Sistemas de Primer-Segundo Orden
July 26, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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ELECTRÓNICA Y SISTEMAS DE CONTROL CONTROL
Carrera: Ingeniería Mecánica Departamento: Mecánica ecnologías as Básicas Bloque: Tecnologí Área: Electrónica y sistemas de Control
Facult Fac ultad ad Re Regio gional nal Sa Santa nta F Fee - UTN
Modelado en el dominio del tiempo Dos
métodos
para
el
análisis
y
diseño
de
control
realimentados 1- Técnica clásica conversión de ec. dif de un ΣΦ en una FT generando un MM del ΣΦ qu que e alge algebr brai aica came ment nte e rela relaci cion ona a una representación de la salida con una representación de la entrada. Desventaja: limitada aplicabilidad invariantes en el tiempo)
(sistemas
lineales
Ventaja: rápidamente dan información de la estabilidad y la respue res puesta sta transi transitor toria ia.. 2- Método en el espacio de estados EE, método unificado para m oo delilnaer,aa yn lensa. lizar y diseñar amplia gama de sistemas lineales
Análisis de la respuesta transitoria de un sistema físico •Es de interés analizar las dos partes en que puede dividirse normalmente la respuesta en el tiempo de un sistema físico: – Respuesta transitoria. – Respuesta en estado estable.
•En general, puede decirse que:
y(t )
yt (t )
y ss (t )
•La respuesta transitoria se define como la parte de la respuesta que tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. •Permite analizar el comportamiento dinámico del sis siste tema ma..
Lim yt (t ) 0
t
•La respuesta de estado estable o estacionaria es la parte de la respuesta que queda cuando la transitoria ha desaparecido.
•Desde el punto de vista del análisis de los sistemas, el interés de esta respuesta reside en que permite establecer el valor del error de estado estable.
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Los sistemas de primer orden continuos son aquellos que responden a una ecuación diferencial de primer orden dc(t ) b0 r (t ) a0 c (t ) dt
C ( s )
La función de transferencia es:
R s
( ) reacomodando términos también se puede escribir como: C ( s ) R ( s )
donde K
b0 a0
K
s 1
, es la ganancia en estado estable,
1 a 0
el valor s
a0
1 se denomina polo.
b0 s a
0
Respuesta de un sistemas de primer orden ante una en enttra rad da impulso La salida en Laplace es C ( s )
b0
s a0
R ( s )
R( s )
1
Utilizando transformada inversa de Laplace 1 1 c(t ) b0L s a0
Se obtiene la salida en función del tiempo c(t )
b0e
a0t
se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos de
t
c (t )
0
b0
0.367879 b0
2
0.135335 b0
3
0.049787 b0
4
0.018315 b0
respuesta al impulso
b0
0.367879 b0
t
Respuesta de u un n sistema sistemass de primer orden orden ante una entrada escalón de magnitud A C ( s )
b0 s a0
R ( s )
R( s )
A
s
Utilizando transformada inversa de Laplace
1 1 c(t ) Ab0L s( s a0 ) Se obtiene la salida en función del tiempo
c(t ) AK (1 e
a0t
)
Ahora se evalúa la ecuación anterior en tiempos múltiplos múltiplos de
t
c (t )
0
0
0.632120 AK
2
0.864664 AK
3
0.950212 AK
4
0.981684 AK
respuesta al escalón AK 0.981684 AK
0.632120 AK
4
t
Comentarios: •La constante de tiempo ( ) es igual al tiempo que tarda la salida en alcanza un 63 % del valor final. •Matemáticamente la salida alcanza su valor final en un tiempo infinito, pero en el sistema real lo hace en tiempo finito. Para fines prácticos se
considera que la salida alcanza el estado estable en cierto porcentaje 95% (5 ) del valor final. Se usan dos criterios: el del 98%(4 ) y el del
Respuesta de u un n sistema sistemass de primer orden orden ante una entrada rampa de magnitud A
C ( s )
b0 s a0
R ( s )
R ( s )
A
s
2
Utilizando transformada inversa de Laplace
1 1 c (t ) Ab0L 2 s ( s a0 ) Se obtiene la salida en función del tiempo
) AK e c(t ) AK (t
a0t
r (t )
At
Es pendiente importante Aac, lamraier nqturaeslaqeunetralada seaslidae pres pr esen enta ta pend pendie ient ntee A K desfasada ζ seg.
respuesta a la rampa
En ot otra rass pa pala labr braas si siem empr pree que que la ga gana nanc ncia ia en estado estable (K ) del sistema no ses eatado igues al tabl able ueninf o, init eito. xo. istirá un error en esta do esta infin
AK AK
AKt AKt
error en estado estable
t
c ( t )
AK AK ( t )
AK AK e
a
0
t
Ejemplo:
Teniendo en cuenta la respuesta a un escalón unitario de la figura, determinar las la s cara caract cter erís ísti tica cas s de la resp respue uest sta a De la respuesta se determina la cte. de tiempo, es decir el tiempo para que la amplitud alcance 63% de su valor final
El valor final es 0,72 , ζ = 0,63x 0,72 =0,45 , t= 0,13 seg C(s) = K/s (s+a) a=1/0,13=7,7 ; K/a= 0,72 K= 0,72x 7,7= 5,54 G(s)= G(s )= 5,54/( 5,54/(s+7 s+7,7) ,7)
Se dispone de un horno eléctrico destinado a efectuar tratamientos térmicos de pie ieza zas. s. Su con control trol se efe efectúa ctúa med media iant nte e un una a te ten nsió sión Vr de alime liment nta ació ción. Para conocer su comportamiento se le somete a un ensayo que consiste en aplicarle una tensión constante Vr = 1 V y registrar su temperatura interior Ti. La evolució ción temporal de ésta sta queda reflejada en la fig figura. Se pide 1- Identifi fic car la funció ción tra transfe sferencia cia entre Vr y Ti. 2- Se desea someter a una pieza a un determinado tratamiento térmico con co nsi sist sten ente te en el elev eva ar su tem tempera ratu tura ra 100 100oC de manera progresiva. Para ello se aplica una tensión de alimentación Vr en forma de rampa unitaria. ¿En qué tiempo la tem temperatura Ti habrá subido a 100oC?
•
•
•
Especi Especific ficaci acione oness de la respu respuest esta a transi transitor toria ia par para a sistem sistemas as de primer orden. Constante Constante de ttiempo iempo::τ es el tiempo para que e aatt decaiga al 37% de su valor inicial . O de otra manera la τ es el tiempo que toma la respuesta escalón para alcanzar el 63% de su valor final –
τ
a es la frecuenc frecuencia ia ex exponen ponencial cial = 1/a
• Tiempo de crecimiento Tc se define como el tiempo necesario para que la forma de onda pase de o,1 a 0,9 de su valor final C(t)=0,9 y C(t)=0,1 • Tc = 2,31/a-0,11/a = 2,2/a
• Tiempo de ase asentamiento ntamiento Ts se define como el tiempo necesario para que la respuesta r espuesta alcance el 2% alrededor de su valor final y permanezca en ese valor • C(t)= C(t)=0,98 0,98 , T Ts= s= 4 4/a /a
Sistemas de segundo orden
Sistemas de segundo orden Localización de polos y ceros
Componentes de respuesta escalón de 2do orden generada por polos complejos •
La figura muestra una respuesta general, senoidal amortiguada, la respuesta es t á formada por una amplitud que decae exponencialmente. La frecuencia senoidal recibe el nombre de frecue fre cuenci ncia a natura naturall amorti amortigua guada da ω d.
•
La rta al estado estable fue generada por el polo de la entrada situado en el origen.
Sistemas de segundo orden • En comparación con la sencillez de un sistema de primer o rdrieend,ad un dseistreem dsetassegquunedode ob rdeenn ste ierneanuanliazaadm va spaue asplia y descritas.
• Mientras que la variación de un parámetro de un sistema de primer orden simplemente cambia la velocidad de la respuesta, cambios en los parámetros de un sistema de segundo orden pueden modificar la forma de la respuesta.
Sistemas de segundo orden Dos especificaciones físicamente significativas: frecuencia natural ωn factor de amortiguamiento relativo ζ Frec ecue uenc ncia ia natu natura rall ωn de un sistema de segundo orden es la • Fr frecuencia de oscilación del sistema sin amortiguamiento (por ej. frecuencia de oscilación de un circuito RLC en serie con la resist res istenc encia ia en cortoc cortocirc ircuit uito). o).
•
Factor Fact or de amor amorti tigu guam amie ient nto o rela relati tivo vo ζ : compara la frecuencia de decaimiento exponencial de la envolvente con la frecuencia natural, este cociente es cte. cualquiera sea la escala de tiempo de la respuesta frec fr ecue uenc ncia ia de deca decaim imie ient nto o expo expone nenc ncia iall ωn =
b
ζ = σ / / ωn
2 cuenci frecue ncia a natura naturall ; b = ωnfre
a = 2 ζ ωn
Sistemas de segundo orden C ( s )
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
n2
2
2
forma estándar del sistema
de segundo orden. la frecuencia n atural no amortiguada, se denomina
R ( s )
s
2 n s n
donde n es atenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los
parámetros y
n
.
Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario: C ( s) R( s) se escribe (1) Caso subamortiguado (0 1): en este caso C ( s) n2 R( s) ( s n j d )( s n j d )
donde d
n
1
2 se denomina frecuencia natural amortiguada. Si
es una entrada escalón, entonces 2
C ( s )
n ( s 2 2 s 2 ) s
R ( s )
n
n
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Utilizando fracciones parciales s n C ( s ) 1 2 2 s ( s n ) d
n ( s n ) 2 d 2
y conociendo que - 1
s n
nt
cos d t ( s n ) 2 d 2 e d t - 1 e sen d t L 2 2 ( s n ) d L
n
Se obtiene la salida en el tiempo nt
2 1 1 c (t ) 1 sen d t tan 1 2
e
(t 0)
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
(2) Caso de amortiguamiento crítico ( 1) : en este caso se tienen dos polos reales iguales y C ( s ) ante un escalón es C ( s )
n2 ( s n ) 2 s
la transformada inversa arroja
c (t ) 1 e
nt
(1 nt )
(t 0)
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
(3) Caso sobreamortiguado ( 1) : en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para una entrada escalón, C ( s ) es C ( s )
n2 ( s n n 2 1)( s n n 2 1) s
La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es c t
1
( ) 1 2
2
e
1(
2
1
2
2
1(
2
1)
( 2 1) nt
1) e
( 2 1) nt
Sistemas de segundo orden Respuesta de segundo orden como función ζ
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Curvas de respuesta al escalón unitario 2
0
1.8
0.2
0.4
1.6
1.4
1.2
0.7
0.8
1
0.8
1
ca
0.6
1
0.4
Respuesta al escalón de diferentes sistemas de segundo orden para
sa
0.2
valo va lore res s de ζ
0 0
2
4
6
8
10
12
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Definición de los parámetros de la respuesta transitoria Las características de desempeño de un sistema de control se comparan basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes parámetros. 1.4
c(t )
1.2
M p 1
1. Tiempo de retardo
t d
1
2. Tiempo de crecimiento
0.8
3. Tiempo pico t p
0.6
4. Sobreimpulso máximo M p
0.4
5. Tiempo de establecimiento
0.2
0 00
t r
2
t r
4
t p t p
6
8
10
12
t s
14
16
18
20 t
t s
Sistemas de segundo orden 1- Tiempo iempo de de retardo retardo t d Es tiempo que tarda finalel por primera vez. la respuesta en alcanzar la mitad del valor
Sistemas de segundo orden
t r
2.- Tiempo Tiempo de crecimie crecimiento nto t r 2u .-mTeie : E eqoure riu da odp e alal 9r5 e% spuoes a nm tepdoed0e acr1e0c0im %iepnatora sisste elmtaiesmspuobarm tig oa sr, adeqlu5 dteal 10 al 90% 90% para para si sist stem emas as crít crític icam amen ente te amor amorti tigu guad ados os o sobr sobrea eamo mort rtig igua uado dos. s.
El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón. c(t ) cos d t r
1 e
nt r
(cos d t r
sen d t r 0 2 1
1
2
sen d t r )
1
Sistemas de segundo orden cos d t r
2 1
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
cos d t r tan d t r cos d t r 1
tan d t r
1
2
d
el tiempo de crecimiento es
t r tan , d d 1
1 d
2 1
d
tan
1 d
tan d t r
0
Sistemas de segundo orden 3- Tiempo iempo de p pic ico o
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
t p
3.- Tiempo pico: Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene n
( sen d t p )
nt p
2
0 1 e sen d t p 0 , los valores que satisfa satisfacen cen esta ecuación son
sobreimpul eimpul so. 0, , 2 , 3 , , se elige el primer sobr d t p
t p
d
Sistemas de segundo orden 4- SOBREP SOBREPASO ASO
M p
4. Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico.
M p c(t p ) 1
cos d e n ( d )
e
n d
M p
e
1
e
d
2
d t s 1 2
sen d d
Sistemas de segundo orden 5.- Tiemp iempo o de establecim establecimient iento o t s 5.- Tiempo de establecimiento: Es el tiempo mínimo donde la curva de respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido,
generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2% después de 4 constantes de tiempo:
t s
4T
4
n
4
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ejem Ej empl plo o 1: Defi Defin nir los los pará parám metro etros s de resp respue uest sta a tr tran ansi sito tori ria a del del sis isttema ema
75 s ( s 34)
R ( s )
C ( s )
Desarrollo: La función de transferencia de lazo cerrado es C ( s ) R ( s )
75
s
2
34 s 75
Se utiliza la siguiente igualdad
75 s 2
n2
34 s 75 s 2 2 n s n2
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ejemplo 2: de los siguientes parámetros de respuesta transitoria mostrados en la gráfica obtener la función de transferencia. Ejemplo c(1.4 t )
1421.2 127 1 0.8
0.6
0.4
0.2
0 00
142
M p
2
4
6
8
10
12
0.1181
t ss
14
0.75
16
18
20
t
127
127
0.75 se segu gund ndos os
Sistemas de segundo orden
Simulación de un motor de corriente continua utilizando MatLab Simulink
En la figura siguiente se visualiza un sistema servo compuesto por un motor de corriente continua, acoplado con un juego de engranajes a otro eje, que tiene un medidor de posición angular lar median iante un potenció ciómetro ro.. Un amp mpli liffica icador dif ife erencia ial, l, que ali lime men nta el motor de corr co rrie ient nte e co cont ntin inua ua,, am ampl plif ific ica a la di dife fere renc ncia ia en entr tre e la las s tens tensio ione nes s de dell po pote tenc nció ióme metr tro o de re refe fere renc ncia ia y el de posic ició ión n del eje conducid ido o. 1-La 1-La clasif clasifica icaci ción ón de dell si sist stem ema a diná dinámic mico. o. 2- La Las s ec ecua uaci cion ones es di diná námi mica cas s de dell si sist stem ema. a. 3- La funció ción de transfer ere encia entr tre e la va varriab iable de salid ida a (θ ej eje e co con ndu duci cido do)) re resp spec ecto to a la va vari ria abl ble e de se sett po poin intt (r del po potten enci cióm ómet etro ro de re refe fere renc ncia ia), ), me medi dia ante nte ál álge geb bra de blo loqu que es. Si ees l scaló istlón, em seterm ermin ncinar uar enel traer eror n rreen poesta sotado ydo seesta mtaci od ionar fica lio. a .variable de entrada mediante una función esca n,ade dete erro es es cion ario
4 Dibujar el diagrama de bloques en Simulink de Matlab y la respuesta de la dinámica del pto 2, vi visu sual aliz izan ando do la las s se seña ñale les s de en entr trad ada a y sa sali lida da..
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden C ( s )
n2 s
2
2 2 n s n
Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de c (t ) c (t )
para (0 1)
para (
n 2
n t sen n 1 2 t e
(t 0)
1)
c (t )
para (
n 1 2
2
e
(
nt 2 1)
1
n
2
1
2
1)
2 nt c(t ) n te
(t 0)
e
(
2 1) nt
(t 0)
Sistemas de segundo orden
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1
0.8
0.2
0.6
0.4
1
0
0.4
0.7
0.2
1
ca
sa
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 0
2
4
6
8
10
12
Figura. Respuesta al impulso de diferentes sistemas de segundo orden.
Sistemas de segundo orden
Bibliografía • Nise S. Norman 2002 Sistemas de Control para Ingeniería Compañía Editorial Continental (primera edic ed ició ión n Mé Méx xico ico 2002 2002)) • Ogata Katsuhiko 1990 Dinámica de Sistemas. Prentice Hall • Ogata gata Ka Kats tsuh uhiiko 1998 Ing Ingen eniier ería ía de Co Cont ntro roll Mo Mode dern rna. a. • Roca Cusidó 2002 Control de Procesos Alfaomega Grupo Grup o Ed Edit itor or • Apuntes introducción a MatLab Simulink Dpto de Elec El ectr trón ónic ica a FCEI FCEIAA- UNR UNR
• SIMULINK “User ´s ´s Guide” The Math Works Inc. USA
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