SISTEMAS AMORTIGUADOS

UNIVERSIDAD DE LA COSTA, CUC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS – FACULTAD DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERIA

SISTEMAS AMORTIGUADOS Profesor: Jaramillo Colpas. Grupo: AD1. Materia: Física Calor Ondas, Universidad de la costa, Barranquilla (Colombia) Estudiantes: Laura Carolina Padilla Jiménez E-mail:[email protected]

Samir Samuel Miranda De la rosa E-mail:[email protected]

Pablo Rafael Aguilar Fernández E-mail:[email protected]

I. Teorías

Fig.1. Un ejemplo de un oscilador amortiguado es un objeto unido a un resorte y sumergido en un líquido viscoso. [3]

Oscilaciones amortiguadas Teniendo en cuenta que el movimiento armónico simple representa oscilaciones ideales, es decir movimientos que se dan de forma repetitiva, se extiende infinitamente debido a que no existe una interferencia que disminuya la fuerza restauradora a medida que va pasando el tiempo, las oscilaciones amortiguadas son aquellas que presentan una fuerza opositaría que expresa cómo funciona sistemas de masa resorte o de péndulo en la vida real.

En muchos sistemas reales, fuerzas no conservativas como la fricción retardan el movimiento. En consecuencia, la energía mecánica del sistema disminuye en el tiempo y se dice que el movimiento esta amortiguado. La energía mecánica perdida se transforma en energía interna en el objeto y el medio retardador. La Figura 1. Bosqueja uno de tales sistemas: un objeto unido a un resorte y sumergido en un líquido viscoso. [3]

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Fig.2. Un ejemplo de un oscilador amortiguado es un objeto unido a un resorte y sumergido en un líquido viscoso (modelo físico). [4] Los sistemas oscilatorios amortiguados están dados por la siguiente formula general, la cual se puede decir que se divide en dos partes según lo que describe, la primera parte le corresponde a ambientes viscosos y la segunda parte corresponde a ambientes con altas presiones, la suma de un ambiente con las condiciones anteriores da como resultado la siguiente formula :

Fr =−kx

Sea:

k =costante del resorte

x=desplazamiento

´f =−c 1 ´v −c 2 v 2 ^v

Donde tenemos que:

viscoso=−c 1 ´v

2 presión=−c 2 v v^

La fuerza retardadora que viene siendo la fricción, ya sea por un líquido en el ambiente o aire está dada por la siguiente formula:

F f =−bv

Sea:

b=coeficiente de amortiguamiento

La parte de la fórmula que describe ambientes viscosos es igual a la fuerza restauradora, como la presión en la mayoría de los casos es depreciable, se cancela, por tanto empezaremos a trabajar solo con la igualdad que le corresponde a la ley de Hooke.

Tenemos que la fuerza restauradora, de este sistema oscilatorio está dada por la fórmula de la ley de Hooke:

v =velocidad

Se puede escribir la segunda ley de newton de la siguiente forma:

Σ F=F r + F f =ma

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Organizo los términos:

A continuación reemplazo la sumatoria con sus valores de equivalencia, con el fin de buscar obtener de forma matemática la ecuación de desplazamiento de las oscilaciones amortiguadoras:

m

d2 x dx +b +kx =0 2 dt dt

ma=−kx−bv

Se reemplaza la aceleración y la velocidad por sus derivadas:

La solución a la ecuación anterior obtenida después de organizar los términos requiere matemática de ecuaciones diferenciales, a continuación se resolverá, Pero antes de empezar vale la pena mencionar que la respuesta es la siguiente:

x= A e−βt cosωt 2

m

d x dx =−kx−b 2 dt dt

La cual también se puede escribir de la siguiente forma: Se pasa a la izquierda todos los términos igualando la ecuación a cero:

x= A e

m

t ( −b 2m)

cosωt + ϕ

d2 x dx +kx +b =0 2 dt dt

ϕ Puede valer cero en algunos casos.

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Continuando con la ecuación que se resuelve con ecuaciones diferenciales, despejamos

m la

Téngase en cuenta que las condiciones iniciales son las siguientes:

masa dividiéndola por los elementos que conforman la ecuación:

x ( t=0 )=x 0 d 2 x b dx k + + x=0 2 d t m dt m

v ( t=0 ) =v 0 Esta ecuación diferencial es de las llamadas lineales (la elongación y sus derivadas no están elevadas a ninguna potencia). Para buscar una solución de una ecuación de este tipo proponemos una solución exponencial. [5]

Sea:

ω02 =

2β=

k m

b m

Entonces reemplazamos en los equivalentes descritos anteriormente y obtenemos la ecuación de una oscilación amortiguada:

x=e λt

Derivando estas funciones tenemos:

dx = λ e λt dt

d2 x 2 λt =λ e 2 dt d2 x dx +2 β + ω02 x=0 2 dt dt

Se sustituye en la ecuación diferencial que inicialmente estamos trabajando, teniendo lo siguiente:

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x ( t )=c 1 e λ t + c 2 e λ t 1

2

λ2 e λt +2 βλ e λt +ω 02 e λt =0

Donde

c 1 y c 2 son dos constantes cuyos

valores se calculan a partir de las condiciones iniciales.

Se puede hacer lo siguiente:

( λ 2+ 2 βλ+ ω02 ) e λt =0

Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las soluciones:

λ1=−β + √ β 2−ω02

Puesto que la exponencial nunca puede anularse debe cumplirse que:

λ2=−β− √ β 2−ω 02 λ2 +2 βλ+ω 02=0 Dependiendo

del

valor

de

β hay

tres

posibilidades casos de tipos de oscilaciones amortiguadoras, dependiendo del signo de lo que hay dentro de la raíz cuadrada. Esta ya no es una ecuación diferencial. Es una ecuación de segundo grado cuyas soluciones nos dan los valores posibles de

λ . Puesto que

existen dos valores, la solución de la ecuación diferencial se escribe como la combinación:



Si β > ω0 las dos soluciones son reales y diferentes (caso sobreamortiguado).

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

Si β = ω0 existe una solución real doble (amortiguamiento crítico).

(Para ver que la primera es negativa basta con observar que la raíz es menor que

β ). La

solución de la ecuación diferencial es entonces una suma de dos exponenciales decrecientes: 

Si β < ω0 las dos complejas (caso subamortiguado).

soluciones son conjugadas −|λ1|t

x ( t )=c 1 e

A continuación para llegar a la respuesta de la ecuación diferencial vamos a explicar cada uno de los 3 tipos de oscilaciones amortiguadoras que existen con su parte matemática.

Puesto

−|λ 2|t

+ c2 e

¿ λ 2∨¿∨λ 1∨¿ la

que

segunda

exponencial decae más rápidamente, y es la primera de las dos la que determina el tiempo en decaer.

Por dar un ejemplo numérico, supongamos que

ω0 =1 s−1 Caso 1: Oscilaciones sobreamortiguado Consideraremos en primer lugar el caso de

β> ω0 rozamiento intenso

y que

caso resultan:

−1

λ1=−0.5 s

−1

λ2=−2.0 s En este caso las dos raíces de la ecuación son reales y además negativas:

λ1=−β + √ β 2−ω02

λ2=−β− √ β 2−ω 02

−1

β=1.25 s

. En ese

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Fig.4.oscilador liberado desde el reposo. Fig.3. Representación gráfica del caso hipotético con los valores numéricos dados. x(m) Vs t(s)

Esto quiere decir que la primera exponencial decae en un tiempo típico de 2 segundos (la inversa de λ1) mientras que la segunda lo hace en medio segundo, por tanto al cabo de un segundo prácticamente ya solo tenemos la primera exponencial. Como lo muestra la figura3.

La solución completa es la combinación de las dos aunque rápidamente se asemeja mucho a la primera.

El caso de la figur4 representa la situación en que se tira del oscilador y se libera desde el reposo (siendo nula su velocidad inicial, lo que corresponde a una tangente horizontal). El resorte tiende lentamente a la posición de equilibrio. x(m) Vs t(s)

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Fig.5. exponenciales decrecientes.

El que la solución como lo muestra la figura 5 sea una combinación de exponenciales decreciente no quiere decir que la solución sea decreciente en todo instante. Por ejemplo, imaginemos el caso de un muelle que es golpeado en la posición de equilibrio. La masa se aleja originalmente de la posición de equilibrio, para luego retornar lentamente a ella.

Caso 2: Oscilaciones de amortiguamiento crítico

Fig.5.

Grafica

de

la

función

−βt

El tercer caso es uno particular que se da muy raramente, ya que requiere unos valores concretos de los parámetros. Para el caso del muelle con rozamiento debe cumplirse:

√

b K β=ω 0 ⟹ = ⇒γ =2 √ km 2m m

La constante de rozamiento debe tener este valor exacto. Si es un poco mayor ya el movimiento es sobreamortiaguado; si es un poco menor, subamortiguado.

En el caso del amortiguamiento crítico, puede demostrarse que la solución es de la forma:

x ( t )=( c1 +c 2 t ) e−βt

x ( t )=( c1 +c 2 t ) e

Gráficamente esta función de la figura 5 presenta un decaimiento exponencial, similar al caso sobreamortiguado.

El amortiguamiento crítico posee una propiedad que lo hace interesante desde el punto de vista técnico: es el caso en que se retorna más rápidamente a la posición de equilibrio. Si la fricción es menor, el oscilador va y viene y tarda más en pararse. Si es mayor, la fuerte fricción ralentiza el movimiento y tarda también más en pararse. El tiempo típico de parada en el caso subamortiguado es:

τ=

1 β

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Y en el sobreamortiguado:

1 1 = | λ1| β−√ β2−ω02

τ=

Representando este tiempo como función de β para una frecuencia propia fijada de 1 s−1 vemos como efectivamente es mínimo cuando se da el amortiguamiento crítico.

Por ello, los amortiguadores de los automóviles y demás maquinaria procuran ajustarse al valor crítico, ya que de esta forma se consigue el objetivo de detener las vibraciones en el menor tiempo posible como lo indica la figura 6.

Caso 3: Oscilaciones subamortiguadas Lo obtenemos cuando el rozamiento es débil (incluyendo el caso en que no hay rozamiento).

Si llamamos:

ω=√ ω02−β 2

Podemos escribir las dos soluciones de la ecuación de segundo grado como complejos conjugados:

λ1=−β + j ω

λ2=−β + jω Fig.6.Representación de un tiempo típico para el caso de un subamortiguado. Siendo

j= √−1

la unidad imaginaria. La

solución general de la ecuación diferencial queda entonces:

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con una amplitud que decae exponencialmente

Aquí podemos extraer como factor común la parte real de la exponencial y escribir:

que transforma la solución en Fig.7. Representación de la función exponencial.

con

Este comportamiento se dice cuasiperiódico, porque no llega a repetirse (al completar una oscilación no se encuentra en la misma posición que al iniciarla). El cuasiperiodo es mayor que el del oscilador sin rozamiento

Esta combinación de senos y cosenos puede reducirse a uno solo, como se hace el caso del oscilador sin rozamiento, y escribir la solución en la forma El tiempo que tarda en decaer la amplitud no los da el factor de decaimiento β. En un tiempo

Podemos leer esta solución como una oscilación sinusoidal la amplitud se reduce en un factor e (a un 36.8% de la que tuviera). Tenemos entonces dos escalas

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de tiempo: T0 nos mide el tiempo que tarda en oscilar, τ el tiempo que tarda en amortiguarse. El cociente adimensional

nos mide la importancia del amortiguamiento pues nos da el número de oscilaciones en un tiempo típico de decaimiento. Si este número es grande quiere decir que el oscilador es muy poco amortiguado. Comparando las oscilaciones con y sin rozamiento vemos que si éste es pequeño se nota un cambio apreciable en la amplitud, pero muy pequeño en el peridoo

Fig.9. En el ejemplo de la figura (β = 0.9ω 0) el primer mínimo está por debajo del eje solo -0.0006m y es inapreciable en la gráfica.

Energía en oscilaciones amortiguadas

Una de las consecuencias del amortiguamiento es la disipación de energía mecánica. De acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas

siendo K la energía cinética

Fig.8. Si el rozamiento es grande, de forma que el decaimiento es muy importante y el periodo de oscilación es tan largo que prácticamente la partícula no llega a realizar ninguna oscilación.

y Pc la potencia de las fuerzas conservativas (la elástica, en este caso) y Pnc la de las no conservativas (que sería la de rozamiento). La potencia de las fuerzas conservativas verifica

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con U la energía potencial elástica

Pasando la energía potencial al primer miembro obtenemos la energía mecánica

La potencia de las fuerzas no conservativas la calculamos multiplicando la fuerza por la velocidad

de forma que nos queda la relación

Puesto que el segundo miembro es siempre negativo, esta ecuación nos dice que la energía mecánica se va disipando progresivamente, aunque no a ritmo uniforme: el consumo es mayor cuando lo es la rapidez del movimiento. [5] En el caso del amortiguamiento muy débil, si representamos la energía mecánica en una curva de potencial vemos como la energía mecánica va descendiendo a medida que la partícula va y viene

Fig.9. Si realizamos gráficas equivalentes para los ejemplos anteriores vemos un decaimiento muy rápido de la energía. Puesto que en el caso crítico y el sobreamortiguado no llega a realizar una oscilación completa, lo que vemos es que la curva de energía "cae en picado", siendo la disipación tanto más rápida cuanto mayor es la constante de amortiguamiento. [5]

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II. Referencias [1] H. D. Young, R. A. Freedman y A. L. Ford, Fisica universitaria, vol. I, R. F. Rivera, Ed., Naucalpan de Juárez: Pearson, 2009. [2] D. C. .. Giancoli, Física para las ciencias e ingenierías, Naucalpan de Juárez: Pearson Educación , 2008. [3] R. A. Serway y J. John W. Jewett, Física para las ciencias e ingenierías, Santa Fe: Cengage Learning, 2008. [4] https://www.youtube.com/watch? v=wEjSoqSLpjo

[5] http://laplace.us.es/wiki/index.php/Oscilaciones_a mortiguadas_(GIE) [6] https://www.youtube.com/watch? v=OxdY_wZB4n8 [7] https://www.youtube.com/watch?v=vgScZNcElT8 [8] https://www.youtube.com/watch?v=n-KCcG4qrjQ [9] https://www.youtube.com/watch? v=FepxMppDvKw