Sistematizacion de La Geometria Metrica Plana

 

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior  Universidad Nacional Experimental “Rafael María Baralt” Programa Ingeniería Proyecto Ingeniería en Gas Materia “geometría” Sección 05

Sistematización de la geometría métrica plana

Profesora “Daniela Alvarado” Estudiante “María Ferrer” C.I 30.815.910

Ciudad Ojeda Edo. Zulia Noviembre 2021

 

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Geometría plana

Es una rama de geometría dedicada al estudio de las figuras bidimensionales, es decir, aquellas que se grafican en un plano. La geometría plana analiza elementos como unidimensionales como la recta, la semirrecta y el segmento. De igual modo, forman parte de este campo de estudios los ángulos y los polígonos. Esta rama de geometría implica muchas veces la simplificación del mundo que nos rodea en un plano, de manera que no pueden estudiarse todas las características de los objetos. Por ejemplo, no se podría analizar todas las dimensiones de una caja, sino cada una de sus caras que son cuadriláteros. 

Incidencia

Geometría de incidencia es el estudio de estructuras de incidencia. Una estructura geométrica como la Plano euclidiano es un objeto complicado que involucra conceptos como longitud, ángulos, continuidad, intermediación e incidencia. Un estructura de incidencia es lo que se obtiene cuando se eliminan todos los demás conceptos y lo único que queda son los datos sobre qué puntos se encuentran en qué líneas. Incluso con esta severa limitación, se pueden probar teoremas y surgen hechos interesantes sobre esta estructura. Estos resultados fundamentales siguen siendo válidos cuando se agregan conceptos adicionales para formar una geometría más rica. Ejemplo de ejercicios de incidencia:

1. De Dete term rmin ina a si e ell pu punt nto o  P (−2,5 ) incide con la recta r ≡ 2 x + 3 y −11= 0 Solución

Sustituimos el punto P en la ecuación de la recta r  y  y verificamos si se cumple la igualdad r ≡ 2 x + 3 y −11= 0 2

(−2 ) + 3 ( 5 )−11=0

 

− 4 + 15 −11= 0 0

=0 2. Com Como o la igual igualdad dad se se cum cumple ple,, el punt punto o P incide con la recta r.

 

Orden

Este término se refiere (en geometría) a una coordenada cartesiana vertical empleada en esta especialización de las matemáticas, común en una representación gráfica en una función matemática, se representa en la letra Y, se le conoce también como línea ordenada, también al mismo eje de ordenadas. 

Medidas de segmentos y ángulos

Medidas de segmentos:

Desde la perspectiva de la geometría, una recta es producto de la unión de infinitos segmentos y puntos; el segmento, en cambio, sólo es una porción de recta unida por un par de puntos. Se dice que los segmentos son consecutivos cuando poseen un extremo en común. Si pertenecen a la misma recta se denominan segmentos colíneales, de lo contrario reciben el nombre de segmentos no colineales. Tipos de segmento Segmento nulo, aquel cuyos extremos coinciden. Segmentos consecutivos son los que tienen un extremo en común. Segmentos adyacentes son dos segmentos consecutivos que forman parte de la misma recta.  Asimismo tenemos que hacer referencia a lo que se conoce como mediatriz de un segmento. La misma se define por ser la recta que pasa por lo que es el punto medio de aquel y que además es perpendicular al mismo. Medidas de ángulos:

 

Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común. Tipos de ángulos Hay varios tipos según su tamaño, es decir, en función de los grados que tenga:  Ángulo agudo: Mide menos de 90° y más de 0 °.  Ángulo recto: Mide 90° y sus lados son siempre perpendiculares entre sí.  Ángulo obtuso: Mayor que 90° pero menor que 180°.  Ángulo llano: Mide 180°. Igual que si juntamos juntamos dos ángulos rectos.

El triángulo: caracterización y triangulo isósceles Los triángulos o trígonos son figuras geométricas planas, básicas, que poseen tres lados en contacto entre sí en puntos comunes denominados vértices. Su nombre proviene del hecho de que posee tres ángulos interiores o internos, formados por cada par de líneas en contacto en un mismo vértice. Estas figuras geométricas se nombran y clasifican de acuerdo a la forma de sus lados y al tipo de ángulo que construyen. Sin embargo, sus lados son siempre tres y la suma de todos sus ángulos siempre dará 180°. Propiedades del triángulo

La propiedad más obvia de los triángulos son sus tres lados, tres vértices y tres ángulos, que bien pueden ser semejantes o totalmente distintos entre sí. Los triángulos son los polígonos más simples que hay y carecen de diagonal, ya que con tres puntos no alineados cualesquiera es posible formar un triángulo. De hecho, cualquier otro polígono puede dividirse en un conjunto ordenado de triángulos, en lo que se conoce como triangulación, de modo que el estudio de los triángulos es fundamental para la geometría.  Además, los triángulos son siempre convexos, nunca cóncavos, ya que sus ángulos nunca pueden superar los 180° (o π radianes).

 

Elementos del triángulo

Los triángulos se componen de varios elementos, muchos de los cuales hemos ya mencionado: 

Vértices. Se trata de los puntos que definen un triángulo al unir dos de ellos con una línea recta. Así, si tenemos los puntos A, B y C, uniéndolos con las rectas AB, BC y CA nos dará como resultado un triángulo. Además, los vértices se hallan del lado opuesto de los ángulos interiores del polígono.

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Lados. Se llama así a cada una de las rectas que unen los vértices de un triángulo, delimitando la figura (el adentro del afuera).

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Ángulos. Cada dos lados de un triángulo forman en su vértice común algún tipo de ángulo, que se denomina ángulo interior, pues da hacia el adentro del polígono. Estos ángulos son, al igual que los lados y los vértices, siempre tres.

Triangulo isósceles

El triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados con la misma longitud.  Asimismo, los dos ángulos que están frente a los lados iguales iguales también miden lo mismo. Este tipo de polígono es un caso particular dentro de los tipos de triángulo según la longitud de sus lados. Elementos del triángulo isósceles

Los elementos del triángulo isósceles son los siguientes: 

Vértices: A, B, C.

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Lados: AB, BC, AC, cada uno de los cuales mide, a, b y c, respectivamente, siendo los dos lados iguales AB y BC. Entonces, a=b.

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Ángulos interiores: x, y, z. Los tres suman 180º. Cabe notar que si a=b, entonces z=y.

 

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Ángulos exteriores: u, v, w. Cada uno es suplementario al ángulo interior del mismo lado. Es decir, se cumple que: 180º= v+z=u+y= w+x.

Triangulo rectángulo

El triángulo rectángulo es una figura geométrica que se considera como un polígono formado por tres lados que forman un ángulo recto y dos ángulos agudos. Características del triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo se tienen 4 elementos que hacen referencia a sus lados y ángulos.  

Lados:

Catetos: En un triángulo rectángulo se tienen dos lados conocidos como catetos, los lados catetos son aquellos que forman un ángulo recto en el triángulo rectángulo. Dependiendo de la circunstancia se tiene un cateto opuesto y un cateto adyacente. Hipotenusa: Corresponde al lado de mayor medida y es el lado opuesto al ángulo recto.  

Ángulos:

 Ángulo recto: Ángulo con una medida de 90° que forma los catetos.  Ángulos agudos: Ángulos con una medida menor a 90°, la suma de los dos ángulos agudos es igual a 90°. Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es una norma que se cumple en el caso de un triángulo rectángulo, siendo la suma de cada uno de los catetos elevados al cuadrado igual a la hipotenusa elevada al cuadrado.

 

Debemos tomar en cuenta que esta ley solo se cumple para un tipo de triángulo muy particular, el triángulo rectángulo, que es aquel donde dos de los tres lados, que son los denominados catetos, forman un ángulo recto, es decir, que mide 90º. El teorema de Pitágoras lo observamos en la siguiente fórmula, donde AB y BC son los catetos y AC es la hipotenusa del triángulo.  AB 2 + BC 2= AC 2 Entonces, el teorema de Pitágoras nos permite calcular la longitud de uno de los lados del triángulo cuando conocemos los otros dos. Asimismo, sabiendo la longitud de todos los lados, podemos verificar sin un triángulo es rectángulo. Pueden tener distintas medidas, pero en todos los triángulos, en general (no solo en los rectángulos), los ángulos interiores siempre deben sumar 180º. Por ende, si uno mide 90º, la suma de los otros dos necesariamente debe ser 90º. Entonces, tomando en cuenta lo anterior, en un triángulo rectángulo uno de los ángulos es recto y los otros dos deben ser agudos (menores que 90º).  

Enunciados de criterios de congruencia

Los criterios de congruencia nos muestran la mínima información necesaria para afirmar que dos triángulos son congruentes. Nos permiten identificar, con la información disponible, si dos triángulos son o no congruentes entre sí. 

Primer criterio de congruencia: LLL

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.  AB  DE ≅

 AC   DF  ≅

BC   EF  ≅

⇒

∆ ABC  ∆≝¿ ≅

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Segundo criterio de congruencia: LAL

 

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales.  AB  DE ≅

BC   EF  ≅

¿ B b

 

Ej. En un triángulo sea a =8 cm yb =3 cm, determine la posible longitud del tercer lado c. Sabemos que: (a + b )> c → (8 + 3 )> c → 11> c (b + c )> a → (3 + c )> 8 → c > 5  (a + c )> b → (8 + c )> 3 → c >−5 Este último resultado lo ignoramos porque las longitudes deben ser siempre positivas, por lo tanto: 3 < c < 11

El tercer lado es mayor a 3 cm o menor que 11 cm.  

Rectas cortadas por una transversal

Una recta es secante respecto a otra cuando ambas comparten un punto en común. Es decir, dos rectas son secantes cuando se cruzan o intersecan. Las rectas secantes son, entonces, lo opuesto a las rectas paralelas, que son aquellas que no se cruzan en ningún punto. Debemos recordar que una recta en una secuencia infinita de puntos que va en una sola dirección, sin presentar curvas. Cabe mencionar además que un tipo de rectas secantes son las rectas perpendiculares, que son aquellas que al cruzarse forman cuatro ángulos iguales que son rectos (miden 90º). Otro tipo de rectas secantes son aquellas denominadas oblicuas, que forman ángulos iguales, dos a dos. Así, se forman dos ángulos agudos (menores que 90º) y dos ángulos oblicuos idénticos (mayores que 90º). Cada ángulo es similar a su ángulo opuesto del vértice.  

Polígonos y cálculos de área

 

El área o superficie de un polígono es igual al producto del perímetro por la apotema dividido por dos. El perímetro es la suma de todos los lados. Si el polígono regular tiene n lados y la longitud del lado es l, el perímetro será igual a:  P= n·l. Se puede escribir la fórmula del área como: S=

n·l·a 2

La apotema es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado. Si se divide el polígono regular en n triángulos isósceles, la apotema es la altura de uno de los triángulos. El ángulo α se calcula dividiendo el ángulo de 360º por el número de lados n.  Al trazar la altura de uno de estos triángulos, se obtienen dos triángulos triángulos rectángulos. La apotema se puede calcular con: l tg

 a 2

=

2

a

l ⇒

2

a= tg

() a

2

También se puede calcular el área de uno de estos triángulos isósceles y multiplicarla por el número de triángulos. 

Semejanza

Se dice que dos figuras son semejantes si se pueden hacer coincidir mediante una dilatación de las dimensiones de una de ellas, posiblemente con una rotación y/o una reflexión adicionales. Es decir, si tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales. De manera formal, dos polígonos son semejantes si y sólo si existe una correspondencia uno a uno entre los vértices de los polígonos de tal manera que los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes son iguales (congruentes).

 

La congruencia de polígonos es un caso particular de la semejanza, donde la constante de proporcionalidad es 1. (Como transformación geométrica, la semejanza es la composición de una homotecia positiva con un desplazamiento.) 

Enunciar criterios de semejanza

Debido a las propiedades de todo triángulo, las condiciones de semejanza impuestas pueden ser reducidas al estudio de los siguientes criterios de semejanza. Llamaremos criterio de semejanza de dos triángulos a un conjunto de condiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes. 

Primer Criterio:

Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales.    A = A '  B= B ' 

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Segundo Criterio:

Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales. a  b  c = = a '  b '  c '  

Tercer Criterio:

Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. B= B ' 

 

a  c = a '  c ?  

División de un segmento en una razón dada

El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas. La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuántas veces la una contiene a la otra. Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos. Consideramos como el proceso de “Dividir un segmento en una razón dada” aquel el cual consiste en determinar un punto ( P) el cual se encuentra dentro de un segmento dado, entre dos puntos ( P1) y (P2), de tal manera que el segmento (P1P) dividido entre el segmento ( PP2) da como resultado la razón.  P1 P r=  P P 2

 Ahora, para obtener las coordenadas de un punto 'P', que divida a un segmento en una razón dada, se utilizan las siguientes fórmulas:  x 1+ x 2 r  x =  y =

1

+r

 y 1 + y 2 r 1

+r

Ej. ¿Qué punto P  divide  divide al segmento de extremos  A (1, 1) y B (2, 2) en dos partes iguales? Dado que el punto P  divide  divide el segmento AB en dos partes iguales, podemos concluir que tenemos la siguiente relación para los segmentos  AP  y  y AB, los cuales se encuentran en relación de 2, es decir,

 

 AB =2  AP

Si el punto P  tiene  tiene coordenadas ( xp , yp ), entonces de la relación anterior se sigue que

( 1,1 )=( 2 −1,2−1 )= AB=2 AP =2 ( xp −1 , yp −1 ) De esto se tiene: 2 xp−1 =1

( )

 xp , yp )= Y concluimos que  P= ( xp

1  1 2

,



2

.

Circunferencia

La circunferencia es una figura geométrica plana y cerrada que se caracteriza porque todos los puntos que la conforman se encuentran a la misma distancia del centro. Dicha distancia permanente se denomina radio. Debemos distinguir la circunferencia del círculo, siendo este último el plano contenido dentro de la primera. Visto de otro modo, la circunferencia es el perímetro del círculo. Elementos de una circunferencia

Los elementos de una circunferencia son, guiándonos de la figura inferior, los siguientes: 

Centro (C): Es el punto que se encuentra a la misma distancia (es equidistante) de todos los puntos de la circunferencia.

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Radio (CD): Es el segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

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Diámetro (AB): Es el segmento que une dos puntos extremos de la circunferencia, pasando por el centro. Cabe notar que el diámetro el el doble del radio.

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Cuerda (AD): Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pero a diferencia del diámetro no pasa por el centro de la figura.

 

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 Arco: Es la curva que une los dos extremos de una cuerda, como la porción de la circunferencia de abajo que une los puntos A y D.

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 Ángulo central (α): Es el ángulo que se forma entre dos radios de la circunferencia.

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Semicircunferencia: Es la porción de la circunferencia delimitada por dos extremos del diámetro.  

Tangentes y cuerdas

Tangente

Para la trigonometría, la tangente de un ángulo es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo. Puede expresarse como valor numérico a partir de la división entre la longitud del cateto opuesto y el cateto adyacente del ángulo en cuestión. Por otro lado, el arco tangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. Cuerdas

Una cuerda, en geometría plana, es el segmento de recta que une a dos puntos de una curva. Se dice que la recta que contiene a dicho segmento es una recta secante a la curva. Con frecuencia se trata de una circunferencia, pero ciertamente se pueden trazar cuerdas en muchas otras curvas, como por ejemplo elipses y parábolas. En la circunferencia es particularmente interesante su diámetro, al cual se conoce también como cuerda mayor. Se trata de una cuerda que siempre contiene al centro de la circunferencia y mide el doble del radio.  

Angulo inscrito

El ángulo inscrito de una circunferencia es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus semirrectas son secantes o tangentes a la misma. Como consecuencia el ángulo inscrito siempre será convexo o plano.  

Angulo central

 

 Además del ángulo inscrito, en una circunferencia puede definirse el ángulo central, que es aquel cuyo vértice está en el centro de la circunferencia y cuyos lados cortan a la circunferencia. La medida en radianes de un ángulo central es el cociente entre el arco que subtiende, es decir el arco de circunferencia comprendido entre los lados del ángulo, y el radio de la circunferencia. Si la circunferencia es unitaria (de radio 1), entonces la longitud del arco en la misma unidad de radio es la medida del ángulo en radianes. Y cuando se requiere la medida del ángulo en grados, entonces se multiplica la medida en radianes por el factor 180º/π. Los instrumentos de medición de ángulos siempre usan un ángulo central y la longitud del arco subtendido por esta directamente calibrada en grados. Esto significa que siempre que se mide un ángulo, en el fondo lo que se mide es la longitud del arco subtendido por el ángulo central.  

Angulo semiinscrito

Es el ángulo que forman dos rectas que parten de un punto de la circunferencia siendo una de ellas tangente a la circunferencia y la otra secante. El lado de un ángulo inscrito que es secante a la circunferencia, puede o no pasar por el centro de la circunferencia. De los dos ángulos posibles se entiende que el ángulo semiinscrito es el menor de los dos. Si se une el punto donde el lado secante de un ángulo semiinscrito corta a la circunferencia y el vértice del ángulo con el centro de esta se obtiene un ángulo central. Ambos ángulos están relacionados, siendo el ángulo semiinscrito la mitad del central, o bien el ángulo central es el doble del semiinscrito. Es un caso particular de ángulo inscrito (el que tiene los dos lados secantes a la circunferencia y el vértice sobre ella).  

Arco capaz

 

La relación entre el ángulo inscrito y el ángulo central en una circunferencia permite obtener un lugar geométrico de gran importancia por sus numerosas aplicaciones en la geometría métrica; este lugar geométrico se denomina arco capaz. Los puntos de una circunferencia que son vértices de triángulos cuya base común es una cuerda de la circunferencia tienen la propiedad de tener asociado en ese vértice un mismo ángulo, que se corresponde con la mitad del ángulo central que abarca dicha base. Esta propiedad permite enunciar la definición del lugar geométrico denominado  Arco capaz sobre un segmento.

Circunferencia inscrita a un triangulo Es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos. Propiedades de la circunferencia inscrita en un triángulo El centro de la circunferencia inscrita en un triángulo se sitúa en la intersección de las bisectrices de los ángulos internos del triángulo. En cualquier triángulo es posible inscribir una circunferencia, pero sólo una.

 

Circulo de Apolonio

La circunferencia de Apolonio es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en el plano de tal manera que sus distancias a dos puntos fijos  A, B se mantienen  PA A / PB= k  (Si en una razón fija k , es decir,  P  (Si k =1 se trata de la mediatriz de AB. De

otra manera, la circunferencia de Apolonio se construye calculando los puntos M, N  sobre  sobre la recta AB que cumplen la condición y construyendo la circunferencia de

diámetro MN , la cual es la circunferencia de Apolonio.)  

Problema de trazado de circunferencia y rectas de modo detallado

Tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia

 

La recta tangente o también llamada recta exterior a una circunferencia de centro O que pasa por un punto T de la misma es la recta perpendicular al radio OT que pasa por el punto T.

Esto ha de ser así porque la perpendicular a una recta trazada desde un punto exterior a la misma indica la menor distancia posible desde dicho punto a la recta. Si el radio OT no fuese perpendicular a la tangente en T, la verdadera perpendicular a la tangente trazada por O cortaría a la tangente en un punto T', de manera que la distancia |OT'| sería inferior a la distancia |OT|. Como la distancia | OT| es el radio de la circunferencia, T' sería un punto del interior de la circunferencia, lo cual se contradice con que la recta sea tangente a la circunferencia. Tangentes comunes a dos circunferencias

Dos circunferencias C y C' poseen, en general, cuatro rectas tangentes comunes. Dichas tangentes, así como los respectivos puntos de tangencia, son simétricas dos a dos respecto de la recta CC' que une los centros de las circunferencias. Cada par de tangentes simétricas se cortan en un punto de la recta CC'. En función de la ubicación de este punto se distingue entre tangentes interiores (cuando el punto de corte está situado entre los dos centros C y C') y tangentes

 

exteriores (en el caso contrario) a las dos circunferencias.

Circunferencias que sean tangentes a dos rectas dadas y pasen por un punto dado.

Los centros de las circunferencias buscadas estarán sobre la bisectriz de las dos rectas dadas r y s. Deben pasar por P dado luego pasarán por Q, simétrico de P respecto de la bisectriz. Si son tangentes a r lo serán automáticamente a s por tener su centro sobre la bisectriz. El problema se reduce por tanto a calcular las circunferencias tangentes a r pasando por P y Q, ejercicio de la figura 18, siendo la bisectriz de r y s la mediatriz de P y Q.

 

Circunferencia tangente a otra dada que pase por dos puntos dados

Dados  A, B y C1. Se elige uno de los puntos como centro de inversión (A). Se elige una circunferencia de auto inversión de modo que la inversa de la circunferencia, C1, sea ella misma (C1=C1’). Hallamos el inverso del otro punto (B) que es B’. Trazamos tangentes desde B’ a la circunferencia C1’ dando T1’ y T2’. Hallamos las inversas de estas tangentes: En el caso de T1’ hallamos el inverso del punto F’, que será el punto F, las circunferencias inversas, T1 será la que pase por A y F y su centro sea el punto medio de AF. En el caso de T2’, tenemos que cortar a la circunferencia de auto inversión en D y E, que serán puntos dobles y, por tanto, pertenecientes a la circunferencia inversa, que también pasará por A, con lo que queda definida. Ya tenemos las dos soluciones T1 y T2.

 

Circunferencia tangente a dos dadas y a una recta

Dados C1, C2 y R. Cuando n tenemos ningún punto, se elige como centro de inversión el centro de una circunferencia, en este caso O (centro de C2). Seguimos trazando una circunferencia C3 cuyo radio es el de C1 menos el de C2 (que es r2). También tenemos que desplazar paralelamente la recta R una distancia igual al radio de C2, obteniendo R1. Ahora el problema ha cambiado a uno ya resuelto, que es hallar la circunferencia tangente a una dada (C3), a una recta (R1) y que pasa por un punto (O). Resolviéndolo, se obtiene la circunferencia T1 que cumple estas condiciones. Para obtener la circunferencia buscada, tan solo tenemos que trazar una concéntrica con T1 pero con un radio resultante de restarle “r2” al radio de T1. Así obtenemos la solución T.

 

Hallar los puntos desde los cuales dos circunferencias dadas se ven bajo el mismo ángulo

Los puntos O1 O2 respecto a M N forman una cuaterna armónica. El ángulo varía si movemos P dentro de la circunferencia verde pero será el mismo para las dos en cualquier posición.

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 Autor: Marta -Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química

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Sitio: economipedia Título: Circunferencia Fuente: https://economipedia.com/definiciones/circunferencia.html Fecha de consulta: 20/11/2021 Fecha: 09/11/ 2020  Autor: Guillermo Westreicher 

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Fuente: https://definicion.de/tangente/ Fecha de consulta: 20/11/2021 Fecha: 2010. Actualizado: 2021.  Autor: Julián Pérez Porto y Ana Gardey Sitio: lifeder.com Título: cuerdas Fuente: https://www.lifeder.com/cuerda-geometria/ Fecha de consulta: 20/11/2021 Fecha: 21/01/ 2020  Autor: Fanny Zapata

Sitio: lifeder  Título: Ángulo inscrito de una circunferencia Fuente: https://www.lifeder.com/angulo-inscrito-circunferencia/ Fecha de consulta: 20/11/2021 Fecha: 19/03/2020  Autor: Fanny Zapata

Sitio: trazoide Título: ángulo semiinscrito Fuente: https://trazoide.com/angulo-semiinscrito/ Fecha de consulta: 20/11/2021 Fecha: 22/09/2014  Autor: Vicente Giménez Peris

Sitio: piziadas

 

Título: Arco capaz sobre un segmento Fuente: https://piziadas.com/2012/03/geometria-metrica-arco-capaz-sobre-unsegmento.html Fecha de consulta: 20/11/2021 Fecha: 7/03/ 2012  Autor: piziadas Sitio: https://efrainydianis.es.tl/ Título: centros del triangulo Fuente: https://efrainydianis.es.tl/centros-del-triangulo.htm Fecha de consulta: 20/11/2021  Autor: efrainy dianis Sitio: matetam Título: Circunferencia de Apolonio Fuente: http://www.matetam.com/glosario/definicion/circunferencia-apolonio Fecha de consulta: 20/11/2021 Fecha: 28/03/2011  Autor: jmd

Sitio: wikillerato Título: Recta tangente a una circunferencia en un punto de la misma Fuente: http://www.wikillerato.org/Rectas_tangentes_a_una_circunferencia.html Fecha de consulta: 22/11/2021 Fecha: 15/07/2011 Sitio: scribd

 

Título: Rectas Tangentes a Dos Circunferencias Fuente: https://es.scribd.com/document/160473633/Rectas-Tangentes-a-DosCircunferencias Fecha de consulta: 22/11/2021  Autor: Jesus Antonio Ladera Trujillo Sitio: dibujotecni Título: CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA, PASANDO POR DOS PUNTOS DADOS EXTERIORES A LA RECTA Fuente: https://dibujotecni.com/geometria-plana/circunferencias-tangentes-arectas/ Fecha de consulta: 22/11/2021  Autor: dibujotecni

Sitio: blogsaverroes.juntadeandalucia.es Título: Circunferencia tangente a otra dada y que pasa por dos puntos Fuente: https://blogsaverroes.juntadeandalucia.es/iesbellavista/files/2017/03/10cTangencias-por-inversi%C3%B3n.pdf  Fecha de consulta: 23/11/2021 Fecha: 08/03/2017  Autor: IES BELLAVISTA

Sitio: trazoide Título: Dibujar y definir el lugar geométrico de los puntos del plano tales que ven dos circunferencias bajo un mismo ángulo Fuente: https://trazoide.com/foro/viewtopic.php?t=8537 Fecha de consulta: 23/11/2021

 

Fecha: 09/10/2013  Autor: luisfe