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SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES AUTOR:
JUAN ALFREDO HUAMANCHAQUI QUISPE
.
Índi e General 1. Sistema de los números Reales
3
SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES . . . . . . . . . . . Radi ales, Exponen ial y Logaritmo de los números reales Desigualdades
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Intervalos de los números reales . . . . . . . . . . . . . .
14
Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Máximo entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Ejer i ios de Números Reales . . . . . . . . . . . . . . .
24
Bibliografía
P
3
[email protected]
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2
R
Li : Juan A. Huaman haqui
Cap´ıtulo
1
Sistema de los números Reales SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES El sistema de los números reales es un onjunto
R
on dos opera-
iones, la adi ión (+) y la multipli a ión (·) y una rela ión de orden (b
y
b < c,
a, b ∈ R,
enton es una y sólo una
Leyes 5.1) si
a 0+b ⇒ a+b> b
b ) ab > 0.
Demostra ión: a > 0 ⇒ ab > 0.b ⇒ ab > 0
ab < 0. Demostra ión: Como b < 0 enton es −b > 0, anterior, tenemos −ba > 0, nalmente ba < 0.
7. Si
8. Si
a > 0, b < 0
a < 0, b < 0
enton es
por el teorema
enton es
a) a + b < 0 b ) ab > 0
Demostra ión: Análogo al anterior. 9. Para
a 6= 0
en
R,
a2 > 0. a 6= 0 enton es a < 0
se tiene
Demostra ión: Como
y
a>0
a > 0 ⇒ aa > 0 ⇒ a2 > 0 P
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R
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SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
.
y
a < 0 ⇒ aa > 0 ⇒ a2 > 0 10. Para
a 6= 0
en
R,
a2 > 0. a 6= 0 enton es a < 0
se tiene
Demostra ión: Como
y
a>0
a > 0 ⇒ aa > 0 ⇒ a2 > 0 y
a < 0 ⇒ aa > 0 ⇒ a2 > 0 11. Sea
a) b)
a ∈ R,
enton es se umple
si
a0
enton es
a−1 > 0
12. Si
a, b, c, d ∈ R, se umple, si a < b y c < d enton es a + c < b + d.
13. Si
a, b, c ∈ R,
⇒) c < 0
se umple,
enton es
a>b
−c > 0
y
c b,
ac < bc.
enton es
a(−c) > b(−c) −ac > −bc ac < bc ⇐) c < 0
enton es
−c > 0
y omo
ac < bc,
enton es
acc−1 < bcc−1 a(cc−1 ) < b(cc−1 ) a > b 14. Si
a, b, c ∈ R,
se umple,
a>b
y
c>0
si y sólo si
ac > bc.
15. Si
a, b, c ∈ R,
se umple,
a0
si y sólo si
ac < bc.
P
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Ejemplo 1.0.2. Determinar en valor de verdad de ada una de las siguientes a rma iones.
1. a < 0, b > 0 → a2 − ab > 0. 2 Solu ión: Como a < 0 enton es a > 0 y −a > 0, también omo b > 0 enton es −ab > 0, sumando a2 > 0 y −ab > 0 se on luye a2 − ab > 0. 2. 0 < a < b y 0 < c < d → ac < bd. Solu ión: Como 0 < a y c < d enton es ac < ad y 0 < d y a < b enton es ad < bd de las desigualdades ac < ad y ad < bd ac < bd
3. ∀a, b ∈ R, a2 + b2 ≥ 2ab. 2 2 2 Solu ión: ∀a, b ∈ R tenemos (a − b) ≥ 0 entones + b ≥ 2ab a2 + ab
4. a < b → a2 < < ab. 2 2 Solu ión: por hipótesis a < b enton es a < b.a, sumando la ultima desigualdad on a2 tenemos 2a2 < b.a+a2 . Además a la misma e ua ión los sumamos ba se tiene a2 + b.a < 2b.a. Finalmente tenemos 2a2 < a2 + b.a < 2b.a. b+1
1
5. Si a > 0, b < 0, demuestre que < . a a Solu ión: Por hipótesis tenemos ab < 0, luego ab + a < a. Dividiendo on a2 se tiene
b+1 1 < . a a
6. Si a 6= b 6= c y todos positivos, demuestre que: (a + b)(b + c)(a + c) > 8abc. Solu ión: Como a, b, c son diferentes y positivo, se umple √ 2 √ √ √ √ √ ( a − b) > 0, ( a − c)2 > 0 y ( − c)2 > 0 enton es tenemos √ 2 √ √ √ ( a − b) > 0 ⇒ a − 2 ab + b > 0 ⇒ a + b > 2 ab > 0 √ √ √ √ ( a − c)2 > 0 ⇒ a − 2 ac + c > 0 ⇒ a + c > 2 ac > 0 √ √ √ √ ( c − b)2 > 0 ⇒ c − 2 ab + b > 0 ⇒ c + b > 2 cb > 0
Finalmente multipli ando tenemos: √ √ √ (a + b)(a + c)(c + b) > 8 ab ac cb = 8abc
P
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7. Determinar en valor de verdad de ada una de las siguientes a rma iones. ) a < 0, b > 0 → a2 − ab > 0. 2 Solu ión: Como a < 0 enton es a > 0 y −a > 0, también
omo b >= enton es −ab > 0, sumando a2 > 0 y −ab > 0 se
on luye a2 − ab > 0. b) 0 < a < b y 0 < c < d → ac < bd. Solu ión: Como 0 < a y c < d enton es ac < ad y 0 < d y a < b enton es ad < bd de las desigualdades ac < ad y ad < bd ac < bd 2 2
) ∀a, b ∈ R, a + b ≥ 2ab. 2 2 2 Solu ión: ∀a, b ∈ R tenemos (a−b) ≥ 0 entones +b ≥ 2ab a
a2 + ab d) a < b → a < < ab. 2 2 Solu ión: por hipótesis a < b enton es a < b.a, sumando la ultima desigualdad on a2 tenemos 2a2 < b.a + a2 . Además a la misma e ua ión los sumamos ba se tiene a2 + b.a < 2b.a. Finalmente tenemos 2a2 < a2 + b.a < 2b.a. 2
8. Demostrar que ∀x ∈ R − (−1, 1), ∀n ∈ N par se umple xn 1 . ≤ x2n + 1 2
Por hipótesis tenemos xn ≥ 1 para x ∈ R − (−1, 1), enton es xn − 1 ≥ 0, elevando al uadrado tenemos (xn − 1)2 ≥ 0, Solu ión:
1 xn nalmente ≥ 2n . 2 x +1 9. Si a, b son números reales positivos, demostrar que: 1 1 ( + )(a + b) ≥ 4. a b 2 Solu ión: Como a > 0, b > 0 enton es (a − b) ≥ 0, enton es a2 + b2 ≥ 2ab a la ultima desigualdad los sumamos 2ab enton es se tiene a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab, luego los dividimos ab y ha iendo 1 1 opera iones tenemos ( + )(a + b) ≥ 4. a b
Intervalos de los números reales Se representa la desigualdad
a P
x
a 0 a = 0 ⇒ |a| = 0 a > 0 ⇒ |a| = a ⇒ |a| = a > 0
2.
|a| = 0 ⇔ a = 0.
Demostra ión:
|a| = 0 ⇒ 0 = a ∨ 0 = −a ⇒ a = 0 a = 0 ⇒ |a| = a ⇒ |a| = 0 3.
∀a ∈ R, |a|2 = a2 .
Demostra ión: Si Si
a ≥ 0 ⇒ |a|2 = |a||a| = a.a = a2 a ≤ 0 ⇒ |a|2 = |a||a| = (−a).(−a) = a2
4.
√ ∀a ∈ R, |a| = a2 .
5.
∀a ∈ R, |a| = | − a|.
6.
∀a, b ∈ R, |a||b| = |ab|.
Demostra ión:
q √ √ |ab| = (ab)2 ⇒ |ab| = a2 b2
⇒ |ab| = |a||b|
7.
8.
|a| a ∀a, b ∈ R, = |b| b
∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a| + |b|
Demostra ión:
(Desigualdad triangular).
(|a + b|)2 = a2 + 2ab + b2 ≤ a2 + 2|a||b| + b2 ≤ (|a| + |b|)2 Tomando extremos se en uentra el resultado.
P
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SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 9. Si
b≥0
|a| ≤ b
y
Demostra ión: ⇒)
si y sólo si
.
−b ≤ a ≤ b.
a ≤ |a| y |a| ≤ b tengo a ≤ b. Por otro lado, −b ≤ −|a| y −|a| ≤ a se tiene −b ≤ a. Finalmente −b ≤ a ≤ b. ⇐) Si a ≥ 0 y |a| = a ≥ 0 por hipótesis a ≥ b, de donde |a| ≥ b. Y si a < 0, enton es −a > 0 y |a| = −a y omo −b ≤ a enton es −a ≤ b. Finalmente on luimos |a| ≤ b. Como
10. Si
b≥0
11. Si
|a| ≥ b
|a| < b
y
si y sólo si
si y sólo si
Demostra ión: ⇒)
−b < a < b
a ≥ b ∨ a ≤ −b.
a ≥ 0 enton es |a| = a, por hipótesis |a| ≥ b enton es a ≥ b. Y si a < 0 enton es |a| = −a, por hipótesis |a| ≥ b enton es −a ≥ b (o a ≤ −b. Por lo tanto a ≥ b ∨ a ≤ −b ⇐) Como a ≤ b enton es −a ≥ b, omo sabemos |a| ≥ a y |a| ≥ −a y también |a| ≥ b y |a| ≥ b 12. Si
Si
|a| > b
si y sólo si
a > b ∨ a < −b
Ejemplo 1.0.4. 1. Demostrar que si a y b son números reales enton es
||a| − |b|| ≤ |a − b|.
Solu ión:
y
por hipótesis tenemos: |a| = |(a − b) + b| ⇒ |a| ≤ |a − b| + |b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a − b|
|b| = |(b − a) + a| ⇒ |b| ≤ |b − a| + |a| ⇒ −(|a| − |b|) ≤ |a − b|
(1.1)
(1.2)
de (1.1) y (1.2) tenemos |a − b| ≥ ||a| − |b||.
2. Demostrar que ∀a, b, c ∈ R se umple que: |a|−|b|−|c| ≤ |a−b−c|. Demostra ión: Sabemos que |a| = |(a − b − c) + (b + c)|, enton es |a| ≤ |a − b − c| + |b + c| ⇒ |a| ≤ |a − b − c| + |b| + |c| ⇒ |a| − |b| − |c| ≤ |a − b − c| P
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3. Si a, b, c ∈ R − {0}, demuestre que:
Solu ión:
goemétri a
bc ac ba + + ≥ |a + b + c| c a b
Re ordemos la rela ión de la media aritméti a y media √
a+b . Enton es apli ando al rela ión tenemos: 2 s √ cb ac + ≥ 2 bc ac = 2 c2 a a b b s √ cb ab + ≥ 2 bc ab = 2 b2 a c a c s ca ab ac ab √ + ≥ 2 = 2 a2 b c b c
ab ≤
sumando y apli ando propiedades, se tiene
cb ac ab + + ≥ |a| + |b| + |c| ≥ |a + b + c|. a c b
4. Hallar el número M que satisfaga la desigualdad
2x + 1 1 x − 2 − 2 ≤ M para x ∈ [4, 7]. 2x + 1 5 enton es Solu ión: Como =2+ x−2 x−2 2x + 1 1 5 3 = 0, enton es x−1 > 0 enton es √ √ ( x − x−1)2 > 0, operando tenemos Si
b)
P
x +
1 ≥ 2. x −1 > 0 nalmente Si x < 0, enton es −x > 0, luego −x p √ 1 ( −x − −x−1)2 > 0 operando tenemos x + ≥ 2. x
1 1 1 9 + + ≥ . |c| |b| |a| |a| + |b| + |c|
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SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Solu ión
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Veamos que su ede on.
1 1 (|x| + |y|) + |x| |y|
Finalmente
|x| |y| |x| |y| + + + |x| |x| |y| |y| |y| |x| = 2 + + |x| |y| ≥ 4 =
1 1 1 (|a| + |b| + |c|) + + |c| |b| |a|
Solu ión del ejemplo:
≥ 9
Se hará en dos asos:
i) Si alguno es ero, la desigualdad es trivial. ii) Si ninguno son ero: |a| > 0, |b| > 0 ⇒ (|a| − |b|)2 ≥ 0 ⇒ a2 + b2 ≥ 2|ab|, |a| > 0, |c| > 0 ⇒ (|a| − |c|)2 ≥ 0 ⇒ a2 + c2 ≥ 2|ac|,
y |b| > 0, |c| > 0 ⇒ (|b| − |c|)2 ≥ 0 ⇒ b2 + c2 ≥ 2|bc|,
sumando las desigualdades y dividiendo on |abc|, tenemos a2 + b2 + c2 1 1 1 ≥ + + |abc| |a| |b| |c|
Apli ando los dos ejemplos anteriores tenemos a2 + b2 + c2 1 1 1 9 ≥ + + ≥ |abc| |a| |b| |c| |a| + |b| + |c|
nalmente tenemos
(|a| + |b| + |c|)(a2 + b2 + c2 ) ≥ 9|abc| P
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.
Máximo entero De ni ión:
Se de ne el máximo entero de un número real
JxK = n,
expresión denotado por que o igual a
x,
JxK ∈ Z,∀x ∈ R.
Demostra ión: emos.
2.
es el mayor entero y menor
por la mismo de ni ión de máximo entero ten-
JxK = m´ax{n ∈ Z/n ≤ n} = n ∈ Z.
JxK = x ⇔ x ∈ Z.
Demostra ión: (⇒) (⇐)
3.
n
a la
JxK = n ⇔ JxK = m´ax{n ∈ Z/n ≤ x}
Teorema 1.
esto es,
donde
x
JxK ∈ Z y omo JxK = x ∈ Z JxK = m´ax{n ∈ Z/n ≤ x} = n
Por le teorema anterior, Si
x∈Z
enton es
JxK ≤ x < JxK + 1, ∀x ∈ R.
Demostra ión: Por de ni ión JxK = n ∈ Z y n ≤ x enton esJxK ≤ x. Además n ≤ x enton es x ≤ n + 1, luego x ≤ JxK + 1. De ambos resultado se on luye el teorema.
4.
JxK = n ⇔ n ≤ x < n + 1, ∀x ∈ R.
Demostra ión: Ejer i io.
a ∈ Z, JxK ≥ a ⇔ x ≥ a. Demostra ión: (⇒) Como JxK ≤ x y JxK ≥ a enton es x ≥ a. (⇐) Como x ≥ a y a ∈ Z enton es JxK = m´ax{n ∈ Z/JxK ≤ x} = JaK = a.
5. si
6. Si
m∈Z
7. Si
x, y ∈ R, JxK + JyK < Jx + yK.
Jx + mK = JxK + m.
enton es
Demostra ión: Ejer i io.
Demostra ión:
n ≤ x ≤ n + 1 ⇒ JxK = n
m ≤ y ≤ m + 1 ⇒ JyK = m
sumando ambas e ua iones.
n+m≤x+y ≤ n+m+2 P
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m + n ∈ Z, enton es m + n ≤ Jx + yK. Y además sabemos JxK = n y JyK = m enton es se tiene JxK + JyK ≤ Jx + yK
Como que 8.
9.
∀x ∈ R x − 1 < JxK ≤ x.
Demostra ión: Ejer i io. ∀x, y ∈ R,
si
x ≤ y ⇒ JxK ≤ JyK.
Demostra ión: Ejer i io.
10. Si
n = x − JxK ⇒ 0 ≤ n < 1.
11. Si
x ∈ R/x = y + n, 0 ≤ n < 1 → y = JxK.
Demostra ión: Ejer i io.
Demostra ión: Ejer i io.
12.
∀x ∈ R, JxK + J−xK = 0, si x ∈ R − Z.
si
x∈Z
Demostra ión: Ejer i io.
y
JxK + J−xK = −1, s
Ejemplo 1.0.5. 1. Hallar el valor de E = √ Solu ión:
sabemos que 2<
√
6−1
{
.
1 1 (ax+by+cz)2 , ∀a, b, c, x, y, z ∈ R+ distintos.
35. Demostrar los enun iados on respe to a valor absoluto y máximo enteros.
a ) (|a| + |b|)(|a| + |c|)(|c| + |b|) ≥
√
8|abc|, ∀a, b, c ∈ R
1 x − 7 ≤M b ) Si ∈ (h−∞, 1i∪h2, ∞i)p, hallar el menor número M , x x + 3
P
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Bibliografía [1℄ ESPINOZA RAMOS, Eduardo, Matemáti a Bási a., Editorial Edukperú E.I.R.L.: Quinta edi ión, Lima-Perú, 2009 [2℄ FIGUERO GARCIA, Ri ardo, Matemáti a Bási a. Editorial Améri a. [3℄ HAASER,
Norman
B.
LASALLE,
Joseph
P.
SULLIVAN,
Joseph A., Análisis Matemáti o I, Edi iones trillas. [4℄ K`ÁREINK. C. FRANCO PALLETE, A. RAMOS TAPIA, J.
Matemáti a Bási a, Edirial Universit: de ima edi ión, LimaPerú, 2009. [5℄ VENERO
B.
Armando,
Matemáti a
Bási a,
Edi iones
Gemar: segunda edi ión, Lima-Perú, 2008. [6℄ LAGES LIMA, Elon., Curso de análise, volume 1 , Instituto de matemáti a pura e apli ada, Brazil.
28
