH

3URMHNWQDDHURGLQDPLND



F c  2YDM RGQRV PRåH ELWQR SURPLMHQLWL YHOLþLQD SURFMHSD L]PH X SRNUHWQRJ GLMHOD L

QHSRNUHWQRJGLMHODNDRãWRVHWRYLGLVDVOLNH  [G F

FG

F

F

FG F



6OLND3RORåDMKYDWLãWDQRUPDOQHVLOHXSUDYOMDþNHSRYUãLQH  

 1RUPDOQDVLODNRPELQDFLMHWLMHOR±QRVHüDSRYUãLQD 3RG NRPELQDFLMRP WLMHOR ± QRVHüD SRYUãLQD UD]XPLMHPR GYLMH NRQ]ROH SROXNULOD L RQDM GLR WLMHOD ]D NRML VX YH]DQH WH NRQ]ROH VOLND   .DGD JRYRULPR R QRUPDOQRM VLOL QD VDPRP NULOX 1 Z PLVOLPRQDQRUPDOQXVLOXNRMDGMHOXMHQDNULORNRMHMHGRELYHQRVSDMDQMHPGYDMX SROXNULODVNLQXWDVD]UDNRSORYD

 6OLND.RPELQDFLMDWLMHOR±QRVHüDSRYUãLQD  7DGYDSROXNULODVSRMHQDþLQHVDPRNULOR6DPRNULORLPDUDVSRQ EZ NRMLMHPDQMLRGUDVSRQD NRPELQDFLMH E ]D ãLULQX WUXSD QD PMHVWX NRPELQDFLMH G =D WDNYR NULOR VDVWDYOMHQR RG GYD

 

3URMHNWQDDHURGLQDPLND

SROXNULODRGUH XMHPRJUDGLMHQWQRUPDOQHVLOH & 1D Z L]DWRNULORRGUH XMHPRSRYUãLQXNULOD 6 Z 

 6OLND.RPELQDFLMDWLMHOR±QRVHüDSRYUãLQD D SODQDUQDNRPELQDFLMDE RWNORQMHQDNRPELQDFLMD  5D]OLNXMHPRGYLMHYUVWHNRPELQDFLMH8SUYRMMHRVWLMHODXUDYQLQLQRVHüHSRYUãLQHSD WLMHOR L QRVHüD SRYUãLQD LPDMX LVWL QDSDGQL NXW D Z

D  7DNYD NRPELQDFLMD QD]LYD VH

SODQDUQD  8 GUXJRP VOXþDMX QRVHüD SRYUãLQD LPD SRVWDYQL NXW L  X RGQRVX QD WLMHOR 7X NRPELQDFLMXQD]LYDPRRWNORQMHQDDWDMNXWLQD]LYDPRSRVWDYQLNXWQRVHüHSRYUãLQH 3UHPD WHRULML NRQIRUPQRJ SUHVOLNDYDQMD >@ SODQDUQD NRPELQDFLMD LPD . %:   SXWD YHüX QRUPDOQX VLOX RG QRUPDOQH VLOH VDPRJ NULOD SRG LVWLP QDSDGQLP NXWRP D  3UL SUHVOLNDYDQMXSUHWSRVWDYOMDVHGDMHWLMHORURWDFLMVNRJREOLNDSURPMHUD G WHGDMHRVWLMHODX UDYQLQLNULOD8WRPVOXþDMXGRELYDPRGDMHNRHILFLMHQWLQWHUIHUHQFLMH

. %:

 JGMHMH G





  G  OG   G 



G E  E MHUDVSRQNRPELQDFLMHDGSURPMHUNUXJDSUHVMHNDWUXSD

8VOXþDMXRWNORQMHQHNRPELQDFLMHWMNDGDWHWLYDNULODLPDSRVWDYQLNXWLXRGQRVXQD RV WLMHOD RQGD MH QRUPDOQD VLOD NRPELQDFLMH NDGD MH QDSDGQL NXW MHGQDN QXOL WM EU]LQD X SUDYFXRVLWLMHOD  N %: SXWDYHüDRGQRUPDOQHVLOHVDPRJNULODSRGQDSDGQLPNXWRPL

  G >  G  OG   G @   G 



N %:





8UHDOQRVWLQHNLXYMHWLNRMLVXSUHWSRVWDYOMHQLXWHRULMLNRQIRUPQRJSUHVOLNDYDQMDQLVX ]DGRYROMHQL 'YD RGVWXSDQMD VX QDMYDåQLMDSUYRWUXS]UDNRSORYDQLMHURWDFLMVNRJREOLNDSD NRULVWLPR HNYLYDOHQWQL SURPMHU G  NRML RGUH XMHPR NDR SURPMHU SRYUãLQH NUXJD þLMD MH SRYUãLQD MHGQDND SRYUãLQL SRSUHþQRJ SUHVMHND WLMHOD QD PMHVWX NRPELQDFLMH NULOR WLMHOR 'UXJR RV WURPRVWL [ RG NRMH PMHULPR QDSDGQL NXW QLMH SUDYDF QXOWRJ X]JRQD WLMHOD 2YD SRJUHãNDQLMHYHOLNDMHUWLMHORLPDPDOXQRUPDOQXVLOX =ERJ WLK QHGRVWDWDND QHNL DXWRUL NDR QSU >@ X]LPDMX YULMHGQRVW . %:  ]D SUDYRNXWQRNULOR O  XYHüDQX]D7RGDMHNRHILFLMHQWLQWHUIHUHQFLMHWLMHORNULOR

3URMHNWQDDHURGLQDPLND

 

. %:

 L XVYDMDMX N %: MHGLQLFL N %:

G· §  ¨  ¸  E¹ ©



. %:  'UXJL >  @ ]DQHPDUXMX RED NRHILFLMHQWD NDR GD VX MHGQDNL . %:

  DOL ]DPMHQMXMX NRPELQDFLMX V NULORP NRMH þLQH GYD SROXNULOD L GLR

NULODSRGWLMHORP 8 VWYDUQRVWL LPDPR RWNORQMHQX NRPELQDFLMX SRG QDSDGQLP NXWRP 8 WRP VOXþDMX QRUPDOQDVLODNRPELQDFLMHMH]EURMQRUPDOQHVLOHSODQDUQHNRPELQDFLMHSRGQDSDGQLPNXWRPL RWNORQMHQH NRPELQDFLMH EH] QDSDGQRJ NXWD 2VLP WRJD WUHED LPDWL QD XPX GD QHVLPHWULþQL SURILOLLPDMXMRãLGRGDWQLQDSDGQLNXW D  / NRMLMHQHJDWLYDQ ]ERJ]DNULYOMHQRVWLVUHGQMHOLQLMH SURILOD7DMNXWLPDLVWXXORJXNDRSRVWDYQLNXW 1 %:



. %: 1 D: D  N %: 1 D: L  D  / 



1 D: >. %: D  N %: L  D  / @ 



LOL 

1 %:

,]WRJD]DNOMXþXMHPRGDNRPELQDFLMDLPDQRUPDOQXVLOXLOLX]JRQ NRMDMHMHGQDNDQRUPDOQRM VLOLVDPRJNULODDOLSRGHNYLYDOHQWQLPQDSDGQLPNXWRP

D HT



. %: D  N %: L  D  / 





 8VSRUHQMHLVDYLMDQMHVWUXMH ,]DSUHGQMHQRVHüHSRYUãLQH]UDþQDVWUXMDMHSRUHPHüHQD5HSVHQDOD]LX]UDþQRMVWUXMLNRMDMH SRUHPHüHQDRSVWUXMDYDQMHPNULODLOLEROMHUHüLNRPELQDFLMRPNULOR±WUXS7DMSRUHPHüDMVH RVMHüD X JXELWNX GLQDPLþNRJ WODND L SUDYFX EU]LQH RSVWUXMDYDQMD =DWR GLQDPLþNL WODN L]D NRPELQDFLMH NULOR ± WUXS XPDQMXMHPR PQRåHQMHP V MHGQLP NRHILFLMHQWRP K9  NRML X]LPD X RE]LUWHJXELWNH3URFMHQMXMHVHGDXVXEVRQLFLWUHEDX]HWLNRHILFLMHQWJXELWDNDRNR K9 D X VXSHUVRQLFL JXELFL UDVWX L GRVHåX ]D 0D

  YULMHGQRVW K9

 

  QR ]D YHüH EU]LQH

RVWDMXSULEOLåQRLVWL 

,] WHRULMVNH DHURGLQDPLNH ]QDPR GD V L]OD]QRJ UXED NULOD VLOD]H YUWORåQH QLWL NRMH VH

YUOR EU]R XGUXåXMX X GYD VORERGQD YUWORJD MHGDQ V MHGQRJD L GUXJL V GUXJRJD SROXNULOD 7L YUWOR]L LQGXFLUDMX EU]LQH NRMH V EU]LQRP RSVWUXMDYDQMD PLMHQMDMX SUDYDF ]UDþQH VWUXMH 7H SURPMHQHVXUD]OLþLWHXVYDNRMWRþNLSURVWRUDDQDV]DQLPDSURVMHþQDSURPMHQDSUDYFD]UDþQH VWUXMH QD KRUL]RQWDOQRP UHSX ,] UD]ORJD VLPHWULMH NDGD QHPD NXWD VNUHWDQMD SURVMHþQD SURPMHQD SUDYFD ELW üH VPDQMHQMH QDSDGQRJ NXWD D   ]D NXW H  =DWR MH QDSDGQL NXW L]D

 

3URMHNWQDDHURGLQDPLND

NRPELQDFLMHNULORWUXSJGMHVHQDOD]LKRUL]RQWDOQLUHSPDQMLRGQDSDGQRJNXWD]UDNRSORYD ]DYHOLþLQX H 7XYHOLþLQXQD]LYDPRVDYLMDQMHVWUXMHRGNRPELQDFLMHNULORWUXS0DWHPDWLþNL PRGHOL ]D RGUH LYDQMH VDYLMDQMD VWUXMH SRND]XMX GD MH WR VDYLMDQMH VWUXMH SULMH VYHJD SURSRUFLRQDOQRQDSDGQRPNXWXNULOD

wH DZ  wD

H

 *UDGLMHQWVDYLMDQMDVWUXMH



wH RYLVLR wD

x REOLNXNULODUD]PDKDEYLWNRVWL$LVXåHQMX O WHR x SRORåDMXUHSDXRGQRVXQDNULOR " L K NDRQDVOLFL  "

K

 6OLND3RORåDMUHSDXRGQRVXQDNULOR  =DWR RYLVQRVW JUDGLMHQWD VDYLMDQMD VWUXMH R SDUDPHWULPD PRåH VH SUHGVWDYLWL MHGQDGåERP SUHPD>@ 

wH wD



 ˜ . $ . O . + FRV /F 









JGMHVX .$ .O

.+

   $   $   O   K  E "  E

8 RYLP VX MHGQDGåEDPD E  O  L $  VX NDUDNWHULVWLNHNULODVSRGWUXSQLPGLMHORPD K L "  VX YHOLþLQHNDRQDVOLFL

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD



273251250$/1$6,/$,020(173523,1-$1-$ 

2WSRU 2WSRU ]UDNRSORYD LPD GYD GLMHOD 3UYL GLR MH RWSRU ]UDNRSORYD NDGD QH SRVWRML X]JRQ ]UDNRSORYD 2]QDþDYDPR JD VD & '2  L QD]LYD VH QXOWL RWSRU  'UXJL GLR MH LQGXFLUDQL RWSRU NRMLMHSRVOMHGLFDSRVWRMDQMDX]JRQD2]QDþDYDPRJDVD & 'L  1XOWLRWSRUOHWMHOLFH]EURMMHRWSRUDGLMHORYDOHWMHOLFHNULODWLMHODKRUL]RQWDOQRJUHSD YHUWLNDOQRJ UHSD 2VLP RYLK NRPSRQHQWL ]D YULMHPH SROLMHWDQMD L VOLMHWDQMD SRVWRMH MRã L GRGDQLRWSRULRGSRGYR]DLRWNORQD]DNULODFDIODSVRYD  1XOWLRWSRUVYDNRJGLMHODOHWMHOLFHPRåHVHSRGLMHOLWLQDWULGLMHODSUHPDX]URNX]ERJ NRMHJDQDVWDMHSDMHNRHILFLMHQWRWSRUDVYDNRJGLMHOD]EURMWULMXNRHILFLMHQDWD

&'



& ' I  & 'Z  & 'E 



& ' I  IULFWLRQ GUDJ  MH DHURGLQDPLþNL NRHILFLMHQW RQRJ GLMHOD RWSRUD NRML MH QDVWDR ]ERJ WUHQMD]UDNDSRSRYUãLQLVYLKGLMHORYDOHWMHOLFH

& 'Z  ZDYHGUDJ MHDHURGLQDPLþNLNRHILFLMHQWUH]XOWDQWHXSUDYFXDHURGLQDPLþNHEU]LQHRG HOHPHQWDUQLKVLODWODNDRNRPLWLKQDVYHGLMHORYHSRYUãLQH

& 'E  EDVH GUDJ  MH DHURGLQDPLþNL NRHILFLMHQW RWSRUD GQD ]ERJ SRGWODND NRML QDVWDMH L]D GLMHORYDOHWMHOLFH 2WSRUWUHQMD .DRãWRMHSR]QDWRL]DHURGLQDPLNHNRHILFLMHQWRWSRUDWUHQMDUDYQHSRYUãLQH & I GHILQLUDVH NDR NROLþQLN L]PH X VLOH WUHQMD L SURGXNWD UHIHUHQWQRJ WODND L ³NYDãHQH SRYUãLQH´ 6 ZHW  WM SRYUãLQHQDNRMRMVHRVWYDUXMHWUHQMH &I



'I Tf 6 ZHW





3URFMHQXNRHILFLMHQWDWUHQMDQDSURVWRUQRMSRYUãLQL & I WURGLPHQ]LRQDOQRVWUXMDQMH L]YRGLPR SRVUHGVWYRPNRHILFLMHQWDWUHQMD F I XUDYQLQVNRPGYRGLPHQ]LRQDOQRP VWUXMDQMX.DNRQDP WUHEDNRHILFLMHQWWUHQMD]DUHIHUHQWQXSRYUãLQXLPDWüHPRYH]X  RGDNOHMH

'I

T f 6 ZHW F I

T f 6 UHI & ' I 





2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD



6 ZHW F I  6 UHI

& 'I



$NR XVYRMLPR ]DNRQ WUHüHJ VWXSQMD ]D SURILO EU]LQH X JUDQLþQRP VORMX ]D ODPLQDUQR GYRGLPHQ]LRQDOQR RSVWUXMDYDQMH UDYQHSRYUãLQHGRELYDPRNRHILFLMHQWWUHQMD>@EH]RE]LUD MHOLRSVWUXMDYDQMHVXEVRQLþQRLOLVXSHUVRQLþQR 

F I"

 5H





5H  MH  5H\QROGVRYEURMRGUH HQ ]D GXOMLQXRSVWUXMDYDQMD$NRMHRSVWUXMDYDQMHWXUEXOHQWQR VXEVRQLþQRLOLVXSHUVRQLþQR RQGDMHSUHPD6FKOLFKWLQJRYRMIRUPXOL 



F IW

"Q 5H 





(NVSHULPHQWDOQD LVSLWLYDQMD SRND]DOD VX GD MH ]D 5H     QD UDYQRM L JODWNRM SRYUãLQL VWUXMDQMHODPLQDUQR0H XWLPDNRMH 5H !   þDNLQDUDYQRMLJODWNRMSRYUãLQLVWUXMDQMHMH WXUEXOHQWQR1DUDYQRMLJODWNRMSRYUãLQLXLQWHUYDOX

 ˜    5H     VWUXMDQMHüHELWLQDSRþHWNXODPLQDUQR]DWLPüHQDMHGQRPNUDWNRPGLMHOXELWLSULMHOD]QRGDEL QD GUXJRP GLMHOX ELOR WXUEXOHQWQR 3ULMHOD] L] ODPLQDUQRJ X WXEXOHQWQL JUDQLþQL VORM QLMH QL WUHQXWDQ QL VWDELODQ SD VH ]DWR X OLWHUDWXULGDMXUD]OLþLWHJUDQLFHLQWHUYDODXNRPHVHRGYLMD SUHOD]DNL]ODPLQDUQRJXWXUEXOHQWQLJUDQLþQLVORM'DELVPRRGUHGLOLNRHILFLMHQWWUHQMDWDNYRJ ODPLQDUQRWXUEXOHQWQRJRSVWUXMDYDQMDXYRGLPRGYLMHSUHWSRVWDYNH x SUHOD]DNL]ODPLQDUQRJXWXUEXOHQWQLJUDQLþQLVORMRVWYDUXMHVHWUHQXWQRQDPMHVWX " W  x RG " W WXUEXOHQWQLJUDQLþQLVORMMHLVWLNDRGDMHLPDRSRþHWDNXLVKRGLãWX "



3UHPDRYLPKLSRWH]DPDELWüH FI

"W

"



"W

³ W " G[  ³ W W G[ 

8RYLPLQWHJUDOLPDVXEH]GLPHQ]LMVNDWDQJHQFLMDOQDQDSUH]DQMDQDSRYUãLQL W "

W Tf

 5H˜ [

 ]D ODPLQDUQR RSVWUXMDYDQMH QD WHPHOMX ]DNRQD WUHüHJ VWXSQMD SURILOD EU]LQH

W "

W Tf

 

5H˜ [

 ]DWXUEXOHQWQRRSVWUXMDYDQMHSUHPD]DNRQX   SURILODEU]LQH

,QWHJUDFLMRPGRELYDPR

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD  8 RYRM MHGQDGåEL  

FI 

 5H



"W 

 

5H

  "   W



5H  SUHGVWDYOMD NRHILFLMHQW WXUEXOHQWQRJ WUHQMD ]D XVYRMHQL SURILO

EU]LQH SUHPD ]DNRQX MHGQH VHGPLQH $NR VH WDM NRHILFLMHQW ]DPLMHQL V WRþQLMRP 6FKOLFKWLQJRYRP IRUPXORP GRELYD VH EROMD SURFMHQD ]D NRHILFLMHQW WUHQMD X ODPLQDUQR  WXUEXOHQWQRPJUDQLþQRPVORMX 

FI

  5H

"W 



OQ 5H



  "   W



7RþNL SULMHOD]D ODPLQDUQRJ X WXUEXOHQWQRRSVWUXMDYDQMHRGJRYDUDW]YSULMHOD]QL5H\QROGVRY EURM 

5HW

" W 9f  Qf



 6OLND 5H W

§ K9 · I ¨¨ 0D  f ¸¸  Qf ¹ ©

.DNRRGUHGLWL " W "1HNLQHSUDYLOQLREOLNRSVWUXMDYDQHSRYUãLQHPRåHL]D]YDWLWXUEXOHQFLMXWR YLãHãWRVHVGXOMLQRPRSVWUXMDYDQMD5H\QROGVRYEURMSULEOLåDYDYULMHGQRVWLJUDQLFHSUHODVND ODPLQDUQRJ X WXUEXOHQWQR RSVWUXMDYDQMH 2SüHQLWR X]HYãL WXUEXOHQWQRVW üH QDVWDWL SULMH QD KUDSDYLMRMSRYUãLQL+UDSDYRVWVHPMHULSURVMHþQRPYLVLQRPK,VSLWLYDQMDVXSRND]DODGD 5HW  RYLVLR0DFKRYXEURMXLRSDUDPHWUX

K9f 7DRYLVQRVWSUHPD>@SULND]DQDMHQDVOLFL Qf

1D WHPHOMX RYLK MHGQDGåEL PRåHPR RGUHGLWL NRHILFLMHQW WUHQMD QD UDYQLP GLMHORYLPD ]UDNRSORYD SUL PDOLP EU]LQDPD OHWD NDGD MH XWMHFDM VWODþLYRVWL ]DQHPDULY 1LMH OL 0D  



2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD

]DQHPDULYXRGQRVXQD]QDþLGDWUHEDX]HWLXRE]LUXWMHFDMVWODþLYRVWLãWRþLQLPRPQRåHüL L]UDþXQDW F I VNRHILFLMHQWRP )0D





   ˜ 0D

 





0H XWLPGLMHORYL]UDNRSORYDQLVXUDYQHSRYUãLQHãWRPLMHQMDUDVSRUHGWODNDDUDVSRUHGWODND XWMHþH ELWQR QD NRHILFLMHQW WUHQMD =ERJ WRJD WUHED NRHILFLMHQW WUHQMD X GYRGLPHQ]LRQDOQRM VWUXMLSRPQRåLWLVNRHILFLMHQWRPREOLND )) RYLVQRRREOLNXRSVWUXMDYDQHSRYUãLQH,VWRWDNR SUL SUHODVNX X WURGLPHQ]LRQDOQR VWUXMDQMH WUHEDPR NRHILFLMHQW WUHQMD L] GYRGLPHQ]LRQDOQRJ VWUXMDQMDSRPQRåLWLVNRHILFLMHQWRP )6 

&I



)6 )) F I 



x ]DQRVHüHSRYUãLQHXVXEVRQLFLSUHPD>@ 

))

· §   W ¨¨    W  ¸¸  [W ¹ ©



3URGXNW )) ˜ F I SUHGVWDYOMDNRHILFLMHQWWUHQMDSURILOD$NRQHSRVWRMLYDOQLRWSRURQGDMH WD YULMHGQRVW QXOWL RWSRU SURILOD ]D ]DGDQX KUDSDYRVW 8 WDEOLFDPD VWDQGDUGQLK SURILOD QDOD]LVHPLQLPDOQLRWSRUSURILOD FG PLQ ]DVOXþDMVWDQGDUGQHKUDSDYRVWL7HYULMHGQRVWLVH PRJXXVSRUH LYDWLãWRQDPRPRJXüXMHNRQWUROXSURFMHQH 

)6

JGMH MH W

W  [W F

FRV /W  



[W  [W  MH DSVFLVD PDNVLPDOQH GHEOMLQH SURILOD D /W  MH VWULMHOD F

JHRPHWULMVNRJ PMHVWD PDNVLPDOQLK GHEOMLQD SURILOD =D VOXþDM UHSD WUHED )) )6  SRYHüDWL MRã ]D   ]ERJ GRGDWQRJ RWSRUD NUR] ]D]RUH L]PH X QRVHüH SRYUãLQH L XSUDYOMDþNH SRYUãLQH x ]DWUXSVGREURREOLNRYDQRPNDELQRPSUHPD>@ 

)6 ˜ ))



I      I



JGMHMHIYLWNRVWWLMHODNRMXRGUH XMHPR]DVWYDUQXGXOMLQXWLMHODLILNWLYQLSURPMHUG2YDM NRHILFLMHQW GDMH GREUH YULMHGQRVWL DNR VH NDELQD XNODSD X REOLN WLMHOD NDR QSU ]D ]UDNRSORY) DOLDNRNDELQDLVNDþHL]REOLNDWLMHODRQGDWUHEDNRHILFLMHQWSRYHüDWLQSU ]D)WUHEDSRYHüDWL ,VWRWDNRDNRWLMHORLPDNYDGUDWQLSUHVMHNRãWULEULGRYLPRJX SRYHüDWLNRHILFLMHQWREOLNDRNR x ]DNXüLãWHPRWRUDLVSUHPQLNJRULYDSUHPD>@

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD



)6 ˜ ))

 I 



  8VXSHUVRQLFLQHPDSUHQRãHQMDSRUHPHüDMDX]]UDþQXVWUXMXSDMH )) )6 ]DVYHREOLNHEOLVNR MHGLQLFL .RQDþQR SRVWRML L PH XXWMHFDM GLMHORYD 3ULVXWQRVW GUXJRJD WLMHOD X EOL]LQL RSVWUXMDYDQRJD WLMHOD PLMHQMD UDVSRUHG WODND SR SRYUãLQL RSVWUXMDYDQRJ WLMHOD ãWR XWMHþH QD NRHILFLMHQW WUHQMD 7DM VH XWMHFDM X]LPD X RE]LU NRHILFLMHQWRP 4 (YR QHNROLNR UH]XOWDWD LVSLWLYDQMDXDHURWXQHOXSUHPD>@ x WLMHORPRWRUDSRVWDYOMHQRQHSRVUHGQRQDNULORLPDSRYHüDQRWSRU]D 4  DWDM VHXWMHFDML]JXELNDGMHWLMHORXGDOMHQR]DMHGDQVYRMSURPMHURGNULOD x REMHãHQLSURMHNWLOLLVSRGNULODLPDMXNRHILFLMHQWLQWHUIHUHQFLMH 4 |   x ]DNODVLþQHNRPELQDFLMHWLMHORQRVHüDSRYUãLQDX]LPDVH 4   x ]DUHSQHSRYUãLQH9REOLNDX]LPDVH 4 |  D]DUHSQHSRYUãLQH+REOLND 4 |   8VXSHUVRQLFLPH XXWMHFDMGLMHORYDQDRWSRUJRWRYRLQHSRVWRMLWHMHXVXSHUVRQLFLNRHILFLMHQW

4   7DNRMHNRQDþQRRWSRUWUHQMDOHWMHOLFH]EURMRWSRUDWUHQMDVYLKQMHQLKGLMHORYD  2GQRV ' I T f

'I

Tf 6 UHI & 'I

¦ T F F

f

I

)0D )) )6 4 I 6 ZHW F 



QD]LYDVHSRYUãLQDRWSRUD



'I Tf

)0D ˜ ¦ F I )) )6 4 I 6 ZHW F 



F

3UHPD WRPH XNXSQD SRYUãLQD RWSRUD ]UDNRSORYD MH ]EURM SRYUãLQD RWSRUD NRPSRQHQDWD 'LMHOMHQMHP SRYUãLQH RWSRUD V UHIHUHQWQRP SRYUãLQRP GRELYDPR WUDåHQX YH]X L]PH X NRHILFLMHQWDRWSRUDWUHQMDOHWMHOLFHLSRYUãLQVNLKNRHILFLMHQDWDWUHQMDGLMHORYDOHWMHOLFH 

& 'I

§ 6 )0D ¦ ¨ F I )) )6 4 ZHW ¨ 6 UHI F ©

· ¸  ¸ ¹F



2WSRUGQD ,]D VYDNRJ GLMHOD OHWMHOLFH SRMDYOMXMH VH WUDJ X NRPH MH WODN PDQML RG QHSRUHPHüHQRJ WODND 3RVOMHGLFD WRJ SRGWODND  MH VLOD NRþHQMD MHGQDND SURGXNWX SRGWODND L SRYUãLQH QD NRMRM RQ GMHOXMH 1D NUDMX QRVHüLK SRYUãLQD MH L]OD]QL UXE SD QHPD SRYUãLQHQDNRMRMELGMHORYDRWDM SRGWODN DNR QLMH GRãOR GR RGYDMDQMD VWUXMH RG QRVHüH SRYUãLQH  7RP SRGWODNX RGJRYDUD NRHILFLMHQW



2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD



SE  Sf  Tf

&S



0H XWLP RWSRU GQD SRVWRML L]D NXüLãWD PRWRUD VSUHPQLND JRULYD QRVDþD QDRUXåDQMD L L]D NXüLãWDNDELQHDNRQLMHGREURXNORSOMHQDVREOLNRPWLMHODLWG

'E



T f  & S 6 E 

 Sf  SE ˜ 6 E



'D EL VH L]EMHJDR RWSRU GQD LOL EDU VPDQMLR QD SULKYDWOMLYX PMHUXWLMHOXODJDQRVPDQMXMHPR SRSUHþQL SUHVMHN SUHPD NUDMX QD ãWR PDQMX SRYUãLQX GQD 6 E  3URFMHQD NRHILFLMHQWD WODND QD GQXPRåHVHL]YHVWLSUHPD>@SRPRüXMHGQDGåEL x ]DVXEVRQLNX 

 &S

   0D   



 &S

   0D   





x ]DVXSHUVRQLNX 



1D VOLFL  SULND]DQD MH RYLVQRVW NRHILFLMHQWD WODND QD GQX R 0DFKRYRP EURMX SUHPD QDYHGHQLPMHGQDGåEDPD      E S &  

    









0D







6OLND.RHILFLMHQWWODNDQDGQX & S 0D 





9DOQLRWSRU 9DOQL RWSRU MH SRVOMHGLFD UDVSRUHGD WODND QD SRYUãLQL 8 VXEVRQLFL SUHPD G¶$OHPEHUWRYRP SULQFLSX ]DVQRYDQRP QD QHYLVNR]QRP RSVWUXMDYDQMX YDOQL RWSRU MH MHGQDN QXOL 0H XWLP SR]QDWR MH GD UHDOQL XYMHWL RSVWUXMDYDQMD QH SUDWH G¶$OHPEHUWRY SULQFLS 5DVSRUHG WODND X

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD



VWYDUQRVWLMH]ERJYLVNR]QLKXþLQDNDL]PLMHQMHQWHVHSRMDYOMXMHYDOQLRWSRU0MHUHQMDRWSRUD VWDQGDUGQLK SURILOD SUL PDOLP EU]LQDPD SUL NRMLPD PRåHPR ]DQHPDULWL XWMHFDM VWODþLYRVWL SRND]XMXGDMHL]PMHUHQLRWSRUMHGQDNRWSRUXWUHQMDãWRMHRþLJOHGDQGRND]GDQHSRVWRMLYDOQL RWSRU7DPMHUHQMDRWSRUDSURILOD]DMHGQRVGUXJLPNDUDNWHULVWLNDPDSURILODX]JRQLPRPHQW SURSLQMDQMD REMDYOMHQDVXXPQRJLPNQMLJDPDNDRQSU>@ 8 VXSHUVRQLFL SRVWRMDQMH XGDUQLK YDORYD VWYDUD XYLMHN YDOQL RSRU =DWR MH WD NRPSRQHQWDRWSRUDLGRELODWRLPHSUHPGDXGDUQLYDORYLQLVXMHGLQLUD]ORJQDVWDMDQMDYDOQRJ RWSRUD 9Hü VPR UHNOL GD YDOQL RWSRU SRVWRML L X VXEVRQLFL NDGD QLVX LVSXQMHQL XYMHWL ]D G¶$ODPEHUWRYSULQFLSDXGDUQLYDORYLMDYOMDMXVHVDPRXWUDQVVRQLFLLVXSHUVRQLFL 

0QRJR MH PDQMH REMDYOMHQLK SRGDWDND RPMHUHQMXYDOQRJRWSRUDSURILODL]UDNRSORYD

QHJRãWRMHWRVOXþDMVRWSRURPWUHQMDLOLRWSRURPGQDSD]DSURFMHQXQHPDSRX]GDQLKPHWRGD 3UHPD ]DNRQX SRYUãLQH >@ X WUDQVVRQLþQRP SRGUXþMX  0D |   YDOQL RWSRU ]UDNRSORYD ]D ]DGDQL 0DFKRY EURM RYLVL VDPR R SURPMHQL YHOLþLQH SRYUãLQH SRSUHþQRJ SUHVMHND ]UDNRSORYD 6  [  XNOMXþXMXüL VYH QMHJRYH GLMHORYH  RNRPLWR QD EU]LQX RSVWUXMDYDQMD7R]QDþLGDMHRWSRU]UDNRSORYDXWUDQVVRQLFLLVWLNDRRWSRUURWDFLMVNRJWLMHOD NRMH LPD LVWX SRYUãLQX SRSUHþQRJ SUHVMHND QD VYLP PMHVWLPD  8 WHRULMVNRM DHURGLQDPLFL SRVWRMLW]YWHRULMDWDQNLKWLMHOD>@NRMRPVHGRND]XMHGD]D]DGDQLYROXPHQ:LGXOMLQXWLMHOD " SRVWRMLW]YRSWLPDOQRWLMHOR6HDUV+DDFNRYRWLMHOR þLMHVXSDUDPHWDUVNHMHGQDGåEH

U



[

 6 P § VLQ T ¨ VLQ T   S ©  "   FRVT  

· ¸ ¹



7RWLMHORLPDWHRUHWVNLYDOQLRWSRU

':



Tf 6 PD[ ˜

S6 PD[  " 



7R ]QDþL GD üH ]UDNRSORY LPDWL PLQLPDOQL YDOQL RWSRU DNR QMHJRY SRSUHþQL SUHVMHN SUDWL SURPMHQX SRSUHþQRJ SUHVMHND 6HDUVB+DDFNRYD WLMHOD LOL ãWR EOLåH WRP REOLNX 5HDOQL REOLFL ]UDNRSORYD RGVWXSDMX RG WRJ XYMHWD 3UHWSRVWDYLPR GD ]D 0D   UHDOQLREOLN]UDNRSORYD LPD (:' SXWDYHüLYDOQLRWSRURG6HDUV+DDFNRYDWLMHODNRHILFLMHQW (:' VHNUHüHRGGR SDLYLãH 6SURPMHQRP0DFKRYDEURMDL]QDG 0D  YDOQLRWSRU]UDNRSORYDRSDGDSR ]DNRQX 

': 0D ': 

I 0D //(    0D  



  / 

JGMHMH //( VWULMHODQDSDGQRJUXEDNULODXUDGLMDQLPDDYDOQLRWSRU

 /(





2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD

S6 PD[  " 

':  (:' ˜ Tf 6 PD[





7DNRPRåHPRDNRMH 0D !  SURFLMHQLWLYDOQLRWSRU]UDNRSORYDMHGQDGåERP

& 'Z



(:'

 S6 PD[ I 0D //(  "  6 UHI



2WSRUXWUDQVVRQLFL 3RMDYD YDOQRJ RWSRUD MH SRVOMHGLFD þLQMHQLFHãWRORNDOQL0DFKRYEURMGRVWLJQHVXSHUVRQLþQX YULMHGQRVW SULMH 0DFKRYD EURMD OHWMHOLFH 1D WRP PMHVWX SRþLQMH VXSHUVRQLþQR VWUXMDQMH NRMH WUHEDRSHWSULMHüLXVXEVRQLþQR7DMSURFHVSUHODVNDL]VXEVRQLþQRJXVXSHUVRQLþQRVWUXMDQMH QLMH UHYHU]LELODQ 3RYUDWDN QD VXEVRQLþQR VWUXMDQMH ]ELYD VH GLVNRQWLQXLUDQR ãWR LPD ]D SRVOMHGLFXVWYDUDQMHORNDOQLKXGDUQLKYDORYD6XGDOMDYDQMHPRGOHWMHOLFHWDSRMDYDVODEL.DGD VH SRMDYL SUYL ORNDOQL 0DFKRY EURM NRML MH GRVWLJDR VXSHUVRQLþQX YULMHGQRVW 0DFKRY EURM

'RXJODV

OHWMHOLFHQD]LYDPRNULWLþQL0DFKRYEURMLR]QDþDYDPRJDVD 0D FU 

%RLQJ

&'

GR

 

 0D''

0DFU

0D''



 6OLND.ULWLþDQ0DFKRYEURM0DFUL0D'''UDJ'LYHUJHQW0D   7HãNR MH XWYUGLWL NDGD MH GRVWLJQXWD NULWLþQD YULMHGQRVW =DWR YHOLNH WYUWNH GHILQLUDMX WRþNX 0D '' QDNRMRMMH & ' 0D SRUDVWDR]D%RLQJ LOLWRþNXQDNULYXOML & ' 0D XNRMRM

MHWDQJHQVNXWDWDQJHQWH'RXJODV LWG0H XVREQLSRORåDMWLKGYLMXWRþDNDSRND]DQMHQD VOLFL 

6SRYHüDQMHP0DFKRYDEURMDOHWMHOLFHSUYLORNDOQL0DFKRYEURMMHGQDNMHGLQLFLPRåH

VH GRJRGLWL QD NULOX LOL QD WLMHOX 1LMH QDP XQDSULMHG SR]QDWR NRMD üH VH RG WLK GYLMX PRJXüQRVWL SUYD GRJRGLWL SD ]DWR PRUDPR SURFLMHQLWL REMH L XVYRMLWL RQX NRMD MH PDQMD ]D NULWLþQXYULMHGQRVW0DFKRYDEURMDOHWMHOLFH

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD



 6OLND 0D '' /



W· § I ¨ /   ¸  F¹ ©

.DGD MH ULMHþ R NULOX ORNDOQL 0DFKRY EURM GRVWLåH MHGLQLFX QDMSULMH QD JRUQMRM SRYUãLQL NULOD]ERJSRYHüDQMDEU]LQHRSVWUXMDYDQMDSURILODSULSRYHüDQRMVLOLX]JRQD7RüHVHGRJRGLWL XWROLNRSULMHXNROLNRMHYHüLQDSDGQLNXWOHWMHOLFHWMXNROLNRMHYHüDVLODX]JRQDDWR]QDþLGD üH XWROLNR ELWL PDQML NULWLþQL 0DFKRY EURM 0D FU  %XGXüL GD SURFMHQMXMHPR QXOWL RWSRU WUHEDPRSURFLMHQLWLNDGDQDVWDMHORNDOQL0DFKRYEURMMHGQDNMHGLQLFLXVOXþDMXQXOWRJX]JRQD 3UHPD PHWRGL WYUWNH %RHLQJ SURFMHQD 0D '' /    QD NULOX SURYRGL VH SUHPD GLMDJUDPX QD VOLFL]D & /

 RYLVQRRVWULMHOL /  LUHODWLYQRMGHEOMLQLSURILOD W

W F 



6OLND 0D ''  I Q ]DVXEVRQLþQLLVXSHUVRQLþQLREOLNWUXSD



2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD 7LMHOR NRMH QLMH GREUR REOLNRYDQR LPDW üH ORNDOQL 0DFKRY EURM MHGQDN MHGLQLFL SULMH

NULOD 1D VOLFL  SULND]DQH VX GYLMH NULYXOMH NRMH GDMX YULMHGQRVW 0D ''  WLMHOD RYLVQR R YLWNRVWLSUHGQMHJGLMHODWUXSD.RQDþQR 0D '' OHWMHOLFHELWüHPDQMDYULMHGQRVWRG 0D '' NULOD L 0D '' WLMHOD 

=QDPR GD MH & 'Z

  GR NULWLþQH YULMHGQRVWL 0DFKRYD EURMD ]DWLP VPR RGUHGLOL

0D ''   L ]QDPR GD MH & 'Z 0D ''   ,VWR WDNR SR]QDW QDP MH YDOQL RWSRU L]QDG 0D   WUHEDPR MRã RGUHGLWL & ' 0D  X LQWHUYDOX RG 0D ''  GR  7R MH LQWHUYDO

WUDQVVRQLNH 7R MH YUOR VORåHQD WHRULMVND ]DGDüD L ]DWR üHPR VH ]DGRYROMLWL SULEOLåQRP PHWRGRP3UDNVDMHSRND]DODGDPRåHPRXVYRMLWLSHWWRþDND



& ': 0D ''     

& ': 0D ''  



& ': 



& ':  & ':  



& ':   

& ':  (:'



 S6 PD[  "  6 UHI

.UR] WLK SHW WRþDND SURYODþLPR NRQWLQXLUDQX NULYXOMX NRMD LPD ]DMHGQLþNX WDQJHQWX VD & ' 0D  X VXEVRQLFL  0D  0DFU  L VNULYXOMRP & ' 0D XVXSHUVRQLFL 0D   NDRQD

VOLFL  &':





0D 0DFU 0D''  



 6OLND.RQVWUXNFLMDNULYXOMH & 'Z 0D XWUDQVVRQLþQRMREODVWL



2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD



'RGDWQLRWSRU 3RVWRMLYLãHX]URND]ERJNRMLKVHSRMDYOMXMHGRGDWQLRWSRU 3UYRQHNHGLMHORYH]UDNRSORYDQLVPRREXKYDWLOLJRUQMRPPHWRGRPNDRQSUNXüLãWH PRWRUD VSUHPQLNH JRULYD QRVDþH QDRUXåDQMD NDELQX LOL SRVHEDQ REOLN ]DGQMHJ GLMHOD WUDQVSRUWQRJ]UDNRSORYD6YLRQLSRYHüDYDMXRWSRU]UDNRSORYD 'UXJRXRGUH HQLPXYMHWLPD]UDNRSORYPLMHQMDVYRMREOLN3ULPMHULFHSULSROLMHWDQMX ]UDNRSORY LPD L]EDþHQH NRWDþH L GMHORPLþQR L]EDþHQD ]DNULOFD X OHWX LPD XYXþHQH NRWDþH L ]DNULOFD D SUL VOLMHWDQMX LPD RSHW L]EDþHQH NRWDþH L SRWSXQR L]EDþHQD ]DNULOFD D QD NUDMX L ]UDþQH NRþQLFH =ERJ WRJD VH RWSRU ]UDNRSORYD ]QDWQR SRYHüDYD , WD SRYHüDQMD QD]LYDPR GRGDWQLRWSRU 7UHüH ]DXVWDYOMHQL PRWRU QH VDPR ãWR QHPD SRJRQVNX VLOX YHü MH X]URN GYLMX YUVWD GRGDWQRJRWSRUD$NRMHURWRUXNRþHQRQGDPRWRULPDMHGQXYULMHGQRVWRWSRUDDDNRVHURWRU RNUHüH SRG XWMHFDMHP ]UDþQH VWUXMH RQGD PRWRU LPD GUXJX YULMHGQRVW RWSRUD 3URFMHQD GRGDWQRJ RWSRUD ]DXVWDYOMHQRJ PRWRUD L]QLPQR MH YDåQD ]DWR ãWR WD NRPSRQHQWD NRG ]UDNRSORYDVDGYDLOLYLãHPRWRUDLPDMDNERþQLPRPHQW]DVUHGLãWHPDVHWHGRYRGLXSLWDQMH ERþQXVWDELOQRVW]UDNRSORYDãWRüHPRUD]PDWUDWLNDVQLMH 8YHüLQLVOXþDMHYDNRHILFLMHQWGRGDWQRJRWSRUDSURFMHQMXMHPRSUHPDMHGQDGåEL

'& '



N

6 IURQW 6 UHI





X NRMRM MH 6 IURQW  VLOXHWD GLMHOD NRML VWYDUD GRGDWQL RWSRU  JOHGDQR X SUDYFX DHURGLQDPLþNH EU]LQH .RHILFLMHQW N MH RELþQR SR]QDW ]D WLSL]LUDQH REOLNH 8 GRQMRM WDEOLFL SULND]DQL VX NRHILFLMHQWL]DQHNHGLMHORYH]UDNRSORYDSUHPD>@   =UDþQHNRþQLFHVSRLOHU QDWHWLYH 9MHWUREUDQODNL]UDNRSORYL 



N  

GREURXNORSOMHQXREOLNWUXSD



ORãHXNORSOMHQXREOLNWUXSD



.RWDþVJXPDPD



'UXJLNRWDþL]DSUYRJD





2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD

3RYHüDQMH NRHILFLMHQWD RWSRUD NULOD ]ERJ RWNORQD ]DNULOFD G IODS  PRåH VH SURFLMHQLWL MHGQDGåERP 

'& '



6 IODS VLQ G I 6:







  6OLND3RYUãLQD 6 IODS   3RYUãLQD 6 IODSV   SULND]DQD MH QD VOLFL  D 6 IODSV VLQ G IODSV  SUHGVWDYOMD IURQWDOQX SRYUãLQX IODSVRYDRNRPLWRQDEU]LQX]UDþQHVWUXMH  

X

6PD[

  6OLND2WSRUGQDWUDQVSRUWQRJ]UDNRSORYD  7UDQVSRUWQL ]UDNRSORYL UDGL ãWR YHüHJD NRULVQRJD SURVWRUD LPDMX VXåHQMH ]DGQMHJD GLMHOD WUXSD YHüH RG NULWLþQRJ ]ERJ þHJD GROD]L GR RGYDMDQMD VWUXMH RG WLMHOD 7R RGYDMDQMH VWYDUDGRGDWQLRWSRUQDWRPGLMHOXWUXSDãWRMHWHãNRLVORåHQRWHRUHWVNLL]XþDYDWL=DSURFMHQX RWSRUD]ERJRGYDMDQMDVWUXMHRGWUXSDWUDQVSRUWQRJ]UDNRSORYDPRåHPRNRULVWLWLHPSLULMVNX IRUPXOX 

'& '

 X 

6 PD[  6 UHI



XNRMRMMHXNXWXUDGLMDQLPDVUHGQMHFUWHWLMHODQDWRP]DGQMHPGLMHOXNDRQDVOLFLD 6 PD[  SRYUãLQDQDMYHüHJSRSUHþQRJDSUHVMHNDWLMHOD

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD



.RHILFLMHQWRWSRUD]DXVWDYOMHQRJPRWRUDLOLRQRJDNRMHJDSRNUHüH]UDþQDVWUXMDWUHED RGUHGLWLNRQVWUXNWRUPRWRUD$NRWDMNRHILFLMHQWQLMHSR]QDWPRåHVHSURFLMHQLWL =D]DXVWDYOMHQXHOLVXXVXEVRQLFL 

'& '

N

6 HOLVH  6 UHI



$NRVHHOLVDRNUHüHSRGGMHORYDQMHP]UDþQHVWUXMHRQGDMH N RQGDMH N

 SUHPD>@ 3RYUãLQDHOLVH 6 HOLVH

 DDNRVHHOLVDQHRNUHüH

V 6 GLVN JGMHMH V

1  $S 1MHEURM

SROXHOLVD$MHYLWNRVWSROXHOLVH 

=DPOD]QLPRWRUNRMLVHRNUHüHSRGXWMHFDMHP]UDþQHVWUXMH

'& '





6 IURQW 6 UHI





JGMHMH 6 IURQW SRSUHþQLSUHVMHNNXüLãWDPOD]QRJDPRWRUD =DNXüLãWDPRWRUDVSUHPQLNHJRULYDL]DQRVDþHQDRUXåDQMDSRVWRMHXPMHVWRSURFMHQD PMHUHQMD]EURMDSRYUãLQDRWSRUDWUHQMDLRWSRUDGQD>@ §' ¨¨ © Tf

· ¸¸ ¹F

' I  'E Tf



RYLVQRR0DFKRYXEURMX]DWLSL]LUDQHREOLNHLYHOLþLQH 1DMYHüL SUREOHP VX VWUXMDQMD NUR] RWYRUH QD WUXSX L] SRGUXþMD SRYLãHQRJ WODND X SRGUXþMDVPDQMHQRJWODNDELORGDMHWRL]DWPRVIHUHXXQXWUDãQMRVWLOLL]XQXWUDãQMRVWLSUHPD YDQ8REDVOXþDMDPLMHQMDVHELWQRVOLNDRSVWUXMDYDQMDPLMHQMDVHWODNSDLWUHQMHQDSRYUãLQL ,VWRWDNRUD]QLXUH DMLQDSRYUãLQL]UDNRSORYDNDRãWRVXVYMHWOD3LWRFLMHYDQWHQDLGUXJR PRJX L]PLMHQLWL YULMHGQRVW NRHILFLMHQWD WUHQMD 6YL WL QHSUHGYL HQL L QDPHWQXWL X]URFL PRJX SRYHüDWLNRHILFLMHQWWUHQMDLGR



2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD

1XOWLRWSRU

&' &'Z '& '

RWSRUWUHQMDRGLQWHUIHUHQFLMH

&'I 0D 0D''





 6OLND=EURMNRPSRQHQDWDQXOWRJRWSRUD .RQDþQR VPR X PRJXüQRVWL QDFUWDWL FLMHOX NULYXOMX & ' 0D  NRMD MH ]EURM WULMX NULYXOMD NRPSRQHQDWD RWSRUD & 'I 0D  & 'E 0D  & 'Z 0D  L  NULYXOMH XVOLMHG GRGDWQRJ RWSRUD '& ' 0D 7DM]EURMMHVKHPDWVNLSULND]DQQDVOLFL

,QGXFLUDQLRWSRU 'R VDGD VPR SURPDWUDOL RWSRU OHWMHOLFH NDGD QHPD VLOH X]JRQD QLWL ERþQH VLOH  'UXJLP ULMHþLPD WDNR GRELYHQL RWSRU MH DHURGLQDPLþND VLOD MHU QHPD GUXJLK NRPSRQHQDWD 8 WRP VOXþDMX QDSDGQL NXW MH MHGQDN NXWX QXOWRJ X]JRQD OHWMHOLFH D  /  2WSRU X RYRP VOXþDMX D

D  /  QD]YDW üHPR QXOWL RWSRU  L R]QDþLW üHPR JD VD '  D QMHJRY NRHILFLMHQW VD & '  

3UYD MHGQDGåED WUDQVIRUPDFLMH ]D SULMHOD] L] DHURGLQDPLþNLK NRHILFLMHQDWD GXå RVL DHURGLQDPLþNRJ NRRUGLQDWQRJ VXVWDYD >& '

& / @ X NRHILFLMHQWH >& ; 7

&.

&<

& = @ GXå 7

RVLWURPRVWLOHWMHOLFHMHVW &;

LSULPLMHQLPRMHQDRYDMVOXþDM=D D

& '  & . E  & /D 

D  / L E

 ELWüH & '

& '  QHPDX]JRQD & /

]DWRãWRVPRSUHWSRVWDYLOLGDQHPDNXWDVNUHWDQMDQHPDQLERþQHVLOH & .

 D

 3UHPDWRPHELW

üHXRYRPVOXþDMX &; 

& '  

7DMQXOWLRWSRUMHLVWRGREQRLQXOWDDNVLMDOQDVLOD $NR XSRWULMHELPR LVWX WX MHGQDGåEX ]D WUDQVIRUPDFLMX QD VOXþDM NDG MH QDSDGQL NXW D z D  / DOLQHPDNXWDVNUHWDQMDGRELYDPR

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD &'



& ;  D & / 

3UHWSRVWDYLWüHPRGDDNVLMDOQDVLOD  & ; ]DPDOHQDSDGQHNXWRYHQH]DYLVLRGQDSDGQRJNXWD SD MH RQD MHGQDND YULMHGQRVWL NDGD MH QDSDGQL NXW MHGQDN NXWX QXOWRJ X]JRQD  & ; | & ; 

& '   7D SUHWSRVWDYND QLMH QHUHDOQD MHU PMHUHQMD SRND]XMX GD DNVLMDOQD VLOD

RYLVL R QDSDGQRP NXWX DOL ]QDWQR PDQMH RG VLOH RWSRUD 7R MH DSURNVLPDFLMD NRMD üH QDP SRPRüLGDEROMHUD]XPLMHPRRYLVQRVWRWSRUDRX]JRQX7RP]DPMHQRPGRELYDPR &'

& '   D& / 

2YDMHGQDGåEDSRND]XMHXWMHFDMQDSDGQRJNXWDQDRWSRUOHWMHOLFH9LGLPRGDMHWRWDOQLRWSRU ]EURM RWSRUD SUL QXOWRP X]JRQX L RWSRUX ]ERJ X]JRQD NRML QD]LYDPR LQGXFLUDQL RWSRU 7DM GRGDWQLRWSRURVWYDUXMHVHXJODYQRPNUR] ': MHUMHXWMHFDMQDSDGQRJNXWDQDRWSRUWUHQMDL RWSRUGQDQH]QDWDQ.DNRMHVLODX]JRQDWDNR HURYLVQDRQDSDGQRPNXWXWHGYLMHRYLVQRVWL &'



&/

& '  D & /

& /D D  D  /





SUHGVWDYOMDMX SDUDPHWDUVNH MHGQDGåEH SRODUH ]UDNRSORYD VOLND   LOL HOLPLQDFLMRP QDSDGQRJNXWD

&'



& '  D / & / 

 & /  & /D



 &/ &'I& 'E

&'S

KRUL]RQWDOQLOHW

D ! D & 'PLQ



D PLQ

& /PLQ'

D /

&'

& '

  6OLND3RODUD]UDNRSORYD  ,] RYH MHGQDGåEH GRELYDPR GD MH QDMPDQML RWSRU ]UDNRSORYD & ' PLQ  ]D  QDSDGQL NXW D PLQ

D  /  LRQLPDYULMHGQRVW



2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD 



& ' PLQ

& '

§D ·  & /D ¨  / ¸  ©  ¹



DSULPLQLPDOQRPRWSRUXELWüHX]JRQ 

& / PLQ '

& /D D PLQ  D  /

D /  

 & /D



  3UL QDSDGQRP NXWX D  /  NDGD MH X]JRQ MHGQDN QXOL RWSRU & '   QLMH QDMPDQML 1DMPDQMD YULMHGQRVW RWSRUD MH SUL QDSDGQRP NXWX D PLQ

D /   NDG SRVWRML QHNL PDOL X]JRQ /PLQ ' 

3RPRüXYULMHGQRVWL]D & ' PLQ L & / PLQ ' MHGQDGåEDSRODUHPRåHVHQDSLVDWLXREOLNX

&'



& ' PLQ 

 & /  & / PLQ '   & /D



7X MHGQDGåEX L]YHOL VPR X] SUHWSRVWDYNX GD DNVLMDOQD VLOD QH RYLVL R QDSDGQRP NXWX 1D]QDþLOL  VPR GD MH WR VDPR MHGQD DSURNVLPDFLMD NRMD MH ]D VXSHUVRQLNX GRYROMQR WRþQD D PDQMHWRþQD]DVXEVRQLNX=DWRVHNRULVWLPRMHGQDGåERP 

&'

& ' PLQ  . & /  & / PLQ  



0H XWLP X SRJODYOMX R SHUIRUPDQVDPD ]UDNRSORYD V QDPMHURP D VH RODNãDMX L RPRJXüH MHGQRVWDYQHYH]HL]PH XSHUIRUPDQVLLNDUDNWHULVWLND]UDNRSORYDNRULVWLVHREOLNSRODUH

&'



& '   . & / 



ãWRSUHWSRVWDYOMDGDMH & ' PLQ | & '  LGDMH & / PLQ |  =D]UDNRSORYHNRMLLPDMXSURILONULODEH] YHOLNH]DNULYOMHQRVWLVUHGQMHOLQLMHRYHVXDSURNVLPDFLMHSULKYDWOMLYH 

.RHILFLMHQW.LPDYHOLNR]QDþHQMHLELWQXXORJXQDSHUIRUPDQVH]UDNRSORYD-DVQRMH

GD åHOLPR ]UDNRSORY NRML LPD ãWR PDQML WDM NRHILFLMHQW MHU üH WDNDY ]UDNRSORY ]D LVWL X]JRQ LPDWLPDQMLRWSRU 8VXEVRQLFLNDGSRVWRMLVLODX]JRQDSRGGHMVWYRPYH]DQRJYUWORJD]UDNSUHOD]LRNR SUHGQMHJD UXED NULOD V GRQMH VWUDQH NULOD QD JRUQMX ]ERJ UD]OLNH WODND 7R RSVWUXMDYDQMH SUHGQMHJD UXED VWYDUD SRGUXþMH SRGWODND RNR SUHGQMHJD UXED D SRGWODN RNR SUHGQMHJD UXED X]URNXMHVLOXXSUDYFXJLEDQMD7DVLODVLVDQMDVPDQMXMHSULUDVWDNVLMDOQHVLOH]ERJSURPMHQH WODND SR SRYUãLQL NULOD XVOHG QDSDGQRJ NXWD 5H]XOWDQWD WLK GYLMX VLOD MH LQGXFLUDQL RWSRU 3UHPD*ODXHUWRYRMWHRULMD]DVOXþDMHOLSWLþQRJNULODNRHILFLMHQWLQGXFLUDQRJRWSRUDMH 

  &/ S$

.& / 

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD



=D WUDSH]QD NULOD LQGXFLUDQL RWSRU LPD GUXJX YULMHGQRVW SD UDGL SULPMHQH LVWH MHGQDGåEH XYRGLPR2VZDOGRYNRHILFLMHQWH

 & / HS$



.& / 



LOL

.



  HS$



JGMHMH   H   3URFMHQD2VZDOGRYDNRHILFLMHQWL]YRGLVHSUHPDMHGQDGåEDPD x ]D]UDNRSORYVWUDSH]QLPNULORPEH]VWULMHOH H     $   





x ]D]UDNRSORYVWUDSH]QLPVWUHODVWLPNULORP

H



    $ FRV / /(



  



7DNYD SURFMHQD ]DH X VXEVRQLFL GDMH.NRQVWDQWQRãWRVHSRND]DORSULKYDWOMLYLPGR 0D FU  0H XWLP]DYHüHYULMHGQRVWL0DFKRYRJEURMD.VHSRYHüDYD7RGDOMQMHSRYHüDQMHREMDãQMDYD VH GDOMQMLP VPDQMHQMHP VLOH X SUDYFX JLEDQMD ]ERJ QHPRJXüQRVWL ]UDND GD GRYROMQR EU]R RSVWUXMDYDSUHGQMLUXENULODãWRLPD]DSRVOMHGLFXQHGRYROMQLSRGWODNGDELVHGRELODSRWUHEQD VLODXSUDYFXJLEDQMD 8VXSHUVRQLFLL]OLQHDUQHWHRULMHNULOD]QDPRGDMH]DYULMHGQRVWL0DFKRYDEURMD

0D ! 0D /(

  FRV //(

QDSDGQL UXE NULODVXSHUVRQLþDQWH]UDNQHSUHOD]LRNRSUHGQMHJDUXEDNULODVMHGQHQDGUXJX VWUDQX NULOD =DWR QHPD QLNDNYH VLOH X SUDYFX JLEDQMD ,QGXFLUDQL RWSRU QDVWDMH VDPR NDR SRVOLMHGLFDSULUDVWDDNVLMDOQHVLOH]ERJSURPMHQHWODNDSRSRYUãLQLNULODXVOHGQDSDGQRJNXWD 8VOXþDMXSURILODSORþHWDMNRHILFLMHQWLQGXFLUDQRJRWSRUDL]QRVL

.& /

& 1 VLQ D 

,]RYHMHGQDGåEHGRELYDPR  

.

  & /D



1DJUDQLFDPDWUDQVRQLNHGYDVXHNVWUHPQDVOXþDMD x GR 0D FU NDGSRVWRMLVLODXSUDYFXJLEDQMD 6  RGJRYDUDMRM . x RG 0D /( NDGQHPDVLOHXSUDYFXJLEDQMD 6

 WDGDMH .

  & /D

 L S$



2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD

=D0DFKRYHEURMHYHXWUDQVRQLFL 0D FU  0D  0D /( SUHWSRVWDYOMDVHGDSRVWRMLGMHORPLþQR RSVWUXMDYDQMH SUHGQMHJ UXED  ! 6 !   3ULPLMHQLW üHPR VWRJD OLQHDUQX LQWHUSRODFLMX X WRP LQWHUYDOXDOLWDNRGD]DYULMHGQRVW 0D '' RGJRYDUD .   H$S D]D 0D /( MH . 

 & /D 

 & /D

 & /D

% .  H$S

$ 0D 0D''

0D

 FRV / /(



6OLND.RHILFLMHQW.XRYLVQRVWLR0DFKRYXEURMX  7R]QDþLGDMHXWRPLQWHUYDOX]D]DGDQL0DFKRYEURMNRHILFLMHQWOLQHDUQHLQWHUSRODFLMH 

[

0D  0D ''  0D /(  0D ''



WHMH . ]D]DGDQXYULMHGQRVW0DGDQRMHGQDGåERP 

.

§    · ¸¸   [ ¨¨  H$S © & /D H$S ¹



1DVOLFLSUHGVWDYOMHQDMHSURPMHQD . 0D 8VXEVRQLFL 0D  0D '' MH .  H$S 8 VXSHUVRQLFL ]D YULMHGQRVWL 0D ! 0D /( NDGDMHQDSDGQLUXENULODVXSHUVRQLþDQ .

 & /D 

.RQDþQR RG WRþNH $ GR WRþNH %  RVWDOD MH QHSR]QDWD SULMHOD]QD NULYXOMD 3RVOXåLW üHPR VH YULMHGQRVWLPDNRMHGRELYDPROLQHDUQRPLQWHUSRODFLMRPNRHILFLMHQWD.RGWRþNH$GRWRþNH% 

 6OLND6LPHWULþQLILNWLYQLYUWOR]L 

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD 



1DYHOLþLQXLQGXFLUDQRJRWSRUDXWMHþHLSULVXWQRVWWOD8WUHQXWNXSROLMHWDQMDLVOLMHWDQMD

WOR XWMHþH QD VOLNX RSVWUXMDYDQMD NULOD ,] JUDQLþQLK XYMHWD GD EU]LQD ]UDND SUL RSVWUXMDYDQMX NULODPRUDELWLWDQJHQFLMDOQDVWORP]DNOMXþXMHVHGDXWOXPRUDSRVWRMDW]DVYDNLHOHPHQWDUQL YUWORJNRMLVLOD]LVNULODRGJRYDUDMXüLLILNWLYQLYUWORJMHGQDNRJLQWHQ]LWHWDVXSURWQRJVPMHUDL VLPHWULþQH SR]LFLMH X RGQRVX QD VWYDUQL YUWORJ 7L ILNWLYQL YUWOR]L X]URNXMX SURPMHQH VOLNH RSVWUXMDYDQMDNULODDWR]QDþLGDPLMHQMDMXLX]JRQNULODLLQGXFLUDQLRWSRUNULOD,]PMHQHüH RYLVLWLRXGDOMHQRVWLNULODRGWOD*ODXHUWRYDWHRULMDXRYRPVOXþDMXGDMHRGQRV 

§ K· ¨ ¸ © E ¹   § K·   ¨ ¸ © E¹

& 'L JURXQG



& 'L



8WRMMHGQDGåELMHKYLVLQDNULODRGWODD E UDVSRQNULODQD]UDNRSORYX 3ULPMHU 0MHUHQMD X DHURWXQHOX RWSRUD L X]JRQD ]UDNRSORYD ORYFD SUL 0D

  L SUL UD]OLþLWLP

QDSDGQLPNXWRYLPDGDODVXRYHUH]XOWDWH &/ 















&' 















 /RYDF

    &'

  SROLQRP .SRODUD PMHUHQMH

  





 &/



6OLND6OLNDPMHUHQHSRODUHLXVNOD HQH 







2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD

1DWHPHOMXWLKPMHUHQMDWUHEDRGUHGLWLVWYDUQXSRODUXLSRODUXREOLND

& '   .& / 

&'

8  0$7/$%X QDSUDYOMHQ MH SURJUDP 3RODUDP NRML VH QDOD]L QD GLVNHWL X GLUHNWRULMX $HURGLQDPLNDVNRMLPMHQDFUWDQGLMDJUDPQDVOLFL1DMEROMLSROLQRPGUXJRJDUHGDMHVW

&'

   ˜ & /   ˜ & /

   ˜ & /    

7DMSROLQRPSUROD]LNUR]PMHUHQHWRþNH$NRåHOLPRREOLNEH]OLQHDUQRJþODQDSRQDSGQRP NXWXSRJRGDQ]DDQDOL]XSHUIRUPDQVLRQGDMHUH]XOWDW &'

   ˜ & / 

2YX SRODUX GRELW üHPD DNR VYDNRM WRþNL & '  & /  GRGDPR VLPHWULþQX WRþNX & '   & /  SD RGUHGLPRQDMEROMLSROLQRPGUXJRJUHGD]DVYHWRþNH 

1RUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD 1D SRþHWNX RYRJ SRJODYOMD YLGMHOL VPR GD ]D ]UDNRSORYQH NRQILJXUDFLMH DHURGLQDPLþNL NRHILFLMHQWQRUPDOQHVLOHLPRPHQWDSURSLQMDQMDLPDMXREOLN

 D  D



&1

I 1 D  D  T  G P 

&P

IP

 T  G P

$NR WH IXQNFLMH UD]YLMHPR X UHG GRELYDPR OLQHDUQX ]DYLVQRVW DHURGLQDPLþNRJ NRHILFLMHQWD QRUPDOQHVLOHLPRPHQWDSURSLQMDQMD 

&1

& 1R  & 1D D  & 1D D  & 1T T  & 1G P G P 





&P

& PR  & PD D  & PD D  & PT T  & PG P G P 



2YLP OLQHDUL]LUDQLP PRGHORP PRåHPR VH VOXåLWL DNR VX SDUDPHWUL D  D  T

L G P 

PDOHYHOLþLQHXRGQRVXQDLQWHUYDOXNRPHVHDHURGLQDPLþNLNRHILFLMHQWL & 1 L & P SRQDãDMX OLQHDUQR 7R XYLMHN YULMHGL ]D SXWQLþNH L WUDQVSRUWQH ]UDNRSORYH DOL ]D VSRUWVNH L ERUEHQH ]UDNRSORYHNRMLWUHEDMXYHOLNHPDQHYDUVNHVSRVREQRVWLWRWUHEDSURYMHULWL 1RUPDOQX VLOX NDR L DHURGLQDPLþNL PRPHQW SURSLQMDQMD ]UDNRSORYD VWYDUDMX VYL GLMHORYL ]UDNRSORYD NRPELQDFLMD NULORWLMHOR NRPELQDFLMD KRUL]RQWDOQL UHSWLMHOR  LOL NRPELQDFLMDFDQDULWLMHORXVOXþDMXFDQDUGNRQILJXUDFLMH LWLMHOR 

&1 &P

& 1 :%  & 1 K%  & 1 %  & P :%  & P K%  & P %



7RQDþHORVXSHUSR]LFLMHYULMHGLL]DQXOWHþODQRYHL]DJUDGLMHQWH7DNRMH]DQXOWHþODQRYH 

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD 

&1  &P



& 1  :%  & 1  K%  & 1  %  & P  :%  & P  K%  & P  % 



D]DJUDGLMHQWQDSULPMHUSRQDSDGQRPNXWX 

& 1D & PD

& 1D :%  & 1D K%  & 1D %  & PD :%  & PD K%  & PD % 



,VWRWDNRPRåHPRSLVDWLL]DGUXJHJUDGLMHQWHVDPRãWRJUDGLMHQWHSRRWNORQXNRUPLODYLVLQH VWYDUDVDPRNRPELQDFLMDKRUL]RQWDOQLUHSWLMHOR

& 1G P



& PG P

& & 1G P

K%

PG P

K%





=DWR üHPR ]D SRWUHEH QRUPDOQH VLOH LPRPHQWDSURSLQMDQMDDQDOL]LUDWLSRVHEQRNRPELQDFLMX NULORWLMHOR]DWLPKRUL]RQWDOQLUHSWLMHORLNRQDþQRVDPRWLMHOR 1RUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMDNRPELQDFLMH%: 7UHEDPR UD]OLNRYDWL QDSDGQL NXW NULOD D Z  RG QDSDGQRJ NXWD ]UDNRSORYD D  1DSDGDQL NXW NULOD PMHULPR RG DHURGLQDPLþNH EU]LQH GR NRUHQVNH WHWLYH D QDSDGQL NXW ]UDNRSORYD RG DHURGLQDPLþNH EU]LQH GR JODYQH RVL WURPRVWL  [  .DNR MH NRUHQVND WHWLYD SRVWDYOMHQD SRG NXWRP L Z SRVWDYQLNXWNULOD XRGQRVXQDRV[WURPRVWL]UDNRSORYDGRELYDPRYH]X DZ

D  L Z 

.DRãWRMHSR]QDWRL]DHURGLQDPLNHNULORVDQHVLPHWULþQLPSURILORPLPDQRUPDOQXVLOXNRMDMH OLQHDUQDSRQDSDGQRPNXWXNULOD D Z 

&1

& 1D D:  D : 

7DQRUPDOQDVLODNULODLPDVYRMXQDSDGQXWRþNXQDXGDOMHQRVWL " FZ RGYUKDOHWMHOLFH0RPHQW SURSLQMDQMD OHWMHOLFH þLQH PRPHQW WH VLOH NRML RYLVL R QDSDGQRP NXWX L VSUHJ SURSLQMDQMD

& P  Z NRMLQHRYLVLRQDSDGQRPNXWX.RHILFLMHQW & P  Z LNXW D  Z NDUDNWHULVWLNHVXNULOD NRMHRYLVHSULMHVYHJDRSURILOXD]DWLPLRREOLNXNULOD=DWDEOLþQHSURILOHSRVWRMHSRGDFLR

& P  SURI L D  SURI QSUOLW>@ $NRNULORQLMHXYLMHQRLLPDLVWLSURILOSRUDVSRQXRQGDMH D :

D  SURI 

$NRMHNULORXYLMHQRDWR]QDþLGDMHQDSDGQLNXWSURPMHQOMLYSRUDVSRQXRQGDWUHEDRGUHGLWL SURVMHþQLHNYLYDOHQWQLQDSDGQLNXW D HT NRMLGDMHLVWXQRUPDOQXVLOXNDRSURPMHQOMLY D  \  E

1 : D HT  ³ G1 D  



2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD

7DM SURVMHþQL QDSDGQL NXW D HT  SUHGVWDYOMD GLR SRVWDYQRJ NXWD NULOD 2EOLN NULOD YLWNRVW L VWULMHODQDSDGQRJUXED PLMHQMDVSUHJ & P  Z WHRQQLMHMHGQDN & P  SURI 8WMHFDMREOLNDNULOD PRåHVHSURFLMHQLWLSUHPDHPSLULMVNRMIRUPXOL

& P  Z & P  SURI



$ FRV  //(  $   FRV //(

=D NRPELQDFLMX NULORWLMHOR XVYRMLW üHPR GD MH & P  :%



& P  :  DOL VH & P  :  WUHED

L]UDþXQDWLSUHPDJRUQMRMMHGQDGåEL]DNULORVSRGWUXSQLPGLMHORP 8RGMHOMNXYLGMHOLVPRGDMHHNYLYDOHQWQLQDSDGQLNXWNULOD . %: D  N %: Z L:  D : 



U9  6: & 1D Z >. %: D  N %: L:  D : @  



D %:



ãWRGDMHQRUPDOQXVLOXNRPELQDFLMH 

1 %:

JGMH MH 6:   SRYUãLQD VDPRJ NULOD 7UHED QDSRPHQXWL GD NULOR VWYDUD MRã MHGQX QRUPDOQX NRPSRQHQWXXVSUH]LVWLMHORP1DLPHNULORLPDLDNVLMDOQXVLOX $Z

U9  6 Z & $ Z XSUDYFX 

WHWLYHNULODNDRQDVOLFL \ FW

"$ [$

EZ 

//( K& FU [& &:

[

:I

E

F$

 

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD



6OLND.RPELQDFLMDNULORWLMHOR  7DVLODLPDNRPSRQHQWX $Z VLQ L Z | $Z L Z XSUDYFXRVLWURPRVWL]SDMH 1 %:

U9  U9  6 Z & 1D Z >. %: D  N %: L Z  D : @  6 Z & $ Z L Z   



  6OLND1RUPDOQDVLODNRPELQDFLMHLDNVLMDOQDVLODNULOD U9  6 UHI  GRELYDPR NRHILFLMHQW QRUPDOQH VLOH NRPELQDFLMH 'LMHOMHQMHP V UHIHUHQWQRP VLORP  WLMHORNULOR 

& 1 %:

6Z ^& 1D Z >. %: D  N %: LZ  D  / @  & $ Z LZ ` 6 UHI



8 YHüLQL VOXþDMHYD RSUDYGDQR MH ]DQHPDULWL & $ Z  X RGQRVX QD & 1D Z  =DWR üHPR VH X GDOMQMHPUDGXNRULVWLNRHILFLMHQWRPQRUPDOQHVLOHNRPELQDFLMHWLMHORNULORXREOLNX 

6Z & 1D Z >. %: D  N %: LZ  D : @  6 UHI

& 1 %:



,]RYHMHGQDGåEHQDOD]LPRGDMHQXOWLþODQNRPELQDFLMHNULORWLMHOR 

& 1  %:

6Z & 1D Z N %: LZ  D :  6 UHI



6Z & 1D Z . %:  6 UHI



GDMHJUDGLMHQWSRQDSDGQRPNXWX 

& 1D %:

WHNRQDþQRGDMHJUDGLMHQWQRUPDOQHVLOHNRPELQDFLMHSRRWNORQXNRUPLODYLVLQH 

& 1G P

%:







2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD

MHUQRUPDOQDVLODNRPELQDFLMHNULORWLMHORQHRYLVLRRWNORQXNRUPLODYLVLQH .RRUGLQDWHQDSDGQHWRþNHQRUPDOQHVLOHNULOD 1 : LDNVLMDOQHVLOH $: XNRRUGLQDWQRP VXVWDYX]UDNRSORYDVX " P  " FZ   ] Z WHMHPRPHQWSURSLQMDQMDWLKVLOD]DRV\WURPRVWL ]UDNRSORYD

1 Z FRV L Z  $Z VLQ L Z " P  " FZ   1 Z VLQ L Z  $Z FRV Z ] Z   1Z LZ ]FZ

[)

" P  " FZ

$Z ])



6OLND3RORåDMQRUPDOQHLDNVLMDOQHVLOHNULOD  8RþLPRGDMHVYHMHGQRPMHULPROLXGDOMHQRVWLRGYUKDOHWMHOLFHLOLRGDHURGLQDPLþNRJVUHGLãWD MHUMHUD]OLNDXGDOMHQRVWLLVWD " P  " FZ

KP  KFZ 3RVWDYQLNXWNULOD L Z XYLMHNMHPDOLSDMH

PRPHQWRYLKVLOD

1 Z  $ZLZ " P  " FZ  1 ZLZ  $Z ] Z º ª $L L ] $Z ] Z 1 Z " P  " FZ «  Z Z  Z Z  1 Z " P  " FZ 1 Z " P  " FZ »¼ ¬

8YHüLQLVOXþDMHYDPRJXVH]DQHPDULWLþODQRYL $Z L Z  1Z

LZ ] Z  " P  " FZ

$Z ] Z  1 Z " P  " FZ

XRGQRVXQDMHGLQLFX7RVHPRåHSURYMHULWLXVYDNRPNRQNUHWQRPVOXþDMXWHDNRXYMHWQLMH LVSXQMHQPRJXVHX]HWLXRE]LUVYLþODQRYL5DGLMHGQRVWDYQRVWLSUHWSRVWDYLWüHPRXGDOMQMHP WHNVWX GD MH WDM XYMHW LVSXQMHQ SD MH PRPHQW SURSLQMDQMD ]UDNRSORYD RG DHURGLQDPLþNLK VLOD NULOD ]D VUHGLãWH PDVH ]UDNRSORYD ]EURM VSUHJD SURSLQMDQMD NULOD L PRPHQWD QRUPDOQH VLOH NRPELQDFLMHWLMHORNULOR 0 %:

0 R:  1 :% " P  " FZ 

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD U9  6 UHI F $ & P :% 



U9  U9  6 UHI F $ & P  :%  6 Z & 1D Z >. %: D  N %: L Z  D  / @" P  " FZ   

 'LMHOMHQMHP RYH MHGQDGåEH V UHIHUHQWQLP PRPHQWRP U 9 6 UHI F $  GRELYDPR NRHILFLMHQW



PRPHQWDSURSLQMDQMD]DVUHGLãWHPDVHRGNRPELQDFLMHWLMHORNULOR 

& P %: & P  :% 

6Z & 1D Z >. %: D  N %: LZ  D  / @"P  "FZ  6 UHI



.DGDMHQDSDGQLNXW]UDNRSORYDMHGQDNQXOLNRHILFLMHQWPRPHQWDSURSLQMDQMDMH 

& PR %:

6Z 6 UHI

>&  & P Z

1D

Z

N %: L Z  D  / " P  " FZ @



'HULYDFLMRP SR QDSDGQRP NXWX GRELYDPR JUDGLMHQW NRHILFLMHQWD PRPHQWD SURSLQMDQMD NRPELQDFLMHNULORWLMHOR

& PD %:





-DVQRMHGDMHGHULYDFLMD & PG P



%:

6Z . %: & 1D Z " P  " FZ  6 UHI



 MHUQRUPDOQDVLODSDLQMHQPRPHQWNRPELQDFLMHWLMHOR

NULORQHRYLVLRRWNORQXNRUPLODYLVLQH 1RUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMDNRPELQDFLMHK% 1RUPDOQDVLODKRUL]RQWDOQRJUHSDLPDGYDGLMHOD3UYLMHXVOLMHGQDSDGQRJNXWDQDNRPELQDFLML KRUL]RQWDOQL UHSWLMHOR D K  D GUXJL XVOLMHG RWNORQD XSUDYOMDþNLK SRYUãLQD G P  1DSDGQL NXW NRPELQDFLMH KRUL]RQWDOQL UHSWUXS ELW üH MHGQDN QDSDGQRP NXWX ]UDNRSORYD XPDQMHQRP ]D VDYLMDQMHVWUXMH H  D  H 



 6OLND1DSDGQLNXWKRUL]RQWDOQRJUHSD  JGMHMH H

wH D  L:  D : 8WRMNRPELQDFLMLKRUL]RQWDOQLUHSSRVWDYOMHQMHSRGNXWRP L K  wD

XRGQRVXQDWLMHOR3UHPDWRPHHNYLYDOHQWQLQDSDGQLNXWQDKRUL]RQWDOQRPUHSXMH



2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD

wH ª D  L:  D : º»  N %+ LK  . %+ «D  wD ¬ ¼

D %+





8 RYRM MHGQDGåEL QHPD QXOWRJ NXWD SURILODKRUL]RQWDOQRJUHSD]DWRãWRKRUL]RQWDOQLUHSLPD RELþQRVLPHWULþDQSURILO]DNRMLMH D  K

 

2EMHNRPSRQHQWHQRUPDOQHVLOHQDKRUL]RQWDOQRPUHSXLPDMXJXELWNH]ERJVPDQMHQRJ GLQDPLþNRJ WODND L]D NULOD 7DM JXELWDN X]LPDPR X RE]LU PQRåHQMHP GLQDPLþNRJ WODND V NRHILFLMHQWRP K K  .RPSRQHQWD ]ERJ RWNORQD XSUDYOMDþNH SRYUãLQH G P  LPD MRã GRGDWQH JXELWNH NUR] ]D]RU L]PH X QHSRNUHWQRJ GLR KRUL]RQWDOQRJ UHSD  L SRNUHWQRJ GLMHOD QRVHüH SRYUãLQHNRUPLORYLVLQH 7HJXELWNHX]LPDPRXRE]LUWLPHãWRGLQDPLþNLWODNWHNRPSRQHQWH VPDQMXMHPR PQRåHüL JD V MRã MHGQLP NRHILFLMHQWRP K VORW  NRML SURFMHQMXMHPR X VXEVRQLFL K VORW

 DXVXSHUVRQLFLMH]QDWQRPDQMLWHVHPRåHXSUYRMLWHUDFLML]DQHPDULWL K VORW

 

7DNR]DNOMXþXMHPRGDMHXNXSQDQRUPDOQDVLODNRPELQDFLMHKRUL]RQWDOQLUHSWLMHOR 1 K%

KK

 ­ U9  wH ª D  L:  D  / º»  N %+ LK ½¾  K9K VORW U9 6 K & 1G K G P  6 K & 1D K ® . %+ «D  wD   ¬ ¼ ¯ ¿

'LMHOMHQMHPRYHMHGQDGåEHVUHIHUHQWQRPVLORP

U9  6 UHI GRELYDPRNRHILFLMHQWQRUPDOQHVLOH 

]UDNRSORYDNRMLVWYDUDNRPELQDFLMDKRUL]RQWDOQLUHSWLMHOR 

& 1 K%

KK

6K 6 UHI

& 1D K ­® . %+ ª«D  wH D  L: wD

¬

¯

½ º  D  »  N %+ LK ¾  K VORW & 1G K G P   ¼ ¿

8RYRMMHGQDGåELMH & 1D K RGUH HQRXRGMHOMNXD . %+ MHRGUH HQR]DRGQRVSURPMHUD WUXSDQDPMHVWXKRUL]RQWDOQRJUHSDSUHPDUDVSRQXNRPELQDFLMHKRUL]RQWDOQLUHS±WUXSL N %+ X RGMHOMNX  .DGD MH WUXS PDORJ SURPMHUD QD PMHVWX KRUL]RQWDOQRJ UHSD RQGD VH RELþQR ]DQHPDUXMHNRHILFLMHQWLQWHUIHUHQFLMH . %: 

& 1 K%

KK

N %:

 WHMHWDGD

6K ­ wH ª D  L:  D   LK º»  K VORW & 1G K G P ½¾  ®& 1D K «D  6 UHI ¯ wD ¼ ¬ ¿



,]RYHMHGQDGåEHGRELYDPRGDMH 

& 1  K%

KK

6K & 1D K ª« wH L:  D   LK º»  6 UHI ¬ wD ¼



6K & 1D K §¨  wH ·¸  6 UHI © wD ¹





& 1D K%



&

1G P K%

KK

K9 K VORW

6K & 1G K  6 UHI



2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD



SD MH NRQDþQR NRHILFLMHQW QRUPDOQH VLOH KRUL]RQWDOQRJ UHSD ]D UHIHUHQWQL WODN L UHIHUHQWQX SRYUãLQX]UDNRSORYD 

& 1 K% & 1  K%  & 1D K% D  & 1G P K% G P 

 



%XGXüL GD QH SRVWRML VSUHJ RG KRUL]RQWDOQRJ UHSD MHU MH SURILO KRUL]RQWDOQRJ UHSD

RELþQRVLPHWULþDQPRPHQWSURSLQMDQMD]DVUHGLãWHPDVHRGKRUL]RQWDOQRJUHSDLPDWDNR HUWUL GLMHOD D WR VX PRPHQWL ]D VUHGLãWH PDVH RYD WULMX GLMHORYD QRUPDOQH VLOH 3UYL L GUXJL GLR QRUPDOQH VLOH QD UHSX & 1  K%   L & 1D K% D  LPDMX KYDWLãWH X QDSDGQRM WRþNL QRUPDOQH VLOH KRUL]RQWDOQRJ UHSD  QD XGDOMHQRVWL " FK  RG YUKD OHWMHOLFH  " FK SRVOLMH GLMHOMHQMD V UHIHUHQWQRP GXOMLQRPSURSLQMDQMD F $ =DWRMHSUYLGLRNRHILFLMHQWPRPHQWDSURSLQMDQMD]DVUHGLãWHPDVH RGSUYRJDGLMHODQRUPDOQHVLOHQDUHSX

& P K%



& 1  K% " FK  " P 



NDRLGUXJL

& PD K% D



& 1D K% D ˜ " FK  " P 



.RPSRQHQWD QRUPDOQH VLOH QD KRUL]RQWDOQRP UHSX XVOLMHG RWNORQD XSUDYOMDþNH SRYUãLQH G P  LPDKYDWLãWHQDXGDOMHQRVWL " GK RGYUKDOHWMHOLFHWHMHNRHILFLMHQWQMHQRJPRPHQWDSURSLQMDQMD

&



PG P

K%

GP



 & 1G P



K%

G P ˜ " GK  " P 



7DNR]DNOMXþXMHPRGDMHNRHILFLMHQWPRPHQWDSURSLQMDQMD]DVUHGLãWHPDVHRGKRUL]RQWDOQRJ UHSD 

& P K%



>& 1  K%  & 1D K% D @ ˜ " FK  " P  & 1G



K%

G P ˜  " GK  " P 



LOL  & P K% 

K9

6K ­ wH ª D  L:  D  Z  LK º» "FK  "P  K VORW & 1G K G P "GK  "P ½¾  ®& 1D K «D  6 UHI ¯ wD ¼ ¬ ¿  

7DMNRHILFLMHQWLPDWULGLMHOD3UYLMHNRQVWDQWDQ 

& P  K%

K9

6K & 1D K ª« wH L:  D  Z  L K º» " FK  " P  6 UHI ¬ wD ¼



'UXJLMHSURSRUFLRQDODQQDSDGQRPNXWX D DQMHJRYJUDGLMHQWMH 

& PD K%

K9

6K & 1D K §¨  wH ·¸" FK  " P  6 UHI © wD ¹

LWUHüLNRMLMHSURSRUFLRQDODQRWNORQXNRUPLODYLVLQH G P VJUDGLMHQWRP





2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD

&



K9 K VORW

PG P K%

6K & 1G K "GK  " P  6 UHI



*UDGLMHQW & 1G K KRUL]RQWDOQRJUHSDSRRWNORQXNRUPLODYLVLQHRGUHGLOLVPRXRGMHOMNX 8 VXSHUVRQLFL FLMHOL KRUL]RQWDOQL UHS MH NRUPLOR YLVLQH WH MH & 1G K " GK

& 1D K  D KYDWLãWH

" FK 

0RPHQWSURSLQMDQMDWLMHOD 1DSUHGQMHPGLYHUJHQWQRPGLMHOXWLMHODMDYOMDVHSR]LWLYQDQRUPDOQDVLODVLODX]JRQD DQD ]DGQMHPNRQYHUJHQWQRPGLMHOXMDYOMDVHQHJDWLYQDQRUPDOQDVLODQHJDWLYDQX]JRQ 7HGYLMH VLOHSULEOLåQRVXVOLþQHSDMHQMLKRYDUH]XOWDQWD]DQHPDULYDDOLRQHþLQHVSUHJNRMLWUHEDX]HWL XRE]LULNRMLMHSURSRUFLRQDODQQDSDGQRPNXWXWLMHOD7DMVSUHJPRåHPRSURFLMHQLWLSRPRüX HPSLULMVNHIRUPXOHSUHPD>@ 

& P %

.I

:% " % D F $ 6 UHI



" F Z "%

 6OLND.RHILFLMHQWVSUHJDSURSLQMDQMDWUXSD  : % L " % VXãLULQDLGXOMLQDWLMHODD . I MHNRHILFLMHQWNRMLRYLVLRRGQRVXXGDOMHQRVWLQDSDGQH

WRþNHNULODRGYUKD " F Z SUHPDXNXSQRMGXOMLQLWLMHOD " %  $NR WLMHOR QHPD ]DGQML NRQYHUJHQWQL GLR LOL DNR MH VXåHQMH QD ]DGQMHP GLMHOX PDOR RYDMHGQDGåEDQHGDMHUHDOQXSURFMHQX8WRPVOXþDMXWUHEDXSRWULMHELWLSURFMHQHL]OLW>@

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD



1XOWLþODQRYLLVWDFLRQDUQLJUDGLMHQWLQRUPDOQHVLOHLPRPHQWDSURSLQMDQMD 6DGDLPDPRVYHGLMHORYHQXOWLKþODQRYDLJUDGLMHQDWDSRQDSDGQRPNXWXLSRRWNORQXNRUPLOD YLVLQHRGNRHILFLMHQDWDQRUPDOQHVLOHLPRPHQWDSURSLQMDQMD 1XOWL þODQ QRUPDOQH VLOH MH ]EURM þODQRYD QRUPDOQH VLOH NRPELQDFLMH NULOR  WUXS MHGQDGåED LKRUL]RQWDOQLUHSWUXSMHGQDGåED 



& 1  :%  & 1  K% 

&1





6: & 1D Z N %: L:  D  /  K K 6 K & 1D K ª« . K% wH L:  D   N K% LK º»   wD 6 UHI 6 UHI ¬ ¼

&1 

1XOWLþODQNRHILFLMHQWDPRPHQWDSURSLQMDQMDWDNR HUMH]EURMMHGQDGåEHL 

& P  :%  & P  K% 

& P

 &P



6Z >&P Z  & 1D Z N %: LZ  D  / "P  "FZ @ 6 UHI 6 wH ª L:  D  Z  N K% LK º» "FK  "P  K9 K & 1D K «  . K% wD 6 UHI ¬ ¼







8JUDGLMHQWXQRUPDOQHVLOHQHVXGMHOXMHWLMHORYHüVDPRNRPELQDFLMDNULORWLMHORLNRPELQDFLMD KRUL]RQWDODQUHSWLMHORMHGQDGåEHL 

& 1D :%  & 1D K% 



6Z & 1D Z . %:  K K 6 K & 1D K . K% §¨  wH ·¸  6 UHI 6 UHI © wD ¹



& 1D

 

& 1D

8JUDGLMHQWXSRQDSDGQRPNXWXPRPHQWDSURSLQMDQMDVXGMHOXMXVYDWULGLMHOD & PD



& PD :%  & PD K%  & PD % 



7DMMH]EURMSUHPDMHGQDGåEDPDL 

& PD

6Z 6K :% " % § wH · & 1D K ¨  ¸"FK  "P  . I . %: & 1D Z "P  "FZ  K K   6 UHI 6 UHI F $ 6 UHI © wD ¹

8JUDGLMHQWXQRUPDOQHVLOHSRRWNORQXNRUPLODYLVLQHNDRLRGPRPHQWDSURSLQMDQMDVXGMHOXMH VDPRKRUL]RQWDOQLUHSMHGQDGåEHL   

& 1G P & PG P

&

1G P K%

&

PG P K%

6K & 1G K  6 UHI



6K & 1G K "GK  "P  6 UHI



K K K VORW

K KK VORW



2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD

2YH MHGQDGåEH ]D SURFMHQX GHULYDWLYD SRND]XMX QDP XWMHFDM YHOLþLQH L SRORåDMD NULOD L KRUL]RQWDOQRJ UHSD QD QMLKRYX YHOLþLQX  7RþQLMD SURFMHQD GHULYDWLYD & 1D  & PD  & 1G P L & PG P  PRåHVHQDüLXOLW>@L>@ *UDGLMHQWL]ERJSURPMHQMLYRJQDSDGQRJNXWD +YDWLãWH QRUPDOQH VLOH KRUL]RQWDOQRJ UHSD MH QD XGDOMHQRVWL " FK  " FZ  RG KYDWLãWD QRUPDOQH VLOHNULOD$NRMHEU]LQDOHWMHOLFH9RQGDMHSRWUHEQRYULMHPH 'W

" FK  " FZ  9

GD KRUL]RQWDOQL UHS GR H QD PMHVWR JGMH MH ELOR NULOR 'UXJLP ULMHþLPD QD KRUL]RQWDOQL UHS GROD]L]UDþQDVWUXMDNRMDMHELODQDNULOX 'W YUHPHQDSULMH1DSDGQLNXWQDKRUL]RQWDOQRPUHSX XWUHQXWNXWMH D W  H  LK  D VDYLMDQMH VWUXMH H  QD NRMH GROD]L KRUL]RQWDOQL UHS X WUHQXWNX W L]YHOR MH NULOR X WUHQXWNX W  'W SDMHNXWQDKRUL]RQWDOQRPUHSX

D W  H  LK

D W 

wH D Z W  'W  LK  wD



 6OLND'RGDWQLQDSDGQLNXWQDKRUL]RQWDOQRPUHSX 

D W  H  LK

D W 

wH >D W  D'W  D  Z  LZ @  LK wD

D W 

wH >D W  D  Z  LZ @  LK  wH D'W  wD wD

.DGDXVSRUHGLPRRYDMQDSDGQLNXWKRUL]RQWDOQRJUHSDXXYMHWLPDSURPMHQMLYRJ D W YLGLPR GD]ERJSURPMHQMLYRVWLQDSDGQRJNXWDSRVWRMLGRGDWQLQDSDGQLNXWQDKRUL]RQWDOQRPUHSXNRML GRVDGQLVPRX]HOLXRE]LU7DMGRGDWQLQDSDGQLNXW

2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD 'D K



wH " FK  " FZ D  wD 9

VWYDUDGRGDWQXQRUPDOQXVLOXSUHPDJRUHNRMDMHVXSURWQRJVPMHUDRGRVL]WURPRVWLOHWMHOLFH D F $ U9  6 UHI & =D  9

K K

U9  wH " FK  " FZ D 6 K & 1D K  wD  9

.UDüHQMHPGRELYDPR 

& =D

K K

6K & 1D K wH " FK  " FZ  wD 6 UHI F$



7D VLOD LPD QHJDWLYQL PRPHQW ]D VUHGLãWH PDVH RNR RVL \  WURPRVWL OHWMHOLFH 8GDOMHQRVW KYDWLãWDWHVLOHRGVUHGLãWDPDVHMH " FK  " P SDMHQMHQPRPHQW D F $ U9  6 UHI F $& PD  9

K K

U9  wH " FK  " FZ " FK  " P  D 6 K & 1D K wD  9

ãWRNUDüHQMHPGDMHJUDGLMHQW 

& PD

K K

6K & 1D K wH " FK  " FZ " FK  " P 6 UHI wD F$ F$

& =D KFK  KP 



*UDGLMHQWL]ERJNXWQHEU]LQHSURSLQMDQMD =ERJ NXWQH EU]LQH T RNR RVL  \  WURPRVWL VYL GLMHORYL ]UDNRSORYD VWYDUDMX NRþHüL PRPHQW 3UHPD OLQHDUQRM WHRULML NULOD NULOR LPD WUL GLMHOD PRPHQWD NRþHQMD YODVWLWL SRORåDMQL L PMHãRYLWL 9ODVWLWL MH RQDM PRPHQW NRþHQMD NRMLP VH NULOR VXSURWVWDYOMD URWDFLML RNR RVLNRMD SUROD]LNUR]KYDWLãWHQRUPDOQHVLOHNULOD3RORåDMQLMHRQDMNRMLRYLVLRXGDOMHQRVWLRVLURWDFLMH X UDYQLQL NULOD RG KYDWLãWD QRUPDOQH VLOH D PMHãRYLWL MH SRVOMHGLFD þLQMHQLFH GD PRPHQW NRþHQMD QLMH ]EURM YODVWLWRJ L SRORåDMQRJ .DGD SULPLMHQLPR WDM UH]XOWDW QD KRUL]RQWDOQL UHS RQGDMHSRORåDMQLPRPHQWNRþHQMDYUORYHOLN]ERJXGDOMHQRVWLUHSDRGVUHGLãWDPDVHXRGQRVX QDYODVWLWLSDLQDPMHãRYLWLPRPHQW.ULORLPDPDOLSRORåDMQLNRþHüLPRPHQW9ODVWLWLNRþHüL PRPHQWNULODEH]RE]LUDQDYHOLþLQXNULODRELþQRVHPRåH]DQHPDULWLXRGQRVXQDSRORåDMQL PRPHQW KRUL]RQWDOQRJ UHSD 7R ]QDþL GD MH GRYROMQR X]HWL X RE]LU VDPR SRORåDMQL PRPHQW KRUL]RQWDOQRJUHSD3URFMHQXWRJSRORåDMQRJPRPHQWDNRþHQMDKRUL]RQWDOQRJUHSDL]YRGLPR SUHPDVOLFL+YDWLãWHQRUPDOQHVLOHKRUL]RQWDOQRJUHSDNRMLMHQDXGDOMHQRVWL " FK  " P RG VUHGLãWDPDVHLPDEU]LQXSUHPDGROMH T " FK  " P ]ERJNXWQHEU]LQHTNUR]VUHGLãWHPDVH7R JLEDQMH KRUL]RQWDOQRJ UHSD ]DPMHQMXMHPRJLEDQMHP]UDNDSUHPDJRUHEU]LQRP T " FK  " P  9HNWRUVNL]EURMWLKGYLMXEU]LQD]UDNDVWYDUDGRSXQVNLQDSDGQLNXW



2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD T " FK  " P  9

'D



  6OLND+RUL]RQWDOQLUHSSULNXWQRMEU]LQLSURSLQMDQMD  7DM GRSXQVNL QDSDGQL NXW QD KRUL]RQWDOQRP UHSX X]URN MH GRSXQVNRM QRUPDOQRM VLOL SUHPD JRUHQDKRUL]RQWDOQRPUHSX TF U9  6 UHI & =T $ 9 

K K

T U9  6 K & 1D K " FK  " P  9 

ãWRNUDüHQMHPGDMHGHULYDWLYQRUPDOQHVLOHSRNXWQRMEU]LQLSURSLQMDQMD 

& =T

K K

6K & 1D K " FK  " P  6 UHI F$



+YDWLãWH WH VLOH X RGQRVX QD VUHGLãWH PDVH MH " FK  " P  SD MH JUDGLMHQW PRPHQWD ]D VUHGLãWH PDVH TF U9  6 UHI F $& PT $  9

U9  T  K K 6 K & 1D K " FK  " P   9

.UDüHQMHP QD OLMHYRM L GHVQRM VWUDQL GRELYDPR JUDGLMHQW PRPHQWD SR NXWQRM EU]LQL SURSLQMDQMD      

& PT

§ "  "P · 6 ¸¸ K K K & 1D K ¨¨ FK 6 UHI © F$ ¹



& =T KFK  KP 



2WSRUQRUPDOQDVLODLPRPHQWSURSLQMDQMD                   



%RþQDVLODPRPHQWVNUHWDQMDLPRPHQWYDOMDQMD



%2ý1$6,/$020(17,6.5(7$1-$,9$/-$1-$ %RþQDVLODLPRPHQWVNUHWDQMD  9LGMHOLVPRGDMHRSüLL]UD]]DDHURGLQDPLþNHNRHILFLMHQWHERþQHVLOHLPRPHQWDVNUHWDQMD &<



&Q

 E  U

&< E  U  S  G Q  G " &Q



 S GQ G"





2YH IXQNFLMH PRJX VH OLQHDUL]LUDWL UD]YLMDQMHP X UHG L ]DQHPDULYDQMHP PDOLK YHOLþLQD GUXJRJDLYLãHJDUHGD.XWNOL]DQMDQLMHYHOLNMHUSUHPDSURSLVLPDQHVPLMHELWLYHüLRG   UDGLMDQDNXWQHEU]LQH U L S VXPDOHDQHOLQHDUQRVWL]ERJSRYHüDQLKRWNORQDNULODFD G " L NRUPLODSUDYFD G Q X]HWüHPRSRVHEQRXRE]LU8YHüLQLVOXþDMHYDWLXYMHWL]DOLQHDUL]DFLMXVX LVSXQMHQLWHNRULVWLPROLQHDUQX]DYLVQRVWNRHILFLMHQWDYDOMDQMDRGSDUDPHWDUD 

&<

&@VWUL JHRPHWULMVNHNDUDNWHULVWLNH 

3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD



W

 

[W

 

LUH]XOWDWLPMHUHQMD]D 5H  ˜    F G PLQ



F "D





1DKRUL]RQWDOQRPUHSXQDOD]LVHNRUPLORYLVLQHSRFLMHORMGXOMLQLKRUL]RQWDOQRJUHSD

FG F

 

.RULVQDSRYUãLQDUHSD

EK  G K ˜ F    ˜ 

6K

 P  

9HUWLNDOQLUHS FU



FW

  

" 9

E9     / /( 



6XåHQMHYHUWLNDOQRJUHSD

FW FU

O

 

 

,]ORåHQDSRYUãLQDYHUWLNDOQRJUHSDMH F U  F W EY  

6Y

     P   

9LWNRVWYHUWLNDOQRJUHSD

$9

 ˜  

" 6

 ˜ 

 

$HURGLQDPLþNDWHWLYDYHUWLNDOQRJUHSDMH F$

 6Y

E

³ F \ G\ 



 



³    \ G\ 

 P 



$HURGLQDPLþNDDSVFLVDYHUWLNDOQRJUHSD

[ $9

E9

  O WDQ / /(    O

 ˜

   ˜    P     

3URILO YHUWLNDOQRJ UHSD MH LVWL NDR KRUL]RQWDOQRJ UHSD 6WULMHOD QDMYHüH GHEOMLQH YHUWLNDOQRJ UHSDMH





3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD

/W

§ F  FW DUFWJ ¨¨ WDQ / /(  [ W U EY  ©

· ¸¸ ¹

   · §  DUFWJ ¨ WJ     ¸    © ¹

6WULMHODVUHGQMHFUWHYHUWLNDOQRJUHSDMH /P

§ F  FW DUFWJ ¨¨ WDQ / /(   U EY  ©

· ¸¸ ¹

   · § DUFWJ ¨ WJ    ¸  © ¹

  

=UDNRSORY "P

E



F

 P  

"

 P

 P



3RYUãLQDNULODVDSRGWUXSQLPGLMHORP

6 UHI

˜

F  FW E  

   ˜   P   

=DLVKRGLãWHXYUKXNULOD

[$ F$

E

  O WDQ //(    O

 ˜

O º  6 UHI ª ˜ «  »  E ¬ O    ¼

   ˜    P     

  ª  º «  »  P    ¬     ¼

3RVWDYLWüHPRLVKRGLãWHXSRþHWDNDHURGLQDPLþNHWHWLYHNULODVDSRGWUXSQLPGLMHORP3UHPD SRGDFLPDWRLVKRGLãWHMHXGDOMHQRRGYUKDOHWMHOLFH "$

"  [$

    P 

KP

"P  " $

    P 

KP %U]LQLOHWD 9 

KP F$

 

 

 P V 

9LWNRVWNULODVSRGWUXSQLPGLMHORP

$5

E 6 UHI

 

2VZDOGRYNRHILFLMHQWLQGXFLUDQRJRWSRUDMH H

.

 HS$5

 1MHPXRGJRYDUD

  ˜ S ˜  



 

 

3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD



2WSRU .ULOR .RHILFLMHQWWUHQMDQDSORþLRYLVLRPMHVWXWUDQ]LFLMH " W LR5H\QROGVRYXEURMX  

FW SORFH

"W 

5H



OQ 5H



  "   W

5H\QROGVRYEURMMHVW

9F $ Q

5H

 ˜   ˜  

 ˜   

6RE]LURP GD MH 5H\QROGVRY EURM YHüL RG    VPDWUDüHPR GD MH JUDQLþQL VORM QD NULOX WXUEXOHQWDQ

F I



SORFH

OQ  ˜

 

 

.RUHNFLMD]ERJUHODWLYQHGHEOMLQH ))

· § §   ˜ W  ˜  · ¨¨    ˜   ¸     ˜ W  ¸¸ ¨  [P   ¹ ¹ © ©

=D PDOH YULMHGQRVWL 0DFKRYD EURMD QLMH SRWUHEQD NRUHNFLMD ]D VWODþLYRVW  )0D

  8 WRP

VOXþDMXMHNRHILFLMHQWRWSRUDSURILOD

FG "W )) )0D  F I



 ˜  ˜  ˜   

SORFH

2GQRVNRHILFLMHQWRWSRUDNULODSUHPDNRHILFLMHQWXRWSRUDSURILODRGUH HQMHNRHILFLMHQWRP

FRV / 

)6

FRV 

 

|  

.RQDþQRGRELYDPRNRHILFLMHQWRWSRUDNULOD]DUHIHUHQWQXSRYUãLQX 6 UHI

&

'I :

6: ˜ FG ˜ )6 6 UHI

 P  

 ˜  ˜    

7LMHOR 5H\QROGVRYEURMRGUH XMHPR]DGXOMLQXWLMHOD 5H

9" % Q

 ˜   ˜  

 ˜   

=ERJ HOLVH SUHWSRVWDYOMDPR GD MH FLMHOL JUDQLþQL VORM QD WLMHOX WXUEXOHQWDQ WH MH NRHILFLMHQW WUHQMD





3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD

F I





>OQ ˜  @

>OQ5H @



SORFH





 

(NYLYDOHQWQLSURPMHUNUXJDSRYUãLQHPDNVLPDOQRJSUHVMHNDWLMHODMH G  P SDMHYLWNRVW WLMHOD I

   7RMYLWNRVWLRGJRYDUDNRHILFLMHQWNRUHNFLMH]ERJREOLNDWLMHOD

))

I              I



2YDMNRHILFLMHQWREOLNDRGJRYDUDSUDYLOQRPURWDFLMVNRPWLMHOX.DELQDVHXJODYQRPXNODSDX REOLNSDWUHEDPDORSRYHüDWLWDMNRHILFLMHQW]ERJNDELQH]DDOL]ERJREOLNDSRSUHþQRJ SUHVMHNDNRMLQLMHNUXåDQWUHEDSRYHüDWLWDMNRHILFLMHQWREOLND]D ))

 ˜ ˜

 

.DR L ]D NULOR L RYGMH MH NRHILFLMHQW NRUHNFLMH ]ERJ VWODþLYRVWL )0D

  3URFMHQD MH

RSVWUXMDYDQHSRYUãLQHWLMHOD]UDNRSORYDYLGLSRGDWNHXSULORJX  6% .DRL]DNULORL]DWLMHORMH 4 %

& 'I

%

 SDMHRWSRUWUHQMDWLMHOD

6% F I 6 UHI



SORFD

 ˜  ˜  ˜ ˜   

)) )0D

ýHOQD SRYUãLQD YMHWUREUDQD  MH 6 IURQW N

 P  

  9MHWUREUDQ MH GREUR XNORSOMHQ X WLMHOR SD MH

 'RGDWQLYDOQLRWSRU]ERJYMHWUREUDQDSURFMHQMXMHPRQD

&9 %

N

6 IURQW 6 UHI



   

.RHILFLMHQWWODNDQHSRVUHGQRL]D]UDNRSORYDMH &S

  0D  

3RYUãLQDED]HMH 6 EDVH

  S 



    



 

 SDMHNRHILFLMHQWRWSRUDED]H

& ' EDVH

&S

6 EDVH 6 UHI



   

7DNRSURFMHQMXMHPRRWSRUWLMHOD

& ' % & I %  &9 %  & E %

      

+RUL]RQWDOQLUHS 3URILO KRUL]RQWDOQRJ UHSD MH 1$&$  3RGDFL VX X SULORJX 5H\QROGVRY MH EURM QD KRUL]RQWDOQRPUHSX 

3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD K K 9F $

5H



 ˜  ˜   ˜  

Q

  ˜   

3UHWSRVWDYOMDPR GD MH KRUL]RQWDOQL UHS X FLMHORVWL X WXUEXOHQWQRM VWUXML MHU MH QMHJRY 5H\QROGVRYEURMYHüLRG   

F I

 OQ 5H 

SORFH

.RUHNFLMD )) ]ERJUHODWLYQHGHEOMLQH W ))



 

>OQ ˜ @ 



 QDPMHVWX [ W

 MH

§ ·   ˜ W  ˜  § ·   ˜ W  ¸¸  ˜ ¨    ˜   ¸    ˜ ¨¨  [W  © ¹ © ¹

DNRUHNFLMD]ERJVWODþLYRVWLWDNR HUMH )0D UHSD

 F I

FG



SORFH

)0D ):

 WHMHNRHILFLMHQWRWSRUDSURILODKRUL]RQWDOQRJ

 ˜  ˜  ˜   

2GQRVNRHILFLMHQWDRWSRUDKRUL]RQWDOQRJUHSDSUHPDNRHILFLMHQWXRWSRUDSURILODMH

FRV /W  FRV  

)6

,]ORåHQDSRYUãLQDKRUL]RQWDOQRJUHSDMH 6 K UHSD]DUHIHUHQWQXSRYUãLQX 6 UHI

& 'I

K

 

 P  WHMHNRPSRQHQWDRWSRUDKRUL]RQWDOQRJ

  6K F G )6 6 UHI

  ˜    

9HUWLNDOQLUHS 5H\QROGVRYEURM]DYHUWLNDOQLUHSMH 5H

9F $ Q

 ˜   ˜  

 ˜   

9HUWLNDOQL UHS QDOD]L VH X YUWORåQRM VWUXML HOLVH SD MH QMHJRY JUDQLþQL VORM WXUEXOHQWDQ D NDUDNWHULVWLNHSURILODYHUWLNDOQRJUHSDLVWHVXNDR]DKRUL]RQWDOQLUHSSDMHNRHILFLMHQWRWSRUD SURILODYHUWLNDOQRJUHSDLVWLNDRLNRHILFLMHQWRWSRUDSURILODKRUL]RQWDOQRJUHSD

FG =D YHUWLNDOQL UHS MH /W

 

  SD MH RGQRV NRHILFLMHQWD RWSRUD YHUWLNDOQRJ UHSD SUHPD

NRHILFLMHQWXRWSRUDSURILODYHUWLNDOQRJUHSD )9



FRV /W  FRV  

 



3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD 69 ˜ FG ˜ )9 6 UHI

&

'I 9

 ˜  ˜    

2WSRUSRGYR]D ýHOQD SRYUãLQD MHGQRJ NRWDþD MH 6 IURQW

 ˜ 

 P   DOL VH YLGL VDPR SROD þHOQH

SRYUãLQHDGUXJDSRORYLFDMH]DNORQMHQDEODWREUDQRPþLMDMHþHOQDSRYUãLQDSULEOLåQRGYDSXWD YHüD =DWR MH 6 IURQW 6 IURQW

 P   ýHOQD SRYUãLQD MHGQH QRJH NRWDþD

   ˜ 

 ˜   P  8OHWXVXWULQRJHVNRWDþLPD=DWRMHRWSRUSRGYR]D

& ' NRWDþR

§ 6 IURQW 6 QRJH · ¸  N QRJH  ¨ N NRWDþR ¨ ¸ 6 6 UHI UHI ¹ ©

  · §  ˜ ¨    ¸   ¹ ©

 

2GSRGYR]DX]LPDPRXRE]LUVDPRRYDMYDOQLRWSRU 2WSRU]UDNRSORYD .RQDþQR]EURMSDUFLMDOQLKRWSRUDGDMHQXOWLRWSRUEH]X]JRQD ]UDNRSORYD

& ' :  & ' %  & ' K  & ' 9  & ' SRGYS]

& '2

           

1RUPDOQDVLODLPRPHQWDSURSLQMDQMD 3RVWDYLWüHPRLVKRGLãWHQDSRþHWDNDHURGLQDPLþNHWHWLYHNULOD .ULOR =DL]UDþXQJUDGLMHQWDNULODSRWUHEQLVXQDPNRHILFLMHQWVWODþLYRVWL E LNRHILFLMHQWLVNRULãWHQMD SURILOD3ULEU]LQLOHWD 9

 P V 0DFKRYEURMMH

0D

9 D

 

 

WHMHNRHILFLMHQWVWODþLYRVWL E

  0D 

*UDGLMHQW SURILOD 1$&$       MH F "D

/F 



 JUDGLMHQWX]JRQDQRUPDOQHVLOHNULOD

   

 

  WH MH ]D YLWNRVW NULOD $

  L VWULMHOX

3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD



S $

& /D :

§ S$ · ¸¸     ¨¨ © F "D ¹



S ˜ 

§ WJ /F  ¨  ¨ E © 

· ¸ ¸ ¹



 · § S ˜  · §  ¨ ¸ ¨  ¸  ¹ ©  ¹ ©

 

=DRGUH LYDQMHSRORåDMDKYDWLãWDVLOH & /D : D WUHEDMXQDPSDUDPHWUL O

  ˜   

$E

$ ˜ WJ/P

 ˜ 



3UHPDGLMDJUDPXQDVOLFL

KF

 

1RUPDOQDVLODNRPELQDFLMHNULORWLMHOR 6: >. %: D  N:% L:  D  / @  6 UHI

& 1 :% & 1D : =DRGQRV

GH E

G

 

 

YULMHGQRVWNRHILFLMHQWDLQWHUIHUHQFLMHRGUH XMHPRMHGQDGåEDPD

. %:



  G  OG ˜   G N:%

§   G ¨¨ ©  G



   ˜    ˜  ˜     



· ¸¸ . %: ¹



§    ˜  · ¨ ¸    ©    ¹

.XW QXOWRJ X]JRQD SURILOD 1$&$      MH D  /

   6 RYLP YULMHGQRVWLPD MH

HNYLYDOHQWQLQDSDGQLNXWNULOD

D HI

 · § . %: D  N %: L:  D  /  ˜ D   ˜ ¨ L:  ¸  ¹ ©

D HI

D   L:   

WHMHNRQDþQRNRHILFLMHQWQRUPDOQHVLOHNRPELQDFLMHNULORWLMHOR

& 1 :% & 1D :

6: D HI 6 UHI

& 1 :%

 ˜

 ˜ D   L:   

6SUHJ SURILOD 1$&$      MH F P  SRYUãLQX



 ˜  ˜ D   L:    

  WH MH VSUHJ NULOD VYHGHQ QD UHIHUHQWQX



3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD $: FRV /P 6 ˜ : $:   FRV /P 6 UHI

& P  : F P  SU



 ˜   ˜    ˜  

 

.RHILFLMHQW PRPHQWD SURSLQMDQMD NRPELQDFLMH NULORWLMHOR ]D VUHGLãWH PDVH NRMH MH XGDOMHQR

KP RGDHURGLQDPLþNRJLVKRGLãWDELWüH

& P %: & P :  & 1 %: K&: & P %:

 KP







  D   L:   ˜   KP 

   KP D     KP LZ     KP 

7LMHOR 2EOLN WLMHOD MH WDNDY GD PRåHPR ]DQHPDULWL UH]XOWLUDMXüX QRUPDOQX VLOX DOL PRUDPR X]HWL X RE]LUVSUHJRGQRUPDOQHVLOHSUHGQMHJL]DGQMHJGLMHODNRMLSURFMHQMXMHPRSUHPDMHGQDGåEL

& P %

. I : I / I F $ 6 UHI

D 

=DUHODWLYQLSRORåDMNULODQDWLMHOX

" &: /I

" :  F $ KF 

VGLMDJUDPDQDVOLFLGRELYDPR . I

   ˜  

 SDMH

 ˜   ˜  D  ˜ 

& P %

 

 D 

6DYLMDQMHVWUXMH ,]DNRPELQDFLMHULODSRYLMDQMHVWUXMHL]UDþXQDYDPRSRPRüXMHGQDGåEH





   $   $

      

GH GD

 . $ . O . + FRV / 





JGMHMH

.$

.O " FK  " FZ

" K 

  O 

FK § F ·  ¨" $  $ ¸  © ¹ .+ 



   ˜      

K E " FK  " FZ E 

 

   

 

 §  ·  ¨  ¸   ¹ ©  

 

3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD WDQ / 

WDQ / /(   ˜

F U  FW EY 



   ˜

   

 

  

/ 

WHMH



GH GD

 ˜  ˜  ˜  ˜ FRV  





 

+RUL]RQWDOQLUHS 1DSDGQLNXWQDKRUL]RQWDOQRPUHSXMH

GH D HI  GD

DK

D

DK

D   D   LZ   

DK

 D   LZ   

=DSURUDþXQJUDGLMHQWDQRUPDOQHVLOHSRQDSDGQRPNXWXWUHEDWüHQDPYHOLþLQH E  E

  K K 0D 

   ˜  

 P  6 K

  EK

=DSURILO1$&$]DNRMLMH F "D

 

 P   $K

 L /F 



ELWüHJUDGLMHQWNRHILFLMHQWDQRUPDOQH

& 1D K

S$K § S$K     ¨¨ © F "D

· ¸¸ ¹



S ˜  § WJ /F  ¨  ¨ E © 



· ¸ ¸ ¹

§ S ˜  ·  ¨ ¸    ©  ¹

 

+YDWLãWH NRPSRQHQWH & 1D K D  QRUPDOQH VLOH QDOD]L VH QD XGDOMHQRVWL RG DHURGLQDPLþNRJ VUHGLãWD KFD

K K   ˜ F $K KFD

     ˜   P  KFK F$

 

 

1RUPDOQDVLODQDKRUL]RQWDOQRPUHSX

& 1 K%

K KK VORW

6K 6 UHI

>& . 1D

K

%+

D K  N %+ L K  & 1G K G P @ 

.RHILFLMHQWL LQWHUIHUHQFLMH ]D NRPELQDFLMX KRUL]RQWDOQL UHSWLMHOR RYLVQR R RGQRVX SURPMHUD WLMHODSUHPDUDVSRQXKRUL]RQWDOQRJUHSDGRELYDPRL]MHGQDGåEL G



GH E

 

 



3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD

. %K



  G  OG ˜   G §   G ¨¨ ©  G

N:%



   ˜    ˜  ˜     



· ¸¸ . %: ¹



§    ˜  · ¨ ¸    ©    ¹

*UDGLMHQW QRUPDOQH VLOH QD KRUL]RQWDOQRP UHSX ]ERJ RWNORQD NRUPLOD YLVLQH RGUH XMHPR SRPRüXMHGQDGåEH

& 1G K

 ˜

6G 6K

§ & 1D ¨¨ © F "D

· ¸¸ & "G SURI FRV /+/ ˜ . I  ¹K

8VXEVRQLFLNDGMHXSUDYOMDþNDSRYUãLQDSRFLMHORPUDVSRQXQRVHüHSRYUãLQHRQGDMH =D

FG F

 L

W F

 VDVOLNHRþLWDYDPR & "G SURI

& 1G K

 ˜  ˜

6G 6K

 

 WHMH

 ˜  ˜ FRV  ˜ . I 

 ˜ . I 

6RYLPYULMHGQRVWLPDELWüHNRHILFLMHQWQRUPDOQHVLOHNRPELQDFLMHKRUL]RQWDOQLUHSWLMHOR

& 1 K%

 ˜  ˜

 ^ > D   LZ    LK @   . I G P `  

6UH LYDQMHPGRELYDPR

& 1 K%

D   LZ   LK     . I G P 

2YD VLOD LPD GYD GLMHOD 3UYL D   LZ   LK    RG KRUL]RQWDOQRJ UHSD EH] RWNORQDNRUPLODYLVLQHLGUXJL  . I G P RGRWNORQDNRUPLODYLVLQH3UYLGLRLPDKYDWLãWHX QDSDGQRMWRþNLQRUPDOQHVLOHKRUL]RQWDOQRJUHSD KFD

 'UXJLGLR]ERJRWNORQDNRUPLOD

YLVLQH NRML QD]LYDPR XSUDYOMDþND VLOD LPD QDSDGQX WRþNX QD XGDOMHQRVWL [G  XGDOMHQRVW QDSDGQH WRþNH RG DHURGLQDPLþNH DSVFLVH KRUL]RQWDOQRJ UHSD %XGXüL GD MH VUHGQMD DHURGLQDPLþNDDSVFLVDKRUL]RQWDOQRJUHSDMHGQDNDQXOLXGDOMHQRVW [G MHLVWRGREQRXGDOMHQRVW RG QDSDGQRJ UXED KRUL]RQWDOQRJ UHSD 8GDOMHQRVW KFG QDSDGQH WRþNH XSUDYOMDþNH VLOH RG DHURGLQDPLþNRJ LVKRGLãWD ]UDNRSORYD ELW üH ]EURM K K  XGDOMHQRVWL QDSDGQRJ UXED KRUL]RQWDOQRJ UHSD RG DHURGLQDPLþNRJ LVKRGLãWD ]UDNRSORYD L [G  XGDOMHQRVWQDSDGQHWRþNH RGQDSDGQRJUXEDKRUL]RQWDOQRJUHSD6DVOLNH]D

FG F

 RþLWDYDPR

[G F

 7DNR

GRELYDPRKYDWLãWHXSUDYOMDþNHVLOHQDXGDOMHQRVWLRGDHURGLQDPLþNRJLVKRGLãWD]UDNRSORYD



3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD

K K  FK

K FG

F$

[G F



     ˜  

 

.RHILFLMHQW PRPHQW SURSLQMDQMD KRUL]RQWDOQRJ UHSD ]D VUHGLãWH PDVH QD XGDOMHQRVWL KP  RG DHURGLQDPLþNRJVUHGLãWDOHWMHOLFHLPD

&P K%

 D   LZ   LK     KP   . I G P   KP 

6UH LYDQMHPGRELYDPR

& P K%

   KP D     KP . I G P 

    KP LZ     KP LK     KP



6WDFLRQDUQLNRHILFLMHQWQRUPDOQHVLOH]UDNRSORYD &1

& 1 :%  & 1 K% 

&1

D   L:    D   LZ   LK     . I G P 

&1

 D   . I G P   LZ   LK    &/DOID



GP 



GP 



















DOID

6OLND & / D G P ]DVOXþDM L:





 L LK

 

1D GLVNHWX X GLUHNWRULMX $HURGLQDPLND QDOD]L VH SURJUDP SRG LPHQRP &/DOIDP X 0$7/$%XNRMLFUWDIXQNFLMX & / D G P ]DVOXþDM L:



 L LK

 NDRQDVOLFL



3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD

6WDFLRQDUQLNRHILFLMHQWPRPHQWDSURSLQMDQMD]UDNRSORYD &P

& P :%  & P %  & P K% 

&P

   KP D     KP L Z     KP  D 

    KP D     KP . I G P 

    KP L Z     KP LK     KP

   KP ˜ D     KP ˜ . I G P 

&P

    KP ˜ LZ     KP ˜ LK     KP





 &PDOID

    

GP

















 

 















DOID



6OLND2YLVQRVWPRPHQWDSURSLQMDQMDRQDSDGQRPNXWXLRWNORQXNRUPLODYLVLQH]DVOXþDM

KP

 WH L:

 L LK

 

1D GLVNHWX X GLUHNWRULMX $HURGLQDPLND QDOD]L VH SURJUDP NRML VH ]RYH &PDOIDGHOWDP X 0$7/$%X NRML FUWD IXQNFLMX & P D G P  ]D VOXþDM KP

  L:

  L LK

  NDR QD

VOLFL 1HVWDFLRQDUQLJUDGLMHQWLQRUPDOQHVLOHLPRPHQWDSURSLQMDQMD ,]UDþXQDWüHPRQHVWDFLRQDUQHJUDGLMHQWH]DVOXþDMNDGDMH KP QDSDGQRJNXWD



 *UDGLMHQWLSRGHULYDFLML

3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD & =D



6K & 1D K wH KFK  KFZ  ˜  ˜  ˜  ˜      6 UHI  wD

K9

& =D KFK  KP      

& PD

*UDGLMHQWLSRNXWQRMEU]LQLSURSLQMDQMD K9

& =T

6K & 1D K KFK  KP  ˜  ˜       6 UHI  & =T KFK  KP      

& PT



%RþQDVLODLPRPHQWVNUHWDQMD 9HUWLNDOQLUHS 3URILOYHUWLNDOQRJUHSDLVWLMHNDRLSURILOKRUL]RQWDOQRJUHSDWHMHJUDGLMHQWQRUPDOQHVLOHSR QDSDGQRPNXWX

& 1D 9

=D

FG F

 L

S ˜ 

S $ § S$ · ¸¸     ¨¨ F © "D ¹

W F



§ WJ  / F  · ¨  ¸  ¨ ¸ E © ¹



 · § S ˜  · §  ¨ ¸ ¨   ¸ ©  ¹ ©  ¹

 VDVOLNHRþLWDYDPR & "G SURI

 

 WHJUDGLMHQWQRUPDOQHVLOHQD

YHUWLNDOQRPUHSX]ERJRWNORQDNRUPLODSUDYFDRGUH XMHPRSRPRüXMHGQDGåEH

& 1G 9

 ˜

6G 69

§ & 1D ¨¨ © F "D

· ¸¸ & "G SURI FRV / +/ ˜ . I ¹K

 ˜  ˜

  ˜ . I 

 ˜ . I 

3DUDPHWUL]DRGUH LYDQMHQDSDGQHWRþNHQRUPDOQHVLOHQDYHUWLNDOQRPUHSXVX $P

$ WDQ / P  ˜  

$E

$   0D  O

3UHPD GLMDJUDPX QD VOLFL  QDOD]LPR \ F ]D $P

  L  ]D $P

 ˜  



 

  D LQWHUSRODFLMRP L]PH X GLMDJUDPD 

   GRELYDPR ]D $P

  GD MH KF

  1DSDGQD WRþND

QRUPDOQHVLOHQDYHUWLNDOQRPUHSXLPDNRRUGLQDWH

]F

" F9

U9 

E9 \F 

" 9  [ $  F $ K&

   ˜ 

 P 

     ˜ 

 P 

1DSDGQDWRþNDQRUPDOQHVLOHRGRWNORQDNRUPLODSUDYFDQDOD]LVHQDXGDOMHQRVWLRGYUKD 



3ULPMHUSURFMHQHDHURGLQDPLþNLKNRHILFLMHQDWD

" G9 =D

FG F

=D G9

" 9  [ $9  F $9

[G F

     ˜   P 

 WHMHSUHPDGLMDJUDPXQDVOLFL    

[G F

 

 NRHILFLMHQWLQWHUIHUHQFLMHWLMHORYHUWLNDOQLUHSL]QRVL

  G  OG   G    ˜        

.9%

6NUHWDQMHVWUXMH *XELFL ]ERJ VDYLMDQMD VWUXMH X UDYQLQL NXWD NOL]DQMD ]DQHPDULYL VX MHU MH NULOR QLVNR SRVWDYOMHQR K9

wE 9 |  wE

%RþQDVLOD]UDNRSORYD &7 VLQ D 7  ) SV D  D 7 @

0)

LOL

0) Tf 6 UHI F $ 0) Tf 6 UHI F $

"

P

º ) SV "S ª  D  D 7 »  «  & '   . ˜ & / ˜ VLQ D 7  F$ Tf 6 UHI «¬ »¼

§  ·   ¸     ˜   ˜    ˜ D   ¨  ©  ¹

>

 ˜ D    

@

5DYQRWHåQLOHW 

5$9127(ä1,/(7,1-(*29$67$%,/1267 =UDNRSORYLLPDMXW]YSRODUQRXSUDYOMDQMH7UHEDMXOLXQHNRMUDYQLQLXþLQLWL]DRNUHWDWR]QDþL SURPLMHQLWL SUDYDF EU]LQH X WRM UDYQLQL RQL WR RVWYDUXMX YHNWRUVNRP UD]OLNRP VLOH X]JRQD L WHåLQH WM MHGDQ GLR VLOH X]JRQD VOXåL ]D NRPSHQ]DFLMX WHåLQH D GUXJL ]D SURPMHQX SUDYFD YHNWRUDEU]LQH=DWRVH]UDNRSORYLPRUDMX]DYDOMDWLGDELSRVWDYLOLVLOXX]JRQDWDPRJGMHWUHED D LVWRGREQR SRYHüDOL VLOX X]JRQD NROLNR WUHED 2GDWOH VOLMHGL GD MH SUREOHP  XSUDYOMLYRVWL SLWDQMH YHOLþLQH VLOH X]JRQD NRMX ]UDNRSORY PRåH RVWYDULWL .DR PMHUD XSUDYOMLYRVWL PRåH VH XSRWUHEOMDYDWL LOL PDNVLPDOQD VLOD X]JRQD LOL SULUDVW VLOH X]JRQD ]D MHGLQLþQL SULUDVW RWNORQD NRUPLODYLVLQH 

 5DYQRWHåQLOHW  'HILQLFLMDUDYQRWHåQRJOHWD 5DYQRWHåQL OHW LOL LVWULPDQD OHWMHOLFD NDNR VHþHVWRJRYRUL]QDþLGDVXPRPHQWLNRMLGMHOXMX RNR VUHGLãWD PDVH OHWMHOLFH X UDYQRWHåL WM GD MH UH]XOWLUDMXüL PRPHQW MHGQDN QXOL 8 WRP VOXþDMXOHWMHOLFDVHQHüHRNUHWDWLLOLDNRLPDQHNXNXWQXEU]LQXQHüHMHPLMHQMDWLMHUPRPHQWL ]DVUHGLãWHPDVHPLMHQMDMXNXWQXEU]LQX8YHüLQLVOXþDMHYDOHWWUDQVSRUWQLK]UDNRSORYDRGYLMD VH X RYLP XYMHWLPD LOL YUOR EOLVNR QMLPD 3UHPD WRPH PRåHPR UHüL GD X UDYQRWHåQRP OHWX PRUDELWL 0



1



/



8UDYQRWHåQRPOHWXUD]PDWUDPRGYDSRMPDVWDWLþNXVWDELOQRVWLXSUDYOMLYRVW  =EURMSRJRQVNHLDHURGLQDPLþNHVLOHLPRPHQWD 7UDåLPR NRPSRQHQWH ]EURMD SRJRQVNH VLOH L DHURGLQDPLþNH VLOH GXå RVL DHURGLQDPLþNRJ NRRUGLQDWQRJ VXVWDYD X OHWX EH] NXWD NOL]DQMD  E

  =DWR WUHEDPR QDüLNRPSRQHQWHRELMX

VLOD X WRP NRRUGLQDWQRP VXVWDYX 3RJRQVND VLOD LPD NRPSRQHQWH GXå RVL SRJRQD SUHPD SUHWKRGQRPSRJODYOMX 

);S

7

)P V @ 

9

Q

/ :

U9  6 UHI & /   PJ

=D PDNVLPDOQL RWNORQ NRUPLOD YLVLQH MH & /

 ˜    SUL ]HPOML L EU]LQRP OHWD

 >P V @ 

9

Q PD[

 ˜    ˜    ˜ 

 



 6WDELOQRVWUDYQRWHåQRJOHWD 5DYQRWHåQL OHW ELW üH VWDELODQ DNR VH RSHW XVSRVWDYLWL UDYQRWHåQL OHW NDNDY MH ELR NDG  QHNL YDQMVNLSRUHPHüDMOHWDQDUXãLWXUDYQRWHåXQSUXGDUX]GXåQRJYMHWUDXOD]DNXREODNJGMHMH SRYHüDQDJXVWRüDLGU 3RVWRMHGYLMHVWDELOQRVWLUDYQRWHåQRJOHWDX]GXåQDVWDELOQRVWLERþQD VWDELOQRVW =UDNRSORY MH X]GXåQR VWDELODQ DNR SRUHPHüDM QDSDGQRJ NXWD 'D  ]ERJ YDQMVNLK X]URND  VWYDUD SURPMHQD PRPHQWD SURSLQMDQMD NRMD QDVWRML SRQLãWLWL WDM SRUHPHüDM QDSDGQRJ NXWD 8 ERþQRP JLEDQMX ]UDNRSORYD SURPDWUDPR VWDELOQRVW VNUHWDQMD L YDOMDQMD 7DNR NDåHPR GD MH ]UDNRSORY ERþQR VWDELODQ DNR VH ]ERJ SRUHPHüDMD NXWD NOL]DQMD 'E  L LOL  SRUHPHüDMD NXWD YDOMDQMD 'I  SRMDYH SURPMHQH PRPHQDWD VNUHWDQMD '1  L YDOMDQMD '/  NRMH VPDQMXMXWHSRUHPHüDMHNXWDNOL]DQMDLNXWDYDOMDQMD





5DYQRWHåQLOHW   8YMHWLX]GXåQHVWDELOQRVWLUDYQRWHåQRJOHWD 9LGMHOLVPRGDWRþND$QDVOLFLSUHGVWDYOMDVWDQMHOHWMHOLFHWMQMHQQDSDGQLNXW]D]DGDQL NXWRWNORQDNRUPLODYLVLQH3UYRWUHEDXUDYQRWHåQRPOHWXSRWUHEDQMHSR]LWLYDQQDSDGQLNXW D UDY D]DWLPWDMUDYQRWHåQLNXWWUHEDELWLVWDELODQ =UDNRSORYWUHED]DVYDNXYULMHGQRVWRWNORQDNRUPLODYLVLQH G P LPDWLRGUH HQLQDSDGQL NXW D UDY ]DNRMLMHPRPHQWSURSLQMDQMDMHGQDNQXOL 

0   0 G G P  0 D D UDY 

7R]QDþLGDSRVWRMLUDYQRWHåDL]PH XGYDPRPHQWD 0   0 G G P L 0 D D UDY .DGOHWMHOLFDOHWL V WLP NXWRP D UDY  RQGD MH XNXSQL PRPHQW SURSLQMDQMD MHGQDN QXOL WM QHPD PRPHQWD SURSLQMDQMD OHWMHOLFD VH QH RNUHüH RNR RVL \ QDSDGQL NXW D UDY  VH QH PLMHQMD .DåH VH GD MH OHWMHOLFDXUDYQRWHåQRPOHWXLVWULPDQDOHWMHOLFD  3RVWDYOMD VH SLWDQMH MH OL OHWMHOLFD X OHWX V QDSDGQLP NXWRP D UDY  VWDELOQD 'UXJLP



ULMHþLPDDNRL]ELORNRMLKUD]ORJDQDVWDQHSRUHPHüDMQDSDGQRJNXWD 'D SDQDSDGQLNXWLPD QRYX YULMHGQRVW D

D UDY  'D  ãWR üH VH ]ELWL" =ERJ WRJ SRUHPHüDMD 'D  QDUXãHQD MH

UDYQRWHåDL]PH XGYDPRPHQWD 0   0 G G P L 0 D D 5H]XOWLUDMXüLPRPHQWSURSLQMDQMDQLMH MHGQDNQXOL=DSRUHPHüHQLQDSDGQLNXW D UDY  'D ELWüHWDMUH]XOWLUDMXüLPRPHQWSURSLQMDQMD 0

0   0 G G P  0 D D UDY  'D 

0H XWLPNDNRMH 0   0 G G P  0 D D UDY 0

 ELWüHQRYLPRPHQWSURSLQMDQMD 0 D 'D 

6YHRYLVLRSUHG]QDNXGHULYDWLYD 0 D $NRMH 0 D   RQGDQRYLPRPHQWSURSLQMDQMD0LPD VXSURWDQSUHG]QDNRG 'D 7DNRüHQRYLPRPHQWSURSLQMDQMD 0

0 D 'D NRMLMHQDVWDR]ERJ

SRUHPHüDMDQDSDGQRJNXWDELWLQHJDWLYDQXVOXþDMXSRYHüDQMDQDSDGQRJNXWDDWR]QDþLGDüH VPDQMLYDWL QDSDGQL NXW WM WHåLWL GD VH OHWMHOLFD YUDWL X SUYRELWQL SRORåDM D UDY  ,OL DNR MH SRUHPHüDMQDSDGQRJNXWDELRQHJDWLYDQPRPHQWSURSLQMDQMD 0

0 D 'D ELWüHSR]LWLYDQSD

üHSRYHüDYDWLQDSDGQLNXWWMRSHWüHWHåLWLGDYUDWLOHWMHOLFXXSUYRELWQLSRORåDM D UDY 7R]QDþL GD OHWMHOLFD VD 0 D    LPD VWDELODQ OHW V QDSDGQLP NXWRP D UDY  8 WRP VOXþDMX NDGD MH 0 D   GDELUDYQRWHåQLQDSDGQLNXW 

D UDY



0  0GGP   0D







5DYQRWHåQLOHW

ELR SR]LWLYDQ PRUD ELWL 0   0 G G P  SR]LWLYQR 7DNR GRELYDPR GYD XYMHWD ]D VWDELODQ UDYQRWHåQLQDSDGQLNXW 0D  



0   0GGP !  







  6OLND6WDWLþNDVWDELOQRVWLQHVWDELOQRVW



2YDNYX VWDELOQRVW X UDYQRWHåQRP OHWX ]RYHPR VWDWLþND VWDELOQRVW OHWD WM WR VX GYD  XYMHWD VWDWLþNHVWDELOQRVWLOHWD0H XWLPWRQLVXMHGLQLPRJXüLXYMHWLVWDELOQRVWLXUDYQRWHåQRPOHWX 'R VDGD VPR VPDWUDOL GD MH RWNORQ XSUDYOMDþNH SRYUãLQH G P  SURSRUFLRQDODQ RWNORQX



VDPR RWNORQX SLORWVNH SDOLFH WM GD MH L]UDYQR SRG NRQWURORP SLORWD $NR OHWMHOLFD QHPD VWDWLþNXVWDELOQRVWRQDPRåHELWLVWDELOL]LUDQDSRPRüXSRYUDWQHYH]H3RYUDWQDYH]DMHGRGDQL RWNORQ 'G P NRMLVH]EUDMDVRWNORQRP G P WDNRGDMHRWNORQXSUDYOMDþNHSRYUãLQH G P  'G P  ]EURMRWNORQD G P L]UDYQRRGSLORWDLGRGDQRJRWNORQD 'G P L]SRYUDWQHYH]H8WRPMHVOXþDMX PRPHQWSURSLQMDQMD 0

0   0 G G P  'G P  0 D D UDY  'D 0 G 'G P  0 D 'D 

MHULGDOMHYULMHGLMHGQDGåEDUDYQRWHåQHOHWMHOLFH 

0   0 G G P  0 D D UDY 7DMGRGDQLRWNORQ

L] SRYUDWQH YH]H 'G P  PRåH RVLJXUDWL GD RYDM UH]XOWLUDMXüL PRPHQW  0  EXGH VXSURWQRJ SUHG]QDND RG SRUHPHüDMD 'D  D WR ]QDþL GDVWDWLþNLQHVWDELOQDOHWMHOLFDVSRYUDWQRPYH]RP PRåHELWLVWDELOQD7DNYXVWDELOQRVWQD]LYDPRVLQWHWLþQDVWDELOQRVW 



5DYQRWHåQLOHW  8]GXåQDVWDWLþNDVWDELOQRVW 'D ELVPR SRYHüDOL QDSDGQL NXW ]UDNRSORYD WUHEDPR QHJDWLYDQ RWNORQ NRUPLOD YLVLQH .DGD VPRSURPLMHQLOLRWNORQNRUPLODYLVLQH G P  G P QRUPDOQDVLODSUHGVWDYOMHQDMHWRþNRP%QD JRUQMHPX GLMDJUDPX VOLNH  D SRMDYLR VH PRPHQW SURSLQMDQMD 0 %

I P D $  G P  RGUH HQ

RUGLQDWRP WRþNH % X GRQMHPX GLMDJUDPX LVWH VOLNH 7DM PRPHQW RNUHüH OHWMHOLFX L SRYHüDYD QDSDGQL NXW RG YULMHGQRVWL D $  GR YULMHGQRVWL D '  .DNR MH OHWMHOLFD VWDELOQD  0 D    SRYHüDQMH QDSDGQRJ NXWD 'D '0

D '  D $  VWYDUD GRGDWQL QHJDWLYQL DHURGLQDPLþNL PRPHQW

0 D 'D    SURSLQMDQMD WDNR GD OHWMHOLFD SRVWLåH QRYL UDYQRWHåQL SRORåDM SUHGVWDYOMHQ

WRþNRP ' X NRMRM MH 0 '

I P D '  G P   8 WRþNL ' PRPHQW SURSLQMDQMD MH RSHW QXOD L

OHWMHOLFDMHRSHWXUDYQRWHåQRPVWDQMXDOLVDGDMHQRUPDOQDVLODYHüDNDRãWRVHYLGLXWRþNL' X JRUQMHPX GLMHOX VOLNH 3UHOD]DN L] WRþNH $ X WRþNX ' SUHGVWDYOMD SULMHOD]QL SURFHV 2Q MH RSLVDQX]DGQMHPSRJODYOMXRYHNQMLJH 6WDWLþNL VWDELOQD OHWMHOLFH QD VYDNL ]DX]HWL RWNORQ XSUDYOMDþNLK SRYUãLQD SRVOLMH SULMHOD]QRJ SURFHVD ]DX]LPD QRYL UDYQRWHåQL SRORåDM X NRPH MH PRPHQW ]D VUHGLãWH PDVH MHGQDNQXOL.DGDSURPDWUDPROHWWUDQVSRUWQLK]UDNRSORYDWDGDQHPDYHOLNHLQDJOHSURPMHQH RWNORQDNRUPLODYLVLQHNDRãWRMHVOXþDMVERUEHQLPORYFLPDLOLDNUREDWVNLP]UDNRSORYLPD=D WUDQVSRUWQH ]UDNRSORYH X SUYRM LWHUDFLML PRåHPR XVYRMLWL GD VX RQL ]D YULMHPH OHWD VWDOQR X UDYQRWHåQRPVWDQMXDWR]QDþLGDMH 0

 RGQRVQRGDMHQDSDGQLNXWXYLMHNRYLVDQVDPRR

RWNORQXNRUPLODYLVLQH  1HXWUDOQDWRþND *UDGLMHQWUH]XOWLUDMXüHJPRPHQWDSRQDSDGQRPNXWX]EURMMHGYDMXJUDGLMHQDWD

0D



0 D)  T6F $ & PD 



2YDMSUYLXVOLMHGSRJRQVNHVLOHRGUH XMHVHSUHPDMHGQDGåEDPD 0 D)



§ wH ) S " P  " S ¨  X wD ©

· ¸ ¹



X NRMRM MH )S

)SV  " S

)S

" X MHGQDGåED NDG]UDNRSORYLPDPOD]QLPRWRU6DPRXVOXþDMXDNRMH

)SX  " S

" HOLVH  MHGQDGåED   NDG MH ULMHþ R SRJRQX SRPRüX HOLVH D

HOLVDLOLXOD]XPOD]QLPRWRUL]DVUHGLãWDPDVH " P  " S   RYDMþODQGRSULQRVLVWDELOQRVWL8 YHüLQLVOXþDMHYDRQLVXSR]LWLYQLWHDHURGLQDPLþNLJUDGLMHQWWUHEDELWLQHVDPRQHJDWLYDQQHJRL







5DYQRWHåQLOHW

PDQML RG QHNH QHJDWLYQH YULMHGQRVWL 7R ]QDþL GD QHJDWLYDQ JUDGLMHQW DHURGLQDPLþNRJ NRHILFLMHQWDPRPHQWDSURSLQMDQMD & PD   QHRVLJXUDYDSUYLXYMHWVWDELOQRVWL 0 D    *UDGLMHQWPRPHQWDSURSLQMDQMD 0 D NRMLWUHEDELWLQHJDWLYDQRYLVLRSRORåDMXVUHGLãWD PDVH 9LGMHOL VPR GD MH WDM JUDGLMHQW ]EURMSRJRQVNRJPRPHQWDLDHURGLQDPLþNRJPRPHQWD SURSLQMDQMD'LMHOMHQMHPVUHIHUHQWQLPPRPHQWRPGRELYDPR 0D T6 UHI F $



0 D)  & PD  T6 UHI F $



*UDGLMHQWDHURGLQDPLþNRJNRHILFLMHQWDPRPHQWDSURSLQMDQMD]UDNRSORYDLPDWULNRPSRQHQWH RGNULODKRUL]RQWDOQRJUHSDLWLMHODMHGQDGåEHL  & P$D



& PD :%  & PD K%  & PD I 



.DGD ]DPLMHQLPR YULMHGQRVWL ]D RYD WUL JUDGLMHQWD SUHPD MHGQDGåEDPD NRMH VPR L]YHOL X WUHüHPSRJODYOMXLXYHGHPRRSüXR]QDNXSRJRQVNLJUDGLMHQWGRELYDPR

)S § wH X · ¨  ¸ " P  " S  T6 UHI © wD ¹

0D T6 UHI F $

. I : I / I 6Z 6K § wH · & 1D K ¨  ¸"P  "FK  . %: & 1D : " P  "FZ  K9  6 UHI 6 UHI 6 UHI F $ © wD ¹ 3RVWRML MHGDQ SRORåDM VUHGLãWD PDVH ]D NRML MH 0 D





  1D]LYDPR JD QHXWUDOQD WRþND

8GDOMHQRVWQHXWUDOQHWRþNHRGYUKDSRGLMHOMHQXVDDHURGLQDPLþNRPWHWLYRPNULODR]QDþDYDPR VD " Q 'RELYDVHL]MHGQDGåEH )S § wH X · ¨  ¸ " Q  " S  T6 UHI © wD ¹





ª ) S § wH X · 6 Z 6 wH ·º § . :% & 1D :  K9 K & 1D K ¨  ¨  ¸ ¸»  " P  " Q  « 6 UHI wD ¹ 6 UHI © wD ¹¼» ¬« T6 UHI ©



 6 6 § wH · ¸ "Q  "FK  . I : I / I  Z .:% & 1D : "Q  "FZ  K9 K & 1D K ¨  6 UHI 6 UHI 6 UHI F $ © wD ¹



2GX]LPDQMHPRYHMHGQDGåEHRGSUHWKRGQHGRELYDPR

0D T6 UHI F $ .DNRMH

1D 

)1D  1 D$  § wH · U9 ) S ¨  X ¸  6 UHI wD ¹  ©

ª 6Z 6 wH ·º  § . :% & 1D :  K9 K & 1D K ¨  ¸»  « 6 UHI © wD ¹¼» ¬« 6 UHI

L]RYHGYLMH]DGQMHMHGQDGåEHGRELYDPR







5DYQRWHåQLOHW 0D T6 UHI F $



1D "P  "Q  T6 UHI



6DGVHMDVQRYLGLGDüHSUYLXYMHWVWDWLþNHVWDELOQRVWL 0 D   ELWLLVSXQMHQDNRMH

"P  "Q 





WMDNRMHVUHGLãWHPDVHLVSUHGQHXWUDOQHWRþNHâWRMHYLãHVUHGLãWHPDVHLVSUHGQHXWUDOQHWRþNH WR üH EROMH ELWL ]DGRYROMHQ XYMHW VWDWLþNH VWDELOQRVWL 3RORåDM QHXWUDOQH WRþNH RGUHåXMHPR L] MHGQDGåEHVUH LYDQMHPGRELYDPR . I : I / I )S § wH X · 6Z 6K § wH · & 1D K ¨  ¸ ˜ "FK  .:% & 1D : ˜ "FZ  K9 ¨  ¸˜ "S  6 UHI F $ wD ¹ T6 UHI © 6 UHI 6 UHI © wD ¹  )S § wH X · 6 Z 6K § wH · & 1D K ¨  ¸ .:% & 1D :  K9 ¨  ¸ T6 UHI © 6 UHI wD ¹ 6 UHI © wD ¹

"Q

 3ULPMHU 2GUHGLWüHPRQHXWUDOQXWRþNXPDORJSXWQLþNRJ]UDNRSORYDRGMHOMDN  8GDOMHQRVWQHXWUDOQHWRþNHRGYUKDOHWMHOLFHVHOLVQLPSRJRQRPGRELYDPRL]XYMHWDGD MH ]D QHXWUDOQX WRþNX ]EURM JUDGLMHQDWD SRJRQVNRJ PRPHQWD L DHURGLQDPLþNRJ PRPHQWD SURSLQMDQMDMHGQDNQXOL

0 D)  0 D



LOL

0 D)  &PD T6 UHI F $



8 SULPMHUX L] RGMHOMND  L]UDþXQDOL VPR NRHILFLMHQW SURSLQMDQMD SRJRQVNRJ PRPHQWD ]D PDOLSXWQLþNL]UDNRSORY

0) Tf 6 UHI F $

)SV Tf 6 UHI

D  D 7 "P  " S 

D]DQHXWUDOQXWRþNXMHNRHILFLMHQWWRJPRPHQWD

0) Tf 6 UHI F $ 1MHJRYJUDGLMHQWELWüH " 3

)SV Tf 6 UHI

D  D 7 "Q  " S 

 

0 D) Tf 6 UHI F $

)SV Tf 6 UHI

"

Q

 " S  ˜ "Q 

$HURGLQDPLþNLPRPHQWSURSLQMDQMDL]UDþXQDQMHXRGMHOMNX







&P

5DYQRWHåQLOHW

   KP ˜ D     KP ˜ . I G P 

    KP ˜ LZ     KP ˜ LK     KP



%H]RE]LUDQDWRNROLNLVXSRVWDYQLNXWRYL L: L LK ELWüHJUDGLMHQWDHURGLQDPLþNRJPRPHQWD SURSLQMDQMD &PD

   KQ 

8NXSQLJUDGLMHQWPRPHQWDSURSLQMDQMD]DQHXWUDOQXWRþNXPRUDELWLMHGQDNQXOL

 " Q    KQ   ,]MHGQDNRVWL

"Q  " $ F$

KQ

"Q 

 

"Q   

]DPMHQRPXJRUQMXMHGQDGåEXGRELYDPR

&  " Q    ˜ " Q  







" Q   7R]QDþLGDMHQHXWUDOQDWRþNDXGDOMHQDRGYUKD

"Q

"Q F $

 ˜   P 

$NRVHVUHGLãWHPDVHQDXGDOMHQRVWLRGYUKDOHWMHOLFH " P

"Q  "P

   

 P RQGDMH

 

7R ]QDþL GD SRVWDYQL NXWRYL NULOD L KRUL]RQWDOQRJ UHSD QHPDMX XWMHFDMD QD SRORåDM QHXWUDOQH WRþNH   %RþQDVWDWLþNDVWDELOQRVW 8 UDYQLQL VLPHWULMH ]UDNRSORYD SR]LWLYQL PRPHQW SURSLQMDQMD 0 SRYHüDYD SR]LWLYQL QDSDGQL NXW DOL X SRSUHþQRM UDYQLQL SR]LWLYQL PRPHQW VNUHWDQMD VPDQMXMH SR]LWLYQL NXW VNUHWDQMD 3UHWSRVWDYLPRGD]UDNRSORYOHWLSUDYRFUWQREH]NXWDNOL]DQMDLEH]YDOMDQMDWM E 2WNORQNRUPLODSUDYFDQHNDMHQXOD G Q

S

T

U

 L I

 

 8WDNYRPSUDYRFUWQRPOHWXNXWQHEU]LQHVXQXOD

  8 WRP OHWX DHURGLQDPLþNL PRPHQWYDOMDQMDLVNUHWDQMDNDRLRGSRJRQVNHVLOH

MHGQDNL VX QXOL 1HND MH X MHGQRP WUHQXWNX ]DSXKQXR ERþQL YMHWDU WDNDY GD VH SRMDYLR NXW NOL]DQMD E !   NDR QD VOLFL  .DR SRVOMHGLFD WRJD NXWD MH SRMDYOMXMH VH DHURGLQDPLþNL PRPHQWYDOMDQMDLPRPHQWDVNUHWDQMD





5DYQRWHåQLOHW /$



1

$

U9  6 UHI E& "E E   U9  6 UHI E& QE E 



NDRLSRJRQVNLPRPHQWLSUHPDMHGQDGåEDPDL /) 1)

XNRMLPDMH]DHOLVQLPRWRU ) S

)S E ] S 

 )S E " P  " S 

) SV  " S

" HOLVD D]DPOD]QLPRWRU ) S

)SX  " S

" X 

[

9: 9N 9:

9 E

\

& QE E & QG Q G Q

GQ ! 



6OLND=UDNRSORYLERþQLYMHWDU



8YMHWMHERþQHVWDWLþNHVWDELOQRVWLGD]EURMPRPHQDWDVNUHWDQMD 1$ 1)

U9  6 UHI E& QE E  )S " P  " S E  

EXGH SR]LWLYDQ NDNR  EL VYRMLP GMHORYDQMHP VPDQMLYDR QDVWDOL NXW NOL]DQMD E  3UHPD NRQYHQFLMLSUHG]QDNDGDELPRPHQWVNUHWDQMD 1 $  1 ) VPDQMLYDRQDVWDOLNXWNOL]DQMD E !   RQWUHEDELWLSR]LWLYDQDWR]QDþLGDPRUDELWL







5DYQRWHåQLOHW U9  6 UHI E& QE  ) S " P  " S !   

LOL 

& QE !

.DNRMHSUHPDMHGQDGåEL & QE

&

QE 9%

) S " P  " S U9  6 UHI E 





 & QE :%  & QE I 

3UHPDMHGQDGåEDPDL

&



QE 9%

K9

69 & 1D 9 .9% wE9 " &9  " P  6 UHI E wE

&



QE

I



9I 'I : I 6 UHI E



GRNMH & QE :% SURSRUFLRQDOQRNYDGUDWXNRHILFLMHQWDX]JRQD K9

) "  " 9 ' wE9 69 & 1D 9 .9% ˜ " &9  " P  & QE :% ! S P S   I I  ˜ wE 6 UHI E : I 6 UHI E U9 6 UHI 

2YDM XYMHW QLMH WHãNR LVSXQLWL RGJRYDUDMXüLP GLPHQ]LRQLUDQMHP SURGXNWD 69 " &9  " P  YHUWLNDOQRJ UHSD NRML QD]LYDPR YROXPHQ YHUWLNDOQRJ VWDELOL]DWRUD 7DM SURGXNW ODNR XGRYROMDYDLVWURåLMHPXYMHWX K9

) "  " 9 ' wE9 69 & 1D 9 .9% ˜ " &9  " P ! S P S   I I  ˜ wE 6 UHI E : I 6 UHI E U9 6 UHI 

=DGLPHQ]LRQLUDQMHYHUWLNDOQRJUHSDSRVWRMHMRãWHåL]DKWMHYLNRMHüHPRUD]PRWULWLXSRJODYOMX RXSUDYOMLYRVWLERþQRJJLEDQMD  



 8SUDYOMLYRVWXUDYQRWHåQRPOHWX  8SUDYOMLYRVWXX]GXåQRPJLEDQMX 6LODX]JRQDPLMHQMDSUDYDFEU]LQHWHRQDSUHGVWDYOMDXSUDYOMDþNXVLOX 

/

,PDWULNRPSRQHQWH 



)1   T6& 1   )1D  T6& 1D  T6& $ D  T6& /G G P 



5DYQRWHåQLOHW x SUYDMHNRQVWDQWQD 

U9  6 UHI & 1   

) F VLQ J

EU]LQVNRJNRRUGLQDWQRJVXVWDYDMH : 9

>9

  @  D NXWQD EU]LQD 7

7 F FRV J @ SDVXNRPSRQHQWHXEU]DQMD

J

XEU]LQVNRPNRRUGLQDWQRPVXVWDYX 

D

a  : 9 99

ª9 º ª  « » « «  »  « F FRV J «  » «¬  J ¬ ¼

 F FRV J

J

º ª9 º F VLQ J »» ««  »»  »¼ «¬  »¼

  F VLQ J

7 ª 9 º » « «9F FRV J »  «  9J » ¼ ¬



 .RPSRQHQWHVLOD & 3RJRQVNDVLOD ) LPDNRPSRQHQWHXNRRUGLQDWQRPVXVWDYXOHWMHOLFH )

>7 FRVD 7

 7 VLQ D 7 @  7

7HåLQDOHWMHOLFHLPDNRPSRQHQWHXQRãHQRPNRRUGLQDWQRPVXVWDYX

>

:2

 :@  7

$HURGLQDPLþNDVLODXDHURGLQDPLþNRPNRRUGLQDWQRPVXVWDYXLPDNRPSRQHQWH

5$

> '

  /@  7

3URMHNFLMHYHNWRUVNHMHGQDGåEHJLEDQMDELWüHQDRVLEU]LQVNRJNRRUGLQDWQRJVXVWDYD

ª 9 º « » P «9 FRV J F » «  9J » ¬ ¼



ª7 FRV D 7 º ªº ª ' º « » « » / 9) «  »  / 92 «  »  / 9$ ««  »»  «¬7 VLQ D 7 »¼ «¬: »¼ «¬  / »¼



3RGVMHWLPRMRãMHGQRPQDWRGDVXEU]LQDOHWDLDHURGLQDPLþNDEU]LQDMHGQDNH]DWRãWRQHPD YMHWUDWHMHRV[DHURGLQDPLþNRJLEU]LQVNRJNRRUGLQDWQRJVXVWDYD]DMHGQLþND2V ] $ QDOD]LVH X UDYQLQL VLPHWULMH ]UDNRSORYD D RV ]9  X YHUWLNDOQRM UDYQLQL 2QH þLQH NXW P $  X UDYQLQL RNRPLWRMQDEU]LQXNRMLPMHULPRRGEU]LQVNHRVL ]9 GRDHURGLQDPLþNHRVL ] $ 3UHPDWRPHX EU]LQVNLL]DHURGLQDPLþNRJNRRUGLQDWQRJVXVWDYDGROD]LVHURWDFLMRPRNR[]DNXW  P $  

/ 9$

/ ;  P $ 



0DWULFXWUDQVIRUPDFLMHXEU]LQVNLL]NRRUGLQDWQRJVXVWDYOHWMHOLFHGRELWüHPRSRVUHGQRSUHNR DHURGLQDPLþNRJNRRUGLQDWQRJVXVWDYD /9) 

/9$ / $)  



5DYQRWHåQLOHW

8DHURGLQDPDþNLL]NRRUGLQDWQRJVXVWDYDOHWMHOLFHGROD]LVHSRVOLMHGYLMHURWDFLMH3UYDMHRNR RVL  \ ]D NXW  D  D ]DWLP RNR RVL ] ]D NXW E  6 RE]LURP GD WUDåLPR MHGQDGåEH JLEDQMD X DWPRVIHULEH]YMHWUDXVYDMDPRGDMHNXWNOL]DQMD E / $)

 WHMH

/ <  D 

=DWRMHNRQDþQR 

/9)

/9$ / $)

/ ;  P $ / <  D 



UDYDQ VLPHWULMH OHWMHOLFH

  6OLND5DYDQVLPHWULMH]UDNRSORYDLYHUWLNDOQDUDYDQNUR]EU]LQX



0DWULFDWUDQVIRUPDFLMHXEU]LQVNLL]QRãHQRJDNRRUGLQDWQRJVXVWDYD / 92



/ < J / = F 



3RPRüXWLKPDWULFDPDGRELWüHPRNRQDþQRMHGQDGåEXJLEDQMDVUHGLãWDPDVHOHWMHOLFH

ª 9 º « » P «9 FRV J F » «  9J » ¬ ¼

ª ' º ªº ª7 FRV D 7 º » » « « / ;  P $ / <  D «  »  / < J / = F «  »  / ;  P $ «« . »»  «¬  / »¼ «¬: »¼ «¬ 7 VLQ D 7 »¼

0QRåHQMHPPDWULFDGRELYDPRVNDODUQHMHGQDGåEH

P9

7 FRV D 7 FRV D  7 VLQ D 7 VLQ D  : VLQ J  ' P9 FRV J F 7 FRV D 7 VLQ D VLQ P $  7 VLQ D 7 FRV D VLQ P $  / VLQ P D   P9J 7 FRV D 7 VLQ D FRV P $  7 VLQ D 7 FRV D FRV P $  : FRV J  / FRV P D 



5DYQRWHåQLOHW 1D RVQRYX WRJD GRELYDPR SROD]QH MHGQDGåEH ]D L]XþDYDQMH SHUIRUPDQVL ]UDNRSORYD X DWPRVIHULEH]YMHWUD

7 FRVD 7  D  : VLQ J  ' P9 FRV J F >/  7 VLQD 7  D @ VLQ P D P9



P9J

>/  7 VLQD 7

 D @ FRV P D  : FRV J





7HVPRMHGQDGåEHPRJOLLL]UDYQRLVSLVDWL3URPDWUDMPRVOLNXXUDYQLQLVLPHWULMHOHWMHOLFH

/

[ D

7 VLQD 7  D

9

D 7 7 FRVD 7  D 7

]$



6OLND8]JRQLSRJRQXUDYQLQLVLPHWULMH]UDNRSORYD



6RE]LURPQDWRãWRQHPDNXWDNOL]DQMDEU]LQDMHXUDYQLQLVLPHWULMHOHWMHOLFHSDSRJRQVNDVLOD NRMD MH WDNR HU X UDYQLQL VLPHWULMH OHWMHOLFH LPD NRPSRQHQWX 7 FRVD 7  D  GXå EU]LQH L 7 VLQD 7  D RNRPLWRQDEU]LQXGXåRVL ]9 NDRQDVOLFL7DNRVHGXåRVL ] $ XUDYQLQL

RNRPLWRM QD EU]LQX VOLND   QDOD]L VLOD /  7 VLQD 7  D  D WD VH VLOD UD]ODåH QD GYLMH NRPSRQHQWHQDNRPSRQHQWXXYHUWLNDOQRMUDYQLQL >/  7 VLQD 7  D @ FRV P $ LQDKRUL]RQWDOQX NRPSRQHQWX >/  7 VLQD 7  D @ VLQ P $  /  7 VLQD 7  D

>/  7 VLQD 7  D @FRV P $ >/  7 VLQD 7  D @VLQ P $ P$ ]$ ]9

 6OLND3URMHNWLUDQMHXUDYQLQLRNRPLWRMQDEU]LQX 





5DYQRWHåQLOHW

8 YHUWLNDOQRM UDYQLQL NRPSRQHQWD >/  7 VLQD 7  D @ FRV P $  RNRPLWD MH QD EU]LQX 8 WRM UDYQLQLGMHOXMHLWHåLQD:NRMDVHUD]ODåHNDRQDVOLFLQDNRPSRQHQWH : VLQ J QDSUDYDF EU]LQHDOLVXSURWQRJDVPMHUDL : FRV J RNRPLWRQDEU]LQXGXåRVL ]9 

>/  7 VLQD 7  D @FRV P $ [Y

: VLQ J '

[9

: FRV J J : ]9



6OLND9HUWLNDOQDUDYQLQDNUR]EU]LQX



6LODRWSRUD ' XSUDYFXMHDOLVXSURWQRJDVPMHUDRGEU]LQH.DGD]EURMLPRWRUD]ODJDQMHVLOD GRELYDPRLVWHMHGQDGåEHNRMHVPRGRELOLSRPRüXPDWULFDWUDQVIRUPDFLMD  9H]DL]PH XNXWRYDYDOMDQMD 3RVWRML YH]D L]PH X NXWD YDOMDQMD DHURGLQDPLþNRJ NRRUGLQDWQRJ VXVWDYD P $  L NXWD YDOMDQMD ]UDNRSORYD I 0RåHPRMHGRELWLL]MHGQDNRVWL / 9)



/ 92 / 2) 



LOL

 FRV D VLQ D º ª « VLQ D VLQ P FRV P $  FRV D VLQ P $ »» $ « «¬ VLQ D FRV P $ VLQ P $ FRV D FRV P $ »¼ ªFRV J FRV F FRV J VLQ F  VLQ J º ªF-F\ «  VLQ F  »» «« F-V\ FRV F « «¬ VLQ J FRV F VLQ J VLQ F FRV J »¼ «¬  V-

 FIV\  VIV-F\ FIF\  VIV-V\ VIF-

VIV\  FIV-F\ º  VIF\  FIV-V\ »» »¼ FIF-



,]MHGQDþDYDQMHPþODQRYDGUXJRJDUHWNDQDOLMHYRMLGHVQRMVWUDQLSRVOLMHPQRåHQMDGRELYDPR WULMHGQDGåEH VLQ D VLQ P $ FRV P $





FRV - VLQ \  F 

FRV I FRV \  F  VLQ I VLQ - VLQ \  F 

5DYQRWHåQLOHW  FRV D VLQ P $

 VLQ I FRV \  F  FRV I VLQ - VLQ \  F 

$NRGUXJXMHGQDGåEXSRPQRåLPRVD VLQ I DWUHüXVD FRVI WHLK]EURMLPRGRELYDPR FRV P $ VLQ I  FRV D VLQ P $ FRV I

VLQ - VLQ \  F 

(OLPLQDFLMRP VLQ \  F L]RYHLSUYHMHGQDGåEHGRELYDPR

FRV P $ VLQ I  FRV D VLQ P $ FRV I

VLQ D VLQ P $ WJ- 

RGDNOHMH

WJP $



VLQ I  FRV D FRV I  VLQ D WJ-

2YXMHGQDGåEXL]YHOLVPR]DVOXþDMNDGDMHNXWNOL]DQMD E DNRMHX] E

 LQDSDGQLNXW D



 6DGYLGLPRGDMH P $

I VDPR

 ãWRMHORJLþQR 

-



-



-



 6OLND5D]OLND I  P $ RYLVQRRNXWXYDOMDQMD I 



3UHPD WRM MHGQDGåEL QD VOLFL  MH SULND]DQD UD]OLND I  P $  X RYLVQRVWL R NXWX YDOMDQMD OHWMHOLFH I  NDGD QHPD YMHWUD L NXWD NOL]DQMD  ]D VOXþDM NDGD MH QDSDGQL NXW MHGQDN GHVHW VWXSQMHYD D   D]DWULVOXþDMDNXWDSURSLQMDQMD]UDNRSORYD   0RGHOJLEDQMDVUHGLãWDPDVH 0RGHOJLEDQMDVUHGLãWDPDVHRGUH HQMHMHGQDGåEDPD

7 FRVD 7  D  : VLQ J  ' P9 FRV J F >/  7 VLQD 7  D @ VLQ P D P9



P9J 

>/  7 VLQD 7

 D @ FRV P D  : FRV J









5DYQRWHåQLOHW

%XGXüL GD MH L X HNVWUHPQLP XYMHWLPD UD]OLND I  P $  PDOD RELþQR VH X MHGQDGåEDPD ]DPMHQMXMHNXWYDOMDQMDDHURGLQDPLþNRJNRRUGLQDWQRJVXVWDYD P $ VNXWRPYDOMDQMDOHWMHOLFD

I 8WRPVOXþDMXVXSROD]QHMHGQDGåEH]DUD]PDWUDQMHSHUIRUPDQVL]UDNRSORYD 7 FRVD 7  D  : VLQ J  ' P9 FRV J F >/  7 VLQD 7  D @ VLQ I P9



P9J

>/  7 VLQD 7

 D @ FRV I  : FRV J





'UXJRSRMHGQRVWDYOMHQMHSURL]OD]LL]þLQMHQLFHãWRVHNRQVWUXNFLMRP]UDNRSORYD D 7 ELUDWDNR GDXKRUL]RQWDOQRPOHWXEXGHSRJRQVNDVLODXSUDYFXEU]LQHOHWDDWR]QDþLGDMH D 7

D UDY 

*RUQMHMHGQDGåEHRQGDLPDMXMHGQRVWDYQLMLREOLN G9 7  '  : VLQ J GW GJ P9 / FRVI  : FRV J  GW GF P9 FRV J / VLQ I GW P





.DGDRGUH XMHPRSHUIRUPDQVH]UDNRSORYDRELþQRVHVOXåLPRRYLPPRGHORP8WRPPRGHOX XVYDMDPR GD MH ]UDNRSORY X UDYQRWHåQRP OHWX ãWR ]QDþL GD MH XNXSQL PRPHQW SURSLQMDQMD MHGQDNQXOLRGDNOHMH

D UDY

0 0 G  G P   0D  0D

WHMHVLODX]JRQDRYLVQDVDPRRNRUPLOXYLVLQH /



/  /D D UDY  /G G P 



 3URJUDPJLEDQMD]UDNRSORYDXUDYQRWHåQRPOHWX %ORNVKHPDSURJUDPD]DL]UDþXQDYDQMHSXWDQMHVUHGLãWDPDVH]UDNRSORYDXUDYQRWHåQRPOHWX SULND]DQDMHQDVOLFL=DNRQNUHWDQ]UDNRSORYWUHEDSULMHVYHJDQDSUDYLWLPRGHOPRWRUDWM RGUHGLWL RYLVQRVW UDVSRORåLYH SRJRQVNH VLOH 7D  R EU]LQL OHWD L SDUDPHWULPD RNROQH DWPRVIHUH JXVWRüH U  L WHPSHUDWXUH ]UDND 7 R  D SRJRQVND VLOH ELW üH RYLVQD R YHOLþLQL SDUDPHWUD SRORåDMDUXþLFHSRJRQD  G 3 LRWRMUDVSRORåLYRMVLOL 7D  8 RYRP PRGHOX ]DQHPDUXMHPR ERþQH NRSRQHQDWH SRJRQVNH VLOH SD VX NRPSRQHQWH SRJRQVNHVLOHGXåRVL]UDNRSORYD

)







>7 FRVD 7

 7 VLQ D 7 @  7



5DYQRWHåQLOHW DNRPSRQHQWHSRJRQVNRJPRPHQWDVXQXOHMHUMH ] S

 -HGDQWDNDYPRGHOPRWRUD]DPDOH

]UDNRSORYHVHOLVRPQDOD]LVHXSULORJX&DPRGHODWPRVIHUHQDOD]LVHXSULORJX% 8RYRMVKHPLNRULVWLVHMHGQRVWDYDQPRGHODHURGLQDPLNH '



/

U9  6 UHI & '   .& /   U9  6 UHI & / 



XNRPHMHNRHILFLMHQWVLOHX]JRQDRYLVLVDPRRRWNORQXNRUPLODYLVLQH 

&/

& /   & /D

§ &P &  ¨¨ & /G P  PG  & PD ©  & PD

· ¸¸G P  ¹



 I  G3  G P

7

ª9 º «J » « » «F » « » « [ » « \ » « » « K » «¬P »¼

G9 GW GJ GW GF GW

7 FRVD7  D U '   J VLQ J P P /  7 VLQ D 7  D U J FRV J FRV I  P9 9 /  7 VLQD 7  D U VLQ I P9 FRV J

G[ 9 FRV J FRV F GW G\ 9 FRV J VLQ F GW GK 9 VLQ J GW GP & 3 3PRW GW

PRGHO PRWRUD U 7 

K

PRGHO DWPRVIHUH U D D UDY

'/

0RGHO DHURGLQDPLNH

0   0GG P  0D D UDY  G P



6OLND%ORNVKHPD]UDNRSORYDNDRPDWHULMDOQDWRþND



.RHILFLMHQWL & '   .  & /   & /D  & /G P  & P   & PD L & PG  PRJX ELWL IXQNFLMH 0DFKRYD EURMD 0D 9 D  .XW YDOMDQMD I  L RWNORQ NRUPLOD YLVLQH G P  WUHEDMX GRüL V SDOLFH XSUDYOMDQMD D

SDUDPHWDUPRWRUD G 3 VSHGDOHVQDJHPRWRUD  



Performanse zrakoplova

8-1

8 PERFORMANSE ZRAKOPLOVA Pod pojmom performanse letjelica razumijevamo neke općenite karakteristike leta u uvjetima zadane energije letjelice kao što su na primjer daljina do koje može zrakoplov letjeti, vrijeme koje može zrakoplov provesti u zraku, maksimalna zakrivljenost putanje, optimalna brzina letjelice i drugo. U svim tim slučajevima ne zanima nas ni stabilnost letjelice, niti njeno ponašanje u određenom trenutku (kao što su npr. njihanja letjelice).

8.1 Horizontalni let 8.1.1 Režim leta Ako zrakoplov leti u atmosferi bez vjetra, horizontalno ( γ = 0) i pravocrtno (χ& = 0 ) , onda iz jednadžbi gibanja 7.61 dV = T − D − W sin γ dt dγ mV = L cosφ − W cos γ dt dχ mV cos γ = L sin φ dt m

8.1

slijedi da mora biti:

L sin φ = 0 L cosφ = W

8.2

Iz njih zaključujemo da za horizontalni pravocrtni let kut valjanja φ zrakoplova mora biti jednak nuli, a normalno opterećenje (load factor) mora biti jednako jedinici:

φ =0 n =1

8.3

Kako je L=

ρV 2 2

SC L = W ,

8.4

2W . ρS

8.5

slijedi da u horizontalnom letu mora biti V 2C L =

Performanse zrakoplova

8-2

Svaka kombinacija moguće brzine i mogućeg napadnog kuta koja ispunjava ovaj uvjet horizontalnog leta naziva se režim horizontalnog leta, a iz tog uvjeta za horizontalni let slijedi da je brzina leta ovisna o izabranom koeficijentu uzgona: 2W 1 , ρS C L

V=

8.6

ili obrnuto, da za izabranu brzinu leta slijedi odgovarajući koeficijent sile uzgona. Međutim, treba uzeti u obzir da zrakoplov ne smije letjeti brzinom manjom od 2W , ρS ref C L max

Vstall =

8.7

kojoj odgovara najveći mogući koeficijent uzgona, koji zrakoplov postiže pri najvećem dopuštenom napadnom kutu. Za manje brzine bi napadni kut trebao biti još veći, no tada nastaje pad koeficijenta uzgona. Prema tome, mogući su režimi leta brzinom V > Vstall 8.1.2 Potrebna sila ili potrebna snaga

Ako želimo dodatno da horizontalan pravocrtan let bude i stacionaran, tj. da brzina leta bude konstantna, onda treba biti ispunjen i treći uvjet da pogonska sila bude jednaka otporu: T =D Tu potrebnu pogonsku silu, za izabrani režim leta, označavamo sa Tr (Thrust required). Potrebna sila pomnožena s brzinom leta daje potrebnu snagu. Pri određivanju performansi zrakoplova služit ćemo se jednostavnom polarom zrakoplova te će potrebna sila biti određena jednadžbom Tr = D =

ρV 2 2

S (C D 0 + K C L2 )

U tim jednadžbama, za potrebnu silu ili potrebnu snagu, imamo i koeficijent uzgona C L i kvadrat brzine leta V (odnosno kub ako je u pitanju potrebna snaga).. Da bismo dobili potrebnu pogonsku silu, odnosno potrebnu snagu, ovisno samo o brzini leta eliminirat ćemo koeficijent uzgona iz uvjeta da je u horizontalnom letu C L = Tr = D =

ρS 2

C D 0V 2 + 2

2W : ρV 2 S

KW 2 1 ρS V 2

8.8

Kako je otpor zraka D u horizontalnom letu ovisan samo o brzini leta V, možemo odrediti režim leta pri kome je potrebna pogonska sila Tr minimalna. Taj problem se može

Performanse zrakoplova

8-3

matematički formulirati tako da se traži minimum funkcije Tr (V ) u ovisnosti o brzini leta V. Izjednačavanjem s nulom derivacije jednadžbe 8.8 po brzini V, dobivamo:

ρS 2

C D 0 2V − 4

KW 2 1 =0 ρS V 3

Uz pomoć drugog uvjeta za horizontalni let W = L i poslije sređivanja dobivamo:

KC L2 = C D 0 ,

8.9

Slika 8-1 Potrebna pogonska sila Tr , nulti otpor D0 i inducirani otpor Di

što znači da je u režimu za minimalnu silu inducirani otpor jednak otporu pri nultom uzgonu. Kada iz ove jednadžbe odredimo koeficijent uzgona CL =

C D0 , K

8.10

jednadžba za horizontalni let daje nam brzinu leta u tom režimu. Važno je uočiti da je potrebna sila ili potrebna snaga karakteristika letjelice, što je neka vrsta aerodinamičke kvalitete letjelice. Aerodinamički je bolja ona letjelica koja ima manju potrebnu snagu ili manju potrebnu silu. Potrebna snaga Pr (Power required) bit će određena jednadžbom

Pr = VD =

ρS 2

V 3 (C D 0 + K C L2 )

Performanse zrakoplova

8-4

koja također predstavlja zbroj snage koji je potreban da se svlada parazitski otpor i snage da se svlada inducirani otpor. Kao i za potrebnu silu, postoji režim leta kada je potrebna snaga Pr u minimumu. Eliminacijom koeficijenta uzgona iz uvjeta za horizontalni let:

V 2C L =

2W ρS

dobivamo ovisnost potrebne snage samo o brzini: Pr = DV =

ρS 2

C D 0V 3 + 2

KW 2 1 ρS V

8.11

Slika 8-2 Potrebna snaga Pr = VD , snaga VD0 i VDi za "mali" zrakoplov

Derivacijom po brzini leta potrebne snage dobivamo: d (DV ) ρS KW 2 1 = C D 0 3V 2 − 2 ρS V 2 dV 2

Uočimo da je prvi član na desnoj strani 3D0 , a drugi točno Di . Izjednačavanjem ove derivacije s nulom i korištenjem drugoga uvjeta za horizontalni let L = W dobivamo: 3

ρV 2 2

SC D 0 =

KL2 , ρV 2 S 2

ili KC L2 = 3C D 0 .

8.12

Performanse zrakoplova

8-5

To znači da je u režimu leta za minimalnu potrebnu snagu inducirani otpor jednak trostrukoj vrijednosti otpora pri nultom uzgonu.

Kada smo odredili koeficijent uzgona C LP koji

odgovara ovom režimu leta, CL =

3C D 0 . K

8.13

Brzinu leta nalazimo iz uvjeta L = W za horizontalni let: V=

2 gm 1 ρS C L

8.14

Tijekom leta smanjuje se masa zrakoplova zbog potrošnje goriva, pa će i brzina potrebna za horizontalan let opadati. Međutim ta promjena mase nije velika. Obično je krajnja masa oko 80% od početne, pa je krajnja brzina oko 0.9 od početne. Za tako mali pad brzine leta ne mijenja se C D 0 kao ni koeficijent K, pa koeficijent uzgona C L ostaje konstantan.

Slika 8-3 Raspoloživa i potrebna sila.

8.1.3 Raspoloživa sila ili snaga

S druge strane, imamo pogon i njegove karakteristike. Ako je pogon zrakoplova pomoću elise, onda motor daje neku snagu Pmot elisi koja razvija raspoloživu pogonsku snagu Pa (Power available): Pa = η P ⋅ Pmot

8.15

Performanse zrakoplova

8-6

Ova jednadžba nam omogućuje da odredimo i raspoloživu silu kombinacije elisa-motor: Ta =

η P ⋅ Pmot V

8.16

U prilogu C nalazi se opisan postupak određivanja snage jednog tipičnog zrakoplovnog motora u ovisnosti o tlaku i temperaturi okolnog zraka, za razne režime rada motora. Posebno je pitanje koeficijenta učinkovitosti elise

η P . On ovisi o parametru J = V /(nD ) ; D je

promjer diska elise, a n je broj okretaja elise u sekundi. Kad odredimo raspoloživu silu Ta (V ) ili raspoloživu snagu ovisno Pa (V ) o brzini, možemo ih usporediti s potrebnom silom Tr (V ) ili potrebnom snagom Pr (V ) , kao na slici 8-3 i 8-4. Iz te usporedbe dobivamo interval mogućih brzina leta od Vmin do Vmax s obzirom na pogon.

Slika 8-4 Raspoloživa i potrebna snaga. Ako zrakoplov ima mlazni motor, onda je raspoloživa sila jednaka maksimalnoj pogonskoj sili mlaznog motora o kojoj je bilo riječi u odjeljku 6.4.4. 8.1.4 Ovojnice

Horizontalni let moguć je samo kada je Ta ≥ Tr = D

ili

Pa ≥ Pr = DV

Da bi se odredila najmanja i najveća moguća brzinu leta iz ove jednadžbe, promatrat ćemo najveću raspoloživu snagu motora pri maksimalnom broju okretaja motora. Ta snaga prema

Performanse zrakoplova

8-7

dijagramu C-2 (prilog C) ovisi o tlaku okolnog zraka i pada kada taj tlak pada. Isto tako otpor ovisi o gustoći okolnog zraka. Prema tome najmanja i najveća moguća brzina bit će različite za razne visini leta jer su tlak i gustoća različiti. Dijagram koji nam daje Vmin i Vmax ovisno o visini za standardnu atmosferu predstavlja karakteristiku zrakoplova. Svakako se na taj dijagram moraju unijeti i druga ograničenja, kao npr. Vstall , koje je iz istih razloga različito na raznim visinama. Izjednačavanjem raspoložive potrebne sile Tr i raspoložive sile Ta u uvjetima standardne atmosfere, dobivamo jednadžbu iz koje možemo izračunati Vmin i Vmax ovisno o visini leta H :

η (J )

Pmot (H ,V ) ρS KW 2 1 = C D 0V 2 + 2 V ρS V 2 2

8.17

Isto se tako iz jednadžbe L = W , za najveći mogući koeficijent uzgona C L max , izračunava Vstall ovisno o visini, jer gustoća zraka ovisi o visini: Vstall =

2W ρS ref C L max

8.18

Slika 8-5 Ovojnica za "mali" zrakoplov Za "mali" zrakoplov nacrtane su krivulje Vmin (H ) , Vmax (H ) i Vstall (H ) na slici 8-5 . Jasno je da zrakoplov ne smije letjeti s brzinom koja je manja od Vmin (H ) ili Vstall (H ) , niti može letjeti

Performanse zrakoplova

8-8

s brzinom koja je veća od Vstall (H ) . Zato ove krivulje predstavljaju teoretske ovojnice područja režima leta zrakoplova. 8.1.5 Dolet zrakoplova (Breguetova jednadžba)

Dolet zrakoplova jest daljina do koje zrakoplov može letjeti kad se uzme u obzir njegova specifična potrošnja goriva i količina goriva koju nosi. Za vrijeme leta masa zrakoplova m umanjuje se za potrošeno gorivo. Neka je dm promjena mase u vremenskom intervalu dt. Ta promjena mase dm jednaka je produktu vremena dt i derivacije mase po vremenu m& . Ako sa dR označimo element puta, za vrijeme promjene mase dm, onda je duž tog elementarnog puta dR Vdt V = = dm m& dt m&

8.19

Jasno je da je ta promjena mase pad mase, tj. da je m& < 0 . Masa zrakoplova je zbroj promjenljive mase goriva m& f (fuel) i konstantnog dijela mase mc . m = mc + m f To znači da je m& = m& f . Za zrakoplove s elisom potrošnja goriva m& f praktički je proporcionalna razvijenoj snazi motora. Zato je m& = −C P Pmot . Koeficijent C P nazivamo specifična masena potrošnja. On ima dimenziju masenog protoka po jedinici snage [kg s W ] . Raspoloživa snaga motora Pmot pomnožena s koeficijentom elise η P daje raspoloživu pogonsku snagu, ili snagu na elisi TaV . Vidjeli smo da je u horizontalnom ravnotežnom letu konstantnom brzinom:

η P Pmot = VD te je m& = −C P

VD

ηP

η L 1 dR V V ηP = = =− P dm m& − C P VD C P D gm Integrirat ćemo gornju jednadžbu od početka leta kada je masa zrakoplova mi , do kraja leta kada se masa zrakoplova smanji za masu goriva m f , te je mk = mi − m f : R=

ηP

mk

CL dm gCP mi D m

∫C

Performanse zrakoplova

Odnos

8-9

CL CL = bit će konstantan tijekom leta ako je koeficijent uzgona C L C D C D 0 + KC L2

konstantan tijekom leta. To znači da se tijekom leta mora smanjivati brzina tako da je ispunjen uvjet za horizontalan let: V=

2W ρSC L

8.20

Ako se tako leti, odnos C L C D konstantan je tijekom leta, pa se može izvući iz integrala. Integriranjem od početnog stanja i do krajnjeg stanja k dobivamo: R=

ηP CL

m ln  i gC P C D  mk

  

8.21

Ovo je poznata Breguetova jednadžba doleta za zrakoplove s elisnim motorom. Ne zaboravimo da je ona dobivena uz pretpostavku da je koeficijent uzgona tijekom leta bio konstantan a s tim konstantnim koeficijentom uzgona, ovisno o masi zrakoplova, određena je brzina leta tako da je u svakom trenutku zadovoljen uvjet horizontalnog leta. Breguetova jednadžba zahtijevala je da odnos C L C D tijekom horizontalnog leta bude konstantan, a taj uvjete ispunjavamo ako letimo horizontalno s konstantnim koeficijentom uzgona C L . Ostaje otvoreno pitanje kolika je ta konstanta vrijednost koeficijenta uzgona. Možemo ga izabrati da dolet bude najveći, a to znači da odaberemo onu vrijednost koeficijenta uzgona C L za koju je funkcija f (C L ) =

CL CL = C D C D 0 + KC L2

u maksimumu. Izjednačavanjem derivacije ove funkcije po koeficijentu uzgona s nulom 1 ⋅ (C D 0 + KC L2 ) − C L ⋅ 2 KC L df = =0 dC L (C D 0 + KC L2 )2

dobivamo: KC L2 = C D 0 . To znači da trebamo letjeti u režimu leta za najmanji otpor pri kome je inducirani otpor jednak parazitskom otporu. To je logično, zato što je u horizontalnom letu uzgon jednak težini, pa ako je otpor u minimumu bit će odnos uzgona prema otporu najveći. Za mlazne motore je specifična masena potrošnja goriva proporcionalna pogonskoj sili m& = −CT T . Taj koeficijent masene potrošnje goriva CT ima dimenziju masenog protoka po jedinici sile

[kg

s N ] . U horizontalnom ravnotežnom letu konstantnom brzinom,

Performanse zrakoplova

8-10

pogonska sila T jednaka je otporu D, a uzgon L jednak je težini mg, te se polazna jednadžba transformira u oblik: dR V V V L 1 = = =− dm m& − C T T CT D gm Normalno je koeficijent masene potrošnje mlaznog motora CT

konstantan, pa se

integriranjem te jednadžbe od početka leta do kraja dobiva: m

1 k CL dm R=− V ; gCT m∫i CD m mi je početna masa zrakoplova, a mk krajnja masa. Ako je tijekom leta koeficijent uzgona C L konstantan, onda je i koeficijent otpora konstantan jer je C D = C D 0 + KC L2 , a brzina leta

se mijenja tako da je zadovoljen uvjet horizontalnog leta. V=

2g m ρS C L

Ta brzina tijekom leta opada kao što smo to već napomenuli, jer se masa zrakoplova smanjuje s potrošnjom goriva. Zamjenom te brzine ovisno o masi u jednadžbu za dolet, dobivamo 1 R=− gCT C D

2g CL ρS

mf

∫

dm m

mi

Integriranjem od mi do mk dobivamo dolet leta za zrakoplove s mlaznim motorima R=

2g CL ρS

2 gCT C D

(

)

mi − m k ,

8.22

ili R=

2 CL (Vi − Vk ) . gCT C D

8.23

To je Breguetovu jednadžba doleta za zrakoplove s mlaznim motorima. Zapamtimo da je ta jednadžba za zrakoplove s mlaznim motorima izvedena uz pretpostavku da je tijekom leta koeficijent uzgona C L konstantan, a da zrakoplov u svakom trenutku ima brzinu leta kojom zadovoljava uvjet za horizontalni let. Breguetova jednadžba za dolet leta može se staviti u oblik: R=

2 gC T

2g ρS

(

mi − m f

)C

CL D0

+ KC L2

Performanse zrakoplova

8-11

Vidimo da dolet leta ovisi o usvojenom koeficijentu uzgona. Potražimo maksimum te ovisnosti. Dolet leta bit će najveći kada je funkcija f (C L ) =

CL C D 0 + KC L2

u maksimumu po C L : 1 2 CL df = dC L

(C

)

+ KC L2 − C L 2 KC L

D0

(C

D0

+ KC L2

)

2

=0

Odatle dobivamo da je 1 KC L2 = C D 0 . 3

8.24

To znači da je dolet leta zrakoplova s mlaznim motorima u maksimumu ako je inducirani otpor jednak trećini parazitskog otpora. Iz ove jednadžbe je CL =

1 C D0 , 3 K

8.25

a brzina leta je određena iz uvjeta za horizontalni let, što znači da će ona opadati jer masa zrakoplova opada zbog potrošnje goriva. 8.1.6 Maksimalno trajanje leta (Endurance)

Ponekad nam je potrebno što dulje boraviti u zraku. To je slučaj kada ne možemo sletjeti iz bilo kojih razloga te moramo čekati da se stvore uvjeti za slijetanje. Takvo čekanje treba ostvariti s režimom leta u kome je najveće vrijeme trajanja leta za određenu količinu goriva. Sa E označavamo vrijeme trajanja letenja (endurance). To vrijeme jednako je potrebnom vremenu da se masa zrakoplova smanji za masu goriva, jer let traje dok ima goriva: k

k

i

i

E = ∫ dt = ∫

dm m&

I u ovom slučaju treba također odrediti u kojem režimu leta treba letjeti zrakoplov s elisom, a u kojem zrakoplov s mlaznim motorom. Zrakoplov s elisom ima masenu potrošnju m& = −C P Pmot , gdje je Pmot snaga motora. Ta snaga motora pomnožena s koeficijentom elise η P daje potrebnu snagu koja je jednaka produktu VD. Zato je trajanje leta zrakoplova s elisom: f

E=∫ i

η dm dm =∫ = P m& − C P VD η P C P i f

1 L dm η P ∫f V D gm = gC P i

i

1 C L dm D m

∫V C f

Performanse zrakoplova

8-12

Koeficijent uzgona bira se prema nekom kriterijumu i držimo ga konstantnim tijekom leta. Samim tim je i koeficijent otpora konstantan tijekom leta jer je C D = C D 0 + KC L2 , a brzina leta određena je iz uvjeta za horizontalni let V=

2g m ρS C L

i promjenljiva je tijekom leta, jer se mijenja masa zrakoplova zbog potrošnje goriva. Zamjenom u integral dobivamo: E=

ηP

ρS C L3 2

gC P

2g CD

i

−

3

∫ m 2 dm f

a poslije integracije E=

2η P gC P

ρS C L3 2  1

2g CD  m f 

−

1  mi 

8.26

ili

E=

2η P C L  1 1 − . gC P C D  V f Vi 

8.27

Pri tome smo pretpostavili da je koeficijent uzgona konstantan, a mijenja se brzina leta kako bi bio uvijek zadovoljen uvjet horizontalnog leta L = mg . Da bi E bilo što veće, trebamo taj konstantni koeficijent uzgona odabrati tako da funkcija koeficijenta uzgona f (C L ) =

C L3 2 C L3 2 = C D C D 0 + KC L2

bude u maksimumu.

(

)

3 C L C D 0 + KC L2 − C L C L 2 KC L df =2 =0, 2 dC L C D 0 + KC L2

(

)

odakle je KC L2 = 3C D 0 ,

8.28

što znači da je inducirani otpor trostruko veći od parazitskog otpora ili da je potrebna snaga u minimumu. Za zrakoplov s mlaznim motorom izraz za trajanje letenja bit će:

Performanse zrakoplova

8-13 f

f

dm dm 1 E=∫ =∫ =− m& CT − CT T i i

f

L dm 1 ∫i D gm = − CT

f

C L dm D gm

∫C i

Ako se leti s konstantnim koeficijentom uzgona, a pomoću brzine leta zadovoljen je uvjet horizontalnog leta, onda ovaj integral lako rješavamo jer je odnos C L C D konstantan pa je: E=

1 C L  mi  ln gCT C D  m f 

8.29

Da bi se postigao maksimum trajanja leta, treba letjeti s koeficijentom uzgona koji će odnos C L C D D učiniti maksimalnim. Vidjeli smo da je taj odnos najveći ako je inducirani otpor

jednak parazitskom otporu KC L2 = C D 0 , a to je slučaj najmanjeg otpora u horizontalnom letu. 8.1.7 Primjeri Primjer 1

Nacrtati dijagram ovojnica za "mali" zrakoplov (slika 8-5), ako klipni motor, prema prilogu C, ima kutnu brzinu ω = 240 rad s , a elisa ima koeficijent učinkovitosti

η (J ) = −1.6923J 3 + 1.4815J 2 + 0.5670 J + 0.2644 , gdje je J =

V parametar rada elise, n broj okretaja u sekundi, D promjer diska elise. nD

Najmanja i najveća brzina dobivaju se iz jednadžbe Pa = Pr u kojoj je raspoloživa snaga Pa = η ( J ) ⋅ Pmot (omega ,V , p, T ) , jer je za najveću snagu motora tlak punjenja p S = p , a potrebna snaga    2 2  ρV KW  Pr = V ⋅  SC D 0 +  2 ρV 2  S  2   Krivulje Vmin (H ) i Vmax (H ) na slici 8-5 nacrtane su pomoću programa Ovojnica.m , koji se nalazi na disketu u direktoriju Performanse\Horizontalni let.

Performanse zrakoplova

8-14 Primjer 2

Odrediti za mali putnički zrakoplov otklone kormila visine za režim leta za najveći dolet. U režimu leta za maksimalni dolet inducirani otpor jednak je parazitskom otporu CD0 0.0259 = = 0.499 . K 0.104

CL =

Kut otklona kormila visine dobivamo iz uvjeta da je koeficijent sile uzgona u ravnotežnom letu C L = 0.474 i da je u ravnotežnom letu ( C m = 0 ) C L = C L 0 + C Lα α R + C Lδ δ m 0 = C m 0 + C mα α R + C mδ δ m ili 0.499 = 0.249 + 4.73α + 0.216 ⋅ K f δ m 0 = −0.002 − 0.822 ⋅α − 0.577 ⋅ K f δ m .

δ m = −0.0842 = −4.80 α r = 0.567 = 3.2 0 Primjer 3

Odrediti najveći dolet ako motor radi s 75% snage, na visini 2000 m za potrošenih 200 litara goriva. U režimu za najveći dolet inducirani otpor jednak je nultom otporu, pa je prema prethodnom primjeru C L = 0.499 C D = 2 ⋅ C D 0 = 2 ⋅ 0.0259 = 0.0518 Na početku leta masa mi = m L + m g = 1088 . Tom koeficijentu uzgona i toj masi odgovara brzina horizontalnog leta: Vi =

2 mi g 1 2 1089 ⋅ 9.81 1 = = 53.1.m s , ρ S CL 1.006 15.1 0.499

Specifična masa goriva je 0.720 kg lit , pa je poslije potrošenih 200 litara masa zrakoplova m f = 1089 − 200 * 0.72 = 945 kg . Na kraju leta bit će brzina leta: Vf =

mf mi

Vi =

945 ⋅ 53.1 = 49.5 m s . 1089

Performanse zrakoplova

8-15

Prema dijagramu C-5 u prilogu, specifična potrošnja je 0.850 ⋅ 10 −7 , a u intervalu od V f = 49.5 do Vi = 53.1 možemo uzeti da je prosječni koeficijent učinkovitosti elise, prema jednadžbi u primjeru 1, η elisa = 0.81 . Tako dobivamo dolet u tom režimu: R=

m ln i gC P C D  m f

η elisa C L

 0.81 0.499  1089  = ⋅ ⋅ ln = 1330 km .  9.81 ⋅ 0.850 ⋅ 10 −7 0.0518  945  

8.2 Stacionarno penjanje i spuštanje zrakoplova Jednadžbe gibanja središta mase zrakoplova 7.62 izveli smo na kraju prethodnog poglavlja: dV = T − D − W sin γ dt dγ = L cosφ − W cos γ mV dt dχ = L sin φ mV cos γ dt m

V

L

D

γ

T

γ W

W cos γ

W sin γ

Slika 8-6 Zrakoplov u penjanju Za gibanje u vertikalnoj ravnini kut skretanja χ je konstantan, te iz treće jednadžbe proizlazi da tada nema ni kuta valjanja φ = 0 , te ove jednadžbe imaju oblik: dV = T − D − W sin γ dt dγ mV = L − W cos γ dt

m

8.30

Performanse zrakoplova

8-16

Za pravocrtno ( γ = const ) i stacionarno ( V = const ) penjanje ili spuštanje bit će T = D + W sin γ L = W cos γ

Te jednadžbe možemo direktno napisati promatrajući zrakoplov u stacionarnom penjanju. Iz prve jednadžbe su kut penjanja γ i brzina penjanja Vv : sin γ =

T −D W

8.31

T −D Vv = V sin γ = V W

Brzina penjanja Vv označava se u zrakoplovnoj praksi s R/C (Rate of Climb), a tangens kuta γ označava se sa G i naziva se gradijent penjanja (Climb Gradient).

Iz jednakosti L = W cos γ , koja je potrebna za penjanje (ili spuštanje), nameće se uvjet za penjanje pod kutom γ : V 2 C L 2W = ρS cos γ

8.32

Kojom brzinom leta V, kojim koeficijentom uzgona C L , te kojim će se kutom γ zrakoplov penjati, nije apriorni određeno. Ovdje je problem optimizacije teži od onoga koji je bio u horizontalnom letu. Koriste se dvije mogućnosti optimizacije: •

najveći kut penjanja (Best Angle of Climb)

•

najveća brzina penjanja (Best Rate of Climb)

8.2.1 Najveći kut penjanja

U stacionarnom penjanju pod kutom γ potrebna je pogonska sila Tr = D + W sin γ

Najprije valja uočiti da više nemamo jednakost otpora i potrebne pogonske sile. Potrebna pogonska sila treba svladati ne samo otpor, već i komponentu težine. Taj otpor u penjanju D = qS (C D 0 + KC L2 )= qSC D 0 + K

L2 qS

ne može se izraziti samo kao funkcija brzine, jer on ovisi i o kutu penjanja, zato što više nema jednakosti uzgona i težine već L = W cos γ . Eliminacije uzgona, biti će otpor u penjanju pod kutom γ : D = qSC D 0 +

K W 2 cos 2 γ q S

Performanse zrakoplova

8-17

te je potrebna sila u penjanju Tr =

ρSC D 0 2

V2 +

2 KW 2 1 cos 2 γ + W sin γ 2 ρS V

8.33

Potrebna sila ovisi o tri parametra. Prvo, o kutu penjanja γ , zatim o brzini leta V i konačno o gustoći zraka. To znači da će na određenoj visini, gdje je gustoća zraka neka određena vrijednost, potrebna sila ovisiti o brzini leta i o izabranom kutu penjanja Tr (V , γ ) . S druge strane imamo raspoloživu silu (ili snagu pogona). Raspoloživa pogonska sila ovisi također o brzini Ta (V ) ali ne o kutu penjanja. Ako se pretpostavi da je visina konstantna, može se promatrati dijagram kao na slici 8-7

Slika 8-7 Potrebna sila ovisno o brzini leta i kutu penjanja. na komu su ucrtane krivulje potrebne sile Tr (V , γ ) za konstantne kutove penjanja (od 00 do 90). Za neki određeni kut penjanja, u presjeku krivulja Tr (V , γ ) = Ta (V ) dobivamo Vmin i Vmax , granice intervala mogućih brzina s kojima se može zrakoplov penjati pod tim kutom. Povećavanjem kuta penjanja, kao što se to vidi sa slike 8-7 taj se interval smanjuje, da bi se za neki određeni kut penjanja te dvije krivulje Ta (V ) i Tr (V , γ ) tangirale u točki A. Kut penjanja ne može biti veći od te vrijednosti, jer pogon ne raspolaže dovoljnom silom, da bi se taj zrakoplov mogao penjati pod većim kutom. Dakle, krivulja Tr (V , γ ) , na kojoj je točka A, određuje najveći kut penjanja, s kojim se taj zrakoplov s tim pogonom može penjati. Označimo taj kut sa BAC (Best angle of climb). Međutim, ne zaboravimo da smo to rješenje dobili za određenu visinu, što znači da će za drugu visinu biti drugo rješenje za BAC, tj.

Performanse zrakoplova

8-18

najveći mogući kut penjanja nije konstantan već se mijenja s visinom. Koeficijent uzgona, za taj najveći kut penjanja, nalazimo iz uvjeta da je L = W cos γ : CL =

2W cos γ ρSV 2

8.34

Povećavanjem visine smanjivat će se BAC, tako da će za najveću visinu on biti jednak nuli, jer tada krivulja Ta (V )

tangira krivulju Tr (V ) za γ = 0 . Tim istim postupkom za isti

zrakoplov ali za visinu h = 5400 m nacrtana slika 8 - 9 , prema kojoj je dobiven krajnji slučaj mogućega leta i to za γ = 0 , tj. s tim motorom na tom zrakoplovu više se nije moguće penjati.

Slika 8-8 BAC za "mali" zrakoplov na razini mora Na temelju ove analize vidimo da svakoj visini odgovara neki najveći kut γ max (h ) koji se smanjuje s visinom da bi na vrhuncu bio jednak nuli. Isto tako, na svakoj visini imamo odgovarajuću brzinu leta V s kojom trebamo letjeti. To je režim leta s najvećim mogućim kutom penjanja. U slučaju zrakoplova s elisom dobivene vrijednosti brzine leta za najveći kut penjanja ili su manje od onih koje su propisane kao minimalne za pravilan i siguran rad elise, ili su tako male da neki drugi efekti dominiraju u penjanju, kao npr. povećani otpor zbog odvajanja struje od elise, pa se zato elisni zrakoplovi obično penju ili spuštaju u režimu najveće brzine penjanja.

Performanse zrakoplova

8-19

8.2.2 Najveća brzina penjanja

Brzina penjanja se definira kao dh = VV = V sin γ . dt

8.35

Za lovce presretače vrlo je važno da u što kraćem vremenu budu na određenoj visini. Taj zahtjev znači da trebaju što veću brzinu penjanja VV . Brzina penjanja označili smo sa RC, a najveću sa BRC. Jasno je a priori da je BRC različit na različitim visinama.

Slika 8-9 Potrebna sila Tr (V , γ ) i raspoloživa sila Ta (V ) , za određenu visinu Neka su na slici 8-9 nacrtane krivulje potrebne pogonske sile Tr (V , γ ) i raspoložive pogonske sile Ta (V ) , za neku određenu visinu za koju je nacrtana slika. Označimo sa Vmax (γ ) apscisu točke desnog presjeka krivulje Ta (V ) sa krivuljama Tr (V , γ ) . Svaka točka odgovara nekom kutu penjanja i predstavlja maksimalnu brzinu Vmax koju može postići zrakoplov s tim motorom na tom kutu penjanja. Drugim riječima u svakoj točki dobivamo par vrijednosti Vmax i γ . Pomoću tih parova možemo nacrtati novi dijagram koji na apscisi ima brzinu leta V, a na ordinati brzinu penjanja VV = Vmax sin γ . Taj dijagram 8-10 urađen je za onu istu visinu za koju smo nacrtali polazne krivulje na slici 8-9. Taj dijagram pokazuje s kojim se brzinama leta V može penjati zrakoplov i koje će biti brzine penjanja VV s raspoloživom silom pogona. Ta krivulja je geometrijsko mjesto točaka koje imaju apscisu Vmax (γ ) a ordinatu

Performanse zrakoplova

8-20 VV (γ ) = Vmax (γ ) ⋅ sin γ . Na njenom tjemenu nalazi se točka C

koja predstavlja najveću

moguću brzinu penjanja.

Slika 8-10 Brzina penjanja VV (V ) za određenu visinu, U toj točki C određujemo brzinu leta V i kut γ koji osiguravaju najveću brzinu penjanja VV = V sin γ na visini h za koju smo konstruirali taj dijagram. Koeficijent uzgona određen je

jednadžbom C L =

2W cos γ . Te vrijednosti određuju režim leta BRC za visinu h. Za neku ρSV 2

drugu h visinu dobili bi drugu krivulju i druge vrijednosti V , γ potrebne za BRC . Drugim riječima V , γ su funkcije visine h, a samim tim i brzina penjanja VV = V sin γ i koeficijent sile uzgona C L =

2W cos γ isto su poznate funkcije visine. ρSV 2

Primjer

Za mali putnički zrakoplov na visini H = 2000 m , odrediti režim leta za najveću brzinu penjanja. Rješenje grafičkom metodom nalazi se u direktoriju Performanse\Penjanje pod imenom BRC1.m s kojim je nacrtana slika 8.9, a zatim očitane točke nacrtane su pomoću programa BRC2.m S tim programom dobiva se vrijednost γ max = 3.50 za brzinu leta VBAC = 46.2 m s

na zadanoj visini.

Performanse zrakoplova

8-21

8.2.3 Vrijeme penjanja i potrošnja goriva u penjanju

Nakon analiza, iz prethodnog odjeljka, o režimu penjanja u mogućnosti smo izračunati vrijeme penjanja. Iz jednadžbe da je t=

h2

dh

h1

V

∫V

vidimo da će najkraće vrijeme penjanja biti za najveću brzinu penjanja: t min =

h2

dh

h1

V max

∫V

8.36

U prethodnom odjeljku odredili smo funkcije VV max (h ) , V (h ) i γ (h ) . S tom funkcijom VV max (h ) trebamo izračunati ovaj integral.

Potrošnju goriva u penjanja zrakoplova određujemo na temelju jednadžbe dm m& =− dh VV

8.37

u kojoj je za elisne zrakoplove m& = m& g = −C P Pmot = −

C P TV

η elisa

,

a za mlazne m& = m& g = −CT T .

U ovim jednadžbama pogonska sila u penjanju određena je jednadžbom T = D + W sin γ =

ρV 2 2

(C

D0

+ KC L2 ) + W sin γ

u kojoj su V (h ) i γ (h ) određene u prethodnom poglavlju, a ρ (h ) je karakteristika atmosfere za vrijeme penjanja.

8.3 Horizontalni zaokret Ako zrakoplov leti •

konstantnom brzinom

•

u horizontalnoj ravnini γ = 0 ,

•

bez kuta klizanja β = 0 , te

•

ako je α T ≈ α rav i µ A ≈ φ ,

jednadžbe gibanja centa mase zrakoplova dobivaju oblik:

Performanse zrakoplova

8-22 0=T −D dχ mV = L sin φ dt 0 = L cosφ − W .

8.38

L cos φ

L

φ

L sin φ

W

Slika 8-11 Zrakoplov u horizontalnom zaokretu Do tih jednadžbi može se doći neposredno promatrajući sile koje djeluju na zrakoplov u zaokretu, kao na slici 8-11. Da bi zrakoplov letio u horizontalnoj ravnini, mora biti vertikalna komponenta uzgona jednaka težini: L cosφ = W

8.39

a horizontalna komponenta stvara centripetalno ubrzanje koje je okomito na brzinu leta: m

V2 = L sin φ , R

8.40

V ds

dχ V

R

Slika 8-12 gdje je R polumjer zakrivljenosti putanje središta mase zrakoplova u horizontalnoj ravnini kao na slici 8-12. Podsjetimo se iz mehanike da je kutna brzina vektora brzine

Performanse zrakoplova

8-23

χ& =

dχ ds dχ V ⋅ = ⋅V = , dt ds ds R

8.41

ds dχ

8.42

jer je polumjer zakrivljenosti: R=

8.3.1 Jednadžbe zaokreta

Prethodne jednadžbe mogu se s normalnim opterećenjem n napisati u obliku: ng sin φ V 1 n= cosφ

χ& =

8.43

Iz ovih jednadžbi eliminacijom kuta valjanja φ dobivamo najčešće korištene veze koje nam daju opterećenja u ovisnosti o kutnoj brzini zaokreta, ili obrnuto, kutnu brzinu zaokreta u ovisnosti o opterećenju:

χ& =

g n2 −1 , V

8.44

ili što je isto 2

 χ&V   + 1 . n =   g 

8.45

Osim ovih veličina, u praksi je potreban i polumjer zaokreta R. Znajući iz klasične mehanike da je R=

ds V = , dχ χ&

8.46

bit će polumjer u horizontalnom zaokretu ovisan o opterećenju: R=

V2 g n2 −1

,

8.47

ili obrnuto, opterećenje bit će ovisno o polumjeru zakrivljenosti: 2

V 2   + 1 n =   gR 

8.48

Performanse zrakoplova

8-24 8.3.2 Ograničenja kutne brzine

Opterećenje ne smije biti veće od onog što može izdržati konstrukcija n < n S . Maksimalno opterećenje koje može izdržati konstrukcija poznata je vrijednost, te kutna brzina ne smije biti veća od:

χ& S (V ) =

g n S2 − 1 V

=

const V

8.49

Ta jednadžba u dijagramu V , χ& ograničava sa gornje strane područje mogućih kutnih brzina u ovisnosti od brzine leta. Isto tako, koeficijent uzgona ne smije biti veći od maksimalne vrijednosti C L ≤ C L max (Ma ) . Ako u jednadžbi za kutnu brzinu, izrazimo opterećenje odnosom n = L W ,

dobivamo utjecaj koeficijenta uzgona na kutnu brzinu: 2

 ρV 2   SC L  g  2  −1 χ& (V ) =  V  W    

u koju, kada unesemo najveći koeficijent uzgona, dobivamo najveće dopušteno opterećenje s obzirom na stall, ovisno o brzini leta: 2

1  ρSC L max  2 1 2 χ& L (V ) = g   V − 2 = g const ⋅V − 2 V V  2W 

8.50

Ta krivulja također ograničava s gornje strane moguće kutne brzine s obzirom na najveći koeficijent uzgona. Taj maksimalni koeficijent uzgona C L max može biti također ovisan o Mahovu broju. Vidimo da je najveća moguća kutna brzina ovisno o brzini leta ograničena s gornje strane krivuljama χ& S (V ) i χ& L (V ) . S obzirom na oblik ovih krivulja (krivulja χ& L (V ) raste, a krivulja χ& S (V ) opada) u njihovu presjeku bit će najveća moguća kutna brzina koja zadovoljava oba ograničenja. Ta kutna brzina se naziva corner speed, a brzina leta pri kojoj se ona ostvaruje označava se sa VC , kao i odgovarajući Machov broj sa M C . U presjeku brzinu leta dobivamo izjednačavanjem kutnih brzina:

χ& L (V ) = χ S (V ) Iz te jednadžbe dobivamo

Performanse zrakoplova

8-25 2n S W ρSC L max

VC =

8.51

a toj brzini leta odgovara kutna brzina corner speed

χ& corner speed = g

ρSC L max 

1   n S −  nS  

2W

8.52

8.3.3 Koordinirani zaokret

Uočimo da se u zaokretu povećava otpor. Prije zaokreta otpor je bio D=

ρV 2 2

S ⋅ (C D 0 + KC L2 )

gdje je koeficijent uzgona bio određen iz uvjeta horizontalnog leta L = W . Međutim, u horizontalnom zaokretu taj uvjet se mijenja L=

W cosφ

Prema tome, u zaokretu je povećan koeficijent uzgona, zbog čega se povećava inducirani otpor. Da ne bi u horizontalnom zaokretu brzina leta opadala, potrebno je povećati pogonsku silu za onoliko koliko se povećao otpor. U horizontalnom zaokretu polumjera R, brzinom V, vrijednost opterećenja određena je jednadžbom: 2

V 2   + 1 . n =  gR  

Da bi se ostvario takav zaokret, potrebno je: •

otklonom krilaca δ l zavaljati letjelicu za kut valjanja 1 n

φ = arccos ; •

otklonom kormila visine δ m postaviti ravnotežni napadni kut α rav za koji je koeficijent uzgona CL =

•

nW ; ρV 2 S ref 2

otklonom ručice pogona δ P postići novu potrebnu pogonsku silu konstantnu brzinu leta.

koja održava

Performanse zrakoplova

8-26 Tr =

ρV 2 2

S (C D 0 + KC L2 )

Za takav koordinirani zaokret moraju se uskladiti: otklon krilaca δ l , kormila visine δ m i pogonske sile δ P . Zato se takav zaokret u kome su usklađene ove tri veličine naziva koordinirani zaokret. U njemu se leti sa zadanom konstantnom brzinom, na zadanoj visini i

izvodi zaokret sa zadanim polumjerom R. Kako su faktor opterećenja n, koeficijent uzgona C L i pogonska sila T ograničeni, bit će ograničen i horizontalni zaokret zrakoplova. Sve tri veličine imaju svoje maksimalne vrijednosti n S , C L max i Ta . Te granice određuju najmanji mogući polumjer zakrivljenosti R, odnosno najveću moguću kutnu brzinu χ& u koordiniranom zaokretu za zadanu brzinu leta V na promatranoj visini leta. 8.3.4 Raspoloživo opterećenje u koordiniranom zaokretu

U horizontalnom letu je normalno opterećenje n=

bilo jednako jedinici jer je

L W

L = W . U horizontalnom zaokretu ono se povećava jer je u

horizontalnom zaokretu n = 1 cosφ i to utoliko više ukoliko je manji polumjer zakrivljenosti 2

V 2   + 1 n =  gR  

Potrebno normalno opterećenje postiže se povećanjem sile uzgona, odnosno povećanjem ravnotežnog napadnog kuta. Međutim, povećana sila uzgona znači i znatno veći inducirani otpor. Da bi u koordiniranom zaokretu brzina leta ostala nepromijenjena, treba povećati pogonsku silu isto toliko koliko je povećan inducirani otpor. Ta potrebna pogonska sila ne može biti veća od raspoložive, pa se postavlja pitanje za koliko je moguće povećavati normalno opterećenje s obzirom na raspoloživu silu (ili snagu) motora. To najveće opterećenje nazivamo raspoloživo opterećenje. Ono ovisi o brzini leta n rasp (V ) . Da bi zrakoplov letio konstantnom brzinom leta V potrebna je sila 2        L   ρV 2   Tr = S ⋅ CD0 + K .  ρV 2   2  S     2   

Performanse zrakoplova

8-27

Kako je L = nW , ta potrebna sila ovisi o normalnom opterećenju Tr =

ρSC D 0 2

2 K (nW ) 1 ρS V2 2

V2 +

8.53

Raspoloživa sila Ta mora biti veća od potrebne, ili u najgoremu slučaju jednaka potrebnoj, pa izjednačavanjem potrebne i raspoložive sile dobivamo

ρSC D 0 2

2 K (nW ) 1 = Ta , ρS V2 2

V2 +

8.54

ili Ta ρS 2 (ρS ) C D 0 4 V − V . 2 KW 2 4 KW 2 2

2 n rasp =

8.55

Ova jednadžba direktno je primjenljiva za mlazne zrakoplove. Za elisne zrakoplove raspoloživa sila ovisno od raspoložive snage određena je jednadžbom: Ta =

Pa η elisa Pmot max = V V

8.56

Zato raspoloživo opterećenje za elisne zrakoplove određujemo pomoću jednadžbe: 2 = n rasp

η elisa Pmot max ρS 2 KW 2

V−

(ρS )2 C D 0 V 4 4 KW 2

8.57

Ovisnost raspoloživog opterećenja o brzini leta bit će različita na različitim visinama zato što ovisi i o gustoći zraka. Ovisnost

normalnog opterećenja o brzini leta n rasp (V ) ima

maksimalnu vrijednost za brzinu leta koju dobivamo derivacijom funkcije n rasp (V ) . 8.3.5 Najveća kutna brzina u koordiniranom zaokretu

Kutna brzina je određena jednadžbom

χ& =

g n2 −1 V

i bit će utoliko veća ukoliko je veće opterećenje, pa zato promatramo kutnu brzinu pri raspoloživom opterećenju.

χ& P =

2 g n rasp −1

V

8.58

Ta kutna brzina ovisi o brzini leta direktno i indirektno preko n rasp (V ) . Da bismo odredili najveću kutnu brzinu ovisno o brzini leta, zamijenimo raspoloživo opterećenje s njegovom

Performanse zrakoplova

8-28

funkcijom o brzini leta. Ako je u pitanju mlazni zrakoplov, raspoloživo opterećenje n rasp određeno je jednadžbom 8.55, te dobivamo ovisnost χ& (V ) : A 1 − BV 2 − 2 V V

χ& = g

8.59

s konstantama kao u jednadžbi 8.55. Za elisne zrakoplov, raspoloživo opterećenje n rasp određeno je jednadžbom 8.57 što daje ovisnost χ& (V ) :

χ& = g A − BV 2 −

1 V2

8.60

u kojoj su konstante kao u jednadžbi 8.57. Tu ovisnost χ& (V ) nazivamo ovojnica koordiniranog zaokreta zrakoplova. Ona ima maksimum za brzinu leta V max ( χ& ) , pri kojoj je najveća moguća kutna brzina leta χ& max u koordiniranom zaokretu. 8.3.6 Najmanji polumjer zaokreta

Iz jednadžbi horizontalnog zaokreta: 2

V 2   + 1 n =   gR 

ρV 2 2

S C L = nW ,

eliminacijom brzine dobivamo ovisnost polumjera zaokreta o opterećenju n: R=

2W gρSC L

n n2 −1

8. 61

Polumjer zaokreta ovisi o koeficijentu uzgona i o opterećenju. Za najmanji zaokret treba najveći koeficijent uzgona i najveće opterećenje. Zato se najmanji polumjer zaokreta ostvaruje u režimu leta za corner speed. Za najveći koeficijent sile uzgona C L max i najveće strukturalno opterećenje nS dobivamo najmanji polumjer koji odgovara najvećoj kutnoj brzini (corner speed): RC =

2W gρSC L max

nS n S2 − 1

8.3.7 Primjer

Odrediti za mali zrakoplov koji leti na visi 2000 m kolika je ovisno o brzini leta :

8.62

Performanse zrakoplova •

8-29

raspoloživa kutna brzina u koordiniranom zaokretu s obzirom na performanse motora iz priloga C,

•

raspoloživa kutna brzina ovisno s obzirom na maksimalni koeficijent uzgona C L = 1.5 i

•

raspoloživa kutna s obzirom na maksimalno strukturalno naprezanje n S = 3 .

Prema prilogu C napravljen je pod program Rasp_snaga koji daje raspoloživu snagu motora ovisno o kutnoj brzini elise, brzine leta, temperaturi i tlaku okolnog zraka. Nominalni broj obrtaja motora je ω = 240 [ rad s ] .

Slika 8-13. Ograničenja kutnih brzina malog zrakoplova Izjednačavanjem potrebne i raspoložive snage Pr = Pa dobivamo:

ρSC D 0 2

2 K (n raspW ) 1 P = a. V + 2 ρS V V 2

2

Iz ove je jednadžbe kvadrat raspoloživog opterećenja: 2 = n rasp

ρS 

 PaV − 2 KW  2

ρSC D 0 2

 V4, 

S ovim raspoloživim opterećenjem određujemo najveću kutnu brzinu χ& P u koordiniranom zaokretu, prema jednadžbi 8.58.

χ& P =

2 g n rasp −1

V

Performanse zrakoplova

8-30

Na disketi u direktoriju performanse nalazi se program Maxkutbr.m koji crta u MATLABu krivu χ& P (V ) kao i dvije krive χ& L (V ) prema jednadžbi 8.50 i χ& S (V ) prema jednadžbi 8.49 u čijem presjeku C se nalazi najveća moguća kutna brzina (corner speed). Taj presjek ima koordinate. Na slici 8-13 prikazan je dijagram dobiven tim programom.

8.4 Vertikalni zaokret 8.4.1 Jednadžbe

Jednadžbe gibanja središta mase s kojima određujemo performanse zrakoplova: mV& = T − D − W sin γ mV cos γ χ& = L sin φ mVγ& = L cosφ − W cos γ

8.63

u slučaju zaokreta u vertikalnoj ravnini χ& = 0 dobivaju oblik mV& = T − D − W sin γ 0 = L sin φ mVγ& = L cosφ − W cos γ ,

pa iz druge jednadžbe zaključujemo da u slučaju vertikalnog zaokreta mora biti φ = 0 , tj. da nema valjanja. Prva i treća jednadžba postaju: dV = T − D − W sin γ dt dγ mV = L − W cos γ dt

8.64

V γ& = n − cos γ . g

8.65

m

Iz druge jednadžbe je

Kako je V = Rγ& , ova jednadžba daje vezu između polumjera krivine i normalnog opterećenja n=

V2 + cos γ gR

8.66

8.4.2 Najveća kutna brzina

Kao i za horizontalni zaokret, i ovdje je kutna brzina ograničena najvećim konstruktivnim opterećenjem n S :

Performanse zrakoplova

8-31

γ&S (V ) = g

n S − cos γ . V

8.67

Zamjenom opterećenja prema definiciji n=

ρV 2 SC L 2W

dobivamo jednadžbu za kutnu brzinu u ovisnosti o koeficijentu uzgona: cos γ  ρSC L V− V  2W

γ& (V ) = g 

 . 

Iz toga je očito da je najveća kutna brzina ovisno o maksimalnom koeficijentu uzgona dana jednadžbom: cos γ   ρSC L max V−  V   2W

γ& L (V ) = g 

8.68

U presjeku tih dviju ovisnosti γ& S (V ) i γ& L (V ) : g

n S − cos γ cos γ   ρSC L max = g V−  V V   2W n S ρSC L max = VC VC 2W

dobiva se brzina leta VC : VC =

2n S W , ρSC L max

8.69

pri kojoj se može ostvariti najveća kutna brzina u vertikalnoj ravnini. Ta brzina ne ovisi o kutu γ što znači da se bilo u kojemu nagibu putanje može dobiti najveća kutna brzina propinjanja pri ovoj brzini leta. Činjenica je da je to ista brzina pri kojoj se može ostvariti i u horizontalnom zaokretu najveća kutna brzina (corner speed). U vertikalnom zaokretu bit će ta najveća kutna brzina (corner speed) :

γ& max = g

ρSC L max n S − cos γ 2W

8.70

nS

Ta kutna brzina ovisi o kutu penjanja. Zanimljivo je usporediti ovu maksimalnu kutnu brzinu u vertikalnoj ravnini s kutnom brzinom u horizontalnoj ravnini (jednadžba 8.55)

χ& corner speed = g

ρSC L max  2W

1  n S − nS 

  

Performanse zrakoplova

8-32

Ako zrakoplov leti horizontalno onda je odnos kutnih brzina u vertikalnom zaokretu prema horizontalnom zaokretu:

γ&max = nS − 1 χ& max

8.71

8.4.3 Analiza vertikalne petlje

Da bismo pojednostavili analizu vertikalne petlje, pretpostavimo da je u svakom trenutku raspoloživa sila jednaka otporu. Jednadžbe se pojednostavnjuju: dV = − g sin γ dt dγ V = gn − g cos γ dt

8.72

Eliminacijom vremena iz ovih dviju jednadžbi, dobivamo: dV sin γ =− dγ V n − cos γ

8.73

Ako zrakoplov sve vrijeme leta u petlji ima isto opterećenje, onda poslije integracije od polazne točke γ = 0 u kojoj je brzina leta V0 do bilo koje točke, dobivamo: V = V0

n −1 n − cos γ

8.74

Ova ovisnost V (γ ) prikazana je na slici 8-14.

Slika 8-14 Promjena brzine u petlji U ovakvom letu zrakoplov bi imao najmanju brzinu na vrhuncu petlje Vmin = V0

n −1 , n +1

8.75

Performanse zrakoplova

8-33

Jednadžbu 8.66 možemo napisati u obliku R=

V2 g (n − cos γ )

Ona daje veličinu polumjera petlje R ovisno o brzini leta u petlji V i nagibu brzine γ . Zamjenom V (γ ) prema jednadžbi 8.74 u jednadžbu 8.66 dobivamo ovisnost polumjera petlje samo o nagibu tangente. V02 (n − 1)2 R= g (n − cos γ )3 Iz ove jednadžbe možemo za razne položaje odrediti polumjer krivine petlje Tako je u tablici izračunat polumjer krivine za petlju u kojoj je opterećenje n = 3 , a za tri karakteristična položaja zrakoplova.

γ =0 R = 0 .5

V02 g

γ =0 R = 0.148

γ =0 V02 g

R = 0.0625

V02 g

Na slici 8.15 prikazan je približan izgled ove petlje.

R3 R2 R1

γ

Slika 8-15. Zrakoplov u vertikalnoj petlji Da bi zrakoplov sve vrijeme petlje imao konstantno normalno opterećenje u uvjetima promjenljive brzine, on mora mijenjati napadni kut tako da se koeficijent uzgona mijenja ovisno o kutu γ : n=

L ρS C LV 2 = W 2W

Performanse zrakoplova

8-34 CL =

2Wn (n − cos γ )2 2 2 ρSV0 (n − 1)

8.76

Ta promjena koeficijenta uzgona prikazana je na dijagramu slike 8-16

Slika 8-16 Minimalna vrijednost koeficijenta uzgona je na ulazu u petlju ( γ = 0 ) CL0 =

2Wn , ρSV02

a maksimalna na vrhuncu petlje: CL1

2Wn = ρSV02

 n + 1    n −1

2

8.77

a pri toj brzini centrifugalna sila mora biti veća od težine zrakoplova, što znači da će uvjet za početnu brzinu, ovisno o veličini petlje i normalnog opterećenja s kojim se izvodi petlja, biti: V0 ≥

n +1 gR n −1

8.78

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



32/,-(7$1-(,6/,-(7$1-(  3ROLMHWDQMHWDNHRII  7HKQLNDSROLMHWDQMD 8 RYRP SRJODYOMX SURPDWUDPR QDþLQ SROLMHWDQMD L VOLMHWDQMD ]UDNRSORYD GXOMLQH ]DOLMHWDQMD L SROLMHWDQMDNDRLGXOMLQHVOLMHWDQMDLNRþHQMD 3URFHVSROLMHWDQMDLPDWULID]HVOLND  x

]DOLMHWDQMHSRSLVWLGXOMLQH V 

x

]DOLMHWDQMHLSURSLQMDQMHOHWMHOLFHGXOMLQH V  LNRQDþQR

x

RGYDMDQMHRGSLVWHGRSRVWL]DQMDSURSLVDQHYLVLQHGXOMLQH V 

6YH WUL ID]H SURPDWUDPR X ORNDOQRP NRRUGLQDWQRP VXVWDYX NRML LPD LVKRGLãWH QD PMHVWX VUHGLãWD PDVH ]UDNRSORYD X WUHQXWNX VWDUWD RV [ /  GXå SLVWH X SUDYFX ]DOLMHWDQMD D \ /  RV YHUWLNDOQRQDYLãH7UHüDRV]]QDþLGDMHKRUL]RQWDOQRXGHVQRJOHGDMXüLXSUDYFX]DOLMHWDQMD ]UDNRSORYD  \/

[/

[/ V

V

V D V

95 972

 6OLND)D]HSROLMHWDQMD]UDNRSORYD  3URPDWUDWüHPRSROLMHWDQMHXXYMHWLPDNDGLPDYMHWUD & & & 9. 9:  9  

V E



3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



& 9MHWDU 9:  UD]ODåHPR QD GYLMH NRPSRQHQWH X]GXåQX 9:;  SR]LWLYQX X SUDYFX L VPMHUX

SROLMHWDQMD L ERþQX 9:=   SR]LWLYQX X SUDYFX RVL ] NDG YMHWDU SXãH V OLMHYH QD GHVQX VWUDQX JOHGDMXüLXSUDYFXSROLMHWDQMD =DOLMHWDQMHMHSUDYRFUWQRXEU]DQRJLEDQMHSRSLVWLNRMH]DSRþLQMHEU]LQRPOHWDMHGQDNRM QXOL 9.

  D WR ]QDþL X]GXåQRP DHURGLQDPLþNRP EU]LQRP LQWHQ]LWHWD 9

9:; 

=DOLMHWDQMH VH ]DYUãDYD NDGD NRPSRQHQWD DHURGLQDPLþNH EU]LQH X UDYQLQL VLPHWULMH OHWMHOLFH GRVWLJQH ]DGDQX YULMHGQRVW 972  8 WRP WUHQXWNX EU]LQD ]DOLMHWDQMD ELW üH 9.

9:;  972 

9ULMHPHLSXW]DOLMHWDQMDSRþLQMHPRPMHULWLNDGVH]UDNRSORYSRþQHJLEDWL1DNUDMX]DOLMHWDQMD VLODX]JRQDMHMHGQDNDWHåLQLLXWRPWUHQXWNXSUHVWDMHNRQWDNWVSLVWRPSRþLQMHOHW]UDNRSORYD 7LMHNRPFLMHORJSROLMHWDQMD]DVYHWULID]H ]UDNRSORYLPDNRQILJXUDFLMDXSROLMHWDQMX x GMHORPLFHL]EDþHQD]DNULOFDL x L]EDþHQRSRGYR]MH 1D NRHILFLMHQW X]JRQD L RWSRUD X ]DOLMHWDQMX XWMHþH MRã L SULVXVWYR WOD 2]QDþLPR VD & / PD[  PDNVLPDOQL NRHILFLMHQW X]JRQD ]D NRQILJXUDFLMX X SROLMHWDQMX 6D 9VWDOO  VH R]QDþDYD DHURGLQDPLþNDEU]LQDNRMDVWLPNRHILFLMHQWRPGDMHX]JRQMHGQDNWHåLQLOHWMHOLFH 

 U9VWDOO 6 UHI & / PD[ 

:



7R ]QDþL DNR SRVWDYLPR NRUPLOR YLVLQH G P PD[  RQGD üH SRVOLMH NUDWNRJ YUHPHQD SULMHOD]QL SURFHV  OHWMHOLFD ]DX]HWL QDSDGQL NXW D PD[  NRPH RGJRYDUD & / PD[  3UHPD WRPH 9VWDOO  MH QDMPDQMD PRJXüD DHURGLQDPLþND EU]LQD SUL NRMRM ]UDNRSORY PRåH SROHWMHWL DOL VH PRåH L YUDWLWL QD SLVWX MHU NRHILFLMHQW X]JRQD SUL PDOR YHüHP QDSDGQRP NXWX RSDGD =DWR MH SURSLVDQR )$5 3DUW   GD VH RGYDMDQMH QH L]YRGL SUL & / PD[   YHü SUL PDOR PDQMHP NRHILFLMHQWXX]JRQD 

& /72

& / PD[ 





6RYLPNRHILFLMHQWRPX]JRQDSRWUHEQDMHEU]LQD 972 GDELVLODX]JRQDELODMHGQDNDWHåLQLSD WXEU]LQXRGUH XMHPRL]WRJXYMHWD 

 U972 6 UHI & / 72 

:



3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



%U]LQX 972   QD]LYDPR EU]LQD RGYDMDQMD WDNHRII VSHHG  .DG RYX MHGQDGåEX XVSRUHGLPR V MHGQDGåERP  ]DNOMXþXMHPR GD üH RGYDMDQMH QDVWXSLWL NDG MH DHURGLQDPLþND EU]LQD 972

 ˜9VWDOO  =DOLMHWDQMHLPDGYDGLMHOD8SUYRPGLMHOXQHPDRWNORQDNRUPLODYLVLQHQDSDGQLNXW

]UDNRSORYDMHQXODLOLEOL]DNQXOL$HURGLQDPLþNDEU]LQDUDVWHGRN]UDNRSORYNUHüHSRSLVWLGR WUHQXWND NDGD DHURGLQDPLþND EU]LQD QDUDVWH GR YULMHGQRVWL 95  .DG DHURGLQDPLþND EU]LQD GRVWLJQHWXYULMHGQRVW 95 WDGMHNUDMSUYRJGLMHOD]DOLMHWDQMDLSRþLQMHGUXJLGLR]DOLMHWDQMD8 WRPGUXJRPGLMHOX]DOLMHWDQMD]UDNRSORYLGDOMHXEU]DYDVYRMHNUHWDQMHSRSLVWLDOLLVWRGREQR VHSURSLQMHLSUHGQMLNRWDþJXELNRQWDNWVSLVWRP7DMGUXJLGLR]DOLMHWDQMDSUHGVWDYOMDGUXJX ID]X SROLMHWDQMD L QD]LYDPR MH SURSLQMDQMH 3URSLQMDQMH SRþLQMH NDG SLORW SRVWDYL RWNORQ NRUPLOD YLVLQH G P 72  NRPH X UDYQRWHåQRP OHWX RGJRYDUD QDSDGQL NXW D 72  ]D NRML MH NRHILFLMHQWX]JRQDMHGQDNYULMHGQRVWL & /7  8SULMHOD]QRPSURFHVXSURPMHQHQDSDGQRJNXWD RG QXOH GR QRYH YULMHGQRVWL D 72  ]UDNRSORY VH SURSLQMH SRG XWMHFDMHP DHURGLQDPLþNRJ PRPHQWD2QVHRNUHüHRNRRVLJODYQLKNRWDþDGRNXWD -72

D 72 DSUHGQMLVHNRWDþRGYDMD

RG]HPOMH=DWRYULMHPH]UDNRSORYVHMRãXYLMHNXEU]DQRNUHüHVJODYQLPNRWDþLPDSRSLVWL $HURGGLQDPLþND EU]LQD ]UDNRSORYD VH SRYHüDYD %U]LQX 95  WUHED WDNR L]DEUDWL GD NXW SURSLQMDQMD ]UDNRSORYD GRVWLJQH YULMHGQRVW -72

D 72  NDG DHURGLQDPLþND EU]LQD GRVWLJQH

YULMHGQRVW 972   8RþLPR GD VPR WUHEDOL RWNORQLWL NRUPLOR YLVLQH UDQLMH ]D YULMHPH NRMH MH SRWUHEQRGDVHREDYLSULMHOD]QLSURFHV8]LPDVHRELþQRGDMH 95 GDDHURGLQDPLþNDEU]LQDGRVWLJQHYULMHGQRVW 972

 ˜ 9VWDOO ãWRRVLJXUDYD

 ˜9VWDOO QDNUDMXSULMHOD]QRJSURFHVDNDG

NRHILFLMHQW X]JRQD GRVWLJQH SRWUHEQX YULMHGQRVW & /72  ]D RGYDMDQMH RG SLVWH SUL DHURGLQDPLþNRMEU]LQL 972 3RVHEQRWUHEDSURYMHULWLSULNRQVWUXLUDQMX]UDNRSORYDGDNXW -72  EXGH PDQMLRG YULMHGQRVWL SUL  NRMRM EL]DGQMLGLR]UDNRSORYDXGDULRXSLVWX.DG]UDNRSORY GRVWLJQHNXWSURSLQMDQMD -72

D 72 SULEU]LQL 972 ]DYUãDYDGUXJDID]DSROLMHWDQMDDWLPHL

]DOLMHWDQMH=DOLMHWDQMHMH]EURMSUYRJLGUXJRJGLMHOD V J 

V  V 

7UHüD ID]D SRþLQMH NDG VH JODYQL NRWDþL RGYRMH RG SLVWH SRG XWMHFDMHP VLOH X]JRQD

NRMDMHYHüDRGWHåLQH]UDNRSORYD7DUD]OLNDL]PH XVLOHX]JRQDLWHåLQH]UDNRSORYDXSUYRP GLMHOX WUHüH ID]H X]URNXMH YHUWLNDOQL ]DRNUHW SXWDQMH ]UDNRSORYD RG NXWD J

  GR NXWD

SHQMDQMD J F  QD KRUL]RQWDOQRM GXOMLQL VD  .DG EU]LQD GRVWLJQH NXW J F  NRML MH SRWUHEDQ ]D

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



SHQMDQMH SLORW SRVWDYOMD G P NRML MH SRWUHEDQ ]D SHQMDQMH V NRQVWDQWQLP NXWRP J F  3RþLQMH GUXJL GLR WUHüH ID]H X NRPH VH ]UDNRSORY SUDYRFUWQR SHQMH 7DM SUDYRFUWQL GLR LPD KRUL]RQWDOQXSURMHNFLMX VE 8NXSQDKRUL]RQWDOQDSURMHNFLMDWUHüHID]HMH]EURM V

VD  VE 

3ROLMHWDQMH MH JRWRYR NDG ]UDNRSORY GRVWLJQH SURSLVDQX YLVLQL KREVWDFOH  =D FLYLOQH ]UDNRSORYH WD YLVLQD MH  P  IHHW  D ]D YRMQH  P  IHHW  7X YLVLQX QHNL ]UDNRSORYL GRVWLåX MRã ]D YULMHPH YHUWLNDOQRJ ]DRNUHWD SD MH GXOMLQD QMLKRYH WUHüH ID]H SROLMHWDQMDGLRYHUWLNDOQRJ]DRNUHWDEH]SUDYRFUWQRJGLMHOD V

VD 'UXJL]UDNRSORYLSRVWLåX

WXYLVLQXWHNSRVOLMHYHUWLNDOQRJ]DRNUHWDWLMHNRPSUDYRFUWQRJSHQMDQMD'XOMLQDQMLKRYHWUHüH ID]H MH ]EURM KRUL]RQWDOQH GXOMLQH YHUWLNDOQRJ ]DRNUHWD VD  L  SUDYRFUWQRJ SHQMDQMD GR SURSLVDQHYLVLQH VE 8VYDNRPVOXþDMXXNXSQDGXOMLQDSROLMHWDQMDMH]EURM V

V  V   V 

'XOMLQD]DOLMHWDQMDSUYDID]DSROLMHWDQMD 'LIHUHQFLMDOQHMHGQDGåEHSUYRJGLMHOD]DOLMHWDQMD =DYULMHPH]DOLMHWDQMDSRSLVWLMHGQDGåEHJLEDQMDVUHGLãWDPDVHVX

G[ 9. GW  G9. ) P GW





6LODXSUDYFX]DOLMHWDQMD)LVLODUHDNFLMHSLVWH5QDNRWDþLPDVX 

)

7  '  P5

5 : /







 6OLND6LOHNRMHGMHOXMXQD]UDNRSORYX]DOLMHWDQMX

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



 (OLPLQDFLMRP 5  L] WLK GYLMX MHGQDGåEL GRELYDPR RYLVQRVW VLOH NRMD XEU]DYD ]UDNRSORY QD SLVWL 

)

7

U9  6 & '  P& /  P:  



JGMH MH P  NRHILFLMHQW NRWUOMDQMD NRWDþD SR SLVWL 3UL ]DOLMHWDQMX ]UDNRSORYX VX GMHORPLþQR L]EDþHQD ]DNULOFD LOL QLVX D QDSDGQL NXW MH YUOR PDOL =UDNRSORYL NRML LPDMX WUHüL NRWDþ QD SUHGQMHPGLMHOXQMLKRYRPJHRPHWULMRPRVLJXUDYDMXX]DOLMHWDQMXQDSDGQLNXWMHGQDNQXOLLOL EOL]DNQXOL .DGD MHGQDGåEX  NRMD GDMH VLOX ]DOLMHWDQMD ]UDNRSORYD SULGUXåLPR GLIHUHQFLMDOQLP MHGQDGåEDPDJLEDQMDVUHGLãWDPDVH]UDNRSORYDSRSLVWLGRELYDPRPRGHOJLEDQMD]UDNRSORYD SR SLVWL 1XPHULþNRP LQWHJUDFLMRP WRJ PRGHOD PRåHPR L]UDþXQDWL SXW L WUHQXWQX EU]LQX ]UDNRSORYDRYLVQRRYUHPHQX7XQXPHULþNXLQWHJUDFLMXL]YRGLPRGREU]LQH 95  8MHGQDGåEDPDJLEDQMDSRSLVWL

G[ 9. GW  G9. D GW





XEU]DQMHDSUHPDMHGQDGåEL 

D

7 U9  6 & '  P& /  PJ   P  P



RYLVL R DHURGLQDPLþNRM EU]LQL D X GLIHUHQFLMDOQLP MHGQDGåEDPD LPDPR EU]LQX OHWD =DWR PRUDPREU]LQXOHWDL]UD]LWLRYLVQRRDHURGLQDPLþNRMEU]LQL 9. ]D YULMHPH ]DOLMHWDQMD YMHWDU NRQVWDQWDQ RQGD MH G9:

9  9:; 3UHWSRVWDYLPRGDMH   (OLPLQDFLMRP YUHPHQD L]

GLIHUHQFLMDOQLKMHGQDGåEDJLEDQMDL]DPMHQRPEU]LQHOHWDVD]EURMHPDHURGLQDPLþNHEU]LQHL YMHWUDGRELYDPRGLIHUHQFLMDOQXMHGQDGåEXSULMH HQRJSXWD 

GV

9. G9. D

9:;

 9 G 9:;  9 G9 9G9   9:; D D 9 D 9



3URFMHQDXEU]DQMDX]DOLMHWDQMD 8EU]DQMHX]DOLMHWDQMXSUHPDMHGQDGåELLPDREOLN 

D

7 U9  6 & '  P& /  PJ   P  P



3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



1DMWHåL GLR SUREOHPD ]DOLMHWDQMD MH GREUD SURFMHQD YHOLþLQD NRMH XOD]H X MHGQDGåEX ]D XEU]DQMHDWRVX x

SRJRQVNDVLOD7

x

DHURGLQDPLþNLNRHILFLMHQWLNRQILJXUDFLMHXSROLMHWDQMXL

x

NRHILFLMHQWNRWUOMDQMD P 

2ELþQRVHXSUREOHPLPDSROLMHWDQMDSULPMHQMXMXWULPRGHOD]DSURFMHQXSRJRQVNHVLOH 3UYLNDGD]UDNRSORYLPDHOLVQLSRJRQVNOLSQLPPRWRURPNDGVHPRåHSUHWSRVWDYLWL GDMH]DYULMHPHSROLMHWDQMDVQDJDPRWRUDNRQVWDQWQDWHMHVLODQDHOLVL

7



K HO 3PRW  9

=DYULMHPHSROLMHWDQMDNRHILFLMHQWXþLQNRYLWRVWLHOLVHRYLVLRSDUDPHWUX -

 9 Q' 8NROLNR]D

PDOHYULMHGQRVWLEU]LQHNRHILFLMHQWXþLQNRYLWRVWLLPDNRQDþQHYULMHGQRVWLVPDWUDVHGD]DPDOH YULMHGQRVWLDHURGLQDPLþNHEU]LQHSRJRQVNDVLODQHSUHOD]LQHNXPDNVLPDOQXYULMHGQRVW 8 GUXJRP PRGHOX NRML VH NRULVWL X VOXþDMX WXUERIDQ PRWRUD SUHWSRVWDYOMD VH GD MH SRJRQVNDVLODNYDGUDWQDIXQNFLMDDHURGLQDPLþNHEU]LQH

7



7   N9  N 9  



(6'8RPRJXüXMHSURFMHQXNRHILFLMHQDWD N  L N  ]DSRWUHEHSROLMHWDQMD1DSULPMHU]D 5ROOV5R\FHRYWXUERIDQPRWRU5%(WLNRHILFLMHQWLLPDMXYULMHGQRVWL N  L N 

 ˜   

 ˜   7UHüLPRGHONRULVWLVH]DPOD]QHPRWRUH8QMHPXVHRELþQRXVYDMDPRGDMHSRJRQVND

VLODNRQVWDQWQD .RHILFLMHQWHRWSRUDLX]JRQD]UDNRSORYD]DYULMHPHSROLMHWDQMDSRWUHEQRMHRGUHGLWL]D NRQILJXUDFLMXXSROLMHWDQMXLWRXSULVXWQRVWLWOD'MHORPLFHL]EDþHQD]DNULOFDSRYHüDYDMXVLOX X]JRQDDOLGLUHNWQRQHSRYHüDMXELWQRRWSRU]UDNRSORYD3ULVXWQRVWWODPLMHQMDVLOXX]JRQDD L]PLMHQMHQDVLODX]JRQDPLMHQMDLQGXFLUDQLRWSRUSDVHLQGLUHNWQRPLMHQMDRWSRU]UDNRSORYD .DGWRPXSULGRGDPRGDMHRWSRU]UDNRSORYDXSROLMHWDQMDXYHüDQL]ERJL]EDþHQRJSRGYR]MD NRHILFLMHQWRWSRUD]UDNRSORYDX]DOLMHWDQMXELWQRMHUD]OLþLWRGRWSRUD]UDNRSORYDXOHWX'REUD SURFMHQDRWSRUD]DNRQILJXUDFLMXXSROLMHWDQMXPRåHVHL]YUãLWLSUHPD(6'8OLW>@  7DNR QSU X ID]L SURMHNWLUDQMD NDGD QLVX SR]QDWH GLPHQ]LMH SRGYR]MD PRåHPR VH SRVOXåLWL MHGQRPHPSLULMVNRPIRUPXORP]DSURFMHQXSRYHüDQMDRWSRUDOLW>@  

'& '

Z. X F P  



3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



8 WRM MHGQDGåEL P MH PDVD ]UDNRSORYD X NJ X WUHQXWNX SROLMHWDQMD Z MH RSWHUHüHQMH NULOD X 1 P   D NRHILFLMHQW . X F  YDULUD RG YULMHGQRVWL  ˜    ]D SRWSXQR XYXþHQD ]DNULOFD GR YULMHGQRVWL  ˜   ]DPDNVLPDOQRL]YXþHQD]DNULOFD 3ULVXWQRVW WOD X EOL]LQL ]UDNRSORYQH NRQILJXUDFLMH PLMHQMD L X]JRQ L LQGXFLUDQL RWSRU 'REUDSURFMHQDXWMHFDMDSULVXWQRVWLWODQDX]JRQLRWSRUPRåHVHL]YUãLWLSRPRüX(6'8 OLW>@ 3ULEOLåQXSURFMHQXWRJXWMHFDMDGRELYDPRWHRULMRPSRJODYOMHMHGQDGåED  SRNRMRMRGQRVLQGXFLUDQRJRWSRUDXSULVXWQRVWLWODLXOHWXRYLVLRRGQRVXXGDOMHQRVWLNULOD RGWOD K LUDVSRQD]UDNRSORYD 

& 'L JURXQG



& 'L OHW

§ K· ¨ ¸ © E¹   § K·   ¨ ¸ © E¹



2YLVQR R YUVWL SRGORJH QD SLVWL YULMHGQRVWL NRHILFLMHQWD NRWUOMDQMD P  SULND]DQH VX WDEOLFRP 9UVWDWOD 6XKLDVIDOW 0RNULDVIDOW 3ROHGLFDQDDVIDOWX 7YUGD]HPOMD ýYUVWRQDVXWDSLVWD 0HND]HPOMD 9ODåQDWUDYD

%H]NRþHQMD       

3ULNRþHQMX       

 7DEOLFD7DEOLFDNRHILFLMHQWDNRWUOMDQMD  'XOMLQDSUYRJGLMHOD]DOLMHWDQMD]UDNRSORYD ,QWHJUDFLMRPGLIHUHQFLMDOQHMHGQDGåEHRGSRþHWQHDHURGLQDPLþNHEU]LQH 9

9:; GR 95 

GRELYDPRSUH HQLSXWXSUYRPGLMHOX]DOLMHWDQMD V

95

9

5 G9 9G9 9:; ³ ³  D 9 9 D 9 9

=D YULMHPH ]DOLMHWDQMD ]UDNRSORYD VPDWUDW üHPR SRJRQVNX VLOX NYDGUDWQRP IXQNFLMRP RG EU]LQHMHGQDGåED  

7

7   N 9  N 9  

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



8WRPVOXþDMXXEU]DQMHVLOH)ELWüHNYDGUDWQDIXQNFLMDDHURGLQDPLþNHEU]LQH

D



) P

$  %9  &9  



JGMHVX 7 PJ ! P 7  N     P 7 U6  N   & '   .& /  P& /  P P

$ 

% &



7DM PRGHO REXKYDüD L VOXþDMHYH QHNL POD]QL PRWRUL  NDGD VH PRåH SUHWSRVWDYLWL GD MH ]D YULMHPH]DOLMHWDQMDSRJRQVNDVLODNRQVWDQWQD N V



9:

95

³

9

 

N 9

5 G9 9G9    ³ $  %9  &9 $  %9  &9  9



'UXJLLQWHJUDOQDGHVQRMVWUDQLUDVWDYOMDPRQDGYDLQWHJUDOD 9

9

 5  %  %  &9 G9 & 9³ $  %9  &9 

9

% 5 G9  5 %  &9 G9    & 9³ $  %9  &9  & 9³ $  %9  &9 

3UYLGLRGUXJRJLQWHJUDOD]EURMLPRVSUYLPLQWHJUDORPWHMH 9

V

9

% ·5 G9  5 %  &9 §   9 G9  ¨ : ¸ & ¹9³ $  %9  &9  & 9³ $  %9  &9  ©

5MHãHQMH RYLK LQWHJUDOD RYLVL R NRULMHQLPD 9  L 9  SROLQRPD $  %9  &9 

  1HND VX

YULMHGQRVWLUHDOQLKNRULMHQD 

9



% $ § % ·  r ¨ ¸   & & © & ¹



.RULMHQL 9 L 9  XYLMHN VX UHDOQL DOL QH PRJX ELWL X LQWHUYDOX LQWHJUDFLMH 9  95  MHU EL WR ]QDþLOR GD X ID]L XEU]DYDQMD SRVWRML X WLP WUHQXFLPD XEU]DQMH MHGQDNR QXOL YULMHGQRVW SROLQRPDMHGQDNDMHQXOL D]DWLPLQHJDWLYQR%XGXüLGDVXNRULMHQLUHDOQLLSR]LWLYQLRQGD MH 9

V

9

[ SDMHNRQDþQR

9

% · 5 G9  5 %  &9 §  G9  ¨9:  ¸ ³ & ¹ & 9L 9  9 9  9 & 9³L $  %9  &9  © 9

&9:  % 5 §   ·  5 %  &9 ¨ ¸  G9  G9  & 9³L $  %9  &9  &  9  9 9³L ¨© 9  9 9  9 ¸¹

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH 

V



95  9 ˜ 9  9  $  %95  &95 &9:  % ˜OQ  ˜ OQ  &  9  9 95  9 ˜ 9  9 & $  %9  &9

8VOXþDMXGDMHSRJRQVNDVLODNRQVWDQWQD]DYULMHPH]DOLMHWDQMDWDGDVX N RQGDMH %

 N

 

 DSUHRVWDOHNRQVWDQWHLPDMXYULMHGQRVWL

7  PJ P  U6  & '  .& /  P& /  P

$



&  9



% $  r & &





WHMH 

V

9:;

9  9 OQ   $& 9  9

95

 9

95  OQ$  &9   9 &



8 VOXþDMX HOLVQLK ]UDNRSORYD ]QDPR GD RQL LPDMX UDVSRORåLYX VQDJX NRMX X SUYRM DSURNVLPDFLML PRåHPR SUHWSRVWDYLWL NRQVWDQWRP 0H XWLP ]D PDOH EU]LQH EL SRJRQVND VLOD WDGD ELOD YUOR YHOLND D WR QLMH VOXþDM =DWR ]D PDOH EU]LQH ]D NRMH MH 0D    SUHWSRVWDYOMDPRGDMHSRJRQVNDVLODNRQVWDQWQDLMHGQDNDYULMHGQRVWL]D 0D

 D]DYHüH

EU]LQHPLMHQMDVHSUHPDMHGQDGåEL

7

K

3  9

JGMHMH K NRHILFLMHQWXþLQNRYLWRVWLHOLVHD3VQDJDPRWRUD1DRVQRYLWDNYHSURVXGEHWUHEDPR GXåLQX]DOLMHWDQMDSRGLMHOLWLQDGYDGLMHOD2GVWDUWDGR V VNRQVWDQWQRPSRJRQVNRPVLORP7

P9N

G9N G[ 9N

7  '  P :  / 

G9N G[

$  %9  

JGMHMH

$



% *RUQMD GLIHUHQFLMDOQD MHGQDGåED RG 9 0D

 GDMHGXåLQX]DOLMHWDQMD

7 PJ P  U6 & '  P & /  P   GR 9



  ãWR RGJRYDUD X QRUPDOQLP XYMHWLPD

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



G[ 

V

9:;

9

³ 

9N G9N $  %9 

9:;

9

G9 9G9    $  %9 $  %9  §  % ·  § % · ¸ DUFWDQ¨¨9 ¸  % OQ¨©  $ 9 ¸¹   $ $% © ¹

 G9 9G9 ³  $  %9 $  %9  

2G RYH GDOMLQH SRJRQVND VLOD HOLVH MH REUQXWR SURSRUFLRQDOQD EU]LQL OHWD WH GLIHUHQFLMDOQD MHGQDGåEDLPDREOLN

P9N

G9N G[

9:;

9

K3  '  P :  /  9 G9 G[

$  %9  

&  9

JGMHVX $

P J U6 & '  P & /  %  P & K3





WHMH 

95

9:; 9  9  G9   & $9 %9   9

V  ³

V



7DM LQWHJUDO VH PRåH X VYDNRP NRQNUHWQRP VOXþDMX L]UDþXQDWL DOL RSüD IRUPXOD MH QHSULNODGQD  3URSLQMDQMH]UDNRSORYDGUXJDID]DSROLMHWDQMD 1HND VX PRPHQW SURSLQMDQMD L X]JRQ ]UDNRSORYD OLQHDUQH IXQNFLMH RWNORQD NRUPLOD YLVLQH L QDSDGQRJNXWD /



0

/  /D D  /G P G P 0   0 DD  0 GP G P





8 WUHQXWNX NDGD MH ]UDNRSORY GRVWLJDR RGUH HQX EU]LQX 95  SLORW SRVWDYOMD RWNORQ NRUPLOD YLVLQH G P 72  7RP NXWX NRUPLOD YLVLQH X UDYQRWHåQRP VWDQMX RGJRYDUD QDSDGQL NXW D 72  3UHPD SURSLVLPD )$5 3DUW   DHURGLQDPLþNL NRHILFLMHQW X]JRQD SUL WRP QDSDGQRP NXWX & /72 WUHEDELWL 

& /72

& /   & /D D 72  & /G P G P72

& / PD[ 





3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



8 WUHQXWNX NDGD MH SLORW SRVWDYLR RWNORQ NRUPLOD YLVLQH G P 72  SRWUHEDQ ]D RGYDMDQMH ]UDNRSORY MH LPDR QDSDGQL NXW D

  .DG PRPHQW VYLK VLOD ]D RV ]DGQMLK NRWDþD SRVWDQH

SR]LWLYDQ ]UDNRSORY VH SRþLQMH SURSLQMDWL RNR RVL ]DGQMLK NRWDþD 8 WUHQXWNX NDG QDVWDMH RGYDMDQMHSUHGQMHJNRWDþDRGSLVWHPRPHQWRNRRVL]DGQMLKNRWDþDMH]EURMPRPHQDWD  x RGWHåLQHNRMDLPDQDSDGQXWRþNXXVUHGLãWXPDVH  : ˜ '[  x RG DHURGLQDPLþNLK VLOD L SRSUHþQHSRJRQVNHVLOH NRMHVYHGHQHQDVUHGLãWHPDVH LPDMXUH]XOWDQWXVLOXX]JRQD / LVSUHJ 0 D]DRV]DGQMLKNRWDþDLPDWüHPRPHQW 0  / ˜ '[ 

x RGVLOHWURPRVWL PD ˜ '] L x DRGRWSRUDRVORQFD]DGQMLKNRWDþDELWüHQXODMHUWDVLODSUROD]LNUR]RV]DGQMLK NRWDþD  / D

PD ']

[ & 9

: '[

 6OLND3URSLQMDQMH]UDNRSORYD  3URSLQMDQMHSRþLQMHNDG]EURMRYLKPRPHQDWDEXGHYHüLRGQXOH.XWSURSLQMDQMD]UDNRSORYD PLMHQMDVHRGSRþHWQHYULMHGQRVWL -

 GRNUDMQMHYULMHGQRVWL -

D 72 7DSURPMHQDRGYLMDVH

SUHPDGLIHUHQFLMDOQRMMHGQDGåEL G ,2  GW

0  /  : ˜ '[  PD ˜ '] 

, 2 MHPRPHQWWURPRVWL]UDNRSORYD]DRV]DGQMLKNRWDþD=DWRãWRNRWDþLLGDOMHRVWDMXQDSLVWL ]D YULMHPH SURSLQMDQMD J

  SD MH VYH YULMHPH SURSLQMDQMD QDSDGQL NXW D  MHGQDN NXWX

SURSLQMDQMD]UDNRSORYD - =DWRMHXJRUQMRMMHGQDGåEL 

0 /

0   0 D-  0 G G P72 /  /D-  /G G P72



3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



3UHWSRVWDYLPR GD MH SURãOR YULMHPH W72  RG WUHQXWND SRVWDYOMDQMD NRUPLOD YLVLQH X SRORåDM G P72  GR WUHQXWND NDGD MH QDSDGQL NXW GRVWLJDR UDYQRWHåQX YULMHGQRVW D 72  =D WR YULMHPH EU]LQD MH LVWR UDVOD RG  YULMHGQRVWL 95  GR 972  %U]LQX 95  WUHED WDNR L]DEUDWL GD QD NUDMX SURSLQMDQMDX]JRQEXGHMHGQDNWHåLQL]UDNRSORYD  U972 6 UHI & /   & /D D 72  & /G P G P72 







:



'UXJDID]DMHJRWRYDL]DSRþLQMHWUHüDID]DSROLMHWDQMD9ULMHPHSURSLQMDQMD W /2 MHNUDWNRSD EU]LQD 95 PDORPDQMDRGEU]LQH 92)  8NROLNR MH RSUDYGDQR QD GLMHOX  SXWD V   GRN EU]LQH UDVH RG 95  GR 972 ]DQHPDULWL XWMHFDM SURPMHQH QDSDGQRJ NXWD QD XEU]DQMH PRåHPR LQWHJUDFLMX GLIHUHQFLMDOQH MHGQDGåEH YUãLWL GR EU]LQH RGYDMDQMD 972  7DGD LQWHJUDFLMRP GLIHUHQFLMDOQH MHGQDGåEH JLEDQMD  GRELYDPR XNXSQX GXOMLQX ]DOLMHWDQMD NRMD MH ]EURM SUYRJ GLMHOD JGMH QHPDPR SURSLQMD ]UDNRSORYD L GUXJRJ GLMHOD QD NRPH VH ]UDNRSORY SURSLQMH GR YULMHGQRVWL SRWUHEQH ]D RGYDMDQMH 

VJ

V  V 

9:;

972

³

9

G9  D

972

³

9

9G9  D



5H]XOWDWLQWHJUDFLMHMHSRWSXQRLVWLVDPRMHNUDMQMDEU]LQDRQDNRMDRGJRYDUDRGYDMDQMX 972  =DWRWUHEDXMHGQDGåEDPDLVDPR]DPLMHQLWLEU]LQX 95 VD 972 7DNRGRELYDPR]D NYDGUDWQL REOLN XEU]DQMD RG DHURGLQDPLþNH EU]LQH QRYX MHGQDGåEX ]D XNXSQX GXOMLQX ]DOLMHWDQMD V J 

V  V   VJ

972  9 ˜ 9  9  $  %972  &972 &9:  % ˜ OQ  ˜ OQ  &  9  9 972  9 ˜ 9  9 & $  %9  &9



.RQVWDQWH $ % L & RGUH HQH VX MHGQDGåEDPD  D NRUHQL 9 L 9  MHGQDGåERP  8 VOXþDMXNRQVWDQWHSRJRQVNHVLOHELWüHXNXSQDGXOMLQD]DOLMHWDQMD 

VJ

V  V 

9:;

9  9 OQ   $& 9  9

972

 9

972  OQ$  &9   9 &

.RQVWDQWH$L&RGUH HQHVXMHGQDGåEDPDDNRUHQL 9 L 9 MHGQDGåERP



3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



7UHüDID]DSROLMHWDQMD %U]LQD 972  MH SRþHWDN WUHüH ID]H SROLMHWDQMD ]UDNRSORYD =UDNRSORY SRVWDMH OHWMHOLFD EU]LQD JLEDQMD YLãH QLMH SDUDOHOQD SLVWL NXW EU]LQH OHWD J .  VH SRYHüDYD 1D SRþHWNX RYH ID]H NXW EU]LQH OHWD ]UDNRSORYD J .

  L RQ WUHED UDVWL GRN QH GRVWLJQH YULMHGQRVW J &  SRWUHEQX ]D

SHQMDQMH 7D SURPMHQD NXWD EU]LQH J .  RG  GR J &  MH JLEDQMH X YHUWLNDOQRM UDYQLQL NRMH MH RGUH HQRMHGQDGåEDPD

G9 7  '  : VLQ J GW  GJ P9 /  : FRV J GW

P 

L]NRMLKVPRRGUHGLOLGDMHSROXPMHUYHUWLNDOQRJ]DRNUHWDXVYDNRMWRþNLOHWD 

5

9  ˜  J Q  FRV J .



'RNVHNXW J . PLMHQMDRGGRYULMHGQRVWL J & EU]LQDUDVWHRGYULMHGQRVWL 972 GR 9& MHUVH ]UDNRSORY L GDOMH XEU]DYD 3UHPD )$5SURSLVLPD EU]LQD OHWD WLMHNRP ]DRNUHWD UDVWH RG YULMHGQRVWL 972

 ˜ 9VWDOO  GR YULMHGQRVWL  9& |  ˜9VWDOO  NDGD MH RELþQR SRVWLJQXW NXW

SHQMDQMD J &  

V



V

95

VD

972

9&



6OLND  

3RJOHGDMPR NDNR L]JOHGD NULYXOMD YHUWLNDOQRJ ]DRNUHWD 3UHWSRVWDYLPRGD]DYULMHPH

]DRNUHWD SLORW QH PLMHQMD RWNORQ NRUPLOD YLVLQH 'UXJLP ULMHþLPD FLMHOR YULMHPH ]DRNUHWD NRHILFLMHQWX]JRQDMH & /

 ˜ & / PD[ 1DSRþHWNX]DRNUHWDELORMHQRUPDOQRRSWHUHüHQMHX

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



WUHQXWNX RGYDMDQMD Q   D SROXPMHU ]DRNUHWD MH EHVNRQDþQR YHOLNL 1D NUDMX ]DRNUHWD MH QRUPDOQRRSWHUHüHQMH U9  6 UHI & /  :

U 9VWDOO 6 UHI  ˜ & / PD[  : 

 

.XWSHQMDQMD J & MHPDOLWHMH FRV J & |  6WRPDSURNVLPDFLMRPMHSROXPMHUQDNUDMX]DRNUHWD

5



9 J Q  FRV J .

9VWDOO  J   



 9VWDOO  J



.ULYXOMDYHUWLNDOQRJ]DRNUHWDLPDQDSRþHWNXQHL]PMHUDQSROXPMHU]DNULYOMHQRVWLDQDNUDMXWL NRQDþQXYULMHGQRVW1DRVQRYXWRJDVOLMHGLGDMHWRQHNDYUVWDVSLUDOH0LüHPRMH]DPLMHQLWLV OXNRPNUXåQLFH7R]QDþLGDQDPWUHEDQHNLSURVMHþQLSROXPMHUXYHUWLNDOQRP]DRNUHWX7DM SURVMHþQL SROXPMHU GRELW üHPR DNR X]PHPR SURVMHþQH YULMHGQRVWL X MHGQDGåEL ]D SROXPMHU ]DNULYOMHQRVWL 7R VX EU]LQD QRUPDOQR RSWHUHüHQMH L FRV J  %U]LQD QD SRþHWNX ]DRNUHWD MH 9 /2  ˜ 9VWDOO  $NR MH QD NUDMX YHUWLNDOQRJ ]DRNUHWD EU]LQD GRVWLJOD YULMHGQRVW  ˜ 9VWDOO  RQGDMHSURVMHþQDYULMHGQRVWEU]LQHX]DRNUHWX  ˜ 9VWDOO 

QP

U9P 6 UHI & /  :

U  ˜9VWDOO 6 UHI  ˜ & / PD[  : 

 

$NR VH X]PH X RE]LU GD MH VYH YULMHPH ]DRNUHWD NXW J  YUOR PDOL PRåHPR X SUYRM DSURNVLPDFLMLSUHWSRVWDYLWLGDMHVYHYULMHPHYHUWLNDOQRJ]DRNUHWD FRV J |  8WRPMHVOXþDMX SROXPMHUNUXåQLFH 

5P

9P J Q P  FRV J .

 ˜9VWDOO  J   



 9VWDOO  J



1DRVQRYLWLKDSURNVLPDFLMDPD]DPMHQMXMHVHSXWDQMD]DYULMHPH]DRNUHWDNUXåQLFRP=DWRMH YLVLQDQDNUDMX]DRNUHWDNDGDMH J 

J &  K

5   FRV J & 



7UHüD ID]D ]DYUãDYD NDG ]UDNRSORY GRVWLJQH YLVLQX KREV  NRMX QD]LYDPR YLVLQD QDGYLVLYDQMD SUHSUHNH REVWDFOH FOHDUDQFH DOWLWXGH  3R FLYLOQLP VWDQGDUGLPD KREV YRMQLP KREV

 P   IW  D SR

 P IW $NR]UDNRSORYQDNUDMXYHUWLNDOQRJ]DRNUHWDNDGDLPDSRWUHEDQ

NXW SHQMDQMD J &  QHPD SRWUHEQX YLVLQX RQGD WUHüD ID]D REXKYDüD L GLR SHQMDQMD SUL NRQVWDQWQRPNXWXSHQMDQMD J & GRYLVLQH KREV 

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



+RUL]RQWDOQDSURMHNFLMDRYLKWULMXID]DOHWDMHGXOMLQDSROLMHWDQMD0H XWLPXSUDYRP VPLVOX ULMHþL SROLMHWDQMH ]DYUãDYD QD YLVLQL RG  P  IW  NDG ]UDNRSORY WUHED XYXüL NRWDþHXYXüL]DNULOFDSRVWDYLWLPRWRUXUHåLP]DSHQMDQMHLWLPHXSRWSXQRVWL]DYUãLWLID]X SROLMHWDQMD 6LJXUQRVWSROLMHWDQMD 'XOMLQDSLVWH .DGDMHULMHþR]UDNRSORYDVYLãHRGMHGQRJVUHGLãQMHJPRWRUDXRGMHOMNXYLGMHOLVPRGD SRVWRML MHGQD PLQLPDOQD DHURGLQDPLþND EU]LQD SUL NRMRM MH PRJXüH PDNVLPDOQLP RWNORQRP NRUPLODSUDYFDNRPSHQ]LUDWLPRPHQWVNUHWDQMDNRMLQDVWDMHRWND]RPMHGQRJERþQRJPRWRUD 1D]RYLPRWXEU]LQX 9PFD PLQLPXPFRQWUROVSHHG -DVQRMHGDWDEU]LQDPRUDELWLPDQMDRG EU]LQHRGYDMDQMD 972 LRELþQRMHGRVWDPDQMD$NRVHRWND]MHGQRJERþQRJPRWRUDGRJRGLX ]DOLMHWDQMXSULEU]LQL 9 IDLO NRMDMHPDQMDRG 9PFD ]UDNRSORYPRUDNRþLWLDDNRVHRWND]PRWRUD GRJRGLX]DOLMHWDQMXNDGMH 9 IDLO ! 9PFD SRVWRMHGYLMHPRJXüQRVWL x

NRþLWL]UDNRSORYGRNQHVWDQH

x

QDVWDYLWL SROLMHWDQMH V MHGQLP PRWRURP MHU VH ]UDNRSORY PRåH GUåDWL X åHOMHQRP SUDYFXDSRVOLMHSROLMHWDQMDVOHWMHWLQDSLVWX

-DVQRMHGD]UDNRSORYVMHGQLPPRWRURPLPD]QDWQRPDQMHXEU]DQMHãWR]DKWLMHYDGXåXSLVWX RGRQHNRMXQRUPDOQRWUHEDVGYDPRWRUD.RMHRGRYHGYLMHPRJXüQRVWLWUHEDUHDOL]LUDWL"'D ELRGJRYRULOLQDWRSLWDQMHSURPRWULPRGLMDJUDPQDVOLFL1DDSVFLVLMHEU]LQD]UDNRSORYD XWUHQXWNXRWND]DPRWRUD 9 IDLO 'RQMDNULYXOMDQDDSVFLVLLPDSXWRGVWDUWDGR]DXVWDYOMDQMD NRMLMH]EURMGYDGLMHOD8SUYRPGLMHOX]UDNRSORYMHXEU]DYDRVGYDPRWRUDGREU]LQH 9 IDLO D XGUXJRPGMHOXMHMHNRþLRVMHGQLPPRWRURPRGEU]LQH 9 IDLO GR]DXVWDYOMDQMD,GUXJDNULYXOMD LPD DSVFLVX NRMD MH ]EURM GYD GLMHOD 3UYL GLR MH LVWR SUH HQL SXW ]UDNRSORYD ]D YULMHPH XEU]DYDQMD V GYD PRWRUD RG VWDUWD GR EU]LQH RWND]D 9 IDLO  D GUXJL MH XEU]DYDQMH V MHGQLP PRWRURPRGEU]LQHRWND]D 9 IDLO GREU]LQHRGYDMDQMD 972 7DXNXSQDGXOMLQDELWüHGXåDDNRMH RWND]PRWRUDQDVWDRSULPDQMRMEU]LQLSDNULYXOMDSDGDVSRYHüDQMHPEU]LQH 9 IDLO 'LMDJUDPD SRND]XMH GD VH WH GYLMH NULYXOMH VLMHNX ]D QHNX EU]LQX 9  NRMD VH QD]LYD EU]LQD RGOXþLYDQMD GHFLVLRQVSHHG $NRMHXWUHQXWNXRWND]D 9 IDLO  9 RQGDMHNUDüLSXWGR]DXVWDYOMDQMDLSLORW WUHED NRþLWL , REUQXWR DNR MH X WUHQXWNX RWND]D 9 I ! 9   SLORW WUHED QDVWDYLWL SURFHGXUX

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



SROLMHWDQMD SROHWMHWL WH RQGD GRQLMHWL RGOXNX ãWR UDGLWL 8 JRUQMHP GLMDJUDPX NUDMQMD WRþND SUHGVWDYOMD EU]LQX RGYDMDQMD 972  SD DNR MH RWND] PRWRUD L QDVWDR NDG MH EU]LQD ]UDNRSORY GRVWLJODWXYULMHGQRVWSXWGRRGYDMDQMDLVWLMHNDRGDQLMHELORRWND]D  



 SXWV>P@

SXWGRRGYDMDQMD 





SXWGR]DXVWDYOMDQMD

 





   EU]LQDSULRWND]X9IL >PV@









6OLND'XOMLQDSXWDGRRGYDMDQMDLGR]DXVWDYOMDQMD  3UHPDWRPHRþLWRMHGDGXåLQDSLVWH]D]DOLMHWDQMHWUHEDELWLL]VLJXUQRVQLKUD]ORJDYHüDRGRQH NRMXWHRUHWVNLRGUH XMHPR7DGXåLQDSLVWH]D]DOLMHWDQMH V J PRUDRGJRYDUDWLGXåLQLSLVWHDNR MHRWND]QDVWDRSULEU]LQLRGOXþLYDQMD 9 DWDGXåLQDSLVWHGRVWDMHYHüDRGRQHXQRUPDOQRP ]DOLMHWDQMX V J 8SUDYRMHWRMHGDQRG]DKWMHYDNRMLPRUD]DGRYROMLWLGXåLQDSLVWH-DVQRMHGD WDEU]LQD 9 PRUDELWLPDQMDRGEU]LQL 95 DYHüDRG 9FP  8WMHFDMYMHWUD 3ULRGUH LYDQMXGXåLQHSLVWHPRUDVHX]HWLXRE]LULQHSRYROMQDNRPSRQHQWDYMHWUDXSUDYFX SLVWH1HSRYROMQDMHNRPSRQHQWDYMHWUDXVPMHUXSROLMHWDQMD7R]QDþLGDWUHEDRGUHGLWLGXåLQX SLVWHL]XYMHWDGD]UDNRSORYNRPHMHRWND]DRMHGDQPRWRUSRVOLMHEU]LQH 9 VWDNRXPDQMHQLP XEU]DQMHP D X XYMHWLPD QDMYHüHJD GRSXãWHQRJ YMHWUD X SUDYFX L VPMHUX SROLMHWDQMD LPD GRYROMQXGXOMLQXSLVWHGDSRVWLJQHDHURGLQDPLþNXEU]LQXRGYDMDQMD 972 RGQRVQRDNRPXMH PRWRURWND]DRSULMHEU]LQH 9 RQGDPRUDSLVWDELWLGRYROMQRGXJDGDPRåHXNRþLWLSULMHNUDMD

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



SLVWH 3RUHG WRJD WUHED YRGLWL UDþXQD GD ]UDNRSORY V MHGQLP PRWRURP PRUD SRVWLüL YLVLQX KREVWDFOH DNRVHRGYRMLRQDNUDMXSLVWH .DGD VPR SURPDWUDOL XWMHFDM ERþQH NRPSRQHQWH YMHWUD QD VWDELOQRVW JLEDQMD ]UDNRSORYDYLGMHOLVPRGDERþQDNRPSRQHQWDYMHWUDVWYDUDNXWNOL]DQMD

WDQ E



9:=  9.  9:;

$NRQHRWNORQLPRNRUPLORSUDYFDVWDWLþNLVWDELODQ]UDNRSORYRNUHQXWüHVHXSUDYFXYMHWUD ]D WDM NXW NOL]DQMD L WLPH QDVWDYLWL JLEDQMH X SUDYFX YMHWUD D QH X SUDYFX SLVWH =DWR WUHED RWNORQLWLNRUPLORSUDYFDLNULOFD NDNREL]UDNRSORYRVWDRQDLVWRPSUDYFXJLEDQMDGXåSLVWH 9LGMHOL VPR GD SRVWRML X OHWX QHND YULMHGQRVW NXWD NOL]DQMD GR NRMH MH PRJXüH NRPSHQ]LUDWL XWMHFDM ERþQRJ YMHWUD QD SUDYDF JLEDQMD MHU MH RWNORQ NRUPLOD SUDYFD RJUDQLþHQ QHNRP PDNVLPDOQRP YULMHGQRãüX 3UHPD SURSLVLPD ]D NRQVWUXNFLMX ]UDNRSORYD NRUPLOR SUDYFD PRUD ELWL X VWDQMX RVLJXUDWL SUDYDF OHWD NDGD MH NXW NOL]DQMD E

   .XW NOL]DQMD ELW üH

QDMYHüLNDGMHQDMPDQMDEU]LQDOHWDDQDMPDQMDEU]LQDOHWDMHXWUHQXWNXRGYDMDQMD7R]QDþL GDVHVPLMHSROLMHWDWLDNRMHERþQDNRPSRQHQWDYMHWUDPDQMDRG 972 WDQ E 6RE]LURPQDWRãWR YMHWDUQLNDGQLMHNRQVWDQWDQPRUDVHX]HWLLRGUH HQDUH]HUYD]ERJWUHQXWQLKXGDUDYMHWUDSD VHRYDYULMHGQRVWMRãXPDQMXMH1D]RYLPRMHGRSXãWHQDYULMHGQRVWERþQRJYMHWUD 3ULPMHUL 3ULPMHU 2GUHGLW üHPR GXOMLQX ]DOLMHWDQMD GYRPRWRUQRJ ]UDNRSORYD GR EU]LQH 972  DNR QHPD YMHWUD L XWMHFDM YMHWUD X SUDYFX SROLMHWDQMD LQWHQ]LWHWD P V  7HåLQD ]UDNRSORYD MH :

.1 

5HIHUHQWQD SRYUãLQD MH 6

 P   ]D NRQILJXUDFLMX V L]EDþHQLP NRWDþLPD L GMHORPLFH

L]EDþHQLP ]DNULOFLPD & ' 

  D ]D þLVWX NRQILJXUDFLMX & ' 

.

  .RHILFLMHQW

 DNRHILFLMHQWPDNVLPDOQRJX]JRQD]UDNRSORYDVGMHORPLFHL]YXþHQLP]DNULOFLPD

MH & / PD[

  .RHILFLMHQW WUHQMD  NRWDþD SR SLVWL MH P

GMHORPLFHL]EDþHQLP]DNULOFLPD & /

  =D YULMHPH ]DOLMHWDQMD V

 8SULVXWQRVWLWODLQGXFLUDQLRWSRUSDGDQDRG

QMHJRYH YULMHGQRVWL X OHWX 2YLVQRVW SRJRQVNH VLOH PRWRUD X .1 R DHURGLQDPLþNRM EU]LQL ]DGDQDMHMHGQDGåERP 7

 ˜    ˜  9   ˜   9  >.1 @ 

=DYULMHPH]DOLMHWDQMDMHLQGXFLUDQLRWSRUXSULVXWQRVWLWOD

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH

 & 'L

 ˜ .& /

 ˜  ˜  

 

WHMHWRWDOQLRWSRU]DYULMHPH]DOLMHWDQMD &'

& '   & 'L

    

,]MHGQDGåEHGRELYDPR  U9VWDOO 6 UHI & / PD[ 

: U6 UHI & / PD[

9VWDOO

:

 ˜   ˜  ˜ 

 P V 

3LORW SRVWDYOMD RWNORQ NRUPLOD YLVLQH WDNR GD V GMHORPLFH L]YXþHQLP ]DNULOFLPD EXGH NRHILFLMHQWX]JRQD & /72

 ˜ & / PD[

 ˜   

6WLPNRHILFLMHQWRPX]JRQDQDVWXSLWüHRGYDMDQMHRGWODSULEU]LQL  U972 6& /72 

972 =D D  D 7

: U6 UHI & / 72

:

 ˜   ˜  ˜ 

 P V 

 ELWüH

$

7 PJ P

%

 N

&

N

   J   

7   ˜   P 

 ˜   

7 U6 & '  P& /  ˜      ˜     ˜      ˜  P P   ˜ 

.RULMHQLVX 

9

% $ § % ·  r ¨ ¸  & © & ¹ &

=DVOXþDMNDGDQHPDYMHWUD 9: [J

  ˜      r       ˜  ˜     9



9





 MHGQDGåED]DGXOMLQX]DOLMHWDQMDGRELYDREOLN

 9  9 ˜9 $  %9/2  &9/2  % ˜ OQ  ˜OQ /2   & $ & 9  9 9/2  9 ˜9

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



3RVOLMH]DPMHQH $   % [J

 ˜   L &

 ˜   GRELYDPR

   ˜   ˜  ˜   ˜    ˜  OQ   ˜   ˜     ˜  



˜ OQ

 ˜   ˜  ˜     ˜ OQ    ˜ OQ      

   ˜       ˜   P

1DSUDYOMHQMHSURJUDPNRMLGDMHRYLVQRVWGXOMLQH]DOLMHWDQMDRYMHWUX [ J 9:; 2QVHQDOD]LQD GLVNHWL SRG LPHQRP 9MHWDUP X GLUHNWRULMX 3HUIRUPDQVH?3ROHWDQMH 6 WLP SURJUDPRP QDFUWDQMHGLMDJUDPQDVOLFLQDNRMRMVHYLGLXWMHFDMYMHWUDXSUDYFXSROLMHWDQMDQDGXOMLQX ]DOLMHWDQMD0RåHVHUHüLGDMHWDMXWMHFDMOLQHDUDQLGDVYDNL  P V YMHWUDXSUDYFXSROLMHWDQMD SURGXåXMHSXW]DOLMHWDQMDRYRJ]UDNRSORYD]DP 2YDM]UDNRSORYQDNUDMXYHUWLNDOQRJ]DRNUHWDWUHEDRELLPDWLEU]LQXOHWD 9

 ˜9VWDOO

 ˜   P V 

3ULWRMEU]LQLSRJRQVNDVLODMH 7

 ˜    ˜  9   ˜   9 

 ˜    ˜     ˜      .1

 

SXWGRRGYDMDQMD[J>P@

      





 EU]LQDYMHWUD9Z>PV@



6OLND8WMHFDMYMHWUDQDGXOMLQX]DOLMHWDQMD 





3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



.XW SHQMDQMD RGUH XMHPR ]D NRQILJXUDFLMX ]UDNRSORYD QD NUDMX SROLMHWDQMD .RWDþL VX MRã L]EDþHQLD]DNULOFDGMHORPLFHNDRSULRGYDMDQMXDOLYLãHQHPDXWMHFDMDWODQDLQGXFLUDQLRWSRU =DWRMH & ' 

 SDMHUHåLPOHWD]DPDNVLPDOQLNXWSHQMDQMDMH 9J

: U 6

97

. &'

     

 P V 

DWRMEU]LQLRGJRYDUDSRJRQVNDVLOD  ˜    ˜  9   ˜   9 

7

 ˜    ˜     ˜      .1

6LODRWSRUDMH

'

U9J 

6 & ' 

 ˜    ˜  ˜  

VLQ J &

7 ' :

   

.1 

 

 

J& 3URFMHQDSROXPMHUD]DRNUHWDMH 5 

 9VWDOO J



 

 P 

WHMHYLVLQD]UDNRSORYDXWUHQXWNXNDGDSRVWLJQHNXWSHQMDQMD K [ WU

5   FRV J &  ˜   FRV   P 5 VLQ J &

 ˜ VLQ   P



7R MH YHüD YLVLQD RG SRWUHEQH YLVLQD   P  3UHPD RYRP PRGHOX GXOMLQX WUHüH ID]H GRELYDPRL]MHGQDGåED K

5   FRV J & 

  ˜   FRV J & 

FRV J & [

 Ÿ J &

5 VLQ J &

 ˜ VLQ 

    P 

7R]QDþLGDMHGXOMLQDSROLMHWDQMDRYRJ]UDNRSORYDXQRUPDOQLPXYMHWLPDEH]YMHWUD

[ J  [

    

 P 

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



3ULPMHU =DSUHWKRGQLSULPMHUWUHEDQDFUWDWL x

GXOMLQX SXWD GR RGYDMDQMD DNR MH SUL EU]LQL 9 I  RWND]DR MHGDQ PRWRU X RYLVQRVWL R WRM EU]LQL

x

GXOMLQX GR ]DXVWDYOMDQMD DNR MH SRVOLMH RWND]D SUL EU]LQL 9 I  SLORW NRþLR V SUHRVWDOLP MHGQLPPRWRURPLNRþQLFDPDQDNRWDþLPD

x

6LODNRþHQMDSRPRüXGYDPRWRUDMH 7 U PU

 N1 DNRHILFLMHQWNRþHQMDNRWDþLPDMH

 

 .RQVWDQWHSUL]DOLMHWDQMXVGYDPRWRUD

$

7 P˜J P

%

N 

&

N

7 P

   ˜    

 ˜  

 

 

7 U6 & '  P& /  P P   ˜         ˜   ˜   ˜     ˜ 

.RQVWDQWHSUL]DOLMHWDQMXVMHGQLPPRWRURP $I

7  P˜J P

%I

N 

&I

   ˜     ˜ 

7    ˜     ˜  P 7  U6 & '  P& / N   P P   ˜         ˜   ˜   ˜    ˜   ˜ 

.RQVWDQWHSULNRþHQMXVMHGQLPPRWRURPLNRWDþLPD

%U

7U   PU ˜ J P 

&U



$U

    ˜    ˜ 

U6 & '  P U & /   ˜     ˜   ˜   P  ˜ 

3ULMH HQMHSXW V I VGYDPRWRUDRGEU]LQH 9 GRRWND]DMHGQRJPRWRUDSULEU]LQL 9 I 



3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



VQ

9 I  9 ˜ 9  9  $  %9 I  &9 I  &9:  % ˜OQ  ˜ OQ &  9  9 9 I  9 ˜ 9  9 & $  %9  &9

2GWRJPMHVWDGDOMHUDGLRMHVDPRMHGDQPRWRUWHMHSULMH HQLSXWVMHGQLPPRWRURPGREU]LQH 972  VI

972  9 ˜ 9 I  9  OQ ˜  & I 9  9 972  9 ˜ 9 I  9 & I & I 9:  %

˜ OQ

 $ I  % I 972  & I 972

$ I  % I 9 I  & I 9 I



7HMHXNXSQLSXWGRRGYDMDQMD

V

VQ  V I 

$NRVHNRþLMHGQLPPRWRURPRGPMHVWDRWND]DSULEU]LQL 9 I GR]DXVWDYOMDQMD 9

 SULMH HQL

MHSXW]DYULMHPHNRþHQMDMHGQLPPRWRURP

VU

 9 ˜ 9 I  9  & U9:  %U $U  ˜OQ  ˜ OQ  $U  %U9 I  & U9U & U 9  9  9 ˜ 9 I  9 & U

SDMHXWRPVOXþDMXXNXSQLSXW V

VQ  VU 

3URJUDPVHQDOD]LGLVNHWLXGLUHNWRULMX3HUIRUPDQVH?3ROHWDQMHSRGLPHQRP9GHFLVLRQP DUH]XOWDWSULPMHQHMHGLMDJUDPQDVOLFL

  6OLMHWDQMHODQGLQJ  2SLVVOLMHWDQMD 6OLMHWDQMH]DSRþLQMHVYLVLQH KREVW 2GWRJPMHVWDSRþLQMHVHPMHULWLGXOMLQDVOLMHWDQMDSDVYHGR ]DXVWDYOMDQMDOHWMHOLFH=UDNRSORYGROD]LQDVOLMHWDQMHXSODQLUDQMXPLQLPDOQLSRJRQ VPDOLP NXWRP J D  L V DHURGLQDPLþNRP EU]LQRP NRMD SUHPD SURSLVLPD PRUD ELWL YHüD LOL MHGQDND  ˜ 9 VWDOO 6OLMHWDQMHLPDWDNR HUWULID]H x

SUYDID]DMHRGYLVLQH K REVW GRYLVLQH KU JGMH]DSRþLQMHYHUWLNDOQL]DRNUHW

x

GUXJDID]DMHYHUWLNDOQL]DRNUHWVSROXPMHURP5RGYLVLQH KU GRGRGLUDVSLVWRP

x

WUHüDID]DMHXVSRUDYDQMHQDSLVWL

8 SUYRM ID]L VOLMHWDQMD ]UDNRSORY QDVWDYOMD SUDYROLQLMVNR VSXãWDQMH GR YLVLQH KU  NRMD PX RGJRYDUD ]D YHUWLNDOQL ]DRNUHW V SROXPMHURP 5 GD EL QD NUDMX ]DRNUHWD WDQJLUDR SLVWX 8 ]DRNUHWXSLORWNRQWUROLUDSROXPMHUVSURPMHQRPRSWHUHüHQMDQ3ULMHOD]RGNUDMD]DRNUHWDGR

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



GRGLUD V SLVWRP WUHED VH RVWYDULWL EH] YHOLNRJ YHUWLNDOQRJ XEU]DQMD 8VSRUDYDQMH QD SLVWL RVWYDUXMH VH QDMSULMH DHURGLQDPLþNLP NRþQLFDPD ]DWLP DNR ]UDNRSORY WR RPRJXüXMH PRWRURPLQDNUDMXLPHKDQLþNLPNRþQLFDPDQDNRWDþLPD 3UYDID]DVSXãWDQMH 9LVLQD KREVW  RGDNOH SRþLQMH VOLMHWDQMH SURSLVDQD MH LVWD NDR ]D SROLMHWDQMH 1D WX YLVLQX ]UDNRSORYWUHEDGRüLXSODQLUDQMXVNXWRP J D LEU]LQRPQHPDQMRPRG  ˜ 9 VWDOO 2GWHWRþNH ]UDNRSORYQDVWDYOMDGDOMHVSXãWDQMHXSUDYRFUWQRPOHWXVLVWRPEU]LQRPGRYLVLQH KU NRMDPX RGJRYDUD ]D SRþHWDN ]DRNUHWD  KU d KREVW  3ULMH HQL SXW RG YLVLQH KREVW  GR YLVLQH KU  LPD KRUL]RQWDOQXSURMHNFLMD 

KREVW  KU  WDQ J D

[



'UXJDID]D]DRNUHWGRGRGLUDSLVWH 'DELVH]UDNRSORYVYLVLQH KU LVNXWRPSRQLUDQMD J D VSXVWLRQDSLVWXSRNUXåQLFLSRWUHEDQ MHSROXPMHU 

KU    FRV J D

5



'DEL]UDNRSORYLPDRRYDMSRWUHEDQSROXPMHUSLORWSRVWDYOMDRWNORQNRUPLODYLVLQHXSRORåDM NRPHRGJRYDUDRSWHUHüHQMHQRGUH HQRMHMHGQDGåERPL]SUHWKRGQRJSRJODYOMD 

Q

9  FRV J D  J5



+RUL]RQWDOQDSURMHNFLMDSXWDELWüH 

[

5 VLQ J D 



8 RYRM ID]L GROD]L GR L]UDåDMD YMHãWLQD SLORWD MHU PRUD WRþQR SURFLMHQLWL WUHQXWDN NDGD WUHED SRVWDYLWL RWNORQ NRUPLOD GD EL QD NUDMX YHUWLNDOQRJ ]DRNUHWD NDGD MH EU]LQD KRUL]RQWDOQD

J

 RSHWYUDWLRNRUPLORYLVLQHXSRORåDM]DKRUL]RQWDOQLOHWD]UDNRSORYELRãWREOLåHSLVWL

7UHüDID]DXVSRUDYDQMH 1D NUDMX ]DRNUHWD X LGHDOQRP VOXþDMX ]UDNRSORY WDQJLUD SLVWX EU]LQD MH SDUDOHOQD SLVWL SRJRQVNDVLODLOLVQDJD PRWRUDMHQDPLQLPXPX3ULGRGLUXVSLVWRP]UDNRSORYRGPDKNRþL 3UYRVHXNOMXþXMXDHURGLQDPLþNHNRþQLFH]DWLPDNR]UDNRSORYLPDNRþHQMHPRWRURPRQRVH XNOMXþXMH RGPDK SRVOLMH DHURGLQDPLþNLK NRþQLFD 1D NUDMX VH XNOMXþXMX L NRþQLFH QD

3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



NRWDþLPD 0RGHO JLEDQMD ]UDNRSORYD QD SLVWL LVWL MH NDR X ID]L ]DOLMHWDQMD SUL SROLMHWDQMX ]UDNRSORYD VDPR ãWR MH SRJRQVND VLOD 7  LOL PDOD SR]LWLYQD YULMHGQRVW NRMD RGJRYDUD PLQLPDOQRM SRJRQVNRM VLOL LOL NRQVWDQWQD QHJDWLYQD YULMHGQRVW NRMD RGJRYDUD NRþHQMX PRWRURP8VYDNRPVOXþDMXVLODMHXSUDYFXJLEDQMD]UDNRSORYDSRSLVWL U9  7  6 & '  P& /  PJ  

)





SDMHXEU]DQMHWHVLOH

) P

D



$  &9    



JGMHMH9DHURGLQDPLþNDEU]LQDDNRQVWDQWHVX

7  PJ P  U6  & '   .& /  P& /  P

$ &

.RQVWDQWD&MHXYLMHNQHJDWLYQDD$PRåHELWLLSR]LWLYQDLQHJDWLYQDYULMHGQRVWãWRRYLVLR VLOL PRWRUD 7  GRN MH QDSDGQL NXW JRWRYR XYLMHN MHGQDN QXOL 7LMHNRP XVSRUDYDQMD QD SLVWL WUHEDRYXID]XSRGLMHOLWLQDGLMHORYHMHUVHRYHNRQVWDQWHUD]OLNXMXRYLVQRRQDþLQXNRþHQMD 5DGL ODNãHJ L]YR HQMD SUHWSRVWDYLPR GD VX NRQVWDQWH $ L & LVWH GXå FLMHORJ SXWD NRþHQMD8WRþNLGRGLUD]UDNRSORYDLSLVWH7'WRXFKGRZQ EU]LQDOHWDMH]EURMDHURGLQDPLþNH EU]LQH 97'  L YMHWUD 9:  SR]LWLYDQ YMHWDU X SUDYFX VOLMHWDQMD  D X WRþNL ]DXVWDYOMDQMD ]UDNRSORYD]EURMDHURGLQDPLþNHEU]LQH 9 LYMHWUD 9: MHGQDNMHQXOLWHMHWDGDDHURGLQDPLþND EU]LQD 9

9: 3UH HQLSXW]UDNRSORYDQDSLVWLRGWRþNH7'GR]DXVWDYOMDQMHMH 

VJ

9 G9 ³7' . D .



³

9:  9 G 9:  9  D

7'

,RYGMHSUHWSRVWDYOMDPRGDMH]DYULMHPHGUXJHID]HYMHWDU 9: NRQVWDQWDQWHMH VJ

9:

9

³

97'

$NRMHGQDGåED $  & 9 

9

 G9 9G9    ³ $  &9 $  &9  97'

 LPDUHDOQHNRULMHQHWMNRHILFLMHQWL$L&VXVXSURWQLK]QDNRYD 

RQGDMHUMHãHQMH 

VJ

&9: 9  9 OQ  & 9  9 9  9

9

 97'

9  OQ$  &9   9'  &



3ROLMHWDQMHLVOHWDQMH



JGMH VX 9  L 9  NRULMHQL WH MHGQDGåEH 8NROLNR QHPDPR UHDOQH NRULMHQH NRHILFLMHQWL $ MH QHJDWLYDQNDRL& UMHãHQMHMH

VJ



9

§ 9 &·  ¸   DUFWJ ¨¨9 OQ$  &9   ¸ 9'  $¹ & $& © 97' 9:



.RHILFLMHQWWUHQMDPSRYHüDQMH]ERJNRþHQMDNRWDþDDWHYULMHGQRVWLVXGDQHXLVWRMWDEHOLX NRMRM VX L YULMHGQRVWL NRHILFLMHQWD WUHQMD SUL NRWUOMDQMX X SROLMHWDQMX ]UDNRSORYD X ID]L XEU]DYDQMD 3ULPMHU ,VWL ]UDNRSORY þLMX VPR GXOMLQX ]DOLMHWDQMD L]UDþXQDOL V L]EDþHQLP ]DNULOFLPD V DHURGLQDPLþNLP NRþQLFDPD L V L]EDþHQLP NRWDþLPD SUL QXOWRP QDSDGQRP NXWX LPD & '

 SULL]EDþHQLP]DNULOFLPDMH & /

 DXWMHFDMWODVPDQMXMHLQGXFLUDQLRWSRU

QD3RJRQVNDVLODSULNRþHQMXPRWRURPMH 7

 .1 

 .RQVWDQWHLPDMXYULMHGQRVWL $ &

7   PJ    J  P  U6  & '   .& /  P& /   P  ˜       ˜  ˜     ˜   ˜     ˜  ˜ 

2EMHVXYULMHGQRVWLQHJDWLYQHWHMHGXOMLQDNRþHQMDEH]XWMHFDMDYMHWUD [J          

 $ ˜ OQ & $  &9 

   ˜ OQ    ˜      ˜  

 P 

8NXSQDHQHUJLMD



8.831$(1(5*,-$ (QHUJHWVNDMHGQDGåED 8 RVPRP SRJODYOMX L]YHOL VPR MHGQDGåEH JLEDQMD VUHGLãWD PDVH ]UDNRSORYD X UDYQRWHåQRP OHWX8RYRPSRJODYOMXSULPLMHQLWüHPR]DNRQRRþXYDQMXXNXSQHHQHUJLMHQDWHMHGQDGåEHX VOXþDMXNDGMH D | D 7 LNDGQHPDYMHWUD 

P9 7  : VLQ J  ' P9 FRV J F / VLQ I  P9J / FRVI  : FRV J



3UYRM MHGQDGåEL RYRJ VXVWDYD SULGUXåLW üHPR MHGQDGåEX NRMD GHILQLUD EU]LQX SHQMDQMD NDR GHULYDFLMXYLVLQHOHWD : G9 7  '  : VLQ J J GW  GK 9 VLQ J GW (OLPLQDFLMRPNXWD J GRELYDPR G§ 9 · ¨¨ K  ¸ GW ©  J ¸¹

97  9'  :

8YHGLPRR]QDNX KH

K

9  J

=EURMSRWHQFLMDOQHLNLQHWLþNHHQHUJLMH (

P9  PJK  

: ˜ KH 

SUHGVWDYOMD XNXSQX HQHUJLMX HQHUJ\ VWDWH  ]UDNRSORYD 7R ]QDþL GD MH KH  XNXSQD HQHUJLMD VYHGHQD QD MHGLQLFX WHåLQH ]UDNRSORYD 1D]LYDPR MH VSHFLILþQD HQHUJLMD VSHFLILF HQHUJ\  2QDSUHGVWDYOMDRGUH HQXYLVLQXGRNRMHVH]UDNRSORYPRåHSRGLüLSROD]HüLRGVWYDUQHYLVLQH L NRULVWHüL VYRMX NLQHWLþNX HQHUJLMX VYH GRN MH SRVYH QH SRWURãL =ERJ WRJD VH RQD QD]LYD L HQHUJHWVNDYLVLQDHQHUJ\KLJK LPMHULVHXPHWULPD=DYLãDNVQDJHVYHGHQQDMHGLQLFXWHåLQH XYRGLPRR]QDNX 

36

97  9'  :



8NXSQDHQHUJLMD



1D]LYDPR MH YLãDN VSHFLILþQH VQDJH  7D IXQNFLMD LPD GLPHQ]LMX EU]LQH >PV@ .RQDþQR VH SRPRüXWLKYDULMDEODPRåHHQHUJHWVNDMHGQDGåEDQDSLVDWLXREOLNX

GKH GW



36 



2YDMHGQDGåEDSRND]XMHGDMHGHULYDFLMDVSHFLILþQHHQHUJLMHMHGQDNDYLãNXVSHFLILþQHVQDJH 

6SHFLILþQDVQDJD]UDNRSORYD -HGQDGåEDVSHFLILþQRJYLãNDVQDJH 2WSRU MH RYLVDQ R EU]LQL OHWD R QRUPDOQRP RSWHUHüHQMX L R VYRMVWYLPD ]UDND SULMH VYHJD R JXVWRüL  

T6 & '   .& / T6& '  

'

. Q:  T6 



=DPLMHQLPR OL WX RYLVQRVWL RWSRUD X VSHFLILþQL YLãDN VQDJH L SRVOLMH GLMHOMHQMD V WHåLQRP GRELYDPR 

36

97 U6 .:   & '29   Q   : : U6 9



5DVSRORåLYD SRJRQVND VLOD 7  LOL UDVSRORåLYD SRJRQVND VQDJD 97  YHOLþLQH VX NRMH SUHGVWDYOMDMXSRJRQVNXJUXSX]UDNRSORYD2QHVXSR]QDWH]DGDQHIXQNFLMH0DFKRYDEURMD0D LOLEU]LQHOHWD9 9

D ˜ 0D LVYRMVWYD]UDND

'DELVPRL]UDþXQDOLEURMþDQXYULMHGQRVWVSHFLILþQRJYLãNDVQDJHWUHEDPRHQHUJHWVNRM MHGQDGåEL SULGUXåLWL DHURGLQDPLþNH IXQNFLMH & ' 0D  L . 0D  IXQNFLMX UDVSRORåLYRJ SRJRQD 7 0D  K  LOL 3 0D  K  L NRQDþQR MHGQDGåEH VYRMVWYD DWPRVIHUH D K  L U K  &MHORNXSDQVXVWDYMHGQDGåELNRMLGHILQLUDIXQNFLMX 36 0D K Q LPDREOLN 36 & '

97 U6 .:   & '29   Q   : : U6 9 & '2 0D L

.

7

7 0D K  LOL 97

U

U K L D

. 0D  3D 0D K 

D K 

7DNRVHQDGHVQRMVWUDQLHQHUJHWVNHMHGQDGåEHSRMDYOMXMHRGUH HQDIXQNFLMDR0DFKRYXEURMX 0D YLVLQH ]UDNRSORYD  K L RSWHUHüHQMD Q 7X IXQNFLMX RG WH WUL YDULMDEOH 0D K L Q R]QDþLW üHPR VD 36 0D K Q  3UHWSRVWDYLPR GD VPR QDSUDYLOL SURJUDP X NRPH VX XOD]QH YHOLþLQH

8NXSQDHQHUJLMD



0D K L Q D L]OD] MH  VSHFLILþDQ YLãDN VQDJH 36  3URJUDP ]D L]UDþXQDYDQMH 36  NRULVWL WUL SRGSURJUDPD SUYL ]D DHURGLQDPLþNH IXQNFLMH & ' 

& '2 0D  L .

. 0D  GUXJL ]D

UDVSRORåLYX VLOX LOL VQDJX  L WUHüL ]D VYRMVWYD ]UDND RYLVQR R YLVLQL 8 SURJUDPX PRUDPR ]DGDWL L GYLMH NRQVWDQWH PDVX P LOL WHåLQX : L UHIHUHQWQX SRYUãLQX 6 1D VOLFL  ]D ]UDNRSORYNRMLLPDNDUDNWHULVWLNHORYFDYLGLSULPMHU QDFUWDQDMHIDPLOLMDNULYXOMD 36 0D ]D UD]QDRSWHUHüHQMDQL]DMHGQXYLVLQX

6OLND)XQNFLMD 36 0D  Q K  K  P 



 )XQNFLMD 36 0D K Q  ODNR VH UDþXQD DOL DQDOLWLþNL VH QH PRåH ULMHãLWL QL SR YLVLQL K QL SR 0DFKRYXEURMX0D  3ULPMHU =DGDQHVXDHURGLQDPLþNHIXQNFLMHORYFD & ' 0D L . 0D XSRWSURJUDPX(QHUJLMD?RWSRUP ]D UHIHUHQWQX SRYUãLQX 6

PI

  0DVD OHWMHOLFH MH P

 NJ  D PDVD JRULYD

 NJ  0RWRU LPD PDNVLPDOQX SRJRQVNX VLOX NRMD X VWDQGDUGQRM DWPRVIHUL RYLVL R

8NXSQDHQHUJLMD



YLVLQL L 0DFKRYX EURMX  7 +  0D  7D RYLVQRVW ]DGDQD MH SRWSURJUDPRP PRWRUP X LVWRP GLUHNWRULMX NDR L WUHüL SRWSURJUDP ,62P NRML ]D ]DGDQX YLVLQX YUDüD WHPSHUDWXUX ]UDND 7 WODNSJXVWRüX U LEU]LQX]YXNDD,]UDþXQDWüHPRLLQDFUWDWLNULYXOMH 36 0D ]DQRUPDOQD

 P  =D L]UDþXQDYDQMH NULYXOMD 36 0D 

RSWHUHüHQMD Q       D ]D YLVLQX K

QDSUDYOMHQMHSURJUDP3VB0DPX0$7/$%X3RPRüXWRJSURJUDPDQDFUWDQHVXNULYXOMH QDVOLFL,WDMSURJUDPNDRLWULSRGSURJUDPDQDOD]LVHXGLUHNWRULMX(QHUJLMD 

8VSRUHGEDSHUIRUPDQVL]UDNRSORYD 6SHFLILþQDVQDJDXIXQNFLMLNXWQHEU]LQH .XWQD EU]LQD KRUL]RQWDOQRJ ]DRNUHWD YDåQD MH SHUIRUPDQVD ERUEHQLK ]UDNRSORYD %ROML MH DHURGLQDPLþNL RQDM ORYDF NRML PRåH SUL LVWRP YLãNX VSHFLILþQH VQDJH RVWYDULWL YHüX NXWQX EU]LQXXKRUL]RQWDOQRP]DRNUHWX'DELVPRRFLMHQLOLWXSHUIRUPDQVXORYFDWUHEDPRNULYXOMX 36 F  =DSR]QDWL]UDNRSORYNRMLOHWLQDYLVLQLKV0DFKRYLPEURMHP0DPRåHPRL]UDþXQDWL IXQNFLMX VSHFLILþQRJ YLãND VQDJH RYLVQR R RSWHUHüHQMX Q QD SULPMHU SRPRüX SURJUDPD 36 0D K Q L]SUHWKRGQRJSRJODYOMD  0D  K Q

36

9

F

D ˜ 0D

J Q  9

36

F



 6OLND'LMDJUDPWRND]DL]UDþXQDYDQMHNULYXOMD 36 F   +RUL]RQWDOQDNXWQDEU]LQD]DEU]LQXOHWD 9

0D ˜ D K SR]QDWDMHIXQNFLMDYLVLQHK0DFKRYD

EURMD0DLRSWHUHüHQMDQ 

F

J Q  9

J Q  0D ˜ DK

F K  0D  Q 



8NXSQDHQHUJLMD



'LMDJUDPORJLþQRJWRNDSULND]DQMHMHQDVOLFL3UHPDWRPDOJRULWPXPRåHVHQDSUDYLWL SURJUDP NRML GDMH SDUDPHWDUVNH MHGQDGåEH NULYXOMD F  36  3DUDPHWDU MH Q DNR VX 0D L K ]DGDQL1DVOLFLSULND]DQDMHNULYXOMD 36 F NRMDMHL]UDþXQDQD]DERUEHQL]UDNRSORYL] SULPMHUD X SUHWKRGQRP SRJODYOMX 3URJUDP SRG LPHQRP 3VB+LWP QDOD]L VH X LVWRP GLUHNWRULMX(QHUJLMDMHUNRULVWLLVWHSRWSURJUDPHNDRLSURJUDP3VB0DP   

3V>PV@

      







  +LW>UDGV@









6OLND2YLVQRVWYLãNDVSHFLILþQHVQDJHRNXWQRMEU]LQLXKRUL]RQWDOQRP]DRNUHWX ]D0DFKRYEURM 0D  LYLVLQX K  P   6DVOLNHYLGLPRGDSUL 36

 RYDMORYDFPRåHRVWYDULWLNXWQXEU]LQX F

 UDG V

 VWXSQMD V 

6PDWUDVH>@GDMH]QDþDMQREROMLRQDM]UDNRSORYDNRSULLVWRMVQD]LLPDNXWQXEU]LQXYHüX ]DUDGVVWXSQMDSRVHNXQGL   .ULYXOMHQRUPDOQRJRSWHUHüHQMD]D36  =D UHODWLYQX RFMHQX SHUIRUPDQVL ERUEHQLK ]UDNRSORYD QDMYLãH VH XSRWUHEOMDYD GLMDJUDP QD NRPHVXNULYXOMH Q0D K FRQVW ]D 36 ,]MHGQDGåEH 36

 NRMHRGJRYDUDMXUDYQRWHåQRPVWDQMXXOHWX

 GRELYDPR 97 U9  6 :  & '2 0D  Q  . U96 : :



8NXSQDHQHUJLMD

 7XMHGQDGåEXUMHãDYDPRSRQRUPDOQRPRSWHUHüHQMX 

Q K 0D

º U96 ª97 U9  6 « :  : & '2 0D »  .:  ¼ ¬



80$7/$%XSRVWRMLQDUHGEDFRQWRXUNRMDQDPFUWDXNRRUGLQDWQRPVXVWDYX0DQDDSVFLVLL K QD RUGLQDWL NULYXOMH Q K 0D FRQVW  3RPRüX WH QDUHGEH QDSUDYLOL VPR SURJUDP 3VBP NRMLPVPRQDFUWDOLNULYXOMHQDVOLFL]DLVWL]UDNRSORYORYDFNDRXSUHWKRGQRPSRJODYOMX 

6OLND.ULYXOMH Q0D K FRQVW ]D 36

 

 %ROML]UDNRSORYLPDNULYXOMX Q0D K FRQVW NRMDREXKYDüDNULYXOMXQMHJRYDVXSDUQLNDMHU PRåHVLVWLP0DFKRYLPEURMHPQDLVWRMYLVLQLUD]YLWLYHüHRSWHUHüHQMHLOLQDLVWRMYLVLQLSUL LVWRPRWHUHüHQMXPRåHOHWMHWLXYHüHPLQWHUYDOX0DFKRYLKEURMHYD



8NXSQDHQHUJLMD



3RGUXþMHOHWDLRSWLPDOQRSHQMDQMH .ULYXOMH3V0DK FRQVW]DRGUH HQRRSWHUHüHQMHQ 9LGMHOL VPR GD VH SHQMDQMH RGYLMD V NRQVWDQWQLP RSWHUHüHQMHP EOLVNR MHGLQLFL  8 NRRUGLQDWQRP VXVWDYX 0DK QD KRUL]RQWDOQRM RVL MH 0DFKRY EURM D QD YHUWLNDOQRM RVL MH YLVLQD PRåHPRQDFUWDWLIDPLOLMXNULYXOMDVNRQVWDQWQLPRSWHUHüHQMHPQQDSULPMHU]D Q   D]DUD]OLþLWR 36

FRQVW 



6OLND.ULYXOMH 36 0D K FRQVW ]D Q  ]D]UDNRSORYORYDF 

=QDþLGDVYDNDNULYXOMDIDPLOLMHRGJRYDUDMHGQRMYULMHGQRVWL 36 0D K FRQVW DVYHNULYXOMH IDPLOLMHLPDMXLVWRRSWHUHüHQMH Q 

36

FRQVW 

97 9T6 9: & '  Q  .  : : T6

FRQVW 



)DPLOLMDNULYXOMD]D Q  SRVHEQRMHYDåQDMHUMHWRVOXþDMKRUL]RQWDOQRJOHWDDXSRWUHEOMDYD VHL]DRSWLPDOQXSXWDQMXSHQMDQMD2EOLNRYRJGLMDJUDPDSULND]DQMHQDVOLFL]DORYDF

8NXSQDHQHUJLMD



NDRSULPMHUL]SUHWKRGQRJSRJODYOMD3URJUDP3VBFRQVWPNRMLPMHQDFUWDQWDMGLMDJUDPQDOD]L VHXLVWRPGLUHNWRULMX(QHUJLMD 7L VH GLMDJUDPL QH XSRWUHEOMDYDMX VDPRVWDOQR 1MLKRYD MH XSRUDED REMDãQMHQD X VOLMHGHüDGYDRGMHOMND  3RGUXþMHXSRUDEH]UDNRSORYD 8SUHWKRGQRPSRJODYOMXRSHUIRUPDQVDPDRGMHOMDN YLGMHOLVPRGDVRE]LURPQD UDVSRORåLYX VQDJX PRWRUD QD VYDNRM YLVLQL X KRUL]RQWDOQRP OHWX SRVWRMH PLQLPDOQD L PDNVLPDOQD EU]LQD OHWD LOL 0DFKRY EURM  7H YHOLþLQH RYLVQR R YLVLQL þLQH RYRMQLFH NRMH RJUDQLþDYDMXSRGUXþMHPRJXüLKUHåLPDKRUL]RQWDOQRJOHWD8RYRPSRJODYOMXLPDPRNULYXOMH 36

 NRMHRJUDQLþDYDMXSRGUXþMHXNRPHMHVQDJDPRWRUDYHüDLOLMHGQDNDSRWUHEQRMVQD]L

NDG MH Q   1SU X KRUL]RQWDOQRP OHWX MH Q   SD QDP NULYXOMD 36

  RGUH XMH SRGUXþMH

PRJXüLK KRUL]RQWDOQLK OHWRYD =DWR EL ]D LVWL ]UDNRSORY RYRMQLFH KRUL]RQWDOQRJ OHWD L] RGMHOMDNDELOHLVWHVNULYXOMDPD 36

 1DVOLFLSULND]DQHVXWHNULYXOMH 36

 ]D

MHGDQERUEHQL]UDNRSORY1DMYLãDWRþNDWHNULYXOMHSUHGVWDYOMDDSVROXWQLYUKXQDFOHWDDEVROXWH FHLOLQJ 

 6OLND2SHUDWLYQHRYRMQLFH

8NXSQDHQHUJLMD



=DQHNH]UDNRSORYHYUKXQDFMHYUORYHOLNWHVHSRVWDYOMDSLWDQMHSUHåLYOMDYDQMHSLORWDX VOXþDMXQMHJRYDL]EDFLYDQMD6PDWUDVHGDMHQDYLVLQDPDYHüLPRGNPIW SRWUHEQD VSHFLMDOQD RSUHPD NRMX LPDMX DVWURQDXWL GD EL þRYMHN PRJDR SUHåLYMHWL 6 RE]LURP GD SLORWL QHPDMXWXRSUHPXRQLQHPRJXELWLYDQNDELQH]UDNRSORYDL]QDGNP$NRMHDSVROXWQLLOL SUDNWLþQL YUKXQDF L]QDG WH YLVLQH RQGD VH RJUDQLþDYD YLVLQD OHWD GR JUDQLFH SUHåLYOMDYDQMD SLORWDL]YDQNDELQH 'LQDPLþNL WODN T SUHGVWDYOMD LPD QHSRVUHGQX XORJX X SRYUãLQVNRP QDSUH]DQMX NRQVWUXNFLMH WH QMHJRYX PDNVLPDOQR GRSXãWHQX YULMHGQRVW SURSLVXMH NRQVWUXNWRU MHU MH WR YULMHGQRVWVNRMRPMHDQDOL]LUDQRQDSUH]DQMDNRQVWUXNFLMH7DNRMH]DERUEHQH]UDNRSORYHWD JUDQLFDRNR  N 3D 1DVOLFLWDNULYXOMDR]QDþHQDMH T PD[  1D YHOLNLP YLVLQDPD SRMDYOMXMH VH SUREOHP SRQRYQRJ SRNUHWDQMD PRWRUD DNR VH RQ XJDVLMHUMHJXVWRüD]UDNDPDOD7XJRUQMXJUDQLFXSURSLVXMHSURL]YR DþPRWRUDMHURQDRYLVL LREU]LQLOHWD]DWRãWRVHPRWRUODNãHSRNUHQHDNRMHEU]LQD]UDNRSORYDYHüD.DNRJXVWRüD SDGDVYLVLQRPWDNRVHWDJUDQLFDGLQDPLþNRJWODNDSRPLþHSUHPDYHüLPEU]LQDPD ,WODNQDXOD]XXVLVQLNDPRåHLPDWLRGUH HQRRJUDQLþHQMH3ULYHOLNLPEU]LQDPDOHWDLX GRQMLPVORMHYLPDPRåHELWLWODNQDXOD]XXVLVQLNDSUHYHOLN .RQDþQR QD YHOLNLP EU]LQDPD L DHURGLQDPLþNR ]DJULMDYDQMH PRåH ELWL RJUDQLþHQMH ãWR RYLVL R PDWHULMDOX QD SRYUãLQL RQLK GLMHORYD NRML VX QDMYLãH L]ORåHQL DHURGLQDPLþNRP ]DJULMDYDQMX8QXWDUVYLKWLKNULYXOMDQDOD]LVHSRGUXþMHQRUPDOQHXSRUDEH]UDNRSORYD  0LQLPDOQRYULMHPHSHQMDQMD %H] LNDNYLK SUREOHPD PRåHPR QDFUWDWL L NULYXOMH KH

FRQVW  X NRRUGLQDWQRP VXVWDYX 0DK

JGMH YHü LPDPR NULYXOMH 36 0D K FRQVW  ]D Q FRQVW  NRMLP L]YRGLPR SHQMDQMH  -HGQDGåEDVSHFLILþQHHQHUJLMH KH XNXSQDHQHUJLMD]UDNRSORYDVYHGHQDQDMHGLQLFXPDVH   

KH

K

K

9 J

D K 0D  J 

FRQVW 

KH

FRQVW 

 

7DNR NUR] MHGQX WRþNX 0D K  SUROD]L MHGQD NULYXOMD KH 0D K FRQVW  L MHGQD NULYXOMD 36 0D K FRQVW ]DRGUH HQRQ 7R]QDþLGDMHXWRMWRþNLQDYLVLQLKSUL0DFKRYXEURMX

8NXSQDHQHUJLMD

 0DHQHUJHWVNDYLVLQD KH

FRQVW LVSHFLILþQLYLãDNVQDJH 36

FRQVW 6OLNDQDFUWDQDMH

SRPRüXSURJUDPD3VKHBFRQVWPNRMLVHQDOD]LQDGLVNHWLXGLUHNWRULMX(QHUJLMD



6OLND)DPLOLMDNULYXOMD 36 0D K FRQVW L KH 0D K FRQVW  ]D]UDNRSORYORYDFNDGDMH Q    ,]HQHUJHWVNHMHGQDGåEH GKH GW

36 

GRELYDPR GKH  36

GW

9ULMHPH SUHODVND L] UHåLPD OHWD K  0D  NRPH RGJRYDUD HQHUJHWVND YLVLQD KH  X UHåLP OHWD K  0D  NRPHRGJRYDUDHQHUJHWVNDYLVLQD KH  RGUH HQRMHLQWHJUDORP



W

KH 



KH

6

³3

GKH 



8NXSQDHQHUJLMD



'D ELVPR L]UDþXQDOL RYDM LQWHJUDO WUHEDPR ]QDWL IXQNFLMX 36 KH  7D IXQNFLMD MH QL] WRþDND NUR] NRMH SUHGVWDYOMDMX SURPMHQX UHåLPD OHWD 0D K RG SRþHWQRJ UHåLPD OHWD 0D  K NRML SUHGVWDYOMD WRþNX  X NUDMQML UHåLP OHWD 0D   K  NRML SUHGVWDYOMD WRþNX  7RþNH PRåHPR GHILQLUDWL SRPRüX NRRUGLQDWD 0D K  NDR QD GLMDJUDPX VOLND  LOL SRPRüX NULYXOMD NRMH SUROD]HNUR]WXLVXWRþNX KH  36 

 6OLND3UHOD]DNL]VWDQMD K  0D

 XVWDQMH K  0D  

]DPLQLPXPYUHPHQD  'D EL YULMHPH ELOR PLQLPDOQR WUHED UHåLP OHWD PLMHQMDWL WDNR GD YULMHGQRVWL IXQNFLM 36 KH EXGXQDMYHüHPRJXüH5HåLPOHWD]QDþLRGUH HQL0DFKRYEURM0DQD]DGDWRMYLVLQLK 7H GYLMH YULMHGQRVWL SUHGVWDYOMDMX RGUH HQX WRþNX X GLMDJUDPX 0DK .UR] WX WRþNX SUROD]H GYLMHNULYXOMH KH 0D K FRQVW L 36 0D K FRQVW 7DWRþNDPRåHELWLSUHWVWDYOMHQDNULYR OLQLMVNLPNRRUGLQDWDPD KH 36 =DPLVOLPRGDPLMHQMDPRWDNRUHåLPOHWDGDWRþNHQDGLMDJUDPX VYH QDOD]H QD NULYXOML KH 0D K FRQVW 9ULMHGQRVWL 36 RGMHGQHGRGUXJHWRþNHüHUDVWLD

8NXSQDHQHUJLMD



]DWLPRSDGDWL]ERJREOLNDNULYXOMD 36 0D K FRQVW DELWüHQDMYHüDXRQRMWRþNLXNRMRMVH NULYXOMH KH 0D K FRQVW  L 36 0D K FRQVW  WDQJLUDMX 7R ]QDþL GD L] WRþNH NRMD SUHGVWDYOMDUHåLPOHWDWUHEDLüLXUHåLPOHWDNRMLSUHGVWDOMDWRþNDNUR]NRþNHXNRMLPDVX NULYXOMH KH  L 36  WDQJHQWQH MHGQD QD GUXJX 'RN NULYXOMH KH 36

FRQVW  LGX SUDYLOQR NULYXOMH

FRQVW  ]D YULMHGQRVWL 0DFKRYD EURMD X WUDQVVRQLFL VX QHSUDYLOQH ]ERJ QHSUDYLOQRJ WRND

IXQNFLMD & ' 0D  L . 0D  3RWUHEQD VQDJD UDVWH X WUDQVVRQLFL ãWR LPD ]D SRVOMHGLFX VWYDUDQMD ]DWYRUHQH NULYXOMH 36

FRQVW  $NR SULMHOD] L] UHåLPD OHWD  X UHåLP OHWD  YRGL

SRUHGWH]DWYRUHQHNULYXOMHWUHEDUHåLPOHWDPLMHQMDWLGXå KH

FRQVW GDELVHRSHWLãORNUR]

WRþNHNRMHLPDMX]DMHGQLþNHWDQJHQWH]DNULYXOMH KH L 36 2SUDYGDQMH]DRYDNDYSRVWXSDNMHVW þLQMHQLFD GD NDGD PLMHQMDPR UHåLP OHWD SR NULYXOML KH

FRQVW  RQGD MH GKH

  WH VH

YULMHGQRVWLQWHJUDODQHSRYHüDYD  3HQMDQMDVQDMPDQMRPSRWURãQMRPJRULYD ,]ERUSURPMHQHUHåLPDOHWDXSHQMDQMXPRåHVHWHPHOMLWLLQDQDMPDQMRMSRWURãQMLJRULYD'DEL VH RGUHGLOD SURPMHQD UHåLPD OHWD X SHQMDQMX WDNR GD MH QDMPDQMD SRWURãQMD JRULYD WUHEDPR IXQNFLMX I 6 SULUDVWVSHFLILþQHHQHUJLMHSRMHGLQLFLJRULYDIXHOVSHFLILFHQHUJ\  GKH G: I



I6 



$NR]UDNRSORYLPDPOD]QLPRWRU]DNRMLMHSRWURãQMDJRULYDSURSRUFLRQDOQDSRJRQVNRMVLOL RQGDMH 

I6

GKH G: I

36 GW &7 7 GW

36 &7 7

I 6 0D  K Q 



'UXJLP ULMHþLPD SULUDVW VSHFLILþQH HQHUJLMH SR MHGLQLFL JRULYL WDNR HU MH IXQNFLMD 0DFKRYD EURMD YLVLQH L QRUPDOQRJ RSWHUHüHQMD=D]DGDQRRSWHUHüHQMHQQDGHVQRMVWUDQLMHIXQNFLMH 0DFKRYDEURMD0DLYLVLQHOHWDKSDMH]DRGUH HQRRSWHUHüHQMHSULSHQMDQMX 

I6

I 6 0D  K 



1D VOLFL   SULND]DQH VX IXQNFLMH I 6 0D  K FRQVW  ]D QRUPDOQR RSWHUHüHQMH Q   ,] GHILQLFLMH]DIXQNFLMX I 6 GRELYDVHGDMHNROLþLQDJRULYDRGUHåLPDOHWDGRUHåLPDOHWD 

':







6

³I

GKH 



8NXSQDHQHUJLMD



'DELVHL]UHåLPDOHWDSUHãOLXUHåLPOHWDPLSUROD]LVHNUR]UD]QHUHåLPHOHWD6YDNRP UHåLPX OHWD RGJRYDUD MHGQD WRþND MHGQD YLVLQD K L MHGQD EU]LQD 0D LOL MHGQD VSHFLILþQD XNXSQD HQHUJLMD KH  L MHGDQ SULUDVW VSHFLILþQH HQHUJLMH SR MHGLQLFL JRULYD I 6  7DNR SUL SULMHOD]XL]UHåLPDOHWDXUHåLPOHWDWLSDURYLYULMHGQRVWL KH  I 6 SUHGVWDYOMDMXWRþNHSXWD GXåNRMHJDWUHEDL]UDþXQDWLRYDMLQWHJUDO'DELQDWRPSXWXELODQDMPDQMDSRWURãQMDJRULYD WUHEDUHåLPHOHWDPLMHQMDGXåWRþDNDXNRMLPDMH I 6 XPDNVLPXPX2GVYLKWRþDNDQDNULYXOML KH

FRQVW  ELW üH I 6  X PDNVLPXPX X WRþNDPD X NRMLPD VH NULYXOMH I 6

I 6 0D  K  L

KH 0D K FRQVW WDQJLUDMX'UXJLPULMHþLPDRGVYLKWRþDNDVLVWRPXNXSQRPHQHUJLMRP KH  XWLPWRþNDPDMHIXQNFLMD I 6 XPDNVLPXPX7HWRþNHYLGLPRQDVOLFL

 6OLND3ULMHOD]L]HQHUJHWVNRJVWDQMDXVWDQMHVQDMPDQMRPNROLþLQRPJRULYD     

Model leta 6DOF

11-1

11 MODEL LETA SA 6 STUPNJEVA SLOBODE GIBANJA

11.1 Opće odrednice U ovoj knjizi razmatraju se problemi upravljivosti, stabilnosti, polijetanje i slijetanje a posebno dinamičko ponašanje zrakoplova pri upravljanju u odnosu na Zemlju. Kako se r Zemlja okreće kutnom brzinom Ω E , gibanje zrakoplova u odnosu na Zemlju jest relativno gibanje, okretanje Zemlje je prijenosno gibanje, a gibanje letjelice u svemiru je apsolutno gibanje. Pri izučavanju relativnoga gibanja osim realnih sila treba dodati i sile tromosti. U ovom slučaju to su dvije sile tromosti: centrifugalna sila zbog rotacije Zemlje i Coriolisova sila. Time smo uzeli u obzir bitnu činjenicu da je let u odnosu na Zemlju relativno gibanje. U ovom knjizi ograničili smo se na krutu letjelicu. Zrakoplov kao kruto tijelo ima šest stupnjeva slobode te zato ovaj model nazivamo skraćeno 6DOF od engleskog punog naziva six degrees of freedom. Čine ga četiri matrične jednadžbe: •

derivacija vektora položaja središta mase letjelice,

•

derivacija brzine leta središta mase letjelice,

•

derivacija kinetičkog momenta letjelice za središte mase,

•

derivacija stava letjelice.

Budući da ne izučavamo probleme navigacije, zanemarit ćemo Zemljanu zakrivljenost. Zanemarivanjem zakrivljenosti Zemlje, nošeni koordinatni sustav ostaje sve vrijeme leta paralelan sam sebi, tj on ima samo translatorno gibanje u odnosu na zemlju. Kako lokalni koordinatni sustav miruje u odnosu na zemlju, u proučavanju relativnog gibanja ta dva koordinatna sustava, lokalni i nošeni, nemaju kutnih brzina, njihov međusobni kutni položaj je uvijek isti. Da bismo pojednostavili izvođenja, obično ih biramo tako da su im osi paralelne kao na slici 11-1. Za tako izabrane koordinatne sustave je matrica transformacije iz jednog u drugi L OL

1 0 0  π   = L X   = 0 0 1 2 0 − 1 0

jer nošeni dobivamo rotacijom lokalnog oko x osi za kut π 2 .

Model leta 6DOF

11-2

nošeni k.s.

yL

xO

yO lokalni k.s.

zO

xL

zL

Slika 11-1Položaj nošenog u odnosu na lokalni koordinatni sustav

11.1.1 Derivacija vektora položaja

r Vektor položaja r počinje u ishodištu lokalnog koordinatnog sustava (vezan za Zemlju) i završava se u središtu mase letjelice. Njegove projekcije na osi lokalnog koordinatnog sustava su:

r = [x

z]

T

y

11.1

Brzinu leta definirali smo kao brzinu u odnosu na Zemlju, a to znači da su komponente brzine leta u lokalnom koordinatnom sustavu derivacije komponenata vektora položaja.

 x&   u K   y&  =  v L     K  z&   wKL 

11.2

r& = VKL

11.3

L

To pišemo matrično ovako:

To je vektorska jednadžba čijom integracijom dobivamo koordinate središta mase letjelice. Za tu integraciju potrebne su komponente brzine leta u lokalnom koordinatnom sustavu. Kako komponente brzine leta VK = [u K

vK

w K ] metodom 6DOF dobivamo duž osi tromosti T

letjelice, onda ovu vektorsku jednadžbu koristimo u obliku r& = L LF VK

ili

11.4

Model leta 6DOF

11-3  x&   uK   y&  = L  v  LF  K     z&   wK 

11.5

11.1.2 Derivacija brzine leta Kao što smo to rekli u poglavlju 6.1.1 po definiciji su komponente relativnog ubrzanja jednake derivacijama komponenata relativne brzine u prenosnom koordinantnom sustavu. To znači da je relativno ubrzanje

a rL =

d ( VKL ) dt

S obzirom na to da su komponente brzine VK = [u K

w K ] poznate duž glavnih osi r tromosti letjelice, a taj koordinatni sustav ima kutnu brzinu Ω u odnosu na zemlju, čije su T

vK

komponente duž tih istih glavnih osi tromosti Ω = [ p q r ] , bit će prema odjeljku 1.1.3 T

komponente relativnog ubrzanja duž glavnih osi tromosti ~ & a r = Ω VK + V K

11.6

Za vrijeme leta zrakoplov mijenja masu, pa se a priori na njega ne može primijeniti Newtonov zakon, prema kojemu je produkt mase zrakoplova s relativnim ubrzanjem jednak zbroju vanjskih sila i sila tromosti. Zrakoplov se mora promatrati kao materijalni sustav promjenljive mase. Taj sustav je definiran vanjskom površinom zrakoplova na kojoj se nalaze ulazne površine S u kroz koje ulazi zrak i izlazne površine S i kroz koje istječu plinovi, produkti izgaranja. Na takav sustav primjenjuje se načelo očvršćivanja (odjeljak 6.3.5) po kojemu umjesto zrakoplova s promjenljivom masom, promatramo drugi fiktivni zrakoplov konstantne mase m S koja je jednaka masi zrakoplova u promatranom trenutku m(t ) . To znači da je u svakom trenutku drugi očvrsnuti sustav. Na taj očvrsnuti sustav u kontrolnoj površini možemo primijeniti Newtonov zakon klasične mehanike za relativno gibanje 6.24:

~ & K = R + g + ( − a CK ) . Ω VK + V m

11.7

Rezultantu R čine: •

aerodinamička sila [ X

•

pogonska sila [FX

FY

Y

Z ] čije su komponente duž glavnih osi tromosti zrakoplova, T

FZ ]

T

koja je objašnjena detaljno u odjeljku 6.4

mlaznog motora i 6.5 za slučaj elisnog pogona,

za slučaj

Model leta 6DOF

11-4 •

r vektor g je zbroj ubrzanja privlačne sile Zemlje i prijenosnog centrifugalnog ubrzanja

uslijed rotacije Zemlje. I ako on ovisi o geografskoj širini i visini, ovdje usvajamo da je r vektor g konstantan, intenziteta 9.80616 , po pravcu vertikalan, a po smjeru prema dolje. U gornjoj matričnoj jednadžbi zanemarujemo Coriolisuvu silu tromosti pa matrična jednadža gibanje središta mase zrakoplova ima oblik:

(

~ & m Ω VK + V K

)

 X A   Fx  0  A   =  Y  + Fy + m L FO  0       Z A   FZ   g   

11.8

Komponente aerodinamičke sile poznate su nam duž glavnih osi tromosti zrakoplova obično u obliku:

X = A

ρV 2

S C XA (Ma ,α , β 2 )

2 ρV 2 YA= S CYA (Ma , β , p, r,δ lδ n ) 2 ρV 2 ZA = S C ZA (Ma ,α ,α& , q, δ m ) 2

11.9

Za transportne zrakoplove napadni kut i kut klizanja nisu veliki pa možemo aerodinamičke koeficijente linearizirati po ovim varijablama. C X = C X 0 + C Xα α + C Xβ 2 β 2 CY = CYβ β + CYp p ∗ + CYr r ∗ + CYδ n δ n

11.10

C Z = C Z 0 + C Zα α + C Zα& α& ∗ + C Zq q ∗ + C Zδ m δ m

11.1.3 Derivacija kinetičkog momenta

r Kinetički moment gibanja H kao i aerodinamički i pogonski moment uzimamo za središte mase. Komponente kinetičkog momenta duž osi koordinatnog sustava letjelice jednake su produktu tenzora tromosti I i vektora kutne brzine letjelice Ω .

H = IΩ Budući da smo usvojili glavne osi tromosti, tenzor tromosti ima samo članove na dijagonali. To su momenti tromosti za te osi pa su komponente kinetičkog momenta za glavne osi tromosti 0 0   p   I x (t ) p   I x (t )  I y (t ) 0   q  =  I y (t ) q  H= 0  0 I z (t )  r   I z (t ) r  0

Model leta 6DOF

11-5

Zbog promjenljivosti momenata tromosti s vremenom, jer zrakoplov nije tijelo konstantne mase, na derivaciju toga momenta ne može se primijeniti teorem o derivaciji kinetičkog momenta iz klasične mehanike. I ovdje se mora primijeniti načelo očvršćivanja (prema 6.3.5), prema kojemu određujemo derivaciju kinetičkog momenta letjelice koja ima u promatranom trenutku isti tenzor tromosti ali konstantan I S = I(t ) . Na tu očvrsnutu letjelicu primjenjujemo zakon o derivaciji kinetičkog momenta iz klasične mehanike: r r r dH s = M +M F dt Budući da su komponente kinetičkog momenta poznate duž glavnih osi tromosti H = I Ω , koje imaju kutnu brzinu kao i letjelica Ω = [ p q r ] , komponente derivacije kinetičkog T

momenta duž istih osi izračunavamo prema odjelu 1.1.3 po jednadžbi ~ & S. Ω HS + H S obzirom na to što se radi o očvrsnutoj letjelici, prilikom deriviranja komponenata

& S tenzor tromosti trebamo smatrati konstantnim: kinetičkog momenta H

 H& XS   I X (t ) p&  & S =  H& S  =  I (t ) q&  , H  Y  Y   H& ZS   I Z (t ) r&    iako su momenti tromosti funkcije vremena. Izjednačavanjem derivacije kinetičkog momenta i zbroja momenata, duž osi tromosti bit će ~ & S +Ω H H = MA + MF .

11.11

Komponente aerodinamičkog momenta za središte mase M A duž glavnih osi tromosti zrakoplova dane su obično jednadžbama:

ρV 2

SbC l (Ma , β , p, r,δ l ,δ n ) 2 ρV 2 MA= Sc C m (Ma ,α ,α& , q,δ m ) 2 ρV 2 NA = SbC n (Ma, β , p, r,δ l,δ n ) . 2

LA =

11.12

Za transportne su zrakoplove kutovi α i β mali, pa je moguće aerodinamičke koeficijente momenata linearizirati po ovim varijablama. Tada oni imaju oblik:

Model leta 6DOF

11-6 Cl = Clβ β + Clp p ∗ + Clr r ∗ + Clδ l δ l + Clδ n δ n Cm = Cm0 + Cmα α + Cmα& α& ∗ + Cmq q ∗ + Cmδ m δ m

11.13

Cn = Cnβ β + Cnr r ∗ + Cnp p ∗ + Cnδ l δ l + Cnδ n δ n r Pogonski moment za središte mase M F ima komponente duž glavnih osi tromosti

[

M F = LF

MF

NF

]

T

,

11.14

Njih smo detaljno objasnili u odjeljku 6.4 za slučaj mlaznog motora i u odjeljku 6.5 za slučaj elisnog pogona. 11.1.4 Derivacija stava ili parametara

U prvoj matričnoj jednadžbi treba nam matrica transformacije L OF . Da bismo odredili tu matricu transformacije, trebaju nam ili •

stav zrakoplova s = [φ ϑ ψ ] ili

•

Eulerovi parametri p = [e0

T

e1 e2

e3 ] . T

Ako se odlučimo za stav s, onda je

L FO = L X (φ ) ⋅ L Y (ϑ ) ⋅ L Z (ψ ) ,

11.15

a kutove dobit ćemo iz kutne brzine letjelice Ω . U poglavlju 1.3.3, izveli smo jednadžbu koja daje derivaciju stava kada znamo kutnu brzinu letjelice:

s& = R −1 ⋅ Ω , gdje je s = [φ ϑ ψ ] i T

0 1  R = 0 cos φ 0 − sin φ

− sin θ  sin φ cos θ  , cos φ cos θ 

11.16

ili u razvijenom obliku  φ&  1 sin φ tgθ  &  cos φ θ  = 0 ψ&  0 sin φ cos θ  

cos φ tgθ   p  − sin φ   q  . cos φ cos θ   r 

11.17

Ukoliko se odlučimo raditi s Eulerovim parametrima e onda na mjesto matrične −1 diferencijalne jednadžba s& = R (φ ,ϑ ) ⋅ Ω , imamo matričnu diferencijalnu jednadžbu

parametara

Model leta 6DOF

11-7

p& =

1 T G Ω 2

11.18

ili u razvijenom obliku e&0   − e1  e&    1  = 1  e0 e& 2  2  e3    e&3  − e 2

− e2 − e3 e0 e1

− e3   p e 2    q . − e1     r  e0   

11.19

U tom slučaju matrica transformacije, određena je jednadžbom

L OF

1  2 2 e1 + e0 − 2  = 2 e1 e 2 + e0 e3  e e − e e 0 2  3 1

e1 e 2 − e 0 e3 e 22 + e02 −

1 2

e 2 e3 + e0 e1

 e3 e1 + e0 e 2   e 2 e3 − e0 e1   1 2 2 e3 + e 0 − 2 

11.20

11.2 Model 6DOF u simulatorima leta Okosnicu modela čine četiri matrične jednadžbe: derivacija vektor položaja (11.4), derivacija vektora brzine leta (11.8), derivacija vektor kinematičkog momenta (11.11) i derivacija stava ili derivacija Eulerovih parametara (11.18). r& = L LF VK

(

)

~ & = RA + F + m L g m Ω VK + V K FO

~ & S +Ω H H = MA + MF

s& = R −1 ⋅ Ω ,

ili

p& =

1 T G Ω. 2

U tim jednadžbama ima 12 nepoznanice: x

y

z uK

vK

wK

p q r φ θ ψ

Međutim, u tim jednadžbama imamo još promjenljivih veličina, eksplicitno i implicitno. Eksplicitno to su masa zrakoplova i tenzor tromosti, a implicitno to su u aerodinamičkim silama i momentima: aerodinamička brzina, napadni kut i kut klizanja, ako i karakteristike zraka gustoća i brzina zvuka koja je potrebna radi određivanja Machovog broja. Masa zrakoplova je zbroj mase letjelice, tereta i goriva. Tijekom leta prve dvije su konstantne i označavamo ih sa m L , a masa goriva opada ovisno o potrošnji goriva. Potrošnja goriva označava se sa FC predstavlja masu gorivu koja se troši u jedinici vremena Ona se može izraziti specifičnom potrošnjom C P , koja predstavlja masenu potrošnju goriva u

Model leta 6DOF

11-8

jedinici vremena po jedinici snage motora, ili CT koja predstavlja masenu potrošnju u jedinici vremena po jedinici sile motora. Ukupna masa zrakoplova je zbroj m(t ) = m L + mG (t ) . Deriviranjem te jednadžbe je m& = m& G , pa je C ⋅ P dm = FC =  P mot dt C P ⋅ Pmot

11.21

S obzirom da je i masa zrakoplova određena diferencijalnom jednadžbom imamo trinaest varijabla koje su određene diferencijalnim jednadžbama: x

y

z uK

vk

wK

p q r φ ϑ ψ

m.

11.22

One čine jedan vektor koji nazivamo vektor stanja letjelice. Promjena tenzora tromosti nastaje zbog promjene mase i kao posljedica pomjeranja središta mase zbog potrošnje goriva. Zato je jedan od načni određivanja tenzora tromosti napraviti funkciju

I = I(mG )

11.23

Kada konstrukcijska rješenja osiguravaju male promjene središta mase zbog potrošnje goriva, može se taj utjecaj zanemariti. Onda je utjecaj promjene mase na tenzor tromosi linearan, pa približna jednadžba promjene tenzora tromosti može biti:

I(t ) =

m(t ) I0 . m0

11.24

Pored varijabla vektora stanja, promjenljive mase i tenzora tromosti u jednadžbama imamo još varijabla, koje su neophodne za određivanje aerodinamičkih sila i momenata: napadni kut i njegova derivacija po vremenu, kut klizanja. gustoća zraka, brzina zvuka koja nam je potrebna za Machov broj i aerodinamička brzina. Da bi odredili napadni kut i kut klizanja prema jednadžbama: V = u 2 + v 2 + w2 w tan α = u v sin β = V

11.25

potrebne su nam sve komponente aerodinamičke brzine. U sustavu diferencijalnih jednadžbi, tj. u vektoru stanja, nema komponenata aerodinamičke brzine već samo komponenata brzine r r r leta. Aerodinamičku brzinu određujemo iz jednadžbe V = VK − VW . Komponente vjetra poznate su u lokalnom odnosno u nošenom koordinatnom sustavu. Projiciranjem ove

Model leta 6DOF

11-9

jednadžbe na koordinatni sustav letjelice dobivamo tražene komponente aerodinamičke brzine:  uWO   u   uk   v  =  v  − L  vO  FO  W     k  wWO   w  wk   

11.26

U projekcijama aerodinamičke sile i momenta pojavljuje se i derivacija napadnog kuta. Određujemo je deriviranjem jednadžbe tan α = w u . Tako dobivamo

α& =

w& u − wu& u 2 + w2

11.27

Derivacije aerodinamičke brzine i njenih komponenata dobivamo deriviranjem matrične jednadžbe koja definira komponente aerodinamičke brzine:  uWO   u&WO   u&   u& k   O  O ~  v&  =  v&  + Ω − L L v F O k F O W    v&W      O  wW   w& WO   w&   w& k     

11.28

Derivacije komponenata brzine leta su poznate, a derivacije vjetra trebaju biti zadane (udari vjetra). Ako vjetar nije funkcija vremena, drugi se član na desnoj strani jednadžbe poništava. Za određivanje gustoće zraka i brzine zvuka u zraku najčešće koristimo podatke o standardnoj atmosferi. Za taj slučaj ove jednadžbe dane su u prilogu B.

ρ = ρ(y)

a = a( y )

11.29

Ukoliko želimo simulirati let u nekoj drugoj atmosferi onda se koristimo mjerenjima temperature, tlaka i vlažnosti zraka ovisno o visini (sondaža atmosfere, vidi prilog B), a zatim na temelju tih podatak određujemo promjenu gustoće i brzine zvuka ovisno o visini. Sad smo u mogućnosti napisati cjelokupan razvijen sustav jednadžba koji čini model 6DOF uK   x&   z&  = L  v  OF  K     w K  − y& 

11.30

X A  u& K   0 − r q   uK   Fx  0 1  A 1    v&  = −  r    Fy + L FO  0  0 − p ⋅ vK + Y  +  K     m     m Z A  F 0   wK   w& K   − q p    g   Z  

11.31

Model leta 6DOF

11-10 A F  p& I X (t )  0 − r q   pI X (t )  L   L       q& I (t )  = −  r 0 − p  ⋅  qI Y (t )  +  M A  +  M F   Y      0   rI Z (t )   N A   N F   r&I Z (t )   − q p

 φ&  1 sin φ tgθ  &  cos φ θ  = 0 ψ&  0 sin φ cos θ  

cos φ tgθ   p  − sin φ   q  cos φ cos θ   r 

11.32

11.33

C ⋅ P dm = FC =  P mot dt C P ⋅ Pmot

11.34

Matricu transformacije L FO možemo odrediti ili pomoću de Sparreovih kutova tada ima oblik

L FO = L X (φ ) ⋅ L Y (ϑ ) ⋅ L Z (ψ )

11.35

U ovom slučaju vektor stanja ima trinaest komponenti. Te su veličine zavisne varijable, a vrijeme je nezavisna varijabla. Ako umjesto kutova de Sparre koristimo Eulerove parametre. U tom slučaju namjesto −1 matrične diferencijalne jednadžba s& = R (φ ,ϑ ) ⋅ Ω , tj. na mjesto tri diferencijalne jednadžbe

11.32, treba uzeti matričnu diferencijalnu jednadžbu Eulerovih parametara p& =

1 T G Ω , a to 2

znači na mjesto tri diferencijalne jednadžbe 11.32 imamo četiri diferencijalne jednadžbe parametara  − e1 e&0    e&   1  = 1  e0 e& 2  2  e3    − e 2 e&3 

− e2 − e3 e0 e1

− e3   p e 2    q , − e1     r  e0   

11.36

a matrica transformacije L OF ima oblik:

L OF

1  2 2 e1 + e0 − 2  = 2 e1 e 2 + e0 e3  e e − e e 0 2  3 1

e1 e 2 − e 0 e3 e 22 + e02 −

1 2

e 2 e3 + e0 e1

 e3 e1 + e0 e 2   e 2 e3 − e0 e1  .  1 2 2 e3 + e 0 − 2 

11.37

Vektor stanja ima četrnaest komponenta x

z

y uK

vK

wK

p q r e0

e1

e2

e3

m

Pored tih varijabli koje čine vektor stanja, a koje su određene diferencijalnim jednadžbama imamo varijable koje su određene algebarskim jednadžbama. To su:

Model leta 6DOF •

11-11

komponente aerodinamičke brzine:  uWO   u   uk   v  =  v  − L  vO  FO  W     k  wWO   w  wk   

•

derivacije komponenata aerodinamičke brzine:  uWO   u&WO   u&   u& k      ~  v&  =  v&  + Ω L F O  vWO  − L F O  v&WO     k  wWO   w& WO   w&   w& k     

•

vWO = vWO (h )

α& =

w& u − wu& u 2 + w2

11.41

11.42

tenzor tromosti I = I(m ) .

•

11.40

napadni kut α i njegovu derivaciju po vremenu α& , kao i kut klizanja β V = u 2 + v 2 + w2 w tan α = u v sin β = V

•

11.39

komponente vjetra ovisne o visini uWO = uWO (h )

•

11.38

11.43

ovisnost pogonske sile T i specifične potrošnje CT od brzine leta, stanja okolnog zraka i otklona δ T T = T (V , T , ρ ,δ T )

CT = CT (V , T , ρ ,δ T )

•

11.44

ovisnost karakteristika zraka temperature T i gustoće ρ o položaju zrakoplova T = T (h ) ρ = ρ (h )

11.45

Ovaj model je važan za projektiranje i ispitivanje sustava upravljanja letjelicom. Vrlo često se dijelovi tog matematičkog modela zamjenjuju realnim sklopovima, što omogućuje da se ispituju ti sklopovi. Te kombinacije realnog i matematičkog dijela letjelice u engleskoj se literaturi sreću pod imenom HIL (hardware in the loop).

Model leta 6DOF

11-12

11.3 Pojednostavljeni model 6DOF u trenažerima Simulatore treba razlikovati od trenažera. Za trenažere leta upotrebljava se obično jednostavniji model u kome je letjelica uvijek kruto tijelo a vjetar je konstantan i u prostoru i vremenu. Ta druga pretpostavka da je vjetar konstantan omogućuje da se gibanje središta mase promatra u odnosu na relativni koordinatni sustav vezan za zrak (tzv. Didionov princip). Gibanje zraka je prijenosno gibanje, a gibanje letjelice u odnosu na zrak je relativno gibanje. Koordinatni sustav vezan za zrak giba se u odnosu na Zemlju konstantom brzinom vjetra te je on inercijski koordinatni sustav. Jednadžbe relativnog gibanja iste su kao one koje smo pisali u odnosu na Zemlju, jer je prijenosno ubrzanje jednako nuli. U prvoj jednadžbi trebamo dodati prijenosnu brzinu (brzina vjetra) a u drugoj jednadžbi, brzina leta postaje aerodinamička brzina:  u  VWX   x&   z&  = L  v  + V  OF    WY     w VWZ  − y& 

11.46

Međutim, druga matrična jednadžba daje neposredno aerodinamičku brzinu:  X A   Fx  0   ~   & = Y A + F + m L 0 m ΩV + V FO      y  Z A   FZ   g   

(

)

11.47

Treća i četvrta matrične jednadžbe iste su kao jednadžbe 11.21 i 11.22, a isto je i određivanje napadnog kuta prema jednadžbama 11.34, kao i derivacije napadnog kuta po vremenu prema jednadžbi 11.36. Ovaj sustav jednadžbi koristi se u trenažerima leta. Ne zaboravimo da ovaj model možemo primijeniti samo za slučaj konstantnog vjetra. To znači da on ne može pokazati utjecaj "udara vjetra". Vektor položaja [x

y

z ] određuje točku iz koje pilot T

promatra sliku, a stav letjelice [φ ϑ ψ ] određuje pravac promatranja i rotaciju slike oko T

osi promatranja. Na temelju tih šest veličina izrađuje se slika koju vidi pilot na ekranu trenažera.

Linearizacija 6DOF

12-1

12 LINEARIZACIJA 6DOF MODELA 12.1 Princip linearizacije 12.1.1 Jednadžbe stvarnog gibanja U sedmom poglavlju promatrali smo ravnotežna stanja u letu koja su bila okarakterizirana momentom za središte mase jednakim nuli. To ravnotežno stanje odgovaralo je određenim otklonima upravljačkih površina. Svaki otklon upravljačkih površina ima svoje ravnotežno stanje. U ovom poglavlju promatrat ćemo prijelaz iz jednoga ravnotežnog stanja u drugo. Pretpostavljamo da je bilo ravnotežno stanje za određene otklone upravljačkih površina. U tom ravnotećnom stanju promijenili smo otklone upravljačkih površina i zrakoplov treba prijeći u novi ravnotežni položaj. Taj prijelaz predstavlja problem dinamičke stabilnosti zrakoplova. Za razmatranje dinamičke stabilnosti poći ćemo od modela 6DOF za slučaj kada nema vjetra i radit ćemo pomoću Eulerovih kutova. Pretpostavljamo da su komponente pogonske sile

[F cos α T

0 F sin α T ] . Jednadžbe gibanja središta mase i oko središta mase T

zrakoplova u razvijenom obliku su : T cos α T X + − g sin ϑ m m Y v& = −ru + pw + + g cos ϑ sin φ m T sin α T Z w& = qu − pv + + + g cos ϑ cos φ m m

u& = rv − qw +

p& = q& = r& =

Iy − Iz Ix

qr +

L Ix

Iz − Ix M rp + Iy Iy Ix − Iy Iz

pq +

12.1

12.2

N Iz

φ& = p + (sin φ tgθ ) q + (cosφ tgθ ) r θ& = (cosφ ) q − (sin φ ) r sin φ cosφ ψ& = q+ r cosθ cosθ

12.3

Nismo uzeli u obzir prve tri jednadžbe, jer se dinamički proces prijelaza iz jednoga u drugo ravnotežno stanje odvija na vrlo maloj promjeni visine, pa se gustoća i brzina zvuka gotovo

12-2

Linearizacija 6DOF modela

ne mijenjaju, te nam nije potrebna visina leta. Aerodinamičke sile X , Y i Z i aerodinamički

momenti L, M i N duž glavnih osi tromosti letjelice zadani su jednadžbama : X=

ρV 2

(

Scx α , β 2

)

ρV 2

Sb c l (β , r , p, δ n , δ l ) 2 ρV 2 M= Sc A c m (α , α& , q, δ m ) 2 ρV 2 N= Sb c n (β , r , p, δ n ) 2 L=

2 ρV 2 Y= S c y ( β , p, r , δ n ) 2 ρV 2 Z= S c z (α , α& , q, δ m ) 2

12.4

Gornji sustav diferencijalnih jednadžbi vrijedi za bilo koji režim leta. On određuje vektor stanja X = [u v w

p q r φ θ ψ]

T

12.5

kao funkciju vremena. Taj vektor stanja zvat ćemo stvarni vektor stanja, jer odgovara stvarnom gibanju. Drugim riječima znači da je u = x1 , v = x 2 , w = x 3 , p = x 4 , q = x 5 , r = x 6 , φ = x 7 , ϑ = x8 i ψ = x 9 .

12.6

Na desnoj strani sustava diferencijalnih jednadžbi imamo vektor F = [ f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f9 ] , T

12.7

gdje nam je T cos α T X + − g sin ϑ m m Y f 2 = − ru + pw + + g cos ϑ sin φ m T sin α T Z f 3 = qu − pv + + + g cos ϑ cos φ m m f 1 = rv − qw +

f4 = f5 = f6 =

Iy − Iz Ix

qr +

L Ix

Iz − Ix M rp + Iy Iy Ix −Iy Iz

pq +

12.8

12.9

N Iz

f 7 = p + (sin φ tgθ ) q + (cos φ tgθ ) r f 8 = (cos φ ) q − (sin φ ) r f9 =

12.10

sin φ cos φ q+ r cos θ cos θ

Članovi vektora F su funkcije članova vektora stanja. Osim vektora X i F uvodimo i vektor upravljanja

Linearizacija 6DOF

12-3 e = [δ l

δ m δ n ]T

12.11

Vektor F ovisi o vektoru stanja, ali preko aerodinamičkih sila i momenata on je funkcija i vektora upravljanja. Zato cijeli sustav diferencijalnih jednadžbi 12.1-3 kratko pišemo: dX = F(X, e ) dt

12.12

Taj sustav diferencijalnih jednadžbi određuje promjenu stanja letjelice tijekom vremena u ovisnosti o vektoru upravljanja. Taj sustav diferencijalnih jednadžbi nije pogodan za analizu ponašanja letjelice u ovisnosti o njenim parametrima, niti za izbor tih parametara da bi se letjelica ponašala kako se to a priori želi. U ovim jednadžbama za sile i momente, brzina V i kutovi α i β funkcije su varijabla stanja u, v i w preko kinematičkih jednadžba: u = V cosα cos β v = V cosα sin β w = V sin α .

12.13

Kako smo pretpostavili da nema vjetra, ne razlikujemo brzinu leta od aerodinamičke brzine jer su one jednake. 12.1.2 Referentno gibanje

Ravnotežno stanje u kome je bila letjelica prije nego što smo promijenili vektor upravljanja, nazivamo referentno stanje. Vektor stanja u takvom gibanju označit ćemo sa X 0 i nazvati ga referentni vektor stanja. dX 0 = F(X 0 , e 0 ) dt

12.14

Pretpostavit ćemo da su svi uvjeti nominalni (standardna atmosfera, nema vjetra, normalne težine itd.). Odabrat ćemo kao referentni let •

jednoli let: V 0 = const ,

•

12.15

pravocrtni let (horizontalno ili u penjanju ili u spuštanju):

χ0 =0

12.16

γ 0 = const

12.17

[

Neka je u takvom referentnom letu vektor upravljanja e 0 = 0 δ m0

klizanja (nema vjetra v = 0 ), niti kuta valjanja (pravocrtni let), onda su :

]

T

0 . Budući da nema

12-4

Linearizacija 6DOF modela

ψ 0 = χ0 =0

12.18

ϑ0 = γ 0 +α 0

12.19

U tom letu, pri konstantnoj brzini leta i konstantnoj gustoći zraka, napadni kut α 0 je konstantan, pa su konstanti kutovi osi letjelice ψ 0 i ϑ 0 . Kada su sva tri de Sparreova kuta konstanti, onda su i sve tri kutne brzine jednake nuli. Konačno zaključujemo da je za izabrani referentni let: u& 0 = v& 0 = w& 0 = 0

12.20

p 0 = q 0 = r 0 = φ& 0 = ϑ& 0 = ψ& 0 = 0

12.21

v0 = 0

12.22

φ 0 =ψ 0 = 0

S obzirom da su za ovakvo referentno gibanje derivacije svih varijabla jednake nuli, matrični je oblik sustava diferencijalnih jednadžbi vektora stanja 0 = F(X 0 , e 0 )

12.23

koji nam omogućuje da za zadani referentni let X 0 odredimo potrebni vektor upravljanja e 0 , ili obrnuto. 12.1.3 Linearne diferencijalne jednadžbe poremećaja

Kada promijenimo otklon upravljačkih površina e ≠ e 0 vrijednosti varijabli vektora stanja bit će različite od referentnih vrijednosti (uspoređujemo ih u istom trenutku t), a tu razliku između stvarnih i referentnih vrijednosti označavamo sa ∆xi = xi − xi0 , a za cijeli vektor stanja sa ∆X = X − X 0 , i nazivamo ih poremećaj vektora stanja. Uzrok koji je izazvao poremećaje

∆e = e − e 0 = [∆δ l

∆δ m

∆δ n ]T

nazivamo također poremećaj (ili perturbacija). U sustavu diferencijalnih jednadžbi vektora stanja 12.12 dX = F(X, e ) dt

zamijenimo li stvarni vektor stanja s referentnim, povećanim za poremećaj, kao i vektor upravljanja s referentnim povećanim za poremećaj vektora upravljanja, onda dobivamo sustav diferencijalnih jednadžbi stvarnog stanja:

12-5

Linearizacija 6DOF d 0 (X + ∆X ) = F(X 0 + ∆X, e + ∆e ) dt

Kad razvijmo u Taylorov red članove matrice F oko referentnog stanja, dobit ćemo 0

0

 ∂F   ∂F  F X + ∆X, e + ∆e, t = F X , e , t +   ∆X +   ∆e + K  ∂e   ∂X 

(

0

0

) (

0

0

)

A je kvadratna matrica koju čine parcijalne derivacije stupca F po varijablama stanja X:.  ∂f 1  ∂x  1 ∂f ∂F  2 =  ∂x A= ∂X  1 L  ∂f 9   ∂x1

∂f 1 ∂x 2 ∂f 2 ∂x 2 L ∂f 9 ∂x 2

∂f 1  ∂x 9   ∂f 2  L ∂x 9  L L ∂f 9  L  ∂x 9  L

12.24

a B je matrica koja pretstavlja derivaciju stupca F po parametrima upravljanja (onoliko stupaca koliko je parametara upravljanja, a broj vrsta je jednak dimenziji vektora stanja).  ∂f 1  ∂δ  l  ∂f 2 ∂F ==  ∂δ B= l ∂e L  ∂f 9   ∂δ l

∂f 1 ∂δ m L L L

∂f 1  ∂δ n   L   L  ∂f 9   ∂δ m 

12.25

Opći član matrice A u redu i u stupcu j je aij =

∂f i ∂x j

Kada provodimo linearizaciju, pretpostavljamo da se realni vektor stanja X ne razlikuje mnogo od referentnog vektora stanja X 0 tj. da su poremećaji ∆X i ∆e male veličine. To nam omogućuje da pri razvijanju u red funkcije F zanemarimo produkte poremećaja kao male veličine višega reda u odnosu na bilo koji poremećaj. Tako u daljnjem radu nećemo imati niti produkte poremećaja niti njihove stupnjeve nego ćemo imati linearne jednadžbe po poremećajima. Kasnije, kada budemo primjenjivali linearizirane diferencijalne jednadžbe trebamo voditi računa da ti uvjeti budu zadovoljeni. Oduzimanjem diferencijalnih jednadžbi za referentno stanje 12.14 od diferencijalnih jednadžbi za stvarno stanje 12.12 dobivamo: d ∆X = A ∆X + B∆e dt

12.26

12-6

Linearizacija 6DOF modela

To su tzv. diferencijalne jednadžbe poremećaja, koje su linearne po poremećajima ∆X i ∆e . Obratimo pažnju na to da su članovi matrica A i B funkcije od vremena i od referentnog stanja, što znači da se svaki član tih matrica određuje na temelju referentnog vektora stanja

X 0 i za referentni vektor upravljanja e 0 . Činjenica je da linearizaciju jednadžbi možemo raditi po istim pravilima po kojima izvodimo diferenciranje jednadžbi.

12.2 Linearizacija model 6DOF 12.2.1 Linearizacija kinematičkih jednadžbi

Počet ćemo s jednadžbama veze između brzina i kutova: u = V cos α cos β v = V cos α sin β

12.27

w = V sin α

Primijenimo pravilo diferenciranja umjesto linearizacije na prvu jednadžbu: ∆u = ∆V cosα 0 cos β 0 + V 0 sinα 0∆α cos β 0−V 0 cosα 0 sin β 0 ∆β Kako u referentnom stanju nema klizanja β 0 = 0 , dobivamo lineariziranu prvu jednadžbu: ∆u = ∆V cosα 0 − V 0 sinα 0∆α Na isti način dobivamo i preostale dvije linearizirane jednadžbe:

∆v = V o cos α o ∆β ∆w = ∆V sin α o + V o cos α o ∆α U referentnom režimu napadni kut je mali. Zato u ovim jednadžbama možemo zamijeniti sin α 0 ≈ α 0 i cosα 0 ≈ 1 : ∆u = ∆V − V 0α 0∆α ∆v = V o ∆β ∆w = ∆Vα o + V o ∆α

Po svojoj veličini produkt V 0α 0 reda je veličine poremećaja brzine, te je drugi član na desnoj strani mala veličina drugoga reda koju možemo zanemariti. Isto tako produkt ∆Vα 0 na desnoj strani treće jednadžbe predstavlja malu veličinu drugoga reda koju možemo zanemariti. Tako dobivamo konačno:

12-7

Linearizacija 6DOF ∆u = ∆V ∆v = V o ∆β

12.28

∆w = V ∆α o

12.2.2 Linearizacija sila

Za mlaazne motore smatramo da poremećaji gibanja ne utječu na potisnu silu pa nema poremećaja pogonske sile, a za elisne motore usvajamo da nema poremećaja snage. Prema tome, za elisne motore je ∆ (T ⋅ V ) = 0 ,

ili ∆T ⋅ V 0 + T 0 ∆V = 0 .

Iz ove jednadžbe dobivamo da je poremećaj pogonske sile elisnog motora

∆T = −

∆V V

o

T o,

12.29

a za mlazne motore je ∆T = 0 .

12.30

Komponente sile Zemljine teže duž osi tromosti zrakoplova jesu:  0   − sin ϑ    L FO (φ , ϑ ,ψ )  0  = mg  sin φ cos ϑ  mg  cos φ cos ϑ 

Primjenjujući pravilo diferenciranja dobivamo poremećaje komponente sile Zemljine teže:   − cos ϑ o ∆ϑ   mg  cos φ o ∆φ cos ϑ o − sin φ o sin ϑ o ∆ϑ  − sin φ o ∆φ cos ϑ o − cos φ o sin ϑ o ∆ϑ    Za referentni let je φ o = 0 , te dobivamo konačno poremećaje komponenata sile Zemljine teže: − cos ϑ o ∆ϑ    mg  cos ϑ o ∆φ   − sin ϑ o ∆ϑ    Linearizacija komponenata aerodinamičke sile:

12.31

12-8

Linearizacija 6DOF modela

X=

ρV 2

(

SC X α , β 2

)

2 ρV 2 Y= S CY β , p ∗ , r ∗ , δ n 2 ρV 2 Z= S C Z α , α& ∗ , q ∗ , δ m 2

(

)

(

)

12.32

prema pravilu o diferenciranju, daje poremećaje: ∆X = ρV ∆V S C + 0

0 X

∆Y = ρV ∆V S C + 0

0 Y

∆Z = ρV ∆V S C + 0

0 Z

ρV 0

2

2

ρV 0

2

S ⋅ ∆CY

2

ρV 0 2

S ⋅ ∆C X

2

S ⋅ ∆C Z

Poremećaji aerodinamičkih koeficijenata sila su:

∆C X = C Xo α ∆α + C Xoβ 2 β o ∆β 2

∆CY = CYoβ ∆β + C Ypo ∆p ∗ + C Yro ∆r ∗ + C Yoδ ∆δ n n

12.33

o ∆C Z = C Zoα ∆α + C Zoα& ∆α& ∗ + C Zq ∆q ∗ + C Zoδ ∆δ m m

Poremećaj bezdimenzijske kutne brzine valjanja je 0 b  bp  b∆pV − bp 0 ∆V ∆p ∗ = ∆   = = 0 ∆p , 2 0 V V  (V )

12.34

jer je p 0 = 0 . Isto tako su i poremećaji bezdimenzijskih kutnih brzina:

∆q ∗ =

cA ∆q V0

12.35

∆r ∗ =

b ∆r V0

12.36

Kako je u referentnom stanju CYo = 0 , bit će konačno poremećaji aerodinamičkih brzina:

∆X = ρV o SC Xo ∆V + ∆Y =

o2

ρV 2

2

2

SC Xo α ∆α

b b   o S  C Yoβ ∆β + C Yp ∆p 0 + CYro ∆r 0 + CYoδ n ∆δ n  V V  

∆Z = ρV SC ∆V + o

ρV o

o Z

ρV o 2

2

c c   o S  C Zoα ∆α + C Zoα& ∆α& A0 + C Zq ∆q A0 + C Zoδ m ∆δ m  V V  

U ove jednadžbe uvodimo oznake za koeficijente dinamičke stabilnosti uz poremećaje:

Linearizacija 6DOF

12-9

1 ∂ Y ρV o 2 S o 1 ∂ X ρV o S o o Yβ = = CY β X = = CX 2m m ∂β m ∂u m 1 ∂X ρV o 2 S o 1 ∂Y ρV o Sb o X αo = = C Xα Y po = = CYp m ∂α 2m 2m m ∂p o u

1 ∂Z m ∂u 1 ∂Z m ∂α 1 ∂Z m ∂α& 1 ∂Z m ∂q

Z = o u

Z αo =

1 ∂Y ρV o Sb o o Y = = CYr Z α& = 2m m ∂r 1 ∂Y ρV o 2 S o o Yδon = = CY δ n Z q = m ∂δ n 2m o r

Z δom =

=

ρV o S

C Zo

m ρV o 2 S o = C Zα 2m ρV o Sc A o = C Zα& 2m ρV o Sc A o = C Zq 2m

12.37

1 ∂Z ρV o 2 S o = C Zδ m 2m m ∂δ m

Svi ovi koeficijenti dinamičke stabilnosti trebaju biti izračunani za vrijednosti parametara u referentnom stanju. S tim koeficijentima jednadžbe možemo napisati u obliku:

∆X

= X uo ∆u + X αo ∆α m ∆Y = Yβo ∆β + Y p0 ∆p + Yro ∆r + Yδon ∆δ n m ∆Z = Z uo ∆u + Z αo ∆α + Z αo& ∆α& + Z qo ∆q + Z δom ∆δ m m

12.38

12.2.3 Linearizacija jednadžbi gibanja središta mase

Linearizaciju prvih triju jednadžbi gibanja središta mase: T cos α T X + − g sin ϑ m m Y v& = −ru + pw + + g cos ϑ sin φ m T sin α T Z w& = qu − pv + + + g cos ϑ cos φ m m

u& = rv − qw +

12.39

izvest ćemo po pravilu diferenciranja. Tako dobivamo

∆u& = r o ∆v + v o ∆r − q o ∆w − w o ∆q +

∆T cos α T

∆v& = −r o ∆u − u o ∆r + p o ∆w + w o ∆p +

m

∆Y

+

∆X m

− g cos ϑ o ∆ϑ

+ g cos ϑ o ∆φ

m sin α T ∆Z ∆ T + − g sin ϑ o ∆ϑ ∆w& = q o ∆u + u o ∆q − p o ∆v − v o ∆p + m m

12.40

U referentnom letu je v 0 = 0 kao i sve kutne brzine p o =q o =r o = 0 . Kut α 0 u referentnom letu je obično mala veličina, te je w o = u oα o reda veličina poremećaja ∆u ili ∆w . Zato se

12-10

Linearizacija 6DOF modela

njegovi produkti sa drugim poremećajima mogu zanemaruju kao male veličine drugog reda. To nam omogućava da u prvoj jednadžbi zanemarimo produkt w 0 ∆q , a u drugoj w 0 ∆p . Tako linearizirane jednadžbe poremećaja gibanja središta mase dobivaju oblik: ∆T cosα T ∆X + − g cosϑ o ∆ϑ m m ∆Y + g cosϑ o ∆φ ∆v& = −u o ∆r + m ∆T sin α T ∆Z + − g sinϑ o ∆ϑ ∆w& = u o ∆q + m m ∆u& =

12.41

Derivacijom lineariziranih jednadžbi veza između kutova i komponenti brzine dobivamo:

∆v& = V o ∆β& ∆w& = V o ∆α&

12.42

Zamjenom poremećaja aerodinamičkih sila ∆X , ∆Y , ∆Z i poremećaja derivacija bočnih brzina ∆v&, ∆w& u gornje linearizirane jednadžbe poremećaja gibanja središta mase, bit će konačno: ∆T cosα T + X uo ∆u + X αo ∆α − g cosϑ o ∆ϑ m u o ∆β& = −u 0 ∆r + Yβo ∆β + Y p0 ∆p + Yro ∆r + Yδon ∆δ n + g cosϑ o ∆φ ∆u& =

u o ∆α& = u 0 ∆q +

12.43

∆T sin α T + Z uo ∆u + Z αo ∆α + Z αo& ∆α& + Z qo ∆q + Z δom ∆δ m − g sinϑ o ∆ϑ m

Za mlazne motore nema poremećaja potiska, pa dijeljenjem jednadžbe druge sa u 0 i treće jednadžbe sa u 0 − Z α0& dobivamo:

∆u& = X uo ∆u + X αo ∆α − g cos ϑ o ∆ϑ Yδon  g cos ϑ o  r ∆ ∆ φ ∆δ n + + 12.44 0 0  u0 u0 u u   o o Z δom u o + Z qo Zu Zα g sin ϑ o & ∆α = o ∆u + o ∆α + o ∆q − o ∆ϑ + o ∆δ m u − Z αo& u − Z αo& u − Z αo& u − Z αo& u − Z αo&

∆β& =

Yβo

∆β +

Y p0



∆p +  − 1 +

Yro u0

Za zrakoplove s elisnim motorima poremećaj pogonske sile određen je jednadžbom 12.29 ∆T = −

To ∆u u0

pa gornje jednadžbe 12.43 za zrakoplove s elisnim motorima imaju oblik:

Linearizacija 6DOF

12-11

 o T o cosα T  &  ∆u + X αo ∆α − g cosϑ o ∆ϑ ∆u =  X u − 0 mu   o 0 Yδon Yβ Yp  Yo  g cosϑ o + ∆β& = 0 ∆β + 0 ∆p +  − 1 + r0  ∆r + ∆ φ ∆δ n 0 0 u u u u u   ∆α& =

12.45

T o sin α T Z δom u o + Z qo Z αo g sinϑ o mu + + − + ∆ ∆ α ∆ ∆ ϑ ∆δ m u q u 0 − Z α0& u 0 − Z α0& u 0 − Z α0& u 0 − Z α0& u 0 − Z α0&

Z uo −

12.2.4 Linearizacija kutnih brzina

Linearizaciju jednadžbi:

φ& = p + (sin φ tgθ ) q + (cosφ tgθ ) r θ& = (cosφ ) q − (sin φ ) r sin φ cosφ ψ& = q+ r cosθ cosθ

12.46

izvodimo primjenom pravila diferenciranja. Tako dobivamo: ∆ϑ q 0 + sin φ 0 tgϑ 0 ∆q − 2 0 cos ϑ ∆ϑ − sin φ 0 ∆φ ⋅ tgϑ 0 ⋅ r 0 + cosφ 0 r 0 + cosφ 0 tgϑ 0 ∆r 2 0 cos ϑ o o 0 ∆ϑ& = − sin φ ∆φ ⋅ q + cosφ ∆q − cosφ o ∆φ ⋅ r 0 − sin φ o ∆r

∆φ& = ∆p + cosφ 0 ∆φ ⋅ tgϑ 0 ⋅ q 0 + sin φ 0

0 0  sin φ  0 sin φ  cosφ  0 cosφ ∆ψ& = ∆ ⋅ + ⋅ ∆ + ∆ q q ⋅ r + ⋅ ∆r    cosϑ 0 cosϑ 0  cosϑ   cosϑ 

U tim jednadžbama treba uzeti u obzir da su u referentnom stanju sve kutne brzine p 0 , q 0 i r 0 jednake nuli (jednadžbe 12.21) kao i kut valjanja φ 0 (jednadžbe 12.22). Tako konačno dobivamo linearizirane jednadžbe: ∆φ& = ∆p + tan ϑ 0 ∆r ∆ϑ& = ∆q ∆ψ& =

12.47

∆r cosθ 0

12.2.5 Linearizacija komponenata aerodinamičkog momenta

Ovisnosti komponenata aerodinamičkog momenta zrakoplova o parametarima dane su jednadžbama:

12-12

Linearizacija 6DOF modela

L=

ρV 2

SbC l (β , p ∗ , r ∗ , δ l , δ n )

2 ρV 2 M= Sc AC m (α ,α& ∗ , q ∗ , δ m ) 2 ρV 2 N= SbC n (β , p ∗ , r ∗ , δ l ,δ n ) 2

12.48

Primjenom pravila diferenciranja dobivamo: ∆L = ρV o ∆V SbC lo +

ρV o 2 2

∆M = ρV o ∆V Sc AC mo + ∆N = ρV o ∆V SbC no +

Sb ⋅ ∆C l

ρV o 2 2

ρV o 2 2

Sc A ⋅ ∆C m

12.49

Sb ⋅ ∆C n

U ravnotežnom stanju C lo , C mo , C no jednaki su nuli, a poremećaji aerodinamičkih koeficijenata momenata su: b b + C lor ∆r 0 + C loδ l ∆δ l + C loδ n ∆δ n 0 V V c c o ∆C m = C mo α ∆α + C mo α& ∆α& A0 + C mq ∆q A0 + C mo δ m ∆δ m V V b b ∆C n = C noβ ∆β + C npo ∆p o + C nro ∆r o + C n0δ l ∆δ l + C noδ n ∆δ n V V

∆C l = C loβ ∆β + C lop ∆p

12.50

Uvest ćemo koeficijente momenata dinamičke stabilnosti:

1 ∂L ρV 2 Sb = Clβ 2I x I x ∂β

Mα =

1 ∂M ρV 2 Sc A = C mα I y ∂α 2I y

1 ∂N ρV 2 Sb Nβ = = C nβ I z ∂β 2I z

1 ∂L ρVSb 2 Lp = = Cl p 2I x I x ∂p

M α& =

1 ∂M ρVSc A2 = C mα& I y ∂α& 2I y

Np =

1 ∂N ρVSb 2 = C np I z ∂p 2I z

1 ∂L ρVSb 2 = Clr 2I x I x ∂r

Mq =

1 ∂M ρVSc A2 = Cmq I y ∂q 2I y

Nr =

1 ∂N ρVSb 2 = C nr I z ∂r 2I z

Lβ =

Lr =

Lδ n =

1 ∂L ρV 2 Sb = C lδ n I x ∂δ n 2I x

Lδ l =

1 ∂L ρV 2 Sb = C lδ l I x ∂δ l 2I x

M δm =

1 ∂M ρV 2 Sc A = C mδ m I y ∂δ m 2I y

Nδn =

1 ∂N ρV 2 Sb = C nδ n I z ∂δ n 2I z

12.51 Napomenimo da sve ove koeficijente treba izračunati za referentno stanje. Sa ovim oznakama bit će:

Linearizacija 6DOF

12-13

∆L Ix

∆M Iy

∆N Iz

= L0β ∆β + L0p ∆p + L0r ∆r + L0δ l ∆δ l + L0δ n ∆δ n = M α0 ∆α + M α0& ∆α& + M q0 ∆q + M δ0m ∆δ m

12.52

= N β0 ∆β + N r0 ∆r + N p0 ∆φ& + N δ0l ∆δ l + N δ0n ∆δ n

12.2.6 Linearizacija jednadžbi gibanja zrakoplova oko središta mase

Jednadžbe gibanja oko središta mase za glavne osi tromosti su: I x p& = (I y − I z )qr + L

I y q& = (I z − I x )rp + M

12.53

I z r& = (I x − I y ) pq + N Pravilom diferenciranja dobivamo

I x ∆p& = (I y − I z )⋅ (∆q ⋅ p + q ⋅ ∆p ) + ∆L

I y ∆q& = (I z − I x ) ⋅ (∆r ⋅ p + r ⋅ ∆p ) + ∆M I z ∆r& = (I x − I y )⋅ (∆p ⋅ q + p ⋅ ∆q ) + ∆N

U ravnotežnom stanju sve kutne brzine jednake su nuli te ove jednadžbe dobivaju oblik: I x ∆p& = ∆L I y ∆q& = ∆M

12.54

I z ∆r& = ∆N ili poslije linearizacije aerodinamičkih momenata:

∆p& = L0β ∆β + L0p ∆p + L0r ∆r + L0δ ∆δ l + L0δ ∆δ n n

l

∆q& = M α ∆α + M ∆α& + M ∆q + M δ ∆δ m 0

0 α&

0 q

0

12.55

m

∆r& = N β0 ∆β + N p0 ∆p + N r0 ∆r + N δ0 ∆δ l + N δ0 ∆δ n l

n

U drugoj jednadžbi na desnoj strani imamo poremećaj derivacije napadnog kuta ∆α& . Taj kut eliminiramo pomoću treće jednadžbe gibanja središta mase:

∆α& =

T o sin α T Z δom u o + Z qo Z αo g sinϑ o mu ∆ + ∆ α + ∆ − ∆ ϑ + ∆δ m u q u 0 − Z α0& u 0 − Z α0& u 0 − Z α0& u 0 − Z α0& u 0 − Z α0&

Z uo −

Sređivanjem dobivamo konačno:

12.56

Linearizacija 6DOF modela

12-14

∆p& = L0β ∆β + L0p ∆p + L0r ∆r + L0δ l ∆δ l + L0δ n ∆δ n ∆q& = M α0&

T o sin α T  0 M α0& Z αo mu  M α + 0 ∆ + u u 0 − Z α0& u − Z α0& 

Z uo −

 0 u o + Z qo   M 0 g sinϑ o 0   ∆q  ∆α − α&0 ∆ + + ϑ M M α& 0 0 0   q − − u Z u Z & & α α   

 0 M α0& Z δom    ∆δ m + M δm + 0 0   − u Z α&   ∆r& = N β0 ∆β + N p0 ∆p + N r0 ∆r + N δ0l ∆δ l + N δ0n ∆δ n 12.57 12.2.7 Linearni model zrakoplova

Objedinjavanjem lineariziranih jednadžbi gibanja središta mase i oko središta mase dobivamo sustav linearnih jednadžbi prijelaznog procesa. Prve tri linearizirane jednadžbe gibanja središta mase malo se razlikuju za zrakoplove s elisnim pogonom od jednadžba za zrakoplove s mlaznim pogonom, dok su linearizirane jednadžbe za gibanje oko središta mase iste. Zato ćemo objedinjavanjem dobiti dva različita sustava jednadžbi. Za zrakoplove s mlaznim pogonom:

∆u& = X uo ∆u + X αo ∆α − g cos ϑ o ∆ϑ Yδon  g cos ϑ o ∆r + ∆φ + 0 ∆δ n 0  u u  Z δom u o + Z qo Zo Zo g sin ϑ o ∆α& = o u o ∆u + o α o ∆α + o ∆ ∆ ϑ ∆δ m − + q u o − Z αo& u o − Z αo& u − Z α& u − Z α& u − Z αo&

∆β& =

Y p0

Yβo

 Yro  1 ∆ β ∆ + + − + p  u0 u0 u0 

∆p& = L0β ∆β + L0p ∆p + L0r ∆r + L0δ l ∆δ l + L0δ n ∆δ n T o sin α T Z −  0 M α0& Z αo mu  M α + 0 ∆q& = M α0& ∆ u + u 0 − Z α0& u − Z α0&  o u

 M 0 g sinϑ o  ∆α − α&0 ∆ϑ + u − Z α0& 

  M Z u +Z   ∆q +  M δ0 + 0 δ m0 +  M q0 + M α0& 0 m   u − Z  u − Z α&   ∆r& = N β0 ∆β + N 0p ∆p + N r0 ∆r + N δ0l ∆δ l + N δ0n ∆δ n o

o q 0 α&

0 α&

o

12.58

  ∆δ m  

∆φ& = ∆p + tan ϑ 0 ∆r ∆ϑ& = ∆q ∆ψ& =

∆r cosθ 0

Za zrakoplove s elisnim pogonom sustav diferencijalnih jednadžbi poremećaja ima oblik:

Linearizacija 6DOF



∆u& =  X uo −  Yβo

T o cos α T mu

12-15

 ∆u + X αo ∆α − g cos ϑ o ∆ϑ  

Yδon  Yro  g cos ϑ o ∆β + 0 ∆p +  − 1 + 0 ∆r + ∆φ + 0 ∆δ n u0 u u  u0 u  o T sin α T Z uo − Z δom u o + Z qo Z αo g sin ϑ o mu + + − + u q ∆α& = ∆ ∆ α ∆ ∆ ϑ ∆δ m u 0 − Z α0& u 0 − Z α0& u 0 − Z α0& u 0 − Z α0& u 0 − Z α0&

∆β& =

Y p0

∆p& = L0β ∆β + L0p ∆p + L0r ∆r + L0δ l ∆δ l + L0δ n ∆δ n T o sin α T Z −  0 M α0& Z αo mu  M α + 0 ∆q& = M α0& ∆ + u u 0 − Z α0& u − Z α0&  o u

 0 u o + Z qo 0  + M q + M α& 0  u − Z α0& 

 M 0 g sin ϑ o  ∆α − α&0 ∆ϑ + 0 u Z − & α 

  M 0Z o  ∆q +  M δ0 + α& δ m   m u 0 − Z α0&  

  ∆δ m  

12.59

∆r& = N β0 ∆β + N 0p ∆p + N r0 ∆r + N δ0l ∆δ l + N δ0n ∆δ n

∆φ& = ∆p + tan ϑ 0 ∆r ∆ϑ& = ∆q ∆ψ& =

∆r cosθ 0

U oba slučaja, u jednadžbama imamo devet varijabli ∆u ∆β

∆α

∆p ∆q ∆r ∆φ

koje su funkcije vremena, i tri zadana otklona ∆δ l uz zadane otklone poznate su konstante.

∆δ m

∆ϑ

∆ψ

∆δ n . Koeficijenti uz varijable i

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

13-1

13 DINAMIČKA STABILNOST UZDUŽNOG GIBANJA 13.1 Modovi uzdužnog gibanja Sustav linearnih jednadžbi zrakoplova može se rastaviti na dva podsustava koji se rješavaju neovisno. Prvi podsustav čine četiri jednadžbe gibanja s četiri varijable: ∆u, ∆α , ∆θ i ∆q . To

su: prva i treća jednadžba gibanja središta mase, druga jednadžba gibanja oko središta mase i druga jednadžba veza između kutnih brzina i derivacija kutova. Za zrakoplove s elisnim pogonom to su jednadžbe:  o T o cosα T   ∆u + X αo ∆α − g cosϑ o ∆ϑ ∆u& =  X u − mu   T o sin α T Z uo − Z δom u o + Z qo Z αo g sinϑ o mu ∆α& = ∆u + 0 ∆α + 0 ∆q − 0 ∆ϑ + 0 ∆δ m u 0 − Z α0& u − Z α0& u − Z α0& u − Z α0& u − Z α0& ∆q& = M α0&

T o sin α T  0 M α0& Z αo mu ∆u +  M α + 0 u 0 − Z α0& u − Z α0& 

Z uo −

 M 0 g sinϑ o  ∆α − α&0 ∆ϑ + u − Z α0& 

13.1

 0  0 M α0& Z δom  u o + Z qo  0  ∆δ m    ∆q + M δ m + 0 + M q + M α& 0 0  0    u Z u Z − − α&  α&    ∆ϑ& = ∆q

Gibanje opisano ovim jednadžbama nazivamo uzdužno gibanje. U njima se ne pojavljuju varijable skretanja (∆β , ∆r ) niti varijable valjanja (∆φ , ∆p ) . Mali poremećaj kuta valjanja

∆φ ne mijenja ništa u ovim jednadžbama, što drugim riječima znači da malo valjanje letjelice ne utječe na uzdužno gibanje. Gornje jednadžbe uzdužnog gibanje možemo napisati kao linearni sustav diferencijalnih jednadžbi & = A ∆X + B ∆e , ∆X

u kome je vektor stanja

∆X = [∆u ∆α ∆q ∆ϑ ]T , a vektor upravljanja svodi se na skalar ∆e = ∆δ m . Matrica A sustava je:

13.2

13-2

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja

 T 0 cosα T 0  X u − mu 0  o  Z 0 − T sin α T  u mu o A= u 0 − Z α0&  T 0sin α T  Z u0 −  0 mu 0 M & α 0  u − Z α0&  0 

X α0

0

Z α0 u 0 − Z α0&

u 0 + Z q0

M α0 +

u 0 − Z α0&

M α0& Z α0 u 0 − Z α0& 0

M q0 +

M α0& (u 0 + Z q0 ) u 0 − Z α0& 1

 − g cosϑ 0    g sinϑ 0  − 0 u − Z α0&    M α0& g sin ϑ 0  − u 0 − Z α0&   0 

13.3

a matrica B je :

0   Zδ0 m     0 0 u − Z α&   B= M α0& Z δ0m   0  M δm + 0 u − Z α0&   0  

13.4

Podsjetimo se da smo ove jednadžbe dobili za pretpostavljeno stacionarno pravocrtno referentno gibanje, što znači da su matrice A i B konstantne. Interesira nas kako se zrakoplov ponaša kada se u stacionarnom pravocrtnom letu promijenimo otklon kormila visine. Tražit ćemo odgovor letjelice na tri tipa promjene otklona: •

jedinični impuls otklona

•

jedinični odskok otklona i

•

harmonijski otklon

13.2 Odgovor letjelice na odskok otklona u vremenskom području Rješenje linearnog sustava diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima & = A ∆X + B ∆e ∆X

13.5

poznato je. Ono je zbroj homogenog i partikularnog integrala: ∆X = ∆X h + ∆X p

13.2.1 Homogeno rješenje

Homogeni integrali ∆X h rješenjr je homogenog sustava tj. kada nema pobude ∆e = 0 :

13.6

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

13-3

& − A ∆X = 0 ∆X h h

13.7

Tražimo rješenje ∆X h u obliku eksponencijalne funkcije  ∆u h  e st   ∆α   st  e ∆X h =  h  =  st   ∆q h   e     st   ∆ϑ h  e 

13.8

& = s∆X . Ako takvo rješenje postoji onda isto za svaku komponentu. U tom slučaju je ∆X h h ono mora zadovoljavati diferencijalnu jednadžbu. Zamjenom u gornju jednadžbu dobivamo

(A − sJ ) ∆X h = 0

13.9

Ovo je sustav od četiri linearne jednadžbe u kojima su četiri nepoznanice: ∆X h = [∆u h

∆α h

∆qh

∆ϑ h ]

T

S obzirom na to što nemamo slobodne članove na desnoj strani, determinanta sustava D ( s ) = A − sJ

mora biti jednaka nuli, jer bismo u protivnom imali trivijalno rješenje ∆X h = 0 : T 0 cosα T −s mu 0 T 0 sin α T Z u0 − mu 0 D (s ) = u 0 − Z α0& T 0 cosα T Z u0 − mu 0 M α0& u 0 − Z α0& 0 X u0 −

X α0

0

Z α0 −s u 0 − Z α0&

u 0 + Z q0

M α0& Z α0 Mα + 0 u − Z α0& 0 0

u 0 − Z α0& M + 0 q

M α0& (u 0 + Z q0 ) u 0 − Z α0& 1

− g cosϑ 0 −

g sinϑ 0 u 0 − Z α0&

13.10

M α0& g sinϑ 0 −s − u 0 − Z α0& −s

Kad se razvije ta determinanta matrice A, dobiva se tzv. karakteristični polinom četvrtog reda: D (s ) = s 4 + a s 3 + b s 2 + c s + d = 0

13.11

Taj karakteristični polinom ima 4 korijena s1 , s 2 , s 3 i s 4 koje u MATLABu dobivamo pomoću naredbi p = poly ( A )

s = root (p )

Tim korijenima odgovaraju četiri moguća rješenja e s1t , e s2t , e s3t i e s4t . Zato što svaka varijabla ima opće rješenje u obliku linearne kombinacije tih četiri mogućih rješenja, dobivamo:

13-4

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja ∆u h = C u1 e s1t + C u2 e s2t + C u3 e s3t + C u4 e s4t ∆α h = Cα 1 e s1t + Cα 2 e s2t + Cα 3 e s3t + Cα 4 e s4t ∆qh = C q1 e s1t + C q2 e s2t + C q3 e s3t + C q4 e s4t

∆ϑh = Cϑ 1 e s1t + Cϑ 2 e s2t + Cϑ 3 e s3t + Cϑ 4 e s4t To možemo napisati matrično:  ∆u h   C u1 ∆α  C  h  =  α1  ∆q h   C q1     ∆ϑ h  Cϑ1

Cu 2

Cu3

Cα 2

Cα 3

Cq2 Cϑ 2

C q3 Cϑ 3

C u 4   e s1t    Cα 4  e s2t  C q 4   e s3 t    Cϑ 4  e s4t 

Uvedimo četverodimenzionalne konstante uz moguća rješenja:  ∆u h  ∆α   h =[C 1  ∆q h     ∆ϑ h 

C2

 e s1t   s2t  e C4 ] s t  e 3   s4t  e 

C3

ili 4

∆X h = ∑ C i e s t

13.12

i

i =1

Konstante C 1 , C 2 , C 3 , C 4 imaju četiri dimenzije, koliko ima dimenzija i vektor stanja ∆X . U općem slučaju korijeni s1 , s 2 , s 3 i s 4 mogu biti realni (pozitivni i/ili negativni) i kompleksni korijeni. A priori jednadžbe uzdužnog gibanja zrakoplova imaju četiri kompleksna korijena. Budući da su koeficijenti karakterističnog polinoma realni brojevi, kompleksni korijeni moraju biti konjugirani. Znači da imamo dva para konjugiranih kompleksnih korijena. Te konjugirane korijene pišemo u obliku − δ i ± ωi i

13.13

gde je i = 1, 2 . Opće rješenje svake varijable možemo napisati u obliku gušene trigonometrijske funkcije. Na primjer za poremećaj ∆u h , koje mora biti realno, možemo opći oblik transformirati kako slijedi: ∆u h = C1u e (−δ1 +iω1 )t + C 2 u e (−δ1 −iω1 )t + C3u e (−δ 2 +iω 2 )t + C 4 u e (−δ 2 −iω 2 )t

(

)

(

= e −δ1 t C1u e iω1 t + C 2 u e −iω1 t + e −δ 2 t C3u e iω 2 t + C 4 u e −iω 2 t

)

∆u h = e −δ1 t [C1u (cos ω1t + i sin ω1t ) + C 2 u (cos ω1t − i sin ω1t )] +

+ e −δ 2 t [C 3u (cos ω 2 t + i sin ω 2 t ) + C 4 u (cos ω 2 t − i sin ω 2 t )]

ili

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

13-5

∆u h = e −δ1 t [(C1u + C 2 u )cosω1t + i (C1u − C 2 u )sin ω1t ] +

+ e −δ 2 t [(C3u + C 4 u )cos ω 2 t + i (C3u − C 4 u )sin ω 2 t ]

Promatrajmo prvi član na desnoj strani e −δ 1 t [(C1u + C 2 u )cos ω1t + i (C1u − C 2 u )sin ω1t ] Da bi on bio realan, mora biti C1u + C 2 u realan broj C ′ , a C1u − C 2 u mora biti imaginaran broj iC ′′ . S obzirom na jednakost

e −δ1 t (C ′ sin ω1 t + C ′′ cos ω1 t ) = e −δ1 t A01 sin (ω1t + ϕ 1 ) , gdje su A01 = C ′2 + C ′′2 C ′′ ϕ 1 = arctan , C′ može se poremećaj uzdužne brzine staviti u oblik:

∆u = e −δ1t A01 sin(ω1t + ϕ 1 ) + e −δ 2t A02 sin(ω 2 t + ϕ 2 )

13.14

Tako se mogu napisati i poremećaji ∆α , ∆q, ∆ϑ . Prema tome homogeno rješenje, za svaku komponentu poremećaja, je zbroj dva gušena harmonijska moda. Realni dio konjugirano kompleksnih korijena − δ i mora biti negativan, tj. δ i > 0 da bi mod bio gušen. To δ i naziva se koeficijent gušenja (dumping coefficient). Imaginarni dio ω i = učestalost. Ti je perioda tog moda, a

2π predstavlja kružnu Ti

1 = f i je učestalost moda. Ti

Osim ovih parametara δ i i ω i upotrebljavaju se i od njih izvedeni parametri. Vrjemenska konstanta predstavlja recipročnu vrijednost konstante gušenja

τ=

1

δ

,

13.15

a to znači kada je vrijeme gibanja t jednako vremenskoj konstanti, amplituda se smanjila e puta. Sa τ 1 2 označava se vrijeme za koje se amplituda moda prepolovi. To vrijeme dobivamo iz jednadžbe e

−δτ 1 2

=

1 , 2

odakle je

τ1 2 =

ln 2

δ

.

13.16

13-6

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja

U slučaju ne gušenog moda koristi se vrijeme τ 2 za koje se amplituda moda udvostruči: e −δτ 2 = 2

τ2 =

ln 2 −δ

13.17

Konačno za ocjenu moda upotrebljava se parametar gušenje. Da bismo objasnili taj parametar, zamislimo sustav koji ima korijene jednog moda s1, 2 = −δ ± iω . Karakteristična jednadžba tog sustava je s 2 − (s1 + s 2 ) ⋅ s + s1 s 2 = 0 , ili s 2 + 2δ ⋅ s + (δ 2 + ω 2 ) = 0 . Ako uvedemo novu varijablu σ = s

δ 2 + ω 2 , dobit ćemo novu jednadžbu:

σ2 +2

δ δ +ω2 2

σ +1 = 0

Tu jednadžbu možemo napisati u općem obliku

σ 2 + 2ζ σ + 1 = 0 u kojoj imamo samo jedan parametar koji se naziva gušenje moda.

ζ =

δ δ +ω2 2

13.18

Veličina

ωn = δ 2 + ω 2

13.19

naziva se prirodna učestalost i koristi se za ocjenu kvalitete upravljivosti objekta. 13.2.2 Partikularni integral

Partikularni integrali se mogu naći na temelju pretpostavke da ih tražimo u obliku konstanta. & = 0 , pa je Ako su oni konstantni, onda je ∆X p

0 = A ∆X p + B ∆e ∆X p = − A −1B ⋅ ∆e .

Uvest ćemo pojam aerodinamičko pojačanje:

K = − A −1 B

13.20

To je matrica koja ima onoliko redaka koliko ima varijabli vektor stanja, a onoliko stupaca koliko ima dimenzija vektor upravljanja. S tom veličinom je partikularni integral :

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

13-7

∆X p = K ⋅ ∆δ m

13.21

Taj partikularni integral vektor stanja je konstantan vektor i predstavljanja razliku od početnog ravnotežnog stanja do novog ravnotežnog stanja. 13.2.3 Opće rješenje

Konačno rješenje je zbroj homogenog i partikularnog integrala. Svaka varijabla stanja (ima ih četiri) ima dva moda sa po dvije konstante. Rješenje nehomogenog sustava diferencijalnih jednadžbi uzdužnog gibanja je :  ∆u   e −δ1t Au1 sin(ω1t + ϕ u1 ) + e −δ 2t Au 2 sin(ω 2 t + ϕ u 2 )   K u   ∆α  e −δ1t A sin(ω t + ϕ ) + e −δ 2t A sin(ω t + ϕ )  K  α1 α1 α2 α2  1 2  = +  α  ∆δ m , −δ 1t −δ 2t  ∆q   e Aq1 sin (ω1t + ϕ q1 ) + e Aq 2 sin (ω 2 t + ϕ q 2 )   K q        −δ1t −δ t  ∆ϑ   e Aϑ 1 sin(ω1t + ϕ ϑ 1 ) + e 2 Aϑ 2 sin(ω 2 t + ϕ ϑ 2 )  Kϑ 

13.22

gdje su Ax i amplitude moda i = 1,2 poremećaja x = ∆u, ∆α , ∆q i ∆ϑ , a ϕ x i njihovi fazni pomaci. Konstanta Ax i ima 4 ⋅ 2 = 8 i isto toliko faznih pomaka. Ukupno to je 16 konstanti. Opće rješenje možemo napisati i u obliku koji nam je pogodniji za usporedbu s Laplaceovom analizom:  ∆u   C u1 ∆α  C   =  α1  ∆q   C q1     ∆ϑ  Cϑ1

Cu 2

Cu3

Cα 2

Cα 3

Cq2 Cϑ 2

C q3 Cϑ 3

C u 4   e s1t   K u    Cα 4  e s2t   K α  + ∆δ m C q 4   e s 3t   K q      Cϑ 4  e s4t   K ϑ 

Kraće napisano to je: 4

∆X = ∑ C i e s t + K∆δ m ,

13.23

i

i =1

u kome su

[C1

C2

C3

 C u1 C C 4 ] =  α1  C q1  Cϑ 1

Cu 2

Cu3

Cα 2

Cα 3

Cq2 Cϑ 2

C q3 Cϑ 3

Cu 4  Cα 4  Cq4   Cϑ 4 

Ukupno imamo šesnaest konstanta. Veličine tih konstanti najlakše ćemo odrediti, kao i druga svojstva uzdužnog gibanja, pomoću Laplaceove transformacije.

13-8

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja

13.2.4 Primjer

Za laki mali putnički zrakoplov treba odrediti korijene uzdužnog gibanja zrakoplova i aerodinamičko pojačanje kada leti horizontalno na visini 2000 m u režimu za maksimalni dolet koji smo odredili u primjeru 8.1.7, primjer 2. V = 53 C L = 0.499 Aerodinamički proračun tog zrakoplova urađen je u petom poglavlju, gdje smo dobili koeficijente normalne sile i momenta propinjanja u stacionarnom režimu kada α& = q = 0 . Ti su rezultati ovisili o postavim kutovima krila i repa, kao i o položaju središta mase. Za postavne kutove iW = 10 i ih = −10

te za središte mase na udaljenosti l m = 0.233 m od

ravnine elise ili hm = 0.137 od aerodinamičkog ishodišta dobili smo koeficijente: C N = 0.247 + 4.72α + 0.216 ⋅ K f δ m C m = −0.001 − 0.835α − 0.577 ⋅ K f δ

Na kraju aerodinamičkog proračuna malog zrakoplova u poglavlju 3.9.7 urađen je i proračun nestacionarnih koeficijenata za isti položaj središta mase hm = 0.137 : C Zα& = −0.52

C Zq = −1.26

C mα& = −1.34

C mq = −3.25

Masene karakteristike zrakoplova su: m = 1088. kg

I Y = 1693 kg ⋅ m 2

Rješenje Ako zrakoplov leti horizontalno onda je ϑ = γ + α = α T jer je γ = 0 , a

motor je tako

postavljen da je u tom režimu leta pogonska sila u pravcu brzine leta. To znači da je u referentnom letu (vidi primjer 8.1.7.2) potreban koeficijent uzgona C L = 0.499 , a brzina leta V = 53.1 m s .

Iz gornjih jednadžba za aerodinamičke koeficijente normalne sile i momenta propinjanja, vidimo da su gradijenti po napadnom kutu: C Zα = −4.72 C mα = −0.835 U ravnotežnom letu je C m = 0 , a za željeni koeficijent uzgona gornje jednadžbe daju nam ravnotežni napadni kut i kut otklona za koji se on ostvaruje:

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

13-9

0.499 = 0.247 + 4.72α rav + 0.216 ⋅ K f δ m 0 = −0.001 − 0.835α rav − 0.577 ⋅ K f δ

Dobivamo traženi ravnotežni napadni kut

α rav = 0.0573 = 3.30 koji se ostvaruje s otklonom kormila visine δ m = −0.0846 = −4.80 . Taj otklon je u linearnom području te je K f = 1 . Pretpostavimo da je postavni kut motora α T = α rav = 3.30 , onda je u referentnom režimu ϑ 0 = α T = 3.30 . Pogonska sila jednaka je otporu. Prema odjeljku 5.2.6 C D 0 = 0.0259 , a otpor pri ravnotežnom napadnom kutu bit će C D = 2 ⋅ C D 0 = 2 ⋅ 0.0259 = 0.0518 T=

ρV 2 2

S ref C D0 =

1.007 ⋅ 53.12 15.09 ⋅ 0.0518 = 1110 N 2

Da bismo odredili potrebne derivative aerodinamičkih koeficijenata u koordinatnom sustavu letjelice, kao npr. C Xα , korist ćemo se vezama između aerodinamičkih koeficijenata koje smo izveli u odjeljku 2.1.3. U ovom slučaju nema bočnog gibanja pa su veze između aerodinamičkih koeficijenata u uzdužnom gibanju: C X = − C D + C Lα

U referentnom režimu je C X0 = −C D0 + C L0α 0 = −0.0518 + 0.499 ⋅ 0.0573 = −0.0232 Ovisnost aksijalne sile o napadnom kutu može se dobiti na sljedeći način: C X = −C D + C Lα

= −C D 0 − KC L2 + C Lα Derivacijom po napadnom kutu dobivamo: C X0 α = −2 KC L0 C L0α + C L0 + α 0 C L0α Za izabranom referenti let dobivamo: C X0 α = −2 ⋅ 0.104 ⋅ 0.499 ⋅ 4.73 + 0.499 + 0.0573 ⋅ 4.73 = 0.279 Napravljen je program u MATLAB-u pod imenom ABROOT.m koji se nalazi na CDu u direktoriju Dinamicka\ stabilnost\uzduzna. S njim su dobivene matrice:

− 9.7937 5.4945 0  − 0.0364  − 0.0069 − 1.7435 0.9790 − 0.0106  A=  0.0067 − 16.0762 − 3.1353 0.0098    0 1 0   0

0    − 0.0796   B=  − 12.3407   0  

13-10

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja

Korijeni su karakterističnog polinoma matrice A : s1 = −2.4469 + 3.9067 i s 2 = −2.4469 − 3.9067 i s 3 = −0.0108 + 0.2376 i s 4 = −0.0108 − 0.2376 i Prema ovim rezultatima određene su periode :

•

kratka perioda

T1 =

•

duga perioda

T2 =

2π

ω1 2π

ω2

=

2π = 1.61 s , 3.9067

=

2π = 26.4 s 0.2376

13.3 Prijenosne funkcije (open loop transfer function) Izvedimo Laplaceovu transformaciju lineariziranih jednadžbi: d∆X = A∆X + B∆δ m (t ) dt

13.24

Tom transformacijom dobivamo (pod uvjetom da su početni poremećaji vektora stanja jednaki nuli, što je zadovoljeno): s∆X(s ) = A ∆X(s ) + B ∆δ m (s ) , odakle je

(sJ − A ) ⋅ ∆X(s ) = B ⋅ ∆δ m (s ) ,

13.25

∆X(s ) −1 = ( sJ − A ) B . ∆δ m

13.26

ili

Odnos

Laplaceove

transformacije

vektora

transformaciji otklona kormila visine

stanja

poremećaja

prema

Laplaceovoj

nazivamo prijenosna funkcija po otklonu kormila

visine. Taj vektor ima četiri dimenzije

[

G δ m (s ) = Guδ m

Gαδ m

Gqδ m

Gϑδ m

]

T

Ako gornju jednadžbu 13.25 napišemo u obliku

(A − sJ ) ⋅ Gδ

m

= −B ,

13.27

dobivamo linearni sustav algebarskih jednadžbi po prijenosnim funkcijama. Rješenje toga sustava algebarskih jednadžbi daje nam četiri komponente vektora prijenosne funkcije :

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

[

G δ m = Guδ m

D je determinanta

Gαδ m

G qδ m

Gϑδ m

13-11

]

T

 N (s ) = u  D (s )

N α (s ) D (s )

N q (s ) D (s )

N ϑ (s ) N(s ) = D (s )  D (s )

A − sJ , tj. karakteristični polinom matrice A, a polinomi

N(s ) = [N u (s ) N α (s ) N q (s ) N ϑ (s )] determinante su koje dobivamo kada u determinanti T

A − sJ zamijenimo stupac uz varijablu sa stupcem matrice -B. Kako u stupcu koji

zamjenjujemo ima s, a u stupcu koji ga zamjenjuje -B nema s, nove determinante N(s ) bit će polinomi po s za jedan stupanj niži od polinoma D(s ) . Pomoću prijenosne funkcije možemo Laplaceovu transformaciju poremećaja prikazati kao produkt prijenosne funkcije i Laplaceove transformacije otklona kormila visine:

∆X (s ) = G δ m (s ) ⋅ ∆δ m (s )

13.28

Primjerice poremećaj napadnog kuta bit će:

∆α (s ) = Gαδ (s ) ⋅ ∆δ m (s ) . Isto tako bit će Laplaceova transformacija poremećaja svake druge varijable jednaka produktu njene prijenosne funkcije i Laplaceove transformacije otklona kormila visine.

13.4 Odgovor na jedinični impuls (impulsive admittance) Promatrajmo posebni slučaj otklona. Ako u trenutku t = 0 zadamo otklon ∆δ m (t ) koji ima jedinični impuls, nije važno kakva je to funkcija od vremena, samo je potrebno da ∆t

∫ ∆δ (t ) ⋅ dt = 1 , m

0

s tim da ∆t bude malo u odnosu na periodu kratkoperiodičnog moda (matematički je točnije reći da ovaj integral teži k jedinici kada ∆t teži k nuli). Laplaceova transformacija jediničnog impulsa jednaka je jedinici

∆δ m (s ) = 1 , pa je Laplaceova transformacija izlaza

∆X (s ) = G δ m (s ) ⋅ ∆δ m (s ) = G δ m (s )

13.29

jednaka prijenosnoj funkciji. Kada na ulazu imamo jedinični impuls otklona kormila visine, izlaze veličine u realnom vremenu [∆u (t ) ∆α (t ) ∆q(t ) ∆θ (t )] označimo sa T

h(t ) = [hu (t ) hα (t ) hq (t ) hϑ (t )] . T

Ti izlazi bit će jednaki inverznim Laplaceovim transformacijama od prijenosnih funkcija

13-12

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja

[

]

h(t ) = L−1 G δ m (s ) ,

13.30

a ta inverzna transformacija može se dobiti primjenom Heavisideova teorema razvoja. Imajući na umu da je G δ m (s ) =

N(s ) , dobit ćemo D (s )

N(s1 ) N(s 2 )  N(s )  h(t ) = L−1  e s2 t + e s1t +  = (s2 − s1 )(s2 − s3 )(s2 − s4 )  D (s )  (s1 − s 2 )(s1 − s3 )(s1 − s 4 ) N(s3 ) N(s 4 ) + e s4 t . e s3t + (s3 − s1 )(s3 − s2 )(s3 − s4 ) (s4 − s1 )(s4 − s2 )(s4 − s3 ) 13.31 Ovu jednadžbu možemo napisati u obliku: h(t ) = C1e s1t + C 2 e s2t + C 3 e s3t + C 4 e s4t Primjerice vektor konstanta C1 uz e s1t ima komponente C u1 = Cα 1 =

N u (s1 ) (s1 − s2 )(s1 − s3 )(s1 − s4 )

N α (s 2 ) (s1 − s2 )(s1 − s3 )(s1 − s4 )

C q1 =

N q (s3 )

(s1 − s2 )(s1 − s3 )(s1 − s4 ) N i (s 4 ) Cϑ 4 = (s1 − s2 )(s1 − s3 )(s1 − s4 ) Tako možemo dobiti poremećaje svih varijabli stanja uzdužnog gibanja za slučaj kada zadamo jedinični impulsni otklon kormila visine. 13.4.1 Primjer

Treba izračunati i nacrtati za zrakoplov iz prethodnog primjera odgovor u uzdužnom gibanju na jedinični impuls otklona kormila visine. Zadatak je riješen u MATLABu. Napravljen je program pod imenom Impuls.m", koji se nalazi na CD-u u direktoriju

"Dinamicka stabilnost\Uzduzna. Primijenili smo ga na

matrice A i B koje smo izračunali u prethodnom promjeru za mali zrakoplov. Iz dobivenih rezultata na slikama 13-1, 13-2, 13-3 i 13-4 vidimo da su za poremećaje gibanja središta mase ∆u i ∆γ = ∆ϑ − ∆α dominantni dugoperiodični modovi, dok su za gibanje oko središta mase ∆α dominantni kratkoperiodični modovi.

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

Slika 13-1 ∆u (t ) kao odgovor na jedinični impuls kormila visine

Slika 13-2 ∆α (t ) kao odgovor na jedinični impuls kormila visine

13-13

13-14

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja

Slika 13-3 ∆q(t ) kao odgovor na jedinični impuls kormila visine

Slika 13-4 ∆ϑ (t ) kao odgovor na jedinični impuls kormila visine

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

13-15

13.5 Odgovor na jedinični odskok (indicial admittance) Ako je u realnom vremenu otklon kormila visine jedinični odskok

0 1

∆δ m = 

t≤0 , t >0

13.32

1 s

13.33

onda je njegova Laplaceova transformacija ulaza

∆δ m (s ) = . Izlaz iz linearnog sustava:

∆X (s ) = G δ m (s ) ⋅ ∆δ m (s ) Kako je prijenosna funkcija poremećaja po otklonu kormila visine G δ n (s ) =

N(s ) , D (s )

13.34

bit će izlaz u realnom vremenu za poremećaj:

 N(s )  ∆X (t ) = L−1    s ⋅ D (s ) 

13.35

s ⋅ D (s ) je polinom petog reda koji ima četiri korijena karakteristične jednadžbe i peti korijen

jednak nuli:

s1 , s 2 , s 3 , s 4 i s 5 = 0 , a N(s ) = [N u (s ) N α (s ) N q (s ) N ϑ (s )]

T

su poznati

polinomi trećega reda. Primjenom Heavisideova teorema bit će ∆X =

N(s1 ) N(s 2 ) e s1t + e s2 t + (s1 − s2 )(s1 − s3 )(s1 − s4 )s1 (s2 − s3 )(s2 − s4 )s2 (s2 − s1 )

N(s3 ) N(s 4 ) N(0) + e s3t + e s4 t + (s3 − s4 )s3 (s3 − s1 )(s3 − s2 ) (s4 − s1 )(s4 − s2 )(s4 − s3 )s4 s1 s 2 s3 s 4

13.36

Usporedimo ovo rješenje s onim koje smo dobili kao zbroj homogenog i partikularnog rješenja kada je otklon kormila visine na jedinični odskok 4

∆X = ∑ C i e si t + K i =1

Izjednačavanjem ova dva rješenja dobivamo C1 = C2 =

N(s1 ) s1 (s1 − s 2 )(s1 − s3 )(s1 − s 4 )

N(s 2 ) s 2 (s 2 − s1 )(s 2 − s3 )(s 2 − s 4 )

13.37

13-16

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja C3 =

N(s3 ) s3 (s3 − s1 )(s3 − s 2 )(s3 − s 4 )

C4 =

N(s 4 ) s 4 (s 4 − s1 )(s 4 − s 2 )(s 4 − s3 )

K=

13.38

N(0) s1 s 2 s3 s 4

13.5.1 Primjer

Treba odrediti izlaz poremećaja varijabli stanja uzdužnog gibanja ako je ulaz jedinična odskočna funkcija otklona kormila visine za laki zrakoplov kao iz prethodnog primjera. Program je napisan u MATLAB-u pod imenom Odskok.m, a nalazi se na disketi u direktoriju "Dinamicka stabilnost\Uzduzna ". Isti rezultati mogu se dobiti u MATLAB-u pomoću rutine LSIM. To je sistemski program koji obavlja numeričku integraciju

& = AX + Be . Program koji poziva tu rutinu naziva se Odsk.m. diferencijalnih jednadžbi X Nalazi se također na CD-u u istom direktoriju. Dobiveni dijagrami nacrtani su na slikama 135, 13-6, 13-7 i 13-8.

Slika 13-5 ∆u (t ) na jedinični odskok kormila visine

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

Slika 13-6 ∆α (t ) na jedinični odskok kormila visine

Slika 13-7 ∆q(t ) na jedinični odskok kormila visine

13-17

13-18

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja

Slika 13-8 ∆ϑ (t ) na jedinični odskok kormila visine Prvo uočimo da su poslije nekoliko dugih perioda poremećaji ∆u ,

∆α i ∆ϑ

konstantni i različiti od nule, dok je poremećaj ∆q = 0 . To znači da je letjelica prešla u drugi ravnotežni let. Ta konstantna vrijednost na primjer za ∆α predstavlja razliku između prvobitnog ravnotežnog leta i ovog drugog u kojem se nalazi poslije smirivanja.

13.6 Odgovor na harmonijsku pobudu Posebno je zanimljiv odgovor letjelice ako je ulaz sinusna funkcija zato što se proizvoljan otklon u funkciji vremena može uvijek spektralnom analizom prikazati kao zbroj sinusnih funkcija različite učestalosti i amplitude. Promatramo odgovor letjelice na sinusnu promjenu otklona kormila visine konstantne učestalosti i jedinične amplitude. Pri tome ne promatramo početak gibanja letjelice već ustaljeno uzdužno gibanje, jer je početni dio opterećen prijelaznim procesom koji se bolje izučava odskočnim ulazom. Pretpostavljamo da je uzdužno gibanje stabilno, tj. da su realni dijelovi korijena negativni. Neka je ulaz

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

13-19

∆δ m (t ) = e iω t

13.39

Laplaceova transformacija ovog ulaza je

∆δ m (s ) =

1 , s − iω

13.40

∆X(s ) =

G (s ) . s − iω

13.41

pa je odgovor letjelice

Potražimo odgovor u realnom vremenu, tj. inverznu transformaciju ovog odgovora letjelice. Kako je G(s ) =

N(s ) bit će D (s )   N(s ) ∆X (t ) = L'1  .  (s − iω ) ⋅ D (s )

13.42

Polinom (s − iω )D(s ) petoga je reda i ima četiri korijena s1 , s 2 , s3 , s 4 ista kao i karakteristični polinom D(s ) i još jedan korijen koji je imaginaran s5 = iω . Zato primjenom Heavisideova teorema razvoja dobivamo: ∆X (t ) = + +

N(s1 ) N(s 2 ) e s1t + e s2 t + (s2 − s1 )(s2 − s3 )(s2 − s4 )(s2 − iω ) (s1 − s2 )(s1 − s3 )(s1 − s4 )(s1 − iω )

N(s3 ) N(s 4 ) e s3t + e s4 t + (s3 − s1 )(s3 − s2 )(s3 − s4 )(s3 − iω ) (s4 − s1 )(s4 − s2 )(s4 − s3 )(s4 − iω )

N(iω ) e iω t (iω − s1 )(iω − s2 )(iω − s3 )(iω − s4 )

13.43 Kako smo uvjetovali da se radi o stabilnoj letjelici, realni dijelovi korijena s1 , s 2 , s3 , s 4 moraju biti negativni pa prva četiri člana na desnoj strani iščezavaju poslije određenog vremena pa na desnoj strani ostaje samo peti član koji predstavlja ustaljeni izlaz, dok prva četiri predstavljaju prijelazni proces koji nas ovdje ne zanima. ∆X (t ) =

N(iω ) e iω t (iω − s1 )(iω − s2 )(iω − s3 )(iω − s4 )

13.44

Kompleksna amplituda može se prikazati u obliku trigonometrijskog broja. Npr. za napadni kut bit će ∆α (t ) = K (ω ) e i (ω t +ϕ ) gdje je N α (iω ) = K (ω )e iϕ (ω ) . (iω − s1 )(iω − s2 )(iω − s3 )(iω − s4 )

13.45

13-20

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja

To znači da je ustaljeni izlaz pri harmonijskoj pobudi također harmonijska funkcija, ali koja ima amplitudu ovisnu o veličini periode pobude, a periodičnost ima vremenski pomak unaprijed za kut ϕ koji je također funkcija od veličine periode pobude.

13.6.1 Primjer

Za slučaj malog zrakoplova iz prethodnih primjera treba usporediti pojačanje na odskočni otklon s pojačanjem na sinusni otklon kormila visine. Napravljen je program u MATLAB-u pod pod imenom Odziv.m, u direktoriju Dinamicka stabilnost\Uzduzna na disketi. Kao što se moglo očekivati, pri malim učestalostima pojačanje je jednako pojačanju na odskok.

Slika 13-9 Pojačanje ovisno o ω otklona kormila visine Nakon toga dostiže maksimalnu vrijednost pri ω koja odgovara imaginarnom dijelu manjega korijena, tj. učestalosti dugoperiodičnog moda. To je rezonanca. Pri tim učestalostima pojačanje je suviše veliko i opasno. Uočimo da se ona pojavljuje u okolini učestalosti dugoperiodičnog moda. U okolini učestalosti kratkoperiodičnog moda analiza pokazuje da nema nikakve rezonance.

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

13-21

Slika 13-10 Fazni pomak ovisno o ω otklona kormila visine

13.7 Ocjena kvalitete neposrednog upravljanja uzdužnim gibanjem Vlastite vrijednosti matrice A (korijeni karakteristične jednadžbe) jedna su od objektivnih ocjena kvalitete zrakoplova. Ta se ocjena provodi na osnovi veličina koje ovise o korijenima karakteristične jednadžbe. Letovi se svrstavaju u tri kategorije: A, B i C, a u svakoj kategoriji letova zrakoplovi se svrstavaju u tri klase. Klase su određene uvjetima koji se postavljaju korijenim akarakteristične jednadžbe, a ti uvjeti ovise o kategoriji leta U kategoriju A spadaju letovi tijekom kojih se izvode brzi manevri i čije putanje moraju biti vrlo precizne, kao na primjer borbeni zrakoplovi koji ciljaju za vrijeme leta, ili letjelice koje tijekom leta moraju pratiti konfiguraciju Zemljišta itd. U kategoriju B uvrštavaju se letovi tijekom kojih nema zahtjeva za velikim manevarskim sposobnostima niti za velikom točnosti putanja, ali ti zahtjevi mogu biti postavljeni u blažoj formi, kao npr. za slučaj zrakoplova koji opskrbljuje gorivom u letu druge zrakoplove, zatim letovi za vrijeme penjanja i spuštanja te letovi pri odbacivanju praznih spremnika goriva itd.

13-22

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja U treću kategoriju C spadaju letovi tijekom kojih nema velikih manevarskih zahtjeva,

ali se zahtijevaju precizne putanje da bi zrakoplov mogao doći u neku određenu putanju, kao što su zrakoplovi koji se pune gorivom u letu, bombardiranja, polijetanje i slijetanje itd. Dugoperiodičnim modovima se ocjenjuje klasa zrakoplova prema parametru gušenje

ζ ili prema vremenu τ 2 za sve kategorije letova. Prva klasa zrakoplova ima gušenje

ζ > 0.04

Druga klasa zrakoplova ima

ζ >0

Treća klasa zrakoplova može biti s negušenim modom ako je

τ 2 > 55 s.

Kratkoperiodičnih modova ocjenjuju se parametrom gušenja koji ima tri klase ovisno o kategoriji leta prema tablici 13-1. Ako je gušenje malo, onda zrakoplov može imati vrlo neugodna njihanja, a ako je gušenje jako, tada zrakoplov može biti trom (lijen). To znači da imamo i gornju i donju granicu gušenja kratkoperiodičnih modova. Tablica 13-1 za kratko periodične modove

ζ Klasa

Kategorija A i C

Kategorija B

od

do

od

do

I

0.35

1.30

0.30

2.00

II

0.25

2.00

0.20

2.00

III

0.15

-

0.15

-

Tablica 13-2

ω n2 nα Kateg.

A

B

C

Klasa

od

do

od

do

od

do

I

0.28

3.6

0.085

3.6

0.16

3.6

II

0.16

10.0

0.038

10.0

0.096

10.0

III

0.16

-

0.038

-

0.096

-

Isto tako propisuju se prema tablici 13-2 granice za odnos

prirodne frekvencije

ω n = δ 2 + ω 2 kratkoperiodičnih modova prema gradijentu normalnog opterećenja po napadnom kutu

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

13-23

nα =

1 2

ρV 2 S ref C Lα W

13.7.1 Primjer

Provedimo ocjenjivanje malog zrakoplova iz prethodnih primjera prema ovim kriterijima. Za dugoperiodično gibanje faktor gušenja je pri najvećoj masi

ζ =

δ δ +ω 2

2

=

0.0108 0.0108 2 + 0.237 2

= 0.046 .

Ova vrijednost odgovara za prvu klasu zrakoplova jer je ζ > 0.040 .

Slika 13-11 Međutim mali zrakoplov može imati razne vrijdnosti mase tijekom leta. Zato smo napravili program Dugoperiodicni.m koji se nalazi u direktoriju Dinamicka stabilnost\uzduzna, s kojim kontroliramo ovaj uvjet od maksimalne do minimalne mase. Taj program crta krivulju

ζ (m ) , a na slici 13-11 nacrtana je i vrijednost ζ min od koje mora biti veće ζ bez obzira na masu m. S kružićem "o" označena je točka s najvećem masom za koju smo izračunali gušanje. S dijagrama vidimo da uvjet za prvu klasu nije zadovoljen kad je masa manja od 730 kg.

13-24

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja

Parametar gušenja kratkoperiodičnog gibanja za najveću masu ima vrijednost

ζ =

δ

=

δ 2 +ω2

2.45 2.452 + 3.912

= 0.53 .

Prema kriteriju za kratkoperiodično gibanje za letove grupe A treba biti 0.35 < ζ < 1.3 Taj uvjet zrakoplov ispunjava kada ima najveću masu. Pogledajmo pomoću programa Kratkoperiodicni.m da li zrakoplov zadovoljava taj uvjet kada masa opada zbog potršnje

goriva ili zbog manjeg tereta. Program crta krivulju ζ (m ) za kratkoperiodični mod i kao što se vidi sa slike 13-12 uvjet je bolje zadovoljen kad je masa manja od maksimalne.

Slika 13-12 Konačno proverimo i uvjet za kratkoperiodične modove 0.28 <

ω n2 nα

< 3.6

Za maksimalnu masu bit će

ω n = δ 2 + ω 2 = 2.447 2 + 3.907 2 = 4.61 . nα =

1 2

ρV 2 S ref C Lα W

=

1 2

⋅ 1.0066 ⋅ 53.12 ⋅ 15.06 ⋅ 4.72 = 9.45 1088 ⋅ 9,81

13-25

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

Traženi parametar ima vrijednost

ω n2

4.612 = = 2.25 nα 9.45

Prema kriteriju za kratkoperiodične modove, mali zrakoplov s maksimalnom masom, spada u prvu klasu za letove A grupe. Pomoću programa Uvjeti.m pogledajmo da li pri manjim masama zrakoplov ispunjava ovaj uvjet za kratkoperiodične modove. Rezultat toga programa je slika 13-13 .

Slika 13-13 Vidimo da zrakoplov za sve vrijednosti mase od maksimalne do minimalne ispunajva uvjet za kratkoperiodične modove.

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

14-1

14 DINAMIČKA STABILNOST BOČNOG GIBANJA 14.1 Modovi bočnog gibanja Cjelokupan sustav diferencijalnih jednadžbi poremećaja zrakoplova s elisnim pogonom bio je: 

∆u& =  X uo −  Yβo

T o cos α T mu

 ∆u + X αo ∆α − g cos ϑ o ∆ϑ  

Yδon  Yro  g cos ϑ o   ∆β + 0 ∆p +  − 1 + 0 ∆r + ∆φ + 0 ∆δ n u0 u u  u0 u  T o sin α T Z uo − Z δom u o + Z qo Z αo g sin ϑ o mu ∆α& = ∆u + 0 ∆α + 0 ∆q − 0 ∆ϑ + 0 ∆δ m u − Z α0& u − Z α0& u 0 − Z α0& u − Z α0& u − Z α0&

∆β& =

Y p0

∆p& = L0β ∆β + L0p ∆p + L0r ∆r + L0δ l ∆δ l + L0δ n ∆δ n ∆q& = M

0 α&

T o sin α T  0 M α0& Z αo mu ∆u +  M α + 0 u 0 − Z α0& u − Z α0& 

Z uo −

 0 u o + Z qo   M α0& g sinϑ o 0  ∆q   ∆α − ∆ϑ + M q + M α& 0 0 0 0   − − u Z u Z α& α&   

 0 M α0& Z δom   ∆δ m +  M δm + 0 0   − u Z & α   0 0 ∆r& = N β ∆β + N p ∆p + N r0 ∆r + N δ0l ∆δ l + N δ0n ∆δ n ∆φ& = ∆p + tan ϑ 0 ∆r ∆ϑ& = ∆q ∆ψ& =

∆r cosθ 0

Prva, treća, peta i osma bile su jednadžbe uzdužnog gibanja koje smo proučili u prethodnom poglavlju. Preostalih pet jednadžba Y βo

Y p0

o

Yδ n  Yro  g cosϑ o   + − + + + ∆ ∆ ∆ φ ∆δ n p r 1 0 0 0 0 0   u u u u u   0 0 0 0 ∆p& = Lβ ∆β + L p ∆p + Lr ∆r + Lδ l ∆δ l + L0δ n ∆δ n

∆β& =

∆β +

∆r& = N β0 ∆β + N 0p ∆p + N r0 ∆r + N δ0l ∆δ l + N δ0n ∆δ n

14.1

∆φ& = ∆p + tan ϑ 0 ∆r ∆ψ& =

∆r cosθ 0

odnose se na skretanje i valjanje. Možemo ih riješiti neovisno o uzdužnom gibanju, ali ova dva gibanje (skretanje i valjanje) ne možemo rastaviti jer su im jednadžbe spregnute, tj.

14-2

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

moramo ih simultano rješavati. Zato ta dva simultana gibanja, skretanje i valjanje, zajednički nazivamo bočno gibanje. Zadnja jednadžba definira kut skretanja letjelice, a on se ne pojavljuje u prethodnim jednadžbama. Zato se ovaj sustav raspada na četiri + jedna jednadžba. Prve četiri jednadžbe: Yδon Y βo Y p0  Yro  g cosϑ o & ∆β = 0 ∆β + 0 ∆p +  − 1 + 0  ∆r + ∆φ + 0 ∆δ n u0 u u  u u  ∆p& = L0β ∆β + L0p ∆p + L0r ∆r + L0δ l ∆δ l + L0δ n ∆δ n

14.2

∆r& = N β0 ∆β + N p0 ∆p + N r0 ∆r + N δ0l ∆δ l + N δ0n ∆δ n ∆φ& = ∆p + tan ϑ 0 ∆r imaju varijable

[∆β

∆p ∆r ∆φ ] , T

a petu varijablu ∆ψ ako je trebamo rješavamo naknadno. I ovdje smo dobili nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe oblika:

Y 0  ∆β   β u   d  ∆p   00 =  Lβ dt  ∆r   0   N β  ∆φ   0 

Y p0 u0 L0l N 0p 1

Yr0 g cosϑ 0  ∆β  − 1    0 u0 u 0    ∆p 0 L0r 0    +  Lδ l  ∆r  0 N r0 0     N δ l  ∆φ tan ϑ 0 0     0

Yδ0n   u 0  ∆δ   L0δ n   l  ∆δ N δ0n   n   0 

14.3

koje kraće pišemo

d ∆X = A∆X + Be . dt

14.4

U toj matričnoj jednadžbi poremećaja bočnog gibanja, vektor stanja ima četiri komponente

∆X = [∆β

∆p ∆r ∆φ ]T , a vektor upravljanja e = [∆δ l

∆δ n ]T , za razliku od uzdužnog

gibanja, ima dvije dimenzije. Matrica sustava i matrica upravljanja su

 Y β0  0  u0 A =  Lβ N 0  β  0

Y p0 u0 L0p N p0 1

Yr0 g cosθ 0  − 1  u0 u0  0  L0r 0 0  Nr  tan ϑ 0 0 

  0  0 B =  Lδ l N 0  δl  0

Yδ0n   u0  L0δ n  N δ0n   0 

14.5

Kao što vidimo matrica A je opet četvrtog reda pa je i karakteristična jednadžba bočnog gibanja A − sJ = 0

polinom četvrtoga reda kao i u slučaju uzdužnog gibanja:

14.6

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

14-3

D (s ) = s 4 + d 3 s 3 + d 2 s 2 + d 1 s + d 0 = 0

14.7

Taj polinom ima četiri korijena s1 , s 2 , s 3 i s 4 Korijene određujemo u MATLAB-u na isti način kao i u slučaju uzdužnog gibanja pomoću sistemskih rutina p = poly (A ) s = root (p ) , gdje su p koeficijenti karakterističnog polinoma matrice A. Homogeno rješenje je oblika: ∆β h  C β 1  ∆p  C  h  =  p1  ∆rh   C r1     ∆φ h   Cφ 1

C β 4   e s1t  C p 4  e s2t  C r 4   e s3t    Cφ 4  e s4t 

14.8

∆X h = C 1 e s t + C 2 e s t + C 3 e s t + C 4 e s t

14.9

Cβ 2

Cβ 3

C p2

C p3

Cr2 Cφ 2

Cr3 Cφ 3

a možemo ga napisati u obliku: 1

3

2

4

Svakom korijenu, tj. svakom članu e si t gibanja, odgovara jedan vektor konstanta, a to znači da vektor C i uz član

e si t

[

ima 4 konstante, tj. C i = C βi

C pi

C ri

Cφi

]

T

, prva je u

jednadžbi za ∆β , druga u jednadžbi za ∆p , treća u jednadžbi za ∆r i četvrta u jednadžbi za

∆φ . Partikularni integral ∆X p tražimo u obliku konstantnog vektora za slučaj konstantnog odskoka otklona ∆δ l i ∆δ n pa on mora zadovoljiti jednadžbu 0 = A∆X p + B∆e u kojoj je vektor upravljanja ∆e konstantan. To znači da je

∆X p = − A −1 B∆e

14.10

Kao i u slučaju uzdužnog gibanja, uvodimo matricu aerodinamičkog pojačanja bočnog gibanja K = − A −1 B

14.11

koja ima dva stupca svaki s četiri člana, jer imamo dva parametra upravljanja. Konačno, bočno gibanje je zbroj homogenog i partikularnog integrala: 4

 ∆δ l  . ∆δ n 

∆X = ∑ C i e s t + K ⋅  i

i =1

14.12

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

14-4 14.1.1 Primjer

Za laki putnički zrakoplov za koji smo odredili modove uzdužnog gibanja treba odrediti modove bočnog gibanja. Potrebne karakteristike za bočno gibanje su

S = 15.09m 2 b = 8.77m ; masene karakteristike:

m = 1088. kg

I X = 1450 kg ⋅ m 2

I Z = 3134 kg ⋅ m 2 ;

aerodinamičke karakteristike (vidi primjere 5.4.3, 5.5 i 5.4.4): CYβ = −0.317

C l β = −0.105

C n β = 0.154

CYp = −0.0283

C l p = −0.193

C n p = 0.0143

CYr = 0.119

C lr = 0.75α + 0.056

C n r = −0.0604

C lδ l = 0.517

C nδ l = −0.0344

C lδ n = 0.0122

C nδ n = −0.0721

CYδ n = 0.137

Zrakoplov leti horizontalno brzinom V = 53.1 m s pa je ϑ = α T = α rav = 3.30 , pa je C l r = 0.75 ⋅

3.3 + 0.056 = 0.0992 57.3

Rješenje pomoću MATLAB-a dano je u programu koji se zove ABroot.m, a nalazi se na CD-u u direktoriju "Dinamicka stabilnost\Bocna":  - 0.1176 - 0.0017 - 0.9927 0.1844 - 13.6073 - 4.1309 2.1232 0   A= 0.1416 - 0.5981 0   9.2336   0 1 0.0577 0  

0 0.0508    66.9997 1.5810   B=   − 2.0626 − 4.3230   0 0  

Korijeni su s1 = -4.2323 s 2 = -0.3389 + 3.0327 i s 3 = -0.3389 - 3.0327 i s 4 = 0.0634 Kao što vidimo iz ovog primjera bočno gibanje ima tri tipa korijena karakteristične jednadžbe: •

negativni realni korijen kome odgovara aperiodični mod,

•

konjugirano kompleksni korijen kome odgovara gušeni harmonijski mod, tzv. Dutch mod,

•

jedan mali realni korijen koji može biti pozitivan kome odgovara aperiodični mod, tzv. spiralni mod.

14-5

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

14.2 Prijenosne funkcije po otklonu kormila pravca ili krilaca Općenito uzevši, analiza bočnoga gibanja po otklonu kormila pravca ista je kao analiza uzdužnoga gibanja zbog otklona kormila visine. Međutim s obzirom na druge vrijednosti matrica A i B rezultat analize je različit. Laplace-ova transformacija linearnog sustava bočnog gibanja je s∆X(s ) = A ⋅ ∆X(s ) + B ⋅ e(s ) .

14.13

Matrice A i B su konstantne (jednadžbe 14.5), a vektor upravljanja e(s ) ima dvije komponente koje su Laplace-ova transformacija zadanih funkcija ∆δ l (t ) i ∆δ n (t ) . Zbog linearnog karaktera odgovor na istodobne otklone kormila pravca i krilca bit će zbroj odgovora na otklon samo kormila pravca i samo krilca. Zato ćemo te odgovore analizirati odvojeno. Pretpostavimo da nema otklona krilaca već je otklonjeno samo kormilo pravca. Tada linearni sustav jednadžbi 14.13 ima oblik: s∆X (s ) = A ⋅ ∆X (s ) + B 2 ∆δ n (s )

14.14

gdje je matrica A  Y β0  0  u0 A =  Lβ N 0  β  0

Y p0 u0 L0p N p0 1

Yr0 g cosθ 0  − 1  u0 u0  0 Lr 0  0 Nr 0   0 tan ϑ 0 

14.15

a matrica B 2 je drugi stupac od matrice B (jednadžba 14.5)  Yδ0n   0   u0  B 2 =  Lδ n  N 0   δn   0 

14.16

Ako nema otklona kormila pravca ∆δ n (t ) = 0 , ali su otklonjena krilca onda je Laplace-ova transformacija linearnog sustava bočnog gibanja s∆X (s ) = A ⋅ ∆X (s ) + B1 ∆δ l (s )

14.17

Matrica A je ista kao i u prethodnom slučaju, ali matrica B1 je prvi stupac od matrice B.

14-6

Dinamička stabilnost bočnog gibanja  0   L0  B1 =  δ0l  Nδl     0 

14.18

U oba slučaja uvodimo prijenosne funkcije bočnog gibanja: •

po otklonu kormila pravca.

[

]

G δ n (s ) = G βδ n (s ) G pδ n (s ) G rδ n (s ) Gφδ n (s ) = T

 ∆β (s ) =  ∆δ n (s )

∆p (s ) ∆δ n (s )

∆r (s ) ∆δ n (s )

∆φ (s )  ∆δ n (s )

T

14.19 gdje su ∆β , ∆p, ∆r i ∆φ odgovori na otklon ∆δ n , •

po otklonu krilca

[

]

G δ l (s ) = G βδ l (s ) G pδ l (s ) Grδ l (s ) Gφδ l (s ) = T

 ∆β (s ) =  ∆δ n (s )

∆p (s ) ∆δ n (s )

∆r (s ) ∆δ n (s )

∆φ (s )  ∆δ n (s )

T

gdje su ∆β , ∆p, ∆r i ∆φ odgovori na otklon ∆δ l . 14.20 Poslije smjene

∆X (s ) ∆X (s ) = G δ n (s ) u jednadžbe 14.14 i = Gδ l (s ) u jednadžbu 14.17 ∆δ n (s ) ∆δ l (s )

dobivamo sustave algebarskih jednadžbi koji određuje prijenosne funkcije

(A − sJ ) ⋅ Gδ (s ) = −B 2

14.21

(A − sJ ) ⋅ Gδ (s ) = −B1

14.22

n

l

Rješenjem ovih sustava algebarskih jednadžbi dobivamo prijenosne funkcije G δ n (s ) = G δ l (s ) =

[

N δ n (s )

14.23

D (s )

N δ n (s )

14.24

D (s )

]

Polinomi N δ n (s ) = N βδ n (s ) N pδ n (s ) N rδ n (s ) N φδ n (s ) trećeg reda predstavljaju vrijednosti T

determinanta koje dobivamo kada u determinantu sustava A − sJ zamjenimo odgovarajući stupac uz poremećaj sa stupcem B 2 (drugim stupcem matrice B) kome prethodno promijenimo predznak.

14-7

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

[

]

Isto tako dobivamo polinome N δ l (s ) = N βδ l (s ) N pδ l (s ) N rδ l (s ) N φδ l (s )

T

stim da

stupce u determinanti A − sJ zamjenjujemo sa stupcem B1 . Uočimo da je determinanta sustava A − sJ ista za otklone kormila pravca i krilca.

14.3 Odgovor na impuls kormila pravca ili krilaca Kada znamo prijenosne funkcije lako je odrediti odgovor na neki određeni otklon kormila pravca ili krilaca. Taj odgovor bit će u Laplace-ovom području ∆X (s ) = G δ n (s ) ⋅ ∆δ n (s ) ∆X (s ) = G δ l (s ) ⋅ ∆δ l (s )

Ako je ∆δ n (s ) = 1 , onda je ∆X (s ) = G δ n (s )

14.25

∆X (s ) = G δ l (s )

14.26

ili ako je ∆δ l (s ) = 1 , onda je Kao i u slučaju uzdužnog gibanja izlaze veličine u realnom vremenu ∆X (t ) zbog jediničnog impulsa označimo sa h(s ) = [hβ (s ) h p (s ) hr (s ) hφ (s )] . T

One će biti jednake inverznim Laplace-ovim transformacijama od prijenosnih funkcija

[

]

14.27

[

]

14.28

h(t ) = L−1 G δ n (s ) ,

ili h(t ) = L−1 G δ l (s ) ,

Te inverzne transformacije vršimo primjenom Heavisideova teorema razvoja. jer su prijenosne funkcije, određene jednadžbama 14.23 i 14.24, pravi razlomci koji u brojniku imaju polinome trećeg reda N δ n (s ) ili N δ l (s ) , a i nazivniku sve prijenosne funkcije imaju isti polinom četvrtog reda D (s ) čiji su korijeni s1 , s 2 , s3 i s 4 . N(s1 ) N(s 2 )  N(s )  h(t ) = L−1  e s1t + e s2 t +  = ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) D s s s s s s s s s s s s s − − − − − −   1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 N(s3 ) N(s 4 ) e s3t + e s4 t . + (s3 − s1 )(s3 − s2 )(s3 − s4 ) (s4 − s1 )(s4 − s2 )(s4 − s3 )

14.29

14-8

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

Ukoliko tražimo odgovor na impuls kormila pravca treba uzeti polinome N δ n (s ) , a odgovor na impuls krilaca dobivamo uvrštavanjem polinoma N δ l (s ) . U oba slučaja, imamo u realnom vremenu odgovore na impuls kormila pravca ili krilca, u obliku h(t ) = C1e s1t + C 2 e s2t + C 3 e s3t + C 4 e s4t .

14.30

14.3.1 Primjer

Pogledajmo odgovore našeg malog zrakoplova čije smo korijene karakteristične jednadžbe bočnog gibanja već odredili. Prvo ćemo analizirati odgovore na impulsi otklon kormila pravca. Oni su određeni primjenom programa impuls.m, koji se nalazi na disketi u direktoriju "Dinamicka stabilnost\Bocna", a koji je sličan onom koji smo koristili za uzdužno gibanje. U programu matrica B ima dva stupca: prvi stupcu za slučaj otklona krilaca, a drugi za slučaj otklona kormila pravca pa je zato za analizu odgovora na impuls kormila pravca potrebno staviti parametar ib=2. Rezultati su prikazani dijagramima na slikama 14-1, 14-2, 14-3 i 14-4.

Slika 14-1 ∆u (t ) za jedinični impuls kormila pravca

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

Slika 14-2 ∆p (t ) za jedinični impuls kormila pravca

Slika 14-3 ∆r (t ) za jedinični impuls kormila pravca

14-9

14-10

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

Slika 14-4 ∆φ (t ) za jedinični impuls kormila pravca

Slika 14-5 ∆β (t ) zbog impulsa krilca

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

Slika 14-6 ∆p (t ) zbog impulsa krilca

Slika 14-7 ∆r (t ) zbog impulsa krilca

14-11

14-12

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

Slika 14-8 ∆φ (t ) zbog impulsa krilca Za analizu odgovora na impuls krilca treba staviti u program ib=1. Rezultati su na slikama 14-5, 14-6 14-7 i 14-8. Kao što vidimo s ovih dijagrama Dutch mod dao je početne ali gušene titraje, dok je spiralni mod (pozitivni korijen) uzrok stalnom porastu poremećaja poslije gušenja Dutch moda. Srećom to povećanje poremećaja nije brzo te je pilot u mogućnosti ručno ga korigirati.

14.4 Odgovor na odskok kormila pravca ili krilca Ako tražimo odgovor na jedinični odskok kormila pravca ili krilaca. Laplace-ova je transformacija od jediničnog odskoka je

1 , pa je u Laplace-ovom području s

∆X (s ) =

G(s ) s

ili u realnom vremenu :  N(s )  ∆X (t ) = L−1    s ⋅ D (s )

14-13

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

s tim da treba uzeti polinome N δ n (s ) u slučaju odskoka kormila pravca, odnosno N δ l (s ) u slučaju odskoka krilaca. Polinom s ⋅ D (s ) petog je reda koji ima četiri korijena od karakteristične jednadžbe bočnog gibanja s1 , s 2 s5 = 0 .

s3

s 4 i peti korijen koji je jednak nuli

Primjenom Heavisideova teorema bit će poremećaji bočnog gibanja u realnom

vremenu ∆X =

N(s1 ) N(s 2 ) e s1t + e s2 t + (s1 − s2 )(s1 − s3 )(s1 − s4 )s1 (s2 − s3 )(s2 − s4 )s2 (s2 − s1 )

14.31

N(s3 ) N(s 4 ) N(0) + e s3t + e s4 t + (s3 − s4 )s3 (s3 − s1 )(s3 − s2 ) (s4 − s1 )(s4 − s2 )(s4 − s3 )s4 s1 s 2 s3 s 4 To rješenje možemo napisati u obliku ∆X (s ) =

∑C e

i =1.4

i

si t

+K

14.32

I ako su rješenja po obliku ista za odskok kormila pravca i krilca, poremećaji bočnog gibanja bit će različiti zato što smo polinome N δ n (s ) dobili pomoću stupca B 2 , a polinome N δ l (s ) pomoću stupca B1 . Podsjetimo se, da su u oba slučaja korijeni s1 , s 2

s3

s 4 isti, dva

kompleksno konjugirana korijena daju Dutch mod, jedan realan ali negativan daje aperiodičan mod i konačno jedna realan i pozitivan, ali mali, daje spiralni mod u oba odgovora. 14.4.1 Primjer

Za mali zrakoplov odredili smo odgovore na jedinični odskok kormila pravca i zatim i krilaca pomoću programa otsk.m (nalazi se u istom direktoriju na CD-u). Rezultati su prikazani za slučaj odskoka kormila pravca dijagramima na slikama 14-9, 14-10, 14-11 i 14-12. Program je napravljen korištenjem naredbe LSIM iz MATLAB-a pomoću koje se definira jedan linearni sistem tipa s ⋅ ∆X (s ) = A ⋅ ∆X + B ⋅ e (s )

u kome vektor upravljanja e ima dva stupca: prvi definira otklon krilaca na svakom koraku integracije, a drugi otklon kormila pravca također u svakom koraku integracije. I u ovom slučaju analizom poremećaja na odskok kormila pravca vidimo da poslije smirivanja Dutch moda svi poremećaji polako rasu zbog spiralnog moda (pozitivni realni korijen). S istim programom otsk.m analizirali smo i poremećaje bočnog gibanja zbog odskoka krilca, a rezultati su prikazani na slikama 14-13, 14-14, 14-15 i 14-16.

14-14

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

Slika 14-9 ∆β (t ) za jedinični odskok kormila pravca

Slika 14-10 ∆p (t ) za jedinični odskok kormila pravca

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

Slika 14-11 ∆r (t ) za jedinični odskok kormila pravca

Slika 14-12 ∆φ (t ) za jedinični odskok kormila pravca

14-15

14-16

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

Slika 14-13 ∆β (t ) zbog odskoka krilca

Slika 14-14 ∆p (t ) zbog odskoka krilca

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

Slika 14-15 ∆r (t ) zbog odskoka krilca

Slika 14-16 ∆φ (t ) zbog odskoka krilca

14-17

14-18

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

Iako odksok krilaca ne bi trebao utjecati na kut klizanja vidimo da se zbog njega ipak pojavio kut klizanja. Taj je kut vrlo mali tako da su posljedice male i spore, te ih pilot može bez teškoće otkloniti. Isto tako loša posljedica pozitivnog korijena je i pojava kutne brzina skretanja, koju pilot također može ručno poništiti. Međutim, odskok krilaca daje poslije prijelaznog procesa kutnu brzinu valjanja koja raste s vremenom, a ona uzrokuje kut valjanja koji još brže raste s vremenom. To znači da se ne može upravljati kutom valjanja. Očigledno je da se željeni kut valjanja ne može postaviti otklonom krilaca, kao što se to može učinili s napadnim kutom otklonom kormila visine. U slučaju napadnog kuta, upravljački moment, stvoren otklonom kormila visine, povećava napadni kut, a s povećanjem napadnog kuta za statički stabilne letjelice stvara se suprotan moment (efekt opruge) koji uravnotežuje upravljački moment. I upravo u toj ravnoteži postižemo željeni napadni kut (ravnotežni napadni kut). To se ne može postići pri valjnju jer ne postoji moment valjanja koji je proporionalan kutu valjnja i suprotnog smjera (efekta opruge). U valjanju postoji samo moment proporcionalan otklonu krilaca. Zbog toga direktnim otklonom krilaca ne možemo postaviti željeni kut valjanja.

14.5 Odgovor na harmonijski otklon kormilom pravca ili krilaca Tražimo odgovor letjelice na harmonijski otklon kormila pravca ∆δ n (t ) = e iωt ili krilaca ∆δ l (t ) = e iωt . U oba slučaja Laplace-ovu transformaciju ove pobude je 1 s − iω pa su poremećaji bočnog gibanja ∆X (s ) =

G(s ) . s − iω

s tim da uzmemo odgovarajući set prijenosnih funkcija po kormilu pravca ili krilaca. U realnom vremenu poremećaji bočnog gibanja bit će određeni inverznom Laplace-ovom transformacijom   N(s ) ∆X (t ) = L−1  .  (s − iω ) ⋅ D (s ) u kojoj opet trebamo uzeti odgovarajuće polinome N δ n (s ) za slučaj otklona kormila pravca, odnosno N δ l (s ) u slučaju otklona krilaca.

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

14-19

Polinom u nazivniku (s − iω ) ⋅ D (s ) petoga je reda i ima četiri korijena ista kao i karakteristični polinom bočnog gibanja D (s ) , a peti korijen je s = iω . Primjenom Heavisideova teorema razvoja dobivamo:

∆X (t ) = + +

N(s1 ) N(s 2 ) e s1t + e s2 t + (s2 − s1 )(s2 − s3 )(s2 − s4 )(s2 − iω ) (s1 − s2 )(s1 − s3 )(s1 − s4 )(s1 − iω )

N(s3 ) N(s 4 ) e s3t + e s4 t + (s3 − s1 )(s3 − s2 )(s3 − s4 )(s3 − iω ) (s4 − s1 )(s4 − s2 )(s4 − s3 )(s4 − iω )

N(iω ) e iω t (iω − s1 )(iω − s2 )(iω − s3 )(iω − s4 )

14.33 Od četiri korijena karakteristične jednadžbe bočnog gibanja, jedan je realan i pozitivan i zbog toga jedan od prva četiri člana na desnoj strani tijekom vremena raste, dok tri iščezavaju (aperiodični mod i Dutch mod). Peti član

∆X (t ) =

N(iω ) e iω t (iω − s1 )(iω − s2 )(iω − s3 )(iω − s4 )

predstavlja mod bočnog gibanja zbog harmonijskog otklona kormila pravca. Kompleksna amplituda ovog moda može se prikazati u obliku trigonometrijskog broja, pa taj mod ima oblik K (ω ) ⋅ eϕ (ω )+iωt .

14.34

Taj mod bit će u svakoj varijabli bočnog poremećaja. Vidimo da je on također harmonijska funkcija. Njegova amplituda ovisi o kutnoj brzini pobude, a periodičnost moda ima vremenski pomak unaprijed za kut također u funkciji kutne brzine. Pri tome svaka varijabla bočnog gibanja ima svoje funkcije K (ω ) i ϕ (ω ) . Zato što je amplituda pobude bila jedinična, amplituda K (ω ) predstavlja pojačanje amplitude u odgovoru. 14.5.1 Primjer

Za mali zrakoplov pomoću programa odziv.m, koji se nalazi u direktoriju Dinamička stabilnost \bocna na CD-u, nacrtane su na slikama 14-17 i 14-18 funkcije K (ω ) i ϕ (ω ) za

kut skretanja (m=1). Na tim slikama vidimo da i ovdje postoji rezonanca u području periode Dutch moda. Rezonanca postoji i na otklon kormila pravca i na otklon krilaca, ali je dva puta veća na otklon kormila pravca. Međutim pri analizi uzdužnog gibanja rezonanca napadnog kuta na otklon kormila visine bila je znatno veća.

14-20

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

Slika 14-17 Pojačanje kuta klizanja K (ω ) u funkciji kutne brzine pobude kormila pravca

Slika 14-18 Pomak kuta klizanja ϕ (ω ) u funkciji kutne brzine kormila pravca

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

Slika 14-19 Pojačanje kuta K (ω ) klizanja na otklon krilca

Slika 14-20 Fazni pomak kuta klizanja ϕ (ω ) na otklon krilca

14-21

14-22

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

Tamo je maksimalno pojačanjeza mali zrakoplov bilo reda veličine 45, dok je ovdje maksimalno pojačanje za otklon kormila pravca oko 2.1, a za otklon krilaca 1.1.

14.6 Ocjena kvalitete direktnog upravljnja bočnog gibanja Prvi kriterij odnosi se na ocjenu aperiodičnog moda (mod koji odgovara realnom negativnom korijenu) upotrebljava se parametar vremenska konstanta. Kada je realni koren negativan, recipročna vrijednost s promijenjenim predznakom korijena naziva se vremenska konstanta moda. Ona pokazuje koliko brzo iščezava aperiodičan mod. Tablica 14-1 Maksimalna vremenska konstanta τ max Kategorija

Klasa

Razina kvalitete

leta

zrakoplova

1

2

3

A

I, IV

1.0

1.4

10

II, III

1.4

3.0

10

B

svi

1.4

3.0

10

C

I, II-C, IV

1.0

1.4

10

II-L, III

1.4

3.0

10

U tablici 14-1 dane su prema [14, 17], dopuštene maksimalne vrijednosti za vremensku konstantu moda. Te vrijednosti ovise ne samo o kategoriji letova (A, B i C vidi 13.7) već i o klasifikaciji zrakoplova. Zrakoplovi se svrstavaju u četiri klase, s tim da se druga klasa dijeli još u dvije pod klase:

•

prvu klasu čine mali laki zrakoplovi;

•

drugu klasu čine zrakoplovi srednje težine i srednje manevarske sposobnosti koji se dijele u dvije pod klase: o II-C (carrier operation) o II-L (land operation)

•

u trećoj klasi su teški zrakoplovi male do srednje manevarske sposobnosti;

•

četvrtu klasu čine zrakoplovi velike manevarske sposobnosti.

Drugi kriterij kvalitete bočnog gibanja odnosi se na Duch mod (gušeno harmonijsko gibanje) od kompleksno konjugiranih korijena. Ovisno o kategoriji leta, razini kvalitete i klasi zrakoplova zahtijevaju se tri uvjeta:

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

•

prvi uvjet δ min

•

drugi uvjet ω n min =

•

treći uvjet ζ min

(δ

2

14-23

+ω2

)

min

Pregled ovih minimalnih vrijednosti dat je u tablici 14-2. Tablica 14-2 Minimlani uvjeti za Duch mod

ω n min

δ min

ζ min

Razina

Kategorija

Klasa

kvalitete

leta

zrakoplova

A

I, IV

0.35

1.0

0.19

II, III

0.35

0.4

0.19

B

svi

0.15

1.0

0.08

C

I, II-C, IV

0.15

1.0

0.08

II-L, III

0.15

0.4

0.08

1

-

2

sve

svi

0.05

0.4

0.02

3

sve

svi

-

0.4

0.02

Konačno treći kriterij se odnosi na spiralni mod (mod od pozitivnog realnog korijena), tj. onaj koji je nestabilan. Jasno je da on mora imati propisano minimalno vrijeme za koje će udvostruči amplitudu. Te propisane vrijednosti za vrijeme udvostručenja amplitude dane su u tablici 14-3 za razne razine kvalitete ovisno o klasi zrakoplova i kategoriji leta . Tablica 14-3 Minimalno vrijeme udvostručavanja t 2 min Klasa zra- Kategorija

Razina kvalitete

koplova

leta

1

2

3

I i IV

A

12

12

4.0

BiC

20

12

4.0

svi

20

12

4.0

II i III

14-24

Dinamička stabilnost bočnog gibanja

14.6.1 Primjer

Vremenska konstanta aperiodičnog moda iznosi

τ=

1 1 = = 0.236 − s1 4.232

Prema postavljenom kriteriju, ova je vrijednost znatno ispod postavljene granice τ max = 1.00 za letove A s prvom klasom i najboljom kvalitetom zrakoplova. To je slučaj Tri uvjeta za Dutch mod Apsolutnu vrijednost realnog dijela korijena

δ = 0.339 , a prema kriterijima za letove A realni dio korena treba biti veći od 0.35 za prvu klasu zrakoplova. Znači da mali zrakoplov ne udovoljava tom uvjetu. Modul korijena je

δ 2 + ω 2 = 0.339 2 + 3.0332 = 3.05 , a prema kriteriju on treba bti veći od 1, što je zadovoljeno Faktor gušenja

ζ =

δ δ 2 +ω2

=

0.339 = 0.111 3.05

a prema kriteriju za letove A za zrakoplove prve klase taj faktor treba biti veći od 0.19. Ni ovdje mali zrakoplov ne udovoljava tom zahtjevu Međutim, za letove B, mali zrakoplov udovoljava sva tri uvjete za prvu klasu. Konačno, spiralni mod (onaj koji je nestabilan, zbog realnog pozitivnog korijena) ima vremensku konstantu t=

ln 2 ln 2 = = 10.9 s4 0.0634

što je iznad propisanog minimuma 12 s. na letovima A za prvu klasu zrakoplova. Time smo provjerili uvjete samo u slučaju kada je masa maskisimalna, a režim leta odgovara najvećem doletu. Potrebno je prevjeriti ove uvjete i za druge slučajeve. Zato smo napravili program u MATLAB-u koji se zove uvjeti.m nalazi se na CD-u u direktoriju Dinamicka stabilnost\bocna . Taj program provjerava sve ove uvjete od maksimalne mase

(četiri člana posade, puni spremnici goriva i najveća dozvoljena prtljaga) do minimalne mase (prazan zrakoplov). Dijagrami dobiveni programom pokazuju da se u cijelom intervalu od maksimalne do minimalne mase rezultati isti kao za maksimalnu masu.

Prilozi

1

A MAKSIMALNI UZGON KRILA Ovaj postupak procjene maksimalnog koeficijenta uzgona krila C L max i napadnog kuta α max

prema [18], razlikuje se za krila male vitkosti od postupka procjene za krila velike vitkosti. Granica malih i velikih vitkosti krila A B ovisi o Machovu broju kao i o obliku krila. AB =

3 1 − Ma 2

[C ( λ) + 1] cos Λ 1

A.1 LE

λ je suženje krila, odnos vršne prema korijenskoj tetivi krila, a Λ LE je strijela prednjeg

napadnog ruba krila. Eksperimentalna funkcija C 1 ( λ ) prikazana je na slici A-1

Slika A-1. Funkcija C 1 ( λ ) Ako je krilo male vitkosti, tj. ako je A < A B ,onda je

(

)

C L max = f L A ′ , ∆ y + ∆f L ( A ′′ , Ma ) α max = f α ( A ′) + ∆f a ( A ′′ , Ma )

A.2

Uz već objašnjeni parametar ∆ y , koji predstavlja utjecaj oblika prednjeg ruba na maksimalni koeficijent uzgona, pojavljuju se još dva parametra: A′ = (C1 + 1)

A cos Λ LE

1 − Ma 2

A.3

A′′ = (C 2 + 1)A tan Λ LE

U ovim parametrima pojavljuje se još jedna funkcija od suženja krila C 2 ( λ ) . Ona je prikazana na slici A-2.

2

Prilozi

Slika A-2. Funkcija C 2 ( λ ) Eksperimentalne funkcije f L i f α ovisno o ovim parametrima prikazane su na slikama A-3 i A-4. Na tim dijagramima je ∆Y označeno s Dy.

(

Slika A-3. Funkcija f L A ′, ∆ y

)

Funkcije ∆f L i ∆f α dane su dijagramima na slikama A-5 i A-6. Za krila velike vitkosti, a to su krila koja imaju A > A B , koeficijent maksimalnog uzgona krila C L max za 0.2 ≤ Ma ≤ 0.6 zbroj je dvaju dijelova :

3

Prilozi

Slika A-4. Funckija f α ( A ′)

Slika A-5. Funckija ∆f L ( A ′′ , Ma)

Slika A-6. Funkcija ∆fα (A ′′, Ma )

4

Prilozi

C L max = f L l C l max + ∆C L max •

A.4

Prvi dio f L l C l max , koeficijent maksimalnog uzgona krila pri Ma = 0.2 proporcionalan je maksimalnom uzgonu profila krila. Koeficijent proporcionalnosti f L l ovisi o strijeli napadnog ruba Λ LE i o parametru ∆Y . Ta ovisnost prikazana je na dijagramu slike A-7, a koeficijent maksimalnog uzgona profila C l max koji ovisi o relativnoj debljini t c prikazan je na slici A-8.

(

Slika A-7. Funkcija f L l = f L l Λ LE , ∆ y

)

Slika A-8. Maksimalni koeficijent uzgona profila C l max u ovisnosti o relativnoj debljini t c

Prilozi

•

5

Drugi dio ∆C L max predstavlja korekciju maksimalnog uzgona krila za ∆M = Ma − 0.2 . Ta korekcija je negativna. Osim ∆Ma ta korekcija ovisi o strijeli napadnog ruba Λ LE i o

parametru ∆Y .Ta ovisnost ∆C L max (∆Ma, ∆Y , Λ LE ) prikazana je na slici A-9.

Slika A-9. Koeficijenti maksimalnog uzgona krila C L max i napadnog kuta α max , osim o vrijednosti ∆ y , ovise i o obliku krila (vitkosti krila A, suženja krila λ , strijele napadnog ruba krila Λ LE ), o

6

Prilozi

relativnoj debljini krila i o Machovu broju Ma. Napadni kut pri kome krilo ostvaruje maksimalni uzgon je zbroj tri dijela:

α max = α OL +

C L max + ∆α max C Lα

A.5

Prva dva člana predstavljaju linearni dio. Prvi je aerodinamička značajka krila i ako krilo nije uvijeno, treći je prirast pri kojemu se dostiže maksimalni uzgon. Na slici A-10 prikazan je dijagram pomoću kojega određujemo ∆α max u ovisnosti o strijeli napadnog ruba Λ LE i o parametru ∆Y .

Slika A-10.

Prilozi

7

B ATMOSFERA B.1 Opće o atmosferi Prema kemijskom sastavu Zemljinu atmosferu čine: dušik (70 %), kisik (21 %), vodena para ( ≅ 3 %), vodik, ugljik i u veoma malim količinama plemeniti plinovi. Teško je reći dokle se doseže atmosfera, jer gustoća zraka pada s visinom i na kraju je tako mala da se ne može reći od koje visine više nema zraka. Obično se uzima da atmosfera prestaje na visinama od 2000 do 3000 km. Cjelokupni Zemljin atmosferski omotač zemlje dijelimo na dva dijela: - homosferu, koju čine tri sloja tropsfera, stratosfera i mezosfera. Temeljna značajka homosfere je molekularno stanje plinova. Gornja granica homosfere je na 90 km visine. - heterosferu, koju čine termosfera i egzosfera. U heterosferi počinju disocijacije molekula plinova pod utjecajem kozmičkih zraka, tj. molekule su razbijene na atome. Između ovih slojeva postoje prijelazni slojevi od nekoliko stotina metara. Ti prijelazni slojevi imaju imena složena od imena prethodnoga sloja i nastavka “pauza”. Tako je primjerice iznad troposfere tropopauzu, a iznad stratosfere je stratopauza itd. Od svih tih slojeva zapravo nas zanima samo troposfera i iznimno i stratosfera. Troposfera nije iste visine na svim geografskim širinama. Na našoj geografskoj širini ona doseže visinu oko 11 km, a u blizini ekvatora i do 16 Km. Ta visina se također mijenja i s godišnjom dobi; ljeti se povećava, a zimi smanjuje. U troposferi se nalazi oko 75 % ukupne mase atmosfere i osnovni dio vodene pare. Bitno obilježje troposfere jest smanjenje temperature ovisno o visini. Zimi i ljeti, poslije vedrih hladnih noći, mogu nastupiti inverzije temperature, kad temperatura u početku raste s visinom, a onda od neke visine počinje opadati. U troposferi mogu nastupiti značajna horizontalna, a rijetko i vertikalna strujanja zračne mase, koja nazivamo vjetrovima. Horizontalni vjetrovi nastaju zbog razlike tlaka na raznim mjestima Zemljine površine, dok su vertikalni vjetrovi posljedice prevelikih razlika temperature ovisno s visini. Stratosfera, sljedeći sloj, ima donju granicu na 11 km i gornju na približno 50 km. Taj sloj ima konstantnu temperaturu do približno 30 Km. Od te visine do gornje granice sloja temperatura raste. Promjena temperaturnog gradijenta između troposfere i stratosfere zbiva se u uzanom međusloju od nekoliko stotina metara koji nazivamo tropopauza. U tom međusloju javljaju se velika pomicanja zračne mase od zapada prema istoku brzine i do 110 m/s.

8

Prilozi

Voda u obliku vodene pare nalazi se u atmosferi kao jedna od njenih sastavnica smeše. Nazivamo je vlaga i mjerimo je obično u postocima (najviše do 4 % ). Vlaga naglo opada s visinom. Najveći dio cjelokupne vlage nalazi se u donjemu graničnom sloju atmosfere. Konkretno, 60 % od ukupne vodene pare na sjevernoj polusferi je do 2 km visine, a 99 % do 10 km. To znači da vlagu postoji zapravo samo u troposferi.

B.2 Ubrzanje Zemljine teže Zemljina površina ima oblik geoida. U mehanici leta taj se oblik obično zamjenjuje sfernim oblikom. U standardu ISO 5878 dani su polumjeri geoida r u zavisnosti od geografske širine

ϕ. Kada se Zemljin geoid zamijeni sa sferom, onda se uzima polumjer R = 6357 km .

B.1

Atmosferu izučavamo u odnosu na zemlju. Zato je sila koja djeluje na element mase dm na visini h od razine mora i na geografskoj širini ϕ, vektorski zbroj gravitacijske sile i sile tromosti uslijed rotacije Zemlje. Gravitacijska sila koja djeluje na elementarnu masu, ako je Zemlja smatramo sfernim oblikom polumjera R, bit će:

γM R

2

1 h  1 +  R 

2

B.2

dm

i ona je u pravcu od središta mase dm do središta zemlje, sa smjerom od središta mase dm prema središtu Zemlje. Sila tromosti posljedica je koordinatnog sustava vezanog za Zemlju u odnosu na koji promatramo atmosferu. Po pravcu okomita je na osu zemlje, po smjeru od Zemljine osi, a njen je intenzitet

Ω 2 ( R + h ) cos ϕ dm Rezultantu tih dviju sila nazivamo sila Zemljane teže. Jasno je da ubrzanje rezultante tih sila ne prolazi kroz središte Zemljinog geoida, a intenzitet tog ubrzanja složena je funkcija od ϕ i

h. Tu funkciju s dovoljnom točnošću za geografske širine oko 45o

zamjenjujemo

jednadžbom: g (ϕ , h ) =

gdje je

g N f (ϕ ) h  1 +  R 

2

,

B.3

Prilozi

9

g N = 9.80616

B.4

f (ϕ ) = (1 − 0.0026372 cos 2ϕ + 0.0000059 cos 2 2ϕ )

B.5

Drugim riječima, za visinu mora (h=0) ubrzanje sile Zemljine teže je g N f ( ϕ ) , a za geografsku širinu ϕ = 45 0 , ubrzanje je g N = 9.80616m s 2 . Za područja bliže ekvatoru ili polovima Zemlje treba pogledati standard ISO 5878. Radi lakšega izučavanja promjena tlaka u atmosferi, uvodi se geopotencijalna visina. Po definiciji geopotencijalne visine H bit će

g N dH = g (h, ϕ )dh Kako je g (ϕ , h ) =

g N f (ϕ ) h  1 +  R 

2

,

bit će diferencijal geopotencijalne visine g N dH =

g N f (ϕ ) h  1 +  R 

2

dh .

Ako je ishodište geopotencijalne visine isto kao i ishodište realne visine (razina mora) postoji veza između realne i geopotencijalne visine: H=

f (ϕ ) h h 1+ R

B.6

i h=

H H f (ϕ ) − R

B.7

B.3 Značajke vlažnog zraka U mehanici leta potrebne su nam temeljne fizičke značajke zraka - gustoća, brzina zvuka u zraku, temperatura, tlak i vjetar. Sve te značajke zraka izučavaju na razini Međunarodne meteorološke organizacije. Za mjerenje atmosfere postoji niz meteoroloških stanica koje su postavljene na raznim mjestima Zemljine površine. Ispitivanja se obavljaju pomoću složenih meteoroloških uređaja kojima su opremljeni sondažni baloni, specijalni zrakoplovi, sondažne rakete te sateliti. Rezultati mjerenja se prikupljaju s raznih strana svijeta, obrađuju i objavljuju u obliku međunarodnih meteoroloških standarda

Prilozi

10

Navest ćemo bitne značajke tih ispitivanja koja nas posebno zanimaju u mehanici leta Zrak je smijesa: dušika, kisika, vodika, ugljičnogdioksida, vodene pare i plemenitih plinova. Isključimo li problem onečišćenja zraka u gradovima i industrijskim središtima, svi sastojci zraka, osim vodene pare (pa i ugljinogdioksida i sumporovodika), u stalnom su međusobnom omjeru i čine suhi zrak. Ta činjenica da je suhi zrak uvijek istoga sastava omogućava nam da ga smatramo kao jednu sastavnicu vlažnog zraka, a druga je vodena para. Utvrđeno je da se suhi zrak ponaša kao idealni plin čija je plinska konstanta

R = 287.053J (K 0 kg ) .

B.8

Odnos J kg ima dimenziju brzine na kvadrat, te možemo također napisati da je dimenzija

[

]

plinske konstante J (K 0 kg ) = m 2 (s 2 ⋅0 K ) . Zato u anglosaksonskim jedinicama plinska konstanta ima dimenziju brzine na kvadrat po stupnju temperature:

R = 1716 ft 2 (s 2 0 R )

B.9

Isto tako i vodena para se može promatrati kao idealni plin čija je plinska konstanta 8 RV = R . 5

B.10

U zraku oko nas pomiješani su suhi zrak i vodena para. Taj omjer vodene pare prema suhom zraku je vrlo promjenljiv. Zato vlažan zrak promatramo kao smjesu koja je okarakterizirana omjerom vlage prema suhom zraku. Na vlažan zrak možemo primijeniti d’Alambertov zakon o parcijalnim tlakovima. Neka je na temperaturi T u volumenu V smjesa plinova ma + mv (ma je masa suhog zraka, a mv masa vodene pare). Totalnim tlakom nazivamo tlak p na kome se nalazi smjesa u volumenu V i na temperaturi T. Ako je masa jedne komponente plinske smjese sama u tojm istom volumenu smjese i na toj istoj temperaturi smjese T, onda će ona biti na parcijalnom tlaku. Po d’Alambertovu zakonu, zbroj parcijalnih tlakova jednak je ukupnom tlaku. S pa označimo parcijalni tlak suhog zraka, a s e’ parcijalni tlak vodene pare: p = pa + e′ Jednadžbe stanja komponenata suhog zraka i vodene pare kao idealnih plinova uzete u istom volumenu V i na istoj temperaturi T, kao i smjesa ma + mv , jesu paV = ma RT e′V = mv Rv T Budući da je R v =

8 R druga jednadžba može se transformirati u oblik 5

Prilozi

11 5 e′V = mv RT . 8

Zbrajanjem prve i druge transformirane jednadžbe te imaju na umu da je pa = p − e′

ρ=

ma + mV , V

dobivamo

ρ=

p . R T 3 e′ 1− 8p

B.11

Iz ove jednadžbe zaključujemo da, vlažan zrak možemo promatrati kao idealan plin

ρ=

p Rs T

B.12

samo što vlažan zrak ima plinsku konstantu RS koja ovisi o odnosu parcijalnog tlaka vodene pare prema totalnom tlaku smjese e ′ p :

Rs =

R 3 e′ 1− 8 p

B.13

To znači da i brzinu zvuka možemo odrediti pomoću jednadžbe za idealne plinove samo što treba uvest plinsku konstantu vlažnog zraka a = kRs T ;

B.14

k je odnos specifične topline pri konstantnom tlaku i konstantnom volumenu: k = c p cv = 1.4 Gustoća ili specifična masa zraka ρ

B.15

kao i brzina zvuka a veličine su koje nam

trebaju u dinamici leta. One se ne mjere, već računaju na osnovi izmjerenih vrijednosti u atmosferi: temperature T, totalnog tlaka p i relativne vlažnosti e′ p . Izmjerenu temperaturu T pomoću izmjerene relativne vlažnosti e′ p pretvorit ćemo u fiktivnu temperaturu τ i s njom ćemo računati tražene vrijednosti koristeći plinsku konstantu suhoga zraka Za vlažan zrak kaže se da je zasićen pri danoj temperaturi i tlaku ako u zraku ima toliko vlage da voda ne može više isparavati na toj temperaturi i pri tom tlaku, tj. vodena para u vlažnom zraku i voda su u relativnoj ravnoteži. U intervalu od -200 do +300 C možemo koristiti empirijsku formulu za parcijalni tlak vodene pare u zasićenom vlažnom zraku izražen u milibarima (10 −5 Pa ) .

12

Prilozi  AT − B  e ′W = 6107 . exp ,  T−C 

B.16

gdje su

Dobiveni broj Pa

T

273

A

21.87

17.27

B

5972.

4714.

C

7.50

35.7

parcijalnog tlaka vlage u zasićenom zraku možemo preračunati u

anglosaksonske jedinice koristeći relaciju 3386 Pa = 1in.Hg . U meteorološkoj praksi, najčešće se koristi relativna vlažnost U koja predstavlja postotak parcijalnog tlaka vodene pare e ′ u odnosu na e ′W parcijalni tlak vlage u zasićenom vlažnom zraku (pri istoj temperaturi i tlaku vlažnoga zraka): U = 100

e′ e ′W

B.17

B.4 Vertikalna ravnoteža Ovisnost tlaka o visini zasniva se na hipotezi o vertikalnoj ravnoteži atmosfere. Prema toj hipotezi, težina horizontalnog sloja zraka elementarne debljine dh i proizvoljne površine A uravnotežava se razlikom sila tlaka s donje Ap i gornje strane A(p + dp) na istu površinu A. gρ Adh = A p − A( p + dp )

ili dp = − gρ dh .

U ovoj jednadžbi promjenljiva je s visinom ne samo gustoća zraka ρ već i ubrzanje sile Zemljišne teže g. Zato uvodimo na mjesto realne visine h geopotencijalnu visinu H. Prema definiciji o geopotencijalnoj visini, gdh = g N dH , te je diferencijalna promjena tlaka obzirom na geopotencijalnu visinu dp = − g N ρ dH .

Uzima se da je g N = 9.80665 m s 2 ili u anglosaksonskim jedinicama g N = 32.174 ft s 2 . Gustoću možemo izraziti pomoću jednadžbe stanja vlažnog zraka

ρ=

p , Rs T

13

Prilozi

u kojoj je Rs =

R . 3 e′ 1− 8p

Oznaka Rs treba nas podsjetiti na to da je riječ o plinskoj konstanti smjese koju čini suhi zrak i vodena para, a e ′ p odnos parcijalnog tlaka vlage prema totalnom tlaku vlažnog zraka. Tako dobivamo promjenu tlaka ovisno o visini: g dH dp =− n p RS T

B.18

Integracijom od visine H 0 na kojoj je tlak p 0 do visine H na kojoj je tlak p( H) dobivamo promjenu tlaka s visinom za poznatu ovisnost temperature o visini: H  dH   p (H ) = p0 exp − g N ∫  R T (H )  H0 S 

B.19

To znači da možemo odrediti tlak na visini H ako znamo promjenu temperature T s visinom H, ali i vrijednost tlaka po na visini H 0 . Obično uzimamo da je H 0 razina mora od koje

mjerimo visinu, te je H 0 = 0 . U praksi pri sondaži atmosfere usvaja se hipoteza o vertikalnoj ravnoteži, te se ne mjeri promjena tlaka s visinom, već je računamo na temelju izmjerene temperature na raznim visinama. Zato je i plinska konstanta vlažnog zraka promjenljiva s visinom Rs (H ) , a kako je poznat tlak pri zemlji po ova jednadžba omogućuje da odredimo tlak u ovisnosti o visini. Još je zanimljivije to što možemo obrnuto mjerenjem temperature, tlaka i relativne vlažnosti pomoću ove jednadžbi dobiti visinu mjerenja.

B.5 Standardna atmosfera Iz svakodnevnoga života znamo da se stanje atmosfere značajno mijenja u ovisnosti o klimatskim uvjetima, godišnjim dobima, visini pa i tijekom jednog dana. Budući da aerodinamičke karakteristike letjelica bitno ovise o gustoći zraka i brzini zvuka, proračuni se u dinamici leta izvode za standardne (normalne) meteorološke uvjete. Ti standardni meteorološki uvjeti odgovaraju srednjim vrijednostima mjerenja u duljim razdobljima i na raznim mjernim mjestima. Oni čine tzv. standardnu, normalnu ili referentnu atmosferu. Utjecaj odstupanja meteoroloških uvjeta od normalnih veličina na let izučava se u teoriji poremećaja. Međunarodna organizacija za standardizaciju usvojila je tipične atmosfere u

14

Prilozi

ovisnosti o geografskoj širini (ISO 5878). Te tipične atmosfere obuhvaćaju zakonitost promjene najvažnijih parametara do visine 80 km. One se uzimaju u obzir pri proračunu performansi i projektiranju letjelica, pri obradi geofizičkih i meteoroloških podataka, za prikazivanje rezultata ispitivanja letjelica pod istim uvjetima. U tipičnoj atmosferi određena je promjena parametara atmosfere ovisno o visini. Međunarodna organizacija za standardizaciju propisala je standardnom atmosferom tipičnu atmosferu koja vrijedi za geografsku širinu ϕ = 450. U standardnoj atmosferi zadane su promjene temperature T sa visinom H. U troposferi, od 0 do 11 km, u ISO standardima tj. za temperaturu u Kelvinovim stupnjevima

[ K ] i za visinu u metrima [m]: 0

T = T0 N + βH = 288.15 − 0.0065 ⋅ H ,

a u anglosaksonskim jedinicama kad je temperatura u Reaumurovim stupnjevima

B.20

[ R] i 0

visina i u stopama [ ft ] , T = 519 − 0.00035745 ⋅ H

B.21

U toj standardnoj atmosferi nema vlage i vlada vertikalna ravnoteža. U tim uvjetima u troposferi (do visine 11 km), rješenjem integrala koji daje vertikalna ravnoteža, dobivamo

zakon promjene tlaka s visinom:   β p = p0 N 1 + H   T0 N  •

−

gn Rβ

B.22

u ISO jedinicama (tlak u [Pa ] i visina u [m] ) H   p = 101325 ⋅ 1 − 0.02256  1000  

•

5.256

,

B.23

a u anglosaksonskim jedinicama (visina u [ ft ] ) H   p = p0 ⋅ 1 − 0.00688  1000  

[

5.256

.

B.24

]

gdje je po = 29.92 [in.Hg ] = 2116.2 lb ft 2 . U stratosferi (od 11 Km visine do 20 Km), temperatura je konstantna T = 216.6 0K = 390.0 0R ,

B.25

Prilozi

15

te integracijom dobivamo diferencijalne jednadžbe vertikalne ravnoteže od donje granice stratosfere do bilo koje visine u stratosferi: H   H − H 0  dH   p = p H 0 exp − g N ∫ = p H 0 exp − g N   R ⋅ TH 0  RT (H )  H0  

•

B.26

u ISO sustavu (visina u metrima, a tlak u paskalima) H − 11000   p = 22632 ⋅ exp − 0.1577 , 1000  

•

B.27

ili u anglosaksonskim jedinicama (visina u [ ft ] ) H − 36089   p = p 36089 ⋅ exp − 0.04806 . 1000  

[lb

a tlak se može mjeriti u

B.28

]

ft 2 ili u [in. Hg ] . U prvom slučaju je tlak između

[

]

troposfere i stratosfere p36089 = 472.7 lb ft 2 , a u drugom p36089 = 6.684 [in.Hg ]. Gustoća zraka i brzina zvuka ovisno o visini izračunavaju se za standardnu atmosferu po jednadžbama: •

[

]

u ISO jedinicama (gustoća u Kg m 3 , tlak u [Pa ] , temperatura u

ρ N = 0.003484 ⋅

[ K ]) imaju oblik: 0

pN TN

B.29

a N = 20.05 ⋅ TN

Na razini mora te jednadžbe daju:

ρ N 0 = 1.225 kg m 3

B.30

a N 0 = 340.3 m s •

[

] [

]

[

]

u anglosaksonskim jedinicama (gustoća u slug ft 3 = lb ⋅ s 2 ft 4 , tlak u lb ft 2 , temperatura u

[ R]) te jednadžbe imaju oblik 0

ρ N = 5.826 ⋅ 10 −4 ⋅

pN TN

B.31

a N = 49.02 ⋅ TN ,

što na razini mora daje:

ρ N 0 = 2.3769 slug ft 3 a N 0 = 1116.4 ft s

B.32

16

Prilozi

Na mnogim zrakoplovima instrument za mjerenje tlaka ima skalu u [in.Hg ] . Pri tome treba

[

]

imati na umu da je 29.92 [in.Hg ] = 2116.2 lb ft 2 = 101325 Pa Konačno, u normalnim uvjetima postoji veza između tlaka i temperature koju dobivamo eliminiramo visinu iz jednadžbi za promjenu tlaka i temperature. U troposferi je promjena tlaka s obzirom na visinu dana jednadžbom  β  p = p0 1 + H   T0 

−

gn Rβ

,

a temperature T = T0 + β ⋅ H . Eliminacijom visine dobivamo jednadžbu po kojoj svakom tlaku odgovara određena temperatura.  p T = T0    p0 

−

Rβ gn

B.33

U sustavu ISO jedinica ta jednadžba ima oblik  p  T = 288.15 ⋅    101325 

0.1903

.

B.34

Prilozi

17

STANDARDNA ATMOSFERA ISO 2533

H [m]

T [K]

p [N/m2]

ρ [Kg/m3]

a [m/s]

ν [m2/s]

0 200 400 600 800

288.1 286.9 285.6 284.3 283.0

101325. 98946. 96612. 94323. 92078.

1.2250 1.2017 1.1787 1.1560 1.1337

340.3 339.5 338.8 338.0 337.2

0.146E-4 0.148E-4 0.151E-4 0.153E-4 0.156E-4

1000 1200 1400 1600 1800

281.7 280.4 279.1 277.8 276.5

89877. 87719. 85603. 83528. 81495.

1.1117 1.0900 1.0687 1.0476 1.0269

336.4 335.7 334.9 334.1 333.3

0.158E-4 0.161E-4 0.163E-4 0.166E-4 0.169E-4

2000 2200 2400 2600 2800

275.2 273.9 272.6 271.3 270.0

79502. 77549. 75635. 73760. 71923.

1.0066 0.9865 0.9667 0.9473 0.9281

332.5 331.7 331.0 330.2 329.4

0.171E-4 0.174E-4 0.177E-4 0.180E-4 0.183E-4

3000 3200 3400 3600 3800

268.7 267.4 266.1 264.8 263.5

70122. 68359. 66632. 64940. 63284.

0.9093 0.8907 0.8724 0.8545 0.8368

328.6 327.8 327.0 326.2 325.4

0.186E-4 0.189E-4 0.193E-4 0.196E-4 0.199E-4

4000 4200 4400 4600 4800

262.2 260.9 259.6 258.3 257.0

61662. 60074. 58519. 56997. 55508.

0.8194 0.8022 0.7854 0.7688 0.7525

324.6 323.8 323.0 322.2 321.4

0.203E-4 0.206E-4 0.210E-4 0.214E-4 0.217E-4

5000 5200 5400 5600 5800

255.7 254.4 253.1 251.8 250.5

54050. 52623. 51228. 49862. 48526.

0.7365 0.7207 0.7052 0.6899 0.6749

320.5 319.7 318.9 318.1 317.3

0.221E-4 0.225E-4 0.229E-4 0.233E-4 0.237E-4

6000

249.2

47219.

0.6601

316.5

0.242E-4

18

Prilozi

H [m]

T [K]

p [N/m2]

ρ [Kg/m3]

a [m/s]

ν [m2/s]

6000 6200 6400 6600 6800

249.2 247.9 246.6 245.3 244.0

47219. 45941. 44692. 43470. 42275.

0.6601 0.6456 0.6314 0.6174 0.6036

316.5 315.6 314.8 314.0 313.1

0.242E-4 0.246E-4 0.250E-4 0.255E-4 0.260E-4

7000 7200 7400 7600 7800

242.7 241.4 240.1 238.8 237.5

41107. 39966. 38850. 37760. 36694.

0.5900 0.5767 0.5637 0.5508 0.5382

312.3 311.5 310.6 309.8 308.9

0.265E-4 0.270E-4 0.275E-4 0.280E-4 0.285E-4

8000 8200 8400 8600 8800

236.2 234.9 233.6 232.3 231.0

35653. 34637. 33644. 32674. 31727.

0.5258 0.5136 0.5017 0.4899 0.4784

308.1 307.3 306.4 305.6 304.7

0.290E-4 0.296E-4 0.302E-4 0.307E-4 0.313E-4

9000 9200 9400 9600 9800

229.7 228.4 227.1 225.8 224.5

30803. 29900. 29019. 28159. 27320.

0.4671 0.4560 0.4451 0.4344 0.4239

303.8 303.0 302.1 301.3 300.4

0.320E-4 0.326E-4 0.332E-4 0.339E-4 0.346E-4

10000 10200 10400 10600 10800

223.3 222.0 220.7 219.4 218.1

26502. 25703. 24924. 24165. 23424.

0.4135 0.4034 0.3935 0.3838 0.3742

299.5 298.7 297.8 296.9 296.0

0.352E-4 0.360E-4 0.367E-4 0.374E-4 0.382E-4

11000 11200 11400 11600 11800

216.8 216.6 216.6 216.6 216.6

22702. 21998. 21317. 20658. 20019.

0.3648 0.3537 0.3428 0.3322 0.3219

295.2 295.1 295.1 295.1 295.1

0.390E-4 0.402E-4 0.415E-4 0.428E-4 0.442E-4

12000 12200 12400 12600 12800

216.6 216.6 216.6 216.6 216.6

19400. 18800. 18218. 17655. 17109.

0.3119 0.3023 0.2929 0.2839 0.2751

295.1 295.1 295.1 295.1 295.1

0.456E-4 0.470E-4 0.485E-4 0.501E-4 0.517E-4

13000

216.6

16580.

0.2666

295.1

0.533E-4

Prilozi

19

H [m]

T [K]

p [N/m2]

ρ [Kg/m3]

a [m/s]

ν [m2/s]

13000 13200 13400 13600 13800

216.6 216.6 216.6 216.6 216.6

16580. 16067. 15570. 15089. 14623.

0.2666 0.2584 0.2504 0.2426 0.2351

295.1 295.1 295.1 295.1 295.1

0.533E-4 0.550E-4 0.568E-4 0.586E-4 0.605E-4

14000 14200 14400 14600 14800

216.6 216.6 216.6 216.6 216.6

14171. 13733. 13308. 12897. 12498.

0.2279 0.2208 0.2140 0.2074 0.2010

295.1 295.1 295.1 295.1 295.1

0.624E-4 0.644E-4 0.664E-4 0.686E-4 0.707E-4

15000 15200 15400 15600 15800

216.6 216.6 216.6 216.6 216.6

12112. 11738. 11375. 11024. 10683.

0.1948 0.1887 0.1829 0.1773 0.1718

295.1 295.1 295.1 295.1 295.1

0.730E-4 0.753E-4 0.777E-4 0.802E-4 0.828E-4

16000 16200 16400 16600 16800

216.6 216.6 216.6 216.6 216.6

10353. 10033. 9723. 9423. 9132.

0.1665 0.1613 0.1564 0.1515 0.1468

295.1 295.1 295.1 295.1 295.1

0.854E-4 0.881E-4 0.909E-4 0.938E-4 0.968E-4

17000 17200 17400 17600 17800

216.6 216.6 216.6 216.6 216.6

8850. 8577. 8312. 8055. 7807.

0.1423 0.1379 0.1337 0.1295 0.1255

295.1 295.1 295.1 295.1 295.1

0.999E-4 0.103E-3 0.106E-3 0.110E-3 0.113E-3

18000 18200 18400 18600 18800

216.6 216.6 216.6 216.6 216.6

7566. 7332. 7106. 6886. 6674.

0.1217 0.1179 0.1143 0.1107 0.1073

295.1 295.1 295.1 295.1 295.1

0.117E-3 0.121E-3 0.124E-3 0.128E-3 0.132E-3

19000 19200 19400 19600 19800

216.6 216.6 216.6 216.6 216.6

6468. 6268. 6075. 5887. 5706.

0.1040 0.1008 0.0977 0.0947 0.0917

295.1 295.1 295.1 295.1 295.1

0.137E-3 0.141E-3 0.146E-3 0.150E-3 0.155E-3

20000

216.6

5530.

0.0889

295.1

0.160E-3

20

Prilozi

C PERFORMANSE KLIPNOG MOTORA C.1 Snaga klipnog motora Proizvođači motora na temelju ispitivanja motora daju dva dijagrama prema kojima se može odrediti snaga motora ovisno o parametrima: kutna brzina motora ω u [rad s ], a u AS sustavu (anglosaksonske jedinice)

•

RPM u broju okretaja u minuti (revolutions per minute), tlak punjenja p S u [Pa ] , a u AS jedinicama označava se sa MAP (manifold

•

absolute pressure) i mjeri se in.Hg (inch of Hg) ili u psi (pounds per square inch), •

tlak i temperatura okolnog zraka (vidi prilog B) i

•

aerodinamička brzina letjelice V u [m s ] , a u AS u miljama po satu mph (miles per hour).

Ta snaga se određuje pomoću dva dijagrama kao na slikama C-1 i C-2. C.1.1 Prvi dijagram, snaga PB 160

[rad/s] 280

140

260 240 220

120 PB [kW]

200

100

80

60

40 50

60

70

80 ps [kPa]

90

100

110

Slika C-1 Prvi dijagram snage motora LYCOMING O-360-A (180 HP)

Prilozi

21

Prvi dijagram je familija krivulja PB = f (ω , p S ) dobivena na temelju ispitivanja motora na probnom stolu. Taj dijagram, u statičkim uvjetima (aerodinamička brzina jednaka je nuli), daje snagu PB ovisno o tlaku punjenja p S a za razne kutne brzine ω motora, kada je temperatura i tlak okolnog zraka u normalnim uvjetima na razini mora (vidi prilog C). Na apscisi nalazi se tlak punjenja p S . To je tlak smjese zraka i goriva odmah iza zaklopke rasplinjača. Na ordinati je snaga motora PB . Svaka krivulja je za jednu određenu kutnu brzinu motora ω . C.1.2 Drugi dijagram, snaga PA

Na drugom dijagramu su dvije familije krivulja PA = f ( p, ω )

PA = f ( p, p S ) 160

omega [rad/s] 280

140

90 80

120 PA [kW]

ps [kPa]

100

260 240 220 200

70

60 50

80 40

60

40 30

40

50

60

70 p [kPa]

80

90

100

110

Slika C-2 Drugi dijagram motora LYCOMING O-360-A (180 HP) Obje familije krivulja daju snagu motora PA ovisno o promjeni tlaka okolnog zraka p, ali za temperaturu koja odgovara tom tlaku u normalnim uvjetima. Iz priloga C znamo da je ta temperatura

Prilozi

22  p T = T0 N    p0  Krivulje prve familije

−

Rβ gn

 p  = 288.15 ⋅    101325 

0.1903

.

PA = f ( p, ω ) daju snagu za određenu kutnu brzinu motora ω , a

krivulje druge familije daju istu snagu PA = f ( p, p S ) za određeni tlak punjenja p S . Analizom ovog drugog dijagrama vidimo da na određenom tlaku okolnog zraka p, malo se mijenja p S u normalnom radnom intervalu motora (od ω min do ω max ). Kada opada tlak okolnog zraka, motor radi na sve manjem i manjem p S , i snaga motora pada te ako je mali tlak okolnog zraka, bit će mala i raspoloživa snaga motora. Na osi x ovog drugog dijagrama često se nanosi visina umjesto tlaka, koja odgovara u normalnim uvjetima tom tlaku okolnog zraka. Ta visina vezana je za okolni tlak jednadžbom normalne atmosfere (vidi prilog B). U tom slučaju ove dvije familije krivulja imaju visinu kao neovisnu varijablu: PA = f (H , ω )

PA = f (H , p S ) Takvi dijagrami obično se sreću u literaturi (npr. [14], [26] i dr.) Treba još reći kada umjesto tlaka okolnog zraka na os x nanesemo odgovarajuću visinu onda se dijagram C-2 okrene (desna strana postane lijeva i obratno), jer kad raste visina, tlak pada.

C.2 Grafička metoda određivanja snage PD Snaga motora, u okolnom zraku koji ima temperaturu TD i tlak p D , za određene vrijednosti parametara ω i p S može se odrediti pomoću ova dva prikazana dijagrama. Postupak određivanja snage je slijedeći 1) Na prvom dijagramu, na odgovarajućoj krivulji za zadani broj okretaja motora ω , očita se snaga PB ovisno o tlaku punjenja p S . 2) Na drugom dijagramu ucrta se točka A u presjeku krivulje za zadani tlak punjenja p S i krivulje za zadanu kutnu brzinu motora ω . Odredi se ordinata PA i apscisa p A te točke. To je snaga koju bi motor razvio u okolnom zraku koji ima taj tlak i njemu odgovarajuću temperaturu u normalnim uvjetima. 3) Ucrta se na tom istom dijagramu točka C koja ima apscisu jednaku normalnom tlaku na razini mora p0 N , a ordinatu jednaku dobivenoj snazi prema prvom dijagramu PB . Ta

Prilozi

23

točka predstavlja snagu motora za zadani tlak punjenja p S i zadanu kutnu brzinu motora

ω , ali u zraku koji ima i tlak koji odgovara razini mora i odgovarajuću temperaturu u normalnim uvjetima.. 4) Spoje se točke C i A. Ako prihvatimo pretpostavku da je snaga motora, za zadani tlak punjenja p S i zadanu kutnu brzinu motora ω , linearno ovisna o tlaku okolnog zraka (i na odgovarajućoj temperaturi u normalnim uvjetima), onda je to pravac CA. 5) Na tom pravcu CA odredimo točku D koja ima apscisu jednaku zadanom tlaku okolnog zraka p D . 6) Ordinata točke D predstavlja snagu motora za zadane radne parametre motora p S i ω u okolnom zraku koji ima zadani tlak p D i temperaturi koja odgovara tom tlaku u normalnim uvjetima TN , a ne odgovara zadanoj temperaturi okolnog zraka TD :  pD  TN = 288.15 ⋅    101325 

0.1903

7) Da bismo konačno dobili traženu snagu na zadanoj temperaturi, pretpostavit ćemo da je snaga obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu iz temperature okolnog zraka. Zato se očitana snaga u točki D množi sa

T N TD .

C.2.1 Primjer

Da bismo prikazali originalnu primjenu dijagrama, u ovom ćemo se primjeru služiti anslosaksonskim jedinicama. Temperatura okolnog zraka je

TD = 269 0 K , a tlak

je p D = 95 kPa . Kutna brzina elise je ω elise = 240 rad s , a tlak punjenja je p S = 78.5 kPa . Treba grafički odrediti raspoloživu snagu motora čije su performanse dane dijagramom na slici G-1 i G-2. 1) Na prvom dijagramu nacrtana je točka B koja predstavlja raspoloživu snagu na razini mora. Ona se nalazi na krivulji ω = 240 za vrijednost apscise p S = 78.5 kPa : PB = 91 kW

2) točka A određena je na drugom dijagramu u presjeku krivulja ω = 240 rad s i

p S = 78.5 kPa : PA = 103 kW p A = 80 kPa Na tom tlaku temperatura u normalnim uvjetima ima vrijednost:

Prilozi

24  pA  T A = 288.15 ⋅    101325 

0.1903

 80.0  = 288.15 ⋅    101325 

0.1903

= 275.5 0K

U normalnim uvjetima atmosfere taj tlak i ta temperatura vladaju na visini H = 1950 m . Drugim riječima, za zadane p S i ω , pri tlaku okolnog zraka 80 kPa i temperaturi 275.5 0K , snaga je 103 kW . 3) Ucrtamo točku C u drugi dijagram. Apscisa te točke je p0 N = 101.3 kPa , a ordinata je PB = 91 kW .

4) Od A do C snaga opada od vrijednosti PA = 103 kW do PB = 91 kW , zbog porasta tlaka i temperature okolnog zraka od p A = 80 kPa i T A = 275.5 0K do p0 N = 101.3 kPa , i

T0 N = 288.2 0K . Zato pravac AC predstavlja promjenu snage ovisno o tlaku i odgovarajućoj temperaturi okolnoga zraka, pri zadanim parametrima p S i ω . 5) Na pravcu AC odredimo točku D u kojoj je zadani tlak okolnog zraka p D = 95.0 kPa i odgovarajuća temperatura  pD  TN = 288.15 ⋅    101325 

0.1903

 95.0  = 288.15 ⋅    101.325 

0.1903

= 284.6 0K .

6) Ordinata te točke predstavlja snagu motora za zadani p S i ω u okolnom zraku koji ima tlak p D i njemu odgovarajuću temperaturu TN : PD′ = 95 kW

7) Tu snagu trebamo još svesti na zadanu temperaturu:

PD = PD′ ⋅

TN 284.6 = 95 ⋅ = 98 kW TD 269

C.2.2 Analitička metoda određivanja snage PD

Prema lit. [22], dana je metoda kojom se mogu ova dva dijagrama motora pretvoriti u jednadžbe. Tako su u lit. [26], za motor LYCOMING O-360-A (180 HP) dane jednadžbe u AS jedinicama: BHPB = −42.8 + 3.08 ⋅ MAP + 0.00186 ⋅ RPM ⋅ MAP − 0.0018 ⋅ RPM BHPA = 4.3 + 1.37 ⋅ MAP + 0.0018 ⋅ RPM ⋅ MAP + 0.003 ⋅ RPM

Prilozi

25

U tim jednadžbama je kutna brzina motora RPM izražena brojem okretaja u minuti, tlak punjenja MAP iražen je u palcima živinoga stupca in.Hg, a snaga BPH (brake power hors) u konjskim snagama. Te jednadžbe možemo transformirati u sustav ISO jedinica. U ISO sustavu jedinica koristit ćemo oznake PB , PA u vatima, tlak punjenja p S u Pa , a za kutnu brzinu motora ω u rad s :

p p PB = −42.8 + 3.08 ⋅ S + 0.00186 ⋅ 9.5493ω ⋅ S − 0.0018 ⋅ 9.5493ω 745.7 3386 3386 i

p p PA = 4.3 + 1.37 ⋅ S + 0.0018 ⋅ 9.5493ω ⋅ S + 0.003 ⋅ 9.5493ω 745.7 3386 3386 Sređivanjem dobivamo tražene jednadžbe u ISO sustavu jedinica:

PB = −31916 + 0.6783 ⋅ p S + 0.003912 ⋅ p S ⋅ω − 12.817 ⋅ ω

C.1

PA = 3206.5 + 0.3017 ⋅ p S + 0.003785 ⋅ p S ⋅ω + 21.363⋅ ω

C.2

Prva jednadžba PB = f ( p S ,ω ) omogućuje nam izračunati ordinatu točke C (slika C-2). Apscisa točke C je normalni tlak na razini mora, jer je cijela jednadžba određena za uvjete na razini mora. Prema tome koordinate točke C na slici C-2 jesu:

pC = p 0 N PC = PB Tako smo odredili radno stanje C, u kome je snaga PC pri tlaku zraka pC = p0 N . Drugo radno stanje koje možemo odrediti jest snaga motora PA ako je kutna brzina ω elise = 240 rad s i tlak okolnog zraka p . Da bismo odredili položaj te točke A (slika C-2), znamo da je ona na pravcu PA = f ( p,ω ) za ω elise = 240 rad s . Jednadžba familije pravaca na slici C-1 ima oblik PA = 3922 + 1.638 ⋅ ω + 0.0034406 ⋅ ω ⋅ p + 0.41009 ⋅ p

C.3

Iz ove jednadžbe možemo odrediti tlak okolnog zraka ako je poznata snaga motora PA i njegova kutna brzina ω . Taj tlak je apscisa točke A:

pA =

PA − 3922 − 1.638 ⋅ ω 0.0034406 ⋅ ω + 0.41009

C.4

U točki A imamo snagu motora PA pri tlaku okolnog zraka p A i njemu odgovarajućoj temperaturi T A , a u točki C snagu PB pri tlaku okolnog zraka p0 N i temperaturi T0 N . Obje točke daju snagu za zadane parametre p S i ω . Zato možemo linearno interpolirati između

Prilozi

26

točaka A i C da bismo odredili snagu PD′ ako je tlak okolnog zraka jednak zadanom tlaku p D i njemu odgovarajućoj temperaturi TN :

PD′ = PB + (PA − PB )

p D − p0 N p A − p0 N

C.5

Tako smo dobili snagu PD′ za zadane parametre p S i ω , u okolnom zraku koji ima zadani tlak p D , ali kad je temperatura okolnog zraka jednaka temperaturi (vidi prilog B):  pD  TN = 288.15 ⋅    101325 

0.1903

C.6

Da bismo konačno dobili snagu pri zadanoj temperaturi TD , koristimo činjenicu da je snaga obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu iz temperature: PD = PD '

TN TD

C.7

Tako dobivamo snagu PD za zadane parametre motora p S i ω , u atmosferi koja ima zadani tlak p D i zadanu temperaturu TD zraka. C.2.3 Primjer

Uradimo isti primjer analitički. Karakteristike su okolnoga zraka:

TD = 269 0 K p D = 95 kPa

Parametri rada motora su

ω = 240 rad s p S = 78.5 kPa Treba odrediti analitički istu raspoloživu snagu motora LYCOMING O-360-A (180 HP) kao u prethodnom primjeru: PB = −31916 + 0.6783 p S + 0.003912 ω ⋅ p S − 12.817 ω = −31916 + 0.6783 ⋅ 78500 + 0.003912 ⋅ 240 ⋅ 78500 − 12.817 ⋅ 240 = 92.0 kW p B = 101325 Pa PA = 3206.5 + 0.3017 p S + 0.003785ω ⋅ p S + 21.363ω = 3206.5 + 0.3017 ⋅ 78500 + 0.00378 ⋅ 240 ⋅ 78500 + 21.363 ⋅ 240 = 103.2 kW

Prilozi

27

pA =

PA − 3922 − 1.638 ⋅ ω 103200 − 3922 − 1.638 ⋅ 240 = = 80.0 kPa 0.0034406 ⋅ ω + 0.41009 0.0034406 ⋅ 240 + 0.41009

PD′ = PB + (PA − PB )

p D − p0 N 95.0 − 101.3 = 92.0 + (103.2 − 92.0) ⋅ = 95.3 kW p A − p0 N 80.0 − 101.3

 pD  TN = 288.15 ⋅    101325  PD = PD′

0.1903

 95  = 288.15 ⋅    101.325 

0.1903

= 284.6 0K

TN 284.6 = 95.3 ⋅ = 98.0 kW TD 269

C.2.4 Vježba

Treba odrediti promjenu raspoložive snage pogonske grupe koju čini motor LYCOMING O360-A (180 HP) i elisa zrakoplova Piper Cherokee PA-28, ovisno o aeerodinamičkoj brzini za visine 0, 1000, 2000, 3000 i 4000 m. Pretpostavimo da motor radi na kutnoj brzini

ω max = 240 rad s , a koeficijent učinkovitosti elise neka je η elise = −1.6923J 3 + 1.4815J 2 + 0.5670 J + 0.2644 , gdje je parametar elise J =

V = 0.80 (promjer elise je D = 1.88 m , n broj okretaja u s.). nD

Slika C-3 Raspoloživa snaga motora LYCOMING O-360-A (180 HP) i elise zrakoplova Piper Cherokee PA-28

Prilozi

28

Pretpostavljamo normalne uvjete atmosfere. Zbog aerodinamičke brzine tlak okolnog zraka treba povećati za dinamički tlak, tako da ulazni tlak bude jednak totalnom tlaku, koji je zbroj okolnog tlaka i dinamičkog tlaka. Taj dinamički tlak umanjuje se do 15% zbog gubitaka u strujanju oko motora do otvora gdje zrak ulazi u motor:

ptotal = p N + 0.85 ⋅

ρ NV 2 2

Snaga motora Pmot računa se prema analitičkom postupku iz prethodnog primjera C.2.3. Raspoloživa snaga bit će

Pa = η elise ⋅ Pmot . S ovim jednadžbama napravljen je program u MATLAB-u, koji se zove Rasp_snaga , nalazi se na disketi u direktoriju Motor. Pomoću toga programa nacrtan je dijagram C-3.

Slika C-4 Potrošnja goriva za motor LYCOMING O-360-A (180 HP)

C.2.5 Potrošnja goriva

Na temelju eksperimentalnih ispitivanja proizvođači motora izrađuju dijagrame koji daju potrošnju goriva u normalnim uvjetima okolnog zraka ( T0 N i p0 N ) za razne kutne brzine motora ovisno o tlaku punjenja MAP. Na temelju takvog dijagrama za slučaj motora

Prilozi

29

LYCOMING O-360-A (180 HP) usklađen je polinom drugog reda koji daje potrošnju goriva

FC (fuel consumption) ovisno o tlaku punjenja: FC = a1 p S2 + a 2 p S + a 3 ,

C.8

u kome su koeficijenti funkcije kutne brzine motora: 0.000053562 ⋅ ω + 0.0081068 ⋅C 3.386 2 0.0000090642 ⋅ ω + 0.35685 a2 = − ⋅C 3.386 a 3 = (0.017431 ⋅ ω + 3.17 ) ⋅ C

a1 =

C.9

C = 0.720 ⋅ 3.785 / 3600 Da bi dobili potrošnju u [kg s ] za slučaj specifične mase goriva 0.72 kg l koeficijente trebamo pomnožiti sa C. Bez koeficijenta C dobili potrošnju u USA galonima na sat. S tom jednadžbom nacrtan je dijagram prikazan na slici C-4. Na ordinati je potrošnja goriva FC (fuel consumption) u [kg s ] . U mehanici leta upotrebljavamo specifičnu potrošnju goriva C P . Ona pokazuje kolika je potrošnja goriva u jedinici vremena po jednoj jedinici proizvedene snage, a to znači da je njena dimenzija [kg (sW )] . Da bismo dobili dijagram specifične potrošnje C P , moramo vrijednosti očitane na dijagramu potrošnje FC podijeliti s ostvarenom snagom u istim uvjetima.

Slika C-5 Specifična potrošnja motora LYCOMING O-360-A (180 H

30

Na temelju jednadžba raspoložive snage motora i potrošnje goriva, treba za motor LYCOMING O-360-A (180 HP), odrediti ovisnost specifične potrošnje goriva (potrošnja goriva po jedinici ostvarene snage) o tlaku punjenja za razne kutne brzine motora u normalnim atmosferskim uvjetima. Potrošnju goriva, koja ovisi o tlaku punjenja, dana je jednadžbama C-8 i C-9, a ostvarena snaga u istim uvjetima je

PB = −31916 + 0.6783 p S + 0.003912 ω ⋅ p S − 12.817 ω ,

C.10

Tako dobivamo da je tražena specifična potrošnja

CP =

FC . PB

C.11

Prema ovom algoritmu napravljen je program u MATLAB-u koji se zove spec.m. Nalazi se u direktoriju Motor na disketi. Pomoću njega nacrtan je dijagram na slici C-5

Prilozi

31

D ODNOSI VELIČINA Vrijednosti nekih jedinica izvan sustava ISO u zrakoplovnoj uporabi

1 in = 25.4 mm 1 ft = 304.8 mm 1 yd = 0.9144 m 1 yd = 36 in = 3 ft 1 n m = 1852 m 1 slugs = 14.59 kg 1 lb = 4.448 N 1 ph = 745 W 1 gallon GB = 4.546 lit 1 gallon USA = 3.785 lit 1 mille GB = 1609 m 1 kt = 0.5151 m s 1 RPM = 0.1047 rad s

1 in.Hg = 3386 Pa

1

LITERATURA 1. Abbott, I. H., Von Doenhoff, A. E., “Theory of Wing Section”, Dover, New York, 1959. Anderson, J.D., "Aircraft Performance and Design", McGraw Hill, New York, 1999. Anderson, J.D., "Introduction to Flight", McGraw Hill, New York, 1989. Boiffier, Jean-Luc, “The Dynamics of Flight - The Equations”, John Wiley & Sons, New York, 1998. Covert, E. Eugene (editor), “Thrust and Drag: Its Prediction and Verification”, AIAA, Progress in Astronautics and Aeronautics, Vol. 98, New York, 1985. Etkin, B. “Dynamics of Atmospheric Flight, John Wiley & Sons, Inc. New York, 1972. Etkin, B., Reid, L. D. “Dynamics of Flight, Stability and Control”, Third Edition, John Wiley & Sons, Inc. New York, 1996. Goldstein, H., “Classical Mechanics”, Second edition, Addison-Westley Publishing Company, London, 1981. Gantmakher, F. R. and Levin, L. M., “The Flight of uncontrolled Rockets, Pergamon Press, Oxford, 1964. Haug, E.,” Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems”, Volume I: Basic Methods, Allyn and Bacon, Boston, 1989. ISO Concepts, Quantities and Symbols for Flight Dynamics, 1988, Part 1: Aircraft motion relative to the air, ISO/DIS 1151/1, and Part 2: Motion of the aircraft and the atmosphere relative to the Earth, ISO/DIS 1151/2 Janković, S. “Mehanika leta projektila ”, udžbenik Sveučilišta u Zagrebu, 1998. Jumper, E.J., “Wave Drag Prediction Using a Simplified Supersonic Area Rule”, J. Aircraft, Vol. 20, No. 10, October 1983. Jecić, S. “ Mehanika II, Kinematika i mehanika”, Tehnička knjiga d.d., Zagreb, 1995. Лeбeдeв, A.A., Чepнoбroвкин, Л.C. “Динaмикa полeтa”, Maшинocтpoeниe, Moskva, 1973. McCormick, B. “Aerodynamics, Aeronautics and Flight Mechanics”, John Wiley & Sons, Inc. New York, 1995. Mair, W.A. and Birdsall, D. “Aircraft Performance”, Cambridge, University Press, 1992. Nielsen, J. N., “Missile Aerodynamics”, McGraw-Hill, New York, 1960. Pamadi, B. N., “Performance, Stability, Dynamics and Control of Airplanes”, Education Series AIAA, Washington, 1998.

2 Raymer, D. “Aircraft Design: A Conceptual Approach, AIAA Education Series, Washington, 1992. Rendulić, Z., “Aerodinamika”, RO Sava Mihić, Zemun, 1984. Rendulić, Z., “Mehanika leta”, Vojno-izdavački i novinarski centar, Beograd, 1987. Schmidt, V. Luis, “Introduction to Aircraft Flight Dynamics”, Education Series AIAA, Washington, 1998. Smith, H. C. and Dreier, "A Computer Technique for the Determination of Brake Horsepower Output of Normally-Aspirated Reciprocating Aircraft Engine""", SAE Paper No. 770465, March 1977. Steinberg, D. “Computational Matrix Algebra”, McGraw-Hill Kogakusha, Tokyo, 1974. Vinh, N. X. “Flight Mechanics of High Performance Aircraft”, Cambridge, University Press, 1995. .... ,"Introduction to Aircraft Flight Test Engineering", Epperson Sanderson Inc. JS312647C, ISBN 0-89100-225-1. USAF Stability and Control DATCOM, AD-B072 483/1 INZ. ESDU (Engineering scientific data units), The Royal Aeronautical Society, London. A.Φ. Бoчkapeвa, "Aэpoмeхaниka caмaлeтa" , Maшинocтpoeниe, Moskva 1977.

3

KAZALO Pojmovi aerodinamička apscisa krila, 2.2.1 ishodište, 2.2.1 tetiva, 2.2.1 aerodinamički koeficijenti, 2.1.1 model zrakoplova, 2.1.2 parametri, 2.1.1 aerodinamičko pojačanje, 13.2., 14.1 akcelerometar, 6.1.3 atmosfera standardna, B.5 baza koordinatnog sustava, 1.1.1 bočna sila, 4.3 brzina aerodinačka 1.4.2 apsolutna, 6.1.1 leta, 1.4.1 najmanje upravljivosti (Minimum Control Speed), 9.1.3.1 odvajanja (Take off Velocity), 9.1.1 penjanja (Rate of Climb, R/C), 8.2 penjanja najveća (Best Rate of Climb, BRC), 8.2.2 prijenosna, 6.1.1 relativna, 6.1.1 derivacija matrice transformacije, 1.2.2 derivacija vektora, 1.1.3 derivativi, 2.1.2 diferencijalne jednadžbe parametara, 1.2.6 diferencijalne jednadžbe poremećaja, 12.1.3 dolet (Range), 8.1.5

4 energetska visina (Energy Height), 10.1 gradijent bočne sile po kutu klizanja,4.1.1 po otklonu kormila pravca, 4.1.2 po kutnoj brzini valjanja, 4.1.4 po kutnoj brzini skretanja, 4.1.5 gradijent momenta propinjanja po promjenljivom napadnom kutu, 3.2.5 po kutnoj brzini, 3.2.6 po napadnom kutu, 3.2.4 po otklonu kormila visine, 3.2.4 stacionarni gradijenti, 3.2.4 gradijent momenta skretanja, 2.1, 4.1 po kutnoj brzini skretanja, 4.1.5 po kutnoj brzini valjanja,4.1.4 po kutu klizanja, 4.3 po otklonu kormila pravca, 4.1.2 po otklonu krilaca, 4.1.3 gradijent momenta valjanja, 2.1, 4.2 po kutnoj brzini skretanja, 4.2.5 po kutnoj brzini valjanja, 4.2.4 po kutu klizanja, 4.2.1 po otklonu kormila pravca, 4.2.2 po otklonu krilaca, 4.2.3 gradijent normalne sile po napadnom kutu, 3.2.4 po otklonu kormila visine, 3.2.4 po promjenljivom napadnom kutu, 3.2.5 po kutnoj brzini, 3.2. gradijent penjanja (Climb Gradient), 8.2 gradijenti, 2.1.2 harmonijska pobuda uzdužnog gibanja, 13.3 bočnog gibanja, 14.5

5 Heavisideov teorem razvoja, 13.4, 13.5, 13.6, 14.3, 14.4, 14.5 horizontalni zaokret, 8.3.1 inercijaksa sila, 6.1.2 jedinični impuls (Impulsive Admittance), 13.4, 14.3 jedinični otskok (Indicial Admittance), 13.5, 14.4 jednadžba stanja zraka, B.3 karakteristični polinom, 13.2.1, 14.1 kinetički moment, 6.2.2 koeficijenti dinamičke stabilnosti sila , 12.2.2 momenata, 12.2.5 koeficijent gušenja (Dumping Coefficient), 13.2.1 koordinatni sustavi, 1.3 koordinanti sustav aerodinamički, 1.4.2 brzinski, 1.4.1 letjelice, 1.3.3 lokalni, 1.3.1 nošeni, 1.3.2 koordinirani zaokret, 8.3.2 korak elise, 6.5.1 kružna učestalost, 13.2.1 kut napadni, 1.4.2 napadni motora, 6.4.1 klizanja, 1.4.2 klizanja motora, 6.4.1 penjanja najveći (Best Angle of Climb, BAC), 8.2.1 postavni, 2.3 propinjanja, 1.3.3 prostorni krila, 4.2.1.1 ravnotežni napadni, 7.1.3 skretanja, 1.4.1 valjanja, 7.4.3

6 valjanja letjelice, 1.3.3 zanosa, 1.3.3 zakretanja motora, 6.4.1 kutna brzina letjelice, 1.3.3 kutna brzina motora (Revolution Per Minute, RPM), C.1 kvašena površina, 3.1.1 linearizacija, 12.1.3 matrica kososimetrična, 1.1.2 transformacija, 1.2, 1.2.1 temeljna, jed. 1.32-4 minimalno vrijeme penjanja, 10.4.3 model zrakoplova kao materijalne točke, 7.4.4 kao krutog tijela (6DOF), 11.2 linearizirani, 12.2.7 modovi uzdužnog gibanja, 13.2.1 bočnog gibanja, 14.1 momenta propinjanja horizontalni rep - trup, 3.2.2 krilo - tijelo, 3.2.1 nulti članovi, 3.2.4 tijela, 3.2.3 stacionarni gradijenti, 3.2.4 moment pogonske sile, 6.4.3 i 6.5.2 moment tromosti centrifugalni 6.2.3 za os, 6.2.3 načelo očvršćivanja, 6.3.5 neutralna točka, 7.2.3 normalna sila kombinacije tijelo-noseća površina, 2.3 krilo - tijelo, 3.2.1

7 nulti članovi, 3.2.4 horizontalni rep - trup, 3.2.2 stacionarni gradijenti, 3.2.4 normalno opterećenje, 7.1.4 i 10.3.2 otpor, 2.1.1, 3.1 dna, 3.1.2 dodatni, 3.1.5 inducirani, 3.1.7 nulti, 3.1.6 transonični, 3.1.4 trenja, 3.1.1 valni, 3.1.3 Oswaldov koeficijent, 3.1.7 otklon upravljačke površine, 2.2.7 ovojnice horizontalnog leta, 8.1.4 ovojnica koordiniranog zaokreta, 8.3.4 parametar gušenja, 13.2.1 parametri Eulerovi, jed. 1.37 Hamilton-Rodriguezovi, jed. 1.37 petlja, 8.4.3 plinska konstanta zraka, B.3 područje uporabe zrakoplova, 10.4.2 polara, 3.1.7 polijetanje (Take off), 9.1 pogonska sila, 6.4.2 i 6.5.1 poremećaji gibanja (perturabation), 12.1.3 potrebna sila, 8.1.2 potrebna snaga, 8.1.2 potrošnja goriva (Fuel Cosumption, FC), C.2.5 površina referentna, 2.1.1 krila, 2.3 kvašenja, 3.1.1

8 diska elise, 6.5.1 poprečna, 3.1.3 i 3.1.5 prijenosne funkcije (Open Loop Transfer Function) po otklonu kormila visine, 13.3 po otklonu kormila pravca, 14.2 po otklonu krilaca, 14.2 prirast specifične energije po jedinici goriva (Fuel Specific Energy), 10.4.4 prirodna učestalost, 13.2.1 raspoloživo opterećenje, 8.3.3 raspoloživa sila, 8.1.3 raspoloživa snaga, 8.1.3 referentno gibanje, 12.1.2 relativno gibanje, 6.1 savijanje struje, 2.4 i 6.4.1 sigurnost polijetanja, 9.1.3 skretanje struje, 4.1.1 i 6.4.1 slijetanje (Landing), 9.2 specifična energija (Specific Energy) 10.1 specifična potrošnja goriva (Specific Fuel Consumption), C.2.5 stabilnost statička, 7.2.2 dinamička uzdužna 13 dinamička bočna, 14 Steinerov teorem, 6.2.4 sustav očvrsnuti, 6.3.2 prividni, 6.3.2 promjenljive mase, 6.3.1 tenzor tromosti, 6.2.3 tlak punjenja (Manifold Absolute Pressure, MAP), C.1 trajanje leta (Endurance) 8.1.6 ubrzanje apsolutno, 6.1.1 Coriolisovo, 6.1.1

9 komponente, 1.4.1 kutno, 6.1.1 prijenosno, 6.1.1 relativno, 6.1.1 Zemljane teže, B.2 učestalost, 13.2.1 ukupna energija (Energy State), 10.1 upravljivost uzdužna, 7.3.1 bočna 7.3.3 usporenje struje, 2. 4 uzgon, 3.2, 2.1.1 vektor stanja, 11.2 i 12.1.1 vektor upravljanja, 12.1.1 vektorski i skalarni produkt 1.12 vertikalna ravnoteža zraka, B.4 vertikalni zaokret, 8.4 veze između parametara i kutova, 1.2.5 visina nadvisivanja prepreke (Obstacle Clearance Altitude), 9.1.5 višak specifične snage, 10.2.1 vlažnost zraka, B.3 vrijeme penjanja, 8.2.4 vrjemenska konstanta, 13.2.1

Oznake Opće oznake a

brzina zvuka, ubrzanje

A

vitkost krila, azimut

b

raspon krila

c

tetiva profila

cA

aerodinamička tetiva krila

C

napadna točka normlane sile

10 CD

CL

C K aerodinamički koeficijenti sila u aerodinamičkom koordinatnom sustavu

CX

CY

C Z aerodinamički koeficijenti sila u koordinatnom sustavu letjelice

Cl

Cm

C n aerodinamički koeficijenti momenata u koordinatnom sustavu letjelice

C A = −C X

aerodinamički koeficijent aksijalne sile

C N = −C Z

aerodinamički koeficijent normalne sile

d

promjer

D

otpor

e

Oswaldov koeficijent krila

e

Hamilton R

E

trajanje leta

f

otklon zakrilca

F

sila

g

ubrzanje sile Zemljine teže

h

udaljenost od aerodinamičkog ishodišta u pravcu x osi zrakoplova, visina leta

he

specifična energija

H

visina leta

i

postavni kut noseće površine, imaginarna jedinica

I

tenzor tromosti

J

jedinična matrica

k BW

koeficijent interferencije otklonjene kombinacije krilo - tijelo

K

koeficijent induciranog otpora zrakoplova

K BW

koeficijent interferencije planarne kombinacije krilo - tijelo

l

udaljen ost od elise u pravcu x osi zrakoplova

L

uzgon, moment valjanja

L AB

matrica transformacije iz koordinatnog sustava A u koordinatni sustav B

LX

LY

LZ

temeljne matrice transformacija

m

masa zrakoplova

M

moment propinjanja

Ma

Machov broj

n

normalno opterećenje

N

moment skretanja

N

neutralna točka.

11 p q r

    

komponente kutne brzine

p

tlak

P

snaga Pr

Pa

raspoloživa snaga, potrebna snaga

Ps

specifični višak snage

R

dolet

s = −δ + ω i

korijen karakteristične jednadžbe

s = [φ ϑ ψ ] stav zrakoplova

S

površina

t

vrijeme

T

pogonska sila, temperatura zraka

Ta u v w

Tr

raspoloživa, potrebna pogonska sila

    

komponente brzine

V

intenzitet aerodinamičke brzine

Vk

intenzitet brzine leta

W

težina

Wf

širina trupa

X

vektor stanja

X

aerodinamička sila u pravcu x osi

Y

aerodinamička sila u pravcu y osi

Z

aerodinamička sila u pravcu z osi

Grčka slova α

β

napadni kut, kut klizanja

χ γ

kut skretanja brzine, kut propinjanja brzine

ψ ϑ φ

De Sparraini kutovi zrakoplova

χA γ A

µ A De Sparraini kutovi aerodinamičkog koordinatnog sustava

δl δm δn

otklon krilaca, otklon kormila visine, otklon kormila pravca

12

λ

suženje krila

ηV

koerficijent umanjenja dinamičkog tlaka na vertikalnom stabilizatoru

ηh

koeficijent umanjenja dinamičkog tlaka na horizontalnom stabilizatoru

ρ

gustoća zraka

ω

kutna brzina

ζ

gušenje

Indeksi

( )A

veličina aerodinamičkog koordinatnog sustava

( )B = ( ) f

veličina tijela

( )F

veličina koordinatnog sustava letjelice

( )h

veličina horizontalnog repa

( )K

brzina ili ubrzanje u odnosu na zemlju

( )L

veličina lokalnog koordinatnog sustava

( )m

veličina za središte mase

( )n

veličina za neutralnu točku

( )O

veličina nošenog koordinatnog sustava

( )V

veličina brzinskog koordinatnog sustava veličina vertikalnog repa

( )W

veličina krila (od dva polukrila)

Eksponenti

( )L

komponente u lokalnom koordinatnom sustavu

( )O

komponente u nošenom koordinatnom sustavu

( )F

komponente u koordinatnom sustavu letjelice (obično se izostavlja)

( )V

komponente u brzinskom koordinatnom sustavu

( )A

komponente u aerodinamičkom koordinatnom sustavu