Sistemas de Medida y Regulacin

SISTEMAS DE MEDIDA Y REGULACION

José Antonio NAVARRO MARQUEZ

PRIMER CURSO GRADO SUPERIOR SISTEMAS DE REGULACION Y CONTROL AUTOMATICOS

Sistemas de Medida y Regulación Primera Edición: Septiembre 2002 Autor: Depósito legal:

José Antonio NAVARRO MARQUEZ Z – 2353/2002

A mis padres, a mi esposa Mª Pilar, y a mi hijo Mario.

Índice temático PROLOGO .................................................................................................................................................v UNIDAD 1 Principios básicos de la regulación automática. 1.1 Procesos de control. Introducción. .......................................................................................................1 1.2 Clasificación de los procesos de control..............................................................................................2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5

Procesos de control de lazo abierto y lazo cerrado. .......................................................................................................2 Procesos de control lineales y no lineales......................................................................................................................5 Procesos invariantes y variantes con el tiempo..............................................................................................................5 Procesos de control continuos y procesos de control de datos muestreados y digitales. ..............................................5 Procesos de control de eventos discretos. ....................................................................................................................7

1.3 Regulación de un proceso. Conceptos y elementos característicos...................................................8 1.3.1 1.3.2 1.3.3

Elementos característicos en un control de lazo abierto de una variable. ......................................................................8 Elementos característicos en un control de lazo cerrado de una variable......................................................................9 Conceptos y definiciones de los procesos de control. .................................................................................................14

1.4 Regulación manual y automática. .......................................................................................................17 1.5 Realimentación. Conceptos generales................................................................................................18 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5

Función de transferencia de un proceso realimentado. ...............................................................................................19 Efecto de la realimentación sobre la ganancia total. ....................................................................................................20 Efecto de la realimentación sobre la estabilidad. .........................................................................................................20 Efecto de la realimentación sobre la sensibilidad.........................................................................................................21 Efecto de la realimentación sobre las perturbaciones externas o ruido........................................................................21

Ejercicios de profundización y refuerzo......................................................................................................23

UNIDAD 2 La transformada de Laplace. 2.1 Justificación de la transformada de Laplace. .....................................................................................27 2.2 La variable compleja s. ........................................................................................................................27 2.2.1 2.2.2 2.2.3

Concepto de variable compleja. ...................................................................................................................................27 Función compleja.........................................................................................................................................................28 Polos y ceros de una función compleja........................................................................................................................29

2.3 Ecuaciones diferenciales en sistemas físicos....................................................................................30 2.3.1 2.3.2

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales................................................................................................................31 Ecuaciones diferenciales no lineales. ..........................................................................................................................31

2.4 Transformada de Laplace. ...................................................................................................................31 2.4.1 2.4.2

Definición de la transformada de Laplace....................................................................................................................31 Teoremas de la transformada de Laplace....................................................................................................................35

2.5 Transformada inversa de Laplace. ......................................................................................................38 2.5.1 2.5.2

Transformada inversa de Laplace por expansión en fracciones parciales. ..................................................................38 Aplicación de la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. ..............42

Ejercicios de profundización y refuerzo......................................................................................................44

UNIDAD 3 Modelos matemáticos de sistemas físicos. 3.1 Introducción al modelo matemático. ..................................................................................................47 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4

Sistemas lineales y no lineales. ...................................................................................................................................47 Métodos para el análisis de sistemas lineales. ............................................................................................................48 Función de transferencia y de respuesta-impulso. ......................................................................................................48 Teoría de control moderna. Ecuaciones de estado......................................................................................................49

3.2 Diagramas de bloques. ........................................................................................................................52 3.2.1 3.2.2

Elementos constituyentes de un diagrama de bloques. ...............................................................................................52 Procedimientos para trazar un diagrama de bloques. ..................................................................................................53

3.3 Sistemas eléctricos..............................................................................................................................56 3.4 Sistemas mecánicos............................................................................................................................61 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5

Dinámica traslacional...................................................................................................................................................62 Dinámica rotacional. ....................................................................................................................................................65 Energía mecánica y pérdidas.......................................................................................................................................67 Trenes de engranajes, correas de transmisión y palancas. .........................................................................................68 Modelos matemáticos. .................................................................................................................................................70

I

Sistemas de medida y regulación

3.5 Sistemas térmicos. ..............................................................................................................................74 3.6 Procesos de control de nivel de líquidos............................................................................................77 Actividades de enseñanza – aprendizaje. ...................................................................................................81 Ejercicios de profundización y refuerzo......................................................................................................82

UNIDAD 4 Sistemas de adquisición y tratamiento de datos. 4.1 La cadena de adquisición. Estructura básica y características. ........................................................87 4.2 Equipos e instrumentos.......................................................................................................................88 4.2.1 4.2.2 4.2.3

Clasificación en función del instrumento. ....................................................................................................................88 Clasificación en función de la variable de proceso.......................................................................................................92 Código de identificación de instrumentos. ...................................................................................................................93

4.3 Sensores y transductores....................................................................................................................95 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7 4.3.8

Clasificación de sensores y transductores. .................................................................................................................96 Transductores de presión............................................................................................................................................97 Transductores de caudal. ..........................................................................................................................................103 Transductores de nivel. .............................................................................................................................................109 Transductores de temperatura...................................................................................................................................113 Transductores de velocidad.......................................................................................................................................118 Codificadores de posición y sentido de giro (encoders). ...........................................................................................119 Transductores de otras variables de medida. ............................................................................................................120

4.4 Acondicionadores y convertidores de señales.................................................................................121 4.4.1 4.4.2 4.4.3

Puente de Wheatstone como acondicionador de señal. ............................................................................................121 Convertidores de señal. .............................................................................................................................................124 Procesamiento de la señal.........................................................................................................................................127

4.5 Transmisores y buses industriales. ..................................................................................................131 4.5.2

Comunicaciones. Buses industriales.........................................................................................................................135

Actividades de enseñanza – aprendizaje. .................................................................................................137 Ejercicios de profundización y refuerzo....................................................................................................138

UNIDAD 5 Análisis funcional de los procesos de control de lazo cerrado. 5.1 Análisis de la respuesta transitoria...................................................................................................139 5.1.1 5.1.2 5.1.3

Señales de prueba típicas. ........................................................................................................................................140 Respuesta transitoria en sistemas de primer orden...................................................................................................142 Respuesta transitoria en sistemas de segundo orden. ..............................................................................................147

5.2 Funciones básicas de control. ..........................................................................................................157 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.2.6

Control de dos posiciones..........................................................................................................................................158 Control proporcional...................................................................................................................................................159 Acción de control integral...........................................................................................................................................160 Acción de control proporcional e integral (PI). ...........................................................................................................160 Acción de control proporcional y derivativo (PD)........................................................................................................161 Acción de control proporcional-integral-derivativo (PID). ...........................................................................................162

5.3 Análisis de estabilidad de los procesos de lazo cerrado. ................................................................162 5.3.1 5.3.2 5.3.3

Polos dominantes en lazo cerrado. ............................................................................................................................163 Métodos para determinar la estabilidad de procesos de control lineales....................................................................164 Criterio de Routh-Hurwitz. .........................................................................................................................................164

5.4 Efecto de las funciones de control sobre el comportamiento de un sistema. ................................169 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4

Efecto de la función de control integral. .....................................................................................................................169 Efecto de la función de control proporcional e integral...............................................................................................171 Efecto de la función de control derivativa...................................................................................................................173 Efecto de la función de control proporcional y derivativa............................................................................................174

5.5 Análisis del error en estado estable..................................................................................................176 5.5.1 5.5.2

Tipos de sistemas según la capacidad de seguimiento de las señales de entrada. ..................................................176 Errores en estado estable. .........................................................................................................................................176

5.6 Control en cascada. ...........................................................................................................................184 5.7 Control de ratio. .................................................................................................................................186 5.8 Control por prealimentación (feedforward). .....................................................................................187 Actividades de enseñanza – aprendizaje. .................................................................................................190 Ejercicios de profundización y refuerzo....................................................................................................192

II

Indice temático

UNIDAD 6 Control digital y de eventos discretos. 6.1 Técnicas de control de eventos discretos. .......................................................................................199 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4

Técnicas de transición de estados. ...........................................................................................................................199 Técnicas de control tradicional. .................................................................................................................................204 Control concurrente. ..................................................................................................................................................207 Control jerárquico.......................................................................................................................................................209

6.2 Técnicas de control por ordenador. ..................................................................................................209 6.2.1 6.2.2 6.2.3

Control Digital Directo (DDC). ...................................................................................................................................210 Control supervisor......................................................................................................................................................212 Control distribuido......................................................................................................................................................213

Ejercicios de profundización y refuerzo....................................................................................................216

UNIDAD 7 Diseño de controladores. 7.1 Configuración de controladores electrónicos. .................................................................................217 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.1.5 7.1.6 7.1.7 7.1.8

El amplificador operacional. .......................................................................................................................................217 Comportamiento y realización práctica de los controladores......................................................................................219 Controlador de acción proporcional. ..........................................................................................................................219 Controlador de acción integral. ..................................................................................................................................221 Controlador de acción proporcional e integral (PI). ....................................................................................................222 Controlador de acción derivativa. ...............................................................................................................................223 Controlador de acción proporcional y derivativa (PD). ...............................................................................................224 Controlador de acción proporcional, integral y derivativa (PID)..................................................................................225

7.2 Configuración de controladores neumáticos. ..................................................................................226 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5

Comparación entre sistemas neumáticos y sistemas hidráulicos. .............................................................................226 Controlador neumático de acción proporcional. .........................................................................................................227 Controlador neumático de acción proporcional y derivativa (PD). ..............................................................................229 Controlador neumático de acción proporcional e integral (PI)....................................................................................230 Controlador neumático de acción proporcional, integral y derivativa (PID).................................................................231

Actividades de enseñanza – aprendizaje. .................................................................................................232 Ejercicios de profundización y refuerzo....................................................................................................234

Bibliografía ...........................................................................................................................................235

III

Sistemas de medida y regulación

IV

Prólogo El Ciclo Formativo de Sistemas de Control y Regulación Automáticos es uno de los cuatro ciclos de Grado Superior de los que consta la Familia Profesional de Electricidad / Electrónica. Este ciclo basa su perfil profesional en el desarrollo de equipos e instalaciones automáticas de medida, control y regulación para máquinas, procesos y aplicaciones industriales en general. Una de las unidades de competencia que establece el Título Profesional, correspondiente al Real Decreto 619/95 (B.O.E. 8 de Agosto de 1995), es la de Desarrollar y mantener sistemas automáticos de medida y regulación para procesos continuos, cuyas realizaciones - habilidades, técnicas o destrezas referidas a un rol determinado – son: •

Elaborar o participar en la elaboración del cuaderno de cargas correspondiente a un proceso continuo que se va a automatizar, identificando las variables y parámetros de mismo, definiendo, a su nivel, los lazos de regulación que gobiernan el proceso, en condiciones de calidad y coste establecidos, de acuerdo con la reglamentación electrotécnica vigente.

•

Configurar los equipos y dispositivos, con las tecnologías adecuadas, que cumplen las especificaciones establecidas en el cuaderno de cargas de un proceso continuo que se va a automatizar justificando, técnica y económicamente, la selección adoptada.

•

Elaborar o supervisar la elaboración de la documentación técnica (esquemas, planos constructivos y de implantación, listas de materiales) que permita la construcción y posterior mantenimiento del sistema automático para la medida y regulación en procesos continuos, en el soporte adecuado y con los medios normalizados.

•

Desarrollar los programas que gobiernan el sistema automático para la medida y regulación en procesos continuos, configurando los lazos y parámetros de medida y regulación, optimizando las características de funcionalidad, seguridad y fiabilidad establecidas en el cuaderno de cargas.

•

Realizar, a su nivel, la puesta en servicio del sistema automático para la medida y regulación en procesos continuos, efectuando las pruebas, modificaciones, sintonía de parámetros y ajustes necesarios, asegurando la funcionalidad, seguridad y fiabilidad del sistema.

•

Modificar y/o elaborar, a su nivel, procedimientos de calibración y mantenimiento de los sistemas automáticos para la medida y regulación en procesos continuos, optimizando los recursos humanos y materiales, garantizando la operatividad y seguridad en su aplicación.

•

Realizar el mantenimiento de los sistemas automáticos para la medida y regulación en procesos continuos, tomando las medidas oportunas para el rápido y seguro reestablecimiento de la operatividad del mismo.

A esta unidad de competencia, y a estas realizaciones, le corresponde el módulo profesional de Sistemas de Medida y Regulación, el cual lleva implícitas las siguientes capacidades terminales (objetivos necesarios para alcanzar las realizaciones requeridas en la unidad de competencia asociada): •

Analizar los sistemas de medida industriales, identificando los distintos elementos que componen la cadena de datos y relacionando su función con el resto de elementos que conforman los procesos de automatización.

•

Analizar los sistemas de regulación industriales, identificando los distintos elementos que componen el lazo de regulación y relacionando su función con el resto de elementos que conforman los procesos de automatización.

•

Diagnosticar averías en sistemas automáticos de medida y regulación automáticos, identificando la naturaleza de la avería, aplicando los procedimientos y técnicas más adecuadas en cada caso.

Con el fin de alcanzar estas capacidades terminales, este libro presenta los contenidos necesarios en siete unidades didácticas, tal y como se enumeran a continuación: •

UNIDAD 1: Principios básicos de la regulación automática. En esta unidad se introducen los conceptos básicos de la regulación automática y los sistemas de control. Asimismo, se realiza una clasificación de los sistemas de control, en la que se comparan características de los mismos. Con esta unidad se pretende que el alumno se familiarice con la terminología básica del estudio y análisis de los sistemas de control.

V

Sistemas de medida y regulación

•

UNIDAD 2: La transformada de Laplace. Tema fundamental para aquellos alumnos que no hayan tratado previamente las técnicas matemáticas de la transformada de Laplace. El uso de la transformada de Laplace es necesario para aplicar la teoría clásica de control en el análisis de sistemas.

•

UNIDAD 3: Modelos matemáticos de sistemas físicos. Las herramientas básicas que permiten definir y analizar el comportamiento dinámico de los procesos o sistemas de control en términos de expresiones matemáticas, se tratan en esta unidad. Se exponen los dos métodos básicos para el análisis de sistemas, como son la teoría clásica del control y la teoría moderna del control. Además se hace una revisión de las ecuaciones matemáticas que relacionan los parámetros y variables fundamentales de diversos sistemas físicos tipo, como son los sistemas eléctricos, mecánicos, térmicos y de fluidos. El objetivo que se persigue en este caso es que el alumno sea capaz de describir un sistema físico mediante expresiones matemáticas que permitan su posterior análisis siguiendo alguno de los métodos descritos - así como la optimización de los mismos.

•

UNIDAD 4: Sistemas de adquisición y tratamiento de datos. Los sistemas de adquisición y tratamiento de datos son todos aquellos que componen lo que se conoce como cadena de medida. Este concepto es fundamental en los procesos de control, puesto que sin medida no puede existir ni regulación, ni control. En esta unidad se estudian las diversas tecnologías de los elementos que conforman la cadena de medida, como son los sensores, transductores e instrumentos que realizan tareas de acondicionamiento, conversión y procesamiento de señales o datos. El alumno debe adquirir, a lo largo de esta unidad, una visión de los diversos dispositivos usados para medir distintas variables de proceso, así como el criterio para poder elegir la tecnología más apropiada para cada caso.

•

UNIDAD 5: Análisis funcional de los procesos de control en lazo cerrado. En esta unidad se analiza el comportamiento dinámico de un sistema de control en lazo cerrado. Para ello se estudiarán aquellas técnicas necesarias que permitan conocer, a priori, la respuesta de un sistema ante determinada señal de entrada, así como el modo de modelar dicha respuesta según unas necesidades preestablecidas. Esta unidad representa, para el alumno, las herramientas necesarias que le permitirán analizar y diseñar un sistema sobre el “papel”, con el fin de poderlo llevar posteriormente a la práctica. También se realiza una introducción a aquellos procesos que requieren el uso de varios lazos cerrados, con el fin de compensar posibles perturbaciones externas o variaciones de parámetros de dicho proceso o sistema.

•

UNIDAD 6: Control digital y de eventos discretos. Estas son las técnicas y tecnologías que son tendencia hoy en día en el campo de la regulación automática y el control de eventos discretos. Se introduce al alumno a técnicas de control digital, control distribuido, control supervisor...

•

UNIDAD 7: Diseño de controladores. En esta unidad se pretende que el alumno adquiera los conocimientos y la destreza necesaria para realizar operaciones de construcción de controladores electrónicos y neumáticos.

Estas unidades didácticas se han desarrollado en el libro atendiendo a los contenidos mínimos establecidos en el R.D. 619/95. Además de dichos contenidos mínimos, se ha considerado oportuno incluir un par de unidades instrumentales, como son la Unidad 2: La transformada de Laplace y la Unidad 3: Modelos matemáticos de sistemas físicos. Estas dos unidades asientan una serie de herramientas matemáticas que se usarán posteriormente en todas aquellas actividades de enseñanza – aprendizaje referidas al análisis, diseño y optimización de sistemas o procesos de control. La estructura de una de las unidades didácticas consta de unos contenidos conceptuales, ilustrados con una serie de ejemplos de aplicación resueltos. Sobre estas unidades se deben plantear unas actividades prácticas, las cuales son tareas que el profesor debe preparar para que los alumnos las desarrollen en los talleres o laboratorios del centro educativo. Para la realización de estas actividades se recomienda el uso de unos determinados equipos didácticos (Alecop, Distesa, Festo, Prodel...), los cuales suelen ser siempre una dotación que realizan los respectivos Departamentos de Educación y Cultura de las Comunidades Autónomas.

VI

Prólogo

Además, y con el fin de poder realizar simulaciones por ordenador de los procesos y sistemas propuestos en estas actividades, se aconseja el uso de algún software apropiado, tal como MATLAB, SIMULINK, CC, Workbench... No obstante, el profesor podrá ampliar o reducir aquello que crea conveniente para adaptarlo al nivel de los alumnos y hacer el mejor uso de los equipos que posea a su alcance. Otro tipo de actividad de enseñanza – aprendizaje son los casos prácticos, que son actividades que el alumno debe desarrollar en casa, a modo de recapitulación de los conocimientos y destrezas adquiridas durante el desarrollo de la unidad didáctica correspondiente. Para la realización de estos ejercicios se recomienda al alumno que practique previamente con los ejercicios de aplicación resueltos que aparecen a lo largo de cada unidad, los cuales le servirán de guía para su resolución. Este libro no solamente está indicado para el desarrollo de los contenidos del módulo de Sistemas de Medida y Regulación correspondiente al Ciclo Formativo de Grado Superior anteriormente mencionado, sino que también está indicado para aquellas personas que precisen adquirir conocimientos básicos sobre control, regulación y medida, así como para estudiantes de Ingeniería y para aquellos profesionales que necesiten reforzar y ampliar sus conocimientos y técnicas.

José Antonio NAVARRO MÁRQUEZ

VII

Sistemas de medida y regulación

VIII

UNIDAD 1 Principios básicos de la regulación automática. 1.1

Procesos de control. Introducción.

Según el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, una de las acepciones del término proceso es: "Conjunto de las fases sucesivas de un fenómeno natural o de una operación artificial." Por otra parte, el término control viene definido como: "Regulación, manual o automática, sobre un sistema o proceso." A la vista de estas dos definiciones académicas se puede definir proceso de control, de una forma simplista y general, como: Conjunto de las fases sucesivas de una operación regulada cuyo objetivo es realizar una tarea o acción predefinida a partir de unas consignas u órdenes. Se puede citar como una ilustración general de estas definiciones al ser humano, el cual es quizá el proceso de control más sofisticado y complejo que existe. Un ser humano promedio es capaz de llevar a cabo una gran diversidad de tareas, incluyendo la toma de decisiones. Como primer ejemplo básico se puede citar la temperatura corporal del ser humano, la cual, a menos que se esté enfermo, debe permanecer casi constante. Para mantener esta constancia, el cuerpo tiene un sistema de control de temperatura. Si ésta sube más de lo normal, se comienza a sudar, mientras que si disminuye, se comienza a temblar. Ambos son mecanismos que se utilizan para restaurar la temperatura del cuerpo a su valor normal. Este sistema de control mantiene la constancia de la temperatura. Un segundo ejemplo sería la realización de una misma tarea pero con distintos objetivos. Tal sería el caso de un atleta que corre los 100 m planos y que tiene por objetivo recorrer esta distancia en el menor tiempo posible. Un corredor de maratón no sólo debe recorrer la distancia con la mayor rapidez posible, sino que además, para lograrlo, debe controlar el consumo de energía y obtener un resultado óptimo. Por consiguiente, se puede decir, de manera general, que la vida impone el logro de muchos "objetivos", y los medios para alcanzarlos casi siempre dependen de procesos de control. En años recientes, los procesos de control han venido adquiriendo un papel muy importante en el desarrollo y avance de la civilización y tecnología modernas. Casi todos los aspectos de las actividades cotidianas son afectados por algún tipo de proceso de control. Por ejemplo, en el campo doméstico, los controles automáticos para calefacción y de aire acondicionado regulan la temperatura y la humedad de los hogares y edificios para lograr una vida cómoda. Para alcanzar una eficiencia máxima en el consumo de energía, muchos procesos modernos de calefacción y de aire acondicionado están computarizados, en especial en los edificios grandes y las fábricas. Los procesos de control son muy comunes en todos los sectores industriales, desde el control de calidad de productos industriales, cadenas de montaje automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y armamento, control por computadora, procesos de transporte, robótica y muchos otros. Incluso problemas como el control de inventarios y los procesos de control sociales y económicos, pueden resolverse con enfoques de la teoría de los controles automáticos. Cualquiera que sea el tipo de proceso de control considerado, posee éste unos elementos básicos que pueden describirse en términos de: •

Objetivos del control.

•

Componentes del proceso de control.

•

Resultados.

En la figura 1.1a se ilustra la relación entre estos tres elementos básicos en forma de diagrama de bloques. En términos más científicos, estos tres ingredientes básicos pueden identificarse como entradas, componentes del proceso y salidas, respectivamente, como se muestra en la figura 1.1b.

1

Sistemas de medida y regulación

En general, el objetivo de un proceso de control consiste en controlar las salidas y de una manera predeterminada, por medio de las entradas u, y aplicando los elementos del proceso de control. A las entradas del proceso se les llama también señales de control y a las salidas variables controladas.

Objetivos

Proceso de control

Resultados

Entradas u

Proceso de control

a)

Salidas y

b)

Figura 1.1 : Elementos básicos de un proceso de control.

Como ejemplo simple del proceso de control descrito en la figura 1.1, se puede considerar el proceso direccional de un automóvil. La dirección de las dos ruedas frontales se asimila como la variable controlada, y, o salida; la dirección del volante de la dirección es la señal de control, u, o entrada. El proceso de control o sistema de este caso está constituido por los mecanismos de la dirección y la dinámica de la totalidad del automóvil. Sin embargo, si el objetivo consiste en controlar la velocidad del vehículo, entonces, el grado de presión ejercida sobre el pedal del acelerador es la señal de control y la velocidad lograda es la variable controlada. En su conjunto, podemos considerar al proceso de control del automóvil como constituido por dos entradas (volante y acelerador) y dos salidas (dirección y velocidad). En este caso, los dos controles y salidas son independientes entre sí; pero en general, existen procesos en los que los controles están acoplados. A los procesos con más de una entrada y una salida se les llama procesos multivariables. Se puede tomar como otro ejemplo de un proceso de control, la regulación del régimen de revoluciones por minuto en reposo del motor de un automóvil. El objetivo de este tipo de proceso de control consiste en mantener las revoluciones en reposo del motor a un valor relativamente bajo (para economía de combustible) cualesquiera que sean las cargas aplicadas al motor (por ejemplo, transmisión, dirección hidráulica, aire acondicionado, etc.). Cualquier aplicación repentina de una carga al motor causaría una caída de la velocidad del mismo y podría provocar que se parara. De esta manera, los objetivos principales del proceso de control con marcha en reposo son: •

Eliminar o reducir al mínimo la caída de velocidad del motor cuando se le aplica una carga.

•

Mantener la marcha en reposo en el valor deseado.

La figura 1.2 muestra el diagrama de bloques del proceso de control de marcha en reposo desde el punto de vista de entradas-proceso-salidas. En este caso, el ángulo del obturador de la gasolina, α, y el par de carga ML (debida a la aplicación de aíre acondicionado, dirección hidráulica, transmisión, frenos, etc.) son las entradas, y las revoluciones del motor, n, son la salida. El motor es el proceso o proceso controlado.

Angulo del obturador

Motor

Velocidad del motor n

Figura 1.2 : Proceso de control de marcha en reposo.

1.2

Clasificación de los procesos de control.

Los procesos de control pueden clasificarse de varias maneras dependiendo del propósito de la clasificación. En general, existen muchas formas de identificar los procesos de control de acuerdo con características especiales. Es importante conocer algunos de estos criterios comunes de clasificación antes de proceder al estudio del análisis y diseño de los procesos.

1.2.1 Procesos de control de lazo abierto y lazo cerrado. Proceso de control de lazo abierto. Un ejemplo de proceso de control de lazo abierto es una lavadora eléctrica, pues en su diseño típico el ciclo de lavado queda determinado en su totalidad por la estimación y el criterio del operador humano. Una lavadora eléctrica verdaderamente automática contaría con los medios para comprobar el grado de limpieza de la ropa en forma continua y suspendería la operación por sí misma al alcanzar el grado de lavado deseado.

2

Principios básicos de la regulación automática

Los elementos de un proceso de control de lazo abierto casi siempre pueden dividirse en dos partes: el controlador y el proceso controlado, tal como lo ilustra el diagrama de bloques de la figura 1.3. Se aplica una señal de entrada o comando r al controlador, cuya salida actúa como señal de control u; la señal actuante controla el proceso controlado, de tal manera que la variable controlada y se comporte de acuerdo con estándares predeterminados.

Entrada de referencia r

Controlador

Señal de control u

Proceso controlado

Variable controlada y

Figura 1.3 : Diagrama de bloques de un proceso de control de lazo abierto.

En casos simples, el controlador puede ser un amplificador, engranajes mecánicos u otros medios de control, dependiendo de la naturaleza del proceso. En el control electrónico, más sofisticado, el controlador puede ser una computadora electrónica del tipo microprocesador.

Procesos de control de lazo cerrado. En los procesos de control de lazo abierto, el elemento faltante para lograr un control más preciso y adaptable es un enlace o realimentación de la salida a la entrada del proceso. Para obtener un control más preciso, la señal controlada y(t) debe realimentarse y compararse con la entrada de referencia, tras lo cual se envía a través del proceso una señal de control proporcional a la diferencia entre la entrada y la salida, con el objeto de corregir el error o desviación. A los procesos con uno o más lazos de realimentación de este tipo se les llama procesos de lazo cerrado. Detector de errores Controlador

Motor

n

Transductor de velocidad

Figura 1.4 : Proceso de control de marcha en reposo con lazo cerrado.

En la figura 1.4 se muestra el diagrama de bloques de un proceso de control de lazo cerrado de marcha en reposo de un motor de gasolina. La entrada de referencia nr, fija la velocidad deseada. Comúnmente, cuando el par de carga es cero, la velocidad del motor en reposo debe concordar con el valor de referencia nr, y cualquier diferencia entre la velocidad real y el valor deseado, causada por cualquier perturbación del par de carga ML, es detectada por el transductor de velocidad y el detector de errores, con lo que el controlador operará sobre esta diferencia y proporcionará una señal para ajustar el ángulo del obturador a que corrija el error. La figura 1.5 ilustra una comparación de los procesos de control típicos de marcha en reposo de lazo abierto y lazo cerrado. En la figura 1.5a, la velocidad en reposo del proceso de lazo abierto decaerá y se establecerá en un valor inferior después de aplicar el par de carga. En la figura 1.5b se muestra que la velocidad ideal del proceso de lazo cerrado se recupera con gran rapidez al valor preestablecido después de la aplicación de ML. El proceso de control de marcha en reposo, que se acaba de ilustrar, se conoce también como proceso regulador y su objetivo es mantener la salida del proceso a un nivel preestablecido. Otro ejemplo ilustrativo de un proceso de control de lazo cerrado es el diagrama de bloques de la figura 1.6, que muestra el proceso de control de la margarita de una impresora o una máquina de escribir electrónica. La margarita de la impresora, que por lo general tiene entre 96 y 100 caracteres, debe girar hasta que su posición sitúe el carácter deseado enfrente del martillo de impresión. La selección del carácter se hace en la forma usual en el teclado de la máquina. Una vez que se oprime una cierta tecla, se inicia la instrucción para que la esfera gire desde su posición anterior hasta la deseada. El microprocesador calcula la dirección y la distancia a recorrer y envía una señal lógica de control al amplificador, que a su vez controla al motor que impulsa a la

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Sistemas de medida y regulación

margarita. La posición de ésta es detectada por un sensor de posición, cuya salida se compara con la posición deseada en el microprocesador. De esta forma, el motor se controla de tal manera que impulse a la margarita hasta la posición deseada. En la práctica, las señales de control generadas por el controlador microprocesador, deben ser capaces de impulsar a la margarita desde una posición a otra con la rapidez suficiente para que la impresión sea exacta en un lapso específico. Velocidad de referencia

Tiempo t

a) Velocidad de referencia

Tiempo t

b) Figura 1.5 : Ejemplo de control de marcha en reposo. a) Respuesta típica en un proceso de lazo abierto. b) Respuesta en un proceso de lazo cerrado.

La figura 1.7 muestra un conjunto típico de entradas y salidas de un proceso. Cuando se cuenta con una entrada de referencia, ésta se halla representada por una función escalón. Puesto que el circuito eléctrico del motor tiene una inductancia y la carga mecánica tiene una inercia, la margarita de la impresora no puede moverse en forma instantánea a la posición deseada. Por lo general, la margarita seguirá la respuesta que se muestra y se estabilizará en su nueva posición después de un tiempo t1. La impresión no puede iniciarse sino hasta que la margarita deja de moverse; de otra forma, el carácter quedará borroso. La figura 1.7 muestra que después de que la margarita se estabiliza, el período de t1 a t2 se reserva para la impresión, por lo que, cuando t = t2, el proceso está listo para recibir un nuevo comando.

Teclado

r

Controlador microprocesador

Amplificador de potencia

Motor de c.c.

y

Codificador de posición

Posición de Figura 1.6 la margarita de la impresora

: Sistema de control de la margarita de una impresora. y (t)

r

Tiempo t Posicionamiento

Impresión

Figura 1.7 : Respuesta temporal de la salida del proceso de control de la margarita de una impresora.

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Principios básicos de la regulación automática

1.2.2 Procesos de control lineales y no lineales. Una definición rigurosa de proceso de control lineal sería: "Sistema cuyas salidas se pueden expresar en forma de combinación lineal de las entradas." Esto significa que entre salidas y entradas existe una relación de proporcionalidad constante, o una relación de combinaciones de proporcionalidad. Esta clasificación se basa en los métodos de análisis y diseño. En su concepto estricto, los procesos lineales no existen en la práctica, pues todos ellos tienen un cierto grado de no linealidad. Los procesos de control lineales realimentados son modelos idealizados que sólo existen como concepto en la mente del analista para simplificar el análisis y diseño. Cuando las magnitudes de las señales de un proceso de control están limitadas a un intervalo en el que los componentes exhiben características lineales (esto es, se aplica el principio de superposición), el proceso es esencialmente lineal. No obstante, cuando las magnitudes de las señales se extienden más allá del intervalo de la operación lineal, el proceso deja de ser considerado como tal. Por ejemplo, los amplificadores que se usan en los procesos de control suelen exhibir un efecto de saturación cuando sus señales de entrada son muy grandes; el campo magnético de un motor casi siempre tiene propiedades de saturación. Otros efectos no lineales comunes de los procesos de control son la asimetría o desajuste mecánico de los miembros acoplados con engranajes, las características no lineales de los resortes, las fuerzas de fricción o torsión no lineales entre miembros móviles, etc. En otras ocasiones, las características no lineales se introducen intencionadamente en los procesos de control para mejorar su desempeño o lograr un control más efectivo. Por ejemplo, para obtener un control de tiempo mínimo se usa un controlador de tipo cierre-apertura. Este tipo de control es frecuente en muchos procesos de control de cohetes o vehículos espaciales; en el control de la posición en vuelo de cohetes y vehículos espaciales, se montan reactores de propulsión en los laterales del vehículo para lograr un par de reacción en el control posicional. Estos reactores suelen controlarse con métodos de cierre total o apertura total, de tal manera que se aplique una cantidad fija de aire en un reactor durante un cierto tiempo para controlar la posición del artefacto. Los procesos lineales poseen la gran ventaja de poder ser diseñados y analizados mediante una gran diversidad de técnicas matemáticas que, en general, resultan bastante asequibles al usuario. Sin embargo, el tratamiento matemático de los procesos no lineales es bastante difícil y no se cuenta con métodos generales que puedan aplicarse a la resolución de un grupo amplio de procesos no lineales.

1.2.3 Procesos invariantes y variantes con el tiempo. Cuando los parámetros de un proceso de control son estacionarios con respecto al tiempo durante la operación del mismo, se trata de un proceso invariante con el tiempo. En la práctica, la mayor parte de los procesos físicos contienen elementos que fluctúan o varían con el tiempo. Por ejemplo, la resistencia del devanado de un motor eléctrico variará cuando éste sea excitado y se eleve su temperatura. Otro ejemplo de un proceso variable con el tiempo es el control de un cohete dirigido en el que la masa del cohete disminuye a medida que el combustible se consume durante el vuelo. Aunque un proceso variable con el tiempo sin linealidad es todavía un proceso lineal, el análisis y diseño de esta clase de procesos suelen ser mucho más complejos que los de los lineales invariantes con el tiempo.

1.2.4 Procesos de control continuos y procesos de control de datos muestreados y digitales. Procesos de control continuos. Un proceso continuo es aquél en el que las señales de diferentes partes del proceso son todas funciones de la variable continua de tiempo, t. Entre los procesos de control continuos, las señales pueden clasificarse como de c.a. o c.c. A diferencia de las definiciones generales de señales c.a. y c.c. que se usan en la ingeniería eléctrica, los procesos de control de c.a. y c.c. tienen una importancia especial. Cuando se habla de un proceso de control de c.a., casi siempre se está haciendo referencia a señales del proceso que se han modulado de alguna manera. Por otra parte, cuando se trata de un proceso de control de c.c., ello no significa que todas las señales del proceso sean de tipo de corriente continua; si así fuera, no habría movimiento de control. Un proceso de control de c.c. simplemente significa que las señales no están moduladas, pero que siguen siendo señales c.a. de acuerdo con la definición convencional. En la figura 1.8 se muestra el diagrama esquemático de un proceso de control de c.c. de lazo cerrado. En la misma figura se incluyen las formas de

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Sistemas de medida y regulación Comparador

Dispositivo controlado (motor c.c.)

+ E

Amplificador de potencia para c.c.

e

-

r

+

+

A C

e*

*

-

Transmisor de medida

y

Reductor de engranajes

Consigna o entrada de referencia

e

M _ B

-

y

r

D

Variable controlada

y

Tiempo t

Tiempo t

Tiempo t

Figura 1.8 : Esquema de un proceso de control de lazo cerrado de corriente continua.

Comparador

~

~

U

e

~

~

~ Amplificador de potencia para c.c.

y

~

Transmisor de medida

e

r

Tiempo t

U

M ~

e*

y

Reductor de engranajes

Consigna o entrada de referencia

~

~

*

r

Dispositivo controlado (servomotor c.a.)

Variable controlada

y

Tiempo t

Tiempo t

Figura 1.9 : Esquema de un proceso de control de lazo cerrado de corriente alterna.

onda típicas del proceso en respuesta a una entrada de función escalón. Los componentes comunes de un proceso de control de c.c. son potenciómetros, amplificadores de c.c., motores de c.c. y tacómetros de c.c. En la figura 1.9 se muestra el diagrama esquemático de un proceso típico de control de c.a. En este caso, las señales del proceso están moduladas; esto es, la información se transmite por medio de una señal portadora de c.a. Se observa que la variable controlada de salida todavía se comporta en forma similar a la de un proceso de c.c. cuando ambos tienen el mismo objetivo de control. En este caso, las señales moduladas quedan demoduladas por las características de bajo paso del motor de control. Los componentes típicos de un proceso de control de c.a. son síncronos, amplificadores de c.a., motores de c.a., giroscopios y acelerómetros. En la práctica, no todos los procesos de control son estrictamente de tipo de c.a. o c.c.. Un proceso puede incorporar una mezcla de componentes de c.a. y c.c., usando moduladores y demoduladores para igualar las señales en diferentes puntos del proceso.

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Principios básicos de la regulación automática

Procesos de control de datos muestreados y digitales. Los procesos de control de datos muestreados y digitales difieren de los continuos en cuanto a que las señales en uno o más puntos del proceso aparecen en forma de un tren de impulsos o un código digital. Por lo general, los procesos de datos muestreados se refieren a una categoría más general en la que las señales se encuentran en forma de impulsos, mientras que un proceso de control digital se refiere al uso de un ordenador o microcontrolador en el proceso. En este texto se usa el término proceso de control discreto para describir ambos procesos. Por ejemplo, el proceso de control de la margarita de la impresora, que se muestra en la figura 1.6, es un proceso de control típico discreto o digital, pues el microprocesador recibe y da la salida a datos digitales. En general, un proceso de datos muestreados recibe datos o información únicamente en forma intermitente en tiempos específicos. Por ejemplo, la señal de error de un proceso de control sólo puede suministrarse de manera intermitente en forma de impulsos, en cuyo caso, el proceso de control no recibe información acerca de la señal de error durante los períodos entre dos impulsos consecutivos. La figura 1.10 ilustra cómo opera un proceso típico de datos muestreados. Al proceso se le aplica una señal de entrada continua r(t). La señal de error e(t) se alimenta a un dispositivo de muestreo y la salida de éste es una secuencia de impulsos. La velocidad de muestreo puede o no ser uniforme. La incorporación de un proceso de muestreo para el control tiene grandes ventajas. Una de las más obvias consiste en que es posible compartir un equipo costoso entre varios canales de control. Comparador r(t)

e(t)

Retención de datos (filtro)

e*(t)

Muestreador

e(t)

u(t)

e*(t)

Tiempo t

Proceso controlado

y(t)

u(t)

Tiempo t

Tiempo t

Figura 1.10 : Diagrama de bloques de un proceso controlado por datos muestreados.

Puesto que los ordenadores (computadores digitales) representan muchas ventajas de tamaño y flexibilidad, el control por ordenador se ha vuelto muy popular en años recientes. Muchos procesos aeronáuticos contienen controladores digitales que pueden incluir varios miles de elementos discretos en un espacio no mayor unas pocas decenas de centímetros cúbicos.

1.2.5 Procesos de control de eventos discretos. Los procesos de control de eventos discretos son procesos donde la secuencia de trabajo se ha dividido en tareas simples o etapas elementales (eventos discretos). Las condiciones que permiten al sistema cambiar de una etapa a otra son las señales de entrada, las cuales son mayoritariamente de carácter digital o binario, mientras que las acciones que el sistema realiza en cada una de las etapas son las señales de salida. La técnica de control de eventos discretos se denomina, a veces, como control secuencial o control lógico programable y, como al menos parte de la aplicación es dinámica, se conoce también como control dinámico de eventos discretos. La aplicación, a menudo, incorpora estrategias complejas que se utilizan para el control de máquinas, procesos y diversas operaciones de manufacturación. La implementación contiene la formulación de acciones de control determinadas en respuesta a las características secuenciales y combinacionales observadas de un conjunto de órdenes y condiciones sensoriales. Las condiciones de entrada y de realimentación se reciben generalmente en el controlador como señales binarias y las acciones de control devueltas a la planta son también señales binarias. Este tipo de control se asocia, la mayoría de las veces, con diversas formas de fábricas automatizadas. Una variación del control de eventos discretos se tiene con un sistema que incorpora una señal de control ternaria con un nivel positivo, un nivel negativo y un nivel cero. Las condiciones de conmutación ocurren como resultado de observar las señales de realimentación en relación con los niveles de referencia deseados. La estrategia de control se implementa rápidamente con actuadores on/off que emplean conmutadores de estado sólido o relés controlados por circuitos analógicos o digitales que determinan las condiciones de conmutación.

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Sistemas de medida y regulación

Un ejemplo es el control on/off de los impulsores que liberan un gas presurizado para controlar la orientación angular de un vehículo espacial. La dirección de la fuerza de un impulsor específico se determina mediante un ángulo de montaje fijo y la magnitud de la fuerza es constante durante el tiempo que está activo el impulsor. Aunque se suministra potencia a la planta en solamente tres niveles discretos, la energía suministrada en cualquier periodo de tiempo es, por supuesto, dependiente de la temporización de las acciones de conmutación.

1.3

Regulación de un proceso. Conceptos y elementos característicos.

En relación con la regulación o control se emplean una serie de conceptos y designaciones que deben ser definidos. A continuación se exponen estos conceptos y designaciones ilustrados con un ejemplo sencillo tomado del campo de los accionamientos.

1.3.1 Elementos característicos en un control de lazo abierto de una variable. Un motor de corriente continua con excitación constante acciona el husillo de una máquina-herramienta que debe girar a una velocidad determinada. Esta velocidad es la variable física que interesa al operador de la máquina-herramienta. Éste ajusta, mediante un convertidor estático adecuado, la tensión de inducido del motor de corriente continua para obtener, por ejemplo, una velocidad de 600 r.p.m. en el caso de que vaya a trabajar un material fácilmente mecanizable. Ésta puede considerarse la velocidad óptima para este proceso de mecanizado. Por ello, conviene que esta velocidad se mantenga constante durante todo el tiempo de mecanizado y que este valor óptimo pueda volver a ajustarse cada vez que va a repetirse el mismo proceso. En la disposición descrita sólo hay una manera de influir sobre la velocidad de la máquina (figura 1.11). El operador ajusta con una rueda selectora (1) la variable de referencia, es decir, el valor de la velocidad que desea alcanzar. Como consecuencia de ello actúa una tensión de control como consigna (2) sobre el circuito de disparo (3) que gobierna, a su vez, con los impulsos de encendido, al convertidor estático (4) conmutado por la red. Este dispositivo se encarga de aplicar la tensión continua UA correspondiente a la velocidad ajustada al inducido del motor de corriente continua (5) que acciona el husillo de la máquina-herramienta (6). Éste gira por ello a la velocidad n de 600 r.p.m. citada como ejemplo. Esta disposición tiene la forma de una cadena en la que cada eslabón actúa sobre el siguiente. Los diferentes eslabones se denominan elementos. La cadena formada por estos elementos se conoce como cadena de control. A continuación, se describen cada una de las partes de la cadena de control siguiendo el ejemplo propuesto. 6 husillo

esquema funcional 1

Máquina herramienta

2

3

4

5

+

+

Selector de consigna

M _

C

D

-

-

diagrama de bloques 1

2

3

4

5

6 husillo

Selector de consigna

Elemento final de control

Dispositivo controlado

Proceso controlado

Figura 1.11 : Esquema funcional y diagrama de bloques de una cadena de control en lazo abierto.

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Principios básicos de la regulación automática

Selector de consigna. Al principio de la cadena está el deseo de conseguir una velocidad determinada que ya se ha designado como variable de referencia. Este deseo se convierte en la tensión de control generada en el selector de consigna (elementos 1 y 2 de la figura 1.11) y se va transfiriendo de un eslabón a otro a lo largo de toda la cadena. Se puede definir variable de referencia como: El valor de la acción que se desea obtener al final de la cadena de control y que se ajusta al principio de la misma. Por otra parte, la variable de referencia se ajusta mediante un selector de consigna, cuya definición sería: Dispositivo que permite de una forma voluntaria ajustar el valor de la variable de referencia.

Elemento final de control. Al principio se tiene la variable de referencia y al final la variable física que interesa controlar y que se denomina variable deseada. Esta variable deseada se ajusta de acuerdo con la variable de referencia. En el ejemplo representado en la figura 1.11, esto se realiza mediante el circuito de disparo y el convertidor estático (elementos 3 y 4). Estos dos eslabones constituyen, en este caso, el elemento final de control, que en términos generales se podría describir como: Elemento o conjunto de elementos cuyo objetivo es actuar sobre el dispositivo controlado para que la acción de éste alcance el valor de la variable deseada.

Proceso controlado y dispositivo controlado. El dispositivo controlado, al que también se le podría denominar máquina o proceso operativo, es el objeto de actuación de todo el proceso controlado descrito hasta ahora. Su definición sería: Elemento final de la cadena de control cuyo cometido es realizar la acción o tarea para obtener la variable deseada. Los elementos de la cadena de control considerada (a excepción del selector de consigna) se denominan también sistema controlado o proceso controlado. Si, en vez del material fácilmente mecanizable considerado en el ejemplo, se trabaja uno cuya mecanización ofrece más dificultades, el motor del accionamiento quedará sometido a una carga mayor. Como consecuencia, dicho motor girará a una velocidad menor, con lo que quedará perturbado el ajuste de la velocidad a 600 r.p.m. realizado inicialmente. Estas influencias y otras semejantes sobre la variable deseada (en el ejemplo, sobre la velocidad) se denominan variables perturbadoras. Si la influencia de estas variables perturbadoras se mantiene dentro de unos límites tales que la variable deseada no llega a superar el margen de tolerancia admisible para el proceso tecnológico considerado, resulta adecuado emplear un sistema de control de lazo abierto. Los conceptos y designaciones expuestos en los párrafos anteriores no se modifican si el proceso controlado viene influido por otras maniobras o si actúa siguiendo una secuencia temporal prescrita. El concepto de control de lazo abierto puede definirse, de acuerdo con la norma DIN 19226, de la forma siguiente: Un sistema delimitado se somete a una intervención externa, la denominada variable de entrada o variable de referencia, que hace esperar que la variable de salida o variable deseada adopte, de acuerdo con las leyes físicas, las interrelaciones y las secuencias temporales prescritas, un valor deseado determinado. La variable de salida no influye sobre la variable de entrada. Por ello, el valor de la variable deseada puede divergir considerablemente del valor deseado debido a las perturbaciones externas.

1.3.2 Elementos característicos en un control de lazo cerrado de una variable. De las consideraciones relativas a las variables perturbadoras hechas en el ejemplo del accionamiento de corriente continua se deduce que, en una cadena de mando, la variable controlada sólo puede seguir de forma muy limitada a la variable de referencia; cualquier perturbación que se produzca se refleja totalmente en la variable controlada. Una perturbación constante permanente (en el ejemplo de la figura 1.11, una variación de

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Sistemas de medida y regulación

la carga base de la máquina) puede compensarse ajustando adecuadamente el selector de consigna. Sin embargo, si las modificaciones de las variables perturbadoras se presentan en un momento cualquiera y con una amplitud cualquiera dentro de los límites admisibles, resulta más conveniente medir la variable controlada e intervenir sobre la cadena de mando, en el caso de que su valor diverja del valor prescrito por la variable de referencia, para conseguir de esta forma que la variable controlada se aproxime lo máximo posible a la de referencia. Por tanto, resulta necesario realizar una realimentación de la variable de entrada con la de salida. Este procedimiento se denomina control de lazo cerrado. Las modificaciones arbitrarias de las variables perturbadoras exigen el empleo del control de lazo cerrado. El control de lazo cerrado se lleva a cabo mediante un sistema controlador que complementa los equipos ya descritos en la cadena de control (si no se considerase el selector de consigna se hablaría de proceso controlado). El sistema controlador se compone generalmente de tres partes; cada una de estas partes se encarga de una función específica. La variable deseada que, en el caso de un sistema de control de lazo cerrado, debe mantenerse constante o seguir las variaciones de la variable de referencia, se denomina variable controlada cuando coincide con la variable medida. En el ejemplo de la figura 1.12, la variable controlada es la velocidad que se mide con una dinamo tacométrica. En algunas ocasiones la variable deseada no es accesible o sólo lo es difícilmente. La variable deseada podría ser, por ejemplo, el flujo magnético en el entrehierro de un motor de corriente continua. En este caso no resulta posible incorporar con posterioridad un sensor Hall en el entrehierro. Por ello, debe tomarse como variable controlada la corriente de excitación; esta corriente es un buen reflejo del flujo y puede medirse fácilmente. La variable deseada y la variable controlada no son por tanto siempre idénticas, aunque deben estar directamente relacionadas. 6 husillo

esquema funcional 1

Máquina herramienta

2

8

9

3

4

5

+

Comparador Selector de consigna

+

Controlador o Corrector

M _

C

D

-

-

7 G _

diagrama de bloques 1

2

8 Comparador U

Selector de consigna

9

3

4

5

6

st

Controlador

Elemento final de control

Dispositivo controlado

Proceso controlado

7

Dinamo

Sistema controlador

Transmisor de medida

Figura 1.12 : Esquema funcional y diagrama de bloques de un bucle de control en lazo cerrado.

Para medir una corriente continua, como en este último caso, se necesita, por ejemplo, un shunt de medida y un amplificador, pues la tensión medida en el shunt es muy pequeña. Este shunt se denomina sensor o transductor de medida y el amplificador lineal de tensión de alta precisión asociado se conoce como amplificador de medida. Este sensor y este amplificador forman el transmisor de medida que es capaz de medir la variable controlada, es decir, una variable física cualquiera y de transformarla de forma que pueda seguir siendo procesada por el sistema controlador.

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Principios básicos de la regulación automática

El transmisor de medida no tiene por qué estar formado por varios componentes. La dinamo tacométrica, citada en el ejemplo de la figura 1.12, es un transmisor de medida que transforma una velocidad en una tensión. A continuación, se describen cada una de las partes de un sistema controlador aplicado a un proceso controlado.

Transmisor de medida. Para que, dentro de un proceso de control de lazo cerrado, el sistema controlador pueda regular la variable de salida o controlada, debe conocer el valor de dicha variable. El transmisor de medida va a ser el elemento encargado de dicha función. El transmisor de medida mide la variable controlada y la transforma en una señal que pueden entender los demás componentes del sistema controlador. La señal proporcionada por el transmisor de medida se utiliza para representar las variables físicas en los procesos de control. Los procesos de control empleados en los accionamientos y en el campo de la energía eléctrica suelen trabajar con señales cuya naturaleza es la de una tensión continua. Esta señal se denomina señal de tensión continua y puede estar comprendida entre -10 V y +10 V. Estos 10 V son por tanto el valor máximo con el que es posible representar una variable; el signo indica su sentido pues, por ejemplo, un par puede actuar a derechas o a izquierdas. En general, este valor máximo de 10 V corresponde al 100% del valor nominal de la variable física. En otros casos (sobre todo en el campo de la ingeniería de procesos) se emplea, por el contrario, una corriente continua comprendida entre 0 y 20 mA para representar la variable física.

Comparador o detector de errores. El siguiente paso consiste en comparar la variable de referencia con la variable controlada para determinar cuál es la diferencia existente entre el valor real de la variable controlada y la consigna correspondiente. Para ello, el valor de la variable controlada dado por el transmisor de medida se resta del valor existente a la salida del selector de consigna. Esta operación se realiza mediante un comparador o detector de errores que proporciona a su salida la señal de error. El comparador compara la variable controlada con la variable de referencia, formando así la señal de error. Hay que distinguir entre la señal transitoria de error y la señal permanente de error. Como señal transitoria de error se designa a la que se presenta sólo durante el proceso de control y desaparece cuando éste termina. Si la señal de error no desaparece totalmente al finalizar el proceso de control, se trata de una señal permanente de error. Se considera que el proceso de control termina, cuando la señal de error se mantiene constantemente dentro de una banda de tolerancia de, por ejemplo, el 2%. Esta banda de tolerancia va referida al margen absoluto de variación admisible de la variable controlada o a la modificación correspondiente de la variable de referencia. Dado que la señal de error es la diferencia entre la variable de referencia menos la variable controlada, si ésta resulta positiva, el sistema controlador debe procurar que aumente la variable controlada. Se trata, por tanto, de una intervención con signo positivo sobre el sistema controlado. Si la señal de error es grande, hay que modificar considerablemente el ajuste del elemento final de control. Si la señal de error es pequeña, basta una pequeña variación del ajuste de dicho elemento para que la variable controlada adopte un valor que equivalga, dentro de las limitaciones impuestas por el sistema controlado, al de la variable de referencia. Si la señal de error es nula o prácticamente nula, el proceso controlado está corregido y el elemento final de control está correctamente ajustado.

Controlador o corrector de error. El proceso controlado no reacciona inmediatamente frente a una modificación del ajuste del elemento final de control, sino que, en la mayoría de los casos, responde con un cierto retardo. El sistema controlador debe contrarrestar esta respuesta temporal del proceso controlado actuando de manera que la variable controlada siga las variaciones de la variable de referencia o corrija los efectos de las modificaciones de las variables perturbadoras con las siguientes premisas: •

Máxima rapidez.

•

Máxima exactitud.

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Sistemas de medida y regulación

•

Mínimo de oscilaciones.

Para ello es necesario que la señal de error no actúe directamente sobre el elemento final de control y que un elemento especial desarrolle, como complemento a la acción proporcional a la señal de error, una acción que contrarreste el retardo debido a la inercia natural del proceso controlado. Estas dos acciones, la determinada por la amplitud y la correspondiente al tiempo, constituyen la variable correctora que actúa sobre el elemento final de control. El hecho de ajustar óptimamente los parámetros de este elemento, es decir, la ganancia y las constantes de tiempo, se denomina optimización. La optimización de dicho elemento resulta decisiva para establecer la respuesta deseada de la variable controlada. Por ello, este elemento puede considerarse el núcleo del sistema controlador. Ésta es la tercera función básica del sistema controlador. Corre a cargo del corrector de errores o controlador. Mediante el controlador, y partiendo de la señal de error, se forma, ajustando lo mejor posible los parámetros de dicho elemento de acuerdo con la respuesta del sistema controlado, la variable correctora precisa para conseguir un control óptimo de este sistema. Pueden emplearse controladores mecánicos, hidráulicos, neumáticos o eléctricos. Estas designaciones indican únicamente el portador a través del cual el controlador recibe o transmite la información. Entre los controladores eléctricos figuran también, actualmente, los denominados controladores electrónicos, es decir, aquéllos que incluyen componentes semiconductores. El accionamiento de velocidad variable representado en la figura 1.11 es un ejemplo de cadena de control. Para poder, además de ajustar la velocidad, mantenerla constante durante períodos prolongados, a pesar de las modificaciones de las variables perturbadoras, es preciso ampliar la cadena para convertirla en un lazo cerrado de control. En la figura 1.12, se han incorporado a la cadena citada los elementos que la convierten en un lazo cerrado de control. La modificación más importante es la realimentación. La velocidad medida y transformada por la dinamo tacométrica (7) en la tensión de valor real Uy se reconduce a la entrada del controlador desde donde pasa al comparador (8). En este elemento, que forma parte del propio controlador, se compara la variable controlada con la variable de referencia dada por el selector de consigna (2) en forma de la tensión de consigna Ur. La variable controlada puede medirse continuamente, como en el ejemplo de la figura 1.12, o periódicamente en intervalos preestablecidos. Se distingue, por tanto, entre el control continuo y el control por muestreo, como ya se ha comentado en el apartado 1.2.4. El controlador, caracterizado por una acción proporcional y una respuesta temporal (9), proporciona la variable correctora (su tensión de salida Uu) que actúa sobre el circuito de disparo del convertidor estático. Los controladores se fabrican con potencias máximas de salida relativamente pequeñas, por ejemplo, 10 V y 10 mA. Es posible emplear un solo tipo de controlador para resolver distintos problemas de control, pues la adaptación a la potencia necesaria para el proceso controlado corre a cargo del elemento final de control que dispone de una alimentación de potencia suficiente. En el ejemplo del accionamiento de velocidad controlada, el elemento final de control (el convertidor estático) alimenta al motor de corriente continua. Dicho convertidor estático (4) se encarga, junto con su circuito de disparo (3), de adaptar la potencia de salida del controlador a las necesidades del motor de corriente continua. El controlador considerado en los párrafos anteriores puede adoptar cualquier tensión comprendida en el margen de control de - 10 V a + 10 V y pasar de una tensión a otra de forma continua, es decir, sin saltarse ninguno de los infinitos valores intermedios. Se trata, por tanto, de un controlador continuo. Para el control de procesos se emplean además otros dos tipos de controladores. Se utilizan, por ejemplo, controladores cuya salida sólo puede adoptar tres valores discretos. La variable correctora resultante en cada caso significa entonces, por ejemplo, marcha a izquierdas del motor, parada y marcha a derechas del motor. Estos controladores se emplean para accionar válvulas, clapetas, compuertas, etc. Se denominan controladores a tres niveles. Los controles todo o nada, también llamados controladores a dos niveles, son todavía más sencillos y se utilizan, por ejemplo, para controlar la temperatura de los hornos. Estos controladores conectan cuando la variable controlada desciende más que un cierto valor de tolerancia por debajo de la consigna y desconectan cuando aquélla supera a ésta en el citado valor. Si basándose, por ejemplo, en la figura 1.12, se estudia la actuación de un elemento sobre el siguiente, se observa (debido a la realimentación de la variable controlada hacia la entrada del controlador) que dicha actuación se desarrolla en un bucle que se denomina lazo de control.

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Principios básicos de la regulación automática

La figura 1.13 representa un bucle de control genérico. Se observa que el proceso controlado y el controlador están dispuestos de forma que constituyen un bucle. La variable controlada y (la variable de salida del dispositivo controlado) es transformada por el transmisor de medida en una magnitud física representativa (el valor real y* de la variable controlada) que puede ser procesada por el controlador. Los límites entre el controlador y el proceso controlado quedan establecidos por una definición banal, pero que resulta práctica para el usuario: variables perturbadoras

Comparador Selector de consigna

r

e

u

Controlador

y*

Elemento final de control

u*

Dispositivo controlado

y

Proceso controlado

bucle de control

y*

Transmisor de medida

y

Sistema controlador

Figura 1.13 : Diagrama de bloques general de un bucle de control.

Todo lo que no resulta indispensable para ajustar óptimamente la acción del sistema de control forma parte del proceso controlado. Por tanto, el proceso controlado empieza donde la variable correctora u actúa sobre el elemento final de control, continúa hasta el dispositivo controlado con la variable correctora u* amplificada en el elemento final de control, de acuerdo con las exigencias de cada caso particular, termina a la salida del transmisor de medida con la variable controlada y* adaptada a la entrada del controlador e incluye todos los procesos de acondicionamiento de este valor real como, por ejemplo, el alisamiento y la división de tensiones. Sin embargo, para el estudio del comportamiento del controlador basta conocer su acción proporcional y su respuesta temporal. En la figura 1.13, se observa que no son sólo las variables perturbadoras z1, z2, etc. las que influyen desde el exterior sobre el bucle de control cerrado. La variable de referencia r, dada por el selector de consigna como valor requerido para la variable controlada, actúa también desde el exterior como las variables perturbadoras. Por ello, todas las respuestas transitorias que aparecen presentan las mismas características tanto si son debidas a una modificación de las variables perturbadoras como a una variación de la variable de referencia. Sin embargo, la variable de referencia actúa, contrariamente a las variables perturbadoras, en un punto muy concreto del bucle: en el comparador situado a la entrada del controlador, es decir, en el punto donde esta variable, procedente del exterior, es comparada con la variable controlada para obtener la señal de error e. Esto permite corregir con la máxima rapidez la señal de error resultante con vistas a lograr que la variable controlada adopte o mantenga el valor prescrito por la variable de referencia. Por el contrario, las variables perturbadoras no solo deben atravesar parte del dispositivo controlado para llegar a modificar la variable controlada, sino que también deben pasar por el transmisor de medida (con el retardo que esto supone) para alcanzar el comparador situado a la entrada del controlador. Sólo entonces puede intervenir éste para corregir la variable controlada. En base a lo expuesto en los párrafos anteriores y de acuerdo con la norma DIN 19226, resulta posible definir el concepto de control de lazo cerrado de la forma siguiente: Controlar en lazo cerrado significa influir sobre una variable física para que coincida, con la mayor aproximación posible e independientemente de las perturbaciones externas, con un determinado valor prescrito. La variable física a controlar debe adoptar un nuevo valor si se modifica este valor de referencia, o volver al valor original, en caso de que se produzcan perturbaciones, con la máxima rapidez, la máxima exactitud y el mínimo de oscilaciones posible. Para influir sobre dicha variable física se emplea la señal de error, es decir, la diferencia entre el valor prescrito y el valor real de esta variable.

13

Sistemas de medida y regulación

Estas acciones de control se desarrollan en un bucle cerrado y únicamente en un sentido determinado no arbitrario. La variable controlada actúa corrigiéndose a sí misma a través de la realimentación incluida en la estructura del bucle de control.

1.3.3 Conceptos y definiciones de los procesos de control. Los procesos de control que se aplican a la industria actual (energética, automoción, química, textil, papel, alimentación…) tienen su propia terminología, con la que se definen las características propias de los sistemas de medida y control o regulación. Hoy en día, estos términos definitorios, se han ido unificando, para que las personas dedicadas a este campo de la técnica (ingenieros, técnicos, estudiantes…) puedan hablar un lenguaje común a la hora de definir, diseñar, instalar y mantener los sistemas regulados o procesos de control. Existen muchos conceptos y definiciones en los procesos de control. Resultaría bastante farragoso si se expusieran aquí y se comentaran todos ellos. No obstante, se citan, a continuación, aquellos términos más generales, a partir de los cuales se pueden entender otros muchos, según el lector se vaya adentrando en esta materia.

Alcance o campo de indicación. El alcance de indicación de un instrumento de medida es el valor de la magnitud medida que hace ir al elemento indicador del principio al final de la escala de medida.

Alcance o campo de medida. El alcance de medida de un instrumento de medida es el intervalo de indicaciones en que se cumplen las condiciones de exactitud o clase de precisión del aparato. También se puede definir como la diferencia algebraica entre el mayor valor y el menor valor de medida que puede realizar el instrumento de medida en las condiciones de precisión.

Error. El error es la diferencia algebraica entre el valor resultante del instrumento de medida y el valor real de la variable medida.

Error estacionario o en estado estable. Este tipo de error está referido a los sistemas o procesos de control en lazo cerrado y es la diferencia entre el valor de la variable de referencia y la variable controlada cuando el sistema ha alcanzado el estado estable.

Fiabilidad. Fiabilidad es la probabilidad de que un instrumento siga comportándose dentro de unos límites de error especificados, a lo largo de un tiempo definido y bajo unas condiciones determinadas.

Función de transferencia. Función de transferencia es la relación o cociente matemático o gráfico entre las expresiones temporales de las señales de salida y de entrada de un elemento o un sistema. Una definición más rigurosa sería: La función de transferencia de un sistema, descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo, es el cociente entre la transformada de Laplace de la función temporal de la señal de salida (función respuesta) y la transformada de Laplace de la función temporal de la señal de entrada (función de excitación),

U(s)

G(s)

Y(s)

G(s) =

Y(s) U(s)

Figura 1.14 : Función de transferencia de un elemento o sistema.

bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero (figura 1.14).

14

Principios básicos de la regulación automática

Ganancia. Ganancia es la relación de proporcionalidad entre la señal de salida y la señal de entrada de un elemento o sistema.

Histéresis. Histéresis es la máxima diferencia en los valores de salida de un instrumento, para el mismo valor de medida, cuando la variable recorre toda la escala de medida en los dos sentidos, ascendente y descendente (figura 1.15). Variable medida

rt po m o C

Error por histéresis Valor resultante en sentido descendente

ien am

to

ide

al

Valor real de referencia

Valor resultante de la medición Valor resultante en sentido ascendente

Figura 1.15 : Ciclo de histéresis de un instrumento y error cometido.

Incertidumbre. Según la norma ISO 10012-1, incertidumbre es la estimación que determina el intervalo de valores en el que se ubica, normalmente con una alta probabilidad dada, el valor verdadero de la magnitud medida.

Linealidad. Linealidad es un concepto que define el comportamiento de un elemento o sistema. Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de entrada diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada a la vez y sumando los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuación diferencial lineal a partir de soluciones simples. Si en una investigación experimental de un sistema dinámico, son proporcionales la causa y el efecto, lo cual implica que se aplica el principio de superposición, el sistema se considera lineal.

Linealidad e invariabilidad en el tiempo. Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones sólo de la variable independiente. Los sistemas dinámicos descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo (de coeficientes constantes) se denominan sistemas lineales invariantes con el tiempo (o lineales de coeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas lineales variantes con el tiempo.

Precisión. La precisión es la designación aplicada a un instrumento cuyos errores permanecen dentro de los límites especificados para las condiciones de empleo especificadas.

Repetitibilidad. Repetitibilida es la capacidad de reproducción de los valores de medida cuando se utiliza un instrumento para medir repetidamente valores reales idénticos en las mismas condiciones de servicio y recorriendo la escala del instrumento en el mismo sentido.

15

Sistemas de medida y regulación

Respuesta en frecuencia o ancho de banda. En un sistema que trabaja con señales alternas, el ancho de banda se define como el rango de frecuencia para el cual la ganancia del sistema no desciende por debajo de 3dB (1dB = 20·log[ganancia]).

Respuesta estacionaria o en estado estable. Se dice que un sistema ha alcanzado la respuesta en estado estable cuando, ante la ausencia de perturbaciones, la variable controlada permanece en el mismo estado, es decir, en equilibrio (figura 1.16). También se puede definir como el comportamiento de un sistema cuando el tiempo tiende a infinito.

Respuesta transitoria. Se define como el componente de la respuesta de un sistema que tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito (figura 1.16). u(t)

u(t)

Sistema

y(t)

Tiempo t

y(t)

y(t)

y(t)

= Período transitorio

Período estacionario

+ Tiempo t

Tiempo t

Respuesta transitoria

Tiempo t

Respuesta estacionaria

Figura 1.16 : Representación de los conceptos de respuesta transitoria y respuesta estacionaria.

Ruido. Se llama ruido a las señales electromagnéticas no deseadas que puede captar el sistema de control y que interfieren en el valor de medición o en la variable controlada. Estas señales perturbadoras pueden internas o externas al sistema.

Sensibilidad. Sensibilidad es la relación o cociente entre el incremento de la lectura y el incremento de la variable o señal que lo ocasiona después de haber alcanzado el estado estable.

Trazabilidad. Trazabilidad es la propiedad del resultado de las mediciones efectuadas con un instrumento o con un patrón, tal que puede relacionarse con patrones nacionales o internacionales, mediante una cadena ininterrumpida de comparaciones, con todas las incertidumbres de medida determinadas.

Zona muerta. Zona muerta es el campo de valores reales de la variable medida que no produce variación en la indicación o señal de salida del instrumento.

16

Principios básicos de la regulación automática

1.4

Regulación manual y automática.

Cuando se habla de regulación manual y regulación automática se hace bastante obvio su significado. No obstante, siempre resulta interesante realizar una comparación entre ambos tipos de regulación y observar cuándo puede interesar un sistema de regulación u otro. Un ejemplo de regulación manual sería el control de la temperatura de una casa con calefacción central donde una persona está cerca del interruptor de encendido y apagado de la caldera con un termómetro y enciende y apaga la caldera de acuerdo con la lectura del termómetro. ésta es una forma rudimentaria de sistema de control utilizando a un hombre como sistema controlador. Si el mismo ejemplo lo aplicamos como caso de regulación automática, el sistema controlador humano podría ser sustituido por un simple termostato que automáticamente, y sin la intervención humana, conecte o desconecte la caldera. Este sistema de control es capaz de mantener constante la temperatura mediante una regulación automática del proceso a controlar (caldera). Los sistemas de control o regulación se han generalizado en la industria. Hay muchos procesos industriales y máquinas en las que se precisa una regulación manual o automática. El concepto de regulación hace clara referencia al objetivo de mantener constante (o dentro de unos márgenes determinados) el valor de una variable de salida o variable controlada. Esta idea coincide en gran medida con el control de lazo cerrado (realimentación), ya mencionado de forma más extensa en los apartados anteriores 1.2.1, 1.3.1 y 1.3.2 y, más adelante, en el apartado 1.5. proceso con regulación automática

variables perturbadoras

Comparador Selector de consigna

r

e

u

Controlador

y*

Elemento final de control

u*

Dispositivo controlado

y

Proceso controlado

y*

y

Transmisor de medida

Sistema controlador

proceso con regulación manual comparación y acción de control consigna variables perturbadoras

medida u

Elemento final de control

u*

Dispositivo controlado

y

Proceso controlado

Sistema controlador

Figura 1.17 : Representación comparativa de un proceso con regulación automática y con regulación manual.

17

Sistemas de medida y regulación

Las ventajas de la regulación automática con respecto a la regulación manual son obvias: constancia de la variable controlada de salida, fiabilidad en los resultados, comodidad y seguridad para las personas, rapidez de respuesta ante cambios… No obstante, también se hace evidente que los bucles de control deben disponer de un accesorio que permita, a voluntad del operador, actuar manualmente y sustituir al sistema controlador (transmisor de medida, comparador y controlador) en el proceso de control. En el modo de operación con regulación manual, el operador humano realiza las tareas de ajuste del valor de consigna, lectura de la variable controlada, comparación de dicha variable con el valor de consigna y decisión de la acción de control a realizar sobre el elemento final de control (figura 1.17). Esta necesidad es básica en la puesta en servicio de cualquier proceso. Como ejemplo se puede comentar que, hoy en día, en muchas industrias se usan automatismos neumáticos con sistemas controladores neumáticos. En los controladores neumáticos, este dispositivo para cambio a modo manual, es un pequeño manorreductor que en la posición manual desconecta previamente el propio controlador y acciona manualmente la válvula de control (elemento final de control) desde el propio instrumento. En automático, el manorreductor queda desconectado y la señal de salida del controlador pasa directamente a la válvula de control. Como es lógico, debe ser posible efectuar fácilmente el cambio tanto de automático a manual como de manual a automático. El cambio debe efectuarse de tal modo que la señal a la válvula antes y después no sufra variaciones, para evitar la variación de posición brusca de la válvula que se produciría y que podría repercutir desfavorablemente en el control del proceso. El cambio puede efectuarse sin tomar ningún cuidado, pasando directamente de manual a automático y viceversa sin que la válvula cambie de posición.

1.5

Realimentación. Conceptos generales.

El concepto de realimentación se ha tratado de forma implícita en los apartados anteriores, no obstante, una posible definición explícita del concepto de realimentación sería: Relación prescrita entre la salida y la entrada de referencia en la que éstas se comparan y se usa su diferencia como medio de control del proceso controlado. Se puede hablar de dos tipos de realimentaciones básicas: •

Realimentación negativa. Cuando la señal que es realimentada se utiliza para reducir la diferencia entre el valor de referencia y el valor actual de la variable controlada. En una realimentación negativa: Señal de error = valor de referencia - señal de realimentación

•

Realimentación positiva. Ocurre cuando la señal realimentada incrementa la diferencia entre el valor de referencia y los valores actuales, por tanto: Señal de error = valor de referencia + señal de realimentación

En los sistemas de control, la señal de realimentación se combina con el valor de referencia en el detector de error o comparador. Esto se indica por el símbolo mostrado en la figura 1.18, donde el valor de referencia aparece marcado con una señal positiva y la de realimentación con una señal negativa, en el caso de que se trate de una realimentación negativa. Si la realimentación es positiva, ésta aparece representada mediante una señal positiva. realimentación negativa r

e

y*

e = r - y*

realimentación positiva r

e

y*

e = r + y*

Figura 1.18 : Simbología representativa del comparador con señal de realimentación negativa y positiva respectivamente.

Los procesos de control realimentados se denominan también procesos de control de lazo cerrado. En la práctica, los términos control realimentado y control de lazo cerrado se usan indistintamente. En un sistema de control de lazo cerrado, se alimenta al controlador mediante la señal de error del comparador, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación (que puede ser la señal de salida misma o una

18

Principios básicos de la regulación automática

función de la señal de salida y sus derivadas y/o integrales), a fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor conveniente. El término control de lazo cerrado siempre implica el uso de una acción de control realimentado para reducir el error del sistema. Una ventaja del control de lazo cerrado sobre el control de lazo abierto es que el uso de la realimentación vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y a las variaciones internas en los parámetros del sistema. Por tanto, es posible usar componentes relativamente precisos y baratos para obtener el control adecuado de un proceso determinado, en tanto que hacer eso es imposible en el caso de un sistema en lazo abierto. Desde el punto de vista de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil de desarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra parte, la estabilidad es una función principal en el sistema de control de lazo cerrado, lo cual puede conducir a corregir en exceso errores que producen oscilaciones de amplitud constante o cambiante. Debe señalarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipación las entradas y en los cuales no hay perturbaciones, es aconsejable emplear un control de lazo abierto. Los sistemas de control de lazo cerrado sólo tienen ventajas cuando se presentan perturbaciones impredecibles y/o variaciones impredecibles en los componentes del sistema. Hay que observar que la valoración de la energía de salida determina en forma parcial el costo, el peso y el tamaño de un sistema de control. La cantidad de componentes usados en un sistema de control de lazo cerrado es mayor que la que se emplea para un sistema de control equivalente de lazo abierto. Por tanto, el sistema de control de lazo cerrado suele tener costos y potencias más grandes. Para disminuir la energía requerida de un sistema, se emplea un control de lazo abierto cuando puede aplicarse. Por lo general, una combinación adecuada de controles de lazo abierto y de lazo cerrado es menos costosa y ofrecerá un desempeño satisfactorio del sistema general. Para comprender los efectos de la realimentación sobre un proceso controlado, es esencial estudiar este fenómeno en sus aspectos más amplios. Los efectos que la realimentación introduce sobre un proceso se tratan a continuación de una forma más rigurosa.

1.5.1 Función de transferencia de un proceso realimentado. Se pueden tratar ya los efectos de la realimentación sobre diversos aspectos del desempeño de un proceso. En este punto, sin contar con los conocimientos generales necesarios y sin haber estudiado las bases matemáticas de la teoría de los sistemas lineales, sólo se puede aplicar una formulación simple para esta discusión. Se considera la configuración del sistema de realimentación simple que se muestra en la figura 1.19, donde r es la señal de entrada, y es la señal de salida, e es el error e y* es la señal de realimentación. Los parámetros G y H pueden considerarse como ganancias constantes. A continuación, y mediante operaciones algebraicas simples, se demuestra cuál es la función de transferencia o relación entrada-salida del proceso o sistema. La relación entre la salida y la entrada del comparador es: e = r - y*

(1.5.1.1)

Por otra parte, la salida del proceso y el error están relacionados por medio del elemento de ganancia G: y = G·e

(1.5.1.2)

y* = H·y

(1.5.1.3)

En el bucle de realimentación se tiene:

Sustituyendo el valor de y* de la ecuación (1.5.1.1) en la ecuación (1.5.1.3), se tiene: r - e = H·y

(1.5.1.4)

Ahora, sustituyendo el valor de e de la ecuación (1.5.1.2) en la ecuación (1.5.1.4), se obtiene: r−

y

= H⋅y

(1.5.1.5)

G Reorganizando términos se puede llegar a establecer la relación entre y y r (que por simplificar se denominará M), es decir, la función de transferencia del proceso realimentado:   G ⋅ H +1  1 r = y ⋅ H +  = y ⋅   ;   G  G

19

Sistemas de medida y regulación

M=

y r

=

G

(1.5.1.6)

1+G ⋅H

Esta relación básica (ecuación 1.5.1.6) de la estructura del proceso realimentado permitirá conocer más a fondo los efectos importantes de la realimentación.

r

e

G

y

y*

H

Figura 1.19 : Sistema de realimentación simple.

1.5.2 Efecto de la realimentación sobre la ganancia total. Como puede apreciarse en la ecuación (1.5.1.6), la realimentación afecta a la ganancia G de un proceso sin realimentación por un factor de 1 + G·H. La referencia de la realimentación en el sistema de la figura 1.19 es negativa, pues a la señal de realimentación se le asigna un signo menos. La cantidad G·H puede incluir en sí misma un signo negativo, por lo que el efecto general de la realimentación es que puede incrementar o reducir la ganancia. En un sistema de control práctico, G y H son funciones de frecuencia, por lo que la magnitud de 1 + G·H puede ser mayor de 1 en un intervalo de frecuencias pero inferior a 1 en otro. Por consiguiente, la realimentación puede aumentar la ganancia del sistema o proceso en un intervalo de frecuencias y disminuirlo en otro.

1.5.3 Efecto de la realimentación sobre la estabilidad. La estabilidad es un concepto que describe si un proceso será capaz de seguir una entrada de comando. Sin aplicar conceptos rigurosos, se dice que un sistema o proceso es inestable cuando su salida está fuera de control o aumenta sin límites. Para investigar el efecto de la realimentación sobre la estabilidad, es conveniente hacer referencia de nuevo a la expresión de la ecuación (1.5.1.6). Cuando G·H = -1, la salida del sistema es infinita para cualquier entrada finita. Por tanto, se puede decir que la realimentación puede causar inestabilidad en un sistema originalmente estable. Claro está que la realimentación es un arma de dos filos; cuando se usa en forma inapropiada, puede ser perjudicial. Sin embargo, cabe señalar que en este caso sólo se está considerando una situación estática y, en general, G·H = -1 no es la única condición de inestabilidad.

r

G

H

F

Figura 1.20 : Sistema con doble lazo de realimentación.

20

y

Principios básicos de la regulación automática

Es posible demostrar que una de las ventajas de la incorporación de una realimentación es que puede estabilizar un sistema inestable. Supóngase que el sistema realimentado de la figura 1.19 es inestable debido a que G·H = -1. Si se introduce otro lazo de realimentación a través de la realimentación negativa F, tal como lo muestra la figura 1.20, la relación entrada-salida del sistema es, M=

y

=

r

G 1+G ⋅H +G ⋅F

(1.5.3.1)

cuya demostración es análoga a la de la obtención de la ecuación (1.5.1.6). Resulta evidente que, aunque las propiedades de G y H son tales que el sistema realimentado del lazo interior es inestable a causa de que G·H = -1, el sistema global puede ser estable cuando se selecciona un valor apropiado de la ganancia F de la realimentación del lazo externo.

1.5.4 Efecto de la realimentación sobre la sensibilidad. Las consideraciones de sensibilidad suelen tener un papel importante en el diseño de procesos de control. Puesto que todos los elementos físicos tienen propiedades que varían con el medio ambiente y su tiempo de uso, no siempre es posible considerar que los parámetros de un proceso de control pueden ser totalmente estacionarios en el intervalo total de la vida operacional del proceso. Por ejemplo, la resistencia del devanado de un motor eléctrico cambia a medida que se eleva la temperatura del mismo durante su operación. En general, un buen proceso o sistema de control debe ser insensible a estas variaciones de los parámetros y seguir siendo capaz de producir una respuesta adecuada. Para una mejor comprensión, estudiaremos el efecto que tiene la realimentación sobre las variaciones en los parámetros. Con respecto al sistema de la figura 1.19, se considera a G como un parámetro susceptible de variación. La sensibilidad de la ganancia del sistema total, M (donde M = y/r), con respecto a la variación de G se define como: M

SG =

∆M / M ∆G / G

(1.5.4.1)

donde ∆M denota el cambio incremental de M debido al cambio incremental de G; ∆M/M y ∆G/G denotan la variación en tanto por uno de M y G, respectivamente. Por consiguiente, se puede observar que la sensibilidad indica el tanto por uno que representa la variación relativa de la función de transferencia M con respecto a la variación relativa de la ganancia de lazo abierto G. La expresión para la función de sensibilidad SGM puede deducirse tomando incrementos infinitesimales de M y G y usando la ecuación (1.5.1.6). Así se obtiene por tanto: M

SG =

δ M /M δ G /G

=

δM G G 1 ′ = ⋅ = ⋅ MG δG M M 1+G ⋅H

(1.5.4.2)

Esta relación muestra que la función de sensibilidad tendrá un valor igual o inferior a la unidad y que puede hacerse arbitrariamente pequeña al aumentar G·H, siempre y cuando el sistema permanezca estable. Resulta evidente que en un sistema de lazo abierto, donde M = G, la función de transferencia responderá uno a uno a las variaciones de G, es decir, SGM = 1.

1.5.5 Efecto de la realimentación sobre las perturbaciones externas o ruido. Todos los sistemas físicos de control están sometidos a señales extrañas o ruido durante su operación. Algunos ejemplos de estas señales son el voltaje de ruido térmico en los amplificadores electrónicos y el ruido de escobillas o conmutadores en los motores eléctricos. El efecto de la realimentación sobre el ruido depende, en gran parte, del punto de introducción del ruido al sistema; es decir, no es posible establecer conclusiones generales. Sin embargo, en muchas situaciones, la realimentación puede reducir el efecto del ruido sobre el desempeño del sistema. Se considera el sistema que se muestra en la figura 1.21, en la que r denota la señal de referencia y z es la señal de ruido. En ausencia de realimentación, H = 0, la salida y es: y = G1·G2·e + G2·z

(1.5.5.1)

donde e = r. La relación señal a ruido de la salida se define como:

21

Sistemas de medida y regulación

salida debida a la señ al salida debida al ruido

=

G1 ⋅ G2 ⋅ e G2 ⋅ z

= G1 ⋅

e

(1.5.5.2)

z

z r

e

y

y*

H

Figura 1.21 : Sistema de realimentación con señal de ruido.

Para aumentar la relación señal a ruido, es evidente que se debe aumentar la magnitud de G1 o bien la de e con respecto a z. La variación de G2 no tendría efecto alguno sobre esta relación. Con la presencia de realimentación, la salida del sistema debido a la actuación simultánea de r y z es: y=

G1 ⋅ G2 1 + G1 ⋅ G 2 ⋅ H

⋅r +

G2 1 + G1 ⋅ G 2 ⋅ H

⋅z

(1.5.5.3)

Una simple comparación de la ecuación (1.5.5.3) con la ecuación (1.5.5.1) muestra que el componente del ruido en la salida de la ecuación (1.5.5.3) se reduce por un factor de 1 + G1·G2·H, pero el componente de la señal también se reduce en la misma cantidad. La relación señal a ruido es: G1 ⋅ G2

⋅r 1 + G1 ⋅ G2 ⋅ H r = G1 ⋅ = G2 salida debida al ruido z ⋅z 1 + G1 ⋅ G2 ⋅ H

salida debida a la señ al

(1.5.5.4)

Como se puede ver, es la misma que sin realimentación. En este caso sucede que la realimentación no tiene un efecto directo sobre la relación de salida señal a ruido del sistema de la figura 1.21. Sin embargo, la aplicación de realimentación sugiere una posibilidad de mejora de la relación señal a ruido en ciertas condiciones. En general, la realimentación también tiene efectos sobre algunas características del desempeño, tales como ancho de banda, impedancia, respuesta transitoria y respuesta de frecuencia. Estos efectos se irán viendo en unidades posteriores.

22

Principios básicos de la regulación automática

Ejercicios de profundización y refuerzo. Ejercicio 1.1 a)

Realizar una lista con las ventajas y con las desventajas de los procesos de control en lazo abierto.

b)

Citar un par de ejemplos de procesos de control en lazo abierto y otros dos ejemplos de procesos de control en lazo cerrado que se encuentren habitualmente en un hogar.

c)

Proporcionar un par de ejemplos de procesos de control realimentados donde una persona actúe como sistema controlador. Describirlos brevemente.

Ejercicio 1.2 Un trabajador está encargado de mantener constante el nivel de líquido de un depósito. Él mide el nivel mediante la observación de un tubo de nivel situado en el lado del depósito (en el cual se halla una marca de referencia) y lo ajusta por medio de la apertura o cierre de una válvula de paso. Determinar en este proceso de control qué es: a) b) c) d) e) f) g) h)

El proceso de control. La variable controlada. El valor de referencia. El elemento de comparación. La señal de error. El controlador. El accionador. El equipo de medida.

Ejercicio 1.3 La figura 1.22 muestra el ejemplo de un sistema de control simple utilizado para mantener un nivel constante de agua en un depósito. El valor de referencia es la instalación inicial de un dispositivo de palanca que corte el suministro de agua a un nivel requerido. Cuando el agua sale del depósito, el flotador se desplaza hacia abajo con el nivel del agua. Esto hace que el dispositivo palanca gire y permita que el agua entre en el depósito. Este flujo continúa hasta que el flotador ha subido a una altura tal que hace que la palanca corte el agua. Es un sistema de control de bucle cerrado con los siguientes elementos: • • • • • • • •

Proceso: control de nivel de agua en un depósito. Variable controlada: nivel de agua en el depósito. Valor de referencia: la posición inicial de la palanca instalada. Comparador: la palanca. Señal de error: la diferencia entre la posición actual e inicial de la palanca. Controlador: la palanca articulada. Accionador: la aleta que abre y cierra el suministro del agua. Equipo de medida: el flotador y la palanca. depósito de palanca palanca flotador articulación nivel deseado

válvula de salida

Figura 1.22 : Proceso de control de nivel de un depósito.

23

Sistemas de medida y regulación

Dibujar un diagrama de bloques funcional donde se muestren cada uno de los elementos de este proceso de control.

Ejercicio 1.4 En la figura 1.23 se muestra el regulador de velocidad más antiguo que existe: el regulador de bolas o regulador de Watt (hacia 1770). Este regulador permite mantener prácticamente constante la velocidad de giro de una turbina, la cual puede ser de vapor, de gas, hidráulica… Este regulador consta de un conjunto de dos esferas metálicas ensartadas en unos brazos articulados, los cuales son solidarios a un eje que gira acoplado a la turbina por medio de un tren de engranajes. La acción del regulador se basa en que el giro del eje hace que las esferas metálicas, por la fuerza centrífuga, se eleven y a su vez arrastren la palanca articulada. Esta palanca articulada bascula sobre el punto de apoyo de tal forma que cierra el paso del agua por medio de la válvula de admisión. Al llegar menos agua a la turbina, ésta decelera y las bolas descienden hasta que se alcanza una situación de equilibrio. El ajuste de la velocidad de referencia se realiza por medio del dial que va montado sobre el manguito deslizante. Regulador de Watt eje del regulador brazo articulado

esfera metálica

palanca articulada articulación

articulación manguito deslizante punto de apoyo

válvula de admisión

dial para ajuste de la velocidad de referencia

toma de agua tren de engranajes

turbina

salida de agua

Figura 1.23 : Proceso de control de nivel de un depósito.

A la vista del esquema mecánico de la figura 1.23 y de la descripción del funciomiento realizada anteriormente, el sistema ¿es un proceso de control en lazo abierto o cerrado?¿por qué?. Dibujar un diagrama de bloques donde queden perfectamente reflejadas las funciones de cada uno de los elementos constitutivos de este proceso.

Ejercicio 1.5 El esquema del control de posición de una antena parabólica se muestra en la figura 1.24. El eje de la antena está motorizado por un motor de c.c. (motor de posicionamiento), mientras que el ajuste del ángulo de la posición de la antena se realiza con un potenciómetro (Rr). Describir, con detalle, el funcionamiento del proceso de control y dibujar el diagrama de bloques correspondiente.

24

Principios básicos de la regulación automática

Motor de posicionamiento

+ E

+ Amplificador de potencia para c.c.

e

-

r

Posición deseada

e*

-

y

+

A C

D

M _ B

-

* Reductor de engranajes

Variable controlada

Figura 1.24 : Control de posición de una antena por medio de un motor de c.c.

Ejercicio 1.6 Diseñar un sistema de control para elevar y bajar de forma totalmente automática un puente levadizo que permita el paso de los barcos. No se permite que el operador sea una persona.

Ejercicio 1.7 Diseñar un sistema de control para poner en posición el timón de un buque mercante desde el puente de mando. Hay que considerar que el puesto de mando está alejado del timón del barco y que el objetivo es dirigir la embarcación en la dirección deseada.

Ejercicio 1.8 ¿Dentro de qué tipo de sistema podría catalogarse el proceso que sigue un médico en el tratamiento de la enfermedad de un paciente? Hay que considerar que el médico recurre a la lectura de análisis de laboratorio períodicos para conocer el estado y evolución del paciente.

25

Sistemas de medida y regulación

26

UNIDAD 2 La transformada de Laplace. 2.1

Justificación de la transformada de Laplace.

Los estudios de procesos de control se basan en un alto grado en el uso de matemáticas aplicadas. En la próxima unidad, dedicada al modelado matemático de sistemas físicos, se podrá comprobar que el comportamiento de los sistemas y procesos reales vienen definidos mediante ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales (cuando en el sistema exista más de una variable de entrada y más de una variable de salida). El manejo y solución de ecuaciones diferenciales siempre resulta complicado y laborioso, sin embargo, uno de los propósitos principales de los estudios de procesos de control consiste en desarrollar un conjunto de herramientas analíticas, de tal manera que el diseñador pueda lograr resultados confiables y razonablemente predecibles sin depender por completo del trabajo experimental o de las simulaciones por ordenador. El método de la transformada de Laplace es un método operativo que aporta muchas ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Mediante el uso de la transformada de Laplace, es posible realizar las siguientes operaciones: •

Conversión de muchas funciones comunes, tales como las funciones senoidales, las funciones senoidales amortiguadas y las funciones exponenciales, en funciones algebraicas de una variable s compleja.

•

Sustitución de operaciones tales como la diferenciación y la integración por operaciones algebraicas en el plano complejo. Por tanto, una ecuación diferencial lineal se transforma en una ecuación algebraica de una variable compleja s.

•

La solución de una ecuación diferencial, una vez resuelta la ecuación algebraica en s equivalente para la variable dependiente, se puede encontrar realizando la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente, mediante una tabla de transformadas de Laplace o una técnica de expansión en fracciones parciales, técnica que se presenta en el apartado 2.6 de esta unidad.

•

La transformada de Laplace permite el uso de técnicas gráficas para predecir el desempeño del proceso o sistema, sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales del sistema.

•

Cuando se resuelve la ecuación diferencial es posible obtener, simultáneamente, tanto el componente transitorio como el componente de estado estable de la solución.

2.2

La variable compleja s.

Se hace necesario, para una mejor comprensión, revisar primero el concepto de la variable compleja y la función compleja antes de acometer la introducción a la transformada de Laplace. También se revisan los criterios para determinar si una función compleja es analítica y cómo determinar sus polos y ceros.

2.2.1 Concepto de variable compleja. Se considera que una variable compleja s tiene dos componentes, un componente real σ, y un componente imaginario ω. Si se visualiza esta variable en forma gráfica, el componente real se representa con un eje horizontal y el imaginario con un eje vertical en el plano s complejo. En otras palabras, una variable compleja siempre se define con un punto en un plano complejo que tiene un eje σ y un eje jω. La figura 2.1 ilustra el plano complejo s, en el que cualquier punto arbitrario, s = s1 se define por medio de las coordenadas σ = σ 1 y jω = jω1, o simplemente, s1 = σ 1 + jω1.

Plano s

0

Figura 2.1 : Plano complejo s.

27

Sistemas de medida y regulación

2.2.2 Función compleja. Una función G(s) es una función de la variable compleja s cuando por cada valor de s hay un valor correspondiente (o varios) de G(s). Puesto que s por definición está constituida por una parte real y una imaginaria, la función G(s) también tiene su parte real y su parte imaginaria; es decir: G(s) = Re G + j Im G

(2.2.2.1)

Las funciones complejas que, por lo general, se encuentran en el análisis de procesos de control lineales son funciones univaluadas (valor único) de s y se determinan en forma única para un determinado valor de s. La función G(s) también puede representarse mediante el plano complejo G(s), cuyo eje horizontal representa a Re G y cuyo eje vertical corresponde con Im G. Si la función compleja es de valor único, por cada valor de s (cualquier punto del plano s) sólo existe un valor correspondiente de G(s) (en el plano G(s)), se dice entonces que la correspondencia de los puntos del plano s y los del plano G(s) es también de valor único (figura 2.2). Plano s

Plano G(s) j Im G

0

0

Re G

G(s1)

Figura 2.2 : Correspondencia de valor único entre el plano complejo s y el plano complejo G(s).

No obstante, existen muchas funciones para las que la relación de correspondencia del plano de función al plano de variables complejas no es de un valor único. Ejemplo 2.1 Se considera la función: G(s ) =

1 ( s − 1) ⋅ ( s + 3 )

Se hace obvio que por cada valor de s existe un solo valor correspondiente de G(s). Sin embargo, puede suceder que para un único valor en el plano G(s), se relacione con más de un punto en el plano s. Esto sucede con el punto G(s) = -¥ , al que le corresponden dos puntos en el plano s: s = 1 y s = -3. Una propiedad de las funciones complejas es la de ser o no ser analíticas dentro de una determinada región. Se define función compleja analítica como: Aquella función compleja que, junto con todas sus derivadas, existen en la región que es objeto de estudio. La derivada de una función compleja se obtiene mediante: δ δs

G( s ) = lím

∆s → 0

∆G ( s ) ∆s

(2.2.2.2)

Dado que ∆s = ∆σ + ∆jω, ∆s puede tender a cero a través de infinitas trayectorias. Se puede demostrar que si las derivadas de G(s) con respecto a s son iguales en dos trayectorias de ∆s determinadas, ∆s = ∆σ y ∆s = ∆jω, la derivada es única para cualquier otra trayectoria de ∆s = ∆σ + ∆jω. Si se deriva G(s) para la trayectoria ∆s = ∆σ (trayectoria sobre el eje real), resulta: ∆ImG  δ ReG δ ImG δ  ∆ReG G( s ) = lím  +j +j = ∆σ →0  ∆σ δs ∆σ  δσ δσ

28

(2.2.2.3)

La transformada de Laplace

y si se deriva después para la trayectoria ∆s = ∆jω (trayectoria sobre el eje imaginario), queda:  ∆Re G ∆Im G  δ ReG δ Im G  = − j G ( s ) = lím  +j + δs j∆ω  δω δω j∆ω →0  j∆ω δ

(2.2.2.4)

Cuando estos dos valores sean iguales, δ Re G δσ δ ReG δσ

=

+j

δ Im G

=

δσ

δ Im G δω

δ Im G δω

−j

δ Im G

y

δσ

δ ReG δω

=−

δ Re G

(2.2.2.5)

δω

la derivada de G(s) con respecto a s se determina de forma única. Cuando se cumplen las condiciones de la ecuación (2.2.2.5), conocidas como condiciones de Cauchy-Riemann, se dice que la función G(s) es analítica. Ejemplo 2.2 Se desea comprobar si la función G(s) es analítica en el plano G(s): 1

G(s ) =

s +1

Dado que s = σ + jω, se puede expresar G(s) como: G(s ) =

1 σ + jω + 1

=

σ + 1 − jω

( σ + 1) + ω 2

=

2

σ +1

( σ + 1) + ω 2

2

+j

−ω

( σ + 1) 2 + ω 2

Por lo que las componentes real e imaginaria de G(s) resultan ser: Re G =

σ +1

( σ + 1) + ω 2

2

Im G = −

y

ω

( σ + 1) 2 + ω 2

Derivando la función con respecto a σ y a ω, e igualando sus derivadas, se tiene: δ Re G δσ δ Im G δσ

=

=

δ Im G δω δ ReG δω

ω − ( σ + 1) 2

=

=

( ( σ +1)

2

+ω

2

)

2 2

2 ⋅ ω ⋅ ( σ +1) 2

( ( σ +1)

2

+ω

)

2 2

Se puede observar que, excepto en el punto s = -1 (σ = -1 y ω = 0), la función G(s) es analítica y, por tanto, tiene derivada única para cualquier trayectoria de ∆s. Para obtener esta derivada, basta con diferenciar simplemente G(s) con respecto a s: δ δs

G( s ) = −

1

( s + 1) 2

2.2.3 Polos y ceros de una función compleja. Los puntos en el plano s en los que la función es analítica se denominan puntos ordinarios. Por otra parte, se llaman singularidades de una función a los puntos del plano s en los que no existen ni la función ni sus derivadas, es decir, los puntos en los que la función no es analítica.

Polos de una función. Un polo es el tipo más común de singularidad y juega un papel muy importante en los estudios de la teoría clásica de control. Básicamente, un polo no es más que aquel valor de “s” que hace que la función tienda a infinito, aunque de una forma más rigurosa, la definición de polo puede expresarse como sigue:

29

Sistemas de medida y regulación

Si una función G(s) es analítica y de valor único en los alrededores de p, excepto en p, se dice que tiene un polo de orden n en s = p, cuando el límite lím s →p

[( s − p )

]

n

⋅ G (s )

tiene un valor finito que no sea cero. Cuando el orden de un polo es n = 1, al polo se le llama polo simple. Si una función G(s) tiene un polo en s = p, se puede observar que conforme s tiende a p, G(s) tiende a infinito.

Ceros de una función. Un cero de una función es un valor de “s” tal que la función tiende a cero. La definición formal del cero de una función puede expresarse como sigue: Si una función G(s) es analítica en s = c se dice que tiene un cero de orden n en s = c cuando el límite  G(s ) lím  n s →c   ( s − c)

  

tiene un valor finito que no sea cero. Cuando el orden de un cero es n = 1, al cero se le llama cero simple. Si una función G(s) tiene un cero en s = c, entonces, 1/G(s) tiene un polo en s = c. Ejemplo 2.3 Se desea determinar los polos y ceros de la función: G( s ) =

5 ⋅ ( s + 2 ) ⋅ ( s − 1) s ⋅ ( s + 1) ⋅ ( s − 3 )

2

La función tiene dos polos simples en s = 0 y s = -1 y tiene un polo doble (polo de orden 2) en s = 3. Además tiene ceros simples en s = -2 y s = 1. Si se calcula el límite de la función cuando s tiende a infinito lím G( s ) =

s →∞

5 s

2

se puede comprobar que cuando s = ¥, la función G(s) se hace cero, por lo que se puede decir que G(s) tiene un cero doble en s = ¥. En total, G(s) tiene los siguientes polos y ceros: •

Polos:

s = 0 , s = -1 , s = 3 , s = 3

total: 4

•

Ceros:

s = 1 , s = -2 , s = ¥ , s = ¥

total: 4

2.3

Ecuaciones diferenciales en sistemas físicos.

La mayoría de los elementos constitutivos de un proceso de control (y la mayoría de los procesos de control en sí mismos) quedan matemáticamente representados en términos de ecuaciones diferenciales. Por lo general estas ecuaciones incluyen derivadas e integrales de las variables dependientes con respecto a la variable independiente. Por ejemplo, un circuito eléctrico RLC en serie (resistencia-inductancia-capacitancia) puede representarse mediante la ecuación diferencial: v ( t ) = R ⋅ i (t ) + L ⋅

δ i (t ) δt

+

1 C

⋅ ∫ i (t ) ⋅ δ t

(2.3.0.1)

donde R es la resistencia, L el coeficiente de autoinducción, C la capacidad, i(t) la corriente en la red y v(t) la tensión aplicada en los bornes del circuito. En este caso, v(t) es la función de excitación o señal de entrada del

30

La transformada de Laplace

sistema, t la variable independiente e i(t) la variable dependiente, incógnita o señal de salida del sistema, que se va a determinar resolviendo la ecuación diferencial. Otro ejemplo ilustrativo consiste en una serie mecánica de un sistema masa-resorte-amortiguador. La ecuación diferencial del sistema se puede escribir como: 2

f (t ) = m ⋅

δ y (t ) δt

2

+ B⋅

δ y (t ) δt

+ K ⋅ y (t )

(2.3.0.2)

donde f(t) es la fuerza aplicada, m la masa, B el coeficiente del amortiguador, K la constante de resorte e y(t) es el desplazamiento y señal de salida del sistema. Las funciones f(t) e y(t) son respectivamente las señales de entrada y salida del sistema definido por la ecuación (2.3.0.2). Estas dos ecuaciones se definen como ecuaciones diferenciales de segundo orden y a los sistemas que representan se les conoce como sistemas de segundo orden. De manera estricta, la ecuación (2.3.0.1) debería llamarse ecuación integrodiferencial, pues está involucrada una integral.

2.3.1 Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. En general, la ecuación diferencial de un sistema de n-ésimo orden se escribe como: u (t ) = a n + 1 ⋅

δ n y (t ) δt

n

+ an ⋅

δ n −1y (t ) δt

n −1

+ a n −1 ⋅

δ n − 2 y (t ) δ t n −2

+L+ a2 ⋅

δ y (t ) + a1 ⋅ y (t ) δt

(2.3.1.1)

Las ecuaciones diferenciales de la (2.3.0.1) a la (2.3.1.1) también se clasifican como ecuaciones diferenciales ordinarias lineales cuya definición sería: Son las ecuaciones diferenciales constituidas por sumas (con sus signos) de la función incógnita y(t) y sus derivadas, las cuales (la función incógnita y(t) y sus derivadas) se hallan elevadas a la potencia unidad, y cuyos coeficientes a1, a2,… an+1 no son funciones de la función incógnita y(t).

2.3.2 Ecuaciones diferenciales no lineales. Existen otros muchos fenómenos físicos que se describen con ecuaciones diferenciales no lineales. Por ejemplo, la ecuación diferencial que describe el movimiento de un péndulo simple como el que se muestra en la figura 2.3 es

R

2

m⋅R⋅

δ θ (t ) δt

2

m

+ m ⋅ g ⋅ sen θ (t ) = 0

(2.3.2.1) m·g·sen

Puesto que θ(t) aparece como función senoidal, la ecuación (2.3.2.1) no es lineal y al sistema se le describe, en términos generales, como sistema no lineal.

m·g

Figura 2.3 : Movimiento pendular simple.

2.4

Transformada de Laplace.

La transformada de Laplace es una de las herramientas matemáticas que se usan para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales. En comparación con el método clásico de resolución de este tipo de expresiones, el método de transformada de Laplace tiene las siguientes características: •

La ecuación homogénea y la integral particular se resuelven en una sola operación.

•

La transformada de Laplace convierte a la ecuación diferencial en una ecuación algebraica en términos de s. Con esto es posible manejar la ecuación mediante reglas algebraicas simples para obtener la solución en el dominio de s. La solución final se obtiene tomando la transformada inversa de Laplace.

2.4.1 Definición de la transformada de Laplace. A continuación se definen los elementos integrantes del proceso de la transformada:

31

Sistemas de medida y regulación

•

f(t): es la función que se desea transformar y que está expresada en el dominio del tiempo t, tal que f(t) = 0 para t < 0.

•

s: es la variable compleja sobre la que opera la función transformada.

•

L : es el símbolo operativo de la transformada de Laplace.

•

F(s): es la transformada de Laplace de f(t).

La transformada de Laplace de una función f(t) se obtiene mediante la operación:

L [f (t )] = F (s ) =

∫

∞

f (t ) ⋅ e −s ⋅t ⋅ δ t

(2.4.1.1)

0

La ecuación (2.4.1.1) recibe también el nombre de transformada unilateral de Laplace, pues la integración se evalúa desde 0 hasta ¥. Esto significa simplemente que toda la información contenida en f(t) anterior a t = 0, se ignora o se considera igual a cero. Esta suposición no establece una limitación importante en las aplicaciones de la transformada de Laplace a los problemas de procesos o sistemas lineales, puesto que en los estudios habituales de dominio de tiempo, se suele seleccionar la referencia de tiempo en el instante en que t = 0. Además, cuando se aplica una entrada a un sistema físico cuando t = 0, la respuesta del sistema no empieza antes de t = 0; esto es, la respuesta no puede preceder a la excitación o señal de entrada. La solución de la integral de la ecuación (2.4.1.1) será una función en el dominio de la variable s. A continuación se ofrecen unos ejemplos de determinación de la transformada de Laplace de aquellas funciones que aparecen con más frecuencia. Ejemplo 2.4

Función escalón unitario. La función escalón unitario, 1(t), se define como: f(t) = 0

para

t0

La función no está definida para t = 0. Su transformada de Laplace se obtiene mediante:

L [f (t )] = L [1(t )] =

∫

∞

1 ⋅ e −s⋅t ⋅ δ t = −

0

∞

1 −s ⋅t ⋅e s

= 0

1 s

Cuando la función escalón ocurre en un tiempo distinto de cero, esto es, t = t0, se expresa como 1(t - t0). Por otra parte, la función escalón de altura A que ocurre para t = 0, se expresa como A·1(t). Físicamente la función escalón que ocurre en t = 0 corresponde a una señal constante aplicada repentinamente al sistema en el tiempo t igual a cero.

Ejemplo 2.5

Función rampa. La función rampa queda definida como: f(t) = 0

para

t0

donde A es una constante e indica el valor de la pendiente de la rampa. Su transformada de Laplace se obtiene mediante:

L [f (t )] = L [A ⋅ t ] =

∫

∞

A ⋅ t ⋅ e −s⋅t ⋅ δ t = −

0

=−

32

A⋅t s

⋅e

− s⋅t

∞

+ 0

A s

⋅

A ⋅ t −s⋅t ⋅e s

∫

∞

e

0

− s⋅t

∞

− 0

⋅δ t =

∫

∞

0

A s

2

A  −  ⋅ e −s⋅t ⋅ δ t =  s

La transformada de Laplace

Ejemplo 2.6

Función senoidal. La función senoidal se define como: f(t) = 0

para

t0

donde A y ω son constantes. Por otra parte, aplicando el teorema de Euler, las funciones senoidales pueden ser reemplazadas por funciones exponenciales: 1

cos (ω ⋅ t ) =

(

2

(

1

sen (ω ⋅ t ) =

jωt

⋅ e

⋅ e

2j

j ωt

+e

− j ωt

−e

)

− j ωt

)

Por tanto, la transformada de la función senoidal resulta:

L [A ⋅ sen(ω ⋅ t )] =

A ⋅ 2j

∫ (e ∞

jωt

)

− e − jωt ⋅ e −s⋅t ⋅ δ t =

0

A 2j

 1 1  A ⋅ω  = ⋅  − 2  s − jω s + jω  s + ω 2

La obtención de la transformada de Laplace de la función coseno se obtiene igualmente:

L [A ⋅ cos(ω ⋅ t )] =

A⋅s s2 + ω 2

Ejemplo 2.7

Funciones desplazadas en el tiempo. Se tiene una función desplazada en el tiempo, con un desplazamiento τ ≥ 0, definida como: f(t) = 0

para

tτ

La expresión de la transformada resulta:

L [f (t − τ ) ⋅ 1(t − τ )] =

∫

∞

f (t − τ ) ⋅ 1(t − τ ) ⋅ e −s⋅t ⋅ δ t

0

Si se sustituye la variable independiente haciendo t - τ = α :

∫

∞

f ( t − τ ) ⋅ 1( t − τ ) ⋅ e

− s ⋅t

⋅δ t =

∫

∞

f (α ) ⋅1(α ) ⋅ e

− s ⋅( α +τ

)

⋅δ α

−τ

0

Por otro lado, y dado que la función es cero para t < τ, se puede cambiar el límite inferior de integración de −τ a 0, por lo que la expresión final resulta ser:

∫

∞

0

f (α ) ⋅ 1(α ) ⋅ e

− s ⋅( α +τ

)

⋅δ α =

∫

∞

f (α ) ⋅ 1 ⋅ e

0

− s ⋅τ

⋅e

− s ⋅α

⋅δ α = e

− s ⋅τ

⋅

∫

∞

f (α ) ⋅ e

− s ⋅α

⋅δ α = e

− s ⋅τ

⋅ F( s )

0

Dado que la resolución de esta integral de la ecuación (2.4.1.1) puede ser compleja y laboriosa, se facilita, a continuación, una tabla con las transformadas de Laplace de las funciones en el dominio del tiempo más habituales.

33

Sistemas de medida y regulación

f(t)

F(s) 1

función escalón: f(t) = 1(t) = 1

s 1

función rampa: t n −1 (n − 1)!

f(t) = t

s

1

(n = 1, 2, 3…)

sn

1

e-a·t

t· e-a·t

2

s +a 1

( s + a) 2 ω

sen(ω·t)

2

s +ω

2

s cos(ω·t)

sen(ω·t + θ) cos(ω·t + θ) e-a·t ·sen(ω·t)

e-a·t ·cos(ω·t)

2

s +ω

2

s ⋅ senθ + ω ⋅ cosθ 2

s +ω

2

s ⋅ senθ − ω ⋅ cosθ 2

s +ω

2

ω

( s + a) 2 + ω 2 s +a

( s + a) 2 + ω 2 ω

senh(ω·t)

2

s −ω

2

s cosh(ω·t) δ f (t ) δt

2

s −ω

s·F(s) - f(0+)

∫ f (t ) ⋅ δ t

F (s )

a1·f1(t) + a2·f2(t)

a1·F1(s) + a2·F2(s)

t

s

0

f(1- τ)·1(t - τ)

∫ f1 (τ ) ⋅ f2 (t − τ ) ⋅ δτ t

-τ·s

e

·F(s)

F1(s)·F2(s)

0

Tabla 2.1: Pares de transformada de Laplace

34

2

La transformada de Laplace

2.4.2 Teoremas de la transformada de Laplace. En la resolución de transformada de Laplace aparecerá, en muchas ocasiones, la posibilidad de simplificar la operación si se utilizan sus propiedades. Estas propiedades se presentan en los siguientes teoremas, de los cuales no se incluye la comprobación.

Multiplicación por una constante. La transformada de Laplace del producto de una constante A y una función del tiempo f(t), es igual a la constante A multiplicada por la transformada de Laplace de f(t); esto es,

L [A·f(t)] = A·F(s)

(2.4.2.1)

donde F(s) es la transformada de Laplace de f(t).

Suma y diferencia. La transformada de Laplace de la suma (o la diferencia) de dos funciones del tiempo es igual a la suma (o la diferencia) de las transformadas de Laplace de dichas funciones; esto es,

L [f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s)

(2.4.2.2)

donde F1(s) y F2(s) son las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t), respectivamente.

Diferenciación. La transformada de Laplace de la primera derivada de una función del tiempo f(t), es igual a s veces la transformada de Laplace de f(t) menos el límite de f(t) a medida que t tiende a 0; esto es: δ f (t )  = s ⋅ F ( s ) − lím f ( t ) = s ⋅ F ( s ) − f ( 0 ) t →0  δt 

L

(2.4.2.3)

Para una función f(t) determinada, los valores de f(0+) y f(0-) pueden ser iguales o diferentes, tal como se ilustra en la figura 2.4. La diferencia entre f(0+) y f(0-) es importante cuando f(t) tiene una discontinuidad en t = 0, debido a que, en tal caso, la derivada de f(t) implicará una función impulso en t = 0. Si f(0+) ¹ f(0-), la ecuación (2.4.2.3) debe modificarse a:  δ f (t )  +  = s ⋅ F (s ) − f (0 )  δt 

L+ 

;

función senoidal

0

 δ f (t )  −  = s ⋅ F (s ) − f (0 )  δt 

L- 

(2.4.2.4)

función escalón

t

0

t

Figura 2.4 : Funciones con continuidad y con discontinuidad en f(0).

En general, para las derivadas de orden más alto:  δ n f (t )  n n −1 n −2 f ' (0) − s n −2 f " (0)−L− f ( n −1) (0)  = s F (s ) − s f (0 ) − s n  δ t 

L

(2.4.2.5)

35

Sistemas de medida y regulación

Integración. La transformada de Laplace de la primera integral de una función f(t) con respecto al tiempo, es igual a la transformada de Laplace de f(t) dividida entre s; esto es: 

t



0



∫ 

F (s ) s

(2.4.2.6)

 F (s ) f (t ) ⋅ δ t 1 ⋅ δ t 2 L δ t n  = sn 

(2.4.2.7)

L  f (t ) ⋅ δ t  = En general, para una integración de orden n: 

t1 t 2

∫ ∫ L∫ 

L

0

0

tn

0

Hay que hacer notar que si f(t) implica una función impulso en t = 0, entonces:

∫0 t

+

f (t ) ⋅ δ t ≠

∫0 t

−

f (t ) ⋅ δ t

por lo que debe considerarse la siguiente distinción: 

∫ 

L+ 

t

0

+

 f (t ) ⋅ δ t  = 

L + [f (t )]



∫ 

L- 

;

s

t

0

−

 f (t ) ⋅ δ t  = 

L - [f (t )]

(2.4.2.8)

s

Desplazamiento en el tiempo. La transformada de Laplace de f(t) retrasada un tiempo τ, es igual a la transformada de Laplace de f(t) multiplicada por e-τs; esto es:

L [f(t - τ)·1(t - τ)] = e-τ·s·F(s)

(2.4.2.9)

donde 1(t - τ) denota a la función escalón unitario, que se desplaza en el tiempo hacia la derecha en una magnitud τ (figura 2.5). f(t - τ)·1(t - τ )

f(t)·1(t)

0

0

t

t

Figura 2.5 : Desplazamiento τ en el tiempo de una función f(t)·1(t).

Teorema del valor final. El teorema del valor final relaciona el comportamiento en estado estable de f(t) con el comportamiento de s·F(s) en la vecindad de s = 0. Sin embargo, este teorema se aplica si y sólo si existe límite de f(t) cuando t tiende a infinito, lo que significa que f(t) se asienta en un valor definido para t = ¥. Si todos los polos de s·F(s) se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s, existe límt®¥ f(t). Por el contrario, si s·F(s) tiene polos en el eje imaginario o en el semiplano derecho del plano s, f(t) contendrá funciones de tiempo oscilantes o exponencialmente crecientes, respectivamente, y límt®¥ f(t) no existirá. El teorema de valor final no se aplica en tales casos. Por ejemplo, si f(t) es la función senoidal sen(ω·t), s·F(s) tiene polos en s = ±jω, el límt®¥ f(t) no existe y, en consecuencia, no es aplicable este teorema a tal función. El teorema de valor final se plantea del modo siguiente: si f(t) y δf(t)/δt se pueden transformar por el método de Laplace, si F(s) es la transformada de Laplace de f(t), y si existe límt®¥ f(t), entonces: lím f ( t ) = lím s ⋅ F ( s )

t →∞

36

s →0

(2.4.2.10)

La transformada de Laplace

Ejemplo 2.8 Se considera la función compleja: F (s ) =

10

(

2

s⋅ s +s+4

)

La función s·F(s) tiene polos en:  1 15 s = 0,  s = − + j 2 2 

  1 15  y s = − − j   2   2

   

Por tanto, es analítica en el eje imaginario y en el semiplano derecho del plano complejo s. Con estas condiciones se puede aplicar el teorema del valor final, por consiguiente: 10

lím f ( t ) = lím s ⋅ F ( s ) = lim

t →∞

s →0 s 2

s →0

+s+4

=

10 = 2 ,5 4

Ejemplo 2.9 Se considera la función compleja: F (s ) =

4 2

s + 16

Se sabe que esta función compleja corresponde a la transformada de f(t) = sen(4·t). Puesto que s·F(s) tiene dos polos en el eje imaginario (s = j4 y s = -j4), no es posible aplicar el teorema del valor final. Aunque existiera una valor para líms®0 s·F(s), el resultado obtenido para límt®¥ f(t), sería erróneo.

Teorema del valor inicial. El teorema de valor inicial es el opuesto y complementario del teorema de valor final. Este teorema nos permite encontrar el valor de f(t) en t = 0+ directamente, a partir de la transformada de Laplace de f(t). El teorema de valor inicial no proporciona el valor de f(t) en exactamente t = 0, sino en un tiempo ligeramente mayor que cero. El teorema de valor inicial se plantea del modo siguiente: si f(t) y δf(t)/δt se pueden transformar por el método de Laplace, si F(s) es la transformada de Laplace de f(t), y si existe líms®¥ s·F(s), entonces: lím f ( t ) = lím s ⋅ F ( s )

t →0

s →∞

(2.4.2.11)

Desplazamiento complejo. La transformada de Laplace de f(t) multiplicada por e-a·t, donde a es una constante, es igual a la transformada de Laplace F(s) sustituyendo s por s + a; esto es:

L [e-a·t ·f(t)] = F(s + a)

(2.4.2.12)

Convolución real (multiplicación compleja). Si las funciones f1(t) y f2(t) tienen las transformadas de Laplace F1(s) y F2(s), respectivamente, y f1(t) = 0 y f2(t) = 0, cuando t < 0, entonces:  t  F1(s ) ⋅ F2 (s ) = L  f1(τ ) ⋅ f 2 (t − τ ) ⋅ δ τ  0  

∫

 t  F1(s ) ⋅ F2 (s ) = L  f 2 (τ ) ⋅ f1(t − τ ) ⋅ δ τ   0 

∫

37

Sistemas de medida y regulación

F1(s ) ⋅ F2 (s ) = L [f1(t ) ∗ f 2 (t )]

(2.4.2.13)

donde el símbolo (*) denota la convolución en el dominio de t o convolución real. De esta forma, la ecuación (2.4.2.13) muestra que la multiplicación de la transformada de dos funciones en el dominio complejo s, es equivalente a la convolución de las dos funciones reales en el dominio de t. Un hecho importante que debe recordarse es que la transformada inversa de Laplace del producto de dos funciones en el dominio s, no es igual al producto de las dos funciones reales correspondientes en el dominio de t; es decir, en general:

L -1 [F1(s ) ⋅ F2 (s )] ≠ f1(t ) ⋅ f 2 (t )

(2.4.2.14)

También existe una relación dual con el teorema de convolución real, llamada convolución compleja o multiplicación real. En esencia, el teorema enuncia que la multiplicación en el dominio real de t es equivalente a convolución en el dominio s complejo; esto es:

L [f1(t ) ⋅ f 2 (t )] = F1(s ) ∗ F2 (s )

(2.4.2.15)

donde el símbolo (*) denota la convolución en el dominio de s o convolución compleja. Se omiten los detalles de la fórmula de convolución compleja.

2.5

Transformada inversa de Laplace.

La operación consistente en obtener la función en el dominio del tiempo f(t) a partir de la función en el dominio de la variable compleja F(s), resultante de aplicar la transformada de Laplace, es denominada transformada inversa de Laplace y se expresa como: f(t) = L -1 [F (s )] =

1 ⋅ 2 ⋅π ⋅ j

∫

c + j∞

c − j∞

F (s ) ⋅ e −s⋅t ⋅ δ s

(2.5.0.1)

donde c es la abcisa de convergencia, que es una constante real mayor que las partes reales de todas las singularidades de F(s). La integral de la ecuación (2.5.0.1) se realiza en el plano complejo s. Los límites de la integral hacen que la trayectoria de la integración sea paralela al eje imaginario y desplazada una distancia c del mismo. Esta trayectoria se halla a la derecha de todos los puntos singulares de F(s). Sin embargo, la integral de inversión de la ecuación (2.5.0.1) es complicada y, por tanto, no se recomienda su uso para encontrar transformadas inversas de Laplace de funciones que se encuentran con regularidad en los procesos de control. Un método conveniente de obtener las transformadas de Laplace es usar una tabla de transformadas de Laplace. En este caso, la transformada de Laplace debe tener una forma que se reconozca de inmediato en tal tabla. Con mucha frecuencia, es posible que la función en cuestión no aparezca en las tablas de transformadas de Laplace que posee el ingeniero o técnico. Si una transformada específica F(s) no se encuentra en la tabla, puede expandirse en fracciones parciales y escribirse en términos de funciones simples de s para las cuales ya se conocen las transformadas inversas de Laplace. Hay que hacer notar que estos métodos más sencillos para encontrar las transformadas inversas de Laplace se basan en que en la correspondencia única de una función de tiempo y su transformada inversa de Laplace prevalecen para cualquier función continua del tiempo.

2.5.1 Transformada inversa de Laplace por expansión en fracciones parciales. En la gran mayoría de los problemas de sistemas de control, la evaluación de la transformada de Laplace no requiere el uso de la integral de la inversión de la ecuación (2.5.0.1). La operación de la transformada inversa de Laplace basada en funciones racionales, puede llevarse a cabo usando una tabla de transformadas de Laplace y la expansión en fracciones parciales. Cuando la solución mediante la transformada de Laplace de una ecuación diferencial es una función racional de s, se puede establecer que: F (s ) =

B( s )

(2.5.1.1)

A( s ) donde B(s) y S(s) son polinomios de s. Se supone que el orden de A(s) con respecto a s es mayor que el de B(s). El polinomio A(s) puede escribirse como:

38

La transformada de Laplace

A(s) = sn + a1· sn-1 + a2· sn-2 + ··· + an-1· s + an

(2.5.1.2)

donde a1, a2 …, an son coeficientes reales. Los ceros de A(s) pueden ser reales o complejos conjugados de orden simple o múltiple. Si se logra separar F(s) en componentes de la forma: F(s) = F1(s) + F2(s) + ··· + Fn(s) donde las funciones F1(s), F2(s), ···, Fn(s) tienen una transformada inversa de Laplace fácil de obtener (directamente de tabla), se puede decir que:

L -1 [F(s)] = L -1 [F1(s)] + L -1 [F2(s)] + ··· + L -1 [Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + ··· + fn(t) = f(t) siendo f1(t), f2(t), ···, fn(t) las transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s), ···, Fn(s) y f(t) la transformada inversa resultante de F(s). Se describen a continuación los métodos de expansión en fracciones parciales para los casos de polos simples, polos de orden múltiple y polos complejos de F(s).

Expansión en fracciones parciales cuando todos los polos de F(s) son simples y reales. Cuando todos los polos de F(s) son reales y simples, la ecuación (2.5.0.1) puede escribirse como, F (s ) =

B( s )

=

A( s )

B( s )

(2.5.1.3)

( s + s1 ) ⋅ ( s + s 2 )L( s + s n )

donde, en este caso, se considera que los polos -s1, -s2 …, -sn son números reales. Aplicando la técnica de expansión en fracciones parciales, la ecuación (2.5.1.3) se transforma en: F (s ) =

K s1 ( s + s1 )

+

K s2 ( s + s2 )

+L+

K sn

(2.5.1.4)

(s + s n )

Los coeficientes Ks1, Ks2 …, Ksn se determinan multiplicando ambos miembros de la ecuación (2.5.1.3) o de la (2.5.1.4) por el factor (s + si) - siendo i = 1, 2, …, n - y estableciendo que s es igual a -si. Baste como ejemplo la determinación de Ks1:  B( − s1 ) B( s )   K s1 =  ( s + s1 ) ⋅ =   A( s ) s =− s ( − s1 + s 2 ) ⋅ ( − s1 + s 3 )L ( − s1 + s n )

(2.5.1.5)

1

Ejemplo 2.10 Se considera la función compleja: F (s ) =

5⋅s+3

( s + 1) ⋅ ( s + 2 ) ⋅ ( s + 3 )

Esta función queda representada en fracciones parciales de la forma: F (s ) =

K −1

( s + 1)

+

K −2

( s + 2)

+

K −3

( s + 3)

Los coeficientes de los numeradores de las fracciones se determinan de la siguiente manera: K −1 = [ ( s + 1) ⋅ F ( s )] s =−1 =

5 ⋅ ( −1) + 3

( −1 + 2 ) ⋅ ( −1 + 3 )

K −2 = [ ( s + 2 ) ⋅ F ( s )] s =−2 = K −3 = [ ( s + 3 ) ⋅ F ( s )] s =−3 =

5 ⋅ ( −2 ) + 3

( −2 + 1) ⋅ ( −2 + 3 ) 5 ⋅ ( −3 ) + 3

( −3 + 1) ⋅ ( −3 + 2 )

= −1

=7

= −6

Queda, por tanto, la función F(s) transformada en una suma de fracciones tal y como se muestra a

39

Sistemas de medida y regulación

continuación: 1

F (s ) = −

7

+

( s + 1)

−

( s + 2)

6

( s + 3)

Expansión en fracciones parciales cuando algunos polos de F(s) son de orden múltiple. Si n de los m polos de F(s) son idénticos, o dicho de otra manera, cuando el polo en s = -si tiene una multiplicidad n, F(s) se escribe como: F (s ) =

B( s ) A( s )

B( s )

=

(2.5.1.6)

n

( s + s1 ) ⋅ ( s + s2 )L( s + s i ) L ( s + s m )

Entonces, la expansión de F(s) toma la forma: F (s ) =

K s1 ( s + s1 )

+

K s2

+L+

(s + s 2 )

K sm (s + s m )

L1

+

+

(s + s i )

L2 (s + si )

2

+L+

Ln (s + s i )

n

(2.5.1.7)

Como se puede apreciar, aparecen m - n términos correspondientes a los polos simples y cuyos coeficientes Ks1, Ks2 …, Ksm se determinan de la forma descrita en la ecuación (2.5.1.5). Por otra parte, se tienen n términos correspondientes al polo múltiple de orden n y cuyos coeficientes L1, L2, … Ln, se determinan de la manera que se indica a continuación:

[

n

Ln = ( s + s i ) ⋅ F( s )

L n −1 =

L n −2 =

1

[(s + s ) δs δ

2

δ

2! δ s

2

s =− s i

]

n

⋅ F (s )

i

⋅

]

[(s + s )

n

i

s =− s i

]

⋅ F (s )

s =− s i

M L1 =

1

⋅

δ

n −1

( n − 1) ! δ s

n −1

[(s + s )

n

i

]

⋅ F( s)

(2.5.1.8) s =− s i

Ejemplo 2.11 Se considera la siguiente función: F (s ) =

3 s ⋅ ( s + 2 ) ⋅ ( s + 1) 3

Esta función queda representada en fracciones parciales de la forma: F (s ) =

K0 s

+

K −2 s+2

+

L1 s +1

+

L2

( s + 1)

2

+

L3

( s + 1) 3

Los coeficientes de los numeradores de las fracciones se determinan de la siguiente manera: K 0 = [ s ⋅ F ( s )] s =0 =

3

( 0 + 2 ) ⋅ ( 0 + 1)

K −2 = [ ( s + 2 ) ⋅ F ( s )] s =−2 =

40

3

=

3

( −2 ) ⋅ ( −2 + 1)

3

3 2 =

3 2

La transformada de Laplace

[

3

L3 = ( s + 1) ⋅ F ( s )

L2 =

L1 =

1

⋅

δ

2

2! δ s

2

[

3

[ (s + 1) δs δ

3

]

]

=

s =−1

⋅ F (s )

]

= s =−1

= −3

s ⋅ ( s + 2)

=− s =−1

2

( s + 1) ⋅ F ( s )

3 s =−1

6 ⋅ ( s + 1) 2

s ⋅ (s + 2)

=0

2 s =−1

2

3

2

1 −6 ⋅ s ⋅ ( s + 2 ) + 6 ⋅ ( s + 1 ) ⋅ (4 ⋅ s + 12 ⋅ s + 8 ⋅ s ) ⋅ 4 4 2 s ⋅ (s + 2)

= −3 s =−1

La expansión en fracciones de la función F(s) resulta: F (s ) =

3 2 ⋅s

+

3 2 ⋅ ( s + 2)

−

3 s +1

−

3

( s + 1) 3

Expansión en fracciones parciales de polos complejos conjugados simples. La ecuación (2.5.1.4) también es válida cuando F(s) tiene polos complejos conjugados simples. Sin embargo, dado que los polos complejos conjugados son más difíciles de operar y tienen un interés especial en los estudios de procesos de control, es conveniente tratarlos por separado. Se parte de la suposición en la que la función racional F(s) de la ecuación (2.5.1.1) contiene un par de polos complejos: s = -σ + jω

y

s = -σ - jω

De la misma forma en la que se han planteado los coeficientes para las fracciones en la ecuación (2.5.1.5), los coeficientes correspondientes de estos polos son: K −α + jω = [ ( s + α − jω ) ⋅ F ( s )] s =−α + jω K −α − jω = [ ( s + α + jω ) ⋅ F ( s )] s =−α − jω

(2.5.1.9)

Ejemplo 2.12 Se considera la función compleja: F (s ) =

10

(

2

s⋅ s +s+4

)

La función s·F(s) tiene polos en:  1 15 s = 0,  s = − + j 2 2 

  1 15  y s = − − j   2   2

   

Por tanto la expansión en fracciones parciales se puede expresar como: F (s ) =

K0 s

+

K −α + jω  1 15 s +  − j   2 2 

   

+

K −α + jω  1 15 s +  + j   2 2 

   

Los coeficientes de las fracciones parciales se determinan según se muestra a continuación: K 0 = [ s ⋅ F ( s )] s =0 =

(0

10 2

+0 +4

)

=

5 2

41

Sistemas de medida y regulación

  1 15     ⋅ F ( s )  K −α + jω =  s +  − j    2  2     1 15     ⋅ F ( s )  K −α − jω =  s +  + j    2  2  

=− 15 1 s =− + j 2 2

=− 15 1 s =− − j 2 2

15 12

15 12

+j

−j

15 12

15 12

La expansión en fracciones resultante es:

F (s ) =

−

5 2⋅s

15

15

+j

12 12  1 15 s +  − j   2 2 

+

− +

   

15

−j

15

12 12  1 15 s +  + j   2 2 

    

2.5.2 Aplicación de la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. Las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales pueden resolverse con el método de la transformada de Laplace. Para ello deben utilizarse los teoremas comentados en el apartado 2.4.2 y la tabla de transformadas del apartado 2.4.1. Las ventajas de este método son que, con la ayuda de dicha tabla, todas las operaciones resultan algebraicas y se obtienen simultáneamente tanto la solución homogénea como la solución particular de la ecuación general. A continuación se ofrece un ejemplo ilustrativo de la aplicación de la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. Ejemplo 2.13 Se tiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria y lineal: 2

5 ⋅ 1( t ) =

δ f (t ) δt

2

+3⋅

δ f (t ) δt

+ 2 ⋅ f (t )

donde la función escalón unitario, 1(t), se define como: 1(t) = 0

para

t0

Las condiciones iniciales consideradas son: f(0) = 0 ; f'(0) = 2. El siguiente paso es tomar la transformada de Laplace de ambos miembros de la ecuación diferencial: 5 s

(

)

= s ⋅ F ( s ) − s ⋅ f (0 ) − f '( 0 ) + ( 3 ⋅ s ⋅ F ( s ) − 3 ⋅ f ( 0 ) ) + 2 ⋅ F ( s ) 2

Reemplazando f(0) y f'(0) por sus valores: 5 s

(

)

2

= s ⋅ F ( s ) − 2 + 3 ⋅ s ⋅ F ( s ) + 2 ⋅ F (s )

Ahora, despejando F(s): 5 s

42

(

2

)

+ 2 = s + 3 ⋅ s + 2 ⋅ F (s ) ;

La transformada de Laplace

5 F (s ) =

(s

s 2

+2

+3⋅s+2

=

)

5 +2 ⋅s

(

2

s⋅ s +3⋅s +2

)

;

5 +2⋅s

F (s ) =

s ⋅ ( s + 1) ⋅ ( s + 2 )

Esta función queda representada en fracciones parciales de la forma: F (s ) =

K0 s

+

K −1

+

( s + 1)

K −2

( s + 2)

Los coeficientes de los numeradores de las fracciones se determinan de la siguiente manera: 5 +2⋅0

K 0 = [ s ⋅ F ( s )] s =0 =

( 0 + 1) ⋅ ( 0 + 2 )

=

5 2

5 + 2 ⋅ ( −1)

K −1 = [ ( s + 1) ⋅ F ( s )] s =−1 =

( −1) ⋅ ( −1 + 2 ) 5 + 2 ⋅ ( −2 )

K −2 = [ ( s + 2 ) ⋅ F ( s )] s =−2 =

( −2 ) ⋅ ( −2 + 1)

= −3

=

1 2

La función F(s) se transforma en una suma de fracciones tal y como se muestra a continuación: F (s ) =

5 2⋅s

−

3

( s + 1)

+

1 2 ⋅ ( s + 2)

Finalmente, tomando la transformada inversa de cada una de las fracciones, según la tabla 2.1 del apartado 2.4.1, se obtiene la función real f(t): f (t ) =

5

−3⋅e

−t

+

2

1

⋅e

−2 ⋅t

2

El primer término de la función f(t), 5/2, representa la respuesta estacionaria o en estado estable. Los otros dos términos, -3·e-t + 0,5·e-2·t, representan la respuesta transitoria de la función f(t). Si se hubiera deseado solamente obtener la respuesta estacionaria, bastaría con haber aplicado el teorema del valor final, comprobando previamente que todos los polos de s·F(s) se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s (polos en s = -1 y en s = -2): lím f ( t ) = lím s ⋅ F ( s ) = lím

t →∞

s →0

s →0

5 +2 ⋅s

(s + 1) ⋅ (s + 2 )

=

5 2

43

Sistemas de medida y regulación

Ejercicios de profundización y refuerzo. Ejercicio 2.1 Determinar las singularidades de las siguientes funciones complejas (incluyendo los puntos singulares en el infinito): a) F ( s ) =

5 ⋅ ( s + 1) s ⋅ ( s + 2 ) ⋅ ( s + 5) 2

b) F ( s ) =

c) F ( s ) =

d) F ( s ) =

s ⋅ ( s + 1)

(

( s + 2) ⋅ s2 + 3 ⋅ s + 2 K ⋅ (s + 2 )

(

2

)

)

s ⋅ s + s +1 K ⋅e

−2 ⋅s

( s + 1) ⋅ ( s + 2 )

Ejercicio 2.2 Realizar la transformada de Laplace de las siguientes funciones del dominio del tiempo: a) f ( t ) = t ⋅ e −2⋅t b) f (t ) = t ⋅ cos( 5 ⋅ t ) c) f (t ) = e −t ⋅ sen (ω ⋅ t ) + 2 d) f (t ) = sen (ω ⋅ t + θ ) Determinar, a partir de las funciones complejas obtenidas, el valor inicial y valor final de la función temporal correspondiente.

Ejercicio 2.3 Obtener la transformada de Laplace de la función representada en la gráfica de la figura 2.6:

f(t)

0

a

2·a

t

Figura 2.6 : Función f(t).

Ejercicio 2.4 Obtener la transformada de Laplace de la función representada en la gráfica de la figura 2.7:

44

La transformada de Laplace

f(t)

0

a

2·a

t

Figura 2.7 : Función f(t).

Ejercicio 2.5 Resolver la siguente ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace. Se suponen todas las condiciones iniciales igual a cero: 2

δ f (t ) δt

2

+3⋅

δ f (t ) δt

+ 2 ⋅ f (t ) = 1

Ejercicio 2.6 Resolver la siguente ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace considerando f(0) = 0 y f'(0) = 2: 2

δ f (t ) δt

2

+3⋅

δ f (t ) δt

+ 6 ⋅ f (t ) = 0

45

Sistemas de medida y regulación

46

UNIDAD 3 Modelos matemáticos de sistemas físicos. 3.1

Introducción al modelo matemático.

La gran mayoría de los sistemas físicos, ya sean mecánicos, térmicos, eléctricos, económicos, biológicos, etc., tienen descrita su dinámica en términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir de leyes físicas que gobiernan un sistema determinado, como las leyes de Newton para sistemas mecánicos, las leyes de los gases perfectos en la mecánica de fluidos y las leyes de Kirchhoff para sistemas eléctricos. Una de las tareas más importantes del análisis y diseño de procesos de control es la obtención de los modelos matemáticos de dichos procesos o sistemas. Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como: Conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con bastante precisión. Hay que considerar que un modelo matemático no es único para un proceso concreto. Un proceso puede representarse en muchas formas diferentes, por lo que puede tener muchos modelos matemáticos, dependiendo de la perspectiva desde la que se enfoque dicho proceso.

3.1.1 Sistemas lineales y no lineales. Puesto que los sistemas físicos reales nunca son completamente lineales, para poder usar herramientas o métodos de análisis lineales, se hace necesario linealizar el sistema, o bien limitar su intervalo de operación a un dominio lineal. Se define sistema lineal como: El sistema cuya respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada a la vez y sumando los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuación diferencial lineal a partir de soluciones simples. Por el contrario, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a la vez y sumando los resultados. Algunos ejemplos de ecuaciones de sistemas lineales y no lineales aparecen tratados en el apartado 3.3 de la esta unidad. En la práctica, muchos procesos electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., involucran relaciones no lineales entre las variables. Por ejemplo, la salida de un componente puede saturarse para señales de entrada grandes. Puede haber una zona muerta que afecte a las señales pequeñas. (La zona muerta de un componente es un rango pequeño de variaciones de entrada ante las cuales el componente es insensible.) Puede ocurrir una no linealidad de la ley cuadrática en algunos componentes. Por ejemplo, los amortiguadores que se utilizan en los sistemas físicos pueden ser lineales para operaciones a baja velocidad, pero pueden volverse no lineales a altas velocidades, y la fuerza de amortiguamiento puede hacerse proporcional al cuadrado de la velocidad de operación. Algunos ejemplos de las curvas características para estas no linealidades aparecen en la figura 3.1. no linealidad de saturación

no linealidad de zona muerta

salida

no linealidad de ley cuadrática

salida

entrada

no linealidad en control todo-nada

salida

entrada

salida

entrada

entrada

Figura 3.1 : Representación de diversas no linealidades mediante curvas salida-entrada.

47

Sistemas de medida y regulación

Algunos sistemas de control importantes son no lineales para señales de cualquier tamaño. Tal es el caso de los procesos de control tipo todo - nada, en los que la acción de control está activada o no activada y no hay una relación lineal entre la entrada y la salida del controlador (figura 3.1). Aunque las herramientas para el análisis y diseño de procesos de control lineales están bien desarrolladas, los métodos equivalentes para sistemas o procesos no lineales suelen ser bastante complejos. Por tanto, resulta necesario introducir los sistemas lineales equivalentes en lugar de los no lineales. Tales sistemas lineales equivalentes sólo son válidos para un rango limitado de operación. Una vez que se aproxima un sistema no lineal mediante un modelo matemático lineal, pueden aplicarse varias herramientas o métodos lineales para análisis y diseño.

3.1.2 Métodos para el análisis de sistemas lineales. Existen dos métodos muy utilizados que permiten obtener el modelo matemático de un proceso o sistema con la condición de que éste sea lineal. Estos dos métodos son: •

Función de transferencia y de respuesta impulso: este método sólo es válido para los sistemas lineales invariantes con el tiempo con una única entrada y una única salida.

•

Ecuaciones de estado: este método utiliza ecuaciones diferenciales de primer orden y pueden utilizarse para describir tanto sistemas lineales como no lineales con más de una entrada y con más de una salida.

Dependiendo del proceso o sistema a controlar del que se trate y de las circunstancias específicas, un modelo matemático puede ser más conveniente que otros. Por ejemplo, en problemas de control óptimo, es provechoso usar representaciones en el espacio de estados y, por tanto, se describirá el sistema mediante ecuaciones de estado. En cambio, para los análisis de la respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia de sistemas lineales con una entrada y una salida invariantes con el tiempo, la representación mediante la función de transferencia puede ser más conveniente que cualquier otra. En los apartados 3.3, 3.4, 3.5 y 3.6 de la presente unidad se desarrollan ejemplos de procesos de diversa naturaleza en los que se obtendrán sus modelos matemático a partir de estos dos métodos. Una vez obtenido un modelo matemático de un proceso, se usan diversas técnicas analíticas, como la aplicación de herramientas informáticas en su estudio y simulación. A continuación, en los apartados 3.1.3 y 3.1.4, se describen un poco más a fondo estos dos métodos de análisis para sistemas lineales.

3.1.3 Función de transferencia y de respuesta-impulso. Función de transferencia. En la disciplina de la teoría clásica de control se usan a menudo las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada-salida de elementos, o de sistemas, que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Aunque el concepto de función de transferencia ya se comentó en la unidad 1 (apartado 1.3.3), resulta conveniente recordarlo: La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo es el cociente entre la transformada de Laplace de la función temporal de la señal de salida (función respuesta) y la transformada de Laplace de la función temporal de la señal de entrada (función de excitación), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero. Esta definición se expresa en términos matemáticos como: G(s ) =

Y (s )

(3.1.3.1)

U(s ) A partir del concepto de función de transferencia, es posible representar la dinámica de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia es igual a n, el sistema se denomina sistema de n-ésimo orden. La aplicación del concepto de función de transferencia está limitada a los sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Sin embargo, el enfoque de la función de transferencia se usa extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas.

48

Modelos matemáticos de sistemas físicos

A continuación se presentan algunos comentarios importantes relacionados con la función de transferencia. Es de notar que, en la lista, los sistemas o procesos a los que se hace referencia son aquellos que se describen mediante una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo. 1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada. 2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación. 3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. Las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas. 4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema. 5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física.

Respuesta-impulso. Una señal de impulso δ(t) es una función que se define como: δ(t) = lím

A

t 0 →0 t 0

δ(t) = 0

para

0 < t < t0

para

t0 < t < 0

donde A es el área de la función impulso y t0 la duración del mismo. Si A = 1 la función se denomina impulso unitario. La transformada de Laplace de la función impulso unitario es:

L [δ(t)] = 1

(3.1.3.2)

Ahora, considérese la salida (respuesta) de un sistema para una entrada impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. Debido a que la transformada de Laplace de la función impulso unitario es la unidad, la transformada de Laplace de la salida del sistema es: Y(s) = G(s)

(3.1.3.3)

La transformada inversa de Laplace de la salida obtenida mediante la ecuación (3.1.3.3) proporciona la respuesta-impulso del sistema. La transformada inversa de Laplace de G(s), o bien:

L -1[G(s)] = g(t)

(3.1.3.4)

se denomina respuesta-impulso. Por tanto, la respuesta-impulso g(t) es la respuesta de un sistema lineal a una entrada impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. La transformada de Laplace de esta función proporciona la función de transferencia. Por tanto, la función de transferencia y la respuesta-impulso de un sistema lineal e invariante con el tiempo contienen la misma información acerca de la dinámica del sistema. De esta manera, si se excita el sistema con una entrada impulso y se mide la respuesta, es posible obtener una información completa acerca de sus características dinámicas. En la práctica, una entrada de un pulso con una duración muy corta, en comparación con las constantes de tiempo significativas del proceso, se considera un impulso.

3.1.4 Teoría de control moderna. Ecuaciones de estado. La teoría de control moderna es la disciplina que da una solución a los procesos de control actuales, los cuales poseen un alto grado de complejidad. Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidas múltiples y pueden variar en el tiempo. Debido a la necesidad de alcanzar los requerimientos cada vez más restrictivos en el desempeño de los procesos de control, al aumento la complejidad del sistema y al uso extendido de los ordenadores, aproximadamente desde 1960 se ha desarrollado la teoría de control moderna, que es un nuevo enfoque del análisis y diseño de procesos de control complejos. Este enfoque nuevo se basa en el concepto de estado. El concepto de estado por sí mismo no es nuevo, dado que ha existido durante largo tiempo en el campo de la dinámica clásica y en otros medios.

49

Sistemas de medida y regulación

La teoría de control moderna contrasta con la teoría clásica de control en que la primera aplica a sistemas con entradas y salidas múltiples, que pueden ser lineales o no lineales, mientras que la segunda sólo se aplica a sistemas lineales con una entrada y una salida e variantes con el tiempo. Asimismo, la teoría del control moderna es esencialmente un enfoque en el dominio del tiempo y los procesos se representan mediante ecuaciones de estado, en tanto que la teoría clásica de control es enfoque en el dominio de la variable compleja s. Para poder comprender un poco más el significado de la teoría de control moderna y de las ecuaciones de estado, se citan a continuación una serie de conceptos básicos.

Estado. En la formulación de ecuaciones de estado de un sistema dinámico, conviene tratar primero el concepto básico de estado. Son las condiciones pasadas, presentes y futuras de un sistema y que representan, en un momento determinado, a una de las fases o etapas de dicho sistema. Estas condiciones a las que hace referencia la definición de estado, constituyen, en cada fase de evolución de un sistema o proceso, una imagen de la situación en la que se halla el sistema en el momento de producirse fase. Otra definición posible sería: El conjunto más pequeño de variables (variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables en t = t0, junto con el conocimiento de la entrada para t ³ t0, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t ³ t0. donde la idea de variables hace referencia a la idea de condiciones de la primera definición. Obsérvese que el concepto de estado de ningún modo está limitado a los sistemas físicos. Se puede aplicar a sistemas biológicos, económicos, sociales y otros.

Variables de estado. En general, un estado puede describirse con un conjunto de números, una curva, una ecuación o alguna otra expresión de naturaleza más abstracta. Desde un punto de vista matemático, es conveniente definir un conjunto de variables de estado y ecuaciones de estado para describir los sistemas. Existen varias reglas fundamentales con respecto a la definición de una variable de estado y a lo que constituye una ecuación de estado. Se considera seleccionado el conjunto de variables x1(t), x2(t),… , xn(t) para describir las características dinámicas de un sistema. Con esto, estas variables se definen como las variables de estado del sistema. Entonces, estas variables de estado deben satisfacer las siguientes condiciones: 1. En cualquier momento t = t0, las variables, x1(t0), x2(t0),… , xn(t0) definen los estados iniciales del sistema en el tiempo inicial seleccionado. 2. Una vez que se especifican las entradas al sistema para t > t0 y se definen los estados iniciales como se acaba de describir, las variables de estado deben definir totalmente el comportamiento futuro del sistema. Por consiguiente, es posible definir las variables de estado como sigue: Las variables de estado de un sistema se definen como un conjunto mínimo de variables, x1(t), x2(t),… , xn(t) tal que el conocimiento de estas variables en cualquier momento t0, más la información con respecto a la excitación de entrada aplicada posteriormente, sea suficiente para determinar al estado de un sistema en cualquier momento t > t0. Es necesario no confundir las variables de estado con las salidas de un sistema. La salida de un sistema es una variable que puede medirse, mientras que una variable de estado no siempre satisface este requisito, pues casi nunca puede medirse. Sin embargo, una variable de salida queda definida como una función de las variables de estado.

Vector de estado. Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas n variables de estado se consideran los n componentes de un vector x. Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto, un vector de estado es aquel que determina de manera única el estado del sistema x(t) para cualquier tiempo t ³ t0, una vez que se obtiene el estado en t = t0 y se especifica la entrada u(t) para t ³ t0.

50

Modelos matemáticos de sistemas físicos

Espacio de estados. Es el espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje x1, el eje x2, …el eje xn. Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados.

Ecuaciones de estado. El análisis en el espacio de estados, se concentra en tres tipos de variables involucradas en el modelado de sistemas dinámicos: variables de entrada, variables de salida y variables de estado. El sistema dinámico debe incorporar elementos que memoricen los valores de la entrada para t ³ t0. La cantidad de variables de estado necesarias para definir completamente la dinámica del sistema es igual a la cantidad de elementos memorizadores que contiene el sistema. Considérese un proceso de control con múltiples entradas, múltiples salidas y elementos de memoria. Si el número de entradas es r (u1(t), u2(t),… , ur(t)), el número de salidas es m (y1(t), y2(t),… , ym (t)) y el número de elementos de memoria, que almacenan las variables de estado, es n (x1(t), x2(t),… , xn(t)), el sistema de ecuaciones de estado se puede describir como: x'1(t) = f1(x1, x2,… , xn; u1, u2,… , ur; t) x'1(t) = f2(x1, x2,… , xn; u1, u2,… , ur; t) … x'n(t) = fn(x1, x2,… , xn; u1, u2,… , ur; t)

(3.1.4.1)

Las salidas y1(t), y2(t),… , ym (t) del sistema se obtienen mediante: y1(t) = g1(x1, x2,… , xn; u1, u2,… , ur; t) y2(t) = g2(x1, x2,… , xn; u1, u2,… , ur; t) … ym (t) = gm (x1, x2,… , xn; u1, u2,… , ur; t)

(3.1.4.2)

Si se representan las ecuaciones (3.1.4.1) y (3.1.4.2) con sus vectores correspondientes: x(t) = (x1(t), x2(t),… , xn(t)) ; u(t) = (u1(t), u2(t),… , ur(t)) ; y(t) = (y1(t), y2(t),… , ym (t)) se obtienen las ecuaciones en forma vectorial: x'(t) = f(x, u, t)

(3.1.4.3)

y(t) = g(x, u, t)

(3.1.4.4)

donde la ecuación (3.1.4.3) es la ecuación de estado del sistema, mientras que la ecuación (3.1.4.4) es la ecuación de salida del sistema. Linealizando estas ecuaciones de estado y salida en torno al punto de operación, se pueden escribir ambas de la siguiente forma: x'(t) = A(t)·x(t) + B(t)·u(t)

(3.1.4.5)

y(t) = C(t)·x(t) + D(t)·u(t)

(3.1.4.6)

En estas ecuaciones se distinguen: la matriz de estado A(t), la matriz de entrada B(t), la matriz de salida C(t) y la matriz de transmisión directa D(t). Si las funciones f y g no dependen de la variable temporal t, el sistema es invariante en el tiempo y sus ecuaciones se transforman en: x'(t) = A·x(t) + B·u(t)

(3.1.4.7)

y(t) = C·x(t) + D·u(t)

(3.1.4.8)

51

Sistemas de medida y regulación

3.2

Diagramas de bloques.

Ya se indicó en la unidad 1 que un proceso de control consta de diversos elementos, los cuales desempeñan una función determinada dentro de dicho proceso. Para mostrar las funciones que lleva a cabo cada elemento en el estudio de los sistemas de control, se usa una representación denominada diagrama de bloques. En el presente apartado se facilita un método para obtener los diagramas de bloques de sistemas físicos y, por último, analiza técnicas para simplificar tales diagramas. La definición de diagrama de bloques de un sistema sería: Representación gráfica de las funciones que llevan a cabo cada uno de los elementos de un sistema y su flujo de señales, donde, además, quedan mostradas las relaciones existentes entre los diversos componentes. A diferencia de una representación matemática, que es puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el flujo de las señales del proceso real. Otra de las ventajas de esta representación gráfica estriba en que la operación funcional del sistema se aprecia con más facilidad si se examina el diagrama de bloques que si se revisa el sistema físico mismo. Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema. En consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques. Debe señalarse que, en un diagrama de bloques, la principal fuente de energía no se muestra explícitamente y que el diagrama de bloques de un sistema determinado no es único. Es posible dibujar varios diagramas de bloques diferentes para un sistema, dependiendo del punto de vista del análisis.

3.2.1 Elementos constituyentes de un diagrama de bloques. Bloque funcional. En un diagrama de bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema, mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque se puede describir como: El símbolo utilizado para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones de transferencia de los componentes, por lo general, se introducen en los bloques correspondientes que se conectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales. Hay que observar que la señal sólo puede pasar en la dirección de flechas. Por tanto, un diagrama de bloques de un proceso de control muestra explícitamente una propiedad unilateral. La figura 3.2 muestra un elemento del diagrama de bloques. La punta de flecha que señala el bloque indica la entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloque representa la salida. Tales flechas se conocen como señales. La magnitud y dimensión de la señal de salida del bloque es la magnitud y dimensión de la señal de entrada multiplicada por la función de transferencia en bloque. a Función de transferencia G(s)

Figura 3.2 : Elemento de un diagrama de bloques.

a-b

b

Figura 3.3 : Punto suma.

Punto suma. En referencia a la figura 3.3, un círculo con una cruz es el símbolo que indica una operación de suma. El signo de más o de menos en cada punta de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. Es importante que las cantidades que se sumen o se resten tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades.

52

Modelos matemáticos de sistemas físicos

Punto de ramificación. Un punto de ramificación es aquel a partir del cual la señal de salida de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos suma.

3.2.2 Procedimientos para trazar un diagrama de bloques. En el trazado de un diagrama de bloques de un sistema, se escriben primero las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente. A continuación se realizan las transformadas de Laplace de estas ecuaciones, suponiendo que las condiciones iniciales son cero, y se representan individualmente en forma de bloques cada ecuación transformada por el método de Laplace. Por último, se integran los elementos en un diagrama de bloques completo. Ejemplo 3.1 Se tiene el circuito RL de la figura 3.4: R

i(t) L

Figura 3.4 : Circuito RL.

Las ecuaciones que caracterizan a este circuito son: i (t ) =

v i ( t ) − v 0 (t )

;

R

v o (t ) = L ⋅

δ i (t ) δt

Las transformadas de Laplace de las ecuaciones en el dominio del tiempo, resultan: I( s ) =

Vi ( s ) − Vo ( s )

;

R

+

Vo ( s ) = L ⋅ s ⋅ I ( s ) − i (0 )

Puesto que en la aplicación del método de la función de transferencia, las condiciones iniciales se consideran cero, i(0+) = 0, las expresiones resultan ser: I( s ) =

Vi ( s ) − Vo ( s )

;

R

Vo ( s ) = L ⋅ s ⋅ I ( s )

La expresión de I(s) hace referencia a una operación suma, mientras que la expresión de Vo(s) representa un bloque funcional con una ganancia L·s. El trazado del diagrama de bloques se representa en la figura 3.5.

1 R

I(s)

L·s

Figura 3.5 : Diagrama de bloques del circuito RL.

Los diagramas de bloques con múltiples lazos de realimentación y varios puntos suma se pueden simplificar realizando una reorganización de los mismos y siguiendo unas reglas de álgebra de bloques. La simplificación de un diagrama de bloques mediante reordenamientos y sustituciones reduce de manera considerable la labor necesaria para el análisis matemático posterior. Sin embargo, debe señalarse que,

53

Sistemas de medida y regulación

conforme se simplifica el diagrama de bloques, las funciones de transferencia de los bloques nuevos se vuelven más complejas, debido a que se generan polos y ceros nuevos. Al simplificar un diagrama de bloques, se debe tener presente: •

El producto de las funciones de transferencia en la dirección de la trayectoria directa debe ser el mismo.

•

El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo.

Un ejemplo ilustrativo facilitará la comprensión de lo anteriormente comentado.

Ejemplo 3.2 Se dispone del diagrama de la figura 3.6:

R(s)

Y(s)

Figura 3.6 : Diagrama de bloques para simplificar.

Dado que la señal de salida de un bloque funcional es igual a la señal de entrada por la función de transferencia del bloque funcional, la señal de salida de dos bloques conectados en serie será igual a la señal de entrada por el producto de las funciones de transferencia de los dos bloques. Por consiguiente, se puede sustituir el conjunto de dos bloques en serie por un único bloque que contenga el producto de las funciones de transferencia de los dos bloques originales. En este caso se aplica a los bloques cuyas funciones de transferencia son G1(s) y G2(s) y a los bloques del lazo de realimentación con funciones H2(s) y H3(s). El resultado se muestra en la figura 3.7.

R(s)

Y(s)

Figura 3.7 : Reducción de los bloques G1(s), G2(s), H2(s) y H3(s).

El siguiente paso va a consistir en trasladar el punto suma del lazo del bloque [H2(s)·H3(s)] a la entrada del bloque [G1(s)·G2(s)]. Para que el resultado en la trayectoria directa a la salida del bloque [G1(s)·G2(s)] no varíe, se ha de dividir la función de transferencia del bloque [H2(s)·H3(s)] por G1(s)·G2(s) (figura 3.8)

54

Modelos matemáticos de sistemas físicos

R(s)

Y(s)

Figura 3.8 : Traslación del punto suma del lazo correspondiente al bloque [H2(s)·H3(s)].

Ahora se tienen, de nuevo, dos bloques en serie en la trayectoria directa: [G1(s)·G2(s)] y [G3(s)]. Estos dos bloques, al igual que se ha hecho anteriormente, se pueden sustituir por un único bloque cuya función de transferencia sea: G1(s)·G2(s)·G3(s).

R(s)

Y(s)

Figura 3.9 : Reducción y obtención del bloque [G1(s)·G2(s)·G3(s)].

El siguiente paso natural es simplificar el lazo de realimentación del bloque [H1(s)]. Para ello se sustituye el bucle constituido por los bloques [G1(s)·G2(s)·G3(s)] y [H1(s)] por uno único con la función de transferencia equivalente a este lazo cerrado (el proceso de obtención de la función de transferencia de un lazo cerrado se trató en el apartado 1.5.1 de la unidad 1) tal y como se puede observar en la figura 3.10.

R(s)

Y(s)

Figura 3.10 : Simplificación de un lazo cerrado.

Los siguientes pasos van a consistir en obtener la función de transferencia equivalente de la trayectoria directa (constituida por dos bloques en serie) para después obtener la función de trasferencia del lazo de realimentación resultante (figura 3.11).

55

Sistemas de medida y regulación

R(s)

Y(s)

R(s)

Y(s) 1+

Figura 3.11 : Simplificación final.

Como se puede comprobar, y en referencia a lo ya comentado, la función de transferencia resultante de la simplificación final se vuelve más compleja, dando lugar a la aparición de polos y ceros nuevos.

3.3

Sistemas eléctricos.

El procedimiento clásico para establecer las ecuaciones de un circuito eléctrico se basa en el análisis de mallas y nudos, el cual se formula a partir de las leyes de Kirchhoff. Sin embargo, aunque las leyes de Kirchhoff son bastante simples, las ecuaciones de mallas y nudos resultantes no son las más apropiadas para el tratamiento por ordenador. La teoría de control moderna y la definición de sistemas mediante ecuaciones de estado resulta más adecuado para este propósito. Puesto que los circuitos que aparecen en la mayor parte de los procesos de control son un poco complejos, sólo se trataran aquellos más simples como nivel introductorio. En los ejemplos que se desarrollan a continuación, la formulación del modelo matemático equivalente se realizará mediante los dos métodos ya comentados: la función de transferencia y las ecuaciones de estado. Ejemplo 3.3 Considérese el circuito eléctrico que aparece en la figura 3.13. El circuito está formado por una bobina ideal con un coeficiente de autoinducción L (henrios), una resistencia de valor R (ohmios), y un condensador de capacidad C (faradios). R

L

i(t) C

Figura 3.12 : Circuito RLC.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al sistema, se obtienen las ecuaciones siguientes: R ⋅ i (t ) + L ⋅

1 C

δ i (t ) 1 + ⋅ i (t ) ⋅δ t = v i (t ) δt C

∫

∫

⋅ i ( t ) ⋅δ t = v o ( t )

(3.3.0.1)

(3.3.0.2)

Las ecuaciones (3.3.0.1) y (3.3.0.2) proporcionan un modelo matemático del circuito en el dominio del tiempo.

56

Modelos matemáticos de sistemas físicos

Función de transferencia. Un modelo obtenido mediante el método de la función de transferencia llevaría el proceso siguiente. Se toma la transformada de Laplace de las ecuaciones (3.3.0.1) y (3.3.0.2) y se suponen las condiciones iniciales iguales a cero, para obtener 1

R ⋅ I ( s) + L ⋅ s ⋅ I ( s ) + 1 C⋅s

C⋅s

⋅ I( s ) = Vi ( s )

(3.3.0.3)

⋅ I ( s ) = Vo ( s )

(3.3.0.4)

Dando por supuesto que vi(t) es la entrada y vo(t) la salida, la función de transferencia de este sistema resulta ser: 2

R ⋅ C ⋅ s ⋅ Vo ( s ) + L ⋅ C ⋅ s ⋅ Vo ( s ) + Vo ( s ) = Vi ( s )

Vo ( s )

;

Vi ( s )

=

1 2

L ⋅ C ⋅ s + R ⋅ C ⋅ s +1

(3.3.0.5)

El trazado del diagrama de bloques del circuito del ejemplo se representa en la figura 3.13.

Ecuaciones de estado. A este mismo ejemplo se le puede aplicar el método de las ecuaciones de estado. Dado que la corriente por la bobina y la tensión que cae en el condensador son dos magnitudes de carácter acumulativo - la bobina ideal es un almacén de corriente y el condensador es un almacén de tensión - se pueden utilizar estos dos elementos como elementos de memoria, y las magnitudes i(t) y vo(t) como variables de estado. Estas variables de estado permiten contar con una descripción completa de la historia pasada (por medio de los valores iniciales de las variables de estado), y de los estados presentes y futuros del circuito.

I(s)

1 R + L·s

1 C·s

Figura 3.13 : Diagrama de bloques del circuito RLC.

Las ecuaciones de estado del circuito de la figura 3.12 se describen estableciendo unas relaciones entre la tensión en L y la variable de estado i(t) y entre la corriente en C y la variable de estado vo(t). Por consiguiente: C⋅

L⋅

δ i (t ) δt

δ v o (t ) δt

= i (t )

= v i (t ) − R ⋅ i ( t ) − v o ( t )

;

;

v 'o (t ) = i '( t ) = −

1 L

1

⋅ i (t )

(3.3.0.6)

C

⋅ v o (t ) −

R

⋅ i (t ) +

L

1 L

⋅ v i (t )

(3.3.0.7)

Por tanto, la ecuación de estado en forma matricial se escribe como: v 'o (t )   0   =   i '(t )   −1 / L

1 / C  v o (t )   0   ⋅   +   ⋅ v i (t ) −R / L   i (t )  1 / L 

(3.3.0.8)

Si se observa ahora la ecuación (3.1.4.7), que representaba la ecuación de estado de un sistema lineal e invariante en el tiempo, se establece la siguiente analogía con la ecuación (3.3.0.8):

57

Sistemas de medida y regulación

x'(t) = A·x(t) + B·u(t)

v 'o (t )   0   =   i '(t )   −1 / L

;

1 / C  v o (t )   0   ⋅   +   ⋅ v i (t ) −R / L   i (t )  1 / L 

Donde: •

v 'o (t )   : es el vector que representa la pendiente o tendencia de las variables de estado. x'(t) =   i ' (t ) 

•

 0 A =   −1 / L

•

v o ( t )   : es el vector de estado. x(t) =   i (t ) 

•

 0   : es la matriz de entrada. B =  1 / L 

•

u(t) = vi(t): es el vector de entrada.

1/C   : es la matriz de estado. −R / L 

Ejemplo 3.4 Considérese el circuito eléctrico que aparece en la figura 3.14, donde vi(t) es la entrada y vo(t) la salida. Este circuito consta de dos mallas que hacen la función de dos etapas conectadas en cascada. La primera etapa se compone de una resistencia R1 y un condensador C1, mientras que la segunda etapa se compone de una resistencia R2 y un condensador C3. En este circuito, la segunda etapa representa una carga para la primera etapa. Las ecuaciones para este circuito son: R1 ⋅ i1 (t ) +

malla 1:

malla 2:

1 C1

1 C1

∫

⋅ i 2 (t ) ⋅δ t = v i (t )

∫

⋅ i 2 ( t ) ⋅δ t − R2 ⋅ i 3 (t ) − v o (t ) = 0

nudo A:

i2(t) + i3(t) = i1(t) 1

condensador C2:

C2

(3.3.0.9)

(3.3.0.10) (3.3.0.11)

∫

⋅ i 3 (t ) ⋅δ t = v o ( t )

(3.3.0.12)

A

1

2

B

Figura 3.14 : Conexión de dos etapas RC en cascada.

Función de transferencia. Si se realiza la transformada de Laplace de las ecuaciones (3.3.0.9) a (3.3.0.12) y se suponen las condiciones iniciales igual a cero, resulta:

58

Modelos matemáticos de sistemas físicos

malla 1:

malla 2:

1

R1 ⋅ I1 ( s ) + 1 C1 ⋅ s

C1 ⋅ s

⋅ I 2 ( s ) = Vi ( s )

(3.3.0.13)

⋅ I2 ( s ) − R2 ⋅ I3 ( s ) − Vo ( s ) = 0

nudo A:

(3.3.0.14)

I2(s) + I3(s) = I1(s) 1

condensador C2:

C2 ⋅ s

(3.3.0.15)

⋅ I3 ( s ) = Vo ( s )

(3.3.0.16)

De las ecuaciones (3.3.0.14), (3.3.0.15) y (3.3.0.16), se determinan los valores de las corrientes I1(s), I2(s) e I3(s) en función de la señal de salida Vo(s). I2(s) = Vo(s)·(R2·C1·C2·s2 + C1·s)

(3.3.0.17)

I3(s) = Vo(s)·C2·s

(3.3.0.18)

2

I1(s) = Vo(s)·(R2·C1·C2·s + C1·s + C2·s)

(3.3.0.19)

Sustituyendo los valores de I1(s) e I2(s) en la ecuación (3.3.0.13), se obtiene la función de transferencia del circuito: Vo(s)·( R1·R2·C1·C2·s2 + R1·C1·s + R1·C2·s) + Vo(s)·(R2·C2·s + 1) = Vi(s) 2

Vo(s)·( R1·R2·C1·C2·s + (R1·C1 + R1·C2 + R2·C2)·s + 1) = Vi(s) Vo ( s ) Vi (s )

=

2

(

1

;

;

)

R1 ⋅ R2 ⋅ C1 ⋅ C2 ⋅ s + R1 ⋅ C1 + R1 ⋅ C2 + R2 ⋅ C2 ⋅ s + 1

(3.3.0.20)

Dado que (R1·C1 + R2·C2 + R1·C2)2 > 4·R1·C1·R2·C2, las dos raíces del denominador de la ecuación (3.3.0.20) son reales. El trazado del diagrama de bloques del circuito del ejemplo se representa en la figura 3.15.

Figura 3.15 : Diagrama de bloques y función de transferencia del circuito.

El análisis presente muestra que, si se conectan dos circuitos RC en cascada, de modo que la salida del primer circuito es la entrada del segundo, la función de transferencia general no es el producto las funciones de transferencia de cada etapa aislada (M = 1/(R·C·s + 1)). Esto se debe a que, cuando se obtiene la función de transferencia para un circuito aislado, se da por supuesto que la salida no está cargada, es decir, no se entrega potencia en la salida. Sin embargo, cuando se conecta el segundo circuito a la salida del primero, se entrega cierta cantidad de potencia y, por tanto, se viola la suposición de que no hay carga. A su vez, si la función de transferencia de este sistema se obtiene bajo la suposición de que no hay carga, la suposición no es válida. El grado del efecto de carga determina la cantidad de modificación de la función de transferencia.

Ecuaciones de estado. Se utilizan como elementos de memoria los dos condensadores, C1 y C2, por tanto, las variables de estado serán las tensiones acumuladas en dichos condensadores, v1(t) y vo(t). Estas variables de estado permiten contar con una descripción completa de la historia pasada (por medio de los valores iniciales de las variables de estado), y de los estados presentes y futuros del circuito.

59

Sistemas de medida y regulación

Las ecuaciones de estado del circuito de la figura 3.14 se describen estableciendo unas relaciones entre la corriente en cada condensador y la variable de estado representada por la tensión acumulada en el mismo. Por consiguiente: C1 ⋅

δ v1 (t ) δt

= i 2 (t )

C2 ⋅

;

δ v o (t ) δt

= i 3 (t )

malla 2:

R 2 ⋅ i 3 ( t ) = v1 ( t ) − v o ( t )

malla 1:

R1 ⋅ i1 (t ) = v i ( t ) − v1 (t ) ;

(

;

i2(t) + i3(t) = i1(t)

(3.3.0.21) (3.3.0.22)

)

R1 ⋅ i 2 ( t ) + i 3 (t ) = −v1 (t ) + v i (t ) ; sustituyendo i3(t) por su valor de la ecuación de la malla 2; R1 + R2

R1 ⋅ i 2 (t ) = −

⋅ v1 (t ) +

R2

R1 R2

⋅ v o ( t ) + v i (t )

(3.3.0.23)

Ahora, reemplazando en las ecuaciones (3.3.0.22) y (3.3.0.23) las corrientes i2(t) e i3(t) por las expresiones de la ecuación (3.3.0.21), se obtienen las ecuaciones de estado siguientes: v 'o (t ) = −

malla 2:

v '1 (t ) =

malla 1:

R1 R1 ⋅ R2 ⋅ C1

1

⋅ v o (t ) +

R2 ⋅ C2

1 R2 ⋅ C2

R1 + R2

⋅ v o (t ) −

R1 ⋅ R2 ⋅ C1

⋅ v1 ( t )

⋅ v1 ( t ) +

(3.3.0.24) 1

R1 ⋅ C1

⋅ v i (t )

(3.3.0.25)

Por tanto, la ecuación de estado en forma matricial se escribe como:

(

)

v 'o (t )   −1 / R ⋅ C 2 2  =     v '1 (t )  R1 / R1 ⋅ R 2 ⋅ C1

(

)

(

(

− R1 + R 2

)

 v (t )   0 ⋅ o +    / R1 ⋅ R 2 ⋅ C1   v1 (t )  1 / R1 ⋅ C1

1 / R2 ⋅ C2

) (

)

(

)

  ⋅ v (t )  i 

(3.3.0.26)

En la ecuación de estado en forma matricial se distinguen los siguientes términos: •

v 'o (t )   : es el vector que representa la pendiente o tendencia de las variables de estado. x'(t) =   v '1 (t ) 

•

 −1 / R ⋅ C 2 2 A= R / R ⋅ R ⋅ C  1 1 2 1

•

v o ( t )   : es el vector de estado. x(t) =   v1 ( t ) 

•

 0 B =  1 / R1 ⋅ C1

•

u(t) = vi(t): es el vector de entrada.

(

(

(

)

)

)

(

(

− R1 + R 2

)

  : es la matriz de estado. / R1 ⋅ R 2 ⋅ C1 

1 / R2 ⋅ C2

) (

)

  : es la matriz de entrada.  

Al igual que en ejemplo 3.3, el circuito de la figura 3.14 representa un sistema lineal e invariante en el tiempo.

Ejemplo 3.5 El circuito representado en la figura 3.16, donde vi(t) es la entrada y vo(t) la salida, consta de dos mallas que hacen la función de dos etapas conectadas en cascada. La primera etapa se compone de una resistencia R1, de una bobina L1 y un condensador C, mientras que la segunda etapa se compone de una bobina L2 y una resistencia R3. En este circuito, la segunda etapa representa una carga para la primera etapa.

60

Modelos matemáticos de sistemas físicos

A

1

2

C

B

Figura 3.16 : Conexión de una etapa LR a una etapa RLC.

Ecuaciones de estado. Se utilizan como elementos de memoria las dos bobinas, L1 y L2, y el condensador C, por tanto, las variables de estado serán las corrientes en las bobinas y la tensión en el condensador i1(t), i3(t) y v1(t). Las ecuaciones de estado del circuito de la figura 3.16 se describen de la siguiente manera: malla 1:

L1 ⋅ i '1 (t ) = − R1 ⋅ i1 (t ) − v1 (t ) + v i (t )

(3.3.0.27)

malla 2:

L2 ⋅ i ' 3 ( t ) = − R 2 ⋅ i 3 ( t ) + v1 ( t )

(3.3.0.28)

C ⋅ v '1 (t ) = i1 ( t ) − i 3 (t )

(3.3.0.29)

condensador:

Reorganizando los coeficientes, la ecuación de estado en forma matricial resulta:  i ' ( t )   −R / L  1   1 1  i ' (t )  =  0  3    v ' (t )   1   1/C

0 −R2 / L2 −1 / C

−1 / L1   i1 (t )  1 / L1       1 / L2  ⋅  i 3 (t )  +  0  ⋅ v i (t )       0  v1 ( t )   0 

(3.3.0.30)

En la ecuación de estado en forma matricial se distinguen los siguientes términos:

•

 i ' (t )   1  x'(t) =  i '3 (t )  : es el vector que representa la pendiente o tendencia de las variables de estado.   v ' ( t )   1 

•

 −R1 / L1  0 A=   1/C

0 −R2 / L2 −1 / C

−1 / L1   1 / L2  : es la matriz de estado.  0 

•

 i (t )  1  x(t) =  i 3 ( t )  : es el vector de estado.   v (t )   1 

•

1 / L1    B =  0  : es la matriz de entrada.    0 

•

u(t) = vi(t): es el vector de entrada.

Al igual que en los ejemplos anteriores, el circuito de la figura 3.16 representa un sistema lineal e invariante en el tiempo.

3.4

Sistemas mecánicos.

La mayoría de los procesos de control de lazo cerrado contienen elementos tanto eléctricos como mecánicos. La descripción de los elementos eléctricos y mecánicos es análoga desde un punto de vista

61

Sistemas de medida y regulación

matemático. De hecho, se puede demostrar que para cada dispositivo eléctrico, existe, casi siempre, un equivalente mecánico y viceversa. Hay que hacer notar que esta analogía es matemática; esto es, dos sistemas son análogos entre sí cuando se describen matemáticamente con ecuaciones similares. El movimiento de los elementos mecánicos puede describirse en varias dimensiones como traslacional, rotacional o una combinación de ambos. El análisis de los movimientos de los sistemas mecánicos suele formularse en forma directa o indirecta a partir de la ley de Newton. Dado que la disciplina de Sistemas de Medida y Regulación suele, casi siempre, estar orientada hacia los especialistas del campo eléctrico o electrónico, se ha considerado oportuno hacer un breve repaso de la formulación que rige la dinámica traslacional y rotacional, junto con los conceptos de energía mecánica y potencia. Además, se incluyen las relaciones matemáticas básicas de trenes de engranajes, palancas y bandas.

3.4.1 Dinámica traslacional. El movimiento de traslación es el que se realiza a lo largo de una línea recta y queda descrito por las variables de aceleración, velocidad y desplazamiento. La ley que rige el movimiento de traslación es la segunda de Newton, la cual establece: La suma algebraica de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido en una dirección dada, es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración en la misma dirección. Esta ley se expresa como:

∑ Fi = m ⋅ a

(3.4.1.1)

i

donde Fi es cada una de las fuerzas de valor constante que actúan en la dirección de la traslación, m denota la masa y a es la aceleración constante en la dirección considerada. A continuación se consideran los sistemas mecánicos clásicos para el estudio de la dinámica traslacional. También se tratarán las fuerzas de fricción que surgen en los movimientos de traslación.

Sistema fuerza-masa. La figura 3.17 muestra el movimiento traslacional de un cuerpo de masa m sobre el que actúa una fuerza en la dirección del movimiento. Se supone que todas las variables que intervienen están en función del tiempo. f(t)

m

x(t)

Figura 3.17 : Movimiento traslacional en un sistema fuerza-masa.

La ecuación de la fuerza en función del tiempo, f(t), de la figura 3.17 se escribe como: f (t ) = m ⋅ a( t ) = m ⋅

δ v(t ) δt

=m⋅

δ

2

x( t )

δt

(3.4.1.2)

2

donde x(t) representa el desplazamiento, v(t) la velocidad y a(t) la aceleración, todas con respecto a la dirección de la fuerza aplicada. Las unidades de medida usadas en el Sistema Internacional (S.I.) para la fuerza, la masa, la longitud y el tiempo son el newton (N), el kilogramo-masa (kg), el metro (m) y el segundo (s). Estas unidades se resumen, junto con las unidades de magnitudes derivadas, en la tabla siguiente: Magnitud

Símbolo

Unidad de medida

Masa

m

kg

Longitud

x

m

Tiempo

t

s

Velocidad

v

m s

62

Modelos matemáticos de sistemas físicos

Magnitud

Símbolo

Aceleración

a

Unidad de medida m s

Fuerza

2

N = kg ⋅

F

m s

2

Tabla 3.1: Unidades de medida S.I. para el movimiento traslacional.

Resorte lineal. El comportamiento de un resorte lineal se puede dar en la práctica en resorte real o en la dinámica de un cable o banda. Se asimila, en general, que un resorte es un elemento que almacena energía potencial, de la misma manera que un condensador lo hace en un circuito eléctrico. En la práctica, todos los resortes son no lineales hasta cierto grado. Sin embargo, cuando la deformación de un resorte es pequeña, su comportamiento puede expresarse en forma aproximada con una ecuación lineal: f(t) = K·x(t)

(3.4.1.3)

donde K es la constante de resorte, o simplemente rigidez. La unidad de medida de la rigidez de un resorte es: Magnitud

Símbolo

Constate de resorte

K

Unidad de medida N m

Tabla 3.2: Unidad de medida S.I. para el resorte lineal.

La ecuación (3.4.1.3) expresa que la fuerza que actúa sobre el resorte es directamente proporcional al desplazamiento o deformación del mismo. En la figura 3.18 se muestra el modelo que representa a un resorte lineal.

K

f(t) x(t)

Figura 3.18 : Modelo de resorte lineal.

Cuando el resorte se somete a una fuerza de precarga F0; entonces la ecuación (3.4.1.3) debe modificarse a f(t) - F0 = K·x(t)

(3.4.1.4)

Fricción en el movimiento de traslación. Las fuerzas de fricción surgen en el movimiento entre dos superficies en contacto, las cuales suelen ser de naturaleza no lineal. Las características de las fuerzas de fricción dependen de factores como la naturaleza de las superficies, la presión entre las mismas, sus velocidades relativas..., de tal manera que resulta difícil obtener una descripción matemática exacta de la fuerza de fricción. No obstante, y a efectos prácticos, las fuerzas de fricción pueden dividirse en tres categorías básicas: fricción viscosa, fricción estática y fricción de Coulomb. •

Fricción viscosa. La fricción viscosa representa una fuerza retardada que tiene una relación lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad. El esquema representativo del elemento de fricción se representa con un amortiguador como el que se muestra en la figura 3.19. La expresión matemática de la fricción viscosa es: f (t ) = B ⋅

δ x( t ) δt

(3.4.1.5)

donde B es el coeficiente de fricción viscosa.

63

Sistemas de medida y regulación B f(t)

x(t)

Figura 3.19 : Modelo para fricción viscosa.

•

Fricción estática. La fricción estática representa una fuerza retardada no lineal que tiende a impedir el inicio del movimiento. La fuerza de fricción estática se expresa como:

( ) x '=0

f (t ) = ± F s

(3.4.1.6)

donde (Fs)x'=0 se define como la fuerza de fricción estática que existe solamente cuando el cuerpo está estacionario pero con tendencia a moverse. El signo de la fricción depende de la dirección del movimiento o de la dirección inicial de la velocidad. Hay que observar que una vez iniciado el movimiento, la fuerza de fricción estática desaparece para ser reemplazada por otras fricciones. •

Fricción de Coulomb. La fricción de Coulomb es una fuerza retardada no lineal que tiene una amplitud constante con respecto al cambio de velocidad, pero en la que la fuerza de fricción tiene un signo que cambia al invertir la dirección de la velocidad. La relación matemática de la fricción de Coulomb está dada por:   δ x( t )  δt f (t ) = Fc ⋅  δ x( t )   δt 

      

(3.4.1.7)

donde Fc es el coeficiente de fricción de Coulomb. Las unidades de medida, en el Sistema Internacional, usadas para los diversos coeficientes de fricción se ofrecen en la tabla a continuación: Magnitud

Símbolo

Unidad de medida

Coeficiente de fricción viscosa

B

Fuerza de fricción estática

(Fs)x'=0

N

Coeficiente de fricción de Coulomb

Fc

N

N⋅s m

Tabla 3.3: Unidades de medida S.I. para los coeficientes de fricción.

Las relaciones entre cada una de las fricciones y la velocidad de desplazamiento quedan reflejadas en la figura 3.20. fricción viscosa

fricción estática

f

fricción de Coulomb

f

f

pendiente = B

x’

x’

Figura 3.20 : Relación entre las fuerzas de fricción y la velocidad de desplazamiento.

64

x’

Modelos matemáticos de sistemas físicos

3.4.2 Dinámica rotacional. La dinámica rotacional estudia el movimiento de rotación de un cuerpo con respecto a un eje fijo. El movimiento rotacional viene descrito por las variables siguientes: par de fuerzas (M(t)), aceleración angular (α(t)), velocidad angular (ω(t)) y desplazamiento angular (θ(t)). A igual que para la dinámica traslacional, a continuación se consideran los sistemas mecánicos clásicos para el estudio de la dinámica rotacional. También se tratarán las fuerzas de fricción que surgen en los movimientos de rotación.

Sistema inercia-masa. La inercia, J, representa la energía cinética que un cuerpo almacena en un movimiento de rotación. La inercia de un elemento depende de su configuración geométrica con respecto al eje de rotación, y de su densidad. Por ejemplo, la inercia de un disco circular con respecto a su eje geométrico está dada por: J=

1

⋅m⋅r

2

(3.4.2.1)

2 donde m es la masa del disco y r es el radio. Cuando se aplica un par de fuerzas a un cuerpo con una inercia J, como se muestra en la figura 3.21, la ecuación de par se escribe como: M (t ) = J ⋅ α ( t ) = J ⋅

δ ω( t ) δt

δ θ (t) 2

= J⋅

δt

(3.4.2.2)

2

M(t)

(t) J

Figura 3.21 : Movimiento rotacional en un sistema inercia-masa.

Las unidades de medida para el movimiento rotacional se resumen, junto con las unidades de magnitudes derivadas, en la tabla siguiente: Magnitud

Símbolo

Unidad de medida

Desplazamiento angular

θ

radián (rad)

Velocidad angular

ω

rad s

Aceleración angular

α

rad s

2

Inercia

J

kg·m2

Par de fuerzas

M

N·m

Tabla 3.4: Unidades de medida S.I. para el movimiento rotacional.

Se propone un ejemplo, a continuación, como aplicación de los conceptos de inercia y par. Ejemplo 3.6 Se dispone de un disco de 3 cm de radio, 0,5 cm de espesor y una masa de 150 gr. Se desea determinar el par de fuerzas a aplicar para que, partiendo del reposo, alcance una velocidad de giro de 1500 r.p.m. en 5 segundos.

65

Sistemas de medida y regulación

Solución: Primeramente se determinará la inercia del disco mediante la expresión: J=

1

⋅m⋅r

2

2 para lo cual se expresarán las dimensiones del disco en las unidades S.I. De esta forma, la inercia del disco resulta: J=

1 2

2

⋅ 0,15 ⋅ 0,03 = 67,5 ⋅ 10

−6

kg ⋅ m

2

Para la obtención del par de fuerzas a aplicar (en este caso sería un par motor) se debe calcular previamente la aceleración angular que sufrirá el disco: 2 ⋅π

ω=

⋅ 1500 = 157,08

60 α =

ω

rad s

⋅=

157 ,08

t

= 31,42

5

rad 2

s

Finalmente, el par de fuerzas a aplicar al disco es: M = J ⋅ α = 67,5 ⋅ 10

−6

⋅ 31,42 = 2,12 ⋅10

−3

N⋅m

Resorte torsional. Como en el caso del resorte lineal para el movimiento de traslación, se puede establecer una relación proporcional entre la deformación angular sufrida por un cuerpo y el par aplicado al mismo. Se denominará K a la constante de resorte torsional. La expresión que describe lo anteriormente dicho es: M(t) = K·θ(t)

(3.4.2.3)

La figura 3.22 ilustra un sistema simple par-resorte. M(t) K

(t)

Figura 3.22 : Modelo de resorte rotacional.

La unidad de medida de la constante de resorte es: Magnitud

Símbolo

Constate de resorte torsional

K

Unidad de medida N ⋅m rad

Tabla 3.5: Unidad de medida S.I. para el resorte torsional.

Si a un resorte se somete a un par de fuerzas de precarga M0, la expresión resulta ser: M(t) - M0 = K·θ(t)

(3.4.2.4)

Fricción en el movimiento rotacional. Los tres tipos de fricción descritos para el movimiento de traslación pueden aplicarse al de rotación. Por consiguiente, las ecuaciones (3.4.1.5), (3.4.1.6) y (3.4.1.7), pueden reemplazarse respectivamente por sus equivalentes:

66

Modelos matemáticos de sistemas físicos

M (t ) = B ⋅

δ θ (t)

(3.4.2.5)

δt

( ) θ'=0

M (t ) = ± F s

 ( ) δ θ t  δt M (t ) = Fc ⋅  δ θ (t )   δt 

(3.4.2.6)       

(3.4.2.7)

3.4.3 Energía mecánica y pérdidas. La energía y la potencia tienen un papel muy importante en el diseño de sistemas electromecánicos. Mediante la energía cinética y potencial se controla la dinámica del sistema, mientras que la energía que no controla el sistema se pierde en forma de calor. Este último aspecto ha de tenerse muy en cuenta.

Energía cinética. La masa o inercia de un cuerpo indica su posibilidad para almacenar energía cinética. La energía cinética de una masa m en movimiento traslacional con una velocidad v es: Ec =

1

⋅ m ⋅v

2

(3.4.3.1)

2

Por otra parte, la energía cinética de un cuerpo de inercia J que gira a una velocidad angular ω, se expresa como: Ec =

1

⋅ J ⋅ω

2

(3.4.3.2)

2

La unidad de medida de la energía cinética en el Sistema Internacional es el joule (J).

Energía potencial. La energía potencial almacenada en un resorte mecánico representa la cantidad de trabajo que se requiere para cambiar su configuración. La variación infinitesimal de la energía potencial para un resorte lineal que se deforma en una longitud δx es: δ E p = f (t ) ⋅ δ x = K ⋅ x ⋅ δ x donde K es la constante del resorte. Si se integra esta variación infinitesimal de energía a lo largo de una deformación x, se obtiene: Ep =

1

⋅K⋅x

2

(3.4.3.3)

2

De la misma forma, para un resorte torsional, la energía potencial almacenada está dada por: Ep =

1

⋅ K ⋅θ

2

(3.4.3.4)

2

Pérdidas por fricción. Cuando se trata de un elemento de fricción, la forma de la energía difiere de los dos casos anteriores, en cuanto a que dicha energía representa una pérdida o disipación en el sistema. La potencia es la velocidad a la que se efectúa un trabajo con respecto al tiempo. Por consiguiente, la potencia que se disipa en un elemento de fricción es el producto de la fuerza por la velocidad; esto es: Pf = f(t)·v(t) Dado que f(t) = B·x'(t) = B·v(t) transforma en:

(3.4.3.5)

donde B es el coeficiente de fricción viscosa, la ecuación (3.4.3.5) se

67

Sistemas de medida y regulación

P f = B·v(t)2

(3.4.3.6)

La unidad S.I. de potencia es newton·m/s o vatio (w). Puesto que la potencia es la velocidad de disipación de energía, la energía disipada en un elemento de fricción es:

∫

2

W f = B ⋅ v (t ) ⋅ δ t

(3.4.3.7)

3.4.4 Trenes de engranajes, correas de transmisión y palancas. En los sistemas mecánicos simples expuestos en los apartados anteriores, la fuerza y la energía se aplicaban de forma directa al elemento que era objeto de control. Cuando el elemento está alejado del punto de aplicación de fuerza, se ha de recurrir a dispositivos que permitan la transmisión de energía mecánica a distancia. Si el dispositivo de transmisión es ideal, es decir, sin pérdidas, la energía o potencia aplicada se transmite de forma íntegra hasta el elemento objeto de control. Por lo general, estos dispositivos también permiten la transformación de las magnitudes mecánicas transmitidas (fuerza, par, velocidad y desplazamiento) de la misma manera que un transformador lo hace en un sistema eléctrico. Un tren de engranajes, una correa de transmisión (o banda de transmisión) o una palanca, son mecanismos que transmiten energía de una parte del sistema a otra.

Trenes de engranajes. En la figura 3.23 se muestran dos engranajes acoplados. En este caso, se desprecian la inercia y la fricción de los engranajes. De las relaciones entre los pares M1 y M2, de los desplazamientos angulares θ1 y θ2 y de los números de dientes N1 y N2 del tren de engranajes, se derivan los siguientes hechos:

Figura 3.23 : Tren de engranajes.

•

El número de dientes en la superficie de los engranajes es proporcional a los radios r1 y r2 de los engranajes; esto es: r1·N2 = r2·N1

•

(3.4.4.1)

La distancia recorrida a lo largo de la superficie de cada engranaje es siempre la misma. Por consiguiente: θ1·r1 = θ2·r2

•

(3.4.4.2)

El trabajo desarrollado por un engranaje es igual al de otro, puesto que se supone que no hay pérdidas. De esta forma: M1·θ1 = M2·θ2

(3.4.4.3)

Al tomar en cuenta las velocidades angulares de los dos engranajes, ω1 y ω2, las ecuaciones (3.4.4.1) a (3.4.4.3) conducen a: θ1 ⋅ r1 t

68

=

θ 2 ⋅ r2 t

;

ω1·r1 = ω2·r2

;

ω1 ω2

=

r2 r1

;

Modelos matemáticos de sistemas físicos

N2

=

N1

r2 r1

=

θ1

=

θ2

M2 M1

ω1

=

(3.4.4.4)

ω2

En la práctica, los engranajes reales sí tienen inercia y producen fricción entre los dientes acoplados, cuyo efecto casi nunca puede despreciarse. En la figura 3.24 se muestra la representación equivalente de un tren de engranajes con fricción viscosa, fricción de Coulomb e inercia como elementos agrupados. Para este tren de engranajes se definen las siguientes variables y parámetros: •

M : par aplicado.

•

θ 1, θ 2 : desplazamientos angulares.

•

M1, M2 : par transmitido a los engranajes.

•

J1, J2 : inercia de los engranajes.

•

N1, N2 : número de dientes.

•

B1, B2 : coeficientes de fricción viscosa.

•

Fc1, Fc2 : coeficientes de fricción de Coulomb.

M(t)

Figura 3.24 : Tren de engranajes con fricción e inercia.

La ecuación de par para el engranaje 2 de la figura 3.24 se escribe como: M 2 (t ) = J 2 ⋅

δ

2

θ2 (t )

δt

2

+ B2 ⋅

δ θ2 (t) δt

 θ '2 ( t ) + Fc 2 ⋅   θ ' (t)  2

   

(3.4.4.5)

La ecuación de par en el lateral del engranaje 1 es: M (t ) = J1 ⋅

δ

2

θ1 ( t )

δt

2

+ B1 ⋅

δ θ1 ( t ) δt

 θ '1 ( t ) + Fc1 ⋅   θ ' (t )  1

  + M (t ) 1  

(3.4.4.6)

El término M1(t) representa el par disponible para transmitir al engranaje 3. Como lo habitual es conocer las necesidades de diseño del engranaje 2 (el cual estará en contacto con el objeto de control) es más conveniente expresar el par disponible del engranaje 1 mediante los parámetros del engranaje 3. A partir de las ecuaciones (3.4.4.4) y (3.4.4.5) se obtiene: M1 ( t ) =

M1 ( t ) = N M1 ( t ) =  1  N2

N1 N2

N1 ⋅ M2 ( t ) N2

y θ2 ( t ) =

N1 ⋅ θ1 ( t ) ; N2

 δ 2 θ 2 (t ) δ θ (t ) ⋅  J2 ⋅ + B2 ⋅ 2 + Fc 2 2  δt δ t 

 δ 2 θ1 (t )  N1  ⋅ J2 ⋅ +   δt2   N2 2

 θ ' (t )    ; ⋅ 2  θ ' 2 (t )    

 δ θ (t ) N  ⋅ B2 ⋅ 1 + 1 ⋅ Fc 2  δt N2  2

 θ ' (t )   ⋅ 2  θ ' 2 (t )   

(3.4.4.7)

La ecuación (3.4.4.7) indica que es posible reflejar la inercia, la fricción (y funcionamiento), el par, la velocidad y el desplazamiento de un lado del tren de engranajes al otro. Si estuviera presente un efecto de resorte torsional, la constante de resorte también se multiplicaría por 2 (N1/N2) , al reflejar del engranaje 2 al engranaje 1. Ahora, sustituyendo la ecuación (3.4.4.7) en la ecuación (3.4.4.6), se obtiene: M ( t ) = J1 ⋅

δ 2 θ 1 (t ) δt

2

+ B1 ⋅

δ θ 1 (t ) + Fc1 δt

 θ ' (t )   N1 + ⋅ 1  θ ' 1 (t )   N 2  

 δ 2 θ1 (t )  N1  ⋅ J2 ⋅ +   δt2   N2 2

 δ θ (t ) N  ⋅ B 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ Fc 2  δt N2  2

 θ ' (t )  ; ⋅ 2  θ ' 2 (t )   

69

Sistemas de medida y regulación

 N  M ( t ) =  J1 +  1   N2 

2  δ 2 θ (t )  N   1  ⋅ J2  ⋅ +  B1 +  1   2  δt  N2   

M (t ) = J1e ⋅

δ

2

2  δ θ (t )    ⋅ B2  ⋅ 1 +  Fc1    δt   

θ1 ( t )

δt

2

+ B1e ⋅

δ θ1 ( t ) δt

 θ ' (t )  N1 + ⋅ 1 ⋅ Fc 2  θ ' 1 (t )  N 2  

 θ ' (t )    ; ⋅ 2  θ ' 2 (t )    

+ M Fc

(3.4.4.8)

Donde:  N  J1e =  J1 +  1   N2 

2   N   ⋅ J 2  ; B1e =  B1 +  1  N    2   

2     ⋅ B2  ; M Fc =  Fc1      

 θ ' (t )  N1 + ⋅ 1 ⋅ Fc 2  θ ' 1 (t )  N 2  

 θ ' (t )    ⋅ 2  θ ' 2 (t )    

Correas de transmisión. Las correas y cadenas de transmisión realizan la misma función que el tren de engranajes, excepto que permiten la transferencia de energía a una distancia más grande sin usar un número excesivo de engranajes. La figura 3.25 muestra el diagrama de una correa (lo mismo sería para una cadena) entre dos poleas. Suponiendo que no existe deslizamiento entre la correa y las poleas, resulta fácil apreciar que la ecuación (3.4.4.4) sigue siendo aplicable a este caso. De hecho, la reflexión o transmisión de par, inercia, fricción, etc., es similar a la de un tren de engranajes.

Figura 3.25 : Transmisión mediante correa o cadena.

Palancas. El sistema de palanca que se muestra en la figura 3.26, transmite un movimiento de traslación y una fuerza en la misma forma en que los trenes de engranajes transmiten el movimiento de rotación. La relación entre las fuerzas y las distancias es: f1 f2

=

l2 l1

=

x2

(3.4.4.9)

x1

Figura 3.26 : Modelo de sistema de palanca.

3.4.5 Modelos matemáticos. Para poder aplicar alguno de los métodos de análisis a un sistema mecánico lineal, habrá que construir inicialmente un modelo que contenga elementos lineales interconectados. Después se establecen las ecuaciones correspondientes al modelo construido y, finalmente, se aplica el método de análisis más conveniente.

70

Modelos matemáticos de sistemas físicos

Ejemplo 3.7 Se tiene un sistema masa-resorte-amortiguador como el de la figura 3.27. Conviene aclarar que un amortiguador es un elemento que proporciona fricción viscosa o amortiguamiento, el cual está constituido por un pistón lleno de aceite o gas. El amortiguador es un disipador de energía (lo hace en forma de calor), pues no almacena energía cinética ni potencial. x(t) K f(t)

m

B

Figura 3.27 : Sistema masa-resorte-amortiguador.

La ecuación de fuerza para este sistema es: f (t ) = m ⋅

2

δ

x(t )

δt

2

+ B⋅

δ x(t ) δt

+ K ⋅ x(t )

(3.4.5.1)

Esta ecuación se describe a partir del diagrama de cuerpo libre correspondiente al sistema mecánico planteado (figura 3.28). En la ecuación diferencial de segundo orden (3.4.5.1) la fuerza aplicada, f(t), representa la excitación o señal de entrada del sistema, mientras que el desplazamiento que provoca en la masa, x(t), es la respuesta o señal de salida. x K·x f(t)

m B·x’

Figura 3.28 : Diagrama de cuerpo libre.

Función de transferencia. Tomando la transformada de Laplace de la ecuación (3.4.5.1) y suponiendo las condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene: F( s) = m ⋅ s ⋅ X ( s) + B ⋅ s ⋅ X ( s) + K ⋅ X ( s ) 2

(3.4.5.2)

Por tanto, la función de transferencia de este sistema resulta ser: X ( s) F (s )

=

1 2

m⋅s + B⋅s + K

(3.4.5.3)

Ecuaciones de estado. La ecuación diferencial de segundo orden (3.4.5.1) se puede descomponer en dos ecuaciones diferenciales de primer orden estableciendo que x1(t) = x(t) y x2(t) = x'1(t). De esta forma se obtienen las ecuaciones de estado del sistema: δ x1 ( t ) δt

= x2 (t )

71

Sistemas de medida y regulación

δ x2 ( t ) δt

=−

K m

⋅ x1 ( t ) −

B m

⋅ x2 ( t ) +

1 m

⋅ f (t )

(3.4.5.4)

Como se puede apreciar a la vista de la estructura de estas dos ecuaciones diferenciales de primer grado, las variables de estado son x1(t) y x2(t). Estas dos variables de estado no están relacionadas directamente con ningún elemento que almacene energía, o elemento de memoria. Este ejemplo simple ilustra el hecho de que las ecuaciones de estado y las variables de estado de un sistema dinámico no son siempre específicas. Por tanto, la ecuación de estado en forma matricial se escribe como:  x '1 ( t )   0   =   x ' 2 (t )   − K / m

  x1 (t )   0   +   ⋅   ⋅ f (t ) − B / m   x 2 (t )  1 / m  1

(3.4.5.5)

donde: •

 x '1 (t )   : es el vector que representa la pendiente o tendencia de las variables de estado. x'(t) =   x ' 2 (t ) 

•

 0 A =  − K / m

•

 x1 (t )   : es el vector de estado. x(t) =   x 2 (t ) 

•

 0   : es la matriz de entrada. B =  1 / m 

•

u(t) = f(t): es el vector de entrada.

  : es la matriz de estado. −B / m  1

Ejemplo 3.8 Se tiene un sistema como el de la figura 3.29.

f(t)

Figura 3.29 : Sistema masa-resorte-amortiguador.

Las ecuaciones de fuerza para las dos masas de este sistema es: masa 1:

f (t ) = m1 ⋅

δ

2

x1 ( t )

δt

2

δ x (t ) δ x (t )  1 2  + K1 ⋅ x1 ( t ) − x 2 ( t ) + B1 ⋅  −  δt   δt

(

)

2 δ x (t ) δ x (t )  δ x2 (t ) δ x2 ( t ) 1 2  + K ⋅ x (t ) − x (t ) = m ⋅ masa 2: B1 ⋅  − + B2 ⋅ + K2 ⋅ x 2 ( t ) 1 1 2 2  2 δt  δt δt  δt

(

)

(3.4.5.6)

(3.4.5.7)

Estas ecuaciones se describen a partir de los diagramas de cuerpo libre correspondientes al sistema mecánico planteado (figura 3.30).

72

Modelos matemáticos de sistemas físicos

f(t)

Figura 3.30 : Diagramas de cuerpo libre.

Función de transferencia. En este sistema mecánico se toma la fuerza aplicada al conjunto, f(t), como la señal de entrada; por otro lado, el desplazamiento total del conjunto, x1(t), será la señal de salida del sistema. Tomando la transformada de Laplace de las ecuaciones (3.4.5.6) y (3.4.5.7) y suponiendo las condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene:

(

)

(

F ( s ) = m1 ⋅ s ⋅ X1 ( s ) + B1 ⋅ s ⋅ X1 ( s ) − X 2 ( s ) + K1 ⋅ X1 ( s ) − X 2 ( s ) 2

(

)

(

)

)

(3.4.5.8)

B1 ⋅ s ⋅ X1 ( s ) − X 2 ( s ) + K1 ⋅ X1 ( s ) − X 2 ( s ) = m 2 ⋅ s ⋅ X 2 ( s ) + B2 ⋅ s ⋅ X 2 ( s ) + K2 ⋅ X 2 ( s ) 2

(3.4.5.9)

Despejando X2(s) de la ecuación (3.4.5.9) se obtiene dicha variable en función de la señal de salida X1(s): X2 ( s) =

(

2

B1 ⋅ s + K1

)

m 2 ⋅ s + B1 + B2 ⋅ s + K1 + K 2

⋅ X1 ( s )

(3.4.5.10)

Por tanto, la función de transferencia de este sistema resulta ser: X1 ( s ) F( s)

2

=

4

(

)

(

)

m 2 ⋅ s + B1 + B2 ⋅ s + K1 + K 2 3

(

)

2

(

)

(3.4.5.11)

m1 ⋅ m 2 ⋅ s + B1 ⋅ m1 + B1 ⋅ m 2 + B2 ⋅ m1 ⋅ s + K1 ⋅ m1 + K1 ⋅ m 2 + K 2 ⋅ m1 + B1 ⋅ B2 ⋅ s + B1 ⋅ K2 + B2 ⋅ K1 ⋅ s + K1 ⋅ K 2

Se aprecia claramente la complejidad de la función de transferencia resultante, en la que aparecen cuatro polos y cuatro ceros. La existencia de tantos polos puede comprometer la estabilidad del sistema, como ya se verá en la unidad 5.

Ecuaciones de estado. Las ecuaciones (3.4.5.6) y (3.4.5.7) se pueden descomponer en cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden estableciendo que y1(t) = x1(t), y2(t) = x'1(t), y3(t) = x2(t) y y4(t) = x'2(t). De esta forma se obtienen las ecuaciones de estado del sistema: δ y1 ( t )

masa 1:

δt y '2 ( t ) = −

B1 m1

(

)

⋅ y2 ( t ) − y 4 (t ) − δ y3 (t )

masa 2:

δt y '4 ( t ) =

B1 m2

(

= y2 (t )

)

⋅ y2 (t ) − y 4 (t ) +

K1 m2

(

K1 m1

(

)

⋅ y1 ( t ) − y 3 ( t ) +

1

f (t )

m1

= y4 (t )

)

⋅ y1 ( t ) − y 3 ( t ) −

B2 m2

⋅ y4 (t) −

K2 m2

⋅ y3 (t)

(3.4.5.12)

Se observa que en estas cuatro ecuaciones diferenciales de primer grado, las variables de estado son y1(t), y2(t), y3(t) e y4(t). Por tanto, la ecuación de estado en forma matricial se escribe como:

73

Sistemas de medida y regulación

0  y '1 (t )       y ' 2 (t )   −K1 / m1  = 0  y ' 3 (t )       y ' 4 (t )   K1 / m 2

3.5

1

0

−B1 / m1

K1 / m1

0

0

B1 / m 2

− K1 + K2 / m 2

(

  y1 (t )   0         y 2 ( t )  1 / m1  B1 / m1  ⋅ +  ⋅ f (t ) 1   y 3 (t )   0       − B1 + B2 / m 2   y 4 ( t )   0  0

)

(

(3.4.5.13)

)

Sistemas térmicos.

Los sistemas térmicos son aquellos que involucran la transferencia de calor de una sustancia a otra. Estos sistemas se analizan en términos de resistencia térmica y capacidad térmica. Aunque estos dos términos no se representan de una forma clara como elementos de parámetros concentrados (ya que por lo general estos parámetros están distribuidos en todas las sustancias) para una mayor simplificación del análisis, aquí se supondrá que un sistema térmico quedará representado mediante un modelo de parámetros concentrados. Con esta simplificación, se asumirá que las sustancias del sistema que estén caracterizadas mediante una resistencia al flujo de calor, tendrán una capacidad térmica insignificante, mientras que las sustancias que se caracterizan por una capacidad térmica tendrán una resistencia insignificante al flujo de calor. El calor fluye de una sustancia a otra de tres formas diferentes: por conducción, por convección y por radiación. En este apartado sólo se consideran la conducción y la convección, puesto que la transferencia de calor por radiación sólo se aprecia si la temperatura del emisor es muy alta en comparación con la del receptor. Por otra parte, la mayor parte de los sistemas térmicos en los procesos de control no involucran transferencia de calor por radiación. En la transferencia de calor por conducción o convección, se tiene: q = K·∆θ

(3.5.0.1)

donde q es el flujo de calor expresado en kcal/s, K es el coeficiente de transferencia en kcal/(s·ºC) y ∆θ es la diferencia de temperatura en ºC. El coeficiente K se obtiene mediante: K=

k⋅A

por conducción

(3.5.0.2)

por convección

(3.5.0.3)

d K = H·A

donde k es la conductividad térmica expresado en kcal/(m·seg·ºC), A es el área normal para flujo de calor en 2 2 m , d es el espesor del conductor expresado m y H es el coeficiente de convección en kcal/(m ·seg·ºC). El concepto de resistencia térmica R para la transferencia de calor entre dos sustancias se expresa como: R=

cambio en la difenciade temperura (º C )

(3.5.0.4)

cambio en el flujo de calor ( kcal / s )

La resistencia térmica para una transferencia de calor por conducción o por convección se calcula con la expresión: R=

δ ∆θ δq

=

1

(3.5.0.5)

K

Dado que los coeficientes de conductividad y convección térmica son casi constantes, la resistencia térmica para la conducción o la convección se puede considerar constante. La capacidad térmica C para una sustancia se describe como: C=

cambioen el calor almacenado ( kcal ) cambio en la temperura (º C )

=q⋅

∆t ∆θ

= m⋅c

(3.5.0.6)

donde m es la masa de la sustancia considerada en kg y c es el calor específico de la sustancia expresado en kcal/(kg·ºC).

74

Modelos matemáticos de sistemas físicos

Ejemplo 3.9 Se considera un sistema térmico como el de la figura 3.31. ~

~ calefactor líquido caliente

mezclador

líquido frío

Figura 3.31 : Sistema térmico.

Supóngase que el tanque está aislado para eliminar las pérdidas de calor hacia el exterior (aire). Dado que el aislante está caracterizado por una resistencia térmica, se considera que no tiene capacidad de almacenamiento de calor. Además el líquido del tanque está perfectamente mezclado, por lo que tiene una temperatura estable en toda su masa. Bajo estas condiciones planteadas, se usa una sola temperatura para describir la del líquido en el tanque y la del líquido que sale del mismo. Se definen las siguientes variables y parámetros: •

θ ¥i: temperatura en estado estable del líquido que entra en ºC .

•

θ ¥o: temperatura en estado estable del líquido que sale en ºC .

•

m't: velocidad de flujo del líquido en estado estable en kg/s.

•

m: masa del líquido en el tanque en kg.

•

c: calor específico del líquido en kcal/(kg·ºC ).

•

R: resistencia térmica en ºC·s/kcal .

•

C: capacitancia térmica en kcal/ºC .

•

q¥: entrada del flujo de calor en estado estable en kcal/s.

Se supone que la temperatura del líquido que entra se mantiene constante y que el flujo de calor de entrada al sistema (el calor que proporciona el calefactor) cambia repentinamente de q¥ a q¥ + qi, en donde qi representa un cambio pequeño en el flujo de calor de entrada. El flujo de calor de salida cambiará, por tanto, de forma gradual, de q¥ a q¥ + qo. La temperatura del líquido que sale también cambiará de θ¥o a θ¥ o + θ. Para este caso, qo, C y R se obtienen, respectivamente, como: q o = m 't ⋅c ⋅ θ

(3.5.0.7)

C = m·c

(3.5.0.8)

R=

θ qo

=

1

(3.5.0.9)

m 't ⋅c

La ecuación diferencial para este sistema se escribe a partir de la diferencia de flujo de calor entre la entrada y a la salida del sistema:

(q

∞

) (

+ qi − q

∞

)

+ qo = qi − qo = C ⋅

δθ δt

(3.5.0.10)

que puede reescribirse como: C⋅

δθ δt

= q i − qo = q i −

θ

;

R

75

Sistemas de medida y regulación

R ⋅C ⋅

δθ δt

+ θ = R ⋅ qi

(3.5.0.11)

Función de transferencia. Para la obtención de la función de transferecia se parte de la ecuación diferencial de primer orden (3.5.0.11), en donde el cambio del flujo de calor producido por el calefactor, qi (qi(t)), actúa como señal de entrada, mientras que la variación de la temperatura del líquido en la salida, θ (θ(t)), es la señal de salida. Con estas consideraciones, y suponiendo las condiciones iniciales iguales a cero, se puede tomar la transformada de Laplace de la mencionada, de la que resulta: R ⋅ C ⋅ s ⋅ Θ ( s ) + Θ ( s ) = R ⋅ Qi ( s )

(3.5.0.12)

Por tanto, la función de transferencia de este sistema resulta ser: Θ ( s)

=

Qi ( s )

R

(3.5.0.13)

R ⋅ C ⋅ s +1

Ejemplo 3.10 Partiendo del mismo caso que el del ejemplo anterior, supóngase, como sucede en la práctica, que la temperatura del líquido que entra puede fluctuar y actuar como una perturbación de carga. El objetivo del sistema consiste en mantener la temperatura de salida del líquido constante mediante un sistema automático. Si la temperatura del líquido que entra cambia repentinamente de θ¥i a θ¥ i + θ i, en tanto flujo de calor de entrada q¥ y el flujo de líquido m't se conservan constantes, el flujo de calor de salida cambiará de q¥ a q¥ + qo, y la temperatura del líquido que sale cambiará de θ¥o a θ¥ o + θ. La ecuación diferencial para este caso es: C⋅

δθ

= q i − q o = m 't ⋅c ⋅ θ i −

δt

θ

(3.5.0.14)

R

que puede reescribirse como: R ⋅C ⋅

δθ δt

+ θ = θi

(3.5.0.15)

La función de transferencia que relaciona θ y θ i, resulta: Θ ( s) Θ i (s )

=

1

(3.5.0.16)

R ⋅C ⋅ s +1

Si este sistema térmico está sujeto a cambios en la temperatura del líquido que entra y en el flujo de calor de entrada, en tanto que el flujo del líquido se conserva constante, el cambio θ en la temperatura del líquido que sale se obtiene mediante la ecuación siguiente: R ⋅C ⋅

δθ δt

+ θ = θ i + R ⋅ qi

(3.5.0.17)

Hallando la transformada de Laplace y expresando la señal de salida, θ, en función de las señales θ i y qi, se podrá trazar el diagrama de bloques correspondiente al sistema en cuestión (figura 3.32). R ⋅ C ⋅ s ⋅ Θ ( s ) + Θ ( s ) = Θ i ( s ) + R ⋅ Qi ( s )

Θ ( s) =

1 R ⋅C ⋅ s

(

⋅ Θ i ( s ) + R ⋅ Qi ( s ) − Θ ( s )

Se aprecia, obviamente, que el sistema contiene dos entradas.

76

;

)

(3.5.0.18)

Modelos matemáticos de sistemas físicos

1 R·C·s

R

Figura 3.32 : Diagrama de bloques del sistema térmico automático.

3.6

Procesos de control de nivel de líquidos.

En los procesos de control de nivel de líquidos, el análisis del fluido es distinto si el flujo de éste se halla en régimen laminar o régimen turbulento. La magnitud que indica en qué régimen se halla el líquido es el número de Reynolds. Se considera que el flujo es laminar si el número de Reynolds es inferior a 2000. En el caso del flujo laminar, se asume que el movimiento del líquido es el movimiento de un conjunto de capas paralelas, lo que permite tratar al flujo como estable (no existen turbulencias). Si el líquido avanza entremezclando sus capas paralelas y produciendo torbellinos, se dice que el flujo es turbulento. Los sistemas en los que se tiene flujo turbulento, deben representarse, a menudo, mediante ecuaciones diferenciales no lineales, en tanto que los sistemas con un flujo laminar pueden representarse mediante ecuaciones diferenciales lineales. Lo habitual en los procesos industriales es un flujo de líquidos a través de tubos y tanques conectados, el cual resulta, a menudo, turbulento y no laminar. En este apartado se van a obtener modelos matemáticos de procesos de control de nivel de líquidos. Si se introduce el concepto de resistencia y capacidad para estos procesos, es posible describir en formas simples sus características dinámicas. El concepto de resistencia se va a introducir del siguiente modo. Considérese el flujo a través de un tubo corto que conecta dos tanques. La resistencia R que representa dicho tubo para el flujo de líquido se define como el cambio en la diferencia de nivel (entre los dos tanques) necesaria para producir un cambio de una unidad en el caudal del flujo: R=

cambio en la difencia de nivel ( m ) 3

(3.6.0.1)

cambio en el caudal de flujo ( m / s ) Dado que la relación entre el caudal y la diferencia de nivel es distinta para el flujo laminar y el flujo turbulento, en lo sucesivo se tratarán ambos casos. válvula de control capacidad C

H+h

válvula de carga

resistencia R

Figura 3.33 : Proceso de control de nivel de líquido.

Se tiene el sistema que aparece en la figura 3.33, en el cual el líquido sale a chorros a través de la válvula de carga a un lado del tanque. Si el flujo a través de esta restricción (válvula de carga) es laminar, la relación entre la velocidad del flujo en estado estable y la altura en estado estable en el nivel de la restricción se obtiene mediante: Q = K·H

(3.6.0.2)

77

Sistemas de medida y regulación

donde Q es el caudal del flujo en estado estable expresado en m3/s, K es un coeficiente en m2/s y H es la altura en estado estable dada en metros. Para el flujo laminar, la resistencia Rl se obtiene como: Rl =

δH

=

δQ

H

(3.6.0.3)

Q

La ecuación (3.6.0.3) es muy similar a la expresión matemática de la ley de Ohm, donde Rl sería la resistencia eléctrica, H la diferencia de potencial o tensión y Q la corriente eléctrica. Si el flujo es turbulento a través de la restricción (válvula de carga), el caudal en estado estable se obtiene mediante: Q= K⋅ H

(3.6.0.4) 3

2,5

donde Q es el caudal del flujo en estado estable expresado en m /s, K es un coeficiente en m /s y H es la altura en estado estable dada en metros. La resistencia Rt para el flujo turbulento se expresa como: δH

Rt =

(3.6.0.5)

δQ

Tomando el valor del caudal Q de la ecuación (3.6.0.4) y derivando con respecto a la altura H: δQ δH

=

(

)=

δ K⋅ H δH

K

(3.6.0.6)

2⋅ H

Ahora, sustituyendo el valor de la ecuación (3.6.0.6) en la ecuación (3.6.0.5), resulta: Rt =

2⋅ H

=

2⋅ H ⋅ H

K

=

2⋅H

Q

(3.6.0.7)

Q

El valor de la resistencia de flujo turbulento Rt depende del flujo y la altura. Sin embargo, el valor de Rt se considera constante si los cambios en la altura y en el flujo son pequeños. Usando la resistencia de flujo turbulento, la relación entre Q y H se expresa: Q=

2⋅H

(3.6.0.8)

Rt

Tal linealización es válida, siempre y cuando los cambios en la altura y el flujo, a partir de sus valores respectivos en estado estable, sean pequeños.

Altura H

h P H q 0 Q

caudal Q

-H

Figura 3.34 : Gráfica H - Q.

En muchos casos prácticos, se desconoce el valor del coeficiente K de la ecuación (3.6.0.4). En tales casos, la resistencia se determina mediante una gráfica que representa la altura frente al caudal basada en datos

78

Modelos matemáticos de sistemas físicos

experimentales. La resistencia se obtiene midiendo la pendiente de la curva en el punto de operación. Un ejemplo de tal gráfica aparece en la figura 3.34. En la figura, el punto P es el punto de operación en estado estable, ( H , Q ). La línea tangente a la curva en el punto P interseca la ordenada en el punto (- H , 0). Por tanto, la pendiente de esta línea tangente es 2 ⋅ H / Q . Considerando que la resistencia Rt es la pendiente en el punto de operación ( H , Q ), el valor de la resistencia Rt es 2 ⋅ H / Q . Si se toma la condición de operación en la vecindad del punto P, se define como h una desviación pequeña de la altura a partir del valor en estado estable y como q el pequeño cambio correspondiente del flujo, la pendiente de la curva en el punto P se obtiene mediante: tg ( P ) =

h

=

2⋅H

q

= Rt

Q

(3.6.0.9)

La aproximación lineal se basa en el hecho de que la curva real no difiere mucho de su recta tangente si la condición de operación no varía mucho. El concepto de capacidad C de un tanque se define como el cambio necesario en la cantidad de líquido almacenado, para producir un cambio de una unidad en el potencial (altura). El potencial es la cantidad que indica el nivel de energía del sistema. 3

C=

cambioen el volumen de líquido ( m )

(3.6.0.10)

cambioen la altura ( m )

No se debe confundir la capacidad, C, de un tanque con su capacidad volumétrica. La capacidad del tanque es igual a su área transversal. Si ésta es constante, la capacidad es constante para cualquier altura. Ejemplo 3.11 Se tiene el sistema de la figura 3.33. Se definen las siguientes variables: •

Q : caudal en estado estable (antes de que haya ocurrido cualquier cambio) en m /s.

•

qi : desviación pequeña del caudal de entrada de su valor en estado estable expresado en m3/s.

•

qo : desviación pequeña de la velocidad de salida de su valor en estado estable en m3/s.

•

H : altura en estado estable (antes de que haya ocurrido un cambio) expresado en m.

•

h : desviación pequeña de la altura a partir de su valor en estado estable en m.

3

Ya se ha comentado anteriormente que un sistema se considera lineal si el flujo es laminar. Aunque el flujo sea turbulento, el sistema puede linealizarse si los cambios en las variables se mantienen pequeños. A partir de esta suposición, la ecuación diferencial de este sistema se obtiene considerando que la diferencia entre el flujo de entrada y el flujo de salida durante el pequeño intervalo de tiempo δ t es igual a la cantidad adicional almacenada en el tanque, es decir:

(

)

C ⋅ δ h = q i − qo ⋅ δ t

(3.6.0.11)

A partir de la definición de resistencia, la relación entre qo y h se obtiene mediante: qo =

h

(3.6.0.12)

R

La ecuación diferencial para este sistema para un valor constante de R se convierte en:  h C ⋅ δ h = q i −  ⋅ δ t  R R ⋅C ⋅

δh δt

+ h = R ⋅ qi

;

(3.6.0.13)

Nótese que R·C es la constante de tiempo del sistema.

Función de transferencia. Si se toma la transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuación (3.6.0.13), y suponiendo las

79

Sistemas de medida y regulación

condiciones iniciales igual a cero, se tiene:

( R ⋅ C ⋅ s + 1) ⋅ H ( s ) = R ⋅ Q i ( s )

(3.6.0.14)

Si qi se considera la entrada y h la salida, la función de transferencia del sistema es: H( s) Qi ( s )

=

R R ⋅ C ⋅ s +1

(3.6.0.15)

Usando la relación: Qo ( s ) =

1

⋅ H( s)

R

y tomando qo como la salida (siendo la entrada la misma) la función de transferencia es: Qo ( s ) Qi ( s )

80

=

1 R ⋅C ⋅ s +1

(3.6.0.16)

Modelos matemáticos de sistemas físicos

Actividades de enseñanza – aprendizaje. Las actividades que se proponen a continuación requieren la utilización de un software de resolución de problemas matemáticos y visualización de gráficas. Para este tipo de actividades se recomienda el uso MATLAB.

Actividad 3.1: Obtención de la respuesta vo(t) cuando la excitación es un escalón. En el circuito eléctrico de la figura 3.35, se desea obtener la expresión de la respuesta vo(t) cuando la excitación vi(t) sea un escalón unitario. A

C

B

Figura 3.35 : Circuito eléctrico.

Los valores de los componentes son: •

R1 = 20 Ω.

•

R2 = 1000 Ω.

•

L1 = 1 H.

•

L2 = 2 H.

•

C = 20 µF.

Realizar los siguientes pasos: •

Obtener la función de transferencia que relacione la señal de salida con la señal de entrada o excitación.

•

Obtener la respuesta del sistema, en el dominio complejo, cuando la señal de entrada es un escalón unitario. El resultado será un cociente de polinomios en el dominio complejo.

•

Para poder obtener la transformada inversa de Laplace de la respuesta, realizar la expansión en fracciones parciales con MATLAB.

•

Realizar la transformada inversa de Laplace de la función obtenida con la expansión en fracciones parciales.

•

Trazar una gráfica de la respuesta y de la entrada en un intervalo de tiempo de 5 segundos. Para una correcta visualización de las señales, toma 10 muestras por segundo.

Actividad 3.2: Obtención de la respuesta vo(t) cuando la excitación es una rampa. En el circuito eléctrico de la figura 3.35, se desea obtener la expresión de la respuesta vo(t) cuando la excitación vi(t) sea una rampa unitaria. Realizar los siguientes pasos: •

Obtener la función de transferencia que relacione la señal de salida con la señal de entrada o excitación.

•

Obtener la respuesta del sistema, en el dominio complejo, cuando la señal de entrada es una rampa unitaria. El resultado será un cociente de polinomios en el dominio complejo.

•

Para poder obtener la transformada inversa de Laplace de la respuesta, realizar la expansión en fracciones parciales con MATLAB.

•

Realizar la transformada inversa de Laplace de la función obtenida con la expansión en fracciones parciales.

81

Sistemas de medida y regulación

•

Traza una gráfica de la respuesta y de la entrada en un intervalo de tiempo de 5 segundos. Para una correcta visualización de las señales, toma 10 muestras por segundo.

Ejercicios de profundización y refuerzo. Ejercicio 3.1 Realizar la simplificación del diagrama de bloques de la figura 3.36 y obtener su función de transferencia.

R(s)

Y(s)

G

Figura 3.36 : Diagrama de bloques para simplificar.

Ejercicio 3.2 Realizar la simplificación del diagrama de bloques de la figura 3.37 y obtener su función de transferencia. R(s)

Y(s)

Figura 3.37 : Diagrama de bloques para simplificar.

Ejercicio 3.3 El proceso de control de una planta aparece representado mediante el diagrama de bloques de la figura 3.38. Dicho proceso consta de un proceso controlado (planta), un controlador (integrador) y un transmisor de medida (sensor), los cuales aparecen representados mediante sus respectivas funciones de transferencia. Realizar el modelo matemático en el espacio de estados (ecuación de estado y ecuación de salida) considerando como variables de estado x1(t), x2(t) y x3(t). R(s)

E(s)

1 s

10 s+5

integrador

planta

1 s+1 sensor

Figura 3.38 : Proceso de control de una planta.

82

Y(s)

Modelos matemáticos de sistemas físicos

Ejercicio 3.4 Se diseña un sistema de suspensión activa para un automóvil y se desarrolla el modelo de las partes pasivas de la suspensión más un actuador ideal. Con el fin de simplificar el análisis, en la descripción del modelo se utiliza la cuarta parte del coche, es decir, una rueda, medio eje y la cuarta parte de la masa del coche. El sistema, tal y como se ha descrito, aparece en la figura 3.39, donde se introduce un actuador que se conecta directamente entre la masa del automóvil y el eje. Con este actuador se pretende ejercer una fuerza controlada en el sistema de suspensión, el cual es a su vez controlado por una corriente i(t). Describir las ecuaciones diferenciales del modelo propuesto donde aparezcan las relaciones entre la fuerza ejercida por el actuador y el resto del sistema.

masa del cuerpo del automóvil

i(t) actuador masa de la rueda y del eje

Figura 3.39 : Modelo de suspensión activa para automóvil.

Ejercicio 3.5 Se tiene un motor de corriente continua de imanes permanentes que arrastra una masa de inercia J (figura 3.40). +

M(t) A

u(t)

e’(t)

B

J

(t)

M _ B

Figura 3.40 : Modelo de motor de c.c. de imanes permanentes.

El motor aparece representado por un inducido ideal de fuerza contraelectromotriz e’(t), una resistencia de inducido Ri y un coeficiente de autoinducción del devanado inducido Li. El circuito se alimenta con una tensión u(t). Se supone que la velocidad del motor es práticamente proporcional a la f.c.e.m. e’(t), cumpliéndose la relación, e’(t) = C1·ω(t) donde C1 es una constante que depende de los parámetros constructivos del motor y ω(t) es la velocidad de giro expresada en rad/s. El par que el motor ejerce sobre la masa es directamente proporcional a la corriente que circula por el inducido, expresándose como, M(t) = C2·ii(t) donde C2 es otra constante que depende de los parámetros constructivos del motor e ii(t) es la corriente de inducido del motor. La masa que debe arrastrar el motor presenta una fricción viscosa en el eje, cuyo coeficiente es B. Se desea obtener el modelo de función de transferencia que relacione la velocidad de giro de la masa ω(t) con la tensión de alimentación del motor u(t). Dibujar también el diagrama de bloques correspondiente.

Ejercicio 3.6 Partiendo del sistema del ejercicio anterior (figura 3.40), resultan conocidos los siguientes valores de los parámetros representados:

83

Sistemas de medida y regulación

•

Motor: C1 = C2 =

Φ máx ⋅ N' ; donde φmáx = 0,002 Wb, N’ = 3.000 conductores 2 ⋅π

Ri = 1 Ω ; Li = 10 H •

Masa: J=

m⋅r2 ; donde m = 4 Kg, r (radio de giro) = 10 cm 2

B = 4,04·10-4 N·s Realizar las siguientes operaciones: a)

Obtener el modelo de función de transferencia que relacione la velocidad de giro de la masa ω(t) con la tensión de alimentación del motor u(t) considerando los valores de los parámetros representados.

b)

Calcular el valor de la velocidad angular que alcanzará la masa en régimen permanente (utilizar el teorema del valor final) si se aplica un escalón de 100 v.

c)Determinar la expresión de la respuesta temporal para dicho escalón de 100 v. d)

Trazar la gráfica de la respuesta del sistema para los primeros 60 segundos.

Ejercicio 3.7 Un registrador es un aparato que representa sobre un papel las variaciones de una cierta magnitud de entrada - por ejemplo una tensión - a lo largo del tiempo. Esto se consigue haciendo que un cursor dotado de una plumilla en su extremo se desplace verticalmente siguiendo las variaciones de la entrada mientras un rollo de papel va avanzando a velocidad constante, tal como se ilustra en la figura 3.41. desplazamiento de la plumilla

avance del papel

t

Figura 3.41 : Aparato registrador.

Una posible realización (simplificada) del registrador se muestra en la figura 3.42, donde un motor de corriente continua controlado por inducido tiene como entrada una tensión proporcional - según sea el valor de la ganancia K que se supone positiva - a la diferencia entre la tensión de entrada, ur(t) y la tensión en el cursor, uc(t), la cual es proporcional al desplazamiento vertical de éste x(t). Esto es posible gracias al potenciómetro lineal, en el cual: x( t ) u c ( t ) = U cc ⋅ l

cursor

+ -

x(t)

M(t)

K A

e’(t)

B r

M _ B

(t) J

Figura 3.42 : Esquema funcional simplificada de un aparato registrador.

84

l

l

Modelos matemáticos de sistemas físicos

donde Ucc es la tensión de la fuente de alimentación y l la mitad del recorrido máximo. El desplazamiento angular del eje del motor se transforma en desplazamiento lineal del cursor mediante una polea de radio r. El motor tiene constante eléctrica C1, constante mecánica C3. La resistencia de inducido es Ri, y autoinducción de inducido Li. Las variables a considerar en el motor son el ángulo de giro θ(t), la fuerza contraelectromotriz e’(t), la corriente del inducido ii(t) y el par motor en el eje M(t). El eje del motor junto con la carga (poleas, cursor, etc.) representan un momento de inercia J y una fricción viscosa de coeficiente B. La tensión de entrada ur(t) está siempre comprendida entre +Ucc y -Ucc. Se desea obtener un modelo matemático del sistema que relacione la señal de salida – posición del cursor x(t) – con la señal de entrada o señal a medir ur(t). Para ello, desarrollar las siguientes cuestiones: a) Plantear las ecuaciones, en el dominio del tiempo, que relacionen cada una de las variables y parámetros en cada uno de los componentes que intervienen en el sistema. b) Obtener el modelo matemático de función de transferencia del sistema. c) Obtener el modelo matemático en el espacio de estados del sistema.

85

Sistemas de medida y regulación

86

UNIDAD 4 Sistemas de adquisición y tratamiento de datos. 4.1

La cadena de adquisición. Estructura básica y características.

En los procesos de control se utiliza una gran cantidad de dispositivos para recopilar o presentar información en la forma más adecuada; esos dispositivos se llaman transductores. El Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española define el transductor como: Dispositivo que transforma el efecto de una causa física, como presión, temperatura, dilatación, humedad, etc., en otro tipo de señal, normalmente eléctrica. De todos modos, en los sistemas de medida no basta solamente con disponer del transductor adecuado. En la mayoría de las ocasiones se requiere la presencia de otros elementos que adapten y traten la señal apropiadamente. Todos estos elementos, junto con el transductor, forman lo que se denomina la cadena de medida o cadena de adquisición. Se define cadena de adquisición como: Sistema cuya función es la asignación objetiva (independiente del observador) y empírica (basada en la experimentación) de un número a una propiedad o cualidad de un objeto o evento, de tal forma que lo describa. El objetivo principal de la medida es obtener información del estado del sistema, la cual puede tener las siguientes finalidades: •

Control de un proceso.

•

Vigilancia o supervisión de un proceso.

•

Obtención de datos acerca de algún fenómeno o proceso experimental: con los que se obtiene información sobre el comportamiento de un cierto sistema en estudio.

Los parámetros de entrada a la cadena de medida o cadena de adquisición son propiedades físicas del sistema, mientras que la naturaleza de los parámetros de salida dependerá de la naturaleza de la información que se va a transmitir. Así, por ejemplo, si la medida va destinada a un controlador de tipo eléctrico o electrónico la salida será una señal eléctrica (intensidad o voltaje), si el controlador es un ordenador que está alejado del lugar donde se desarrolla el proceso a regular, puede ser necesario que la señal de salida sea una señal de radio, infrarrojos, láser, etc. En las cadenas de adquisición se pueden considerar los siguientes elementos constitutivos: •

Sensor o transductor de entrada: se utiliza con un sentido más amplio que el de transductor. Es el elemento que produce una señal relacionada con la magnitud que está siendo medida. El término sensor incluye, por lo tanto, al de transductor, pero puede haber sensores que no sean transductores. Un ejemplo sería el de un venturímetro en sí (figura 4.7), el cual proporciona diferencias de presiones como variable de salida de la medida de velocidad de un líquido en una tubería. Es decir, el tipo de señal de entrada (velocidad) y el de salida se corresponden con unas señales del mismo tipo de energía: mecánica. No ha habido transducción de señal alguna y sin embargo se ha realizado una medición, mientras que un transductor siempre implica una conversión del tipo de energía entre la señal de entrada y la señal de la salida.

•

Transductor: toma la señal proveniente del sensor para transformarla en una señal de una naturaleza de energía más adecuada a los propósitos del proceso de control o sistema de medida. Esta señal, ya traducida, suele ser, en la mayoría de las ocasiones, de naturaleza eléctrica.

•

Acondicionador de la señal: éste adapta la señal de salida del elemento transductor y la convierte en información adecuada para el elemento de visualización del sistema de medida o, en el caso de un sistema de control, para mezclarse con la señal de referencia. Un ejemplo de esto puede ser un amplificador que toma una pequeña señal del transductor y la hace lo suficientemente grande como para activar el dispositivo visualizador. En el caso de un transductor de temperatura como el termistor (resistencia variable con la temperatura), el cambio en el valor de su resistencia debe ser convertido por el acondicionador en una corriente que circulará por un circuito eléctrico.

87

Sistemas de medida y regulación

•

Visualizador, o elemento indicador: éste es el último elemento de las cadenas de medida cuya finalidad es la obtención de información cara al usuario (como en las aplicaciones de vigilancia y supervisión) y es donde se visualiza la salida del sistema de medida. Puede ser, por ejemplo, una aguja que se mueve a lo largo de una escala. En el caso de un termómetro que use un termistor como transductor, la salida puede ser visualizada en un amperímetro. El elemento visualizador toma la información del acondicionador de señal y la presenta de tal forma que permita al observador reconocerla.

La figura 4.1 muestra la estructura general de una cadena de adquisición.

señal de la magnitud física

señal adaptada

Sensor

Transductor

señal eléctrica

Acondicionador de señal

señal acondicionada

Visualizador

Figura 4.1 : Estructura general de una cadena medida o adquisición.

Hay que indicar que los elementos de la cadena de adquisición que se acaban de presentar, no siempre han de estar presentes. Puede suceder, como en el caso de la medida de temperatura, que el elemento que se encargue de tomar la señal de la magnitud física a medir (temperatura) sea el mismo que proporcione la señal eléctrica al acondicionador de señal, por lo que no se haría necesaria la utilización de un sensor previo o transductor de entrada. Es decir, bastaría con utilizar un termistor (resistencia variable con la temperatura) para hacer las funciones de sensor y transductor a la vez (figura 4.2). E

R

I=E/R

T(ºC)

A

Señal acondicionada Magnitud física a medir

Sensor + Transductor

Acondicionador de señal

Visualizador

Figura 4.2 : Sistema de medida de temperatura.

Otro elemento que puede estar ausente en la cadena de adquisición sería el visualizador. Obviamente, si la cadena de medida está insertada en el sistema controlador de un bucle de control, es decir, un lazo de regulación o lazo cerrado, y su finalidad es la de proporcionar una señal para mezclarla con la de referencia, no se requiere la utilización de un elemento visualizador.

4.2

Equipos e instrumentos.

Debido a la complejidad de los instrumentos de los sistemas de medida (y de los procesos de control en general), se hace necesaria una adecuada clasificación si se desea comprender bien sus funciones. Como es lógico, pueden existir varias formas para clasificar los instrumentos, cada una de ellas con sus propias ventajas y limitaciones. Se considerarán dos clasificaciones básicas: según la función del instrumento y según la variable del proceso.

4.2.1 Clasificación en función del instrumento. De acuerdo con la función del instrumento, se tienen los tipos de instrumentos siguientes: •

88

Instrumentos ciegos: son aquellos que no tienen indicación visible de la variable. Baste señalar que son ciegos los instrumentos de alarma tales como presostatos (relés de presión), termostatos (relés de temperatura) y detectores de nivel. Todos ellos poseen una escala exterior con un índice de selección de la variable. Cuando la variable medida sobrepasa el valor seleccionado, el instrumento de alarma produce la activación o disparo del relé de salida, interruptor o conmutador que disponga. En la figura 4.3 se muestra como ejemplo un detector de nivel. Son también instrumentos ciegos los transmisores de caudal, presión y temperatura que no dispongan indicación externa de la variable medida.

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

•

Instrumentos indicadores: disponen de un elemento indicador (aguja o índice) y de una escala graduada en la que puede leerse el valor de la variable. Existen también indicadores digitales que muestran la variable en forma numérica (figura 4.4).

•

Instrumentos registradores: son instrumentos que registran constantemente, con trazo continuo o a puntos, la variable medida sobre un papel reticulado. El sistema de trazado se puede realizar sobre un rollo de papel continuo o sobre un disco de cartón, con lo que se obtendrían sendos gráficos rectangular y circular (figura 4.5). Los registradores de gráfico circular suelen tener el gráfico de 1 revolución en 24 horas mientras que en los de gráfico rectangular la velocidad normal del gráfico es de unos 20 mm/hora.

+

sondas

A1 detección de nivel

nivel máximo 12

nivel mínimo sonda común detector de nivel

depósito de líquido

A2

-

14

11 relé de salida

esquema eléctrico del detector de nivel

Figura 4.3 : El detector de nivel de esta figura es un ejemplo de instrumento ciego. La actuación del relé de salida está supeditada a la detección del nivel mínimo del depósito, mientras que su regreso al estado de reposo está determinado por la detección del nivel máximo. Este instrumento no muestra la lectura del nivel detectado en ningún momento.

Figura 4.4 : Paneles frontales de instrumentos indicadores.

Figura 4.5 : Paneles frontales de instrumentos registradores.

89

Sistemas de medida y regulación

Además, existen instrumentos que permiten registrar la variable medida sobre un soporte informático. Estos aparatos disponen de puerto de comunicaciones, habitualmente puerto serie de interfaz RS-232, para conectar a un ordenador (figura 4.6). Este sistema, junto con un software adecuado, permite realizar un registro histórico mucho más completo que con un registrador sobre papel. •

Elementos primarios (sensores): están en contacto con la variable a medir y absorben energía del medio controlado para dar al sistema de medición una indicación de los cambios que sufre la variable controlada. El efecto producido por el elemento primario puede ser un cambio de presión, fuerza, posición, medida eléctrica, etc. En los elementos primarios de temperatura constituidos por bulbo y capilar, por ejemplo, el efecto que se obtiene es la variación de presión del fluido que los llena, mientras que en los que están constituidos por termopar se logra una variación de fuerza electromotriz. En la figura 4.7 se muestra un venturímetro o tubo Venturi, el cual relaciona la velocidad o caudal de un fluido por una tubería (señal de entrada) con una diferencia de presiones (señal de salida) obtenida en dos puntos de distinta sección del venturímetro. potencia w

A V 0 tiempo t

w RS-232

registrador con conexión para ordenador

Figura 4.6 : Instrumento registrador con puerto RS-232 para conexión a ordenador.

Figura 4.7 : Sensor primario para la medida de velocidad de fluidos: tubo Venturi.

•

Transmisores: captan la variable de proceso a través del elemento primario y la transmiten a distancia en forma de señal neumática (de 0,206 a 1,033 bar de margen) o eléctrica (de 4 a 20 mA de corriente continua). La señal eléctrica digital, utilizada en algunos transmisores inteligentes, es apta para ser recibida directamente por un ordenador. El elemento primario puede formar o no parte integral del transmisor. Un transmisor de temperatura de bulbo y capilar sería un ejemplo de elemento primario y transmisor integrados. Un equipo de transmisión de datos para el control remoto de un interruptor de alta tensión (transmisor) y su correspondiente transformador de medida de intensidad (elemento primario) son un ejemplo de clara distinción entre el elemento transmisor y el elemento primario (figura 4.8).

90

•

Transductores: toman la señal, de una forma de energía determinada, proveniente de la causa física que se desea medir, para transformarla en una señal de otra naturaleza de energía más adecuada a los propósitos del proceso de control o sistema de medida. Esta señal, ya traducida, suele ser de naturaleza eléctrica. Son transductores, un relé, un elemento primario, un transmisor, un convertidor PP/I (presión de proceso a intensidad), etc.

•

Convertidores: son aparatos que reciben una señal de entrada neumática (0,206 - 1,033 bar) o eléctrica (4 - 20 mA c.c.) procedente de un instrumento para, después de modificarla, enviar la resultante en forma

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

de señal de salida estándar. Ejemplo: un convertidor P/I (señal de entrada neumática a señal de salida eléctrica, un convertidor I/P (señal de entrada eléctrica a señal de salida neumática). Conviene señalar que, a veces, se confunde convertidor con transductor. Este último término es general y no debe aplicarse a un aparato que convierta una señal que provenga de un instrumento de medida. barras A.T. Puesto de control remoto Equipo de recepción de datos

interruptor

Transmisor

Sensor

cortocircuito Equipo de transmisión de datos

sobreintensidad

trafo intensidad

relés de protección

Figura 4.8 : Sistema de telemando de un interruptor de alta tensión mediante transformador de intensidad (elemento primario o sensor) y un equipo de transmisión de datos (transmisor).

•

Receptores: son los que reciben las señales procedentes de los transmisores y las indican o registran. Los receptores-controladores envían otra señal de salida normalizada, neumática o eléctrica, que actúa sobre el elemento final de control.

•

Controladores: ejercen una acción correctiva de acuerdo con la desviación producida entre la variable controlada (presión, nivel, temperatura) y la variable de referencia. La variable controlada la pueden recibir directamente (controladores locales) o bien indirectamente en forma de señal neumática, eléctrica o digital procedente de un transmisor.

•

Elemento final de control: es el que recibe la señal del controlador y modifica el caudal del fluido o agente de control. En el control neumático, el elemento suele ser una válvula neumática o un servomotor neumático que efectúan su carrera completa de 0,206 a 1,033 bar (figura 4.9). En el control eléctriconeumático, la válvula o el servomotor anteriores son accionados a través de un convertidor de intensidad a presión (I/P), o señal digital a presión, que convierte la señal eléctrica de 4 a 20 mA c.c. a señal neumática de 0,206 a 1,033 bar. En el control eléctrico, el elemento suele ser una válvula motorizada que efectúa su carrera completa accionada por un servomotor eléctrico. Dispositivo controlado 2.2

1.0

2

señal proveniente del controlador (0,206 - 1,033 bar)

1.01 1

Elemento final de control

1.1

4

2

12

14

5 1

3

Figura 4.9 : Una válvula o distribuidor 5/2 actúa como elemento final de control de un cilindro de doble efecto.

En el control electrónico, y en particular en regulación de temperatura de hornos, pueden utilizarse rectificadores de silicio (tiristores). Estos se comportan esencialmente como bobinas de impedancia variable y varían la corriente de alimentación de las resistencias del horno, en la misma forma en que una válvula de control cambia el caudal de fluido en una tubería (figura 4.10). Las señales neumáticas (0,206 - 1,033 bar) y eléctricas (4 - 20 mA c.c.) permiten el intercambio entre instrumentos de la planta. No ocurre así en los instrumentos de señal de salida digital (transmisores,

91

Sistemas de medida y regulación

controladores) donde las señales son propias de cada fabricante o suministrador. No obstante, existe el propósito de normalización por parte de firmas de instrumentos de control, en particular en los sistemas de control distribuido, las cuales estudian la aplicación de un lenguaje o protocolo de comunicaciones. Se creó para tal fin un comité internacional de normas IEC-65C, con la colaboración de los comités ISA SP50, ISA SP72 y EUROBOT de EUREKA, el cual trabaja también por la normalización de las comunicaciones digitales entre los instrumentos de campo (instrumentos de medida que se hallan ubicados junto al proceso controlado) y los sistemas de control (la llamada tecnología del fieldbus o bus de campo). Hoy en día, los estándares de buses de campo que se reconocen son PROFIBUS (Process Field Bus) y FIP (Factory Information Protocol).

horno de resistencias

+ Selector de consigna

Elemento final de control

Figura 4.10 : Control de la potencia de un horno eléctrico mediante tiristores.

4.2.2 Clasificación en función de la variable de proceso. De acuerdo con la variable del proceso, los instrumentos se dividen en instrumentos de caudal, nivel, presión, temperatura, densidad y peso específico, humedad y punto de rocío, viscosidad, posición, velocidad, pH, conductividad, frecuencia, fuerza, turbidez, etc. Esta clasificación corresponde específicamente al tipo de las señales medidas y es independiente del sistema empleado en la conversión de la señal de proceso. De este modo, un transmisor neumático de temperatura del tipo de bulbo y capilar es, ciertamente, un instrumento de temperatura a pesar de que la medida se efectúa convirtiendo las variaciones de temperatura en variaciones de presión del fluido que llena el bulbo y el capilar. El aparato receptor de la señal neumática de un transmisor neumático de temperatura, es un instrumento de temperatura, si bien, al ser receptor neumático se podría considerar instrumento de presión, caudal, nivel o cualquier otra variable, según fuera la señal medida por el transmisor correspondiente. Un registrador potenciométrico puede ser un instrumento de temperatura, de conductividad o de velocidad, según sean las señales medidas por los elementos primarios de termopar, electrodos o dínamo. Asimismo, esta clasificación es independiente del número y tipo de transductores existentes entre el elemento primario y el instrumento final. Así ocurre en el caso de un transmisor electrónico de nivel de 4 - 20 mA c.c., un receptor-controlador con salida de 4 - 20 mA c.c., un convertidor intensidad-presión (I/P) que transforma la señal de 4 - 20 mA c.c. a neumática de 0,206 - 1,033 bar y la válvula neumática de control. Todos estos instrumentos se consideran de nivel. En la designación del instrumento se utilizan, en el lenguaje común, las dos clasificaciones expuestas anteriormente. De este modo, se consideran instrumentos tales como transmisores ciegos de presión, controladores registradores de temperatura, receptores indicadores de nivel, receptores controladores registradores de caudal, etc. A todo ello cabría unir una clasificación en función de la ubicación física del instrumento. De acuerdo con esto se pueden distinguir entre: •

Instrumentos de campo: son aquéllos que están en contacto con la variable de proceso a medir o que actúan directamente sobre el proceso, es decir, son los que se hallan ubicados físicamente en el proceso a controlar. Son instrumentos de campo los sensores o elementos primarios (de cualquier de variable de proceso), transductores, transmisores y elementos finales de control.

•

Instrumentos de panel o de control: son los que realizan la función lógica del control. Los instrumentos de panel o control se hallan, por lo general, distantes del proceso a controlar. Suelen estar montados de manera centralizada en paneles, armarios o pupitres situados en salas aisladas o en zonas del proceso. De esta forma, se puede constituir un despacho de explotación o control, en donde los supervisores del proceso, o usuarios, puedan gobernar a distancia la instalación del proceso. Son instrumentos de panel o control los instrumentos indicadores, registradores, convertidores, controladores y receptores en general. Sin embargo, estos elementos también se pueden hallar junto al

92

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

proceso (por lo que se les podría denominar instrumentos de campo) en aquellas instalaciones donde no se haya centralizado el control en un despacho. En la figura 4.11 un esquema representa las clasificaciones de los instrumentos descritos. En dicho esquema, las letras con las que se designan los instrumentos siguen la norma ISA-S5.1-84, la cual se resume en el siguiente apartado. CAMPO

CAMPO O PANEL

CAMPO Elementos finales de control

Sensor de presión

PT

Sensor de caudal

FT

Sensor de nivel

LT

Sensor de temperatura

TT

Convertidores y Elementos auxiliarres

I/P

válvula

LI

LR

LIC

LRC

indicadores

registradores

indicadores

registradores válvula

Otras variables Elementos primarios

Receptores

Controladores

Leyenda Tranmisores

tiristores, contactores, interruptores ...

señal neumática señal eléctrica comunicación digital

Figura 4.11 : Clasificación de instrumentos.

4.2.3 Código de identificación de instrumentos. Para designar los instrumentos de medición y control se emplean normas muy variadas y que, a veces, varían según la industria que las use. Esta gran variedad de normas y sistemas utilizados en las organizaciones industriales indica la necesidad universal de una normalización en este campo. Varias sociedades han dirigido sus esfuerzos en este sentido, y entre ellas se encuentra como una de las importantes la Sociedad de Instrumentos de Estados Unidos, ISA (Instrument Society of America) cuyas normas tienen por objeto establecer sistemas de designación (código y símbolos) de aplicación a las industrias químicas, petroquímicas, aire acondicionado, etc. Figura, a continuación, un resumen de las normas ISA-S5.1-84 de ANSI/ISA del año 1984 con una rectificación el año 1992, sobre instrumentación de medición y control. Hay que señalar que estas normas no son de uso obligatorio sino que constituyen una recomendación a seguir en la identificación de los instrumentos en la industria.

Resumen Norma ISA-S5.1-84. Cada instrumento debe identificarse con sistema de letras que lo clasifique funcionalmente. Una identificación representativa es la siguiente: Identificación funcional Primera letra Letras sucesivas

Identificación del bucle de control Número del bucle Sufijo (en desuso)

Ejemplo: T

RC

2

A

Tabla 4.1: Identificación representativa de instrumentos.

El número de letras funcionales para un instrumento debe ser mínimo, no excediendo de cuatro. Para ello conviene: •

Disponer las letras en subgrupos. Por ejemplo, un transmisor-registrador de relación de caudales asociado a un interruptor de alarma de relación de caudales, pueden identificarse con dos círculos uno con FFRT-3 y el otro FFS-3.

93

Sistemas de medida y regulación

•

En un instrumento que indica y registra la misma variable medida puede omitirse la letra I (indicación).

•

Los bucles de instrumentos de un proyecto o secciones de un proyecto deben identificarse con una secuencia única de números. Ésta puede empezar con el número 1 o cualquier otro número conveniente, tal como 301 o 1201 que puede incorporar información codificada tal como área de planta.

•

Si un bucle dado tiene más de un instrumento con la misma identificación funcional, es preferible añadir un sufijo. Ejemplo: FV-2A, FV-2B, FV-2C, etc. o bien TE-25-1, TE-25-2, TE-25-3, etc. Estos sufijos pueden añadirse obedeciendo a las siguientes reglas:

•

Deben emplearse letras mayúsculas, A, B, C, etc.

•

En un instrumento tal como un registrador de temperatura muItipunto, para identificación de los puntos de lectura, los elementos primarios pueden numerarse TE-25-1, TE-25-2, TE-25-3, etc.

•

Las subdivisiones interiores de un bucle pueden designarse por sufijos formados por letras y números.

•

Un instrumento que realiza dos o más funciones puede designarse por todas sus funciones. Por ejemplo, un registrador de caudal FR-2 con pluma o trazador de presión PR-4 se designa preferentemente FR2/PR-4 o bien UR-7. Un registrador de presión de dos plumas se puede nombrar como PR-7/8, y una ventanilla de alarma para temperatura alta y baja como TAH/L-9.

A continuación se muestra una tabla con el significado de cada una de las letras usadas en la designación de instrumentos. Primera letra Variable de medida A B C D E F G H I J K L M

(3)

Letras sucesivas Letra de modificación

(4)

Análisis Llama (quemador) Conductividad Densidad o peso específico Tensión (f.e.m.) Caudal Calibre Manual Corriente eléctrica Potencia Tiempo Nivel Humedad

Función de lectura pasiva Alarma (1) Libre

Función de salida

(1)

Libre Control

Letra de modificación Libre

(1)

(3)

Diferencial

Elemento primario Relación

(3)

Vidrio

(8)

Alto Indicación Exploración

(9)

(6) (13) (14)

o indicador

(6)

Estación de control Luz piloto

(10)

(6) (13) (14

Bajo ) Medio o intermedio (6) (13) (14)

N O P Q R S

(1)

T

Libre (1) Libre Presión o vacío Cantidad Radiactividad Velocidad o frecuencia Temperatura

U V W X Y Z

Multivariable Viscosidad Peso o Fuerza (2) Sin clasificar (1) Libre Posición

(5)

Libre

(1)

Libre

Libre

(1)

Orificio Punto de prueba Integración

(3)

Registro Seguridad

(7)

Interruptor

Multifunción

(11)

Vaina (2) Sin clasificar

Transmisión o transmisor (11) Multifunción Válvula (2)

Sin clasificar (12) Relé o computador Elemento final de control sin clasificar

Tabla 4.2: Letras de identificación de instrumentos.

94

(1)

Multifunción

(11)

Sin clasificar

(2)

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

(1)

Para cubrir las designaciones no normalizadas que pueden emplearse repetidamente en un proyecto se han previsto letras libres. Estas letras pueden tener un significado como primera letra y otro como letra sucesiva. Por ejemplo, la letra N puede representar como primera letra el módulo de elasticidad y como sucesiva un osciloscopio.

(2)

La letra sin clasificar X, puede emplearse en las designaciones no indicadas que se utilicen sólo una vez o un número limitado de veces. Se recomienda que su significado figure en el exterior del círculo de identificación del instrumento. Ejemplo: XR-3 registrador de vibración.

(3)

Cualquier letra primera si se utiliza con las letras de modificación D (diferencial), F (relación) o Q (integración) o cualquier combinación de las mismas cambia su significado para representar una nueva variable medida. Por ejemplo, los instrumentos TDI y TI miden dos variables distintas, la temperatura diferencial y la temperatura, respectivamente.

(4)

La letra A para análisis, abarca todos los análisis que no están cubiertos por una letra libre. Es conveniente definir el tipo de análisis al lado del símbolo en el diagrama de proceso.

(5)

El empleo de la letra U como multivariable en lugar de una combinación de primeras letras, es opcional.

(6)

El empleo de los términos de modificaciones alto, medio, bajo, medio o intermedio y exploración es preferible pero opcional.

(7)

El término seguridad debe aplicarse sólo a elementos primarios y a elementos finales de control que protejan contra condiciones de emergencia (peligrosas para el equipo o el personal). Por este motivo, una válvula autorreguladora de presión que controla la presión de salida de un sistema, mediante el alivio o escape de fluido al exterior, debe ser PCV, pero si esta misma válvula se emplea contra condiciones de emergencia, se designa PSV. La designación PSV se aplica a todas las válvulas proyectadas para proteger contra condiciones de emergencia de presión sin tener en cuenta si las características de la válvula y la forma de trabajo la colocan en la categoría de válvula de seguridad, válvula de alivio, o válvula de seguridad de alivio.

(8)

La letra de función pasiva vidrio, se aplica a los instrumentos que proporcionan una visión directa no calibrada del proceso.

(9)

La letra indicación se refiere a la lectura de una medida real de proceso. No se aplica a la escala de ajuste manual de la variable si no hay indicación de ésta.

(10) Una luz piloto que es parte de un bucle de control debe designarse por una primera letra seguida de la letra sucesiva L. Por ejemplo, una luz piloto que indica un período de tiempo terminado se designará KL. Sin embargo, si se desea identificar una luz piloto fuera del bucle de control, la luz piloto puede designarse en la misma forma o bien alternativamente por una letra única L. Por ejemplo, una luz piloto de marcha de un motor eléctrico puede identificarse EL, suponiendo que la variable medida adecuada es la tensión, o bien XL, suponiendo que la luz es excitada por los contactos eléctricos auxiliares del arrancador del motor, o bien simplemente L. La actuación de la luz piloto puede ser acompañada por una señal audible. (11) El empleo de la letra U como multifunción en lugar de una combinación de otras letras, es opcional. (12) Se supone que las funciones asociadas con el uso de la letra sucesiva Y se definirán en el exterior del símbolo del instrumento cuando sea conveniente hacerlo así. (13) Los términos alto, bajo y medio o intermedio deben corresponder a valores de la variable medida, no a los de la señal a menos que se indique de otro modo. Por ejemplo, una alarma de nivel alto derivada de una señal de un transmisor de nivel de acción inversa debe designarse LAH, incluso aunque la alarma sea actuada cuando la señal cae a un valor bajo. (14) Los términos alto y bajo, cuando se aplican a válvulas o a otros dispositivos de cierre-apertura, se definen como sigue: Alto: indica que la válvula está o se aproxima a la posición de apertura completa. Bajo: denota que se acerca o está en la posición completamente cerrada.

4.3

Sensores y transductores.

Los términos de sensor y transductor ya han quedado suficientemente definidos en los apartados 4.1 y 4.2.1. No obstante, conviene recalcar la principal diferencia entre estos dos términos: el transductor siempre lleva implícita una transformación del tipo energía entre la entrada y la salida, mientras que el sensor no realiza, necesariamente, esta función. El concepto de sensor engloba al de transductor, ya que todos los transductores se consideran sensores pero no todos los sensores son transductores. Al sensor también se le denomina elemento primario o transductor de entrada. Es el primer elemento de la cadena de adquisición de datos (cadena de medida) y se halla en contacto directo con la variable de proceso a medir. Por otra parte, al transductor también se le denomina transmisor, por el hecho de que su principal función es la de traducir la magnitud medida en una señal eléctrica (o neumática) apta para ser utilizada por los siguientes elementos de la cadena de medida o proceso de control. A pesar de estas diferencias entre sensor y transductor, muchas veces resulta difícil clasificar algunos instrumentos en una de las dos categorías. Hay muchos elementos que toman contacto con la variable de

95

Sistemas de medida y regulación

proceso a medir y producen, en consecuencia, una señal eléctrica o neumática a su salida, es decir, realizan las funciones de sensor y transductor. Por esta razón, la mayoría de los ingenieros, técnicos y demás personal especializado en el campo de los sistemas de medida y regulación denominan transductor tanto a los propios transductores como a los sensores. Esta convención es la que se suele adoptar normalmente.

4.3.1 Clasificación de sensores y transductores. La clasificación de los transductores se puede realizar según varios criterios, aunque el más usual es atendiendo al tipo de variable que miden. Aunque existen muchos tipos de señales o variables que son susceptibles de ser medidas, todas ellas se pueden agrupar en categorías según la naturaleza de su energía: radiante, mecánica, térmica, eléctrica, magnética y química. Así pues, en función de la energía de la variable de proceso que se mide, se pueden clasificar los transductores como: •

Radiantes: las señales o variables de entrada de estos transductores cubren todo el espectro de la radiación electromagnética. Las principales variables de energía radiante son la frecuencia, fase, intensidad y polarización.

•

Mecánicos: las variables mecánicas que miden estos transductores son la distancia, velocidad, fuerza, tamaño, caudal, nivel, presión y par.

•

Térmicos: miden los efectos de la temperatura en los materiales, sus variables más representativas serían: conductividad térmica, calor latente, propiedades de cambio de fase, etc.

•

Eléctricos: con variables de medida como la intensidad, tensión, resistencia y capacidad.

•

Magnéticos: cubren parámetros tales como la intensidad de campo o la densidad de flujo.

•

Químicos: miden la estructura interna de la materia e incluyen parámetros como la concentración de material, estructura cristalina o estado de agregación.

Ya se ha comentado que los transductores proporcionan una señal eléctrica a la salida. Aunque también existen transductores que proporcionan una señal neumática, la mayoría de los transductores usados proporcionan señales eléctricas. La justificación del uso de transductores que proporcionen una señal eléctrica a la salida se debe fundamentalmente a las siguientes razones: •

En general, y debido a la estructura electrónica de la materia, cualquier variación de un parámetro no eléctrico en un material implica una variación de un parámetro eléctrico. El típico ejemplo es el de la resistividad de un material, que varía con la temperatura (base del funcionamiento de un termistor).

•

Conviene que la señal de salida sea pequeña, para así extraer la mínima cantidad posible de energía del sistema. Pero esto implica que la señal se deba amplificar posteriormente, utilizándose para ello amplificadores electrónicos de gran ganancia.

•

Existen una gran cantidad de dispositivos eléctricos y electrónicos que permiten el tratamiento posterior de la señal de salida, incluido su posible almacenamiento (en un dispositivo de memoria).

•

La transmisión de señales eléctricas es muy versátil, mucho más que otros tipos de señales, como por ejemplo las neumáticas o hidráulicas.

Hasta aquí, se han tratado los transductores atendiendo al tipo de energía a su entrada y a su salida. Existen muchas formas de clasificar los transductores, cada una de ellas sigue un criterio distinto. Las más comunes son:

Clasificación por aporte de energía.

96

•

Moduladores o pasivos: son aquellos cuya fuente de energía es externa, y la variación de la variable a medir realiza una modulación de algún parámetro eléctrico de esta energía. Un ejemplo sería un termistor.

•

Generadores o activos: La fuente de energía para proporcionar la salida proviene de la propia entrada. Un ejemplo son los dispositivos fotoeléctricos, cuya fuente de energía es la luz que incide sobre ellos (entrada del transductor). Otro caso sería el de la medida de temperatura con un termopar, el cual genera una fuerza electromotriz a la salida. En estos casos no es necesario utilizar ninguna fuente de energía exterior al transductor.

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

Clasificación según el tipo de señal de salida. •

Analógicos. Son transductores que proporcionan una señal de salida eléctrica analógica. Existen muchos ejemplos conocidos, entre ellos el potenciómetro.

•

Digitales. La señal de salida es una señal eléctrica digital. Por ejemplo, el encoder (codificador) de posición.

Clasificación según el modo de operación. •

De deflexión. Son transductores en los que la variable o magnitud a medir provoca algún efecto eléctrico en el transductor, cuantificable y directamente relacionado con la variable a medir en cuestión. La mayoría de los transductores son de deflexión. Un ejemplo es un detector capacitivo, en el que una variación de la distancia entre las placas se traduce en una variación de la capacidad del mismo.

•

De comparación. Son transductores en los que se intenta mantener nula la deflexión mediante la aplicación de un efecto conocido, que se opone al generado por la magnitud a medir. El ejemplo más típico es el del servoacelerómetro, en el que la señal de salida corresponde a una corriente que consigue que la masa que sufre la aceleración se mantenga fija. Es decir, no se mide el movimiento de la deformación de la masa inercial, sino que se intenta que ésta se mantenga fija de alguna manera, y la señal que consigue esto estará relacionada directamente con la aceleración que sufre la masa.

Clasificación según la variable de proceso medida. La clasificación se realiza según la variable que se está midiendo en cada caso: posición, velocidad, presión, par, etc. Esta clasificación es la más utilizada - junto con la del tipo de energía de la variable medida, y es la propia de los procesos de control, donde importa más la aplicación del transductor que su funcionamiento interno. A continuación se exponen diversos tipos de transductores atendiendo a este último criterio. En esta exposición se han elegido los transductores más representativos para cada tipo de variable, los cuales se describen de una forma simple y atendiendo a los principios físicos de funcionamiento.

4.3.2 Transductores de presión. La presión es la fuerza que se ejerce por unidad de superficie y, en función de la unidad de medida tomada para la fuerza y para la superficie, se puede expresar en unidades tales como el pascal, bar, atmósfera, kilogramos por centímetro cuadrado y psi (libras por pulgada cuadrada). En el Sistema Internacional (S.l.) está normalizada como unidad de presión el pascal, que es 1 newton por metro cuadrado (1 N/m2). Como el pascal es una unidad muy pequeña, se emplean también el kilopascal (1 kPa = 10-2 bar), el megapascal (1 MPa = 10 5 bar) y el gigapascal (1 GPa = 10.000 bar). En la industria se utiliza también el bar (1 bar = 10 Pa = 1,02 2 2 kg/cm ) y el kg/cm , si bien esta última unidad, a pesar de su uso todavía muy extendido, se emplea cada vez con menos frecuencia. En la tabla 4.3 figuran las equivalencias entre estas unidades. Psi

Pulgada de c. de agua

Pulgada de c. de Hg.

Atmósfer a

kg/cm2

cm. de c. de agua

mm. de c. de Hg.

Bar

Pa

Psi

1

27,68

2,036

0,0680

0,0703

70,31

51,72

0,0689

6894,76

Pulgada de c. de agua

0,0361

1

0,0735

0,0024

0,0025

2,540

1,868

0,0024

249

Pulgada de c. de Hg.

0,4912

13,6

1

0,0334

0,0345

34,53

25,4

0,0338

3386,39

Atmósfera

14,7

406,79

29,92

1

1,033

1033

760

1,0132

1,0133·10

2

5

kg/cm

14,22

3933

28,96

0,9678

1

1000

735,6

0,98

98066

cm. de c. de agua

0,0142

0,3937

0,0289

0,00096

0,0010

1

0,7355

0,0009

98,06

mm. de c. de Hg.

0,0193

0,5353

0,0393

0,0013

0,0013

1359

1

0,00133

133,322

Bar

14,5

401

29,53

0,987

1020

750

1

10

0,01

0,0075

10-5

1

Pa

0,00014

0,0040

0,00029

1,02 -5

0,987·10

-4

0,102·10

5

Tabla 4.3: Equivalencias entre unidades de presión.

97

Sistemas de medida y regulación

La presión puede medirse en valores absolutos, relativos o diferenciales. Estos conceptos de medida de presión, y algunos otros, se describen como: •

Presión absoluta: es la medida de presión con relación al cero absoluto de presión.

•

Presión atmosférica: es la presión ejercida por la atmósfera terrestre medida mediante un barómetro. A nivel del mar, esta presión es próxima a 760 mm (29,9 pulgadas) de mercurio absolutos o 14,7 psia (libras por pulgada cuadrada absolutas) y estos valores definen la presión ejercida por la atmósfera estándar.

•

Presión relativa: es la determinada por un elemento que mide la diferencia entre la presión absoluta y la atmosférica del lugar donde se efectúa la medición. Hay que señalar que al aumentar o disminuir la presión atmosférica, disminuye o aumenta respectivamente la presión leída, si bien ello es despreciable al medir presiones elevadas.

•

Presión diferencial: es la diferencia entre dos presiones relativas o absolutas.

•

Vacío: es la presión medida por debajo de la atmosférica. Viene expresado en mm columna de mercurio, mm columna de agua o pulgadas de columna de agua. Las variaciones de la presión atmosférica influyen considerablemente en las lecturas del vacío.

El campo de aplicación de los medidores de presión es amplio y abarca desde valores muy bajos (vacío) hasta presiones de miles de bar. Esta amplitud en el campo de presiones impide que exista una única tecnología de transductor capaz de abarcar todo el rango de presiones que se usa habitualmente en los procesos de control y en la industria en general. Existen transductores, e instrumentos de medida de presión en general, adecuados para cada campo de aplicación o rango de presiones. Los instrumentos de presión que se presentan a continuación se clasifican en dos grupos: mecánicos y electromecánicos.

Transductores mecánicos de presión. La tecnología más utilizada en los transductores mecánicos de presión es la que se basa en la deformación de un elemento elástico como consecuencia de la presión ejercida por el fluido que contienen. Estos transductores se hallan en contacto físico con la variable a medir, es decir, se hallan en contacto directo con el fluido cuya presión se desea medir o regular, por lo que el papel que desempeñan es el de sensor o elemento primario de la cadena de medida. Los elementos primarios elásticos más empleados son: •

Tubo Bourdon: es un tubo de sección elíptica que forma un anillo casi completo, cerrado por un extremo (figura 4.12a). Al aumentar la presión en el interior del tubo, éste tiende a enderezarse y el movimiento es transmitido a la aguja indicadora, por un sector dentado y un piñón. La ley de deformación del tubo Bourdon es bastante compleja y ha sido determinada empíricamente a través de numerosas observaciones y ensayos en varios tubos. El material empleado normalmente en el tubo Bourdon es de acero inoxidable, aleación de cobre o aleaciones especiales como hastelloy y monel.

desplazamiento del tubo

desplazamiento del tubo

señal de presión

señal de presión

a)

b) Figura 4.12 : Tubos Bourdon.

98

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

•

Elemento en espiral: se forma arrollando el tubo Bourdon en forma de espiral alrededor de un eje común y el helicoidal arrollando más de una espira en forma de hélice (figura 4.12b). Estos elementos proporcionan un desplazamiento grande del extremo libre y, por ello, son ideales para los registradores.

•

Diafragma: es una lámina plana circular, sujeta por los extremos, sobre cuyo centro se ejerce la presión a medir. El desplazamiento del centro proporciona la medida de presión (figura 4.13a). Se consiguen mayores desplazamientos si la lámina presenta rugosidades (figura 4.13b). Aunque el sistema de diafragma más usado consiste en una o varias láminas rugosas circulares conectadas rígidamente entre sí por soldadura, de forma que al aplicar presión, cada cápsula se deforma y la suma de los pequeños desplazamientos es amplificada por un juego de palancas (figura 4.13c). El sistema se proyecta de tal modo que, al aplicar presión, el movimiento se aproxima a una relación lineal en un intervalo de medida lo más amplio posible con un mínimo de histéresis y de desviación permanente en el cero del instrumento. El material del diafragma, es normalmente, aleación de níquel o inconel x. Se utiliza para pequeñas presiones.

Figura 4.13 : Transductores de diafragma.

•

Fuelle: es parecido al diafragma compuesto, pero de una sola pieza flexible axialmente, y puede dilatarse o contraerse con un desplazamiento considerable (figura 4.14). desplazamiento del fuelle

señal de presión representación esquemática

Figura 4.14 : Transductor de fuelle.

Hay que señalar que los elementos de fuelle se caracterizan por su larga duración, demostrada en ensayos en los que han soportado, sin deformación alguna, millones de ciclos de flexión. El material empleado para el fuelle es, usualmente, bronce fosforoso y se emplea para pequeñas presiones. La tabla 4.4 muestra una comparativa entre los distintos tipos de transductores mecánicos expuestos, donde se indican los rangos de presión a los que trabajan, su precisión y temperatura máxima de servicio. Campo de medida

Precisión en toda la escala

Temperatura máx. de servicio

Presión estática máxima

Tubo Bourdon

0,5 - 6000 bar

0,5 - 1 %

90 ºC

6000 bar

Espiral

0,5 - 2500 bar

0,5 - 1 %

90 ºC

2500 bar

Helicoidal

0,5 - 5000 bar

0,5 - 1 %

90 ºC

5000 bar

Diafragma

0,0045 - 2 bar

0,5 - 1 %

90 ºC

2 bar

Fuelle

0,009 - 2 bar

0,5 - 1 %

90 ºC

2 bar

Presión absoluta

0,008 - 1,0133 bar abs

1%

Ambiente

Atmosférica

Tabla 4.4: Comparativa de transductores mecánicos de presión.

99

Sistemas de medida y regulación

Transductores electromecánicos de presión. Los transductores electromecánicos de presión utilizan un elemento mecánico elástico en combinación con un transductor eléctrico que genera la señal eléctrica correspondiente. El elemento mecánico elástico puede ser cualquiera de los expuestos anteriormente (tabla 4.4). Los elementos electromecánicos de presión se clasifican según el principio de funcionamiento del transductor eléctrico que incorporan: •

Transductores resistivos: constituyen, sin duda, uno de los transmisores eléctricos más sencillos. Constan de un elemento elástico (tubo Bourdon, fuelle...) que varía la resistencia óhmica de un potenciómetro (o de un reostato) en función de la presión. Existen varios tipos de potenciómetros según sea el elemento de resistencia: potenciómetros de grafito, de resistencia bobinada, de película metálica y de plástico moldeado. En la figura 4.15 puede verse un transductor resistivo representativo que dispone de un muelle de referencia, el elemento de presión y un potenciómetro de precisión. El muelle de referencia es el corazón del transductor ya que su desviación, al comprimirse, debe ser únicamente una función de la presión y además debe ser independiente de la temperatura, de la aceleración y de otros factores ambientes externos.

R

al circuito de puente de Wheatstone

Figura 4.15 : Transductor resistivo.

El movimiento del elemento de presión se transmite a un brazo móvil aislado que se apoya sobre el pontenciómetro de precisión. Éste está conectado a un circuito de puente de Wheatstone. Los transductores resistivos son simples y su señal de salida es bastante potente como para proporcionar una corriente de salida suficiente para el funcionamiento de los instrumentos de indicación sin necesidad de amplificación. Sin embargo, son insensibles a pequeños movimientos del contacto del cursor, muy sensibles a vibraciones y presentan una estabilidad pobre en el tiempo. El intervalo de medida de estos transmisores corresponde al elemento mecánico de presión que utilizan (tubo Bourdon, fuelle...), la cual se puede consultar en la tabla 4.4. La precisión es del orden de 1-2 %. •

Transductores magnéticos: los cuales pueden ser de inductancia variable (figura 4.16) en los que el desplazamiento de un núcleo móvil dentro de una bobina aumenta la inductancia de ésta en forma casi proporcional a la porción metálica del núcleo contenida dentro de la bobina. El devanado de la bobina se alimenta con una corriente alterna y la f.e.m. de autoinducción generada se opone a la f.e.m. de alimentación, de tal modo que, al ir penetrando el núcleo móvil dentro de la bobina, la corriente presente en el circuito se va reduciendo por aumentar la f.e.m. de autoinducción. Los transductores de inductancia variable tienen las siguientes ventajas: no producen rozamiento en la medición, tienen una respuesta lineal, son pequeños y de construcción robusta y no precisan ajustes críticos en el montaje. Su precisión es del orden de ± 1 %. Otro tipo de transductor magnético es el de reluctancia variable (figura 4.17). Éste consiste en un imán permanente, o un electroimán, que crea un campo magnético dentro del cual se mueve una armadura de material magnético. El electroimán se alimenta con una fuerza magnetomotriz constante, por lo que al cambiar la posición de la armadura varía la reluctancia y, por lo tanto, el flujo magnético. Esta variación del flujo da lugar a una f.e.m. inducida en la bobina que es, por ello, proporcional al grado de desplazamiento de la armadura móvil. El movimiento de la armadura es pequeño (del orden de un grado como máximo en armaduras giratorias) sin contacto alguno con las partes fijas, por lo cual no existen rozamientos y se consigue eliminar la histéresis mecánica típica de otros instrumentos. Los transductores de reluctancia variable presentan una alta sensibilidad a las vibraciones, una estabilidad media en el tiempo y son sensibles a la temperatura. Su precisión es del orden de ± 0,5 %.

100

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

presión núcleo magnético móvil bobina fija

~

~ Figura 4.16 : Transductor de inductancia variable.

Ambos tipos de transductores posicionan el núcleo o la armadura móviles con un elemento de presión (tubo Bourdon, espiral...) y utilizan circuitos eléctricos bobinados de puente de inductancias de corriente alterna. presión núcleo magnético móvil imán permanente fijo

f.e.m. inducida por la variación de la reluctancia

desplazamiento del fuelle

Figura 4.17 : Transductor de reluctancia variable.

•

Transductores capacitivos: se basan en la variación de capacidad que se produce en un condensador al desplazarse una de sus placas por la aplicación de presión (figura 4.18). La placa móvil tiene forma de diafragma y se encuentra situada entre dos placas fijas. De este modo se tienen dos condensadores: uno de capacidad fija o de referencia y el otro de capacidad variable, que pueden compararse en circuitos oscilantes o bien en circuitos de puente de Wheatstone alimentados con corriente alterna. entrada de presión

~

placa fija diafragma

señal de salida

placa fija

~ Figura 4.18 : Transductor capacitivo instalado en un puente de Wheatstone.

Los transductores capacitivos se caracterizan por su pequeño tamaño y su construcción robusta, tienen un pequeño desplazamiento volumétrico y son adecuados para medidas estáticas y dinámicas. Su señal de salida es débil por lo que precisan de amplificadores con el riesgo de introducir errores en la medición. Son sensibles a las variaciones de temperatura y a las aceleraciones transversales y precisan de un ajuste de los circuitos oscilantes y de los puentes de c.a. a los que están acoplados. Su intervalo de medida es relativamente amplio (0,05 - 600 bar) y su precisión es del orden de ± 0,2 a ± 0,5 %.

101

Sistemas de medida y regulación

•

Galgas extensiométricas: se basan en la variación de longitud y de diámetro, y por lo tanto de resistencia, que tiene lugar cuando un hilo de resistencia (o semiconductor) se encuentra sometido a una tensión mecánica por la acción de una presión. Si la galga es de tipo laminar, del espesor de un sello de correos, se puede pegar a la superficie cuya presión se desea medir. Estas galgas laminares también se comercializan montadas sobre superficies cerámicas o de plástico (figura 4.19). presión ejercida deformación de la galga

presión ejercida

Figura 4.19 : Galgas extensiométricas montadas sobre distintas superficies. Se representan el sentido de la presión ejercida y la deformación sufrida por la galga.

La galga forma parte de un puente de Wheatstone (figura 4.20) y cuando está sin tensión mecánica tiene una resistencia eléctrica determinada. En esta situación, se aplica al circuito una tensión eléctrica nominal y se ajusta el puente para estas condiciones.

galga extensiométrica

señal de salida

Figura 4.20 : Galga extensiométrica instalada en un puente de Wheatstone.

Posteriormente, cualquier variación de presión que deforme la galga (o su soporte), cambia su resistencia. De esta forma se desequilibra el puente, dando así lugar a la medida eléctrica relacionada con la presión causante del desequilibrio. El intervalo de medida de estos transductores varía de 0 -3.000 bar y su precisión es del orden del ± 0,5 %. •

Transductores piezoeléctricos: los elementos piezoeléctricos son materiales cristalinos que, al deformarse físicamente por la acción de una presión, generan una señal eléctrica. Dentro de los transductores electromecánicos expuestos hasta ahora, éste es el único que se puede clasificar como transductor generador o activo. Dos materiales típicos en los transductores piezoeléctricos son el cuarzo y el titanato de bario, capaces de soportar temperaturas del orden de 150 ºC en servicio con tinuo y de 230 ºC en servicio intermitente. Son elementos ligeros, de pequeño tamaño y de construcción robusta. Su señal de respuesta a una variación de presión es lineal y son adecuados para medidas dinámicas, al ser capaces de respuestas frecuenciales de hasta un millón de ciclos por segundo. Tienen la desventaja de ser sensibles a los cambios en la temperatura y de experimentar deriva en el cero y precisar ajuste de impedancias en caso de fuerte choque. Asimismo, su señal de salida es relativamente débil, por lo que precisan amplificadores y acondicionadores de señal que pueden introducir errores en la medición.

En la tabla 4.5 se exponen las características de los elementos electromecánicos descritos anteriormente.

102

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

Margen (bar)

Precisión

Estabilidad en el tiempo

Sobrecarga

Temperatura máxima de servicio

Nivel de señal de salida

Impedancia de salida

Resistivos

0 - 300

1-2%

Mala

150 %

80 ºC

Variación resistiva

de 0 a valor total

Alta

De inductancia variable

0 - 300

0,5 %

Media

150 %

80 ºC

0-5V

2 kΩ

Alta

De reluctancia variable

0 - 300

1%

Media

150 %

80 ºC

0-5V

2 kΩ

Alta

0,05 - 600

0,2 - 0,5 %

Media a buena

150 %

150 ºC

0-5V

5 kΩ

Media

Galgas extensiométricas

0 - 3000

0,5 %

Mala

150 %

120 ºC

0 - 35 mV

350 Ω

Alta

Piezoeléctricos

0,1 - 600

1%

Mala

200 %

150 ºC

0,6 V/bar

1000 MΩ

Baja

Capacitivos

Sensibilidad a vibraciones

Tabla 4.5: Comparativa de transductores electromecánicos de presión.

4.3.3 Transductores de caudal. La variable caudal es una medida aplicada a fluidos, bien sean líquidos o gases. Por definición, cuando se mide caudal se está obteniendo una medida de un volumen que fluye por unidad de tiempo. La unidad de medida en el S.I. es el metro cúbico por segundo (m3/s). El obtener una información fiable sobre el caudal de fluidos, así como el control de esta magnitud, es de gran importancia en procesos industriales, en laboratorios y en plantas piloto. Existen varios métodos para efectuar la medida de caudal según si éste es de tipo volumétrico o másico. Entre los transductores para medida de caudal más importantes figuran los que se indican en la siguiente tabla Medida

Sistema o principio físico

Presión diferencial

• • • • •

Tubo Venturi Tobera Placa - orificio (diafragma) Tubo Pilot Tubo Annubar

Area variable

•

Rotámetro

• • •

Turbina Sondas ultrasónicas Vertedero con flotador en canales abiertos

Tensión inducida

•

Medidor magnético

Fuerza

•

Placa de impacto

Desplazamiento positivo

• • • • •

Disco giratorio Pistón oscilante Pistón alternativo Medidor rotativo Medidor de paredes deformables

•

Medidor de frecuencia, de termistancia, o de ultrasonidos.

•

Válvula oscilante

•

Diferencia de temperatura en dos sondas de resistencia

Momento

• •

Medidor axial Medidor axial de doble turbina

Fuerza de Coriolis

•

Tubo en vibración

Velocidad

Caudal volumétrico

Elemento o transductor

Torbellino Oscilante Compensación de presión y temperatura en medidores volumétricos Caudal másico

Térmico

Tabla 4.6: Tecnologías de transductores para medida de caudal.

103

Sistemas de medida y regulación

Dada la cantidad de técnicas distintas para medir caudales, en este apartado sólo se tratarán aquellos transductores más representativos en los procesos de control, o bien, aquéllos cuyo principio físico de funcionamiento permiten el conocimiento posterior de otros transductores e instrumentos más complejos. Así pues, los elementos a tratar serán: •

Transductores de presión diferencial.

•

Transductores de área variable.

Transductores de presión diferencial. Todos los instrumentos de esta clase constan esencialmente de dos elementos: elemento deprimógeno, es decir, un elemento que provoca una caída de presión, y un manómetro diferencial, que mide ésta última. Es característico en estos instrumentos que el caudal circulante es proporcional a la raíz cuadrada de la caída de presión provocada por el elemento deprimógeno y es preciso extraer esta raíz cuadrada para medir el caudal. Por eso, los instrumentos estándar para medir el caudal a partir de la depresión son los manómetros diferenciales de raíz cuadrada, que son aquellos manómetros que incorporan un elemento que extrae la raíz cuadrada y da la lectura directamente en unidades de caudal. Cualquier estrechamiento de flujo, provocado por una restricción o estrechamiento del área de paso, puede servir de elemento deprimógeno. Los transductores basados en este principio se denominan transductores de constricción. Lo característico de una constricción o estrechamiento es que la caída de presión en la misma es mayor (lo que contribuye a la sensibilidad del transductor) que la pérdida de carga remanente. En los transductores permanentemente instalados la pérdida de carga remanente es un factor económico adverso muy importante y, en consecuencia, se debe escoger aquél que reduzca dicha pérdida al mínimo. Los transductores de constricción más importantes y ya clásicos en la medida de caudales con líquidos y gases son tres: el tubo Venturi, la tobera y la placa-orifico o diafragma. A continuación, se tratan cada uno de ellos: •

Tubo Venturi: este instrumento, representado en la figura 4.21, es un elemento deprimógeno cuya función es provocar una diferencia de presiones. Siendo el caudal Q una función de dicha diferencia, si se mide ésta se puede calcular el valor de Q.

Tubo Venturi tubería fluido

tubería 1

tubo de alta presión

fluido

2

tubo de baja presión

x

diferencia de presiones

Manómetro diferencial

Figura 4.21 : Tubo Venturi con manómetro diferencial.

El tubo Venturi consta de tres partes: una convergente, otra de sección mínima o garganta y, finalmente, una tercera parte divergente. La sección transversal del Venturi suele ser circular, pero puede tener cualquier otra forma. Se mide la diferencia de presiones entre el punto 1 (figura 4.21) aguas arriba de la parte convergente y el punto 2, garganta del Venturi, utilizando un solo manómetro diferencial, como en la se muestra en la figura 4.21, o dos manómetros simples.

104

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

Despreciando, en una primera aproximación, las pérdidas de la instalación, la ecuación de Bernoulli para un tubo de corriente de fluido escrita entre las secciones 1 y 2 resultará: 2

p1 ρ ⋅g

v1

+

2⋅g

+ z1 =

2

p2 ρ ⋅g

+

v2

2⋅g

+ z2

(4.3.3.1)

donde ρ es la densidad del fluido en kg/m3, g es la aceleración de la gravedad (9,81 m/s2), p1 y p2 son las presiones en los puntos 1 y 2 expresadas en Pa (N/m2), v1 y v2 es la velocidad del fluido en los puntos 1 y 2 expresadas en m/s y z1 y z2 es la altura de fluido (con respecto al nivel de referencia) en los puntos 1 y 2 expresadas en metros (m). Dado que el caudal debe ser el mismo en todo el tramo de tubería (no se produce ni creación ni destrucción de materia), de la ecuación de continuidad entre los mismos puntos 1 y 2 se obtendrá: v1 ⋅ A1 = v 2 ⋅ A2

(4.3.3.2)

donde A1 y A2 son las secciones o áreas efectivas del fluido en los puntos 1 y 2 expresadas en m2. Estas secciones se pueden tomar como las propias secciones del tubo Venturi, sin considerar las cámaras anulares (figura 4.21), en los puntos mencionados. A partir de la expresión de la ecuación (4.3.3.2), se puede determinar el valor de v1 en función de v2: v1 = v 2 ⋅

A2

(4.3.3.3)

A1

Sustituyendo este valor en la ecuación (4.3.3.1), se tiene: 2 2 p2 v2  +z = + + z2 1  ρ ⋅g 2⋅g 

(4.3.3.4)

 p   p  1 2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅  + z1  −  + z 2     ρ ⋅g   ρ ⋅ g

(4.3.3.5)

A 2 + ⋅ ρ ⋅ g 2 ⋅ g  A1 2

p1

v2

Y despejando v2 se tiene: v2 =

1

2    Ahora bien, el caudal Q que pasa por el Venturi será: A 2 1−  A  1

Q = v 2 ⋅ A2 =

 p   p  1 2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅  + z1  −  + z 2     ρ ⋅g   ρ ⋅ g

A2

(4.3.3.6) 2    Si la disposición del tubo Venturi es totalmente horizontal, se tiene que z1 = z2 , resultando así que el caudal es proporcional a la raíz cuadrada de la diferencia de presiones, tal y como ya se había comentado anteriormente: A 2 1−   A1

Q=

A2

Q=

Cv ⋅ A2 A 2 1−  A  1

2   

⋅

2

(

)

(

)

⋅ p1 − p 2 (4.3.3.7) ρ     De todas formas, en esta expresión no se han considerado las pérdidas. En la realidad, la ecuación de caudal (4.3.3.7) se ve afectada por un coeficiente reductor Cv, que depende de la velocidad del fluido. Queda la expresión de la forma: A 2 1− A  1

2

⋅

2 ρ

⋅ p1 − p 2

(4.3.3.8)

105

Sistemas de medida y regulación

Este coeficiente se puede tomar, como valor indicativo, 0,985 si el Venturi es nuevo y 0,98 si el Venturi ya ha estado en servicio. Por otra parte, se define como coeficiente de caudal Cq, a la expresión: Cq =

Cv

(4.3.3.9)

2   

A 2 1−  A  1

resultando la expresión de la ecuación (4.3.3.8) de la forma: Q = C q ⋅ A2 ⋅

2 ρ

(

⋅ p1 − p 2

)

(4.3.3.10)

El ajuste del tubo Venturi, una vez instalado, se realiza determinando el valor de Cq. Este coeficiente se calcula de forma experimental. A esta operación se le denomina tarado del tubo Venturi. Cuando la diferencia de cotas de altura, z1 y z2, ya no sea nula, es decir, que el tubo no se halle en posición horizontal, se puede buscar una expresión que relacione el caudal con la altura x marcada por el manómetro diferencial (figura 4.21). Partiendo de la ecuación (4.3.3.6), y considerando el coeficiente de caudal Cq, se tiene que:  p   p  1 2 Q = Cq ⋅ A2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅  + z1  −  + z 2    ρ ⋅g   ρ ⋅ g

p A los términos

ρ ⋅g

(4.3.3.11)

+ z se les denomina altura piezométrica (h), por lo que la ecuación anterior queda:

(

Q = Cq ⋅ A2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ h1 − h 2

)

(4.3.3.12)

En el interior del manómetro, tanto el fluido como el líquido manométrico se hallan en reposo y, por tanto, sus velocidades son nulas. Cuando circula el fluido por la tubería, el líquido manométrico y el fluido que queda alojado en el interior del manómetro alcanzan un equilibrio. Para cada caudal de fluido, el líquido manométrico marcará su equilibrio con una diferencia de alturas (x) entre el lado de alta y el lado de baja presión. La ecuación de presiones entre los puntos 1 y 2 desde el punto de vista del manómetro diferencial, se puede expresar como: p1 + ρ ⋅ g ⋅ z1 = p 2 + ρ ⋅ g ⋅ z 2 − ρ ⋅ g ⋅ x + ρ m ⋅ g ⋅ x

( p1 + ρ ⋅ g ⋅ z1 ) − ( p2 + ρ ⋅ g ⋅ z2 ) = g ⋅ x ⋅ ( ρm − ρ ) ρ m

 − 1  ρ 

( p1 + ρ ⋅ g ⋅ z1 ) − ( p2 + ρ ⋅ g ⋅ z 2 ) = g ⋅ x ⋅ ρ ⋅ 

ρ   p   p   1 + z1  −  2 + z2  = x ⋅  m − 1   ρ ⋅g   ρ ⋅g   ρ  ρ  m h1 − h2 = x ⋅  − 1   ρ 

;

; ; ;

;

(4.3.3.13)

donde ρm es la densidad del líquido manométrico y x es la diferencia de alturas que marca el manómetro diferencial. Ahora, sustituyendo la ecuación (4.3.3.13) en la ecuación (4.3.3.12), se obtiene una expresión del caudal, en función de la lectura del manómetro (diferencia de alturas x). ρ  m Q = Cq ⋅ A2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ x ⋅  − 1  ρ 

106

(4.3.3.14)

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

Las ecuaciones (4.3.3.10) y (4.3.3.14) son las dos relaciones fundamentales entre la variable de proceso a medir (caudal) y las señales de salida obtenidas por el transductor (diferencia de presiones y lectura del manómetro respectivamente). •

Tobera: las toberas, en general, son conductos convergentes en la dirección del flujo que producen un aumento de velocidad y una disminución de la presión. Las toberas se utilizan en la técnica para múltiples fines. Un ejemplo es su utilización como eyectores e inyectores de una turbina tipo Pelton (turbina para centrales eléctricas con salto de agua de gran altura). Se utilizan también para medir caudales. La figura 4.22 es un esquema de una tobera de medida. Como se ve, una tobera de medida no es más que un Venturi al que le falta la parte divergente. Es, por tanto, más económica que un Venturi, pero tiene más pérdidas y es más cara en su funcionamiento (las pérdidas se traducen en más kWh en el contador y más dinero). Experimentalmente se ha comprobado que la presión en el punto 2 es muy próxima a la que reina donde se ha hecho la toma de baja presión (ver figura 4.22), es decir, en la pared de la tubería, no en la tobera misma donde sería más difícil de construir. El error que pudiera surgir por este motivo queda absorbido por el coeficiente de caudal Cq. Las ecuaciones (4.3.3.10) y (4.3.3.14) son, obviamente, aplicables en este caso. Tobera

1

2 fluido

fluido

tubo de alta presión

tubo de baja presión

Figura 4.22 : Tobera.

Un tarado de la tobera será también aquí necesario para determinar Cq si la tobera no está construida según normas. •

Placa-orificio o diafragma: un diafragma (figura 4.23) es una placa de metal, bronce, acero inoxidable, etc., que lleva un orificio circular de diámetro d concéntrico con el eje de la tubería de diámetro D, donde se instala entre dos bridas provistas de las juntas de estanqueidad convenientes. Por su sencillez de construcción son muy usados para medir caudales tanto en líquidos como gases. Resultan aún más económicos de instalación que las toberas, pero tienen aún más pérdidas. En los puntos 1 y 2 se hacen las tomas piezométricas que se conectan a un manómetro diferencial, como en la figura 4.21. Diafragma

1 fluido

d

tubo de alta presión

2

D

fluido

tubo de baja presión

Figura 4.23 : Diafragma o placa-orificio.

La fórmula para calcular el caudal es la misma que para el Venturi, donde Cq se ha de obtener también experimentalmente (tarado del diafragma). Los Venturis, las toberas y los diafragmas normalizados son muy utilizados en la práctica para medir caudales. De los tres instrumentos descritos en las tres últimas secciones, el diafragma es el más barato y el

107

Sistemas de medida y regulación

Venturi el más caro, ocupando la tobera una posición intermedia. En contraposición, el diafragma produce una pérdida de carga que es el 50% de la presión diferencial, mientras que esta pérdida queda reducida a un 10 o 20% en el Venturi, ocupando en la tobera una posición intermedia.

Transductores de área variable. Los más importantes de este tipo son los rotámetros. La figura 4.24a representa un rotámetro simple, el cual consta, esencialmente, de un tubo cónico vertical de vidrio (también puede ser de metal o de plástico), en cuyo interior puede moverse libremente, arriba y abajo, un flotador. Al circular el líquido de abajo arriba, el flotador ocupa una posición tal que las tres fuerzas verticales que actúan sobre el mismo, a saber, el peso (hacia abajo), el empuje hidrodinámico y la resistencia (ambas hacia arriba), están en equilibrio. Al aumentar el caudal, la presión dinámica sobre el flotador aumenta y éste sube; pero, al mismo tiempo, el área de paso aumenta, con lo que la presión dinámica disminuye, estableciéndose de nuevo el equilibrio, pero a una altura mayor. El flotador tiene ranuras inclinadas en su periferia, gracias a las cuales el líquido al pasar lo hace girar, con lo que disminuye el rozamiento. La resistencia aumenta con la viscosidad, razón por la cual el instrumento ha de ser tarado para cada líquido determinado. Con instrumentos de este tipo pueden medirse caudales desde 0,1 dm3/h hasta 100 m3/h. El instrumento se adapta a la medición de caudales con líquidos y con gases.

E tubo cónico

F r

nivel de equilibrio P

x

fluido

flotador

nivel de referencia

a)

b)

Figura 4.24 : Rotámetro simple y principio de funcionamiento.

Cuando el flotador alcanza el equilibrio para un caudal Q determinado, las fuerzas que actúan (figura 4.24b) se expresan con la relación: F+E=P

(4.3.3.15)

donde F es la fuerza de empuje hidrodinámico del fluido sobre el flotador, E es la resistencia o fuerza de arrastre sobre el flotador y P es el peso del flotador. Por otra parte, cada una de estas fuerzas se describen como: F = Vf ⋅ ρ l ⋅ g

E = Cd ⋅ ρ l ⋅ Af ⋅

;

v

2

;

g

P = Vf ⋅ ρ f ⋅ g

(4.3.3.16)

donde: •

Vf : es el volumen del flotador.

•

ρ f : es la densidad del flotador.

•

ρ l : es la densidad del fluido.

•

Cd : es el coeficiente de arrastre del fluido sobre el flotador y que depende de la viscosidad del fluido.

•

Af : es el área de sección del flotador.

•

v : es la velocidad del fluido.

Sustituyendo las expresiones de las fuerzas en la ecuación (4.3.3.15), se obtiene: v=

108

(

2 ⋅ g ⋅ Vf ⋅ ρf − ρl C d ⋅ ρ l ⋅ Af

)

(4.3.3.17)

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

Si se denomina a 1 / Cd coeficiente de descarga (C), resulta: v =C⋅

(

2 ⋅ g ⋅ Vf ⋅ ρ f − ρ l

)

(4.3.3.18)

ρ l ⋅ Af

El caudal Q es igual a: Q = v·At

(4.3.3.19)

donde At es el área variable (depende de la posición de equilibrio del flotador) del interior del tubo. El caudal, por tanto, se puede describir de la siguiente manera: Q = At ⋅ C ⋅

(

2 ⋅ g ⋅ Vf ⋅ ρ f − ρ l

)

(4.3.3.20)

ρ l ⋅ Af

Como la señal de salida que se obtiene del rotámetro es una posición vertical (x), se puede representar la sección del interior del tubo en función de dicha cota vertical (figura 4.24b): At = π ⋅ r

2

x 2 = π ⋅  − r0  b 

(4.3.3.21)

En esta expresión, r representa el radio interior del tubo correspondiente a la cota vertical que ocupa el flotador cuando se produce el equilibrio de fuerzas, r0 es el radio mínimo del extremo inferior del tubo y b es la pendiente de inclinación de la pared del tubo. Sustituyendo (4.3.3.21) en la ecuación (4.3.3.20) se obtiene una expresión del caudal en función de la lectura de posición (x) que marque el flotador:

(

x 2 2 ⋅ g ⋅ Vf ⋅ ρ f − ρ l Q = π ⋅  + r0  ⋅ C ⋅ b  ρ l ⋅ Af

)

(4.3.3.22)

Si se dota al flotador de un imán, su movimiento lineal puede aplicarse al exterior del tubo para múltiples fines (accionamiento de un contacto eléctrico, desplazamiento de una aguja indicadora, variación de la reluctancia de un circuito magnético,…).

4.3.4 Transductores de nivel. La medida de nivel es, junto con la presión, volumen, velocidad y caudal, de gran importancia en hidrografía, hidráulica y en los procesos industriales. Aplicaciones frecuentes son las medidas de los niveles en tanques y recipientes de todos tipos, en canales, pozos, exclusas, vertederos, etc. Esta medida sirve para determinar el contenido de los tanques, para accionar dispositivos de alarma y seguridad en los recipientes a presión, para el accionamiento de válvulas y vertederos en la regulación de las centrales hidroeléctricas, para la determinación de la altura de la lámina en los vertederos de medidas, etc. En la industria química, la medida de nivel se requiere para determinar la cantidad exacta de líquido que hay que administrar en un proceso de mezcla, etc. Finalmente, en la destilación del petróleo, en las centrales termoeléctricas..., se requiere con frecuencia la medición del nivel de fluido en los procesos de destilación, calderas, etc. La medida del nivel puede ser necesaria con mucha o poca precisión, con mera indicación del nivel instantáneo o con registro continuo de la medida, con medición local o con transmisión a distancia de unos centenares o miles de metros. Los instrumentos de nivel pueden dividirse en medidores de nivel de líquidos y de sólidos, que son dos mediciones claramente diferenciadas y que se deben tratar separadamente por sus distintas peculiaridades y las aplicaciones particulares de las que son objeto. Por cuestiones de espacio, aquí se va a dar una breve idea de los instrumentos o medidores de nivel de líquidos más importantes, relegando su estudio más detallado a los manuales de instrumentación. Los medidores de nivel de líquidos se pueden clasificar según su principio físico de medida de nivel: •

Instrumentos de medida directa: trabajan midiendo la altura de líquido sobre una línea de referencia.

•

Instrumentos de medida de presión hidrostática: miden la presión ejercida sobre un manómetro al aumentar o disminuir el nivel de líquido.

109

Sistemas de medida y regulación

•

Instrumentos de medida de desplazamiento: son aquéllos que miden el desplazamiento de un flotador producido por el empuje del propio líquido contenido en el tanque del proceso.

•

Instrumentos de medida eléctrica: miden aprovechando las características eléctricas del líquido.

Instrumentos de medida directa. Los instrumentos o transductores de nivel que efectúan una medida directa más representativos son: •

Medidor de sonda: consiste en una varilla o regla graduada, de la longitud conveniente para introducirla dentro del depósito. La determinación del nivel se efectúa por lectura directa de la longitud mojada por el líquido (figura 4.25a). En el momento de la lectura, el tanque debe estar abierto a presión atmosférica. Se utiliza generalmente en tanques de fuel-oil o gasolina. varilla o regla graduada

depósito

válvula de seguridad

nivel del líquido válvula de seguridad

válvula de purga

a)

polea

b)

peso o indicador

flotador

c) Figura 4.25 : Transductores de nivel para medida directa.

•

Nivel de cristal: consiste en un tubo de vidrio con sus extremos conectados a bloques metálicos y cerrados por prensaestopas que están unidos al tanque generalmente mediante tres válvulas, dos de cierre de seguridad en los extremos del tubo para impedir el escape del líquido en caso de rotura del cristal y una de purga (figura 4.25b). En un recipiente a presión (por encima de 7 bar) este método no sería aplicable, siendo necesario recurrir a tubos de vidrio grueso de sección rectangular y protegidos por una armadura metálica. Para mayor seguridad, las válvulas de cierre incorporan una pequeña bola que actúa como válvula de retención en caso de rotura del vidrio. Los niveles de vidrio son susceptibles de ensuciarse por las características del líquido que miden, impidiendo que el nivel pueda apreciarse claramente. Entre los líquidos que presentan este inconveniente figuran el caramelo y los líquidos pegajosos. El nivel de vidrio permite sólo una indicación local, si bien pueden emplearse espejos para lectura a distancias limitadas o bien utilizar cámaras de televisión para mayores distancias de transmisión. Su ventaja principal es la gran seguridad que ofrece en la lectura del nivel del líquido, pudiendo contrastar y controlar con ellos la lectura de los otros tipos de aparatos de nivel.

•

110

Instrumentos de flotador: consisten en un flotador situado en el seno del líquido y conectado al exterior del tanque indicando directamente el nivel. La conexión puede ser directa, magnética o hidráulica.

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

El flotador conectado directamente (figura 4.25c) está unido por un cable que desliza en un juego de poleas a un índice exterior que señala sobre una escala graduada. Es el modelo más antiguo y el más utilizado en tanques de gran capacidad tales como los de fuel-oil y gas-oil. Tiene el inconveniente de que las partes móviles están expuestas al fluido y pueden romperse y de que el tanque no puede estar sometido a presión. Además, el flotador debe mantenerse limpio. Los instrumentos de flotador tienen una precisión de ± 0,5 %.

Instrumentos de medida de presión hidrostática. El medidor manométrico es uno de los instrumentos de medida de presión hidrostática más representativos. Consiste en un manómetro conectado directamente a la parte inferior del tanque. En la figura 4.26 puede verse un instrumento de este tipo en el que se pueden observar una válvula de cierre para mantenimiento, y un pote de decantación con una válvula de purga. El manómetro mide la presión debida a la altura de líquido h que existe entre el nivel del tanque y el eje del instrumento. Así pues, el campo de medida del instrumento será de 0 a h·γ·g (pascales), donde h es la altura de líquido en metros, γ es la densidad del líquido en kg/m3 y g es 9,8 m/s2

nivel máximo manómetro

h nivel mínimo

válvula de purga

pote de decantación

Figura 4.26 : Medidor de nivel manométrico.

Como las alturas son limitadas, el campo de medida resulta bastante pequeño, de modo que el manómetro utilizado tiene un elemento de medida del tipo fuelle. El instrumento sólo sirve para fluidos limpios ya que si el líquido es corrosivo, coagula o bien tiene sólidos en suspensión, el fuelle puede destruirse o bien bloquearse perdiendo su elasticidad. La medida está limitada a tanques abiertos y el nivel viene influido por las variaciones de densidad del líquido.

Instrumentos de medida de desplazamiento. El medidor de nivel de tipo desplazamiento (figura 4.27) consiste en un flotador parcialmente sumergido en el líquido y conectado mediante un brazo a un tubo de torsión unido rígidamente al tanque. Dentro del tubo y unido a su extremo libre se encuentra una varilla que transmite el movimiento de giro a un transmisor exterior al tanque. El tubo de torsión se caracteriza, fundamentalmente, porque el ángulo de rotación de su extremo libre es directamente proporcional a la fuerza aplicada, es decir, al momento ejercido por el flotador. El movimiento angular del extremo libre del tubo de torsión es muy pequeño, del orden de los 9º. El tubo proporciona además un cierre estanco entre el flotador y el exterior del tanque (donde se dispone el instrumento receptor del par transmitido). La precisión de este tipo de instrumentos es del orden de ± 0,5 % a ± 1 % y el intervalo de medida puede variar de 0 - 300 a 0 - 2.000 mm c. de a. El instrumento puede utilizarse tanto en tanques abiertos como cerrados a presión o al vacío. Además tiene una buena sensibilidad pero presenta el inconveniente del riesgo de adherencia de sólidos o de crecimiento de cristales en el flotador, lo cual afecta a la precisión de la medida. Los instrumentos de medida de desplazamiento son aptos sólo para la medida de pequeñas diferencias de nivel (2.000 mm máximo estándar).

111

Sistemas de medida y regulación

panel indicador

movimiento rotacional del tubo de torsión palanca

varilla y aguja indicadora

tubo de torsión

movimiento lineal del flotador

flotador

nivel del líquido

Figura 4.27 : Medidor de nivel de desplazamiento.

Instrumentos de medida eléctrica. Son varias las características eléctricas de los líquidos que se pueden utilizar para medir el nivel de los mismos, como son la conductividad, la capacidad, la propagación de ondas ultrasónicas, radiación gamma… El sistema más frecuente es el medidor de nivel conductivo o resistivo (figura 4.28) consiste en uno o varios electrodos y un relé eléctrico o electrónico que es excitado cuando el líquido moja a dichos electrodos. El líquido debe ser lo suficientemente conductor como para excitar el circuito eléctrico, de este modo, el aparato puede discriminar la separación entre el líquido y su vapor, tal como ocurre, por ejemplo, en el nivel de agua de una caldera de vapor. La impedancia máxima (o conductividad mínima) es del orden de los 20 MΩ/cm, y la tensión de alimentación es alterna, para evitar fenómenos de oxidación en las sondas por causa del fenómeno de la electrólisis. Cuando el líquido moja los electrodos se cierra el circuito eléctrico y circula una corriente del orden de los 2 mA. El relé electrónico dispone de un temporizador de retardo que impide su enclavamiento ante una ola del nivel del líquido o ante cualquier perturbación momentánea.

+

sondas

A1 detección de nivel

nivel máximo 12

nivel mínimo sonda común detector de nivel

depósito de líquido

A2

-

14

11 relé de salida

esquema eléctrico del detector de nivel

Figura 4.28 : Transductor o medidor de nivel conductivo.

El instrumento se emplea como alarma o control de nivel alto y bajo (figura 4.28), utiliza relés eléctricos para líquidos con buena conductividad y relés electrónicos para líquidos con baja conductividad. Montado en grupos verticales de 24 o más electrodos, puede complementar los típicos niveles de vidrio de las calderas y se presta a la transmisión del nivel a la sala de control y a la adición de las alarmas correspondientes.

112

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

El instrumento es versátil, sin partes móviles, su campo de medida es grande con la limitación física de la longitud de los electrodos. El líquido contenido en el tanque debe tener un mínimo de conductividad y si su naturaleza lo exige, la corriente debe ser baja para evitar la deterioración del producto. Por otro lado, conviene que la sensibilidad del aparato sea ajustable para detectar la presencia de espuma en caso necesario.

4.3.5 Transductores de temperatura. La temperatura es una de las variables de proceso más utilizadas. Es un dato muy significativo en toda clase de procesos termodinámicos (climatización, producción de vapor, máquinas de combustión, calentamiento de cuerpos…) y en cualquier otro tipo de proceso donde el control de la temperatura representa una medida de seguridad (protección de motores eléctricos, transformadores refrigerados por aceite, protección de rodamientos…). Las limitaciones del sistema de medida a utilizar quedan definidas en cada tipo de aplicación por la precisión, por la velocidad de captación de la temperatura, por la distancia entre el elemento de medida y el aparato receptor y por el tipo de instrumento indicador, registrador o controlador necesarios. Es importante señalar que es esencial una comprensión clara de los distintos métodos de medida con sus ventajas y desventajas propias para lograr una selección óptima del sistema más adecuado. Los transductores de temperatura se basan en diversos principios físicos relacionados con la temperatura, entre los cuales figuran: •

Variaciones en volumen o en estado de los cuerpos (sólidos, líquidos o gases).

•

Variación de resistencia de un conductor (sondas de resistencia).

•

Variación de resistencia de un semiconductor (termistores).

•

Fuerza electromotriz creada en la unión de dos metales distintos (termopares).

•

Intensidad de la radiación total emitida por el cuerpo (pirómetros de radiación).

•

Otros fenómenos utilizados en laboratorio (velocidad del sonido en un gas, frecuencia de resonancia de un cristal...).

En base a estos fenómenos físicos, se emplean los instrumentos siguientes: termómetros de vidrio, termómetros bimetálicos, elementos primarios de bulbo y capilar rellenos de líquido, gas o vapor, termopares, pirómetros de radiación, termómetros de resistencia, termómetros ultrasónicos y termómetros de cristal de cuarzo. En la tabla 4.7 se muestran los diversos instrumentos de medida y su campo de aplicación. Campo de aplicación Congelación del agua

Ebullición del agua

Bulbo de mercurio

Tipo de instrumento o transductor

de 0 a -50 ºC

de 0 a 700 ºC

Bulbo de gas

de 0 a -100 ºC

de 0 a 600 ºC

Bulbo de vapor

de 0 a -50 ºC

de 0 a 300 ºC

Vidrio y bimetálico

de 0 a -200 ºC

de 0 a 500 ºC

Sonda de resistencia de níquel

de 0 a -80 ºC

de 0 a 300 ºC

de 0 a -200 ºC

de 0 a 850 ºC

Sonda de resistencia de platino Sensor de germanio Termistor

de -150 a -272 ºC de 0 a -75 ºC

de 0 a 200 ºC

Cromo-constantán

0 ºC

de 0 a 980 ºC

Cobre-constantán

de 0 a -180 ºC

de 0 a 370 ºC

Hierro-constantán

de 0 a -180 ºC

de 0 a 760 ºC

Cromo-aluminio

de 0 a -180 ºC

de 0 a 1.260 ºC

Platino-platino / rodio Radiación bajo campo

de 0 a 1.750 ºC 0 ºC

de 0 a 650 ºC

Radiación alto campo

de 400 a 5.000 ºC

Pirómetro óptico

de 500 a 4.000 ºC

Tabla 4.7: Transductores para medida de temperatura y campo de aplicación.

113

Sistemas de medida y regulación

A continuación se expondrán los transductores para medida de temperatura más representativos de los procesos de control.

Transductor bimetálico. Los transductores bimetálicos se fundan en el distinto coeficiente de dilatación de dos metales diferentes, de tal forma que convierten las variaciones de temperatura en variaciones de movimiento. Los materiales empleados son tales como latón, monel o acero y una aleación de ferroníquel o Invar (35,5 % de níquel) laminados conjuntamente. Las láminas bimetálicas pueden ser rectas o curvas, formando espirales o hélices. Un termómetro bimetálico típico contiene pocas partes móviles, sólo la aguja indicadora sujeta al extremo libre de la espiral o de la hélice y el propio elemento bimetálico. No hay engranajes que exijan un mantenimiento. La precisión del instrumento es de ± 1 % y su campo de medida de -200 a +500 ºC.

Transductor de bulbo y capilar Los transductores tipo bulbo consisten, esencialmente, en un bulbo conectado por un capilar a una espiral. Cuando la temperatura del bulbo cambia, el gas o el líquido en el bulbo se expanden y la espiral tiende a desenrollarse moviendo la aguja sobre la escala para indicar la elevación de la temperatura en el bulbo (figura 4.29). instrumento indicador

ºC

espiral

capilar

bulbo fuente de calor o frío

Figura 4.29 : Transductor de bulbo y capilar.

Hay cuatro clases de este tipo de transductores: •

Clase I: Transductores accionados por líquido.

•

Clase II: Transductores accionados por vapor.

•

Clase III: Transductores accionados por gas.

•

Clase IV: Transductores accionados por mercurio.

Los transductores accionados por líquido tienen el sistema de medición lleno de líquido y como su dilatación es proporcional a la temperatura, la escala de medición resulta uniforme. El volumen del líquido depende, principalmente, de la temperatura del bulbo, de la del capilar y de la del elemento de medición (temperatura ambiente). Por lo tanto, para capilares cortos, hasta 5 m, sólo hay que compensar el elemento de medición para evitar errores debidos a variaciones de la temperatura ambiente (clase IB). Para capilares más largos hay que compensar también el volumen del tubo capilar (clase lA). Los líquidos que se utilizan son alcohol y éter. El campo de medición de estos instrumentos varía entre 150 hasta 500 ºC, dependiendo del tipo de líquido que se emplee.

114

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

Los transductores accionados por vapor contienen un líquido volátil y se basan en el principio de presión de vapor. Al subir la temperatura, aumenta la presión de vapor del liquido. La escala de medición no es uniforme, sino que las distancias entre divisiones van aumentando hacia la parte más alta de la escala. La presión en el sistema depende, solamente, de la temperatura en el bulbo. Por consiguiente, no hay necesidad de compensar la temperatura ambiente. Si la temperatura del bulbo es mayor que la temperatura ambiente, el capilar y el elemento de medición están llenos de líquido (clase lIA), siendo necesario corregir la indicación en la diferencia de alturas entre el bulbo y el elemento de medición. Si la temperatura del bulbo es más baja que la ambiente, el sistema se llena de vapor (clase IIB). La clase IIC opera con la temperatura del bulbo superior e inferior a la temperatura ambiente y la clase lID trabaja con la temperatura del bulbo superior, igual e inferior a la ambiente, empleando otro líquido no volátil para transmitir la presión del vapor. Los transductores accionados por gas están completamente llenos de gas. Al subir la temperatura, la presión de gas aumenta proporcionalmente y, por lo tanto, estos transductores tienen escalas lineales. La presión en el sistema depende, principalmente, de la temperatura del bulbo, pero también de la temperatura del tubo capilar y del elemento de medición, siendo necesario compensar la temperatura del ambiente en el sistema de medición. Los transductores accionados por mercurio (clase IV) son similares a los transductores accionados por líquidos (clase I). Pueden tener compensación en la caja y compensación total.

Transductores resistivos. Estos termómetros de resistencia, en su mayoría, están constituidos por alambre metálico. La resistencia de los metales aumenta con la temperatura de una forma casi lineal. Para dicha relación lineal se cumple que: Rt = R0 ⋅ (1 + α ⋅ θ )

(4.3.5.1)

donde Rt es la resistencia de una longitud de cable a temperatura θ ºC y R0 su resistencia a 0 ºC. Se llama α al coeficiente de resistencia a la temperatura, medido en ºC -1, y depende del metal utilizado. La figura 4.30 muestra las curvas de resistencia-temperatura para tres metales utilizados comúnmente. 3

níquel platino 2,5

2

1,5

cobre

1 200

400

600

800

1000 temperatura ºC

Figura 4.30 : Curvas resistencia-temperatura para el platino, níquel y cobre.

El platino se utiliza generalmente para termómetros de resistencia. Este metal tiene una relación resistenciatemperatura muy lineal, posee un buen grado de repetibilidad, puede utilizarse con un amplio rango de temperaturas (entre -200 ºC y +850 ºC) y, puesto que es relativamente inerte, puede ser uti lizado en un gran número de entornos sin deterioro. Es, sin embargo, más caro que muchos otros metales, pero las ventajas señaladas tienden a prevalecer sobre el factor coste. El coeficiente de resistencia a la temperatura α está -3 -1 próximo a 3,9·10 ºC . El níquel y el cobre son alternativas más baratas, pero también más propensas a interferencias con el entorno y no pueden utilizarse para una gama tan amplia de temperaturas. El níquel tiene un coeficiente de -3 -1 resistencia a la temperatura próximo a 6,7·10 ºC y un rango de temperaturas que está entre -80 ºC y +300 -3 -1 ºC. El cobre tiene un coeficiente de resistencia a la temperatura de 3,8·10 ºC y un rango de -200 ºC a +250 ºC.

115

Sistemas de medida y regulación

Una relación más exacta entre resistencia y temperatura para metales que tienen en cuenta la no linealidad es:

(

R t = R0 ⋅ 1 + α ⋅ θ + β ⋅ θ

2

+ γ ⋅θ

3

)

(4.3.5.2)

donde α, β y γ son coeficientes de resistencia a la temperatura, con la condición de que α > β > γ. Para el platino α está próximo a 3,9·10-3 ºC -1, β a -5,9·10-3 ºC -2 y γ es generalmente tan pequeño que puede despreciarse. Sea cual sea el metal utilizado, el elemento de resistencia consta, generalmente, de un cable de resistencia enrollado sobre un tubo revestido de cerámica, estando a su vez revestido también de cerámica y montado en un tubo protector. El resultado es una sonda para inmersión en el medio cuya temperatura se desea medir. El tiempo de respuesta es bastante lento, a menudo del orden de unos pocos segundos, a causa del escaso contacto térmico que hay entre la bobina y el medio cuya temperatura se está midiendo. La presencia del tubo protector aumenta inevitablemente el tiempo de respuesta.

Termistores. Los termistores son pequeñas piezas de material hechas de mezcla de óxidos metálicos, tales como los de cromo, cobalto, hierro, manganeso y níquel. El material puede adoptar diferentes formas, tales como perlas, discos y varillas (figura 4.31).

varilla

disco perla

Figura 4.31 : Diferentes aspectos de termistores.

La resistencia de los termistores disminuye generalmente con un aumento de temperatura y es altamente no lineal aunque hay algunos casos en los que aumenta la resistencia con un incremento de temperatura. La figura 4.32 muestra una gráfica típica. El cambio en la resistencia por grado incrementado en la temperatura es considerablemente más amplio que el que ocurre con los metales. resistencia KΩ 20

15

10

5

0 25

50

75

100

125 temperatura ºC

Figura 4.32 : Curva resistencia-temperatura típica de un termistor.

La gráfica resistencia-temperatura para un termistor es altamente no lineal y se describe por la relación exponencial:

116

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

β

Rt = K ⋅ e

θ

(4.3.5.3)

donde Rt es la resistencia a la temperatura θ ºC , siendo K y β valores constantes. El tiempo de respuesta de un termistor depende de la cantidad de material termistor presente. Un pequeño termistor de perla puede tener un tiempo de respuesta del orden de 0,5 segundos, mientras que en termistores más grandes de varilla podría ser del orden de 10 segundos. Para los termistores que muestran una disminución de resistencia con un aumento de temperatura, si se utilizan en circuitos eléctricos de muy baja tensión, se produce una pequeña corriente y la potencia disipada no es suficiente para elevar la temperatura del termistor sobre la de su entorno. Sin embargo, con tensiones más altas, la corriente puede ser bastante grande para que la potencia generada sea suficiente y eleve la temperatura del termistor sobre la de su entorno. Este incremento de temperatura logra una disminución adicional de la resistencia del termistor, lo que supone un aumento extra de corriente. Este efecto continúa hasta que la disipación del calor del termistor iguala la energía que se le ha suministrado. Este efecto de autocalentamiento es, generalmente, del orden de 0,15 ºC para cada milivatio de potencia suministrada.

Termopares. Si dos metales diferentes se unen, se produce una diferencia de potencial a lo largo de la unión. Esta diferencia de potencial depende de los metales utilizados y de la temperatura de la unión. Un termopar es un circuito completo que implica dos de dichas uniones (figura 4.33). Si ambas uniones estána la misma temperatura, no hay fuerza electromotriz neta. Pero si hay una diferencia de temperatura entre las dos uniones, entonces, existe una fuerza electromotriz que se llama fuerza electromotriz termoeléctrica (E). El valor de esta f.e.m. depende de los dos metales en cuestión y de las temperaturas de ambas uniones. Habitualmente, una unión se mantiene a 0 ºC, teniendo entonces: E = a1 ⋅ θ + a2 ⋅ θ

2

+ a3 ⋅ θ

3

+L

(4.3.5.4)

donde a1, a2, a3..., son constantes y θ la temperatura. Hay una relación no lineal entre la fuerza electromotriz y la temperatura, pero para muchos pares de metales, los términos a2, a3..., son lo suficientemente pequeños como para ser ignorados existiendo entonces una relación razonablemente lineal. metal A

circulación de corriente f.e.m. fuente de calor o frío

metal B

Figura 4.33 : Principio de funcionamiento de un termopar.

Un circuito de termopar puede tener otros metales en el circuito y éstos no tendrán efecto en la fuerza electromotriz termoeléctrica, con tal de que todas sus uniones estén a la misma temperatura. Así, por ejemplo, un voltímetro puede ser introducido en el circuito. Los termopares más comúnmente utilizados aparecen en la tabla 4.8 con los rangos de temperaturas de uso más generalizados y sus sensibilidades típicas. A estos termopares más usados se les da letras de referencia. Tipo

Materiales

Rango en ºC

Sensibilidad en µ v/ºC

E

Cromo-constantán

de 0 a 980 ºC

63

J

Hierro-constantán

de -180 a 760 ºC

53

L

Cromo-aluminio

de -180 a 1.260 ºC

41

R

Platino-platino / rodio 13 %

de 0 a 1.750 ºC

8

T

Cobre-constantán

de -180 a 370 ºC

43

Tabla 4.8: Termopares.

117

Sistemas de medida y regulación

Los termopares de metal base E, J, L y T son relativamente baratos pero se deterioran con el tiempo. Tienen exactitudes que, típicamente, están entre ± 1 y 3 %. Los termopares de metal noble, es decir, los de tipo R, son más caros, pero más estables y de vida más larga. Tienen exactitudes del orden de ± 1 % o menos. Los termopares están generalmente montados en un manguito para darles protección mecánica y química. El tipo de manguito utilizado depende de las temperaturas a las que se usa el termopar. En algunos casos el manguito es encapsulado con un mineral que sea buen conductor de calor y buen aislante eléctrico. El tiempo de respuesta de un termopar sin manguito es muy rápido. Con un manguito grande puede aumentar en unos pocos segundos. En algunos casos, un grupo de termopares se conectan en serie, de modo que haya, quizá, diez o más uniones calientes captando la temperatura. Las fuerzas electromotrices producidas por cada uno son acumuladas. Esta disposición se conoce como termopila.

4.3.6 Transductores de velocidad. La medición de la velocidad en la industria se puede realizar mediante dos tipos de transductores específicos: con tacómetros mecánicos y con tacómetros eléctricos. Para usos industriales se suelen utilizar los tacómetros eléctricos, los cuales permiten la transformación directa de la variable velocidad en una señal apta para alimentar los instrumentos registradores o controladores de panel. Un caso de aplicación típica lo constituye la medida de la velocidad de giro del eje de una turbina de una central de energía eléctrica. Los tacómetros eléctricos pueden proporcionar a la salida una señal analógica o digital, como resultado de la conversión de la velocidad de giro del eje de la máquina. Existen varios tipos de tacómetros: •

Tacómetro de corrientes parásitas: en el que el eje de la máquina hace girar un imán dentro de una copa de aluminio. El giro del imán induce corrientes parásitas en el aluminio que crean un par resistente proporcional a la velocidad. Un resorte frena el cabezal del aluminio quedando éste en una posición que se señala en un dial o panel indicador (figura 4.34). De este modo funciona el tacómetro eléctrico empleado en automoción. El campo de medida es de 0 a 15.000 revoluciones por minuto.

Figura 4.34 : Tacómetro de corrientes parásitas.

•

Tacómetro de corriente alterna: consiste en un estator bobinado multipolar en el que el rotor dotado de imán permanente induce una corriente alterna. Un voltímetro señala la corriente inducida y por lo tanto el giro en r.p.m. del eje de la máquina. En la figura 4.35 puede verse este tipo de tacómetro.

V

imán

voltímetro c.a.

Figura 4.35 : Tacómetro de corriente alterna.

118

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

•

Tacómetro de corriente continua o dinamo tacométrica: consiste en un estator de imán permanente y un rotor con un entrehierro uniforme. La tensión continua recogida en las escobillas del rotor es proporcional a la velocidad en r.p.m. de la máquina. Esta tensión puede leerse en un voltímetro indicador o bien alimentar un instrumento potenciométrico a través de una resistencia divisora de tensión (figura 4.36). La precisión en la medida alcanza ± 0,5 % para velocidades que pueden llegar hasta las 6.000 r.p.m.

A

D _

V

dinamo tacométrica

voltímetro c.c.

B

motor asíncrono

Figura 4.36 : Dinamo tacométrica aplicada a un motor asíncrono cuya velocidad se desea medir.

•

El tacómetro de frecuencia o frecuencímetro: mide la frecuencia de la señal de c.a., captada por transductores del tipo electromagnético, capacitivo u óptico, que dan impulsos cuyo número es proporcional a la velocidad de giro de la máquina. El transductor no tiene contacto mecánico con el eje rotativo. La medida de la frecuencia puede pasarse a un contador electrónico basado en la medida de las revoluciones por unidad de tiempo. Otro modelo de tacómetro de frecuencia mide ópticamente la velocidad. Dispone de un disco opaco perforado periféricamente y acoplado al eje cuya velocidad desea medirse, de una fuente de luz y de una fotocélula. Ésta genera una frecuencia dependiente de los impulsos luminosos que pasan a través del disco, es decir, es función de la velocidad.

4.3.7 Codificadores de posición y sentido de giro (encoders). Se les conoce también con el nombre de codificadores digitales puesto que la magnitud física la convierten en un conjunto de señales digitales, cuyo código binario, en cada instante, definen el valor de la magnitud. Son muy empleados en la industria y, en concreto, en el área de la robótica. La magnitud física a convertir es el ángulo, o posición angular, de un eje. En muchas ocasiones, además, se hace necesario determinar el sentido de giro del eje, a derechas o a izquierdas. Todo esto puede hacerse de varias formas: •

Mediante un sistema potenciométrico y conversión de la señal analógica a digital. El inconveniente es que introduce mucho error y el potenciómetro debe ser de alta precisión, resultando por ello cara, la opción.

•

Mediante el empleo de codificadores de posición.

Por la forma de detectar el ángulo y su representación se dividen en codificadores absolutos e incrementales.

Codificador Absoluto. Consiste en un dispositivo mecánico, donde hay un disco y unos detectores, que gira solidario al eje de la máquina. El disco circular está dividido en sectores y pistas. Los detectores están alineados del centro a la periferia, en un sector inicial. Tal disposición determina una serie de segmentos en el círculo. Los segmentos

119

Sistemas de medida y regulación

pueden estar pintados con material reflectante o no. Las marcas de dichos segmentos nos definen el código de posición angular. Así, con tres pistas (tres detectores) daría 23 = 8, lo que permite un código binario de tres dígitos. El disco queda dividido a su vez en 8 sectores de 45º mecánicos. La resolución de 45º es muy pobre. Si se aumenta el número de pistas a 8, queda 28 = 216 y la resolución, o ángulo de cada sector, de 1,66º . El aumento de las pistas hace más compleja la disposición de pistas y segmentos. Además, las resoluciones deben ser menores de un grado. El alineamiento de los detectores da lugar a ambigüedad de código en la lectura en posiciones adyacentes si no se usan códigos de distancia unidad como el de Gray.

fuente luminosa (4 focos)

captador luminoso (4 detectores)

0 1 1 0 señal de salida (dato codificado)

señal de entrada (giro)

Figura 4.36 bis : Codificador absoluto de 4 dígitos.

Los códigos de distancia unidad significan que en el límite de un segmento sólo cambia de estado (de 0 a 1 o viceversa) una pista. Se necesita convertir el código Gray a otro utilizable. Requiere una mayor dificultad constructiva. Los encoder absolutos se pueden clasificar en monovuelta y multivueta. Los hay también programables. Los códigos de salida pueden ser Binario, Gray y BCD. La transmisión puede ser serie asíncrona: RS-485, con transmisión de datos asíncrona, diferencial y simétrica. Los circuitos de salida: a transistor, tipos NPN o PNP, etc...

Codificador Incremental. Para la medida del ángulo utiliza una pista y detector, siendo los segmentos todos iguales. En el movimiento relativo de la pista con el detector genera una serie de pulsos que son captados por un contador que da el giro, pero para determinar el ángulo girado se añade una segunda pista o pista de datos. El contador se pone a cero cada vez que detecta la información de dicha pista. El sentido de giro se hacer con un tercer detector. Durante el movimiento relativo del disco ambos detectores generan un tren de pulsos espaciados entre sí conforme a la disposición que se haga, normalmente, un desfase de 90º o en cuadratura. El cambio de pulso de 0 a 1 o de 1 a 0 depende del sentido de giro. Estos codificadores suelen llevar asociado un dispositivo lógico, tal que las salidas estén disponibles para las aplicaciones. Suelen darse complementadas. La salida que indica el giro de una vuelta completa se denomina Index o de Cero. A las salidas se les llama canales. Circuitos de salida: tipo Push–Pull, tipo NPN, tipo TTL, tipo salida diferencial, etc...

4.3.8 Transductores de otras variables de medida. Las variables de medida tratadas en los apartados anteriores (del 4.3.2 al 4.3.7) no constituyen, ni mucho menos, la totalidad de las variables susceptibles de ser tratadas en un proceso de control. Evidentemente, se podría hablar de otros transductores para otras muchas variables de proceso, pero no es objeto de este libro el presentar un tratado exahustivo de este tema. A continuación, se enumeran, en la tabla 4.9, otras variables habituales en la industria y sus posibles transductores.

120

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

Variable

Transductores

•

Peso

•

Balanza, báscula, célula de galgas extensiométricas, célula hidráulica, célula neumática.

•

Posición

•

Final de carrera, detector de efecto Hall, potenciómetro, detector magnético.

•

Detección de presencia

•

Detectores ópticos, detectores inductivos, detectores capacitivos, detectores volumétricos.

•

Magnitudes eléctricas

•

Transformador de medida de tensión, transformador de medida de intensidad.

•

Humedad

•

Bulbo seco, bulbo húmedo, célula de cloruro de litio, sensor de polímero

•

Viscosidad

•

Viscosímetro, medidor de consistencia.

•

Llama

•

Detectores de ionización-rectificación, detectores de radiación.

•

pH

•

Sistema de electrodo de vidrio, sistema de electrodo de transistor.

•

Turbidez.

•

Turbidímetro Jackson.

Tabla 4.9: Otras variables de medida y sus transductores correspondientes.

4.4

Acondicionadores y convertidores de señales.

Los acondicionadores y convertidores de señales tienen como misión convertir la señal procedente del transductor en un formato adecuado para un tratamiento posterior. Dentro de un sistema de medida, estos elementos se encargarían de adecuar la señal del transductor a la unidad de visualización. Baste mencionar, como ejemplo, que los puentes de resistencias (o de impedancias) como el de Wheatstone, convierten un cambio de la resistencia del transductor (o de su capacidad o inductancia) en una variación de la diferencia de potencial. Hay que recordar que los acondicionadores y convertidores de señales tienen como objeto proporcionar una señal a la salida de naturaleza eléctrica (4 - 20 mA c.c.) o neumática (0,206 - 1,033 bar). Otra operación típica es el procesamiento de la señal, la cual se utiliza para mejorar la calidad de la misma. Esto implica procesos tales como la amplificación de la señal, su atenuación, su linealización y el filtrado de la misma. A continuación, se tratan algunos dispositivos básicos que acondicionan, convierten o procesan señales. Se comenzará con la aplicación del puente de Wheatstone como acondicionador. Después, se expondrán algunos ejemplos de convertidores de corriente eléctrica a presión neumática, de tensión a corriente, de tensión a frecuencia, convertidores analógico-digital y digital-analógico. Finalmente, se tratarán casos de procesamiento de señales como la amplificación, linealización, atenuación, filtrado y modulación.

4.4.1 Puente de Wheatstone como acondicionador de señal. El puente de Wheatstone es un ejemplo sencillo de acondicionador cuya salida proporciona una señal eléctrica. Esta señal de salida, en un principio, se manifiesta como una diferencia de potencial, pero si se coloca a la salida del puente una resistencia de valor adecuado, se puede obtener una señal de corriente de 4 - 20 mA c.c. La figura 4.37 muestra la configuración básica del puente de Wheatstone. Tiene un suministro de corriente continua y cada uno de los cuatro brazos del puente es una resistencia. El objeto básico de este puente es equilibrar las cuatro resistencias (variando una de ellas) para que la diferencia de potencial de salida sea cero. Si se conecta un galvanómetro entre los terminales de salida y éste marca un valor nulo,

C Vo B

D

A

Figura 4.37 : Configuración básica del puente de Wheatstone.

121

Sistemas de medida y regulación

implica que las resistencias están ajustadas y se dice que el puente está equilibrado.

Puente de Wheatstone tipo de deflexión. Se considera el puente de Wheatstone presentado en la figura 4.37 sin galvanómetro conectado en los terminales de salida, es decir, que la carga de salida tiene una resistencia infinita. La tensión de alimentación Vs se conecta entre los puntos A y C y, así, la caída de potencial en la resistencia R1 es: VAB = Vs ⋅

R1

(4.4.1.1)

R1 + R2

De una forma similar, la diferencia de potencial en R3 sería: VAD = Vs ⋅

R3

(4.4.1.2)

R3 + R4

Así, la diferencia de potencial entre los puntos B y D, esto es, la diferencia de potencial de salida Vo, es:  R R3 1 Vo = VAB − VAD = Vs ⋅  − R + R R3 + R4  1 2

   

(4.4.1.3)

La ecuación (4.4.1.3) es la ecuación de ajuste a cero cuando Vo se iguala a cero. Si el transductor es la resistencia R1, se puede observar, en la ecuación (4.4.1.3), que la relación entre la diferencia de potencial de salida Vo y su resistencia R1 no es una relación lineal. No obstante, la relación entre el transductor y la tensión de salida se puede considerar lineal para pequeñas variaciones del valor de la resistencia del transductor. Si se produce un cambio de resistencia en el transductor de R1 a R1 + δR1, la diferencia de potencial de salida pasa de Vo a Vo + δVo. La diferencia entre el valor de la tensión a la salida, antes y después de la variación de la resistencia del transductor, se puede expresar como:

(

 R +δ R R1 1 1 Vo + δ Vo − Vo = Vs ⋅  −  R1 + δ R1 + R2 R1 + R2

)

   

(4.4.1.4)

Si la variación de la resistencia del transductor, δR1, es mucho menor que R1, lo que es frecuente, entonces la ecuación, se aproxima a: δ Vo = Vs ⋅

δ R1 R1 + R2

(4.4.1.5)

Bajo tales condiciones, el cambio en la diferencia de potencial de salida es proporcional al cambio en la resistencia del transductor.

Puente de Wheatstone tipo de compensación. Muchos transductores de medida se instalan en el extremo de largos conductores. En el caso de que sea un transductor de temperatura, los cables que lo conectan al circuito acondicionador se verán afectados por las variaciones de temperatura de su entorno. Si estos cables son largos, la variación de la resistencia de los mismos con la temperatura no resulta despreciable y ello altera la medida realizada por el transductor. Existen algunos métodos para lograr discriminar la variación de la resistencia del transductor de la variación de la resistencia de los conductores. Una forma de hacer esto es llevar tres cables a la bobina, como se muestra en la figura 4.38. La bobina se conecta entonces al puente de Wheatstone, de modo que el cable 1 esté conectado con la resistencia R3, mientras que el cable 3 está en serie con el transductor de temperatura (como, por ejemplo, una bobina de resistencia de platino) R1. El cable 2 está conectado con la fuente de alimentación. Cualquier cambio en la resistencia del cable, como resultado de un cambio de temperatura, afectará por igual a los tres cables, puesto que todos tienen la misma longitud y resistencia. El resultado es que los cambios en la resistencia del cable ocurren igualmente en los dos brazos del puente y, por tanto, se compensarán.

122

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

Cables de igual longitud

3

1 2

Figura 4.38 : Compensación de los cables del transductor en un puente de Wheatstone.

La resistencia eléctrica de una galga extensiométrica es otro transductor en el que los efectos de la temperatura han de compensarse. La galga extensiométrica cambia su resistencia cuando la presión ejercida cambia también. Desafortunadamente, también cambia su resistencia si la temperatura varía. Una manera de eliminar el efecto de esta temperatura es utilizar una galga de compensación. Ésta es una galga extensiométrica idéntica a la que está bajo presión, la galga activa, pero que no está sujeta a ningún esfuerzo. Está, sin embargo, a la misma temperatura que la galga activa. Por ello, un cambio de temperatura obligará a ambas galgas a cambiar su resistencia en la misma medida. La galga activa está montada en un brazo del puente de Wheatstone y la galga de compensación en otro brazo, de modo que los efectos de los cambios de resistencia inducidos por la temperatura se anulen figura 4.39. galga activa señal de salida galga de compensación

Figura 4.39 : Compensación de una galga extensiométrica mediante una galga auxiliar.

Puente de corriente alterna. El circuito en puente de corriente alterna (figura 4.40) es similar al puente Wheatstone de corriente continua, con las mismas formas de interrelación para corriente en equilibrio y en desequilibrio. Las condiciones básicas para equilibrio, es decir, diferencia de potencial cero entre A y D y, por tanto, corriente cero a través del detector, son que la diferencia de potencial en Z1 debe ser la misma que en Z3, tanto en magnitud como en fase, y, de forma similar, las diferencias de potencial en Z2 y Z4 deben ser también iguales.

C

B

D

G ~

A

Figura 4.40 : Configuración básica de un puente de corriente alterna.

Hay muchas variantes del puente básico de corriente alterna. En la figura 4.41 se muestran algunas de las más comunes, así como la interpretación de las condiciones expuestas antes para el equilibrio de cada puente.

123

Sistemas de medida y regulación

Para demostrar la condición de equilibrio en un puente de corriente alterna, considérese el puente de Maxwell (figura 4.41a), donde las impedancias Z1, Z2, Z3 y Z4 quedan definidas como: Z1 =

R1

;

1 + j ⋅ ω ⋅ R1 ⋅ C1

Z 2 = R2

;

Z 3 = R3

;

Z 4 = R 4 + j ⋅ ω ⋅ L4

G ~

(4.4.1.6)

G ~

a)

b)

G ~

G ~

c)

d)

Figura 4.41 : Puentes de corriente alterna: a) Maxwell, b) Owen, c) De Souty, d) Wien.

De aquí, utilizando la condición de equilibrio: Z4 =

Z2 ⋅ Z 3

;

Z1

R4 + j ⋅ ω ⋅ L4 =

(

R2 ⋅ R3 ⋅ 1 + j ⋅ ω ⋅ R1 ⋅ C1

)

(4.4.1.7)

R1

Por consiguiente, la condición de equilibrio de la parte real de las impedancias es: R4 =

R2 ⋅ R3

(4.4.1.8)

R1

Y de la parte imaginaria resulta: L4 = R 2 ⋅ R 3 ⋅ C1

(4.4.1.9)

Así, puede determinarse la resistencia R4 y la inductancia L4 de una bobina. El procedimiento es, generalmente, ajustar R2 para conseguir el equilibrio, luego R1 para mejorarlo, después R2 de nuevo, y así sucesivamente, hasta que se obtenga un equilibrio final.

4.4.2 Convertidores de señal. Ya se ha comentado anteriormente que las señales con las que se trabaja habitualmente en los procesos de control (y concretamente en los comparadores de error, controladores y elementos finales de control) son

124

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

pequeñas intensidades de corriente continua (4 - 20 mA c.c.), presiones de aire (0,206 - 1,033 bar) o señales digitales, si es que el control se realiza por ordenador. Lo que se va a tratar a continuación son ejemplos básicos de sistemas convertidores, cuyo objetivo es obtener una señal a la salida de una de las tres naturalezas mencionadas, y que tenga una relación directa con la señal de entrada tomada del sistema de medida.

Convertidor de tensión a corriente. Una característica común de muchos sistemas de control de proceso es una conversión de milivoltios a miliamperios. Esto es necesario debido al uso extendido de corrientes en el rango de 4 a 20 mA utilizadas para señales de control. Otra razón fundamental de la conversión de señales de tensión a señales de corriente es que éstas últimas no se ven afectadas por las caídas de tensión de los cables que las transportan. Una característica precisa para dicho convertidor es que tenga una función de transferencia que no dependa del valor de la tensión ni tampoco del valor de la carga en la salida. La figura 4.42 muestra cómo se puede conseguir esto con un amplificador operacional.

R

+

Figura 4.42 : Convertidor de tensión - corriente con amplificador operacional.

En dicho diseño la señal de corriente de salida de valor Io tiene una relación lineal y directa con la señal de tensión de entrada Vi, tal y como se expresa seguidamente: Io =

Vi

(4.4.2.1)

R

Convertidor de corriente a presión. Se necesitan, frecuentemente, convertidores de corriente a presión, debido a que muchos elementos de control son neumáticos. La figura 4.43 muestra el principio de funcionamiento de dicho convertidor. La corriente de entrada pasa a través de unas bobinas, las cuales son entonces atraídas hacia un imán fijo, dependiendo esta atracción del valor de la corriente. Las bobinas, en su movimiento hacia el imán, arrastran una palanca. El extremo final de esta palanca es una lengüeta obturadora. La posición de la lengüeta en relación con la boquilla determina la magnitud de la señal de presión. imán fijo lengüeta obturadora electroimán móvil

tobera entrada de presión señal de entrada de corriente

señal de presión de salida

Figura 4.43 : Principio de funcionamiento de un convertidor de corriente presión.

125

Sistemas de medida y regulación

Convertidor de tensión a frecuencia. Cuando se precisa hacer mediciones y el transductor está a cierta distancia de la unidad de visualización, pueden aparecer problemas debido a la resistencia de los cables de conexión. Aunque puede utilizarse una variante del puente de Wheatstone para compensar la resistencia del cable (figura 4.38) esto es adecuado sólo para cables de longitudes relativamente cortas. Un método para superar este problema consiste en utilizar un convertidor de tensión a frecuencia a la salida del puente de Wheatstone de compensación. De esta manera, si un transductor utilizado para la medición de la temperatura es un elemento de resistencia, la diferencia de potencial de desequilibrio resultante en el puente de Wheatstone quedaría convertida en una frecuencia, la cual puede ser transmitida a distancia al visualizador o elemento del proceso de control correspondiente.

Convertidor analógico - digital. La salida de la mayoría de los transductores suele ser de forma analógica, es decir, el valor de salida del transductor está relacionado, en el tiempo, con el valor de la entrada. Cuando se utiliza un microprocesador u ordenador como parte del proceso de señales de un sistema de medida o control, la salida analógica del transductor debe ser convertida en forma digital. La relación entre la entrada y la salida para un convertidor analógico - digital se expresa como:

(

Vi ≈ VR ⋅ a1 ⋅ 2

n −1

+ a2 ⋅ 2

n −2

1

+ L + a n −1 ⋅ 2 + a n ⋅ 2

0

)

(4.4.2.2)

donde Vi es la entrada analógica, VR es la tensión de referencia y a1, a2, a3 ..., las salidas digitales (bit) y n el número de dichas salidas o bits que constituyen la palabra que representa la señal analógica. La longitud posible de la palabra determina la resolución del elemento, es decir, el valor más pequeño en Vi que causará una alteración en la salida digital. A consecuencia de esto la salida desde el elemento asciende a saltos o escalones en vez de producirse de una forma continua. Por este motivo que la ecuación utiliza el signo de aproximadamente igual (≈). Los convertidores analógico - digital tienen típicamente unas longitudes de palabra de 8,10,12,14 y 16 bits.

Convertidor digital - analógico. Un convertidor de digital a analógico tiene una entrada de señales digitales y una salida de señal analógica. La relación entre la entrada y la salida para un convertidor digital - analógico se expresa como:

(

Vi ≈ VR ⋅ a1 ⋅ 2

n −1

+ a2 ⋅ 2

n −2

1

+ L + a n −1 ⋅ 2 + a n ⋅ 2

0

)

(4.4.2.3)

Como se puede comprobar, es la misma expresión (4.4.2.2) del convertidor analógico - digital.

Ejemplo 4.1 Una señal analógica Vi puede tomar un valor entre 0 y 1 V. Para convertir esta señal en una señal digital se utilizará un convertidor de 4 bits (palabra de 4 bits). Si se aplica la expresión: a1 ⋅ 2

n −1

+ a2 ⋅ 2

n −2

1

+ L + an −1 ⋅ 2 + an ⋅ 2

0

a una palabra de 4 bits, se obtiene la siguiente tabla:

126

a1

a2

a3

a4

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

valor decimal .........................0 .........................1 .........................2 .........................3 .........................4 .........................5 .........................6 .........................7 .........................8 .........................9 ........................10

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

1 1 1 1 1

0 1 1 1 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

........................11 ........................12 ........................13 ........................14 ........................15

Cuando la salida digital es 1111, le corresponde a un valor decimal de 15. Este valor debe coincidir con el valor más elevado de la entrada, que es 1 V, por lo que será necesario utilizar una entrada de referencia VR = 1/15 V. La expresión que relaciona la señal analógica de entrada con la salida digital es: Vi =

1 15

(

3

2

1

⋅ a1 ⋅ 2 + a2 ⋅ 2 + a3 ⋅ 2 + a4 ⋅ 2

0

)

La tabla resultante de esta expresión, la cual proporciona la conversión analógico - digital deseada, es: a1

a2

a3

a4

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Vi ....................... 0 V .....................1/15 V .....................2/15 V .....................3/15 V .....................4/15 V .....................5/15 V .....................6/15 V .....................7/15 V .....................8/15 V .....................9/15 V ....................10/15 V ....................11/15 V ....................12/15 V ....................13/15 V ....................14/15 V ....................... 1 V

4.4.3 Procesamiento de la señal. Las señales que se transmiten en los sistemas de medida y regulación se ven afectadas, en la mayoría de las ocasiones, por perturbaciones o ruidos. Estas perturbaciones pueden falsear la información que se está tratando, llegando a lograr así que el proceso que se está regulando quede fuera de control. Se entiende, pues, la necesidad de limpiar las señales de todo aquello que resulta externo a las mismas, con el fin de que los instrumentos que la reciban las interpreten correctamente. En otras ocasiones se necesita modificar algún parámetro de la señal para que ésta pueda ser transmitida de la forma más eficiente posible, o bien, que resulte más fácil su procesamiento posterior. Todo este tipo de operaciones es lo que se denomina procesamiento de la señal. En este apartado se describen brevemente aquellas operaciones más típicas del procesamiento de señales.

Amplificación. La amplificación tiene como misión aumentar, de una forma proporcional, la magnitud de la salida de aquellos transductores que proporcionan una señal débil. Existen varios tipos de amplificadores que llevan a cabo esta operación de formas distintas: •

Amplificador mecánico de palanca: la palanca se puede utilizar para cambiar el tamaño de una señal de desplazamiento proveniente de un transductor (figura 4.44).

127

Sistemas de medida y regulación

desplazamiento de salida

distancia apoyo - entrada

desplazamiento de entrada distancia apoyo - salida

Figura 4.44 : Amplificador mecánico de palanca.

La función de transferencia de la palanca depende de las distancias relativas desde el extremo de entrada al punto de apoyo de la palanca y desde este punto al extremo de salida. El principio de triángulos semejantes expresa que: Desplazamiento de entrada Distanciaapoyo − entrada

=

Desplazamientode salida

(4.4.3.1)

Distanciaapoyo − salida

por lo que la función de transferencia se puede escribir como: Distancia apoyo − salida Distancia apoyo − entrada •

=

Desplazamiento de salida

(4.4.3.2)

Desplazamiento de entrada

Amplificador mecánico de trenes de engranaje: la figura 4.45 muestra un tren de engranaje simple con una rueda de engranaje de entrada que gira alrededor de un eje y una rueda dentada de salida que hace rotar otro eje.

Figura 4.45 : Amplificador mecánico de trenes de engranajes.

Si se tienen N1 dientes en la rueda de entrada y N2 en la de salida, entonces una revolución completa del eje de entrada significará que el eje de salida rota la fracción (N1/N2) de una revolución. Así, la función de transferencia será: Revoluciones a la salida Revoluciones a la entrada •

=

N1

(4.4.3.3)

N2

Amplificador electrónico: la amplificación electrónica de señales eléctricas analógicas tiene su base en el uso de amplificadores operacionales. En la figura 4.46 se muestran dos configuraciones básicas de circuitos con amplificadores operacionales. amplificador inversor

amplificador no inversor

I

I

-

-

+

+

a)

b) Figura 4.46 : Etapas de amplificadores electrónicos.

128

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

El amplificador inversor de la figura 4.46a tiene como función de transferencia la expresión: Vo Vi

=−

R2

(4.4.3.4)

R1

El otro circuito, un amplificador no inversor (figura 4.46b), no cambia de signo la señal de salida y su función de transferencia es: R  2 = +1 R  Vi  1 

Vo

(4.4.3.5)

En ambos casos (se supone el uso de un amplificador operacional ideal) se observa que la función de transferencia, o ganancia de la etapa, no depende de las características propias del amplificador operacional, sino que sólo depende de los valores de las resistencias que se elijan.

Atenuación. La atenuación es la operación inversa a la amplificación. Un atenuador es un dispositivo que proporciona un nivel de tensión y/o energía de salida inferior al de su entrada. Un caso muy sencillo para la atenuación de las señales eléctricas lo constituye el divisor de tensión. La principal desventaja del divisor de tensión estriba en que la función de transferencia del mismo está supeditada a la carga que se conecte a su salida. Otra forma más eficiente de atenuación de señales es el uso del amplificador electrónico inversor (figura 4.46a), pero eligiendo el valor de R1 mayor que el de R2.

Filtrado. El término filtrado se utiliza para describir el proceso de eliminación de una cierta banda de frecuencias de una señal y permitir que otras pasen. El rango de frecuencias que pasan por un filtro es conocido como banda de paso, al rango que no pasa se le llama banda de bloqueo y el límite entre el bloqueo y el paso es la frecuencia de corte. Los filtros se clasifican según los rangos de frecuencias que dejan pasar o rechazan. Un filtro paso bajo (figura 4.47a) tiene una banda de paso en la región de baja frecuencia y otro paso alto (figura 4.47b) la tiene en la de alta. Un filtro paso de banda (figura 4.47c) permite que pase una banda de frecuencias particular (figura 4.47a) y un filtro supresor de banda o parada de banda bloquea una banda particular. amplitud de la señal

a)

b)

c)

d)

frecuencia

Figura 4.47 : Curvas características de frecuencia de un filtro del tipo: a) paso bajo, b) paso alto, c) paso de banda, d) parada de banda.

129

Sistemas de medida y regulación

El término pasivo se utiliza para describir un filtro fabricado sólo con resistencias, condensadores y bobinas. El término activo implica también un amplificador operacional. Los filtros pasivos tienen la desventaja de que la corriente absorbida por el siguiente elemento puede cambiar la característica de frecuencia del filtro. Este problema se resuelve con un filtro activo. Una aplicación de los filtros en los sistemas de control y medida es mejorar la relación señal-ruido (grado de eliminación del componente ruido de una señal), siempre que el espectro de frecuencias de la señal de medida tenga un rango de frecuencias diferente al del ruido. Esto supone que al haber una señal de interferencia a 50 Hz, podría utilizarse un filtro de paso bajo si la señal tiene una frecuencia más baja de 50 Hz o uno de paso alto si es más alta.

Modulación. La transmisión de señales de corriente continua desde el transductor a su elemento receptor presenta el problema de la pérdida de señal a lo largo de la línea. Este problema es tanto más grave cuanto más larga sea la distancia de transmisión. La utilización de etapas amplificadores no es la solución más deseable, ya que se necesitarían amplificadores de potencia para transmitir pequeñas señales de c.c. Esto resulta inviable desde un punto de vista económico. Además, la función de transferencia de un amplificador operacional utilizado para amplificar la señal de corriente continua es propensa a desplazarse. Este problema se resuelve si la señal a transmitir es de corriente alterna en vez de continua. Además, la conversión de la señal a corriente alterna puede ayudar a la eliminación de interferencias externas de la señal del transductor con el uso de filtros. El modo general de convertir una señal de corriente continua en una señal de corriente alterna es mediante la generación de una onda alterna, que se denominará onda portadora, cuyos parámetros básicos (o alguno de ellos) será modificado por la magnitud de la señal de corriente continua (onda moduladora) que se desea transmitir. Esta operación, en la que la señal de corriente continua modifica uno de los parámetros de la señal alterna u onda portadora, se denomina modulación. La modulación de una onda portadora se puede realizar de las siguientes formas: •

Modulación en amplitud: el valor de la señal de corriente continua está directamente relacionado con la amplitud de la onda portadora. Los demás parámetros de la onda portadora permanecen constantes. Esto queda representado en la figura 4.48a.

•

Modulación en frecuencia: en este caso, el valor de la señal de corriente continua está directamente relacionado con la frecuencia de la onda portadora, permaneciendo la amplitud constante tal y como se observa en la figura 4.48b. modulación en amplitud

modulación en frecuencia

amplitud

onda moduladora

amplitud

onda moduladora

tiempo t

tiempo t

onda portadora

onda portadora

a)

b)

Figura 4.48 : Transmisión de una señal de corriente continua (onda moduladora) mediante una onda portadora.

Muestreo y retención. Con un conversor de analógica a digital se necesita un dispositivo de muestreo y retención con el fin de mantener la señal analógica el suficiente tiempo como para que el conversor complete la operación (figura 4.49). Sin dicho dispositivo, si la señal analógica se altera durante la conversión, pueden aparecer errores. El dispositivo, como su nombre indica, toma una muestra de la entrada analógica y la mantiene para el conversor de analógica a digital. Esencialmente, éste es un condensador que, cuando es conmutado en paralelo con la 130

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

entrada, se carga con la tensión analógica. Mantiene, entonces, su diferencia de potencial hasta que es utilizado por el conversor de analógica a digital.

u(t)

u*(t) Muestreador (conmutador)

u(t)

Retención de datos (condensador)

y(t)

u*(t)

Tiempo t

Convertidor analógico digital

señal digital

y(t)

Tiempo t

Tiempo t

Figura 4.49 : Proceso de muestreo y retención de datos aplicado a la entrada de un convertidor analógico - digital.

Lo que sigue a continuación son algunos de los términos comúnmente utilizados en las especificaciones de los dispositivos de muestreo y retención: •

Tiempo de adquisición: es el que tarda el condensador en cargarse hasta alcanzar el valor de la señal de entrada.

•

Tiempo de apertura: es el que precisa el conmutador o muestreador para cambiar de estado y no permitir el paso de la señal analógica de entrada u(t).

•

Tiempo de retención: es el período durante el cual el circuito puede mantener la carga.

La señal que se obtiene al final de este proceso, y que sirve de entrada al convertidor analógico - digital, es la que se ha denominado como y(t) en la figura 4.49.

4.5

Transmisores y buses industriales.

A lo largo de esta unidad se han ido tratando, con más o menos detalle, diversos tipos de instrumentos utilizados en los procesos de control: sensores, transductores, acondicionadores, convertidores y procesadores de señal. En este apartado se van a tratar los sistemas que permiten la comunicación remota entre las distintas partes de un proceso de control: transmisores y buses industriales. Aunque el concepto de transmisor ya quedó definido en el apartado 4.2.1 de la presente unidad, es conveniente recordar que los transmisores son instrumentos que captan la variable de proceso y la transmiten a distancia a un instrumento receptor de tipo indicador, registrador, controlador o una combinación de éstos. La naturaleza de las señales de transmisión puede ser de varios tipos: eléctrica, digital, neumática, hidráulica y telemétrica. Las más empleadas en la industria son las tres primeras, mientras que las señales hidráulicas se utilizan en aquellos casos que requieran una gran potencia, como en los sistemas de control de vuelo en aviones, y las señales telemétricas se emplean cuando existen distancias de varios kilómetros entre el transmisor y el receptor, tal y como sucede en las operaciones de telemando de centrales, subestaciones y líneas eléctricas de alta tensión. Los transmisores neumáticos generan una señal neumática variable linealmente de 0,206 a 1,033 bar para el campo de medida del 0 al 100 % de la variable. Nótese que el nivel mínimo de la señal neumática de salida no es cero, sino que vale 0,206 bar. De este modo, se consigue calibrar correctamente el instrumento, comprobar su correcta calibración y detectar fugas de aire en los tubos de enlace con los demás instrumentos neumáticos. Los transmisores eléctricos generan la señal estándar de 4 a 20 mA c.c., a distancias de 200 m a 1 km., según sea el tipo de instrumento transmisor. Esta señal de corriente continua tiene un nivel suficiente y de compromiso entre la distancia de transmisión y la robustez del equipo. Al ser continua y no alterna, elimina la posibilidad de captar perturbaciones, está libre de corrientes parásitas y emplea sólo dos hilos que no precisan blindaje. La relación de 4 a 20 mA c.c. es de 1 a 5, la misma que la razón de 0,206 a 1,033 bar en la señal neumática.

131

Sistemas de medida y regulación

El cero vivo con que empieza la señal eléctrica (4 mA c.c.) ofrece las ventajas de poder detectar una avería por corte de un hilo (la señal se anula) y de permitir diferenciar todavía más el ruido de la transmisión cuando la variable está en su nivel más bajo. La señal digital consiste en una serie de impulsos en forma de bits. Cada bit consiste en dos signos, el 0 y el 1 (código binario), y representa la presencia (1) o no presencia (0) de una señal a través de un conductor. Si la señal digital que maneja el microprocesador del transmisor es de 8 bits, entonces puede enviar 8 señales binarias (0 y 1) simultáneamente. Como el mayor número binario de 8 cifras es, 11111111 = 1·20 + 1·21 + 1·22 + 1·23 + 1·24 + 1·25 + 1·26 + 1·27 = 255 la precisión (mínima cantidad representable) obtenida con el transmisor debida exclusivamente a la señal digital es de: 1

⋅ 100 = ±4%

255 En los sistemas de transmisión que trabajan bajo condiciones duras (...campos magnéticos intensos que influyen sobre la señal,...) se está utilizando como medio soporte la fibra óptica. Los módulos de transmisión pueden ser excitados por fuente de luz de LED (Light Emiting Diodes) o diodo láser. Los módulos receptores disponen de fotodetector y preamplificador, con los cables o multicables de fibra óptica y con convertidores electroópticos. La transmisión de datos puede efectuarse con multiplexores transmitiendo simultáneamente a la velocidad máxima definida por la norma RS-232 de transmisión de datos para módems y multiplexores. Las ventajas de la transmisión por fibra óptica incluyen la inmunidad frente al ruido eléctrico (interferencias electromagnéticas), el aislamiento eléctrico total, una anchura de banda mayor que la proporcionada por los correspondientes hilos de cobre, ser de pequeño tamaño y de poco peso, sus bajas pérdidas de energía y las comunicaciones seguras. El microprocesador se utiliza en la transmisión por las ventajas que posee de rapidez de cálculo, pequeño tamaño, fiabilidad, precio cada vez más competitivo y ser apto para realizar cálculos adicionales. El microprocesador ha permitido, a partir de 1986, la aparición del primer transmisor con señal de salida enteramente digital, lo cual facilita las comunicaciones enteramente digitales entre el transmisor y el controlador o receptor. Las operaciones de digitalización de señales y su envío a los sistemas de control están bajo un proceso de normalización a cargo del Comité SP50 de ISA.

4.5.1 Transmisores industriales. El diseño de los transmisores industriales es muy variado, pudiendo disponer hoy en día en el mercado de una gran familia de este tipo de instrumentos. Entrar con detalle en cada uno de ellos, o simplemente en los más utilizados, llevaría muchas páginas, lo que no es objeto de este libro. Sin embargo conviene describir brevemente el fundamento de la transmisión de señales. Lo que se expone seguidamente es una breve descripción del principio de funcionamiento de los transmisores atendiendo al tipo de señal que emiten. Como se observará, los transmisores basan su acción en técnicas ya descritas anteriormente para los convertidores de señales.

Transmisores neumáticos. Los transmisores neumáticos se basan en el sistema tobera-obturador (como el utilizado en el convertidor de corriente a presión) que convierte el movimiento mecánico del elemento de medición en una señal neumática (figura 4.50). El sistema tobera-obturador consiste en un tubo neumático alimentado a una presión constante con una reducción en su salida en forma de tobera, la cual puede ser obstruida por una lámina llamada obturador cuya posición depende del elemento de medida.

Transmisores eléctricos. Los transmisores eléctricos son, generalmente, de equilibrio de fuerzas. Consisten, en su forma más sencilla, en una barra rígida apoyada en un punto sobre la que actúan dos fuerzas en equilibrio:

132

•

La fuerza ejercida por el elemento mecánico de medición (tubo Bourdon, espiral, fuelle...).

•

La fuerza electromagnética de una unidad magnética.

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

obturador asociado al elemento de medición

tobera entrada de presión

señal de presión de salida

Figura 4.50 : Sistema tobera - obturador.

El desequilibrio entre estas dos fuerzas da lugar a una variación de posición relativa de la barra, excitando un transductor de desplazamiento, tal como un detector de inductancia o un transformador diferencial. Un circuito oscilador, asociado con cualquiera de estos detectores, alimenta una unidad magnética y la fuerza generada reposiciona la barra de equilibrio de fuerzas. Se completa así un circuito de realimentación variando la corriente de salida en forma proporcional al intervalo de la variable del proceso. Estos instrumentos, debido a su constitución mecánica, requieren un ajuste del cero, complicado de lograr, y una alta sensibilidad a vibraciones. Su precisión es del orden del 0,5 al 1 %.

Transmisores digitales. A los transmisores digitales también se les conoce como transmisores inteligentes. Este término indica que el transmisor tiene incorporadas funciones adicionales que se añaden a las propias de la medida exclusiva de la variable. Lógicamente dichas funciones son proporcionadas por un microprocesador, pero esto no es esencial para que al instrumento pueda aplicársele la denominación de inteligente. Hay dos modelos básicos de transmisores inteligentes: •

El capacitivo: está basado en la variación de capacidad que se produce en un condensador formado por dos placas fijas y un diafragma sensible interno y unido a las mismas, cuando se les aplica una presión o presión diferencial a través de dos diafragmas externos. La transmisión de la presión del proceso se realiza a través de un fluido (aceite) que rellena el interior del condensador. El desplazamiento del diafragma sensible es de sólo 0,1 mm, como máximo. Un circuito formado por un oscilador y demodulador transforma la variación de capacidad en señal analógica. Ésta, a su vez, es convertida a señal digital y pasa después a un microprocesador inteligente que la transforma en señal analógica de transmisión de 4-20 mA c.c.

•

El de semiconductor: aprovecha las propiedades eléctricas de los semiconductores al ser sometido a tensiones. El modelo de semiconductor difundido está fabricado a partir de una delgada película de silicio y utiliza técnicas de dopaje para generar una zona sensible a los esfuerzos. Se comporta como un circuito dinámico de puente de Wheatstone aplicable a la medida de presión, presión diferencial y nivel, formado por una pastilla de silicio difundido en el que se hallan embebidas las resistencias de un puente de Wheatstone. El desequilibrio del puente originado por cambios en la variable da lugar a una señal de salida de 4-20 mA c.c.

El microprocesador compensa las no linealidades de los elementos o sensores individuales, convierte las señales analógicas en impulsos y calcula, mediante datos prefijados en fábrica y almacenados en su memoria, un valor digital de salida, que es transformado en la señal de salida analógica de 4-20 mA c.c. Un comunicador portátil de teclado alfanumérico, que puede conectarse en cualquier punto del cable de dos hilos entre el transmisor y el receptor, permite leer los valores del proceso, configurar el transmisor, cambiar su campo de medida y diagnosticar averías. Los transmisores inteligentes se prestan también al autodiagnóstico de sus partes electrónicas internas, función que proporciona al Departamento de Mantenimiento de la empresa las siguientes ventajas: •

El conocimiento de la existencia de un problema en el circuito.

•

El diagnóstico y la naturaleza del problema, señalando qué instrumento ha fallado.

133

Sistemas de medida y regulación

•

Las líneas a seguir para la reparación o sustitución del instrumento averiado.

Con la entrada del transmisor inteligente, la calibración y el cambio de margen de trabajo se logran, simplemente, por examen de los datos almacenados en una PROM y por utilización de técnicas digitales. Se consigue de este modo una relación turndown (relación entre el nivel mínimo de la variable y el máximo que es medible, conservándose la precisión de la medida del instrumento) de un valor máximo de 400:1, frente a la relación 1 a 6 de un transmisor de presión o nivel convencional, lo que posibilita la reducción drástica del número de transmisores en stock al poder utilizar, prácticamente, un sólo modelo para cubrir los diferentes campos de medida utilizados hasta entonces en la fábrica. Otras ventajas adicionales de estos transmisores son: •

El cambio automático del campo de medida, para los casos en los que el valor de la variable salga del campo.

•

La monitorización de temperaturas y tensiones de referencia de los transmisores.

•

La fijación de la variable en el último valor alcanzado, para el caso de detectarse alguna irregularidad en el funcionamiento del aparato.

•

El autoajuste desde el panel de control.

•

La función de caracterización que compensa las diferencias entre las condiciones de calibración en fábrica y las condiciones de campo actuales (algoritmo de caracterización único para cada instrumento) y que permite la instalación directa en campo y la fijación del campo de medida sin calibración, etc.

Para visualizar la señal de salida, los datos de configuración, el margen de funcionamiento y otros parámetros, y cambiar los ajustes del campo de medida, se utiliza un comunicador portátil, que se conecta en cualquier punto de la línea de transmisión. El transmisor o varios transmisores pueden conectarse, a través de una conexión RS-232, a un ordenador personal, que con el software adecuado, es capaz de configurar transmisores inteligentes. En resumen, las ventajas del transmisor inteligente con relación a los instrumentos electrónicos analógicos convencionales (señal de salida de 4 a 20 mA c.c.) son: •

Mejora de la precisión (2:1 como mínimo).

•

Mejora de la estabilidad en condiciones de trabajo diversas (de 3:1 a 15:1).

•

Campos de medida más amplios.

•

Mayor fiabilidad.

•

Bajos costes de mantenimiento.

Y si el transmisor empleado es de salida digital directa, añade al anterior: •

Menor desviación por variaciones de la temperatura ambiente o de la tensión de alimentación.

•

Diagnóstico continuo del circuito (estado del instrumento).

•

Comunicación bidireccional.

•

Configuración remota desde cualquier punto de la línea de transmisión.

En cuanto a las desventajas, existe el problema de la rapidez y la falta de normalización de las comunicaciones. Si el transmisor inteligente transmite una señal rápida, tal como la presión o el caudal, existe el peligro de que la cantidad de tareas y cálculos que debe realizar el microprocesador le impida captar todos los valores de la variable. En este caso, debe utilizarse un transmisor electrónico analógico. Los transmisores inteligentes con señal de salida de 4 a 20 mA c.c. pueden intercambiarse perfectamente con transmisores de otros fabricantes. Ello no es posible si son de señal de salida digital, debido a la falta de normalización en el campo de las comunicaciones que subsiste actualmente. Existen instrumentos que reúnen tres transmisores en un solo aparato, logrando medir la presión, la presión diferencial y la temperatura a partir de un sólo elemento primario, tal como una placa-orificio, tobera o tubo Venturi. Se consigue así reducir el coste (menores cableado, mano de obra y mantenimiento) y aumentar la precisión.

134

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

4.5.2 Comunicaciones. Buses industriales. Tradicionalmente, la mayor parte de las comunicaciones entre los instrumentos de campo y los instrumentos de panel (los que constituyen el sistema de control) se basan en señales de tipo analógico (neumáticas o eléctricas). Sin embargo, los instrumentos digitales capaces de manejar grandes volúmenes de datos y guardarlos en unidades históricas están aumentando día a día sus aplicaciones. Su precisión es unas diez veces mayor que la de la señal eléctrica clásica. En lugar de enviar cada variable por un par de hilos, transmiten secuencialmente las variables a través de un cable de comunicaciones llamado bus. La tecnología fieldbus o bus de campo es un protocolo de comunicaciones digital de alta velocidad que está en camino de sustituir a la señal analógica eléctrica en todos los sistemas de control distribuido (DCS) y controladores programables (PLC), instrumentos de medida y transmisión y válvulas de control. La arquitectura bus de campo conecta estos aparatos con ordenadores que pueden trabajar para muchos niveles en la dirección de la planta. Los protocolos patentados por los fabricantes no permiten al usuario final la intercambiabilidad o interoperatibilidad de sus instrumentos, es decir, no es posible sustituir un instrumento de un fabricante por otro similar de otro fabricante, ni intercambiar instrumentos de funcionalidad equivalente. La arquitectura interna del bus de campo tiene los siguientes niveles o capas: •

Nivel 1 (Físico): que especifica las condiciones del medio de transmisión, las características eléctricas, mecánicas y funcionales y la codificación de los datos.

•

Nivel 2 (Enlace): que establece el enlace lógico, el control de flujo y de errores, la sincronización de la transmisión y el control de acceso al medio.

•

Nivel 3 al 6: son objeto de protocolo.

•

Nivel 7 (Aplicación): que contienen los servicios y regula la transferencia de mensajes entre las aplicaciones del usuario y los diferentes instrumentos.

•

Capa usuario: dedicada.

El primer bus de campo, efectivamente abierto, utilizado ampliamente fue el MODBUS de Gould Modicon, el cual sólo dispone del nivel 1 (físico) y del 2 (enlace). Los protocolos de comunicaciones abiertos importantes son: •

HART (High way-Addressable-Remote-Transducer): desarrollado inicialmente por Rosemount Inc., agrupa la información digital sobre la señal analógica clásica de 4-20 mA c.c. La señal digital usa dos frecuencias individuales, 1.200 y 2.200 Hz (que representan los dígitos 1 y 0). Con estas dos frecuencias se forma una onda senoidal que se superpone sobre el lazo de corriente de 4-20 mA c.c. Como la señal promedio de una onda senoidal es cero, no se añade ninguna componente de c.c. a la señal analógica de 4-20 mA c.c. El protocolo HART permite soportar hasta 256 variables, los transmisores pueden conectarse entre sí a través de un bus y comunicarse con 15 aparatos (PLC, ordenadores).

•

WorldFIP: utiliza sistemas de comunicaciones sincronizadas en tiempo, basados en el protocolo FIP (Factory Instrumentation Protocol) de la industria francesa que garantiza una comunicación rápida en el control de procesos. Lo integran Schneider, Honeywell, Bailey, Cegelec, Allen Bradley,

•

ISP (Interoperable Systems Project): se basa en varios sistemas, entre ellos PROFIBUS, estándar alemán en que el aparato (host) pasa un testigo (token) de aparato en aparato, dándole así acceso al circuito. Lo integran Siemens, Rosemount, Fisher Controls, Yokogawa, Foxboro, ABB, etc.

La Fundación Fieldbus fue creada en 1994 para definir un único estándar según las normas IEC-ISA y agrupa la organización WorldFIP y la Fundación ISP. Ello fue posible gracias a los progresos efectuados en los protocolos FIP y PROFIBUS. En Europa existen normas de la CEGELEC (EN-82150) y está en marcha una iniciativa europea que puede reunir características de las normas FIP, PROFIBUS y P-NET. El sistema totalmente abierto desde la sala de control hasta los instrumentos de campo se conseguirá con el fieldbus estándar. Éste proporciona el control automático y secuencial, alarmas e inteligencia en los instrumentos de campo. Cabe señalar que el sistema totalmente abierto se puede combinar con sistemas UNIX, redes Ethernet, con la base de datos relacional Oracle y con sistemas Windows, lo que reduce la necesidad de interfaces. Sin

135

Sistemas de medida y regulación

embargo, el sistema abierto combinado con software comercial puede conducir a una potencial pérdida de seguridad de datos por lo que los suministradores propietarios del sistema lo desarrollan con sumo cuidado.

136

Sistemas de adquisición y tratamiento de datos

Actividades de enseñanza – aprendizaje. Las actividades que se proponen a continuación requieren la utilización de maquetas didácticas de sistemas de regulación y control. De todos modos, y con el fin de no ceñirse a ningún fabricante de maquetas didácticas concreto, se proporcionarán los esquemas funcionales de las actividades, dejando para el profesor la ejecución práctica con el material que él disponga.

Actividad 4.1: Lectura de nivel de líquido en un sistema en lazo abierto sin pérdidas energéticas. Se parte de un sistema constituido por un depósito que recibe líquido impulsado por una bomba. Para realizar la medida de nivel de líquido se utilizará como transductor un transductor de presión de membrana con galgas extensiométricas. El montaje propuesto para esta actividad (el cual se basa en la maqueta de control de nivel y caudal de líquidos MD-544 de la firma Alecop) se puede apreciar en la figura 3.29.

CNS-700

AMP-700

NBP-547 NIVEL - BOYA

CV

offset

S1 E1

VARIABLE

A

S

A Vb

S2

CE

0V

-

+

NIVEL - PRESION ESCALON offset

V

A

S1

CR A AMPLITUD

PENDIENTE

RAMPA

GANANCIA

RESET

0V

0V

Vp

S2

Transductor de presión de diafragma con galgas

0V

Motor bomba

Figura 4.51 : Sistema de control de nivel de líquido.

Mediante la maqueta de control de nivel y caudal de líquidos, se desea construir una cadena de medida para captar la señal del nivel del depósito. Realizar los siguientes pasos: •

Realizar el montaje que aparece en la figura 4.51.

•

Representar con un diagrama de bloques los elementos integrantes de la cadena de medida.

•

Proceder a llenar el depósito mediante la puesta en marcha de la motobomba, alimentándola con un escalón de 10 V. Durante el proceso de llenado tomar lectura de los valores del voltímetro correspondientes a cada intervalo de 10% de llenado de depósito. Una vez llenado, abrir ligeramente el desagüe y volver a tomar lecturas del voltímetro. Realizar una gráfica que muestre el proceso de llenado y vaciado (valores de tensión en el voltímetro frente a valores de % de llenado). La cadena de medida ¿resulta ser lineal? ¿Este sistema de medida presenta histéresis? Razonar las respuestas.

•

Vuelve a realizar el ensayo, tomando lecturas del tiempo transcurrido cada 10% de nivel de llenado alcanzado. Realiza una gráfica que muestre la evolución del llenado a lo largo del tiempo.

Actividad 4.2: Lectura de nivel de líquido en un depósito utilizando un transductor de nivel capacitivo. Sistema en lazo abierto sin pérdidas energéticas. Mediante la maqueta de control de nivel y caudal de líquidos MD-544, se desea construir una cadena de medida para captar la señal del nivel del depósito. Realiza los siguientes pasos: •

Realizar un montaje similar al de la actividad 4.1 sustituyendo el transductor de presión de membrana por el transductor capacitivo, con su correspondiente módulo acondicionador.

•

Representar con un diagrama de bloques los elementos integrantes de la cadena de medida.

137

Sistemas de medida y regulación

•

Proceder a llenar el depósito mediante la puesta en marcha de la motobomba, alimentándola con un escalón de 10 V. Durante el proceso de llenado tomar lectura de los valores del voltímetro correspondientes a cada intervalo de 10% de llenado de depósito. Una vez llenado, abrir ligeramente el desagüe y volver a tomar lecturas del voltímetro. Realizar una gráfica que muestre el proceso de llenado y vaciado (valores de tensión en el voltímetro frente a valores de % de llenado). La cadena de medida ¿resulta ser lineal? ¿Este sistema de medida presenta histéresis? Razonar las respuestas.

•

¿Qué diferencias existen entre los resultados obtenidos con este sistema de medida y el sistema de la actividad 4.1?

Ejercicios de profundización y refuerzo. Ejercicio 4.1 Para medir la presión en un depósito se utiliza una galga extensiométrica, un puente de Wheatstone de resistencias con una fuente de alimentación 12 V c.c. y un elemento visualizador analógico. La galga extensiométrica posee una función de transferencia de 10-4 Ω/Pa. El puente de resistencias junto con la fuente de alimentación posee una función de transferencia de 20 mV/Ω. El visualizador desplaza su aguja a razón de 20 mm por cada 1 mV que recibe. Contestar a las siguientes preguntas. a)

¿Qué función desempeña cada elemento en la cadena de medida?. Dibujar el diagrama de bloques correspondiente.

b)

Calcular la función de transferencia de la cadena de media. ¿Existe una relación lineal entre la variable a medir y la variable medida?.

Ejercicio 4.2 Un termómetro utiliza una de resistencia de platino como transductor. Este transductor tiene un valor de resistencia de 100 Ω a 0 ºC, 138,5 Ω a 100 ºC y 175,83 Ω a 200 ºC. Si se supone un comportamiento lineal entre 0 y 200 ºC, ¿cuál es el valor del error de no linealidad que se comete a 100 ºC? Dibujar una gráfica donde se refleje la curva de comportamiento real y la curva de comportamiento ideal .

138

UNIDAD 5 Análisis funcional de los procesos de control de lazo cerrado. 5.1

Análisis de la respuesta transitoria.

En la unidad 3 se expuso el método para obtener el modelo matemático de un sistema físico, lo cual representa el primer paso para analizar un proceso de control. El siguiente paso es el análisis del comportamiento del proceso o sistema. Puesto que el tiempo constituye una variable independiente de la mayor parte de los procesos de control, resulta importante evaluar el estado y las respuestas de salida con respecto al tiempo o, simplemente, la respuesta en el tiempo. En el problema de análisis se le aplica al sistema una señal de entrada de referencia y el desempeño del sistema se evalúa estudiando su respuesta en el dominio del tiempo. En la práctica, para un proceso de control, la señal de entrada no se puede conocer con anticipación dado su carácter aleatorio y la entrada instantánea no puede expresarse en forma analítica. Sólo en algunos casos especiales, como el control automático de herramientas de corte, se conoce con anticipación la señal de entrada y se puede expresar en forma analítica o mediante curvas. En el análisis y diseño de procesos de control, se debe tener una base de comparación del comportamiento de los mismos ante señales de entrada de prueba particulares. Muchos criterios de diseño se basan en tales señales. El uso de señales de prueba se justifica porque existe una correlación entre las características de respuesta de un sistema para una señal de entrada de prueba común y la capacidad del sistema de manejar las señales de entrada reales. En el apartado 5.1.1 se tratan las señales de prueba más típicas. La respuesta en el tiempo de un proceso de control casi siempre se divide en dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Si y(t) denota una respuesta temporal del proceso de control, entonces se puede expresar como: y(t) = yt(t) + y∞(t)

(5.1.0.1)

donde yt(t) es la respuesta transitoria y y∞(t) es respuesta en estado estable. En los estudios de sistemas de control, se define la respuesta en estado estable como: La respuesta fija cuando el tiempo tiende a infinito. Por consiguiente, una onda senoidal se considera como una respuesta en estado estable, pues su comportamiento es fijo para cualquier intervalo de tiempo, igual que cuando el tiempo tiende a infinito. De manera similar, la función rampa y(t) = t, aunque aumenta con el tiempo, es una respuesta en estado estable. La respuesta transitoria se define como: La parte de la respuesta que pasa a cero cuando el tiempo es muy grande. Por tanto, yt(t) tiene la siguiente propiedad: lím y t ( t ) = 0

t →∞

(5.1.0.2)

También puede decirse que la respuesta en estado estable es la parte de la respuesta que queda después de haber desaparecido la transitoria. Todos los procesos de control exhiben un cierto grado de fenómenos transitorios antes de alcanzar su estado estable. Puesto que la inercia, la masa y la inductancia no pueden evitarse por completo en los sistemas físicos, las respuestas de los procesos típicos de control no pueden reaccionar en forma instantánea a los cambios repentinos de la entrada y, casi siempre, aparecen respuestas transitorias. Por consiguiente, el control de la respuesta transitoria es necesariamente importante, ya que es una parte significativa del comportamiento dinámico del sistema. Antes de que el sistema alcance el estado estable, es necesario observar con cuidado la desviación entre la respuesta de salida y la respuesta deseada.

139

Sistemas de medida y regulación

La respuesta en estado estable de un sistema de control también es muy importante, pues si la salida de un sistema en estado estable no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error en estado estable. Este error indica la precisión del sistema. El estudio de un sistema de control en el dominio del tiempo se basa, en esencia, en la evaluación de las respuestas transitorias y en estado estable. En el problema de diseño, las especificaciones suelen darse en términos del desempeño transitorio y en estado estable, y los controladores se diseñan de tal manera que el sistema diseñado cumpla con las especificaciones. En este primer apartado se comenzará por analizar la respuesta transitoria de un proceso de control, para después (apartado 5.2) estudiar las acciones de control básicas que permiten modificar el comportamiento de dicha respuesta.

5.1.1 Señales de prueba típicas. A diferencia de muchos circuitos eléctricos y sistemas de comunicación, las excitaciones de entrada a numerosos procesos prácticos de control no se conocen de antemano. En muchos casos, las entradas reales de un sistema de control pueden variar aleatoriamente con respecto al tiempo. Esto impone un problema al diseñador, pues resulta difícil diseñar un proceso de control que funcione en forma satisfactoria para cualquier señal de entrada. Para propósitos de análisis y diseño, se hace necesario suponer diversos tipos básicos de funciones de entrada, de tal manera que sea posible evaluar el desempeño del sistema con respecto a estas señales de prueba. Cuando estas señales se seleccionan de manera apropiada, no sólo se sistematiza el tratamiento matemático del problema, sino que las respuestas que producen permiten predecir el desempeño del sistema con otras entradas más complejas. En el problema de diseño se pueden especificar los criterios de desempeño con respecto a estas señales de prueba, de modo que un sistema pueda ser diseñado de acuerdo con tales criterios. Para facilitar el análisis en el dominio del tiempo, se usan como señales de prueba típicas la función impulso, la función escalón, la función rampa y la función parabólica. La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia, en condiciones normales de operación, determina cuál de las señales de entrada típicas se debe usar para analizar las características del sistema. Si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Asimismo, si un sistema está sujeto a perturbaciones repentinas, una función escalón sería una buena señal de prueba. Para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería la mejor. Una vez diseñado un sistema de control con base en las señales de prueba, por lo general, el desempeño del sistema en respuesta a las entradas reales es satisfactorio. Algunas de estas señales de prueba ya han sido comentadas en los apartados 2.4.1 y 3.1.3. A pesar de ello, se considera conveniente volver a tratarlas.

Función entrada impulso. Una señal de impulso δ(t) es una función que se define como: δ(t) = lím

A

t 0 →0 t 0

δ(t) = 0

para

0 < t < t0

para

t0 < t < 0

(5.1.1.1)

donde A es el área de la función impulso y t0 la duración del mismo. Si A = 1 la función se denomina impulso unitario. En la figura 5.1a se muestra la función impulso con respecto al tiempo.

Función de entrada escalón. La función de entrada escalón representa un cambio instantáneo de la variable de entrada de referencia. La función escalón, f(t), se define como: f(t) = 0

para

t0

(5.1.1.2)

donde A es una constante. Esta función no está definida para t = 0. Por otra parte, si se define la función escalón unitario, 1(t), como:

140

f(t) = 0

para

t0

(5.1.1.3)

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

la función escalón se puede expresar de la siguiente manera: f(t) = A·1(t)

(5.1.1.4)

En la figura 5.1b se muestra la función escalón con respecto al tiempo.

Función de entrada rampa. En el caso de una función rampa, se considera que la señal tiene una variación constante con respecto al tiempo. En términos matemáticos, una función de rampa se expresa como: f(t) = 0

para

t0

(5.1.1.5)

o simplemente: f(t) = A·t·1(t)

(5.1.1.6)

Si A = 1 la función se denomina rampa unitaria. En la figura 5.1c se muestra la función rampa con respecto al tiempo.

Función de entrada parabólica. La representación matemática de una función de entrada parabólica es: f(t) = 0

para

t0

(5.1.1.7)

o simplemente, f(t) = A·t2·1(t)

(5.1.1.8)

Si A = 1 la función se denomina función parabólica unitaria. En la figura 5.1d se muestra la función parabólica con respecto al tiempo. función impulso

función escalón

f(t)

f(t)

A

A

tiempo t

tiempo t

a)

b)

función rampa

función parabólica

f(t)

f(t)

tiempo t

c)

tiempo t

d)

Figura 5.1 : Representación gráfica de las señales de prueba típicas para el diseño y análisis de los procesos de control.

Todas estas señales de prueba tienen como característica común que se describen con facilidad en términos matemáticos y, de la función impulso a la parabólica, se vuelven progresivamente más rápidas con respecto al tiempo.

141

Sistemas de medida y regulación

El proceso de control al que se le aplica una función impulso proporciona a su salida una señal cuya transformada de Laplace es, directamente, la función de transferencia del sistema. La función escalón unitario es muy útil como señal de prueba, pues su aumento inicial instantáneo de amplitud revela muchos datos sobre la velocidad de respuesta del sistema. Además, puesto que esta función tiene, en principio, un espectro de frecuencias muy amplio como resultado del salto o discontinuidad, esta señal de prueba equivale a la aplicación de muchas señales senoidales con un intervalo muy amplio de frecuencias. La función rampa tiene la característica de probar el sistema con respecto a una variación lineal con el tiempo. La función parabólica es un grado más rápida que la rampa. En la práctica, pocas veces es necesario usar una señal de prueba más rápida que la función parabólica. Esto se debe a que, como se verá más adelante, para que un sistema siga o responda a una entrada de orden superior, debe ser también de orden superior, lo que significa que pueden aparecer problemas de estabilidad.

5.1.2 Respuesta transitoria en sistemas de primer orden. Un proceso o sistema de primer orden es aquél que queda representado por una ecuación diferencial de primer orden. La función de transferencia de un sistema realimentado, o de lazo cerrado, de primer orden es del tipo: M=

Y (s) R( s )

=

1

(5.1.2.1)

1 +T ⋅ s

Ejemplo 5.1 Un circuito eléctrico constituido por una resistencia y una bobina en serie constituyen un sistema de primer orden (figura 5.2). R

i(t) v(t)

L

Figura 5.2 : Circuito RL.

La ecuación en el dominio del tiempo que relaciona la señal de entrada (tensión de alimentación v(t)) con la salida (corriente que circula por el circuito i(t)) se expresa como: v (t ) = R ⋅ i ( t ) + L ⋅

δ i (t ) δt

(5.1.2.2)

La transformada de Laplace de esta ecuación, con la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, permite determinar la función de transferencia del sistema: 1 I(s )

=

V (s )

1+

R L R

(5.1.2.3) ⋅s

Al cociente L/R se le denomina constante de tiempo T, mientras que al inverso de la resistencia 1/R se conoce como conductancia G. La expresión resultante es: I(s ) V (s)

=

G 1 +T ⋅s

La figura 5.3 presenta un diagrama de bloques simplificado del circuito RL.

142

(5.1.2.4)

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

V(s)

1 T·s

G

I(s)

Figura 5.3 : Diagrama de bloques del circuito RL.

En lo sucesivo, se analizarán las respuestas del sistema a entradas tales como la función escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario. En todos los análisis que se efectúen se partirá de condiciones iniciales igual a cero. Obsérvese que todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia mostrarán la misma salida en respuesta a la misma entrada.

Respuesta a la entrada escalón unitario. Para probar el sistema ante una señal de prueba, se hace que la entrada o variable de referencia R(s) de la ecuación (5.1.2.1) sea igual a la transformada de Laplace de la función de prueba. En este caso, la señal de entrada es la función escalón unitario, cuya transformada de Laplace es 1/s. Haciendo R(s) = 1/s, la salida del sistema resulta: 1

Y (s ) =

1

⋅

(5.1.2.5)

s 1 +T ⋅ s

Si lo que se pretende es observar la señal de salida en función del tiempo, será necesario expandir Y(s) en fracciones parciales, para después realizar la transformada inversa de Laplace: Y (s ) =

1 s

−

T 1 +T ⋅ s

=

1 s

−

1

(1 / T ) + s

(5.1.2.6)

Realizando la transformada inversa de la ecuación (5.1.2.6) se obtiene y(t): −

y (t ) = 1 − e

t

para t ≥ 0

T

(5.1.2.7)

La representación gráfica de esta ecuación corresponde a una curva de respuesta exponencial, tal y como se muestra en la figura 5.4. Obsérvese que, cuanto más pequeña es la constante de tiempo T, más rápida es la respuesta del sistema. Otra característica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la línea de tangente para t = 0 es 1IT. Esto es fácilmente demostrable si se deriva la función de salida y(t) con respecto a la variable independiente t (tiempo) y después se hace t = 0. δ y (t ) δt

=

1

⋅e

−

t

=

T

T

1

(5.1.2.8)

T t =0

La respuesta alcanzaría el valor final en t = T si mantuviera su velocidad de respuesta inicial. A partir de la ecuación (5.1.2.8) se comprueba que la pendiente de la curva de respuesta y(t) disminuye en forma monotónica de 1/T en t = 0 a cero en t = ∞. Aunque la función respuesta no alcanza el valor final (y(t) = 1) hasta t = ∞, en la práctica, una estimación razonable del tiempo de respuesta es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la línea de 98,2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo.

143

Sistemas de medida y regulación

y(t)

pendiente 1/T

0

T

2·T

99,3 %

98,2 %

95 %

86,5 %

63,2 %

1

3·T

4·T

5·T

tiempo t

Figura 5.4 : Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada escalón unitario.

Respuesta a la entrada rampa unitaria. Ahora se ensaya con la señal de entrada rampa unitaria, cuya transformada de Laplace es 1/s2. Haciendo R(s) = 1/s2, la salida del sistema resulta: Y (s ) =

1 s

⋅

2

1

(5.1.2.9)

1 +T ⋅ s

De la expansión en fracciones parciales de Y(s) se obtiene: Y (s ) =

1 s

2

−

T s

+

T

(5.1.2.10)

(1 / T ) + s

Y de la transformada inversa de la ecuación (5.1.2.10) se logra expresar la respuesta del sistema en función del tiempo: y (t ) = t − T + T ⋅ e

−

t T

para t ≥ 0

(5.1.2.11)

Si se define el error o señal de error e(t) como la diferencia entre la entrada y la salida: t  −  T e ( t ) = u (t ) − y ( t ) = t −  t − T + T ⋅ e  

  =T  

t  −  T ⋅ 1 − e  

    

(5.1.2.12)

Conforme t tiende a infinito, e-t/T se aproxima a cero y, por tanto, la señal de error e(t) se aproxima a T, es decir: e(∞) = T La representación gráfica de la entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la figura 5.5. El error después de la entrada rampa unitaria es igual a T para un valor de t suficientemente grande. Cuanto más pequeña es la constante de tiempo T, más pequeño es el error en estado estable después de la entrada rampa.

144

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

y(t)

error en estado estable

5·T T T

4·T

3·T

2·T u(t) = t

T

0

T

2·T

3·T

4·T

5·T

tiempo t

Figura 5.5 : Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada rampa unitaria.

Respuesta a la entrada impulso unitario. Para la entrada impulso unitario, R(s) = 1, se obtiene la salida del sistema Y(s) como: Y (s ) =

1

(5.1.2.13)

1 +T ⋅s

La respuesta temporal del sistema es: y (t ) =

1

⋅e

−

t T

para t ≥ 0

(5.1.2.14)

T La curva de respuesta obtenida mediante la ecuación (5.1.2.14) aparece en la figura 5.6. y(t) 1/T

0

T

2·T

3·T

4·T

5·T

tiempo t

Figura 5.6 : Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada impulso unitario.

Es conveniente destacar una propiedad importante de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. En el análisis anterior, se demostró que, para la entrada rampa unitaria, la salida y(t) es:

145

Sistemas de medida y regulación

y (t ) = t − T + T ⋅ e

−

t

para t ≥ 0

T

Para la entrada escalón unitario, que es la derivada de la entrada rampa unitaria, la salida y(t) es: t

−

y (t ) = 1 − e

para t ≥ 0

T

Finalmente, para la entrada impulso unitario, que es la derivada de la entrada escalón unitario, la salida y(t) es: 1

y (t ) =

⋅e

t

−

para t ≥ 0

T

T Una comparación de las respuestas del sistema para estas tres entradas indica con claridad que la respuesta a la derivada de una señal de entrada se obtiene diferenciando la respuesta del sistema para la señal original. También se observa que la respuesta para la integral de la señal original se obtiene integrando la respuesta del sistema para la señal original y determinando las constantes de integración a partir de la condición inicial de salida cero. Esta es una propiedad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Los sistemas lineales y variantes con el tiempo y los sistemas no lineales no poseen esta propiedad. Ejemplo 5.2 Se vuelve a tomar el circuito RL del ejemplo 5.1 cuya función de transferencia quedaba definida como: 1 I(s )

=

V (s )

1+

R L R

⋅s

Como al cociente L/R se le denomina constante de tiempo T, y al inverso de la resistencia 1/R se conoce como conductancia G, la expresión resultante es: I(s ) V (s)

=

G 1 +T ⋅s

Si se aplica una entrada escalón de valor v(t) = V para t ≥ 0, resulta una respuesta temporal: t  −  i (t ) = V ⋅ G ⋅ 1 − e T  

t   −  V  ⋅ 1 − e T =  R   

    

para t ≥ 0

La gráfica de esta respuesta se muestra en la figura 5.7. i(t)

pendiente V/(R·T)

V/R

0

T

2·T

3·T

4·T

5·T

tiempo t

Figura 5.7 : Respuesta del circuito RL a una entrada escalón de valor V.

La interpretación de esta señal de salida, desde un punto de vista eléctrico, es muy sencilla. La señal de entrada es una tensión continua que, en un instante t = 0, pasa de 0 a V voltios (simplemente se cierra un interruptor en t = 0). La bobina L se opone a un cambio brusco de corriente en el circuito, por lo que se induce una fuerza electromotriz opuesta a la causa que la crea. Conforme se va estabilizando el valor de corriente en

146

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

el circuito, la impedancia de la bobina se va reduciendo hasta hacerse nula, por lo en el circuito no hay más resistencia que R. En esta situación, para tiempos suficientemente grandes (t > 4·T) y aplicando la ley de Ohm, se alcanza un valor de corriente V/R.

5.1.3 Respuesta transitoria en sistemas de segundo orden. Un proceso o sistema de segundo orden es aquél que queda representado por una ecuación diferencial de segundo orden. La función de transferencia de un proceso de control realimentado, o de lazo cerrado, de segundo orden corresponde al tipo: M=

Y (s ) R(s )

=

K 2

J ⋅s +B⋅s +K

(5.1.3.1)

Ejemplo 5.3 Un circuito eléctrico constituido por una resistencia, un condensador y una bobina en serie constituyen un sistema de segundo orden (figura 5.8). En esta ocasión se considera que vi(t) es la entrada y vo(t) la salida. R

L

i(t) C

Figura 5.8 : Circuito RLC.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al sistema, se obtienen las ecuaciones siguientes: R ⋅ i (t ) + L ⋅

δ i (t ) 1 + ⋅ i (t ) ⋅δ t = v i (t ) δt C

∫

∫

1

⋅ i ( t ) ⋅δ t = v o ( t )

C

Para la obtención de la función de transferencia, se toma la transformada de Laplace de las ecuaciones anteriores y se suponen las condiciones iniciales iguales a cero: R ⋅ I ( s) + L ⋅ s ⋅ I ( s ) + 1 C⋅s

1 C⋅s

⋅ I( s ) = Vi ( s )

⋅ I ( s ) = Vo ( s )

Dado que vi(t) es la entrada y vo(t) la salida, la función de transferencia de este sistema resulta ser: 2

R ⋅ C ⋅ s ⋅ Vo ( s ) + L ⋅ C ⋅ s ⋅ Vo ( s ) + Vo ( s ) = Vi ( s ) Vo ( s ) Vi ( s )

=

1 2

L ⋅ C ⋅ s + R ⋅ C ⋅ s +1

El trazado del diagrama de bloques del circuito del ejemplo se representa en la figura 5.9.

147

Sistemas de medida y regulación

1 R + L·s

I(s)

1 C·s

Figura 5.9 : Diagrama de bloques del circuito RLC.

Si se compara la función de transferencia resultante de este circuito RLC, con el modelo de función de transferencia de la ecuación (5.1.3.1), se llega a la siguiente equivalencia: J = L·C

;

B = R·C

;

K=1

Ya ha quedado definido que la parte transitoria de la respuesta en el tiempo es la parte que tiende a cero a medida que el tiempo aumenta. Claro está que la respuesta transitoria sólo tiene significado cuando se trata de un sistema estable, pues en un sistema inestable, la respuesta no disminuye y está fuera de control. La respuesta transitoria de un proceso de control se caracteriza con el uso de una entrada escalón unitario. Los parámetros típicos que se usan para caracterizar la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario son tiempo de retardo, tiempo de subida, tiempo de pico, sobrepaso máximo y tiempo de asentamiento. La figura 5.10 ilustra la respuesta típica a una entrada escalón unitario para un sistema lineal. A continuación se definen los criterios usados para la caracterización de la respuesta transitoria: • Tiempo de retardo (td): se define como el tiempo que se necesita para que la respuesta ante la entrada escalón unitario alcance el 50% de su valor final. • Tiempo de subida (tr): el tiempo de subida tr se define como el tiempo necesario para que la respuesta ante la entrada escalón pase del 10% hasta el 90% de su valor final. • Tiempo de pico (tp): es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobrepaso. • Sobrepaso máximo (Mp): se define como la máxima desviación de la salida, durante el estado transitorio, con respecto a su valor final en estado estable. La magnitud máxima del sobrepaso se usa también como medida de la estabilidad relativa del sistema. El sobrepaso máximo se suele representar como un porcentaje del valor final de la respuesta escalón unitario, es decir: Mp =

y (t p ) − y (∞) y (∞)

⋅ 100

(5.1.3.2)

donde y(∞) es valor final en estado estable, y(tp) es el valor máximo que alcanza la salida, el cual, obviamente, debe coincidir en el instante del tiempo de pico. Si el error en estado estable es pequeño, lo cual es el deseo habitual en el diseño de un sistema, la expresión de sobrepaso máximo se puede definir como: Mp =

y (t p ) − A

⋅ 100

(5.1.3.3)

A

donde A es la amplitud del escalón de entrada. Si el escalón es unitario, A = 1. • Tiempo de asentamiento (ts): es el necesario para que la respuesta a escalón unitario decrezca y quede dentro del intervalo específico de porcentaje de su valor final. Este porcentaje del valor final se suele tomar entre el 2% y el 5%, dependiendo de cuál es el criterio de error en el diseño del sistema.

148

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

Estos cinco parámetros proporcionan una medida directa de las características transitorias de la respuesta escalón unitario. Estos parámetros son de fácil medición cuando ya se cuenta con la gráfica de la respuesta. Sin embargo, su determinación analítica es difícil, excepto en los casos simples. y(t)

escalón unitario

error en estado estable 1,05

1

0,95

0,9

0,5

0,1 0

tiempo t

Figura 5.10 : Gráfica de la respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada escalón unitario en donde se reflejan los cinco parámetros básicos que caracterizan una respuesta transitoria: td, tr, tp, Mp y ts.

La función de transferencia de un sistema de segundo orden, tal y como aparece en la ecuación (5.1.3.1), puede reescribirse como: K M=

Y (s ) R( s )

=

K 2

J ⋅s + B⋅s + K

=

J = B K s + ⋅s+ J J 2

K =

J     2  B   B 2 K  B K  B  +  −   −  ⋅ s +  −  s + 2 ⋅ J  2 ⋅ J  2⋅J J   2⋅J J  

(5.1.3.4)

Los polos de la función de transferencia pueden resultar complejos si B - 4·J·K < 0, o reales si B - 4·J·K ≥ 0. Para una mejor comprensión del análisis de la respuesta transitoria, se suele expresar, 2

K J

2

= ωn

B

;

J

2

= 2 ⋅ ζ ⋅ ωn = 2 ⋅ σ

donde: • σ : se denomina atenuación. • ω n : se denomina frecuencia natural no amortiguada. • ζ : se denomina factor de amortiguamiento relativo del sistema. El factor de amortiguamiento relativo ζ es el cociente entre el amortiguamiento real B y el amortiguamiento crítico Bc = 2 ⋅ J ⋅ K , tal y como se expresa a continuación: ζ =

B Bc

=

B 2⋅ J⋅K

149

Sistemas de medida y regulación

Si se escribe la ecuación (5.1.3.1) en términos de ωn y ζ , queda: K M=

Y (s ) R( s )

=

K 2

J ⋅s + B⋅s + K

2

=

ωn J = 2 2 B K 2 s + 2 ⋅ ζ ⋅ ωn ⋅ s + ωn s + ⋅s+ J J

(5.1.3.5)

sistema no amortiguado

sistema subamortiguado

sistema amortiguado negativamente

sistema no amortiguado

Plano s

sistema amortiguado negativamente

sistema sobreamortiguado y críticamente amortiguado

sistema subamortiguado

Figura 5.11 : Ubicación, en el plano s, de los polos del sistema en función del comportamiento del mismo.

El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden puede describirse con los parámetros ωn y ζ. Aplicando el teorema del valor final (apartado 2.4.2 de la unidad 2), y en función del rango de valores que tome el factor de amortiguamiento relativo del sistema (ζ), pueden distinguirse los siguientes casos de comportamiento de dicho sistema: • Sistema sobreamortiguado (ζ > 1): la función de transferencia del lazo cerrado tiene dos polos reales en el semiplano izquierdo del plano complejo s. • Sistema críticamente amortiguado (ζ = 1): el polo de la función de transferencia es real (s = - ωn) y está situado en el semiplano izquierdo del plano complejo s. También se aproxima a un sistema críticamente amortiguado aquél que tenga en el semiplano izquierdo dos polos reales casi iguales. • Sistema subamortiguado (0 < ζ < 1): en esta situación, los polos de la función de transferencia del lazo cerrado son complejos conjugados localizados en el semiplano izquierdo del plano complejo s. En tal caso se dice que el sistema es subamortiguado, lo que da lugar a una respuesta transitoria oscilatoria. • Sistema no amortiguado (ζ = 0): en tal caso, los polos se hallan sobre el eje imaginario del plano complejo s, lo que da lugar a una respuesta oscilatoria permanente. • Sistema amortiguado negativamente (ζ < 0): en esta situación, los polos de la función de transferencia del lazo cerrado son complejos conjugados localizados en el semiplano derecho del plano complejo s. En tal caso se tiene una respuesta transitoria oscilatoria cuya amplitud va creciendo con el paso del tiempo. En la figura 5.11 se muestran las regiones del plano s en las que quedan localizados los polos de la función de transferencia para cada uno de los casos de comportamiento expuestos anteriormente. Ahora se analizarán con más profundidad las respuestas del sistema a entradas tales como la función escalón unitario e impulso unitario. En todos los análisis que se efectúen se partirá de condiciones iniciales igual a cero.

150

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

Respuesta a la entrada escalón unitario. Para probar el sistema ante una señal de prueba, se hace que la entrada o variable de referencia R(s) de la ecuación (5.1.3.3) sea igual a la transformada de Laplace de la función de prueba. En este caso, la señal de entrada es la función escalón unitario, cuya transformada de Laplace es 1/s. La respuesta a la señal de entrada del sistema dependerá, ahora, del valor que tome el factor de amortiguamiento relativo del sistema (ζ): • Sistema subamortiguado (0 < ζ < 1): la función transferencia del sistema puede reescribirse como: Y (s) R(s )

2

=

2

ωn 2

=

2

s + 2 ⋅ ζ ⋅ ωn ⋅ s + ωn

ωn

( s + ζ ⋅ ωn + jωd ) ⋅ ( s + ζ ⋅ ωn − jωd )

(5.1.3.6)

2

donde ωd = ω n ⋅ 1 − ζ y se le denomina como frecuencia natural amortiguada. Si se hace R(s) = 1/s, la salida Y(s) toma el aspecto: 2

Y (s ) =

ωn

(

2

1

  −

s ⋅ s + 2 ⋅ ζ ⋅ ωn ⋅ s

=

s

2 + ωn

s + ζ ⋅ ωn

(

 s + ζ ⋅ ωn

)

=

1

−

s

s + 2 ⋅ ζω n 2

2

s + 2 ⋅ ζ ⋅ ωn ⋅ s + ωn

ζ ⋅ ωn

+

) 2 + ωd2 ( s + ζ ⋅ ωn ) 2

  = 2  + ωd 

 s + ζ ⋅ ωn ζ ωd  = − + ⋅ 2 2 2 s  s + ζ ⋅ω + ωd s + ζ ⋅ ωn 1− ζ n 1

(

)

=

(

)2

  2  + ωd 

(5.1.3.7)

Si ahora se revisan algunas de las transformadas de Laplace de la tabla 2.1 (unidad 2):

f(t)

F(s) ω

e-a·t ·sen(ω·t)

( s + a) 2 + ω 2 s +a

e-a·t ·cos(ω·t)

( s + a) 2 + ω 2

la transformada inversa de la ecuación (5.1.3.7) proporcionará la respuesta temporal del sistema, y(t), ante la entrada escalón unitario:  ζ − ζ ⋅ω n ⋅t y (t ) = 1 −  e ⋅ cos ωd ⋅ t +  1− ζ 

(

=1− e

=1−

e

− ζ ⋅ω n ⋅t

− ζ ⋅ω n ⋅t

1−ζ

2

)

2

 ζ ⋅ cos ωd ⋅ t +  1−ζ 

(

)

⋅e

2

    1−ζ ⋅ senωd ⋅ t + arctg   ζ  

− ζ ⋅ω n ⋅t

 ⋅ sen ωd ⋅ t  =  

(

)

 ⋅ sen ωd ⋅ t  =  

(

2

    

)

para t ≥ 0

(5.1.3.8)

A la vista de la ecuación (5.1.3.8) se comprueba que la frecuencia de oscilación transitoria es la frecuencia natural amortiguada ωd, la cual depende del factor de amortiguamiento relativo ζ. La señal de error del sistema de segundo orden ante una entrada escalón unitario, se expresa como:

151

Sistemas de medida y regulación

e ( t ) = u (t ) − y ( t ) = 1 − y (t ) =

e

    1− ζ ⋅ senωd ⋅ t + arctg   ζ  

− ζ ⋅ω n ⋅t

1−ζ

2

2

   

(5.1.3.9)

La señal de error presenta una oscilación senoidal amortiguada. Para t = ∞, es decir, en estado estable, no existe error entre la entrada y la salida (e(∞) = 0). • Sistema no amortiguado (ζ = 0): si se hace ζ = 0 en la ecuación (5.1.3.8), se obtiene la respuesta temporal:

(

y (t ) = 1 − cos ωd ⋅ t

)

para t ≥ 0

(5.1.3.10)

donde: ωd = ω n ⋅ 1 − ζ

2

= ω n ⋅ 1 − 0 = ωn

Como se puede observar, la respuesta transitoria nunca se hace cero y, como en este caso ωd = ωn, a la frecuencia ωn se le denomina frecuencia natural no amortiguada. • Sistema críticamente amortiguado (ζ = 1): dado que el único polo del sistema, en este caso, es s = - ωn, la respuesta Y(s) ante la entrada escalón unitario se expresa como: 2

Y (s ) =

2

ωn

(

2

2

s ⋅ s + 2 ⋅ ωn ⋅ s + ω n

=

)

(

ωn

s ⋅ s + ωn

(5.1.3.11)

)2

La respuesta temporal de la salida se obtiene calculando el límite de la ecuación (5.1.3.8) cuando ζ = 1: y (t ) = 1 − e

− ζ ⋅ω n ⋅t

(

⋅ 1 + ωn ⋅ t

)

para t ≥ 0

(5.1.3.12)

• Sistema sobreamortiguado (ζ > 1): se tienen dos polos reales negativos diferentes. Ante la entrada escalón, la salida resulta: 2

Y (s ) =

ωn  s ⋅  s + ζ ⋅ ω n + ωn ⋅ ζ 

2

  − 1  ⋅  s + ζ ⋅ ωn − ω n ⋅ ζ  

2

 −1  

(5.1.3.13)

Realizando la transformada inversa de Laplace, se obtiene la respuesta en el tiempo y(t): y (t ) = 1 −

ωn 2⋅ ζ

 donde s1 = ω n ⋅  ζ + ζ 

2

2

− s ⋅t  − s1 ⋅t e e 2  ⋅ −  s2 − 1  s1

  − 1  y s2 = ωn ⋅  ζ − ζ  

2

   

para t ≥ 0

(5.1.3.14)

 −1 . 

Es de observar que la respuesta incluye términos exponenciales que decaen con el tiempo. Además, cuando ζ es mucho mayor que 1, el polo -s2 tiende a cero (se aproxima al eje imaginario) mientras que el polo -s1 se aleja mucho del eje imaginario. En esta situación, el polo que realmente tiene influencia en el comportamiento del sistema es -s2, por lo que se puede decir que el sistema se comporta como un sistema de primer orden (un único polo) y para una solución aproximada se puede ignorar -s1. La respuesta temporal en estas circunstancias queda simplificada de la siguiente manera: y (t ) = 1 −

ωn 2⋅ ζ

2

⋅ −1

e

− s 2 ⋅t

para t ≥ 0

(5.1.3.15)

s2

En la figura 5.12 se reflejan las distintas respuestas a la entrada escalón para cada uno de los casos tratados.

152

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

y(t) 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2

0

Figura 5.12 : Curvas de respuesta al escalón unitario de un sistema de segundo orden.

Obsérvese que dos sistema de segundo orden que tengan el mismo ζ pero diferente ωn, rebasarán en la misma medida el límite máximo y mostrarán el mismo patrón oscilatorio. Se dice que tales sistemas tienen la misma estabilidad relativa. Es importante observar que, para los sistemas de segundo orden, cuyas funciones de transferencia en lazo cerrado son diferentes de las obtenidas mediante la ecuación (5.1.3.5), las curvas de respuesta escalón se ven muy distintas de las que aparecen en la figura 5.12. Es de notar que un sistema subamortiguado cuyo valor de ζ esté comprendido entre 0,5 y 0,8 se aproxima más rápidamente al valor final que aquél que sea críticamente amortiguado o sobreamortiguado. Entre los sistemas que responden sin oscilación, un sistema críticamente amortiguado presenta la respuesta más rápida. Un sistema sobreamortiguado siempre es lento para responder a las entradas (figura 5.12). Ahora que ya se conoce el comportamiento de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón, resulta interesante determinar los parámetros básicos que caracterizan la respuesta del sistema. Si se parte de la ecuación de la respuesta temporal (5.1.3.8): y (t ) = 1 −

e

− ζ ⋅ω n ⋅t

1− ζ

2

  2   1−ζ ⋅ sen ωd ⋅ t + arctg   ζ  

    

para t ≥ 0

los parámetros característicos se calculan de la siguiente manera: • Tiempo de subida (tr): aunque el tiempo de subida tr se define como el tiempo necesario para que la respuesta ante la entrada escalón pase del 10% hasta el 90% de su valor final, en sistemas subamortiguados se toma el tiempo que transcurre desde el 0% al 100% del valor final de la respuesta. En tales circunstancias, y considerando que la entrada es un escalón unitario, se tiene que: y(tr) = 1 Por tanto: 1 =1−

e

− ζ ⋅ω n ⋅t r

1− ζ

2

    1− ζ ⋅ senωd ⋅ t r + arctg   ζ  

2

    ; 

153

Sistemas de medida y regulación

e

− ζ ⋅ω n ⋅t r

1−ζ  − 2  1 ζ ω d ⋅ t r + arctg ζ  

2

    1− ζ ⋅ senωd ⋅ t r + arctg   ζ  

  1− ζ 2   1 = = ⋅ − 0 ; t arctg r   ωd ζ    

2

   = 0 

  1 =ω  d 

;

  − 2   1 ζ ⋅  π − arctg ζ    

    

(5.1.3.16)

• Tiempo de pico (tp): la obtención del tiempo de pico es la obtención de un máximo de la función. Para ello, si se deriva la respuesta temporal con respecto al tiempo y se iguala a cero, se obtiene el tiempo de pico: δ y (t ) δt

= ζ ⋅ ωn ⋅

e

= ζ ⋅ ωn ⋅

− ζ ⋅ω n ⋅t

1−ζ

2

− ζ ⋅ω n ⋅t

e

1− ζ

2

    1− ζ ⋅ senωd ⋅ t + arctg   ζ  

 ⋅  ζ ⋅ sen ω d ⋅ t + cos ω d ⋅ t ⋅ 1 − ζ 

(

= ωn ⋅ e

)

− ζ ⋅ω n ⋅t

(

)

 2  ζ ⋅ sen ωd ⋅ t ⋅   1− ζ

(

)

2

2

2

   − ζ ⋅ω n ⋅t e    1− ζ − ω ⋅ ⋅ cos ω ⋅ t + arctg d d     2  ζ 1− ζ   

e   − ωd ⋅ 

− ζ ⋅ω n ⋅t

1− ζ

2

+ 1− ζ

2

   = 

 ⋅  ζ ⋅ cos ω d ⋅ t − sen ωd ⋅ t ⋅ 1 − ζ 

(

2

)

 − ζ ⋅ω n ⋅t e  = ωn ⋅ ⋅ sen ωd ⋅ t  2 1− ζ 

(

(

)

)

Cuando t = tp, resulta que δy(t)/δt = 0, por lo tanto: ωn ⋅

e

− ζ ⋅ω n ⋅t p

1− ζ

2

(

)

⋅ sen ωd ⋅ t p = 0

(

)

sen ω d ⋅ t p = 0

;

;

ω d ⋅ t p = 0, π , 2 ⋅ π , 3 ⋅ π K

Como el sobrepaso máximo se produce en el primer máximo de la función, se tiene que el tiempo de pico es: tp =

π

(5.1.3.17)

ωd

• Sobrepaso máximo (Mp): este parámetro quedaba definido en la ecuación (5.1.3.3) como: Mp =

y (t p ) − A

⋅ 100

A

donde A es la amplitud del escalón de entrada. Si el escalón es unitario, A = 1, el sobrepaso, en tanto por unidad, resulta: M p = y (t p ) − 1

Mp = −

e

− ζ ⋅ω n ⋅t p

1−ζ

2

    1− ζ ⋅ senωd ⋅ t p + arctg   ζ  

; 2

−π ⋅  − ζ ⋅ω n ⋅t p  =e  = e 

ζ 1− ζ

2

(5.1.3.18)

• Tiempo de asentamiento (ts): es el necesario para que la respuesta a escalón unitario decrezca y quede dentro del intervalo específico de porcentaje de su valor final. Este porcentaje del valor final se suele tomar entre el 2% y el 5%, dependiendo de cuál es el criterio de error en el diseño del sistema. Para un criterio del 2%, el tiempo de asentamiento es: ts =

4 ζ ⋅ ωn

Para un criterio del 5%, el tiempo de asentamiento resulta:

154

(5.1.3.19)

2

 = 

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

ts =

3

(5.1.3.20)

ζ ⋅ ωn

A continuación se ejemplifica el uso de estos parámetros para el diseño de un sistema. Ejemplo 5.4 En el circuito RCL del ejemplo 5.3 se desea determinar las relaciones entre sus componentes para que la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario tenga un sobrepaso máximo de 0,1 V y un tiempo de subida de 0,1 s. R

L

i(t) C

Figura 5.13 : Circuito RLC.

La función de transferencia de este sistema ya quedó determinada, y resulta ser: Vo ( s )

=

Vi ( s )

1 2

L ⋅ C ⋅ s + R ⋅ C ⋅ s +1

Si se compara la función de transferencia resultante de este circuito RLC, con el modelo de función de transferencia de la ecuación (5.1.3.1), se llega a la siguiente equivalencia: J = L·C

;

B = R·C

;

K=1

A partir de aquí se pueden establecer las relaciones de los componentes del circuito con los parámetros básicos de la respuesta transitoria: 2

ωn =

K J

=

1

ζ =

;

L⋅C

B 2 ⋅ ωn ⋅ J

=

R 2 ⋅ ωn ⋅ L

=

R

C

⋅

2

(5.1.3.21)

L

El sobrepaso máximo de 0,1 V sobre una entrada escalón de 1 V resulta ser del 10% (o 0,1 en tanto por uno). De este valor de sobrepaso se puede extraer el valor del factor de amortiguamiento relativo: −π ⋅

ζ 1− ζ

M p = 0,1 = e

2

; ζ = 0,5911

De la expresión de tiempo de subida se puede calcular la frecuencia natural no amortiguada:   2   1−ζ t r = 0,1 s = ⋅ π − arctg  ωd  ζ   1

ωd = 22,0328

rad

;

s

   2 1    1 − 0,5911 ⋅ π − arctg    =  0,5911   ωd   ωd

ωn =

1− ζ

2

= 27 ,3171

   

;

rad s

Como dato indicativo de la respuesta transitoria, el tiempo de pico es: tp =

π ωd

=

π 22,0328

= 01425 , s

Ahora, reemplazando y despejando en la ecuación (5.1.3.19), resulta: L=

0,0529 C

H

;

R=

0,2719

Ω

C

Es decir, los componentes L y R del circuito quedan perfectamente definidos en función del valor de C. Para 155

Sistemas de medida y regulación

poder elegir un valor numérico de todos los componentes, sólo basta establecer un requisito propio del funcionamiento eléctrico del circuito. Si se fija un valor máximo de corriente, por ejemplo, se tendrían elegidos todos los componentes. La figura 5.14 muestra la respuesta temporal vo(t) del circuito RCL.

1,2 V 1V 0,8 V 0,6 V 0,4 V 0,2 V

0s

0,1 s

0,2 s

0,3 s

0,4 s

0,5 s

0,6 s

0,7 s

0,8 s

0,9 s

1s

t

Figura 5.14 : Gráfica de la respuesta vo(t) del circuito RLC para las condiciones especificadas

Respuesta a la entrada impulso unitario. Al igual que ya se ha hecho con la respuesta del sistema ante la entrada escalón unitario, ahora se sustituye la función de entrada R(s) por la transformada de Laplace de la función impulso unitario: R(s) = 1. De este modo, la función salida del sistema Y(s) resulta: 2

ωn

Y (s ) =

2

(5.1.3.22)

2

s + 2 ⋅ ζ ⋅ ωn ⋅ s + ω n

A partir de la expresión de la ecuación (5.1.3.22) se obtiene la respuesta temporal del sistema realizando la transformada inversa de Laplace. Esta respuesta se puede estudiar en función del valor que tome el factor de amortiguamiento relativo del sistema (ζ): • Sistema subamortiguado (0 < ζ < 1): la respuesta temporal, en este caso, resulta: y (t ) =

ωn 1−ζ

2

⋅e

− ζ ⋅ω n ⋅t

 ⋅ sen ω n ⋅ t ⋅ 1 − ζ 

2

  

para t ≥ 0

(5.1.3.23)

• Sistema no amortiguado (ζ = 0): si se hace ζ = 0 en la ecuación (5.1.3.23), se obtiene la respuesta temporal:

(

y (t ) = ω n ⋅ sen ωn ⋅ t

)

para t ≥ 0

(5.1.3.24)

• Sistema críticamente amortiguado (ζ = 1): 2

y (t ) = ω n ⋅ t ⋅ e

− ω n ⋅t

para t ≥ 0

(5.1.3.25)

• Sistema sobreamortiguado (ζ > 1): se tienen dos polos reales negativos diferentes. Ante la entrada impulso unitario, la salida resulta: 2

Y (s ) =

ωn   s + ζ ⋅ ω n + ωn ⋅ ζ 

2

  − 1  ⋅ s + ζ ⋅ ωn − ω n ⋅ ζ  

2

 −1  

Realizando la transformada inversa de Laplace, se obtiene la respuesta en el tiempo y(t):

156

(5.1.3.26)

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

y (t ) =

ωn 2⋅ ζ

 donde s1 = ω n ⋅  ζ + ζ 

2

2

−1

− s ⋅t   − s ⋅t ⋅ e 1 − e 2 

  − 1  y s2 = ωn ⋅  ζ − ζ  

2

para t ≥ 0

(5.1.3.27)

 −1 . 

Con las expresiones (5.1.3.23) y (5.1.3.25) se obtienen las curvas de respuesta (figura 5.16) correspondientes a un factor de amortiguamiento relativo del sistema 0 < ζ ≤ 1.

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1 0

Figura 5.16 : Curvas de respuesta al impulso unitario de un sistema de segundo orden.

Puesto que la función impulso es la derivada con respecto al tiempo de la función escalón, se puede concluir que el tiempo de pico (tp) para el sobrepaso máximo en la función escalón, es el mismo tiempo que transcurre hasta que la respuesta de la función impulso pasa por cero la primera vez.

5.2

Funciones básicas de control.

En el anterior apartado 5.1 se ha tratado cómo un proceso de control responde ante determinados estímulos o señales de entrada normalizadas. Como se ha podido comprobar, la señal de la respuesta del sistema no siempre sigue la forma de la señal de entrada. En los sistemas de segundo orden, y órdenes superiores, se llega incluso a situaciones de clara inestabilidad (sistemas subamortiguados, no amortiguados y amortiguados negativamente). Desde un punto de vista físico, las respuestas a las señales de prueba típicas se pueden interpretar como que el sistema posee una inercia a cambiar de estado; de ahí que cuanto mayor sea su orden, mayor inercia presentará ante los cambios de las señales de entrada. Cuando un sistema de estas características se desea regular mediante un lazo cerrado con el fin de generar una señal de error que actúe sobre el elemento final de control, se hace bastante difícil la estabilización de la respuesta del sistema. Esto se debe a que la señal de error siempre irá por delante en el tiempo con respecto a su respuesta por parte del dispositivo controlado. Ante esta situación, se hace clara la necesidad de un elemento de enlace, denominado controlador o corrector de error, entre la señal de error generada por el comparador y el elemento final de control. El controlador debe desarrollar una acción que contrarreste el retardo debido a la inercia natural del proceso controlado. Además, este elemento ajustará la amplitud de la señal de error (acción proporcional) a los valores

157

Sistemas de medida y regulación

adecuados para su acción sobre el elemento final de control. Estas dos acciones (la determinada por la amplitud y la correspondiente al tiempo) constituyen la variable correctora. Como ya se comentó en la unidad 1, el proceso de ajustar el controlador para modificar el tiempo y la amplitud de la señal de error se denomina optimización. En el presente apartado, se analizarán las acciones o funciones básicas de control que realizan los controladores para compensar los efectos inerciales del sistema. Las funciones básicas de control se pueden clasificar en: • Control de dos posiciones, o intermitente (encendido-apagado). • Control proporcional. • Control integral. • Control proporcional-integral. • Control proporcional-derivativo. • Control proporcional-integral-derivativo. A continuación, se profundiza un poco sobre cada una de las acciones o funciones básicas de control mencionadas.

5.2.1 Control de dos posiciones. Es la forma más simple en la que el controlador puede reaccionar ante una señal de error. En un sistema de este tipo, el controlador tiene sólo dos posiciones fijas. En muchos casos, estas dos posiciones son, simplemente conectado y desconectado. El controlador de dos posiciones, o de encendido-apagado, es relativamente simple y económico, y, por esta razón, se usa ampliamente en sistemas de control, tanto industriales como domésticos. Sea u(t) la señal de salida del controlador y e(t) la señal de error. En un controlador de dos posiciones, la señal u(t) permanece en un valor máximo o mínimo, según sea la señal de error positiva o negativa, de manera que: u(t) = U1 para e(t) > 0 u(t) = U2 para e(t) < 0

(5.2.1.1)

donde U1 y U2 son constantes. Generalmente, el valor mínimo de U2 puede ser o bien cero, o -U1. Los ejemplos más claros de controladores de dos posiciones son, en su mayoría, dispositivos eléctricos. Uno de los más sencillos es el termostato constituido por una lámina bimetálica, la cual, y ante la presión de referencia ejercida por un tornillo de ajuste, abre o cierra un contacto eléctrico en función del curvamiento sufrido por la lámina ante las variaciones de temperatura. Otro tipo de controlador eléctrico sería aquel dispositivo que ante la variación de la señal de entrada (en este caso señal de error), logra la excitación de un electroimán que abre o cierra un contacto eléctrico. También existen controladores neumáticos proporcionales con muy altas ganancias que actúan como controladores de dos posiciones y se les conoce como controladores neumáticos de dos posiciones. En la figura 5.17 se pueden ver diagramas de bloques, con sus correspondientes gráficas salida - error, de controladores de dos posiciones. El rango en el que la señal de error debe variar antes que se produzca la conmutación, se denomina brecha diferencial o zona muerta. En la figura 5.17b se indica una brecha diferencial. Tal brecha diferencial hace que la salida del controlador u(t) mantenga su valor hasta que la señal de error haya rebasado ligeramente el valor cero. En algunos casos, la brecha diferencial es el resultado de una fricción no intencional o movimiento perdido. Sin embargo, a veces, se provoca en forma deliberada para impedir la acción excesivamente frecuente del actuador y elemento final de control.

158

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

r(t)

e(t)

u(t)

r(t)

e(t)

y*(t)

u(t)

y*(t)

u(t)

u(t)

brecha diferencial

er

e(t)

a)

e(t)

b)

Figura 5.17 : Diagramas de bloques y gráficas señal de salida - error para controladores de dos posiciones: a) controlador con conmutación de salida en el mismo punto para los dos sentidos de recorrido de la variable, b) controlador de dos posiciones con brecha diferencial.

5.2.2 Control proporcional. Para un controlador de acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal de error e(t), es: u(t) = Kp · e(t)

(5.2.2.1)

o bien, expresándola en términos de función de transferencia: U( s) E( s)

= Kp

(5.2.2.2)

donde Kp se denomina ganancia proporcional. u(t) r(t)

e(t)

u(t)

y*(t) e(t)

Figura 5.18 : Diagrama de bloques y gráfica señal de salida - error para el controlador proporcional.

Se puede decir que, independientemente de la tecnología empleada en su construcción, el controlador proporcional es esencialmente un amplificador con ganancia ajustable. En la figura 5.18 se puede ver el diagrama de bloques con su correspondiente gráfica salida - error. Dado que no existe ningún controlador ideal, cabe comentar que la ganancia de un controlador proporcional siempre se define, y se cumple, para un determinado rango de señales de error. Este rango se denomina banda proporcional.

159

Sistemas de medida y regulación

5.2.3 Acción de control integral. En un controlador con acción de control integral, el valor de la salida del controlador u(t) tiene una relación proporcional con la variación de la señal de error e(t) con respecto al tiempo (velocidad de la señal de error). Es decir: δ u(t) δt

= K i ⋅ e(t)

(5.2.3.1)

o bien:

∫0 e(t) ⋅ δ t t

u(t) = K i

(5.2.3.2)

donde Ki es una constante ajustable. La función de transferencia del controlador integral es: U(s)

=

E(s)

Ki

(5.2.3.3)

s

Al inverso de Ki se le denomina tiempo integral Ti, resultando la función de transferencia de la forma: U(s) E(s)

=

1

(5.2.3.4)

Ti ⋅ s

En la figura 5.19 se muestra el diagrama de bloques del controlador y una gráfica de comportamiento de la salida del controlador en función de la señal de error.

r(t)

e(t)

u(t) e(t)

y*(t) t r(t)

e(t)

u(t)

u(t)

y*(t) t

Figura 5.19 : Opciones de diagrama de bloques y gráficas temporales de la señal de salida y error para el controlador integral.

Ante un error constante, el valor de u(t) aumenta a una velocidad constante. Ante un error igual a cero, el valor de u(t) permanece estacionario. En ocasiones, la acción de control integral recibe el nombre de control de reposición o restablecimiento.

5.2.4 Acción de control proporcional e integral (PI). La acción de un controlador proporcional-integral queda definida por la siguiente ecuación: u(t) = K p ⋅ e(t) +

Kp Ti

∫0 e(t) ⋅ δ t t

(5.2.4.1)

y la función de transferencia del controlador es:  1   = K p ⋅ 1 +   E(s)  Ti ⋅ s 

U(s)

160

(5.2.4.2)

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

donde Kp es la ganancia proporcional y Ti se denomina tiempo integral. Ambos valores, Kp y Ti son ajustables. El tiempo integral regula la acción de control integral, mientras que una modificación en Kp afecta tanto a la parte integral como a la proporcional de la acción de control. La figura 5.20 muestra un diagrama de bloques de un controlador proporcional integral. Si la señal de error e(t) es una función escalón unitario, como se ve en la figura 5.20, la salida del controlador u(t) pasa a ser la indicada en dicha figura.

r(t)

e(t)

u(t) e(t)

y*(t) t r(t)

e(t)

u(t)

u(t)

y*(t) t

Figura 5.20 : Opciones de diagrama de bloques y gráficas temporales de la señal de salida y error para el controlador proporcional-integral.

5.2.5 Acción de control proporcional y derivativo (PD). La acción de control proporcional-derivativo se define por la siguiente ecuación: u(t) = K p ⋅ e(t) + K p ⋅ Td ⋅

δ e(t)

(5.2.5.1)

δt

y la función de transferencia es: U(s) E(s)

r(t)

e(t)

(

= K p ⋅ 1 + Td ⋅ s

)

(5.2.5.2)

u(t) e(t)

y*(t) t r(t)

e(t)

y*(t)

u(t)

u(t) acción proporcional t

Figura 5.21 : Opciones de diagrama de bloques y gráficas temporales de la señal de salida y error para el controlador proporcional-derivativo.

donde Kp es la ganancia proporcional y Td es una constante denominada tiempo derivativo o tiempo de adelanto. Tanto Kp como Td son regulables. La acción de control derivativa, a veces llamada control de velocidad, se presenta cuando el valor de salida del controlador es proporcional a la velocidad de variación de la señal de error. El tiempo derivativo Td es el intervalo de tiempo en el que la acción de derivativa se adelanta al efecto de la acción proporcional. En la figura 5.21 se puede ver un diagrama de bloques de un controlador

161

Sistemas de medida y regulación

proporcional-derivativo. Si la señal de error e(t) es una función rampa unitaria, la salida del controlador u(t) es la que se ve en la figura 5.21. Como puede comprobarse, la acción derivativa tiene una característica anticipatoria. Por supuesto, una acción derivativa nunca puede anticipar una acción que aún no acontece. En tanto acontece la acción derivativa tiene una ventaja al anticiparse al error, sus desventajas son que amplifica las señales de ruido y produce un efecto de saturación en el actuador. Nótese que nunca se usará una sola acción de control derivativo, porque este control es efectivo durante períodos transitorios solamente.

5.2.6 Acción de control proporcional-integral-derivativo (PID). La combinación de los efectos de acción proporcional, integral y derivativa, se denomina acción de control proporcional-integral-derivativa. Esta combinación tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un control con esta acción de control es: u(t) = K p ⋅ e(t) +

Kp Ti

∫0 e(t) ⋅ δ t + K p ⋅ Td ⋅ t

δ e(t)

(5.2.6.1)

δt

y la función de transferencia es:   1 = K p ⋅ 1 + + Td ⋅ s    E(s)  Ti ⋅ s 

U(s)

(5.2.6.2)

donde Kp es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral y Td es el tiempo derivativo. En la figura 5.22 se puede ver el diagrama de bloques de un controlador proporcional, integral y derivativo. Si e(t) es una función rampa unitaria, la salida del controlador u(t) resulta ser la que se muestra en la figura 5.22.

r(t)

e(t)

u(t) e(t)

y*(t) t acción PID r(t)

e(t)

u(t)

u(t) acción PD

y*(t)

acción proporcional t

Figura 5.22 : Opciones de diagrama de bloques y gráficas temporales de la señal de salida y error para el controlador proporcional-integral-derivativo.

5.3

Análisis de estabilidad de los procesos de lazo cerrado.

En el apartado 5.1.3 se ha visto que la respuesta transitoria de un sistema de control lineal e invariante con el tiempo está gobernada por los polos de la función de transferencia. Básicamente, el diseño de sistemas de control lineales realimentados puede considerarse como un problema de ordenamiento de las posiciones de los polos del sistema del lazo cerrado, de tal manera que el sistema funcione de acuerdo con las especificaciones prescritas. Entre las muchas formas de especificaciones de desempeño usadas en el diseño de sistemas de control, el requisito más importante es que el sistema sea estable en todo momento. Por lo general, la estabilidad sirve para diferenciar dos clases de sistemas: útiles y no útiles; esto es, desde un punto de vista práctico, se considera que un sistema estable puede ser útil, mientras que uno inestable es no útil.

162

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

Cuando se toman en cuenta todos los tipos de sistemas, lineales, no lineales, invariantes y variantes con el tiempo, la definición de estabilidad puede tomar diversas formas. En estas secciones sólo se hará referencia a la estabilidad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Para propósitos de análisis y diseño, se clasifica la estabilidad en estabilidad absoluta y estabilidad relativa. La estabilidad absoluta se refiere a la condición de ser estable o inestable; es una condición de sí o no. Una vez que se ha determinado que el sistema es estable, se desea saber el grado de estabilidad, el cual es una medida de la estabilidad relativa. Los parámetros del tipo de sobrepaso y el factor de amortiguamiento relativo, que se han usado para el análisis de la respuesta transitoria en sistemas de segundo orden (apartado 5.1.3), suelen ser indicativos de la estabilidad relativa de los sistemas lineales invariantes con el tiempo en el dominio del tiempo. La relación entre la estabilidad de un sistema y los polos de la función de transferencia del lazo cerrado se puede resumir de forma similar a como se hizo para los tipos de amortiguamiento de un sistema de segundo orden: • Cuando todos los polos se localizan en el semiplano izquierdo del plano s, la componente transitoria de la respuesta del sistema disminuye hasta cero a medida que el tiempo tiende a infinito. • Si uno o más pares de polos simples están situados en el eje imaginario del plano s, pero no los hay en el semiplano derecho del plano s, la componente transitoria de la respuesta del sistema será una oscilación senoidal no amortiguada. • Si uno o más de los polos quedan en el semiplano derecho del plano s, la respuesta del sistema aumentará en magnitud al paso del tiempo incluso ante la ausencia de señales de entrada. En la teoría de los sistemas lineales, estas dos últimas categorías se definen como condiciones inestables. Se debe observar que las respuestas, a las que se refieren las condiciones anteriores, se deben únicamente a las condiciones iniciales, por lo que se les suele llamar respuestas a entrada cero.

5.3.1 Polos dominantes en lazo cerrado. El comportamiento dinámico de un proceso de control en lazo cerrado viene determinada por la ubicación de los polos de la función de transferencia en el plano complejo. Si una función de transferencia tiene más de un polo, siempre habrá alguno de ellos que dominará en el comportamiento del sistema. Estos polos se denominan polos dominantes en lazo cerrado. Plano s

región inestable región de polos no dominantes

región de polos dominantes

D

región inestable

Figura 5.23 : Regiones de polos dominantes y no dominantes en el plano s.

La dominancia relativa de los polos en lazo cerrado se determina mediante el cociente de las partes reales de los polos de la función de transferencia. Si el cociente entre dos polos es superior a 5, el polo más cercano al eje imaginario del plano s será el que domine el comportamiento del sistema, siempre y cuando no existan ceros en las proximidades del mismo. Este dominio se debe a que los polos más próximos al eje imaginario

163

Sistemas de medida y regulación

corresponden a términos de la respuesta transitoria que disminuyen lentamente. En muchas ocasiones los polos dominantes pueden aparecer como un par de números complejos conjugados. En la optimización de los procesos de control, son los polos dominantes los que requieren la principal atención del análisis. Estos polos juegan un papel importante en la linealización de sistemas de segundo orden y órdenes superiores. Si se diseña el sistema para que aparezcan polos dominantes, se podrán obviar los polos no dominantes, por lo que el sistema se estará comportando como un sistema de orden inferior. En este proceso de diseño, se suelen usar los polos dominantes para controlar el comportamiento dinámico del sistema (respuesta transitoria) mientras que los polos no dominantes sirven para asegurar que la función física de control es factible en la práctica. Con fines prácticos, se suele dividir el plano complejo en secciones cualitativas que forman regiones en las que quedan situados los polos dominantes y los polos no dominantes (figura 5.23). Los polos cercanos al eje imaginario en el semiplano izquierdo dan lugar a respuestas transitorias que disminuirán con una cierta lentitud, mientras que los polos alejados del eje imaginario, también en el semiplano izquierdo, corresponden a respuestas que decaen rápidamente en el tiempo. La distancia D entre la región dominante y la región no dominante, que aparece en la figura 5.23, es de gran importancia en el diseño de sistemas de polos dominantes. Como se ha mencionado anteriormente, si la magnitud de la parte real de unos polos es superior a 5 veces la de un polo dominante (o par de polos conjugados) dichos polos se pueden considerar insignificantes en el desempeño dinámico del sistema. Esto se puede expresar, también, diciendo que aquellos polos que estén a una distancia D superior a 4 veces la parte real del polo dominante son polos no dominantes.

5.3.2 Métodos para determinar la estabilidad de procesos de control lineales. Aunque la estabilidad de un proceso de control se puede determinar mediante la localización de los polos de su función de transferencia, no siempre resulta fácil. Hay que pensar que la localización de polos requiere la obtención de las raíces de la ecuación característica, la cual no es más que el polinomio del denominador de la función de transferencia igualado a cero. La obtención de raíces de la ecuación característica en sistemas de orden superior a dos se puede hacer un tanto compleja y laboriosa, por lo que este método de análisis de estabilidad deja de ser eficaz. En general, lo que interesa es el uso de algoritmos de fácil aplicación, que proporcionen respuestas en cuanto a estabilidad o inestabilidad sin necesidad de cálculos excesivos. A continuación se describen los métodos de uso frecuente en los estudios de estabilidad de procesos de control lineales: • Criterio de Routh-Hurwitz: es un método algebraico que proporciona información sobre la estabilidad del proceso de control a base de verificar la existencia de polos en el semiplano derecho del plano complejo s. Además, también comprueba la existencia de polos en el semiplano izquierdo y en el eje imaginario. • Criterio de Nyquist: se trata de una herramienta semigráfica que, a partir de la observación del comportamiento de la gráfica, proporciona información sobre número de polos y ceros de la función de transferencia del lazo cerrado. • Gráfica del lugar geométrico de las raíces: representa un diagrama de los lugares geométricos de las raíces de la ecuación característica de un sistema, cuando se varía un parámetro del mismo. Cuando la gráfica del lugar geométrico de las raíces queda situada en el semiplano derecho del plano complejo, el sistema es inestable. Como ejemplo de método de análisis de la estabilidad de un sistema, se desarrolla a continuación el Criterio de Routh-Hurwitz.

5.3.3 Criterio de Routh-Hurwitz. El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz permite determinar la presencia de raíces inestables en una ecuación polinomial sin necesidad de resolverla. Este criterio sólo se debe aplicar a polinomios con una cantidad finita de términos. La información de la presencia o no presencia de polos inestables se obtiene a partir de los coeficientes de la ecuación característica. El procedimiento en este criterio es el siguiente: • Se escribe, primeramente, el polinomio del denominador de la función de transferencia del sistema en forma de ecuación característica: n

a0 ⋅ s + a1 ⋅ s

164

n −1

+ a2 ⋅ s

n −2

+ L + an −1 ⋅ s + an = 0

(5.3.3.1)

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

Los coeficientes de esta ecuación son cantidades reales y, además, se supone que an ≠ 0, con el fin de evitar cualquier raíz cero. • Si alguno de los coeficientes de la ecuación (5.3.3.1) es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, significa que hay alguna raíz real, o imaginaria, que tiene partes reales positivas. En esta situación el sistema se puede declarar como no estable. De esta forma queda determinada la estabilidad absoluta. Por lo tanto, se puede resumir diciendo que: Para que un sistema o proceso de control sea estable es necesario que todos los coeficientes de su ecuación característica sean positivos y ninguno de ellos sea nulo. •

La condición anterior es necesaria pero no suficiente. La condición necesaria y suficiente para que todas raíces de la ecuación (5.3.3.1) queden en el semiplano izquierdo es que los determinantes Hurwitz del polinomio de la ecuación característica, sean todos positivos. Los determinantes Hurwitz se obtienen de la siguiente manera: a1 a3 a5 L a2⋅n −1

D1 = a1 ; D2 =

a1

a3

a0

a2

a1

a3

a5

; D3 = a 0

a2

a4

0

a1

a3

; Dn =

a0

a2

a4

L

a2⋅n −2

0

a1

a3

L

a2⋅n −3

0

a0

a2

L

a2⋅n −4

L

L

L

L

L

0

0

0

L

an

(5.3.3.2)

La obtención de los determinantes de Hurwitz es muy laboriosa en procesos de control de orden superior. No obstante, esta regla de los determinantes fue simplificada por Routh mediante la creación de una tabla que permite evitar operar con determinantes. El método simplificado de Routh-Hurwitz se desarrolla en las siguientes operaciones: • Primera operación: la cual consiste en ordenar los coeficientes del polinomio en dos renglones: a0

a2

a4

a6

a8 L

a1

a3

a5

a7

a9 L

(5.3.3.3)

• Segunda operación: se forma una distribución numérica siguiendo las operaciones que a continuación se indican (se toma como ejemplo un sistema de octavo orden): s8

a0

a2

a4

a6

a8

7

a1

a3

a5

a7

0

s

6

s

a1 ⋅ a2 − a0 ⋅ a3 a1

5

s

A ⋅ a3 − a1 ⋅ B

=A

=D

A s4 3

D ⋅B − A⋅ E

=G

G⋅E−D⋅H I⋅H −G⋅J

=I

1

K ⋅ J − I ⋅ a8

=E

a1 ⋅ a6 − a0 ⋅ a7 a1 A ⋅ a7 − a1 ⋅ a8

=C

=F

A

D ⋅C − A⋅ F

=H

a1 A ⋅ 0 − a1 ⋅ 0

= a8

0

=0

0

=0

0

A

D ⋅ a8 − A ⋅ 0 D

G ⋅ F − D ⋅ a8

a1 ⋅ a8 − a0 ⋅ 0

= a8

D ⋅0 − A⋅0 D

=J

0

0

0

= a8

0

0

0

G =K

I s

A ⋅ a5 − a1 ⋅ C

D

G s2

a1

=B

A

D s

a1 ⋅ a4 − a0 ⋅ a5

I ⋅ a8 − G ⋅ 0 I

=L

0

0

0

0

= a8

0

0

0

0

K 0

s

L ⋅ a8 − K ⋅ 0 L

165

Sistemas de medida y regulación

(5.3.3.4) A esta distribución numérica se le conoce como tabla de Routh. La columna de la izquierda, formada por potencias de base s, se utiliza a efectos de identificación. • Tercera operación: se trata de investigar los signos de los números de la primera columna (encabezados por a0). A partir de ahora se obtienen las siguientes conclusiones: 1. Todas las raíces del polinomio quedan situadas en el semiplano izquierdo del plano complejo, cuando todos los elementos de la primera columna de la tabla de Routh son del mismo signo. 2. Si existen cambios de signo en los elementos de la primera columna, el número de cambios corresponde con el número de raíces con parte real positiva. Debe señalarse que no es necesario conocer los valores exactos de los términos de la primera columna; sólo basta conocer sus signos. Con todo esto, se puede concluir diciendo que: La condición necesaria y suficiente para que un sistema o proceso de control sea estable, consiste en que ninguno de los coeficientes de su ecuación característica sea nulo y que todos sean positivos; además, todos los términos de la primera columna de la tabla de Routh deben ser del mismo signo.

Ejemplo 5.5 Se desea determinar si el sistema cuya función de transferencia es: M=

2 ⋅ s +1

(5.3.3.5)

( s − 2 ) ⋅ ( s + 1) ⋅ ( s − 3 )

resulta ser estable o no. Para determinar su estabilidad aplicando el criterio de Routh-Hurwitz, se ha de analizar la ecuación característica del sistema, la cual se puede expresar como: 3

2

( s − 2 ) ⋅ ( s + 1) ⋅ ( s − 3 ) = s − 4 ⋅ s + s + 6 = 0

(5.3.3.6)

Se puede observar que tiene un coeficiente negativo, por lo cual ya no se cumple la condición necesaria del criterio de Routh-Hurwitz. No obstante, si se aplica la tabla de Routh se pueden determinar cuántas raíces tienen su parte real positiva: s3

1

1

2

-4

6

s

s1 0

s

−4 ⋅ 1 − 1 ⋅ 6 −4

= 2,5

2,5 ⋅ 6 − ( −4 ) ⋅ 0

=6

0

0

2,5 Se comprueba que se produce un cambio de signo, entre los elementos de la primera columna, de s3 a s2, y 2 1 otro de s a s . Dado que existen en total dos cambios de signo, la ecuación característica (5.3.3.6) tiene dos raíces en el semiplano derecho del plano complejo, concretamente en s = 2 y en s = 3.

Ejemplo 5.6 Se desea aplicar el criterio de Routh-Hurwitz a la siguiente ecuación característica de un sistema: 4

3

2

s +2⋅s +3⋅s +4 ⋅s +5 = 0

(5.3.3.7)

Como bien se observa, todos los coeficientes de la ecuación son positivos, por tanto, el sistema que tuviera la ecuación (5.3.3.7) como ecuación característica cumpliría con la condición necesaria de estabilidad. La condición suficiente se determina mediante la tabla de Routh.

166

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

s4

1

3

5

3

2

4

0

s

s2

2 ⋅ 3 −1 ⋅ 4

=1

2 ⋅ 5 −1 ⋅ 0

2 s1

1⋅4 − 2 ⋅5

= −6

1⋅0 −2 ⋅0

1 s0

=5

0

=0

0

2

1

−6 ⋅ 5 − 1 ⋅ 0 −6

=5

0

0

Queda patente que se producen dos cambios de signo, de s2 a s1 y otro de s1 a s0. Dado que existen dos cambios de signo no se cumple la condición suficiente del criterio de Routh-Hurwitz. La ecuación característica (5.3.3.7) tiene dos raíces en el semiplano derecho del plano complejo, concretamente en s = (0,288 + j1,417) y en s = (0,288 - j1,417).

Ejemplo 5.7 Se ajusta el término independiente (a4) de la ecuación (5.3.3.7) del ejemplo 5.6, con el fin de mejorar la estabilidad del sistema. De este ajuste resulta una nueva ecuación característica: 4

3

2

s + 2 ⋅ s + 3 ⋅ s + 4 ⋅ s +1 = 0

(5.3.3.8)

Se observa, al igual que en el ejemplo anterior, que todos los coeficientes de la ecuación son positivos, por lo cual el sistema sigue cumpliendo con la condición necesaria de estabilidad. A continuación, se vuelve a examinar la condición suficiente: s4

1

3

1

3

2

4

0

s

s2

2 ⋅ 3 −1 ⋅ 4

=1

2 s1

1 ⋅ 4 − 2 ⋅1 2 ⋅1 − 1 ⋅ 0

=1

0

=0

0

2 =2

1 s0

2 ⋅1 − 1 ⋅ 0 1⋅0 −2 ⋅0 1

=1

0

0

2 Queda patente que no se producen cambios de signo, por lo cual la ecuación no tiene raíces en el semiplano derecho del plano complejo y el sistema cumple la condición suficiente de estabilidad.

Casos especiales. Se pueden plantear dos casos especiales en la tabla de Routh: • El primer término de una fila de la tabla de Routh es cero, pero los otros términos no: ello tendría como consecuencia que el primer término de la siguiente fila fuera infinito o resultara una indeterminación. Para evitar esto, se sustituye el primer término de dicha fila por un valor muy pequeño que sea positivo, el cual se denominará con el símbolo ε . Después se procede con la aplicación del criterio como ya se ha explicado anteriormente. • Todos los términos de una fila de la tabla de Routh son cero: en este caso no se puede aplicar directamente el criterio de Routh. Para poder seguir adelante con la tabla, se crea una ecuación auxiliar con los términos del renglón anterior a la fila de ceros, la cual será de orden par. Esta ecuación auxiliar se deriva con respecto a s, y los coeficientes del polinomio resultante se usan para sustituir la fila de ceros. A continuación se expone un ejemplo de cada caso especial.

167

Sistemas de medida y regulación

Ejemplo 5.8 Se va a aplicar el criterio de Routh-Hurwitz a la siguiente ecuación: 3

2

s +2⋅s +s+2 = 0

(5.3.3.9)

Se observa que todos los coeficientes de la ecuación son positivos. A continuación se examina la ecuación con la tabla de Routh: s3

1

1

2

2

2

s

s1

2 ⋅1 − 1 ⋅ 2

=0 ≈ε

0

2 ε ⋅2 −2 ⋅0

s0

ε

=2

0

Este caso era del primer tipo de los dos casos especiales expuestos. Como ε es un número pequeño positivo, no se producen cambios de signo en la primera columna de términos.

Ejemplo 5.9 Se va a aplicar el criterio de Routh-Hurwitz a la siguiente ecuación: 4

3

2

s +s −3⋅s −s +2 = 0

(5.3.3.10)

Como existen coeficientes negativos, la aplicación del criterio va a permitir determinar cuántas raíces se hallan situadas en el semiplano positivo del plano s. A continuación, se examina la ecuación con la tabla de Routh: s4

1

-3

2

3

1

-1

0

2

-2

2

0

0

0

s s

s1

−2 ⋅ ( −1 ) − 1 ⋅ 2 −2

=0

Debido a la presencia de una fila de ceros (s1), la tabla de Routh no se puede seguir aplicando. Se toman los 2 términos de la fila anterior, s , para confeccionar una ecuación auxiliar: 2

−2 ⋅ s + 2 = 0

(5.3.3.11)

Si se deriva la ecuación auxiliar con respecto a s, resulta: −4 ⋅ s = 0

(5.3.3.12)

1

Se reemplazan los términos de la fila s por los coeficientes de la ecuación (5.3.3.12), y se continúa con la tabla de Routh: s4

1

-3

2

3

1

-1

0

2

-2

2

0

1

-4

0

0

0

2

0

0

s s s s

Puesto que la tabla tiene dos cambios de signo en la primera columna de términos, la ecuación (5.3.3.10) tiene dos raíces cuya parte real es positiva.

168

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

5.4

Efecto de las funciones de control sobre el comportamiento de un sistema.

En los apartados 5.1 y 5.2 se han tratado los aspectos referentes a la respuesta temporal de un proceso de control y las acciones básicas de los controladores. Además, en el anterior apartado 5.3 se ha descrito un método para analizar la estabilidad de un proceso. Sin embargo, todavía no se ha relacionado el efecto de las acciones de los controladores en las respuestas temporales de los procesos de control y, sobre todo, en la estabilidad de estas respuestas. A partir de la clasificación de controladores realizada en el apartado 5.2, se pueden resumir las funciones de control en control proporcional, control integral y control derivativo. Todas las demás acciones de control habituales resultan de las combinaciones de estas tres, exceptuando el control dos posiciones. Hay que pensar que el objetivo básico de los controladores es poder ajustar la respuesta de un sistema a los requerimientos impuestos en el diseño del mismo. Este ajuste, que se conoce más bien como optimización, implica modificar la señal de error proveniente del comparador, de tal forma que a la salida del controlador se obtenga una señal corregida que compense los efectos inerciales del sistema. Es evidente que esta optimización se realiza en base a una modificación en amplitud y en tiempo de la señal de error. Si se aplica un control proporcional puro a un proceso de control de lazo cerrado, se estará obteniendo una señal a la salida del controlador modificada en amplitud con respecto a la señal de error, pero no habrá ninguna modificación en cuanto a tiempo. Dicho controlador es un amplificador de ganancia constante y la señal corregida es una señal directamente proporcional a la señal de error. Este control es bastante simple y puede resultar de interés en aquellos casos en los que el proceso controlado tenga una inercia despreciable. De todas formas, la verdadera optimización de un proceso se obtiene cuando se aplica un control integral o un control derivativo al mismo y, aún más, cuando se combinan las tres funciones básicas de control.

5.4.1 Efecto de la función de control integral. En muchos sistemas en los que se utiliza un control proporcional, se produce un error en estado estable en la respuesta ante una entrada escalón. Piénsese, por ejemplo, en el control de posición de un cursor accionado por un motor de corriente continua (figura 5.24). El motor actúa a partir de la señal de error resultante de la comparación de la posición de consigna (marcada por un potenciómetro) y la posición del eje del motor, el cual arrastra un segundo potenciómetro. Si se efectúa un control proporcional, la señal de error es amplificada con una ganancia constante. Esta señal corregida (señal de control) será un valor de tensión que actúe sobre el motor de c.c. Cuando la señal de control sea lo suficientemente pequeña para que el par motor del motor de c.c. no consiga vencer al par resistente del eje del cursor, sucederá que el cursor se estacionará sin llegar a alcanzar la posición de consigna, es decir, existe una diferencia entre la respuesta en estado estable y el valor de consigna a pesar de que aún existe una señal de error no nula a la salida del comparador. Este error en estado estable también se conoce como offset (desajuste). El control integral proporciona una señal de control proporcional al área que encierra la curva de la señal de error hasta ese mismo instante. Por tanto, y siguiendo con el ejemplo de la figura 5.24, ante la presencia de una señal de error permanente en estado estable, el control integral ofrecería como resultado una señal de control creciente. Esto es debido a que, mientras el tiempo transcurre, el área bajo el tramo de curva de error estable aumenta. Con esto se consigue que mientras exista una señal de error, la señal de control crecerá y tenderá a compensar la diferencia entre el valor consigna y el valor de la señal de salida. No obstante, la inclusión de un control integral en un lazo cerrado puede conducir a la obtención de una respuesta oscilatoria de amplitud decreciente. Esto es fácil de entender si se piensa que incluso cuando la señal de error se ha hecho cero, el controlador proporciona una señal de control constante (la integral de una función cero es una constante) dando lugar a que la señal de salida tarde en estabilizarse. Para ilustrar lo comentado anteriormente, se toma como ejemplo el proceso de control de la figura 5.25. Este proceso de lazo cerrado realiza un control proporcional de ganancia Kp, dando como resultado una función de transferencia: Y (s ) R( s )

=

Kp ⋅ A s + ( K p ⋅ A + B)

(5.4.1.1)

169

Sistemas de medida y regulación

Motor de posicionamiento

Comparador

+ E

Amplificador de potencia para c.c.

e

A C

e*

-

r

+

+

B

-

Transmisor de medida

*

y

Reductor de engranajes

Consigna o entrada de referencia

Señal de error

e

r

M _

-

y

Posición de consigna

D

Variable controlada

Posición del cursor presencia de señal de error en estado estable

y r

offset

Tiempo t

Tiempo t

Tiempo t

Figura 5.24 : Presencia de un error en estado estable (offset) en el control de posición de un cursor.

Como se puede comprobar a partir de la ecuación (5.4.4.1), el proceso de control descrito en la figura 5.25 es un sistema de primer orden, el cual poseerá, sin lugar a dudas, un error en estado estable u offset.

R(s)

Kp

E(s)

U(s)

A s+B

Y(s)

Y(s)

Figura 5.25 : Proceso con control proporcional.

Si en lugar de usar un controlador proporcional, se usa un controlador integral (figura 5.26) cuya función de transferencia sea: U(s) E(s)

=

1 Ti ⋅ s

(5.4.1.2)

el proceso de control tendrá como función de transferencia del lazo cerrado la expresión: Y (s) R(s )

=

Ti ⋅ A 2

s + s ⋅ B + Ti ⋅ A

(5.4.1.3)

Se observa que el sistema ha aumentado en un orden con respecto al sistema de figura 5.25. Por ser un sistema de segundo orden, mejora su error en estado estable (tema que se tratará en el siguiente apartado 5.6) en un orden con respecto al error en estado estable de la función de transferencia de primer orden de la ecuación (5.4.1.1). No obstante, por el hecho de que la ecuación característica del nuevo sistema sea de un orden superior (la acción integral añade una "inercia" extra al sistema), implica la aparición de un nuevo polo, lo que aumenta el riesgo de inestabilidad.

170

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

R(s)

E(s)

U(s)

Y(s)

A s+B

Y(s)

Figura 5.26 : Proceso con control integral.

A partir de las observaciones realizadas anteriormente, se puede resumir diciendo que: El efecto de la función de control integral sobre un proceso de control es la eliminación del error en estado estable u offset, pero aumenta en un orden la ecuación característica del proceso, dando lugar a una mayor inestabilidad.

5.4.2 Efecto de la función de control proporcional e integral. Parece lógico pensar que el efecto de la función de control proporcional e integral va a ser una combinación de los efectos individuales del control proporcional y control integral respectivamente. Se partirá del ejemplo de la figura 5.25 y se añadirá un control integral, obteniendo así un sistema con un controlador proporcional e integral (figura 5.27). El controlador proporcional e integral (PI) posee la siguiente función de transferencia:  U(s) 1  K p ⋅ Ti ⋅ s + K p = = K p 1 + E(s) Ti ⋅ s  Ti ⋅ s 

(5.4.2.1)

Por tanto, la función de transferencia del proceso de control en lazo cerrado resulta ser:

(

)

A ⋅ K p ⋅ Ti ⋅ s + K p Y(s ) = = R( s ) Ti ⋅ s 2 + K p ⋅ A + B ⋅ Ti ⋅ s + K p ⋅ A

(

R(s)

)

 1 A ⋅ K p ⋅  s + T i 

E(s)

(

)

s2 + K p ⋅ A + B ⋅ s +

U(s)

    Kp ⋅ A

(5.4.2.2)

Ti

A s+B

Y(s)

Y(s)

Controlador PI

Figura 5.27 : Proceso con control proporcional e integral.

A la vista de la ecuación (5.4.2.2) se observa que el sistema ha pasado de ser de primer orden (figura 5.25) a ser de segundo orden. Ello conlleva la ventaja de obtener un error en estado estable igual a cero. No obstante, y a diferencia del caso de la figura 5.26, ahora aparece un cero en la función (c = -1/(Kp·Ti)). Si se ajustan los parámetros Kp, Ti, A y B de forma adecuada, se puede conseguir que el cero de la función de transferencia coincida con uno de los dos polos (preferentemente con el dominante) por lo que el efecto de dicho polo queda compensado con el cero (proceso que se conoce como cancelación de polos y ceros) y el sistema se comporta como un sistema de un orden inferior, es decir, de primer orden en este caso. La consecuencia de la aparición de un cero es aumentar la estabilidad del sistema en un orden. En consecuencia, se llega a la siguiente conclusión:

171

Sistemas de medida y regulación

El efecto que produce el control proporcional e integral, sobre un proceso de control en lazo cerrado, consiste en la eliminación del offset por parte de la acción integral y la ganancia de estabilidad por parte de la acción proporcional. Ejemplo 5.10 Se dispone de un proceso de control cuya función de transferencia en lazo abierto es: G( s ) =

1

(5.4.2.3)

2

s + 2 ⋅s + 5

Se desea comparar el efecto del control propocional (P) en lazo cerrado con el control proporcional e integral (PI). Efecto del control propocional en lazo cerrado. Se realimenta la señal de salida y el error se hace pasar por un controlador proporcional (figura 5.28). La función de transferencia resultante es: M( s ) =

Kp

(5.4.2.4)

s + 2 ⋅ s + 5 + Kp 2

Se puede comprobar que con este tipo de controlador, el sistema no aumenta ni disminuye de orden. Tan sólo se ve afectada la ganancia del proceso y el posible cambio de ubicación de los polos.

R(s)

E(s)

U(s)

Kp

Y(s)

Y(s)

Figura 5.28 : Control proporcional en lazo cerrado del proceso propuesto.

La respuesta al escalón unitario de este lazo cerrado, comparada con la respuesta del sistema en lazo abierto, queda reflejada en la figura 5.29. y(t)

125% 100% 75% 50% 25% 0%

0

1

2

3

respuesta del sistema original

4

5

6

7

8

9

10

t

respuesta del sistema con control proporcional

Figura 5.29 : Respuesta temporal del lazo cerrado con control proporcional.

Efecto del control propocional e integral (PI) en lazo cerrado. Se reemplaza el controlador proporcional por un controlador PI (figura 5.30). La función de transferencia del sistema se expresa ahora como:

172

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

M (s ) =

 1 K p ⋅  s + Ti 

   

(

)

s + 2⋅s + 5 + Kp ⋅s + 3

R(s)

2

(5.4.2.5)

Kp Ti

E(s)

U(s)

Y(s)

Y(s)

Controlador PI

Figura 5.30 : Control PI en lazo cerrado del proceso propuesto.

La ecuación (5.4.2.5) muestra cómo el orden del sistema ha aumentado en una unidad. Como se verá en el próximo apartado 5.5, el aumento del orden del sistema favorece la mejora del error en estado estable. Por otra parte, se requiere un cuidadoso ajuste de los parámetros del controlador (Kp y Ti), ya que ahora ha aumentado el riesgo de que surjan polos en el semiplano derecho o en eje imaginario, es decir, ha aumentado el riesgo de inestabilidad. La figura 5.31 compara la respuesta al escalón unitario del sistema en lazo cerrado con control PI, para varios valores de Ti (tiempo integral), frente al sistema original en lazo abierto. Se puede apreciar cómo aumenta el sobrepaso máximo (efecto indeseable), disminuye el tiempo de asentamiento (efecto deseable) y aumenta el tiempo de asentamiento (efecto indeseable), conforme se toman valores de Ti más bajos. y(t)

125% 100% 75% 50% 25% 0%

0

1

2

3

respuesta del sistema original

4

5

6

7

8

9

10

t

respuestas del sistema con control PI

Figura 5.31 : Respuesta temporal del lazo cerrado con control PI.

5.4.3 Efecto de la función de control derivativa. La función de control derivativa, como ya se comentó en el apartado 5.2.5, proporciona a la salida del controlador la derivada de la señal de error con respecto al tiempo. Es más fácil interpretar esta función de control diciendo que la respuesta del controlador a la señal de error es la velocidad de variación de dicha señal de error. Este tipo de control es anticipativo, ya que, por el hecho de actuar con la velocidad de la señal de error, consigue una corrección significativa del error de salida del sistema antes de que su magnitud se vuelva demasiado grande. El control derivativo añade, por tanto, amortiguamiento al sistema (elimina en parte la “inercia” del sistema). Por otra parte, el control derivativo no elimina el offset, dado que un error en estado estable (constante) tiene una derivada nula. 173

Sistemas de medida y regulación

Para ilustrar lo comentado anteriormente, se toma como ejemplo el proceso de control de la figura 5.25. En esta ocasión se reemplaza el controlador proporcional por un controlador derivativo (figura 5.32). La función de transferencia del controlador es: U(s) = Td ⋅ s E(s)

(5.4.3.1)

donde Td es una constante denominada tiempo derivativo o tiempo de adelanto. Con este controlador, la función de transferencia del lazo cerrado resulta ser: A ⋅ Td ⋅ s Y( s ) = R( s ) (A ⋅ Td + 1) ⋅ s + B

R(s)

E(s)

U(s)

(5.4.3.2.)

Y(s)

A s+B

Y(s)

Figura 5.32 : Proceso con control derivativo.

A partir de las observaciones realizadas anteriormente, se puede resumir diciendo que: El efecto de la función de control derivativo sobre un proceso de control es la amortiguación de la respuesta transitoria del sistema, pero no corrige el error en estado permanente.

5.4.4 Efecto de la función de control proporcional y derivativa. La función de control derivativa añade amortiguación a la respuesta transitoria del sistema, pero por sí sola no es capaz de eliminar el error en estado estable. Dado que la señal de control obtenida es la derivada de la señal de error, cuando ésta sea constante (error estable) la señal de control es nula por lo que no se produce ninguna corrección. Si el control derivativo se complementa con el control proporcional, éste se encargará de corregir, en la medida de lo posible, aquellas componentes del error del sistema que sean estables (figura 5.33).

R(s)

E(s)

U(s)

A s+B

Y(s)

Y(s)

Controlador PD

Figura 5.33 : Proceso con control derivativo.

Siguiendo con el mismo ejemplo, si al sistema de lazo cerrado se le añade un controlador proporcional y derivativo (PD), cuya función de transferencia es: U(s) E(s)

(

= K p ⋅ 1 + Td ⋅ s

)

la función de transferencia resultante del sistema se expresa como:

174

(5.4.4.1)

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

A ⋅ K p ⋅ (1 + Td ⋅ s ) Y(s ) = R( s ) A ⋅ K p ⋅ Td + 1 ⋅ s + B + A ⋅ K p

(

)

(

)

(5.4.4.2.)

Queda patente cómo un control proporcional y derivativo añade un cero no nulo a la función de transferencia del sistema, el cual, si se ajusta para cancelar algún polo, hace que la respuesta del sistema se vuelva más estable. El efecto del control proporcional y derivativo sobre un proceso de control es la amortiguación de la respuesta transitoria a la vez que una corrección del error en estado estable. Ejemplo 5.11 Se dispone de un proceso de control cuya función de transferencia en lazo abierto es: G( s ) =

1

(5.4.4.3)

2

s + 2 ⋅s + 5

Se desea comparar el efecto del control propocional (P) en lazo cerrado con el control proporcional e integral (PI). Efecto del control propocional e integral (PD) en lazo cerrado. Se reemplaza el controlador proporcional por un controlador PD (figura 5.34). La función de transferencia del sistema se expresa ahora como: M( s ) =

R(s)

(

2

K p ⋅ (T d ⋅ s + 1)

)

(

s + 2 + K p ⋅ Td ⋅ s + 5 + K p

E(s)

(5.4.4.4)

)

U(s)

Y(s)

Controlador PD

Figura 5.34 : Control PD en lazo cerrado del proceso propuesto. y(t)

125% 100% 75% 50% 25% 0%

0

1

2

3

respuesta del sistema original

4

5

6

7

8

9

10

t

respuestas del sistema con control PD

Figura 5.35 : Respuesta temporal del lazo cerrado con control PD.

La figura 5.35 compara la respuesta temporal al escalón unitario del sistema en lazo cerrado con control PD, 175

Sistemas de medida y regulación

para varios valores de Td (tiempo derivativo), frente al sistema original en lazo abierto. Se puede apreciar cómo aumenta la corrección del error en la respuesta transitoria (aumento del amortiguamiento) conforme se toman valores de Td más altos.

5.5

Análisis del error en estado estable.

El error en estado estable de la variable de salida de un proceso de control depende de muchos factores, estando la mayoría de ellos relacionados con las imperfecciones de los propios componentes del sistema, el envejecimiento de estos mismos componentes y las variaciones no previstas de la señal de entrada. Estos factores resultan bastante complejos a la hora de cuantificar su efecto en la salida de un proceso de control. Por esta razón, se ha de procurar que el diseño de un proceso de control sea lo suficientemente robusto ante estos factores, logrando que no tengan tan apenas influencia sobre la salida. No obstante, el propósito de este apartado es analizar el tipo de error en estado estable provocado por la incapacidad del propio sistema cuando ha de seguir determinados tipos de entrada. Un sistema puede no tener error en estado estable para una entrada tipo escalón, mientras que sí lo puede tener para una entrada tipo rampa o tipo parabólica. Si se desea eliminar este error, no cabe otra solución que modificar el diseño de la estructura del sistema. La presencia del error en estado estable, ante determinados tipos de entrada, depende de la función de transferencia en lazo abierto de proceso de control.

5.5.1 Tipos de sistemas según la capacidad de seguimiento de las señales de entrada. En este contexto, los sistemas se pueden clasificar de acuerdo con la capacidad que exhiban a la hora de seguir un determinado tipo de señal de entrada: escalón, rampa, parábola... La mayoría de las señales de entrada reales se pueden representar como combinaciones lineales de estos tipos de señales, por lo que el conocimiento del error cometido por el sistema en el seguimiento de estas señales básicas de entrada sirve como referente de su comportamiento ante entradas más complejas. Considérese un proceso de control con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto viene expresada como: G( s ) =

K ⋅ ( Ta ⋅ s + 1 ) ⋅ ( T b ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( T m ⋅ s + 1 ) s n ⋅ ( T1 ⋅ s + 1 ) ⋅ (T 2 ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( T p ⋅ s + 1 )

(5.5.1.1)

El término sn que aparece en el denominador de la función (5.5.1.1), representa un polo múltiple de orden n situado en el origen del plano complejo (p = 0). La clasificación o tipología de los procesos de control según el criterio de capacidad de seguimiento de las señales de entrada, se basa en la cantidad de integraciones indicadas en la función de transferencia en lazo abierto. Así pues, los sistemas se pueden denominar de tipo 0, tipo 1, tipo 2… si el grado de multiplicidad del polo p = 0 es, respectivamente, n = 0, n = 1, n = 2… Hay que hacer notar que la clasificación según el tipo de sistema no tiene que ver con el orden del sistema. Como se comprobará más adelante, un aumento del tipo de sistema mejora la precisión del mismo, pero también empeora la estabilidad. En la mayoría de los casos se ha de llegar a una situación de compromiso entre la precisión en estado estable y la estabilidad relativa. Por eso, que casi nunca se utilizan sistemas de tipo 3 o superiores.

5.5.2 Errores en estado estable. Se parte de un sistema con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es G(s), según se muestra en la figura 5.36. La función de transferencia global del proceso en lazo cerrado resulta: M( s ) =

176

Y( s ) G( s ) = R ( s ) 1 + G( s )

(5.5.2.1)

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

R(s)

E(s)

Y(s)

G(s)

Y(s)

Figura 5.36 : Proceso de control con realimentación unitaria.

La relación entre la señal de error E(s) a la salida del comparador y la señal de entrada o referencia R(s) es: E ( s ) R( s ) − Y ( s ) Y(s ) 1 = =1− = R( s ) R( s ) R ( s ) 1 + G( s )

(5.5.2.2)

Si se aplica el teorema del valor final a la función E(s), se podrá determinar el comportamiento en estado estable de un sistema estable. Partiendo de la expresión de la señal de error E(s): E( s ) = R( s ) ⋅

1 1 + G( s )

(5.5.2.3)

El error en estado estable resulta: s ⋅ R( s ) s →0 1 + G( s )

e ∞ = lím e( t ) = lím s ⋅ E ( s ) = lím t →∞

s →0

(5.5.2.4)

A continuación se definen unas constantes de error estático en función del tipo de señal de entrada aplicada. Cuanto mayor sea el valor de esta constante, menor será el error en estado estable cometido por el sistema.

Constante de error de posición estática Kp. Esta constante caracteriza el error cometido por un sistema cuando se aplica una entrada escalón unitario. Para este tipo de entrada, el error en estado estable resulta: e ∞ = lím e( t ) = lím s ⋅ E ( s ) = lím t →∞

s ⋅ R( s )

s →0 1 + G( s )

s →0

= lím

s

s →0 1 + G( s )

⋅

1 1 = s 1 + G( 0 )

(5.5.2.5)

La constante de error de posición estática se define como: K p = lím G( s ) = G( 0 )

(5.5.2.6)

s →0

Por tanto, el error en estado estable se expresa en términos de esta constante como: e∞ =

1 1 + Kp

(5.5.2.7)

La determinación de la constante de error de posición estática depende del tipo de sistema: • Sistema de tipo 0: K p = lím G( s ) = lím s →0

= lím

s →0

K ⋅ ( Ta ⋅ s + 1 ) ⋅ ( Tb ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( T m ⋅ s + 1 )

s →0

s 0 ⋅ ( T1 ⋅ s + 1 ) ⋅ ( T2 ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( T p ⋅ s + 1 )

=

K ⋅ (Ta ⋅ s + 1 ) ⋅ (Tb ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( Tm ⋅ s + 1 ) =K ( T1 ⋅ s + 1 ) ⋅ (T2 ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( T p ⋅ s + 1 )

(5.5.2.8)

• Sistema de tipo 1 o mayor: K p = lím G( s ) = lím s →0

s →0

K ⋅ ( Ta ⋅ s + 1 ) ⋅ ( T b ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( Tm ⋅ s + 1 ) s n ⋅ ( T1 ⋅ s + 1 ) ⋅ ( T2 ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( T p ⋅ s + 1 )

=∞

(5.5.2.9)

Según estas constantes, el error en estado estable, para cada tipo de sistema, resulta:

177

Sistemas de medida y regulación

• Sistema de tipo 0: e∞ =

1 1 = 1 + Kp 1 + K

(5.5.2.10)

1 =0 1 + Kp

(5.5.2.11)

• Sistema de tipo 1 o mayor: e∞ =

Si se analizan las ecuaciones (5.5.2.10) y (5.5.2.11) se desprenden las siguientes conclusiones: • Un proceso de control que no cuente con ningún elemento integrador en su trayectoria directa tiene un error en estado estable finito y distinto de cero. • Un proceso de control que tenga uno o más elementos integradores en su trayectoria directa tiene un error en estado estable igual a cero. No obstante, la inestabilidad aumenta con respecto al sistema tipo 0.

Constante de error de velocidad estática Kv. Esta constante caracteriza el error cometido por un sistema cuando se aplica una entrada rampa unitaria. Para este tipo de entrada, el error en estado estable resulta: e ∞ = lím e( t ) = lím s ⋅ E ( s ) = lím t →∞

s ⋅ R( s )

s →0 1 + G( s )

s →0

= lím

s

s →0 1 + G( s )

⋅

1 s

2

= lím

s →0

1 s ⋅ G( s )

(5.5.2.12)

La constante de error de velocidad estática se define como: K v = lím s ⋅ G( s )

(5.5.2.13)

s →0

Por tanto, el error en estado estable se expresa en términos de esta constante como: e∞ =

1 Kv

(5.5.2.14)

La determinación de la constante de error de velocidad estática depende del tipo de sistema: • Sistema de tipo 0: K v = lím s ⋅ G( s ) = lím s →0

s →0

s ⋅ K ⋅ ( Ta ⋅ s + 1 ) ⋅ ( Tb ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( Tm ⋅ s + 1 ) =0 ( T1 ⋅ s + 1 ) ⋅ (T2 ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( T p ⋅ s + 1 )

(5.5.2.15)

s ⋅ K ⋅ ( Ta ⋅ s + 1 ) ⋅ (Tb ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( Tm ⋅ s + 1 ) =K s ⋅ (T1 ⋅ s + 1 ) ⋅ ( T2 ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ (T p ⋅ s + 1 )

(5.5.2.16)

• Sistema de tipo 1: K v = lím s ⋅ G( s ) = lím s →0

s →0

• Sistema de tipo 2 o mayor: K v = lím s ⋅ G( s ) = lím s →0

s →0

s ⋅ K ⋅ ( Ta ⋅ s + 1 ) ⋅ ( T b ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( T m ⋅ s + 1 ) s n ⋅ (T1 ⋅ s + 1 ) ⋅ ( T2 ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ (T p ⋅ s + 1 )

=∞

(5.5.2.17)

Según estas constantes, el error en estado estable, para cada tipo de sistema, resulta: • Sistema de tipo 0: e∞ =

1 =∞ Kv

(5.5.2.18)

e∞ =

1 1 = Kv K

(5.5.2.19)

• Sistema de tipo 1:

• Sistema de tipo 2 o mayor:

178

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

e∞ =

1 =0 Kv

(5.5.2.20)

Si se analizan las ecuaciones (5.5.2.17), (5.5.2.18) y (5.5.2.20) se desprenden las siguientes conclusiones: • A un proceso de control que no cuente con ningún elemento integrador en su trayectoria directa le resulta imposible seguir una entrada rampa en el estado uniforme. • Un proceso de control que tenga un elemento integrador en su trayectoria directa es capaz de seguir una entrada rampa con un error finito en estado estable. Este error es proporcional a la velocidad de la entrada (pendiente de la rampa) e inversamente proporcional a la ganancia K de la trayectoria directa. • Un proceso de control que tenga dos o más elementos integradores en su trayectoria directa, tiene un error en estado estable igual a cero. No obstante, la inestabilidad aumenta con respecto a los sistemas tipo 0 y tipo 1.

Constante de error de aceleración estática Ka. Esta constante caracteriza el error cometido por un sistema cuando se aplica una entrada parábola unitaria. Se define la señal parábola unitaria de la siguiente manera: f(t) = 0 f(t) =

t2 2

para

t0

(5.5.2.21)

Para este tipo de entrada, el error en estado estable resulta:

e ∞ = lím s ⋅ E( s ) = lím s →0

s ⋅ R( s )

s →0 1 + G( s )

= lím

s

s →0 1 + G( s )

⋅

1 s

3

= lím

s →0

1 s ⋅ G( s ) 2

(5.5.2.22)

La constante de error de aceleración estática se define como: K a = lím s 2 ⋅ G( s )

(5.5.2.23)

s →0

Por tanto, el error en estado estable se expresa en términos de esta constante como: e∞ =

1 Ka

(5.5.2.24)

La determinación de la constante de error de aceleración estática depende del tipo de sistema: • Sistema de tipo 0: s 2 ⋅ K ⋅ ( Ta ⋅ s + 1 ) ⋅ ( T b ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( T m ⋅ s + 1 ) =0 s →0 ( T1 ⋅ s + 1 ) ⋅ (T 2 ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( T p ⋅ s + 1 )

(5.5.2.25)

s 2 ⋅ K ⋅ ( Ta ⋅ s + 1 ) ⋅ ( T b ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( T m ⋅ s + 1 ) =0 s →0 s ⋅ ( T1 ⋅ s + 1 ) ⋅ ( T2 ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ (T p ⋅ s + 1 )

(5.5.2.26)

K a = lím s 2 ⋅ G( s ) = lím s →0

• Sistema de tipo 1: K a = lím s 2 ⋅ G( s ) = lím s →0

• Sistema de tipo 2: K a = lím s 2 ⋅ G( s ) = lím s →0

s →0

s 2 ⋅ K ⋅ ( Ta ⋅ s + 1 ) ⋅ (Tb ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( Tm ⋅ s + 1 ) s 2 ⋅ (T1 ⋅ s + 1 ) ⋅ (T2 ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ (T p ⋅ s + 1 )

=K

(5.5.2.27)

=∞

(5.5.2.28)

• Sistema de tipo 3 o mayor: K a = lím s 2 ⋅ G( s ) = lím s →0

s →0

s 2 ⋅ K ⋅ ( Ta ⋅ s + 1 ) ⋅ ( Tb ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( Tm ⋅ s + 1 ) s n ⋅ (T1 ⋅ s + 1 ) ⋅ ( T2 ⋅ s + 1 ) ⋅ ⋅ ⋅ (T p ⋅ s + 1 )

Según estas constantes, el error en estado estable, para cada tipo de sistema, resulta: 179

Sistemas de medida y regulación

• Sistema de tipo 0 y tipo 1: e∞ =

1 =∞ Ka

(5.5.2.29)

e∞ =

1 1 = Ka K

(5.5.2.30)

e∞ =

1 =0 Ka

(5.5.2.31)

• Sistema de tipo 2:

• Sistema de tipo 3 o mayor:

Si se analizan las ecuaciones (5.5.2.29), (5.5.2.30) y (5.5.2.31) se desprenden las siguientes conclusiones: • A un proceso de control que no cuente con uno o ningún elemento integrador en su trayectoria directa le resulta imposible seguir una entrada parábola en el estado uniforme. • Un proceso de control que tenga dos elementos integradores en su trayectoria directa es capaz de seguir una entrada parábola con un error finito en estado estable. • Un proceso de control que tenga tres o más elementos integradores en su trayectoria directa, tiene un error en estado estable igual a cero. No obstante, la inestabilidad aumenta con respecto a los sistemas tipo 0, tipo 1 y tipo 2. La tabla 5.1 que se muestra a continuación, resume los errores en estado estable para los sistemas de tipo 0, tipo 1 y tipo 2 cuando se excita el sistema con entradas escalón, rampa y parábola. Se observa que los valores finitos para los errores en estado estable aparecen en línea diagonal. Sobre la diagonal, los errores en estado estable son infinitos, mientras que por debajo de la diagonal, los errores en estado estable son cero. Tipo de sistema

Entrada escalón r(t) = 1

Entrada rampa r(t) = t

Entrada parabólica r(t) = t2

Tipo 0

1 1+K

∞

∞

Tipo 1

0

1 K

∞

Tipo 2

0

0

1 K

Tabla 5.1: Error en estado estable de un sistema con realimentación unitaria en términos de la ganancia K.

Las constantes de error, Kp, Kv y Ka, describen la capacidad de un sistema de realimentación unitaria para reducir o eliminar el error en estado estable. Por lo general, es conveniente aumentar las constantes de errores, a la vez que se procura conservar la respuesta transitoria dentro de un rango aceptable. Si surge un conflicto entre dos constantes de error contiguas (como la constante de error de velocidad estática y la constante de error de aceleración estática) se considera la segunda menos importante que la primera. Este criterio ayuda a elegir entre un sistema de tipo mayor (menor error y mayor inestabilidad) o un sistema de tipo menor (mayor error y menor inestabilidad). De todos modos, siempre resultará difícil realizar un diseño aceptable de un sistema que tenga más de dos integradores en serie en la trayectoria directa. Ejemplo 5.12 Se dispone de un proceso de control con realimentación unitaria (figura 5.36) cuya función de transferencia en lazo abierto es: G( s ) =

1 2

s + 2 ⋅s + 5

(5.5.2.32)

Se desea comparar el efecto sobre el error en estado estable que supone añadir o no integradores en la

180

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

trayectoria directa del sistema. Error en estado estable para el sistema de tipo 0. Si al sistema no se le añade ningún integrador (figura 5.36 bis), el error en estado estable para los tres tipos de entrada tratados son:

R(s)

E(s)

Y(s)

Y(s)

Figura 5.36 bis : Proceso de control con realimentación unitaria tipo 0.

• Error con entrada escalón: K p = lím G( s ) = G( 0 ) = s →0

1 5

;

e∞ =

1 5 = 1 + Kp 6

• Error con entrada rampa: K v = lím s ⋅ G( s ) = 0

e∞ =

;

s →0

1 =∞ Kv

• Error con entrada parabólica: K a = lím s 2 ⋅ G( s ) = 0 s →0

;

e∞ =

1 =∞ Ka

En las figuras 5.37 y 5.38 se muestran las respuestas del sistema tipo 0 a las tres entradas tratadas. y(t)

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

1

2

3

entrada al sistema

4

5

6

7

8

9

10

t

respuesta del sistema

Figura 5.37 : Respuesta ante el escalón unitario del sistema tipo 0.

181

Sistemas de medida y regulación

y(t)

y(t)

25

25

20

20

15

15

10

10

5

5

0

0

5

10

15

20

25

0

t

0

5

10

15

a)

20

25

t

b) entrada al sistema respuesta del sistema

Figura 5.38 : Respuesta del sistema tipo 0 ante: a) rampa unitaria, b) parábola.

Error en estado estable para el sistema de tipo 1. Si al sistema se le añade un elemento integrador con una constante de tiempo integral Ti = 1 (figura 5.39), el error en estado estable para los tres tipos de entrada tratados son:

R(s)

E(s)

Y(s)

Y(s)

Figura 5.39 : Proceso de control con realimentación unitaria tipo 1.

• Error con entrada escalón: K p = lím G( s ) = G( 0 ) = ∞

;

s →0

e∞ =

1 =0 1 + Kp

• Error con entrada rampa: 1 5

;

e∞ =

1 =5 Kv

K a = lím s 2 ⋅ G( s ) = 0

;

e∞ =

1 =∞ Ka

K v = lím s ⋅ G( s ) = s →0

• Error con entrada parabólica: s →0

En las figuras 5.40 y 5.41 se muestran las respuestas del sistema tipo 1 a las tres entradas tratadas.

182

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

y(t)

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

t

respuesta del sistema

entrada al sistema

Figura 5.40 : Respuesta ante el escalón unitario del sistema tipo 1. y(t)

y(t)

40

25 20

30

15 20 10 10 0

5 0

10

20

30

40

0

t

0

5

10

a)

15

20

25

t

b) entrada al sistema respuesta del sistema

Figura 5.41 : Respuesta del sistema tipo 1 ante: a) rampa unitaria, b) parábola.

Error en estado estable para el sistema de tipo 2. Si al sistema se le añaden dos elementos integradores con una constante de tiempo integral Ti = 1 (figura 5.42), el error en estado estable para los tres tipos de entrada tratados son:

R(s)

E(s)

1 s

Y(s)

1 s

Y(s)

Figura 5.42 : Proceso de control con realimentación unitaria tipo 2.

• Error con entrada escalón: K p = lím G( s ) = G( 0 ) = ∞ s →0

;

e∞ =

1 =0 1 + Kp

• Error con entrada rampa:

183

Sistemas de medida y regulación

K v = lím s ⋅ G( s ) = ∞ s →0

e∞ =

;

1 =0 Kv

• Error con entrada parabólica: K a = lím s 2 ⋅ G( s ) = s →0

1 5

;

e∞ =

1 =5 Ka

En las figuras 5.43 y 5.44 se muestran las respuestas del sistema tipo 2 a las tres entradas tratadas. y(t) 5 4 3 2 1 0

t

-1 -2 0

5

10

15

20

25

30

35

40

respuesta del sistema

entrada al sistema

Figura 5.43 : Respuesta ante el escalón unitario del sistema tipo 2. y(t)

y(t) 400

40 30 200 20 10 0

0

10

20

30

40

t

0

0

5

a)

10

15

20

25

t

b) entrada al sistema respuesta del sistema

Figura 5.44 : Respuesta del sistema tipo 2 ante: a) rampa unitaria, b) parábola.

A la vista de estas gráficas se comprueba que, aunque los errores obtenidos para el sistema de tipo 2 eran prácticamente nulos o constantes, éstos resultan incorrectos. Tal situación se debe a no haber comprobado previamente la estabilidad del sistema. En este caso concreto, la adición de dos integradores en la trayectoria directa del sistema ha sido totalmente desfavorable para la estabilidad del mismo, por lo que la mejor situación de compromiso entre error y estabilidad sería para un sistema de tipo 1.

5.6

Control en cascada.

Una de las técnicas para mejorar la estabilidad de un proceso de control complejo es el empleo del control en cascada. Su utilización es conveniente cuando la variable controlada no puede mantenerse dentro del punto

184

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

de consigna, por óptimos que sean los ajustes del controlador, debido a las perturbaciones que se producen en alguna condición del proceso. Se puede utilizar como ejemplo el caso del control de temperatura de un horno de fuel que se usa para el calentamiento de un determinado producto (figura 5.45). Cuando la temperatura medida se desvía del punto de consigna, el controlador hace variar la posición de la válvula de admisión de fuel, consiguiendo así reestablecer la temperatura a su valor de consigna. Esto podría ser suficiente si las características del combustible (presión, viscosidad…) y del producto permanecieran constantes.

fuel

entrada de producto

Válvula de paso de fuel

Horno

Comparador Selector temperatura

Controlador

Proceso controlado

temperatura de salida

salida de producto

Transductor de temperatura

Figura 5.45 : Control de temperatura de un horno de fuel con realimentación simple.

Sin embargo, si una de las características, por ejemplo la presión del combustible, cambia de forma incontrolada, el caudal a través de la válvula seguirá la misma variación aunque su vástago permanezca fijo. Así pues, cambiará la temperatura y, al cabo de un cierto tiempo (dependiente de las características de capacidad, resistencia y tiempo de transporte del proceso) las variaciones de temperatura llegarán al controlador y éste reajustará la posición de la válvula de acuerdo con las acciones de que disponga. Será una casualidad que las correcciones del controlador eliminen totalmente las perturbaciones en la presión del fuel, ya que esas perturbaciones son totalmente al azar y hay un retardo entre las mismas y el envío de la señal de corrección del controlador a la válvula. Por lo tanto, las continuas perturbaciones en la presión del fuel, no sólo darán lugar a una corrección continua e innecesaria en la válvula, sino que perjudicarán el logro de una buena regulación pudiendo incluso impedir totalmente el control del proceso. Hay que hacer notar que el control de temperatura se realiza mediante la aportación del calor cedido por el fuel que pasa a través de la válvula, es decir, la temperatura es regulada más bien por el caudal de fuel (si la calidad del fuel es constante) que por la posición del vástago de la válvula. Nótese que el caudal no está controlado y que es de interés secundario (variable secundaria), pero es evidente que sus fluctuaciones afectan a la variable temperatura, la que necesariamente es de interés principal (variable primaria) en el control del proceso. Desde el punto de vista de rapidez en el control del proceso sería muy conveniente el ajuste rápido de posición de la válvula tan pronto como se presenta una perturbación en la presión del fuel, mientras que las variaciones de temperatura más lentas que pueden producirse por otras causas deben ser corregidas para mantener la temperatura en el punto de consigna. Si la señal de salida del controlador de temperatura (controlador primario) actúa como punto de consigna de un instrumento que controle el caudal y cuya señal de salida ajuste la posición de la válvula, este segundo controlador (controlador secundario) permitirá corregir rápidamente las variaciones de caudal provocadas por perturbaciones en la presión de fuel, manteniendo en el sistema, en todo momento, la capacidad para controlar la temperatura con el controlador primario. Estos dos instrumentos conectados en serie actúan manteniendo la temperatura constante, el controlador de temperatura manda y el controlador de caudal obedece. Esta disposición se denomina control en cascada, y puede verse en la figura 5.46 conjuntamente con su diagrama de bloques.

185

Sistemas de medida y regulación

Comparador Selector temperatura

fuel

entrada de producto

Válvula de paso de fuel

Horno

Comparador Controlador de temperatura

Controlador de caudal

Proceso controlado

temperatura de salida

salida de producto

Transductor de caudal

Transductor de temperatura

Figura 5.46 : Control en cascada de la temperatura de un horno de fuel.

Se puede apreciar, pues, que el control en cascada implica el uso de dos controladores y dos bucles de realimentación. El bucle exterior o primario se ocupa del control de la variable principal, que en este caso sería la temperatura del horno. El bucle interior o secundario se encarga de alguna variable intermedia, como el caudal del fuel. La consigna del bucle exterior es la variable deseada y se ajusta de forma voluntaria por el usuario. La consigna del bucle interior se determina por el controlador primario. Para que el control en cascada sea eficaz es necesario escoger adecuadamente la variable secundaria teniendo en cuenta las perturbaciones que pueden presentarse y las velocidades de respuesta de los distintos componentes del proceso. Para seleccionarla pueden seguirse los siguientes pasos: • Dibujar el diagrama de bloques del posible sistema en cascada. • El bucle secundario debe incluir la perturbación posible más importante. • El bucle secundario debe ser de respuesta rápida y para ello debe incluir los retardos mínimos del sistema de control. • Los puntos de consigna de la variable secundaria deben estar relacionados directamente con los de la variable primaria y, a ser posible, su relación debe estar representada por una recta en preferencia a una línea curva. De este modo se simplificará el ajuste del controlador primario. • El bucle secundario debe contener el mayor número posible de perturbaciones mientras sea suficientemente rápido. • La variable secundaria seleccionada debe proporcionar una estabilidad al control secundario con la ganancia más alta que sea posible. Estos pasos a seguir estarán naturalmente basados en el conocimiento del proceso a controlar y conviene que se apliquen con sentido común.

5.7

Control de ratio.

El control de ratio es una técnica de control en el que una variable de proceso es controlada con relación a otra variable. Mientras que el control en cascada es sólo un método que mejora la regulación de una variable, el control de ratio satisface una necesidad específica, el control de la relación entre dos cantidades. Las variables relacionadas que son objeto de control suelen ser caudales de fluidos, tal como puede verse en la figura 5.47. En esta instalación se tiene que un caudal secundario (variable controlada) debe mantener una relación constante con un caudal principal (variable primaria). Las respectivas señales de los transmisores de medida de caudal son introducidas en una etapa de ganancia ajustable (relé de ratio o relé de relación), en el cual se fija, de forma manual o automática, la relación que debe existir entre ambas variables. La señal de salida del multiplicador es el punto de consigna del controlador cuya señal de salida actúa directamente sobre la válvula de control (la cual controla el paso del caudal secundario). 186

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

Transductor de caudal principal

1 ratio

Controlador

Válvula de caudal secundario

Proceso

caudal secundario

ratio Relé de ratio Transductor de caudal secundario

Figura 5.47 : Control de ratio aplicado a la regulación de un caudal.

Hay que señalar que el ajuste del relé de ratio es función de los campos de medida relativos de los transmisores de medida de caudal. Si en el ejemplo de la figura 5.47, el transmisor de medida del caudal principal (variable primaria) tiene un campo de medida 1,5 veces mayor que el del transmisor de medida del caudal secundario (variable controlada) y se desea que el caudal secundario esté siempre en la proporción de 1:2 con relación al caudal principal, deberemos ajustar el dial del relé de ratio en la posición: 1 1,5 ⋅ = 0 ,75 2 1

Una aplicación típica del controlador de ratio se encuentra en la relación de caudales de aire y de fuel en la combustión de una caldera de vapor.

5.8

Control por prealimentación (feedforward).

El control de realimentación es la técnica más común empleada en el control de procesos. En este tipo de control la señal de salida (variable controlada) es comparada con un valor deseado (variable de referencia) y la señal de error actúa sobre el controlador. medida y control de temperatura vapor

mezclador

medida y control de nivel

líquido caliente

líquido frío torre

Figura 5.48 : Proceso de control de temperatura.

En sistemas que poseen tiempos de retardo importantes con desviaciones de magnitud y duración distintas, la señal de error es detectada mucho tiempo después que se ha producido el cambio de carga, por lo cual, la corrección correspondiente es retardada y ocurre, a veces, que actúa cuando ya no es necesaria porque se ha eliminado el cambio de carga que dio lugar a la corrección. Este problema puede resolverse en algunas aplicaciones introduciendo el control en cascada ya estudiado. El control en cascada es realmente un lazo de control secundario dentro de otro primario, con una respuesta suficientemente rápida establecida considerando que la relación entre las constantes de tiempo del lazo primario al secundario sea de tres o mayor. Por lo tanto, aunque el control en cascada sea suficientemente rápido ante perturbaciones de la variable secundaria no deja de tener el inconveniente de necesitar que se produzca una desviación antes de actuar, con el peligro 187

Sistemas de medida y regulación

de que sólo responde rápidamente ante la variable secundaria sin que actúe del mismo modo ante variaciones en la variable primaria (por ejemplo, el caudal o la temperatura del producto de entrada). El control por prealimentación (feed forward) parte de la medida de una o más variables de entrada y actúa simultáneamente sobre la variable controlada que produce la salida deseada del proceso. Si las perturbaciones son medibles, el control por prealimentación de la perturbación es un método útil para cancelar los efectos sobre la salida del sistema. Por control prealimentado de la perturbación se entiende el control de los efectos indeseables de las perturbaciones medibles, compensándolos en forma aproximada antes de que se realicen. Esto es una ventaja dado que, en un sistema de control con realimentación normal, la acción correctiva empieza sólo después de que se ha afectado la salida. Considérese el proceso de control de temperatura de la figura 5.48. En este sistema se desea mantener la temperatura de salida en cierto valor constante. La perturbación en este sistema es la variación en el caudal de entrada, el cual depende del nivel de la torre. El efecto de la variación no se percibe de inmediato en la salida, debido a los retrasos de tiempo que contiene el sistema.

medida y control de temperatura vapor

mezclador

medida y control de nivel

líquido caliente

líquido frío torre medida y control de caudal entrada de líquido

Controlador derivativo

Transductor de caudal

vapor

Selector temperatura

Controlador de temperatura

Válvula de paso de vapor

Proceso controlado

Intercambiador decalor

temperatura de salida

salida de líquido

Transductor de temperatura

Figura 5.49 : Control por prealimentación de un intercambiador de calor. Sinóptico y diagrama de bloques.

El controlador de temperatura, que controla la entrada de calor hacia el intercambiador de calor, no funcionará hasta que ocurra un error. Si el sistema contiene retrasos de tiempo grandes, transcurrirá cierto tiempo antes de que ocurra cualquier acción correctiva. De hecho, cuando el error ocurre, con cierto retardo de 188

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

tiempo y empieza la acción correctiva, puede ser demasiado tarde para mantener la temperatura de salida dentro de los límites deseados. Si se incluye un control por prealimentación de la perturbación en un sistema como éste, tan pronto como ocurra un cambio en el caudal de entrada se llevará a cabo, al mismo tiempo, una medida correctiva que ajustará la entrada de calor para el intercambiador de calor. Esto se hace alimentando la señal del medidor de flujo y la señal del elemento de medición de temperatura al controlador de temperatura. El control por prealimentación de la perturbación minimiza el error transitorio, pero, dado que es un control en lazo abierto, existen limitaciones para su precisión funcional. El control por prealimentación de la perturbación no cancelará los efectos de las perturbaciones que no se puedan medir bajo condiciones de operación normales. Por tanto, es necesario que un sistema de control por prealimentación de la perturbación incluya un lazo de realimentación, como se aprecia en la figura 5.49. En esta figura el controlador por prealimentación es de acción derivativa. De este modo, si el caudal es fijo, la señal procedente del controlador de temperatura pasa sin cambios hacia la válvula. En cambio, si se presentan variaciones en el caudal, la señal derivada correspondiente se suma o se resta, según el sentido de la variación, a la de temperatura. De este modo, los cambios de carga en el caudal del producto son detectados y corregidos inmediatamente y compensan los cambios anticipados que, por esta causa, pudieran producirse en la temperatura. En esencia, el control por prealimentación de la perturbación minimiza el error transitorio provocado por las perturbaciones que se pueden medir, en tanto que el control realimentado compensa las imperfecciones en la medición del control por prealimentación de la perturbación y aporta las correcciones para las perturbaciones que no se pueden medir. El control por prealimentación es útil en los siguientes procesos: • Procesos con tiempos muertos y retardos considerables, difíciles o casi imposibles de controlar con el clásico control de realimentación (caso más frecuente de aplicación del control en adelanto). • Procesos en los que la variable a controlar no puede medirse con precisión o de modo continuo. • Procesos en los que la variable a controlar no es fija y viene determinada por otra variable o variables que deben ser máximas o mínimas.

189

Sistemas de medida y regulación

Actividades de enseñanza – aprendizaje. Las actividades que se proponen a continuación requieren la utilización de maquetas didácticas de sistemas de regulación y control. De todos modos, y con el fin de no ceñirse a ningún fabricante de maquetas didácticas concreto, se proporcionarán los esquemas funcionales de las actividades, dejando para el profesor la ejecución práctica con el material de que él disponga.

Actividad 5.1: Obtención de la función de transferencia de un sistema de control de posición. Se parte de un sistema de control de posición de un eje o cursor accionado mediante un motor de corriente continua. La comparación de la posición de referencia y la posición obtenida se realiza mendiante un puente de Wheatstone. El esquema funcional se muestra en la figura 5.50. Dispositivo controlado (motor c.c.)

Comparador

+ E

Amplificador de potencia para c.c.

e

Consigna o entrada de referencia

e*

A C

D

y

*

Transmisor de medida Reductor de engranajes

M _ B

-

-

r

+

+

-

y

Variable controlada

Figura 5.50 : Esquema funcional de un sistema de control de posición.

Para poder realizar la actividad se requiere, además, una tarjeta de adquisición de datos, con el fin de poder visualizar y comparar la señal de entrada o consigna con la señal de salida en un ordenador. Se recomienda, además, disponer de un software de simulación (recomendado MATLAB y SIMULINK). Con todas estas premisas, realizar las siguientes operaciones: •

Desactivar cualquier fuente de alimentación del sistema de control y situar el cursor en la posición de reposo.

•

Ajustar un valor de posición de referencia deseado y conectar la fuente de alimentación. De este modo, se conseguirá una señal lo más parecida a un escalón.

•

Dejar actuar suficiente tiempo para que estabilice la posición del cursor.

•

A partir de la gráfica obtenida con la tarjeta de adquisición de datos y el ordenador, determinar la función de transferencia del sistema M(s) (lectura de sobrepaso máximo, error en estado estable y tiempo de subida), haciendo la consideración de que se trata de un sistema de segundo orden.

•

Realizar el diagrama de bloques de un sistema equivalente con realimentación unitaria. A partir de dicho esquema, obtener la función de transferencia de la trayectoria directa G(s).

•

Se puede comprobar la fiabilidad del modelo de sistema mediante una simulación con MATLAB y SIMULINK.

A continuación, se muestra una gráfica (figura 5.51) de una posible respuesta utilizando una maqueta MV541 y el sistema de adquisición de datos (tarjeta y software) CAPVIS, todo ello de la firma Alecop.

190

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

6

5

4

3

2

1

0

10

20

30

40

50

60

t - seguros

Figura 5.51 : Respuesta del sistema ante una entrada equivalente a 3 V.

Actividad 5.2: Optimización de la respuesta del modelo de sistema obtenido. Se desea optimizar la respuesta del sistema de la actividad anterior a partir del modelo equivalente de realimentación unitaria. Para poder realizar la actividad se requiere, además, una tarjeta de adquisición de datos, con el fin de poder visualizar y comparar la señal de entrada o consigna con la señal de salida en un ordenador. Se recomienda, además, disponer de un software de simulación como MATLAB y SIMULINK. Realizar los siguientes pasos: •

Introducir en la trayectoria directa, a la salida del comparador, un controlador PD, con Kp = 1.

•

Calcular el valor de la constante de tiempo derivativo (Td) para obtener un sobrepaso máximo Mp = 0,2.

•

Comprobar los resultados con SIMULINK.

6

5

4

3

2

1

0

10

20

30

40

50

60

t - seguros

Figura 5.52 : Respuesta del sistema optimizado ante una entrada equivalente a 3 V.

Se puede llevar esta mejora a la práctica mediante la inclusión de un controlador PD entre la salida del comparador y la entrada al control PI de la maqueta. Para ello se ajusta el tiempo derivativo al valor obtenido

191

Sistemas de medida y regulación

anteriormente. Realizar un nuevo ensayo con el controlador instalado y comparar la gráfica real de la maqueta con la obtenida con SIMULINK. La figura 5.52 muestra una gráfica de una posible respuesta del sistema optimizado utilizando una maqueta MV-541 y el sistema de adquisición de datos (tarjeta y software) CAPVIS, todo ello de la firma Alecop.

Ejercicios de profundización y refuerzo. Ejercicio 5.1 Se tiene un sistema de realimentación unitaria con una función de transferencia en la trayectoria directa G(s). Demostrar, matemáticamente, la influencia de la inclusión de un controlador PD, con una función de transferencia (1+Td·s), sobre el error en estado estable de la respuesta del sistema. Comentar el resultado.

Ejercicio 5.2 Un sistema de realimentación unitaria tiene una función de transferencida en la trayectoria directa de la siguiente forma: G( s ) =

1 s3 + 2 ⋅ s2 + s + 3

Determinar si el sistema es estable, o no, mediante el criterio de Routh-Hurwitz. En caso de inestabilidad, indicar el número de polos que aparecen en el semiplano derecho del plano complejo. Ahora, en serie con la trayectoria directa G(s), se agrega un control PD cuya función de transferencia es (1+Td·s). Calcular cuál es el valor de Td por encima del cual el sistema se vuelve estable.

Ejercicio 5.3 Un sistema tiene una respuesta, ante una entrada escalón de 3 V, como la que aparece en la figura 5.53.

4

3

2

1

0

10

20

30

40

50

60

t - segundos Figura 5.53 :Respuesta del sistema.

Asimilando el sistema como si fuera de segundo orden, obtener el modelo de función de transferencia.

Ejercicio 5.4 Al sistema vibratorio mecánico de la figura 5.54 se le aplica una fuerza f(t) y la masa se desplaza un recorrido x(t).

192

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

K

f(t)

m

x(t) B

Figura 5.54 : Sistema vibratorio mecánico.

Cuando se aplica una función f(t) tipo escalón, con un valor de 8,9 N, la masa alcanza una posición estable en x(∞) = 0,03048 m. Se desea que la respuesta transitoria tenga un sobrepaso máximo de 0,00289 m y un tiempo de subida de 1,5 s. Realizar las siguientes operaciones: e)

Obtener la función de transferencia del sistema.

f) Eligir los valores de los elementos (masa, coeficiente de fricción viscosa y constante del resorte) para obtener el modelo de respuesta propuesto. g)

Realizar un modelo de diagrama de bloques, con los valores de los parámetros del sistema elegidos y una entrada escalón de 8,9 N, y obtén la gráfica de la respuesta (entre 0 y 6 s.) mediante SIMULINK.

Ejercicio 5.5 Para regular la velocidad de giro de una masa de inercia J2 se dispone de un motor de c.c. y de una tacodinamo. La masa se acopla al eje del motor mediante un tren de engranajes con una relación de dientes N1/N2. Los demás parámetros que intervienen en el sistema se pueden apreciar en la figura adjunta.

tacodinamo

+ -

M(t)

K A

e’(t) M _

A

G _ B

B

Figura 5.55 : Sistema de regulación de velocidad.

El motor aparece representado por un inducido ideal de fuerza contraelectromotriz e’(t), una resistencia de inducido Ri y un coeficiente de autoinducción del devanado inducido Li. El circuito se alimenta con una tensión ur(t). Se supone que la velocidad del motor es práticamente proporcional a la f.c.e.m. e’(t), cumpliéndose la relación: e’(t) = C1·ω1(t) donde C1 es una constante que depende de los parámetros constructivos del motor y ω1(t) es la velocidad de giro del motor expresada en rad/s. El par a la salida del motor es directamente proporcional a la corriente que circula por el inducido, expresándose como: M(t) = C’1·ii(t)

193

Sistemas de medida y regulación

donde C’1 es otra constante que depende de los parámetros constructivos del motor e ii(t) es la corriente de inducido del motor. La dinamo tacométrica se halla acoplada en el eje del motor y supone una inercia J1, además, los rodamientos de motor y tacodinamo quedan modelados mediante una fricción viscosa de coeficiente B1. La tensión en bornes de la tacodinamo es prácticamente proporcional a la velocidad de giro de la misma: uy(t) = C2·ω1(t) donde C2 es una constante que depende de los parámetros constructivos de la dinamo. Se conocen los siguientes valores de los parámetros del sistema físico representado: •

Motor:

C1 = C’1 =

Φ máx ⋅ N' ; donde φmáx = 0,002 Wb, N’ = 2.000 conductores 2 ⋅π

Ri = 1 Ω ; Li = 10 H •

Tacodinamo:

C2 =

Φ máx ⋅ N' ; donde φmáx = 0,002 Wb, N’ = 1.000 conductores 2 ⋅π

J1 =

m⋅r2 ; donde m = 0,5 Kg, r (radio de giro) = 4 cm 2

B1 = 3,03·10-4 N·s •

Tren de engranajes:

N1 = 20 dientes N2 = 60 dientes • J2 =

Masa: m⋅r2 ; donde m = 20 Kg, r (radio de giro) = 20 cm 2

B2 = 4,04·10-4 N·s Considerando una entrada ur(t) escalón de 100 V, realizar las siguientes operaciones: a)

Obtener un diagrama de bloques en lazo cerrado donde la entrada sea la tensión de referencia ur(t) y la salida sea la velocidad de giro de la masa ω2(t) en rad/s.

b)

Determinar la función de transferencia del sistema. Aplicando el criterio de Routh-Hurtwitz determinar si existe algún valor de la ganancia K que pudiera hacer el sistema inestable.

c)

¿Cómo influye el valor de la ganancia K en los parámetros de la respuesta del sistema como ζ y ωn? ¿Y sobre el valor final de la velocidad de la masa?.

d)

Calcular el valor de K para cuando se desee una velocidad de giro ω2(t=∞), en régimen estable, de 240 r.p.m. Determina para este caso ζ y ωn. Simular la respuesta con SIMULINK.

e)

Calcula rel valor de K para un sobrepaso máximo, en tanto por uno, Mp = 0,15. Determinar para este caso ω2(t=∞) y ωn. Simular la respuesta con SIMULINK.

f)

Calcular el valor de K para una frecuencia natural no amortiguada 0,2 Hz. Determinar para este caso ω2(t=∞) y ζ. Simular la respuesta con SIMULINK.

Ejercicio 5.6 Partiendo del sistema del Ejercicio 5.5, se desea determinar la influencia de un controlador PD en la respuesta del sistema. Para ello se utiliza una entrada ur(t) escalón de 100 V y se toma el valor de ganancia K para alcanzar una velocidad ω2 en régimen estacionario de 240 r.p.m. 194

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

tacodinamo

+ -

M(t)

K A

e’(t)

A

M _

G _ B

B

Figura 5.56 : Sistema de regulación de velocidad con control PD.

a)

Obtener un diagrama de bloques en lazo cerrado donde la entrada sea la tensión de referencia ur(t) y la salida sea la velocidad de giro de la masa ω2(t) en rad/s.

b)

Determinar la función de transferencia del sistema. Aplicando el criterio de Routh-Hurtwitz determinar la condición que debe cumplir Td para que el sistema sea estable.

c)

¿Cómo influye la constante Td sobre el valor final de la velocidad de la masa?. Determinar el error para una entrada escalón de 100 V y su constande error de posición estática, antes y después de incluir el control PD.

d)

Calcular el valor de Td para no superar un sobrepaso máximo Mp = 0,04. Simular la respuesta con SIMULINK.

Ejercicio 5.7 Partiendo del sistema del Ejercicio 5.5, se desea determinar la influencia de un controlador PI en la respuesta del sistema. Para ello se utiliza una entrada ur(t) escalón de 100 V y se toma el valor de ganancia K para alcanzar una velocidad ω2 en régimen estacionario de 240 r.p.m.

tacodinamo

+ -

M(t)

K A

e’(t) M _

A

G _ B

B

Figura 5.57 : Sistema de regulación de velocidad con control PI.

a)

Obtener un diagrama de bloques en lazo cerrado donde la entrada sea la tensión de referencia ur(t) y la salida sea la velocidad de giro de la masa ω2(t) en rad/s.

b)

Determinar la función de transferencia del sistema. Aplicando el criterio de Routh-Hurtwitz, determinar la condición que debe cumplir Ti para que el sistema sea estable.

c)

¿Cómo influye la constante Ti sobre el valor final de la velocidad de la masa?. ¿Qué velocidad alcanza ahora en régimen estable?. Determinar el error para una entrada escalón de 100 V y su constande error de posición estática, antes y después de incluir el control PI.

Ejercicio 5.8 Un registrador es un aparato que representa sobre un papel las variaciones de una cierta magnitud de entrada, por ejemplo una tensión, a lo largo del tiempo. Esto se consigue haciendo que un cursor dotado de

195

Sistemas de medida y regulación

una plumilla en su extremo se desplace verticalmente siguiendo las variaciones de la entrada, mientras un rollo de papel va avanzando a velocidad constante, tal como se ilustra en la figura 5.58.

desplazamiento de la plumilla

avance del papel

t

Figura 5.58 : Aparato registrador.

Una posible realización (simplificada) del registrador se muestra en la figura 5.59, donde un motor de corriente continua controlado por inducido tiene como entrada una tensión proporcional (según sea el valor de la ganancia K que se supone positiva) a la diferencia entre la tensión de entrada, ur(t), y la tensión en el cursor, uc(t), la cual es proporcional al desplazamiento vertical de éste x(t). Esto es posible gracias al potenciómetro lineal, en el cual: x( t ) u c ( t ) = U cc ⋅ l

cursor

+ -

x(t)

M(t)

K A

e’(t)

B r

M _ B

l

l

(t) J

Figura 5.59 : Esquema funcional simplificada de un aparato registrador.

donde Ucc es la tensión de la fuente de alimentación y l la mitad del recorrido máximo. El desplazamiento angular del eje del motor se transforma en desplazamiento lineal del cursor mediante una polea de radio r. El motor tiene constante eléctrica C1, constante mecánica C2. La resistencia de inducido es Ri. Las variables a considerar en el motor son el ángulo de giro θ(t), la fuerza contraelectromotriz e’(t), la corriente del inducido ii(t) y el par motor en el eje M(t). El eje del motor junto con la carga (poleas, cursor, etc.) representan un momento de inercia J y una fricción viscosa de coeficiente B. La tensión de entrada ur(t) está siempre comprendida entre +Ucc y -Ucc. Se conocen los siguientes valores de los parámetros del sistema físico representado: •

Motor: C1 = C2 =

Φ máx ⋅ N' ; donde φmáx = 0,002 Wb, N’ = 2.000 conductores 2 ⋅π

Ri = 1 Ω •

Juego de poleas y correa: J=

m⋅r2 ; donde m = 0,1 Kg, r (radio de giro) = 1 cm 2

B = 1,02·10-4 N·s •

196

Cursor y potenciómetro lineal:

Análisis funcional de procesos de control de lazo cerrado

+Ucc y -Ucc = +15 V y –15 V l = 2 cm Considerando una entrada ur(t) escalón de 8 V, realizar las siguientes operaciones: a)

Determinar la función de transferencia del sistema. Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz, determinar la condición de la ganancia K para que el sistema sea estable.

b)

Calcular el valor de K para un sobrepaso máximo, en tanto por uno, Mp = 0,15. Determinar para este caso x(t=∞) y ωn.

c)

Calcular la constante de posición estática y el error relativo en estado estable. Para ello se debe considerar que el tipo de señal de entrada y el tipo de señal de salida no son comparables, por lo que se recomienda que se aplique a la función de transferencia un coeficiente que convierta el desplazamiento del cursor en voltios.

197

Sistemas de medida y regulación

198

UNIDAD 6 Control digital y de eventos discretos. 6.1

Técnicas de control de eventos discretos.

El control de sistemas dinámicos con métodos que entrañan la observación y generación de eventos discretos es un área de estudio importante e interesante. Las técnicas son aplicables a un amplio rango de situaciones, incluyendo la automatización de fábricas complejas y grandes. Las aplicaciones industriales típicas incluyen sistemas que proporcionan manejo de piezas, operaciones de ensamblado, fabricación y diversas formas de control de proceso. Estas operaciones pueden necesitar el control de robots, máquinas transfer, células de fabricación flexibles y otras formas de automatización dedicada o flexible. El control de acción discreta se utiliza también en otros entornos con diferentes grados de complejidad. Ejemplos familiares incluyen tareas usuales tales como el control de la climatización y el control de ascensores. Las señales de control se desarrollan con la aplicación de la lógica combinacional y secuencial a un conjunto de condiciones observadas que se obtienen de las entradas y los sensores. Considerando terminología equivalente, este área de estudio se describe algunas veces como control lógico programable o control secuencial. Como las plantas son típicamente dinámicas, los sistemas se conocen también como sistemas dinámicos de eventos discretos. Si se considera la parte de acción discreta de estos sistemas, las órdenes de entrada y de realimentación se reciben en el controlador, generalmente, como señales binarias. Las acciones de control que se devuelven a la planta son también señales binarias y la operación se caracteriza por una secuencia de cambios en las acciones de la planta que se inician como una función programada de condiciones de órdenes y condiciones medidas (figura 6.1). Aunque las variables de proceso pueden supervisarse continuamente, las señales de realimentación se transmiten normalmente sólo cuando ocurren eventos discretos. Un evento discreto puede ocurrir como resultado de detectar que una señal continua es mayor que (o menor que) un nivel de referencia seleccionado, o como consecuencia de detectar la presencia de un elemento móvil mediante un final de carrera. Como la temporización y secuencia de sucesos están sujetas a las variaciones del sistema y a peticiones de tareas o condiciones de fallo que no son predecibles, la operación no se observa necesariamente como una secuencia cíclica y una secuencia repetitiva es típicamente aperiódica. Operario u Ordenador supervisor

condiciones de entrada Controlador estado del proceso

órdenes o variables controladas

condiciones medidas

Elementos final de control o Actuadores

Sensores y Transducores

acciones

Planta o Proceso

tareas o trabajo

variables de proceso a medir o detectar

Figura 6.1 : Diagrama básico de un proceso de control de eventos discretos.

Un grupo de máquinas controladas por un ordenador de supervisión puede incluir algunos ordenadores locales que controlan operaciones tales como movimiento de robots u operación de una máquina de herramientas. Si la iniciación y finalización de una tarea son partes de un conjunto de operaciones interactivas, esta interacción se observa como una secuencia de eventos discretos. Así, la aplicación de una técnica de control de eventos discretos proporciona un enfoque metódico para el desarrollo de una estrategia de control jerárquica. En el apartado 6.2 se tratan diversas técnicas de control de procesos por ordenador, donde quedarán reflejadas las estrategias de control jerárquico.

6.1.1 Técnicas de transición de estados. Las técnicas de transición de estados representan una adaptación de herramientas habituales en el desarrollo de aplicaciones o funciones de naturaleza secuencial con ordenador. Estas técnicas permiten una estrategia de control eficiente con una estructura secuencial comprensible. Esta estructura conduce al desarrollo de jerarquías de control. Así, la programación se desarrolla y depura fácilmente. Además, los diagnósticos de fallo se incorporan rápidamente y las operaciones concurrentes se coordinan fácilmente. 199

Sistemas de medida y regulación

Se pueden utilizar diversas formulaciones en la metodología de transición de estados. Suelen ser habituales las presentaciones gráficas, como la red de Petri o el diagrama de transición de estados. Otra opción es expresar las relaciones de una forma tabular que relaciona todos los modos de operación y las posibles transiciones y destinos. Como las filas de la tabla pueden interpretarse rápidamente como una sucesión de sentencias de programación, la versión tabulada se conoce como tabla de lenguaje de estados. Debido a que la metodología es sistemática, se asimila de forma fácil y la aplicación es comprensible sin que haya que tener una amplia experiencia de diseño. No obstante, el estado de un sistema asume un significado diferente de la definición que se aplica a los sistemas de control continuos y muestreados. Con el control de eventos discretos, el estado es un modo de operación tal como moverse a la izquierda o moverse a la derecha.

Metodología de transición de estados. Suele ser conveniente, en el diseño de un proceso de control de eventos discretos, el uso de un diagrama o tabla para la aplicación de técnicas de transición de estados. La programación real se puede llevar a cabo a partir de esa tabla o diagrama, utilizando un lenguaje que resulte familiar al usuario y que se adapte al control en tiempo real (tal como una versión de C). La conversión de programación es generalmente fácil, con una traducción directa de sentencias, tal como se expresan en la tabla de lenguaje de estado al formato deseado. Están disponibles módulos industriales de E/S (entrada/salida) estándar que o miden o conmutan señales en diferentes niveles de tensión (alterna o continua). Los módulos también proporcionan aislamiento óptico entre los circuitos del ordenador y el entorno industrial. Una alternativa es desarrollar el software y el hardware de forma tal que se pueda aplicar directamente una formulación de transición de estados como un lenguaje de programación. Esta combinación de software y hardware proporciona un interfaz eficiente hombre-máquina que permite que un controlador digital pueda ser un desarrollo válido de una máquina de estado. Los controladores diseñados específicamente para proporcionar control de acción discreta se conocen, normalmente, como controladores lógicos programables y el interfaz con los módulos industriales de entrada y salida se integran, habitualmente, en el proceso a controlar. Sin embargo, no todos los controladores lógicos programables utilizan programación basada en las técnicas de transición de estados. Aunque los conceptos de transición de estado se incorporan en muchos sistemas nuevos, aún se utiliza una técnica de programación tradicional, aplicada a muchos sistemas industriales, conocida como lógica en escalera de relés o diagrama de contactos. Ésta es una técnica de representación gráfica de símbolos de dispositivos y de diagramas de circuitos de relés que son los descendientes del diseño de automatismos de lógica cableada con relés electromecánicos. No obstante, en el diseño y desarrollo de programas que tienen grandes interacciones secuenciales, esta técnica de programación tradicional ni resulta metódica, ni es sencilla la comprensión de la estructura secuencial de un proceso. Estos problemas se solventan de forma fácil con la sustitución por una técnica de transición de estados. La metodología de transición de estados describe de forma directa la secuencia de trabajo del proceso a controlar. Cuando un proceso está en funcionamiento, el conjunto de tareas o acciones que está realizando en un momento dado, se conoce como estado actual del sistema. Un diagrama o tabla de transición de estados describe los posibles estados y las condiciones para abandonar cada uno de ellos. Cuando un conjunto de condiciones son válidas para dejar el estado actual, la operación se dirige al correspondiente estado destino. Las acciones se realizan tal y como se describen en el nuevo estado. Así, la operación secuencial es explícita y un examen continuo de las condiciones (de las fuentes de órdenes y de los sensores) incluye solamente aquéllas que son pertinentes para dejar el estado actual. La detección de un conjunto válido de condiciones para dejar un estado origina una transición inmediata a un nuevo estado.

Ejemplos de aplicación. Ejemplo 6.1 Sistema de eventos discretos sencillo (problema del conmutador anclado en una posición). Un ejemplo introductorio sencillo que ilustra algunos conceptos básicos es el problema del conmutador anclado en una posición. Este problema se puede introducir en vista de las consideraciones de seguridad con el control de una máquina potencialmente peligrosa, tal como una sierra de cortar en una máquina de acabado de madera o una prensa en una planta de conformación de metales. Se utilizan dos conmutadores de mano que sólo mantienen el contacto si están en la posición hacia abajo. Con dos conmutadores de este tipo, colocados de forma tal que ambas manos están a salvo de la acción de la máquina, la operación ocurre solamente si se presionan ambos. Sin embargo, puede sucederle al operador que uno de los conmutadores está fijo en la posición de conectado, de manera que una mano esté libre. Así pues, se requiere una acción de control de dos posiciones (on/off) que evite operaciones sucesivas cuando un conmutador está fijo en la

200

Control digital y de eventos discretos

posición hacia abajo. El primer paso en la aplicación de la técnica de transición de estado es listar todos los posibles modos operacionales o estados. Después se deben determinar las acciones que pueden ocurrir cuando se entra a cada estado, y se determina una lista de condiciones considerando las circunstancias que contribuyen a una decisión de dejar cada estado. Es importante diferenciar cuidadosamente entre estados, acciones y condiciones. Probablemente, el primer pensamiento con un control de dos posiciones es que únicamente requiere dos modos de operación (encendido y apagado). Sin embargo, en este ejemplo, se hace necesario un nuevo modo de operación que impida que la máquina actúe cuando un conmutador está fijo en una posición. Los tres estados de operación se describen entonces como el estado mantenido, el estado preparado y el estado en operación. El estado mantenido se introduce para evitar una posible condición de solapamiento entre operaciones. Si el sistema está en el estado en operación, al liberar uno u otro botón (o ambos) quita la energía al sistema y provoca una transición desde operar a mantenido. Una vez se introduce en el estado mantenido, no puede salirse a menos que ambas condiciones de entrada sean falsas (cero), indicando que ambos botones están en la posición hacia arriba. En la tabla 6.1 se presenta una lista de estados, condiciones y acciones. En la figura 6.2 se muestra un diagrama de transición de estado, mientras que en la figura 6.3 aparece la red de Petri correspondiente. Estados

Condiciones

Acciones

E1

Mantenido

C1

Detecta que el botón 1 está pulsado

E2

Preparado

C2

Detecta que el botón 2 está pulsado

E3

Operación

A1

Puesta en marcha de la máquina

Tabla 6.1: Conmutador de control. Lista de estados, condiciones y acciones. C1 · C2 mantenido

preparado

E1

C1 + C2 , A1

E2

C1 · C2 , A1

E3 operación

Figura 6.2 : Conmutador de control. Diagrama de transición de estados.

El diagrama de transición de estados (figura 6.2) muestra los estados como círculos numerados. Las ramas de conexión describen las condiciones para la transición de estado a estado con la acción correspondiente, mientras que la flecha muestra la dirección del cambio. La operación no puede cambiar desde el estado mantenido (E1) al estado preparado (E2) a menos que ambos conmutadores se encuentran en la

E1 mantenido

C1 · C2

posición de desconectado ( C1 ⋅ C 2 ). La lógica combinacional ( C1 ⋅ C 2 ) se expresa utilizando álgebra booleana. Si el estado preparado es el estado activo y si ambos conmutadores se encuentran en la posición de conectado (C1· C2) origina una transición al estado de operación (E3) y se activa la acción A1. Si uno u otro de los botones está liberado ( C1 + C 2 ), la operación retorna al estado mantenido (E1) con la acción A1 desactivada. La red de Petri (figura 6.3) utiliza un esquema de paso de testigo con la presencia de un testigo (representado por un punto grueso negro) que muestra el estado actualmente activo. El testigo no se puede pasar a otro estado a menos que las condiciones de la puerta (en la dirección de la flecha) sean positivas. La acción apropiada a ese momento se muestra asociada con el nuevo estado.

A1

E2 preparado

C1 · C2

E3 operación

A1

C1 + C2

Figura 6.3 : Conmutador de control. Red de Petri.

201

Sistemas de medida y regulación

Considerando este ejemplo simple, el diagrama de transición de estado y la red de Petri son conceptualmente similares, con una estructura gráfica análoga para representar la lógica secuencial. Las acciones pueden estar asociadas con una transición (tal como se muestra en el diagrama de transición de estados) o pueden estar asociadas con la entrada a un nuevo estado, tal como se ilustra en la red de Petri. En la tabla 6.2 se presenta la tabla del lenguaje de estado equivalente. Se lista cada estado con las acciones que ocurren cuando se entra en él, las condiciones para dejarlo y el estado destino. Aunque se pueden diseñar ordenadores de propósito especial para aceptar una estructura gráfica como formato de programación, una lista de sentencias es, por supuesto, un formato común para la programación. La acción NOT en la tabla del lenguaje de estados se muestra entre paréntesis, porque describir la desactivación de acciones asociadas con los estados anteriores puede no ser necesario. Una alternativa es desarrollar el programa de forma que la entrada a un nuevo estado ocurra con la hipótesis de que todas las acciones anteriores están desactivadas, a menos que se listen como acciones positivas en el nuevo estado. Estado E1

Mantenido

E2

Preparado

E3

Operación

Acciones cuando entra

Condiciones para salir

Estado destino

( A1 )

C1⋅ C2

E2

C1·C2

E3

C1+ C2

E1

A1

Tabla 6.2: Conmutador de control. Lenguaje de estado.

Ejemplo 6.2 Combinación de operación discreta y continua (pinza de un robot). El diseño de un sistema de control para una pinza de un robot proporciona un ejemplo que integra conceptos de sistemas continuos y de eventos discretos. El robot opera en una célula de fabricación flexible y la tarea realizada por la pinza es coger y mantener objetos mecanizados de diferentes masas y tamaños sin producir daños en la superficie. Los sensores de la pinza incluyen galgas extensiométricas en una de las pinzas para medir la fuerza de agarre, un potenciómetro para medir la posición de la pinza y un sistema óptico para medir la presencia o ausencia de un objeto entre las pinzas. El control por ordenador proporciona órdenes de dos niveles para abrir o cerrar las pinzas y, además, proporciona señales continuas (con una conversión digital-analógica) para colocar los niveles deseados de velocidad de cierre y fuerza de agarre para cada objeto. La velocidad de cierre se reduce para objetos frágiles porque la inercia de las pinzas y el sistema de accionamiento produce una fuerza transitoria sobre el impacto que causa la fuerza de agarre que excede durante un corto periodo el nivel estático deseado. La fuerza de agarre se mantiene en el nivel deseado utilizando un lazo de realimentación analógico que actúa continuamente minimizando la diferencia entre la fuerza de agarre medida y el nivel deseado. El motor de corriente continua que mueve las pinzas está equipado con un amplificador operacional de alta potencia con circuitos de realimentación que se pueden conmutar para posibilitar un modo de control por tensión o por corriente. Usando el control por tensión, la velocidad es casi proporcional al voltaje. El control por corriente es deseable en el modo de agarre y modo mantenido cuando el par desarrollado es, por supuesto, proporcional a la corriente en el inducido. La señal de velocidad analógica sitúa un nivel de referencia a la entrada del amplificador y la fuerza de referencia se aplica como un voltaje de referencia en un lazo de realimentación negativa. Este lazo incluye el amplificador y el motor cuando se conmuta al modo de control por corriente. Los modos de operación para el motor son: esperar una posición de referencia, cerrar el movimiento de la pinza, objeto agarrado y mantenido, abrir el movimiento de la pinza y esperar. El estado de espera extra se añade porque el ordenador puede ordenar una parada (posiblemente una parada de emergencia) cuando las pinzas no están en la posición de referencia. En la tabla 6.3 se presenta el conjunto completo de los estados, condiciones y acciones, y la formulación en lenguaje de estado de una estrategia de control de eventos discretos se presenta en la tabla 6.4. Cuando se cierran las pinzas, el movimiento ocurre con una velocidad de referencia fija. La referencia es un voltaje analógico que se fija por una señal generada por ordenador justo antes de que sea posible el movimiento. Del mismo modo, cuando las pinzas tocan un objeto, se controla la magnitud de la fuerza de agarre para mantener un valor fijo que se establece mediante una fuerza de referencia analógica generada por ordenador.

202

Control digital y de eventos discretos

Estados

Condiciones

Acciones

E1

Esperar en posición de referencia

C1

Activar señal positiva

A1

Dar energía para cerrar el movimiento con control de tensión

E2

Cerrar el movimiento de la pinza

C2

Cerrar orden positiva

A2

Dar energía para abrir el movimiento con control de tensión

E3

Objeto agarrado y mantenido

C3

Abrir orden positiva

A3

Dar energía para mantener el par control de corriente

E4

Abrir el movimiento de la pinza

C4

Detectar los objetos entre las pinzas

A4

Transmitir señal a la pieza agarrada

E5

Esperar

C5

Detectar los objetos agarrados

A5

Transmitir a la pieza la señal de posición de referencia

C6

Detectar la pinza en posición de referencia

Tabla 6.3: Pinza de robot. Lista de estados, condiciones y acciones.

Estado

Acciones cuando entra

Condiciones para salir

Estado destino

E1

Esperar en posición de referencia

( A2 )

A5

C1·C2·C4

E2

E2

Cerrar el movimiento de la pinza

( A5 )

A1

C1 + C2 + C4

E5

C5

E3

A4

C1·C5

E4

A2

C6

E1

C1+ C3

E5

C1⋅ C2 ⋅ C4 ⋅ C5

E2

C1⋅ C3 ⋅ C6

E4

E3

Objeto agarrado y mantenido

( A1 )

E4

Abrir el movimiento de la pinza

( A3 ) ( A4 )

E5

Esperar

A3

( A1 ) ( A2 )

Tabla 6.4: Pinza de robot. Lenguaje de estado.

Ejemplo 6.3 Sistema con diagnósticos de fallos integrado (máquina de taladrar). Una función a menudo deseada, que se incorpora fácilmente en la programación de transición de estados, es la inclusión del diagnóstico de fallos. Utilizando la metodología de transición de estados, se pueden incluir condiciones de fallo como estados de fallo. Se considera, como ejemplo sencillo, la descripción de la operación de una máquina de taladrar. En esta descripción se incluyen los estados de fallo sobrecalentamiento y tiempo excesivo. En la tabla 6.5 se muestra una lista de estados, condiciones y acciones y en la figura 6.4 se muestra una red de Petri que describe las operaciones. El movimiento de taladrar comienza sólo cuando se recibe una señal de capacitación que indica que una pieza está en su posición. Con una operación normal, el taladro se mueve hacia adelante, espera brevemente en la posición límite y luego se retrasa. Sin embargo, si se mide el sobrecalentamiento del accionamiento del motor (C6), antes de que se complete el avance o retraso, entonces ocurre una transición al estado de fallo de sobrecalentamiento E5. Cuando se alcanza el estado de fallo de sobrecalentamiento, se activan una alarma y una luz. Del mismo modo, si el tiempo para completar el recorrido de avance excede un valor prefijado, entonces ocurre una transición al estado de fallo por exceso de tiempo, E6. Cuando se llega a un estado de fallo, se quita la potencia y se activa la alarma. Cuando se activa cualquier estado de fallo, se requiere una inicialización manual para volver a una operación normal. Hay muchas variaciones y adiciones que se podrían incorporar. Se podría añadir un modo de impulso de 203

Sistemas de medida y regulación

avance para permitir el movimiento, al tiempo que se presiona manualmente un botón (asumiendo que no se exceden los límites). Las operaciones adicionales que involucran tiempo, contadores, comparadores de magnitudes de números, etc., se implementan fácilmente mediante un controlador digital. Estados

Condiciones

Acciones

E1

Preparado

C1

Activar señal

A1

Accionar el movimiento de rotación

E2

Mover taladro hacia delante

C2

Medir movimiento completo hacia delante

A2

Accionar el movimiento hacia adelante

E3

Esperar en el límite

C3

Medir movimiento completo hacia atrás

A3

Accionar el movimiento hacia atrás

E4

Sacar taladro

C4

Temporizador T1 a cero

A4

Activar contador T1

E5

Fallo de exceso de sobrecalentamiento

C5

Temporizador T2 a cero

A5

Activar contador T2

E6

Fallo de exceso de tiempo

C6

Medir sobrecalentamiento

A6

Activar alarma y piloto de fallo de sobrecalentamiento

C7

Señal de reset manual

A7

Activar alarma y piloto de exceso de tiempo

Tabla 6.5: Taladro. Lista de estados, condiciones y acciones.

E1 preparado

A3, A1

C1

E2 hacia delante

C4

E6 alarma de exceso de tiempo

A2, A1, A4

C2

A2, A1, A7

E3 espera

C7

A2, A5

C5

E4 hacia atrás

C5

E5 alarma de sobrecalentamiento

C6

A2, A1, A6

C7

A3, A1

C3

Figura 6.4 : Taladro. Red de Petri.

6.1.2 Técnicas de control tradicional. Para entender las variaciones en metodología que se aplican a los sistemas de control de eventos discretos es útil considerar la evolución del control mediante lógica cableada con relés y del control digital. Los primeros sistemas de automatización en fábricas se desarrollaban utilizando la interconexión de relés en circuitos que proporcionaban funciones de circuitos digitales. Las funciones deseadas incluyen tanto lógica combinacional como secuencial. Los primeros sistemas se establecieron con la necesidad de utilizar únicamente relés electromecánicos y, a menudo, estos sistemas se hacían enormes con un gran número de relés. La programación se implementaba en lógica cableada y los cambios en la programación requerían cambios en el 204

Control digital y de eventos discretos

cableado. Cuando se construían diagramas de circuitos para describir los circuitos lógicos con relés, la estructura del diagrama parecía una escalera, con cada peldaño definiendo las condiciones para controlar un relé específico. Aunque actualmente se utilizan los relés en algunas situaciones, los sistemas que requerían grandes bancos de relés fueron sustituidos, finalmente, por sistemas mucho más pequeños que utilizaban tecnología electrónica de estado sólido. Con el uso de un microprocesador, y la posibilidad de escribir y leer desde memoria, los programas se podían desarrollar y modificar con relativa facilidad. Sin embargo, persistía la programación con diagramas de contactos o de escalera de relés, a pesar del cambio de la tecnología. Muchos controladores modernos utilizan la lógica de los diagramas de contactos como uno de los formatos de programación.

Control de eventos discretos utilizando relés electromecánicos. Un relé electromecánico es un dispositivo de conmutación versátil que se aplica en muchas situaciones. Sin excitación en la bobina del relé, los contactos del conmutador permanecen en la posición de reposo y se conocen como contactos normalmente abiertos o normalmente cerrados. Cuando se aplica excitación a la bobina, los contactos conmutan a la posición opuesta. Existe una separación galvánica entre las bobinas y los contactos, por lo que se puede diseñar para resistir grandes niveles de tensión o corriente transitoria que pueden ocurrir por la conmutación. Cuando estos contactos se diseñan para maniobrar sobre circuitos de potencia, el relé se denomina contactor. Los relés se utilizan, a menudo, en aplicaciones tales como sistemas de control de climatización, aparatos o máquinas industriales para facilitar el control de motores, al mismo tiempo que requieren una estrategia de control sencilla. El control por relés también se puede necesitar para operaciones en un medio adverso, tales como una temperatura muy alta o niveles muy elevados de radiación electromagnética. Un relé electromecánico utiliza una fuerza generada magnéticamente (mediante la excitación eléctrica de su bobina) para abrir o cerrar contactos en circuitos, A1 los cuales pueden estar aislados eléctricamente de la 13 21 fuente de excitación. En la figura 6.5 se muestran los K1B símbolos utilizados habitualmente en esquemas 22 14 A2 eléctricos de lógica cableada y en lenguaje de diagrama de contactos. En la figura 6.6 se presenta un esquema eléctrico o esquema en lógica cableada Bobina Contactos simple (un solo relé) tal y como podría aparecer en un circuito de control de un pequeño motor de c.c. que utilice relés electromecánicos. Si se cierra Figura 6.5 : Símbolos usados en esquemas eléctricos de momentáneamente el pulsador S1Q, entonces la lógica cableada. bobina del relé de control K1M se excita y todos los contactos etiquetados con K1M cambian de posición. Por lo tanto, el motor recibe la energía, y permanecerá así hasta que se pulse S0Q. El contacto normalmente abierto K1M, que aparece en paralelo con S1Q, permite que la bobina del relé permanezca excitada, aún después de haber liberado el pulsador S1Q. 1~50Hz 48V

F2F

+ -

11

S0Q 12

13

S1Q

13

K1M 14

A1

K1M

14

K1M

A

M _

B

A2

Figura 6.6 : Control de un motor de c.c. mediante relés electromecánicos.

205

Sistemas de medida y regulación

Lógica de diagrama de contactos como lenguaje de programación de automatismos. Funciones lógicas parecidas se pueden producir con un controlador de estado sólido utilizando una representación de diagrama de contactos. Si el esquema de control del motor (figura 6.6) se resuelve utilizando programación con diagrama de contactos, se genera un esquema sobre la pantalla de la consola de programación, tal como muestra la figura 6.7. Si se considera una única línea, es aparente que una conexión en serie de símbolos de contactos de relé representa una condición lógica AND y una conexión en paralelo representa una condición lógica OR. Cada uno de los pulsadores se identifica utilizando una dirección de entrada y el símbolo de la bobina del relé se identifica con una dirección de salida. Para detectar la condición de conmutación del pulsador, cada uno de los pulsadores se conecta para proporcionar una señal de baja potencia en la entrada designada y en la pantalla se muestra un símbolo de normalmente abierto o normalmente cerrado para cada entrada. En este punto se introduce un pequeño matiz, ya que el estado de cada conmutador se determina tanto por el estado de la señal de entrada, como por el correspondiente símbolo en la pantalla. Sin embargo, los controladores se diseñan de forma que si un conmutador externo se conecta en serie con una fuente de tensión y se conecta a una entrada, un símbolo de normalmente abierto en la pantalla actúa para mantener la función del conmutador y un símbolo de normalmente cerrado actúa para invertir la función de conmutación.

S1Q

S0Q

K1M

K1M

Figura 6.7 : Esquema de mando del motor desarrollado mediante diagrama de contactos.

El circuito de control del motor es una configuración simple y la consideración de complejidades adicionales se observa como un crecimiento del número de líneas del programa. Posibilidades adicionales, tales como temporización y contaje, se obtienen insertando los símbolos adecuados. Ejemplo 6.4 Problema del conmutador anclado en una posición. Si se retoma el caso del ejemplo 6.1 (el problema del conmutador anclado en una posición), en la figura 6.8 se muestran dos diagramas de contactos que proporcionan un comportamiento equivalente. Aunque estos diagramas tienen sólo dos líneas, la interacción de las dos proporciona una función lógica secuencial. Si se considera el diagrama de la figura 6.8a, el símbolo de la bobina de relé etiquetado por K1A se activará y se mantendrá solamente si ambos conmutadores se detecta que están en la posición hacia arriba. Si se activa el relé K1A, depresionando ambos pulsadores dará energía al sistema (A1 activado), pero K1A se desactiva inmediatamente. Así, el procedimiento de arranque no se puede repetir a menos que ambos conmutadores se detecten en la posición hacia arriba. C1

C2

A1

K1A

C1

K1A

K1A

C2

K1A

A1

A1

C1

C2

A1

a)

A1

C1

A1

C2

K1A

K1A

b)

Figura 6.8 : Alternativas de diagramas de contactos para el conmutador anclado en una posición.

Si se considera el segundo diagrama (figura 6.8b), el relé K1A se activa cuando el sistema recibe energía, y 206

Control digital y de eventos discretos

el sistema no se puede cargar una segunda vez a menos que, K1A se desactive. La desactivación de K1A no ocurrirá, a menos que ambos conmutadores se suelten. Obsérvese que el relé K1A se considera sólo para describir la lógica interna, y no hay necesidad para una dirección de salida correspondiente. Una posible ambigüedad en la función, dependiendo de las variaciones en la secuencia de operaciones casi simultáneas, no se ha experimentado con la simulación electrónica porque se utiliza una exploración electrónica para considerar cada línea individualmente. La exploración se mueve de arriba abajo con la salida de cada línea determinada antes de avanzar hasta la siguiente línea. El estado de salida se aplica a las otras líneas (si se requiere) sin ninguna posibilidad de cambio hasta que la exploración complete un ciclo. Cada línea en un diagrama de contactos proporciona una sentencia en lógica combinacional que se interpreta fácilmente. Sin embargo, la acción secuencial no está sujeta a una estructura definida claramente; así la estructura secuencial no se asimila fácilmente. La dificultad es, a veces, aparente con sistemas simples (tal como el ejemplo del conmutador anclado en una posición) y es obvio con programas más largos que utilizan lógica secuencial. La acción secuencial tiene la posibilidad de formar líneas interactivas. Esto se efectúa rápidamente introduciendo contactos en las líneas que están controladas por las salidas de otras líneas. Sin embargo, las interacciones secuenciales pueden ser extensas y el diagrama no presenta una estructura secuencial obvia. La programación y la depuración puede llegar a complicarse sin necesidad y es difícil la incorporación del diagnóstico de fallos. A menudo, ocurre un problema secundario debido a la falta de particionamiento de la operación. El diagrama de contactos, generalmente, llega a ser largo y el microprocesador explorará repetitivamente muchas líneas que no intervienen en la función actual. Por lo tanto, la operación es ineficaz y el tiempo requerido para reorganizar y responder al conjunto actualmente válido de condiciones se extiende innecesariamente.

6.1.3 Control concurrente. Cuando se proporciona control para dos o más operaciones que ocurren en paralelo se está hablando de control concurrente. Las operaciones en paralelo pueden proceder autónomamente, pero la operación independiente no continúa necesariamente durante un periodo indefinido. Una aplicación típica presenta operaciones en paralelo que avanzan independientemente hasta que ocurre un conjunto específico de condiciones que requieren una sincronización temporal. Ejemplos de este tipo de operación ocurren con máquinas de transferencia o plataformas giratorias industriales. Supóngase que una pieza está situada en un lado de una plataforma giratoria y se llevan a cabo una secuencia de operaciones de máquina automatizadas. La plataforma giratoria se mueve 180º y se sitúa la nueva pieza para su mecanizado. La pieza original está ahora en posición de recibir una

E1 preparado

C1

E2 colocar pieza

A1

C2

E3 tarea de mecanizado #1

A2

E7 tarea de rectificación #1

C7

C3

E4 tarea de mecanizado #2

A3

E8 tarea de rectificación #2

C4

E5 tarea de mecanizado #3

A4

A6

C8

E9 pulimentación

C5

E6 mecanizado completo

A5

A7

C9

E10 rectificación y pulimentación completa

E11 quitar pieza

A8

C10

E12 rotar mesa giratoria

A9

C6

Figura 6.9 : Plataforma giratoria. Red de Petri.

207

Sistemas de medida y regulación

secuencia de operaciones de rectificación y pulimentación. Cuando se completa la operación en ambos lados de la plataforma giratoria, se quita la pieza original y la plataforma gira de nuevo 180º. Para llevar a cabo estas funciones con una transferencia continua de piezas, debe quitarse una pieza terminada antes de cada rotación y debe situarse la nueva pieza después de cada rotación. Las operaciones en los lados opuestos de la plataforma giratoria deben proceder como operaciones asíncronas paralelas, pero la rotación de la plataforma requiere sincronización temporal. Estados

Condiciones

Acciones

E1

Preparado

C1

Activar señal

A1

Iniciar colocación de piezas

E2

Colocar piezas

C2

Detectar nueva pieza en su sitio

A2

Iniciar tarea de mecanizado 1

E3

Tarea de mecanizado 1

C3

Tarea de mecanizado 1 completa

A3

Iniciar tarea de mecanizado 2

E4

Tarea de mecanizado 2

C4

Tarea de mecanizado 1 completa

A4

Iniciar tarea de mecanizado 3

E5

Tarea de mecanizado 3

C5

Tarea de mecanizado 2 completa

A5

Iniciar tarea de rectificación 1

E6

Esperar mecanizado completo

C6

Rotación completa

A6

Iniciar tarea de rectificación 2

E7

Tarea de rectificación 1

C7

Tarea de rectificación 1 completa

A7

Iniciar pulimento

E8

Tarea de rectificación 2

C8

Tarea de rectificación 2 completa

A8

Iniciar quitar pieza

C9

Pulimento completo

A9

Iniciar rotación

E9

Pulimentación

E10

Esperar rectificación y C10 pulimentación completa

E11

Omitir pieza

E12

Rotar mesa giratoria

Detectar que está quitada la pieza acabada

Tabla 6.6: Plataforma giratoria. Lista de estados, condiciones y acciones.

Estado

Acciones cuando entra

Condiciones para salir

Estado destino

C1

E2

E1

Preparado

E2

Colocar piezas

A1

C2

E3, E7

E3

Tarea de mecanizado 1

A2

C3

E4

E4

Tarea de mecanizado 2

A3

C4

E5

E5

Tarea de mecanizado 3

A4

C5

E6

E6

Esperar mecanizado completo

E10 activo

E11

E7

Tarea de rectificación 1

A5

C7

E8

E8

Tarea de rectificación 2

A6

C8

E9

E9

Pulimentación

A7

C9

E10

E10

Esperar rectificación y pulimentación completa

E6 activo

E11

E11

Omitir pieza

A8

C10

E12

E12

Rotar mesa giratoria

A9

C6

E1

Tabla 6.7: Plataforma giratoria. Lenguaje de estado.

En la tabla 6.6 se presenta una lista de estados, condiciones y acciones para la operación de una plataforma giratoria. Utilizando una red de Petri (figura 6.9), la operación concurrente se describe rápidamente utilizando una o dos señales activas. Si un camino controlado por una única puerta se divide en múltiples caminos, la 208

Control digital y de eventos discretos

señal se divide en múltiples señales. Así, la operación paralela comienza cuando la condición C2 se vuelve activa. En este punto la señal se divide en dos señales que entran en los estados E3 y E7. Las operaciones en paralelo entonces prosiguen independientemente hasta que los caminos se vuelven a unir. Si dos o más flechas entran en una única puerta, las señales no pueden pasar, a menos que estén presentes en todos los estados de entrada. Si se consideran los ejemplos mostrados, las puertas con múltiples entradas se muestran con línea doble, y no hay otras condiciones para pasar la puerta de línea doble que la presencia de señales en todas las entradas. Por lo tanto, cuando los estados E6 y E10 están ambos activos, las señales se recombinarán en una única señal en el estado E11. Se presenta también un lenguaje de estado correspondiente (tabla 6.7). No es necesario considerar las acciones de desconexión de la energía para las diferentes tareas porque se supone que estas operaciones se controlan mediante subrutinas en controladores dedicados. La finalización de cada operación se detecta como una señal de condición. Mediante el uso de testigos y la posibilidad de más de un estado activo, la red de Petri ilustra de forma clara la operación concurrente y el desarrollo no es, generalmente, difícil.

6.1.4 Control jerárquico. Sistemas tales como robots y máquinas de herramientas automatizadas, normalmente, funcionan bajo el control de ordenadores locales que se diseñan por el fabricante como controladores dedicados. Cuando se colocan bajo control supervisor, la iniciación y finalización de diferentes operaciones continuas constituye un conjunto de eventos discretos y estos sucesos se perciben rápidamente como acciones y condiciones. Así, se puede utilizar una red de Petri (o una tabla de lenguaje de estado) para desarrollar la estrategia que requiere el control supervisor.

6.2

Técnicas de control por ordenador.

Hoy en día, los procesos industriales han crecido en tamaño y complejidad, llegando a ser necesario procurar un óptimo control de los mismos, con el fin de lograr un funcionamiento de la planta más perfecto y obtener un mayor rendimiento económico y funcional. El ordenador, como elemento controlador, supone una pieza clave en la optimización de los procesos de control complejos. Si bien existen dos tipos de ordenadores, el analógico y el digital, es más ventajoso emplear el segundo para los procesos industriales debido a las ventajas que presenta al tratar exclusivamente con números puros y ser ideal para la solución de los problemas numéricos. Asimismo, la alta velocidad conseguida en las señales de mando sobre los elementos actuadores, o elementos finales de control, permite realizar el control en forma prácticamente continua. Frente al analógico, el digital tiene la desventaja de que, al muestrear el proceso, pierde parte de la información, pero las ventajas que presenta en la fácil modificación de parámetros y variables y en su versatilidad hacen que sea ampliamente utilizado. El ordenador digital, aplicado a los procesos de control industriales, aporta las siguientes ventajas: •

Mayor rendimiento del proceso y, por lo tanto, una gran producción con menores costes gracias a la utilización eficiente del material y del equipo.

•

Mayor calidad en los productos fabricados.

•

Mayor seguridad, ya que la acción de corrección y la activación de alarmas es inmediata.

•

Proporciona una gran cantidad de información a la Dirección.

Como es lógico, al tender los sistemas a evolucionar hacia una complejidad cada vez mayor, fue necesario desarrollar un ordenador de gran capacidad que realizara la función de controlar todas las variables del proceso en una forma óptima. El uso y aplicación del ordenador evolucionó en dos etapas: el control digital directo y el control supervisor. Estos ordenadores iniciaron la separación de la instrumentación analógica del mando directo del operador, pasando éste, gradualmente, a funciones de supervisión e interviniendo sólo en caso necesario al ser avisado por el ordenador. La decisión de instalación de un ordenador conectado al proceso (se realizaba a mediados de los años 60) se debe a múltiples factores, de los cuales se exponen los siguientes: •

La planta debía tener una producción anual muy grande para que fuera factible obtener un pequeño porcentaje de mejora en su rendimiento que pudiera justificar la inversión grande que representaba la instalación de control por ordenadores. Actualmente, los costes se han abaratado enormemente y las prestaciones han mejorado espectacularmente, de modo que puede afirmarse que, a partir de unos 20 o 209

Sistemas de medida y regulación

25 bucles de control, es más barata la adquisición de instrumentos de control digital que la de analógicos (neumáticos o electrónicos). •

La existencia de varias líneas del proceso muy importantes dentro de la planta.

•

La variabilidad del proceso en el tiempo, es decir, es inevitable que el proceso cambie sus características internas con el tiempo, tal como en el caso de los coeficientes de transferencia del calor en un horno, en un intercambiador de calor, etc., donde se prevé que la instalación de instrumentos convencionales dará menor rendimiento.

•

En procesos en desarrollo, puede ser muy útil la instalación de un ordenador, puesto que permite realizar estudios de manera continua que facilitan su mejor diseño.

A continuación, se exponen diversas técnicas de control avanzadas donde el ordenador juega un papel fundamental.

6.2.1 Control Digital Directo (DDC). En el control digital directo, que apareció hacia los años 60, el ordenador lleva a cabo todos los cálculos que realizaban individualmente los controladores P, PI, PID, generando directamente las señales que van a los elementos finales de control (válvulas, contactores…). Este tipo de control se denomina control digital directo o DDC (direct digital control) y realiza las siguientes funciones: •

Explora las variables de entrada analógicas o digitales.

•

Las compara con los puntos de consigna e introduce la señal de error en el algoritmo de control correspondiente.

•

Envía las señales de salida a las válvulas de control del proceso.

•

Se disponen instrumentos analógicos en paralelo con el ordenador en los puntos críticos y actúan como reserva en caso de fallo.

En el control DDC, el ordenador está enlazado con el proceso realizando el papel de controlador, tal y como puede verse en la figura 6.10. Las señales procedentes de los transmisores de campo se reúnen en un terminal y pasan a una unidad de filtrado y acondicionamiento donde son convertidas a señales digitales, para ser usadas en los cálculos posteriores del control. Estas señales de entrada pueden tener varios orígenes: •

Señales de tensión procedentes de: •

Termopares.

•

Reostatos.

•

Tacómetros.

•

pH y conductividad.

•

Otros transductores que proporcionen tensión a la salida.

•

Señales de corriente procedentes de transmisores.

•

Variaciones de resistencia de sondas que se caracterizan por una relación no lineal con relación a la temperatura.

A continuación, estas señales de entrada pasan a través de un multiplexor donde, de forma secuencial, son leídas por el microprocesador o unidad de control de proceso (CPU). El microprocesador del ordenador se encarga de comprobar cada señal de entrada y compararla entre límites prefijados, para detectar si sale fuera de estas magnitudes y determinar así, a través de la lógica del ordenador, las causas de la desviación, iniciando una alarma o bien visualizando instrucciones para la operación de la planta.

210

Control digital y de eventos discretos

Además, una de las ventajas del ordenador es que en él se puede programar el algoritmo de control más conveniente para el tratamiento de cada señal de error, es decir, se puede implementar el algoritmo de un controlador P, PD, PI o PID. Por otro lado, el sistema DDC compara la señal enviada al elemento final de control con la de entrada y determina la aceptabilidad de la información para la acción de control. Si ésta no es aceptable se retiene la última posición del accionador y el operador es prevenido, tomando el ordenador una acción de emergencia. De este modo, los límites de operación del proceso pueden estrecharse con seguridad, de manera que éste puede llevarse a un punto de operación crítico sin problemas. Ordenador Memoria ROM

CPU

BUS

Memoria RAM

CPU

Interfases para entradas y salidas del proceso

Interfases para periféricos

Fuente de alimentación

D Teclado, monitor, unidades de disco impresoras...

~

A A

D

Convertidores digital / analógico y analógico / digital

Multiplexores para salidas y entradas

~

Acondicionador de señal Tarjeta de adquisición de datos

órdenes o variables controladas

Elementos final de control o Actuadores

acciones

Planta o Proceso

Terminales

variables de proceso

Sensores Transducores Transmisores

Figura 6.10 : Ordenador en un sistema de control digital directo.

El DDC permite una transferencia de automático a manual sin perturbaciones y admite una fácil modificación de las acciones y de las configuraciones de los sistemas de control, lo cual es muy importante en la puesta en marcha de la planta. El DDC tiene la ventaja sobre los controladores convencionales de estar provisto de un calibrado automático que corresponde a las condiciones de operación instantáneas. Es decir, el ordenador ajusta la calibración de sus algoritmos, de acuerdo con una función predeterminada de la variable medida o de una combinación de variables, en lugar de requerir periódicamente la calibración individual de cada instrumento por un instrumentista o especialista en instrumentos, tal como ocurre en los instrumentos convencionales. Entre las ventajas del sistema DDC figuran: •

Flexibilidad en el diseño del sistema de control, pudiéndose pasar fácilmente de una acción de control a otra, diseñar la ecuación de control que más convenga al proceso y añadir cómodamente acciones de control en cascada, de ratio o por prealimentación.

•

Rendimiento del control al trabajar muy próximamente al punto óptimo de operación. 211

Sistemas de medida y regulación

•

Seguridad al poder comprobar cada variable entre unos límites prefijados.

6.2.2 Control supervisor. A pesar de las ventajas del control digital directo (DDC), su gran problema es, como todo sistema electrónico, los posibles fallos de sus componentes, a pesar de los avances constantes en la tecnología de los circuitos integrados y la simplificación creciente lograda en el diseño de los ordenadores. Una protección parcial se consigue utilizando estaciones de transferencia automático-manual colocadas fuera del ordenador y disponiendo controladores analógicos adicionales en los lazos críticos. Sin embargo, para garantizar la ausencia total de fallos habría que utilizar más de un ordenador, interconectados entre sí, para que pudieran sustituirse mutuamente en su función. Para alcanzar la máxima seguridad de funcionamiento y lograr la optimización idónea del proceso, el ordenador podría determinar los puntos de consigna más convenientes en cada instante, aplicarlos a los lazos de control situados dentro del propio ordenador o bien en el exterior en controladores individuales. Este tipo de control recibe el nombre de control de puntos de consigna o SPC (set point control), o bien control supervisor. En la figura 6.11 puede verse un esquema de un control supervisor. Se observará que, en paralelo con el bucle de control entre el transmisor y el controlador analógico, el ordenador calcula los puntos de consigna y los envía secuencialmente a cada instrumento. Si se presenta cualquier avería, el controlador regula la variable del proceso en el último punto de consigna que recibió del ordenador. Dentro del control supervisor se usa el término SCADA (Supervisory Control And Data Adquisition) que representa el uso de un ordenador huésped (host), que usa los datos transmitidos desde el campo, y presenta los resultados al operador para que actúe como supervisor e inicie alguna acción de control, y utiliza unidades remotas de transmisión situadas a largas distancias (pueden ser kilómetros) del ordenador. Las unidades remotas de transmisión suelen ser inteligentes, por lo menos en los lazos críticos.

Tarjeta de adquisición de datos Terminales

Multiplexor D A

Acondicionador de señal

Convertidores digital / analógico y analógico / digital A D

Controlador

Transmisores

Elementos final de control o Actuadores

Planta o Proceso

Sensores y Transducores

Figura 6.11 : Ordenador en un sistema de control supervisor..

Poco a poco, las funciones aportadas por los sistemas SCADA se han hecho semejantes al control distribuido, y la única diferencia reside en el tipo de circuito. SCADA transmite las señales a través de circuitos de baja velocidad y poco fiables para la integridad de los datos (líneas telefónicas y radio), mientras que el control distribuido lo hace mediante circuitos locales de alta velocidad y seguridad de transmisión.

212

Control digital y de eventos discretos

6.2.3 Control distribuido. En los años 70, dentro de los esfuerzos de investigación dedicados a la resolución del problema del control de fábricas con gran número de bucles de control, y teniendo en cuenta el estado de la técnica de los microprocesadores y la característica conservadora de la industria, se llegó a las siguientes conclusiones generales: •

Descartar el empleo de un único ordenador (control DDC) por el serio inconveniente de la seguridad y sustituirlo por varios controladores digitales capaces de controlar individualmente un cierto número de variables, para así distribuir el riesgo del control único.

•

Cada controlador digital debía ser universal, es decir, disponer de algoritmos de control seleccionables por software, que permitieran resolver todas las situaciones de control y dieran así versatilidad al sistema. De este modo, un solo controlador digital podía efectuar un control P, o PI, o PID, o de relación, o en cascada, etc...

•

La velocidad en la adquisición de los datos y su salida hacia los elementos finales de control debía ser en tiempo real, lo que obligaba a utilizar microprocesadores de 16 bits, los cuales eran todo un hito tecnológico en los años 70.

•

Para comunicar entre sí los transmisores electrónicos de campo, los controladores y las interfaces para la comunicación con el operador de la planta, se adoptó el empleo de una vía de comunicaciones, en forma de cable coaxial instalado en la planta, con un recorrido paralelo a los edificios y a la sala de control.

•

Para eliminar el espacio de panel requerido por el control clásico, se adoptó el uso de uno o varios monitores, en los cuales, el operador, a través del teclado, debía examinar las variables de proceso, las características de control, las alarmas, etc., sin perturbar el control de la planta, y con la opción de cambiar cualquier característica de control de las variables del proceso.

Como resultado de estos esfuerzos, el primer control distribuido para la industria apareció a finales de 1975. En esencia, la diferencia entre el control distribuido y el control clásico puede compararse a la existencia entre el primer ordenador, el ENIAC, que se configuraba cambiando cables, y el actual ordenador personal donde los cables existen electrónicamente configurados por el programa escrito (software) que se ejecuta. Algunos de los elementos que forman parte de un sistema de control distribuido son los siguientes: •

Controlador básico: es un microprocesador que proporciona los clásicos controles PID y otros algoritmos de control. Es apto para el manejo de 8 bucles de control que proporciona, entre otros, los siguientes algoritmos de control: Salida manual PID normal PID con ajuste externo del punto de consigna PID con control anticipativo (feedforward) Adelanto-retardo Sumador Multiplicador-Divisor Relación Extracción de raíz cuadrada Rampas programadas (temperatura en procesos discontinuos) Contador Estos algoritmos pueden configurarse definiéndose de este modo, el último modo de control a retener en caso de avería, las unidades de ingeniería (tipo de termopar, termorresistencia,...), la acción de control (directa, inversa), el tipo de señal de entrada (lineal, raíz cuadrada,...), las alarmas, etc.

•

Controlador multifunción: son equipos que, al utilizar en su programación un lenguaje de alto nivel, se asemejan a un ordenador personal, proporcionan las funciones de control lógico que permiten regular un proceso discontinuo (batch control) y el manejo de procesos complejos donde se hace necesario realizar cálculos en tiempo real, en los cuales el controlador básico está limitado.

•

Controladores lógicos programables: sustituyen a los relés convencionales utilizados en la industria. En lugar de disponer de pulsadores y relés para los circuitos de enclavamiento y para el accionamiento de los contactores que gobiernan los motores de la planta (con el correspondiente panel o cuadro de mandos y con los consiguientes cables de conexión, voluminosos y caros) el controlador programable

213

Sistemas de medida y regulación

aporta la versatilidad y sencillez del uso de un lenguaje de programación basado en la lógica de diagrama de contactos. De este modo, pueden desarrollarse programas que representen cualquier circuito de enclavamiento y comprobarlos con un simulador de contactos, antes de acoplar el controlador programable a la planta. •

Estación del operador: proporciona la comunicación con todas las señales de la planta para el operador de proceso, el ingeniero de proceso y el técnico de mantenimiento. La presentación de la información a cada uno de ellos se realiza mediante programas de operación basados en aplicaciones SCADA. De este modo, el operador de proceso ve en la pantalla (o pantallas) un gráfico o gráficos del proceso que le interesa y puede manipular las variables deseadas, las alarmas, las curvas de tendencia, etc. Puede archivar datos históricos de la planta que crea interesantes, obtener copias en impresora de las tendencias, el estado de las alarmas, etc. El ingeniero de proceso puede editar programas del proceso, construir las representaciones en la pantalla de partes del proceso, etc. El técnico de mantenimiento puede, fundamentalmente, diagnosticar y resolver problemas en los elementos de control distribuido de la planta.

•

Ordenador personal (PC): Permite la visualización de las señales de múltiples transmisores, el diagnóstico de cada lazo de transmisión, el acceso a los datos básicos de calibración y a los datos de configuración de los transmisores. Todo ello posible gracias a las aplicaciones tipo SCADA. También permite implementar los programas de aplicación de los usuarios, destinados a obtener información determinada de la planta, y procesarla con objeto de analizarla más adelante. El sistema se presta a optimizar variables, hacer cálculos especiales o complejos sobre balance de energía o de consumo de materias primas de la planta y a confeccionar informes especiales. Por otro lado, el ordenador puede comunicarse con otros ordenadores de mayor capacidad para obtener información sobre el consumo de materias primas, sobre los factores que influyen en la producción y en su rendimiento y sobre los datos analíticos que se utilicen en la optimización de la planta. Y, como es lógico, esta información actual obtenida del proceso es accesible a la dirección, que puede utilizarla para el control de costos de la planta. El lenguaje utilizado suele ser de alto nivel, Fortran, C++, Pascal objeto. Se desarrollan programas que permiten utilizar el control distribuido de manera óptima para mejorar la productividad de la fábrica y minimizar los costes.

•

Alarmas: son elementos muy importantes en el control de procesos. Existen alarmas de alto y bajo valor de la variable, alarmas de desviación entre el punto de consigna y la variable controlada, alarmas de tendencia que actúan si la variación de la variable excede de un valor prefijado, alarmas de estado de la señal de entrada o de salida, etc. Conviene evitar la instalación de un número excesivo de alarmas, ya que el operador se ve obligado a silenciarlas apretando el pulsador correspondiente y, además, le predisponen a no prestarles atención. Los casos en que la alarma actúa demasiadas veces durante el día son debidos a un mal diseño o a una condición del proceso que hay que corregir. La solución a estos casos es la llamada alarma inteligente que actúa siguiendo la lógica del circuito.

El control distribuido tiene una seguridad mejorada con relación a los sistemas convencionales de control. Tal como se ha indicado, los transmisores disponen de un sistema de autocalibración y diagnóstico de averías que permite al personal de mantenimiento localizarlas y resolverlas rápidamente, caso de que se produzcan. El sistema es redundante y puede considerarse como una inteligencia distribuida que, en forma parecida a la humana, limita las consecuencias de un fallo, manteniendo el control del sistema. Desde el punto de vista de la fiabilidad del equipo, el número de horas/fallo de los elementos de un sistema de control distribuido es considerable y varía en régimen permanente y a la temperatura de 25ºC desde 10.000 horas/fallo en los controladores básicos hasta 220.000 horas/fallo en la vía de comunicaciones (cable coaxial). Este tiempo sigue creciendo con las nuevas técnicas de fabricación que se van incorporando a la industria. Otro parámetro interesante es la llamada disponibilidad, es decir, la fracción de tiempo que el sistema es operable. Por ejemplo, una disponibilidad de 90% significa que el sistema trabaja el 90% del tiempo, mientras que el 10 % restante está en reparación. Pues bien, en los sistemas de control distribuido, la disponibilidad típica varía desde el 99,2% hasta el 99,9%, dependiendo de la calidad del equipo, de la existencia de piezas de recambio críticas y del mantenimiento. Por lo tanto, si el usuario dispone en la planta de dichas piezas, y ha contratado un buen mantenimiento, la seguridad de funcionamiento es clara.

214

Control digital y de eventos discretos

controlador multifunción controlador lógico programable controlador básico

controlador básico controlador multifunción controlador lógico programable estación de trabajo del operador monitorización programación contabilidad tratamiento de datos históricos

Figura 6.12 : Ejemplo de aplicación del control distribuido a una planta.

Cabe pues afirmar que los sistemas de control distribuido se han consolidado en el mercado industrial como los sistemas ideales de control y, hoy en día, sus ventajas son tan claras que, al estudiar la instrumentación y el control de una nueva fábrica o la reforma de una antigua, es inimaginable no considerarlos como posibles opciones de elección. Los sistemas electrónicos, al usar la lógica binaria, presentan la ventaja de poder aplicarse y ser compatibles, tanto para producción a gran escala, como en la fabricación de un número pequeño de unidades. El coste del equipo electrónico disminuye de forma continua, el software continúa su creciente desarrollo y la presión económica que induce a la automatización se mantiene, por lo cual es de esperar una creciente implantación en los procesos de automatización.

215

Sistemas de medida y regulación

Ejercicios de profundización y refuerzo. Ejercicio 6.1 Se desea taladrar piezas con un taladro-broca como el de la figura 6.13. El taladro se debe accionar por una orden del operario, taladrar la pieza y colocarse en su posición inicial a la espera de una nueva orden. El descenso del taladro se realizará a velocidad rápida y con la broca girando. Cuando ésta se aproxime a la pieza, ha de disminuir su velocidad. Una vez taladrada la pieza, regresará a su lugar de origen a velocidad rápida. En el caso de emergencia, se puede efectuar una parada del proceso. Especificaciones iniciales. 1 El taladro-broca consta de un motor de traslación de 2 velocidades y 2 sentidos de giro, por lo que necesitará para su control 4 actuadores (contactores). K1B y K2B gobernarán los sentidos de giro (descenso y ascenso), mientras que K3M y K4M gobiernan las velocidades lenta y rápida respectivamente. Figura 6.13 : Esquema del taladro-broca. 2 El taladro-broca tiene, además, un motor de rotación para el giro de la broca con 1 velocidad y 1 sentido de giro, por lo que bastará un sólo actuador para su control. El contactor K5M se encarga de realizar las funciones del motor de la broca.

3 Una orden del operario mediante un pulsador S1Q pone en funcionamiento el ciclo de trabajo. 4 La broca comienza a girar y no cesará hasta el final del ciclo. 5 El taladro se prepara para descender a velocidad rápida. 6 Cuando el taladro alcance el nivel de proximidad, éste seguirá descendiendo a velocidad lenta. 7 Cuando se haya obtenido la profundidad de perforación deseada, un detector nos indicará que el taladro se halla en su nivel más bajo. 8 El motor de traslación del taladro se detiene y asciende a velocidad rápida. 9 El taladro alcanza su nivel original, se detiene la traslación y la rotación de la broca. 10 El taladro-broca se queda a la espera de una nueva orden del operario. 11 Por medio de un interruptor S0Q se podrá realizar un paro de emergencia en el momento que interese. Cuando se retoma el funcionamiento normal, el taladro asciende a velocidad rápida hasta su nivel alto (original). Realizar la lista de estados, condiciones y acciones y la red de Petri correspondiente al automatismo propuesto, procurando cumplir todas las especificaciones iniciales.

216

UNIDAD 7 Diseño de controladores. 7.1

Configuración de controladores electrónicos.

A la hora de hablar de controladores electrónicos no se puede hacer referencia a una tecnología única. Para empezar, la tecnología a emplear en el diseño de un controlador electrónico va a depender de si el tipo de señal a tratar va a ser analógica (señal continua en el tiempo) o digital. Si la señal es continua en el tiempo se utilizarán controladores electrónicos analógicos, mientras que si la señal es digital se utilizarán controladores digitales. Dentro de cada grupo de controladores electrónicos las opciones tecnológicas son muy amplias, por lo que hay que recurrir a otros requerimientos del sistema o proceso a controlar para decidir cuál es la opción más acertada. Debido a la extensión que podría llevar el introducir cada una de las posibles opciones, es necesario centrarse en un campo de controladores concreto. Aquí se tratarán exclusivamente los controladores electrónicos analógicos. El componente principal de los controladores analógicos (sobre el cual se desarrolla todo el diseño de los mismos) es el amplificador operacional. Una breve introducción al amplificador operacional resulta interesante para una mejor comprensión de las posibles configuraciones de controladores.

7.1.1 El amplificador operacional. El amplificador operacional está basado en el amplificador diferencial básico, constituido por un par equilibrado de transistores idénticos acoplados por emisor a un generador de corriente (figura 7.1). Esta configuración constituye un bloque amplificador con muy buenas características en cuanto a estabilidad, ganancia y ausencia de frecuencia inferior de corte.

VC1

Figura 7.1 : Amplificador operacional elemental basado en un amplificador diferencial básico.

La tecnología de integración de circuitos ha permitido la realización de dicha etapa en un mismo y diminuto sustrato semiconductor (chip), asegurando que ambos transistores son exactamente iguales, exigencia básica para la configuración del par equilibrado. Aún más, el desarrollo acelerado de las técnicas de integración ha hecho posible agrupar varias etapas diferenciales junto con otras etapas auxiliares de entrada y de salida, aumentando considerablemente la ganancia del amplificador global y mejorando sus impedancias. De esta forma, se ha conseguido un circuito integrado amplificador de características cuasi-ideales: el amplificador operacional. Las características básicas de un supuesto amplificador ideal de tensión serían las siguientes: • Su ganancia, Av, debería ser prefijable con facilidad y precisión.

217

Sistemas de medida y regulación

• Su impedancia de entrada debería ser infinita, para no modificar la tensión a amplificar, y su impedancia de salida debería ser nula, para que la tensión de salida no fuese modificada por la carga (condiciones ambas de buen acoplo en tensión). • Su anchura de banda debería abarcar desde la tensión continua hasta las más altas frecuencias utilizables, a fin de no introducir ninguna limitación en frecuencia (anchura de banda infinita). Por otra parte, el amplificador operacional poseerá dos entradas, al igual que el amplificador diferencial que le da origen. Entonces, para el amplificador operacional se tiene la siguiente caracterización: Característica

Amplificador ideal

Amplificador real (A741)

Ganancia (Av)

infinita

≈ 2·105

Impedancia de entrada (Ri)

infinita

≈ 2 MΩ

Impedancia de salida (Ro)

nula

≈ 75 Ω

Anchura de banda (BW)

≈ 10 Hz

infinita

(sin frecuencia inferior de corte) Tabla 7.1: Características de un amplificador operacional.

Las características expuestas en la tabla 7.1 se muestran sobre un modelo de cuadrupolo del amplificador en la figura 7.2.

ganancia

+

+ frecuencia

Figura 7.2 : Amplificador operacional como cuadrupolo y diagrama de Bode para la ganancia.

De las dos entradas que dispone, una es inversora, dado que la tensión de salida vo invierte su signo respecto a la tensión presente en dicha entrada. La otra entrada es no inversora, pues da lugar a una vo que mantiene el signo de la tensión en esa entrada. Dicho amplificador se alimenta con dos fuentes de tensión, +Vcc y -Vcc (no necesariamente simétricas respecto al cero, aunque sea lo más habitual), que delimitan el campo de trabajo de las tensiones en sus entradas y su salida. Tal como se ha definido este amplificador operacional ideal, con una ganancia infinita, resulta claro que no puede operar directamente en zona lineal, pues, en cuanto exista la más mínima diferencia entre las tensiones de sus entradas, la tensión de la salida va a tomar valores de +∞ o -∞, que en la práctica serán +Vcc y -Vcc, como valores límite de su zona de tensiones (salida saturada). En estas circunstancias, el amplificador operacional actúa como comparador: Si v+ > v- ⇒ vo = +∞ = +Vcc Si v+ < v- ⇒ vo = -∞ = -Vcc La zona de trabajo lineal del amplificador operacional se refleja en la gráfica de la figura 7.3a. Si al amplificador operacional se le realimenta negativamente, su zona de operación lineal aumenta para un mayor rango de valores entrada (figura 7.3b). Por el contrario, si se realimenta positivamente, se acentúa aún más la función de comparador del amplificador (figura 7.3c). A partir de estas consideraciones, y de las características del amplificador ideal, se extraen las siguientes conclusiones:

218

Diseño de controladores

• Debido a la impedancia de entrada infinita, se supone que no circula ninguna corriente por las entradas del amplificador. • Si la salida vo no está saturada (-Vcc < vo < +Vcc), el amplificador se halla trabajando en su zona lineal. Debido a su ganancia casi infinita, esta situación es sólo posible si v+ - v- ≈ 0, es decir, v+ ≈ v-. sin realimentación

realimentación negativa

realimentación negativa

-

-

-

+

+

+

a)

b)

c)

Figura 7.3 : Curvas características del amplificador operacional cuando se realimenta.

7.1.2 Comportamiento y realización práctica de los controladores. La diferencia entre la variable de referencia y la variable controlada, es decir, la señal de error, puede amplificarse de forma proporcional, integrarse o derivarse para obtener la variable correctora que va a actuar sobre el proceso controlado. En el controlador, las componentes de acción proporcional y acción integral pueden presentarse juntas o por separado y estar también combinadas con la componente de acción derivativa. A continuación, se consideran los tipos de controladores más importantes. A la entrada del circuito debe generarse siempre la señal de error. Los demás parámetros, o sea, las constantes de tiempo, se obtienen por efecto de la realimentación incorporada en el diseño del circuito o añadiendo un amplificador no inversor. Para estudiar las características de los distintos montajes basta considerar un único canal de entrada. Por ello se supone que la tensión ∆vi = v1 – v2 representa la señal de error a la entrada del controlador y que la impedancia Ri es la impedancia equivalente del canal de entrada correspondiente. En los apartados siguientes se considera que los amplificadores operacionales son prácticamente ideales.

7.1.3 Controlador de acción proporcional. El diseño del circuito de un controlador de acción proporcional, basado en amplificadores operacionales, debe ser tal que con los lazos de realimentación usados en el mismo, la señal de salida vo sea directamente proporcional a la señal de entrada ∆vi = v1 – v2, la cual representa la señal de error. Evidentemente, es necesario que el amplificador trabaje en la zona lineal de su curva característica, por lo que se hace necesario usar la realimentación negativa del mismo. Existen diversas posibilidades de configuración de circuitos que realicen esta acción proporcional. Aquí se tratarán las etapas correspondientes al amplificador inversor, amplificador no inversor y el amplificador restador.

Amplificador inversor. El esquema del montaje de un amplificador inversor se muestra en la figura 7.4. La comparación de las señales v1 y v2 se ha realizado previamente, por lo que a la entrada de la etapa se recibe su diferencia ∆vi = v1 – v2, la cual constituye la señal de error del sistema. Las ecuaciones que rigen este circuito son:

219

Sistemas de medida y regulación

v+ = v- = 0 V

;

I1 =

∆v i R1

I2 =

;

0 − vo R2

(7.1.3.1)

Dado que se supone el amplificador operacional ideal y que por las entradas del mismo (v+ y v-) no circula corriente, se tiene que I1 = I2. Igualando las ecuaciones de la expresión (7.1.3.1), se tiene: vo = −

R2 ⋅ ∆v i R1

(7.1.3.2)

La función de transferencia de esta etapa amplificadora resulta: Vo (s ) R =− 2 ∆Vi (s ) R1

(7.1.3.3)

+

Figura 7.4 : Controlador de acción proporcional mediante un amplificador inversor.

La función de transferencia de la ecuación (7.1.3.3) es una constante proporcional adimensional de signo negativo cuyo valor depende del cociente de dos resistencias. Como consecuencia de ello, la variable correctora que se obtiene a la salida (vo) es directamente proporcional a la señal de error (∆vi = v1 – v2) y se halla invertida con respecto a la misma. Como en todo controlador de acción proporcional, no se incluye ningún factor dependiente del tiempo.

Amplificador no inversor. El esquema de un amplificador no inversor es muy similar al del amplificador inversor. El circuito se muestra en la figura 7.5. En este caso, sus ecuaciones son: v+ = v- = ∆vi

;

I1 =

0 − ∆v i R1

;

I2 =

∆v i − v o R2

(7.1.3.4)

Igualando las expresiones de las corrientes, se tiene:  R v o = 1 + 2 R1 

  ⋅ ∆v i  

+

Figura 7.5 : Controlador de acción proporcional mediante un amplificador no inversor.

La función de transferencia de esta etapa amplificadora resulta:

220

(7.1.3.5)

Diseño de controladores

Vo (s ) R =1+ 2 ∆Vi (s ) R1

(7.1.3.6)

La función de transferencia de la ecuación (7.1.3.6) es una constante proporcional adimensional de signo positivo. Como consecuencia de ello, la variable correctora que se obtiene a la salida (vo) es directamente proporcional a la señal de error (∆vi = v1 – v2).

Amplificador restador. En un amplificador restador, la comparación de las señales v1 y v2 se realiza directamente en la propia etapa, por lo que este controlador hace también la función de comparador (figura 7.6). Las ecuaciones que rigen este circuito son: R2 v − = v + = v2 ⋅ R1 + R2

;

I1 =

R2 R1 + R2 R1

v1 − v 2 ⋅

;

I2 =

v2 ⋅

R2 − vo R1 + R2 R2

(7.1.3.7)

Igualando las expresiones de las corrientes, se tiene: vo =

R2 ⋅ (v 2 − v1 ) R1

(7.1.3.8)

Dado que se ha considerado como señal de error ∆vi = v1 – v2, resulta: vo = −

R2 ⋅ ∆ vi R1

(7.1.3.9)

Es decir, se obtiene la misma expresión que a la salida del amplificador inversor. La función de transferencia de esta etapa amplificadora resulta, igualmente: Vo (s ) R =− 2 ∆Vi (s ) R1

(7.1.3.10)

+

Figura 7.6 : Controlador de acción proporcional mediante un amplificador restador.

La función de transferencia de la ecuación (7.1.3.10) es una constante proporcional adimensional de signo negativo cuyo valor depende del cociente de dos resistencias. Como consecuencia de ello, la variable correctora que se obtiene a la salida (vo) es directamente proporcional a la señal de error (∆vi = v1 – v2) y se halla invertida con respecto a la misma.

7.1.4 Controlador de acción integral. La acción integral puede generarse a partir de amplificador inversor, descrito en el apartado 7.1.3 (figura 7.4), sustituyendo la resistencia R2 por un condensador C. El modelo básico de un controlador o etapa integradora (acción integral) se muestra en la figura 7.7. Considerando como señal de error ∆vi(t) = v1(t) – v2(t), las expresiones que relacionan las variables de este circuito son: v+ = v- = 0 V

;

i1 (t ) =

∆v i (t ) R

;

i 2 (t ) = C ⋅

δ (0 − v o (t )) δ v o (t ) = −C ⋅ δt δt

(7.1.4.1)

221

Sistemas de medida y regulación C

R

+

Figura 7.7 : Controlador de acción integral basado en el amplificador inversor.

Igualando las expresiones de las corrientes, se tiene: v o (t ) = −

∫

1 ⋅ ∆v i (t ) ⋅δ t R ⋅C

(7.1.4.2)

Al producto R·C se le denomina tiempo integral o constante de tiempo de acción integral Ti, resultando la expresión de la forma: v o (t ) = −

∫

1 ⋅ ∆v i (t ) ⋅δ t Ti

(7.1.4.3)

Se puede observar en la expresión de la ecuación (7.1.4.3) que la salida de la etapa es directamente proporcional, y con signo inverso, a la integral de la señal de error que se aplica a la entrada. La función de transferencia de esta etapa, como ya se estudió en el apartado 5.2.3, se escribe como: Vo (s) 1 =− ∆Vi (s) Ti ⋅ s

(7.1.4.4)

El ajuste de la constante de tiempo de acción integral Ti se puede realizar sustituyendo la resistencia R por un reostato o por un potenciómetro. Los controladores de acción integral, o controladores I, son relativamente lentos, pues van variando su tensión de salida de acuerdo con la constante de tiempo de acción integral, Ti, hasta que se anula su error. A diferencia de los controladores de acción proporcional P (los cuales son más rápidos y actúan inmediatamente sobre el sistema controlado de forma proporcional a la señal de error) los controladores I precisan un cierto tiempo para llegar a generar una variable correctora lo suficientemente grande. Sin embargo, estos controladores siguen actuando hasta que la señal de error se hace nula.

7.1.5 Controlador de acción proporcional e integral (PI). Para obtener una etapa de acción proporcional e integral, PI, se puede partir de un controlador de proporcional - constituido por un amplificador inversor - y de un controlador de acción integral. Si se aplica la misma señal de entrada a estas dos etapas, y las correspondientes salidas se hacen pasar a través de una etapa sumadora, se superpondrían los efectos de la acción proporcional y de la acción integral. La constitución básica de un amplificador sumador o etapa sumadora, se muestra en la figura 7.8.

+

Figura 7.8 : Etapa sumadora.

222

Diseño de controladores

La expresión de la señal de salida de este sumador resulta ser: vo = −

R2 ⋅ (v1 + v 2 ) R1

(7.1.5.1)

Hay que observar que la señal de salida es directamente proporcional a la suma de las señales de entrada, pero con signo inverso. La relación de resistencias R2/R1 constituye la ganancia de la etapa sumadora. Si se desea sumar los efectos de un controlador de acción proporcional y un controlador de acción integral, se puede realizar un circuito como el de la figura 7.9, donde las salidas de un amplificador inversor y de un amplificador integrador se suman a través de un amplificador sumador. R

R

+

Amplificador inversor

+

+

Etapa sumadora Etapa integradora

Figura 7.9 : Ejemplo de controlador de acción proporcional e integral.

La relación entre la señal de salida y la señal de entrada, considerando como señal de error ∆vi = v1 – v2, se expresa como: v o (t ) = −

R2 R1

 R 1   ⋅  − ⋅ ∆v i  +  − ⋅ ∆v i (t ) ⋅δ R R   i ⋅ Ci 

∫

 t    

(7.1.5.2)

Si se denomina a R2/R1 como Kp (ganancia proporcional) y al producto Ri·Ci como Ti, la ecuación (7.1.5.2) se puede escribir de la forma:   1 v o (t ) = K p ⋅  ∆v i + ⋅ ∆v i (t ) ⋅δ t  T i  

∫

(7.1.5.3)

Haciendo la transformada de Laplace y obteniendo la función de transferencia de la etapa, se tiene que:  Vo (s) 1   = K p ⋅ 1 +  T ∆Vi (s) i ⋅s  

(7.1.5.4)

expresión que ya se obtuvo en el apartado 5.2.4 cuando se analizaba el comportamiento de un controlador PI genérico.

7.1.6 Controlador de acción derivativa. La acción derivativa puede realizarse a partir de amplificador inversor, descrito en el apartado 7.1.3 (figura 7.4), sustituyendo la resistencia R1 por un condensador C. El modelo básico de un controlador o etapa derivadora (acción derivativa) se muestra en la figura 7.10. Considerando como señal de error ∆vi(t) = v1(t) – v2(t), las expresiones que relacionan las variables de este circuito son:

223

Sistemas de medida y regulación

v+ = v- = 0 V

;

i1 (t ) = C ⋅

δ ∆v i (t ) δt

i 2 (t ) =

;

0 − v o (t ) v (t ) =− o R R

(7.1.6.1)

R

C

+

Figura 7.10 : Controlador de acción derivativa basado en el amplificador inversor.

Igualando las expresiones de las corrientes, se tiene: v o (t ) = −R ⋅ C ⋅

δ ∆v i (t ) δt

(7.1.6.2)

Al producto R·C se le denomina constante de tiempo derivativo o tiempo de adelanto Td, resultando la expresión de la forma: v o (t ) = −Td ⋅

δ ∆v i (t ) δt

(7.1.6.3)

Se puede observar en la expresión de la ecuación (7.1.6.3) que la salida de la etapa es directamente proporcional, y con signo inverso, a la derivativa de la señal de error que se aplica a la entrada. La función de transferencia de esta etapa se escribe como: Vo (s) = −Td ⋅ s ∆Vi (s)

(7.1.6.4)

El ajuste de la constante de tiempo derivativo Td se puede realizar sustituyendo la resistencia R por un reostato o por un potenciómetro. Los controladores de acción derivativa, o controladores D, son tanto más rápidos (incluso más que los controladores P) cuanto mayor sea la variación de la señal de error por unidad de tiempo. Se puede afirmar que realizan un control de la velocidad de la señal de error, de tal forma que cuando ésta se estabiliza (velocidad o variación nula del error) la señal correctora a la salida del controlador es nula. Esto puede resultar un inconveniente cuando el error se hace estable una vez que han pasado los fenómenos transitorios.

7.1.7 Controlador de acción proporcional y derivativa (PD). Para obtener una etapa de acción proporcional e derivativa, PD, se puede partir de un controlador de proporcional, constituido por un amplificador inversor, y de un controlador de acción derivativa. Si se aplica la misma señal de entrada a estas dos etapas, y las correspondientes salidas se hacen pasar a través de una etapa sumadora, se superpondrían los efectos de la acción proporcional y de la acción derivativa. Si se desea sumar los efectos de un controlador de acción proporcional y un controlador de acción derivativa, se puede realizar un circuito como el de la figura 7.11 donde las salidas de un amplificador inversor y de un amplificador integrador se suman a través de un amplificador sumador. La relación entre la señal de salida y la señal de entrada, considerando como señal de error ∆vi = v1 – v2, se expresa como: v o (t ) = −

R2  R δ ∆v i (t )      ⋅  − ⋅ ∆v i  +  − Rd ⋅ Cd ⋅ R1  R δ t    

(7.1.7.1)

Si se denomina a R2/R1 como Kp (ganancia proporcional) y al producto Rd·Cd como Td, la ecuación (7.1.7.1) se puede escribir de la forma:

224

Diseño de controladores

 δ ∆v i (t )   v o (t ) = K p ⋅  ∆v i + Td ⋅ δ t  

(7.1.7.2)

Haciendo la transformada de Laplace y obteniendo la función de transferencia de la etapa, se tiene que, Vo (s) = K p ⋅ (1 + Td ⋅ s ) , ∆Vi (s)

(7.1.7.3)

expresión que ya se obtuvo en el apartado 5.2.5 cuando se analizaba el comportamiento de un controlador PD genérico.

+

Amplificador inversor

+

+

Etapa sumadora Etapa derivativa

Figura 7.11 : Ejemplo de controlador de acción proporcional y derivativa.

7.1.8 Controlador de acción proporcional, integral y derivativa (PID). Del mismo modo que se han planteado los ejemplos de diseño para los controladores PI y PD, se puede construir un controlador PID como el que aparece en la figura 7.12. La relación entre la señal de salida y la señal de entrada, considerando como señal de error ∆vi = v1 – v2, se expresa como: v o (t ) = −

R2  R 1   ⋅  − ⋅ ∆v i  +  − ⋅ ∆v i (t ) ⋅δ R1  R R   i ⋅ Ci

∫

  δ ∆v i (t )   t  +  − Rd ⋅ Cd ⋅ δ t   

(7.1.8.1)

Si se denomina a R2/R1 como Kp (ganancia proporcional), al producto Ri·Ci como Ti y al producto Rd·Cd como Td, la ecuación (7.1.8.1) se puede escribir de la forma:  1 v o (t ) = K p ⋅  ∆v i + ⋅ Ti 

∫ ∆v

i

(t ) ⋅δ

t + Td ⋅

δ ∆v i (t )   δ t 

(7.1.8.2)

Haciendo la transformada de Laplace y obteniendo la función de transferencia de la etapa, se tiene:   Vo (s) 1 = K p ⋅ 1 + + Td ⋅ s  , V (s) T s ∆ i i ⋅  

(7.1.8.3)

expresión que ya se obtuvo en el apartado 5.2.6 cuando se analizaba el comportamiento de un controlador PID genérico.

225

Sistemas de medida y regulación

+

Amplificador inversor

+ Etapa integradora

+

Etapa sumadora

+ Etapa derivativa

Figura 7.12 : Ejemplo de controlador de acción proporcional, integral y derivativa.

7.2

Configuración de controladores neumáticos.

Los fluidos, ya sean líquidos o gases, tienen un amplio uso en la industria debido principalmente a que son el medio más versátil para transmitir señales y potencia. Los líquidos y los gases se diferencian entre sí básicamente por su falta de compresibilidad relativa y por el hecho de que un líquido puede tener una superficie libre, en tanto que un gas se expande para llenar su recipiente. El término neumática describe los sistemas de fluidos que usan aire o gases e hidráulica describe los sistemas que usan aceite. Los sistemas neumáticos se usan mucho en la automatización de la maquinaria de producción y en el campo de los controladores automáticos. Por ejemplo, tienen un amplio uso los circuitos neumáticos, que convierten la energía del aire comprimido en energía mecánica, y se encuentran diversos tipos de controladores neumáticos en la industria. Dado que es frecuente equiparar los sistemas neumáticos y los sistemas hidráulicos, a continuación se ofrece una breve comparación de estos dos tipos de sistemas.

7.2.1 Comparación entre sistemas neumáticos y sistemas hidráulicos. El fluido que suele encontrarse en los sistemas neumáticos es el aire; en los sistemas hidráulicos es el aceite. Y son principalmente las propiedades distintas de los fluidos incorporados las que caracterizan las diferencias entre estos dos sistemas. A continuación se enumeran estas diferencias: • El aire y los gases son comprimibles, en tanto que el aceite no lo es. • El aire carece de la propiedad lubricante y siempre contiene vapor de agua. El aceite funciona como un fluido hidráulico al igual que como lubricante. • La presión de operación normal de los sistemas neumáticos es mucho más baja que la de los sistemas hidráulicos.

226

Diseño de controladores

• Las potencias de salida de los sistemas neumáticos son considerablemente menores que las de los sistemas hidráulicos. • La precisión de los actuadores neumáticos es deficiente a bajas velocidades, en tanto que la precisión de los actuadores hidráulicos es satisfactoria en todas las velocidades. • En los sistemas neumáticos, se permite un cierto grado de escurrimiento externo, pero debe evitarse el escurrimiento interno debido a que la diferencia de presión efectiva es muy pequeña. En los sistemas hidráulicos se permite un cierto grado de escurrimiento interno, pero debe evitarse el escurrimiento externo. • En los sistemas neumáticos no se requiere de tubos de recuperación cuando se usa aire, en tanto que siempre se necesitan en los sistemas hidráulicos. • La temperatura de operación normal de los sistemas neumáticos es de 5 a 60 ºC. Sin embargo, el sistema neumático opera en el rango de 0 a 200 ºC. Los sistemas neumáticos son insensibles a los cambios de temperatura, a diferencia de los sistemas hidráulicos, en los cuales la fricción de los fluidos provocada por la viscosidad depende, en gran parte, de la temperatura. La temperatura de operación normal de los sistemas hidráulicos es de 20 a 70 ºC. • Los sistemas neumáticos no corren el riesgo de incendiarse o explotar, al contrario de los sistemas hidráulicos. A continuación, se ofrece un breve análisis sobre el principio de funcionamiento de los controladores neumáticos de acción proporcional, acción integral y acción derivativa.

7.2.2 Controlador neumático de acción proporcional. En la industria se usan dos tipos de controladores neumáticos de acción proporcional, los denominados de fuerza - distancia y los denominados de fuerza - balance. A continuación se mostrará que, a pesar de sus diferencias técnicas, ambos tipos muestran una estrecha similitud en las funciones del circuito neumático.

Controladores neumáticos tipo fuerza - distancia. Estos controladores neumáticos basan su acción en un amplificador de tobera - aleta (figura 7.13), junto con un relevador de acción inversa (figura 7.14). señal de entrada

orificio

tobera

aleta

suministro de aire presión trasera al elemento final de control

Figura 7.13 : Amplificador de tobera - aleta.

El amplificador de tobera - aleta se alimenta a su entrada de una presión constante (Ps) y convierte pequeños cambios de posición de la aleta en grandes cambios de presión a la salida (Pc). Este amplificador constituye la primera etapa del controlador.

227

Sistemas de medida y regulación

presión trasera

a la atmósfera al elemento final de control suministro de aire

Figura 7.14 : Relevador neumático.

El relevador neumático es capaz de manejar grandes flujos de aire. Conforme aumenta la presión trasera de la tobera (Pb), la válvula de diafragma se mueve hacia abajo, por lo que aumenta la presión de control a la salida del mismo (Pc). Al igual que en el amplificador tobera - aleta, el relevador neumático se alimenta con un flujo de presión constante Ps. El relevador constituye la segunda etapa del controlador. En la figura 7.15 se muestra un diagrama esquemático del controlador de acción proporcional. La presión trasera de la tobera (amplificador de tobera - aleta) determina la presión de control sobre el relevador (presión trasera del relevador) y la posición de su válvula de diafragma. Por consiguiente, el caudal de salida del relevador, o amplificador de segunda etapa, es directamente proporcional a los movimientos de la aleta del amplificador de primera etapa o de tobera - aleta. señal de entrada

presión trasera orificio

a la atmósfera

al elemento final de control

suministro de aire relevador neumático

Figura 7.15 : Diagrama esquemático de un controlador proporcional neumático de tipo fuerza - distancia.

Controladores neumáticos tipo fuerza – balance. Estos controladores se usan ampliamente en la industria y se les conoce también como controladores apilados (figura 7.16). Su principio de acción es similar al del controlador de fuerza – distancia, pero con la ventaja añadida de eliminar buena parte de los enlaces mecánicos y pivotes que poseía éste, por lo que se logra una reducción en los elementos de fricción.

228

Diseño de controladores

a la atmósfera presión de entrada de referencia

orificio

presión de salida suministro de aire

al elemento final de control

Figura 7.16 : Diagrama esquemático de un controlador proporcional neumático de tipo fuerza - balance.

El principio de funcionamiento del este controlador fuerza – balance se puede seguir en la figura 7.16. La presión de entrada de referencia Pr y la presión de salida Po se conducen hacia grandes cámaras de diafragma. Estas cámaras constituyen un comparador de presiones, por lo que debe tenerse en cuenta que las señales de entrada de referencia y de salida del sistema deben convertirse previamente en señales de presión. Al igual que en el anterior controlador, éste también emplea una aleta, una tobera y algunos orificios. La abertura perforada en el inferior constituye la tobera. El diafragma que aparece justo encima de la tobera hace la función de aleta. El aire de la cámara inferior se escapa a la atmósfera a través de la tobera. El flujo a través de la tobera depende de la brecha y la disminución de la presión a través de la misma. El desplazamiento de la aleta depende de la diferencia de presiones Pr - Po, por lo que se puede decir que la presión de control a la salida del controlador Pc, es directamente proporcional a dicha diferencia: Pc = Kp·(Pr - Po)

(7.2.2.1)

donde Kp constituye la constante de proporcionalidad del controlador, la cual depende de los diámetros de los orificios de los tubos de las señales de entrada y de salida de las cámaras.

7.2.3 Controlador neumático de acción proporcional y derivativa (PD). A partir del amplificador neumático de tobera – aleta (figura 7.13), suele ser habitual incluir algún tipo de realimentación negativa que permita disminuir la cantidad de movimiento real de la aleta x(t). Un modo de realizar este tipo de realimentación es mediante la inclusión de un fuelle que tome presión de la salida de control (Pc) del amplificador y que actúe desplazando la base de la aleta (figura 7.17). El efecto que se consigue es el de estabilizar la aleta a una distancia determinada de la tobera para una señal de error concreta e(t), logrando así unas variaciones de la presión de salida suavizadas con respecto a las variaciones de la señal de error aplicada en el extremo de la aleta. De esta forma se tiene un comportamiento lineal del amplificador para un rango de señales de error mayor. e(t) x(t)

Figura 7.17 : Amplificador de tobera – aleta con realimentación negativa.

Si ahora se incluye una restricción R (figura 7.18) en la toma de presión del fuelle, se conseguirá que el desplazamiento de éste se retrase con respecto a la señal de error. Ante un cambio brusco de la señal de error, aplicada en la aleta, el amplificador se comporta como si no tuviera realimentación, mientras que si ésta se estabiliza, el fuelle llega a actuar como realimentación negativa logrando una disminución de la presión de control Pc.

229

Sistemas de medida y regulación e(t) x(t)

R C

Figura 7.18 : Diagrama esquemático de un controlador proporcional – derivativo (PD) neumático.

En esta situación, se puede interpretar que la presión de salida varía con la velocidad de la señal de error, es decir, con la derivada de la señal de error. La función de transferencia de este controlador se puede expresar como: Pc (s ) = K p ⋅ (1 + Td ⋅ s ) E (s )

(7.2.3.1)

Td = R·C

(7.2.3.2)

donde:

siendo R la resistencia de la restricción y C la capacidad del fuelle.

7.2.4 Controlador neumático de acción proporcional e integral (PI). La configuración de un controlador neumático de acción PI se puede realizar a partir del amplificador de tobera – aleta con realimentación negativa (control proporcional) de la figura 7.17. Si se sustituye la realimentación negativa por una realimentación positiva y se incluye en ésta un elemento retardador, se pasa de tener un controlador proporcional a tener un controlador proporcional – integral (figura 7.19). e(t) x(t)

e(t)

t x(t)

R

C

1

t

2 t

Figura 7.19 : Diagrama esquemático de un controlador proporcional – integral (PI) neumático.

El comportamiento de este controlador se puede seguir analizando el diagrama esquemático de la figura 7.19. El fuelle 1 se conecta a la salida de presión del controlador sin ningún tipo de restricción, mientras que el fuelle 2 se conecta a la misma salida a través de un elemento de restricción R (válvula). Ahora supóngase un cambio escalón pequeño en el error. Esto provocará que la presión trasera en la tobera cambie de manera instantánea, de la misma forma que lo hará la presión de control Pc. Debido a la restricción de la válvula en la trayectoria al fuelle 2, habrá un descenso en la presión a través de dicha válvula. Conforme pasa el tiempo, el aire fluirá a través de la válvula, de un modo tal que el cambio en la presión del fuelle 2 alcanzará el valor de Pc. Por lo tanto, el fuelle 2 se expandirá de modo que moverá la aleta una cantidad adicional en la dirección del

230

Diseño de controladores

desplazamiento original e(t). Ello provocará que la presión de control Pc cambie de forma continua (figura 7.19). Obsérvese que la acción de control integral en el controlador adopta una forma tal que anula lentamente la realimentación negativa que aportó originalmente el control proporcional. La función de transferencia resultante de este controlador es:  Pc (s ) 1   = K p ⋅ 1 +  E (s ) T i ⋅s  

(7.2.4.1)

Ti = R·C

(7.2.4.2)

donde:

siendo R la resistencia de la válvula de restricción y C la capacidad del fuelle 2.

7.2.5 Controlador neumático de acción proporcional, integral y derivativa (PID). Realizando una combinación de los controladores PD y PI de las figuras 7.18 y 7.19 se obtiene un controlador proporcional, integral y derivativo (PID) como el que aparece en el esquema de la figura 7.20. e(t) x(t)

C

C

Figura 7.20 : Diagrama esquemático de un controlador proporcional, integral y derivativo (PID) neumático.

La función de transferencia resultante de este controlador es:   Pc (s ) 1 = K p ⋅ 1 + + Td ⋅ s  E (s )  Ti ⋅ s 

(7.2.5.1)

donde: Ti = Ri·C

;

Td = Rd·C

(7.2.5.2)

siendo Ri y Rd las resistencias de las válvulas de restricción y C la capacidad de cada uno de los dos fuelles.

231

Sistemas de medida y regulación

Actividades de enseñanza – aprendizaje. El objeto de las siguientes actividades práctica es la construcción, mediante amplificadores operacionales, de los tres tipos de controladores básicos: proporcional (P), integral (I) y derivativo (D). Para poder verificar el funcionamiento de los mismos, se utilizará el generador de señales como fuente de señales de entrada y, mediante el osciloscopio, se comparará la señal de entrada y la señal a la salida del controlador en cuestión. El amplificador operacional que se va a usar es el UA741CN, cuyo esquema de patillaje se muestra a continuación:

Figura 7.21 : Esquema de patillaje del amplificador operacional UA741CN.

Actividad 7.1: Construcción del controlador proporcional (P). El controlador se construirá siguiendo el esquema de la figura siguiente: 100 Ω

4,7 kΩ

+Vcc 1 kΩ

ui

v-

-

UA741CN

v+ +

uo -Vcc

Figura 7.22: Esquema de un controlador proporcional.

La resistencia de entrada es de valor fijo de 1 kΩ. La resistencia del lazo de realimentación está constituída por una de valor fijo de 100 Ω y un potenciómetro de 4,7 kΩ. La alimentación del operacional se realizará entre ±12 V. Una vez construido el circuito, realizar las siguientes actividades: •

Calcular entre qué valores se puede ajustar la ganancia de la etapa.

• Introducir una señal cuadrada de 3 V de amplitud y visualiza en el osciloscopio la entrada y la salida de la etapa. A la vista de las curvas, ¿se puede decir que existe una relación lineal o proporcional entre la salida y la entrada? • Probar a variar la frecuencia del generador de señales. ¿A partir de que valores de frecuencia deja tener un comportamiento proporcional? • Calcular el valor que debería tomar el potenciómetro para obtener una ganacia unidad (en valor absoluto). Después ajusta el potenciómetro del circuito hasta que se obtenga una señal de salida idéntica a la de entrada. Comprueba el valor de resistencia que ha tomado el potenciómetro. ¿Coincide con el calculado? •

Realizar la misma operación que antes para obtener una ganancia doble y una ganacia mitad.

• Ahora probar a cambiar la forma de señal de entrada. ¿se sigue cumpliendo la relación de proporcionalidad?

Actividad 7.2: Construcción del controlador integral (I). El controlador se construirá siguiendo el esquema de la figura siguiente:

232

Diseño de controladores 100 kΩ

27 nF

+Vcc 1 kΩ

4,7 kΩ

v-

-

UA741CN

v+ +

ui

uo -Vcc

Figura 7.23: Esquema de un controlador integral.

La resistencia de entrada está constituída por una de valor fijo de 1 kΩ y un potenciómetro de 4,7 kΩ. El lazo de realimentación es un condensador de 27 nF en paralelo con una resistencia de arranque de 100 kΩ. La alimentación del operacional se realizará entre ±12 V. Una vez construido el circuito, realizar las siguientes actividades: • Calcular entre qué valores se puede ajustar el tiempo integral Ti. • Introducir una señal cuadrada de 3 V de amplitud y visualiza en el osciloscopio la entrada y la salida de la etapa. A la vista de las curvas, ¿se puede decir que la etapa realiza la “integral” de la señal de entrada? • ¿Cómo influye el aumento o disminución del valor de resistencia del potenciómetro en la respuesta de la señal?. • Ahora probar a cambiar la forma de señal de entrada. ¿la salida sigue siendo la integral de la entrada?

Actividad 7.3: Construcción del controlador derivativo (D). El controlador se construirá siguiendo el esquema de la figura siguiente: 10 Ω

+Vcc

27 nF v-

ui

4,7 kΩ

-

UA741CN

v+ +

uo -Vcc

Figura 7.24: Esquema de un controlador derivativo.

Una vez construido el circuito, realizar las siguientes actividades: • Calcular entre qué valores se puede ajustar el tiempo integral Td. • Introducir una señal cuadrada de 3 V de amplitud y visualiza en el osciloscopio la entrada y la salida de la etapa. A la vista de las curvas, ¿se puede decir que la etapa realiza la “derivada” de la señal de entrada? • ¿Cómo influye el aumento o disminución del valor de resistencia del potenciómetro en la respuesta de la señal?. • Ahora probar a cambiar la forma de señal de entrada. ¿la salida sigue siendo la derivada de la entrada?

233

Sistemas de medida y regulación

Ejercicios de profundización y refuerzo. Ejercicio 7.1 A partir del circuito realizado con amplificadores operacionales de la figura, realizar las siguientes actividades: a) Determinar la función de transferencia del circuito, donde la entrada es una señal de error vi(t) , y la salida es vo(t). Indicar cuál sería la función que realizaría este circuito en un lazo cerrado de regulación. b) Considerando que las señales de tensión que se manejan están comprendida entre los –15 V y +15 V y que la limitación de corriente a la salida de los amplificadores operacionales es de 20 mA, eligir los valores de los componentes para obtener los siguientes parámetros: constante de tiempo 5 sg., constante de ganancia proporcional 0,5. R

R

+

+

Vi

Vo

+

Figura 7.25: Circuito controlador.

Ejercicio 7.2 Se desea diseñar un controlador a base de amplificadores operacionales cuyas señales de entrada y salida, e(t) y u(t) respectivamente, tengan la siguiente relación:  1 u(t) = K p ⋅  e(t) +  Ti 

t



0

 

∫

(e(t) − u(t )) ⋅ δ t 

Los parámetros de este controlador (Kp y Ti) deben ser ajustables a voluntad. Para ello utilizar el menor número posible de amplificadores operacionales e indicar de qué elementos dependen los parámetros ajustables.

234

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