Sistema de Ecuaciones 2015

 

 MATEMÁTICA I -Teórico 

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales. Su solución está constituida por el conjunto de soluciones comunes a todas ellas. Las ecuaciones 3 x − y = 0  y 2 x − y = 1  de primer grado en dos variables pueden tener una o más raíces comunes y para encontrarlas, formamos lo que se denomina un sistema de

dos ecuaciones lineales con dos incógnitas , que se simboliza: 3 x − y = 0   2 x − y = 1 El conjunto de pares ( x , y ) que satisface simultáneamente a las dos ecuaciones se denomina conjunto solución del sistema. Cuando el conjunto solución es vacío el sistema es incompatible. Si existe única solución (un solo par ordenado) el sistema se dice compatible determinado y si, el conjunto solución está conformado por más de un par ordenado, el sistema se denomina compatible indeterminado. Generalizando, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede adoptar el aspecto: a 1 x + b1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c2 = 0   Estas ecuaciones pueden expresarse en forma conjuntista: S1 = {( x, y ) a 1 x + b1 y + c 1 = 0}   S2

=

{( x, y )

a 2 x + b2 y + c 2

=

0  

En estas condiciones, resolver el sistema de ecuaciones consiste en hallar S1 ∩ S 2 , la intersección de los conjuntos solución de las ecuaciones; lo que geométricamente es equivalente a encontrar (si existen), el punto o los puntos comunes a ambas rectas.

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Dado un sistema genérico de m ecuaciones y n incógnitas:  a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 j x j + . . . + a 1n x n = h1   a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 j x j + . . . + a 2 n x n = h 2  ......................... ................................................ .............................................. ....................................... ................    + a i 2 x 2 + . . . + a ij x j + . . . + a i n x n = h i a x 1 1 i  .................................. .............................................. .............................................. ............................... ........   a m1 x 1 + a m 2 x 2 + . . . + a m j x j + . . . + a m n x n = h m

 

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es posible armar con los coeficientes, una matriz A =  a ij   llamada matriz de coeficientes  del sistema; una matriz columna con las incógnitas, X =  x i  ,  matriz de las incógnitas, y finalmente otra columna con los segundos miembros, H =  hi  ,  matriz de los términos independientes. Podemos así escribir

AX=H  Ecuación que se denomina expresión matricial del sistema.  Cuando a la matriz A, se le agrega a la derecha la columna H, se obtiene la  matriz  ampliada del sistema  AH

Teorema Si la matriz  A ' H '  se obtiene de  A H   mediante una operación elemental de filas, entonces los sistemas A ⋅ X = H  y A ' X = H '  tienen las mismas soluciones. Como corolario de este teorema tenemos la siguiente importante conclusión: f 

Si  A ' H ' ~  A H   entonces los sistemas A ⋅ X = H  y A ' X = H '  tienen el mismo conjunto de soluciones. Luego, un procedimiento a seguir para resolver un sistema de ecuaciones lineales será Según este esquema, el primer paso consiste en, dado el sistema, escribir la matriz  A H  . 1º)

Escribir la matriz ampliada del sistema ( A H ).

2º)

Transformar (si fuera necesario) la matriz ( AH ) en ( RAH’ ) mediante una sucesión de operaciones elementales de filas adecuada, donde RA  es la matriz reducida por filas equivalente por filas a la matriz A.

3º)

Escribir el sistema de ecuaciones asociado a la matriz ( RA  H’ ), el cual es un sistema resolvente, es decir deja en evidencia a las soluciones o su inexistencia.

Ejemplo: Sea el Sistema de 3 Ecuaciones Lineales con 4 incógnitas   x1 + x2 − x4 = 0    x1 + x3 − x4 = −1   − x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 2

 

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La matriz ampliada del Sistema es 1 1 A H =  1 0 −1 1

0 1 −2

−1

0  −1 −1    1 2 

Reduciendo por filas a A se obtiene: 1 0 R A H ' = 0 1 0 0

1 −1 −1 1    −1 0 0 0 0 

Por lo que el sistema resolvente es  x1 + x3 − x4 = −1      x2 − x3 = 1

De tal modo que  x3 = k

∧

o bien

 x1 = −1 − x3 + x4     x2 = 1 + x3

x4 = q  con k ∧ q ∈ ℝ  

La solución general será:  x1   −1 − k + q   x      1 + k    2  =      x3     k       q  x4      

Una solución particular se obtiene cuando k  y  y q toman valores determinados Sean por ejemplo : k = 1

∧

q = −2 , entonces la solución particular es:

 x1   −4  x2      2  =    x3     1       x4     −2

SISTEMA HOMOGÉNEO Un sistema se dice homogéneo, cuando todos sus términos independientes son cero, es decir:

A⋅X = H =0   En este caso, la n-upla nula: (0,0,...,0) es siempre solución y se la denomina solución trivial.

 

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Teorema (de Rouché-Frobenius) Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución, si y sólo si, el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. De la observación de los ejemplos anteriores deducimos finalmente que: rango (A) = rango (A H) < número de incógnitas ⇒ infinitas soluciones rango (A) = rango (A H) = número de incógnitas ⇒ única solución En particular, para sistemas homogéneos: 

Teorema Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas, tiene soluciones distintas de la trivial, si y sólo si, el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas.

Corolario Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con más incógnitas que ecuaciones, siempre admite soluciones distintas de la trivial. Ejemplo: Sea el Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo   x − 3 y + 2 z = 0   −2 x + 6 y − 4 z = 0     x + 3 y − 2 z = 0 

la correspondiente matriz ampliada es (sólo la matriz de coeficientes) 1 A 0 =  −2  1

−3

6 3

2 −4     −2  

cuya reducida por filas es: 1 0 R A =  0 1  0 0

que conduce al sistema resolvente

0  − 23    0 

 

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  x1 = 0  2   x2 = 3 k     x = k   3

las infinitas soluciones tienen la forma general:

( x1 , x2 , x3 ) =  ( 0, 2 k , k )

k ∈ ℝ  

3

dando a k  distintos   distintos valores, se obtienen soluciones particulares. Así si k   = 1 , una solución particular es:

( x1 , x2 , x3 )  =  ( 0, 23 ,1)  

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA LINEALES Y SUS SOLUCIONES

DE

SISTEMAS

DE

ECUACIONES

Recordemos que una ecuación lineal es aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas están elevadas a la primera potencia, no están multiplicadas entre sí, ni figuran en el denominador. Así por ejemplo, 3 x + 2 y + 6z = 6  es una ecuación lineal con tres incógnitas. Por otro lado: • 

Las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Ejemplo: 2 x + y = 3  

• 

Las ecuaciones lineales con 3 incógnitas tienen por representación gráfica un plano en el espacio. Ejemplo: 2 x + y + 8 z = 6  

 

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Sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas Como ya se dijo, cada ecuación lineal con 2 incógnitas, se interpreta geométricamente como una recta, entonces el estudio de la solución del sistema se limita a estudiar la posición de 2 rectas en el plano. Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. 1.  Resolveremos e interpretaremos el sistema:

{

−2 x + y = 1  x + 2 y = −3  

a)  La matriz ampliada es: A H =   −12 12 −13     1 0 b)  La matriz reducida es: R A H ' =  0 1

−1

 

−1

la solución del sistema es única:  x  = −1 ,  y   = −1 . Significa que el sistema es compatible y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el ( −1; −1) .

Figura 1: Solución del sistema S   = ( −1; −1) , un punto.

{

}

 

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2.  Resolveremos e interpretaremos el sistema: a)  La matriz ampliada es:

{

 x + 2 y = −3   −2 x − 4 y = 5

A H =   −12 −24 −53    

1 2 b)  La matriz reducida es: R A H ' =  0 0

−3

 

−1

Como: r ( A ) = 1 ≠ r ( A H ) = 2 , el sistema no tiene solución, es un sistema incompatible. Geométricamente las rectas son paralelas.

Figura 2 Sistema sin solución. Rectas paralelas 3.  Resolveremos e interpretaremos el sistema: 3 x x++26yy

{

A H =  13 62 

−3   −9  

1 2 b)  La matriz reducida es: R A H ' =  0 0

−3

a)  La matriz ampliada es:

0 

= −3   = −9

 

Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, significa que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado. Geométricamente las rectas son coincidentes, o bien las dos ecuaciones determinan la misma recta.

Figura 3 Infinitas soluciones. Las rectas coinciden

 

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Sistemas de 3 ecuaciones con 2 incógnitas A los sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas podemos agregar las ecuaciones que querramos y así obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o más ecuaciones. En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismos reseñados anteriormente. Al aumentar el número de ecuaciones, la matriz ampliada asociada tendrá 3 columnas y tantas filas como ecuaciones (rectas) tengamos. Veamos qué ocurre con sistemas con 3 ecuaciones y 2 incógnitas. En general un sistema  a11 x + a12 y = h1 a21 x + a22 y = h2    a31 x + a32 y = h3

tendrá una matriz ampliada: A H =

 a11 a12 h1   a21 a22 h2    a a h   31 32 3 

Utilizando operaciones elementales de filas obtenemos la matriz escalonada A H=

 a11 a1*2  0 a22  0 0

h1  h*2    h*3 

Pudiendo presentarse los siguientes casos: *  ≠ 0 1.  Supongamos que a22 , entonces a)  Si h3*  ≠ 0  resulta que el Sistema es incompatible (hay una ecuación del tipo 0=k ), ), y por lo tanto no hay solución.

Geométricamente, puede ocurrir que: a) Dos rectas sean paralelas y la otra las corte.

b) Las rectas se corten dos a dos.

 

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b)  Si h3* 

=

0  entonces el Sistema es Compatible Determinado.

Geométricamente se tiene: a) Dos rectas son coincidentes y la otra las corta.  

b) Las tres rectas se cortan en un mismo punto.

*   = 0 . Entonces se tienen tres posibilidades: 2.  Supongamos que a22 a)  Si h *2 = h *3 = 0 , aparecen dos filas nulas que no influyen en la resolución del sistema. El sistema tiene infinitas soluciones (una ecuación y dos incógnitas). Sistema compatible indeterminado.

Geométricamente, se tienen tres rectas que coinciden:

b)  Si se da que h2* ≠ 0 y h3* = 0 , o que h2* = 0 y h3* ≠ 0  El sistema es incompatible. (pues aparece una ecuación 0=0 (que no influye) y otra 0= k  (que  (que es imposible)). Geométricamente serían las siguientes situaciones:

 

 MATEMÁTICA I-Teórico  a) Dos rectas coinciden y la otra es paralela.  

b) Dos rectas son paralelas y la otra las corta 

c) Si se da que h2* ≠ 0 y h3* ≠ 0 , El sistema es incompatible. (pues aparecen dos ecuaciones 0=k (que es imposible)). Geométricamente, las tres rectas son paralelas o dos son coincidentes y una paralela.

Ejemplos: Analizar la solución de los sistemas siguientes y dar la interpretación geométrica. 1.  Resolveremos e interpretaremos el sistema: − x − y = −1 4 x + 4 y = 2     x − y = 2  −1  −1 a)  La matriz ampliada es: A H =     4 4  1 −1

⋮ ⋮ ⋮

−1

2   2 

b)  La matriz escalonada: Aplicando operaciones elementales de filas obtenemos  −1 −1 −1   4 4 2   1 −1 2 

F +4 F ; F

+F

 −1 −1 −1 F2 F3    −1 −1 −1 0 0 −2  →  0 −2 1     0 0 −2   0 −2 1 

2 1 3 1     →

↔

*  a22

≠

0  y h3* 

El sistema es incompatible, no tiene solución. Geométricamente se trata de dos rectas paralelas que son intersecadas por una tercera.

≠

0 

 

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2.  Resolveremos e interpretaremos el sistema: − x + 2 y = 5  3 x + y = 7   2 x + 3 y = 12  −1 2 5  a)  La matriz ampliada A H =   3 1 7     2 3 12 

b)  Aplicando operaciones elementales de filas obtenemos  −1 2 5  F2 3F1 ; F3 2F1    −1 2 5     →  0 7 22   3 1 7     2 3 12   0 7 22 +

+

 

 −1 2 5  7 22    →  0  0 0 0    F3 − F 2

*  a22

≠

0  y h3* = 0  

y la matriz reducida:  −1 2 5   0 7 22  0 0 0 

 1 2 0 1  0 0

1 −   F 2 7 →  

5  ( 1) F 1 2 F 2 1 0 9 7  22 →  0 1 22 7       7   0    0 0 0  −

+

El sistema es compatible determinado, tiene solución única:  x=9/7 Geométricamente se trata de tres rectas que se intersecan en un punto.

 y=22/7.

 

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Sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas Consideremos un sistema de este tipo  a11  x + a12 y + a13 z = h1  a21 x + a22 y + a23 z = h 2 .  a31  x + a32 y + a33 z = h 3

Entonces si tenemos en cuenta que la matriz ampliada es

AH=

 a11 a12 a13 h1   a21 a22 a23 h 2    a a a h   31 32 33 3 

Utilizando operaciones elementales de filas obtenemos la matriz escalonada

AH=

 a11 a12 a13 h1   0 a* a* h*  . 22 23 2  * h*3   0 0 a33  

Al igual que el análisis realizado para dos incógnitas, dependiendo de que a2*2 ; a2*3 ; a3*3 ; h2* ; h3*   sean o no distintos de cero podremos encontrarnos con las siguientes

situaciones: • 

Se obtiene un sistema escalonado con coeficientes no nulos entonces  el sistema es compatible determinado y por lo tanto la solución es única.

• 

Se obtiene una o mas filas en las que todos los elementos sean cero, entonces el sistema es compatible indeterminado y por lo tanto tiene infinitas soluciones.

• 

Se obtiene una o mas filas de ceros, salvo el elemento correspondiente al término independiente, que es distinto de cero, entonces como la fila en cuestión correspondería a una ecuación del tipo 0 = k , lo que es imposible, entonces el sistema es incompatible es decir no tiene solución.

Veamos la interpretación geométrica de lo mencionado. Como ya mencionamos al comienzo, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio, luego la solución del sistema se relacionará con la posición relativa de planos en el espacio.

 

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1.  Sistema Compatible Determinado y por lo tanto la solución es única. r ( A ) =  r ( A H ) = 3   Posición relativa de los planos: Planos secantes en un punto 

2.  Sistema Compatible Indeterminado y por lo tanto tiene infinitas soluciones. r ( A ) =  r ( A H ) = 2   Posición relativa de los planos: a) Planos secantes y distintos.

b) Dos planos coincidentes y uno secante

r ( A ) =  r ( A H ) = 1  

Posición relativa de los planos: Planos coincidentes

 

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3.  Sistema Incompatible y por lo tanto no tiene solución. •  r ( A ) = 2  ≠ r ( A H ) = 3   •  Posición relativa de los planos: a) Planos secantes dos a dos.

•  • 

b) Dos planos paralelos y el tercero secante.

r ( A ) = 1 ≠ r ( A H ) = 2   Posición relativa de los planos:

a) Planos paralelos y distintos dos a dos

b) 2 Planos coincidentes y otro paralelo.

 

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APLICACIÓN A LA GEOLOGÍA: Demuestra matemáticamente que la única posible reacción metamórfica entre los minerales granate = Ca3 Al2 ( Si SiO O4 )3

cuarzo = SiO2

cianita =  Al2 SiO5

anorthita = Ca CaAl Al2 Si Si2O8

consiste en la combinación de granate + cianita + cuarzo para dar anorthita o en la descomposición de la anorthita para dar los otros 3 compuestos. Calcula el número mínimo de moléculas necesarias para producir la reacción citada y escribe la estequiometría de dicha reacción. Llamamos  x  al número de moléculas de granate implicadas en la posible reacción,  y  al número de moléculas de cuarzo,  z  al de cianita y  t  al de anortita. Lo dicho equivale a plantear la siguiente ecuación química  x Ca3 Al2 ( SiO4 )3 + y SiO  2 + z Al2 SiO5 = t CaAl2 Si2O8

 

La que debe satisfacer la ley de conservación de la materia (“estar balanceada”) Nuestras incógnitas serán las cantidades de moléculas de granate, cuarzo y cianita necesarios para formar una cierta cantidad de moléculas de anorthita. Considerando la igualdad necesaria en la cantidad de átomos de cada elemento involucrado en la ecuación se obtiene un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, ya que debe ser: Para el calcio: 3 x = t  Para el aluminio: 2 x + 2 z = 2t  Para el silicio: 3 x + y + z = 2t  Para el oxígeno: 12 x + 2 y + 5z = 8t 

 

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Con esas cuatro condiciones que deben cumplirse simultáneamente, resulta el siguiente sistema de ecuaciones: 3 x = t    2  x + 2 z = 2t   3 x + y + z = 2t  12 x + 2 y + 5z = 8t     Que se puede reexpresar de la siguiente forma: 3 x − t  = 0   2  x + 2 z − 2t  = 0  3 x + y + z − 2t = 0  12 x + 2 y + 5z − 8t  = 0   Lo que expresado en forma matricial resulta 3 2 3  12

0 0 0 2 1 1

−1  x  −1  y  = −2   z  −  

 0  0  0   8  t  0  

2 5

Que conduce al siguiente sistema resolvente: 1  0 0  0

0 1 0 0

0 0 1 0

1  3   x  0 1 −  y   =  0 3    z  0 −2  3   t    0   0  −

El sistema es compatible indeterminado, ya que el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas. Evidentemente esto debe ser así, ya que distintas cantidades de moléculas de granate, cuarzo y cianita producirán distintas cantidades de moléculas de anorthita, siempre que respeten las proporciones que resultan de las infinitas soluciones de ese sistema. Expresando las soluciones:  x  = 1 t  3  1  y =  3 t   z = 2 t  3   

 

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Como la cantidad de átomos debe ser entera, debe adoptarse t  de   de modo que los valores de  x, y , z resulten de ese modo. Si hacemos t   = 3  x = 1  y = 1  z = 2

  Entonces la ecuación balanceada resulta: 1Ca3 Al2 ( Si SiO4 )3 + 1 SiO2 + 2 Al2 SiO5 = 3 CaAl2 Si2O8   En realidad, la solución es única, ya que si cambiamos el valor de t lo único que obtenemos es una cantidad distinta (pero proporcional) de moléculas de cada uno de los minerales involucrados en la misma ecuación (el doble, el triple, etc).   Sin embargo, el sentido de la reacción y su posibilidad real no es un hecho matemático y debe extraerse de la realidad física. Será en un sentido o en el otro dependiendo de las condiciones de presión y temperatura.

 

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APLICACIÓN A LA BIOLOGÍA Las actividades de un animal de pastoreo pueden ser clasificadas en tres tipos:  pastoreo, movimiento y descanso.  La energía neta ganada en el pastoreo es 200 cal/h. La energía perdida durante el movimiento y descanso es 150 y 50 cal/h respectivamente. ¿Cómo debe ser dividido el día entre las tres actividades para que la energía ganada en el pastoreo compense exactamente a la energía perdida durante el movimiento y descanso? ¿Es única la partición posible del día entre las actividades? Sea

 x : la parte del día dedicada al pastoreo.  y : la parte del día dedicada al movimiento.  z : la parte del día dedicada al descanso. Las tres partes del día se miden en horas (h).

Como interesa la partición del día entre las tres actividades, se tiene la ecuación:

(1)

 x + y + z = 24  

y para que se cumpla el balance energético:

(2)

200

cal cal cal  x h − 150 y h − 50 zh = 0  h h h

se obtiene una ecuación equivalente simplificando h en numerador y denominador de cada cal   término y tomando como “nueva unidad” de energía a 50 h

(3)

4 x − 3 y − z = 0  

Ahora, asociando (1) con (3) se tiene el sistema de ecuaciones lineales: (4)

  x + y + z = 24   4 x − 3 y − z = 0

Teniendo en cuenta que biológica y energéticamente lo coherente es asumir que la energía liberada no puede superar a la ingresada, y como el mecanismo de reducción de matrices para la solución de sistemas de ecuaciones expresará los valores de las dos primeras incógnitas (columnas) en función de la tercera, es conveniente reordenar las ecuaciones de modo que los valores de y y z queden en función de x. (5)

  z + y + x = 24     z 3 y 4 x 0 − − + = 

La expresión matricial del sistema (5) es:

 

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(6)

 z  1 1     24   .  y =  0    −3 4     x   

1 A.x=H ⇔   −1

La matriz ampliada es: (7)

1 A | H =  −1

1 1 24 2 4 −3 4 0   

Que mediante operaciones elementales de fila se llega a su reducida por filas: (8)

R A|H

1 0 = 0 1

7 2

− 52

36    −12 

Por lo que el sistema resolvente es: (9)

 z + 72 x = 36    5 − = −  y x 12  2

Así: rgo ( A |  H ) = 2  

y

n ( A  ) = 3   (tres incógnitas).

Como el rango es menor al número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones, por lo que no es única la partición del día entre las tres actividades consideradas. Pero como x, y y z deben tomar valores positivos:  z ≥ 0 − 72 x + 36 ≥ 0 7 − 2 x ≥ −36   7 2 x ≤ 36  x ≤ 36. 72 = 727  ≃ 10 h

 y ≥ 0 5 2 x − 12 ≥ 0   5 ≥  x 12 2  x ≥ 12 25 = 245  ≃ 5 h

Es decir: el animal puede dedicar al pastoreo entre 5 h como mínimo y 10 h como máximo. Soluciones Particulares a) Con mínimo ingreso de energía (5 h dedicadas al pastoreo)  y = 52 x − 12  y = 52 5 − 12    y = 12 h

 z = − 72 x + 36  z = − 72 5 + 36    z = 372  ≃ 18,5h

b) Con máximo ingreso de energía (10 h dedicadas al pastoreo)

 

 MATEMÁTICA I-Teórico   z = − 72 x + 36  z = − 72 10 + 36    z = 1h

 y = 52 x − 12  y = 52 10 − 12    y = 13 h

Conclusión: Existen infinitas posibles particiones del día entre las tres actividades, pero como valores extremos se espera que: a) si dedica 5 horas al pastoreo, podrá moverse durante media hora y deberá descansar 18,5 h. b) si dedica 10 horas al pastoreo, podrá moverse durante 13 h y descansar 1 h.

SISTEMAS DE ECUACIONES EN LOS CUALES SE CONSIDERA A LOS COEFICIENTES COMO INCÓGNITAS Obtención de la Ecuación de una recta en aplicando la forma explícita

ℝ

2

conociendo dos puntos de la misma y

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta R que pasa por los puntos P  = ( 2;3 )  y Q  = (1; −1)   La ecuación en forma explícita de una recta que es:  y = m x + n

y = n+ m x 

⇔

luego todo punto de la recta  R verificará la ecuación para los mismos parámetros ( n  y m). Conocemos dos pares de valores ( x ; y ) suficientes para determinar una recta, y desconocemos los parámetros. Así trataremos a m  y n  como incógnitas de un sistema de ecuaciones:  y = n + m x   Para

P  = ( 2;3 ) :

3 = n + m2 

−1 = n + m1   Q  = (1; −1) : Lo que constituye un sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas, cuya expresión matricial es:

 3  1 2  n   −1 = 1 1   m        

O en forma compacta:

Y=

X

  β 

Como X∈  ℝ 2×2  y X ≠ 0  

X−1 Y = X−1 X  β −1

X Y = I β Por lo tanto:

β=X

−1

Y 

 

 

 MATEMÁTICA I -Teórico   

 −1

X−1 = 

1

 −1

β=

1

2   −1

2   3   −5  n    = =   −1  −1  4   m 

Luego R tiene ecuación:

 y = −5 + 4 x  

Obtención de la Ecuación de una recta en aplicando la forma implícita:

ℝ

2

conociendo dos puntos de la misma y

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta R que pasa por los puntos P  = ( 2;3 )  y Q  = (1; −1)   Recordando que la forma implícita es: ax + by + c = 0   Para

P  = ( 2;3 ) :  =

2 a + 3b + c = 0  

−

−

+

=

a b c 0  Q (1; 1) : Que constituyen un sistema homogéneo de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas a, b  y c. La matriz correspondiente 2 1   

3 1  F1 ↔F2 1 →    −1 1 2

−1

1 F2 −2 F1 1    → 3 1 0

−1

5

1    15 F2 1 →   −1   0

1    F1 + F2 1  0 → →  1  − 15      0 1

−1

De la matriz reducida final deducimos: a = − 45 c   b = 15 c   ∀c ∈ ℝ

La ecuación de la recta es:

− 4 x +

⇒



si c = 5     a = −4    b = 1

y +5 = 0  

Obtención de la Ecuación de un Plano en aplicando la forma explícita:

ℝ

3

conociendo tres puntos del mismo y

Ejemplo: Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos no alineados: P  = ( 3,2,1) , Q  = (1,1,0 )  y  R  = ( 0,1,1)  

Escribiendo la forma implícita, por comodidad con el término independiente:  z = c + ax + by  

4  5 1 −  5

 

 MATEMÁTICA I-Teórico 

Formamos el sistema de tres ecuaciones, una para cada punto: Para P  = ( 3,2,1) :

1 = c + 3a + 2b  

Para Q  = (1,1,0 ) :

0 =  c + a + b  

Para  R  = ( 0,1,1) :

1 = c + 0a + b  

Lo que constituye un sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas, cuya expresión matricial es: 1  1 3 2   c  0  = 1 1 1   a         1  1 0 1   b 

O en forma compacta:

Y=

X

  β 

Cuya solución viene dada (como en el caso de la recta) por: β=X

−1

 c   −1    a =  0  b   1

Y  3 1 −3

−1 1 

 −2  −1  0  =  −1       2  1   3 

Por lo que la ecuación del plano es:  z = − x + 3 y − 2  

Obtención de la Ecuación de un Plano en aplicando la forma implícita:

ℝ

3

conociendo tres puntos del mismo y

Ejemplo: Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos no alineados: P  = ( 3,2,1) , Q  = (1,1,0 )  y  R  = ( 0,1,1)   Recordando que la forma implícita es: ax + by + cz + d  = 0   Formamos el sistema de tres ecuaciones, una para cada punto: Para P  = ( 3,2,1) :

3a + 2b + c + d =  0  

Para Q  = (1,1,0 ) :

a + b + 0c + d =  0  

Para  R  = ( 0,1,1) :

0a + b + c + d  = 0  

que constituyen un sistema homogéneo de tres ecuaciones lineales con cuatro incógnitas a, b, c y d . La matriz correspondiente y su reducida por filas son:

 

 MATEMÁTICA I -Teórico  1 0 0 3 2 1 1  F    F 1 1 1 0 1   r  →⋯  → → 0 1 0     0 1 1 1     0 0 1

− 1

2 3   2  − 1 2

De donde deducimos: 1 a = 2 d   b = − 32  d   c = 12 d   ∀d ∈ ℝ

 

=2  si d  a =1     b = −3     c = 1

  ⇒

  

Luego la ecuación del plano es:

 x − 3 y + z + 2 = 0  

AJUSTE DE UNA RECTA A UN CONJUNTO DE DATOS Problema: Durante el desarrollo de una planta se observó que a los 2 días tenía 3 hojas, a los 6 días 8 hojas y a los 8 días 14 hojas. Graficando estos datos en un sistema donde  x es el tiempo en días y el eje  y es el número de hojas, observamos: 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t i e mp mp o ( d í a s )

  La relación puede describirse mediante la recta cuya ecuación queremos encontrar. Notamos que los puntos no pertenecen a la recta pero que están próximos a ella. La diferencia de ordenadas entre cada punto y la recta para el mismo valor de  x se denomina error y lo representaremos ε   . Cada punto queda representado por una ecuación de recta más el error  yi

=

a + bxi +  ε  i  

 

 MATEMÁTICA I-Teórico 

De ese modo obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones, cuyas incógnitas son los parámetros de la recta. 3 = a + b2 + ε  1  8 = a + b6 + ε  2   14 = a + b8 + ε    3

Cuya expresión matricial es:  3  1 2   ε  1  a    8  = 1 6    + ε  2         b   14  1 8    ε  3 

que en forma genérica toma la forma:

Y = X  β + ε   y la recta queda descripta por Y = X  β   para hallar los valores de los parámetros debemos despejar la matriz β empleando operaciones matriciales válidas. En este caso la matriz X  al no ser cuadrada, no es inversible. El primer paso es obtener una matriz cuadrada, para lo cual se premultiplica a X  por su transpuesta. Luego si la matriz cuadrada obtenida es inversible, se podrá realizar la multiplicación que en un miembro dé la matriz identidad permitiendo despejar β y en el otro indicando la sucesión de operaciones que deben realizarse para obtener los valores de sus elementos.

X β = Y XT X  β = XT Y   ( XT X ) XT X  β = ( XT X ) XT Y −1

−1

β = ( XT X )

en el ejemplo:

−1

XT Y

 

 MATEMÁTICA I -Teórico  −1

 1 2  3 1 1 1 1 1 1      1 6   8 β =            2 6 8  1 8    2 6 8  14       −1

 3 16   25  β=    16 104  166  β = 

13 7 2 − 7

 

2

  25   166 

− 7   

    −1 β= 7  4

3 56

Así la recta que “mejor” describe a los datos tiene ecuación

7 x  4 con este método se garantiza que la suma de los cuadrados de los errores es mínima, por lo que se denomina método de los mínimos cuadrados.  y = −1 +

Aplicación a la Biología: Estimación Est imación de la Densidad por Método de Remoción.

En ocasiones es difícil contar el total de individuos que integran una población animal, por lo tanto se recurre a la toma de muestras. Un método práctico es el denominado “Método de Remoción”. Éste consiste en tratar de atrapar un gran número de individuos en las primeras capturas, de modo tal que en las siguientes el número de animales atrapados, sea cada vez menor. Una vez hechas todas las observaciones se procede a liberar los animales capturados (dependiendo de la especie que se trate). Contando con una serie de observaciones como la siguiente.

Número de captura 

Cantidad atrapada

Acumulado hasta la captura anterior

t

C t   

 At  1  

1

25

0

2

21

25

3

18

46

4

17

64

5

15

81

6

16

96

7

12

112

−

 

 MATEMÁTICA I-Teórico 

Ubicando las observaciones en un sistema de coordenadas cartesianas, con  At  1   en las abscisas y C t    en las ordenadas, se aprecia una tendencia lineal decreciente (Figura). La recta tiene ecuación (que se halló mediante mínimos cuadrados): −

Ct

= −0,10288 At −1 + 23, 94585

 

El punto de intersección de la recta con el eje de las abscisas se interpreta como una buena estimación del tamaño poblacional “P”. Si C t   = 0  entonces  At  1  = 232,75515 . Significa que cuando no se atrapen más individuos, el total acumulado será de 233 animales. −

C

t

30 25 20 15 10

P

5 0 0

20

40

60

80

100 120 140 160 180 200 220 240 260

A t-1

 

   

 MATEMÁTICA I -Teórico 

ANEXO: Ejemplos Resueltos a)  Hallar la solución de  x − 2 y + 3z = −2  − x + y − 2 z = 3 .  2 x − y + 3 z = 1 Planteamos la matriz ampliada que en este caso sería  1 −2 3 ⋮ −2  A H =  −1 1 −2 ⋮ 3  entonces procederemos a reducir por filas esta matriz,  2 −1 3 ⋮ 1  tratando de llevarla a una matriz escalonada 1  −1  2

−2

3 1 −2 3 −1

⋮ −2  1 F + F1 2 ⋮ 3 0 F − 2F1 3   0 ⋮ 1  

−2 −1

3

3 1 −3

⋮ −2  1 ⋮ 1 F 3 + 3F2  0  ⋮ 5   0

−2 −1

0

3 1 0

⋮ −2  ⋮ 1   ⋮ 8 

No tiene sentido continuar reduciendo.

Absurdo pues esta fila equivale a escribir: 0 x + 0 + 0 = 8  

El Sistema NO tiene Solución. ¿Cuáll es eell Rango ¿Cuá Rango de A? ¿y eell Rang Rangoo de ( A H )?

b)  Hallar la solución de  x − 2 y + 3z = −2  − x + y − 2 z = 3 .  2 x − y + 3 z = −7

Planteamos

la

matriz

ampliada

que

en

este

caso

sería

⋮ −

−

A H =  −11 12 −32 ⋮ 32  entonces procederemos a reducir por filas esta matriz,  2 −1 3 ⋮ −7  tratando de llevarla a una matriz escalonada 1  −1  2

−2

3 1 −2 3 −1

⋮ −2  1 F + F1 2 ⋮ 3 0 − 2F1 F 3    0 ⋮ −7  

−2 −1

3

3 1 −3

⋮ −2  1 ⋮ 1 F 3 + 3F2  0  ⋮ −3  0

−2 −1

0

3 1 0

⋮ −2  ⋮ 1   ⋮ 0 

ENTONCES tiene sentido continuar reduciendo: 1 0 0 

−2 −1

0

3 1 0

⋮ −2  1 ⋮ 1  (−1 )F2 0 0 ⋮ 0





−2

1 0

3 −1 0

 1 ⋮ −2     ⋮ − 1 F 1+2F 1  0  0 ⋮ 0 



0  1 1 −1 0 0

⋮ −4   ⋮ − 1    ⋮ 0 



OJO!!! esto NO es absurdo pues esta fila equivale a escribir: 0 x + 0 y + 0z = 0  

 

 MATEMÁTICA I-Teórico  + z   = −4 Luego el sistema original es equivalente a  x  y − z   = −1   que como vemos, posee más incógnitas que ecuaciones. Esto es tendremos infinitas soluciones ¿cómo escribimos estas soluciones?

{

 x + z = −4  ⇒  x = − z − 4   luego si  z = t    se tiene que  x = −t − 4 e y = t −1.   Por lo  y − z   = −1  ⇒  y = z − 1

tanto el conjunto de soluciones será el conjunto S = {( x, y, z ) = (−t − 4, t − 1, t ) con t ∈ ℝ}  que es una recta.

c)  Hallar la solución de  x − 2 y + 3z = −2  − x + y − 2 z = 1 .  2 x − y + z = −1

Planteamos la matriz ampliada que en este caso sería  1 −2 3 ⋮ −2  A H =  −21 −11 −12 ⋮⋮ −11 entonces procederemos a reducir por filas esta matriz,   tratando de llevarla a una matriz escalonada 1  −1  2

−2

3 1 −2 1 −1

⋮ −2  1 F + F1 2 ⋮ 1 0 F − 2F1 3    0 ⋮ −1 

−2 −1

3

3 1 −5

⋮ −2  1 ⋮ −1 F + 3F2  0 3    ⋮ 3  0

3 −1 1

⋮ −2 

−2 −1

3 1 −2

0

⋮ −2  ⋮ −1   ⋮ 0 

ENTONCES continuamos reduciendo

1 0 0  

−2

3 −1 0 −12

⋮ −2 

1 ⋮ ⋮ 0   0 0 − −1 ( − 1)/2 F2)F3

−2

10

1 ⋮ 1 ⋮ 0   0 0 + 2 +  F1 (F−3 3)F3

−2

10

0 10

OJO!!! esto NO es absurdo pues esta fila equivale a escribir: 0 x + 0 y − 2z = 0  

⋮ −2 

1 0 0 ⋮ 0  ⋮ 1 F 1+2 F2 00 10 10 ⋮⋮ −01 ⋮ 0   

Luego, el sistema tiene una única solución: S = {( x, y, z ) = (0, −1, 0)  que es un punto.