Sistemas de ecuaciones lineales de tres variables

Sistemas de ecuaciones lineales de tres variables La forma general de una ecuación lineal con tres variables es una ecuación que puede escribirse así:

 +  +  +  = 0 ,,,  ≠ 0 Una ecuación lineal con tres variables, lo mismo que una de dos variables, tiene un número infinito de soluciones. Todos aquellos valores, para x, y  y z que hacen que se cumpla la igualdad. Esta vez cada solución es una terna ordenada: (x, y, z). Su gráfica se traza en un sistema coordenado de tres ejes y es un plano.

Por ejemplo, algunas de las ternas ordenadas que son solución a la ecua-

−4 −4− 4 ++  +7+ 7 = 0

ción  son (1, 2, 5), (1, 0, −3), (2, 1, 5) y (3, 0, 5), en tanto que el plano de arriba es su representación gráfica. Tres ecuaciones de primer grado con tres variables o incógnitas consideradas conjuntamente forman un sistema de ecuaciones lineales con tres variables. Suele escribirse de la forma:

 + ++  ++++  ==  +  + +  + +  = 

El objetivo en un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas generalmente es conocer el valor que tomará cada una de las tres incógnitas para que las tres ecuaciones se cumplan; así, la terna ordenada  que satisface las tres ecuaciones será la solución del sistema de ecuaciones. La gráfica de cada ecuación por sí m isma es un plano, de modo que la terna ordenada solución al sistema será el punto de intersección de los tres planos.

(,,)

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Solución de los sistemas de tres ecuaciones con tres variables En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas cada una de las ecuaciones representa un plano. De acuerdo con las posibles relaciones que se den entre los tres planos, se determina el tipo de solución que tiene el sistema: I.

II.

III.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas que no tienen solución: a. Tres planos paralelos. b. Dos planos paralelos y otro los corta. c. Plano paralelo a la línea de corte de los otros dos, corresponden las caras de un prisma triangular. d. Dos planos superpuestos y el otro paralelo. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas que tienen infinitas soluciones a. Tres planos superpuestos. b. Haz de planos; los tres planos se cortan en una misma recta. c. Dos planos superpuestos y otro que los corta. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas que tienen solución única a. Tres planos que se cortan en un punto.

Dependiendo del tipo de solución, es posible resumir los tipos de soluciones en cuatro casos: 1. No hay ninguna solución cuando se presenta algún tipo de inconsistencia, es decir, cuando no hay puntos comunes a los tres planos y, por lo tanto, no hay valores posibles para las tres variables que hagan que las tres ecuaciones sean ciertas (casos I.a., I.b., I.c. y I.d.). 2. La solución es un plano cuando las tres ecuaciones son dependientes entre sí, es decir, cuando la gráfica de las tres ecuaciones es un mismo plano; por lo tanto, todas las ternas ordenadas que satisfacen una de las ecuaciones también serán solución de las otras dos. En este caso se afirma que el sistema tiene un número infinito de soluciones y la gráfica de esas soluciones será un plano (caso II.a.). 2

3. La solución es una línea recta  cuando dos de las ecuaciones que constituyen el sistema tienen algún tipo de dependencia, pero no hay inconsistencia (casos II.c. y II.b.). Las ternas ordenadas que están sobre esa línea recta serán las soluciones al sistema de coordenadas; por lo tanto, también tiene un número infinito de soluciones. 4. La solución es una terna ordenada cuando los tres planos se interceptan (caso III.a.). En tal caso, el sistema es consistente e inde pendiente.

 Métodos para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables Para resolver un sistema de este tipo, se pueden utilizar los mismos métodos empleados para resolver los sistemas de dos variables (sustitución, reducción, igualación, Cramer, etc.). Dada la complejidad que implica el manejo algebraico de tres incógnitas, reduciremos la exposición de los métodos de solución a dos casos: por reducción o suma y resta, y por determinantes, que son los más sencillos y los más útiles para tratar sistemas de ecuaciones con más incógnitas. Método de reducción

El principio será el mismo que en el caso de dos variables, sólo que ahora nuestra primera intención es reducir un sistema de tres incógnitas a un sistema de dos incógnitas para, posteriormente, resolver este último sistema. Se procede de la misma forma que en los sistemas de ecuaciones con dos variables, es decir, se toman dos de las tres ecuaciones y se elimina una de las variables. Posteriormente, se toma cualquiera de las ecuaciones que se eligieron y en la que no se utilizó se elimina la misma variable, de tal manera que se obtienen dos ecuaciones con dos variables; al hallar la solución del sistema se determina el valor de las dos variables, después se sustituyen en cualquiera de las tres ecuaciones originales, para obtener la tercera variable.

Ejemplos: 1. Resuelva el sistema de ecuaciones:

En primera instancia se procederá a eliminar x   de (1) y (2) y de (2) y (3). Sumamos

(1) + (−2)⋅(2)

 para obtener

3

(4)

 y restamos

(2)−(3)

:

A continuación, se elimina z de las ecuaciones (4) y (5). Sumamos

(4)+2⋅ (5)

5⋅

 = −2. .

Luego se despeja y   en (6) y se obtiene Sustituyendo en (4) o (5), se despeja

Sustituyendo en (1), (2) o (3), se despeja x  .

La solución del sistema de ecuaciones es (3, -2, 2). Se comprueba la respuesta sustituyendo la terna (3,- 2,2) en las ecuaciones (1), (2) y (3).

Así, el valor (3, -2, 2) se verifica en cada una de las tres ecuaciones originales por lo que es la solución al problema. Como se observa, este método también permite resolver sistemas de ecuaciones con más incógnitas; la mecánica sería la misma: reducir el sistema de ecuaciones hasta llegar a una solución obvia. Así, un sistema con cuatro incógnitas y cuatro ecuaciones se reduciría a un sistema con tres incógnitas y tres ecuaciones; ese sistema se volvería a reducir a un sistema de 4

dos incógnitas con dos ecuaciones y así sucesivamente hasta despejar fácilmente una de las incógnitas. No está por de más recordar que si en el proceso no es posible despejar las incógnitas, el sistema no tendrá solución o tendrá un número infinito de soluciones, dependiendo del tipo de indefinición a la que se llegue, de la misma forma que ocurre con un sistema de dos incógnitas con dos ecuaciones. Si resulta una igualdad obvia, el sistema tendrá alguna modalidad de dependencia y un número infinito de soluciones; si no hay un valor de la variable que haga que la ecuación resultante sea cierta, el sistema tendrá algún tipo de inconsistencia y ninguna solución. Método de determinantes o de Cramer

Un determinante de tres por tres es un arreglo rectangular de números de la siguiente forma:

Regla de Sarrus Para hallar el determinante de un arreglo rectangular de números de di-

3×3

mensión , se repiten las 2 primeras filas (o si se prefiere columnas) y su solución está dada por:

 Menores y cofactores

Por ejemplo, si A es la matriz: 5



Entonces el menor  es el determinante de la matriz obtenido al eliminar el primer rengón y la segunda columna de A. Así,

Nótese que el cofactor de



 es simplemente el menor de

ya sea por 1 o por 1, dependiendo de si

3×3

 +



 multiplicado

 es par o impar. Así, en una

matriz de  obtenemos el cofactor de cualquier elemento al poner como prefijo en su menor el signo obtenido de la siguiente forma de tablero de ajedrez.

Ahora, estamos listos para definir el determinante de cualquier matriz cuadrada:

Ejemplo: Evalúe el determinante de la matriz:

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En nuestra definición del determinante utilizamos únicamente los cofactores de elementos del primer renglón. Esto se llama expandir el determinante  por el primer renglón. De hecho,  podemos expandir el determinante por cualquier renglón o columna en la misma forma y obtener el mismo resultado en cada caso (aun cuando no demostraremos esto). La solución general a un sistema de ecuaciones de tres por tres por el método de determinantes se resume de la siguiente forma: Sistema de ecuaciones:

{ + + ++ ==   + + =  Determinante

Del sistema

De la variable x

De la variable y

De la variable z

                        || =    || =    || =    || =     = ||||  = |||| || ≠ 0  = |||| Solución

 

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Con

Claramente se observa que para que haya una solución de un sistema de

|| ≠ 0

ecuaciones con tres incógnitas se debe cumplir que . En caso contrario, el sistema de ecuaciones tendría muchas soluciones o ninguna y deberá analizarse por otro método. La Regla de Cramer se puede extender para aplicar a cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas en las que el determinante de la matriz de coeficientes no es cero. Por analogía con nuestra derivación de la Regla de Cramer en el caso de



tres ecuaciones con tres incógnitas, hacemos que  sea la matriz coeficientes de este sistema, y que  sea la matriz obtenida al sustituir la



||  , ,…,   

i-ésima columna de  por los números  que son los términos independientes que aparecen a la derecha del signo igual. La solución del sistema está dada entonces por la siguiente regla.

Regla de Cramer Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas

0

 tendrá las siguientes soluciones:

 = ||

Ejemplo:

 = ||

⋯

8

|| ≠ ,,…,  =  ||  tal que

Ejercicios propuestos 1.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

2.

Resuelve los siguientes problemas: a. Agricultura. Un agricultor tiene 1200 acres de tierras en las que produce maíz, trigo y frijol de soya. Cuesta $45 por acre producir maíz, $60 producir trigo y $50 producir frijol de soya. Debido a la demanda del mercado, el agricultor producirá el doble de acres de trigo que de maíz. Ha asignado $63,750 para el costo de producir sus cosechas. ¿Cuántos acres de cada cultivo debe plantar? b. Gasolinera. Una gasolinera vende tres tipos de gasolina: regular en $3.00 el galón, Performance Plus en $3.20 el galón y Premium en $3.30 el galón. En un día particular se vendieron 6500 galones de gasolina para un total de $20,050. Se vendieron tres veces más galones de gasolina Regular que de Premium. ¿Cuántos galones de cada tipo de gasolina se vendieron ese día?

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c. Teoría de números. Un dígito de las centenas las decenas y centenas mina el número, de tal la diferencia sea 594. d. Electricidad.  Mediante

número está formado por 3 dígitos, el es la suma de los otros dos, la suma de es igual a 7 veces las unidades. Determanera que si se invierten los dígitos, el uso de las Leyes de Kirchhoff, se

  

puede demostrar que las corrientes ,  e  que pasan por las tres ramas del circuito de la fi gura satisfacen el sistema lineal dado. Resuelva el sistema para hallar

,   e

.

e. Manufactura de aparatos electrodomésticos. Kitchen Korner produce refrigeradores, lavadoras de loza y estufas en tres fábricas diferentes. La tabla siguiente da el número de cada producto producido en cada fábrica por día. Kitchen Korner recibe un pedido por 110 refrigeradores, 150 lavadoras de loza y 114 estufas. ¿Cuántos días debe programarse cada una de las plantas para satisfacer este pedido?

f. Portafolio de acciones. Un inversionista posee tres acciones: A, B y C. Los precios de las acciones al cierre de tres días sucesivos de operaciones de compraventa se dan en la tabla siguiente.

A pesar de la volatilidad en los precios de acciones, el valor total de las acciones del inversionista permaneció sin cambio en $74,000 al final de cada uno de estos tres días. ¿Cuántas porciones de cada acción posee ahora el inversionista?

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