Sistem Persamaan Linier Dan Non Linier

A. SISTEM SISTEM PERS PERSAMA AMAAN AN LINI LINIER  ER  Sist Sistem em pers persam amaan aan lini linier er adala adalah h suat suatu u himp himpun unan an yang yang anggo anggota tany nyaa terd terdir irii dari dari

 persamaan-persamaan linier. Pandang sistem m persamaan linier dalam n bilangan tak  diketahui x1, x2, x3, … , xn : a11x1 + a12x2 + … + a1nxn  h1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn  h2 a31x1 + a32x2 + … + a3nxn  h3 . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + … + amnxn  hm

…………. !1"

dengan ai# $% i  1, 2, …, m% #  1, 2, … , n Penyelesaiaan sistem tersebut adalah diperolehnya harga-harga x1, … , xn dengan xi $ % i  1, 2, … , n yang memenuhi m persamaan linier diatas. &pabila &pabila sistem persamaan persamaan !1" di atas mempunyai penyelesai penyelesaiaan aan maka disebut sistem konsisten. Sedangkan apabila tidak mempunyai penyelesaian disebut sistem inkonsisten. Suatu sistem sistem konsisten konsisten kadang-kadang kadang-kadang mempunyai mempunyai penyelesai penyelesaian an tunggal tunggal atau kadangkadangkadang mempunyai penyelesaiaan sebanyak tak berhingga. &pabila &pabila dalam sistem sistem persamaa persamaan n !1" di atas, atas, setiap setiap hi  ' maka maka persamaan persamaan tersebut tersebut dinamakan sistem sistem persamaan linier homogen% sedangkan bila terdapat hi ', maka sistem  persamaan !1" disebut sistem persamaan linier non-homogen. Suatu sistem sistem persamaa persamaan n linier seperti seperti yang dinyatakan dinyatakan dalam dalam persamaan persamaan !1" di atas, dapat dibentuk men#adi sistem persamaan linier lain yang ekui(alen bila sistem tersebut diubah)ditrans*ormasikan dengan ara : a" enukar enukar letak letak dua persam persamaan. aan.  b" engadakan satu persamaan linier dengan konstanta k '. " enambah enambah suatu persam persamaan aan linier linier dengan k kali kali persamaan persamaan linier linier yang yang lain.

B. METODE METODE PENYELE PENYELESAIAN SAIAN SISTEM PERSAMAAN PERSAMAAN LINIER  LINIER  1. Atura turan n Cra Cramer mer ari sistem sistem persamaan linier !1" yang telah dituliskan dituliskan dalam bentuk matriks lengkap,

yaitu &/  0. ntuk menyelesaiakan sistem persamaan tersebut dalam aturan ramer  dipakai persamaan sebagai berikut :

¿ A ∨¿ ¿ ¿ A i ∨ ¿  X i= ¿

engan: /i  bilangan yang tidak diketahui ke-i &i  nilai determinan dari & !matriks koe*isien" yang kolom ke-i sudah diganti dengan matriks 0 atau matriks konstanta. &  nilai determinan matriks &. Sebagai akibatnya suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan apabila nilai determinan atau & ' !tidak sama dengan nol". ontoh : iketahui suatu sistem persamaan sebagi berikut : 2x + y + 45  2' 6x + 2y 7 25  -2 3x 7 y + 5  11 tentukan harga x, y, dan 5 Penyelesaian : Sistem persamaan dalam bentuk matriks : 2 8 6  x 20 −2  y = −2 4 2  z 3 −1 1 11

[

][ ] [ ]

ihitung dengan nilai determinan dari matriks & & 

[

2

8

4

2

3

1

−

6

]

2

−

1

140

=−

8er%ihat bah9a & ≠ ', sehingga dapat di gunakan aturan ramer untuk menetukan x,y, dan 5 &1

&2

[ [

20

8

−2

−2

11

−1

6

]

−2 =−280 1

[

4 3

20 2

−

11

6 2

−

1

]

140

=

]

2

8

20

4

2

−2 =−560

3

−1

11

&2

2

ari hasil-hasil tersebut maka diperoleh harga-harga sebagai berikut: | A 1| −280  X 1= x = = =2 | A| −140

¿ A ∨¿=

140

−140 ¿ ¿ A 2∨ ¿  X 2= y =¿

| A |

 X 3= x =

3

| A|

=

=1

−560 −140

=4

2. Metode Invers Matris ila &;' maka &-1 ada, dari bentuk matriks lengkap suatu sistem persamaan: &/  0 maka / dapat diari dengan langkah-langkah berikut, kedua ruas dikalikan dengan

in(ers & !&-1" sehingga diperoleh bentuk berikut: &-1&/  &-10 sehingga diperoleh < /  &-10 atau /  &-10 =adi /&-10 merupakan penyelesaian system persamaan tersebut. ontoh : iketahui suatu sistem persamaan sebagai berikut : 2x + 3y + 5  > x + 2y + 35  4 3x + y + 25   tentukan harga x, y, dan 5. Penyelesaian : eterminan matriks koe*isien adalah :

hal ini berarti sistem persamaan tersebut dapat diari penyelesaiannya. engan menggunakan ad#oint, in(ers matriks & adalah :

!. Metode E"iminasi #aus Penggunaan metode ?liminasi @auss dalam penarian penyelesaian sistem persamaan

!1", dipakai langkah-langkah sebagai berikut : 1. ari sistem persamaan !1" yang telah dituliskan dalam bentuk matriks, & /  0, dibentuk matriks gabungan dari matriks koe*isien !&" dan matriks konstanta !0". Sehingga diperoleh matriks A&0B 2. agian matriks & dibentuk men#adi matriks segitiga atas dengan menggunakan trans*ormasi elementer. 3. ari hasil langkah ke-2 dihitung harga-harga (ariabel yang diinginkan. ontoh : iketahui sistem persamaan sebagai berikut : 2x + 3y + 65 C 6x + 3y + 5  11 x + 2y + 65  6 tentukan nilai x, y, dan 5 Penyelesaian : ibentuk suatu matriks gabungan dari matriks koe*isien dan matriks konstanta, diperoleh:

engan trans*ormasi elementer bagian & di#adikan matriks segitiga atas

…..

8elah diperoleh matriks segitiga atas untuk bagian & dari matriks A&0B. ari bentuk terahkir !matriks 1" di atas, dapat diinterpretasikan sebagai berikut, mulai dari baris yang terakhir kemudian naik baris demi baris sampai baris pertama diperoleh: !i" 'x + 'y 7 5  ' !ii" 'x + y 7 35  1 !iii" x + 2y + 65  6

D y 7 3!'"  1 D x + 2!1" + 6!'"  6

D nilai 5  ' D nilai y  1 D nilai x  2

=adi nilai x, y, dan 5 masing-masing adalah 2, 1, dan '.

$. Metode E"iminasi #auss%&ordan etode ?liminasi @auss-=ordan ini hamper sama dengan ?liminasi @auss, hanya sa#a

 pada langkah ke-2 matriks & dibentuk men#adi matriks identitas !