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TRABAJO ENCARGADO N° 04 SISTEMAS VIBRATORIOS

La vibración es el movimiento oscilatorio de partículas y de cuerpos rígidos y elásticos, bajo la acción de fuerzas fluctuantes. Estas fuerzas fluctuantes pueden ser  inherentes a los sistemas, o pueden aplicarse exteriormente a dichos sistemas. Los problemas de vibración se presentan en muchos aspectos de la ingeniería, tales como la vibración de la maquinaria que opera a altas velocidades, aeroplanos y vehículos espaciales, edificios, torres, puentes, instrumentos dinámicos de medición, y vibración aislada, pata mencionar unos cuantos; en esta sección consideraremos solamente la vibración de una partícula con un solo grado de libertad. Primero definiremos algunos términos básicos relativos a la vibración usando un modelo vibratorio simple, consistente de una masa y un resorte, como se indica en la figura.

FIGURA

k x m

(a)

(b)

(c)

La masa se designa por “m” o por su peso “W”, y el resorte por “K” la figura 8 12b indica que el resorte se alarga al unirse al él el peso, siendo δ el alargamiento. Supongamos también que no hay movimiento en el caso b. en la parte c de la figura, la oscilación ascendente y descendente de la masa se indica mediante las flechas y las posiciones extremas se indican con líneas discontinuas. No nos importara saber 

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como comienza la oscilación; puede deberse a una fuerza perturbadora impulsiva o a un desplazamiento inicial.

Con este modelo sencillo definimos los términos siguientes: a) K, la constante de resorte, es la fuerza necesaria para alargar o comprimir el resorte una unidad de longitud(es decir, las unidades de k son lb/pulg, kg/cm, etc.) b) Posición de equilibrio(o posición neutra, o posición central) es la posición en la cual m esta bajo la acción de dos fuerzas iguales y opuestas, W y k δ, y se encuentra en equilibrio estático. c) Posiciones extremas son las posiciones más alejadas de la posición de equilibrio en donde las velocidades son cero. d) Amplitud es el valor numérico del máximo desplazamiento hacia cualquier lado de la posición de equilibrio. En la mayoría de los casos las dos amplitudes son iguales. e) Desplazamiento total es la suma de las dos amplitudes. f) Movimientos periódicos son movimiento que se repiten en intervalos de movimientos iguales. g) Periodo, es el tiempo que transcurre mientras el movimiento se repite. h) Ciclo es el movimiento ejecutado durante el periodo. i) Frecuencia es el número de ciclos completos de movimiento, en la unidad de tiempo.  j) Movimiento armónico es la forma más simple de periódico y se representa mediante una función seno o coseno. Todos los movimientos armónicos son periódicos, pero no todos los movimientos periódicos son armónicos. Usando los conceptos de los términos básicos anteriores, describiremos lo siguiente: 1. Frecuencia Angular . Como el movimiento armónico puede representarse por medio de la proyección, sobre un diámetro, de un vector giratorio, con forme se mueve alrededor de un circulo con una rapidez angular constante ω (fig.8-14), podemos deducir la relación existente entre el periodo t, la frecuencia f, y la rapidez angular constante ω, como sigue: ya que una función circular se repite cada 2π rad., un ci clo de movimiento se completa cuando:

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ω t=2π También, por definición

t = 1/f  fig.

 A

 A sen(wt) wt x

O

Por lo tanto, tenemos:

   

    

    

En donde las unidades son las más comúnmente usadas en los problemas de vibración como:

ω α f   A ω también se le llama frecuencia angular o frecuencia circular.

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2. Vibración Libre Y Vibración Forzada . En el caso del modelo vibratorio masa-resorte la fuerza del resorte es la que produce la vibración. Como esta fuerza es inherente al sistema, la vibración se llama vibración libre. Cuando hay una fuerza aplicada exteriormente sobre la masa o el soporte, la vibración se llama vibración forzada. La fig 8-15 muestra varios tipos de fuerzas aplacadas: (a) fuerza senoidal, (b) fuerza periódica, (c)fuerza no periódica (d)fuerza aleatoria. En esta sección nos ocuparemos solamente de la fuerza senoidal.

Figura 8-15

y

y

x

O

O

r 

(a)

r

r 

(b)

y

y

x O

O

(c)

(d)

3. Resorte Equivalente(Composición De Resortes) . Cuando dos resortes se conecten en paralelo o serie podemos substituirlo por un solo resorte equivalente. El procedimiento usado para obtener este resorte equivalente se llama composición de resortes. Para un sistema simple consistente de dos resortes conectados paralelos, tal como lo indicado en la fig. 8-16 podemos escribir.

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      ∑ 

Para n resortes se deduce que,

…………………(8-48)

k1

k2

Para un sistema simple consistente de dios resortes conectados en serie, tal como el indicado en la fig. 8-17, tenemos

 

      



Y para n resortes conectados en serie:

        ∑     

………..(8-49)

k1

k2

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4. Fuerza amortiguadora. A menudo un sistema vibratorio se sujeta a una fuerza amortiguadora, que puede deberse a un dispositivo amortiguador en el sistema o a las fuerzas de fricción que existen en todos los sistemas físicos, o a ambas causas. Algunas veces la fuerza de fricción puede ser despreciable, en comparación con otras fuerzas que actúan en el sistema, en cuyo caso, el sistema puede considerarse amortiguado. Un tipo muy común de amortiguamiento que desarrolla una fuerza que es proporcional y de sentido contrario a la velocidad se llama amortiguamiento viscoso. Para una velocidad v, la fuerza de amortiguamiento es  –cv, en donde la constante de proporcionalidad c se llama coeficiente de amortiguamiento viscoso. 5. Grado de libertad. El número de coordenadas independientes necesarias para especificar el movimiento de un sistema es el grado de libertad del sistema si una partícula se esta en movimiento en una dirección, se dice que tiene un grado de libertad. En esta sección consideremos la vibración de una partícula con un grado de libertad.  Ahora ya estamos separados para tratar los problemas de vibración. Ecuación General De Movimiento Para Una Partícula Vibratoria Con Un Grado De Libertad . Consideremos una partícula oscilante de masa m que esta sujeta a la acción de una fuerza de resorte, una fuerza amortiguadora y una fuerza aplicada exteriormente. Consideremos que esta partícula tiene un grado de libertad y que el movimiento vibratorio se efectúa a lo largo del eje x, como se indica en la fig. 8-18(b) nos muestra el diagrama de cuerpo libre. La ecuación de movimiento es:

̈             ̇    

En donde

, Si el resorte es lineal, el amortiguamiento es viscoso y la fuerza aplicada exteriormente es armónica. Po lo tanto

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x

F (t)

m

(a)

x Fs Fd

F (t)

m

(b)

̈  ̇            

…………(8-50)

Sean:

Entonces la ecuación de movimiento es:

̈  ̇    SISTEMAS VIBRATORIOS

………….(8-51)

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En esta sección consideraremos cuatro casos de vibración de una partícula con un grado de libertad, regida por la ecuación general de movimiento de la ecuación anterior. Caso 1. Vibración libre no amortiguada. En este caso, tanto la fuerza amortiguadora como las fuerzas aplicadas exteriormente son cero, es decir 

̇    ̈             ̇   ̇     ̇     ̇   

Y la ecuación de movimiento se convierte en

…………(8-52)

La solución de esta ecuación diferencial lineal y homogénea, es

En donde son las constantes de integración que se determina a partir de las condiciones iniciales para t = 0, entonces

Esta solución puede escribirse como :

En donde

    ̇    ̇            

…………(8-53)

,ó

  ̇

En la ecuación anterior A es la amplitud y δ es el ángulo de fase. Como solamente hay una partícula en movimiento y no hay amortiguación ni fuerza aplicada exteriormente, en el angulo de fase δ puede escogerse arbitrariamente. Esto significa

que el tiempo t = 0 puede escogerse que δ = 0. Aquí t = 0 sucede cuando

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 ̇ 

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es decir las condiciones iniciales son:

 ̇  



Por consiguiente

El periodo de este movimiento es,

   

……..(8-54)

Y la frecuencia es,

        

……..(8-55)

Esta es la frecuencia natural del sistema. El sistema y su movimiento se indican en la fig. x k m

 A

A r  r 

(t)

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PROBLEMAS PROBLEMA 21-27. Un bloque que pesa 50N está suspendido en un plano vertical por tres resortes, según se indica en la figura. Si se desplaza 175 mm hacia arriba a partir de su posición de equilibrio y se suelta con una velocidad hacia arriba de 3.75 m/s cuando t= 0, determinar:

a. b. c. d.

La ecuación diferencial que rige el movimiento. El periodo y la amplitud de la vibración resultante. La posición del bloque en función del tiempo. El menor tiempo t 1 de paso del bloque por su posición de equilibrio.



SOLUCION: Datos: y= 175 mm= 0.175 m

̇  

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FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL ESCUELA ACADEMIC PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL m= DCL



50 N

a

    m      5      7      1  .      0

mg 

Calculando K equivalente :

                 

a. Calculando la ecuación diferencial del movimiento :

[∑   ̈] ̈   ⁄    (      ̈  ) ̈ ̈         ⁄    K

b. Calculo del periodo y la amplitud: T=

T= 0.366 S

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

V= A= A=

√       

A= 0.28 m

c. Calculo de la posición del bloque en función del tiempo: Sea la solución de la ecuación diferencial del movimiento:

       ̇        ̇      ̇                             ………………………………. ………………………..



En

para Y= 0.175 t= 0

0.175 =

En : para = 3.75 t=0

3.75=

Por lo tanto la ecuación es:

d.

Calculo del tiempo: De la ecuación por partir del punto de equilibrio

               Y=

0.175 = 0.28

t= 0.04 s.

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PROBLEMA 21-28. Una masa de 4 kg está suspendida en un plano vertical, según la figura. Los resorte están sometidos a tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y están exentas de rozamiento. Si se lleva la masa a 15 mm por encima de su posición de equilibrio y se le suelta con una velocidad de 750 mm/s hacia abajo cuando t= 0, determinar: a. La ecuación diferencial que rige el movimiento. b. El periodo y la amplitud de la vibración resultante. c. La posición de la masa en función del tiempo. d. El menor tiempo correspondiente a velocidad nula de la masa.

 

F1

F1

m mg

a F2

Solución: Datos: x= 15 mm= 0.015 m

̇       m= 4



Calculando K equivalente :

                  

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                      ̈    [∑    ̈]     ()    ̈   ( )   ̈ ̈           √        =

=

+2

+2

a. Calculando la ecuación diferencial del movimiento:

2(

b. Calculo del periodo y la amplitud: T=

T= 0.89 S



V=

A= 0.1 m

A= A=

c. Calculo de la posición del bloque en función del tiempo: Sea la solución de la ecuación diferencial del movimiento:

   ̇             ̇        ̇                                    ………………………………. ………………………..



En

para x= 0.015 t= 0

0.015 =

En : para = 0.75 t=0

0.75=

Por lo tanto la ecuación es:

d.

Calculo del tiempo: De la ecuación por partir del punto de equilibrio Y=

   

0.015 = 0.1

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  

t= 0.088 s.

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PROBLEMA 21-41. Una rueda escalonada que pesa 90N rueda sin deslizamiento por un plano horizontal, según se indica en la figura. Los dos resortes están unidos a hilos arrollados de manera segura sobre el cubo central de 30cm de diámetro. Si el radio de giro del cilindro escalonado vale 225mm,escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición XG(t) del centro de masa del cilindro determinar la f recuencia y el periodo del movimiento vibratorio resultante.

SOLUCION: Haciendo DCL:

Datos:

K1

r1 K2

r2

                

               ;

(

→

= 1.2915

̈ ̈

∑MC =

K1(3ѳ) SISTEMAS VIBRATORIOS

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30 K2ѳ

 ̈   ̈   ̈   √       

Reemplazando y resolviedo tenemos:

ѳ

15

→ → →

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PROBLEMA 21-50. Un peso de 6kg pende del cilindro del problema 21-40 según se indica en la figura P21-50 , mediante un pasador exento de rozamiento que pasa por su centro. Escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición yg(t) del centro de masa del cilindro y determinar  la frecuencia y el periodo del movimiento vibratorio resultante.

SOLUCION :

Haciendo las ecuac. De

equilibrio: Haciendo DCL :

∑Fy = 0 ; mTg - T -kδeq = 0………..1 ∑Mo = 0 ; Tr = kδeq → kδeq = T……..2 O B

C

Reemplazando 2 en 1: mg - T -kδeq = 0 4k

mg - kδeq - kδeq = 0

→

mg = 2 δeq

6kg

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grafica para el equilibrio:

B

De la figura:

O

yeq/r = δeq/2r → δeq = 2yeq……..3

δeq yeq

ѳ

C

’

O

B

’

grafica cuando existe oscilación: usando la ecuación de movimiento: ѳeq

δeq yeq

̈

mg -T – k (δeq + δA ) = m ………….α luego:

y

ѳ

̈

∑Fy = m

δA

̈ ̈   

∑Mo = I α = I = I /r

reemplazando y resolviendo en α: Tr – kr(δeq + δA ) =

……………β

Multiplicando r a α y resolviendo con β

̈

Tr - kr(δeq + δA ) = 2r

̈

mgr - Tr - kr(δeq + δA) = mr

̈ ̈ ̈   

mg – 2kr δeq – 2kr δA = 10r + 2r sabemos que

̈

δA = 2y →

reemplazando:

Reemplazando k en la ecuación:

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̈

               →

→

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PROBLEMA 21-31. El bloque de 50 N de peso de la figura 21-31 se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamiento mientras que el bloque de 25 N se mueve en un plano vertical. Los resortes están sometidos a tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y exentas de rozamiento. Escribir la ecuación diferencial del movimiento para la ecuación x (t) del bloque de 50 N y determinar la frecuencia y el periodo de movimiento vibratorio resultante.



       ̈  ̈     ̈               2 2



   T= 2*3.1416/15.65 T=0.40

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PROBLEMA 21-39.

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