Sistema Lineal de La Forma Ax

 

SISTEMA LINEAL DE LA FORMA AX=λx

Definición y ¿Qué tipo son? Sea una matriz nxn, con n ecuaciones ecuaciones y n incógnitas son de tipo:  AX=λx 

Dónde:  A=Matriz nxn X=Variables X=Variabl es del sistema λ= Escalar (valor desconocido)

*La matriz columna columna X recibe el nombre de Vector característico característico (Eigenvector) (Eigenvector) siendo las Xi las componentes de dicho valor característico. *Los valores que se obtienen para lambda se conoce como valores característicos (Eigenvalores) (Eigenval ores) de la matriz A

Ecuación característica Dado que lambda aparece como incógnita es posible hacer que el determinante de dicha matriz sea igual a cero (introduciendo (introduciendo una matriz identidad): DET(A-λI)=0 

Y encontrando los valores para lambda que hagan el Det=0 se tendrá la solución. El desarrollo algebraico del determinante produce un polinomio de grado n de la forma: λn+p1λn-1+k+pn-1λ+pn=0 

*Este polinomio recibe el nombre de polinomio característico o ecuación característica. *Es necesario resolver el polinomio y obtener los lambda que hacen Det=0 *Los lambda obtenidos se los llama valor propio de A si y solo si Det(A-λI)=0 * Det(A-λI)=0 Ecuación característica de la matriz A

Eigenvalores Raíces que se obtuvieron del polinomio son eigenvalores de A.

Eigenvector  Un vector diferente de 0 que satisface Av- λv es un eigenvector de A.  Al par ordenado ordenado (λ,v) se le llama eigenpar 

 

En conclusión: Si A es una matriz nxn, hay vectores x diferente de cero en Rntales que Ax sea un múltiplo escalar de x. El escalar denotado por lambda se llama valor propio de la matriz A y el vector x diferente de cero se llama vector propio de A correspondi correspondiente ente a lambda, por lo tanto se tiene: Valor propio

 Ax=λx 

Vector propio

Ejemplo:

Hallar los valores y vectores propios de la matriz: 2

A= 1

[

  −12  

−5

 ]

Ecuación característica característica de A es: Det (λI-A)=0 

[ ][

λ I-A= I-A=λ 

1

0

0

1

−

 ] [

2

  −12

1

 

−5

 λ −2

=

−1

12

  λ +5

]

 

Det ( λ I-A)= I-A)= (λ +1) +1) (λ +2)=0 +2)=0

 

valores propios de la matriz A

 

Sea x=

{

 λ =−1  λ=− 2

 x 1 unvector propiode A  x 2

[ ]

 X es un vector propio propio de A corre correspondiente spondiente a λ si y solo si X es una solución no trivial trivial de (λI-A)=0, es decir, solución no trivial para:

[

 λ −2 −1

12

  λ +5

][ ] [ ]  x 1  x 2

=

0 0

Si λ=-1 la ecuación de transforma en:

[ −3

{

−

3

−

1

 ] [ ] [ ]

12 4

 x 1  x 2

0

=

0

 x 1 + 12 x 2=0 x 1=4  x 2

−

 x 1

+

=

4 x 2

0 x 2

=

t 

 

 

 x

=

[ ] [  ] ] [ ]  x 1  x 2

=

4 t 

t 

=

t 

4 1

S on los vectores vectores propios propios de A correspondien correspondientes tes a λ

1

=−

Si λ=-2 

{  x

=

[ ] [  ] [ ]  x 1  x 2

=

3 t 

t 

=

t 

3 1

4

−

1

12 4

 x 1  x 2

0 =

0

 ] [ ] [ ]

 x 1 + 12 x 2=0 x 1 = 3 x 2 − x 1+ 3 x 2= 0 x 2= t 

−4

 

[

−

S on los vectores vectores propios propios de A correspondien correspondientes tes a λ

=−

2

Algunas propiedades de los valores propios *La suma de los n valores propios de la matriz A es igual a su Traza; λ1+λ2+… +λn=Traza(A) *El producto de los n valores propios de la matriz A es igual a su determinante; λ1λ2… λn=det(A) *Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son los valores de su diagonal.

Usos y Aplicaciones: En diversos campos de la ingeniería y las matemáticas surge el problema de calcular los valores escalares escalares λ y los vectores x≠0 tales que para la matriz cuadrada A se cumple:  Ax=λx  Algunos de estos estos campos de aplicacione aplicaciones s son: -Ecuaciones diferenciales -Estabilidad de sistemas lineales -Sistemas Eléctricos (componentes simétricas) -Polos y ceros de funciones transferencia transferencia -Diagonalizacion de matrices