Sistema de Segundo Orden

 

SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

AMORTIGUAMIENTO Y FRECUENCIA NATURAL NO AMORTIGUADA Entender el sistema de segundo orden es muy importante para el diseño de controladores ya que habitualmente la mayor parte de los sistemas pueden ser aproximados a un sistema de orden dos. La función de transferencia de un sistema general de segundo orden es el siguiente:

Transformando

De este modo se denomina forma estándar del sistema de segundo orden donde el término    se denomina frecuencia natural y ζ es el coeficiente coeficie nte de amortiguamiento y  √ 1      será la frecuencia natural amortiguada representada por   

 = √   coeficiente de amortiguamiento Dependiendo del valor de ζ tendremos 3 posibles casos   1)  Caso sub-amortiguado sub-amortiguado (0 < ζ < 1)  1)   2)  Caso críticamente amortiguado ζ =1  =1  3)  Caso sobre-amortiguado sobre-amortiguado (ζ>1)  (ζ>1)  Gráficamente se representan de la siguiente manera:

 

 

Figura N°1. Curvas de respuesta al escalón de un sistema normalizado de segundo orden  para diferentes valores de ζ. Estas son las curvas de respuesta al escalón de un sistema normalizado de segundo orden  para diferentes valores de ζ. Los polinomios característicos considerados considerados son: 1.  2.  3.  4. 

= Sistema libre oscilatorio = Sistema subamortiguado =Sistema críticamente amortiguado =Sistema sobreamortiguado

Figura N°2. Especificaciones de la respuesta transitoria.

 

PARÁMETROS PARA EL DISEÑO DE UN SISTEMA SIS TEMA DE SEGUNDO ORDEN Para diseñar sistemas de control, es necesario identificar determinados parámetros de comportamiento en régimen transitorio, así como especificar ciertas condiciones que el sistema debe satisfacer.

Máximo pico de sobre-impulso  MP  M P: Es la máxima sobre-desviación de la respuesta del sistema con respecto a su valor final y ((∞). ∞).  

Tiempo pico Tp: Es el tiempo que requiere el sistema para alcanzar alcanza r su máximo pico de sobreimpulso.

Tiempo de asentamiento Ta: Tiempo que necesita el sistema para que alcance su valor final  práctico; esto es, el tiempo para que transcurran cuatro constantes de tiempo.

Tiempo de elevación Te: Tiempo requerido por el sistema para que su respuesta pase del 10 al 90% de su valor final

Figura N°3. Curva de respuesta escalón unitario con las especificaciones SISTEMA DE SEGUNDO GRADO EN LAZO ABIERTO Y EN LAZO CERRADO Para alterar el comportamiento de un sistema de segundo grado T(s) sin modificar sus características físicas propias, se le agregará un amplificador de ganancia ajustable K, tanto en lazo abierto como en lazo cerrado, para observar la diferencia entre configuraciones.

 

Análisis en lazo abierto Se pretende determinar el comportamiento en lazo abierto de un sistema de segundo grado, cuando se le agrega una ganancia ajustable K, según se indica en la figura 4.

Figura N°4. Sistema de segundo grado con ganancia ajustable en configuración de lazo abierto. La ganancia ajustable K y el proceso por controlar quedan definidos respectivamente como:

 () = 

  () =   (+2 )



Su función de transferencia equivalente es:

   () = ( (+2 ) Análisis en lazo cerrado

Figura N°5. Sistema de segundo grado con ganancia ajustable en configuración de lazo cerrado. Para el sistema con retroalimentación unitaria mostrado en la figura 5, se considera que:

 () = ,

    () = ( +2  )

y

Por lo que la función de transferencia de lazo cerrado T(s) es:

 (  ) = 1 

 

  (+2 )  ( ) = =       +2  +      1 + (+2 )  Donde se deberá observar que los polos de lazo cerrado, además de estar en función de los coeficientes de la ecuación característica, dependen del valor asignado a la ganancia ajustable K.

EJERCICIO: Considerando el siguiente sistema

Se tiene que

  = 5 rad/seg ζ = 0.6 = 0.6 Se va a obtener el tiempo de subida  , el tiempo pico , la sobreelongación máxima MP  máxima  MP  y  y el tiempo de asentamiento   cuando el sistema está sujeto a una entrada escalón unitario. Respuesta: A partir de los valores dados de ζ   y y   se obtiene 

=  √ 1   = 4 y  =   = 3 

Tiempo de subida  subida  : el tiempo de subida es 

 =

   3,14   = 4 

Donde β  Donde  β  se  se obtiene mediante

 = tan−

 4 0,93 rrad ad  = tan− = 0,93 3 

Por lo tanto, el tiempo de subida   es

 = Tiempo pico  : el tiempo pico es

3,1 ,144  0, 0,993 = 0,5 0,555 se segg  4

 

 =

 3,14 = 0,785 0,785 se segg  = 4 

Sobreelongación máxima MP  máxima MP : la sobreelongación máxima es −(⁄)× )×, , = 0,09  =  −(⁄) =  −( 0,0955 

Por lo tanto, el porcentaje de sobreelongación máxima es 9,5% Tiempo de asentamiento  : para el criterio de 2%, el tiempo de asentamiento es

4 4 1,33 33 seg seg   = = = 1,  3 Para el criterio de 5%,

3 3  = = = 1 seg   3