Sistema de Deduccion Natural de Gentzen
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Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Sistema de deducci´on natural de Gentzen Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Octubre de 2011
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Definici´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Definici´on
Definici´on El sistema de deducci´on natural de Gentzen es un sistema de demostraci´on que denotaremos G = (A, L, X, R), donde cada uno de los elementos se describe a continuaci´on:
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Alfabeto
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Alfabeto
A : el alfabeto est´a compuesto por
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Alfabeto
A : el alfabeto est´a compuesto por • los s´ımbolos p, q, r, s, t, . . . de proposiciones at´omicas,
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Alfabeto
A : el alfabeto est´a compuesto por • los s´ımbolos p, q, r, s, t, . . . de proposiciones at´omicas, • los s´ımbolos de conectivos ¬, ∧, ∨, →,
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Alfabeto
A : el alfabeto est´a compuesto por • los s´ımbolos p, q, r, s, t, . . . de proposiciones at´omicas, • los s´ımbolos de conectivos ¬, ∧, ∨, →, • los s´ımbolos de par´entesis ( , ) .
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Lenguaje: conjunto de f´ormulas bien construidas
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Lenguaje: conjunto de f´ormulas bien construidas L : el conjunto de las f´ormulas bien construidas (fbc) se define recursivamente como
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Lenguaje: conjunto de f´ormulas bien construidas L : el conjunto de las f´ormulas bien construidas (fbc) se define recursivamente como At : toda proposici´on at´omica es una fbc,
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Lenguaje: conjunto de f´ormulas bien construidas L : el conjunto de las f´ormulas bien construidas (fbc) se define recursivamente como At : toda proposici´on at´omica es una fbc, ¬ : Si ϕ es una fbc entonces ¬ϕ es una fbc,
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Lenguaje: conjunto de f´ormulas bien construidas L : el conjunto de las f´ormulas bien construidas (fbc) se define recursivamente como At : toda proposici´on at´omica es una fbc, ¬ : Si ϕ es una fbc entonces ¬ϕ es una fbc, ◦ : si ϕ y ψ son dos fbc, entonces (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ) son fbc.
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Lenguaje: conjunto de f´ormulas bien construidas L : el conjunto de las f´ormulas bien construidas (fbc) se define recursivamente como At : toda proposici´on at´omica es una fbc, ¬ : Si ϕ es una fbc entonces ¬ϕ es una fbc, ◦ : si ϕ y ψ son dos fbc, entonces (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ) son fbc.
Toda fbc se obtiene mediante las tres reglas anteriores y se simplifica como lo hicimos en el cap´ıtulo de sintaxis.
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Lenguaje: conjunto de f´ormulas bien construidas L : el conjunto de las f´ormulas bien construidas (fbc) se define recursivamente como At : toda proposici´on at´omica es una fbc, ¬ : Si ϕ es una fbc entonces ¬ϕ es una fbc, ◦ : si ϕ y ψ son dos fbc, entonces (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ) son fbc.
Toda fbc se obtiene mediante las tres reglas anteriores y se simplifica como lo hicimos en el cap´ıtulo de sintaxis. NOTA: En lo que se sigue usaremos tambi´en el conectivo de doble implicaci´on entre dos f´ormulas, ϕ ↔ ψ. Este conectivo se entender´a como una forma abreviada de representar la f´ormula bien construida (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ).
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Axiomas
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Axiomas
X : el conjunto de los axiomas es vac´ıo.
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Axiomas
X : el conjunto de los axiomas es vac´ıo. Nota: Este sistema quiere modelar la l´ogica de modo que no tendr´a verdades a priori (no quiere describir objetos). Toda la informaci´on sobre nuestra forma de razonar ir´a a las reglas de inferencia.
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas de inferencia
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas de inferencia
R : el conjunto R de las reglas de inferencia est´a compuesto por las 8 reglas de introducci´on y de eliminaci´on que se describen a continuaci´on:
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas de inferencia
R : el conjunto R de las reglas de inferencia est´a compuesto por las 8 reglas de introducci´on y de eliminaci´on que se describen a continuaci´on: (I ∧): Regla de introducci´on de la conjunci´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas de inferencia
R : el conjunto R de las reglas de inferencia est´a compuesto por las 8 reglas de introducci´on y de eliminaci´on que se describen a continuaci´on: (I ∧): Regla de introducci´on de la conjunci´on (E ∧): Regla de eliminaci´on de la conjunci´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas de inferencia
R : el conjunto R de las reglas de inferencia est´a compuesto por las 8 reglas de introducci´on y de eliminaci´on que se describen a continuaci´on: (I ∧): Regla de introducci´on de la conjunci´on (E ∧): Regla de eliminaci´on de la conjunci´on (I ∨): Regla de introducci´on de la disyunci´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas de inferencia
R : el conjunto R de las reglas de inferencia est´a compuesto por las 8 reglas de introducci´on y de eliminaci´on que se describen a continuaci´on: (I ∧): (E ∧): (I ∨): (E ∨):
Regla de introducci´on de la conjunci´on Regla de eliminaci´on de la conjunci´on Regla de introducci´on de la disyunci´on Regla de eliminaci´on de la disyunci´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas de inferencia
R : el conjunto R de las reglas de inferencia est´a compuesto por las 8 reglas de introducci´on y de eliminaci´on que se describen a continuaci´on: (I ∧): (E ∧): (I ∨): (E ∨): (I ¬):
Regla de introducci´on de la conjunci´on Regla de eliminaci´on de la conjunci´on Regla de introducci´on de la disyunci´on Regla de eliminaci´on de la disyunci´on Regla de introducci´on de la negaci´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas de inferencia
R : el conjunto R de las reglas de inferencia est´a compuesto por las 8 reglas de introducci´on y de eliminaci´on que se describen a continuaci´on: (I ∧): (E ∧): (I ∨): (E ∨): (I ¬): (E ¬):
Regla de introducci´on de la conjunci´on Regla de eliminaci´on de la conjunci´on Regla de introducci´on de la disyunci´on Regla de eliminaci´on de la disyunci´on Regla de introducci´on de la negaci´on Regla de eliminaci´on de la doble negaci´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas de inferencia
R : el conjunto R de las reglas de inferencia est´a compuesto por las 8 reglas de introducci´on y de eliminaci´on que se describen a continuaci´on: (I ∧): (E ∧): (I ∨): (E ∨): (I ¬): (E ¬): (I →):
Regla de introducci´on de la conjunci´on Regla de eliminaci´on de la conjunci´on Regla de introducci´on de la disyunci´on Regla de eliminaci´on de la disyunci´on Regla de introducci´on de la negaci´on Regla de eliminaci´on de la doble negaci´on Regla de introducci´on de la implicaci´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas de inferencia
R : el conjunto R de las reglas de inferencia est´a compuesto por las 8 reglas de introducci´on y de eliminaci´on que se describen a continuaci´on: (I ∧): (E ∧): (I ∨): (E ∨): (I ¬): (E ¬): (I →): (E →):
Regla de introducci´on de la conjunci´on Regla de eliminaci´on de la conjunci´on Regla de introducci´on de la disyunci´on Regla de eliminaci´on de la disyunci´on Regla de introducci´on de la negaci´on Regla de eliminaci´on de la doble negaci´on Regla de introducci´on de la implicaci´on Regla de eliminaci´on de la implicaci´on (tambi´en Modus Ponens)
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Regla de introducci´on de la conjunci´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Regla de introducci´on de la conjunci´on
(I∧) : {ϕ, ψ} ` ϕ ∧ ψ
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Regla de introducci´on de la conjunci´on
(I∧) : {ϕ, ψ} ` ϕ ∧ ψ
• De dos f´ormulas se deduce su conjunci´on.
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Regla de introducci´on de la conjunci´on
(I∧) : {ϕ, ψ} ` ϕ ∧ ψ
• De dos f´ormulas se deduce su conjunci´on. • Teorema de la deducci´on
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Regla de introducci´on de la conjunci´on
(I∧) : {ϕ, ψ} ` ϕ ∧ ψ
• De dos f´ormulas se deduce su conjunci´on. • Teorema de la deducci´on
ϕ → (ψ → (ϕ ∧ ψ)) es una tautolog´ıa
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Regla de eliminaci´on de la conjunci´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Regla de eliminaci´on de la conjunci´on
(E ∧)
ϕ∧ψ `ϕ ϕ∧ψ `ψ
(eliminaci´on derecha) (eliminaci´on izquierda)
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Regla de eliminaci´on de la conjunci´on
(E ∧)
ϕ∧ψ `ϕ ϕ∧ψ `ψ
(eliminaci´on derecha) (eliminaci´on izquierda)
• De una conjunci´on de dos f´ormulas se deducen las dos f´ormulas.
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Un primer ejemplo de deducci´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Un primer ejemplo de deducci´on
Ejemplo Usando s´olo las dos reglas anteriores podemos demostrar que p ∧ (q ∧ r) ` p ∧ r.
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Un primer ejemplo de deducci´on
Ejemplo Usando s´olo las dos reglas anteriores podemos demostrar que p ∧ (q ∧ r) ` p ∧ r.
1) p ∧ (q ∧ r) 2) p 3) q ∧ r 4) r 5) p ∧ r
(Premisa) (E ∧(1)) (E ∧(1)) (E ∧(3)) (I ∧(2,4))
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Regla de introducci´on de la disyunci´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Regla de introducci´on de la disyunci´on
(I ∨)
ϕ ` (ϕ ∨ ψ) ψ ` (ϕ ∨ ψ)
(introducci´on derecha) (introducci´on izquierda)
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Regla de introducci´on de la disyunci´on
(I ∨)
ϕ ` (ϕ ∨ ψ) ψ ` (ϕ ∨ ψ)
(introducci´on derecha) (introducci´on izquierda)
• La disyunci´on de dos f´ormulas se puede deducir de cada una de
ellas.
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Un segundo ejemplo de deducci´on
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Un segundo ejemplo de deducci´on Ejemplo Podemos demostrar que p ∧ q ` (p ∨ q) ∧ (q ∨ s).
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Un segundo ejemplo de deducci´on Ejemplo Podemos demostrar que p ∧ q ` (p ∨ q) ∧ (q ∨ s).
1) p ∧ q 2) p 3) p ∨ q 4) q 5) q ∨ s 6) (p ∨ q) ∧ (q ∨ s)
(Premisa) (E∧(1)) (I∨(2)) (E∧(1)) (I∨(4)) (I∧(3,5))
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Regla de eliminaci´on de la disyunci´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Regla de eliminaci´on de la disyunci´on
(E ∨) : {ϕ ∨ ψ, ϕ → χ, ψ → χ} ` χ.
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Regla de eliminaci´on de la disyunci´on
(E ∨) : {ϕ ∨ ψ, ϕ → χ, ψ → χ} ` χ.
• La regla de eliminaci´on de la disyunci´on NO es
ϕ∨ψ `ϕ ϕ ∨ ψ ` ψ, ya que de la validez de una disyunci´on de dos f´ormulas no se puede deducir la validez de las dos f´ormulas.
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M´etodo de demostraci´on por casos
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
M´etodo de demostraci´on por casos Se aplica cuando se quiere demostrar una deducci´on del tipo ϕ∨ψ `χ:
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M´etodo de demostraci´on por casos Se aplica cuando se quiere demostrar una deducci´on del tipo ϕ∨ψ `χ: 1) se introducen las premisas auxiliares ϕ y ψ,
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M´etodo de demostraci´on por casos Se aplica cuando se quiere demostrar una deducci´on del tipo ϕ∨ψ `χ: 1) se introducen las premisas auxiliares ϕ y ψ, 2) usando las dos premisas auxiliares se intentan demostrar dos subdeducciones independientes con igual conclusi´on χ, es decir, las subdeducciones ϕ`χ
y
ψ ` χ,
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M´etodo de demostraci´on por casos Se aplica cuando se quiere demostrar una deducci´on del tipo ϕ∨ψ `χ: 1) se introducen las premisas auxiliares ϕ y ψ, 2) usando las dos premisas auxiliares se intentan demostrar dos subdeducciones independientes con igual conclusi´on χ, es decir, las subdeducciones ϕ`χ
y
ψ ` χ,
3) si se ha completado el paso anterior, se usan las subdeducciones obtenidas en la deducci´on madre y se obtiene que {ϕ ∨ ψ, ϕ → χ, ψ → χ} ` χ.
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Notaci´on de Fitting
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Notaci´on de Fitting El m´etodo de demostraci´on por casos con la notaci´on de Fitting se representa como sigue:
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Notaci´on de Fitting El m´etodo de demostraci´on por casos con la notaci´on de Fitting se representa como sigue:
ϕ∨ψ
(Premisa)
ϕ (Premisa auxiliar) .. . .. . `χ
ψ (Premisa auxiliar) .. . .. . `χ
ϕ → χ (avanzamos la regla de introducci´on de la implicaci´on) ψ → χ (avanzamos la regla de introducci´on de la implicaci´on) `χ
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Un ejemplo del m´etodo de demostraci´on por casos
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Un ejemplo del m´etodo de demostraci´on por casos Queremos demostrar la propiedad distributiva de la conjunci´on p ∧ (q ∨ r) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
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Un ejemplo del m´etodo de demostraci´on por casos Queremos demostrar la propiedad distributiva de la conjunci´on p ∧ (q ∨ r) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
1) p ∧ (q ∨ r) (Premisa) 2) p (E ∧(1)) 3) q ∨ r (E ∧(1))
4) q (Premisa auxiliar) 5) p ∧ q (I ∧(2, 4)) 6) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (I ∨(5))
7) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
(E ∨(3, (4 − 6)))
r (Premisa auxiliar) p ∧ r (I ∧(2, 4)) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (I ∨(5))
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Regla de introducci´on de la negaci´on
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Regla de introducci´on de la negaci´on
(I¬) : {ϕ → ψ, ϕ → ¬ψ} ` ¬ϕ.
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Regla de introducci´on de la negaci´on
(I¬) : {ϕ → ψ, ϕ → ¬ψ} ` ¬ϕ.
• Esta regla se usa en demostraciones por reducci´on al absurdo de
la validez de una f´ormula ¬ϕ
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M´etodo de reducci´on al absurdo
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M´etodo de reducci´on al absurdo Demostraci´on de la validez de una f´ormula ¬ϕ :
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M´etodo de reducci´on al absurdo Demostraci´on de la validez de una f´ormula ¬ϕ : 1) Tomamos como premisa auxiliar la f´ormula ϕ,
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M´etodo de reducci´on al absurdo Demostraci´on de la validez de una f´ormula ¬ϕ : 1) Tomamos como premisa auxiliar la f´ormula ϕ, 2) Si de esta premisa auxiliar podemos deducir la validez de una contradicci´on ψ ∧ ¬ψ, entonces podemos afirmar la validez de ¬ϕ.
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M´etodo de reducci´on al absurdo Demostraci´on de la validez de una f´ormula ¬ϕ : 1) Tomamos como premisa auxiliar la f´ormula ϕ, 2) Si de esta premisa auxiliar podemos deducir la validez de una contradicci´on ψ ∧ ¬ψ, entonces podemos afirmar la validez de ¬ϕ. Con la notaci´on de Fitting (I ¬) se representa como: ϕ (Premisa auxiliar) .. . .. . ` ψ ∧ ¬ψ
` ¬ϕ
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Otra deducci´on
p ` ¬¬p
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Otra deducci´on
p ` ¬¬p 1) p (Premisa) 2) ¬p (Premisa auxiliar) 3) p ∧ ¬p (I∧(1, 2)) 4) ¬¬p (I¬(2,3))
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Regla de eliminaci´on de la doble negaci´on
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Regla de eliminaci´on de la doble negaci´on
(E¬) : ¬¬ϕ ` ϕ.
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Regla de eliminaci´on de la doble negaci´on
(E¬) : ¬¬ϕ ` ϕ. • Recordamos que ¬¬ϕ → ϕ es una tautolog´ıa (de hecho son
l´ogicamente equivalentes).
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Identidad
p`p
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Identidad
p`p 1) p (Premisa) 2) ¬p (Premisa auxiliar) 3) p ∧ ¬p (I∧(1, 2)) 4) ¬¬p (I¬(2,3)) 5) p (E¬(4))
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
De una contradicci´on se deduce cualquier cosa
p ∧ ¬p ` ϕ
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De una contradicci´on se deduce cualquier cosa
p ∧ ¬p ` ϕ 1) p ∧ ¬p (Premisa) 2) ¬ϕ (Premisa auxiliar) 3) p ∧ ¬p (1) 4) ¬¬ϕ (I¬(2,3)) 5) ϕ (E¬(4))
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Regla de introducci´on de la implicaci´on
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Regla de introducci´on de la implicaci´on Para definir esta regla (I →):
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Regla de introducci´on de la implicaci´on Para definir esta regla (I →): 1) se toma una premisa auxiliar ϕ,
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Regla de introducci´on de la implicaci´on Para definir esta regla (I →): 1) se toma una premisa auxiliar ϕ, 2) si se demuestra que de ϕ se deduce una f´ormula ψ, entonces se ha demostrado la validez de ϕ → ψ.
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Regla de introducci´on de la implicaci´on Para definir esta regla (I →): 1) se toma una premisa auxiliar ϕ, 2) si se demuestra que de ϕ se deduce una f´ormula ψ, entonces se ha demostrado la validez de ϕ → ψ. Con la notaci´on de Fitting (I →) se representa como: ϕ (Premisa auxiliar) .. . .. . `ψ
`ϕ→ψ
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Regla de eliminaci´on de la implicaci´on (tambi´en Modus ponens)
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Regla de eliminaci´on de la implicaci´on (tambi´en Modus ponens)
(E →) : {ϕ, ϕ → ψ} ` ψ.
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas derivadas del sistema de Gentzen
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas derivadas del sistema de Gentzen
• A partir de la definici´on del sistema de Gentzen es posible
demostrar los resultados m´as interesantes de la l´ogica proposicional
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas derivadas del sistema de Gentzen
• A partir de la definici´on del sistema de Gentzen es posible
demostrar los resultados m´as interesantes de la l´ogica proposicional • Teorema de la identidad: ϕ ` ϕ
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas derivadas del sistema de Gentzen
• A partir de la definici´on del sistema de Gentzen es posible
demostrar los resultados m´as interesantes de la l´ogica proposicional • Teorema de la identidad: ϕ ` ϕ • Regla del silogismo: {ϕ → ψ, ψ → χ} ` ϕ → χ
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas derivadas del sistema de Gentzen
• A partir de la definici´on del sistema de Gentzen es posible
demostrar los resultados m´as interesantes de la l´ogica proposicional • Teorema de la identidad: ϕ ` ϕ • Regla del silogismo: {ϕ → ψ, ψ → χ} ` ϕ → χ • Modus tollens: {ϕ → ψ, ¬ψ} ` ¬ϕ
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Reglas derivadas del sistema de Gentzen
• A partir de la definici´on del sistema de Gentzen es posible
demostrar los resultados m´as interesantes de la l´ogica proposicional • Teorema de la identidad: ϕ ` ϕ • Regla del silogismo: {ϕ → ψ, ψ → χ} ` ϕ → χ • Modus tollens: {ϕ → ψ, ¬ψ} ` ¬ϕ • Y as´ı hasta 30 en el libro
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Regla del silogismo
{ϕ → ψ, ψ → χ} ` ϕ → χ
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Regla del silogismo
{ϕ → ψ, ψ → χ} ` ϕ → χ 1) ϕ → ψ (Premisa) 2) ψ → χ (Premisa) 3) ϕ (Premisa auxiliar) 4) ψ (E→(1,3)) 5) χ (E→(2,4)) 4) ϕ → χ (I→(3-5))
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Modus Tollens
{ϕ → ψ, ¬ψ} ` ¬ϕ
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica
Modus Tollens
{ϕ → ψ, ¬ψ} ` ¬ϕ 1) ϕ → ψ (Premisa) 2) ¬ψ (Premisa) 3) ϕ (Premisa auxiliar) 4) ψ (E→(1,3)) 5) ψ ∧ ¬ψ (I∧(2,4)) 4) ¬ϕ (I¬(3-5))
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