Sistematizacion Del Metodo de Rigidez

SIS·T EMATIZACIQN,, DEL METODO . DE RIGIDEZ .

Análisis de: - Armaduras Planas - Armaduras en el Espacio - Pórticos Planos - Pórticos en el Espacio - Edificios

Ponente:

lng. Helber Calla Aranda Docente de la línea de Estructuras de la Facultad de Ingeniería Civil - UNSA

"

ANALISIS DE ARMADURAS PLANA CON EL USO DEL METODO DE RIGIDEZ 1.- INTRODUCCION

Se explicará los fundamentos básicos del Método de la Rigidez, para el análisis de armaduras planas , se verá que este método aunque tedioso al hacerlo a mano , es muy adaptable para su uso en computadora . 2.- FUNDAMENTO DEL METODO DE LA RIGIDEZ:

La aplicación del Método de la Rigidez requiere subdividir en una serie de elementos finitos e identificar sus puntos extremos como nodos. Para el análisis de armaduras , los elementos finitos se representa por cada uno de los miembros que forman la armadura y los nodos representan los nudos . Se determina las propiedades fuerza-desplazamiento de cada elemento y luego se relacionan entre sí mediante las ecuaciones de equilibrio planteada en los nudos. Estas relaciones , para todos los miembros de la estructura , se agrupa luego en lo que se llama [k], Matriz de Rigidez de la estructura. Una vez establecida ésta los desplazamientos desconocidos de los nudos pueden determinarse para cualquier carga dada en la estructura . Cuando se conocen estos desplazamientos, las fuerzas externas e internas de la estructura pueden calcularse mediante las relaciones fuerza-desplazamiento para cada miembro . 3.- CONCEPTOS PREVIOS: 3. 1. -ldentificación de Miembros y Nudos

- Se numera los nudos y los miembros de la estructura , para luego identificar los extremos"CERCANO" y "ALEJADO " de un miembro , esto se realiza usando las flechas (Fig . 1) 3. 2.-Sistema de Coordenadas Locales y Globales

- Cada miembro de la estructura tiene su sistema de coordenadas loca les (x,y) que permite especificar el sentido de sus despl azamientos y cargas internas (Fig. 2) - Un sistema de coordenadas global o de la estructura usando los ejes (x,y) especificará el sentido de cada una de las componentes exte rnas de fuerza y desplazamiento en los nudos . 3. 3.- Grados de Libertad - P ra un a armadura existen dos grados de libertad por nudo , de los cuales te nemos grados de libertad no restringidos o desco nocidos y los rados de li bertad restrin gidos .

Por superposición.-

.t. 4

-

m

1

FIG . 1 - Armadura Plana

~3

C2)

6

¡

1Dx1

EA L

1D x k

if= x k-_ EA

1Dxi + EA L

1D Xk

-

-

y ...

if=x 1 _EA

@

1 ~-~

~

L

_

En forma matricial.-

=

- G.L. (Restringidos) (S,6,7,8)

8

-

=

Número de Nudos 4 Número de miembros =6 Grado de Libertad = G.L. (No restringidos) (1,2,3,4) 4

L

1 EA -L- [ -1

=4

7

-1] {~X}¡ 1

¡Ü Xk

~

~--x

{iF}=[ RJ{,o} . ..... (1) 1

Coordenadas Globales

I~

\CD

Alejado

Alejado

\~

~¡r

Alejado ~/

rAlg(,:·l: l L.:!:J b.>'

.

y > ® Cercana

y

v~"

·® Cercano

® Cercano Miembro 2

Miembro 4

Miembro 5 FIG . 2 - Coordenadas Locales

4.- MATRlZ DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO DE ARMADURA 4.1 Matriz de Rigidez del Miembro en Coordenadas Locales [k] Un miembro de armadura sólo puede desplazarse a lo largo de su eje(x) ya que las cargas están aplicadas a !o. l~rgQ_ de este eje . Son posibles do desplazamientos independientes GDxj) y GDxk) .

.,.x (Compresión) /

(Tracció n)

_

1:$. EA ,Dxj

j' EAl/

y'-.!J. [JJ Dx i [

/EA .Dxj L

[,R] = =t

X:

/5xkl

EA

+

?_

EA (.Dxk) L

1

R}

. ...

(2)

=Vector de fuerzas elástica s en co ordenadas locales

{1

=Matriz de rigidez de miembro en coo rdenadas locales

{io}

= Vector de desplazamiento en coordenadas locales

Nota: - Que los valores de 1F x 1 y 1F x k son iguales en valor absoluto , pero son de sentido contrario . - Es suficiente encontrar iF Xk para conocer la fuerza en el miembro 1, además si este valor es (+) la barra estará en tracción y si es (-), compresión .

,_

/EA (.Dxk)

l ''f' l' 'ITJ /'

L

Donde: { _F}

[; -~J

Jt¡>- ,Fxj EA / /

! f"/[j] L-·f

I'

,Fxj

4.2.-Matriz de rigidez de un miembro en coordenadas globales[ 1K] Primeramente

desarrollan~mos

un método para transformar la fuerzas

{ ¡f } y desplazamiento~ t D }en coordenadas locales a coordenadas globales {1F} y {¡O}

1

Relación de coordenadas:

y

Por superposición:

alejado

donde:

.. ® /?? :+ (x,_,yJ

CD ·. ""'·_ . . _e -'-----'-----+ X

cercano

+

,Dyj sene

,Dxk = ,Dxk cose

+

,Dyk sene

exj}

(yk-y¡) ex= cos e=

,Dxj = ,Dxj cose

(x,-:x;) d

[~X

Dxk

Cy

o

o

Cx

:y]

(x,_ -X;)

(X; ,Y¡)

Cy= sen e= (yk-y;) d Los signos algebraicos en estas ecuaciones "generalizadas" tomarán en cuenta automáticamente a los miembros que estén orientados en otro cuadrantes.

{,o} [A ]T{ p}

,Dxj

Pti ,D r< 1Ü yK

...... (3)

J

[ A T = Matriz de transformación de desplazamientos.

Relación de desplazamientos:

Relación de Fuerzas .-

y

l

y

y

®

X

y

y ...

(Y / /e

X 4

Fx ¡

=

Fxk

= lXk cose

1

,Dyk

;/e

ITl

ITl X

/ ,Dxk

sen e.

¡

1

CD

pxk cose /.L-- -

Xk

®

pyj

CD

l

,Dyk s n(

1

1

Fx ¡ cose

1

Fyj

= Fx1 sene 1

,Fy¡ = lxksene

cose

o

sene

o

o

cose

o

sene

-F Xk

8 Fxk cose

[ A ]

= Matriz de transformación de fuerzas . es la transpuesta d

ra hallar la matriz [ K] cada elemento de [ ,K] se colocará en su misma d 1 nación de fila y columna en la matriz [ K] rigidez de la estructura. En partl ular cuando dos o más miembros están conectado al mismo nudo 11t ne algunos de los elementos de cada una de las matrices [ 1K] se n nar n a la misma posición en la matriz [ K] , cuando esto ocurre , los 1 1n nto asignados a la posición común deben sumarse entre sí algebraica

[ A

Combinaremos ahora los resultados de las secciones proced nt determinaremos la matriz de rigidez para un miembro que relacl nn 1 componentes globales de fuerza {,F} del miembro con sus despl a ami ni globales

{P}

Si: ...... (8)

{iF} [A] u=} {iF} [A]{ K} {io} {iF} [ A ]{ ,K }[ A {io} [,K] 1

111

nt .

Ln matriz de rigidez de la estructura tendrá un orden que será igual al número fl e digo más alto asignado a la estructura (grados de libertad total de la str uctura). . Importante luego ordenar si es necesario la matriz [ K] rigidez de la structura , primeramente los códigos que representa los grados de libertad no 1 strlng idos , al final los grados de libertad restringidos, para lo cual Implemente se cambian filas y columnas . Uná vez ordenada la[ K ]esto nos permitirá subdividir.

r

[ K]

=[

~~t~~l] }:

+

-\

n=#nod"

;

1

t- }

eo

p

L

, ,.

''

} 2n • 2n

'-..--' '-..--'

u r u • código gra do de libertad no restringidos. r = có digo grado de libertad restringidos.

...... (5) l,KI

= Matriz de rigidez global de

un miembro

Ecuación de equilibrio

Ordenando los grados de libertad apropiadamente [ K] matriz de rigidez de la armadura se puede plantearla ecuación de equilibrio .

Resolviendo:

[,K]

=~E

cx2

Cx.Cy

- ex?-

- Cx.Cy

Cx.Cy

cy2

- Cx.Cy

- Cy2

- Cx.Cy

ex?-

Cx.Cy

- cy2

Cx.Cy

cy2

- Cx

2

- Cx.Cy

5.-MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA \K) Una vez que todas las matrices de-rigidez de miembro se han expre coordenadas globales, resulta necesario ensamblarlas en el apropiado para poder encontrar la matriz [ ] de rigidez de la estru para la armadura entera . K Primeramente se designa a cada matriz ' r Kl cuatro números de en las filas y columnas, usando para ideflt1ficar los grados de llb globales .. 6

{ F} = [

K] { D}

Es decir:

{i::l} [-t;~t?:Ji] {i::l} =

{Fu}

=

[Kuu ]{o0 + [ Kur ]{ or}

{Fr}= [Kru]{ou}+[KrrJ{or} rd tur do rt.

...... (6) /

:.,.:w:v:·.·.·.·.·.·.........·.·.·.·.·.·.·..·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·•·.·•·..·•.·.·.·.·.·.·.·••·•.·.·.-•••..••·••....................................-•.~¡

{ ou}

= [KuuH {Fu}- [Kur]{or}) 1 ...... (7) ,

,. ................................................................................................................................................................................

ANALISIS DE ARMADURAS ESPACIALES

U onde :

F ~ { Uj

= Fuerzas

externas conocidas aplicadas a la armadura en lugar ( 1, 1111 restringidos).

r} = Fuerzas de reacciones desconocidas en los soportes. {Du} =- Desplazamientos desconocidos en los GL no restringidos. {Dr} = Desplazamientos conocidos en los GL restringidos generalmente igual a c

1.-

{F

' 11 :111cto tiene armaduras tridimensionales estas se pueden idealizar 1• 11 . pli adas a la estructura así como las reacciones y restricciones de los :q 1< 1yo - t rán definidos en tres direcciones (x, y, z).

1·

Finalmente se puede calcular las fuerzas en los miembros:

{ii=} {1R} {io} {iF} {1K} [ Ar {io}

{o}=

conocido por qu e ya determinó { ou}

1

F Xk

ALE [ 1 -1

Cy

o

o

Cx

:y ]

¡Üy j ¡ÜX k 10yk

[;K] =EA

L

:l.-

...... (10)

MATRIZ DE GLOBALES

-1

RIGIDEZ DE UN MIEMBRO EN COORDENADAS 6

® . ··

(+)tracción -----------

1F x k = ALE [ -Cx -Cy

- [1 -;]

•• •

Sóloesnecesarioconocerunvalorde 1Fx k = - 1Fxi

(-)compresión ~

2.- MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO EN COORDENADAS LOCALES

¡ÜX j

(1~xi l =

INTRODUCCION

Cx Cy]

1Dxk • ¡Ü y k

· ·"'

x·COORD. LOCALES

3

3/ :,_____ 2

Zk 1

En particular si el resultado calculado en esta ecuación es positivo el miembro está n tracción.

~-.._

_ ______

COSENOS DIRECTORES _,__~--~Y

_______.,....-.l lxk Xj

Yk 1 11 lJl llJ I AL EN EL ESPACIO

9

111· , 1 ;1cc i n

Tenemos matriz [A r definida :

[Ar =

donde :

d

=~

Cx=

[

ex

Cy

Cz

o

o

O

o

o

Cx

Cy

2

(Xk - Xj) + (Yk - Yj)2 + (Zk - Zj) (Xk - Xj) d

Cy

{ Fr} = [ Kru ] { Du } - [ Krr ] { Dr} .1 { 1 1 }

= O, d

plazamientos en los grados de libertad no restringidos generalme nte ce ro .:

1 11 1¡ 11111 nl pod mos halla r las fue rzas en los miembros :

2

1

=

(Yk - Yj) d

Cz =_JQ_d

{;F } = [ )< ][ A .. 2

r {;D }

11

x 2 · "2··:t2"ix 6""···sx--r . . . .

luego la matriz [ ;K]

ond

1F,k si (+) tracción ,

Txk (-) compresión

resolviendo esta ecuación tenemos :

CxCy

CxCz

CxCy

c y2

CyCz

CxCz

CyCz

Cz

2

-Cx2

-CxCy

-CxCy -CxCz

cx2

[ ;K]

=

2

-CxCy

-CxCz

-CxCy

-Cy2

-CyC z

-CxCz

-CyCz

-Cz

-CxCz

c x2

C xCy

CxCz

-Cy2

-CyCz

CxCy

cy2

CyC z

-CyCz

-Cz

2

CxCz

CyCz

-C x

Cz

2

2

IV.- MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA [Kuu]

[Kur] n

[ ;K]= [

[Kru]

[Krr]

]

=#

nu

3n x 3n

V.- ECUACIONES DE EQUILIBRIO .Podemos hallar los desplazamientos no restringidos : { Du }

10

=[ Kuu r' ( {Fu } - [ Kur] { Dr } )

11

lhtos de los nudos

METODO DE RIGIDECES ARMADURA C oordenadas y

(m )

(m)

(Tn)

(Tn)

o

4 4 4

5

o

-JO

1

5 10

o

11

,

i

10

8Tn

-

o

o o o o

o o o

5

Restri cciones y X

Fuerzas Aolicadas y X

X

Nudo

Calcul ar los desplazamientos, reacciones y füerzas axiales de la siguiente armadura Datos E = 2. 1E7 Tn/m' 2 Area: de diagonales = l 5cm'·2 Area de las demas barras = 25 cm" 2

-

. .

.

-8

o o o

X

X X X

-

1

1

..-~~~~~~~~~~-...,...,.-~~~~~~~~~~--,,

Datos de los Miembros !VI i mb ru

4 00 m

r

.J

1

1

2

2

K

2

E=

c.

J . (

1

'[ ," l

· 10

•OóllO I

1

~.'

- •I

J

r

iK e

)

~

cm'2

Cy) s {

J

o

J

25

L•

K• (

Af. [

~· [ ..'º' 12

.)

l~oto 1

-

-

10

V'

Elementos de la Armadura

!'

3¡

2

!

1 -0.625 0.625 1 - 0.62 5 0.625 1

0.78 1 0.78 1

5 5

.

o o

1 1

6.4 4

.

Cy

1

1

['-

-10500

O

10500

-10500

o

1'

1

r

f'.•"f

J

13

A•

11• '"'1 \I""

cm 11 2

25

2 IOE+07 Tnlnf 2

ElemMto 2

l .

K• (

C

· 1 1QJE.{)5

1.268E -04

· 1 121E.OS

5.652E-05

7 OOOE ·05

.\

103€~

6.207E-05

-t lOJE.-05

..J.062E·22

· 1 IOJE-05

· 2.:Z0 7E-05

1

6aE~

-1 103E--OS

1.SOJE-04

·2 OSOE-05

6. 15JE-05

7 800E-V5

· 1 121 E

O COOé1'00

-2.0SOE-05

7.025E--0:5

3.204E-06

O.úOOE""\Xl

5 052E-05

·1 103E-05

6 15JE--0:5

3 204E-06

8 .161E-05

i' .OOOE-05

7 OOCE

·2.207E--05

7 BOOE-05

Z. tii5E·21

7.800E-05

1 560E.O.

,

4

(Fu) =

·B

,,

q

10

o

;\)111

(llu )

J 10

11

VECTOR DE REACCIONES

12

10500

·!OSCO

·1 0500

10500

J

111) . ( Du )

( l 1)

10

r

0.0008 1

11

. 2399 74 12

( ~hj

l

13 125

· 1919,79

·191 75

·1 3125 2399 74

( 1)1)

J

MATRIZ DE RIGIDEZ TOTAL

K•

1

· 1 IOJE-05

'.

Al•[

J

11 IL·

1 IU 1l U'I

1111111 (}lj

C• . Cy) • (

10

10500

I •

1 Lee

1 121E-05

(!11

K

· 10500

11!

1 1 VJI 1}4

2 10E..-07 Tnlm' 2

J

ol

·10500

- 10500

I Oi•>r -05

1 tJnl O" ( I'

flr ·OS

'

1 'olJI 1Y1

10

10500

( 1 1111} • 1 • (~u}

( 1111 )

-1919.79

0'8

{ Fr

[---=-~-~:-] ! "" . .

DU4

o 00065

Ouó

· 13125

-O 00059

Ou6

000031

Otru

0.00039

Dut1

-;:>

6.3196

[

Or1 0

0'12

OuJ

.;i.00000

·5.0000] ;

¡~

=

Ou2

o0006 1 ·1 9 19.79

{ Du ) -2399 74

Oul

-0.00059

3.3607

l ./

8.3196

t

DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS AXIALES EN CADA ELEMENTO

l,F. / / I'

ü ü

u

' "() l f l '

JE I /11

o

2

-3EI / 1

-JEl /1 2 3t:J ji

l {"'}

,o,.

11 2 ll ~

"'

Ahora podemos incluir además de deformación por flexión la deformación carga axial y obtendremos.

v··

0-

e

í:.A/I

u

()

3EI // 1

o

,D,.

po r"

~·

o

- EA//

ü

()

o

-3EI fl'

3 E I /1 2

o o

o ()

3El // 1 -3EI // 2

-3El/1 1

()

()

()

- l"A/I

o

1~· 1111

o o

-3E l /1 1 3EI / 12

o o o

o

u

Desplazamiento Coordenadas l ocales

j

=:> Datos Previos:

L =.JX.:-X¡)"+(Yk-Yj)2

Cx = Cose= (X,-X;)

3¡_;;¡ / l

L1

Por Último si consideramos que la rótula se encuentra en el extremo lejano tendremos: ¡___

)J

EA/ /

o

o

ü

3EI ¡¡J 3E I /1 2

3E I / 12 3E I / /

o

V'c-

'--

-EA//

o o

o -3EI /1 3

o

o

-3E I /1 2

o

f_

-EA / /

o o

EA//

o o

Cy = Sene = (Y·-Yj)

-r:¡

¡--"

o -3EI /!' -3EJ // 2 ()

3EI /1 1

o

o

o o

"1

()

o

,.

2.2 MAlRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO EN COORDENADAS GLOBALES Matriz de Transformación de Desplazamiento

y

(

~ = Matriz de Transformación de Dezplazamientos Elemco19 l

J(X;.Y;) y

e

Desplazamiento Coordenadas Globales

,li",1

Cx

Cy

,D,;

-Cy

,Do;

o

o

o

o

1D.¡

Cx

o

o

o

,D,;

o

o

o

o

o

1:0.¡

,n .. ,n,..

o

o

o

Cx

Cy

o

o

o

o

---cy

Cx

o

,o..

o

o

o

o

o

,n.. ,n,. 1De.

{

{r~} }-

([

l[

{ 10,}

A

) [

O

O

)(

A

~

{ {

[o~

1

0¡ }}

Ll {rO.}

{1F} = [[A].T



~

r

~ ¡;¡ z -j

1l

f

~

~

i :;

! : "..

g ~Hh

!;

n8 ¡ '~ u ---,

•

~U~d

)>

e-¡;/;\

•

~lh~~

'TI

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r

o

OI

"'111..

~ Hq m ~ L__)

~ 'i' & s e J

~

~

r

~

~ i iii~

o

)>

\___)

;

n z m

"'

,.

<

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}

H

L §L

~

~

0

0

H·H· ~

§ •

)

~§o

~

o

q ~

o

)

~

e()

{03 ) "'

[

ºJ ["--1 [''40:

o

2 SOE- 05

Lf1

o "

~

1 49E-Orl

o o

-0,41

FUERZAS COORDENADAS LOCALES

( Fi } = { iK } X ( Di } ... { 1FE }

' {:

939&4 .9Q41

~4812

9~962• i

93964.9624,

318i78.2551

- 93Ql6.it 952¿

sn61 se 14.8

o o

0

5ii 404E-Ot

-250000

o o

{ F"2 } "'

[~~··

250000

-46992. 41,12

-9396.4 .96'2•

4 6992 .4812

-93984.9624

• 48:3é-06

9398-4.9624 1

57761 591 48

--9398•.962...

318178 258

-2 626E-Orl

r·~

['"]

'~]

['-~j

4267

so

-2 143 _75

·~750] en

.C2e7 .50

11433.33

~287 . 50

-2143.75

-C287 50

21 • 3 .75

-4287 .50

428 7 .:KJ

5718 .67

-4 287.50

11433.33

'"{:

-4

O.OC:Xll491

-'· • p11 :;iJ co n id eran deformaciones de flexión, axiales y de corte . : .1 1111 · .1 1:011 id eran las componentes horizontales de sismo. La no inclusión fi n l:i compo nente vertical se justifica por tratarse de una acción cualitati-

v.11111 111 · similar a las cargas vertica les habituales . Si bien es cierto que las l1 ·1;1d o11 verticales del sismo producen incrementos (o decrementos) en 11 1" • fl ·i:tos ti bid os a la gravedad , se trata de acciones de muy corta duración, po1 u 1 l;1:. q11 t odos los materiales muestran rigideces y resistencias mayores q1 1• lw . q11 ti enen para cargas de larga duración. . 11 •

'" " f11 (·1 /.n-P)•oJ

...... . ..... . • ... "'9 •

[

.. 1

)

[GJ,

í

...••

}

... ''''"'"

• .. 1' " ...... o

27

>

·I :') Mntriz de Rigidez Seudo- Tridimensiona Para un Edificio de varios Pisos .

1 1 procedimiento para un edificio de un solo nivel, puede aplicarse a una fl'.lr 11 c llir:l .de muchos pisos . Así, para el desplazamiento horizontal .del 11c 11 I 1.o "I" en el nivel "j" puede escribirse:

i" •

Uo~

1

COS

a~

+

VoJ

+

a~

sen

9Jr~J

~·

i?•

Donde: í

K 1 DXY {fe}

•••

...... .-

"'l':i.Q U. f'""•14

{Fe}

•

- •• • • ,,

H

t

.;

-

·•-

-•••-

1 1 ., ,•

1

.-

1 .. 1

.,.

•

1

•

••

··

,. 1. _ ,. _

111111q11cl11 11 111 11111

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111· d i ulo Seudo-Tridimensional puede resumirse en los

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grados de libertad , incluyendo además de los desplazami entos horizontales por cada nivel , un desplazamiento vertical y un giro en el plano del sistema por cada nudo . Con el procedimiento de "condensa ción estática" se exp resa esta matriz en términos que involucra a los grados de libertad lateral obteniéndose la matriz de rigidez lateral del sistema. En el caso de que se tenga núcleos rígidos dentro de la edificación se tendría que determinar las rigideces laterales en las dos direcciones , incluyendo además la rigidez a la torsión pura.

2) Se forma la matriz de rigidez Seudo-Tridimensional en base a las matrices de rigidez lateral y al ángulo "a¡" que forma la proyección del sistema plan o con el eje X global, con su respectiva distancia con respecto al centro de masa (ri) de las losas, partiendo del equilibrio estático en las tres direcciones. Este proceso es un caso particular de "condensación cinemática". T p ")" [KJ

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3) Una vez establecida la matriz de rigidez Seudo-Tridimensional [K], con tres grados de libertad por piso, las cargas sísmicas se igualan a las cargas restauradoras ( [Fe]=[fe] ). Resolviendo la siguiente ecuación: íFe]

f K]

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Podemos hallar el vector de desplazamientos globales {u} 0 , es decir. el vector de los desplazamientos de los diafragmas con tres grados de libertad pornivel.

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4) Una vez conocido el vector de desplazamientos globales se procede a encontrar el vector de desplazamiento lateral de cada piso : { u }; = [ G ]; { u };

: Para cada sistema plano.

5) Finalmente, multiplicando la matriz de rigidez lateral de cada sistema plano con su respectiva matriz de desplazamientos laterales, nos proporciona la fuerza distribuida que absorbe este marco : { f }; = [ KL ]; { u }; : Para cada sistema plano.

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