Sistemas de Ecuaciones Algebraicas

 

INSITUTO TECNOLÓGICO DE TUTLA GUTIÉRREZ

INGENIERÍA QUÍMICA

MÉTODOS NUMÉRICOS 2.1 APLICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS 

INTEGRANTES DEL EQUIPO Pérez González José Alfredo

17270582

Rodríguez Pérez Liliana Guadalupe

17270583

Santiago Gómez Osvaldo

17270584

FECHA DE REALIZACIÓN Y ENTREGA 01 de abril de 2019

 

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están e stán elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio. Tipos de sistemas: En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R. Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos se pueden clasificar en: * INCOMPATIBLES (No tienen solución) → S.I. * COMPATIBLES (Tienen solución)* DETERMINADOS (Solución única)→ S.C.D. *

INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I 

PASOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- Determinar las variables del problema 2.- Determinar las ecuaciones del problema usando el lenguaje algebraico 3.- Establecer el sistema de ecuaciones 4.- Seleccionar uno de los siguientes métodos • De eliminación  • De sustitución  • De igualación 

 

• Gauss – Jordan • De cramer  

5.- Resolver el sistemas de ecuaciones con base en el método seleccionado 6.- Interpretar los resultados obtenidos en las ecuaciones 7.- Comprobar los resultados obtenidos

Un sistema de ecuaciones lineales puede utilizarse para representar problemas del mundo real. Cuando Cu ando hay dos variables y le dan dos datos acerca de cómo se relacionan esas variables, se utiliza un sistema de ecuaciones.

Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales: Los siguientes ejemplos le mostrarán algunos problemas comunes que pueden resolverse utilizando un sistema de ecuaciones. Aplicaciones a Manufactura, ejemplo Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: cañón, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo cañón necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por ´ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fábrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cuantas computadoras se pueden producir por mes?

 

  Solución: En nuestro caso las incógnitas el número de cada tipo de computadora a producir: x = número de computadoras cañón y = número de computadoras clon z = número de computadoras lenta-pero-segura Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalación de programas. Ensamblado 556(total) = 12 x(cañón) + 10 y(clon) + 6 z(lenta) Pruebas 120(total) = 2.5 x(cañón) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta) Instalación de programas 103(total) = 2 x(cañón) + 2 y(clon) + 1.5 1 .5 z(lenta) Al resolver este sistema obtenemos: x = 34, y = 4, z = 18 Dado lo común de las aplicaciones hacia el ´area de manufactura, existe una fo forma rma simple de construir la matriz del sistema de ecuaciones que en general se trabaja como una tabla: En las últimas columnas aparecen los recursos: un renglón para cada tipo de recursos y en cuya posición final se pone el total de recursos disponibles. En las primeras columnas se colocan los objetos o modelos a ser ensamblados o construidos: en cada posición se coloca el total de recursos que consume en forma unitaria cada tipo de objeto. Recursos requeridos por unidad Recurso: cañón

Clon Lenta

Ensamble:

10

6

556

12

Total

Pruebas:

2.5

2

1.5

120

Instalación:

2

2

1.5

103

 

Un negociante internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes  japoneses, francos franceses, y marcos alemanes para cada uno de sus viajes de negocios. Este año viajó tres veces. La primera vez cambió un total de $434 a la siguiente paridad: 100 yenes, 1.5 francos y 1.2 marcos por dólar. La segunda vez, cambió un total de $406 con las siguientes tasas: 100 yenes, 1.2 francos, y 1.5 marcos por dólar. La tercera vez cambió $434 en total, a $125 yenes, 1.2 francos, y 1.2 marcos por dólar. ¿Qué cantidades de yenes, francos y marcos compró cada vez? Solución: En nuestro caso las incógnitas son las cantidades de moneda extranjera requerida que se mantuvo fija en los tres viajes: x = cantidad de yenes y = cantidad de francos z = cantidad de marcos Primera vez: 434(total) = 1 100 x + 1 1.5 y + 1 1.2 z Segunda vez: 406(total) = 1 100 x + 1 1.2 y + 1 1.5 z Tercera vez: 434(total) = 1 125 x + 1 1.2 y + 1 1.2 z Resolviendo el sistema anterior obtenemos: x = 10500, y = 126, z = 294

Ejemplo: Se desea preparar un biopolímero cuyo principal componente es el acido Malonico, la muestra inicial del Biopolimero contiene cierta cantidad de impurezas, cierta cantidad de agua y cierta cantidad de acido Malonico, el peso del polímero es de 800 grs., luego de un proceso de secado el biopolímero pierde la mitad de la

 

cantidad de sus impurezas que se tenían inicialmente, un cuarto de la cantidad del agua y queda el doble de la cantidad de ácido Malonico, el peso del biopolímero después del proceso de secado es de 650 grs, si el biopolímero se somete nuevamente a un proceso de secado donde pierde la totalidad de agua quedando las mismas cantidad de ácido Malonico e impurezas que habían al principio; Indique cuantos grs de cada componente del biopolímero se obtienen antes y después de los procesos de secado, si se sabe que la cantidad final del Biopolimero en grs es de 450.

Solucion:  



Como primer paso estableceremos estableceremos nuestras ecuaciones correspondientes:

  +  +  = 800 2+0. 5 0+. 0 25=650   +  = 450  

 

 

 



Procederemos Procedere mos a realizar nuestra matriz aumentada aumentada la cual nos queda de la siguiente forma:

1[2 01.5 10.25 == 685000] 1 1 0 = 450

 

 



Una vez obtenida nuestra matriz, se procederá procederá a realizar por el Método de Gauss-Jordan.

Se procede a eliminar el 2 de la Segunda Fila con ayuda de la primera. F1(-2)=- 2 -2 -2 -1600

−    −    −950 1 13 17 = 800 0 − 2 − 4 =650 1 1 0 = 450

F2- F1(-2)= 0

 

 

Convertir los datos F3 a 0 siguiendo el mismo método:

 

F1(-1)= -1 -1 -1 = -800 Eliminando F3 F3- F1(-3)= 0 0 -1 = -350

1 0 0

13 −2 0

17 = 800 − 4 =650 −1 ==−−350

 

Una vez obtenidos los 0 en F2 y F3 se procede a covertir en 1 mediante un pibote F2:

 = 0 1       − )   Sustituyendo queda: F2(

1 1 17 = 81900 00 0 1 6= 3 0 0 −1 ==−−350

 

Para obtener nuestra diagonal de 1 multiplicaremos F3(-1).

1 1 17 = 81900 00 0 1 6= 3 0 0 1 = 350

 

Obtenido nuestra diagonal de 0 se precederá a convertir en 0 la parte superior de la matriz: F1(-1)- F2 =

 

1 0 16 = 5003 0 1 76 = 19003 0 0 1 = 350

 

Por ultimo se procederá a realizar lo mismo:

− )−2 0 16 = 5003 10 01 == 232550 −  100 01 == 232550

F3(

1 00

Y F3(

010

 

 

)-F1

 

Resultados: Dados los resultados se concluye que: X= 225 grs del Polimero Y= 225 grs de Impurezas Z= 350 grs de Agua

Se analizó el problema anterior en Matlab dando la misma solución. Codigo de Programa %* Metodo de Gauss Jordan *  clear;  clc;  'RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES POR EL METODO GAUSSfprintf('RESOLUCION fprintf( JORDAN\n\n'); JORDAN\n\n' );  m=input('Cuantas m=input( ');  'Cuantas ecuaciones son: '); 'Cuantas incognitas tienen las ecuaciones: '); n=input('Cuantas n=input( ');  %* En los siguentes for anidados se da entrada a los *  %** a los elementos de la matriz 1 a 1   for i=1:m  i=1:m  for

 

for for j=1:n  j=1:n  'El elemento A[%d %d]',i,j); fprintf('El fprintf( %d]',i,j);  A(i,j)=input (' (' ' ') )  end  end  A;  pause  %En seguida se agregan los resultados de las ecuaciones   for j=1:m  for j=1:m 'Agregue la columna de resultados R[%d]: ',j) fprintf('Agregue fprintf( ' ,j)  R(j)= input(' input(' ' '); );  end  B=[A R'];  %*******************   %* En seguida se normalizan los pivotes y se hacen cero*  %* todos los numeros por debajo de ellos *  %*******************   for for i=1:m  i=1:m  B(i,:)=B(i,:)/B(i,i);   for j=i+1:m  for j=i+1:m B(j,:)=B(j,:)-B(i,:)*B(j,i);   j=j+1;  B;  pause  end  i=i+1;  B;  pause  end  fprintf('HOLA fprintf( INFERIORES')  'HOLA HAREMOS CERO LOS ELEMENTOS INFERIORES') %******************   %* En la siguiente seccion se hacen cero los numeros*  %* que estan por encima de la diagonal principal *  %******************   for i=m:-1:2 for i=m:-1:2  for j=i-1:-1:1  for j=i-1:-1:1 B(j,:)=B(j,:)-B(i,:)*B(j,i);   j=j-1;  B;  pause  end  i=i-1;  B;  pause  end  %Presentando las variables  for i=1:m  for i=1:m for j=n+1 for j=n+1  fprintf('\nLa fprintf( es:\n',i)  '\nLa variable X[%d] es:\n',i) B(i,j)  end  end 

 

Solucion en MATLA MATLAB B

CONCLUSIÓN Las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales pueden darse en cualquier área del conocimiento, sin embargo, los sistemas de ecuaciones que siempre son útiles para resolver problemas matemáticos.

Referencias Beaufait F.W. (1977). Basic Concepts of Structural Analysis. Prentice Hall. Gere J.M y Timoshenko S.P. (1986). Resistencia de materiales. GEI, 2a. Ed. Laible J.P. (1985). Structural Analysis. CBS College Publishing. Marshall N. (1990). Structures. Third edition, Longman Scientific and Technical. Popov E. (1972). Introducción a la mecánica de sólidos. LIMUSA. México. "QUICKBASIC", versiones 2.0, 4.0y 4.5 Microsoft Corp. 1984 a 1989.

 

Sánchez J.L. y Franco V. (1996). Solución de sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas con matriz en banda. Revista Ingeniería, Vol. LXVI, L XVI, No. 2, abriljunio. Srnith, Wolford J.C. y James M.L. (1976). Métodos numéricos aplicados a la computación digital con Fortran GeraldM. RSI, México.