SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN

SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN Un sistema de primer orden es aquel cuya salida y (t) es modelada mediante una ecuación diferencial de primer orden. Así en el caso de un sistema lineal o linealizado, se tiene:

a1

dy dt 

+

a  y = bf  ( t ) 

Donde f(t) es la entrada (función forzada). Si es diferente de cero 1.1 se escribirá

a1 dy a dt 

+

 y =



b a

 f  ( t )



Definiendo: a1 a

= τ   p

 y



b a

=

K  p



Entonces la ecuación toma la forma

τ   p

dy dt 

+

 y =  K  p  f  ( t )

τ   p

es conocida como constante de tiempo y K p es conocida como ganancia de estado estable o ganancia del proceso.  y ( 0 ) = 0  y

f  ( 0 ) = 0

 A partir de las ecuaciones (1.2), se encuentra rápidamente que la función de transferencia de un proceso de primer orden esta dado por:

G ( s ) =

 y ( s )  f  ( s )

=

 K  p  s + 1

τ   p

Un proceso de primer orden con una función de transferencia dada por la ecuación (1.3) es también conocido como Sistema de primer orden, retardo de primer orden ó retardo lineal.

Si ocurre que

la ecuación (1.1) toma la forma: a =entonces 0, 

dy

b

=

dt 

 f  ( t ) =  K  p'  f  ( t )

a1

en este caso la función de transferencia es G ( s ) =

 y ( s )  f  ( s )

=

 K p' s

2. MODELAMIENTO DE PROCESOS COMO SISTEMAS DE PRIMER ORDEN. •

Tiene capacidad para almacenar materia o energía.

•

Presentan una resistencia asociada con el paso del flujo de masa ó energía.

2.1 Sistema con capacidad de almacenar almacenar masa : Se asume que la masa de flujo de Fo es lineal a la presión hidrostática del nivel del liquido h, a través de la resistencia R:

 F 0

=

h  R

=

 fuerza que acciona el   flujo resistencia al   flujo

Figura 1.1 Sistema con capacidad de almacenar masa. En algún momento el tanque habrá almacenado masa y el balance total de masa será: acomodando la ecuación  AR

 A

dh dt 

dh dt 

+

=

h =  RF i

 F i − F  

=

 F i −

h  R

Donde A es la sección del área del tanque. En el estado estable se tiene que: h s

=

RF i , s Valor para tomar como referencia en la variable de desviación,

Usando la ecuación (1.6) y las variables de desviación se tendrán: dh '

 AR

dt 

+

h'

=

 RF i '

Donde h'

=

h − hs  y  F i '

=

 F i − F i , s .

Haciendo: τ   p =

 K  p

AR = Constante de tiempo del proceso =

R = Ganancia de estado estable del proceso.

Entonces a partir de la ecuación (1.7), la función de transferencia del sistema es '  K  p h ( s ) G ( t ) = = ' τ   p s + 1  F  i 2.2 Sistema con capacidad de almacenar energía. Sea un tanque cuyo liquido es calentado mediante vapor saturado, vapor que fluye a través de una bobina inmersa en el tanque, como se representa en la figura 2.1

El estudio de la estructura de un crecimiento en S se basa en considerar que durante un tiempo el comportamiento es similar al de un sistema de realimentacion positiva, pasando despues a un segundo periodo que es analogo a un sistema de realimentación negativa, es decir que el cambio en el dominio de la curva produce el crecimiento en S; como se muestra en la figura 1.26 , donde un diagrama causal esta formado por un bucle 1 de realimentacion positiva y un bucle 2 de realimentacion negativa.

Un gran incremento en la curva positiva conduce a una curva negativa, la curva negativa no aparece espontáneamente, al contrario se encuentra presente en todo el momento, pero su efecto depende de la influencia de una variable en la curva positiva. Cuando la curva positiva empieza a aumentar a todas las variables envueltas en el ciclo, la curva negativa también aumenta hasta que el dominio cambia y se forma la curva negativa Sistemas de primer orden sin oscilaciones * Procesos termicos: Se deno denomi mina nan n proc proces esos os térm térmic icos os a aqué aquéllllos os en los los que que el sist sistem ema a que que evol evoluc ucio iona na sufretransformaciones térmicas de interés (varía su temperatura y10 intercambia calor) TANQUE CON AGITACIÓN CONTINUA. Este reactor consiste en un tanque donde hay un flujo cont contin inuo uo de mate materi rial al reac reacci cion onant ante e y desd desde e el cual cual sale sale cont contin inua uame ment nte e el mate materi rial al que que ha reaccionado. La agitación del contenido es esencial, debido a que el flujo interior debe estar en constante circulación y así producir una mezcla uniforme. PROCESO TERMICO NO ADIABATICO: cuando el sistema interacciona, térmicamente con los alrededores, el calor fluye a través de las paredes diatérmicas que los constituyen y se procude un cambio tanto en los alrededores como en el sistema mismo. Durante los procesos térmicos no adiabáticos un sistema absorbe o sece calor. La cantidad de calor intercambio en estos depende de la sustancia y del proceso de que se trate Sistemas dinámicos de primer orden Este tipo de sistemas dinámico posee un único nivel en su estructura y además pueden estar  formados por bucles de realimentación positiva o por bucles de realimentación negativa. Sistemas de primer orden con realimentación positiva

relaciona a fenómenos de crecimiento, crecimiento, con comportamiento explosivo, explosivo, el caso de un crecimiento desmedido en la población, es un ejemplo de un sistema de primer orden. Sistemas de primer orden con realimentación negativa. Estos sistemas se caracterizan por tener un comportamiento determinado por un objetivo. Los sistem sistemas as de realim realiment entació ación n negati negativa va tambié también n son llamado llamadoss sistem sistemas as autorr autorregu egulad ladore oress y

homeos homeostát tático icos. s. En su compor comportam tamien iento to esta esta implíc implícito ito la definic definición ión de un objeti objetivo, vo, el cual se determina externamente, por lo tanto, es una variable exógena. El nivel es el objeto de control que representa la acumulación de todas las acciones pasadas, además este solo puede ser variado por  medio del flujo.