Sistema Diédrico. El Punto, La Recta y El Plano

 

 

TEMA 2.

Sistema Diédrico. El Punto, la Recta y el Plano.

2.1. Generalidades del Sistema Diédrico. En el Sistema de Representación Diédrico, también conocido como sistema de doble proyección o de Monge, se aplica la proyección cilíndrica ortogonal sobre dos planos de proyección perpendiculares entre sí llamados  plano horizontal (H) y  plano vertical (V) (Fig. 2.1). La intersección de ambos planos se llama línea de tierra y divide a éstos en dos semiplanos denominados horizontal anterior   y  posterior,  y vertical superior   e inferior  .

Figura 2.1

Los planos de proyección se consideran ilimitados, quedando el espacio dividido en cuatro sectores llamados cuadrantes  que se identifican generalmente con números romanos. El observador se supone siempre situado en el primer cuadrante, es decir, dec ir, sobre el semiplano horizontal anterior y frente al semiplano vertical superior. En el tema anterior se dijo que el objeto de la Geometría Descriptiva es representar sobre un plano las figuras del espacio y en este sistema se utilizan dos planos de proyección. Por tanto hay que recurrir a un artificio consistente en proyectar la figura sobre cada uno de los planos de proyección, y en segundo lugar hacer girar el plano vertical V alrededor

 

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de la línea de tierra, en el sentido indicado por las flechas de la Fig. 2.2, hasta hacerlo coincidir con el horizontal.

Figura 2.2

De esta forma los planos horizontal y vertical de proyección quedan representados en uno sólo en el que se señala, como referencia, la LT. En la parte inferior de los extremos de la LT se dibujan dos trazos. El semiplano vertical superior (que se confundirá después del giro con el horizontal posterior) se sitúa por encima de ellos, mientras que el semiplano horizontal anterior (que se confundirá después del giro con el vertical inferior) se encuentra por debajo.

Figura 2.3

Los planos bisectores se definen como aquellos que, conteniendo a la línea de tierra, dividen simétricamente a los cuatro cuadrantes. Si se consideran los dos planos de proyección y los dos bisectores, llamados primer   y y segundo bisector  (Fig.  (Fig. 2.3), el espacio queda definido en ocho sectores llamados octantes. El primery cuarto bisector pasa por el primer y tercer cuadrante, y el segundo bisector por el segundo cuadrante.

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2.2.-Representación del punto. Sea A un punto cualquiera del espacio situado en el primer cuadrante (Fig. 2.4). Como es característico de este sistema de representación, los rayos proyectantes Aa y Aa’ son perpendiculares a los planos de proyección (proyección cilíndrico ortogonal). Por tanto, el plano que contiene a dichos rayos proyectantes es perpendicular a los planos de proyección y a la LT, y cortará a los planos H y V según las rectas Oa y Oa' respectivamente, siendo éstas también perpendiculares a la LT. La proyección vertical del punto A se identifica mediante a'  y  y la proyección horizontal por a. 

Figura 2.4

Figura 2.5

En lo sucesivo se empleará esta notación, según la cual se designará un punto en el espacio con una letra mayúscula (p.e, A), su proyección horizontal por la misma letra minúscula (a), y la proyección vertical con la letra minúscula con apóstrofe (a'). El resultado, una vez girado el plano vertical, se representa en la Fig. 2.5, en la que se observa que el segmento que une a las proyecciones de cualquier punto debe ser perpendicular a la LT.

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Se llama cota  de un punto A, a su distancia al plano horizontal de proyección y alejamiento la distancia al vertical. Por tanto la cota de un punto estará representada por la distancia de su proyección vertical a la LT, mientras que el alejamiento vendrá dado por la distancia de su proyección horizontal a la LT (Fig. 2.6).

Figura 2.6

En ocasiones se utiliza un tercer plano de proyección perpendicular a los planos horizontal y vertical de proyección, llamado de perfil (P), que proporciona otro punto de vista del objeto y complementa la información que aportan las proyecciones horizontal y vertical.

Figura 2.7

De igual modo que se obtienen las proyecciones horizontal y vertical del punto A, mediante una proyección cilíndrico-ortogonal, se determina la proyección sobre el plano de perfil, obteniendo a'', nomenclatura usada para todas las proyecciones de perfil (Fig. 2.7). Para obtener la representación plana del punto, se realizarán dos abatimientos consecutivos. Primero se gira, en sentido antihorario, el plano P alrededor de su recta intersección con el plano V hasta hacerlo coincidir precisamente con este último. Posteriormente el conjunto V-P alrededor de la 2.8, LT hasta con H. El resultado esselagira representación plana de la Fig. en lahacerlo que lacoincidir línea continua

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perpendicular a la LT, también llamada traza de perfil, es la intersección entre los planos de proyección y el de perfil pe rfil P.

Figura 2.8

El punto cuyas proyecciones se muestran en la Fig. 2.8. se encuentra en el primer cuadrante, mientras que en las Fig. 2.9a, 2.9b y 2.9c se representan las proyecciones horizontal, vertical y de perfil de puntos situados en el segundo, tercer y cuarto cuadrante respectivamente, tal y como se discutirá en el siguiente apartado.

Figura 2.9 

2.3.-Alfabeto del punto. Los puntos pueden ocupar en el espacio infinitas posiciones, que se agrupan en un número reducido de clases, según su distancia a los planos de proyección horizontal y vertical. La Fig. 2.10 muestra dichas posiciones tanto en el espacio, colocando en posición de perfil a los planos de proyección, como en su representación diédrica.

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Figura 2.10

Como se puede observar, un punto se puede encontrar: − 

Sobre el semiplano horizontal anterior (A1).

− 

En el primer cuadrante, y contenido en el primer o segundo octante respectivamente (A2, A4).

− 

En el primer cuadrante, sobre el primer bisector (A3).

− 

Sobre el semiplano vertical superior (A5).

− 

En el segundo cuadrante, y contenido en el tercer o cuarto octante respectivamente (A6, A8).

− 

En el segundo cuadrante, sobre el segundo bisector (A7).

− 

Sobre el semiplano horizontal posterior (A9).

− 

En el tercer cuadrante, y contenido en el quinto o sexto octante respectivamente (A10, A12).

− 

En el tercer cuadrante, sobre el primer bisector (A11).

− 

Sobre el semiplano vertical inferior (A13).

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− 

En el cuarto cuadrante, y contenido en el séptimo u octavo octante respectivamente (A14, A16).

− 

En el cuarto cuadrante, sobre el segundo bisector (A15).

− 

Sobre la línea de tierra (A17).

Los puntos situados en el primer cuadrante cua drante tienen su proyección horizontal por debajo de la LT y la proyección vertical sobre de ella. Los puntos de este cuadrante y situados sobre el primer bisector tendrán igual cota que alejamiento. a lejamiento. Los puntos situados en el semiplano horizontal anterior tienen su proyección horizontal por debajo de la LT y la proyección vertical sobre la LT. Los puntos situados en el semiplano vertical superior tienen su proyección vertical por encima de la LT y la proyección horizontal sobre la LT. Para definir la posición de las proyecciones de los restantes puntos respecto a la LT se procede de igual forma, sin olvidar que el abatimiento del plano vertical sobre el horizontal condiciona la situación de las proyecciones. En general se debe recordar: Primer cuadrante: proyección horizontal debajo de la LT y vertical encima. Segundo cuadrante: ambas proyecciones encima de la LT. Tercer cuadrante: proyección horizontal encima de la LT y vertical debajo. Cuarto cuadrante: ambas proyecciones debajo de la LT. Los planos horizontal y vertical de proyección se pueden definir como el lugar geométrico de los puntos que tienen una proyección sobre la LT, mientras que los bisectores son el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos horizontal y vertical de proyección.

2.4.-Representación de la recta. La proyección de una recta sobre un plano se obtiene sólo con unir las proyecciones de dos de los puntos de esa recta. Por tanto, en e n sistema diédrico, el método general para representar una recta es obtener las proyecciones de dos de sus puntos y unirlas ordenadamente. En la Fig. 2.11 se ha representado una recta R de la que se han tomado dos puntos cualesquiera A y B. La proyección horizontal de R (r), es la recta que une la proyección horizontal de A (a) con la de B (b), y la vertical (r') es la recta que une la proyección vertical de A (a') con la de B (b'). La Fig. 2.11 también representa la recta R en el sistema diédrico, así como los puntos auxiliares que se han usado para su definición. Las proyecciones de una recta no deben cumplir ninguna condición, es decir, cualquier par de rectas r y r' pueden ser proyecciones de una recta R en el espacio.

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Figura 2.11

2.5.-Trazas de la recta. Ya se ha comentado que la definición de una recta se realiza a través de cualquier par de puntos pertenecientes a ella. Sin embargo, lo más frecuente es utilizar, en caso de existir, dos puntos particulares llamados trazas con los planos de proyección o simplemente trazas de la recta.  puntoss notables notables de una recta como los puntos de intersección de la Se definen las trazas o  punto misma con los planos de proyección y con los bisectores. En la Fig. 2.12 los puntos H y V son las trazas de la recta R con los planos horizontal y vertical de proyección, que se denominan traza horizontal  y traza vertical, respectivamente. Las intersecciones con los bisectores se llaman traza con el primer bisector   y y traza con el segundo bisector .

Figura 2.12

La manera de hallar estas cuatro trazas es fácil. Por un lado, la traza horizontal (H), como punto perteneciente a la recta R, tiene sus proyecciones h’ y h sobre r’ y r respectivamente. Además pertenece al plano horizontal por lo que su proyección vertical h' estará sobre la LT. Luego si h' está en la LT y sobre r', entonces h' será la intersección de r' y la LT, pudiéndose enunciar la regla siguiente: Para hallar la traza horizontal de una recta en el Sistema Diédrico, se prolonga su  proyección  proy ección vertical vertical hasta hasta la LT, donde donde se encontrar encontrará á h'. Por este punto se traza una

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 perpendicular  perpendic ular a la LT hasta hasta cortar cortar a la proyecció proyección n horiz horizontal ontal de la recta, recta, obteniendo obteniendo h (Fig. 2.13).

De forma análoga se puede deducir lo siguiente para la traza vertical: Para hallar la traza vertical de una recta en el Sistema Diédrico se prolonga su proyección horizontal hasta la LT, donde estará v. Por este punto se traza una perpendicular a la LT hasta cortar a la proyección vertical de la recta, obteniendo v'.

El mismo razonamiento se puede aplicar para la determinación de las trazas con los bisectores. La traza M con el primer bisector es un punto que, además de tener sus proyecciones sobre las de la recta por pertenecer a ella, éstas deben ser equidistantes de la LT por estar contenidas en el primer bisector. Por tanto, para hallar la traza de una recta con el primer bisector, se halla la simétrica de una de las proyecciones de la recta respecto a la LT, y su intersección con la otra proyección nos determina una de las proyecciones de la traza. La traza N con el segundo bisector tendrá sus proyecciones confundidas, y por pertenecer a la recta deben encontrarse sus proyecciones sobre las proyecciones homónimas de la recta. Entonces, la traza de una recta con el segundo bisector viene determinada por la intersección de sus proyecciones horizontal y vertical. En la Fig. 2.13 se explica gráficamente como se obtiene cada una de las trazas de una recta.

Figura 2.13

2.6.-Partes vistas y ocultas en la recta proyectada. Como ya se expuso en su momento, en sistema diédrico el observador se supone situado en el primer cuadrante y por tanto percibirá directamente cualquier punto situado en él, sobre los semiplanos horizontal anterior y vertical superior y sobre la LT, quedando ocultos aquellos que se encuentren en el resto de los cuadrantes y semiplanos.

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Los puntos traza de una recta con los planos de proyección definen los segmentos de esa recta que pertenecen a los distintos cuadrantes. Basándose en este principio, y para determinar las partes vistas y ocultas de una recta, se admite como regla general que el segmento de recta comprendido entre sus trazas será visto y el resto de recta oculto si y sólo si dichas trazas son puntos vistos.

Figura 2.14

En la Fig. 2.14 la recta R tiene sus dos trazas vistas y por tanto el segmento comprendido entre ellas será visto y el resto oculto. La parte oculta de una recta se suele representar con línea a trazos.

Figura 2.15

Análogamente, en la Fig. 2.15 la recta R tiene oculta su traza horizontal y vista la vertical. Por lo tanto es vista desde esta última hacia la derecha y oculta desde la primera hacia la izquierda. Puede decirse que cuando una recta tiene vista sólo una traza, es oculta a partir de ésta en la zona que abarca a la traza oculta. En el supuesto de que las dos trazas sean puntos no vistos toda la recta será no vista. En la Fig. 2.16 se representa una recta de estas características.

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Figura 2.16

Como se puede comprobar fácilmente, una recta puede pasar por tres cuadrantes como máximo.

2.7.-El punto sobre la recta. La condición necesaria y suficiente para que un punto esté contenido en una recta es que las proyecciones del punto estén contenidas en las proyecciones homónimas de la recta.

Figura 2.17

La excepción a esto lo constituyen las rectas paralelas al plano de perfil o rectas de perfil, que se definirán en el apartado 2.9. Este es el único caso en el que se pueden encontrar puntos que tienen sus proyecciones sobre las de la recta y no pertenecen a ella. Para determinar si efectivamente el punto pertenece o no a la recta, se acude a la proyección de perfil. En la Fig. 2.17 se puede observar que las proyecciones horizon horizontal tal y vertical del punto A están contenidas en r y r’ respectivamente, aunque aunque dicho punto no pertenec pertenecee a la recta R, como puede apreciarse en el plano de perfil.

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2.8.-Posición relativa de dos rectas. Para que dos rectas se corten deben tener un punto en común. En consecuencia las proyecciones de éste estarán en las proyecciones homónimas de las dos rectas. Además, como todo punto en representación diédrica, tendrá sus proyecciones alineadas en dirección perpendicular a la LT. Por tanto, si los puntos intersección de las proyecciones homónimas de dos rectas se encuentran alineados en dirección ortogonal a la LT, se puede asegurar que ambas rectas se cortan (Fig. 2.18). Además, el punto intersección de las rectas en el espacio se proyectará precisamente sobre las intersecciones de las proyecciones homónimas de las la s rectas.

Figura 2.18

Pero si una de las rectas es paralela al plano de perfil, puede que no se cumpla la regla anterior. En la Fig. 2.19 se comprueba que las proyecciones horizontal y vertical de la recta de perfil S, que pasa por los puntos A y B, y la recta R, se cortan en i e i’ respectivamente. Sin embargo la proyección de perfil pone de manifiesto que I no es el punto de intersección de las rectas en el espacio. e spacio.

Fi ur ura a 2.1 .19 9

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Un caso particular de intersección de rectas es el de aquellas que se cortan en el infinito, es decir, el de rectas paralelas. En este caso las proyecciones del punto I también estarán en el infinito por ser un punto impropio y por tanto, las proyecciones de las rectas deberán ser paralelas (Fig. 2.20).

Figura 2.20

2.9.-Alfabeto de la recta. Al igual que para el caso del punto, el alfabeto de la recta se refiere a las particularidades que presentan las proyecciones de una recta según su posición en el espacio.  Recta situada situada en el plano plano horizonta horizontall. Cualquier recta R de estas características tendrá la proyección horizontal confundida con ella misma y la vertical sobre la LT. Como casos particulares se pueden citar el de la recta S paralela a la LT que tendrá su proyección horizontal paralela a la LT, y el de la recta T perpendicular a la LT que tendrá como proyección vertical un punto (Fig. 2.21). La proyección horizontal de estas rectas se verá en verdadera magnitud.

Figura 2.21  Recta horizontal horizontal o paralela paralela al plano horizonta horizontall. Se caracteriza por tener todos sus puntos

con la misma cota. En consecuencia sus proyecciones verticales equidistarán de la LT. La proyección horizontal no debe reunir ninguna condición especial (rectas R, S y T de la Fig.

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2.22). Cualquier recta situada en el plano horizontal de proyección o en otro paralelo a él se proyecta horizontalmente en verdadera magnitud.

Figura 2.22  Recta paralela paralela a la LT . Las proyecciones de una recta paralela a la LT son paralelas a su vez a la LT (Fig. 2.23). Tanto la proyección vertical como horizontal se verán en verdadera magnitud.

Figura 2.23  Recta situada situada en el plano plano vertical vertical. Cualquier recta de estas características tendrá la proyección vertical confundida con ella misma y la horizontal sobre la LT. La proyección vertical se verá en verdadera magnitud. La Fig. 2.24 muestra algunas de estas rectas.

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Figura 2.24

 Recta frontal frontal o paralel paralela a al plano ve vertica rticall. Todos los puntos de una recta de este tipo tienen el mismo alejamiento y en consecuencia, sus proyecciones horizontales equidistarán de la LT. La proyección vertical no debe cumplir ninguna condición especial (Fig. 2.25). Cualquier recta situada en el plano vertical o en uno paralelo a él se proyecta verticalmente en verdadera magnitud.

Figura 2.25

 Recta de punta punta o perpen perpendicul dicular ar al plano plano horizont horizontal al. Su proyección vertical es perpendicular a la LT y la proyección horizontal es un punto (recta T de la Fig. 2.25). Las rectas paralelas al plano vertical se proyectan verticalmente en verdadera magnitud.  Recta de punta punta o perpen perpendicul dicular ar al plano plano vertical vertical. Su proyección horizontal es perpendicular a la LT y la proyección vertical es un punto (recta T de la Fig. 2.22). Las rectas paralelas al plano horizontal se proyectan horizontalmente en verdadera magnitud.  Recta de perfil perfil. Es toda aquella contenida en un plano perpendicular a la LT (plano de perfil). Sus proyecciones las tiene confundidas y perpendiculares a la LT (Fig. 2.26). Por tanto, si se quiere representar una recta de perfil proyectada sobre el diedro, será necesario definir dos puntos contenidos en ella.

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Figura 2.26  Recta que pasa por la LT . La única particularidad de estas rectas es que la traza vertical y horizontal están confundidas en un mismo punto de la LT (Fig. 2.27). Por tanto, sus proyecciones convergen en ese punto.

Figura 2.27

 Recta situada situada en el primer bisector  bisector . Estas rectas pueden cortar o no a la LT. Si la cortan,

como la recta R depertenecer la Fig. 2.28, sus dosbisector, proyecciones en un punto es de el lacaso LT, ydeademás, adem ás, por al primer bisec tor, estas serán serán concurrentes simétricas simétricas respecto a la LT, ya que cualquier punto de R tendrá sus proyecciones equidistantes de la LT. Ambas proyecciones forman con la LT el mismo ángulo α. Si las proyecciones no cortan a la LT, es decir son paralelas a ella, tendrán además que equidistar de la LT (recta T de la Fig. 2.28).

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Figura 2.28  Recta situada en el segu segundo ndo bisector  bisector . Todo punto de estas rectas tendrá confundidas sus proyecciones, por pertenecer al segundo bisector. Como en el caso anterior, podrán cortar a la LT (recta R de la Fig. 2.29) o ser paralela a la LT (recta T de la Fig. 2.29).  Recta parale paralela la al primer primer bisecto bisector  r . La traza de este tipo de recta con el primer bisector es un punto impropio, es decir, la recta cortará al primer bisector en el infinito. Por tanto no se

encontrará ningún punto que pertenezcaque a ladebe recta con igual alejamiento en al el primer o tercer cuadrante. La condición cumplir una cota recta que R para ser paralela primer bisector es que una de sus proyecciones ha de ser paralela a la simétrica de la otra respecto a la LT (Fig. 2.30).

Figura 2.29

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Figura 2.30  Recta paralela paralela al segundo segundo bisector  bisector . Una recta R (Fig. 2.31) situada en el segundo bisector tendrá sus proyecciones confundidas. Una recta T paralela a R tendrá sus proyecciones paralelas a las de R. Como T no pertenece al segundo bisector sus proyecciones no coincidirán. Por tanto, las rectas paralelas al segundo bisector tienen sus proyecciones paralelas entre sí.

Figura 2.31

2.10.-Representación del plano. Trazas de un plano. Un plano queda determinado por tres puntos no alineados, por un punto y una recta, por dos rectas paralelas o por dos rectas que se cortan. Este último caso es el más empleado en geometría descriptiva, utilizando como rectas para definir el plano las intersecciones de éste con los planos horizontal y vertical de proyección, llamadas traza horizontal  y traza vertical del plano, respectivamente. En la Fig. 2.32 un plano cualquiera P corta al plano horizontal de proyección según la recta P (traza horizontal) y al vertical de proyección según la recta P' (traza vertical). Todo plano oblicuo corta a un diedro según dos rectas concurrentes en un punto de su arista. De igual modo, ambas trazas concurrirán en un punto de la LT, que en este caso es la arista del diedro formado por los planos de proyección. Por tanto, la condición que deben reunir las trazas de un plano es que sean concurrentes en un punto de la LT (Fig.

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2.33). Como excepción se presenta el plano paralelo a la LT, cuyas trazas son paralelas a la misma (en realidad cortan a la LT en un punto impropio).

Figura 2.32

Figura 2.33

2.11.-Recta y punto situados en un plano. La recta R situada en el plano P (Fig. 2.34) cortará al plano horizontal en un punto de la traza horizontal, y al vertical en un punto de la traza vertical del plano. En consecuencia, para que una recta esté contenida en un plano es necesario que sus trazas estén sobre las trazas homónimas del plano. La inversa también es cierta: si un plano contiene a una recta sus trazas pasan por las trazas homónimas de la recta. Para situar una recta R en un plano P (Fig. 2.35), se tomará un punto H de la traza horizontal P del plano y otro V de la traza vertical P' y se unirán entre sí. Para situar un punto cualquiera en un plano basta con definir una recta situada en él y luego elegir uno de sus puntos.

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Figura 2.34

Figura 2.35

2.12.-Rectas particulares de un plano: horizontales, frontales, de máxima pendiente y de máxima inclinación.  Recta horizotal de plano. Es una recta que pertenece a un plano y es paralela al horizontal de proyección. Por ser paralela al plano horizontal tendrá su proyección vertical paralela a la LT, y por pertenecer al plano su traza vertical debe estar en la traza vertical del plano. Este mismo paralelismo hace que la traza horizontal de la recta sea un punto impropio, y por tanto, que su proyección horizontal sea paralela a la traza horizontal del plano.

En la Fig. 2.36 la recta R es una horizontal del plano P, su proyección horizontal r es paralela a la traza horizontal de P y su proyección vertical r’ es paralela a la LT, estando su traza vertical V contenida en la l a traza vertical P’ del plano. Las rectas horizontales de un plano pueden considerarse como el resultado de la intersección de dicho plano con planos horizontales de diferentes cotas (Fig. 2.37). Una horizontal de plano se proyectará horizontalmente en verdadera magnitud.

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Figura 2.36

Figura 2.37  Recta frontal de plano. Es una recta R situada en el plano P y paralela al plano vertical de proyección (Fig. 2.38). Este tipo de rectas pueden considerarse como el resultado de la intersección del plano en cuestión con planos paralelos al vertical de proyección, situados a diferentes alejamientos.

Siguiendo un razonamiento parecido al anterior se puede deducir que las frontales de plano tienen su proyección vertical paralela a la traza vertical del plano que las contiene, y su proyección horizontal paralela a la LT (Fig. 2.39). La traza horizontal H está contenida en la traza horizontal P del plano.  Línea de máxima pendiente.  Es una recta R, que está contenida en el plano P, y es perpendicular a su traza horizontal (Fig. 2.40).

Para trazar una línea de máxima má xima pendiente a un plano, se dibuja una recta r perpendicular a la traza horizontal del plano (Fig. 2.41) obteniéndose las proyecciones horizontales de las trazas horizontal y vertical de R. A continuación se calculan las proyecciones verticales de las mismas y se unen ordenadamente.

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Figura 2.38

Figura 2.39

Figura 2.40

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Figura 2.41

Se define la pendiente de una recta como la tangente del ángulo que forma esta recta con el plano horizontal. Se deduce lógicamente que no existe ninguna recta del plano cuya pendiente sea mayor que la de su línea de máxima pendiente. Por tanto, la línea de máxima pendiente es el camino que seguirá una gota de agua cuando se deposita sobre el plano P.  Línea de máxima inclinación. Es una recta R contenida en un plano P y perpendicular a su traza vertical, P’ (Fig. 2.42).

Figura 2.42

Su proyección vertical (r') es perpendicular a la traza vertical (P') del plano (Fig. 2.43). De las infinitas rectas que pertenecen al plano, será la línea de máxima inclinación la que forma mayor ángulo respecto al plano vertical de proyección.

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Figura 2.43

2.13.-Alfabeto del plano. Los planos se pueden clasificar en función de su posición respecto a los de proyección: Plano P perpendicular al plano horizontal o proyectante horizontal. La traza vertical P' es perpendicular a la LT y la horizontal P puede tomar cualquier dirección (Fig. 2.44). El plano P es proyectante horizontal ya que todos los puntos contenidos en él tendrán su proyección horizontal sobre la traza horizontal P. Este es el caso del punto A y la recta R representados en la Fig. 2.44.

Figura 2.44

Plano P perpendicular al plano vertical o proyectante vertical. La traza horizontal P es perpendicular a la LT y la vertical P' puede adoptar cualquier posición (Fig. 2.45). Este plano es proyectante vertical porque los puntos en él contenidos, como el punto A y la recta R, tienen su proyección vertical sobre la traza vertical P' del plano.

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Figura 2.45 

Figura 2.46  

Figura 2.47

Plano de perfil o perpendicular a la LT.  Por ser perpendicular a la LT lo será también a los planos proyectantes. Sus trazas serán perpendiculares a la LT y se confundirán c onfundirán en una sola recta (Fig. 2.46), donde se encontrarán las proyecciones de todos sus puntos. Las figuras contenidas en este tipo de plano se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano de perfil.

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Plano horizontal o paralelo al horizontal de proyección. Este tipo de plano no tiene ti ene traza horizontal al no cortar al horizontal de proyección. Por tanto la traza vertical será siempre paralela a la LT pudiendo estar por encima o por debajo de ella (Fig. 2.47). Las figuras contenidas en este tipo de plano se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano horizontal. Plano frontal o paralelo al vertical de proyección. Del mismo modo que en el caso anterior, este plano no tendrá traza vertical al ser paralelo al vertical de proyección, la traza horizontal será paralela a la LT, pudiendo estar por encima o por debajo de ella (Fig. 2.48). La proyección vertical de cualquier figura contenida en un plano de este tipo se verá en verdadera magnitud.

Figura 2.48

Plano paralelo a la LT. Las dos trazas de un plano de este tipo son paralelas a la LT y por tanto, todas las horizontales y frontales de plano serán paralelas a la LT (Fig. 2.49).

Figura 2.49

Plano que pasa por la LT.  En este caso el plano no queda determinado por sus trazas ya que éstas están confundidas con la LT. Para que quede totalmente determinado se suele usar un punto (A) del plano y dos trazos, por debajo de la línea de tierra, simétricos a la

línea que une las proyecciones de dicho punto (Fig. 2.50).

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Figura 2.50

Plano perpendicular a uno de los bisectores. En la Fig. 2.51 aparece la traza de perfil del primer bisector representada por la recta OM. Si en el plano de perfil se traza una recta perpendicular a OM, dicha recta será perpendicular también al primer bisector.

Figura 2.51

Además el ángulo formado por los segmentos OD y ON es igual al formado por ON y OB, ambos de 45°. Por tanto en el triángulo DOB se verificará que el ángulo del vértice D será igual al del vértice B y ambos iguales a 45°, por lo que OB=OD. Al abatir el plano vertical sobre el horizontal, D se desplazará hasta A, cumpliéndose que OA=OB. OA=OB. Cualquier plano, como el BCD, que pase por BD, será perpendicular al primer bisector por serlo BD. Luego al girar el plano vertical sobre el horizontal tomando como eje de giro la LT, su traza vertical CD tomará la posición CA, simétrica a CB respecto a la LT, por ser A y B puntos simétricos. Se deduce que todo plano perpendicular al primer bisector tiene sus trazas simétricas respecto a la LT, tal como se muestra en la Fig. 2.52.

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Repitiendo el mismo razonamiento para el plano ADC de la Fig. 2.51, perpendicular al segundo bisector, se demostraría que al girar el plano vertical hasta hacerlo coincidir con el horizontal tomando como eje de giro la LT, su traza vertical CD coincidiría con la horizontal CA, probando que todo plano perpendicular al segundo bisector tiene sus trazas confundidas (Fig. 2.53).

Figura 2.52 

Figura 2.53

Si el plano es perpendicular a uno de los bisectores y paralelo a la LT, sus trazas serán paralelas a la LT, equidistando de ella si es perpendicular al primer bisector (Fig. 2.54), o confundiéndose en una sola si es perpendicular al segundo bisector (Fig. 2.55).

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F. Agüera, F.J. Aguilar, F. Carvajal, M.A. Aguilar, B. Navarro.

Figura 2.54

Figura 2.55

2.14.-Formas planas. Por un punto situado en el espacio se pueden hacer pasar infinitas rectas, por lo que existirán infinitos planos que lo contengan. De igual forma, una recta situada en el espacio no define un plano, si no un conjunto de infinitos de ellos, denominado haz de  planos. En el apartado 2.10 se hizo una enumeración de los elementos necesarios para determinar un plano. Todas las posibilidades se reducen a conocer tres puntos no alineados, puesto que a partir de ellos se pueden definir dos rectas que se cortan, dos rectas paralelas o una recta y un punto exterior a ella. De aquí se deduce el siguiente principio: dados tres puntos no alineados en el espacio, existe uno y sólo un plano que los contenga . Además la figura geométrica que definen es un triángulo cuyos lados también están contenidos en dicho plano. La condición c ondición que debe cumplir un cuarto punto para determinar un cuadrilátero plano es pertenecer al plano definido por los tres primeros.

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 Expresión Gráfica en la Ingeniería

Por tanto, y en general, todos los vértices que definen cualquier forma plana deben pertenecer al mismo plano, con lo cual también pertenecerán a él los infinitos puntos que forman sus lados rectos o curvos. De forma recíproca, cualquier combinación de tres puntos no alineados pertenecientes a una forma plana que se elijan debe definir el mismo plano.

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