Sistema Electrificación Ferroviaria

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO INDUSTRIAL

PROYECTO FIN DE CARRERA

SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V

AUTOR:

JOSÉ IGNACIO PRADA VÁZQUEZ MADRID, SEPTIEMBRE 2009

     

Autorizada la entrega del proyecto al alumno: José Ignacio Prada Vázquez

EL DIRECTOR DEL PROYECTO Pablo García González

Fdo:

Fecha:

Vo Bo del Coordinador de Proyectos Michel Rivier Abbad

Fdo:  

Fecha:

I.- Resumen

SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V Autor: Prada Vázquez, José Ignacio Director: García González, Pablo

RESUMEN DEL PROYECTO

Actualmente, Los sistemas ferroviarios de tracción eléctrica pueden sufrir de importantes caídas de tensión, debidas principalmente a la explotación de la línea por encima de la potencia a la que está diseñada. Cuando se trata de un sistema de corriente continua, donde hay una catenaria, unas vías, y varias subestaciones a lo largo del trayecto que mantienen una tensión constante, existen dos maneras usuales de ampliar la potencia eléctrica. La primera solución, consiste en instalar un cable adicional sobre la catenaria ya existente, de modo que se reduce la resistencia total del conductor de la corriente. La segunda solución es instalar una subestación de potencia adicional en el tramo donde haya más caídas de tensión. Esta solución es más efectiva que la primera, pero necesita una conexión a la red eléctrica. En muchas ocasiones, esa conexión puede ser tan costosa, que la ampliación sea inviable económicamente. Este proyecto analiza una nueva solución denominada 2x3000V, porque el escenario utilizado de base ha sido un sistema ferroviario de tensión nominal de 3000V. Consiste en instalar entre dos subestaciones de un tramo de vía, un cable auxiliar que tiene una tensión de -3000V, opuesta al valor nominal de la catenaria. En el lugar donde se emplazaría una subestación, ahora se instala un convertidor CC/CC, cuya tensión de entrada es de 6000V, entre el cable auxiliar y la catenaria, y la tensión de salida está situada entre la vía y la catenaria. Si el convertidor se controla adecuadamente, se puede mantener una tensión constante

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sobre el sistema, del mismo modo que lo haría una subestación y sin necesidad de incurrir en los costes de conexión a la Red Eléctrica. El estudio está centrado en el convertidor CC/CC. El objetivo es diseñar un control que pueda mantener la tensión principal a 3000V sin que las intensidades internas superen el valor máximo del aparato. Para ello, se diseña un control en cascada, es decir, un control de tensión y un control de intensidad situados en serie. El primero, proporciona el valor de intensidad necesario para mantener la tensión de referencia. El segundo restringe ese valor al máximo permitido y proporciona el factor de servicio del convertidor. Para analizar la respuesta del sistema ferroviario ante variaciones de tensión y de corriente, se utiliza Matlab-Simulink. Con este programa informático, se puede esquematizar el circuito eléctrico completo del sistema, incluyendo las subestaciones, vías, catenaria, cable auxiliar y el convertidor CC/CC. Se deben modelizar todos los elementos del sistema de forma que sea lineal matemáticamente, sin discontinuidades para así obtener la representación dinámica de estado y las funciones de transferencia Tensión/Intensidad e Intensidad/Factor de servicio. Estudiando la respuesta en frecuencia se diseña un regulador Proporcional-Integral para el control de tensión y un regulador Proporcional-Integral-Diferencial para el control de la corriente. Finalmente, Se aplica el regulador en cascada sobre un esquema de simulación del sistema real, con todas las discontinuidades que crea el convertidor. Los resultados muestran que el convertidor funciona como una fuente de tensión cuando no se supera la intensidad máxima. En caso contrario, el convertidor funciona como una fuente de intensidad y no se alcanza la tensión nominal, pero ayuda a reducir las caídas de tensión. Con todos estos resultados, se demuestra que es posible aplicar el sistema 2X3000V sobre un escenario real, con un control sencillo y seguro y con una instalación más sencilla y barata que las alternativas usuales.

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II.- Summary Nowadays, electrical railway systems can suffer important voltage drops, owing to the use of the line out of the power which is designed. Whenever is a direct current system, where it has a catenary, a rail and several substations as voltage sources along the route, there are two usual ways to increase the electrical power. The first choice consists in installing an additional wire over the already existing catenary, thereby the total resistance of the conductor is reduced. The second choice, is installing an additional power station in the stretch where the voltage drops are most. This solution is more effective than the first one, but it is necessary a new connection to the main transmission grid (in Spain, Red Eléctrica). In many occasions, that connection is so expensive that the increasing of the power in this way is economically unfeasible. This project analyzes a new solution called 2x3000V System, because the basic case used here was a railway system with 3000V of nominal voltage. It consists in installing over the rail stretch between two substations, an auxiliary wire with the opposite voltage of the catenary, -3000V. In the point where it would be placed a new substation, it is installed a DC to DC converter, which transforms the voltage between catenary and auxiliary wire (6000V) and has as a result the voltage between catenary and rails. If the converter is controlled properly, it can be maintain a constant potential difference, at the same way a new substation would, with no need of falling into expenses of a new connection to the transmission grid. The study is focused on the DC to DC converter. The aim is to design a new control that can maintain the main voltage to 3000V and, at the same time, the internal currents do not exceed more than the full capacity. To that end, it is designed a cascade control, it means a serial connection of a voltage controller and a current controller. The first one provides the necessary current reference to

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maintain voltage to 3000V. The second one, restrict that value for not exceeding the maximum current, and provides the duty cycle of the converter. To analyze the railway system response, faced with variations in current and voltage, it is useful Matlab-Simulink. This computer program can schematize the full electrical circuit of the system, including rails, catenary, auxiliary wire and DC to DC converter. It must be implemented all the elements of the circuit in the way that the system is mathematically linear, with no discontinuities, to obtain a dynamic representation of state variables an the transfer functions Voltage/Current and Current/Duty Cycle. By studying the frequency response of these functions, it can be designed a Proportional/ Integral controller to control voltage, and a Proportional-Integral-Derivative controller to control current. Finally, the full controller is put into a scheme of a real converter in a railway system, with all the discontinuities that creates the converter. The results show that the converter works as a voltage source whenever the current restriction is not activated. On the opposite side, the converter works as a current source and the nominal voltage is not reached, but the system helps to reduce the voltage drops. With all this, it is demonstrated that the 2x3000V can work in real life, with a fast and simple controller, and the installation is cheaper and more simple than the usual alternatives.

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III.- Figuras Figura 1.- Sección de doble vía con un Puesto de Puesta en Paralelo (PPP) y feeder a ambos lados. Figura 2.- Sistema 2 x 1500, propuesto en el artículo. Figura 3.- Esquema básico del convertidor “chopper” de Continua/Continua. Figura 4.- Onda cuadrada generada por la conmutación del convertidor. Figura 5.- Tensión de salida resultante, con forma de onda triangular. Figura 6.- Tramo ferroviario compuesto por catenaria, vía y 2 subestaciones (fuentes de tensión). Figura 7.- Sistema ferroviario principal, compuesto por catenarias principal y auxiliar (feeder), vía y grupos rectificadores. Figura 8.- Esquema interno del modelo de tren en Simulink. Figura 9.- Esquema general sin convertidor con varios trenes distribuidos a lo largo de la vía. Figura 10.- Esquema del tren para la inicialización del sistema. Figura 11.- Esquema del convertidor Chopper, con factor de servicio constante. Figura 12.- Tensión de onda cuadrada Vx, a la salida de los tiristores, con respecto al tiempo. Figura 13.- Tensión de salida del convertidor, con respecto al tiempo. Figura 14.- Modelo simplificado de convertidor CC/CC. Figura 15.- Bloque subsystem del modelo simplificado, calculador de las tensiones. Figura 16.- Convertidor simplificado inicializador. Figura 17.- Sistema 2x3000 con dos trenes a medio camino Figura 18.- Respuesta eléctrica del convertidor simplificado. Figura 19.- Respuesta eléctrica del convertidor real. Figura 20.- Topología de la regulación en cascada del convertidor CC/CC. Página 4

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Figura 21.- Definición de la entrada ΔD (In1) y la salida Io (Out1). Figura 22.- Topología del caso base. Figura 23.- Topología del caso base centro. Figura 24.- Topología del caso imposible. Figura 25.- Diagrama de Bode de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia Io/D. Figura 26.- Diagrama de Nyquist de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia Io/D. Figura 27.- Diagrama de Black de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia Io/D. Figura 28.- Diagrama de Black del lazo abierto de la función FT22, con un control P-77dB (F). Figura 29.- Respuesta ante un escalón del sistema con un control Proporcional. Figura 30.- Respuesta ante un escalón del sistema con un control Proporcional-Integral. Figura 31.- Esquema del regulador PID no interactivo, utilizado para el control de intensidad. Figura 32.- Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema con control P+I+D. Figura 33.- Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema imposible, con control P+I+D. Figura 34.- Definición de la salida V+o (Out1) para la obtención de las funciones V+o/Io. Figura 35.- Diagrama de Bode del las respuestas de frecuencia de las funciones de transferencia V+o/Io. Figura 36.- Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en lazo abierto de las funciones de transferencia L. Figura 37.- Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en lazo abierto de las funciones de transferencia H. Figura 38.- Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones H (J en lazo abierto) exceptuando H22 Figura 39.- Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones H con el control (J en lazo abierto) exceptuando H22. Página 5

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Figura 40.- Implementación del control en cascada sobre el convertidor real, con bloque de saturación. Figura 41.- Transitorio de arranque del convertidor con control. Figura 42.- Transitorio de arranque de las cargas, cuando se conectan instantáneamente cuatro trenes distribuidos por la vía (caso base). Figura 43.- Respuesta del sistema ante un acople (0,5 seg) y desacople (2 seg) de la carga con bloque de saturación activado y sin control de la acción integral. Figura 44.- Respuesta del sistema ante un acople (0,5 seg) y desacople (2 seg) de la carga con bloque de saturación activado y sin control de la acción integral. Figura 45.- Control en cascada definitivo del convertidor. Figura 46.- Resultados de la simulación con el control definitivo. Figura 47.- Señal de salida del regulador de tensión (referencia de Io). Figura 48.- Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg. Figura 49.- Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg. Figura 50.- Sistema 2x3000V, con modelado de los armónicos de los grupos rectificadores. Figura 51.- Resultados de simulación del convertidor, con armónicos de los grupos rectificadores. Figura 52.- Modelo del Convertidor “Chopper”.

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IV.- Tablas Tabla 1.- Datos eléctricos de las catenarias y la vía. Tabla 2.- Datos eléctricos del convertidor. Tabla 3.- Valores finales alcanzados por el sistema con convertidor simplificado y real con factor de servicio constante y sistema sin convertidor. Tabla 4.- Funciones de transferencia Io/D obtenidas para los nueve casos descritos Tabla 5.- Ganancia estática de las funciones de transferencia. Tabla 6.- Parámetros del control de intensidad interactivo (PID). Tabla 7.- Parámetros equivalentes del control de intensidad no interactivo (P+I+D. Tabla 8.- Funciones de transferencia V+o/Io obtenidas para los nueve casos Tabla 9.- Funciones de transferencia V+o/Io con el lazo de control de intensidad, obtenidas para los nueve casos Tabla 10.- Parámetros del control de tensión interactivo (PI) y no interactivo

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V.-Bibliografía [LADO06] P. Ladoux, F. Alvarez, H. Caron, G. Josse, J. P. Perret “Une Nouvelle structure d’alimentation des caténaires 1500 V: le Systeme 2 x 1500 V”, Revue Générale de Chemins de Fer, nº 151, pp. 21-31 Elsevier Science, 2006 [HART97] Hart, “Introduction to Power Electronics”, Prentice Hall, 1997 [RLAT08] F. Luís Pagola “Regulación Automática”, Colección Ingeniería 25, Universidad Pontificia Comillas, MadriD

VI.-Programas empleados Matlab R2008a Microsoft Office 2003 Word Powerpoint

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Parte I Capítulo 1

Memoria .............................................................................................3 Introducción ..................................................................................4

1

Estudio de los trabajos existentes................................................................... 5

2

Motivación del proyecto................................................................................. 10

3

Objetivos ........................................................................................................... 11

4

Metodología...................................................................................................... 13

5

Recursos............................................................................................................. 16

Capítulo 2

Modelado del sistema ferroviario principal...........................18

1

Introducción...................................................................................................... 18

2

Catenarias, Vías y Subestaciones.................................................................. 18

3

Trenes................................................................................................................. 22

4

Inicialización del sistema............................................................................... 24

Capítulo 3

Modelado del convertidor CC/CC ............................................27

1

Introducción...................................................................................................... 27

2

Modelo de convertidor “Chopper”............................................................... 27

3

Convertidor CC/CC simplificado ................................................................. 32

4

Inicialización del convertidor simplificado................................................ 35

5

Simulaciones con factor de servicio constante........................................... 38

Capítulo 4

Diseño del Control Automático del Convertidor ..................43

1

Topología del control automático del convertidor .................................... 43

2

Obtención de la función de transferencia Io/D.......................................... 45

3

Control de intensidad ..................................................................................... 57

4

Obtención de la función de transferencia V+o/Io ..................................... 69

5

Control de Tensión.......................................................................................... 75

Capítulo 5 1

Resultados ...................................................................................81

Implementación del control sobre el convertidor real ............................. 81

Memoria.

2

2

Simulaciones finales ....................................................................................... 89

Capítulo 6

Conclusiones................................................................................96

Capítulo 7

Futuros desarrollos ....................................................................98

Bibliografía........................................................................................................100 Parte II

Estudio económico........................................................................101

Parte III

Código fuente.................................................................................105

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Parte I MEMORIA

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Capítulo 1 INTRODUCCIÓN

Los sistemas ferroviarios que funcionan con tracción eléctrica, independientemente de la tensión y la potencia nominal a las que están diseñados, poseen un esquema general común, siempre y cuando se trate de un sistema que funcione con corriente continua. Básicamente, todo ferrocarril de este tipo está alimentado por una catenaria, un cable suspendido sobre la vía, paralelo y con una distancia constante entre ambos elementos durante todo el recorrido. La catenaria está alimentada a su vez por subestaciones repartidas a lo largo del trayecto, que toman la potencia de la red eléctrica y transforman a tensión continua mediante rectificadores. Estas subestaciones son equivalentes a una fuente de tensión conectada entre los carriles y la catenaria. El tren, para tomar la potencia necesaria para moverse, se conecta eléctricamente entre estos dos elementos, tomando la potencia del cable suspendido y usando la vía para cerrar el circuito. Los sistemas ferroviarios están diseñados teniendo en cuenta el número y el tipo de trenes que transiten la línea. Según la cantidad de ferrocarriles que utilicen el sistema y la distancia que se tenga que abarcar, se determina la potencia necesaria y el número de subestaciones que se instalarán. Además de esto, la alimentación de los sistemas ferroviarios tienen distintos niveles de tensión, que van desde 600V (es el caso de la electrificación de tranvías y las redes de metro más antiguas), 750V, 1500V y hasta 3000V, siendo esta última la electrificación más común de los tramos de cercanías y de larga distancia, y a la que está basada el estudio de este proyecto, aunque la metodología que se desarrolla aquí se podría aplicar a cualquier caso.

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El número de subestaciones que estarán repartidas a lo largo del trayecto, así como las distancias entre ellas, no solo vendrá determinado por la potencia y el tráfico de trenes, sino también por el espacio disponible donde poder hacer la instalación y la accesibilidad a la red eléctrica del lugar por donde se vaya a trazar la vía. Así pues, las distancias entre subestaciones son variables, siendo valores habituales entre 8 y 25kilómetros. Actualmente, el aumento de la demanda de este sistema de transporte en ciertas líneas, obliga a que muchos sistemas ferroviarios trabajen al máximo de su capacidad nominal. Esto provoca que en los tramos discurran altas intensidades, y en consecuencia, aparezcan importantes caídas de tensión, que repercutirán directamente en el sistema de tracción de los trenes. En estos casos, se debe ampliar el sistema, bien sea reduciendo la resistividad de la instalación (colocando cables en paralelo o cables mas anchos) o bien instalando más subestaciones en el recorrido. Los costes de conexión a red, en los casos en que el punto donde se vaya a construir esté muy alejado de la red eléctrica, pueden llegar a ser tan elevados, que la instalación sea inviable económicamente. Este proyecto se dedica a analizar una solución alternativa a las ya existentes, denominado como sistema 2x3000V.

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Estudio de los trabajos existentes. La ampliación de una línea ferroviaria se puede hacer de diversas

formas, dependiendo de las necesidades de potencia y de las caídas de tensión que haya que solucionar en un trayecto determinado. La primera opción es un Puesto de Puesta en Paralelo o PPP (Fig. 1), que no es más que conectar la catenaria de uno y otro sentido en un punto determinado, siempre y cuando exista doble sentido de circulación de

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trenes, una contigua a la otra. Esta opción, si lo analizamos con un tren en circulación, se puede comprobar fácilmente que la resistividad de la línea disminuye notablemente, ya que desde la subestación a la puesta en paralelo que haya anterior al tren al que se pretende alimentar, está circulando la corriente por ambas catenarias y por tanto, la resistividad se reduce a la mitad. Al llegar al PPP, la corriente del sentido contrario se desvía a la catenaria que alimenta al tren. Si analizamos el caso en el que hay dos trenes circulando simétricamente, es decir, uno al lado del otro, se descubre que el PPP no desvía apenas corriente, ya que a efectos prácticos, cada catenaria esta proporcionando la energía necesaria para cada tren y por el PPP apenas circula corriente. En este caso, la disminución de la resistividad se hace prácticamente nula. Así que aunque la medida es económica y muy sencilla de realizar, no se consigue una gran mejoría para una línea que tenga tráfico constante por ambos sentidos. PPP feeder catenarias

trenes

carriles

Grupos rectificadores

Figura 2. Sección de doble vía con un Puesto de Puesta en Paralelo (PPP) y feeder a ambos lados.

La segunda opción para disminuir la resistividad es colocando un conductor adicional denominado catenaria auxiliar o feeder (Fig. 1). Este cable, no tiene por qué discurrir con la catenaria de manera totalmente

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paralela a la vía, si no que se instala como una línea eléctrica aérea tradicional y se conecta a la catenaria en paralelo cada poca distancia, como si se instalaran múltiples PPP no entre las dos catenarias, sino entre una de ellas y un cable nuevo. Esta solución proporciona casi el mismo resultado que el sustituir la catenaria por un cable más ancho, y suele ser lo más recurrido cuando se quiere mejorar la resistividad y reducir las caídas de tensión sin tener que instalar una nueva suspensión para una catenaria más ancha. El hecho de que tenga que estar perfectamente paralela a la vía lo hace mucho más costoso que el instalar un cable suspendido normal, como sería el caso del feeder. La tercera opción ya se ha mencionado anteriormente: la instalación de una subestación más para reducir las caídas de tensión. Esta opción es la más efectiva, pero no siempre es posible conseguir en el punto deseado una conexión a la red de media tensión, ya que si la red no discurre cerca, se deberán incurrir en unos gastos de conexión para unir la subestación con la red, lo cual puede resultar de precio muy elevado. Nuestro proyecto analiza una idea propuesta en la revista “Revue Générale des Chemins de Fer” en un artículo denominado “une nouvelle structure d’alimentation des caténaires: le Systeme 2x1500” [1] y escrito por Philippe Ladoux, Frèderic Alvarez, Hervè Caron, Gerard Josse et Jean Paul Perret. La idea que proponen es la de instalar una catenaria auxiliar, pero esta vez no se conecta en paralelo con la catenaria, sino que se lleva a un potencial distinto, desde unos nuevos grupos rectificadores conectados en las subestaciones ya existentes. Por ejemplo, si es un sistema ferroviario de 3000V, se lleva a -3000V. La conexión con la catenaria de este cable a distinto potencial, se hace a través de un convertidor electrónico de corriente continua/continua (Fig. 2).

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Figura 2. Sistema 2 x 1500, propuesto en el artículo

Con este sistema, no solo transportamos potencia adicional a través de la catenaria auxiliar, sino que además, se consigue mantener una tensión controlada en el punto donde se conecta el convertidor CC-CC. De este modo, el convertidor, a efectos finales, se comporta como una fuente de tensión, igual que una subestación nueva, sin necesidad de incurrir en los gastos de conexión a la red eléctrica, porque la potencia se toma desde los puntos donde la conexión ya está hecha. El artículo publicado en esta revista se centra en el estudio de la topología del sistema, y no en el convertidor en sí. Primero modela un sistema para realizar el estudio, tomando un trayecto de vía entre dos subestaciones de longitud 15Km y con el sistema 2x1500 instalado. Para simplificar el modelado, considera los trenes como fuentes de intensidad constantes, los grupos rectificadores como fuentes de tensión perfectas y el convertidor como un transformador de potencia, que funcionará como una fuente de tensión constante y perfecta, al igual que las subestaciones. No obstante, en el momento en que el convertidor, para poder mantener una tensión determinada, supere una intensidad máxima por alguno de sus bornes, el aparato comenzará a funcionar como una fuente de intensidad, a la intensidad máxima que haya alcanzado, de manera que no se podrá mantener la tensión deseada, sino todo lo que le sea posible al

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convertidor sin superar su potencia nominal. Con este tipo de estudio, se pueden modelar los parámetros básicos del sistema, tal y como la potencia nominal y las intensidades máximas que incurrirán por él. Si la caída de tensión que resulta en los momentos en que el convertidor funciona como una fuente de intensidad, es mayor a un límite admisible, significará que el convertidor deberá ser de una potencia mayor. Todos los elementos mencionados son ideales, dado que el objetivo principal de este grupo de franceses es considerar únicamente el rendimiento del sistema y el funcionamiento global de éste. Como es de suponer, la catenaria, cable auxiliar y las vías del modelo, sí están consideradas con su resistencia e inductancia características, ya que de lo contrario no habría caídas de tensión a lo largo de la catenaria y el sistema no tendría ningún objetivo. Con todo esto comienzan el estudio de las distintas topologías diferentes. Las podemos dividir en dos tipos. La primera, parte de un sistema ferroviario normal, de 1500V de tensión nominal, y la catenaria auxiliar electrificada a una tensión de -1500V. La segunda topología, es llevar la catenaria auxiliar a una tensión de 3000V, el doble de la tensión nominal. Después, incurren en una tercera topología, en la que se coloca un cable auxiliar más a la catenaria, para reducir su resistividad, pero no deja de ser una variante de la primera topología mencionada. Para diferentes posiciones de los trenes y con los distintos elementos formando una topología determinada, pueden calcular las distintas corrientes que se derivan por cada cable y las caídas de tensión que se producen mediante la resolución de las distintas ecuaciones que rigen el circuito eléctrico. Así, consiguen la evolución de las tensiones en los trenes, la densidad de corriente en el cable auxiliar y la evolución del rendimiento general del sistema a medida que el tren se sitúa en un punto distinto del trayecto. Se entiende como rendimiento general, el cociente

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entre la potencia absorbida por los trenes y la potencia suministrada por los grupos rectificadores. Al final, los resultados obtenidos revelan diversas conclusiones. La primera, es que todas las topologías presentan un comportamiento casi idéntico, si observamos la tensión que proporcionan a los trenes y a la catenaria. Respecto al rendimiento y a las densidades de corriente, se descubre que la solución con feeder positivo es mejor que la de feeder negativo. Sin embargo, la solución de feeder negativo reduce las corrientes que van por los carriles, de manera que cualquiera de las dos soluciones podrá ser la mejor, para según el caso en el que se aplique.

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Motivación del proyecto Este proyecto tiene como propósito continuar el estudio del sistema

2x1500V, que de ahora en adelante, denominaremos 2x3000V, ya que es la tensión habitual en España para recorridos ferroviarios de larga distancia. Todo el artículo resumido en el punto anterior explica que el estudio se ha centrado sobretodo en las topologías que se pueden formar con el sistema 2x3000V. Bajo la hipótesis de que todos los elementos son ideales (salvo los conductores), consiguen descubrir las mejores soluciones, teniendo en cuenta el rendimiento general del sistema, las necesidades que se desean cubrir y el caso donde se quiera aplicar. Lo que falta por estudiar son los demás elementos que conforman el sistema, además de los cables, en especial el convertidor de Continua/Continua. El convertidor es la pieza principal del sistema 2x3000V, el que hace posible llevar potencia desde las subestaciones e inyectarla en la catenaria manteniendo una tensión de referencia. El sistema debe ser estudiado teniendo en cuenta sus diferentes topologías y sus parámetros

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característicos, para conocer el tipo de aparato que debe ser instalado y como debe ser configurado. Así pues, nuestro proyecto se centrará en investigar sobre el diseño y los parámetros necesarios para el convertidor CC/CC. Con todas las ideas que se desarrollan en este proyecto, se pretende dar así más base teórica para entender por completo la idea del sistema 2x3000V. Las motivaciones de este proyecto son claras. De resultar un sistema viable, técnica y económicamente, podremos ampliar la potencia de las líneas ferroviarias ya existentes con la misma calidad que si instaláramos un cable de refuerzo y una subestación, pero incurriendo en menores gastos fijos y menor tiempo en la instalación. Esto supone una ventaja y un impulso más para el nuevo desarrollo que se está haciendo del tren, como sistema de transporte público de larga distancia cada vez más necesario, para una sociedad creciente que desea desarrollarse de manera más sostenible y ordenada. Para que esta nueva tecnología sea posible, es por tanto esencial que el elemento principal del que depende todo lo demás pueda funcionar con garantías y de manera correcta. Esto es, el convertidor CC/CC, del que nos centraremos en estudiar con detenimiento.

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Objetivos El objetivo principal es, como ya se ha explicado en el punto

anterior, realizar un estudio del convertidor electrónico de corriente Continua/Continua. Para ello, es necesario crear un modelado del sistema semejante al que han creado los autores del artículo que hemos resumido, solo que ahora el convertidor no será ideal, sino que tendremos en cuenta todos los componentes que forman el aparato, las corrientes que circulan a través de estos, y las pérdidas y transitorios que puedan aparecer. En

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consecuencia se deberá hacer también un modelado más detallado para el resto del sistema, tal y como incluir las inductancias características de la catenaria y los carriles. Todo esto es debido a que el convertidor tendrá que adaptar su modo de funcionamiento en función de la carga, las corrientes que se generan y las caídas de tensión que producen. El resultado más interesante de hacer todo esto a este nivel de detalle es poder diseñar un control automático de regulación del convertidor, que permita adaptarse en tiempo real a todos los escenarios que pudieran ocasionarse en un sistema ferroviario real. Así pues, los objetivos del proyecto se resumen en los siguientes puntos: •

Modelar un convertidor CC/CC en detalle, eligiendo un modelo concreto y teniendo en cuenta todos sus elementos importantes, para poder realizar un estudio detallado de las corrientes que lo atraviesan, las pérdidas y los transitorios que se crearán con el sistema en carga.

•

Modelar el resto del sistema consecuentemente con el convertidor, incluyendo inductancias, resistencias y variaciones de carga, para observar el tipo de respuesta del convertidor.

•

Diseñar un control automático de regulación del factor de servicio, que responda a las necesidades propias del sistema ferroviario.

•

Analizar los resultados, proponer soluciones y conclusiones finales. Todos estos objetivos corresponderán a uno o varios capítulos de

este proyecto.

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Metodología. Para entender mejor la metodología desarrollada en este proyecto,

se debe conocer las características principales de un convertidor CC/CC. Estos convertidores pueden ser indirectos o directos, es decir, con o sin aislamiento galvánico, respectivamente. Sin embargo, los dos tipos de convertidores utilizan el mismo principio para transformar.

IGBT1 R

Ue

IGBT2

L

Ux

Us

Figura 3. Esquema básico del convertidor “chopper” de Continua/Continua

Para explicar de manera general como funciona un convertidor CC/CC nos vamos a apoyar en el modelo más sencillo, un convertidor reductor o “Chopper” (troceador.) Este convertidor posee un esquema como el mostrado en la figura 3. Está compuesto por dos interruptores que realizarán una conmutación, normalmente tiristores o, en el caso que estamos analizando ahora, transistores IGBT’s. El procedimiento mediante el cual se trocea es sencillo. Durante un tiempo t1, el IGBT 1 estará cerrado y el IGBT 2 estará abierto, de manera que la tensión conmutada (Ux) será la misma que la tensión de entrada (Ue). En la siguiente conmutación los dos interruptores cambiarán su estado, es decir, el IGBT 1 estará abierto y el IGBT 2 estará cerrado, haciendo que la tensión conmutada sea ahora nula. Con estas dos conmutaciones hemos creado una onda cuadrada en la tensión conmutada Ux de periodo T y con un valor medio menor a la

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tensión de entrada (Fig. 4). El tiempo que permanecerá en el 1º estado (t1) será en función de un factor de servicio denominado D, que también proporcionará el valor de la tensión media. Si se observan las ecuaciones que rigen el convertidor (ecuaciones 1, 2 y 3) se entiende mejor la relación de estas variables [2].

t1 = D ⋅ T

E. 1

T = t1 + (1 − D ) ⋅ T

E. 2

E. 3

U xmedia =

D ⋅ T ⋅ U e + (1 − D ) ⋅ T ⋅ 0 = D ⋅Ue T

Uc

Ux media

t1

t T

Figura 4. Onda cuadrada generada por la conmutación del convertidor

Así, el factor de servicio es directamente proporcional a la tensión media de conmutación. Para cualquiera de los dos tipos de topologías que se encuentren en el sistema, siempre habrá una tensión de entrada el doble de la nominal de los trenes (6000V). En el caso de tener el feeder a -3000V, la tensión de entrada será entre catenaria y feeder, y la tensión de salida, entre vía y feeder, mientras que si tenemos el feeder a 6000V, la tensión de entrada será también entre la catenaria y el feeder y la tensión de salida será ahora entre catenaria y vía. En ambas soluciones, el factor de servicio tendrá de valor teórico 0,5, aunque este valor se irá cambiando para adaptarse a las caídas de tensión que ocasionen los trenes y mantener en la catenaria un voltaje constante. Cualquiera de las dos soluciones son

15

Memoria.

correctas, así que nos hemos centrado durante todo el proyecto en la solución con feeder negativo. La tensión cuadrada pasa por un filtro RL que convertirá la tensión de salida en una onda triangular (Fig. 5), con un rizado lo suficientemente pequeño como para considerar la tensión como continua, con los armónicos propios de una onda de este tipo. Para reducir estos armónicos, se debe reducir el periodo de la función, ya que de ese modo el rizado se presentará de menor amplitud. Los valores característicos del periodo de la señal de un convertidor suele situarse entre los 1000 y los 1000kHz.

Us

Us media

t1

t T

Figura 5. Tensión de salida resultante, con forma de onda triangular

Toda esta introducción teórica del funcionamiento de un convertidor CC/CC nos ayuda a entender que para realizar este proyecto, es necesario realizar un estudió dinámico de las tensiones y las corrientes que circulan por los conductores. La tensión de salida cambiará según la carga de trenes que exista en el sistema y por tanto, si se quiere mantener una tensión constante a la salida, se tendrá que ir modificando el factor de servicio al tiempo que cambie el escenario de operación. El control que regule el convertidor debe responder lo más rápido posible a los cambios que se puedan producir en el sistema ferroviario. Para poder estudiar todo esto, la herramienta principal de trabajo será el programa Matlab®, y su simulador Simulink, en su versión 7.6

16

Memoria.

(R2008a). En este simulador se programarán los elementos y las variables que conforman el sistema en forma de esquema eléctrico. El propio Simulink ofrece

una librería de bloques que representan resistencias,

inductancias, fuentes de tensión y de corriente

variables, tiristores,…

Todo lo necesario para simular el sistema al nivel de detalle que precisa este proyecto. Una vez realizado todo esto, el programa utiliza determinados algoritmos de cálculo que consiguen simular el modelo, pudiendo analizarse todos y cada uno de los parámetros del sistema 2x3000 en tiempo real.

5

Recursos. El recurso principal ha sido el Matlab y su herramienta Simulink,

que

permite

esquematizar

simulaciones

de

modelos

físicos

y

matematizables de cualquier tipo, ya sea de regulación automática, de mecánica, como de electricidad y electrónica. Con estos programas se han podido realizar todas las simulaciones, cálculos y resultados del proyecto. Este programa tiene una amplia librería de dispositivos eléctricos ya modelados, que se conectan a modo de esquema eléctrico, para luego realizar todas las variaciones y simulaciones que se quieran programar en el tiempo. A medida que la simulación se pone en marcha, Matlab calcula las corrientes, tensiones y cualquier otro parámetro del sistema. En la simulación se pueden variar las potencias consumidas por los trenes, el factor de servicio y otros parámetros a tiempo real, conforme se simula el sistema, de manera que el programa irá dando las variaciones de corriente y de tensión a medida que estos cambios se producen. Todo ello se puede ir almacenando o ser monitoreado en el ordenador, según nos interese realizar cálculos a posteriori, con los resultados de la simulación.

Memoria.

17

El programa, además de simular el sistema eléctrico, también es capaz de simular el esquema de control que se le haya programado, de modo que podemos integrar el estudio eléctrico y del control sin ningún problema. Es por eso que no se ha precisado de ningún programa de apoyo o de alguna otra herramienta de trabajo para desarrollar este proyecto. Además de esta potente herramienta, muchos de los modelos, conceptos y diseños que puedan aparecer en el proyecto, tienen como base teórica diversas publicaciones y referencias bibliográficas sin las cuales no hubiera sido posible solucionar muchos de los problemas que surgen a lo largo del proyecto. Los libros que recogen en ellos materias como cálculo, regulación automática, máquinas eléctricas, electrónica de potencia… son algunos de los ejemplos de obras que han tenido que ser consultadas durante la ejecución del proyecto y que serán debidamente referenciadas a lo largo de esta memoria.

18

Memoria.

Capítulo 2 MODELADO DEL SISTEMA FERROVIARIO PRINCIPAL

1

Introducción En este capítulo vamos a explicar el modelado de los diferentes

elementos del sistema ferroviario que conformarán la solución de 2x3000V y su introducción en los esquemas de las simulaciones de Matlab y Simulink. Este capítulo no se refiere al convertidor de CC/CC, ya que para éste hemos reservado un capítulo propio. Aquí solo se comentará el resto de elementos. En primer lugar, hablaremos de las vías, catenaria auxiliar, principal y las subestaciones, que son los elementos que conforman el sistema ferroviario básico, el sistema de inicio al que se pretende ampliar su capacidad. Después, mostraremos la solución que se ha implantado para generar los trenes del sistema, y finalmente presentaremos diferentes ejemplos de cómo funciona este sistema sin instalar el convertidor, para así poder entender mejor las mejoras que ofrecerá el sistema 2x3000V.

2

Catenarias, Vías y Subestaciones Estos tres elementos que componen el título de este apartado son la

base de cualquier ferrocarril de tracción eléctrica y por tanto nuestro punto de inicio. El sistema 2x3000V está pensado para ser aplicado en un punto donde haya caídas de tensión, es decir, entre dos subestaciones. Nuestro modelo por tanto se conforma de dos subestaciones con grupos rectificadores, que electrifican a una catenaria y una vía, siendo este

19

Memoria.

elemento el que cierra el circuito eléctrico necesario para suministrar potencia a los trenes (Fig. 6). Catenaria 11+

V1+

12+

21+

22+

Subestación1

11

12

31+

32+

22

42+

Subestación2

Vía 21

41 +

31

32

41

V2+

42

Figura 6. Tramo ferroviario compuesto por catenaria, vía y 2 subestaciones (fuentes de tensión)

Las subestaciones toman la energía de la red eléctrica de media tensión, que puede variar de 1 a 30kV de corriente alterna. Esta tensión es transformada a tensión continua de 3000V, en el caso que estamos formulando aquí. Esa tensión es aplicada entre la catenaria y la vía del ferrocarril. Así entonces, nuestras subestaciones, serán a efectos prácticos, fuentes de tensión continua constantes, con una caída de tensión interna que se modelará junto con la catenaria del tren. Para ser más exactos con el modelo, a la fuente de tensión continua de 3000V deberemos sumarle ciertas fuentes de tensión alterna que modelarían los rizados y los armónicos que se crean en el proceso de rectificación. Sin embargo, mas adelante, cuando se simule el sistema y diseñemos el control, podrá observarse que estas fuentes no son relevantes y por tanto podremos eliminarlas del sistema. La catenaria principal, el feeder y la vía del ferrocarril, no son más que conductores con una resistencia y una inductancia propia, dependiendo de su forma y de su material. Estos dos parámetros se modelan en serie, y tienen un valor constante por unidad de longitud, ya que la sección de los conductores no varía a lo largo del recorrido. En la tabla 1 se resumen los valores unitarios de la impedancia que se han

20

Memoria.

considerado más representativos de cualquier caso real, tanto para las catenarias como para la vía. Como ya es sabido, la inductancia será nula para la corriente continua, pero será muy importante para los armónicos que surgen de la rectificación de la corriente y para el establecimiento de una tensión constante por parte del convertidor. R (Ω/Km)

L(H/Km)

X a 50Hz (Ω/Km)

Catenaria

0,06662

0,001202

0,3776

Vía

0,007

4,775.10-5

0,015

Tabla 1. Datos eléctricos de las catenarias y la vía

La longitud del tramo de vía que se ha considerado es de 20 Km en total, entre ambas subestaciones. Como se puede observar en la figura 6, para modelar las impedancias se ha dividido el tramo total en 8 segmentos de 2,5Km cada uno. La razón de hacer esto, es para poder colocar los trenes a una distancia distinta para cada simulación y ver la influencia de la posición de la carga en el sistema. El hecho de variar cada 2,5Km, es debido a que distancias menores serían prácticamente imperceptibles. Con el Matlab, se podría hacer una simulación en tiempo real en el que se irían variando las inductancias y resistencias de los conductores. De esa manera se simularía el movimiento del tren. Sin embargo, cuando veamos la rapidez que tiene el sistema y el control del convertidor que se ha diseñado ante variaciones de carga, se comprenderá que no ha sido necesario recurrir a un modelo dinámico, sino cuasiestático, como el que se está presentando en este capítulo. Cuasiestático quiere decir que los parámetros son dinámicos, pero los trenes no se moverán de su posición durante el tiempo. Si un tren circulara a 200Km/h (una velocidad alta para un sistema de corriente continua) que equivalen a unos 55,5m/s significa que durante una simulación normal de unos 5 segundos, el tren habría recorrido 277 metros en total, un 11% de las divisiones que estamos

21

Memoria.

considerando. Este porcentaje es una variación muy poco importante para los resultados que se desean obtener. Por último el modelado del feeder, o catenaria auxiliar, es semejante a lo realizado con el sistema ferroviario. La resistencia e inductancia características son las mismas que la de la catenaria, y se ha dividido en ocho tramos. Esto no era necesario, ya que el único dispositivo que se conecta a este cable será el convertidor, además de las dos subestaciones en cada extremo del cable, que darán la tensión de -3000V.

En este

proyecto, no se ha entrado en detalle en la subestación, ya que todo el esfuerzo se ha centrado en el convertidor. Damos por hecho que es completamente posible instalar en las subestaciones una serie de grupos rectificadores que transformen la corriente alterna en corriente continua a tensión de -3000V, igual que se hace para obtener 3000V sin resultar de ello un problema técnico adicional importante. Así pues, el tramo de 20Km de vía quedará modelado como se muestra en la figura 7, con la catenaria, el cable auxiliar y las fuentes de tensión que se colocarán en los grupos rectificadores. Catenaria 11+

12+

21+

22+

31 +

32 +

41+

42+

3000V

V1+

Subestación1

V2+

Vía 11

12

21

22

31

32

41

Subestación2

42

V1-

V2-

-3000V Feeder 11-

12 -

21-

22-

31-

32-

41-

42-

Figura 7. Sistema ferroviario principal, compuesto por catenarias principal y auxiliar (feeder), vía y grupos rectificadores

22

Memoria.

3

Trenes Para modelar los trenes, hemos querido hacerlo de modo que el

parámetro que se vaya a modificar sea el de la potencia. Por lo tanto, se ha modelado a los trenes como una fuente de potencia, ya sea de potencia constante o variable. Para conseguirlo, se ha utilizado una fuente de intensidad variable, disponible en la librería de dispositivos del Simulink. Se trata de una fuente de intensidad al que el valor de la corriente le es asignado a tiempo real. Para el caso que nos atañe, la idea es medir para cada instante de simulación la tensión que existe entre vía y catenaria, es decir, entre las bornes de la fuente de intensidad. Al mismo tiempo, se da una referencia de potencia, que puede ser constante o variable en el tiempo según los resultados que se quieran obtener. El cociente entre la referencia de potencia y la tensión da el valor que debe tomar la corriente eléctrica en la fuente de intensidad. En la figura 8 se muestra el esquema que toman estos elementos en la simulación. 1

s

-

+

Referencia de potencia

División

+

fuente de intensidad

P

perdidas

+ v -

Voltimetro

1 tau .s+1 Funcion de transferencia

2 -

Figura 8. Esquema interno del modelo de tren en Simulink.

del tren

Memoria.

23

Los trenes, cuando se han modelado con una potencia constante, se les ha considerado un consumo de 1MW, un valor medio utilizado normalmente para el dimensionado de estos sistemas. Como se puede observar, existen además otros dos elementos en el esquema eléctrico del tren. El primero de ellos es una resistencia en paralelo que hemos denominado pérdidas, porque lo que modela es precisamente las pérdidas por efecto joule y otros fenómenos de la maquinaria del tren. Esta resistencia tiene un valor de 900Ω, que a tensión nominal de 3000V, supone un potencia consumida de 10kW, el 1% de la potencia consumida por la fuente de intensidad. El segundo elemento es la función de transferencia de 1º orden, que viene a continuación del voltímetro. En un primer momento, la inclusión de esta función se hizo porque la medida directa, y el posterior cálculo de la intensidad, producen inestabilidades y errores de cálculo. Una vez que se introduce, el sistema funcionaba correctamente. Lo que viene a representar esta función es la rapidez con la que el tren aumenta la intensidad en el momento en que se producen caídas de tensión, ya que si cae la tensión, y se quiere mantener la potencia constante, la intensidad debería aumentar instantáneamente, lo cual es imposible en la realidad. Sin embargo, se ha modelado el tren de manera que esta función de transferencia tenga la mínima influencia sobre el resto del sistema. Así, la constante de tiempo τ (tau) equivale a 0,01, que significa que el tiempo de establecimiento al 5% (es decir, el tiempo de repuesta que tarda en alcanzas el 95% de su valor, ante un escalón unitario en la entrada) será de 0,03 segundos, un valor muy rápido en comparación con las distintas respuestas que tendrá el sistema y el convertidor. A la hora de introducir estos trenes en el sistema de catenarias y vía, se ha creado un bloque con dos bornes y el cual en su interior posee los elementos que se acaban de comentar y que se representan en la figura

24

Memoria.

8. Así en el esquema general, los trenes se verán como unos bloques, los cuales se podrán añadir y situar en cualquier punto del sistema sin necesidad de reconstruir de nuevo cada elemento que modela el tren (Fig. 9).

21+

22+

31+

41+

+

+

Tren 1

Tren 3

Tren 2

42+

V2+

Tren 4 -

-

-

-

V1+

32+

+

12+ +

11+

11

12

21

22

31

32

41

42

V1-

V2-

11-

12 -

21-

22-

31 -

32 -

41-

42-

Figura 9. Esquema general sin convertidor con varios trenes distribuidos a lo largo de la vía.

4

Inicialización del sistema A la hora de arrancar el sistema, durante los primeros instantes de

la simulación, las inductancias de las vías y las catenarias hacen que el valor de tensión sobre los cables sea nulo. Un valor tensión cero implica que la intensidad será el resultado de una división con denominador 0, lo cual

significa

que

hay

una

indeterminación

matemática

y,

en

consecuencia, un error en Matlab. Para salvar este problema, es necesario hacer una simulación de inicio, en la cual se arrancarán los trenes una vez electrificado el sistema principal. En el siguiente capítulo se verá como se incluyen en el esquema de inicialización el convertidor CC/CC. Para el caso de los trenes, lo que se hace es incluir un interruptor denominado switch en el esquema que calcula la corriente del tren (Fig. 10). En los primeros instantes, durante un tiempo de 0,5 segundos, el tren

25

Memoria.

toma como valor de la tensión un valor constante de 3000 V. Una vez pasado este tiempo, el switch hace que el tren tome como valor de tensión la que existe entre los bornes de la fuente de intensidad, de manera que empiece a funcionar como el modelo principal de la figura 8. La Referencia de potencia durante los primeros instantes tendrá un valor 0, para hacer que el tren esté apagado durante ese tiempo. Después, una vez que ya se esta tomando la tensión de la medición entre los bornes, se pondrá la referencia de potencia a 1MW, de manera instantánea. Este caso es imposible, ya que ningún tren puede pasar de consumir 0 a 1MW en tiempo nulo. Sin embargo, ahora no interesa el transitorio que esto pueda ocasionar, sino que el sistema se establezca en los valores habituales de funcionamiento. No obstante, también se puede mantener la potencia desde el principio con un valor constante, sin que eso pueda ocasionar problemas a la simulación. Sería como arrancar el sistema ferroviario a la vez que se arrancan los trenes. 1 + Referencia de potencia

División

V s

-

Referncia de tension

perdidas +

fuente de intensidad Timer de 0.5segundos

+ v -

Voltimetro

Switch

1 tau .s+1 Funcion de transferencia

2 -

Figura 10. Esquema del tren para la inicialización del sistema.

Pasados todos los transitorios de arranque del sistema, se guardan los parámetros principales de la simulación para utilizarlos como variables iniciales de una simulación sin switches (esto sólo es necesario cuando se

d

Memoria.

26

utiliza el modelo simplificado de convertidor, utilizado para el diseño del control, como se explica en capítulos posteriores). De esta manera se consigue trabajar con un modelo sin las discontinuidades que provocan este interruptor, y por tanto, se podrá ver sin error la respuesta en frecuencia del sistema y hacer un estudio regulatorio del convertidor.

27

Memoria.

Capítulo 3 MODELADO DEL CONVERTIDOR CC/CC

1

Introducción. Este capítulo se encargará de explicar el modelo de convertidor que

se ha utilizado en este proyecto a lo largo de las simulaciones del sistema 2x3000V. Este dispositivo será el convertidor Chopper que se explicó en la metodología del capítulo de introducción, sólo que ahora se harán dos modelos de distinto tipo. El primero es el modelo completo del convertidor chopper, con sus tiristores y todos los elementos que componen el aparato. El problema de este modelo surge a raíz de que es un sistema discontinuo, con interruptores, y es imposible determinar la respuesta en frecuencia del sistema con este tipo de convertidor. Es por eso que para el diseño del control, se utilizará un modelo simplificado, continuo y sin interruptores, basándose en las ecuaciones que rigen al convertidor. Por último, durante este capítulo se mostrarán algunos resultados que se obtienen de las simulaciones con un factor de servicio constante, sin aplicar todavía ningún control, para así comprobar su funcionamiento y poder empezar con el diseño del control de regulación automática.

2

Modelo de convertidor “Chopper” Este modelo no es más que llevar lo explicado en el apartado de la

metodología del capítulo 1 a un esquema de Simulink.

28

Memoria.

Son dos tiristores que se conectan en serie a la tensión de entrada, que en nuestro caso, es la tensión de 6000V que hay entre catenaria principal y auxiliar. Entre los dos interruptores se toma la tensión de salida, una onda cuadrada, que mediante una inductancia y unos condensadores en paralelo con los interruptores se obtiene una tensión continua con algunos armónicos de menor amplitud. El resultado en el Simulink está en la figura 11. 1 V+

+

Goto 4

i -

[Imeas _pos] Current Measurement

[SW1]

[Vmeas _pos]

v

C

g

From + -

E

Goto 2

[SW1] on

0.5

D off

PWM

Vx

[SW2]

[SW2]

Goto 1

From1

v

i -

V0

C

Current Measurement 2

+ -

[Imeas _0] E

[Vmeas _neg ]

+

filtro L g

Constant 1

2

Goto

Goto 6

+

Goto 3

i -

Current Measurement 1 [Imeas _neg ] Goto 5 3 V-

Figura 11. Esquema del convertidor Chopper, con factor de servicio constante

Se puede observar en la figura el modo de conexionado de los distintos elementos del sistema. La tensión de entrada está entre V+ y V-, los bornes que se conectarán posteriormente a la catenaria principal y auxiliar respectivamente. El borne Vo es el borne que se conecta a la vía. Así, nuestra tensión de salida será entre Vo y V-. La tensión que existe entre Vx y Vo es la onda cuadrada producida por los tiristores. Al tener

29

Memoria.

como factor de servicio 0,5, la duración del semiperiodo con tensión de entrada y el semiperiodo con tensión nula duran lo mismo, luego es una señal simétrica. En la figura 12 se observa la forma de esta señal y en la figura 13 se observa la tensión de salida que ha pasado por los distintos filtros[2].

7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 -1000

1.122

1.1225

1.123

1.1235

1.124

1.1245

1.125

1.1255

Figura 12. Tensión de onda cuadrada Vx, a la salida de los tiristores, con respecto al tiempo.

El hecho de que la señal cuadrada tenga valor exacto de 6000V es debido a que se está probando sin carga. En el momento en que la tensión en las catenarias caiga, también lo hará la tensión de entrada, y habrá que modificar el factor de servicio para mantener el valor nominal. La señal tiene de frecuencia 1000Hz, que es un valor mínimo para un componente de electrónica de potencia. El hecho de que usemos una frecuencia baja, es debido a que a menor frecuencia, las amplitudes de los armónicos producidos son mayores, luego nos situamos en el peor caso. Podría llegar hasta los 10 KHz, aunque no se suele superar este valor.

30

Memoria.

3000.1

3000.05

3000

2999.95

2999.9 1.94

1.9405

1.941

1.9415

1.942

1.9425

1.943

1.9435

Figura 13. Tensión de salida del convertidor, con respecto al tiempo.

La tensión de salida tiene la forma que se presenta en la figura 13. La señal describe una curva debido al filtro inductivo, junto con las inductancias de la vía y la catenaria, y a los condensadores presentes en paralelo con los tiristores. El hecho de que la señal esté cortada en la parte baja se debe al condensador conectado entre V0 y V+, que en el momento en que desciende de los 3000V, comienza a descargarse para mantener la tensión constante. Los periodos de tiempo son tan pequeños con respecto a la capacidad de los aparatos que apenas se podría observar un descenso gradual de la tensión. A continuación, en la tabla 2, se resumen los valores de los condensadores, inductancias y resistencias presentes en el convertidor chopper. R(Ω)

L(mH)

C(mF)

Filtro RL

0,0175

23,9

-

Condensadores

0,001

-

42,4

31

Memoria.

Tabla 2. Datos eléctricos del convertidor

En el esquema se observa, además de los tiristores, los condensadores y el filtro inductivo, un bloque denominado PWM que son las siglas de Power-Width Modulation. Es un componente electrónico presente tanto en los convertidores de CC/CC como en los rectificadores e inversores. Genera una señal que ordena abrir o cerrar a los tiristores para generar la tensión de salida. Esta señal no es más que otra onda cuadrada de una frecuencia concreta (en nuestro caso, 1000Hz) que varía el ancho del pulso según el factor de servicio que se le esté imponiendo. El resultado son dos ondas cuadradas que cuando una envía el pulso la otra no, y viceversa. La señal enviada al primer tiristor, la SW1, tiene la misma forma que la Tensión Vx aunque por supuesto de menor amplitud, mientras que la señal SW2 es justamente lo opuesto. Por último cabe señalar que existen distintos bloques en el modelo denominados “from” y “goto”. Estos bloques no son más que conectores. Las señales que llegan al bloque “goto” mandan la señal que les precede a los bloques “from” que tengan el mismo nombre. Por ejemplo, las señales SW1 y SW2 que se emiten desde el PWM, están realmente conectadas al control de los tiristores, a través de su bloque “from” correspondiente. Ademas de esto, existen también en el convertidor otros bloques que no se han comentado, denominados “Voltage measurement” y “Current Measurement”. Estos bloques son voltímetros y amperímetros, que toman la medida a tiempo real de la tensión y la intensidad respectivamente, para luego poder analizar estas variables detenidamente.

32

Memoria.

3

Convertidor CC/CC simplificado Como ya se ha señalado anteriormente, a la hora de diseñar el

control que regule el factor de servicio, se necesita hallar la respuesta dinámica de los distintos parámetros del sistema. Matlab, puede hallar para cualquier sistema dinámico una representación matricial de estado estableciendo variables de entrada y de salida, y en consecuencia hallar la función de transferencia del sistema que que se defina. Esto permitirá representar matemáticamente la planta que representa el sistema 2x3000V para las variables que se precisen establecer. Por ello, es necesario la creación de un modelo lineal, que no tenga ni “switches” ni ningún tipo de interruptores que creen discontinuidades en el sistema. La solución es crear un modelo equivalente del convertidor, basado en las ecuaciones que rigen a éste y que ya se comienza a presentar en la introducción. En la ecuación 3 ya se había aclarado que la tensión media de salida del convertidor es el resultado de multiplicar el factor de servicio por la tensión de entrada. Esta tensión es la que hay entre el punto medio de los dos interruptores y el borne de la catenaria auxiliar. Si se conoce esa tensión, también sabemos la tensión entre el borne de la catenaria principal y el punto x, tal y como se demuestra en las siguientes ecuaciones [2]: E. 4

E. 5

E. 6

U xmedia = D ⋅ U e = U x − U entrada = U x − + U + x

U + x = U entrada − U x − = U entrada − D ⋅ U entrada = (1 − D ) ⋅ U entrada

Estas ecuaciones por tanto, dan las tensiones existentes en el convertidor en función de la tensión de entrada y del factor de servicio. Esto significa que los tiristores del circuito se pueden sustituir por fuentes de tensión controladas que dan en cada momento la tensión que le es

Memoria.

33

asignada mediante el factor de servicio. Así, el modelo simplificado, se diferencia básicamente del modelo real de convertidor por esta sustitución de tiristores por fuentes de tensión. En la figura 14 se puede observar como queda finalmente este modelo. Si comparamos este modelo con el expuesto en la figura 11, del convertidor real, vemos que además de sustituir los tiristores, se han incluido tres bloques más. El primero es el denominado Subsystem. Este bloque, expuesto por dentro en la figura 15, es el encargado de calcular para cada valor que toma la tensión de entrada y el factor de servicio que se ha definido (en este caso, sigue siendo 0,5) los valores que deben tener las fuentes controladas. Toma la medida de las tensiones V+o y Vo- y suma ambas variables, que sería el equivalente a medir la tensión V+-, la tensión de entrada, entre la catenaria principal y auxiliar. Después, realiza los cálculos de la tensión V+x y Vx- para poder ordenar a las fuentes un valor determinado.

34

Memoria.

1 V+

+

Goto 4

i -

[Imeas _pos] Current Measurement

[Vmeas _pos]

v

+

Memory + -

Controlled Voltage Source -

s

Goto 2

[Imeas _0] Goto 6

Vx

+ +

filtro

D

V-0

2

-

V+0

Constant

Current Measurement 2

Controlled Voltage Source

V+x s

.5

i -

V-x

Subsystem Memory 1 [Vmeas _neg ]

v

+ -

+

Goto 3

i -

Current Measurement 1

[Imeas _neg ] Goto 5 3 V-

Figura 14. Modelo simplificado de convertidor CC/CC

1 D

u(1)*u(2) fV-x

2 V-x

2 V+0 Add 3 V-0

(1-u(1))*u(2) fV+x

1 V+x

Figura 15. Bloque subsystem del modelo simplificado, calculador de las tensiones

2 V0

35

Memoria.

Los otros dos bloques añadidos se denominan “memory”, un bloque utilizado para romper el bucle algebraico que existe en el sistema. Si se observa detenidamente la figura 14, se verá que las dos fuentes de tensión están conectadas en serie a la tensión de entrada, y que ambos valores sumados son precisamente, la tensión de entrada. Sin los bloques “memory”, lo que se esta haciendo es, para cada instante de simulación, mandar a las fuentes imponer una tensión que ya existe entre esos dos puntos, dado que es la medida que están tomando los voltímetros. Esto provoca que sea imposible para el sistema actualizar los valores de tensión de las fuentes, provocando que el sistema nunca cambie a pesar de las variaciones de carga que existan. El bloque “memory” impone un retraso en la medida, es decir, que la medida que registra el bloque subsystem es la medida tomada en el instante de simulación justo anterior al que se está calculando. De esa manera, rompemos el bucle algebraico y el sistema puede evolucionar.

4

Inicialización del convertidor simplificado Como se puede intuir en lo explicado anteriormente, los bloques

Memory necesitan ser inicializados, ya que en el instante 0, en el que comienza a calcular la simulación Matlab, no existe ninguna medida de la tensión anterior a ese momento. Este valor es desconocido antes de empezar la simulación y darle un valor distinto provoca unos transitorios que afectarán a la representación de estado y en consecuencia a errores en el diseño del control. Por todo esto, es necesario crear un nuevo sistema inicializador del modelo presentado en el apartado anterior, al igual que se ha hecho con los trenes. Éste será un sistema distinto al definidio en el apartado anterior y por tanto se simulará por separado, primero el modelo simplificado inicial

y

después

el

modelo

simplificado

sin

transitorios

ni

Memoria.

36

discontinuidades. Esto se debe de hacer así, ya que en la inicialización colocaremos interruptores sobre los bornes del convertidor que harán que el aparato se conecte en un instante determinado. La inclusión de estos interruptores nos remite de nuevo al problema de la linealidad. El objetivo de este modelo inicial es poder simular todos los transitorios de arranque, que en los objetivos de este proyecto no nos interesan, para obtener un vector con las variables de estado finales. Los primeros instantes de simulación la carga está desacoplada, con lo que la tensión que miden los voltímetros es de 3000V. Este es el valor con el que se inician también los bloques memory. Después de activar la carga y de que se extingan los transitorios, el sistema llega a unos valores estables de las variables de estado, que son recogidos en un vector. Estos valores finales, serán los parámetros iniciales del modelo lineal, incluyendo las inicializaciones de los bloques memory, con lo que el modelo simplificado lineal no tendrá ninguna variación en las corrientes ni en las tensiones. En la figura 16 se muestra el convertidor de arranque tal y como lo se ha diseñado. El resto del sistema, no precisa de cambios. Los trenes tienen como referencia de potencia 0 durante 0,5 segundos y 1MW desde ese instante hasta el final de la simulación.

37

Memoria.

1 V+

Current Measurement

2

+

Goto 4

i -

[Imeas _pos]

c

1

Breaker

+

Memory [Vmeas _pos]

v

+ -

Controlled Voltage Source -

s

Goto 2

[Imeas _0] Goto 6

Vx

+ +

filtro

D

2 V0

-

V+0 V-0

V-x 2

Subsystem Memory 1

Breaker1 v

+ -

c

[Vmeas _neg ]

1

Constant

Current Measurement 2

Controlled Voltage Source 2

V+x s

.5

i -

+

Goto 3

Timer 1

i -

Current Measurement 1

[Imeas _neg ] Goto 5 3 V-

Figura 16. Convertidor simplificado inicializador

Como se observa, el único añadido principal son dos interruptores (breakers) controlados por un temporizador (timer). Estos interruptores permanecen abiertos inicialmente, provocando que aunque la tensión de entrada se pueda seguir midiendo, las fuentes no aportan corriente alguna a la vía o a las catenarias, exceptuando el consumo poco significativo de los condensadores. Una vez pasado los instantes iniciales, tanto si los trenes han arrancado como si no, ya se puede conectar el convertidor en la catenaria. En el arranque, se ha conectado el convertidor siempre a 0,1 segundos de tiempo de simulación. Pasado un cierto tiempo, todo el sistema se estabilizará en unos valores determinados, los cuales almacenaremos para

38

Memoria.

incluirlos en la versión lineal del sistema 2x3000V. Todos estos transitorios que se van formando a medida que se conecta la carga y el convertidor se verán en el apartado siguiente.

5

Simulaciones con factor de servicio constante En este apartado se va a demostrar los distintos resultados que

ofrecen las simulaciones de los sistemas si mantenemos el factor de servicio constante a 0,5. Con ello se pretende demostrar que tanto el modelo de convertidor simplificado como el modelo de convertidor “chopper” real son prácticamente idénticos. También se dará una visión de los transitorios que se crean durante el arranque del sistema. Para ello, tomamos un caso común de referencia. Se colocan dos trenes simétricos, es decir, ambos a medio camino entre una subestación y el convertidor de continúa (Fig. 17). Es un caso simple y elegido al azar, y bien se podía haber tomado cualquier otra opción de carga.

12+

21+

22+

31+ V+

+

IV0

Tren 1

V1+

32+

41+

42+

I+ +

11+

I0

V2+

Tren 2

V+

Scope 8

V-

-

-

V-

V+x/V-x

11

12

21

22

31

32

41

42

V1-

V2-

11-

12-

21-

22-

31 -

32 -

41-

42-

Figura 17. Sistema 2x3000 con dos trenes a medio camino

En ambas simulaciones, tanto con el convertidor real como con el simplificado, los trenes estarán a potencia cero hasta pasados los 0,5 segundos de simulación, que pasarán a tener 1MW cada uno. Esto provocará un transitorio muy brusco en las tensiones y las corrientes del

39

Memoria.

convertidor, pero que sin embargo no es interesante para las conclusiones finales, ya que nunca ocurrirá nada semejante. Esto se hace así para ver lo que ocurre en escenarios extremos, y poder observar con mayor facilidad los transitorios. De ese modo, se podrán comparar las semejanzas entre las respuestas de los dos modelos. Para el caso del convertidor simplificado, el que se debe conectar pasados unos instantes, se hace pasados 0,1 segundos de simulación, aunque si no se observan cambios, es debido a que la única carga que existe en el sistema son las pérdidas de los trenes, modeladas como resistencias en paralelo con las fuentes de potencia. El consumo es del 1% de la corriente que se desarrollará con las fuentes acopladas, de modo que apenes se observarán las variaciones. A continuación, en las figuras 18 y 19, se muestra la evolución de las tensiones entre catenaria principal y vía (V+o) y entre vía y catenaria auxiliar (Vo-), además de las corrientes que se inyectan a través de cada borne en sentido generador. 3000

V+0 V0I+ I0 I-

2500

2000

1500

1000

500

0

0

0.5

1

Figura 18. Respuesta eléctrica del convertidor simplificado

1.5

40

Memoria.

3000

2500 V+0 V0I+ I0 I-

2000

1500

1000

500

0

0

0.5

1

Figura 19. Respuesta eléctrica del convertidor real

El valor más interesante, es precisamente el valor mas parecido en ambas simulaciones: la tensión catenaria principal y vía (V+o) porque esa es la tensión que se pretende modificar mediante el control del factor de servicio. La única diferencia es el amortiguamiento, ya que el modelo simplificado es ligeramente menos amortiguado que el convertidor real. Esto puede resultar incluso positivo, porque si se diseña para un modelo que presenta mayores oscilaciones, el control final estará capacitado para trabajar sobre el modelo real, dando algo más de amortiguamiento al sistema del que en un principio se prevé. En el instante en que se activan las cargas, aparece un pico de bajada de la intensidad Io, que no se encuentra en el modelo real. El pico se crea debido a que el modelo simplificado mantiene la suma de las intensidades salientes a valor de 0, mientras que el convertidor real, no puede mantener esta realidad en todo momento y la energía que no se transforma se consume dentro de los elementos que lo conforman. Existe

1.5

41

Memoria.

también ligeras variaciones en la curva transitoria en el resto de las variables, aunque no muy significativas. Las diferencias se deben, como es de suponer, al hecho de que un modelo posee fuentes de tensión, que no crean ningún armónico, mientras que el segundo posee tiristores que sí lo hacen. No obstante solo afecta al amortiguamiento del pico de subida, mientras que el tiempo de establecimiento es exactamente el mismo para ambos casos, lo cual resultará útil a la hora de centrarnos en el diseño de un control lo más rápido posible. Hay que recalcar de nuevo la poca diferencia que crean los armónicos en el modelo real sobre las variables eléctricas respecto al modelo simplificado. El hecho de que no estén presentes en el convertidor simplificado, no impide que los transitorios, y sobretodo, los valores medios finales que alcanzan las dos simulaciones, sean muy parecidos, como se muestra en la tabla 3. En esta tabla, se ha incluido también la comprobación de la suma de las intensidades. Esta suma, si entendemos que el convertidor no puede generar potencia, el valor debe ser negativo o prácticamente nulo (el criterio utilizado, recordamos, es el de generador y si el valor es negativo, significa que el convertidor esta consumiendo energía, la energía disipada por las resistencias internas). Con convertidor

Con convertidor

Sin Convertidor

real

simplificado

V+o (V)

2941,5

2942,8

2883,4

Vo- (V)

2953,2

2953,9

3012,25

I+ (A)

157,4

158,2

0

Io medio(A)

-315

-316,3

0

I- (A)

157,4

158,1

0

ΣI

-0,2

0

0

42

Memoria.

Tabla 3. Valores finales alcanzados por el sistema con convertidor simplificado y real con factor de servicio constante y sistema sin convertidor

Para finalizar es interesante comprobar ahora, aún sin haber incluido un control en el factor de servicio, el hecho de que la introducción de cargas sobre el sistema cree unas caídas de tensión en el punto medio de la catenaria, y que la introducción del convertidor sobre el sistema ferroviario ayuda a reducir estas caídas, como se puede observar en la tabla 3. Otro dato que puede llevar a confusión es la tensión Vo- cuando no existe convertidor. El hecho de que sea mayor de 3000 V es debido a que la catenaria auxiliar, por donde no pasa corriente ahora, se mantiene a la misma tensión que los grupos rectificadores, a -3000V con respecto a tierra, mientras que a lo larga de la vía, las corrientes que regresan de las cargas inducen tensiones sobre la vía, de manera que la tensión entre catenaria auxiliar y vía es mayor al valor nominal. La caída de tensión sobre el punto medio de la catenaria pasa de 116,6V a 58,5V cuando insertamos el convertidor con factor de servicio constante, lo cual supone una mejora de un 49,8%. Mas adelante, cuando incluyamos el control, podremos reducir esta caída hasta 0, ya que nuestro convertidor mantendrá la tensión entre catenaria y vía a 3000V, reduciendo aún más las caídas que observen los trenes al circular por la vía.

43

Memoria.

Capítulo 4 DISEÑO DEL CONTROL AUTOMÁTICO DEL CONVERTIDOR

1

Topología del control automático del convertidor En este capítulo vamos a seguir todos los pasos que se han tomado

para dar con un control automático de regulación del factor de servicio. El objetivo no es controlar el factor de servicio en sí, pero mediante el control de este parámetro se puede controlar la tensión de salida, y más concretamente, la tensión entre catenaria y vía V+o. El objetivo principal del control es mantener la tensión entre catenaria y vía a 3000V, dado que de esa manera se minimizarán las caídas de tensión sobre los trenes sin superar el valor nominal de voltaje. Por ello, la regulación tendrá como entrada un punto de consigna que será la tensión de 3000V, lo comparará con el valor medido por los voltímetros, y mediante un regulador, se ordenará al convertidor el factor de servicio necesario para mantener tal tensión en la catenaria. El problema aparece cuando existen muchas cargas en el sistema. Al haber fuertes caídas de tensión, y el control exigiendo que se mantenga la tensión a 3000V, el convertidor tendrá que inyectar sobre el sistema corrientes elevadas. La idea para el sistema 2x3000V, es que según la necesidad que haya para cada caso de salvar las caídas de tensión que aparezcan sobre la vía, el constructor elegirá la potencia nominal del convertidor. Cuando en el sistema aparezcan muchas cargas, el convertidor, que estaría manteniendo la tensión de 3000V, deberá reducir esta consigna lo suficiente para que en este caso, las corrientes que pasen por él no superen los valores máximos para los que está diseñado. De lo

Memoria.

44

contrario, las sobreintensidades pueden calentar en exceso los circuitos internos y dañar gravemente alguno de sus componentes, teniendo que reponer y sustituir el sistema. Por todo ello, la consigna de tensión, debe estar restringida por las corrientes que atraviesan el convertidor. La corriente más elevada para la topología del sistema 2x3000v que se está analizando, es siempre la intensidad Io, es decir, la corriente inyectada sobre la vía (en realidad, el valor es siempre negativo, por lo que esta corriente no es inyectada, sino absorbida). Así pues, la consigna de tensión debe tener un control previo de su valor, según los valores de intensidad que se estén alcanzando en el sistema. La regulación por tanto debe controlar una variable, el factor de servicio, condicionado por 2 parámetros del sistema: tensión V+o e intensidad Io. Para tener en cuenta todo lo comentado, la regulación deberá tener dos lazos de control, uno principal que controle las variaciones de tensión para una consigna determinada, y un lazo secundario, dentro del principal, que restringa estas tensiones a los valores de intensidad. La solución, una regulación en cascada, como se muestra en la figura 20 [1]. El control de tensión proporciona un valor de intensidad necesaria, que a su vez, el control de intensidad restringe sobre el máximo permitido. Al mismo tiempo, este bloque calcula el factor de servicio necesario para las condiciones del circuito, ya sea de mantener la intensidad, o de mantener la tensión. La restricción será por tanto la encargada de activar uno u otro bloque.

45

Memoria.

∆V

Vref

+-

Control V

Iref

∆I +-

D Control

Planta

Io

Io/D

Io

Planta

V+o

Vo+/Io

Figura 20. Topología de la regulación en cascada del convertidor CC/CC

Para hacer el diseño de los dos controles, se debe conseguir dos funciones de transferencia del sistema, es decir, tal y como se enseña en la figura, obtener la planta Io/D y la planta V+o/Io. Con la función de transferencia de la intensidad con respecto al factor de servicio, diseñaremos un control PI o PID adecuado, que será el responsable de dar un factor de servicio para variaciones de corriente. Con la función de transferencia de la tensión con respecto a la intensidad, junto con el lazo de control antes definido, obtendremos el control que proporcionará la intensidad ante ciertas variaciones de la tensión de entrada para una referencia, que será siempre de 3000V.

2

Obtención de la función de transferencia Io/D Matlab permite obtener la función de transferencia de cualquier

sistema, definiendo previamente una entrada y una salida, aunque, como ya se ha explicado anteriormente, para que pueda realizar esta operación precisa estar definido sobre un sistema continuo y no sobre un sistema con interruptores. Para obtener la función de transferencia es preciso utilizar el sistema simplificado y su inicializador correspondiente. Lógicamente, se tendrá que definir distintos sistemas para varias posibilidades de carga del sistema, es decir, un esquema distinto para cada caso, con uno o varios

Memoria.

46

trenes y situados a distancias diferentes. La definición de las entradas y las salidas las hacemos en los propios esquemas ya creados, como se puede observar en la figura 21. Vemos que para este caso, la definición de entrada serían variaciones en el factor de servicio, mientras que la salida es la Intensidad Io. En la figura se puede observar que a la entrada se le suma 0,5, que es el valor por el que rondará el factor de servicio durante las simulaciones, de manera que la entrada serán las variaciones de este factor, o como se suele denominar, ∆D. En el control final esta suma también estará presente.

47

Memoria.

1 Out 1 1 In1 21+

22+

31 +

+

41 +

I-

V+

42+

Tren 2

I0

Tren 1

V0

V+

-

V1+

32 +

I+

In 1

+

12+

Scope 8

V-

V-

V2+

-

11+

V+x/V-x 11

12

21

22

31

32

41

42

V1-

V2-

11-

12 -

21-

22-

31-

32-

41-

42-

1 V+ [Imeas _pos]

+

Goto 4

1 I+

From 7 i -

[Imeas _pos]

[Imeas _neg ]

Current Measurement

2 I-

From 8 [Imeas _0]

3 I0

From 4 [Vmeas _pos]

4 V+

From 2 [Vmeas _neg ]

[Vmeas _pos]

v

+

+ -

Controlled Voltage Source -

s

Goto 2

[Imeas _0] Goto 6

Vx

+

filtro

+

D

Controlled Voltage Source s

V+x

i -

Current Measurement 2

2 V0

2

-

.5

5 V-

From 3

Memory

V+0

Constant

V-0

1 In1

V-x

Subsystem Memory 1

[Vmeas _neg ]

v

+ -

+

Goto 3

i -

Current Measurement 1

[Imeas _neg ] Goto 5 3 V-

Figura 21. Definición de la entrada ∆D (In1) y la salida Io (Out1)

El caso presentado en la figura anterior, es el caso de dos trenes simétricos a medio camino entre convertidor y subestación. Para que el estudio abarque gran cantidad de combinaciones de carga posible, hemos decidido obtener la función de transferencia de 9 casos diferentes. Los tres

Memoria.

48

primeros casos son la función de transferencia con un tren en el sistema, situado en tres posiciones distintas. El primer caso, el tren se sitúa en el centro, es decir, en el mismo punto donde se conecta el convertidor. El segundo caso, el tren se sitúa a medio camino, del mismo modo que se observa en la figura 21, pero eliminando uno de los trenes. El tercer caso sería el de situar el tren en el extremo, justo en el punto donde está una de las subestaciones. Este último caso, es equivalente a no colocar trenes, dado que la potencia que consume la toma directamente de la subestación, y la catenaria, que en este caso no transporta la energía, no sufre de caídas de tensión, igual que en el caso sin trenes . Los tres siguientes casos, vienen a ser muy semejantes que los casos con un solo tren, solo que esta vez, el número de trenes a colocar en el sistema son dos. Los trenes aquí se colocarán de forma simétrica, es decir, que si un tren se sitúa a medio camino entre una subestación y el convertidor, habrá otro situado de la misma manera, pero entre al subestación opuesta y el convertidor. Con esta premisa, creamos los tres casos de dos trenes, el primero con dos trenes en el centro (donde se sitúa el convertidor), el segundo con dos trenes a medio camino (Fig. 21), y el tercero con dos trenes en los extremos (donde se sitúan las subestaciones). Los tres últimos casos son los que denominamos casos base. El primer caso base consta de cuatro trenes repartidos uniformemente por la catenaria y de la manera en que se observa en la figura 22. El segundo caso base lo denominamos caso base centro, porque la intención de este caso es que la carga de cuatro trenes se sitúe lo mas cerca del convertidor. Concretamente, habrá dos trenes en el punto donde se conecta el convertidor y luego dos trenes más en los puntos inmediatamente anteriores y posteriores al centro del sistema. Este caso es el que produciría más caída de tensión sobre la catenaria que el resto de los casos, dado que se transporta la intensidad necesaria de cuatro trenes durante un trayecto de catenaria mucho más largo que el caso base

49

Memoria.

normal, con lo que las caídas por efecto joule son mayores. El tren central, está definido con el doble de potencia que un tren convencional, es decir, de 2MW, y supone la representación de que hay dos trenes cruzándose sobre la misma línea.

1 In1

11+

12+

21+

Scope 3

22+

In 1

31 +

I+

32 +

41+

42+

+

I0

Tren 2

V0

V+

V-

V-

Tren 3

V2+

Tren 4

-

-

-

-

V1+

+

V+

Tren 1

+

+

I-

V+x/V-x1 11

12

21

22

31

32

41

42

V1-

V2-

1 Out 1

11-

12 -

21-

22-

31-

32-

41-

42-

Figura 22. Topología del caso base

Scope 8 1 In1

21+

22+

31 +

+

+

In 1 V+

-

41+

42+

II0

Tren 1

V0

V+

V-

V-

-

Tren 2

V1+

32 +

I+ +

12+

V2+

Tren 3 -

11+

V+x/V-x

11

12

21

22

31

32

41

42

1 Out 1 V1-

V2-

11-

12 -

21-

22-

31-

32-

41-

42-

Figura 23. Topología del caso base centro

El ultimo caso, lo denominamos caso imposible. Aquí, hemos colocado la mayor cantidad posible de trenes, situando un tren en cada posición disponible de la catenaria y definiendo cada bloque con el doble

50

Memoria.

de potencia, como se puede observar en la figura 24. Este caso es sólo para confirmar que la inclusión de muchas o pocas cargas no produce grandes modificaciones en la función de trasferencia que estamos obteniendo. De esa manera, nuestro control deberá ser en función del sistema ferroviario y no de las cargas que exista, porque de lo contrario, nuestro control sólo sería óptimo para una carga concreta del sistema.

1 In1

22+

31 +

Tren 5

-

42+

I0 V+

V-

V-

Tren 3

Tren 7

+

I-

V0 -

-

41 +

+

+

+

Tren 2

V+

-

V1+

Tren 6

32 +

I+

V2+

Tren 4 -

Tren 1

+

+

In 1

-

21+

+

12+

-

11+

Scope 3

V+x/V-x1

11

12

21

22

31

V1-

32

41

42

V2-

1 Out 1

11-

12 -

21-

22-

31-

32-

41-

42-

Figura 24. Topología del caso imposible

Para que el Matlab obtenga la función de transferencia, hay que dar tres órdenes concretas, es decir, introducir tres comandos para cada caso. El primer comando se denomina “linmod(“system”)” Este comando obtiene, mediante métodos iterativos, la representación de estado del sistema dinámico. Esta representación de estado es una forma sistemática y normalizada de describir sistemas dinámicos utilizando el álgebra lineal, un método muy sencillo de utilizar para Matlab. El programa se encarga de definir las variables de estado, mientras que las variables de entrada y de salida deben ser definidas sobre el sistema, tal y como se ha descrito en la figura 21. Matlab, cuando utilizamos el comando linmod sobre el sistema que se defina, nos devuelve cuatro matrices, definidas de la siguiente manera:

51

Memoria.

Vector u: variables de entrada, de tamaño (1,1) en nuestros casos. Vector y: variables de salida, de tamaño (1,1) en nuestros casos. Vector x: variables de estado, de tamaño (n,1) según cada caso. •

E. 7

x = Ax + Bu

E. 8

y = Cx + Du

Viendo estas ecuaciones, se puede entender de forma más clara que la definición de éstas exige un sistema lineal e invariente, ya que de lo contrario, tendrían que definirse a trozos, o simplemente, sería imposible hacerlo. A estas ecuaciones se puede aplicar, para eliminar las derivadas, la transformada de Laplace, quedando como se presentan a continuación: s ⋅ X ( s) = A ⋅ X ( s) + B ⋅U ( s)

E. 9 E. 10

Y ( s) = C ⋅ X ( s) + D ⋅U ( s)

Una vez que Matlab obtiene las matrices A, B, C y D, y a partir de las ecuaciones 9 y 10, se puede hallar la función de transferencia Io/D, resultado del cociente de Y(s)/U(s): E. 11

Y ( s) U ( s)

= C ⋅ ( s ⋅ I − A) −1 ⋅ B + D

Esta operación que describe la ecuación 11, Matlab puede realizarla utilizando un comando que escribimos así: [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) El comando nos devolverá dos vectores. El vector “num” guarda los coeficientes del polinomio en función de s, que presenta los ceros de la función. El vector “den” guarda los coeficientes del polinomio en función de s, que presenta los polos. Para rematar esta operación, se utilizan tres comandos más. El primero se escribe “tf(num,den)”, que hará que Matlab guarde ambos

Memoria.

52

vectores como coeficientes de una función de transferencia. Después, se usa el comando “zpk(tf)”, que guarda la función de transferencia anterior en forma de ceros, polos y ganancias. Finalmente, se utiliza el comando “minreal(ft)”, que elimina todos los ceros y polos que son iguales, para simplificar la expresión. Todos los resultados que se van obteniendo a lo largo de la ejecución de los comandos explicados, para cada caso de carga, se expresan en la última parte de este proyecto. A continuación, en la tabla 4, se presentan las funciones obtenidas para cada caso descrito anteriormente. A la hora de presentarlas aquí, se han eliminado ciertos ceros y polos que, aunque no sean iguales, sus valores eran muy cercanos. Por ejemplo, en la 1ª función se ha eliminado el cero -101,7 y el polo 100,7. Para que esto no afecte a la ganancia estática, se ha multiplicado la ganancia de la funcione por el cociente del cero y el polo eliminado. Otra de las razones por las que esto se puede hacer, es que Matlab halla estas funciones basándose en métodos iterativos. Esto hace que las expresiones no sean completamente exactas, sino que poseen un ligero error.

Este error, produce variaciones entre ceros y polos que

perfectamente se podrían simplificar, ya que en la respuesta en frecuencia, la unión de los efectos que hacen un cero y un polo semejantes son prácticamente se anulan. Además, Si se ejecuta el programa con alguna variación en el tiempo de simulación, o simplemente, el programa decide tomar instantes de simulación más cortos que en cualquier otra ocasión cualquier otra ocasión, nos encontramos que los resultados pueden variar de manera importante a la hora de expresar las funciones de transferencia, aunque no varían las respuestas en frecuencia que producen (El Step Size, como así se denomina el tiempo entre el cálculo de uno y otro punto de la simulación, es automático).

53

Memoria.

Esta singularidad, este hecho que hace que las expresiones sean únicas a cada ocasión que se simulan los casos, nos lleva a adjuntar en este proyecto el código de ejecución resultante de la obtención de estas funciones de transferencia. Este código, recoge tanto las matrices A,B,C,D, de cada caso, como la expresión completa de las funciones de transferencia resumidas aquí. Para ver estos resultados, se deberá ir a la parte III, sobre el Código Fuente.

Casos y

Funciones de transferencia Io/D

denominación de las funciones Un tren centro (FT1) Un tren medio (FT2) Un tren extremo (FT3) Dos trenes centro (FT21) Dos trenes medio (FT22) Dos trenes extremo(FT23) Caso Base (FTB1) Caso Base Centro (FTB2)

0,1386 ⋅ (s + 2,672 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 2,356 ⋅ 104 ) (s + 8,301) ⋅ (s 2 + 48,64 ⋅ s + 3661) 48474,8915 ⋅ (s + 2,183 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 2,356 ⋅ 104 ) (s + 2,776 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 8,184) ⋅ (s 2 + 49,28 ⋅ s + 3738) 38742,3104 ⋅ (s + 2,356 ⋅ 104 ) (s + 8,144) ⋅ (s 2 + 49,51 ⋅ s + 3765) 0,13771 ⋅ (s + 2,559 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 2,356 ⋅ 104 ) (s + 8,481) ⋅ (s 2 + 47,67 ⋅ s + 3548) − 26,2255 ⋅ (s - 3,403 ⋅ 104 ) ⋅ (s 2 + 2,126 ⋅ 104 ⋅ s + 2,748 ⋅ 108 ) (s + 2,775 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 8,255) ⋅ (s 2 + 49,05 ⋅ s + 3711) 38742,799 ⋅ (s + 2,356 ⋅ 104 ) (s + 8,144) ⋅ (s 2 + 49,51 ⋅ s + 3765) 2,36 ⋅ 10-10 (s + 2,356 ⋅ 104 )(s + 1,2 ⋅ 105 )(s + 4,9 ⋅ 105 )(s + 4,1 ⋅ 1014 ) (s + 5,66 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 2,77 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 8,354) ⋅ (s 2 + 48,33 ⋅ s + 3627) 0,13587(s + 2,356 ⋅ 104 )(s + 9,663 ⋅ 105 )(s + 9,304 ⋅ 104 ) (s + 3,727 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 8,724) ⋅ (s 2 + 46,39 ⋅ s + 3406)

54

Memoria.

Caso Imposible (FTB3)

0,1127(s + 2,356 ⋅ 104 )(s + 3,6 ⋅ 105 )(s + 4,3 ⋅ 104 )(s + 1,12 ⋅ 106 ) (s + 5,487 ⋅ 105 )(s + 1,402 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 9,63) ⋅ (s 2 + 41,73 ⋅ s + 2961)

Tabla 4. Funciones de transferencia Io/D obtenidas para los nueve casos descritos.

A primera vista, ojeando los coeficientes de las funciones, es posible pensar que muchas difieren entre ellas. Sin embargo, observando mas detenidamente los valores de los ceros y los polos, se podrá ver que la mayor parte de las diferencias se encuentran debido a que algunas poseen polos o ceros del orden de 105, una magnitud muy superior para los niveles de frecuencia en los que se mueve el convertidor (La frecuencia del PWM máxima que suele existir es de 10000 Hz, unos 6,28.104 rad/seg). Si calculamos la ganancia estática de cada una de las funciones, encontramos que todas las funciones tienden a valores muy semejantes. Los valores que mas se alejan de la mayoría son, como era de suponer, los casos más poco probables, es decir, el caso imposible y el caso con 4 trenes en el centro.

F(0)

FT1

FT2

FT3

FT21

FT22

FT23

FTB1

FTB2

FTB3

28711

29358

29769

27591

28849

29769

28217

25987

20986

Tabla 5. Ganancia estática de las funciones de transferencia

Dado que lo que nos interesa para el diseño del control, es la respuesta en frecuencia del lazo abierto del sistema, se muestra a continuación el diagrama de Bode de las funciones de transferencia (Fig. 25). Es además una manera de mostrar las grandes semejanzas que ofrecen las respuestas en frecuencia de todos los casos. Se puede observar en el diagrama de magnitud que todas las líneas siguen aproximadamente el mismo recorrido hasta llegar a las frecuencias de 20000 rad/seg. A partir de este punto, empiezan a actuar esos ceros y polos distintivos de cada una de las funciones. Si nos fijamos en el diagrama de fase (Fig. 25), ocurre lo mismo que lo mencionado para el diagrama de magnitud salvo por una función. La

55

Memoria.

función de dos trenes en el medio (FT22) está pintada 360º por encima del resto. Esto hace que parezca distinta a las demás, pero en realidad, es el mismo caso que en el resto, dado que las fases que recorren son equivalentes, es decir 270º son lo mismo que -90º. La razón de que aparezca distinta en el diagrama, son el cero y la ganancia negativa que existen en la función. Esto no supone ningún problema de inestabilidades, dado que el caso no difiere estructuralmente del resto. Sin embargo, para que en las gráficas posteriores no aparezca este problema, cambiaremos el signo, cambiaremos la expresión de este caso por la expresión más sencilla, es decir, en los casos en los que no hay trenes. La función utilizada para sustituir a FT22 en las representaciones vendrá a tener los ceros y polos que aparecen en los casos extremos, sin trenes, pero con la ganancia estática equivalente, quedando de la forma que se presenta en la ecuación 12. Si no incluimos el resto de polos y ceros, es porque no nos interesarán a la hora de diseñar el control. Esta función de transferencia, será la que utilizaremos para diseñar el control

E. 12

37545 ⋅ ( s + 2,356 ⋅ 104 ) FT 22 = ( s + 8,144) ⋅ ( s 2 + 49,51 + 3765)

56

Memoria.

Bode Diagram 100

Magnitude (dB)

50

FT1 FT2 FT21 FT22 FT23 FT3 FTB1 FTB2 FTB3

0 -50 -100 -150 -200 -250 360

Phase (deg)

180

0

-180

-360 -1 10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

10

8

10

Frequency (rad/sec)

Figura 25. Diagrama de Bode de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia Io/D

Aún así, ha de tenerse muy en cuenta que el método que utiliza el Matlab para obtener las representaciones de estado de cada uno de los sistemas dinámicos que hemos definido, lo hace mediante métodos iterativos, y por tanto, ninguna obtención es exactamente igual a la anterior. Muchos de los valores que se presentan en este proyecto pueden diferir ligeramente si se simula en otro ordenador, o con la configuración de simulación distinta. En nuestro caso, el método de simulación es el solucionador Bogacki-Shampine (ode23-ode23t). Teniendo en cuenta todo esto, podemos afirmar que la función de transferencia se puede reducir para todos los casos, y a todos los efectos en la expresión de los casos con los trenes en los extremos. Estos casos, que como ya se ha dicho, son equivalentes a que no haya trenes en la vía demuestran que lo único que podrá variar los parámetros de nuestro futuro control, serán las distancias que abarque el sistema y el tipo de vías y catenarias que se utilicen, es

Memoria.

57

decir, el control dependerá únicamente del sistema ferroviario y nunca de la carga que presente el mismo.

3

Control de intensidad A partir de todos los datos obtenidos, vamos a diseñar un control

de intensidad para el convertidor. El método de diseño del control está basado en técnicas de respuesta en frecuencia, un método muy sencillo y gráfico, que permitirá obtener los parámetros de los tipos de control más usuales. Estos son, el control proporcional P, el control proporcional más integral, el método proporcional más diferencial y el método proporcional más

diferencial. Cada uno de estos controles aportará más rapidez,

amortiguamiento o precisión, según sea el objetivo buscado. Para los dos controles que se diseñarán en este capítulo, los dos parámetros buscados más importantes son la rapidez y la precisión, aunque no se perderá de vista el amortiguamiento, ya que si este es muy bajo, la respuesta tendrá oscilaciones muy excesivas y habrá que crear un control más amortiguado. Antes de comenzar con el diseño, es importante estudiar la estabilidad del sistema. Hay muchos métodos para realizar este análisis, pero sin duda, con la correcta utilización de Matlab podemos obtener todos los diagramas existentes para expresar la respuesta en frecuencia, tales como el diagrama de Bode, mostrado anteriormente, el diagrama de Black, que utilizaremos para diseñar gráficamente y el que atañe ahora, el diagrama de Nyquist. Este diagrama muestra la respuesta en frecuencia Sobre un eje de coordenadas de números complejos, es decir, dibuja para cada frecuencia el valor complejo que se obtiene de las funciones de transferencia de lazo abierto. Este diagrama esta dibujado en la figura 26.

58

Memoria.

2

x 10

4

Nyquist Diagram

1.5

1

Imaginary Axis

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2 -1

-0.5

0

0.5

1 Real Axis

1.5

2

2.5

3 x 10

4

Figura 26. Diagrama de Nyquist de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia Io/D

Para conocer el número de inestabilidades que tendrá el lazo cerrado, basta con contar el número de polos positivos que existen en la función (en nuestros casos no hay ninguno) y el número de rodeos horarios que hace la curva sobre el punto crítico -1. Si se observa bien este diagrama, se pueden contar dos rodeos en total, por lo que habrá que salvar estas dos inestabilidades para obtener un control estable. Como ya se verá mas adelante, Si incluimos en el control proporcional una ganancia menor a 0dB, el efecto sobre la respuesta del lazo abierto es reducir la curva. Esta reducción, se podrá hacer lo bastante pequeña como para que los dos rodeos se dibujen fuera del punto -1. Así pues, la inestabilidad se podrá salvar con un adecuado control proporcional. Esto nos abre las posibilidades del control a ser de cualquier tipo, tanto proporcional (P), proporcional-diferencial (PD), proporcional-integral (PI) y la mezcla de todos, proporcional-integral-diferencial (PID).

59

Memoria.

La manera más gráfica de observar la respuesta en frecuencia, y por tanto, de encontrar el mejor diseño para el control, es el gráfico de Black (o también denominado, de Nichols). En este gráfico (Fig. 27), no se muestra la respuesta en amplitud y fase sobre cada valor de pulsación, como es el caso del diagrama de Bode. Aquí, la respuesta está dibujada tal que en el eje de ordenadas se indica la fase y en el eje de abscisas se indica la amplitud en dB. Esto permitirá medir de forma sencilla el margen de fase y de ganancia. Nichols Chart 100

50

System: FTB3 Gain (dB): 60.3 Phase (deg): -230 Frequency (rad/sec): 88.9

System: FTB3 Gain (dB): 76.2 Phase (deg): -135 Frequency (rad/sec): 42.1

Open-Loop Gain (dB)

0

FT1 FT2 FT21 FT22 FT23 FT3 FTB1 FTB2 FTB3

-50

-100

-150

-200 -270

-225

-180

-135

-90

-45

0

45

Open-Loop Phase (deg)

Figura 27. Diagrama de Black de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia Io/D. El punto crítico, se dibuja en rojo.

El Margen de fase es el retraso de fase que habría que añadir al lazo abierto para obtener un sistema oscilante. Para medir este argumento, se debe ver el argumento que presenta la respuesta en frecuencia para una oscilación tal que su amplitud sea 1, es decir 0dB. Esta oscilación, se denomina pulsación de cruce (w0) y cuanto más grande sea, mas rápido

Memoria.

60

será el sistema. El propio margen de ganancia es también una medida cualitativa del amortiguamiento, ya que a mayor margen, mayor amortiguamiento. En el gráfico de Black, es la distancia desde el punto crítico -1 (0dB, -180º) a la curva. Esta distancia debe ser siempre positiva para que el lazo cerrado sea estable, lo cual en nuestro caso, no lo es (es de casi -). Del mismo modo, el margen de ganancia, que sería la distancia vertical desde el punto crítico a la curva, también debería ser positivo. En resumidas cuentas, para que nuestro sistema sea estable, la respuesta en lazo abierto del control y la planta deberá dibujar un gráfico de Black que haga su recorrido por debajo del punto crítico. Cada parte del control desplazará la curva de una forma u otra. La parte proporcional, si aplica al lazo una ganancia mayor o menor a 0dB, la curva se desplazará hacia arriba o hacia abajo respectivamente. La parte diferencial crea un adelanto de fase y una cierta ganancia, con lo que además de aumentar la rapidez del sistema, desplaza el margen de fase hacia la derecha (mayor amortiguamiento).La parte integral, además de dar precisión al control (elimina el error de seguimiento), aplica sobre la respuesta un retraso de fase, con lo que desplaza el margen de ganancia a la izquierda. Lo primero que se va a realizar es el diseño con el control más sencillo. Esto es, un control Proporcional, que es aquel que multiplica sobre la señal de entrada un valor concreto, es decir, que la función de transferencia equivalente a este control es C(s)=P, donde P es una constante. Este control tendrá que aplicar una ganancia de al menos -77dB para que el margen de fase se encuentre entre 45º y 60º, valores habituales para el diseño de un control. El valor de P, en unidades normales, es de 0,000155. Si se aplica este valor sobre la función FT22 (caso dos trenes en el medio), observamos que el diagrama de Black ahora se acoge a los

61

Memoria.

requisitos de estabilidad que se describen anteriormente, con un margen de fase de unos 53º (Fig. 28). Nichols Chart 50 System: F Gain (dB): -4.49 Phase (deg): -180 Frequency (rad/sec): 64.5

Open-Loop Gain (dB)

0 System: F Gain (dB): -0.0464 Phase (deg): -127 Frequency (rad/sec): 43.1

-50

-100

-150

-200

-250 -270

-225

-180

-135

-90

-45

0

45

Open-Loop Phase (deg)

Figura 28. Diagrama de Black del lazo abierto de la función FT22, con un control P-77dB (F)

Si se observa la respuesta ante un escalón del lazo cerrado (Es decir, la respuesta del sistema ante una variación de la corriente Io de 1 Amperio), mostrada en la figura 29, denotamos que el sistema, además de tener poco amortiguamiento, posee un error de seguimiento de casi un 20%. Esto significa que, si queremos darle precisión al sistema, tendremos que añadir al control una función integral.

62

Memoria.

Step Response 1.4

1.2

Amplitude

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Time (sec)

Figura 29. Respuesta ante un escalón del sistema con un control Proporcional

El control que se aplicará ahora a la planta es un control proporcional-integral. Este control posee una parte proporcional del mismo modo que el anterior, pero al mismo tiempo se añade una integración (1/s) de forma que éste irá reduciendo el error de seguimiento hasta que sea nulo. Sin embargo, este control produce un retardo de la fase, que conllevará a una respuesta más lenta. La función de transferencia equivalente a este bloque está descrita en la ecuación 13: E. 13

C PI ( S ) = Kp

1 + Is Is

A partir de esta función debe establecerse el margen de ganancia deseado y el retardo de fase que se pretende que aplique el control. Un retardo de fase muy bajo, corresponde a una integración muy eficaz contra ruidos y perturbaciones, pero de una respuesta lenta. El retardo habitual de diseño es de 10º. Una vez definido esto, hay que establecer el margen de ganancia deseado. El caso que presenta una mejor respuesta, es decir, rápida, y estable, es para un margen de ganancia mínimo, de 45º.

63

Memoria.

Para hallar los parámetros del control, basta con tomar el punto de la respuesta del lazo abierto que tiene de fase -125º, porque con el retardo de -10º que aportará la integración, será el punto cuyo valor será la frecuencia de pulsación. Este será el punto de diseño, del que se basarán los cálculos de los parámetros de control. Para nuestro caso, el valor de pulsación w de diseño será de 34,6 rad/seg y la amplitud de este punto es de 78,4dB, luego la ganancia total del control (Ac) en ese punto deberá ser de -78,4 dB Teniendo en cuenta las ecuaciones 14 y 15 se obtienen los valores de I y de Kp respectivamente:

ϕ PI = −10º E. 14

E. 15

w⋅ I =

−1 ≅5 tan ϕ PI

Kp = Ac ⋅ cos(ϕ PI )

De estas ecuaciones, y bajo las premisas que se plantean antes, los valores de los parámetros que mejor se adaptan al sistema son Kp de 0,0001184 (-78,53dB) e I de 0,1639. La respuesta en lazo cerrado ante un escalón (Fig. 30), demuestra que desaparece el error de seguimiento que había antes, y el tiempo de establecimiento es de unos 0,55 segundos.

64

Memoria.

Step Response 1.4

1.2

Amplitude

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.5

1

1.5

Time (sec)

Figura 30. Respuesta ante un escalón del sistema con un control Proporcional-Integral

Si queremos mejorar aún más el tiempo de establecimiento, tendremos que añadirle una acción diferencial. Así pues, el control que trataremos de hacer ahora es el de un control PID (Proporcional-IntegralDiferencial). Este control provoca un adelanto de fase sobre la palnta, de modo que podemos hacer que la frecuencia de pulsación sea mayor y en consecuencia, crear un control más rápido. La función de transferencia equivalente a este control está definida en la ecuación siguiente: E. 16

C PID ( S ) = Kp

1 + Is 1 + Ds ⋅ Is 1 + fDs

Al igual que en el caso anterior, lo primero que se debe establecer es el margen de fase deseado, el retardo que impondrá la acción integral y, como novedad, el adelanto que impondrá la acción diferencial. Este

65

Memoria.

adelanto (φPD) esta directamente ligado con el parámetro f de la forma siguiente:

E. 17

ϕ PD = arcsen

1− f 1+ f

0 ≤ f ≤1

Como conclusión de la ecuación 17, se entiende que a valores bajos de f, mayor adelanto de fase se podrá realizar, y en consecuencia, mayor rapidez del sistema. Sin embargo, la amplitud a altas frecuencias será proporcional a 1/f, con lo que los armónicos del PWM

y de otros

transitorios que se puedan producir, se amplificaran de modo que las oscilaciones en el sistema puedan acarrear problemas de estabilidad, pese a diseñar para un margen de ganancia aceptable. Es por eso, que el adelanto de fase no debe superar los 80º para evitar problemas. De la misma manera que el caso anterior, definiendo las condiciones tales como el retardo de la acción integral, El adelanto de la acción diferencial y estableciendo con estos datos el punto de diseño (esto es, hallar Ac y w), se deducen de la función de transferencia equivalente del control, las ecuaciones mediante las cuales se obtienen los parámetros del control. Estas ecuaciones además de las definidas anteriormente (ecuaciones 14, 15 y 17), se deberán añadir las siguientes: E. 18 ϕ C

E. 19

E. 20

= ϕ PD − ϕ PI

wD =

Kp = Ac ⋅ cos ϕ PI

1 f 1 + ( fwD) 2 1 + ( wD ) 2

Estas ecuaciones nos servirán para una primera obtención de los parámetros de diseño. Sin embargo, a la hora de implementar el control PID en el sistema, se ha optado por utilizar un regulador PID no

66

Memoria.

interactivo. Esta configuración, es muy habitual en los reguladores comerciales, y la ventaja más positiva de éste es que podemos variar la acción integral, diferencial o proporcional, sin afectar a la ganancia final del control, a diferencia del control interactivo, que como demuestra la ecuación 20, la ganancia está influenciada por los valores de D y de I . El esquema de este tipo de control, puede ser de muchas formas, pero la opción utilizada en este proyecto se puede observar en la figura 31:

Step

num (s)

1 s

1/Ti

K den (s)

I

INTEGRAL

Ganancia

Scope PLANTA

Td .s Td /N.s+1 DIFERENCIAL

Figura 31. Esquema del regulador PID no interactivo, utilizado para el control de intensidad

La Función de transferencia equivalente de este esquema de lazo cerrado de regulación (H(s)) se define mediante las siguientes ecuaciones: E. 21

E. 22

E. 23

H ( s) =

CI ( s ) =

CD( s ) =

1 Ti ⋅ s

Td ⋅ s Td ⋅ s N

K ⋅ (CI ( s ) + 1) ⋅ P( s ) 1 + K ⋅ (CI ( s ) + 1 + CD( s )) ⋅ P( s )

Donde P(s) es la planta Io/D. Así pues, La obtención inicial de los parámetros se hará según las premisas del control interactivo, pero una vez hallados, se obtendrán los

67

Memoria.

parámetros del control no interactivo según las ecuaciones siguientes, deducidas de la expresión anterior: E. 24

µ = 1 + (1 − f ) K = µ ⋅ Kp

E. 25

E. 26

E. 27

E. 28

D I

Ti = µ ⋅ I

1  Td =  − f  D µ  N=

1 −1 µf

Las condiciones de diseño que se han establecido para el control PID no interactivo serán diferentes. El adelanto de fase de la acción diferencial será de 70º, suficiente para no amplificar demasiado las perturbaciones. En el caso del control integral, se demostró que el margen de fase de 45º para este control, supone un amortiguamiento elevado, ya que en la respuesta ante un escalón de la figura 29 no se observa ninguna oscilación. Es por eso que ahora no nos fijaremos en el margen obtenido, sino que partiremos de la premisa de que, para un punto de diseño con fase -210º, el margen de fase máximo será 40º. Suponiendo que la acción integral no podrá reducir este margen lo suficiente como para que el sistema se vuelva inestable, el diseño inicial partirá de un valor de I elevado. Esto, hace que el retardo sea muy pequeño. Por ejemplo, El primer valor de I utilizado es de 10, y poco a poco iremos reduciendo el valor y observando la respuesta del sistema ante un escalón. Finalmente, los valores de diseño con los que la respuesta ha sido mejor, se resumen en las tabla 6 y 7, tanto los valores del regulador no interactivo, como sus equivalentes del regulador interactivo. Mediante el esquema de la figura 31, podemos simular la respuesta del sistema,

68

Memoria.

compuesto de planta y control, ante un escalón unitario, respuesta que se muestra en la figura 31 para los parámetros de control finales:

PID

Kp

I

D

F

7,998 ⋅ 10-5

0,18

0.070626

0,03109

Tabla 6. Parámetros del control de intensidad interactivo (PID)

P+I+D

K

Ti

Td

N

1,1039 ⋅ 10-4

0,2484

0,048976

22,305

Tabla 7. Parámetros equivalentes del control de intensidad no interactivo (P+I+D)

X: 1.281 Y: 0.9808

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 32. Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema con control P+I+D.

Las razones por las que este control es el más adecuado son obvias si comparamos las respuestas ante escalón de los tres controles distintos propuestos. El control P+I+D no posee error de seguimiento, y el tiempo de establecimiento es de 0,281 segundos, la mitad que con el control PI (en la figura se muestra el punto de establecimiento, al 2% y para un escalón

69

Memoria.

que actúa pasado 1 segundo de simulación). Tiene un amortiguamiento más que aceptable, con un sobrepaso de no más del 0,8 % de la amplitud. Es por todo esto por lo que al final, el control de intensidad diseñado será del tipo P+I+D y los parámetros serán los definidos en la tabla 7. Para comprobar que funciona para cualquier caso, se presenta la respuesta de la misma simulación para el caso imposible, con 14 trenes, en la figura 33. La única diferencia es que, como era de suponer, aumenta un poco el tiempo de establecimiento hasta 0,303 segundos. X: 1.251 Y: 0.9501

1

X: 1.303 Y: 0.9802

X: 1.573 Y: 1.003

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Figura 33. Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema imposible, con control P+I+D.

4

Obtención de la función de transferencia V+o/Io En este apartado, vamos a hacer el mismo desarrollo que el

explicado en el apartado 2 de este capítulo, con la salvedad de que ahora se tratará de encontrar las funciones definiendo como salida la tensión

70

Memoria.

entre vía y catenaria (V+o), y la entrada como la intensidad absorbida de la vía (Io). Este caso tiene una complicación añadida a lo explicado en el apartado 2. En los sistemas de Matlab, no se puede definir como entrada un parámetro que viene determinado por otros tantos del sistema, como es el caso de la intensidad, que está condicionada por la carga, la tensión y el factor de servicio del convertidor El único parámetro del convertidor donde se puede definir una entrada es el factor de servicio, como ocurría en el caso anterior. La solución para este problema es muy sencillo Lo que vamos a hacer es definir, para los 9 casos, un sistema que tiene como salida la tensión V+o y la entrada será, de nuevo, el factor de servicio D. Estos sistemas, al obtener mediante “linmod” la representación de estado y luego, con el resto de comandos, la función de transferencia, será la función V+O/D.

La obtención de las funciones de transferencia que

deseamos se hará mediante el cociente de estas nuevas funciones, con las funciones del apartado 2, viéndose clara la operación en la ecuación 29:

E. 29

V+0 ( s )

V+0 ( s ) I 0 ( s)

=

I 0 ( s)

D( s)

D( s )

Así pues, volvemos a definir las entradas y las salidas en los sistemas ferroviarios, tal y como se indica en la figura 34 (solo se incluye el esquema general, donde se ve la definición de la salida, ya que la entrada, definido en el esquema del convertidor, queda igual que en la figura 23). Del mismo modo, se muestran las diferentes funciones de transferencia obtenidas para los 9 casos de carga distintos, ya utilizados para la obtención de las funciones.

71

Memoria.

1 In1

11+

12+

21+

22+ In 1

I+

31 +

32 +

41+

42+

+

IV+ I0

Tren 1

V0

V+

V-

V-

V2

Scope 8

-

V1+

1 Out 1

V+x/V-x 11

12

21

22

31

32

41

42

V1-

V2

11-

12 -

21-

22-

31-

32-

41-

42-

Figura 34. Definición de la salida V+o (Out1) para la obtención de las funciones V+o/Io

Casos y

Funciones de transferencia V+o/Io

denominación de las funciones Un tren centro (GT1) Un tren medio (GT2) Un tren extremo

− 885.0115 ⋅ (s + 56,74) (s + 2,672 ⋅ 105 )

− 0,002562 ⋅ (s + 56,74) ⋅ (s + 2,776 ⋅ 105 ) (s + 2,183 ⋅ 105 ) - 0.0032436 (s + 56.74)

(GT3) Dos trenes centro (GT21) Dos trenes medio (GT22) Dos trenes extremo(GT23)

− 867,943 ⋅ (s + 56,74) (s + 2,559 ⋅ 105 )

- 0.0062(s + 2,775 ⋅ 105 )(s − 4619)(s + 101,8)(s + 56,76) (s + 3,403 ⋅ 104 )(s 2 + 2,126 ⋅ 105 ⋅ s + 2,748 ⋅ 108 ) - 0.0032436 (s + 56.74)

72

Memoria.

Caso Base (FTB1)

Caso Base Centro (GTB2) Caso Imposible (GTB3)

- 0,00143 ⋅ (s + 2.775 ⋅ 10 5 ) ⋅ (s + 56,74 ) (s + 1,188 ⋅ 10 5 ) - 844.603 (s + 3.726 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 56,74) (s + 9.663 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 9,304 ⋅ 104 ) - 844.603 (s + 3.726 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 56,74) (s + 9.663 ⋅ 105 ) ⋅ (s + 9,304 ⋅ 104 )

Tabla 8. Funciones de transferencia V+o/Io obtenidas para los nueve casos

Estas funciones presentan características completamente diferentes a las funciones de transferencia Io/D. La primera, es la ganancia estática negativa. Este hecho no supone ningún problema a la hora de diseñar el control de tensión, ya que la solución para que sea un sistema estable, será incluir una ganancia adicional de -1, es decir, eliminar el signo negativo de las funciones de transferencia. El segundo hecho más importante, es que todas las funciones poseen un numero de polos igual o menor que el número de ceros. Esto provoca que el sistema sea inestable, tanto si lo analizamos en lazo abierto como si lo analizamos en lazo cerrado. Aunque pueda parecer un hecho preocupante, en realidad, hay que recordar que a la hora de diseñar el control, no solo se debe tener en cuenta la planta V+o/Io, sino también el lazo cerrado interno que compone el control P+I+D junto con la planta Io/D (se recuerda ver el esquema general de regulación, figura 20). Por ello, las funciones de transferencia que se estudiarán directamente para obtener el control de tensión, se referirán al producto de la función del lazo cerrado de intensidad K(s), calculada para cada caso, con la función de transferencia V+o/Io (GT) que respecta. E. 30

L( s ) = K ( s ) ⋅ GT ( s )

73

Memoria.

Basándonos en el cálculo que proporcionan las ecuaciones 30 y 23 y usando los parámetros de la tabla 7, se llegan a las siguientes representaciones de lazo abierto de la planta V+o/Io. Debe tenerse en cuenta, que al igual que en los casos anteriores, las expresiones han sido simplificadas. Las expresiones completas pueden verse en el código fuente de este proyecto, al igual que en todos los casos anteriores. Casos

Funciones de transferencia V+o/Io con el lazo cerrado de intensidad

Un tren centro (L1) Un tren medio (L2) Un tren extremo (L3) Dos trenes centro (L21) Dos trenes medio (L22) Dos trenes extremo(L23) Caso Base (LB1) Caso Base Centro (LB2) Caso Imposible (LB3)

− 0,01223 ⋅ (s + 56,74)(s + 2,356 ⋅ 104 ) ( s + 10,82)(s 2 + 30,74 ⋅ s + 8041) − 0,012307 ⋅ (s + 56,74)(s + 2,356 ⋅ 104 ) ( s + 10,76)(s 2 + 31,14 ⋅ s + 8268) − 0,012385 ⋅ (s + 56,74)(s + 2,356 ⋅ 104 ) ( s + 10,74)(s 2 + 31,2 ⋅ s + 8374) − 0,012089 ⋅ (s + 56,74)(s + 2,356 ⋅ 10 4 ) ( s + 10,92)(s 2 + 30,16 ⋅ s + 7691) − 0,0231 ⋅ (s + 56,76)(s + 2,4 ⋅ 104 )(s + 3862)(s - 4619)(s + 2,7 ⋅ 105 ) ( s − 3,4 ⋅ 104 )( s + 10,92)(s 2 + 30 ⋅ s + 7691)(s 2 + 2,1 ⋅ 104 s + 2,75 ⋅ 108 )

− 0,012383 ⋅ (s + 56,74)(s + 2,356 ⋅ 104 ) ( s + 10,74)(s 2 + 31,2 ⋅ s + 8374) − 0,012077 ⋅ (s + 56,74)(s + 2,356 ⋅ 104 ) ( s + 10,83)(s 2 + 30,71 ⋅ s + 7876) − 0,011848 ⋅ (s + 56,74)(s + 2,356 ⋅ 104 ) ( s + 11,04)(s 2 + 29,42 ⋅ s + 7232) − 0,0099266 ⋅ (s + 56,74)(s + 2,356 ⋅ 104 ) ( s + 11,49)(s 2 + 26,01 ⋅ s + 5817)

74

Memoria.

Tabla 9. Funciones de transferencia V+o/Io con el lazo de control de intensidad, obtenidas para los nueve casos

Si observamos las expresiones de las distintas funciones de transferencia, simplificadas como todas las anteriores, se ven que todas ellas comparten los mismos polos y ceros característicos. La única excepción, es de nuevo la función FT22, donde cabe resaltar que aparece un polo negativo que produce inestabilidades, ya en el lazo abierto. Debemos insistir en la idea de que las simulaciones pueden cambiar los resultados, debido al método iterativo que utiliza Matlab para obtener la representación de estado. Ha habido veces, durante otras ejecuciones del proyecto, que las funciones problemáticas eran otras y FT22 se asemejaba a lo que son las expresiones de la mayoría. De hecho si observamos el diagrama de Bode que dibujan todas las expresiones (Fig. 35), vemos que en las frecuencias normales, todas ellas trazan prácticamente la misma curva tanto en amplitud como en fase. En el momento en que aparecen las frecuencias altas (entre 104 y 106), aparecen desviaciones de algunas funciones, resultado de los polos y ceros grandes que tienen en sus expresiones. No obstante, a frecuencias muy altas, vuelven a presentar la misma respuesta, todo igual que para el caso de las funciones de transferencia Io/D.

75

Memoria.

Bode Diagram

Magnitude (dB)

0

-50

-100

-150

-200 180

Phase (deg)

135 90 45 0 -45 -1 10

0

10

1

10

2

3

10

10

4

10

5

10

6

10

7

10

Frequency (rad/sec)

Figura 35. Diagrama de Bode del las respuestas de frecuencia de las funciones de transferencia V+o/Io

Para realizar el diseño de control, podemos basarnos en cualquiera de las expresiones de la tabla 9, excepto la función de FT22. Después, una vez terminado este control, comprobaremos que el sistema completo funciona para todas las expresiones.

5

Control de Tensión Este apartado, corresponde con el diseño del segundo módulo del

regulador del convertidor, el control de la tensión V+o. Nos basamos en todo lo explicado en este capítulo, es decir, Partimos de las funciones L que se expresan en la Tabla 9 y utilizando los mismos pasos de análisis que los utilizados para la obtención del control de intensidad, obtendremos los parámetros y la topología de este regulador de tensión.

76

Memoria.

Como ya se ha explicado antes, vamos a basarnos en la respuesta de frecuencia en lazo abierto de las expresiones de lo que será ahora nuestra planta, las funciones V+o/Io unidas al lazo de intensidad correspondiente. Esto son las funciones L, y como también se ha hecho en el apartado 3, la mejor manera de analizar la respuesta en lazo abierto de estas plantas, es observando la gráfica de Black que describen (Fig. 36). Nichols Chart 0 -20

Open-Loop Gain (dB)

-40 L1 L2 L21 L22 L23 L3 LB1 LB2 LB3

-60

-80 -100

-120

-140

-160

-180 -45

0

45

90

135

180

225

Open-Loop Phase (deg)

Figura 36. Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en lazo abierto de las funciones de transferencia L.

La primera inclusión que habrá que hacer en nuestro control de tensión es solucionar el problema del signo negativo. Este signo, viene a expresar que la intensidad Io es siempre un valor negativo, es decir, que si el control que vamos a diseñar deberá aumentar, en módulo, el valor de la intensidad Io para contrarrestar las caídas de tensión, la señal que saldrá del regulador deberá ser un valor negativo. Por eso, indiferentemente del tipo de controlador que vayamos a instalar, la ganancia debe incluir un factor -1.

77

Memoria.

Para poder diseñar del mismo modo que hemos diseñado el regulador P+I+D, multiplicamos todas las funciones de transferencia L por -1, de modo que en el diagrama de Black resultante ya podemos observar con mayor claridad la distancia al punto crítico, los márgenes de fase y los márgenes de ganancia. E. 31

H ( s ) = − L( s ) Nichols Chart

0 -20

Open-Loop Gain (dB)

-40 H1 H2 H21 H22 H23 H3 HB1 HB2 HB3

-60

-80 -100

-120

-140

-160

-180 -225

-180

-135

-90

-45

0

45

Open-Loop Phase (deg)

Figura 37. Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en lazo abierto de las funciones de transferencia H.

Si exceptuamos la función H22, que presenta un polo negativo, se puede observar en la figura 37 que todas las funciones restantes poseen estabilidad en lazo cerrado, dado que las respuestas ante un escalón llevan a un valor estable. El lazo cerrado, que de momento no incluye control, se calcula como se indica en la ecuación 32. Para calcular el lazo cerrado con el control, bastaría con H(s) por el producto de ésta y la función de transferencia equivalente del control.

78

Memoria.

J ( s) =

E. 32

H ( s) 1 + H ( s)

Step Response 0.18 0.16

0.14

Amplitude

0.12 J1 J2 J21 J23 J3 JB1 JB2 JB3

0.1 0.08

0.06

0.04

0.02

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Time (sec)

Figura 38. Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones H (J en lazo abierto) exceptuando H22.

Con esta primera aproximación, ya podemos saber que tipo de control de tensión se necesita diseñar. La respuesta natural del sistema posee un enorme error de seguimiento (más de un 80% de error), que con un simple control proporcional, no se podría reducir del todo. Esto, unido a que precisa también de cierto amortiguamiento, deja claro que el control ideal para este tipo de sistema será un control Proporcional-Integral (PI). Del mismo modo que se diseñó un control PI en el apartado 3, volvemos a hacer lo mismo, utilizando las mismas ecuaciones que lo rigen (E. 14 y 15). Las condiciones de diseño para este control serán semejantes a las que se utilizaron antes. El margen de fase que se obtendrá con el control

79

Memoria.

en lazo abierto no será menor de 45º y el retardo que añadirá el control será de unos 10º, luego el punto de diseño utilizado será la respuesta en frecuencia de los casos tal que la fase resultante sea de 125º. El valor medio de la frecuencia de pulsación, para todos los casos, es de 90 rad/seg, y una amplitud de -18,8dB. De todas estas condiciones, y usando las ecuaciones 14 y 15, obtenemos un control PI con los parámetros que se resumen en la tabla 10. No hay que olvidar, que se ha multiplicado la ganancia resultante por -1, porque la planta real a la que hay que añadir el control, será como las funciones de transferencia L y no las funciones H que hemos usado para diseñar de manera más sencilla.

PI de tensión

Kp

I

- 7,73306

0,063

Tabla 10. Parámetros del control de tensión interactivo (PI) y no interactivo

Step Response 1.2

1

Amplitude

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Time (sec)

Figura 39. Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones H con el control (J en lazo abierto) exceptuando H22.

Memoria.

80

La respuesta con los parámetros obtenidos y para todos los casos de carga está expresada en la figura 39. Se han probado diseños distintos, como por ejemplo mejorar el margen de ganancia hasta 60º para obtener un mayor amortiguamiento Los resultados que se obtenían no anulaban de manera significativa las oscilaciones que aparecen, y además, resultabn ser respuestas más lentas. Este control consigue, para cualquier caso, un tiempo de establecimiento de 0,1 segundos, con un sobrepaso muy corto en el tiempo (ya que se debe a las oscilaciones) de no más del 10% y con un error de seguimiento nulo.

En el próximo capítulo, donde se mostrará la implementación del control en cascada sobre el convertidor real, veremos que hará falta aislar la acción integral del regulador de tensión, para poder anular el que acumule error sobre él cuando se alcanza el máximo de intensidad nominal. Por eso, nuestro regulador PI será no interactivo (P+I), al igual que el control de intensidad. Mediante las ecuaciones equivalentes utilizadas en el apartado 3 (E. 24,25 y 26), se demuestra que el parámetro Ti es igual al parámetro I, y que el parámetro K es igual a Kp, luego los valores de la tabla 10 valen también para el control no interactivo que se usará en los resultados.

81

Memoria.

Capítulo 5 RESULTADOS

Este capítulo presenta los resultados obtenidos con la inclusión del control en cascada que se ha diseñado sobre el convertidor CC/CC del sistema 2x3000V. Antes de demostrar que funciona para cualquier tipo de carga y restricción de intensidad, se mostrará la implementación de los dos reguladores, el de tensión y el de intensidad. Una vez mostrado esto, se pasará a mostrar diferentes resultados para distintas cargas, comparando con los resultados que se obtendrían con un sistema ferroviario tradicional, para así ver las mejoras que se obtienen.

1

Implementación del control sobre el convertidor real Con los parámetros obtenidos en el capítulo anterior, el tipo de

control (PI para el control de tensión P+I+D para el control de intensidad), Ahora sólo falta llevar a la práctica el conjunto de reguladores sobre el modelo de convertidor real (Capítulo 3, apartado 2) La implementación del control se llevó, en un principio, como se muestra en la figura 40. Se puede observar que la referencia de intensidad que calcula el regulador de tensión pasa, antes de calcular la variación de Io, Por un bloque que hemos denominado “Restricción de Io”. Este bloque pertenece a la librería de Matlab, y se llama “Saturation”, debido a que, lo único que hace es limitar la señal entrante para que no supere un valor determinado. En este bloque es donde hay que definir la corriente máxima del convertidor. Si el control de tensión exige una intensidad superior al máximo que se defina en el bloque de saturación, éste mantendrá el valor de la intensidad máxima. Es entonces cuando la tensión de referencia deja de funcionar, porque la referencia se encontrará en el bloque de saturación. En el momento en que el control de tensión exija una

82

Memoria.

intensidad menor, el control de tensión volverá a llevar la referencia del convertidor. 1 V+

[Imeas _pos]

+

i -

Goto 4

Current Measurement

[SW1]

v

C

g

From [Vmeas _pos]

+ -

E

Goto 2

V+o SW 1

[SW1]

SW 2

[SW2]

[SW2]

Goto 1

From1

Goto Io

From5

Vx

[Vmeas _neg ]

+ -

[Imeas _0] E

v

2 V0

i -

filtroCurrent Measurement 2 g

Control

+

C

[Imeas _0]

Goto 6

+

Goto 3

i -

Current Measurement 1 [Imeas _neg ] Goto 5 3 V-

3000

AV

a1

Variacion V +o

Io

Kp2

Iv.s+1

a

AD

Io 1

Variacion del factor de servicio

1 s

1/Ti

Iv.s Referencia de tensión

KPI

1 V+o

Integral PI

RESTRICCION DE Io

Integral PID

Integrator

on

K

D

1 SW1

off

Proporcional PID

PWM

Td .s

0.5

Td /N.s+1

Factor de servicio

2 SW2

Diferencial PID Io 2

Figura 40. Implementación del control en cascada sobre el convertidor real, con bloque de saturación

Los resultados que se obtienen con este control inicial, demuestra que el sistema funciona correctamente. El primer caso que se ha probado, es el caso en el que no existen trenes sobre el sistema. Los resultados de las tensiones e intensidades del convertidor, se muestran sobre la figura 41.

83

Memoria.

Lo único destacable aquí es el arranque del convertidor. Debido al control, se crea un ligero transitorio, producto del establecimiento de las tensiones y las intensidades del sistema. Este transitorio es sin embargo muy poco duradero (de aproximadamente 0,5 segundos) y con sobrepasos también poco importantes, debido a que al ser una oscilación, el tiempo con sobretensión es muy corto y las intensidades no llegan a superar los 200 A. No obstante, las sobretensiones alcanzan en su mayor amplitud los 40V 3100

250 V+o VoIo I+ I-

200 150 100

3050

50

3000

0 -50

2950

-100 -150 -200 -250

2900 0

0.5

1

1.5

0

0.5

1

1.5

2

2

Figura 41. Transitorio de arranque del convertidor con control

Una vez arrancado el sistema hacemos distintas pruebas de carga. La primera prueba que se hace es la de arrancar todos los trenes de golpe, al igual que se hizo con las pruebas del convertidor sin control. Esta prueba pretende demostrar que el control no produce transitorios más acentuados que cuando no existía el control (ver capítulo 3, apartado 4), sino todo lo contrario. Si comparamos la primera de las simulaciones sin control, con la simulación siguiente (Fig. 42), donde todo es equivalente, salvo la inclusión del regulador en cascada, vemos que no se alcanzan los picos tan exagerados que se alcanzaban antes, sino que esos picos se reducen. Aunque es cierto que existen ciertas oscilaciones durante el transitorio, el tiempo de establecimiento es mucho menor, es decir el sistema responde muy rápidamente ante variaciones de carga. Las oscilaciones que se obtienen son el resultado también de la entrada brusca

84

Memoria.

de la carga, algo que no ocurrirá en un sistema de verdad. En el apartado siguiente, donde se muestran los resultados finales, introduciremos la carga de manera más real. Lo más destacable, sin embargo, no es el transitorio, sino que el control funciona correctamente, ya que la tensión V+o se mantiene sobre el valor de 3000V, a falta de restricciones sobre la intensidad. Además, se comprueba que el modelado sobre el sistema simplificado, sin tiristores, de donde obtuvimos los parámetros de control, es perfectamente equivalente al caso real. 3500 3000 2500 V+o VoIo I+ I-

2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Figura 42. Transitorio de arranque de las cargas, cuando se conectan instantáneamente cuatro trenes distribuidos por la vía (caso base)

Si añadimos la restricción de intensidad sobre el control, cuando se introducen las cargas el sistema responde también como se esperaba. Probando sobre el mismo caso, se ve en los resultados de la simulación que cuando se arranca la carga, a un segundo del arranque del sistema, la

85

Memoria.

tensión empieza a decaer justo cuando la intensidad alcanza el valor máximo, ya que sin poder transfomar la potencia necesaria, el sistema tendrá que reducir la tensión de salida. En la figura 43, se ve la aplicación de la restricción de intensidad a 900A, cuando el sistema sin bloque de saturación debería alcanzar los 1300A. No obstante, el problema surge cuando se desacoplan las cargas. Mientras el bloque de saturación impone una intensidad de referencia, el control de tensión sigue midiendo una variación en el voltaje entre catenaria y vía, que aumenta y se mantiene estable en un valor de (también mostrado en la figura 43). La acción integral de este regulador, empieza a acumular el error, ocasionado por la diferencia entre la tensión real y la de referencia. En consecuencia, la referencia de intensidad va aumentando a medida que se mantiene activo el bloque de saturación. 3500 3000 2500 V+o VoIo I+ I-

2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Figura 43. Respuesta del sistema ante un acople (0,5 seg) y desacople (2 seg) de la carga con bloque de saturación activado y sin control de la acción integral

86

Memoria.

En el momento en que las cargas dejan de consumir energía, la intensidad que ordena el control de tensión sigue siendo superior al máximo, de modo que mantiene la corriente Io a 900A. Esto produce que la tensión aumente, ya que no hay carga que consuma la intensidad que esta inyectando el convertidor y lo que se está haciendo por tanto es alimentar a la resistencia de los cables. En el momento en que el error se ha reducido, volvemos a alcanzar valores estables. Sin embargo, si para una simulación donde la carga ha estado presente sólo durante 1,5 segundos se alcanzan sobretensiones de 150V (250V de valor de pico), entonces cuando la carga dure 10 minutos, la sobretensión será de 60kV de continua, un valor completamente inaceptable. Si observamos la figura 44 podemos ver la señal de salida del control de tensión, donde se ve como se acumula el error hasta alcanzar una referencia de intensidad de casi 9000A. Luego, al desconectar los trenes, el error se reduce hasta llegar de nuevo a los 900A de intensidad máxima, después de 0,5 segundos.

2000

0

-2000

-4000

-6000

-8000

-10000

-12000

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 44. Señal de salida del regulador de tensión (referencia de Io)

3

87

Memoria.

Para solucionar este problema, se han tenido que hacer modificaciones sobre el esquema del control en cascada. Lo primero, ha sido cambiar el control PI de tensión por un control P+I, no interactivo. La razón de hacer esto es que se va a controlar la acción integral, independientemente de la acción proporcional. La siguiente modificación se encuentra sobre el bloque de saturación, al que se le hará una detección del momento en que se alcanza la intensidad máxima, mediante un bloque que compara la entrada y la salida (Fig. 45).

~= 0 Compare To Zero Ganancia control de Intensidad 3000 Referencia de Tensión

Kp2 Saturation Parametro de La integral

Ganancia Control de tensión

1/Iv 1 V+o

Parámetro de la integral

K

D

1 SW1

off

Integrator

PWM

2 SW2

Td .s

1 s

Td /N.s+1

Integrator 1

Bloque Diferencial

xo

on

1 s

1/Ti

0.5 Factor de servicio 2 Io

Figura 45. Control en cascada definitivo del convertidor

Cuando estos dos valores difieren, significa que la referencia de intensidad es superior al máximo permitido. La señal de detección es enviada al nuevo bloque integrador, que recibe la orden de congelar el error. Esto hace que, pese a que la variación de tensión no se soluciona, la acción integral se mantiene en el mismo estado en el que estaba cuando activó la saturación. Una vez finalizada la carga, el control de intensidad, que durante todo el tiempo anterior ha sido el verdadero regidor del factor de servicio, aumenta la tensión hasta que la diferencia entre la referencia de 3000V y la medida real sea lo suficiente pequeña como para que el bloque de saturación se desactive y se vuelva a retomar la acción integral. La diferencia de tensiones en ese momento será la misma que la que se tenía cuando se desactivó la integración, de modo que el regulador de tensión vuelve a tomar el control en el mismo punto en que lo perdió.

88

Memoria.

El resultado de la misma simulación con este nuevo control, es mucho más satisfactorio, ya que el convertidor reduce la intensidad en el mismo instante en que se comienzan a desconectar los trenes. Se pueden observar los nuevos resultados en la figura 46: 3500 3000 2500 V+o VoIo I+ I-

2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 46. Resultados de la simulación con el control definitivo.

Para comprobar que la restricción sobre la acción integral funciona, del mismo modo que se ha explicado. Se ha medido de nuevo el valor de la salida del control de tensión en la figura 47:

89

Memoria.

2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 -2000 -2500 -3000

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 47. Señal de salida del regulador de tensión (referencia de Io)

Si se compara la figura 47 con la 44, es decir, se ven los cambios que incurren sobre la señal de salida del control de tensión cuando se añade la desactivación de la acción integral, lo más destacable que se puede deducir es que el paso de un control Proporcional-Integral, a un control Proporcional, produce importantes transitorios internos en las señales. No obstante, los transitorios finales que se obtienen en la corriente y la tensión, no varían en absoluto, si se comparan los resultados de esta simulación (Fig. 44) con aquella en la que no se activa la restricción de la intensidad (Fig. 40).

2

Simulaciones finales Las

simulaciones

anteriores

se

observaban

los

transitorios

resultantes de activar y desactivar la carga de 4 trenes instantáneamente. Como es de suponer, este tipo de transitorios no sucederán jamás, ya que los trenes, irán haciendo caer la tensión de manera gradual, a medida que los trenes vayan recorriendo la vía.

90

Memoria.

Para crear un caso más realista, se hace ahora la misma simulación del caso base, con el convertidor y con el control definitivo, solo que esta vez, la carga de los trenes no entrará instantáneamente. Ahora, a la referencia de potencia de cada tren, se le aplica una rampa, que empieza en el tiempo a 0,5 segundos de comenzar la simulación, y crece durante un segundo hasta alcanzar la potencia de 1MW (Fig. 48). Todos los trenes actúan de ese modo, y es una forma de cargar el sistema de manera gradual, a modo en que lo haría un tren que comienza a desplazarse, con 4 MW en total. El resultado obtenido es la respuesta del convertidor que sería la más habitual, en caso de que el sistema 2x3000V se aplicara sobre un escenario real. 1

s

V

-

+

Ramp

fuentei

Saturation

+

Constant 1

Divide

perdidas Switch

Timer

1 + v -

tau .s+1

VT

Transfer Fcn

2 -

Figura 48. Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg

En los resultados de la simulación (Fig. 49) se ve que el aumento gradual hace que desaparezcan las oscilaciones anteriores, ya que la respuesta del sistema es frente a una rampa, y no frente a un paso. La rapidez, por el contrario, es semejante al resto de casos. Las variables del sistema se establecen pasados 0,3 segundos (establecimiento del 98%),

91

Memoria.

aunque no alcanzan los valores estables hasta pasados 0,5 en que el error de seguimiento se hace nulo. También, se puede observar como el sistema mantiene la tensión a 3000V hasta que la intensidad Io alcanza el valor de la restricción (1000A). Justo cando esto ocurre, a 1,4 segundos del inicio de la simulación, la tensión entre catenaria y vía deja de mantenerse en el valor de referencia, para que no sigan creciendo las corrientes del convertidor. 3500

3000

V+o VoIo I+ I-

2500

2000

1500

1000

500

0

-500

-1000

-1500

0

0.5

1

1.5

2

Figura 49. Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg

2.5

3

92

Memoria.

El siguiente resultado que se muestra ahora, proviene de una simulación igual a la anterior, solo que esta vez, se han añadido unas fuentes de tensión alterna. Estas nuevas fuentes pretenden añadir sobre la tensión de entrada de los grupos rectificadores de las subestaciones, el valor de un armónico característico. Dando por hecho que son rectificadores trifásicos, la frecuencia del armónico principal será de 150Hz, la amplitud impuesta ha sido de 600V, un 20% de amplitud de pico-pico de la tensión media continua. La amplitud del armónico dependerá del tipo de rectificador que se instale (como por ejemplo, si es controlado o no) luego se ha optado por darle este valor aproximado. La intención, es comprobar como afectan estos armónicos sobre el convertidor. 11+

12+

21+

22+

31 +

32 +

41+

42+

I+

armonico

V+ +

I-

+

Tren 1

V0

+

+

armonico

I0

Tren 3 Scope 8

V1+

Tren 4 V2+ -

V-

-

V+

-

Tren 2 -

V-

DC-DC

11

12

21

22

31

32

41

42

V1-

V2-

armonico3

11-

armonico

12 -

21-

22-

31-

32-

41-

42-

Figura 50. Sistema 2x3000V, con modelado de los armónicos de los grupos rectificadores.

Observando la figura 50, se muestra un rizado importante sobre las corrientes I+ e I- (de casi 300A), aunque no sobre las tensiones, ya que el control del factor de servicio hace que se mantenga la tensión de referencia, y por tanto, la tensión de salida produce un rizado de muy poca amplitud (de menos de 10V). Por lo tanto, las oscilaciones de las corrientes del convertidor se producen para que la tensión sea constante.

Memoria.

93

Las corrientes donde se producen estos rizados, son aquellas que tienen de valor medio, aproximadamente la mitad de –Io. Si se explica esto, es porque se tiene que entender que el rizado deberá si para un 25% de amplitud pico-pico sobre la tensión media del armónico principal, la amplitud del armónico producido en las corrientes es de un 30% (200 pico, pico), para que alcance el 100%, la amplitud en la tensión deberá ser de un 83%, lo cual no es habitual para este tipo de sistemas. No obstante, lo importante aquí no es el rizado de las corrientes, sino que la variación de carga en el sistema produce la misma respuesta, en valores medios, que en la simulación donde no existen armónicos. El sistema funciona correctamente tanto si trabaja como fuente de tensión, como si trabaja como fuente de Intensidad. Esto demuestra que para diseñar el control, no hace falta tener en cuenta los efectos de la rectificación de la tensión continua.

94

Memoria.

3500

3000

2500

V+o VoIo I+ I-

2000

1500

1000

500

0

-500

-1000

-1500

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 51. Resultados de simulación del convertidor, con armónicos de los grupos rectificadores

Sobre el resultado del resto de las variables, tales como la caída de tensión sobre los trenes, o el rendimiento general del sistema, no varían en absoluto con los resultados del artículo de Re, comentado en la introducción. Cuando el convertidor funciona como fuente de tensión, es decir, que la restricción de corriente no se ha activado, El sistema es equivalente

Memoria.

95

a la instalación de una nueva subestación. Esto significa, que a efectos prácticos, la distancia entre subestaciones se reduce a la mitad, y las caídas de tensión máximas que se producen, son también la mitad de grandes. Ahora, la tensión mínima está en el punto medio entre convertidor y los extremos del sistema, mientras que si no se instala el convertidor, la tensión mínima sería mayor y sobre el punto medio entre los extremos. En este régimen de funcionamiento, la carga es alimentada por tres fuentes de tensión. Para un escenario simétrico, como el del caso base, esto significa que la potencia distribuída por el convertidor CC/CC es el 33% del total de la potencia suministrada por los grupos rectificadores. Sin embargo, Si analizamos el caso de que hay un tren en el centro, la potencia consumida por el tren proviene en exclusiva del convertidor, ya que el hecho de mantener la tensión a 3000V, hace que la corriente necesaria no vaya por la catenaria principal, donde las diferencias de tensiones son nulas. Ahora, toda la corriente que consume el tren viaja por la catenaria auxiliar. Para el caso en el que el convertidor actúa como una fuente de intensidad, es decir, con la restricción activada, las caídas de tensión dependerán de la corriente máxima del convertidor, luego los resultados del sistema 2x3000V, están sujetos también a esta restricción. La potencia que distribuye el convertidor en este caso es su potencia nominal, y dependiendo del dimensionado del sistema, las caídas de tensión sobre los trenes serán mayores o menores.

96

Memoria.

Capítulo 6 CONCLUSIONES

Este proyecto es un estudio teórico sobre un método diferente de solucionar las caídas de tensión sobre un sistema ferroviario aplicando un convertidor CC/CC entre catenaria, vía y un cable auxiliar adicional que se lleva al valor de tensión opuesto a la principal. Este procedimiento era una idea de la que se habían realizado estudios relacionados con la topología del sistema y el rendimiento general, sin entrar en un estudio dinámico. Este proyecto fin de carrera, por el contrario, ha hecho un estudio dinámico para obtener las condiciones y las regulaciones en las que deberá de funcionar el convertidor CC/CC. La primera conclusión de este proyecto es que el sistema puede funcionar en un entorno donde existen variaciones de carga, armónicos y transitorios resultantes de estos cambios. El convertidor, no solo se puede adaptar rápidamente, sino que además, mediante un control en cascada con dos reguladores PI y PID normales, puede mantener la tensión nominal sobre el punto en que se instale y ante cualquier carga que exista sobre la vía. Además, si la potencia necesaria a transformar fuera superior al máximo admitido por el convertidor, el regulador en cascada Una de las cosas más destacables del estudio de la regulación del convertidor es que se puede utilizar un control sencillo, rápido y robusto, cuyos parámetros sólo dependerán del sistema ferroviario, es decir, de las vías, catenarias y la longitud del tramo que abarque el convertidor, indiferentemente de la posición y la cantidad de trenes que estén consumiendo energía. El esquema de control en cascada que se aplicado concretamente en este proyecto es la aportación más importante del estudio de la regulación del convertidor. Añadiendo los detalles finales

97

Memoria.

sobre la restricción de las acciones integrales, es sin duda, un esquema que de seguro se podrá aplicar en cualquier sistema 2x3000V que se desee implementar. El proyecto, está aplicado a una topología concreta del sistema 2x3000V, y el convertidor utilizado es el convertidor más sencillo de estudiar, un convertidor reductor o también denominado “chopper”. No obstante, la metodología que se ha desarrollado aquí, es perfectamente aplicable a cualquier otra topología del sistema 2x3000V, ya sea llevar la tensión del cable auxiliar (o

también denominado feeder) a un valor

superior a la nominal (como por ejemplo, 6000V) o bien utilizar un convertidor distinto a un reductor (como por ejemplo, un convertidor de puente completo, o “full bridge”) Así pues, lo más importante no son los resultados obtenidos, sino la metodología en sí, los pasos que se han ido dando para analizar el sistema 2x3000V, ya que aplicando este procedimiento, podremos analizar cualquier caso, con potenciales distintos en la catenaria auxiliar o con convertidores de distintos tipos.

98

Memoria.

Capítulo 7 FUTUROS DESARROLLOS

El siguiente desarrollo que se debería hacer tras este estudio, es aplicar la misma metodología de este proyecto a distintos convertidores CC/CC. El siguiente estudio lógico a éste es aplicar el sistema 2x3000V con un convertidor de Puente completo, o Full-Bridge. Este convertidor tiene una ventaja fundamental sobre el convertidor Chopper, y es el hecho de que posee aislamiento galvánico, con lo que posee una mayor seguridad para las personas. El aislamiento se debe al transformador de tensión que se sitúa la salida del puente rectificador. 3 V+ [Imeas _pos]

+

i -

Goto 4

+ -

v

IGBT 3

g

+ m

E

m

Goto 2

V+

Goto 6 Vx

IGBT 1 E

[Vmeas _pos]

[Imeas _0] C

From g

[SW1]

From4 C

[SW2]

Current Measurement

Diode 2

[SW1]

SW 1

1

[SW2]

SW 2

filtroCurrent Measurement 2

1 V0+

2

Goto V-

i -

Diode 3 3

Goto 1 Control

g

From5

Current Measurement 1

i -

+

m

IGBT 4 m

IGBT 2

E

Goto 3

C

From1 g

+ -

C

v

E

[Vmeas _neg ]

Linear Transformer 1 [SW2]

[SW1]

[Imeas _neg ] Goto 5 4 V-

Figura 52. Modelo del Convertidor “Chopper”

2 V0-

Memoria.

99

Para este modelo, el control desarrollado a lo largo del proyecto, con los mismos parámetros, no funciona para casos en los que no hay cargas sobre el sistema. Es necesario hacer un estudio desde el principio, comenzando por desarrollar un modelo simplificado de este convertidor. A partir de ahí, se volverían a obtener las funciones de transferencia necesarias para el diseño de un control concreto para este aparato.

Además de los posibles futuros desarrollos sobre la aplicación de otros tipos de convertidores CC/CC, También es interesante desarrollar un estudio del sistema 2x3000V, con una topología distinta, por ejemplo, llevando el cable auxiliar a una tensión de 6000V. Esta forma de implementar el sistema hará que la energía necesaria para el convertidor, se transporte sobre un potencial mayor y por tanto, el rendimiento global del sistema mejoraría [1]. Por ultimo, sería necesario un estudio económico en profundidad, apoyado sobre un caso real y con datos concretos de precios de instalación y componentes de los dispositivos necesarios. De esta manera, se podría estimar mejor en cuanto será más rentable el sistema 2x3000V frente al resto de las soluciones clásicas de ampliación de la potencia de una catenaria.

Memoria.

BIBLIOGRAFÍA [1]

P. Ladoux, F. Alvarez, H. Caron, G. Josse, J. P. Perret “Une Nouvelle structure d’alimentation des caténaires 1500 V: le Systeme 2 x 1500 V”, Revue Générale de Chemins de Fer, nº 151, pp. 21-31 Elsevier Science, 2006.

[2]

Hart, “Introduction to Power Electronics”, Prentice Hall, 1997

[3]

F. Luís Pagola “Regulación Automática”, Colección Ingeniería 25, Universidad Pontificia Comillas, Madrid

100

Estudio económico.

Parte II ESTUDIO ECONÓMICO

101

Estudio económico.

102

Este proyecto es un sistema completamente teórico. El sistema ferroviario del que parte todo el estudio posee valores típicos de resistividad y de inductancia, pero todo lo desarrollado, no se ha aplicado sobre un caso concreto, con vistas a conocer la viabilidad de sino que se pretende ampliar las ideas sobre una posible nueva forma de alimentar las catenarias de los sistemas ferroviarios que funcionan a corriente continua. Lo que se demuestra a lo largo de toda la memoria es su viabilidad técnica, y no económica. No obstante, el resultado del estudio ha sido el esperado, y se ha comprobado que el sistema 2x3000V puede sustituir a la perfección a un grupo nuevo de rectificadores. Partiendo de que se ha demostrado que el proyecto es completamente viable tecnológicamente, la viabilidad económica va a depender mucho de las condiciones donde se quiera instalar el sistema 2x3000V. La alternativa que pretende sustituir es la instalación de una nueva subestación y de sus grupos rectificadores ya que ambos funcionan a efectos prácticos de la misma manera: manteniendo una tensión controlada en la catenaria sobre el punto donde se encuentren. La clave de la viabilidad económica no se encuentra en los precios de la instalación de una nueva subestación o un convertidor CC/CC, los cuales van a ser predeciblemente favorables al sistema 2x3000V. Lo que hace falta ver es, para cada caso donde se desee instalar una nueva fuente de tensión de la catenaria, los costes de conexión a la red eléctrica de media tensión en comparación con los costes de instalación del cable auxiliar, unido a los nuevos grupos rectificadores de las subestaciones ya instaladas. Si la red eléctrica, está alejada lo suficiente como para que sea más rentable la instalación de un cable auxiliar entre las subestaciones existentes, junto con el nuevo grupo de rectificadores, el proyecto poseería una clara ventaja económica sobre la instalación de una nueva

Estudio económico.

103

subestación. En este caso, está claro que el proyecto es una alternativa mucho más rentable. Para el resto de casos, cuando no hay problemas de conexión de red, puede resultar mejor el sistema 2x3000V o no, ya sea dependiendo de la potencia necesaria para ampliar y sobretodo, de la disponibilidad de ésta sobre las subestaciones existentes. De lo contrario, habría que incurrir en gastos de ampliación de las subestaciones. Lo que está claro, es que el sistema 2x3000V puede ser claramente competitivo en muchos de los posibles casos reales que hay ahora mismo.

Estudio económico.

104

Código fuente.

Parte III CÓDIGO FUENTE

105

Código fuente.

106

En esta parte del proyecto se adjuntan todos los resultados numéricos obtenidos de las simulaciones sobre Matlab. Se pretende dar así todos los comandos que se han ejecutado para obtener las funciones de transferencia del sistema, las cuales se presentan en la memoria muchas veces en formas simplificadas Una de las razones de hacer esto, es que los métodos iterativos de Matlab, pueden llevar a que la ejecución de los sistemas sobre otro ordenador den números ligeramente distintos, o es más, que aparezcan ciertos polos o ceros de frecuencia muy alta que son despreciables. Para conocer los datos utilizados a lo largo de todo el proyecto, se presentan las diversas capturas del código resultante de la ejecución de las simulaciones. La primera captura (11 páginas) corresponde a la ejecución de los tres casos de carga con un tren en la catenaria, explicados en la memoria. Estos son, “untrencentro”, “untrenmedio” y “untrenextremo” y sus equivalentes “untrencentro2”, “untrenmedio2” y untrenextremo2”. Las primeras tres simulaciones tienen definidos como entrada la variación del factor de servicio D y salida la intensidad Io, obteniendo como resultados la representación de estado (A, B, C, D) y las funciones Io/D (funciones FT). Las tres siguientes, son las simulaciones con D como entrada y V+o como salida, obteniendo como resultado las representaciones de estado y las funciones de transferencia V+o/D (funciones G). En cada caso, se aplican los siguientes comandos: [A B C D]= linmod (“nombre del sistema”); Halla las matrices A, B C, D de la representación de estado [num den]= ss2tf (A B C D); halla los coeficientes de los polinomios del numerador y del denominador de la función de transferencia consecuente con la representación de estado.

Código fuente.

107

xxxx = tf(num, den); guarda los vectores en forma de función de transferencia, con el nombre correspondiente al inicio de la igualdad. xxxx = zpk(xxxx); guarda la función de forma que se observan las raices de los polinomios, es decir, en forma de polos, ceros y ganancia. xxxx = minreal(xxxx); elimina los polos y ceros que sean iguales, para simplificar la función.

Obteniendo las dos expresiones FT y G de cada caso, luego se realiza la división de ambos valores, obteniendo las funciones GT, funciones de transferencia V+o/Io. También se aplican los comandos “zpk” y “minreal” para simplificar los valores La segunda captura (12 páginas) es el mismo procedimiento que el anterior, solo que para los casos con dos trenes en la simulación Estos son, “dostrencentro”, “dostrenmedio” y “dostrenextremo” y sus equivalentes “dostrencentro2”, “dostrenmedio2” y dostrenextremo2”. La tercera Captura (20 página) es el mismo procedimiento, de nuevo, para los casos base de simulación, que son “casobase”, “casobasecentro” y “casoimposible” y sus equivalentes casobase2”, “casobasecentro2” y “casoimposible2” La última captura, es el cálculo de los lazos abiertos equivalentes de la planta junto con el lazo de control de la intensidad, es decir, las plantas V+o Io necesarias. Son cálculos normales, apoyados en las ecuaciones de la memoria. (E.) Estas capturas presentan, en definitiva, los resultados numéricos en los que se apoya todo el estudio del convertidor CC/CC.

Código fuente.

108

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MATLAB Command Window

1 of 11

>> [A,B,C,D]=linmod('untrencentro'); Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 >> A A = 1.0e+004 * -0.0100 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0136 0.0136 0.0000

0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 -0.0012 0.0012 0.0000

0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 -0.0012 0.0012 0.0000

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0012 -0.0012 -0.0000

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0012 -0.0012 -0.0000

-0.0000 0.0039 0.0039 -0.0039 -0.0039 -1.1781 -1.1781 -0.0021

0.0000 -0.0039 -0.0039 0.0039 0.0039 -1.1781 -1.1781 0.0021

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0012 -0.0012 -0.0001

1.0000

1.0000

-1.0000

-1.0000

0.0006

-0.0006

0.0000

>> B B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 2.4704 >> C C = 11.5427 >> D D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> FT1=tf(num,den) Transfer function:

31/08/09 0:39

MATLAB Command Window

2 of 11

0.1372 s^7 + 4.317e004 s^6 + 1.815e009 s^5 + 2.082e013 s^4 + 5.287e015 s^3 + 4.892 e017 s^2 + 1.961e019 s + 2.89e020 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.004e009 s^5 + 7.989e010 s^4 + 4.08e012 s^3 + 1.274e014 s^2 + 2.031e015 s

+ 1.007e016

>> FT1=zpk(FT1) Zero/pole/gain: 0.13724 (s+2.672e005) (s+2.356e004)^2 (s+101.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 ---------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004) (s+100.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3661) >> FT1=minreal(FT1) Zero/pole/gain: 0.13724 (s+2.672e005) (s+2.356e004)^2 (s+101.7) ------------------------------------------------------(s+2.356e004) (s+100.7) (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3661) >> [A,B,C,D]=linmod('untrencentro2'); Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 >> A A = 1.0e+004 * -0.0100 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0136 0.0136 0.0000 >> B B = 1.0e+005 *

0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 -0.0012 0.0012 0.0000

0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 -0.0012 0.0012 0.0000

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0012 -0.0012 -0.0000

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0012 -0.0012 -0.0000

-0.0000 0.0039 0.0039 -0.0039 -0.0039 -1.1781 -1.1781 -0.0021

0.0000 -0.0039 -0.0039 0.0039 0.0039 -1.1781 -1.1781 0.0021

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0012 -0.0012 -0.0001

31/08/09 0:39

MATLAB Command Window

3 of 11

0 0 0 0 0 0 0 2.4704 >> C C = 0.0058

0.0005

0.0005

-0.0005

-0.0005

-0.5000

0.5000

-0.0005

>> D D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> G1=tf(num,den) Transfer function: -123.5 s^7 - 5.859e006 s^6 - 7.04e010 s^5 - 2.167e013 s^4 - 2.634e015 s^3 - 1.576 e017 s^2 - 4.654e018 s - 5.433e019 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.004e009 s^5 + 7.989e010 s^4 + 4.08e012 s^3 + 1.274e014 s^2 + 2.031e015 s

+ 1.007e016

>> G1=zpk(G1) Zero/pole/gain: -123.522 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74)^2 (s+49.6)^2 ---------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004) (s+100.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3661) >> G1=minreal(G1) Zero/pole/gain: -123.522 (s+2.356e004) (s+100) (s+56.74) ----------------------------------------(s+100.7) (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3661) >> GT1=G1/FT1

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MATLAB Command Window

4 of 11

Zero/pole/gain: -900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+100.7) (s+100) (s+56.74) (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3661) -----------------------------------------------------------------------------------(s+100.7) (s+101.7) (s+8.301) (s+2.356e004)^2 (s+2.672e005) (s^2 + 48.64s + 3661) >> GT1=zpk(GT1) Zero/pole/gain: -900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+100.7) (s+100) (s+56.74) (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3661) -----------------------------------------------------------------------------------(s+100.7) (s+101.7) (s+8.301) (s+2.356e004)^2 (s+2.672e005) (s^2 + 48.64s + 3661) >> GT1=minreal(GT1) Zero/pole/gain: -900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74) ------------------------------------------(s+101.7) (s+2.356e004)^2 (s+2.672e005) >> [A,B,C,D]=linmod('untrenmedio'); Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 >> A A = 1.0e+006 * 0.0104

0.0009

-0.0009

0

0

0

0

0

-1.6797 -0.0000 1.6797 0.0000 0 0.0000 0 -0.0000 0 -0.0000 0 0.0000 0 -0.0000 0

-0.1441

0.1440

-0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0000

0.0000

0.1440

-0.1441

-0.0000

0.0000

0.0000

0.0001

-0.0001

-0.0000

-0.0000

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0.0000

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0

0.0000

0.0000

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0.0000

0

0.0000

0.0000

-0.0000

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0.0000

0

-0.0000

-0.0000

0.0000

0.0000

-0.0118

-0.0118

0

0.0000

0.0000

-0.0000

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-0.0118

-0.0118

0

0.0000

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-0.0000

0.0000

0

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MATLAB Command Window

5 of 11

-0.0000 >> B B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4917 >> C C = 0

0

1

1

-1

-1

0

0

0

>> D D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> FT2=tf(num,den) Transfer function: 4.838e004 s^7 + 1.285e010 s^6 + 5.278e014 s^5 + 5.998e018 s^4 + 1.526e021 s^3 + 1.414e023 s^2 + 5.674e024 s + 8.367e025 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^9 + 3.015e005 s^8 + 6.637e009 s^7 + 2.076e012 s^6 + 2.82e014 s^5 + 2.257e016 s^4 + 1.159e018 s^3 + 3.631e019 s^2

+ 5.788e020 s + 2.849e021

>> FT2=zpk(FT2) Zero/pole/gain: 48380.0287 (s+2.183e005) (s+2.356e004)^2 (s+102.2) (s+56.74) (s+49.6)^2 --------------------------------------------------------------------------------------(s+2.776e005) (s+2.356e004) (s+102) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738)

31/08/09 0:39

MATLAB Command Window

6 of 11

>> FT2=minreal(FT2) Zero/pole/gain: 48380.0287 (s+2.183e005) (s+2.356e004) (s+102.2) ----------------------------------------------------(s+2.776e005) (s+102) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738) >> [A,B,C,D]=linmod('untrenmedio2') Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * 0.0104

0.0009

-0.0009

0

0

0

0

0

-1.6797 -0.0000 1.6797 0.0000 0 0.0000 0 -0.0000 0 -0.0000 0 0.0000 0 -0.0000 0 -0.0000

-0.1441

0.1440

-0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0000

0.0000

0.1440

-0.1441

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0.0000

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0.0001

-0.0001

-0.0000

-0.0000

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0.0000

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0

0.0000

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0

-0.0000

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0.0000

-0.0118

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0

0.0000

0.0000

-0.0000

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-0.0118

-0.0118

0

0.0000

0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0000

0.0000

0

B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4917

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MATLAB Command Window

7 of 11

C = 0

0

0.0005

0.0005

-0.0005

-0.0005

-0.5000

0.5000

-0.0005

D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> G2=tf(num,den) Transfer function: -124.6 s^8 - 4.05e007 s^7 - 1.712e012 s^6 - 1.974e016 s^5 - 6.104e018 s^4 - 7.449 e020 s^3 - 4.472e022 s^2 - 1.323e024 s

- 1.548e025 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^9 + 3.015e005 s^8 + 6.637e009 s^7 + 2.076e012 s^6 + 2.82e014 s^5 + 2.257e016 s^4 + 1.159e018 s^3 + 3.631e019 s^2

+ 5.788e020 s + 2.849e021

>> G2=zpk(G2) Zero/pole/gain: -124.5875 (s+2.776e005) (s+2.356e004)^2 (s+101.8) (s+56.74)^2 (s+49.6)^2 --------------------------------------------------------------------------------------(s+2.776e005) (s+2.356e004) (s+102) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738) >> G2=minreal(G2) Zero/pole/gain: -124.5875 (s+2.776e005) (s+2.356e004) (s+101.8) (s+56.74) --------------------------------------------------------(s+2.776e005) (s+102) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738) >> GT2=G2/FT2 Zero/pole/gain: -0.0025752 (s+2.776e005)^2 (s+2.356e004) (s+102) (s+101.8) (s+56.74) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738) ------------------------------------------------------------------------------------

31/08/09 0:39

MATLAB Command Window

8 of 11

---------------(s+2.776e005) (s+2.183e005) (s+2.356e004) (s+102.2) (s+102) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738) >> GT2=zpk(GT2) Zero/pole/gain: -0.0025752 (s+2.776e005)^2 (s+2.356e004) (s+102) (s+101.8) (s+56.74) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738) --------------------------------------------------------------------------------------------------(s+2.776e005) (s+2.183e005) (s+2.356e004) (s+102.2) (s+102) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738) >> GT2=minreal(GT2) Zero/pole/gain: -0.0025752 (s+2.776e005)^2 (s+101.8) (s+56.74) ---------------------------------------------(s+2.776e005) (s+2.183e005) (s+102.2) >> [A,B,C,D]=linmod('untrenextremo') Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100 0 0 0 0 0 0 0

B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0

0 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 -0.0012 0.0012 0.0000

0 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 -0.0012 0.0012 0.0000

0 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0012 -0.0012 -0.0000

0 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0012 -0.0012 -0.0000

0 0.0039 0.0039 -0.0039 -0.0039 -1.1781 -1.1781 -0.0021

0 -0.0039 -0.0039 0.0039 0.0039 -1.1781 -1.1781 0.0021

0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0012 -0.0012 -0.0001

31/08/09 0:39

MATLAB Command Window

9 of 11

0 2.5133

C = 0

1

1

-1

-1

0

0

0

D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> FT3=tf(num,den) Transfer function: 3.874e004 s^6 + 1.836e009 s^5 + 2.198e013 s^4 + 5.548e015 s^3 + 5.112e017 s^2 + 2.043e019 s + 3.003e020 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.007e009 s^5 + 8.056e010 s^4 + 4.134e012 s^3 + 1.293e014 s^2 + 2.057e015 s

+ 1.009e016

>> FT3=zpk(FT3) Zero/pole/gain: 38742.3104 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74) (s+49.6)^2 -------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004) (s+100) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> FT3=minreal(FT3) Zero/pole/gain: 38742.3104 (s+2.356e004) ------------------------------(s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> [A,B,C,D]=linmod('untrenextremo2') Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A =

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MATLAB Command Window

10 of 11

1.0e+004 * -0.0100 0 0 0 0 0 0 0

0 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 -0.0012 0.0012 0.0000

0 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 -0.0012 0.0012 0.0000

0 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0012 -0.0012 -0.0000

0 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0012 -0.0012 -0.0000

0 0.0039 0.0039 -0.0039 -0.0039 -1.1781 -1.1781 -0.0021

0 -0.0039 -0.0039 0.0039 0.0039 -1.1781 -1.1781 0.0021

0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0012 -0.0012 -0.0001

0.0005

0.0005

-0.0005

-0.0005

-0.5000

0.5000

-0.0005

B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 2.5133

C = 0

D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> G3=tf(num,den) Transfer function: -125.7 s^7 - 5.961e006 s^6 - 7.162e010 s^5 - 2.204e013 s^4 - 2.679e015 s^3 - 1.603 e017 s^2 - 4.734e018 s - 5.527e019 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.007e009 s^5 + 8.056e010 s^4 + 4.134e012 s^3 + 1.293e014 s^2 + 2.057e015 s

+ 1.009e016

>> G3=zpk(G3) Zero/pole/gain:

31/08/09 0:39

MATLAB Command Window

-125.6637 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74)^2 (s+49.6)^2 -------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004) (s+100) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> G3=minreal(G3) Zero/pole/gain: -125.6637 (s+2.356e004) (s+56.74) --------------------------------(s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> GT3=G3/FT3 Zero/pole/gain: -0.0032436 (s+2.356e004) (s+56.74) (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) -----------------------------------------------------------------(s+8.144) (s+2.356e004) (s^2 + 49.51s + 3765) >> GT3=zpk(GT3) Zero/pole/gain: -0.0032436 (s+2.356e004) (s+56.74) (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) -----------------------------------------------------------------(s+8.144) (s+2.356e004) (s^2 + 49.51s + 3765) >> GT3=minreal(GT3) Zero/pole/gain: -0.0032436 (s+56.74) >>

11 of 11

31/08/09 0:58

MATLAB Command Window

1 of 12

>> [A,B,C,D]=linmod('dostrencentro') Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100 -0.0001 -0.0001 0.0001 0.0001 -0.0283 0.0283 0.0001

0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 -0.0012 0.0012 0.0000

0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 -0.0012 0.0012 0.0000

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0012 -0.0012 -0.0000

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0012 -0.0012 -0.0000

-0.0000 0.0039 0.0039 -0.0039 -0.0039 -1.1781 -1.1781 -0.0021

0.0000 -0.0039 -0.0039 0.0039 0.0039 -1.1781 -1.1781 0.0021

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0012 -0.0012 -0.0001

1.0000

1.0000

-1.0000

-1.0000

0.0006

-0.0006

0.0000

B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 2.4263

C = 24.0283

D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> FT21=tf(num,den) Transfer function: 0.1348 s^7 + 4.088e004 s^6 + 1.711e009 s^5 + 1.959e013 s^4 + 5.013e015 s^3 + 4.662 e017 s^2 + 1.876e019 s + 2.772e020 ------------------------------------------------------------------------------------

31/08/09 0:58

MATLAB Command Window

2 of 12

-----------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.001e009 s^5 + 7.914e010 s^4 + 4.021e012 s^3 + 1.253e014 s^2 + 2.002e015 s

+ 1.005e016

>> FT21=zpk(FT21) Zero/pole/gain: 0.13479 (s+2.559e005) (s+2.356e004)^2 (s+103.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 ---------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004) (s+101.5) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.481) (s^2 + 47.67s + 3548) >> FT21=minreal(FT21) Zero/pole/gain: 0.13479 (s+2.559e005) (s+2.356e004)^2 (s+103.7) ------------------------------------------------------(s+2.356e004) (s+101.5) (s+8.481) (s^2 + 47.67s + 3548) >> [A,B,C,D]=linmod('dostrencentro2') Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100 -0.0001 -0.0001 0.0001 0.0001 -0.0283 0.0283 0.0001

B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0

0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 -0.0012 0.0012 0.0000

0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 -0.0012 0.0012 0.0000

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0012 -0.0012 -0.0000

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0012 -0.0012 -0.0000

-0.0000 0.0039 0.0039 -0.0039 -0.0039 -1.1781 -1.1781 -0.0021

0.0000 -0.0039 -0.0039 0.0039 0.0039 -1.1781 -1.1781 0.0021

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0012 -0.0012 -0.0001

31/08/09 0:58

MATLAB Command Window

3 of 12

0 0 2.4263

C = 0.0120

0.0005

0.0005

-0.0005

-0.0005

-0.5000

0.5000

-0.0005

D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> G21=tf(num,den) Transfer function: -121.3 s^7 - 5.755e006 s^6 - 6.914e010 s^5 - 2.128e013 s^4 - 2.587e015 s^3 - 1.548 e017 s^2 - 4.57e018 s - 5.336e019 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.001e009 s^5 + 7.914e010 s^4 + 4.021e012 s^3 + 1.253e014 s^2 + 2.002e015 s

+ 1.005e016

>> G21=zpk(G21) Zero/pole/gain: -121.3161 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74)^2 (s+49.6)^2 ---------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004) (s+101.5) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.481) (s^2 + 47.67s + 3548) >> G21=minreal(G21) Zero/pole/gain: -121.3161 (s+2.356e004) (s+100) (s+56.74) ----------------------------------------(s+101.5) (s+8.481) (s^2 + 47.67s + 3548) >> GT21=G21/FT21 Zero/pole/gain: -900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+101.5) (s+100) (s+56.74) (s+8.481) (s^2 + 47.67s + 3548) -----------------------------------------------------------------------------------(s+101.5) (s+103.7) (s+8.481) (s+2.356e004)^2 (s+2.559e005) (s^2 + 47.67s + 3548) >> GT21=minreal(GT21)

31/08/09 0:58

MATLAB Command Window

4 of 12

Zero/pole/gain: -900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74) ------------------------------------------(s+103.7) (s+2.356e004)^2 (s+2.559e005) >> [A,B,C,D]=linmod('dostrenmedio') Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * 0.0105

0.0009

-0.0009

0

0

0

0

0

0

0

0.0009

-0.0009

0

-1.6967 0 -0.1441 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.6967 0 0.1440 0.0001 -0.0001 0.0000 0 0 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 -1.6967 0 -0.0001 0.0001 -0.0000 0 1.6967 0 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0118 -0.0118 0.0000 0 0 0 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0 0 0 -0.0000 0.0000 -0.0000

0.1440

-0.0000

-0.0000

0

-0.0000

-0.1441

-0.0000

0.0000

0

0.0000

-0.0000

-0.0001

0.0000

0

0.0000

0.0000

0.0000

-0.1441

0.1440

-0.0000

-0.0000

-0.0000

0.1440

-0.1441

-0.0000

0.0000

0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0001

-0.0000

-0.0000

0.0000

0

0.0000

0.0000

0.0000

-0.0000

0

-0.0000

0.0000

0.0000

-0.0000

0

-0.0000

0

0 0

0 0

0

B = 1.0e+005 * 0 0 -0.0000 -0.0003 0.0001 0.0003 0.0000

0 0.0105 0

31/08/09 0:58

MATLAB Command Window

5 of 12

-0.0001 0.0384 0.0384 2.4700

C = 0

0

0

1

1

-1

0

-1

0

0

0

D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> FT22=tf(num,den) Transfer function: -26.1 s^10 - 7.534e006 s^9 - 6.137e010 s^8 + 5.926e015 s^7 + 1.522e020 s^6 + 1.65 e024 s^5 + 5.828e026 s^4 + 8.1e028 s^3 + 5.482e030 s^2 + 1.807e032 s + 2.329e033 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^11 + 5.79e005 s^10 + 9.034e010 s^9 + 1.852e015 s^8 + 7.638e017 s^7 + 1.368e020 s^6 + 1.421e022 s^5 + 9.565e023 s^4 + 4.265e025 s^3 + 1.181e027 s^2 + 1.708e028 s + 8.042e028

>> FT22=zpk(FT22) Zero/pole/gain: -26.0978 (s+2.775e005) (s-3.403e004) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+2.775e005)^2 (s+2.356e004) (s+102.2) (s+101.8) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.225) (s^2 + 49.05s + 3711) >> FT22=minreal(FT22) Zero/pole/gain: -26.0978 (s-3.403e004) (s+2.775e005) (s+102.7) (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008) ----------------------------------------------------------------------------(s+2.775e005)^2 (s+102.2) (s+8.225) (s^2 + 49.05s + 3711)

31/08/09 0:58

MATLAB Command Window

6 of 12

>> [A,B,C,D]=linmod('dostrenmedio2') Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * 0.0105

0.0009

-0.0009

0

0

0

0

0

0

0

0.0009

-0.0009

0

-1.6967 0 -0.1441 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.6967 0 0.1440 0.0001 -0.0001 0.0000 0 0 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 -1.6967 0 -0.0001 0.0001 -0.0000 0 1.6967 0 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0118 -0.0118 0.0000 0 0 0 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0 0 0 -0.0000 0.0000 -0.0000

0.1440

-0.0000

-0.0000

0

-0.0000

-0.1441

-0.0000

0.0000

0

0.0000

-0.0000

-0.0001

0.0000

0

0.0000

0.0000

0.0000

-0.1441

0.1440

-0.0000

-0.0000

-0.0000

0.1440

-0.1441

-0.0000

0.0000

0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0001

-0.0000

-0.0000

0.0000

0

0.0000

0.0000

0.0000

-0.0000

0

-0.0000

0.0000

0.0000

-0.0000

0

-0.0000

0

0 0

0 0

0

B = 1.0e+005 * 0 0 -0.0000 -0.0003 0.0001 0.0003 0.0000 -0.0001 0.0384 0.0384 2.4700

0 0.0105 0

31/08/09 0:58

MATLAB Command Window

7 of 12

C = 0

0.0005

0.0005

-0.0005

0

-0.0005

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0003 -0.0162 -0.4131 -4.3344

-0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0001

-0.5000

0 0.5000

0 -0.0005

D = 0.1631 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) num = 1.0e+032 *

den = 1.0e+028 * 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0043 0.1181 1.7081 8.0420 >>

G22=tf(num,den)

Transfer function: 0.1631 s^11 + 9.43e004 s^10 + 1.466e010 s^9 + 2.892e014 s^8 - 3.671e017 s^7 - 5.462 e021 s^6 - 2.23e024 s^5 - 3.757e026 s^4 - 3.315e028 s^3 1.616e030 s^2 - 4.131e031 s - 4.334e032 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^11 + 5.79e005 s^10 + 9.034e010 s^9 + 1.852e015 s^8 + 7.638e017 s^7 + 1.368e020 s^6 + 1.421e022 s^5 + 9.565e023 s^4 + 4.265e025 s^3 + 1.181e027 s^2 + 1.708e028 s + 8.042e028

>> G22=zpk(G22) Zero/pole/gain: 0.16307 (s+2.775e005)^2 (s+2.356e004) (s+3862) (s-4619) (s+101.8)^2 (s+56.76) (s+56.74) (s+49.6)^2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------(s+2.775e005)^2 (s+2.356e004) (s+102.2) (s+101.8) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.225)

31/08/09 0:58

MATLAB Command Window

8 of 12

(s^2 + 49.05s + 3711) >> G22=minreal(G22) Zero/pole/gain: 0.16307 (s+2.775e005)^2 (s-4619) (s+3862) (s+101.8) (s+56.76) (s+56.74) ----------------------------------------------------------------------(s+2.775e005)^2 (s+102.2) (s+56.74) (s+8.225) (s^2 + 49.05s + 3711) >> GT22=G22/FT22 Zero/pole/gain: -0.0062484 (s+2.775e005)^4 (s-4619) (s+3862) (s+102.2) (s+101.8) (s+56.76) (s+56. 74) (s+8.225) (s^2 + 49.05s + 3711) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+2.775e005)^3 (s-3.403e004) (s+102.7) (s+102.2) (s+56.74) (s+8.225) (s^2 + 49.05s + 3711) (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008)

>> GT22=minreal(GT22) Zero/pole/gain: -0.0062484 (s+2.775e005)^4 (s-4619) (s+3862) (s+101.8) (s+56.76) (s+56.74) -------------------------------------------------------------------------------(s+2.775e005)^3 (s-3.403e004) (s+102.7) (s+56.74) (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008) >> [A,B,C,D]=linmod('dostrenextremo') Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.0100

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.0053

-0.0004

0.0000

0.0000

0.0039

-0.0039

0

0

-0.0004

-0.0053

0.0000

0.0000

0.0039

-0.0039

0

0

0.0000

0.0000

-0.0053

-0.0004

-0.0039

0.0039

0

0

0.0000

0.0000

-0.0004

-0.0053

-0.0039

0.0039

0

0

-0.0012

-0.0012

0.0012

0.0012

-1.1781

-1.1781

0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000

31/08/09 0:58

MATLAB Command Window

9 of 12

0.0012 0

0

0.0012

0.0012

-0.0012

-0.0012

-1.1781

-1.1781

0

0

0.0000

0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0021

0.0021

-0.0012 -0.0001

B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 2.5133

C = 0

0

1

1

-1

-1

0

0

0

D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> FT23=tf(num,den) Transfer function: 1.819e-011 s^8 + 3.874e004 s^7 + 1.839e009 s^6 + 2.216e013 s^5 + 7.746e015 s^4 + 1.066e018 s^3 + 7.155e019 s^2

+ 2.343e021 s + 3.003e022 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^9 + 2.398e004 s^8 + 9.819e006 s^7 + 1.751e009 s^6 + 1.813e011 s^5 + 1.219e013 s^4 + 5.428e014 s^3 + 1.499e016 s^2

+ 2.158e017 s + 1.009e018

>> FT23=zpk(FT23) Zero/pole/gain:

31/08/09 0:58

MATLAB Command Window

10 of 12

1.819e-011 (s+2.13e015) (s+100.1) (s+99.86) (s+56.76) (s^2 + 4.712e004s + 5.552e008) (s^2 + 99.2s + 2460) -------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004) (s+100)^2 (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >>

FT23=minreal(FT23)

Zero/pole/gain: 1.819e-011 (s+100.1) (s+99.86) (s+56.76) (s+2.13e015) (s^2 + 4.712e004s + 5.552e008) (s^2 + 99.2s + 2460) -------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004) (s+100)^2 (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> [A,B,C,D]=linmod('dostrenextremo2') Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.0100

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.0053

-0.0004

0.0000

0.0000

0.0039

-0.0039

0

0

-0.0004

-0.0053

0.0000

0.0000

0.0039

-0.0039

0

0

0.0000

0.0000

-0.0053

-0.0004

-0.0039

0.0039

0

0

0.0000

0.0000

-0.0004

-0.0053

-0.0039

0.0039

0

0

-0.0012

-0.0012

0.0012

0.0012

-1.1781

-1.1781

0

0

0.0012

0.0012

-0.0012

-0.0012

-1.1781

-1.1781

0

0

0.0000

0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0021

0.0021

0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0012 -0.0012 -0.0001

B = 1.0e+005 *

31/08/09 0:58

MATLAB Command Window

11 of 12

0 0 0 0 0 0 0 0 2.5133

C = 0

0

0.0005

0.0005

-0.0005

-0.0005

-0.5000

0.5000

-0.0005

D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> G23=tf(num,den) Transfer function: -125.7 s^8 - 5.974e006 s^7 - 7.222e010 s^6 - 2.92e013 s^5 - 4.883e015 s^4 - 4.283 e017 s^3 - 2.077e019 s^2 - 5.287e020 s

- 5.527e021 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^9 + 2.398e004 s^8 + 9.819e006 s^7 + 1.751e009 s^6 + 1.813e011 s^5 + 1.219e013 s^4 + 5.428e014 s^3 + 1.499e016 s^2

+ 2.158e017 s + 1.009e018

>>

G23=zpk(G23)

Zero/pole/gain: -125.6637 (s+2.356e004)^2 (s+100)^2 (s+56.74)^2 (s+49.6)^2 ---------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004) (s+100)^2 (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> G23=minreal(G23) Zero/pole/gain: -125.6637 (s+2.356e004) (s+56.74) --------------------------------(s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765)

31/08/09 0:58

MATLAB Command Window

12 of 12

>> GT23=G23/FT23 Zero/pole/gain: -6908434692430.801 (s+2.356e004)^2 (s+100)^2 (s+56.74)^2 (s+49.6)^2 (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+56.76) (s+99.86) (s+100.1) (s+8.144) (s+2.13e015) (s^2 + 4.712e004s + 5.552e008) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 49.51s + 3765)

>> GT23=minreal(GT23) Zero/pole/gain: -6908434692430.801 (s+2.356e004)^2 (s+100)^2 (s+56.74)^2 (s+49.6)^2 --------------------------------------------------------------------------------------------(s+56.76) (s+99.86) (s+100.1) (s+2.13e015) (s^2 + 4.712e004s + 5.552e008) (s^2 + 99.2s + 2460) >>

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

1 of 20

>> [A,B,C,D]=linmod('casobase') Warning: Using a default value of 0.06 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * Columns 1 through 13 0.0109

0.0009

-0.0009

0

0

0

0.0009

-0.0009

0

0 0 0.0105 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 -3.5361 0 0 0 -0.2881 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 1.7680 -1.7680 0 0 0.1440 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 0 3.5361 0 0 0.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.0002 0 0 0 0 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 0 0 -3.3948 0 0 -0.2881 0.2881 0.0000 -0.0000 -0.0002 0 0 1.6974 -1.6974 0 0.1440 -0.2881 0.1440 -0.0000 0.0000 0 0 0 3.3948 0 0.0000 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0.0000 -0.0118 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0118 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000

0

0

0

0

0

0

0.2881

0.0000

-0.0000

-0.2881

0.1440

-0.0000

0.2881

-0.2881

-0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0001

0

0.0000

0.0000

0

-0.0000

-0.0000

0

-0.0000

-0.0000

0

0.0000

0.0000

0

-0.0000

-0.0000

0

0.0000

0.0000

0

0.0000

0.0000

0

0 0

0 0

0 0

0.0109 0

0 0

Columns 14 through 15 0 0 0 0 0.0000 0.0000

0 0 0 0 -0.0000 -0.0000

0 0

0 0

0

0

31/08/09 1:21 -0.0002 -0.0000 0.0002 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000

MATLAB Command Window

2 of 20

0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000

B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4254

C = 0

0

0

0

0

0

1

1

-1

0

0

-1

0

0

D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> FTB1=tf(num,den) Transfer function: 2.328e-010 s^14 + 9.561e004 s^13 + 1.433e011 s^12 + 7.628e016 s^11 + 1.722e022 s^10 + 1.572e027 s^9 + 4.968e031 s^8 + 5.123e035 s^7 + 2.797e038 s^6 + 6.581e040 s^5 + 8.498e042 s^4 + 6.476e044 s^3 + 2.907e046 s^2 + 7.11e047 s

0

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

3 of 20

+ 7.308e048 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^15 + 1.71e006 s^14 + 1.064e012 s^13 + 2.89e017 s^12 + 3.098e022 s^11 + 5.982e026 s^10 + 3.637e029 s^9 + 9.889e031 s^8 + 1.581e034 s^7 + 1.659e036 s^6 + 1.206e038 s^5 + 6.175e039 s^4 + 2.177e041 s^3 + 4.91e042 s^2 + 6.015e043 s

+ 2.611e044

>> FTB1=zpk(FTB1) Zero/pole/gain: 2.3283e-010 (s+4.107e014) (s+5.654e005) (s+4.899e005) (s+2.773e005) (s+1.188e005) (s+2.356e004) (s+2.356e004) (s+56.74) (s+49.74) (s+49.47) (s^2 + 208.1 s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e005) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74) (s+49. 6)^2 (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627)

>> FTB1=minreal(FTB1) Zero/pole/gain: 2.3283e-010 (s+56.74) (s+49.74) (s+49.47) (s+2.356e004) (s+2.356e004) (s+1.188e005) (s+2.773e005) (s+4.899e005) (s+5.654e005) (s+4.107e014) (s^2 + 208.1 s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e005) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74) (s+49. 6)^2 (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627)

>> [A,B,C,D]=linmod('casobase2') Warning: Using a default value of 0.06 for maximum step size.

The simulation step

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

4 of 20

size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * Columns 1 through 13 0.0109

0.0009

-0.0009

0

0

0

0.0009

-0.0009

0

0 0 0.0105 0 0 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 -3.5361 0 0 0 -0.2881 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 1.7680 -1.7680 0 0 0.1440 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 0 3.5361 0 0 0.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.0002 0 0 0 0 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 0 0 -3.3948 0 0 -0.2881 0.2881 0.0000 -0.0000 -0.0002 0 0 1.6974 -1.6974 0 0.1440 -0.2881 0.1440 -0.0000 0.0000 0 0 0 3.3948 0 0.0000 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0.0000 -0.0118 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0118 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000

0

0

0

0

0

0

0.2881

0.0000

-0.0000

-0.2881

0.1440

-0.0000

0.2881

-0.2881

-0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0001

0

0.0000

0.0000

0

-0.0000

-0.0000

0

-0.0000

-0.0000

0

0.0000

0.0000

0

-0.0000

-0.0000

0

0.0000

0.0000

0

0.0000

0.0000

0

0 0

0 0

0 0

0.0109 0

0 0

0 0

0 0

0

0

0.0009

Columns 14 through 15 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0002 -0.0000

0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000

31/08/09 1:21 0.0002 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000

MATLAB Command Window

5 of 20

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000

B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4254

C = Columns 1 through 13 0 -0.0005

0 0

0 0

0 -0.0005

0

0

0.0005

0.0005

-0.5000

Columns 14 through 15 0.5000

-0.0005

D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> GB1=tf(num,den) Transfer function: -121.3 s^14 - 2.102e008 s^13 - 1.34e014 s^12 - 3.809e019 s^11 - 4.583e024 s^10 1.611e029 s^9 - 1.753e033 s^8

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

6 of 20

- 1.049e036 s^7 - 2.767e038 s^6 - 4.131e040 s^5 - 3.804e042 s^4 - 2.21e044 s^3 - 7.908e045 s^2 - 1.593e047 s

- 1.384e048 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^15 + 1.71e006 s^14 + 1.064e012 s^13 + 2.89e017 s^12 + 3.098e022 s^11 + 5.982e026 s^10 + 3.637e029 s^9 + 9.889e031 s^8 + 1.581e034 s^7 + 1.659e036 s^6 + 1.206e038 s^5 + 6.175e039 s^4 + 2.177e041 s^3 + 4.91e042 s^2 + 6.015e043 s

+ 2.611e044

>> GB1=zpk(GB1) Zero/pole/gain: -121.271 (s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e005) (s+2.356e004)^2 (s+101.9) (s+101.8) (s+100.9)

(s+100.9) (s+56.74) (s+56.74) (s+49.6)^2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e005) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74) (s+49. 6)^2 (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627)

>> GB1=minreal(GB1) Zero/pole/gain: -121.271 (s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e005) (s+2.356e004) (s+101.9) (s+101.8) (s+100.9) (s+100.9)

(s+56.74) (s+56.74) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e005) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74) (s+8.354)

(s^2 + 48.33s + 3627)

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

7 of 20

>> GTB1=GB1/FTB1 Zero/pole/gain: -520854901030 (s+5.654e005)^4 (s+2.775e005)^2 (s+2.771e005)^2 (s+2.356e004)^2 (s+102.7) (s+101.8)^3 (s+100.9)^4 (s+56.74)^3 (s+49. 6)^2 (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+5.654e005)^3 (s+4.899e005) (s+2.775e005) (s+2.773e005) (s+2.771e005) (s+1. 188e005) (s+2.356e004) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74) (s+56.74) (s+49.74) (s+49. 47) (s+8.354) (s+4.107e014) (s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) (s^2 + 48.33s + 3627)

>>

GTB1=minreal(GTB1)

Zero/pole/gain: -520854901030 (s+5.654e005)^4 (s+2.775e005)^2 (s+2.771e005)^2 (s+2.356e004)^2 (s+101.9) (s+101.8) (s+100.9) (s+100.9)

(s+56.74)^2 (s+49.6)^2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+5.654e005)^3 (s+4.899e005) (s+2.775e005) (s+2.773e005) (s+2.771e005) (s+1. 188e005) (s+2.356e004) (s+2.356e004) (s+56.74) (s+49.74) (s+49.47) (s+4.107e014) (s^2 + 208.1 s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971)

>> [A,B,C,D]=linmod('casobasecentro') Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A =

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

8 of 20

1.0e+006 * -0.0001 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0.0114 0 0.0009 0 0 0 0 0 0 0.0114 0 0 0 0 0 0.0000 -1.2257 0 -0.0961 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 3.6771 0 0.2881 0.0000 0.0002 -0.0002 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 -3.6956 0 -0.0000 -0.0002 0.0002 -0.0000 -0.0000 0 1.2319 0 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0003 0 0 0 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0.0003 0 0 0 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

0.0000

0.0000

-0.0000

0

-0.0009

0

0

0

0

0

0.0009

-0.0009

0.0960

-0.0000

-0.0000

0

-0.2881

-0.0000

0.0000

0

-0.0000

-0.0001

0.0000

0

0.0000

0.0000

-0.2881

0.2881

-0.0000

-0.0000

0.0960

-0.0961

0.0000

0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0000

0.0000

0

0.0000

0.0000

-0.0000

0

0.0000

0.0000

-0.0000

0

1.0000

1.0000

-1.0000

0

B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.3559

C = 25.5292 -1.0000 0.0006

D =

0

0 -0.0006

0 0.0000

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

9 of 20

0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> FTB2=tf(num,den) Transfer function: 0.1309 s^11 + 1.936e005 s^10 + 7.242e010 s^9 + 7.511e015 s^8 + 2.453e020 s^7 + 2.547 e024 s^6 + 1.154e027 s^5 + 2.17e029 s^4 + 2.133e031 s^3 + 1.153e033 s^2 + 3.248e034 s + 3.727e035 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^12 + 7.693e005 s^11 + 1.568e011 s^10 + 3.353e015 s^9 + 1.708e018 s^8 + 3.821e020 s^7 + 4.956e022 s^6 + 4.175e024 s^5 + 2.399e026 s^4 + 9.363e027 s^3 + 2.319e029 s^2 + 3.09e030 s + 1.432e031

>>

FTB2=zpk(FTB2)

Zero/pole/gain: 0.13088 (s+9.663e005) (s+3.726e005) (s+9.304e004) (s+2.356e004)^2 (s+107.2) (s+101.4) (s+100.8) (s+56.74) (s+49.6)^2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+2.356e004) (s+103.3) (s+101.4) (s+100.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406)

>> FTB2=minreal(FTB2) Zero/pole/gain: 0.13088 (s+9.663e005) (s+3.726e005) (s+9.304e004) (s+2.356e004)^2 (s+107.2) (s+101.4) (s+100.8) -----------------------------------------------------------------------------------------------------(s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+2.356e004) (s+103.3) (s+101.4) (s+100.7) (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) >> [A,B,C,D]=linmod('casobasecentro2') Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A =

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

10 of 20

1.0e+006 * -0.0001 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0.0114 0 0.0009 0 0 0 0 0 0 0.0114 0 0 0 0 0 0.0000 -1.2257 0 -0.0961 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 3.6771 0 0.2881 0.0000 0.0002 -0.0002 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 -3.6956 0 -0.0000 -0.0002 0.0002 -0.0000 -0.0000 0 1.2319 0 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0003 0 0 0 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0.0003 0 0 0 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

0.0000

0.0000

-0.0000

0

-0.0009

0

0

0

0

0

0.0009

-0.0009

0.0960

-0.0000

-0.0000

0

-0.2881

-0.0000

0.0000

0

-0.0000

-0.0001

0.0000

0

0.0000

0.0000

-0.2881

0.2881

-0.0000

-0.0000

0.0960

-0.0961

0.0000

0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0000

-0.0000

0.0000

0

0.0000

0.0000

-0.0000

0

0.0000

0.0000

-0.0000

0

0.0005

0.0005

-0.0005

0

B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.3559

C = 0.0128 -0.0005 -0.5000

D =

0

0 0.5000

0 -0.0005

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

11 of 20

0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> GB2=tf(num,den) Transfer function: -117.8 s^11 - 9.34e007 s^10 - 2.061e013 s^9 - 8.301e017 s^8 - 9.505e021 s^7 - 4.774 e024 s^6 - 1.027e027 s^5 - 1.212e029 s^4 - 8.441e030 s^3 3.47e032 s^2 - 7.801e033 s - 7.404e034 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^12 + 7.693e005 s^11 + 1.568e011 s^10 + 3.353e015 s^9 + 1.708e018 s^8 + 3.821e020 s^7 + 4.956e022 s^6 + 4.175e024 s^5 + 2.399e026 s^4 + 9.363e027 s^3 + 2.319e029 s^2 + 3.09e030 s + 1.432e031

>>

GB2=zpk(GB2)

Zero/pole/gain: -117.7953 (s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+2.356e004)^2 (s+101.4) (s+101.4) (s+100) (s+56.74)^2 (s+49.6)^2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+2.356e004) (s+103.3) (s+101.4) (s+100.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406)

>> GB2=minreal(GB2) Zero/pole/gain: -117.7953 (s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+2.356e004) (s+101.4) (s+101.4) (s+100) (s+56.74) ---------------------------------------------------------------------------------------(s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+103.3) (s+101.4) (s+100.7) (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) >>

GTB2=GB2/FTB2

Zero/pole/gain: -900.0567 (s+3.726e005)^4 (s+2.356e004)^2 (s+103.3) (s+101.4)^3 (s+100.7) (s+100) (s+56.74) (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

12 of 20

(s+3.726e005)^3 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.356e004)^2 (s+107.2) (s+103.3) (s+101.4)^2 (s+100.8) (s+100.7)

(s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406)

>> GTB2=minreal(GTB2) Zero/pole/gain: -900.0567 (s+3.726e005)^4 (s+2.356e004)^2 (s+101.4) (s+100) (s+56.74) ------------------------------------------------------------------------------(s+3.726e005)^3 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.356e004)^2 (s+107.2) (s+100.8) >> [A,B,C,D]=linmod('casoimposible') Warning: Using a default value of 0.06 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+007 * Columns 1 through 13 0.0031 0 0 0 0 -0.0001 0 0 0 0 0 0.0031 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0.0025 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0.0030 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0025 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0070 0 0 0 0 0.0288 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0070 0 0 0 -0.8090 -0.0576 0.0288 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 -1.0070 0 0 0.8090 0.0288 -0.0576 0.0288 -0.0000 -0.0000 0 1.0070 0 0 0 0.0000 0.0288 -0.0288 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 -0.8090 0 0

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MATLAB Command Window 0.0000 0 -0.0000 0 -0.0000 0 -0.0000 0 0.0000 0 -0.0000 0 0.0000 0 0.0000

0.0000 0.8090 -0.0000 0 -0.0000 0 -0.0000 0 0.0000 0 -0.0000 0 0.0000 0 0.0000

-0.0288 0 0.0288 -0.9505 0.0000 0.9505 0.0000 0 -0.0000 0 0.0000 0 -0.0000 0 -0.0000

13 of 20

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-0.9513

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0.9513

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0

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Columns 14 through 20 0 0 -0.0001 0 0 0 0.0001 0 0 0 0 0 0.0288 -0.0576 0.0288 0.0000 -0.0000 0 0 0

B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.0001 0 0 -0.0001 0 0 0 0 0 0.0000 0.0288 -0.0576 0.0288 -0.0000 0 0 0

0 0 0 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 0.0288 -0.0288 -0.0000 0 0 0

0 0 0 0 0 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

14 of 20

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C = Columns 1 through 13 0 0

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-0.0006

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Columns 14 through 20 0

0

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-1.0000

D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> FTB3=tf(num,den) Transfer function: 0.117 s^19 + 4.693e005 s^18 + 7.51e011 s^17 + 6.119e017 s^16 + 2.689e023 s^15 + 6.243e028 s^14 + 7.103e033 s^13 + 3.671e038 s^12 + 8.456e042 s^11 + 7.358e046 s^10 + 6.284e049 s^9 + 2.486 e052 s^8 + 5.825e054 s^7 + 8.896e056 s^6 + 9.225e058 s^5 + 6.567e060 s^4 + 3.165e062 s^3 + 9.874e063 s^2 + 1.799e065 s + 1.452e066 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^20 + 3.309e006 s^19 + 4.243e012 s^18 + 2.656e018 s^17 + 8.404e023 s^16 + 1.265e029 s^15 + 8.016e033 s^14 + 1.339e038 s^13 + 1.221e041 s^12 + 5.162e043 s^11 + 1.32e046 s^10 + 2.276e048 s^9 + 2.799 e050 s^8 + 2.535e052 s^7 + 1.72e054 s^6 + 8.769e055 s^5 + 3.319e057 s^4 + 8.993e058 s^3 + 1.622e060 s^2 + 1.679e061 s + 6.91e061

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

15 of 20

>> FTB3=zpk(FTB3) Zero/pole/gain: 0.11697 (s+1.12e006) (s+9.551e005) (s+8.005e005) (s+5.467e005) (s+3.586e005) (s+1. 403e005) (s+4.322e004) (s+2.356e004)^2 (s+129.4) (s+109.5) (s+104) (s+56.74) (s+49.61) (s+49.6) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447e005) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+2.356e004) (s+114) (s+109.5) (s+99.99) (s+56.74) (s+9.629) (s^2 + 99.21s + 2461) (s^2 + 207.3s + 1.074 e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004)

(s^2 + 41.73s + 2961)

>> FTB3=minreal(FTB3) Zero/pole/gain: 0.11697 (s+104) (s+109.5) (s+129.4) (s+49.61) (s+49.6) (s+2.356e004)^2 (s+4. 322e004) (s+1.403e005) (s+3.586e005) (s+5.467e005) (s+8.005e005) (s+9.551e005) (s+1.12e006) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447e005) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+2.356e004) (s+114) (s+109.5) (s+99.99) (s+9.629) (s^2 + 99.21s + 2461) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961)

>> [A,B,C,D]=linmod('casoimposible2') Warning: Using a default value of 0.06 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You can disable this diagnostic by setting 'Automatic solver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configuration parameters dialog. > In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+007 *

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

16 of 20

Columns 1 through 13 0.0031 0 0 0 0 -0.0001 0 0 0 0 0 0.0031 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0.0025 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0.0030 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0025 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0070 0 0 0 0 0.0288 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0070 0 0 0 -0.8090 -0.0576 0.0288 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 -1.0070 0 0 0.8090 0.0288 -0.0576 0.0288 -0.0000 -0.0000 0 1.0070 0 0 0 0.0000 0.0288 -0.0288 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 -0.8090 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0288 0 0 0.8090 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0288 0 0 0 -0.9505 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.9505 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000

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0

0

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-0.9513

0

-0.0000

0.9513

0

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0 0 0 0 0 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000

Columns 14 through 20 0 0 -0.0001 0 0 0 0.0001 0 0

0 0 0 0.0001 0 0 -0.0001 0 0

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31/08/09 1:21 0 0 0 0.0288 -0.0576 0.0288 0.0000 -0.0000 0 0 0

MATLAB Command Window 0 0 0 0.0000 0.0288 -0.0576 0.0288 -0.0000 0 0 0

0 0 0 0.0000 0.0000 0.0288 -0.0288 -0.0000 0 0 0

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17 of 20

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0012 -0.0012 -0.0000

0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0012 -0.0012 0.0000

-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000

0

0.0165

0

-0.5000

0.5000

-0.0005

B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.1056

C = Columns 1 through 13 0 0

0

0 0.0005

0 0.0005

0 -0.0005

Columns 14 through 20 0

D = 0

0

0

-0.0005

0

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

18 of 20

>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); >> GB3=tf(num,den) Transfer function: -105.3 s^19 - 3.508e008 s^18 - 4.549e014 s^17 - 2.901e020 s^16 - 9.506e025 s^15 1.54e031 s^14 - 1.158e036 s^13 - 3.398e040 s^12 - 3.451e044 s^11 - 3.079e047 s^10 - 1.281e050 s^9 - 3.198 e052 s^8 - 5.292e054 s^7 - 6.079e056 s^6 - 4.942e058 s^5 - 2.84e060 s^4 - 1.13e062 s^3 2.964e063 s^2 - 4.609e064 s - 3.219e065 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s^20 + 3.309e006 s^19 + 4.243e012 s^18 + 2.656e018 s^17 + 8.404e023 s^16 + 1.265e029 s^15 + 8.016e033 s^14 + 1.339e038 s^13 + 1.221e041 s^12 + 5.162e043 s^11 + 1.32e046 s^10 + 2.276e048 s^9 + 2.799 e050 s^8 + 2.535e052 s^7 + 1.72e054 s^6 + 8.769e055 s^5 + 3.319e057 s^4 + 8.993e058 s^3 + 1.622e060 s^2 + 1.679e061 s + 6.91e061

>>

GB3=zpk(GB3)

Zero/pole/gain: -105.2785 (s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447e005) (s+1.404e005) (s+1. 402e005) (s+2.356e004)^2 (s+99.81) (s+56.75) (s+56.74) (s+49.61) (s+49.6) (s^2 + 219s + 1.199e004) (s^2 + 205.8 s + 1.059e004) (s^2 + 202.2s + 1.022e004) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447e005) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+2.356e004) (s+114) (s+109.5) (s+99.99) (s+56.74) (s+9.629) (s^2 + 99.21s + 2461) (s^2 + 207.3s + 1.074 e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004)

(s^2 + 41.73s + 2961)

>> GB3=minreal(GB3) Zero/pole/gain: -105.2785 (s+99.81) (s+56.75) (s+56.74) (s+49.61) (s+49.6) (s+2.356e004) (s+1.

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

19 of 20

402e005) (s+1.404e005) (s+5.447e005) (s+5.487e005) (s+9.55e005) (s+9.552e005) (s^2 + 219s + 1.199e004) (s^2 + 205.8s + 1.059e004) (s^2 + 202.2s + 1.022e004) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447e005) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+114) (s+109.5) (s+99.99) (s+56.74) (s+9.629) (s^2 + 99.21s + 2461) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961)

>>

GTB3=GB3/FTB3

Zero/pole/gain: -900.0567 (s+109.5)^3 (s+114) (s+99.99) (s+99.81) (s+56.75) (s+56.74) (s+49.6)^4 (s+9.629) (s+2.356e004)^2 (s+1.402e005)^2 (s+1.404e005)^2 (s+5.447e005)^2 (s+5.487e005)^2 (s+9.551e005)^4 (s^2 + 205.8s + 1.059e004) (s^2 + 202.2s + 1.022e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+9.551e005)^3 (s+1.12e006) (s+8.005e005) (s+5.487e005) (s+5.467e005) (s+5.447e005) (s+3.586e005) (s+1.404e005) (s+1.403e005) (s+1.402e005) (s+4.322e004) (s+2.356e004)^2 (s+129.4) (s+114) (s+109.5) (s+109.5) (s+104) (s+99.99) (s+56.74) (s+49.6)^4 (s+9.629) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3 s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961)

>> GTB3=zpk(GTB2) Zero/pole/gain: -900.0567 (s+3.726e005)^4 (s+2.356e004)^2 (s+101.4) (s+100) (s+56.74) ------------------------------------------------------------------------------(s+3.726e005)^3 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.356e004)^2 (s+107.2) (s+100.8) >> GTB3=minreal(GTB3) Zero/pole/gain: -900.0567 (s+3.726e005)^4 (s+2.356e004)^2 (s+101.4) (s+100) (s+56.74) -------------------------------------------------------------------------------

31/08/09 1:21

MATLAB Command Window

20 of 20

(s+3.726e005)^3 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.356e004)^2 (s+107.2) (s+100.8) >>

1/09/09 13:31

MATLAB Command Window

1 of 7

>> Td Td = 0.0490 >> Ti Ti = 0.2484 >> N N = 22.3049 >> K K = 1.1039e-004 >> PD=tf([Td 0],[Td/N 1]) Transfer function: 0.04898 s -------------0.002196 s + 1 >> PI=tf([1],[Ti 0]) Transfer function: 1 -------0.2484 s >> L1=((PI+1)*K*FT1)/(1+K*FT1*(PD+1+PI))*GT1 Zero/pole/gain: -0.013635 s (s+4.025) (s+8.301) (s+56.74) (s+100) (s+100.7) (s+101.7) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+2.672e005)

(s^2 + 48.64s + 3661) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.356e004)^4 (s+2.672e005) (s+466.1) (s+101.7) (s+101.1) (s+100.7) (s+10.82) (s+8.301) (s+4.335) (s^2 + 48.64s + 3661)

1/09/09 13:31

MATLAB Command Window

2 of 7

(s^2 + 30.74s + 8041)

>> L1=minreal(L1) Zero/pole/gain: -0.013635 (s+4.025) (s+56.74) (s+100) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 ----------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004)^4 (s+466.1) (s+101.1) (s+10.82) (s+4.335) (s^2 + 30.74s + 8041) >> L2=((PI+1)*K*FT2)/(1+K*FT2*(PD+1+PI))*GT2 Zero/pole/gain: -0.013753 s (s+4.025) (s+8.184) (s+56.74) (s+101.8) (s+102) (s+102.2) (s+455.4) (s+2.356e004) (s+2.183e005) (s+2.776e005)^3

(s^2 + 49.28s + 3738) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.776e005)^3 (s+2.183e005) (s+466.5) (s+102.2) (s+102.1) (s+102) (s+10.76) (s+8.184) (s+4.378) (s^2 + 49.28s + 3738)

(s^2 + 31.14s + 8268)

>> L2=minreal(L2) Zero/pole/gain: -0.013753 (s+4.025) (s+56.74) (s+101.8) (s+455.4) (s+2.356e004) (s+2.776e005)^3 ------------------------------------------------------------------------------(s+2.776e005)^3 (s+466.5) (s+102.1) (s+10.76) (s+4.378) (s^2 + 31.14s + 8268) >> L3=((PI+1)*K*FT3)/(1+K*FT3*(PD+1+PI))*GT3 Zero/pole/gain: -0.013872 s (s+4.025) (s+8.144) (s+56.74) (s+455.4) (s+2.356e004) (s^2 + 49.51s + 3765) -------------------------------------------------------------------------------------s (s+466.7) (s+10.74) (s+8.144) (s+4.399) (s^2 + 49.51s + 3765) (s^2 + 31.2s + 8374) >> L21=((PI+1)*K*FT21)/(1+K*FT21*(PD+1+PI))*GT21 Zero/pole/gain: -0.013392 s (s+4.025) (s+8.481) (s+56.74) (s+100) (s+101.5) (s+103.7) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+2.559e005)

1/09/09 13:31

MATLAB Command Window

3 of 7

(s^2 + 47.67s + 3548) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.356e004)^4 (s+2.559e005) (s+465.4) (s+103.7) (s+102.3) (s+101.5) (s+10.92) (s+8.481) (s+4.265) (s^2 + 47.67s + 3548)

(s^2 + 30.16s + 7691)

>> L21=minreal(L21) Zero/pole/gain: -0.013392 (s+4.025) (s+56.74) (s+100) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 ----------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004)^4 (s+465.4) (s+102.3) (s+10.92) (s+4.265) (s^2 + 30.16s + 7691) >> L22=((PI+1)*K*FT22)/(1+K*FT22*(PD+1+PI))*GT22 Zero/pole/gain: -0.025896 s (s+4.025) (s+8.144) (s+56.74) (s+56.76) (s+101.8) (s+455.4) (s+3862) (s4619) (s+2.356e004) (s+2.775e005)^4

(s^2 + 49.51s + 3765) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+8.144) (s+10.69) (s+4.364) (s+56.74) (s+102.7) (s+466.4) (s-3.403e004) (s+2. 775e005)^3 (s^2 + 49.51s + 3765) (s^2 + 31.63s + 8228) (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008)

>> L22=minreal(L22) Zero/pole/gain: -0.025896 (s+4.025) (s+56.74) (s+56.76) (s+101.8) (s+455.4) (s+3862) (s4619) (s+2.356e004) (s+2.775e005)^4 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+10.69) (s+4.364) (s+56.74) (s+102.7) (s+466.4) (s-3.403e004) (s+2.775e005)^3 (s^2 + 31.63s + 8228) (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008)

>> L23=((PI+1)*K*FT23)/(1+K*FT23*(PD+1+PI))*GT23 Zero/pole/gain: -0.013872 s (s+4.025) (s+8.144) (s+49.6)^4 (s+56.75)^4 (s+99.86) (s+100)^4 (s+100.

1/09/09 13:31

MATLAB Command Window

4 of 7

1) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+2.13e015) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 49.51s + 3765) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.356e004)^4 (s+466.7) (s+100.1) (s+100.1) (s+100)^2 (s+99.91) (s+99.86) (s+56. 75)^3 (s+49.6)^2 (s+10.74) (s+8.144) (s+4.399) (s+2.13e015) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 49.51s + 3765) (s^2 + 31.2s + 8374)

>> L23=minreal(L23) Zero/pole/gain: -0.013872 (s+4.025) (s+49.6)^2 (s+56.74)^2 (s+100)^2 (s+455.4) (s+2. 356e004) ---------------------------------------------------------------------------------------------------(s+466.7) (s+100.1) (s+99.91) (s+56.75) (s+10.74) (s+4.399) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 31.2s + 8374) >> LB1=((PI+1)*K*FTB1)/(1+K*FTB1*(PD+1+PI))*GTB1 Zero/pole/gain: -0.013387 s (s+4.025) (s+8.354) (s+49.47) (s+49.6)^4 (s+49.74) (s+56.74)^4 (s+100. 9)^4 (s+101.8)^3 (s+102.7) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+1.188e005) (s+2.771e005)^3 (s+2.773e005) (s+2.775e005)^3 (s+4.899e005) (s+5.654e005)^7 (s+4.107e014) (s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) (s^2 + 48.33s + 3627) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+5.654e005)^7 (s+4.899e005) (s+2.775e005)^3 (s+2.773e005) (s+2.771e005)^3 (s+1. 188e005) (s+2.356e004)^4 (s+465.8) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74)^3 (s+49.74) (s+49.71) (s+49. 6)^2 (s+49.51) (s+49.47) (s+10.83) (s+8.354) (s+4.299) (s+4.107e014) (s^2 + 206.7s + 1.069e004) (s^2 + 200.2s + 1.002e004) (s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) (s^2 + 48.33s + 3627) (s^2 + 30.71s + 7876)

>> LB2=((PI+1)*K*FTB2)/(1+K*FTB2*(PD+1+PI))*GTB2

1/09/09 13:31

MATLAB Command Window

5 of 7

Zero/pole/gain: -0.013003 s (s+4.025) (s+8.724) (s+56.74) (s+100) (s+100.7) (s+100.8) (s+101.4)^3 (s+103.3) (s+107.2) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+9.304e004) (s+3.726e005)^7 (s+9.663e005) (s^2 + 46.39s + 3406) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+3.726e005)^7 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.356e004)^4 (s+464.5) (s+107.2) (s+104.6) (s+103.3) (s+101.4)^2 (s+100.8)^3 (s+11.04) (s+8.724) (s+4.165) (s^2 + 46.39s + 3406) (s^2 + 29.42s + 7232)

>> LB2=minreal(LB2) Zero/pole/gain: -0.013003 (s+4.025) (s+56.74) (s+100) (s+101.4)^3 (s+455.4) (s+2. 356e004)^5 (s+3.726e005)^7 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+3.726e005)^7 (s+2.356e004)^4 (s+464.5) (s+104.6) (s+101.4)^2 (s+100.8) (s+11.04) (s+4.165) (s^2 + 29.42s + 7232) >> LB3=((PI+1)*K*FTB3)/(1+K*FTB3*(PD+1+PI))*GTB3 Zero/pole/gain: -0.011621 s (s+4.025) (s+9.629) (s+49.6)^4 (s+56.74) (s+99.99) (s+100) (s+101.4) (s+104) (s+109.5) (s+109.5) (s+114) (s+129.4) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+4.322e004) (s+1.402e005) (s+1. 403e005) (s+1.404e005) (s+3.586e005) (s+3.726e005)^4 (s+5.447e005) (s+5.467e005) (s+5.487e005) (s+8.005e005) (s+9.551e005)^3 (s+1.12e006) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3 s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+9.551e005)^4 (s+9.663e005) (s+5.487e005)^2 (s+5.447e005)^2 (s+3. 726e005)^3 (s+1.404e005)^2 (s+1.402e005)^2 (s+9.304e004) (s+2.356e004)^4 (s+461.6) (s+117.4) (s+114) (s+109.5) (s+109.5) (s+107.2) (s+100.8) (s+100.3) (s+99.99) (s+49.6)^4 (s+11.49) (s+9.629) (s+3.798) (s^2 + 207.1s + 1.073e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004)

1/09/09 13:31

MATLAB Command Window

6 of 7

(s^2 + 202.7s + 1.027e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) (s^2 + 26.01s + 5817)

>> LB3=((PI+1)*K*FTB3)/(1+K*FTB3*(PD+1+PI))*GTB3 Zero/pole/gain: -0.011621 s (s+4.025) (s+9.629) (s+49.6)^4 (s+56.74) (s+99.99) (s+100) (s+101.4) (s+104) (s+109.5) (s+109.5) (s+114) (s+129.4) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+4.322e004) (s+1.402e005) (s+1. 403e005) (s+1.404e005) (s+3.586e005) (s+3.726e005)^4 (s+5.447e005) (s+5.467e005) (s+5.487e005) (s+8.005e005) (s+9.551e005)^3 (s+1.12e006) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3 s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+9.551e005)^4 (s+9.663e005) (s+5.487e005)^2 (s+5.447e005)^2 (s+3. 726e005)^3 (s+1.404e005)^2 (s+1.402e005)^2 (s+9.304e004) (s+2.356e004)^4 (s+461.6) (s+117.4) (s+114) (s+109.5) (s+109.5) (s+107.2) (s+100.8) (s+100.3) (s+99.99) (s+49.6)^4 (s+11.49) (s+9.629) (s+3.798) (s^2 + 207.1s + 1.073e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.7s + 1.027e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) (s^2 + 26.01s + 5817)

>> LB3=minreal(LB3) Zero/pole/gain: -0.011621 (s+101.4) (s+100) (s+104) (s+109.5) (s+129.4) (s+56.74) (s+455.4) (s+4. 025) (s+2.356e004)^5 (s+4.322e004) (s+1.403e005) (s+3.586e005) (s+3.726e005)^4 (s+5.467e005) (s+8.005e005) (s+9.551e005) (s+1.12e006) (s^2 + 201.8s + 1.018e004)

(s^2 + 204.8s + 1.049e004) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+9.663e005) (s+5.487e005) (s+5.447e005) (s+3. 726e005)^3 (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+9.304e004) (s+2.356e004)^4 (s+461.6) (s+117.4) (s+109.5) (s+107.2)

1/09/09 13:31

MATLAB Command Window

7 of 7

(s+100.8) (s+100.3) (s+11.49) (s+3.798) (s^2 + 207.1s + 1.073e004) (s^2 + 202.7s + 1.027e004) (s^2 + 26.01s + 5817)

>>