SistemasDesequilibrados

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E SISTEMAS DE POTÊNCIA

SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS

© Luiz Antônio Magnata da Fonte Março/2009

Sistemas Trifásicos Desequilibrados

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Sumário

1. Introdução ................................................................................. 3 2. Resolução pelas Técnicas de Circuitos................................ 4 2.1 Cargas em Estrela ............................................................................................ 4 2.2 Cargas em Triângulo.....................................................................................14

3. Componentes Simétricas...................................................... 16 3.1 Fundamentos ..................................................................................................16 3.2 Existência e Unicidade .................................................................................19 3.3 Potência Complexa........................................................................................21 3.4 Diagramas de Seqüência.............................................................................22 3.5 Metodologia de Cálculo de Curtos-Circuitos......................................28

4. Bibliografia ...............................................................................32

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1. INTRODUÇÃO Os componentes dos sistemas elétricos de potência são concebidos e fabricados de sorte que cada uma das suas fases apresente um comportamento simétrico e, assim, assegurem um funcionamento perfeitamente equilibrado quando são reunidos para constituir a rede elétrica. Os geradores, por exemplo, possuem os enrolamentos das fases distribuídos apropriadamente na periferia do mesmo, de maneira que as tensões geradas exibam uma forma de onda senoidal, magnitudes iguais e defasagem de 2π/ 3 radianos. Os desvios dessas condições idealizadas são, em geral, pequenos e motivados por aspectos construtivos de difícil controle. Em alguns casos não é possível garantir um equilíbrio perfeito entre as fases por conta da distribuição geométrica dos condutores nas estruturas, como ocorre com as linhas de transmissão. Em tais situações, lança-se mão de recursos como a transposição entre os condutores para que os mesmos possam ocupar sistematicamente as mesmas posições ao longo do trajeto da linha, o que compensaria as diferenças e proporcionaria parâmetros similares para as três fases. A despeito desses cuidados, a totalidade dos sistemas elétricos está sujeito a perturbações no equilíbrio, notadamente nos pontos de consumo de energia. As cargas residenciais de natureza monofásica é um exemplo típico de quão desbalanceado pode se tornar uma rede de distribuição, mesmo quando a concessionária de energia se empenha numa repartição eqüitativa. Também, defeitos podem incidir ao longo do sistema elétrico, particularmente os curtos-circuitos monofásicos, responsáveis pela introdução de fortes desequilíbrios na rede elétrica. Por tudo isso, o estudo de sistemas desequilibrados é uma tarefa rotineira do engenheiro de sistemas de potência, muito particularmente na área de proteção, onde os defeitos citados são analisados e medidas são planejadas para minimizar os efeitos dos mesmos.

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2. RESOLUÇÃO PELAS TÉCNICAS DE CIRCUITOS Todas as técnicas tradicionalmente desenvolvidas para a resolução de circuitos podem ser empregadas para o tratamento dos circuitos trifásicos desequilibrados, como foi feito para o caso dos circuitos equilibrados. A diferença fundamental é que, agora, em face das assimetrias, as três fases, e não apenas uma única como ocorreu para a condição equilibrada, deverão ser alvo de análise. Conforme mencionado na introdução, as cargas são as grandes responsáveis pelos desequilíbrios, de modo que, em geral, é satisfatório supor que as fontes e as linhas de transmissão são perfeitamente equilibradas.

2.1 Cargas em Estrela A Figura 1 retrata um sistema elétrico equilibrado representado pelo equivalente de Thévenin, uma fonte de tensão em série com uma impedância, no ponto de suprimento das cargas ligadas em estrela e desequilibradas: ) ) ) Za ≠ Zb ≠ Zc

(1)

) Os neutros das cargas e do sistema estão interligados através de uma impedância Z N , de

modo que a aplicação da 2ª Lei de Kirchhoff à malha NaAN’N proporciona: r ) ) r ) r VaN − Z eq + Z a I a − Z N I N = 0

(

)

FIGURA 1

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(2)

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5

Denominando:

) ) ) Z A = Z eq + Z a

(3)

e substituindo em (2) obtém-se:

r ) r ) r VaN = Z A I a + Z N I N r ) VaN r ⎛ Z N ⎞ r ) = I a + ⎜⎜ ) ⎟⎟ I N ZA ⎝ ZA ⎠

(4)

Repetindo esse mesmo tratamento às malhas NbBN’N e NcCN’N obtém-se: r ) VbN r ⎛ Z N ⎞ r ) = I b + ⎜⎜ ) ⎟⎟ I N ZB ⎝ ZB ⎠ r ) VcN r ⎛ Z N ⎞ r ) = I c + ⎜⎜ ) ⎟⎟ I N ZC ⎝ ZC ⎠

(5)

onde, outra vez: ) ) ) Z B = Z eq + Z b ) ) ) Z C = Z eq + Z c

(6)

Adicionando-se (4) a (5) resulta: r r r ) ) r r r ⎡⎛ Z N ⎞ ⎛ Z N VaN VbN VcN ) + ) + ) = I a + I b + I c + ⎢⎜⎜ ) ⎟⎟ + ⎜⎜ ) Z A Z B ZC ⎢⎣⎝ Z A ⎠ ⎝ Z B

(

)

) ⎞ ⎛ ZN ⎟+⎜ ) ⎟ ⎜Z ⎠ ⎝ C

⎞⎤ r ⎟⎥ I N ⎟ ⎠ ⎦⎥

(7)

A aplicação da 1ª Lei de Kirchhoff ao nó N’ fornece:

r r r r Ia + Ib + Ic = I N

(8)

Substituindo (8) em (7) e resolvendo para a corrente de neutro obtém-se:

r r r VaN VbN VcN ) + ) + ) r Z A Z B ZC IN = ) ) ) ⎛ ZN ⎞ ⎛ ZN ⎞ ⎛ ZN 1 + ⎜⎜ ) ⎟⎟ + ⎜⎜ ) ⎟⎟ + ⎜⎜ ) ⎝ Z A ⎠ ⎝ Z B ⎠ ⎝ ZC

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

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(9)

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) Levando o valor de I N dado por (9) às equações (4) e (5) tem-se as correntes de fase das

cargas:

(

)

(

)

(

)

r ) r 1 r I a = ) VaN − Z N I N ZA r ) r 1 r I b = ) VbN − Z N I N ZB r ) r 1 r I c = ) VcN − Z N I N ZC

(10)

A tensão entre os neutros das cargas e do sistema será obtida por:

r ) r VN 'N = Z N I N

(11)

) Utilizando o valor de I N , (9), em (11) resulta que:

r VN 'N =

r r r VaN VbN VcN ) + ) + ) Z A Z B ZC ⎛ 1 ⎜ ) ⎜Z ⎝ N

⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎟+⎜ ) ⎟+⎜ ) ⎟ ⎜Z ⎟ ⎜Z ⎠ ⎝ A⎠ ⎝ B

⎞ ⎛ 1 ⎟+⎜ ) ⎟ ⎜Z ⎠ ⎝ C

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(12)

As tensões de fase nas cargas serão expressas por: ) r ) r ) r Za r V AN ' = Z a I a = ) VaN − Z N I N ZA ) r ) r ) r Zb r V BN ' = Z b I b = ) VbN − Z N I N ZB ) r ) r ) r Zc r VCN ' = Z c I c = ) VcN − Z N I N ZC

(

)

(

)

(

)

(13)

A impedância de neutro pode, dependendo do tipo de carga e das características do sistema, assumir qualquer valor no intervalo [0, ∞] , sendo, entretanto, mais usual o emprego de um dos limites desse intervalo, ou seja, neutros desconectados entre si ou interligados em curtocircuito. O comportamento para essas duas situações extremas é apreciado a seguir.

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) a) Z N = 0

Esse caso é assinalado ou pela conexão direta dos neutros do sistema e das cargas, Figura 2a, situação conhecida como sistema com neutro isolado ou flutuante, Figura 2a, ou quando ambos os terminais de neutro estão aterrados de forma independente, Figura 2b, denominado de sistema com neutro solidamente aterrado.

a) Circuito com neutro flutuante

b) Circuito com neutro aterrado

FIGURA 2

Fazendo a impedância de neutro nula em (12) obtém-se para a tensão entre os neutros:

r VN 'N = 0

(14)

resultado evidentemente trivial. A corrente circulando na conexão entre os neutros será dada por (9) com a impedância de neutro feita nula: r r r r VaN VbN VcN IN = ) + ) + ) Z A Z B ZC

(15)

Finalmente, anulando a impedância de neutro nula nas expressões (10) e (13), as correntes de fase dos circuitos da Figura 2 serão dadas simplesmente por: r r VaN Ia = ) ZA

r r VbN , Ib = ) ZB

r r VcN e Ic = ) ZC

(16)

e as tensões de fase por:

) ) ) r r r ⎛ Za ⎞ r ⎛ Zb ⎞ r ⎛ Zc ⎞ r V AN ' = ⎜⎜ ) ⎟⎟VaN , VBN ' = ⎜⎜ ) ⎟⎟VbN e VCN ' = ⎜⎜ ) ⎟⎟VcN ⎝ ZA ⎠ ⎝ ZB ⎠ ⎝ ZC ⎠

(17)

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8

Considerando-se que o sistema pode ser representado por uma barra infinita, ou seja, que a impedância equivalente do mesmo á tão pequena que pode ser ignorada:

) Z eq = 0

(18)

então, as impedâncias definidas pelas equações (3) e (6) tornam-se: ) ) ) ) ) ) Z A = Za , Z B = Zb e ZC = Zc

(19)

Nessa hipótese, as tensões de fase nas cargas, dadas por (17), tornam-se exatamente iguais às tensões de fase do sistema, sendo, portanto, como essas, perfeitamente equilibradas:

r r r r r r . V AN ' = VaN , VBN ' = VbN e VCN ' = VcN

(20)

Nessas circunstâncias, as correntes de fase nas cargas, (16), serão: r r VaN Ia = ) Za

r r VbN , Ib = ) Zb

r r VcN e Ic = ) Zc

(21)

O desequilíbrio dessas correntes será ditado pelo desequilíbrio das impedâncias de carga, pois as tensões de fase encontram-se perfeitamente equilibradas conforme (20). O diagrama fasorial da Figura 3 ilustra um caso hipotético de cargas desequilibradas alimentada por um sistema do tipo barra infinita perfeitamente r r equilibrada, Va ,Vb e Vc . As correntes de fase, r r r I a , I b e I c , exibem magnitudes e ângulos de fase distintos entre si, proporcionando, portanto modo, uma corrente resultante, ∑ I . A corrente de neutro, r I N , será, conforme estabelece a equação (8), exatamente igual a essa resultante.

FIGURA 3

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) b) Z N = ∞

Nesse caso, a ligação elétrica entre os neutros do sistema e das cargas encontra-se interrompida, podendo ou não um dos neutros ser aterrado diretamente, como mostra a Figura 4. Por uma série de razões, o neutro do sistema é, em geral, aterrado, o que requer que as cargas apresentem um terminal de neutro completamente isolado da terra para satisfazer as exigências do caso em estudo.

FIGURA 4

A interrupção da trajetória de circulação da corrente de neutro impõe, naturalmente:

r IN = 0

(22)

O mesmo resultado é evidente da equação (9) quando a impedância de neutro é feita infinita. A tensão de neutro, por sua vez, torna-se, pela imposição dessa mesma condição à equação (12): r VN 'N

r r r VaN VbN VcN ) + ) + ) Z A ZB ZC = 1 1 1 ) + ) + ) Z A ZB ZC

(23)

As correntes de fase são obtidas pela substituição de (11) em (10):

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(

)

(

)

(

)

r r 1 r I a = ) VaN − V N ' N ZA r r 1 r I b = ) VbN − V N ' N ZB r r 1 r I c = ) VcN − V N ' N ZC

10

(24)

e pela utilização da expressão (17) para a tensão de neutro. Do mesmo modo as tensões de fase nas cargas tornar-se-ão de (13): ) r r Za r V AN ' = ) VaN − V N ' N ZA ) r r Zb r VBN ' = ) VbN − V N ' N ZB ) r r Zc r VCN ' = ) VcN − V N ' N ZC

(

)

(

)

(

)

(25)

Uma apreciação dos resultados apresentados acima indica, em primeiro lugar, que os neutros do sistema e das cargas não exibem o mesmo potencial, como no caso a analisado anteriormente, de modo que estarão afastados um do outro no diagrama fasorial. A tensão r entre os neutros, V N ' N , é a grandeza que estabelece a posição relativa entre tais terminais de neutro. Considerando-se que, em geral, o neutro do sistema encontra-se aterrado solidamente, o potencial do mesmo será tomado como referência e diz-se, então, que se verificou um deslocamento do neutro da carga. Esse deslocamento será tanto maior quanto mais intenso o desequilíbrio entre as impedâncias de carga. Uma das mais severas situações de desequilíbrio observadas com certa freqüência na operação de um sistema elétrico de potência, consiste na perda de uma das fases de suprimento de cargas trifásicas equilibradas. Tal perda poderá ser motivada pela abertura da fase em decorrência, por exemplo, de um curto-circuito nos terminais da mesma, de sorte que as impedâncias de carga, antes equilibrada: ) ) ) ) Z a = Z b = Z c = Z = Z ∠θ

(26)

modificar-se-ão para:

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) ) ) ) Zb = Zc = Z e Za = ∞

(27)

A Figura 5 ilustra a ocorrência descrita, onde a fase A de cargas conectadas em estrela foi seccionada por um defeito ou por outra razão qualquer, na ocasião em que era alimentada por um sistema do tipo barra infinita. Para essas condições hipotéticas tem-se que: ) ) ) ) ) ) ) Z A = Za = ∞ e Z B = ZC = Zb = Zc = Z

(28)

FIGURA 5

Substituindo (28) em (23) obtém-se para a tensão de neutro:

r VN 'N

r r VbN VcN ) + ) Z = 1 Vr + Vr = Z bN cN 1 1 2 )+ ) Z Z

(

)

(29)

Como o sistema é perfeitamente equilibrado, então:

r r r VaN + VbN + VcN = 0

∴

r r r - VaN = VbN + VcN

(30)

e a tensão de neutro torna-se: r 1 r V N ' N = − VaN 2

(31)

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De acordo com a equação (31), a tensão de neutro possui metade da magnitude da tensão de fase do sistema e aponta para a direção oposta, tal como mostra o diagrama fasorial da Figura 6a. O neutro das cargas, N’, desloca-se, portanto, do baricentro do triângulo eqüilátero formado pelas tensões de linha do sistema, onde está localizado o neutro deste, N, para o eixo r da tensão Vbc .

FIGURA 6

Aplicando, agora, as condições (28) e (31) para as tensões de fase nas cargas, equações (25), obtém-se: r r r 3 r V AN ' = VaN − V N ' N = VaN 2 r r r r 1 r V BN ' = VbN − V N ' N = VbN + VaN 2 r r r r 1 r VCN ' = VcN − V N ' N = VcN + VaN 2

(32)

As operações indicadas em (32) quando realizadas no diagrama da Figura 6a resulta no diagrama da Figura 6b para as tensões de fase nas cargas. As tensões de linha nas cargas permanecem imutáveis, pois estas são determinadas pelo sistema que, por ser do tipo barra infinita, impõe tais condições. Já as tensões de fase nas cargas são livres para adotarem as

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posições fasoriais mais adequadas em função do desequilíbrio observado nas impedâncias de carga. É exatamente esse comportamento que origina o deslocamento do neutro nas cargas. Finalmente, levando as condições (28), (31) e (32) para as correntes de fase expressas nas equações (24) deduz-se que: r Ia = 0 r r 1 r 1 r 1⎛r 1 r ⎞ I b = ) VbN − V N ' N = ) V BN ' = ) ⎜VbN + VaN ⎟ 2 Z Z Z⎝ ⎠ r r 1 r 1 r 1⎛r 1 r ⎞ I c = ) VcN − V N ' N = ) VCN ' = ) ⎜VcN + VaN ⎟ 2 Z Z Z⎝ ⎠

(

)

(

)

(33)

r r r r Como as tensões VBN ' e VCN ' estão em oposição, as correntes I b e I c também estarão em ) oposição, ambas defasadas das tensões respectivas do ângulo θ da impedância Z . Essa conclusão é evidente de um exame da Figura 5, pois com a abertura da fase A das cargas, exatamente a corrente que circula na fase B prossegue através da fase C. O diagrama fasorial da Figura 7 ilustra as tensões e correntes de fase nas cargas para tais condições operacionais, quando as cargas são consideradas indutivas.

FIGURA 7

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2.2 Cargas em Triângulo Na Figura 8, um sistema elétrico de potência equilibrado supre cargas conectadas em triângulo e desequilibradas: ) ) ) Za ≠ Zb ≠ Zc

(34)

O sistema está representado nessa figura pelo seu equivalente de Thévenin no ponto de atendimento das cargas, uma fonte de tensão em série com uma impedância.

FIGURA 8

Para tratar um circuito com essa configuração, o procedimento mais simples e usual consiste na conversão da ligação das cargas de triângulo para estrela sem ligação entre os neutros, o que recai no caso anteriormente abordado. A transformação Δ Æ Y para impedâncias desiguais é dada por: ) ) ) Z a Zb ZA = ) ) ) Za + Zb + Zc ) ) ) ZbZc ZB = ) ) ) Za + Zb + Zc ) ) ) ZcZa ZC = ) ) ) Za + Zb + Zc

(35)

de modo que o circuito equivalente para a análise será aquele retratado na Figura 9.

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FIGURA 9

A corrente que circula no circuito equivalente da Figura 9 corresponde exatamente a corrente de linha do circuito primitivo. Para se obter, a partir dessas grandezas, as correntes de fase nas cargas, basta aplicar a 1ª Lei de Kirchhoff aos nós A, B e C da Figura 8, o que proporcionará: r r r I a' = I a − I c r r r I b' = I b − I a r r r I c' = I c − I b

(36)

As tensões nas impedâncias de carga, por sua vez, serão determinadas pela aplicação da 2ª Lei de Kirchhoff aos terminais de cada uma dessas impedâncias, o que, de acordo com a Figura 8, resultará em: r ) r V AC = Z a I a r ) r V BA = Z b I b r ) r VCB = Z c I c

(37)

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3. COMPONENTES SIMÉTRICAS O tratamento dos circuitos elétricos desequilibrados utilizando diretamente as leis de Kirchhoff, como foi apresentado no tópico anterior, não apresenta grandes dificuldades quando o circuito exibe uma configuração relativamente simples. Todavia, quando o circuito sob análise cresce em complexidade, passando a envolver muitos elementos com diferentes tipos de ligações, tal como ocorre, por exemplo, num sistema elétrico de potência, a aplicação desse tratamento torna-se muito laborioso e certamente tedioso. Um procedimento que simplifica bastante o processo de análise foi apresentado em 1918 por C. L. Fortescue, técnica que é conhecida nos dias atuais sob a denominação de componentes simétricas.

3.1 Fundamentos A técnica das componentes simétricas fundamenta-se no teorema demonstrado por Fortescue segundo o qual um sistema desequilibrado de n fases pode ser substituído, desde que n seja um número primo, por n outros sistemas perfeitamente equilibrados, distintos entre si e dispondo cada um do mesmo número n de fases do sistema primitivo. O primeiro desses sistemas é constituído de n fasores iguais e os demais (n-1) sistemas é formado por n fasores igualmente espaçados entre si e exibindo a mesma magnitude. Quando o número de fases n do sistema primitivo não é primo, alguns dos n sistemas componentes tornam-se degenerados com um número de fases correspondente aos divisores de n. Um sistema trifásico de tensões ou de correntes atende justamente ao requisito de um número de fases primo, de modo que tal sistema, quando desequilibrado, poderá ser substituído de acordo com esse teorema por três outros sistemas perfeitamente equilibrados, assim discriminados: ƒ O primeiro sistema é formado por três fasores equilibrados com a mesma seqüência

do sistema primitivo, designados de componentes de seqüência positiva ou direta e caracterizados pela notação a1, b1 e c1 no subscrito das grandezas; ƒ O segundo sistema é constituído também por três fasores equilibrados, porém com

uma seqüência inversa do primitivo e, por isso, nomeados de componentes de seqüência negativa ou inversa, sendo assinalados pelo subscrito a2, b2 e c2; ƒ O último sistema, chamado de componentes de seqüência zero ou nula, contém três

fasores como outros, porém exatamente iguais e são indicados pelos subscritos a0, b0 e c0.

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Para ilustrar o teorema de Fortescue, considere o sistema trifásico desequilibrado de tensões mostrado na Figura 10 e formado pelos seguintes fasores: r Va = 120∠0 o r Vb = 380∠ − 90 o r Vc = 380∠90 o

(38)

Esse sistema pode ser decomposto nos três sistemas trifásicos

FIGURA 10

equilibrados mostrados graficamente na Figura 11 e matematicamente por: r ⎧ Va1 = 260∠0 o ⎪⎪ r Sequencia positiva ⎨ Vb1 = 260∠ − 120 o ⎪ r o ⎪⎩ Vc1 = 260∠120

Sequencia zero

Seqüência positiva

r ⎧ Va 2 = 180∠0 o ⎪⎪ r Sequencia negativa ⎨ Vb1 = 180∠120 o ⎪ r o ⎪⎩ Vc1 = 180∠ − 120 r ⎧ Va 0 = 40∠0 o ⎪⎪ r o ⎨ Vb 0 = 40∠0 ⎪ r o ⎪⎩ Vc 0 = 40∠0

Seqüência negativa

(39)

Seqüência zero

FIGURA 11

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18

De acordo com o Teorema de Fortescue, as tensões do sistema trifásico primitivo podem ser expressas como a soma fasorial das componentes de seqüência positiva, negativa e zero da fase respectiva, ou seja: r r r r Va = Va1 + Va 2 + Va 0 r r r r Vb = Vb1 + Vb 2 + Vb 0 r r r r Vc = Vc1 + Vc 2 + Vc 0

(40)

Substituindo os valores numéricos das diferentes componentes de seqüência, dados por (39), nas equações (40) obtém-se exatamente o sistema desequilibrado de tensões definidas pelas equações (38), pois: r Va = 260 + (− 180 ) + 40 = 120 = 120∠0 o r Vb = − 130 − j130 3 + 90 − j 90 3 + 40 = − j 380 = 380∠ − 90 o r Vc = − 130 + j130 3 + 90 + j 90 3 + 40 = j 380 = 380∠90 o

( (

) ( ) (

) )

(41)

A Figura 12 retrata justamente essas operações de soma fasorial das componentes de seqüência para a obtenção das tensões de cada uma das fases do sistema trifásico primitivo.

FIGURA 12

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3.2 Existência e Unicidade O teorema de Fortescue estabelece que as componentes de seqüência positiva e negativa de sistemas trifásicos desequilibrados constituem-se sistemas também trifásicos, porém equilibrados. Desse modo, genericamente, essas componentes podem ser expressas como: r Va1 = V1∠φ1 r Vb1 = V1∠(φ1 − 120 o ) r Vc1 = V1∠(φ1 + 120 o )

(42)

r Va 2 = V2 ∠φ 2 r Vb 2 = V2 ∠(φ 2 + 120 o ) r Vc 2 = V2 ∠(φ 2 − 120 o )

(43)

a = 1∠120 o

(44)

e:

Definindo-se um operador:

o qual, quando aplicado a um fasor, produzirá um avanço de 120º sem modificar a amplitude do mesmo, as tensões de seqüência das fases B e C poderão ser expressas como: r r r r Vb1 = a 2Va1 e Vc1 = aVa1 r r r r Vb 2 = aVa 2 e Vc 2 = a 2Va 2

(45)

Por sua vez, as componentes de seqüência zero, conforme determina o Teorema de Fortescue, são formadas por fasores idênticos, de maneira que:

r r r Va 0 = Vb 0 = Vc 0

(46)

r r r r Va = Va1 + Va 2 + Va 0 r r r r Vb = a 2Va1 + aVa 2 + Va 0 r r r r Vc = aVa1 + a 2Va 2 + Va 0

(47)

Substituindo (45) e (46) em (40) resulta:

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Na forma matricial (47) torna-se: r ⎡Va ⎤ ⎡1 ⎢r ⎥ ⎢ ⎢Vb ⎥ = ⎢1 ⎢r ⎥ ⎢ ⎢⎣Vc ⎥⎦ ⎣1

r 1 ⎤ ⎡Va 0 ⎤ ⎥⎢ r ⎥ a ⎥ ⎢Va1 ⎥ ⎢r ⎥ a ⎥⎦ ⎢Va 2 ⎥ ⎣ ⎦

1 a2 a

[ ]

[

r r Vabc = [A]Va 012

]

(48)

onde [A] é denominada de matriz de transformação de componentes simétricas: ⎡1 [A] = ⎢⎢1 ⎢1 ⎣

1 a a

2

1⎤ ⎥ a⎥ a 2 ⎥⎦

(49)

Como a matriz de transformação (49) não é singular, a mesma possui uma inversa e, consequentemente, o sistema de equações (48) apresenta uma única solução, dada por: r ⎡Va 0 ⎤ ⎡1 ⎢r ⎥ 1⎢ ⎢Va1 ⎥ = ⎢1 ⎢r ⎥ 3⎢ ⎣1 ⎢⎣Va 2 ⎥⎦

[

]

1 a a2

r 1 ⎤ ⎡Va ⎤ ⎥⎢ r ⎥ a 2 ⎥ ⎢Vb ⎥ ⎢r ⎥ a ⎥⎦ ⎢Vc ⎥ ⎣ ⎦

[ ]

r r −1 Va 0123 = [ A] Vabc

(50)

r r r Portanto, dado um sistema trifásico desequilibrado composto dos fasores Va ,Vb e Vc , existe r r r somente um único conjunto de fasores Va 0 ,Va1 e Va 2 que satisfaz às equações (50). Como as r r r r r r componentes simétricas para as demais fases, Vb 0 , Vb1 e Vb 2 , e Vc 0 ,Vc1 e Vc 2 , relacionam-se de uma forma unívoca com as componentes da fase A, conforme mostra as equações (45) e (46), as mesmas também serão únicas.

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3.3 Potência Complexa A potência complexa num sistema trifásico é obtida pela adição da potência de cada fase, de modo que:

rr rr ) r r S = Va I a* + Vb I b* + Vc I c*

(51)

Exprimindo (51) na forma matricial tem-se: r * r T r * ⎡I a ⎤ ⎡Va ⎤ ⎡ I a ⎤ r r r ⎢r ⎥ ⎢ r ⎥ ⎢r ⎥ ) S = Va Vb Vc ⎢ I b ⎥ = ⎢Vb ⎥ ⎢ I b ⎥ ⎢r ⎥ ⎢ r ⎥ ⎢r ⎥ ⎢⎣ I c ⎥⎦ ⎢⎣Vc ⎥⎦ ⎢⎣ I c ⎥⎦

[

]

(52)

De acordo com (48):

[Vr ] = [A][Vr ] [Ir ] = [A][Ir ] abc

a 012

∴

abc

a 012

∴

[Vr ] = [Vr ] [A] [Ir ] = [A] [Ir ] T

T

T

a 012

abc

*

*

*

(54)

a 012

abc

(53)

Substituindo (53) em (54) em (52) obtém-se:

[

]

[ ]

r ) r T * S = Va 012 [A] [ A] I a 012

(54)

Desde que:

[A]T

⎡1 ⎢ = ⎢1 ⎢1 ⎣

1⎤ ⎥ a⎥ a 2 ⎥⎦

1 a2 a

,

⎡1 [A]* = ⎢⎢1 ⎢1 ⎣

1 a a2

1⎤ ⎥ a2 ⎥ a ⎥⎦

Então (54) se torna: r T ⎡Va 0 ⎤ ⎡1 ) ⎢r ⎥ ⎢ S = ⎢Va1 ⎥ ⎢1 ⎢r ⎥ ⎢ 1 ⎣⎢Va 2 ⎦⎥ ⎣

1 a2 a

1 ⎤ ⎡1 ⎥⎢ a ⎥ ⎢1 a 2 ⎥⎦ ⎢⎣1

(

1 a a

2

r * r * ⎡I a0 ⎤ 1 ⎤ ⎡I a0 ⎤ r r r ⎢r ⎥ ⎥ ⎢r ⎥ a 2 ⎥ ⎢ I a1 ⎥ = 3 Va 0 Va1 Va 2 ⎢ I a1 ⎥ ⎢r ⎥ ⎢r ⎥ a ⎥⎦ ⎢ I a 2 ⎥ ⎢⎣ I a 2 ⎥⎦ ⎣ ⎦

[

r r r r r r ) S = 3 Va 0 I a*0 + Va1 I a*1 + Va 2 I a*2

)

]

(55)

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3.4 Diagramas de Seqüência

r r r Considere uma fonte trifásica de tensões Va ,Vb e Vc com impedâncias série ) ) ) ) Z a , Z b e Z c conectada em estrela com o neutro aterrado por uma impedância Z N , tal como

mostra a Figura 13a. De acordo com o teorema de Fortescue, essa fonte pode ser substituída r r r r r pela conjugação em série de três fontes por fase, sendo Va 0 ,Va1 e Va 2 para a fase A, Vb 0 , Vb1 e r r r r Vb 2 para a fase B e Vc 0 ,Vc1 e Vc 2 para a fase C, situação ilustrada na Figura 13b.

FIGURA 13

Supondo-se que o sistema é linear, o princípio da superposição permite que as componentes de cada seqüência da tensão sejam tratadas isoladamente, sendo os resultados fornecidos por cada seqüência adicionados para obter-se a solução final. Os circuitos, em que cada seqüência de tensão atuará, recebem a denominação de diagrama de seqüência positiva, negativa e zero respectivamente. Esses circuitos são, geralmente, formados por impedâncias diferentes, pois cada elemento de um circuito trifásico reage, em geral, de forma distinta quando submetido a tensões de seqüência também distinta. As impedâncias que formam cada um desses circuitos são designadas de impedâncias de seqüência positiva, negativa e zero respectivamente. r r r r r r Como as tensões de seqüência positiva, Va1 ,Vb1 e Vc1 , e negativa, Va 2 ,Vb 2 e Vc 2 , são trifásicas e equilibradas, o mesmo ocorrendo com as correntes de seqüência positiva e negativa, r r r r r r I a1 , I b1 e I c1 , e I a 2 , I b 2 e I c 2 , na trajetória de neutro não circulará qualquer corrente com essas seqüências. O circuito equivalente para as grandezas de seqüência positiva e negativa será, dessa maneira, idêntico aquele utilizado para a solução de circuitos equilibrados, não

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) incluindo, portanto, a impedância de neutro Z N . Os diagramas de seqüência positiva e

negativa para a fonte da Figura 13 terão, consequentemente, a forma apresentada na Figura 14 r r para a fase A, onde a componente de seqüência da tensão Va1 e Va 2 encontra-se em série com a ) ) impedância de seqüência respectiva da fonte, Z a1 e Z a 2 .

Seqüência positiva

Seqüência negativa FIGURA 14

r r r Por sua vez, as componentes de seqüência zero da tensão, Va 0 , Vb 0 e Vc 0 , possuem a mesma r r r intensidade e a mesma fase, de modo que as correntes produzidas pelas mesmas, I a 0 , I b 0 e I c 0 , estarão também em fase e exibirão a mesma magnitude:

r r r I a0 = I b0 = I c0

(56)

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Enquanto nos condutores de fase, cada uma dessas correntes circulará na impedância de ) ) ) seqüência zero da fonte, Z a 0 , Z b 0 e Z c 0 , já, na trajetória de neutro, as mesmas adicionam-se ) para percorrer a impedância de aterramento Z N :

r r r r r I N = I a 0 + I b 0 + I c 0 = 3I a 0

(57)

Portanto, na construção do diagrama de seqüência zero, a impedância respectiva da fonte, ) ) Z a 0 , deverá ser posta em série com o triplo de Z N , como assinala a Figura 15.

FIGURA 15

Para uma fonte trifásica equilibrada, as impedâncias de seqüência serão iguais para cada fase: ) ) ) ) ) ) Z a1 = Z b1 = Z c1 , Z a 2 = Z b 2 = Z c 2

) ) ) e Z a0 = Z b0 = Z c0

(58)

e apenas as componentes de seqüência positiva das tensões estarão presentes:

r r r r r r r r r Va1 = Vb1 = Vc1 , Va 2 = Vb 2 = Vc 2 = 0 e Va 0 = Vb 0 = Vc 0 = 0

(59)

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Considere o elemento trifásico da Figura 16, dispondo de ) ) ) impedâncias próprias dada por Z a , Z b e Z c , e com impedâncias mútuas entre as fases, ) ) ) ) ) ) Z ab , Z ba , Z ac , Z ca , Z bc e Z cb . A aplicação da 2ª Lei de Kirchhoff a cada uma das fases desse r r r elemento proporciona a seguinte relação matricial entre a tensão nos terminais, Vaa ' , Vbb ' e Vcc ' , r r r e as correntes percorrendo o mesmo, I a , I b e I c : ) r ⎡Vaa ' ⎤ ⎡ Z a ⎢r ⎥ ⎢ ) ⎢Vbb ' ⎥ = ⎢ Z ba ⎢r ⎥ ⎢ ) ⎢⎣Vcc ' ⎥⎦ ⎢⎣ Z ca

) Z ab )) Zb ) Z cb

) r Z ac ⎤ ⎡ I a ⎤ ) ⎥⎢ r ⎥ Z bc ⎥ ⎢ I b ⎥ ) ⎥⎢ r ⎥ Z c ⎥ ⎢⎣ I c ⎥⎦ ⎦

(60)

[ ] [ ][ ] r ) r Vabc = Z I abc

FIGURA 16

Substituindo-se as tensões e as correntes em (60) pelas suas componentes simétricas, equação (48), tem-se:

[A][V012 ] = [Z ][A][I 012 ] r

r

)

(61)

Multiplicando ambos os lados da equação (61) pela inversa da matriz de transformação obtém-se:

[A]−1 [A][V012 ] = [A]−1 [Z ][A][I 012 ] r

r

)

[Vr ] = [A] [Z) ][A][Ir ] −1

012

012

(62)

Realizando o produto matricial indicado em (62) tem-se:

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⎡1 ) 1⎢ Z [ A] = ⎢1 3 ⎢1 ⎣

[A]−1 [

]

1 a a

2

) 1 ⎤ ⎡Z a ⎥⎢ ) a 2 ⎥ ⎢ Z ba ) a ⎥⎦ ⎢⎣ Z ca

) Z ab ) Zb ) Z cb

) Z ac ⎤ ⎡1 ) ⎥⎢ Z bc ⎥ ⎢1 ) ⎥ Z c ⎦ ⎢⎣1

1 a2 a

) ) ) 1 ⎤ ⎡ Z 0 Z 01 Z 02 ⎤ ) ) ⎥ ⎥ ⎢ ) a ⎥ = ⎢ Z 10 Z 1 Z 12 ⎥ ) ) ) a 2 ⎥⎦ ⎢⎣ Z 20 Z 21 Z 2 ⎥⎦

(63)

onde os elementos da diagonal da matriz das impedâncias de seqüência são dados por: ) ) ) ) ) ) Z 0 = 1/ 3 (Z a + Z b + Z c ) + 2 / 3 ( Z ab + Z bc + Z ca ) ) ) ) ) ) ) ) Z 1 = 1/ 3 (Z a + Z b + Z c ) - 1/ 3 (Z ab + Z ca + Z bc ) ) ) ) ) ) ) ) Z 2 = 1/ 3 (Z a + Z b + Z c ) - 1/ 3 (Z ab + Z ca + Z bc )

(64)

e os elementos fora da diagonal: ) ) ) ( ) ) ) Z 01 = 1/ 3 (Z a + a 2 Z b +aZ c ) -1/ 3 (aZ ab + a 2 Z ca + Z bc ) ) ) ) ) ) ) ) Z 02 = 1/ 3 (Z a + aZ b + a 2 Z c ) - 1/ 3 ( a 2 Z ab +aZ ca + Z bc ) ) ) ) ) ) ) ) Z 10 = 1/ 3 (Z a + aZ b + a 2 Z c ) - 1/ 3 (a 2 Z ab + aZ ca + Z bc ) v ) ) ) ) ) ) Z 12 = 1/ 3 (Z a + a 2 Z b + aZ c ) + 2 / 3 (aZ ab + a 2 Z ca + Z bc ) ) ) ) ) ) ) ) Z 20 = 1/ 3 (Z a + a 2 Z b + aZ c ) - 1/ 3 (aZ ab + a 2 Z ca + Z bc ) ) ) ) ) ) ) Z 21 = 1/ 3 (Z a + aZ b + a 2 Z c ) + 2 / 3 (a 2 Z ab + aZ ca + Z bc )

(65)

Substituindo (63) em (62) resulta: r ) Z 02 ⎤ ⎡ I 0 ⎤ ) ⎥⎢ r ⎥ Z 12 ⎥ ⎢ I 1 ⎥ ) ⎥⎢ r ⎥ Z 2 ⎦ ⎣⎢ I 2 ⎦⎥

(66)

r ) r ) r ) r V0 = Z 0 I o + Z 01 I 1 + Z 02 I 2 r ) r ) r ) r V1 = Z 10 I o + Z 1 I 1 + Z 12 I 2 r ) r ) r ) r V2 = Z 20 I o + Z 21 I 1 + Z 2 I 2

(67)

r ) ) ⎡V0 ⎤ ⎡ Z 0 Z 01 ⎢r ⎥ ⎢ ) ) ⎢V1 ⎥ = ⎢ Z 10 Z 1 ) ⎢r ⎥ ⎢ ) Z Z V 20 21 2 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣

Resolvendo (66):

Um exame das expressões (65) mostra que, se o elemento for perfeitamente simétrico:

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) ) ) Za = Zb = Zc ) ) ) Z ab = Z bc = Z ca

(68)

r ) r V0 = Z 0 I o r ) r V1 = Z 1 I 1 r ) r V2 = Z 2 I 2

(69)

As equações (67) transformar-se-ão em:

Ora, os componentes dos sistemas elétricos são concebidos e construídos de modo a apresentarem fases com configurações idênticas, sendo uma a reprodução quase fiel da outra, de modo que as condições estipuladas por (68) serão sempre atendidas, ao mesmo de uma forma bastante aproximada. Tal é o caso das linhas de transmissão, onde o recurso da transposição é quase sempre utilizado para assegurar as condições definidas por (68). Nesse caso, esses componentes serão representados nos diagramas de seqüência como uma impedância para cada seqüência, definida pelas equações (64) e mostrada na Figura 17 para um das fases.

FIGURA 17

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3.5 Metodologia de Cálculo de Curtos-Circuitos Uma das aplicações mais notáveis das componentes simétricas é para o cálculo dos curtoscircuitos em sistemas de potência, eventos responsáveis pelos mais severos desequilíbrios na operação de um sistema. Tais estudos são geralmente conduzidos supondo-se que, antes da ocorrência do defeito, o sistema funcionava em condições perfeitamente equilibradas, o que permite utilizar um modelo bastante simples para os cálculos. A metodologia consiste em referir o sistema ao ponto de incidência da falha através do equivalente de Thévenin, o qual, sob condições operativas equilibradas, é representado pelos diagramas de seqüência indicados na Figura 18.

Seqüência positiva

Seqüência negativa

Seqüência zero

FIGURA 18

O equivalente de Thévenin de seqüência positiva de um sistema será sempre constituído por r uma fonte, cuja tensão é igual àquela vigente no local de interesse antes do evento, V f , em série com a impedância dessa seqüência vista do mesmo local quando todas as fontes são ) postas em curto-circuito, Z 1 . Já o equivalente de Thévenin para as seqüências negativa e zero ) ) será formado apenas pela impedância vista do local da análise, Z 2 e Z 0 respectivamente, pois sendo sistema considerado equilibrado, as tensões da fonte somente possuem componentes de seqüência positiva.

r r r Com a ocorrência de uma condição desequilibrada, as correntes de seqüência I a1 , I a 2 e I a 0 serão solicitadas do sistema, como está indicado nos circuitos da Figura 18. A aplicação da 2ª Lei de kirchhoff fornece para a tensão nos terminais desses circuitos:

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Sistemas Trifásicos Desequilibrados r r ) r Va1 = V f − Z1 I a1 r ) r Va 2 = − Z 2 I a 2 r ) r Va 0 = − Z 0 I a 0

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(70)

Na forma matricial, as equações (70) podem ser escritas como: r 0 ⎤ ⎡I a0 ⎤ ⎥⎢ r ⎥ 0 ⎥ ⎢ I a1 ⎥ ) ⎥⎢ r ⎥ Z 2 ⎦ ⎣⎢ I a 2 ⎦⎥

) v ⎡Vao ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ Z 0 0 ) ⎢v ⎥ ⎢r ⎥ ⎢ ⎢Va1 ⎥ = ⎢V f ⎥ − ⎢ 0 Z 1 ⎢Vv ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 ⎣ a2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

(71)

Para exemplificar o uso dessa metodologia, considere a incidência de um curto-circuito ) monofásico na fase A, que na sua forma mais geral interpõe uma impedância Z f entre o condutor dessa fase e a terra, situação ilustrada na Figura 19. Tal falha será caracterizada pelas seguintes condições: r Ib = 0 r Ic = 0 r ) r Va = Z f I a

(72)

FIGURA 19

As componentes simétricas dessas correntes conforme (48) será: r ⎡I a0 ⎤ ⎡1 ⎢r ⎥ 1 ⎢ ⎢ I a1 ⎥ = ⎢1 ⎢r ⎥ 3 ⎢ ⎣1 ⎢⎣ I a 2 ⎥⎦

1 a a2

r 1 ⎤ ⎡I a ⎤ ⎥⎢ ⎥ a 2 ⎥⎢ 0 ⎥ a ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

(73)

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cuja resolução proporciona: r r r ⎛1⎞r I a 0 = I a1 = I a 2 = ⎜ ⎟ I a ⎝3⎠

(74)

Substituindo (74) em (71) obtém-se: v ⎡Vao ⎤ ⎡0 ⎢v ⎥ ⎢r ⎢Va1 ⎥ = ⎢V f ⎢Vv ⎥ ⎢0 ⎣ a2 ⎦ ⎣

r 0 ⎤ ⎡ I a1 ⎤ ⎥⎢ r ⎥ 0 ⎥ ⎢ I a1 ⎥ ) ⎥⎢ r ⎥ Z 2 ⎦ ⎢⎣ I a1 ⎥⎦

) ⎤ ⎡Z 0 0 ) ⎥ ⎢ 0 Z − ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢0 0 ⎦ ⎣

(75)

Resolvendo (75) e somando-se as componentes simétricas da tensão resulta: r r r r r ) ) ) r Va = Va 0 + Va1 + Va 2 = V f − Z 1 + Z 2 + Z 0 I a1

(

)

(76)

Substituindo a tensão dada por (72) em (76) obtém-se finalmente: r r Vf I a1 = ) ) ) ) Z 1 + Z 2 + Z 0 + 3Z f

(

)

(77)

De acordo com a equação (74) as correntes de seqüência da fase A no ponto do defeito serão exatamente iguais entre si e, portanto, dadas por (77). Para a determinação das correntes de fase, bastará aplicar a matriz de transformação (49) às componentes de seqüência: r ⎡ I a ⎤ ⎡1 ⎢r ⎥ ⎢ ⎢ I b ⎥ = ⎢1 ⎢r ⎥ ⎢ ⎢⎣ I c ⎥⎦ ⎣1

1 a2 a

r 1 ⎤ ⎡ I a1 ⎤ ⎥⎢ r ⎥ a ⎥ ⎢ I a1 ⎥ ⎢r ⎥ a 2 ⎥⎦ ⎢ I a1 ⎥ ⎣ ⎦

(78)

. As tensões de seqüência no local da falha serão estabelecidas pela substituição de (77) em (75) e, para obtenção das tensões de fase, a matriz de transformação (49) deverá ser utilizada. Quando o curto-circuito for franco, as equações acima deverão ser modificadas com a ) eliminação dos termos contendo a impedância de falta Z f que, nessas circunstâncias, será nula.

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As equações (74) e (77) são exatamente aquelas que regem o circuito da Figura 20, obtido com a montagem em série dos diagramas de seqüência positiva, negativa e zero, e do triplo da impedância do defeito. Essa é, pois, a regra básica que deverá ser utilizada para o cálculo dos curtos-circuitos monofásicos num sistema de potência.

FIGURA 20

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4. BIBLIOGRAFIA

Method of symmetrical coordinates applied to the solution of polyphase networks, C. L. FORTESCUE, Transactions AIEE, vol. 37, pp. 1027-1140, 1918. Introdução a sistemas elétricos de potência: componentes simétricas, C. C. BARIONI DE OLIVEIRA, H. P. SCHMIDT, N. KAGAN, E. J. ROBBA, Editora Edgard Blücher Ltda., 2a edição, São Paulo, 2007.

Electrical Engineering Science, P. R. CLEMENT, W. C. JOHNSON, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1st Edition, New York, 1960. Power Systems Analysis, J. J. GRAINGER, W. D. STEVENSON, Jr., McGraw-Hill, Inc., New York, 1994.

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