Sistemas de Ecuaciones y Criterios de Divisibilidad

 

Sistemas de ecuaciones Seguramentee has oído hablar alguna Segurament algun a vez vez de las la s tem temidas idas ecuaciones.   Son esas formulitas form ulitas (o igualdades) igual dades) en las la s que uno tiene un número número X el cual no conoce, como es el caso de X+2 = 5. ¿El valor de x es 3? Pues claro que sí, pues 3 es un número que cumple que 3+2 = 5. Luego tenemos que X + 2 = 5 3+2=5 Entonces tenemos tenemos que X + 2 = 3 + 2. En fin, tenemos tenemos que X = 3. Otro ejemplo, es cuando uno tiene algo de la forma 3a = 15. ¿Cuánto vale val e el número número a?. No es difícil ver que 3a = 15 a = 15/3 = 5 Luego tenem tenemos que a = 5. Y en efecto, efecto, se cumple que 3x5 = 15. Vamos a otro ejemplo un poco más difícil… Si R2  = 1760929… 1760929… ¿Cuánto es R?. Una forma muy “a fuerza bruta” de resolver esto podría ser calculando cuánto valen los cuadrad cua drados os de los números números naturales. natural es. Como 1760929 176 0929 es más grande gra nde que 1000000 1000 000 tenem tenemos os que R es más grande que 1000. Siguiendo con el tanteo, se puede ver que R = 1327. Pero lo que nos interes interesaa ahora, son los sistemas de ecuaciones. En estos casos, vamos a tener más de d e una ecuaci ecuación ón (igualdad) (igualda d) y más más de una incognita (valor X que no conocem conoc emos). os). Por ejemplo, ejemplo, veamos veam os el siguiente. siguiente. ¿Cuánto valen X e Y si se tiene que X + Y = 15 X + 2Y = 20. Uno puede deducir fácil que Y = 5, sabiendo que 20 = X+2Y X+2Y = X+Y+Y X+Y+Y = (X+Y)+Y (X+Y)+Y = 15+Y. Luego, Luego, se tiene que 15 = X + Y = X + 5. Con lo cual X = 10. Ot Otro ro ejemplo.. ¿Cuánto ¿Cuá nto valen P, Q y R? Q + P = 20 P + R = 25 R + Q = 30. Acá es más más difícil difí cil,, pero podemos podemos ver que 25 = 20+30-25 = (Q+P)+(R+Q)-(P+R) (Q+P)+(R+Q)-(P+R) = 2xQ. Luego Q tlos iene que ados valerno 12,5. los l os otros otros casos tenem os los queproblemas P = 7,5asy de R =tipo (observar (observ ar que result resultados eranResolviendo enteros, enteros, aunque su suma sum a lotenemos sea! En problem t17,5. ipo zonal zona l y regional no suele pasar esto porque trabajamos con números naturales, pero a medida que uno avanza en los diversos certámenes hay que ser más más vivo vi vo y esperar encontrarse con cosas raras). Ahora, Ahora, usual usualm mente ente los problem probl emas as con los que nos vamos vamos a encontrar encontrar van a ser de la forma: forma: “En la heladería hay una oferta: “Si compra 2 helados iguales, por el segundo paga la mitad”. Bibi y Ana aprovechan aprovechan la ofert oferta. a.   Bibi compra 2 vasitos y 6 cucuruchos; paga en total $ 75. Ana compra 2 vasitos y 2 cucuruchos; paga en total $ 33. ¿Cuál es el pr eecio cio de un cucurucho? ¿Cuál es el precio de un vasito?”   Si ttransf ransform ormamos amos esto esto en un sistem sistemaa de ecuaci ecua ciones, ones, tenemos tenemos que 2xVasitos 2xVasit os + 6xCucuruchos = 75 2xVasitos 2xVasit os + 2xCucuruchos = 33

 

  Cabe Cab e recordar recorda r que no siempre vamos a te tener ner problem probl emas as tan simples como el anterior. anterior . A veces nos van a pedir que calculemos otras cosas, como por ejemplo “Los alfajores vienen en paquetes pequeños de 5 alfajores o en paquetes grandes de 18 alfajores. Un paquete pequeño cuesta $25 y un paquete grande cuesta $78. Compramos un total de 690 alfajores y pagamos $3030 en total. ¿Cuántos paquetes de cada tamaño compramos?”   Transformando Tran sformando esto esto a un sistema sistema de ecuacio ecua ciones, nes, tenemos que 5xPequeños + 18xGrandes = 690 (cantidad de alfajores) 25xPequeños + 78xGrandes = 3030 (precio de los alfajores) Ahora…. Aho ra…. Cómo resolvem resolvemos os los siste sistemas mas d e e ecuacion cuaciones? es? 

Hay una forma que es muy sencilla (que no es la única!) , que se llama “eliminación “eliminación”: ”: Nosotros sabemos resolver ecuaciones con una sola incógnita. Si aX = b entonces X = b/a, al igual que vimos en el ejemplo de 3X = 15, entonces X = 15/3 = 5. Pero nosotros tenemos tenemos algo al go multiplica ultipl icado do por X y algo multiplica ultipl icado do por otro otro númer n úmeroo que no conocemos. con ocemos. Así que q ue nuestra intención i ntención es eli eliminar minar uno de esos dos números números que q ue no sabemos qué es para poder tener una sola incógnita. Por ejemplo, volviendo al primer problema 2xVasitos 2xVasit os + 6xCucuruchos = 75 2xVasitos 2xVasit os + 2xCucuruchos = 33 Queremos Querem os elim eli mina inarr el “2xVa “2xVasitos” sitos” de la primer ecua ecuació ción… n… ¿Cómo hacemos eso ? Simplemente, restando rest ando algo que ttenga enga un “2xVasitos “2xVasitos”. ”. Recordem Recordemos os que   como como estamos estamos restand restandoo algo al go en una igu igual aldad dad,, tenemos tenemos que qu e rest restar lo mismo del d el otro lado. lad o. Entonces restamos restamos la segund segundaa iguada igua dad d para tener (2xVasitos + 6xCucuruchos) – (2xVasitos + 2xCucuruchos) = 75 – 33 = 42. Luego 4xCucuruchos = 42, con lo cual un Cucurucho es 7 (pesos). Ahora que sabemos cuánto es un cucurucho, podemos calcular fácil cuánto es un Vasito. En otro ejemplo ejemplo,, si tenemos tenemos que 5xPequeños + 18xGrandes = 690 (cantidad de alfajores) 25xPequeños + 78xGrandes = 3030 (precio de los alfajores) No podemos restar 5xPequeños o 18xGrandes, porque la segunda ecuación no tiene esas cantidades. Lo que podemos hacer es darnos cuenta que 5xPequeños + 18xGrandes = 690 Es lo mismo que hacer 5 x (5xPequeños + 18xGrandes) 18xGrandes) = 5 x 690 = 3450 Luego tenemos 25xPequeños + 90xGrandes = 3450. Ahora Ahora sí podemos podemos restar restar la segunda ecuación ecua ción para para elim eli minar las l as cantidad cantidades es de cajas ca jas de alfajores pequeños. 12xGrandes = 90xGrandes – 78xGrandes = 3450 – 3030 = 420. Grandes = 35 (cantidad de cajas que tenemos) Claro que una solución alternativa hubiera sido ir tanteando, pero no es algo que nos conduzca rápido y seguro  a nuestra respuesta. Como último ejemplo, consideremos el problema 12x A + 8xB = 184 13x A – 4x B = 98 Aquí, en vez de restar, restar, podemos sumar sumar nuest nue stras ras ecuacio ecua ciones nes (sumamos (sumamos 2 veces la segunda) para tener

38xA = 12xA + 13xA + 13xA = 184 + 98 + 98 = 380 Y luego podemos ver cuánto vale B

 

Ejercicios

1)  15 Sanguches y 10 Botellas de jugo cuestan 330 pesos 14 Sanguches y 8 Botellas de jugo cuestan 288 pesos ¿Cuánto cuestan 22 Sanguches y 20 Botellas de jugo? 2)  Ana compró varios caramelos para regalar por su cumpleaños, los cuales venían en paquetess chicos de 5 caramelos paquete caramelos a $5 cada uno, medianos medianos de 11 caram ca ramelos elos a $10 cada uno, y grandes de 18 caramelos a $15 cada uno. Sabiendo que la cantidad de paquetes medianos es el doble dobl e de los paquetes paquetes chicos, la l a cantidad cantidad de paquetes grandes es la mitad de los lo s pequeños y que compró 36 360 0 cara caram melos en tot total al… … ¿Cuánto ¿Cuá nto le costaron a Ana todos los caramelos? 3)  En la cantina de la escuela venden Sanguches, Empanadas y Tartas. Además, hacen promo, prom o, con lo cual al comprar comprar por lo menos menos dos alim al iment entos os distintos distintos el costo costo es de $10 menos. Si un sanguche y una tart tartaa cuestan cuestan $35, un sánguche y una empanada empanada cuestan cuestan $27 y una empanada y una tarta cuestan $32. ¿Cuánto cuestan 3 empandas? ¿Cuánto cuesta comprar los 3 alimentos distintos? 4)  En una fábrica de Alfajores santafecinos fabrican cajas grandes de una docena y pequeñas de media docena cada caja. Se sabe que por cada 40 cajas de una docena se elaboran 27 cajas de media docena. Además, las cajas de una docena cuestan $100. En el mes de abril fabricaron 22880 cajas grandes y recaudaron $5.662800. ¿Cuántas cajas pequeñas elaboraron? ¿Cuánto cuesta una caja grande?. 5)  Tengo un rectángulo cuya área es 280cm2   y cuyo perímet perímetro ro 48cm 48c m. ¿Cuáles ¿Cuá les son sus lados? 6)  Tengo dos cuadrados de papel color rojo y otro cuadrado de papel color azul de 10cm de lado. La suma de las áreas de los cuadrados rojos es igual a la mitad del área del cuadrado azul. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a)   La suma suma de los períme perímettros de los l os cuadrados rojos es 32cm b)   La suma suma de los períme perímettros de los l os cuadrados rojos es 40cm c)   No se puede saber cuál es la suma suma de d e los perím perímet etros ros de los cuadrados Ahora…(pregu Ahora… (pregunn ta extra). ¿Es verdad que  la suma suma de los perímet perímetros ros de los cuadrados rojos es menor a 40?

 

Criterios de divisibilidad y Teoría de Números Vamos a hacer est Vamos esta breve sección secció n para recordar recordar los criterios criterios de d e divisibilid divisibi lidad ad de varios números núme ros natur n aturales. ales. No suelen haber problemas en los cuales cual es se use exclusivamente exclusivamente el criterio criterio de divisibilidad, pero siempre es bueno saberlos y recordarlos. Criterio del 2:  Un número natural es múltiplo de 2 si su último dígito es múltiplo de 2. Criterio del 4: Un número número es múltiplo últipl o de 4 si sus últimos últimos dos dígito dí gito son múltipl múltiplos os de 4. Criterio del 8: Un número número es múltiplo últipl o de 8 si sus últimos últimos dos dígit dígi to son múltipl múltiplos os de 8. … y así siguiendo con 16, 32, 64,…  Criterio del 5: Un número natural es múltiplo de 5 si su último dígito es múltiplo de 5. Criterio del 25: Un número es múltiplo de 25 si sus últimos dos dígito son múltiplos de 25. Criterio del 125:  Un número es múltiplo de 125 si sus últimos dos dígito son múltiplos de 125. … y así siguiendo con 625, 3125, …  ¿Por qué pasa esto? esto? Simplement Simplementee porque 2 y 5 dividen divid en a 10. Del Del mismo mismo modo 4 y 25 dividen a 100, 8 y 125 dividen a 1000; y así a sí siguiendo. siguiendo. Criterio del 3:  Un número natural es divisible por 3 si 3 divide a la suma de sus dígitos. Criterio del 6:  Un número natural es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Criterio del 9: Un número natural es divisible por 9 si 9 divide a la suma de sus dígitos. ¿Por qué pasa esto? esto? Se puede demost demostrar rar como ejercicio ejercicio al final. fina l. Criterio del 11:  Un número natural es divisible por 11 si 11 divide a la diferencia de la suma alternada de sus cifras. Dicho de otro modo, 11 divide a un número abcdef… si 11 divide a a-b+c-d+e-f+…  Criterio del 7: Un número número es divisible entre entre 7 cuando, cuand o, al separar separar la l a últim últimaa cifra de la derecha, multiplicarla ultiplica rla por 2 y restarla restarla de las cifras cif ras rest restantes antes la diferencia es un múltiplo múltiplo de 7. Dicho de otro modo, 7 divide a un número abcdef si 7 divide a abcde-2f. Criterio del 13: Un número es divisible entre 13 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplica multiplicarla rla por 4 y sum sumarla arla a las cifras rest restantes antes el resultado resultado es múltiplo múltiplo de 13. Dicho de otro modo, 13 divide a un número abcdef si 13 divide a abcde+4f.

¿Por qué pasa est esto? Son resultados resultados curiosos de un área de la mate matem mática que se llama Teoría Teoría de Números, Números, más precisament preci samentee de lo que se se conoce con oce como congruenci congru encias. as. En estos estos casos, caso s, en vez de contaruna losvez números comode1,2,3,… y así siguiendo, se reemplaza comienza por por elelresto 0 y se “reinicia” llegadonaturales a un número, modo que cada número se en la división de otro número. n úmero. Por ejemplo ejemplo,, si tomam tomamos os congruenc con gruencias ias para 12, tenemos que los números núme ros son 0,1,2,3, 0,1,2,3,… …, 9, 9 , 10, 11, 0, 1, 2, 3, … y siguiendo. Des Después pués del 11 ponemos 0, pues pues al dividirr 12 dividido 12, tenem dividi tenemos os resto resto 0.