Sistemas de Control Avanzado - 1ra ED

Control Avanzado Luis Edo García Jaimes

1.1

DEFINICIÓN

Un controlador adaptativo es aquel que puede modificar su comportamiento en respuesta a cambios en la dinámica del proceso y en las perturbaciones. El control adaptativo puede controlar sistemas con parámetros constantes ó sistemas con parámetros variables. La idea básica del control adaptativo es estimar on-line las variaciones de los parámetros de la planta, basándose en la medida de las señales de entrada – salida de la misma y utilizar los parámetros estimados para realizar los ajustes del controlador. El control adaptativo, tanto para sistemas lineales ó no lineales, es esencialmente no lineal.

1.2

ESQUEMAS BÁSICOS DE CONTROL ADAPTATIVO

Existen dos tipos principales de controladores adaptativos: Sistemas con adaptación en lazo cerrado (STR, MRAC) Sistemas con adaptación en lazo abierto (Ganancia programable) Para el diseño de algoritmos de control adaptativo se han propuesto diferentes métodos, unos que utilizan criterios de optimización y otros que no los utilizan, en este sentido se tiene la siguiente clasificación [1]: Criterio óptimo: o Controladores de mínima varianza o Controladores predictivos generalizados Criterio no óptimo: o Asignación de polos y ceros o Controladores de tiempo finito o Controladores PID

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1.2.1 Controlador autosintonizado (STR): Este regulador se obtiene mediante un acoplamiento entre el controlador convencional y los parámetros de la planta estimados on-line. La operación del controlador con auto-ajuste es la siguiente: en cada instante el sistema de identificación en línea estima los parámetros de la planta, los cuáles son calculados a partir de la medida de los datos entrada-salida de la misma. Con los parámetros estimados se calculan los nuevos parámetros del controlador lo cual causa una nueva salida de la planta. El ciclo de adaptación se repite, y así la acción de control cambia cuando hay cambio de los parámetros de la planta. Para una planta lineal existen muchos métodos disponibles para estimar la variación de los parámetros. Uno de los más utilizados es el método “Mínimos cuadrados recursivos”. También existen diferentes técnicas de control para plantas lineales, tales como controladores PID, Controladores tipo Deadbeat, controladores de mínima varianza etc. Mediante la conjunción de las diferentes técnicas, métodos de control y estimadores se obtienen varios tipos de reguladores STR. La figura 1.1 muestra un esquema general del sistema de control con autosintonia.

Figura 1.1 Sistema de control autosintonizado

1.2.2 Control con modelo de referencia: En este regulador la adaptación se obtiene a partir de la señal de error que resulta de comparar la salida real del sistema con la esperada a partir de un modelo de comportamiento establecido. El comportamiento ideal del modelo de referencia debería poder ser alcanzado por el sistema de control adaptativo. La figura 1.2 da una idea del control con modelo de referencia. La teoría de control dispone de varios métodos que se pueden utilizar para obtener el mecanismo

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de adaptación: método de Lyapunov, método de la hiperestabilidad etc. En cualquier caso, los resultados obtenidos son semejantes, en cuanto a la estabilidad del sistema se refiere.

Figura 1.2 Sistema de control con modelo de referencia.

1.2.3 Control con ganancia programada (Gain Scheduling): El control por ganancia programable se refiere a un sistema donde los parámetros del controlador varían dependiendo de las condiciones de operación medidas. La variable programable para el cálculo de los parámetros del controlador puede ser el set-point, la variable controlada ó una señal externa. Una vez seleccionadas las variables, se calculan los parámetros del regulador para varios puntos de operación o zonas de trabajo en base a una adecuada estrategia de control que puede ser del tipo PID, Deadbeat, etc. La figura 1.3 representa un esquema del control con ganancia programable.

Parámetros del Controlador

Programación Precalculada

Controlador SP

+

-

Punto de Trabajo

Planta Señal de Control

Salida

Figura 1.3 Sistema de control con ganancia programable.

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La identificación de sistemas tiene por objeto obtener el modelo de un sistema dinámico a partir de datos experimentales. La figura 2.1 es una representación conceptual de un sistema dinámico. El sistema es comandado por variables de entrada controlar las variables de entrada salida

y por perturbaciones

El usuario puede

, pero no las perturbaciones

. Las señales de

son variables que suministran información útil acerca del sistema.

Figura 2.1 Representación de un sistema dinámico. 2.1 TIPOS DE MODELOS Los modelos de los sistemas dinámicos pueden ser de varias clases, incluyendo los siguientes: Modelos Mentales, Intuitivos o Verbales: éste es el tipo de modelo que se forma por ejemplo cuando se maneja un carro (pisando el freno decrece la velocidad, girando la cabrilla el carro voltea en determinada dirección, etc.)

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Modelos Gráficos: En este caso el modelo del sistema está dado mediante una gráfica. Un diagrama de Bode de un servo sistema es un ejemplo de un modelo dado en forma gráfica. La respuesta de un sistema ante una entrada en escalón es otro tipo de modelo gráfico. Modelos Matemáticos: Son aquellos que describen el comportamiento del sistema a partir de ecuaciones diferenciales (sistemas continuos) o de ecuaciones en diferencias (sistemas discretos). Estos modelos son muy utilizados para el análisis, predicción y diseño de sistemas dinámicos, controladores y filtros. Existen dos formas básicas para obtener el modelo matemático de un sistema dinámico: o Matemáticamente: Es un método analítico en el cual se utilizan leyes físicas, tales como las leyes de Newton y ecuaciones de balance para describir el comportamiento dinámico de un fenómeno o de un proceso. o Identificación del Sistema: Es un método experimental en el cual se realizan algunas pruebas sobre el sistema que permiten obtener los datos necesarios para estimar el valor de los parámetros del modelo representativo del sistema.

2.2 PROCEDIMIENTO PARA LA IDENTIFICACIÓN. La obtención de un modelo a partir de datos experimentales conlleva las siguientes etapas fundamentales: la recolección de datos, la selección del modelo y la validación del modelo. 2.2.1 Recolección de datos: Los datos de entrada y salida se pueden obtener mediante un experimento diseñado específicamente para la identificación del sistema. En este caso, el usuario puede determinar que señales va a medir, cuándo y cómo las va a medir y también puede escoger las señales de entrada. El objetivo del diseño del experimento es entonces, seleccionar los datos que proporcionen la máxima información posible. En otros casos, el usuario no tiene la posibilidad de realizar el experimento pero puede utilizar los datos obtenidos a partir de la operación normal del sistema y llevar a cabo con ellos la identificación del mismo. 2.2.2 La Selección del Modelo: Esta se realiza a partir de un grupo de modelos, eligiendo el más adecuado y representativo del sistema. Este paso es sin duda, el más

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importante y al mismo tiempo constituye la etapa más difícil en el procedimiento de la identificación. Es acá en donde el conocimiento previo del sistema y el de las características

de

cada

modelo

deben

combinarse

para

obtener

resultados

satisfactorios. Algunas veces el modelo apropiado sólo se obtiene después de un cuidadoso proceso de modelado. 2.2.3 Validación del Modelo: La evaluación de la calidad del modelo se basa en determinar cómo se desempeña el modelo cuando se trata de reproducir con él los datos obtenidos en la medición experimental. Un comportamiento deficiente del modelo en este aspecto hace que el modelo sea rechazado, mientras que un buen desempeño, proporcionará cierta confianza en el modelo. Un modelo no se puede aceptar como la última y verdadera descripción del sistema; por el contrario, es mejor mirarlo sólo como una descripción suficientemente buena de ciertos aspectos que son de interés particular para un fin determinado.

2.3 IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICA Algunas técnicas de diseño de sistemas de control, incluyendo el método del lugar geométrico de las raíces y el de asignación de polos, requieren de un modelo paramétrico del sistema. Este tipo de modelo es particularmente importante en sistemas de control adaptativo, en los cuales, los parámetros de la planta deben ser estimados en línea para calcular el controlador correspondiente. Para dar una idea de la identificación paramétrica se consideran a continuación el método de mínimos cuadrados no recursivo y el método de mínimos cuadrados recursivos. 2.3.1 Identificación por el método de mínimos cuadrados no recursivo. Se asume que la función de transferencia de pulso del modelo es de la forma:

En donde

es la entrada e

es la salida.

El sistema dado por 2.1 queda descrito por la ecuación en diferencias:

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Este modelo se conoce como “MODELO ARMAX” (Auto Regressive Moving Average) y en él se debe estimar el vector de parámetros dado por:

A partir de un conjunto de

pares de mediciones de entrada–salida del sistema:

Debido al error que se puede introducir en la medición, la ecuación 2.2 se puede escribir en la forma:

El primer error es función solamente de las mediciones conocidas. Entonces, para periodos de muestreo

En donde

, se tendrá:

es el vector de parámetros definido en la ecuación 2.3 y:

Para facilitar el tratamiento matemático, se definen las siguientes ecuaciones:

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Así, las ecuaciones dadas en 2.6 se pueden escribir en forma matricial cómo:

En donde:

Es de orden

.

Es de orden ( Es de orden Es de orden Al utilizar el método de mínimos cuadrados para estimar

, el vector

debe ser tal

que minimice la suma de los cuadrados del error, es decir, que minimice la función:

Si se despeja e(N) de la ecuación 2.9 y se reemplaza en la ecuación 2.10 se obtiene:

El valor de

que minimiza a

debe cumplir con la ecuación:

Es decir:

Por lo tanto, el valor estimado de

es:

EJEMPLO 2.1 Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta de un sistema de control ante una entrada en escalón unitario. Obtener, a partir de ellos, un modelo de segundo orden que describa la dinámica del sistema. K

0

1

2

3

4

5

u(k)

0

1

1

1

1

1

y(k)

0

0.73

1.26

1.55

1.73

1.84

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SOLUCIÓN: El modelo pedido es:

El vector de parámetros a estimar es: Para ello se utiliza la ecuación: El número de pares de medidas es: Orden de Orden de

Con los resultados anteriores se obtiene:

El modelo estimado es, entonces:

entonces:

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La figura 2.2 corresponde a una representación gráfica de los datos reales y de los datos estimados, éstos últimos se dan como una función en línea continua.

Figura 2.2 Respuesta del modelo estimado a la señal de entrada u(k)

2.3.2 Identificación por el método de mínimos cuadrados recursivos: En el método no recursivo, el vector de parámetros

se calcula utilizando toda la información

disponible, siendo esta pequeña en los primeros instantes, pero aumenta a medida que transcurre el tiempo, lo que genera un alto costo computacional al procesar la información. En el método recursivo el vector de parámetros se calcula a partir de los resultados obtenidos en el instante anterior actuales (instante

y de los datos de entrada y salida

).

Se supone que el sistema puede ser modelado como un proceso estable, linealizable y con una sola entrada y una salida por lo que puede ser descrito por una ecuación en diferencias lineal de la forma:

La ecuación 2.14 se puede escribir en forma vectorial así:

En donde:

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El procedimiento para la identificación es el siguiente [1]: 1. Seleccionar

y

.

2. Obtener los nuevos valores de

y

3. Calcular el error:

4. Calcular L(k+1) mediante la ecuación:

5. Calcular los nuevos parámetros estimados:

6. Actualizar la matriz de covarianza:

7. Actualizar el vector de medidas: 8. Hacer

y regresar al paso 2.

EJEMPLO 2.1 Los datos que se dan a continuación corresponden a la respuesta de un sistema de control a un escalón unitario. Obtener a partir de ellos, un modelo de segundo orden que describa la dinámica del sistema. Asumir

y utilizar mínimos cuadrados

recursivos. K

0

1

2

3

4

5

6

u(k)

0

1

1

1

1

1

1

y(k)

0

0.73

1.26

1.55

1.73

1.84

1.91

SOLUCIÓN: el modelo pedido es:

El vector a estimar es: Orden de P(k):

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El orden de

es:

1. Se toma:

y

2. Nuevos valores de

y de

:

3. Calcular el error:

4. Calcular

:

5. Calcular los nuevos parámetros estimados

6. Actualizar la matriz de covarianza:

7. Actualizar el vector de medidas:

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El modelo del sistema es:

La figura 2.3 corresponde a una representación gráfica de los datos reales y de los estimados, éstos últimos se presentan como una función en línea continua. Obsérvese la correspondencia entre los valores reales y los valores estimados.

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A continuación se presenta un programa en Matlab para identificación recursiva con modelo de segundo orden.

Figura 2.3 Respuesta del modelo estimado a la señal de entrada u(k) clc u=[0 1 1 1 1 1 1]; y=[0 0.73 1.26 1.55 1.73 1.84 1.91]; n=input('entre el orden del sistema n='); p=1000*eye(2*n); th=[zeros(1,2*n)]'; for k=1:length(y)-1 phit=[-y(k+1) -y(k) u(k+1) u(k)]; e=y(k+1)-phit*th l=p*phit'/(1+phit*p*phit'); th=th+l*e; p=eye(2*n)-l*phit*p; end u1=[1 1 1 1 1 1 1]; n=[th(3) th(4)]; d=[1 th(1) th(2)]; y1=dlsim(n,d,u1) plot(y1) hold plot(y,'*') grid

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Estos controladores conforman una estructura subóptima basada en el principio de la separación de las tareas de control e identificación. El diseño se realiza suponiendo inicialmente parámetros conocidos y luego éstos son sustituidos por los estimados. En estos reguladores se aplica el principio de equivalencia cierta pues se supone que los parámetros identificados coinciden con los reales. En el diseño de controladores autoajustables se distinguen tres partes [1]: Un algoritmo recursivo de identificación de parámetros. Un mecanismo de adaptación que realiza la tarea de diseño del controlador Un controlador con parámetros ajustables. 3.1 ECUACIÓN GENERAL PARA CONTROLADORES LINEALES Un controlador lineal se puede describir mediante la función de transferencia de pulso:

En donde los grados de

y de

y los parámetros

y

deben seleccionarse

adecuadamente para satisfacer los requerimientos del sistema de control [3]. Se asume que el proceso lineal que se va a controlar tiene como función de transferencia de pulso:

En donde Para el diseño del controladores adaptativos se pueden utilizar diferentes métodos: Asignación de polos, optimización de parámetros, ajuste por tablas etc.

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3.1.1 Método de asignación de polos: El objetivo de este método es diseñar el controlador de modo que los polos del sistema en lazo cerrado, queden ubicados en el lugar deseado de acuerdo a sus especificaciones de funcionamiento. El diseño del controlador consiste básicamente, en resolver una ecuación polinomial con ciertas restricciones en los órdenes de los polinomios para asegurar que el controlador propuesto sea causal y con realización mínima [3]. La ecuación característica deseada para el sistema en lazo cerrado toma la forma:

El orden de en la ecuación 3.3 está determinado por:

La ecuación 3.3 genera

ecuaciones simultáneas cuya solución da como resultado los

parámetros del controlador. Para asegurar error de estado estable igual a cero es necesario que el controlador tenga un integrador, con esta condición, el denominador del controlador

cumple

con la igualdad:

Con la adición del integrador se obtienen parámetros desconocidos

y

ecuaciones y el controlador tendrá . La solución de orden mínimo se obtiene

haciendo:

En este caso los parámetros del controlador se obtienen con la ecuación:

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EJEMPLO 3.1 La función de transferencia de pulso de cierto sistema neumático está dada por:

Diseñar para el sistema un controlador digital de modo que los polos dominantes del sistema en lazo cerrado estén ubicados en z=0.6 j0.2 SOLUCIÓN: La función de transferencia del sistema se puede escribir como:

En donde:

y

El orden del numerador del controlador es: El orden del denominador del controlador es: Por lo tanto, la función de transferencia de pulso del controlador toma la forma:

El orden de la ecuación característica deseada es: es decir 5. Se da como polo dominante z=0.6 j0.2 los tres polos restantes se pueden asignar en el origen, así la ecuación características es:

Teniendo en cuenta las ecuaciones 3.1, 3.2 y 3.7 se obtiene:

Resolviendo resulta:

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Por lo tanto el controlador pedido es:

La figura 3.1 muestra la respuesta del sistema ante un escalón unitario aplicado en el set-point.

Figura 3.1 Respuesta del sistema al escalón unitario

3.1.2 Controlador de mínima varianza: Este tipo de controlador puede englobarse dentro de los de síntesis óptima, ya que se utiliza la minimización de un índice de coste como criterio de diseño. Sin embargo, también puede interpretarse como un problema de asignación de polos, puesto que el método de síntesis está basado en manipulaciones algebraicas con los polinomios que se utilizan en la descripción externa. El interés de este tipo de controladores se ve acentuado sobre todo en multitud de procesos industriales en los cuales es de vital importancia la minimización de la varianza de la salida. Esta técnica de control se utiliza cuando la salida del sistema está contaminada por una perturbación estocástica. Estas perturbaciones no se pueden eliminar por completo, pero se puede reducir su varianza. El controlador de mínima varianza tiene como objetivo minimizar el efecto de las perturbaciones sobre la salida [1]. La estrategia control consiste en calcular la señal de control los valores disponibles en ese instante o sea tal forma que minimice el criterio:

como una función de , de

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En donde:

, es el valor de consigna o referencia.

También se han propuesto controladores de mínima varianza minimizando el criterio:

Si se supone que sobre el sistema actúan perturbaciones estocásticas, el proceso estará descrito por un modelo ARMAX de la forma (ver figura 3.2):

Donde:

Figura 3.2 Proceso con perturbación

Para el instante

, la ecuación 3.10 se puede escribir en la forma:

Utilizando la identidad:

En donde:

La ecuación 3.11 se transforma en:

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Los dos últimos términos del lado derecho de la ecuación 3.13 tienen el siguiente significado: : Es el efecto sobre la salida correspondientes a las perturbaciones anteriores a . : contiene las perturbaciones producidas entre el instante instante

, cuyo efecto sobre la salida no se puede controlar con

y el pues

es independiente de Resolviendo la ecuación 3.10 para

Reemplazando la expresión para

se obtiene:

en 3.13 resulta:

En la ecuación 3.15 se debe calcular la acción de control

que minimice la varianza

de la salida:

El mínimo de se encuentra derivando con respecto a

Resolviendo para

:

se obtiene la ley de control:

La figura 3.3 corresponde al sistema con el controlador de mínima varianza incorporado. Eliminación del offset: El controlador de mínima varianza presenta offset (Error de estado estable) ante cambios en la referencia ó ante cambios en la perturbación, para

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eliminar el offset se puede adicionar al controlador un integrador así, la ecuación 3.16 se puede escribir en la forma:

Figura 3.3 Controlador de mínima varianza (MVR3) Control de mínima varianza con seguimiento de referencias: Se debe calcular la acción de control que minimice la varianza de la salida:

O sea:

Tomando la esperanza matemática a lado y lado de la ecuación se obtiene:

Para hallar el valor mínimo de la ecuación anterior se deriva con a respecto

Despejando

:

se obtiene la ley de control así:

La ecuación 3.19 corresponde al controlador de mínima varianza con seguimiento de referencias.

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La figura 3.4 representa el diagrama de bloques correspondiente al sistema de control de minina varianza con ley de control dada por la ecuación 3.19

Figura 3.4 Control de mínima varianza con seguimiento de referencias (MVR2)

Controlador de mínima varianza ponderado: en este caso se debe calcular la acción de control que minimice la varianza de la salida:

Tomando la esperanza matemática a lado y lado de la ecuación 3.20 se obtiene:

Para hacer mínimo el valor de

es necesario calcular su derivada con respecto a

e igualar

el resultado a cero lo cual da como resultado:

Resolviendo para

se obtiene la ley de control:

La figura 3.5 representa el diagrama de bloques correspondiente al sistema de control de minina varianza con ley de control dada por la ecuación 3.21

Figura 3.5 Control de mínima varianza ponderado (MVR1)

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EJEMPLO 3.2 Se desea diseñar un controlador de mínima varianza para un sistema con función de transferencia discreta siguiente:

La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro siguiente:

Solución: La función de transferencia del sistema y de la perturbación se pueden escribir en la forma:

En donde:

Con

y

, se obtiene:

)

Igualando los coeficientes de igual potencia en

Resolviendo se obtiene:

se obtiene:

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Para compensar el error de estado do estable se adiciona el integrador con

así el

controlador toma la forma:

La figura 3.6a muestra la respuesta del sistema con el controlador de mínima varianza estimado y la figura 3.6b la del sistema con controlador de mínima varianza mas el integrador.

Figura 3.6 Respuesta con el controlador de mínima varianza (MVR3)

3.1.3 Diseño de un controlador PI Adaptativo por asignación y cancelación de polos para un sistema de primer orden (POR): Si la dinámica del sistema se aproxima a la de un sistema de primer orden con retardo de la forma:

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El modelo discreto correspondiente para dicho sistema es:

Para el diseño, se asume que la función de transferencia del controlador PI toma la forma:

Si se selecciona el cero del controlador de modo que cancele el polo de la planta, es decir, si se hace

la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es:

Si al sistema en lazo cerrado se le condiciona a que tenga un polo estable en entonces, al evaluar

en

,

se obtiene:

Despejando q0 resulta:

Entonces, conociendo

y

del modelo, los parámetros

y

pueden calcularse especificando un polo dominante en lazo cerrado en

del controlador que ha de

cancelarse con el cero del controlador. Resolviendo

se puede determinar la ubicación de los n polos restantes,

comprobándose que corresponden a polos no dominantes que decaen rápidamente y que el polo

es efectivamente el polo dominante.

Este método de diseño de controladores PI se recomienda especialmente cuando:

En donde T es el periodo de muestreo del sistema.

EJEMPLO 3.3 Un sistema de flujo tiene como función de transferencia:

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Diseñar Para el sistema un controlador PI utilizando el método de cancelación y asignación de polos de modo que el sistema tenga un polo dominante de lazo cerrado en z=0.8. El sistema se muestrea cada 0.2 s. SOLUCIÓN: la función de transferencia del sistema se puede escribir como:

0

1

El controlador PI toma la forma:

Si se asume que el cero del controlador cancela el polo de la planta, entonces . El polo dominante deseado es

, por lo tanto:

El controlador pedido es:

La figura 3.7 muestra la respuesta del sistema con el controlador PI calculado.

Figura 3.7 Respuesta con el controlador PI por cancelación y asignación de polos.

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Esta técnica se emplea con modelos matemáticos simulados en computador y es muy útil para sistemas complicados de controlar por ejemplo, sistemas no lineales o con parámetros variables en el tiempo. Se trata de que el sistema controlado siga el comportamiento de un modelo determinado para lo cual se debe generar una señal de control que haga converger la respuesta de la planta a la del modelo para una cierta señal de entrada. En esta estrategia de control se selecciona como referencia un modelo que cumpla con las condiciones deseadas para el funcionamiento adecuado de la planta y se desarrolla un mecanismo de control que permita que la planta siga el modelo escogido. No es necesario un conocimiento extensivo de la planta, pero si es necesaria la escogencia del modelo adecuado para lograr la salida deseada. El modelo de referencia que se utiliza es usualmente lineal. Como se indica en la figura 4.1, el control por modelo de referencia está formado por tres partes fundamentales: [1] El controlador primario: Debe cumplir la condición de hacer posible que el conjunto de la planta y el controlador puedan reproducir el modelo de referencia. El modelo de referencia: Debe seleccionarse con un comportamiento dinámico estable y que pueda ser seguido por el proceso a controlar. La ley de adaptación: esta se puede obtener por diferentes métodos: Método de sensibilidad, método de Lyapunov y método de hiperestabilidad.

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Figura 4.1 Control por modelo de referencia 4.1 MRAC PARA SISTEMAS CONTINUOS, MÉTODO DE LYAPUNOV Este método establece que un sistema tiene un punto de equilibrio asintóticamente estable, si existe una función

que cumpla con las siguientes

condiciones [1]: : Definida positiva para Definida negativa para para

Procedimiento para aplicar el método de Lyapunov: 1. Encontrar la ecuación de error en la salida: 2.

Encontrar la función de Lyapunov como una función del error entre las señales

y del error en los parámetros. Esta función es de la forma:

Donde las matrices

y

deben ser definidas positivas.

3. Calcular la derivada de la función de Lyapunov. Esta derivada debe ser definida negativa. Por lo general toma la forma:

El primer término garantiza que la derivada es negativa definida, entonces, haciendo el resto igual a cero se tiene una posible solución para la adaptación. 4. Hacer

el término extra igual a cero para obtener la ley de adaptación.

Normalmente tiene la forma:

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, está relacionado directamente con el error

y

tiene que ver con el vector de

señales (Referencia, salida etc.)

EJEMPLO 4.1 Diseñar un sistema de control por modelo de referencia para un sistema de primer orden [2]. SOLUCIÓN: Sea el sistema de primer orden:

Si se toma como modelo de referencia:

El error es:

La ecuación de la planta se puede escribir como:

Haciendo:

Se obtiene:

En donde

es la salida y

es la ley de control.

La ecuación del modelo de referencia se puede escribir como:

Para que el error sea cero se debe cumplir que:

Despejando :

por lo tanto:

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Es decir:

Haciendo:

La ecuación 4.12 corresponde a la ley de control del sistema y en ella no se conocen los parámetros

y

debido a que

Los valores apropiados de

y

y

son desconocidos.

que se adapten al sistema de control se pueden

determinar tomando en cuenta las siguientes consideraciones:

Reemplazando 4.8 y 4.9 en 4.13 se obtiene:

Reemplazando 4.12 en 4.14:

Sumando y restando

en la ecuación anterior se obtiene, después de simplificar:

De la ecuación 4.15 se deduce que

si

,

Se trata de diseñar un sistema que lleve los parámetros

y y

.

a los valores deseados.

Para este propósito se define la función de Lyapunov:

Esta función es cero cuando óptimo.

y los parámetros del controlador tengan su valor

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Derivando parcialmente la ecuación la ecuación 4.16 con respecto a los parámetros se obtiene:

Reemplazando la ecuación 4.15 en la 4.16 se obtiene:

De acuerdo con la teoría de la estabilidad de Lyapunov, el sistema es estable si

es

semidefinida negativa, esto se cumple si en la ecuación 4.18 se da:

Entonces:

La figura 4.2 muestra el diagrama de bloques y la respuesta del sistema de control MRAC aplicado al sistema de primer orden. En donde: Señal de entrada. La señal de control. La salida del proceso. La salida del modelo de referencia. : El error. y

son las ganancias adaptativas y

es una constante positiva que se puede

tomar como parámetro de ajuste. Se trabajó con Para realizar la simulación se tomaron como modelo para el proceso y como modelo de referencia:

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ym

5 s+5 R

e

Modelo de Ref u

yp

4

to

0.8s+1 Proceso

2

1 s So -2

1 s

Figura 4.2 Diagrama de bloques y respuesta del control MRAC

EJEMPLO 4.2 Diseñar un sistema de control por modelo de referencia para un sistema de segundo orden. SOLUCIÓN: Sea el sistema de segundo orden:

En donde

y

son parámetros del proceso variables en el tiempo.

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Sea el modelo de referencia:

Se asume como ley de control para el sistema [3]:

En donde

es la señal de referencia.

La ecuación diferencial que describe el sistema es:

Factorizando y simplificando se obtiene:

La ecuación diferencial del modelo de referencia es:

Restando las ecuaciones 4.26 y 4.27 se obtiene:

Introduciendo los parámetros de error:

Y teniendo en cuenta que el error es:

Se obtiene:

La ecuación anterior se puede escribir así:

Ahora se introduce la función de Lyapunov:

En donde

y

son constantes positivas.

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Como el modelo de referencia se supone estable, entonces

es positiva y

es una

función positiva definida. La derivada de la función de Lyapunov introducida es:

Factorizando y simplificando se obtiene:

La teoría de estabilidad de Lyapunov garantiza la estabilidad global del sistema dinámico si

es una función semidefinida negativa. Esto se puede asegurar para la

ecuación 4.33 si:

De la ecuación 4.29 se obtiene:

Integrando cada una de las ecuaciones anteriores se obtiene:

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La figura 4.3 muestra el diagrama de bloques y la respuesta del sistema de control MRAC aplicado al sistema de segundo orden. En donde: La señal de entrada. La señal de control. La salida del proceso. La salida del modelo de referencia. El error. Para realizar las simulaciones se tuvieron en cuenta los siguientes valores:

El modelo del proceso a controlar se tomó como:

El modelo de referencia se tomó como:

r

1

ym

s2 +1.6s+1 1 s

-2

f

5

q1 u

4

yp

s2 +2s+4

1 s

qo

5

1 s

du/dt

du/dt

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Figura 4.3 Control MRAC para sistema continuo de segundo orden

4.2 MRAC PARA SISTEMAS DISCRETOS Al igual que en los sistemas continuos, la idea básica del control con modelo de referencia MRAC, para sistemas discretos, es que el proceso con función de transferencia [3]:

Con:

Siga el modelo:

En donde:

Mediante la aplicación de la ley de control:

En donde:

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La figura 4.4 muestra el diagrama en bloques del sistema de control con modelo de referencia propuesto.

Figura 4.4 Control con modelo de referencia La función de transferencia en lazo cerrado para el sistema de la figura 4.4 es:

El procedimiento para el diseño es el siguiente: 1. Seleccionar el modelo de referencia adecuado. 2. Reescribir el polinomio

En donde:

del proceso en la forma:

: Contiene los ceros estables del proceso. : Contiene los ceros inestables del proceso.

3. Los ceros estables del proceso se incluyen en el polinomio

4. Los ceros inestables del proceso deben ser ceros de

5. Si el grado de

es decir:

, es decir, ceros de

seleccionado es menor que el grado de

después de la cancelación de

, el lado derecho de la ecuación 4.38 se

multiplica y divide por el polinomio 6. Los polinomios

,

y

quedan deteminados por las

ecuaciones:

NOTA: En caso de que el sistema tenga solo ceros estables se considera que , en este caso la ley de control toma la forma:

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La ecuación 4.41 se puede escribir en forma vectorial como:

En donde:

EJEMPLO 4.3 La función de transferencia de un sistema de presión está dada por:

Diseñe para el sistema un controlador con modelo de referencia de modo que el sistema, en lazo cerrado siga la dinámica del modelo:

SOLUCIÓN: Los modelos discretos son:

La ley de control es:

Grado de Grado de

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Condición de los polinomios:

Comparando término a término y resolviendo las ecuaciones resultantes se obtiene qué: ,

, y

Entonces: y Por lo tanto:

Finalmente, la ley de control es:

Despejando

se obtiene:

Tomando transformada z y reuniendo términos:

Es decir:

La figura 4.5 muestra el diagrama en bloques del sistema de control y la respuesta del mismo ante una entrada en onda rectangular.

4.0394z(z+0.4404) (z+0.4631)(z+0.0819)

0.038(z+0.4631) z2(z-0.8607)

1.855z2 (z+0.4631)(z+0.0819)

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Figura 4.5 Control con modelo de referencia

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La técnica de la ganancia programable (Gain scheduling) es un acercamiento al control de sistemas no lineales que utiliza una familia de controladores

lineales, para

proporcionar el control satisfactorio en diversos puntos de operación del sistema. Este enfoque asume que el sistema se puede representar mediante un modelo parametrizado por ciertas variables, llamadas variables de tabulación o de programación (“scheduling variables”), de modo que cuando estas variables asumen un valor constante se obtiene un punto de funcionamiento [2]. Para sintonizar el controlador adecuado se utilizan una o más de las variables de programación. En este caso, se linealiza el sistema alrededor de distintos puntos de operación de interés, obteniéndose una familia de modelos lineales para la cual se diseña una familia de controladores lineales. Luego, se implementa el esquema de control con un controlador cuyos parámetros son cambiados acorde a los valores que toman las variables de programación, que deberán monitorearse continuamente. La literatura no documenta reglas generales para el diseño de controladores con ganancia programable. Sin embargo, se pueden establecer los siguientes pasos:

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Determinar las variables de programación: Estas variables deben reflejar las condiciones de operación de la planta y permitir establecer expresiones simples que relacionen los parámetros del controlador con las variables de ajuste. Esto se hace normalmente mediante la identificación física del sistema. Obtener el modelo del proceso para diferentes puntos de operación: estos puntos deben estar parametrizados por las variables de programación. Si el sistema es no lineal se linealiza alrededor de dichos puntos. Calcular los parámetros del controlador para los diferentes puntos de operación: Se calculan los parámetros del controlador para un determinado número de condiciones de trabajo, en función de las variables de programación, empleando algún método de diseño apropiado. El controlador se calibra o sintoniza para cada condición de operación. No existe norma sobre el número de condiciones o zonas de operación en que debe dividirse el rango de operación de la planta, el diseñador decide al respecto. Seleccionar el controlador en función de las variables de programación: según el punto de operación en que se encuentre el proceso, se selecciona el controlador diseñado para dicho punto de operación. Para evitar los inconvenientes que puede causar la conmutación de un controlador a otro se puede generar una ecuación de regresión que permita calcular los parámetros del controlador en función de las variables de programación. En la figura 5.1 se presenta un diagrama básico de la técnica de control por ganancia programable.

Parámetros del Controlador

Programación Precalculada

Controlador SP

+

-

Punto de Trabajo

Planta Señal de Control

Salida

Figura 5.1 Control con ganancia programable.

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EJEMPLO 5.1 La figura 5.2 muestra la respuesta de un intercambiador de calor ante escalones aplicados

en diferentes zonas de operación. La temperatura se midió con un

instrumento calibrado de 0 a 100 ºC y la apertura de la válvula se da en porcentaje. Diseñar para el sistema un controlador PI con ganancia programable.

Figura 5.2 Prueba del escalón

SOLUCIÓN: La dinámica del intercambiador se aproximó a un sistema de primer orden con retardo. Se obtuvo un modelo para cada uno de los escalones aplicados, se discretizaron los modelos y para cada uno de ellos se calculó un controlador PI utilizando el método de Ziegler-Nichols. Los resultados se dan en la tabla 5.1 Modelos continuo y discreto:

Controlador PI:

Formulas empleadas para el cálculo del controlador:

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Tabla 5.1 Controladores obtenidos

22

1.5261

-1.2592

40

1.8289

-1.5233

52

1.6498

-1.3781

67

2.2663

-1.8818

78

1.7412

-1.4606

Las ecuaciones para el cálculo de

y de

que se han de utilizar para estimar el

controlador son:

Los datos presentados en la tabla 5.1 y las ecuaciones de regresión para estimar los parámetros

y

del controlador, se obtienen a partir de los valores de los puntos de

operación y de los modelos de primer orden con retardo correspondientes. Para ello se utilizó el programa en MATLAB que se da a continuación:

% GANANCIA PROGRAMABLE % El programa calcula un controlador PI según Ziegler-Nichols % Para este caso, el modelo debe ser de primer orden con retardo POR % Para cada punto de operación se debe estimar el modelo correspondiente. % Puntos de operación: los valores medios de la respuesta de la variable en cada uno % de los escalónes. clc T=input('Entre los puntos de operacion V=');

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L=length(T); N=0; while N