Sistemas Cristalinos

Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Culhuacan.

Química Básica Sistemas Cristalinos

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Grupo: 1CV2 Equipo: 2 Integrantes: Cárdenas Aguilar Noé. Del Ángel Valtierra Jesús Ángel. Díaz Pérez Juan Manuel. González Torres José Antonio. Mendoza Castañón José Ramiro. Ramírez Monroy Manuel.

Profesor:

Ing. Edgar Alejandro Berrospe Ochoa.

2.3 SISTEMAS CRISTALINOS Sistema cristalino A sistema cristalino es una categoría de grupos del espacio, que caracterizan simetría de estructuras en tres dimensiones con simetría de translación en tres direcciones, teniendo una clase discreta de grupos del punto. Un uso importante está adentro cristalografía, para categorizar cristales, pero por sí mismo el asunto es uno de 3D Geometría euclidiana.

2.3.1 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS CRISTALINOS. Hay 7 sistemas cristalinos: 

 

   

Triclínico, todos los casos que no satisfacen los requisitos de cualquier otro sistema. No hay simetría necesaria con excepción de simetría de translación, aunque la inversión es posible. Monoclinic, requiere cualquiera 1 doble eje de la rotación o 1 plano del espejo. Orthorhombic, requiere 3 hachas dobles de rotación o 1 eje doble de la rotación y de dos planos del espejo. Tetragonal, requiere 1 eje de la rotación cuádruple. Rhombohedral, también llamado trigonal, requiere 1 eje de la rotación triple. Hexagonal, requiere 1 eje del sixfold de la rotación. Isométrico o cúbico, requiere 4 hachas triples de rotación.

Sistema cristalino triclínico En cristalografía, triclínico sistema cristalino es uno del enrejado 7 grupos del punto. Un sistema cristalino es descrito por la base tres vectores. En el sistema triclínico, cristal es descrito por vectores de la longitud desigual, como en orthorhombic sistema. Además, los tres vectores no están mutuamente orthogonal. El enrejado triclínico es el menos simétrico de los 14 tridimensionales Enrejados de Bravais. Tiene (sí mismo) la simetría mínima que todos los enrejados tienen: los puntos de la inversión en cada punto del enrejado y en 7 más puntos para cada enrejado señalan: en los puntos medianos de los bordes y de las caras, y en los puntos de centro. Es el único tipo que sí mismo del enrejado no tiene ningún plano del espejo. Grupos del punto que la caída bajo este sistema cristalino es enumerada abajo, seguido por sus representaciones en la notación internacional y Notación de Schoenflies. Nombre normal triclínico

Internacional

Schoenflies C i  (también denotado cerca S2)

hemihedral triclínico 1

C 1

Con cada uno solamente un grupo del espacio es asociado. Mineral los ejemplos incluyen plagioclase, microcline, rhodonite, turquesa, wollastonite y amblygonite, todos en normal triclínico (barra 1).

Sistema cristalino Monoclinic  En cristalografía, monoclinic sistema cristalino es uno del enrejado 7 grupos del punto. Un sistema cristalino es descrito por tres vectores. En el sistema monoclinic, cristal es descrito por vectores de la longitud desigual, como en orthorhombic sistema. Forman un rectangular prisma con a paralelogramo como base. Por lo tanto dos pares de vectores son perpendiculares, mientras que el tercer par hace un ángulo con excepción de 90°. Existen dos monoclinic Enrejados de Bravais: los enrejados centrados monoclinic y monoclinic simples, con capas con un enrejado rectangular y rombal, respectivamente. Monoclinic simpleMonoclinic centrada clases cristalinas que la caída bajo este sistema cristalino es enumerada abajo, seguido por sus representaciones en la notación internacional y Notación de Schoenflies, y mineral ejemplos. Nombre Internacional Schoenflies Ejemplo C 2h normal monoclinic yeso, orthoclase, mica C 2 hemimorphic monoclinic 2 halotrichite m C 1h hemihedral monoclinic hilgardite El número de grupos del espacio para cada cristal la clase es 6, 3, y 4, respectivamente. Los tres grupos hemimorphic monoclinic del espacio son como sigue:   

un prisma con como sección representativa grupo p2 del papel pintado ídem con las hachas del tornillo en vez de las hachas ídem con el tornillo disminuye así como las hachas, paralelo, mientras tanto; en este caso un vector adicional de la traducción es una mitad de un vector de la traducción en el plano bajo más una mitad de un vector perpendicular entre los planos bajos

Los cuatro grupos hemihedral monoclinic del espacio incluyen  



ésos con la reflexión pura en la base del prisma y a medio camino ésos con deslizamiento acepillan en vez de los planos puros de la reflexión; el deslizamiento es una mitad de un vector de la traducción en el plano bajo ésos con ambos medios; en este caso un vector adicional de la traducción es este deslizamiento más una mitad de un vector perpendicular entre los planos bajos.

Sistema del cristal de Orthorhombic  En cristalografía, orthorhombic sistema cristalino es uno del enrejado 7 grupos del punto. Orthorhombic enrejados resulte de estirar un enrejado cúbico a lo largo de dos de sus vectores del enrejado por dos diversos factores, dando por resultado un rectangular prisma con una base rectangular ( a por b) y altura ( c), tales que a, b, y c sea distinto. Las tres bases se intersecan a los ángulos 90°. Sigue habiendo los tres vectores del enrejado mutuamente orthogonal. Hay cuatro orthorhombic Enrejados de Bravais: orthorhombic orthorhombic, y facecentered orthorhombic, body-centered orthorhombic, base-centrada simple.

Sistema cristalino tetragonal  En cristalografía, tetragonal sistema cristalino es uno del enrejado 7 grupos del punto. Tetragonal enrejados cristalinos resulte de estirar un enrejado cúbico a lo largo de uno de sus vectores del enrejado, de modo que cubo se convierte un rectangular prisma con una base del cuadrado ( a por a) y altura ( c, de que es diferente a). Hay dos tetragonales Enrejados de Bravais: el tetragonal tetragonal (de estirar el enrejado simple-cúbico) y centrada simple (de estirar el enrejado cúbico face-centered o body-centered). Tetragonal simpleTetragonal Body-centered grupos del punto que la caída bajo este sistema cristalino es enumerada abajo, seguido por sus representaciones en la notación internacional y Notación de Schoenflies, y mineral ejemplos. Nombre ditetragonal bipyramidal ditetragonal pyramidal bipyramidal tetragonal pyramidal tetragonal el alternarse del ditetragonal trapezohedral tetragonal el alternarse tetragonal

Internacional Schoenflies 4mm 4 422

D4h C 4v  C 4h C 4 D2.o D4 S4

Ejemplo rutilo diaboleite scheelite wulfenite calcopirita phosgenite cahnite

Sistema del cristal de Rhombohedral  En cristalografía, rhombohedral (o trigonal) sistema cristalino es uno de los siete enrejado grupos del punto, nombrado después del de dos dimensiones rombo. A cristal el sistema es descrito por la base tres vectores. En el sistema rhombohedral, el cristal es descrito por vectores de igual longitud, de que los tres no están mutuamente orthogonal. sistema rhombohedral puede ser pensado en como sistema cúbico estirado diagonal a lo largo de un cuerpo. a = b = c; . En algunos esquemas de la clasificación, sistema rhombohedral se agrupa en un más grande sistema hexagonal. Existe solamente uno rhombohedral Enrejado de Bravais.

Lista de detalles Los grupos del punto que caen bajo este sistema cristalino son enumerados abajo, seguido por sus representaciones en la notación internacional (Notación de HermannMauguin) y Notación de Schoenflies, y cristales del ejemplo. nombre holohedral rhombohedral hemimorphic rhombohedral tetartohedral rhombohedral trapezohedral tetartohedral rhombohedral

internacional Schoenflies ejemplos D3d  calcita, corindón, hematita C 3v  3m tourmaline, alunite S6 dolomía, ilmenita D3 32 cuarzo, cinabrio C 3 3 ningunos verificados

Sistema cristalino hexagonal  En cristalografía, hexagonal es uno de los 7 sistema cristalino, contiene 7 grupos del punto . Tiene la misma simetría que una derecha prisma con a hexagonal base. Hay solamente uno hexagonal Enrejado de Bravais, por que tiene seis átomos célula de la unidad. Grafito es un ejemplo de a cristal eso se cristaliza en el sistema cristalino hexagonal. Los arreglos hexagonales también se han observado en sistemas de amphiphiles y constituye uno de los tipos de polimorfismo del lípido. grupos del punto (clases cristalinas) esa caída bajo este sistema cristalino es enumerada abajo, seguido por sus representaciones adentro Hermann-Mauguin o notación internacional y Notación de Schoenflies, y mineral ejemplos, si existen. nombre internacional Schoenflies D6h dihexagonal bipyramidal C 6v  dihexagonal pyramidal C 6h bipyramidal hexagonal C 6 pyramidal hexagonal D6 trapezohedral hexagonal D3h ditrigonal bipyramidal C 3h trigonal bipyramidal

ejemplo beryl greenockite apatita nepheline kalsilite y alto cuarzo benitoite ningunos

Sistema cristalino cúbico sistema cristalino cúbico (o isométrico) es a sistema cristalino donde célula de la unidad está en la forma de a cubo. Éste es una de las formas mas comunes y más simples encontradas en cristales metálicos. Los tres Enrejados de Bravais qué forma el sistema cristalino cúbico es Cúbico simpleCúbico Body-centeredCúbico Face-centered cúbico simple el sistema consiste en un punto del enrejado en cada esquina del cubo. Cada átomo en los puntos del enrejado entonces se comparte igualmente entre ocho cubos adyacentes, y la célula de la unidad por lo tanto contiene en el átomo del total uno (1/8 * 8). el cuerpo se centró el sistema cúbico tiene un punto del enrejado en el

centro de la célula de la unidad además de los ocho puntos de la esquina. Tiene una contribución de 2 puntos del enrejado por la célula de la unidad ((1/8) *8 + 1). Finalmente, cúbico centrada cara tiene puntos del enrejado en las caras del cubo de el cual cada cubo de la unidad consigue exactamente una mitad contribución, además de los puntos de la esquina del enrejado, dando un total de 4 átomos por la célula de la unidad ((1/8 para cada esquina) * 8 esquinas + (el 1/2 para cada cara) * 6 caras). El procurar crear el A.c. - el sistema cristalino cúbico centrado daría lugar a un enrejado de Bravais tetragonal simple. Hay 8 puntos del enrejado en un cúbico simple para cada esquina de la forma. Hay 9 puntos del enrejado para un cuerpo centrado debido a el punto adicional en el centro de la unidad. Hay 14 puntos del enrejado en un cúbico centrada cara.

2.3.2 REDES DE BRAVAIS

En geometría y cristalografía las redes de Bravais son una disposición infinita de puntos discretos cuya estructura es invariante bajo cierto grupo de traslaciones. En la mayoría de casos también se da una invariancia bajo rotaciones o simetría rotacional. Estas propiedades hacen que desde todos los nodos de una red de Bravais se tenga la misma perspectiva de la red. Se dice entonces que los puntos de una red de Bravais son equivalentes. Mediante teoría de grupos se ha demostrado que sólo existe una única red de Bravais unidimensional, 5 redes bidimensionales y 14 modelos distintos de redes tridimensionales. La red unidimensional es elemental siendo ésta una simple secuencia de nodos equidistantes entre sí. En dos o tres dimensiones las cosas se complican más y la variabilidad de formas obliga a definir ciertas estructuras patrón para trabajar cómodamente con las redes. Para generar éstas normalmente se usa el concepto de celda primitiva. Las celdas unitarias, son paralelogramos (2D) o paralelepípedos (3D) que constituyen la menor subdivisión de una red cristalina que conserva las características generales de toda la retícula, de modo que por simple traslación de la misma, puede reconstruirse la red al completo en cualquier punto. Una red típica R en

tiene la forma:

donde {a1,..., an} es una base en el espacio Rn. Puede haber diferentes bases que generen la misma red pero el valor absoluto del determinante de los vectores ai  vendrá siempre determinado por la red por lo que se lo puede representar como d(R).

Características de las celdas unitarias y las celdas convencionales

Las celdas unitarias se pueden definir de forma muy simple a partir de dos (2D) o tres vectores (3D). La construcción de la celda se realiza trazando las paralelas de estos vectores desde sus extremos hasta el punto en el que se cruzan. Existe un tipo de celda unitaria que se construye de un modo distinto y que presenta ciertas ventajas en la visualización de la red ya que posee la misma simetría que la red, es la celda de Wigner-Seitz. Una celda unitaria se caracteriza principalmente por contener un único nodo de la red de ahí el adjetivo de "unitaria". Si bien en muchos casos existen distintas formas para las celdas unitarias de una determinada red el volumen de toda celda unitaria es siempre el mismo. En ocasiones resulta más sencillo construir otro tipo de celdas que sin ser unitarias describen mejor la estructura de la red que tratamos. Este tipo de celdas se denominan celdas convencionales. Éstas tienen, a su vez, sus propios parámetros de red y un volumen determinado. Todas estas celdas se consideran celdas primitivas ya que son capaces de cubrir todo el espacio mediante traslaciones sin que queden huecos ni solapamientos. Sus diferencias o características son las siguientes: Empaquetamiento compacto: Esto es cuando los átomos de la celda están en contacto

unos con otros. No siempre será así y en muchos casos mediará una distancia mínima entre las nubes electrónicas de los diferentes átomos. Parámetro de red: Es la longitud de los lados de la celda unitaria. Puede haber tan solo uno, dos o hasta tres parámetros de red distintos dependiendo del tipo de red de bravais que tratemos. En las estructuras más comunes se representa con la letra a y con la c en caso de haber dos. Nodos o átomos por celda: Tal y como dice el nombre es el número de nodos o átomos que posee cada celda. Una celda cuadrada, por ejemplo, poseerá un nodo por celda ya que cada esquina la comparte con cuatro celdas más. De hecho si una celda posee más de un nodo de red es que no es unitaria, en cambio si posee más de un átomo por celda pudiera ser que estuviésemos en una celda unitaria pero con una base atómica de más de un átomo. Número de coordinación: Es el número de puntos de la red más cercanos, los primeros vecinos, de un nodo de la red. Si se trata de una estructura con empaquetamiento compacto el número de coordinación será el número de átomos en contacto con otro. El máximo es 12. Factor de empaquetamiento: Fracción del espacio de la celda unitaria ocupada por los átomos, suponiendo que éstos son esferas sólidas.

Donde f  es el factor de empaquetamiento o fracción de volumen ocupado, n el número de átomos por celda, v el volumen del átomo y V c el volumen de la celda. Normalmente se suele dar el factor de empaquetamiento compacto para las diferentes celdas como indicador de la densidad de átomos que posee cada estructura cristalina.

En este caso los átomos se tratan como esferas rígidas en contacto con sus vecinos más cercanos. Densidad: A partir de las características de la red, puede obtenerse la densidad teórica del material que conforma la red mediante la siguiente expresión.

Donde ρ es la densidad, N A el número de Avogadro y m la masa atómica. Volumen de la celda unitaria primitiva: Toda celda unitaria tiene el mismo

volumen representado por la siguiente fórmula. los vectores de la base de la red.

Donde a son

Redes bidimensionales

Según los ángulos y la distancia entre los nodos se distinguen 5 redes distintas.

En función de los parámetros de la celda unitaria, longitudes de sus lados y ángulos que forman, se distinguen 7 sistemas cristalinos. Ahora bien, para determinar completamente la estructura cristalina elemental de un sólido, además de definir la forma geométrica de la red, es necesario establecer las posiciones en la celda de los átomos o moléculas que forman el sólido cristalino; lo que se denominan puntos reticulares. Las alternativas son las siguientes: P: Celda primitiva o simple en la que los puntos reticulares son sólo los vértices del paralelepípedo. 

F: Celda centrada en las caras, que tiene puntos reticulares en las caras, además de en los vértices. Si sólo tienen puntos reticulares en las bases, se designan con las letras A, B o C según sean las caras que tienen los dos puntos reticulares. 

I: Celda centrada en el cuerpo que tiene un punto reticular en el centro de la celda, además de los vértices. 

C: Primitiva con ejes iguales y ángulos iguales ó hexagonal doblemente centrada en el cuerpo, además de los vértices. 

Combinando los 7 sistemas cristalinos con las disposiciones de los puntos de red mencionados, se obtendrían 28 redes cristalinas posibles. En realidad, como puede demostrarse, sólo existen 14 configuraciones básicas, pudiéndose el resto obtener a partir de ellas.

Sistema cristalino

Redes de Bravais

P

triclínico

monoclínico

P

C

P

C

P

I

I

ortorrómbico

tetragonal

P romboédrico (trigonal)

P

hexagonal

cúbico

P

I

F

F

En el caso más sencillo, a cada punto de red le corresponderá un átomo, pero en estructuras más complicadas, como materiales cerámicos y compuestos, cientos de átomos pueden estar asociados a cada punto de red formando celdas unitarias extremadamente complejas. La distribución de estos átomos o moléculas adicionales se denomina base atómica y esta nos da su distribución dentro de la celda unitaria. Existen dos casos típicos de bases atómicas. La estructura del diamante y la hexagonal compacta. Para redes bidimensionales un caso ejemplar sería el grafito cuya estructura sigue un patrón de red en panal.

Estructura

Cúbica simple (CS)

a (r)

a = 2r

Número de

Factor de

Ejemplos

coordinación empaquetamiento

6

0,52

Hg

Cúbica centrada a= en el cuerpo 4r/√3 (CCI)

8

0,68

Fe, Ti, W, Mo, Nb, Ta, K, Na, V, Cr, Zr

Cúbica centrada a= en las caras 4r/√2 (CCC)

12

0,74

Cu, Al, Au, Ag, Pb, Ni, Pt

a = 2r c/a = 1,633

12

0,74

Ti, Mg, Zn, Be, Co, Zr, Cd

Hexagonal compacta (HC)

BiBLIOGRAFIA  

 

http://enciclopedia.us.es/index.php/Redes_de_Bravais http://161.116.85.21/crista/castella/xarxesbravais/xarxes_es.htm# http://es.wikipedia.org/wiki/Redes_de_Bravais http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Crystal_system